2014年浙江大学研究生入学考试高等代数试题

2014年浙江大学研究生入学考试高等代数试题

1. 00n n E A E ⎛⎫=

⎪⎝⎭，{}2()n L B M R AB BA =∈=。证明L 为2()n M R 的子空间并计算其维数。 2. 00n n

E A E ⎛⎫= ⎪⎝⎭，请问A 是否可对角化并给出理由。若A 可对角化为C ，给出可逆矩阵P ，使得1P AP C -=.

3.方阵A 的特征多项式为32()(2)(3)f λλλ=-+，请给出A 所有可能的Jordan 标准型。

4. 1η，2η，3η为0AX =的基础解系，A 为3行5列实矩阵。求证：存在5R 的一组基，

其包含123ηηη++，123ηηη-+，12324ηηη++。

5．X ，Y 分别为m n ⨯和n m ⨯矩阵，n YX E =，m A E XY =+，证明A 相似于对角矩阵。

6. A 为n 阶线性空间V 的线性变换，1λ，2λ，…，m λ为A 的不同特征值，i V λ为其特征子空间。证明：对任意V 的子空间W ，有1()()m W W V W V λλ=⋂⊕⋅⋅⋅⊕⋂.

7.矩阵A ，B 均为m n ⨯矩阵，0AX =与0BX =同解，求证A 、B 等价。若A 、B 等价，是否有0AX =与0BX =同解？证明或举反例否定。

8.证明：A 正定的充分必要条件是存在方阵i B （1,2,,i n =⋅⋅⋅），i B 中至少有一个非退化，使得1n T i

i i A B B ==∑。

9.定义ψ为[0,1]到n 阶方阵全体组成的欧式空间的连续映射，使得(0)ψ为第一类正交矩阵，(1)ψ为第二类正交矩阵。证明：存在0(0,1)T ∈，使得0()T ψ退化。

10.设g ，h 为复数域C 上n 维线性空间V 的线性变换，gh hg =。求证g ，h 有公共的特征向量。若不是在复数域C 上而是在实数域R 上，则结论是否成立？若成立，给出理由；不成立举出反例。