18数学分析-1复习题试题及参考答案

18数学分析-1复习题参考答案
一、选择题 1.函数1
()ln(2)
f x x =
-的连续区间是 （ B ）
A. (2,)+∞ ;
B. (2,3)(3,)⋃+∞;
C. (,2)-∞ ;
D. (3,)+∞.
2.若函数x
x x f =
)(，则=→)(lim 0
x f x （ D ）.
A.0 ;
B.1- ;
C.1 ;
D.不存在. 3.下列变量中，是无穷小量的为（ C ）. A.1ln
(0)x x +→; B.cos (0)x x →;C.ln (1)x x → ;D.22(2)4
x x x -→-. 4. 1lim(1)1
n
n n →∞
+
=+（ B ）. 1
2.1
...-A B e
C e
D e
5.1lim(1)1
→∞
+
=-n
n n （ B ）. 12.1...-A B e
C e
D e
6.下列两个函数是同一函数的是 （ C ）
A. ()3,()f x x x ϕ=+=41
()ln ,()ln 4
f x x x x ϕ== ;
C. 2
2
()sin cos ,()1f x x x x ϕ=+= ; D. 2
(1)(),()11
x f x x x x ϕ-=
=-- . 7.22
39
lim 712
x x x x →-=-+ ( C ) A.0 ; B.25- ; C.6- ; D. 7
6
.
8．0sin 2lim →=x x
x
（ D ）
A. 0 ;
B. 1 ;
C. 3 ; D . 2 .
9.=→x
x x 1
sin lim 2
（ C ）. 1
1A B C D ∞-
10. 函数341
2
++-=
x x
y 的定义域是( B ) A. 2±≠x ; B. 2±≠x 且3-≥x ; C.3-≥x ; D. 以上均不正确.
)
,1.();,.();1,.();1,1.()
(|2|||.11+∞+∞-∞-∞-->D C B A D x x x 的集合是所有用区间表示满足不等式
12.当0→x 时,下列（ B ）为无穷小量
A ．x e ;
B ．x sin ;
C ．sin x x ;
D ．x
x 1
sin )1(2+
13.=→x
x
x 3sin 5sin lim 0 ( D )
A .0 ; B. 1 ; C. 不存在; D. 35
.
14.设函数x x x f -+=33)(，则)(x f 在),(+∞-∞内为( A ) A. 偶函数; B.奇函数; C. 非奇非偶函数 ; D.以上均不对. 15. 函数(
)1
ln f x x
=
+
的定义域是( D ) ().2,2A - ; [)(].0,11,2B ⋃ ; ()().2,11,2C -⋃ ; ()().0,11,2D ⋃.
16.函数1
sin y x
=是定义域内的( C )
.A 周期函数 ; .B 单调函数 ; .C 有界函数; .D 无界函数. 17.已知；()sin 2cos f x x x =+，则(0)f =（ A ） A.2 ; B. 0 ; C. 1; D.-1 .
.210.;
210.;110.;
110.)
()2lg(1.181122-=+=-=+=++=----x x x x y D y C y B y A D x y 的反函数是函数
.
.;;
.;..
)(}.80|{},55|{.19B B A D B A C B A B B B A A A x x B x x A ⊃⊃⊂⊂≤≤=≤≤-= 则有设
二、填空题
1.已知函数(1)(1)f x x x -=-，则函数f ()x = x 2+x 。

2. 当k= 1 时，2
,
0(),
x e x f x x k x ⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩在0=x 处连续.
._,.3基本初等函数三角函数统称为数函数，三角函数和反幂函数，指数函数，对常数函数
4. =→x x
x 3sin 5sin lim
极限 3
5 . x
x x ⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+∞
→321lim .5极限= 32
e .
的间断点是函数3
21
)(.62
--+=
x x x x f x=-1,x=3 . 的定义域为则函数的定义域为若函数)ln 1(],2,1[)(.7x f x f y -= ]1,[1
-e .
8.22
lim 51x x x →+∞=+ 5
1
. 9. 若lim 1n n x →+∞
=，则2lim
2
n n
n x x +→+∞+= 1 .
10. 极限+∞
→x
x x
x 2)1(
lim 2e ． 2 0
11. ()0 _____ 0x e x f x x a a x x ⎧⎪+<===⎨+≥⎪⎩，设在处连续，则，
a=3
12. =→x
x
x tan lim 0___1____.
13. 设函数22
1
,32
x y x x -=-+则1x =是 可去 间断点. 14.
⎪⎭⎫ ⎝⎛
+∞→2
11lim x
x x 三.解答题
1.)(lim 6
3
3)(3223x f x x x x x x f x -→-+--+=
的连续区间，并求极限求函数. 除分母为0的区间是连续区间,……
2.已知函数22,0
(),0
x x f x x a x ⎧+≥=⎨+<⎩在实数集R 上连续，求值。

a
解：)2(lim )(lim 20
+=++→→x x f x x =2,a a x x f x x =+=--→→)(lim )(lim 0
处连续，则在点要使函数0)(=x x f
)(lim 0x f x +
→=2)0()(lim -0
==→f x f x ,2=∴a
3⎪⎭
⎫
⎝⎛---→4421
lim :.22x x x 求极限.
.4
121lim 42lim 442lim :22222
=+=--=⎪⎭⎫
⎝⎛--+=→→→x x x x x x x x 原式解 4.求极限x
x x 1
1lim
-+→. 解:2
1
111lim )11()11)11(lim 11lim
000
=++=++++-+=-+→→→x x x x x x x x x x ).()(),1
(,23)(.52x f x x f x
f x x x f -+∆+-=求若
.
32)23(]2)(3)[()()(;
233121311:22222
x x x x x x x x x x x f x x f x x x x f ∆-∆+∆=+--++∆-+∆=-+∆+-=+⎪⎭
⎫
⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛解 ??}{,}{,}{.6为什么的极限是否存在问的极限存在的极限不存在设n n n n y x y x +
.,}{,)(,}{,}{.:这与题设是矛盾的存在的极限即的存在以推出根据极限的四则运算可的极限存在则由的极限存在因为若一定不存在答n n n n n n n x y y x y y x -++ )1(lim .72n n n -++∞
→用迫敛定理求极限
.0)1(lim :,01
lim 0lim )
,(,111
10:22
2
=-+∴==<++=-+<+∞
→+∞→+∞→n n n n
n n n n n n n 由迫敛定理得且放大分子有理化后解
8.下面函数能否复合为函数)]([x g f y =. 若能,写出其解析式﹑定义域和值域.
解:.)(,
)(2x x x g u u u f y -====
9.求极限 x x x 2sin 2
4lim 0-+→.
解：x x x 2sin 24lim
-+
→0x →=
011
28
x →==),1sin lim
,(0最后用代入法利用分子有理化后=→x
x
x
10.下列函数是否相等,为什么
? 222(1)()();(2)sin (31),sin (31);
1
(3)(),() 1.
1f x g x y x u t x x f x g x x x ===+=+-==+- 解: (1)相等.
因为两函数的定义域相同,都是实数集R;
x =知两函数的对应法则也相同;所以两函数相等.
(2)相等.
因为两函数的定义域相同,都是实数集R,由已知函数关系式显然可得两函数的对应法则也相同,所以两函数相等.
(3)不相等.
因为函数()f x 的定义域是{,1}x x x ∈≠R ,而函数()g x 的定义域是实数集R,两函数的定义域不同,所以两函数不相等.
11.求函数1
sin ,0
0,
0x y x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩的定义域与值域.
解: 由已知显然有函数的定义域为(-∞,+∞),又当0x ≠时,1
x
可以是不为零的任意实数,此时,1
sin
x
可以取遍[-1,1]上所有的值,所以函数的值域为[-1,1]. 12.设1,
10()1,02x f x x x -≤<⎧=⎨+≤≤⎩
,求(1)f x -.
解: 1,
1101,01(1).(1)1,012,13
x x f x x x x x -≤-<≤<⎧⎧-==⎨⎨-+≤-≤≤≤⎩⎩
].41,()(-∞值域为x g ).,0[)(+∞的定义域为u f .]41,0[故能复合它们的交集，Φ≠2)]([x
x x g f y -==},10|{≤≤=∈x x D x ]2
1
,0[)(=D f
13.设()2,()ln x f x g x x x ==,求(()),(()),(())f g x g f x f f x 和(())g g x . 解:()ln (())22,g x x x f g x ==
(())()ln ()2ln 2(ln 2)2,x x x g f x f x f x x ==⋅=⋅
()2(())22,
(())()ln ()ln ln(ln ).
x
f x f f x
g g x g x g x x x x x ====
14.已知水渠的横断面为等腰梯形,斜角ϕ=40°,如图所示.当过水断面ABCD 的面积为定值S 0时,求湿周L (L =AB +BC +CD )与水深h 之间的函数关系式,并指明其定义域.
图1-1
解:
011
()(2cot )(cot )22
S h AD BC h h BC BC h BC h ϕϕ=+=++=+
从而 0cot S
BC h h
ϕ=-.
000()
22cot sin sin 2cos 2cos 40sin sin 40
L AB BC CD AB CD S h h
BC h h
S S h h h h ϕϕϕϕϕ=++==+=+---=
+=+ 由0
0,cot 0S h BC h h
ϕ>=
->得定义域为40) 15.当0x →时，22x x -与23x x -相比，哪个是高阶无穷小量？
解：232200lim lim 022x x x x x x x x x
→→--==--, ∴当0
x →时，23x x -是比2
2x x -高阶的无穷小量. 16.求下列函数在指定点处的左、右极限，并说明在该点处函数的极限是否存在？
,0,
(1)()10,x
x f x x
x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 在0x =处; 2,2(2)()1
02
x x f x x x +≤⎧⎪
=⎨>⎪-⎩ 在2x =处.
解：0
0(1)lim ()lim lim 1,x x x x x f x x x
++
+→→→=== 000lim ()lim lim 1x x x x x f x x x ---→→→-===-
因为 0
lim ()lim ()x x f x f x +-→→≠ 所以0
lim ()x f x →不存在.
(2)2
2
221
lim ()lim ,lim ()lim(2)42
x x x x f x f x x x ++
--→→→→==+∞=+=-
因为2
lim ()x f x +
→不存在，所以2
lim ()x f x →不存在. 17. 研究下列函数的连续性，并画出图形：
2,
1,
,01,(1)()(2)()1,1;2,12;
x x x x f x f x x x x
≤⎧≤≤⎧==⎨⎨
>-<<⎩⎩ 解：(1)由初等函数的连续性知，()f x 在（0，1），（1，2）内连续， 又
21
1
1
1
lim ()lim(2)1,lim ()lim 1x x x x f x x f x x ++--
→→→→=-=== 1
lim ()1,x f x →∴= 而(1)1f =，()f x ∴在1x =处连续，
又，由2
lim ()lim 0(0)x x f x x f ++
→→===，知()f x 在0x =处右连续， 综上所述，函数()f x 在[0，2)内连续. 函数图形如下：
(2) 由初等函数的连续性知()f x 在(,1),(1,1),(1,)-∞--+∞内连续，又由
11
1
1
lim ()lim 11,lim ()lim 1,x x x x f x f x x -
-++→-→-→-→-====-
知1
lim ()x f x -→-不存在，于是()f x 在1x =-处不连续.
又由1
1
1
1
lim ()lim 1,lim ()lim11,x x x x f x x f x --++
→→→→==== 及(1)1f =知1
lim ()(1)x f x f →=，从而()f x 在x =1处连续，
综上所述，函数()f x 在(,1)-∞-及(1,)-+∞内连续，在1x =-处间断.函数图形如下：
18.已知一个无盖的圆柱形容器的体积为V ，试将其高表为底半径的函数，并将其表面积表为底半径的函数。

.
22.2),0(,:222222r r V
r r V r S r rh S r r
V
h h r V ππππππππ+=+⋅=∴+=>=
∴=又圆柱体表面积解
四.证明题
1..21135之间。

和至少有一个根介于证明方程=-x x 证：,13)(5--=x x x f 令 ,
]2,1[)(上连续在则x f
,03)1(<-=f 又 ,025)2(>=f
由零点定理9.4, 使),2,1(∈∃x 0)(=x f ，
11
lim :.20=-→x
e x x 证明 .1ln 1
)
1ln(lim 1)1ln(1lim )1ln(lim 1lim .
0,0),1ln(,1:10000==+=+=+=-→→+==-→→→→e e t t t t x e t x t x t e t
t t t x x x 于是时当则令证 3.利用《δε-》定义证明：.1)12(lim 1
=-→x x
.,|1)12(|,|1|0,2
,0,2
|1|,|1|2,|1)12(||,1|2|1)12(|:故得证有
时当就是只要证只要证要证证εδε
δεε
εε<--<-<=
∃>∀∴<
-<-<---=--x x x x x x x
0135=--x x 即.)2,1(0135内至少有一根在方程=--∴x x
4.证明：.),(,)(2是连续的∞+∞-∈=x x x f
.0,0,
0,
0,1sin )(.5处连续在点试证函数=⎪⎩⎪⎨⎧=≠=x x x x
x x f 6. 设()f x 定义在(-∞,+∞)上,证明:()()f x f x +-为偶函数. 证: 设()()()F x f x f x =+-,则(,)x ∀∈-∞+∞,
有()()()()F x f x f x F x -=-+= 故()()f x f x +-为偶函数. 7. 根据数列极限的定义证明
:
21313(1)lim
0;(2)lim ;212
(3)lim
1;(4)lim 0.99
9 1.
n n n n n n n n →∞→∞→∞
→∞-==+== 个
证: (1)0ε∀>,要使22110n n ε=<-,
只要n >
取N =,则当n>N 时,恒有21
0n ε<-.故2
1
lim
0n n →∞=. (2) 0ε∀>,要使
555313,2(21)4212n n n n n ε-=
<<<-++只要5n ε>,取5N ε⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
,则当n>N 时,恒有
313
212n n ε-<-+.故313lim
212n n n →∞-=+. (3) 0ε∀>,
2221a n ε=<<,
只要n >
取n =,则当n>N 时,
1ε<,
从而lim 1n n →∞=. .0)(:0)0()(lim ,01
sin lim 3.7,1
sin ,,11sin ,0lim :000处连续在点根据函数连续性定义有又得
于是根据定理有界为无穷小量即解=∴===≤=→→→x x f f x f x
x x x x x x x x
(4)因为对于所有的正整数n ,有
10.99991
n <-个
,故0ε∀>,不防设1ε<,要使
1,0.9991
10n n ε=
<-个
只要ln ,ln10n ε->取ln ,ln10N ε-⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
则当n>N 时,恒有,0.9991n ε<-个 故lim0.99
91n n →∞
=个
.
.0)(,0,),0()(),()(.8连续在点证明内的有界函数是定义在设=>=x x f a a U x g x xg x f (方法同第
5题)。