高考立体几何压轴题精选

A

B

C

D

E F

1．甲烷分子由一个碳原子和四个氢原子组成,其空间构型为一正四面体,碳原子位于该正四 面体的中心,四个氢原子分别位于该正四面体的四个顶点上.若将碳原子和氢原子均视为一 个点(体积忽略不计),且已知碳原子与每个氢原子间的距离都为a ,则以四个氢原子为顶点 的这个正四面体的体积为( ) A,

3827a

3 C,313a D,38

9

a 2．夹在两个平行平面之间的球,圆柱,圆锥在这两个平面上的射影都是圆,则它们的体积之

比为( )

A,3:2:1 B,2:3:1 C,3:6:2 D,6:8:3

3．设二面角a αβ--的大小是0

60,P 是二面角内的一点,P 点到,αβ的距离分别为1cm, 2cm,则点P 到棱a 的距离是( )

A,

3

B,3cm C,2

3

cm

D,3cm 4．如图,E,F 分别是正三棱锥A -BCD 的棱AB,BC

的中点,且DE ⊥EF.若BC=a ,则此正三棱锥的体积是( )

A,324

a

B,3

24a

C,

312a

D,3

12

a 5．棱长为的正八面体的外接球的体积是( ) A,

6

π

B,27

C,3

D,3 6．若线段AB 的两端点到平面α的距离都等于2,则线段AB 所在的直线和平面α

的位置关系是 .

7．若异面直线,a b 所原角为0

60,AB 是公垂线,E,F 分别是异面直线,a b 上到A,B 距离为 2和平共处的两点,当3EF =时,线段AB 的长为 .

8．如图(1),在直四棱柱1111A B C D ABCD -中,当底面四边形ABCD 满足条件 时,有1A C ⊥1B 1D (注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形)

C

D

F A

B

O

C

D E

O

A

A B C D P Q

9．如图(2),是一个正方体的展开图,在原正方体中,有下列命题: ①AB 与EF 所连直线平行; ②AB 与CD 所在直线异面; ③MN 与BF 所在直线成0

60; ④MN 与CD 所在直线互相垂直.

其中正确命题的序号为 .(将所有正确的都写出)

10．如图,在ABC ∆中,AB=AC=13,BC=10,DE//BC 分别交AB,AC 于D,E.将ADE ∆沿 DE 折起来使得A 到1A ,且1A DE B --为0

60的二面角,求1A 到直线BC 的最小距离.

11．如图,已知矩形ABCD 中,AB=1,BC=a (0)a >,PA ⊥平面ABCD,且PA=1.

(1)问BC 边上是否存在点Q 使得PQ ⊥QD?并说明理由;

(2)若边上有且只有一个点Q,使得PQ ⊥QD,求这时二面角Q PD A --的正切.

12. 已知三角形ABC 的顶点分别是A (1, 2, 3)、B (3, 4, 5)、C (2, 4, 7), 求三角形ABC 的面积.

A B

C

D

A B

C D

图(1)

A B

E

N

M 图(2)

D

O

C

A

P

x

z

13.在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，122AB BB ==，

P 为B 1C 1的中点．

（1）求直线AC 与平面ABP 所成的角；

（2）求异面直线AC 与B P 所成的角； （3）求点B 到平面APC 的距离．

14.如图,正四棱锥P-ABCD 中，侧棱P A 与底面ABCD 所成的角的正切值为2

6

。

（1）求侧面P AD 与底面ABCD 所成二面角的大小 ；

（2）若E 是PB 中点，求异面直线PD 与AE 所成的角的正切值 ；

（3）在侧面P AD 上寻找一点F 使EF ⊥侧面PBC

15：在正方体的8个顶点、12条棱的中点、6个面的中心及正方体的中心共计27个点中，问

共线的三点组的个数是多少

16.如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝12

PA ， 点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，OP ⊥底面ABC ． (Ⅰ)求证OD ∥平面PAB ； (Ⅱ) 求直线OD 与平面PBC 所成角的正弦．

P

P E

D

C

B A

17. 如图1，已知ABCD 是上．下底边长分别为2和6，高为3的等腰梯形，将它沿对称轴OO 1折成直二面角，如图2 （Ⅰ）证明：AC ⊥BO 1；

（Ⅱ）求二面角O －AC －O 1的余弦．

18.已知圆柱的底面半径为3，高为4，A 、B 两点分别在两底面圆周上，并且AB=5，求异面直线AB 与轴OO /之间的距离。

19.简单选填题

1、已知βα,是平面，m ，n 是直线，给出下列命题：

①若βαβα⊥⊂⊥，则m m ,；

②若βαββαα//,////,,则，n m n m ⊂⊂；

③如果ααα与是异面直线，那么、n n m n m ,,⊄⊂相交；

图1

④若.////,//,βαβαβαn n n n m n m 且，则，且⊄⊄=⋂ 其中正确命题的个数是（ ） A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

2、已知三条不重合的直线m 、n 、l 两个不重合的平面βα,，有下列命题

①若αα//,,//m n n m 则⊂； ②若βαβα//,//,则且m l m l ⊥⊥； ③若βαββαα//,//,//,,则n m n m ⊂⊂； ④若αββαβα⊥⊥⊂=⊥n m n n m 则,,,, ；

其中正确的命题个数是

（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

3、α、β为两个互相垂直的平面，a 、b 为一对异面直线，下列条件：①a //α、b β⊂；②a ⊥α、b β//；③a ⊥α、b β⊥；④a //α、b β//且a 与α的距离等于b 与β的距离.其中是a ⊥b 的充分条件的有 （ ）

A ．①④

B ．①

C ．③

D ．②③

4、已知三条不重合的直线m 、n 、l ，两个不重合的平面βα,，有下列命题 ①若αα//,,//m n n m 则⊂； ②若βαβα//,//,则且m l m l ⊥⊥；

③若βαββαα//,//,//,,则n m n m ⊂⊂； ④若αββαβα⊥⊥⊂=⊥n m n n m 则,,,, ； 其中正确的命题个数是

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

5、若l 、m 、n 是互不相同的空间直线，,αβ是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是

A ．若α∥β，,l a n β⊂⊂，则l ∥n

B ．若α⊥β，l a ⊂，则l ⊥β

C ．若l ⊥n ，m ⊥n ，则l ∥m

D ．若l ⊥α， l ∥β，则α⊥β

6、若二面角l αβ--为 ，直线m α⊥，直线n β⊂，则直线m 与n 所成的角取值范围是

A ．

B ．

C ．

D ．

7、已知直线l 与平面α成0

45角，直线m α⊂，若直线l 在α内的射影与直线m 也成45°角，则l 与m 所成的角是

A ．30°

B ．45°

C ．60°

D ．90°

8、设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中E ，F 分别是棱A 1A ，B 1B 中点，G 为BC 上一点，若C 1F ⊥EG ，则FG

D 1∠为（ ）

A ．60°

B ．90°

C ．120°

D ．150°

9、已知三棱锥BCD A -中，0

60,,1,90=∠⊥===∠ADB BCD AB CD BC BCD 面，点E 、F 分别在AC 、AD 上，使面CD EF ACD BEF //,且面⊥，则平面BEF 与平面BCD 所成的二面角的正弦值为 （ ）

A B C D 10、从P 点出发三条射线PA ，PB ，PC 两两成60°，且分别与球O 相切于A ，B ，C 三点，若球667

7

42

31[,]

62

ππ[,]32

ππ[,]63

ππ

(0,)2π56

π