1.1一轮复习课件(集合的概念及其运算)

(5)元素与集合的关系 ①元素与集合的关系是“属于”与“不属于”的关系，某个对 象 x 要么在集合 A 中，要么不在集合 A 中．如果 x 在 A 中，记为： x∈ A，读作“ x 属于 A”；如果 x 不在 A 中，记为：“ x∉ A”，读作 “ x 不属于 A”． 如： 3∈ {3,5,8}，而 2∉ {3,5,8}． ②元素与集合之间是个体与整体的关系． ③“∈”与“∉”不能随便用来表示集合与集合之间的关系， 除 非某个集合是另一个集合中的“元素”！ 如： {1}∈ {1,3,5}， {2}∉ {1,3,5}， 这样的写法是错误的， 而 {1}∈ {{1}， {3}，{1,3}}这种写法是正确的，因为在这里集合 {1}是集合 {{1}，{3}， {1,3}}中的元素了．
N
N＋ (N*)
Z Q
R
4．常用的集合表示方法有： ________、 ________和 ________．
答案
列举法
描述法
图示法
5．子集的定义为 ___________________________.
答案 一般地，如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中 的元素，那么集合 A 叫做集合 B 的子集，记作 A⊆B(或 B⊇A)．
②补集 (ⅰ )定义：一般地，设 S 是一个集合， A 是 S 的一个子集 (即 A ⊆ S)，由 S 中所有不属于 A 的元素组成的集合，叫做 S 的子集 A 的 补集 (或余集 )，记为∁ SA，即∁ SA＝ {x|x∈ S，且 x∉ A}． 用 Venn 图表示，图中阴影部分为∁ SA.
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(ⅱ )根据定义及上图可以得出： ∁ S(∁ SA)＝ A，∁S∅ ＝ S，∁ SS＝∅ .
3． 集合的运算 (1)交集 ①定义： 由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素所组成的集合， 叫做集合 A 与集合 B 的交集，记作 A∩ B，即 A∩B＝ {x|x∈ A 且 x∈ B}． 用 Venn 图表示：图中阴影部分为 A∩ B.
②根据定义，用 Venn 图不难验证下述交集的性质．
fx， y＝ 0 还有方程组 的解集是 g x， y＝ 0 fx， y＝ 0 x， y | ，这个集合中元素的形式是有序数对 (x， g x， y＝ 0
y)，其几何意义就是两曲线 f(x， y)＝ 0 与 g(x， y)＝ 0 的交点． x＋ y＝2 如方程组 的解集应写成 3 x － y ＝ 6
(4)集合中元素的个数 ① card(A)＋ card(∁ UA)＝ card(U) ② card(A∪ B)＝ card( A)＋ card(B)－ card( A∩ B)(容斥原理 ) ③ card(A∩ B)＝ card( A)－ card(A∩ ∁ UB) ＝ card(B)－ card(B∩ ∁ UA)
各种表示法是可以相互转化的． 如： {x||x|≤ 3，x∈ Z}＝ {0， ± 1， ± 2， ± 3}．
2． 集合之间的关系 (1)子集、真子集 ①定义：如果对于集合 A 中的任何一个元素 x，都有 x∈ B，则 称集合 A 为集合 B 的子集，记作 A⊆ B 或 B⊇ A. 特别地，如果 A 是 B 的子集，且在集合 B 中至少有一个元素 x∉ A，则称 A 是 B 的真子集，记作 A B，或 B A. 如 Q R， N Z. ②作为定义的特殊情况有： (ⅰ)空集是任何非空集合的真子集， 即∅ A，是任何集合的子集，即∅⊆ A；(ⅱ )任何集合 A 都是它本身 的子集，即 A⊆ A. ③注意： (ⅰ )在子集的定义中， 不能理解为子集 A 是 B 中的“部 分元素”所组成的集合． (ⅱ )子集与真子集的区别就在于“ A⊆ B”允许 A＝ B 或 A B， 而“ A B”是不允许“ A＝ B”的，所以若“ A⊆ B”则“ A B”不 一定成立．
2x－ y＝ 1 与直线 4x－ 2y＝ 3 平行，没有公共点，因此由这两条直线 的公共点组成的集合是一个空集． 注意集合 {∅ }、空集∅、数字 0 和 {0}的区别与联系： ∅⊆ {∅ }，∅∈ {∅ },0∈ {0}，∅ ≠0，∅≠ {0}．
(3)基本数集专用符号 常用的基本数集有正整数集 N*、自然数集 N、整数集 Z、有理 数 集 Q、 实数 集 R 和 复数 集 C， 它 们之 间满 足 的关 系是 N* N Z Q R C.要认识清楚这些集合的意义．
④若集合 A 的元素有 n 个， 则集合 A 的子集有 2n 个， 其证明方 法需要用到排列组合知识． 如集合 A＝ {0,1,2}的子集有 23＝ 8 个，它们分别是： {0}， {1}， {2}， {0,1}， {0,2}， {1,2}， {0,1,2}， ∅ ，其中真子集有 23－1＝ 7 个， 即集合 {0,1,2}除外，其余的 7 个都为真子集．
(6)集合的表示法 集合的表示法有列举法，描述法，图示法 (Venn 图法 )． ①列举法：将集合中的所有元素一一列举出来，写在大括号内， 这种表示法叫做列举法． 列举法适用于元素为有限个的集合或自然数集或其子集． 如： Z＝ {0， ± 1， ± 2， ± 3，„ }， N＋＝ {1,2,3，„ }．
(2)并集 ①定义： 由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合， 叫做集合 A 与集合 B 的并集，记为 A∪ B，即 A∪B＝ {x|x∈ A 或 x∈ B}． ②根据定义，用 Venn 图可以验证并集的性质．
(3)全集与补集 ①全集 (ⅰ )定义： 如果一个集合含有我们所要研究的各个集合的全部元 素，这个集合就可以看做是一个全集，常用 U、 I 或 S 来表示． (ⅱ )注意： 全集具有相对性， 如研究有理数或无理数时常取实数 集为全集．
答案
(1)B∩A (2)A
(3)∅
(4)A∩B⊆A，A∩B⊆B (5)A⊆B
9．并集的定义的文字语言表述为 ___________________. 符号语言表示为 A∪ B＝________.
答案 一般地，由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组 成的集合，称为集合 A 与 B 的并集 {x|x∈A，或 x∈B}
(4)集合中元素的性质 集合的元素具有确定性、互异性、无序性． ①确定性：对于集合 A 和某一对象 x，有一个明确的判断标准， 要么 x∈ A，要么 x∉ A，二者必居其一． 如：“所有的高个子”、“学习成绩好的人”．这类对象没有 明确的标准，因此不能构成集合． ②互异性：集合中的相同元素只能算作一个，即集合中没有重 复的元素． 如： {x|x2－ 2x＋ 1＝ 0}＝ {1}，而不能写成 {1,1}． ③无序性：集合中的元素是无序的． 如： {1,2}与 {2,1}是同一个集合． 两个集合相等：当且仅当它们的元素完全相同时，这两个集合 才相等．
教 材 面 面 观 1．集合中元素的特征具有________、________和 ________．
答案
确定性
互异性
无序性
2．空集是________，记为 ________．
答案
不含有任何元素的集合 ∅
3．数学中自然数集、正整数集、整数集、有理数集、实数集， 它们的记法分别为________．
答案
③注意： (ⅰ )根据定义可知 A∩ B 是由集合 A 与集合 B 的公共 元素所组成的集合， 如果 A 与 B 没有公共元素， 则 A∩ B＝∅ .这一条 可以看成是对定义的补充，所以又有了 A∩∅ ＝∅； (ⅱ )如果集合 B 不确定而已知 A∩ B＝∅ ， 则应分两种情况考虑， 一种是 B≠∅的情形，另一种是 B＝∅的情形，在实际解题过程中有 不少同学常常忽略这种情形．
x＝ 2 x， y | y＝ 0
或 {(2,0)}，而不能写成 {2,0}，前者是单元集，即 ， 亦即两直线只有唯一的公共点 P(2,0)， 而
x ＝ 2 方程组只有唯一解 y＝ 0
{2,0}是一个二元集．
③图示法：有时为了直观起见，用“框”或“圆”表示集合及 其相互关系，这种表示法叫做 Venn 图法．如图所示．
答案
(1)∅
(2)U
(3)A
(4)U
(5)∅
考 点 串 串 讲 1． 集合的概念与表示 (1)集合与元素 一般地， 某些指定的对象集在一起， 就称为一个集合， 也简称集． 或 者说，符合某种条件 (或具有某种性质 )的全体就构成了一个集合． 通常用大写字母 A，B，C，„表示集合，集合中的每个对象叫做 这个集合的元素，通常用小写字母 a， b， c，„表示．
答案
(1)B∪A (2)A
(3)A
(4)A⊆A∪B；B⊆A∪B
(5)B⊆A
11．补集与全集的性质分别为 (1)∁ UU＝________； (2)∁U∅ ＝________； (3)∁ U(∁ UA)＝ ________； (4)A∪∁ UA＝ ________； (5)A∩∁ UA＝ ________.
(2)集合的分类
②空集：不含任何元素的集合叫做空集，通常用符号∅表示．
2x－ y＝ 1 如 ： x， y | 4x－2y＝ 3 2x－ y＝ 1 4x－2y＝ 3 是空集，一方面它说明了方程组
无解，另一方面从解析几何的角度分析，说明了直线
10．并集的五条运算性质分别为： (1)A∪ B＝ ________(交换律 )； (2)A∪ A＝ ________； (3)A∪ ∅ ＝ ________； (4)A∪ B 与 A 的关系为 ________； A∪ B 与 B 的关系为 ________； (5)A∪ B＝ A 成立的等价条件为________．
典 例 对 对 碰 题型一集合的表示方法 例 1 用列举法表示下列集合： 6 (1){x| ∈ Z， x∈ Z}； 2－ x a (2){x|x＝ ， a∈ Z， |a|＜ 2， b∈ N*且 b≤ 3}； b (3){(x， y)|y＝ 2x， x∈ N 且 1≤ x＜ 4}．
答案 一般地，由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组 成的集合，称为 A 与 B 的交集 {x|x∈A，且 x∈ B}
8．交集的五条运算性质分别为： (1)A∩ B＝ ________(交换律 )； (2)A∩ A＝ ________； (3)A∩ ∅ ＝ ________； (4)A∩ B 与 A 的关系为 ________； A∩ B 与 B 的关系为 ________； (5)A∩ B＝ A 成立的等价条件为________．
6．集合 A 与集合 B 相等的定义为 ___________________．
答案 一般地，如果集合 A 的每一个元素都是集合 B 的元 素，反过来，集合 B 的每一个元素也都是集合 A 的元素，那么 我们就说集合 A 等于集合 B，记作 A＝B.
7．交集的定义的文字语言表述为 ___________________. 符合语言表示为 A∩ B＝_______________________.
(2)两个集合的相等关系 ——集合的相等 ①定义：对于两个集合 A、B，如果 A⊆ B，同时 B⊆A，那么 A ＝ B. ②注意：(ⅰ )从两个集合相等的定义，可以看出，若两个集合相 等，则两个集合的元素完全相同，反之也成立； (ⅱ )教材中用彼此互相包含来定义相等． 实际上也给出了两个集 合相等的证明方法．
②描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方 法叫做描述法． 如：不等式 |x|≤ 1 的解集可以用描述法表示为： {x||x|≤ 1}． 大括号中“ |”的前面是集合的代表元素，后面是元素所满足的 条件，即集合中所有元素共同具有的本质特性，有时“ |”用“：” 代替，如 {a＋ 2b：a∈ Q， b∈ Q}． 对于描述法需注意看清代表元素： 如集合 {x|y＝ x－ 1}，表示函数 y＝ x－ 1的定义域，而集合 {y|y ＝ x－ 1}则表示函数 y＝ x－ 1的值域．