高等数学(下册)第10章第8讲重积分的应用

z(x2 y2 z2 )dV
z
(x2 y2 z2 )dV
2
d
2 sind
2R cos r 4dr 2
2
sin
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1
(2R
cos
)5d
0
0
0
0
5
2 64 R5
2
cos5
sind
2
16
R5
50
15
14
二、重积分在物理中的应用
已知球体x2 y2 z2 2Rz，在任意点(x, y, z)的密度等于该点到原点 的距离的平方，求其重心.
高等数学（下册）
第十章 重积分及其应用
第八讲 重积分的应用
1
本讲内容
01 重积分在几何中的应用 02 重积分在物理中的应用
2
一、重积分在几何中的应用 面积 设D为坐标平面上的有界闭区域，则D的面积
d. D
3
一、重积分在几何中的应用
例 1 求由r a, a 2a cos 确定的平面图形的面积.
解
由
r r
a 2a
cos
得
cos
1 ，解得交点：(a, 2
3
), (a,
),
3
d 2 3 d 0
2a cos
rdr
a
3 0
r
|2 2a a
cos
d
D
a2
3 0
4cos2 1 d a2
3 2
3
例10.31 4
一、重积分在几何中的应用
空间曲面的面积
(1) 设曲面 : z z(x, y)，则曲面的面积为
Dxz
5
一、重积分在几何中的应用 例 2 计算球面x2 y2 z2 a2被平面z h(0 h a)截出的顶部的面积.
例10.32
解 的方程z a2 x2 y2 ,
z
在xOy面上的投影区域为Dxy是圆形闭区域 : x2 y2 a2 h2.
a
dS
1
zx2
z
2 y
dxdy
a
dxdy
由轮换对称性知 Ix I y Iz，三式相加得
Ix I y Iz 2 (x2 y2 z2 )dV
2
Ix Iy Iz 3
(x2 y2 z2 )dV
z(x2 y2 z2 )dV
z
(x2 y2 z2 )dV
由对称性得 x 0, y 0,
13
二、重积分在物理中的应用
已知球体x2 y2 z2 2Rz，在任意点(x, y, z)的密度等于该点到原点 的距离的平方，求其重心.
接
分母
上
(x2 y2 z2)dV r2 r2 sindrdd
的距离的平方，求其重心.
例10.36
解 球面x2 y2 z2 2Rz，球心为(0, 0, R)，密度函数为 (x, y, z) x2 y2 z2
设的重心位置为(x, y, z，)
x(x2 y2 z2 )dV
y(x2 y2 z2 )dV
x
, y
,
(x2 y2 z2 )dV
0
D
8 R (R2 x2 )dx 16 R3.
0
3
y
y
y R2 x2
z R2 x2
y R2 x2
D
O
x
O
x
x
8
一、重积分在几何中的应用
例4
求曲面z x2 y2 1上点M 0 (1, 1,3)处的切平面与曲面z x2 y2
所围空间区域的体积V .
同步习题10.5，提高1
解 记曲面：z x2 y2 1，曲面S : z x2 y2
a2 x2 y2
S dS
a
dxdy
ar drd
Dxy a2 x2 y2
Dxy a2 r 2
a x
h O
Dxy
2
a2 r2
a d
r
2
a2 r2
dr a d
1 d(a2 r2 )
0
0
a2 r2
0
0
2 a2 r2
2 a(
a2
r2
)
| a2
0
r2
2
a(a
h).
Σ ay
先求曲面在点M0 (1, 1,3)处的切平面方程
在点M0 (1, 1,3)处的法向量n 2, 2, 1，切平面方程为2x 2 y z 1 0.
则切平面与曲面S的交线
z
x2
y2
,
z 2x 2y 1
交线在xOy面上的投影D：x2 y2 2x 2 y 1,即 x 12 y 12 1.
6
一、重积分在几何中的应用 体积 设为空间有界闭区域，则的体积为
V dV.
7
一、重积分在几何中的应用 例 3 求由圆柱面x2 y2 R2和x2 z2 R2所围成的立体的体积.
例10.33
解
V 8 dV 8
R2 x2 dxdy 8 R
R2 x2 dx
R2 x2
dy
0
S dS
1
zx2
z
2 y
dxdy.
Dxy
(2) 若 : x x( y, z)，则 f (x, y, z)dS f [x( y, z), y, z] 1 xy2 xz2 dydz.
Dyz
(3) 若 : y y(x, z)，则 f (x, y, z)dS f [x, y(x, z), z] 1 yx2 yz2 dxdz.
d
1r 2rdr π
u2 v2 1
0
0
2
10
本讲内容
01 重积分在几何中的应用 02 重积分在物理中的应用
11
二、重积分在物理中的应用
重积分在物理中的应用包括： 质量、重心、转动惯量、引力
12
二、重积分在物理中的应用
例5
已知球体x2 y2 z2 2Rz，在任意点(x, y, z)的密度等于该点到原点
9
一、重积分在几何中的应用
求曲面z x2 y2 1上点M 0 (1, 1,3)处的切平面与曲面z x2 y2 所围空间区域的体积V .
接 上
V 2x 2y 1 x2 y2 dxdy
D
1
x
12
y
12
dxdy
D
令
u v
x y
1 1
π
u2 v2
dudv π
2π
1
(2R cos)6d
2
64
R6
2
cos7
sin d
2
4
R6
0
6
30
3
因此球体的重心位置为(0,0, 5R ).
4
15
二、重积分在物理中的应用 例 6 求密度为1的均匀球体：x2 y2 z2 R2对各坐标轴的转动惯量.
例10.38
解 Ix ( y2 z2)dV , I y (x2 z2)dV , Iz (x2 y2)dV
接 分子
上
z(x2 y2 z2)dV r cos r2 r2 sindrdd
z(x2 y2 z2 )dV
z
(x2 y2 z2 )dV
2
d
2 cos sind
2R cos r5dr 2
2 cos sind
2R cos r5dr
0
0
0
0
0
2
2
cos
sin