西南交通大学高等数学考试试卷

一、填空题： 1．设函数(,)z z x y =是由

ln x z

z y

=所确定，则()0,1,1dz =dx dy + ． 2．设幂级数0

n

n n a x ∞

=∑的收敛区间为()3,3-，则幂级数()0

1n

n n a x ∞

=-∑的收

敛区间为 ()2,4- ．

3．设函数,0()0,0x x f x x ππ

--<≤⎧=⎨<≤⎩的付氏级数的和函数为()S x ，则(5)S π=2π

．

4．设),(x

y

x f z =，其中f 具有连续的二阶偏导数，则

y x z

∂∂∂2= 223221211f x

y f x f x ''-'-'' ． 5．设幂级数()0

1n

n n a x ∞

=-∑在0x =处收敛，而在2x =处发散，则幂级数0

n n n a x ∞

=∑的

收敛域为 [1,1)-．

6．函数23

)(2-+=x x x f 关于x 的幂级数展开式为 1

1

0(1)1,(1,1)2n n n n x x +∞

+=⎡⎤--∈-⎢⎥⎣⎦

∑ ． 7．设函数y z x =，则(2,1)dz = 2ln 2dx dy +

8．曲线23,,x t y t z t ==-=的切线中，与平面236x y z -+=垂直的切线

方程是111123

x y z -+-==-． 9．设),(y x z z

=是由方程sin()ln z e z xy a -= 0a >为常数所确定的二元

函数，则 =dz cos()cos()

sin()sin()

z z

yz xy xz xy dx dy e xy e xy +--． 10.旋转抛物面22z

x y =+的切平面： 44810x y z -++=，

平行与已知平面21x y z -+=.

11．微分方程20y y y '''+-=的通解为 1

212x x Y

C e

C e -=+，

2x y y y e '''+-=的通解为 12121

2

x x x y

C e

C e e -=++．

12.曲线：

Γt t

u e z t t y udu e x 30

1,cos sin 2,cos +=+==⎰在点()2,1,0处的切线方程为 3．函数41

)(-=x x f 的麦克劳林级数的第5项为544

x -，收敛域为)4,4(-.

14.．已知函数

(,)23a b f x y x y x y =+--（其中,a b 是大于1的实数）,有一

个极值点(1,1)， 则3,

2==b a ， 此时函数(,)f x y 的极大值为 3.

15.试写出求解下列条件极值问题的拉格朗日函数：分解已知正数a 为三个正数

z y x ,,之和，使z y x ,,的倒数之和最小()()a z y x z

y x z y x L -+++++=

λ1

11,, 16函数()x x x f -=1ln )(的麦克劳林级数的收敛域为[)1,1-∈x ，=)0()

5(f

-30

二、单项选择题：请将正确结果的字母写在括号内。

1．二元函数),(y x f z =在点),(00y x 处两个偏导数),(00y x f x

'， ),(00y x f y

'存在是),(y x f 在该点连续的 【 D 】 （A ）充分条件 （B ）必要条件

（C ）充分必要条件 （D ）既非充分也非必要条件

2．函数),(y x f z =在点),(00y x 处两个偏导数),(00y x f x

'，),(00y x f y '存在是),(y x f 在该点可微分的 【 B 】

（A ）充分条件 （B ）必要条件

（C ）充分必要条件 （D ）既非充分也非必要条件

3．设),(y x z z =是由方程0),(=--bz y az x F 所确定的隐函数，其中),(v u F 是可微函数，b a ,为常数，则必有 【 A 】

（A ）1=∂∂+∂∂y

z b x

z a （B ）1=∂∂-∂∂y z a x z b （C ）1=∂∂-∂∂y

z b x z a （D ）1=∂∂+∂∂y

z a x z b

4．微分方程222x d y dy

y e dx dx

-+=特解*y 的形式为 【 C 】

（A ）x Ae （B ）x Axe （C ）2x Ax e （D ）2()x Ax B x e + 5．若级数∑∞

=1n n a 收敛，则下列结论正确的是 【 B 】

（A ）∑

∞=1

2n n a 收敛 （B ）∑∞

=++1

1)(n n n a a 收敛

（C ）∑∞

=-1

)1(n n n

a 收敛 （D ）∑∞

=1

n n a 收敛

6．下列级数中条件收敛的是 【 B 】

（A ）1(1)1n

n n n ∞

=-+∑ （B ）∑∞=+-11)1(n n

n n （C ）21(1)n n n ∞=-∑ （D ）∑∞

=+-1

2

1

)1(n n

n n 7．曲面632222=++z y x 在点)1,1,1(-处的切平面方程为 【 C 】 （A ）632=-+z y x （B ）634=-+z y x (C) 632=-+z y x (D) 63=-+z y x 8． 原点)0,0(是函数

2(,)f x y xy y =-的 【 C 】

（A ）极小值点 （B ）极大值点 （C ）驻点却不是极值点 （D ）非驻点

9．下列方程中是一阶线性微分方程是 【 D 】 （A ）2)(()0y dx x d x y y ++-= （B ）(ln ln )dy y x dx =- （C ）25yy y x '-= （D ）25xy y x '-= 10．设p

为常数，则级数

1

n n ∞

=【 B 】

（A ）绝对收敛 （B ）条件收敛 （C ）发散 （D ）收敛性与p 有关

11.设dy e y x dx e x y x

y x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+12是函数),(y x u 的全微分，则其中一个),(y x u 为