振动和波典型例题

【例1】如图所示，在质量为M的无下底的木箱顶部用一轻弹簧悬挂质量均为m（M≥m）的D、B两物体．箱子放在水平地面上，平衡后剪断D、B间的连线，此后D将做简谐运动．当D运动到最高点时，木箱对地压力为（）

A、Mg； B．（M－m）g； C、（M＋m）g ； D、（M＋2m）g

【解析】当剪断D、B间的连线后，物体D与弹簧一起可当作弹簧振

子，它们将作简谐运动，其平衡位置就是当弹力与D的重力相平衡时的

位置．初始运动时D的速度为零，故剪断D、B连线瞬间D相对以后的平

衡位置的距离就是它的振幅，弹簧在没有剪断D、B连线时的伸长量为x1＝2 mg／k，在振动过程中的平衡位置时的伸长量为x2＝mg／k，故振子振动过程中的振幅为 A＝x2－x1= mg ／k

D物在运动过程中，能上升到的最大高度是离其平衡位移为A的高度，因为D振动过程中的平衡位置在弹簧自由长度以下mg／k处，刚好弹簧的自由长度处就是物D运动的最高点，说明了当D运动到最高点时，D对弹簧无作用力，故木箱对地的压力为木箱的重力Mg．出当振子速度为零时的位置，这两个位置间的距离就是振幅．本题侧重在弹簧振子运动的对称性．解答本题还能够通过求D物运动过程中的最大加速度，它在最高点具有向下的最大加速度，说明了这个系统有部分失重，从而确定木箱对地面的压力

【例2】在光滑的水平面上停放着一辆质量为M的小车，质量为m的物体与劲度系数为k的一轻弹簧固定相连．弹簧的另一端与小车左端固定连接，将弹簧压缩x0后用细绳将m 栓住，m静止在小车上的A点，如图所示，m与M 间的动摩擦因数为μ，O 点为弹簧原长位置，将细绳烧断后，m、M开始运动．求：①当m位于O点左侧还是右侧且跟O点多远时，小车的速度最大？并简要说明速度为最大的理由．②判断m与M的最

终运动状态是静止、匀速运动还是相对往复的运动？

【解析】①在细线烧断时，小球受水平向左的弹力F与水平向右的摩擦力f作用，开始时F必大于f．m相对小车右移过程中，弹簧弹力减小，而小车所受摩擦力却不变，故小车做加速度减小的加速运动．当F=f时车速达到最大值，此时m必在O点左侧。设此时物体在O点左侧x处，

则kx=μmg。所以，当x＝μmg／k时，小车达最大速度．

②小车向左运动达最大速度的时刻，物体向右运动也达最大速度，这时物体还会继续向右运动，但它的运动速度将减小，即小车和物体都在做振动．因为摩擦力的存有，小车和物体的振动幅度必定持续减小，设两物体最终有一共同速度v，因两物体组成的系统动量守恒，且初始状态的总动量为零，故v=0，即m与M的最终运动状态是静止的

【例3】如图所示，在光滑导轨上有一个滚轮A ，质量为2m ，轴上系一根长为L 的线，下端悬挂一个摆球B ，质量为m ，设B 摆小球作小幅度振动，求振动周期。

【分析】将2m 的A 球和m 的B 球组成系统为研究对象，系统的重心O 点可视为单摆的悬点，利用水平方向动量守恒可求出等效摆长。

【解析】A 和B 两物体组成的系统因为内力的作用，在水平方向上动量守恒，所以A 和B 速度之比跟质量成反比，即v A /v B =m B /m A =1/2．所以A 和B 运动过程中平均速度A v /B v =1/2，亦即位移 S A /S B ＝1/2。，

因为ΔOAA /

∽ΔOBB /

，则OB/OA ＝2/1。

对B 球来说，其摆长应为2/3 L ，所以B 球的周期T ＝2g L 3/2 。

【例4】一弹簧振子沿x 轴振动，振幅为4 cm. 振子的平衡位置位于x 袖上的0点.图甲中的a ,b,c,d 为四个不同的振动状态：黑点表示振子的位置，黑点上箭头表示运动的方向．图乙给出的①②③④四条振动图线， 可用于表示振子的振动图象是（ AD ）

A.若规定状态a 时t ＝0，则图象为①

B.若规定状态b 时t ＝0，则图象为②

C.若规定状态c 时t ＝0，则图象为③

D.若规定状态d 时t ＝0，则图象为④

解析：若t ＝0，质点处于a 状态，则此时x ＝＋3 cm 运动方向为正方向，只有图①对；若t ＝0时质点处于b 状态，此时x ＝＋2 cm ，运动方向为负方向，②图不对；若取处于C 状态时t=0，此时x=－2 cm ，运动方向为负方向，故图③不准确；取状态d 为t=0时,图④刚好符合，故A,D 准确．

点评： 对振动图象的理解和掌握要密切联系实际，既能根据实际振动画出振动图象；又能根据振动图象还原成一个具体的振动，达到此种境界，就可熟练地用图象分析解决振动

【例5】如图所示，a 、b 是一列横波上的两个质点，它们在X 轴上的距离s=30m ，波沿x 轴正方向传播，当a 振动到最高点时b 恰好经过平衡位置，经过3s ，波传播了30m ，并且a 经过平衡位置，b 恰好到达最高点，那么．

A ．这列波的速度一定是10 m ／s

B ．这列波的周期可能是0．8s

C ．这列波的周期可能是3s

D ．这列波的波长可能是 24 m

解析：因波向外传播是匀速推动的，故v ＝ΔS ／Δt=10m/s ，设这列波的振动周期为T ，由题意知经3s ，a 质点由波峰回到平衡位置，可得T/4十nT/2＝3（n=1，2……）

另由v=λ/T 得波长λ=12120

+n ，（n ＝0，1，2……）

在n ＝2时，对应的波长λ＝24 m ；在n ＝7时，T ＝0．8s ．故选项A 、B 、D 准确．答案：ABD

【例6】一列简谐横波在传播方向上相距为3米的两个质点P 和Q 的振动图象分别用图中的实线和虚线表示，若P 点离振源较Q 点近，则该波的波长值可能为多少？若Q 点离振源较P 点近，则该波的波长值又可能为多少？

分析：由图可知，T= 4s ，P 近，波由P 向Q 传，P 先振动，Q 后振 动，∆t=Kt+3T/4，所以，S PQ =k λ+3λ/4，则

3

k 412

3k 434+=+⨯=

λ k=0，1，2

若Q 近，波由Q 向P 传，Q 先振动，P 后振动，∆t=Kt+T/4，所以，S PQ =k λ+λ/4，则

1

k 412

1k 434+=+⨯=

λ k=0，1，2

【例7】 有两列简谐横波a 、b 在同一媒质中沿x 轴正方向传播，波速均为v ＝2.5m/s 。在t ＝0时，两列波的波峰正好在x ＝2.5m 处重合，如图所示。

（1）求两列波的周期T a 和T b 。

（2）求t ＝0时，两列波的波峰重合处的所有位置。

（3）辨析题：分析并判断在t ＝0时是否存有两列波的波谷重合处。

某同学分析如下：既然两列波的波峰存有重合处，那么波谷与波谷重合处也一定存有。只要找到这两列波半波长的最小公倍数，……，即可得到波谷与波谷重合处的所有位置。