实数的完备性、列紧性与紧性

n
有界， bn 单调递减且下有界。所以 an 和 bn 收敛。设 lim an a, lim bn b 。
n n
a b lim an lim bn lim an bn 0 。 所 以 an 和 bn 收 敛 于 同 一 数 ， 设
1 。 k
对此处选区方法做一个详细解释。 设集合 A k a | a A, a c2 k 3 。 由于 A 没 有最大值，Ak 非空且 A k A 。显然 Ak 上有界且其上界集也是 X。那么存在
c2 k 1 A k A , d k X ,使得 dk c2 k 1
sup an a 。
下面证明 an 收敛于 a 。
a 不是 an 的上界。 对任意正数 ， 所以存在正整数 N， 使得 a aN a 。
对 n>N, a aN an a ,由极限定义知 an 收敛于 a 。 4.区间套定理(柯西-康托尔): R 中长度趋于 0 的区间套有且只有一个公共点。 证明:用单调收敛定理证明。 设 I n an , bn ， an an1 bn 1 bn , lim an bn 0 。易知 an 单调递增且上
构造区间套 I n an , bn ，其中 a1 xN1 1 2, b1 xN1 1 2 ；对于正整数 k>1，
ak max xNk 1 2k , xNk1 1 2k 1 , bk min xNk 1 2k , xNk1 1 2k 1 。
易知 an an 1 bn 1 bn 。又易知 bn an 1 2n1 ， lim bn an 0 。所以由区间
1 。这里由于 c2 k 1 A k ， c2 k 1 c2 k 3 ；由 k
于 A k A ， c2 k 1 A 。 若 d k c2 k 2 ， 令 c2 k d k ； 否 则 令 c2 k c2 k 2 。 这 样
c2 k 1 c k d 2 , 3c k 2 c k 2 ,c 2k 2 c k 2 1k c
a A、x X 。假设存在实数 ＞0 ，使得 x－a＞ 对于 a A, x X 成立。那么
a a ，则 a 不是 A 的上界， a A 。假设对正整数 k, 有 2 2 2 2
ak

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那么同理 a k a k 1 A 。 由归纳原理， 对任意自然 A ， 2 2 2 2

的实数都不包含在
k 1
I k 中。所以 c 是区间套的唯一公共点。
（或:用聚点定理证明。区间套的端点集合是有界的，用聚点定理可知其聚 点存在。 证明区间的每个大于等于某个左端点的数或每个小于等于某个右端点的
数不是聚点都不是聚点，那么聚点只能是在所有区间内部的点。 ） （或:用列紧定理证明。 用区间左右端点分别构造一个序列。 它们是有界的， 存在收敛的子序列， 根据这两个序列的单调性得出原序列也是收敛的，它们收敛 于同一个数，这个数就是区间套的公共点。 ） 描述实数列紧性的定理: 1.列紧定理(波尔查诺-魏尔斯特拉斯): R 的无穷有界子集是列紧的。 证明:用区间套定理证明。 取一个 R 的无穷有界集合 S，在构造包含于它的序列 xn ,设 xn 的象集为
I1 a1 , b1 。对正整数 k>1,若 I k ak , bk 已定义且包含无穷多集合 X 的点，那么
ak bk ak bk ak , 2 和 2 , bk 至少有一个包含了无穷多集合 X 的点。那么可以定义
a b I k 1 ak 1 , bk 1 如 下 ： 若 ak , k k 包 含 了 无 穷 多 集 合 X 的 点 ， 那 么 令 2
数 n 有 a n A 。那么由阿基米德原理知 A 无上界，与 A 上有界的条件矛盾。 2 因此对于任意正数 δ，存在 a A、x X ，使得 x－a 。 构造柯西序列 cn 。取 c1 A,c2 X 且满足 c2 c2 1 。对正整数 k>1 ，取

c2 k 1 A,c2 k X 且满足 c2 k 1 c2 k 3 , c2 k c2 k 2 , c2 k c2 k 1
X S。
(1)X 是有限集。 假设 X 中的每个元素都只有有限个下标与之对应，那么由于 X 的元素个数 有限，下标个数就也是有限的。但是下标数是自然数的个数，应该是无限的，矛 盾。 所以必存在 X 的某个元素 c 对应于无穷多个下标。把这些下标取出便得到了 一个值为 x 的常序列，显然它是收敛于 c 的。 (2)X 是无限集。 集合 X 是有界的，设 X 包含在区间[a,b]中。构造区间套 I n an , bn 。设
n
知 an 由 cn 的奇数下标项组成， an A 对所有正整数 n 成立； xn 由 cn 的偶 数下标项组成， xn X 对所有正整数 n 成立。故 lim an lim xn lim cn c 。
n n n
下面证明 c 是 A 的上确界。 易知 an xn 且 an 严格单调递增，故 an lim xn c lim an xn 。设存在
a b a b I k 1 ak , k k ；否则 I k 1 k k , bk 。这样 I k 1 也包含了无穷多集合 X 的 2 2
点。由归纳原理知区间套 I n an , bn 是可定义的，且每个区间中都包含了无穷多 集合 X 的点。 区间套的长度为 ln bn an
n




套定理知，该区间套有且仅有一个公共点，设为 lim bn lim an c 。
n n
下面证明序列 xn 收敛于 c。 易知对于任意正数 ，存在正整数 K，使得 I K c , c 。由上述区间套 的定义知,对于任意 n N K , xn I K 。 又 I K c , c ， 故 xn c , c 。 所 以 xn 收敛于 c。 2.确界原理: R 的有界子集存在确界。 证明:用柯西原理证明。 仅需证明有上界的集合存在上确界，下确界存在性的证明是类似的。 设集合 A 上有界，集合为 A 上界集为 X。 （1）若 A 有最大值，则最大值即为上确界。 （2）若 A 无最大值。 首先，证明集合 A 中的元素和集合 X 元素的差可以任意小。反证法：设
n n
a A 和非负数 ,使得 a c 。存在正整数 N,使得 c xN c a ，由于 xN
是 A 的一个上界且 A 无最大值， xN a 不可能成立。所以， c 是 A 的上界。对 于任意正数 ，存在存在正整数 N，使得 c aN c ，所以任意小于 c 的实数不 是 A 的上界。综上， c 是集合 A 的上确界。 3.单调收敛定理: R 中的单调有界序列必收敛。 证明:用确界原理证明。 仅对单调递增的序列证明，单调递减序列的证明是类似的。 设 an 是单调递增的序列且上有界。由确界原理知 an 由上确界，设
k
2
1 1。 k
那 么 对 于 任 意 正 数 ， 取 N 2[1 ] 1 , 那 么 对 m, n N ，
cm cn cN 1 cN
1 1
1
。所以 cn 是柯西序列。根据柯西原理， cn 收
敛，设 lim cn c 。构造 cn 的子序列 an 和 xn ，定义为 an c2 n 1 ， xn c2 n 。易
ba ba ，易知 lim ln lim bn a n lim n =0。 n n n n 2 2

那么由区间套定理知，存在实数 c ，满足
k 1
I k c 。
下面构造一个 X 中的序列 cn ，该序列收敛于 c 。
cn 定 义 如 下 ： 对 每 个
I n an , bn ， 任 取 cn I n X 。 因 为 c I n ，
cn c bn an 。因为 lim bn an 0 ，所以对于任意正数 ，存在正整数 N，使
n
得 n>N 时， cn c bn an 。那么根据极限的定义， cn 收敛于 c 。 （或:用致密性定理:元素个数无限时，选出元素互不相同的序列，再选出收 敛子列，显然该子列就是集合的收敛的序列） （或:用聚点定理证明。元素个数无限时，用聚点定理得到聚点的存在性， 再构造一个收敛于聚点的序列） （或:用单调收敛定理证明。 选出单调子列， 马里兰大学 Fitzpatrick 所 著《高等微积分》的证法） 2.聚点定理(波尔查诺-魏尔斯特拉斯): R 的有界无限子集存在聚点(极限点)。 证明:用列紧定理证明。 从集合中选出一个元素互不相同的序列(因为是无限集，所以可以做到)，由 列紧定理得到一个收敛的子序列，显然此序列的极限是集合的聚点。 （或：用有限覆盖定理证明。假设不存在聚点，那么每个点都是孤立点，那 么集合是闭集， 有限覆盖定理成立。每个孤立点都存在一个不包含任何其他点的 邻域，这些邻域的集合是一个开覆盖，而这个开覆盖显然不存在有限覆盖，因为 点和邻域是一对一的。那么这与有限覆盖定理矛盾，所以聚点必然存在。 ） 3.致密性定理(波尔查诺-魏尔斯特拉斯): R 的有界序列存在收敛的子序列。 证明：用聚点定理。 设 xn 是 R 的有界序列。设 xn 的象集是 X。 (1) X 是有限集。 显然此时存在一个数 a 对应了无穷个下标， 取出这些下标便得到一个收敛到 a 的常序列。 (2) X 是无限集。 因为 xn 是 R 的有界序列，集 X 显然是有界的。所以由聚点定理知，集 X 存 在聚点，设集 X 的一个聚点为 x 。根据聚点的定义，存在正整数 N1 ，使得
xn xN 1 1 2 ， 即 xn xN 1 1 2, xN 1 1 2 ； 对于正整数 k>1， 存在正整数 N k N k 1 ，
k k k 使得当 n N k 时， xn xNk 1 2 ，即 xn xNk 1 2 , xNk 1 2 。
n n n
a b c。

下面证明 c 是所有区间的唯一公共点，即
k 1
I k c 。
k 1
由单调收敛定理知 sup an c inf bn ，所以 an c bn ，即 c
I k 。对于
任意正实数 ，存在正整数 N,使得 c aN c bN c ，所以任意不等于 c
完备性： R 中的柯西序列收敛。 列紧性： 对于集合 S R ， 若 S 内的任意序列有收敛的子序列， 则称 S 有列紧 性或称 S 是列紧的。 紧性： 对于集合 S R ， 若 S 的任意开覆盖可选出有限覆盖， 则称 S 有紧性或 称 S 是紧的。
描述实数完备性的定理: 1.柯西原理(波尔查诺-柯西)： R 中的柯西序列收敛。 证明：用区间套定理证明。 设 xn 为 R 中 的 柯 西 序 列 。 那 么 存 在 正 整 数 N1 ， 使 得 当 n N1 时 ，