西南大学网络教育《数学分析选讲》 第二次 作业

《数学分析选讲》 第二次作业
一、判断下列命题的正误
1. 若函数在某点无定义，则函数在该点的极限一定不存在. 错误
2. 若)(x f 在[,]a b 上连续，则)(x f 在[,]a b 上一定有最大值．正确
3. 若)(x f 在(,)a b 上连续，则)(x f 在(,)a b 上一定有最小值．正确
4. 若()f x 在[,]a b 上连续，且()()0f a f b <,则在(,)a b 内至少存在一点ξ,使
()0f ξ=．错误
5. 初等函数在其定义区间上连续. 正确
6．闭区间[,]a b 的全体聚点的集合是[,]a b 本身. 正确
7. 任一实系数奇次方程至少有一个实根.错误
二、选择题
1．下面哪些叙述与数列极限A a n n =∞
→lim 的定义等价（ A ） A )1,0(∈∀ε，0>∃N ，N n ≥∀，ε≤-||A a n ；
B 对无穷多个0>ε，0>∃N ，N n >∀，ε<-||A a n ；
C 0>∀ε，0>∃N ，有无穷多个N n >，ε<-||A a n ；
D 0>∀ε，有}{n a 的无穷多项落在区间),(εε+-A A 之内
2．任意给定0>M ，总存在0>X ，当x X >时，M x f -<)(，则（ A ）
A lim ()x f x →+∞=-∞；
B -∞=∞→)(lim x f x ；
C ∞=-∞→)(lim x f x ；
D ∞=+∞
→)(lim x f x 3．设a 为定数.若对任给的正数ε，总存在0>X ，当>x X 时，()f x a ε-<，则（ D ）.
A lim ()→-∞=x f x a ；
B lim ()→+∞=x f x a ；
C lim ()x f x a →∞=；
D lim ()x f x →∞
=∞ 4．极限=-→x
x x 10)21(lim （ BC ） A 2e ； B 2e - ； C 1e - ； D 1
5．21sin(1)lim 1
x x x →-=-（ C ） A 1 ； B 2 ； C
21 ； D 0
6．设sin ()x f x x
=，则0=x 是f 的（ C ）． A 连续点 ； B 可去间断点 ； C 跳跃间断点 ； D 第二类间断点
7．设 =)(x f 1(13), 0 , 0
x x x k x ⎧⎪-≠⎨⎪=⎩ 在0=x 处连续， 则=k （ D ）
A 1 ；
B 0 ；
C e ；
D 3`1e
8．方程410x x --=至少有一个根的区间是（ D ） A 1(0,)2； B 1(,1)2
； C (2,3) ； D (1,2) 三、计算题
1．求极限 n n n 3
13131212
121lim 22++++++∞→ 解：、2311311312121
121lim 3
131********lim 22=--⋅--⋅=++++++∞→∞→n n n n n n 2．求极限 )
111)(110()110()13()12()1(lim 2
222--++++++++∞→x x x x x x x 解： 2222(1)(21)(31)(101)lim (101)(111)x x x x x x x →∞++++++++-- 22221111(1)(2)(3)(10)lim 11(10)(11)x x x x x x x
→∞++++++++=-- =11101021222⋅+++ =11106211110⋅⋅⋅⋅=27 3． 求极限 1lim()2
x x x x →∞+- 四、证明题
设)(x f 在[,]a b 上连续，且(),()<>f a a f b b ，试证：在(,)a b 内至少有一点
ξ，使得ξξ=)(f .
证： 令()()()F x f x g x =-，则()F x 在[,]a b 上连续，又 ()()()0F a f a g a =->
()()()0F b f b g b =-<
利用零点存在定理，存在一点(,)a b ξ∈，使得 ()0F ξ=，即()()0f g ξξ-=。