概率论与数理统计课程设计_一元线性回归分析
概率论与数理统计(回归分析)
调整R方值 考虑到自变量数量的R方值，用 于比较不同模型之间的拟合优度。 调整R方值越接近于1，说明模型 拟合优度越好。
残差图 通过观察残差与实际观测值之间 的关系，判断模型是否符合线性 关系、是否存在异方差性等。
05
逻辑回归分析
逻辑回归模型
01
逻辑回归模型是一种用于解决 二分类问题的统计方法，基于 逻辑函数将线性回归的预测值 转换为概率形式。
多元非线性回归模型
在多个自变量X1, X2, ..., Xp的条件下，预测因变量Y的非线性数 学模型。模型形式为Y = f(β0, β1*X1, β2*X2, ... , βp*Xp)，其
中f表示非线性函数。
多元逻辑回归模型
用于预测分类结果的多元回归模型，适用于因变量Y为二分 类或多分类的情况。
多重共线性问题
非线性回归模型是指因变量和自 变量之间的关系不是线性的，需 要通过变换或参数调整来拟合数 据。
形式
非线性回归模型通常采用指数函 数对数函数、多项式函数等形 式来表达。
适用范围
非线性回归模型适用于因变量和 自变量之间存在非线性关系的情 况，例如生物医学、经济学、社 会学等领域。
常用非线性回归模型
指数回归模型
线性回归模型假设因变量和自变 量之间存在一种线性关系，即当 一个自变量增加或减少时，因变 量也会以一种恒定的方式增加或 减少。
最小二乘法
01
02
03
最小二乘法是一种数学 优化技术，用于估计线
性回归模型的参数。
最小二乘法的目标是找 到一组参数，使得因变 量的观测值与预测值之
间的平方和最小。
最小二乘法的数学公式为： β=(XTX)^(-1)XTY，其中 X是自变量的数据矩阵，Y 是因变量的数据向量，β
《数理统计》第8章§4一元线性回归
ˆ y0是E(y0)=0+ 1 x0的无偏估计；
ˆ ˆ 除x 0 外，0与 1 是相关的； ˆ ˆ 要提高 0 , 1 的估计精度（即降低它们的方 差）就要求n大，Lxx大（即要求x1, x2,, xn较 分散）。
例 为研究某化学反应过程中，温度 x (℃)对产品 得率 Y (%) 的影响，测得数据如下 温度 x 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 得率Y 45 51 54 61 66 70 74 78 85 89 求 Y 关于 x 的线性回归方程. 解 先计算各数据项 xi 1450 , Yi 673
Lxx ( xi x ) 2
i
LxY
L (Y Y ) Y 1 ( Y ) n ( x x )(Y Y ) x Y 1 ( x )( Y ) n
i 1 n
1 ( n x )2 x i n i 1 i 1
2 i
n
n
( x x )(Yi Y ) n ( x )( Y ) n xi i n i n i2 i 1 i 1 i 1 n ˆ1 n n i 1 n n ( x x ) 2 0 2 i 1 2 2 n n xi nxi )xi xi ( xi x ) 2 i ( n 2 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 xi xi 1 i 1 i 0 Y 1x
温度 x 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 得率 Y 45 51 54 61 66 70 74 78 85 89
其中 x 是可观察的控制变量，Y 是响应变量(r.v)。 x 与 Y之间有怎样的关系？
数理统计课程设计(一元线性回归)
二氧化碳吸附量与活性炭孔隙结构的线性回归分析摘要：本文搜集了不同孔径下不同孔容的活性炭与CO2吸附量的实验数据。
分别以同一孔径下的不同孔容作为自变量，CO2吸附量作为因变量，作出散点图。
选取分布大致呈直线的一组数据为拟合的样本数据。
对样本数据利用最小二乘法进展回归分析，参数确定，并对分析结果进展显著性检验。
同时利用matlab 的regress 函数进展直线拟合。
结果明确:孔径在3. 0～ 3. 5 nm 之间的孔容和CO2吸附量之间存在较好的线性关系。
关键字：活性炭孔容CO2吸附量matlab一、问题分析本文主要研究同一孔径的孔容的活性炭和co2吸附量之间的线性关系，有关实验数据是借鉴双全，罗雪岭等人的研究成果[1]。
以太西无烟煤为原料、硝酸钾为添加剂,将煤粉、添加剂和煤焦油经过充分混合后挤压成条状,在600℃下炭化15 min,然后用水蒸气分别在920℃和860℃下活化一定时间得到2组活性炭,测定了CO2吸附等温线,探讨了2组不同工艺制备的活性炭的CO2吸附量和孔容的关系.数据如下表所示：表1：孔分布与CO2吸附值编号1~12是在不同添加剂量，温度，活化时间处理下的对照组。
因为处理方式不同得到不同结果是互不影响的，可以看出CO2的吸附量的值是互相独立的。
我们将不同孔径下的孔容分为1~7组。
编号孔容/(1110L g μ--⋅)CO2吸附量1/()mL g -⋅1 70 96 115 642 50 913 11 71 65 914 90 76 1225 78 1136 72 56 997 86 1228 13 69 107 9 78 107 10 13 91 137 11 114 110 142 75 12126 114 183作出不同孔径下与CO2吸附量的散点图如下：2468孔容C O 2吸附量10203040506070孔容C O 2吸附量152025303540孔容C O 2吸附量50100150孔容C O 2吸附量406080100120孔容C O 2吸附量5060708090100110孔容C O 2吸附量80100120140160180200孔容C O 2吸附量图1：不同孔容与CO2吸附量的散点图图1中从左往右依次是第1到第7组孔容，从图中可以看出第五、六、七组的点大致分散在一条直线附近，说明两个变量之间有一定的线性相关关系。
概率论与数理统计14-一元线性回归分析
i 1 i 1 i 1 n n n
通常记为 Syy Qe U ,
其中
ˆi y )2 U (y
n
(9.2.5)
称为回归平方和, 它反映了 i 1 ˆx的理论值 y ˆ1 , y ˆ2 ,, y ˆn 对 y平 回归方程 y ˆ a ˆ b
i 1 i 1
n
再由(9.2.5)式得到随机变量关系式
ˆ . Qe SYY bS xY
(9.2.7)
理论研究表明，检验统计量
U F F (1, n 2). Qe /(n 2)
当F>F(1,n-2)时，拒绝原假设H0.
例9.2.2 (续例9.2.1)数据见例9.2.1, 取显 ˆ 0.15 0.859x 著性水平 =0.05, 检验回归方程 y 的显著性. 解 检验 H0 : b 0, H1 : b 0.
^
2
~ t (n 2),
其中
^
2
Qe S bSxY YY n2 n2
是总体N 0, 的方差
2
2
D( )
的无偏估计. 对于给定的置信水平1 ,查自由度为n-2 的t分布表可得满足
P{ t t / 2} 1
的临界值t / 2 .利用不等式的恒等变形,可得
x
i 1 24 24 i
127.5, 829.61,
y
i 1 24
24
i
113.1, 650.93,
x
i 1
2 i
y
概率论与数理统计14-一元线性回归分析
4.0
3.5 22 9.0 8.0
4.5
4.2 23 9.5 8.1
4.6
3.5 24 10 8.1
解 从本例的散点图看出(见图9-1),
强度Y与拉伸倍数x之间大致呈现线性
相关关系, 因此一元线性回归模型是适用Y
与 x的 .
图9-1 例9.2.1数据散点图
现用公式(9.2.4)求 a, b , 这里n=24,
线性回归方程, 其图像就是回归直线, b为回
归系数, a称为回归常数, 也称为回归系数.
现讨论如何根据观测值 ( xi , yi )
(i=1,2,…,n)估计模型(9.2.2) 中回归函数
f(X) =a+bx的回归系数.
采用最小二乘法, 记平方和
Q(a, b) ( yi a bxi )2 .
x
i 1 24 24 i
127.5, 829.61,
y
i 1 24
24
i
113.1, 650.93,
x
i 1
2 i
y
i 1
2 i
x y
i 1 i
24
i
731.6,
1 (127.5) 2 152.266, 24 1 S xy 731.6 127.5 113.1 130.756, 24 1 S yy 650.93 (113.1) 2 117.946, 24 1 x 127.5 5.313, 24 1 y 113.1 4.713. 24 S xx 829.61
1.9
1.4 13 5.0 5.5
2.0
1.3 14 5.2 5.0
2.1
《概率论及数理统计》课程标准
精选文档《概率论与数理统计》课程标准课程编号课程性质必修参照学时36学分2查核方式理论考试合用范围金融管理专业开设单位教育学院先修课程经济数学 / 高等数学主笔人苏明（教育学院）一、课程概括第一部分序言《概率论与数理统计》 (Probability Theory and Mathematical Statistics)，由概率论和数理统计两部分构成。
它是研究随机现象并找出其统计规律的一门学科，是宽泛应用于社会、经济、科学等各个领域的定量和定性剖析的科学系统。
一、课程性质《概率论与数理统计》是理、工科有关专业的基础干课。
对高校的统计专业本科生它也是一门学科基础课程。
从学科性质讲，它是一门基础性学科，它为统计专业学生后继专业课程的学习供给方法论的指导。
学生对这门课程的掌握程度直接关系到统计学科培育目标—“经济和管理领域中擅长在定性剖析基础上从事定量剖析的特意统计人材”的实现。
二、基本理念第一，侧重基础，侧重标准。
在我国，迄今为止，有关数理统计教材许多，这些教材和理论参照文件各自保持了自己的特点。
只有侧重基础、侧重标准，精选文档才能与国际先进的理论研究趋向保持一致。
第二，力争在简短的基础上使学生能从整体上认识和掌握该课程的内容系统，使学生可以在实质工作中、其余学科的学习中能灵巧、自如地应用这些理论。
三、课程标准的设计思路第一，浙江大学盛骤、谢式千、潘承毅主编的《概率论与数理统计》为蓝本, 全力用较为平常的语言阐释概率论的基本理论和数理统计思想方法; 第二，密切联合财经特点和计算机应用加以论述和学习 ;第三，理论和方法相联合，以重申数理统计理论的应用价值。
总之,重申治论与实质应用相联合的特点, 力争在实质应用方面做些有利的探究，也为其余学科的进一步学习打下一个优异的基础。
第二部分课程目标一、总目标《概率论与数理统计》是一门几乎遍布全部的科学技术领域以及工农业生产和公民经济各部门之中。
经过学习该课程使学生掌握概率、统计的基本概念，熟习数据办理、数据剖析、数据推测的各样基本方法，并能用所掌握的方法详细解决社会经济所碰到的各样问题。
一元线性回归分析PPT课件
拟合程度评价
拟合程度是指样本观测值聚集在样本回归线周围的紧
密程度. ( Y t Y ) ( Y ˆ t Y ) ( Y t Y ˆ t)
n
n
n
(Y t Y )2 (Y ˆt Y )2 (Y t Y ˆ)2
t 1
t 1
t 1
n
(Yt Y)2 :总离差平方和，记为SST;
t1
n
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例
食品序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
求和
脂肪Xt 4 6 6 8 19 11 12 12 26 21 11 16 14 9 9 5
热量Yt 110 120 120 164 430 192 175 236 429 318 249 281 160 147 210 120
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回归分析的分类
一个自变量
一元回归
回归分析
两个及以上自变量
多元回归
线性 回归
非线性 回归
线性 回归
非线性 回归
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一元线性回归模型
(一)总体回归函数
Yt＝0＋1Xt＋ut
ut是随机误差项，又称随机干扰项，它是一个特殊的 随机变量，反映未列入方程式的其他各种因素对Y的 影响。
(ˆ1t(n2)Sˆ1)
2
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回归分析的Excel实现
“工具”->“数据分析”->“回归”
第16页/共40页
ˆ 0
S ˆ 0
ˆ 1
S ˆ 1
(ˆ0t(n2)Sˆ0)
2
(ˆ1t(n2)Sˆ1)
2
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第九章 回归分析(一元线性回归)(1)
将表中各对数据描在坐标平面上得图
数 据 和 拟 合 直 线
这样的图称为观测数据的散点图。 从图上可以看出，随着温度x的升高， 某化学过程的生产量y的平均值也在增加， 它们大致成一直线关系，但各点不完全在一 条直线上，这是由于y还受到其它一些随机 因素的影响。
温度 xi
为了研究某一化学反应过程中温度 x 对产
品得率 Y 的影响. 测得数据如下：
C 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190
45 51 54 61 66 70 74 78 85 89
得率 yi %
为了研究这些数据所蕴藏的规律性， 将温度 x i 作 为横坐标，得率 y i 作为纵坐标, 在 xoy 坐标系中作 散点图 从图易见, 虽然这些点是散乱的, 但大体上散布在 某条直线附近, 即该化学反应过程中温度与产品
回归分析正是研究预报变量之变动对响 应变量之变动的影响程度，其目的在于根据 已知预报变量的变化来估计或预测响应变量 的变化情况。
“回归（regression）”名称的由
来：
回归名称的由来要归功于英国统计学F．高尔顿 （F．Galton：1822～1911），他把这种统计分析方法 应用于研究生物学的遗传问题，指出生物后代有回 复或回归到其上代原有特性的倾向。高尔顿和他的 学生、现代统计学的奠基者之一K．皮尔逊 （K．Pearson：1856～1936）在研究父母身高与其 子女身高的遗传问题时，在观察了1078对夫妇后， 以每对夫妇的平均身高作为x，取他们的一个成年儿 子的身高为y，将结果绘成散点图后发现成一条直线。 计算出回归方程为
《概率论与数理统计》课程教学大纲
概率论与数理统计》课程教学大纲一教学大纲说明（一）课程的地位、作用和任务《概率论与数理统计》是数学与信息科学学院各专业方向的一门基础课。
该课程较全面地论述了概率论与数理统计的基本概念、理论和方法，从而为后续专业课程的学习打下良好的基础。
（二）课程教学的目的和要求通过本课程的学习，使学生较好地掌握概率论的基本概念和基本理论，并在一定程度上掌握概率论分析问题和解决问题的方法，对数理统计基本概念、基本理论和基本方法有一定的了解，并能初步运用统计方法解决简单的实际问题。
掌握：事件的运算；概率的公理化定义；古典概率；条件概率及其相关公式；随机变量及其分布；随机变量的数字特征；随机向量及其分布；统计量及其分布；参数估计；假设检验；一元线性回归。
理解：概率的公理化定义；随机变量及其分布；随机变量的独立性；极大似然估计的思想；假设检验的基本思想；一元线性回归模型。
了解：条件分布，大数定律及中心极限定理；非参数估计及检验。
（三）课程教学方法与手段本课程的教学采用讲授、实验和自学相结合的方法。
基本知识由老师授课，约占内容的百分之八十。
百分之二十的内容由学生自学，老师提供自学提纲并加强辅导。
对于数理统计中的基本方法配备适量的实验课。
（四）课程与其它课程的联系概率论与数理统计涉及到微积分、线性代数方面的知识，因而先俢课程有：数学分析、高等代数和解析几何。
教育统计、证券投资学、时间序列分析、多元统计、保险精算和信息学基础等课程需在本课程之后开设。
（五）教材与教学参考书教材：峁诗松、程依明、濮晓龙，《概率论与数理统计教程》，高等教育出版社，2004年教学参考书：1、梁之瞬等，《概率论与数理统计》，高等教育出版社2、周概容，《概率论与数理统计教程》，高等教育出版社3、王梓坤，《概率论基础及其应用》，科学出版社二课程的教学内容、重点和难点第一章随机事件与概率随机试验、事件和概率的基本概念，概率的简单性质, 概率空间，古典概型,条件概率,全概率公式，贝叶斯公式,事件的独立性。
一元线性回归教案
一元线性回归教案引言一元线性回归是统计学中非常重要的一种回归分析方法。
它能够通过建立一个线性模型，根据自变量的值来预测因变量的值。
本教案将介绍一元线性回归的基本概念、原理和应用场景，并通过示例演示如何进行一元线性回归分析。
目录1.什么是一元线性回归？2.一元线性回归的原理3.数据的处理与准备4.拟合一元线性回归模型5.模型评估与预测6.应用案例分析7.总结1. 什么是一元线性回归？一元线性回归是指只有一个自变量和一个因变量的线性回归模型。
它的数学表达式为：Y = β0 + β1X + ε，其中Y是因变量，X是自变量，β0和β1是模型的参数，ε是误差项。
一元线性回归的目标是找到最合适的β0和β1，使得模型对观测数据点的拟合程度最优。
2. 一元线性回归的原理一元线性回归的原理基于最小二乘法，即通过最小化观测值与模型预测值之间的差异来确定模型的参数。
最小二乘法可以通过求解正规方程来获得最优的参数估计值。
3. 数据的处理与准备在进行一元线性回归分析之前，需要对数据进行处理和准备。
这包括数据清洗、变量选择和数据可视化等步骤。
本节将介绍常用的数据处理方法，以及如何选择适当的自变量和因变量。
4. 拟合一元线性回归模型拟合一元线性回归模型是通过最小二乘法来确定模型的参数估计值。
本节将介绍如何使用Python中的scikit-learn库来拟合一元线性回归模型，并分析模型的拟合结果。
5. 模型评估与预测在拟合一元线性回归模型之后，需要对模型进行评估和预测。
本节将介绍常用的评估指标，如均方误差（MSE）和决定系数（R-squared），以及如何使用模型进行预测。
6. 应用案例分析本节将通过一个实际的数据集来展示一元线性回归的应用场景。
通过分析数据集中的自变量和因变量之间的关系，我们可以建立一元线性回归模型，并对模型进行评估和预测。
7. 总结本教案从一元线性回归的基本概念和原理开始，通过示例和实践对一元线性回归进行了详细讲解。
概率论与数理统计课程设计_一元线性回归分析
目录一．设计目的 (1)二．设计问题 (1)三．设计原理 (1)四．方法实现 (5)五．设计总结 (15)参考文献 (15)致谢 (16)一．设计目的了解一元回归方程，回归系数的检验方法及应用一元回归方程进行预测的方法；学会应用MATLAB软件进行一元回归实验的分析方法。
同时更好的了解概率论与数理统计的知识，熟练掌握概率论与数理统计在实际问题上的应用，并将所学的知识结合Excel对数据的处理解决实际问题。
本设计是利用一元线性回归理论对用切削机房进行金属品加工时为了适当地调整机床，测量刀具的磨损速度与测量刀具的厚度间的关系建立数学模型，并用Excel分析工具库中的回归分析软件进行解算。
二．设计问题用切削机床进行金属加工时，为了适当地调节机床，需要测定刀具的磨损速x关于时间y的线性回归方程。
由此，我们利用这些数据做出刀具厚度三．设计原理在实际问题中，经常会出现两个变量之间的相关关系不是线性的（即直线型），而是非线性的（即曲线型）。
设其中有两个变量x 与y ，我们可以用一个确定函数关系式：)(x y x=大致的描述y 与x 之间的相关关系，函数)(x u 称为y 关于x的回归函数，方程)(x u y =成为y 关于x的回归方程。
一元线性回归处理的是两个变量x 与y 之间的线性关系，可以设想y 的值由两部分构成：一部分由自变量x 的线性影响所致，表示x 的线性函数bx a +；另一部分则由众多其他因素，包括随机因素的影响所致，这一部分可以视为随机误差项，记为ε。
可得一元线性回归模型ε++=bx a y (1)式中，自变量x 是可以控制的随机变量，成为回归变量；固定的未知参数a,b成为回归系数；y 称为响应变量或因变量。
由于ε是随机误差，根据中心极限定理，通常假定),0(~2σεN ，2σ是未知参数。
确定y 与x之间的关系前，可根据专业知识或散点图，选择适当的曲线回归方程，而这些方程往往可以化为线性方程或者就是线性方程，因此我们可以用线性方程：bx a y +=大致描述变量y 与x 之间的关系；1)模型回归系数的估计为了估计回归系数，假定试验得到两个变量x与y 的n 个数据对(),3,2,1,,n iy x i i Λ=我们将这n 对观测值代入式（1），得n i bx a y n i i ,3,2,1,Λ=++=ε这里n εεε,,,21K K 互独立的随机变量，军服从正态分布，即n ,1,2,3i ),～N(0,2K =σε回归系数估计的方法有多种，其中使用最广泛的是最小二乘法，即要求选取的a ，b ， 的值使得述随机误差ε 的平方和达到最小，即求使得函数()()∑∑==--==nii i nii bx a y b a Q 1221,ε取得最小值的a ，b 。
概率论与数理统计(9.3 一元线性回归)剖析
2018年11月2日星期五 18
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【例 11】(续例 10) 求 Y 关于 x 的线性回归方程．
解 现在 n 6 ，所需计算列表如下：
x
y
40 50 55 60 67 70 342
总和
300 400 500 600 700 800 3300
2018年11月2日星期五 7
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一、回归模型
对 于 随 机 误 差 ， 常 常 假 定 E( ) 0,0 Var ( ) 2 ． 的方差 2 是回归模型的 一个重要参数，因为 E[Y f ( X1, X 2 ,, X p )]2 E( 2 ) Var( ) 2. 这表明， 2 愈小， 用 f ( X1 , X 2 ,, X p ) 逼近 Y 所导致的均 方误差就愈小，回归方程也就愈有用．
1 , 2， , p 称为回归系数(regression coefficient)．
2018年11月2日星期五 5
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一、回归模型
回归分析的主要任务是根据 X1 , X 2 ,, X p 和 Y 的观 测数据，去估计回归函数 f ( x1, x2 ,, xp ) 及其讨论与此有 关的种种统计推断问题，例如讨论有关的点估计、区间 估计、假设检验等，特别是对随机变量 Y 的观测值作出 点预测和区间预测．
返回
解得 0 , 1 的估计值为
n n n n n xi yi ( xi )( yi ) ( xi x )( yi y ) i 1 i 1 i 1 i 1 , 1 n n n 2 2 2 n x ( x ) ( x x ) i i i i 1 i 1 i 1 n 1 n 1 x. y x y 0 1 i i n i 1 n i 1 1 n 1 n 其中 x xi , y yi . n i 1 n i 1
数理统计第六章第一节 一元线性回归分析
后代的身高有向身高平均值靠拢的趋向. 离开均值 越远，所受到回归的压力也越大。“回归”这个词 就由此而来。
5
输入
X1
输出
X2 …
系统
y
xp
理论模型 Y f (x1, x2 ,..., xp )
观测模型 Y f (x1, x2 ,..., xp )
6
** *
*
* **
* *
* *
*
* ** *
i 1
i 1
n
(bˆ)2 (xi x )2
i 1
S yy 2bˆSxy (bˆ)2 Sxx
由于 Sxy bˆSxx 所以 Qe Syy (bˆ)2 Sxx
18
1.3 线性假设的显著性检验
1) T检验法
对线性假设y=a+bx+进行检验，线性系数
b不应当为0 原假设 H0：b=0 备择假设 H1：b0
Qe的简单计算公式
n
Qe
yi yˆi 2 Syy (bˆ)2 Sxx
i 1
17
证明 n
n
Qe yi yˆi 2 ( yi y) ( yˆi y)2
i 1
i 1
n
(
yi
y
)
bˆ( xi
x
2
)
i 1
n
n
( yi y)2 2bˆ ( yi y)(xi x )
15
2） 2的点估计
对每一个xi，由回归方程有 yˆi aˆ bˆxi
xi处的残差为 yi yˆi
残差平方和
n
n
Qe yi yˆi 2
yi aˆ bˆxi 2
i 1
i 1
概率论与数理统计、概率论04-第63讲 一元线性回归(参数估计)_64
i
xi, sxx
i
xi x2,
ˆ y xˆ,
0
1
sxy
xi xyi y, syy
yi y2.
ˆ s / s . 1 xy xx
i
i
14
(2) 2 的估计
记 ei yi yˆi——残差，ei是i的估计.
注意到 2 D( ) E( )2 ,
ei
i
i
n
用残差平方和 yi yˆi 2估计 2.
X 0.6089 0.0324 18.815 8.54E-18 0.543 0.675
ˆ 0
ˆ 1
17
• 如：父亲的身高与儿子的身高 之间也有一定联系, 通常父亲 高，儿子也高。
4
我们以一个例子来建立回归模型 • 例1：根据2013年《中国统计年鉴》的数据，
2012年中国各地区城镇居民人均年消费支 出和可支配收入数据见下表.
5
地区 可支配
入 收 x( 万元
北京 3.647
消费支出
） y(万元
）
2.405
16
方差分析表
自由度 平方和
均方
F值
P_值
回归 1 3.800452 3.800452 353.987 8.54E-18
误差 29 0.311348 0.010736
显著！
总的 30 4.1118
s2
Coef. 标准误差 t Stat P value Lower 95% Upper 95% Intercept 0.1707 0.0774 2.2046 0.0356 0.012 0.329
样本值为(x1, y1), ( x2 , y2 ),..., ( xn , yn ).
概率论与数理统计课程设计
概率论与数理统计课程设计概率论课程设计1110410327 苏浪国内产值与人力资本的回归分析目录一、.......................................................... 设计目的二、.......................................................... 设计问题三、.......................................................... 设计原理四、.......................................................... 设计程序设计步骤设计结果1、得到回归分析结果：2、建立回归模型对结果进行检验五、.......................................................... 设计总结六、参考文献一、设计目的为了更好的了解概率论与数理统计的知识，熟练掌握概率论与数理统计在实际问题上的应用，并将所学的知识结合Excel对数据的处理解决实际问题。
本设计是利用一元线性回归理论对国内产值与人力资本关系建立数学模型，并用Excel分析工具库中的回归分析软件进行解算并检验。
二、设计问题改革开放以来我国经济高速增长。
国内生产总值与诸多因素有关，为了解影响生产总值的因素，现查得1995-2005年各季度的国内生产总值和人力资本的数据如下，试确定国内生产值和人力资本的关系并检验。
三、设计原理本题是一道确定生产总值和人力资本的关系问题，首先做出该组数据的散点图，由图分析该数据属于线性回归问题，可以利用Excel解决这种类型的问题。
数据的处理时通过使用“最小二乘法”做直线拟合，然后再进行一元线性回归。
在整个过程中直接使用Excel进行数据处理，用matlab求F临界值，得出结论，然后根据Excle输出结果进行线性回归方差分析和相关系数的显著性检验。
概率论与数理统计的回归分析
概率论与数理统计的回归分析引言回归分析是概率论与数理统计中的重要内容之一。
它旨在研究自变量与因变量之间的关系，并通过建立数学模型来预测或解释因变量的变化。
本文将介绍回归分析的基本概念、原理以及应用。
回归分析的基本概念回归分析的基本概念包括以下几个方面：1. 自变量和因变量：自变量是研究对象中的一个或多个变量，其取值是研究者可以操纵和观察的；而因变量是自变量的取值所导致的响应或结果。
2. 线性回归和非线性回归：回归分析可以根据自变量与因变量之间的关系，分为线性回归和非线性回归两种类型。
线性回归是指自变量和因变量之间存在线性关系的情况，而非线性回归则是指自变量和因变量之间存在非线性关系的情况。
3. 最小二乘法：最小二乘法是进行回归分析时常用的一种方法。
它通过最小化观测值与模型预测值之间的残差平方和，来求解回归系数的估计值。
回归模型的建立和应用回归模型是回归分析的核心内容，它描述了自变量和因变量之间的数学关系。
常见的回归模型包括简单线性回归模型、多元线性回归模型和逻辑回归模型等。
回归分析在实际应用中有广泛的用途。
例如，在经济学中，可以使用回归分析来探索经济变量之间的关系；在医学研究中，可以使用回归分析来评估治疗方法对患者病情的影响。
结论回归分析是概率论与数理统计中的重要工具，它可以帮助我们理解自变量和因变量之间的关系，并预测或解释因变量的变化。
通过建立回归模型，可以进行深入的研究和分析。
回归分析的应用范围广泛，对于各个学科领域的研究具有重要意义。
总之，概率论与数理统计的回归分析对于揭示事物之间的关系和预测未来变化具有重要作用，可以为我们的研究和决策提供有力支持。
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沈阳理工大学课程设计论文成绩评定表课程设计任务书沈阳理工大学课程设计论文摘要数理统计是具有广泛应用的数学分支，在生产过程和科学实验中，总会遇到多个变量，同一过程中的这些变量往往是相互依赖，相互制约的，也就是说他们之间存在相互关系，这种相互关系可以分为确定性关系和相关关系。
变量之间的确定性关系和相关关系在一定条件下是可以相互转换的。
本来具有函数关系的变量，当存在试验误差时，其函数关系往往以相关的形式表现出来相关关系虽然是不确定的，却是一种统计关系，在大量的观察下，往往会呈现出一定的规律性，这种函数称为回归函数或回归方程。
回归分析是一种处理变量之间相关关系最常用的统计方法，用它可以寻找隐藏在随机后面的统计规律。
确定回归方程，检验回归方程的可信度等是回归分析的主要内容。
按回归模型类型可划分为线性回归分析和非线性回归分析。
本文利用概率纶与数理统计中的所学的回归分析知识，对用切削机房进行金属品加工时为了适当地调整机床，测量刀具的磨损速度与测量刀具的厚度间的关系建立数学模型，利用这些数据做出刀具厚度x关于时间y的线性回归方程，并MATLAB 与EXCEL软件对验数据进行分析处理，得出线性回归系数与拟合系数等数据，并用F检验法检验了方法的可行性，同时用分布参数置信区间和假设检验问题，得出了刀具厚度x关于时间y的线性关系显著，并进行了深入研究，提出了小样本常用分布参数的置信区间与假设检验的解决方法。
关键词：统计量法；置信区间；假设检验；线性关系；回归分析目录一．设计目的 (1)二．设计问题 (1)三．设计原理 (1)四．方法实现 (5)五．设计总结 (14)参考文献 (15)致谢 ...................................................... 错误！未定义书签。
沈阳理工大学课程设计论文一．设计目的了解一元回归方程，回归系数的检验方法及应用一元回归方程进行预测的方法；学会应用MATLAB软件进行一元回归实验的分析方法。
同时更好的了解概率论与数理统计的知识，熟练掌握概率论与数理统计在实际问题上的应用，并将所学的知识结合Excel对数据的处理解决实际问题。
本设计是利用一元线性回归理论对用切削机房进行金属品加工时为了适当地调整机床，测量刀具的磨损速度与测量刀具的厚度间的关系建立数学模型，并用Excel分析工具库中的回归分析软件进行解算。
二．设计问题用切削机床进行金属加工时，为了适当地调节机床，需要测定刀具的磨损速由此，我们利用这些数据做出刀具厚度x关于时间y的线性回归方程。
三．设计原理在实际问题中，经常会出现两个变量之间的相关关系不是线性的（即直线型），而是非线性的（即曲线型）。
设其中有两个变量x 与y ，我们可以用一个确定函数关系式：)(x y x=大致的描述y 与x 之间的相关关系，函数)(x u 称为y 关于x的回归函数，方程)(x u y=称为y 关于x的回归方程。
一元线性回归处理的是两个变量x 与y 之间的线性关系，可以设想y 的值由两部分构成：一部分由自变量x 的线性影响所致，表示x 的线性函数bxa +；另一部分则由众多其他因素，包括随机因素的影响所致，这一部分可以视为随机误差项，记为ε。
可得一元线性回归模型ε++=bx a y (1)式中，自变量x 是可以控制的随机变量，成为回归变量；固定的未知参数a,b 成为回归系数；y 称为响应变量或因变量。
由于ε是随机误差，根据中心极限定理，通常假定),0(~2σεN ，2σ是未知参数。
确定y 与x 之间的关系前，可根据专业知识或散点图，选择适当的曲线回归方程，而这些方程往往可以化为线性方程或者就是线性方程，因此我们可以用线性方程：bxa y +=大致描述变量y 与x之间的关系；1)模型回归系数的估计为了估计回归系数，假定试验得到两个变量x 与y 的n 个数据对(),3,2,1,,n iy x i i =我们将这n 对观测值代入式（1），得n i bx a y n i i ,3,2,1, =++=ε这里n εεε,,,21 互独立的随机变量，均服从正态分布，即n ,1,2,3i ),～N(0,2 =σε回归系数估计的方法有多种，其中使用最广泛的是最小二乘法，即要求选取的a ，b ， 的值使得述随机误差ε 的平方和达到最小，即求使得函数()()∑∑==--==ni i ini ibx a y b a Q 1221,ε取得最小值的a ，b 。
由于()b a Q,是a ，b 的二元函数，利用微积分中的函数存在极值的必要条件，分别对()b a Q ,求a ，b 偏导数，并令其为0，构成二元一次方程组∑==--nii i bx a y 00)(，∑===--010)(i ii i i x bx a y ，化简后得到如下正规方程组 ,)(11∑∑===+ni nii i y b x na a .)()(1112∑∑∑====+nii i n i ni i i y x b x a x 解方程组得到总体参数b a ,估计量∑∑-=i ix nbna y 1ˆ1ˆ,∑∑∑∑∑--=22)(ˆi i i i i i x x n y x y x n b这里， )2,1(和n i y x i i =均已有的观测数据。
由此得到回归方程x ba y ˆˆ+= 带入观测i x ，得到值i y 称为回归预测值。
方程的直线称为回归直线。
2)回归方程显著性检验建立一元线性回归方程当且仅当变量之间存在线性相关关系时才是有意义的，因此必须对变量之间的线性相关的显著性进行检验，即对建立的回归模型进行显著性检验。
我们首先引入几个概念：（1） ∑=-=niT y y SS 1i 2)(，称为T SS 总偏差平方和，它表示观测值i y 总的分散程度；（2） ∑=-=niR y y SS 1i 2)ˆ(，称R SS 为回归平方和，它是由回归变量x 的变化引起的，放映了回归变量x 对变量y 线性关系的密切程度；（3） ∑=-=ni i E y y SS 1i 2)ˆ(，称E SS 为残差（剩余）平方和，它是由观测误差等其他因素起误差，它的值越小说明回归方程与原数据拟合越好。
可以证明下列关系成立 E R TSS SS SS +=即∑=-niy y 1i 2)(=∑=-ni y y 1i 2)ˆ(+ ∑=-ni i y y 1i 2)ˆ(我们主要考虑回归平方和在总偏差和中所占的比重，记TRSS SS R =2。
(0<=R<=1 ),称R 为复相关系数，用R 的大小来评价模型的有效性，R 越大，则反映回归变量与相应变量之间的线性函数关系越密切。
引入F 统计量。
定义)2(-=n SS SS F ER ，可知F~F （1，n-2）.对于给定的显著水平a(一般这里取0.05或0.01)，查表可得临界值F a （1,n-2）如果F> F α（1,n-2）,则认为y 与x 之间的线性关系显著；如果F<= F α（1,n-2），则认为y 与x 之间的线性关系不显著，或者不存在线性关系，在实际应用中也可以通过F 对应的概率P<α来说明y 与x 之间的线性相关性显著。
3)回归系数的置信区间回归方程（1）的回归系统^a ,^b 是一个点估计值，给定置信水平1-α后，可得到他们对应的置信区间，并且回归区间越短越好，如果摸个回归系数的置信区间包含0点，则说明该回归变量的影响不显著，需要进一步地修改回归方程，尽量是每个回归系数的置信区间都不包含0点。
4)利用模型预测在对所建立的回归模型进行相关程度检验与分析之后，如果预测变量y 与相关变量x 的每一个给定值x 0，带入回归模型，就可以求得一个相对应的回归预测值0^y ,0^y 称为模型的点估计值。
四．方法实现（1）输入数据，并输入作散点图命令：>> y=[30 29.1 28.4 28.1 28.0 27.7 27.5 27.2 27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.8 24.0 23.7 23.1 22.9 22.6 22.3 22.1 21.7 21.5 21.3 21.0 20.6 20.3 20.1];>> x=[0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29];>> plot(x,y,'*')生成图（1），可以看出x 和y 大体成线性关系。
图 1 散点图（横轴：X 纵轴Y）（2）作一元回归分析，输入：>> n=length(y);>> X=[ones(n,1),x'];>> [b,bint,r,rint,s]=regress(y',X);>> b,bint,sb =29.5501-0.3329bint =29.3326 29.7676-0.3458 -0.3200s =1.0e+003 *0.0010 2.8019 0 0.0001一元回归方程为：x y 3329.05501.29-=从几个方面都可以检验模型是有效的：F 检验-P -接近于0；1β的置信区间不含零点；α<p ；用MATLAB 命令finv(0.95,1,28)计算得到()F F <=1960.428,195.0，F 为统计量观测值，所以X 与Y 的相关性显著。
残差及其置信区间作图代码输入： rcoplot(r,rint)结果如图2所示：51015202530-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81Residual Case Order PlotR e s i d u a l sCase Number图 2 残差图（横轴：削磨时间 纵轴：残差分析值）所谓残差是指实际观察值与回归估计值的差，残差分析就是通过残差所提供的信息，分析出数据的可靠性、周期性或其它干扰。
从残差图可以看出，数据的残差离零点较近，且残差的置信区间均包含零点，这说明回归模型x y 3329.05501.29-=能很好的符合原始数据。
（3）讲上面的回归系数估计值5501.29ˆ0=β，3329.0-ˆ1=β带入回归方程，刀具磨损速度的测试中，对时间间隔为30/h 的刀具厚度进行预测，得到19.5631ˆ0=y 。
在05.0=α，刀具的厚度预测区间简化为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---s u y s u y 210210ˆ,ˆαα，输入计算指令：>> t1=19.5631-norminv(0.0975,0,1)*sqrt(sum(r.^2)/16) t1 =20.0742>> t2=19.5631+norminv(0.0975,0,1)*sqrt(sum(r.^2)/16) t2 =19.0520即时间间隔为30/h 的刀具磨损速度测试中，刀具厚度的置信度为0.95的预测区间为[]0742.20，0520.19。