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高考立体几何压轴题精选

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高考的立体几何压轴题精选

高考的立体几何压轴题精选

ABCDE F1．甲烷分子由一个碳原子和四个氢原子组成,其空间构型为一正四面体,碳原子位于该正四 面体的中心,四个氢原子分别位于该正四面体的四个顶点上.若将碳原子和氢原子均视为一 个点(体积忽略不计),且已知碳原子与每个氢原子间的距离都为a ,则以四个氢原子为顶点 的这个正四面体的体积为( ) A,3827a3C,313a D,389a 2．夹在两个平行平面之间的球,圆柱,圆锥在这两个平面上的射影都是圆,则它们的体积之 比为( )A,3:2:1 B,2:3:1 C,3:6:2 D,6:8:33．设二面角a αβ--的大小是060,P 是二面角内的一点,P 点到,αβ的距离分别为1cm, 2cm,则点P 到棱a 的距离是( )A,3B,3cm C,23cmD,34．如图,E,F 分别是正三棱锥A -BCD 的棱AB,BC的中点,且DE ⊥EF.若BC=a ,则此正三棱锥的体积是( )A,324aB,324C,312a35．棱长为的正八面体的外接球的体积是( ) A,6πB,27C,3D,36．若线段AB 的两端点到平面α的距离都等于2,则线段AB 所在的直线和平面α 的位置关系是 .7．若异面直线,a b 所原角为060,AB 是公垂线,E,F 分别是异面直线,a b 上到A,B 距离为 2和平共处的两点,当3EF =时,线段AB 的长为 .8．如图(1),在直四棱柱1111A BC D ABCD -中,当底面四边形ABCD 满足条件时,有1A C⊥1B 1D (注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形)CDF ABOCD EOAA B C D P Q9．如图(2),是一个正方体的展开图,在原正方体中,有下列命题: ①AB 与EF 所连直线平行; ②AB 与CD 所在直线异面; ③MN 与BF 所在直线成060; ④MN 与CD 所在直线互相垂直.其中正确命题的序号为 .(将所有正确的都写出)10．如图,在ABC ∆中,AB=AC=13,BC=10,DE//BC 分别交AB,AC 于D,E.将ADE ∆沿 DE 折起来使得A 到1A ,且1A DE B --为060的二面角,求1A 到直线BC 的最小距离.11．如图,已知矩形ABCD 中,AB=1,BC=a (0)a >,PA ⊥平面ABCD,且PA=1.(1)问BC 边上是否存在点Q 使得PQ ⊥QD?并说明理由;(2)若边上有且只有一个点Q,使得PQ ⊥QD,求这时二面角Q PD A --的正切.12. 已知三角形ABC 的顶点分别是A (1, 2, 3)、B (3, 4, 5)、C (2, 4, 7), 求三角形ABC 的面积.A BCDA BC D图(1)A BENM 图(2)13.在正四棱柱1111ABCD A BC D -中，122AB BB==， P 为B 1C 1的中点．（1）求直线AC 与平面ABP 所成的角；（2）求异面直线AC 与B P 所成的角； （3）求点B 到平面APC 的距离．14.如图,正四棱锥P-ABCD 中，侧棱PA 与底面ABCD 所成的角的正切值为26。

高考数学高考数学压轴题立体几何多选题分类精编及答案

高考数学高考数学压轴题立体几何多选题分类精编及答案

高考数学高考数学压轴题立体几何多选题分类精编及答案一、立体几何多选题1. 如图，在直三棱柱ABC-A}B}C}中，AC = BC = AA i=2, ZACB = 90°, D, E, F分别为AC, AB的中点.则下列结论正确的是（）B. B、CJ /平而DEFD.点d到平面DFF的距离为比C. EF与4G所成的角为90。

2【答案】BCD【分析】利用异而直线的位這关系，线而平行的判泄方法，利用空间直角坐标系异而直线所成角和点到面的距离，对各个选项逐一判断.【详解】对选项A,由图知4C|U平而ACC.A. , EFD平面ACQA^E,且E AC r由异面直线的建义可知AC】与EF异面，故A错误: 对于选项B,在直三棱柱ABC — AQG中，BG HBC.•.•D，F分别是AC, AB的中点，• •FDIIBC, ：・B\C\ IIFD.又••• BQ] (Z 平面DEF, DF u 平而DEF, ・・BG //平而DEF.故B正确:对于选项C,由题意，建立如图所示的空间直角坐标系,则C(0,0, 0), A(2,0t 0), 5(0,2, 0),人(2,0, 2),坊(0,2, 2), C 】(0,0, 2),D(l,o, 0), E(2,0, 1), F(1,1, 0)..\EF = (-1,1, T), AC ；=(—2,0, 2).•.•EFAC ； = 2+0—2 = 0, :.EF 丄 AC ；, 丄 A©.•.•EF 与AC ；所成的角为90。

，故c 正确：对于选项D,设向量匝= (x,y, Z)是平而DEF 的一个法向疑.・••万E = (ho ・ 1) , DF = (0,l, 0),取 X = 1 ♦则 z=—1 ‘ ・••帀=(h 0, —1),设点耳到平而DEF 的距离为d ・二点d 到平而DEF 的距离为空，故D 正确.2故选：BCD【点睛】本题主要考查异而直线的位置关系，线而平行的判定，异而直线所成角以及点到而的距 离，还考查思维能力及综合分析能力，属难题.2. 已知球O 为正方体ABCD-AgD 、的内切球，平而A {C }B 截球O 的而积为24兀, 下列命题中正确的有（）A. 异而直线AC 与所成的角为60。

第5讲 立体几何选择压轴题(解析版)

第5讲 立体几何选择压轴题(解析版)

第5讲 立体几何选择压轴题一、单选题1．（浙江超级全能生3月联考）如图，已知在中，为线段上一点，沿将翻转至，若点在平面内的射影恰好落在线段上，则二面角的正切的最大值为（ ）AB ．1C D【答案】C【分析】过作交BC 于E ，连接EH ，结合已知条件有二面角的平面角为，而，设且，则，即可求，，应用函数与方程思想，构造且在上有解求参数m 的范围，即可得二面角正切的最大值．【解析】过作交BC 于E ，连接EH ，∵在平面内的射影恰好落在线段上，即面，∴且，，即面，面，则，ABC 90,1,2,BAC AB BC D ∠=︒==BC AD ABD △AB D 'B 'ADC H AC B DC A '--B 'B E BC '⊥B DC A '--B EH '∠tan B H B EH m EH ''∠==AH x =01x <<HC x =B H '2HC EH =()g x 01x <<B DC A '--B 'B E BC '⊥B 'ADC H AC B H '⊥ABC B H BC '⊥B E BC '⊥B E B H B '''=BC ⊥B HE 'EH ⊂B HE 'BC EH ⊥∴二面角的平面角为，在中，，若令，则，又， ∴，且， 故，则，即方程在上有解时，m 的最大值即为所求，而开口向上且，即，对称轴． ∴当时，，显然成立； 当时，当对称轴在上，恒成立；当对称轴在上，，即； ∴综上，有，即，故二面角． 故选C ． 【点睛】关键点点睛：利用三垂线定理找到二面角的平面角，进而根据线段关系、勾股定理求，，由，结合函数与方程的思想求参数m 范围，进而确定最大值． 2．（浙江宁波模拟）设三棱锥的底面是正三角形，侧棱长均相等，是棱上的点（不含端点），记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为，二面角的平面角为，则A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各B DC A '--B EH '∠Rt B HE 'tan B H B EH EH ''∠=AH x =HC x =1AB AB '==B H '=22HC x EH ==01x <<tan B EH m '∠==2222()(4)340g x m x x m =+-+-=01x <<()g x 21680m ∆=-≥202m <≤21x m=+22m =(0,1)3x =202m <<1(0,)22(1)(40f m =->1[,232(0)340f m =->243m >2423m <≤[(33m ∈-⋃B DC A '--B H 'EH tan B H B EH m EH''∠==V ABC -P VA PB AC αPB ABC βP AC B --γ,βγαγ<<,βαβγ<<,βαγα<<,αβγβ<<种角的计算．解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小．而充分利用图形特征，则可事倍功半．【解析】方法1：如图为中点，在底面的投影为，则在底面投影在线段上，过作垂直，易得，过作交于，过作，交于，则，则，即，，即，综上所述，答案为B ．方法2：由最小角定理，记的平面角为（显然）由最大角定理，故选B ．方法3：（特殊位置）取为正四面体，为中点，易得，故选B ． 【点睛】常规解法下易出现的错误有，不能正确作图得出各种角．未能想到利用“特殊位置法”，寻求简便解法．3．（湖南长沙市·长沙一中高三月考）在三棱锥中，，二面角的余弦值为，当三棱锥的体积的最大值为时，其外接球的表面积为 A ．B ．C ．D ．【答案】B G AC V ABC O P D AO D DE AE //PE VG P //PF AC VG F D //DH AC BG H ,,BPF PBD PED α=∠β=∠γ=∠cos cos PF EG DH BD PB PB PB PBα===<=βαβ>tan tan PD PD ED BDγ=>=βy >ββα<V AB C --γ'γ'=γβ<γ'=γV ABC -PVA cos sin sin α=⇒α=β=γ=A BCD -60BAC BDC ∠=∠=︒A BC D --13-A BCD-45π6π7π8π【分析】根据两个射影，结合球的图形，可知二面角的平面角为；根据题意可知当，时，三棱锥的体积最大．根据体积的最大值可求得BC 的长，结合图形即可求得球的半径，进而求得表面积．【解析】如图，设球心在平面内的射影为，在平面内的射影为，则二面角的平面角为，点在截面圆上运动，点在截面圆上运动，由图知，当，时，三棱锥的体积最大，此时与是等边三角形， 设，则，，， ，解得， ，，设，则，解得∴，球的半径，所求外接球的表面积为，故选B ．【点睛】本题考查了三棱锥外接球的综合应用，根据空间几何关系求得球的半径，进而求得表面积，对空间想象能力要求较高，属于难题．4．（天一大联考（理））在棱长为的正四面体中，点为所在平面内一动点，且满足，则的最大值为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B A BC D --AMD ∠AB AC =BD CD =A BCD -O ABC 1O BCD 2O A BC D--AMD ∠A 1O D 2OAB AC =BD CD =A BCD -ABC ∆BDC ∆BC a =AM DM ==2BCD S ∆=sin()h AM AMD π=-∠=313124A BCD DBC V S h a -∆=⋅==a =32DM =21DO =212O M =2AMD θ∠=21cos 22cos 13θθ=-=-tan θ=22tan 2OO O M θ==O R ==246S R ππ==2ABCD P ABC 433PA PB +=PD 3332【分析】由题意可知，点在所在平面内的轨迹为椭圆，且该椭圆的焦点为、，长轴长为，然后以线段的中点为坐标原点，直线所在直线为轴，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，求出椭圆的方程，利用二次函数的基本性质可求得的最大值．【解析】如图所示，在平面内，，所以点在平面内的轨迹为椭圆，取的中点为点，连接，以直线为轴，直线为建立如下图所示的空间直角坐标系，则椭圆的半焦距，长半轴， 所以，椭圆方程为． 点在底面的投影设为点，则点为的中心，， 故点正好为椭圆短轴的一个端点，，则， 因为，故只需计算的最大值．设，则，则，当时，取最大值，即，因此可得，P ABC A B 3AB O AB x CO yPDABC 432PA PB +=>P ABC AB O CO AB x OC y O xyz -1c=a =3b ==()2233104x y z +==D E EABC11333OE OC ===E 23CE OC ==DE ==222PD DE EP =+EP(),,0P xy 0,3E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭22222241543333EP x y y y y y y ⎛=+-=-++=--+ ⎝⎭,933y ⎡=-∈-⎢⎣⎦2EP 22max 516393939EP ⎛⎛=-⨯--⨯-+= ⎝⎭⎝⎭2241640999PD ≤+=故的最大值为．故选B ． 【点睛】关键点点睛：本题考查线段长度最值的求解，根据椭圆的定义得知点的轨迹是椭圆，并结合二次函数的基本性质求解的最大值是解题的关键，在求解时也要注意椭圆有界性的应用．5．（四川成都市·高三二模（理））已知四面体，，分别为棱，的中点，为棱上异于，的动点．有下列结论：①线段的长度为1；②若点为线段上的动点，则无论点与如何运动，直线与直线都是异面直线；③的余弦值的取值范围为； ④．其中正确结论的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3 D．4 【答案】B【分析】将正四面体放在正方体中观察，对于①，可根据分别为正方体前后两个面的中心可得出结论； 对于②，取为的中点，取为的中点，此时与相交；对于③，计算可得由逼近思想可作出判断；对于④，空间问题平面化的技巧，将三角形与放在同一平面上，可计算出． 【解析】PD 3P EP ABCD M N AD BC F AB A B MN G MN F G FG CD MFN ∠⎡⎢⎣⎭FMN 1,M N F AB G MN FG CD cos MBN ∠=>ABC ABD 2NFFM在棱长为四面体，显然，分别为正方体前后两个面的中心，故线段的长度为正方体棱长，故 ①对； 对于②：如图，取为的中点，取为的中点，取为的中点，则由正方体的性质易知，该三点在一条直线上，故此时与相交于，故②错；对于③，，，又有，1ABCD ,MN MN 1F ABG MN I CD FG CD I 22BC BN ==BM ===1MN =故，故点无限接近点时，会无限接近，故的余弦值的取值范围不为，③错误； 对于④，如图将等边三角形与铺平，放在同一平面上，故有，当且仅当为中点时取最小值，故在正方体中，故，故④对，故选B ．【点睛】把空间中的最短路线问题利用展开图转化为平面上两点间距离最短的问题，从而使问题得到解决，这是求空间中最短路线的一种常用方法6．（内蒙古呼和浩特市·高三一模（理））四面体的四个顶点都在球O 上且，O 的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】作出图形，根据题中的数据证明平面平面，并找出球心的位置，列出等式求出外接球的半径，结合球的表面积公式可得出结果．【解析】131cos MBN +-∠==>F B cos MFN ∠3MFN ∠⎡⎢⎣⎭ABC ABD ''''2N FFM M N F AB 2NFFM FMN 1ABCD 4AB AC BC BD CD =====AD =70π380π330π40πABC ⊥BCD取的中点，连接，设和的外心分别为，分别过点作平面和平面的垂线交于点，则点为外接球球心．由题意可知，和都是边长为4的等边三角形．为的中点，，且，平面，平面，平面平面， 易得，， 平面，平面∥AM ，同理可得∥DM ，则四边形为菱形， ，菱形为正方形，平面，平面，所以外接圆半径为， 因此，四面体的外接球的表面积为，故选B 【点睛】这个题目考查了外接球表面积的计算，找出球心位置，并计算外接球的半径是解答的关键，考查推理能力与计算能力．7．（山东日照市·高三一模）已知直三棱柱的侧棱长为，，．过、的中点、作平面与平面垂直，则所得截面周长为（ ）A ．BC ．D ．【答案】C【分析】确定平面与各棱的交点位置，计算出截面各边边长，由此可得出所得截面周长．【解析】BC M AM DM 、ABC BCD△F E 、FE 、ABC BCD O O ABC BCD △M BC AM BC ∴⊥AM DM ==222,M A AD A DM D =+=∴AM DM ∴⊥,D C M B M ⋂=AM ∴⊥BCD AM ⊂ABC ∴ABC ⊥BCD 13ME MF AM ===23BE DM ==AM ⊥BCDO E ⊥BCD OE ∴OF OEMF AM DM ⊥OEMF OE ⊥BCD BE ⊂BCD OE BE ∴⊥OB ==ABCD 2804OB 3ππ⨯=111ABC A B C -2AB BC ⊥2AB BC ==AB 1BB E F α11AAC C +α如下图所示，取的中点，连接，取的，连接，取的中点，连接、，，为的中点，则，平面，平面，，，平面，、分别为、的中点，则且，平面， 平面，所以，平面平面，所以，平面即为平面，设平面交于点，在直棱柱中，且，所以，四边形为平行四边形，且， 、分别为、的中点，且， 所以，四边形为平行四边形，且， 且，且，所以，四边形为平行四边形， ，平面，平面，平面， 设平面平面，平面，所以，，，，所以，四边形为平行四边形，可得， 所以，为的中点， AC J BJ AJ D DE 11A C K KJ 1BK AB BC =J AC BJ AC ⊥1AA ⊥ABC BJ ⊂ABC 1BJ AA ∴⊥1AC AA A ⋂=BJ ∴⊥11AAC C D E AJ AB //DE BJ 12DE BJ =DE ∴⊥11AAC C DE ⊂DEF DEF ⊥11AAC C αDEF α11B C I 111ABC A B C -11//AA CC 11AA CC =11AAC C 11//AC AC ∴11AC A C =J K AC 11A C 1//AJ A K ∴1AJ A K =1AA KJ 1//KJ AA ∴1KJ AA =11//BB AA 11BB AA =1//KJ BB ∴1KJ BB =1BB KJ //DE BJ DE ⊄1BB KJ BJ ⊂1BB KJ //DE ∴1BB KJ α1BB KJ FG =DE ⊂α//DE FG //FG BJ ∴//BF GJ BFGJ 11122GJ BF BB KJ ===G KJ延长交于点，，所以，，，又，所以，，，为的中点， 因为平面平面，平面平面，平面平面，，，，，，为的中点， ，，则， 为的中点，，同理， 因为直棱柱的棱长为，为的中点，， 由勾股定理可得，且，平面，平面，平面，，、分别为、的中点，则，， 由勾股定理可得，同理因此，截面的周长为． 故选C ．【点睛】思路点睛：本题考查直棱柱截面多边形周长的计算，在画几何体的截面，关键是画截面与几何体各面的交线，此交线只需两个公共点即可确定，作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件，可以更快地确定交线的位置．8．（山东滨州市·高三一模）如图，斜线段与平面所成的角为，为斜足．平面上的动点满足，则点的轨迹为（ ） DG 11A C H //DJ KH DJG HKG ∠=∠JDG KHG ∠=∠JG KG =DJG HKG ≅△△11122HK DJ AJ KC ∴===H ∴1KC //ABC 111A B C αABC DE =α111A B C IH =//DE IH ∴//DE BJ 1//BJ B K //DE IH 1//IH B K ∴I ∴11B C AB BC ⊥2AB BC ==AC ==J AC 12BJ AC ∴==12DE BJ ==IH =111ABC A B C -2F 1BB 1112BF BB ∴==EF ==IF =1//KJ BB 12KJ BB ==1BB ⊥ABC KJ ∴⊥ABC AC ⊂ABC KJ AC ∴⊥G D KJ AJ 112GJ KJ ==122DJ AJ ==DG ==GH =222DE IH EF IF DH ++++=++=AB απ4B αP π6PAB ∠=PA ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分【答案】B 【分析】首先建立空间直角坐标系，设，则点的轨迹是椭圆． 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，设所以点的轨迹是椭圆． 故选B ．【点晴】方法点睛：本题考查空间向量、轨迹及其方程，涉及方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查空间想象能力逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型．9．（山东淄博市·高三一模）四棱锥中，侧面为等边三角形，底面为矩形，，(0,1,0),(0,0,1),(,,0)(0,1,1),(,,1)B A P x y AB AP x y ⇒=-=-22cos ,62(2)112AB AP x y ⇒<>=⇒+-=P (0,1,0),(0,0,1),(,,0)(0,1,1),(,,1)B A P x y AB AP x y ⇒=-=-22cos ,62(2)11AB AP x y ⇒<>=⇒+-=P S ABCD -SBC ABCD 2BC =，点是棱的中点，顶点在底面的射影为，则下列结论正确的是（ ）A ．棱上存在点使得面B ．当落在上时，的取值范围是C ．当落在上时，四棱锥的体积最大值是2D ．存在的值使得点到面【答案】A 【分析】对于A：取BC 的中点E ，连结DE ，取SC 中点P ，连结PE 、PD ．利用面PDE ∥面BFS ，可以证明面； 对于B ：利用S 与H 重合，图形不能构成四棱锥，判断B 错误；对于C ：求出体积的最大值为1．故C 错误；对于D ：先判断当的最大时，点B 到面的距离d 最大；然后求出，判断D 错误． 【解析】对于A ：取BC 的中点E ，连结DE ，取SC 中点P ，连结PE 、PD ． ∵PE 为△BCS 的中位线，∴ PE ∥BS又面BFS ，面BFS ，∴PE ∥面BFS ；在矩形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，∴DE ∥BF ， 又面BFS ，面BFS ，∴DE 面BFS ； 又，∴面PDE ∥面BFS ，∴面．故A 正确；对于B ：∵为等边三角形，，∴AB a F AD S ABCD H SC P //PD BSF H AD a (H AD S ABCD -a B SFC //PD BSF a =S ABCD V -S ABCD V -SFC 3d <BS ⊆PE ⊄BF ⊆DE ⊄DEPE E =//PD BSF SBC 2BC =SE =当S 与H 重合，图形不能构成四棱锥，与已知条件相悖，故B 错误；对于C ：在Rt △SHE 中，当且仅当时，的最大值为1．故C 错误； 对于D ：由选项C 的推导可知：当的最大时，点B 到面的距离d 最大．此时 ∴ ∴．故D 错误． 故选A 【点睛】(1)证明线面平行，用线面平行的判定定理，在面内找一条直线与已知直线平行； (2)等体积法是求三棱锥高的常用方法．10．（湖北武汉市·高三月考）已知三棱锥的各个顶点都在球的表面上，底面，，，，是线段上一点，且．过点作球的截面，若所得截面圆面积的最大值与最小值之差为，则球的表面积为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B 【分析】将三棱锥补成长方体，设，计算出球的半径为，计算出截面圆半径的最大值和最小值，根据已知条件可求得的值，可求得球的半径，进而可求得球的表面积． 【解析】平面，，将三棱锥补成长方体，如下图所示：a =SH =1213S ABCD V a-=⨯=≤232a =S ABCD V -S ABCD V -SFC 1122S BFC S ABCD V V --==SFCF ===1122224SFC S SF CF =⨯=⨯=△1325V d S ===<P ABC -O PA ⊥ABC AB AC ⊥6AB =8AC =D AB 2AD DB =D O 25πO 128π132π144π156πP ABC -PQMN ABEC -2PA x =O R =x O O PA ⊥ABC AB AC ⊥P ABC -PQMN ABEC -设，连接、、，可知点为的中点，因为四边形为矩形，，则为的中点，所以，且，设，且，，所以，球的半径为， 在中，，，，， 在中，，， 由余弦定理可得平面，平面，平面，则，，， 设过点的球的截面圆的半径为，设球心到截面圆的距离为，设与截面圆所在平面所成的角为，则．当时，即截面圆过球心时，取最小值，此时取最大值，即；当时，即与截面圆所在平面垂直时，取最大值，即，此时，取最小值，即．由题意可得，，解得所以，，AE BC F=OF DF OD O PE ABEC AE BC F =F AE //OF PA 12OF PA =2PA x =10AE ==PE ∴==O 12R PE ==Rt ABE △2ABE π∠=6AB =10AE =3cos 5AB BAE AE ∠==ADF 243AD AB ==5AF =DF ==PA ⊥ABCD OF ∴⊥ABCD DF ⊂ABCD OF DF ⊥12OF PA x ==OD ∴==D O r O d OD θsin d OD θ==0θ=O d r max r R ==2πθ=OD d max d OD ==r min r ==()()()222max min 1725r r x πππ⎡⎤-=+=⎣⎦0xx =R =因此，球的表面积为． 故选B ． 【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可．11．（安徽蚌埠市·高三二模（理））已知直四棱柱，其底面是平行四边形，外接球体积为，若，则其外接球被平面截得图形面积的最小值为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A 【分析】由条件可得为矩形，进而可得平面，所以，则四边形为正方形，所以直四棱柱为正四棱柱，设，由余弦定理可得的值，求出的值，由正弦定理可得的外接圆的半径为，由均值不等式可得的最小值，从而得出答案． 【解析】由直四棱柱内接于球，则四点在球面上， 所以四边形为球的一截面圆的内接四边形，所以对角互补． 又四边形是平行四边形，所以为矩形．在直四棱柱中，平面，所以 又，，所以平面，所以所以四边形为正方形，所以直四棱柱为正四棱柱．O 24132S R ππ==1111ABCD A B C D -ABCD 36π1AC BD ⊥11AB D 8π24310π8110π6πABCD BD ⊥1ACC BD AC ⊥ABCD 1111ABCD A B C D -1,AB AD a CC b ===11cos AD B ∠11sin AD B ∠11ABD 2r =r1111ABCD A B C D -,,,A B C D ABCD ABCD ABCD 1111ABCD A B C D -1CC ⊥ABCD 1CC BD ⊥1AC BD ⊥111AC CC C =BD ⊥1ACC BD AC ⊥ABCD 1111ABCD A B C D -由外接球体积为，则球的半径为，由为该外接球的直径，则设，则，则在中，由余弦定理可得所以设的外接圆的半径为，由正弦定理可得所以，即时取得等号，即的最小值为其外接球被平面截得图形面积的最小值为：故选A【点睛】关键点睛：本题考查几何体的外接球的截面面积问题，解答本题的关键是先由线面垂直关系得出直四棱柱为正四棱柱，然后由余弦定理和正弦定理得出的外接圆的半径，由均值不等式求出最小值，属于难题．34363Rππ=3R=1AC16AC=1,ABAD a CC b===2221236AC a b=+=22362b a=-11AB D11AB AD====11B D=2222111111111cos2AD B D ABAD BAD B D+-∠===⋅11sin AD B∠===11AB D r2111362sinaABrAD B-===∠22r⎫===≥==a=r11AB D28S rππ==1111ABCD A B C D-11AB D2r=12．（浙江省宁海中学高三月考）如图，在中，，，点E 为线段AB 上一点，将绕DE 翻折．若在翻折过程中存在某个位置，使得，记为的最小值，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【分析】易知，A 在以AD 为母线的圆锥上的一部分（弧AF ），与所成的最大角为，只需． 【解析】如图，与所成的最大角为，只需即可． 即， 即，即．故选C ． 【点睛】本题考查几何中的翻折问题，考查学生的空间想象能力、转化与化归能力，是一道难题．ABC ∆36A ∠=AD DB BC ==ADE ∆AE CD ⊥θADE∠(15,20]θ∈(20,25]θ∈(25,30]θ∈(30,35]θ∈AE CD FGA ∠90FGA ∠≥AE CD FGA ∠90FGA ∠≥90(54)(90)AFG FAG ADE ADE ≥∠+∠=-∠+-∠27ADE ∠≥27(25,30]θ=∈13．（天津河西区·高三一模）将长、宽分别为和的长方形沿对角线折成直二面角，得到四面体，则四面体的外接球的表面积为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A 【分析】取的中点，说明为四面体的外接球的球心，求出球的半径，利用球体的表面积公式可求得结果． 【解析】取的中点，连接、，如下图所示：由题意，因为，为的中点，所以，， 所以，为四面体的外接球的球心，且球的半径为，因此，四面体的外接球的表面积为． 故选A ． 【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可．43ABCD AC A BCD -A BCD -25π50π5π10πAC O O A BCD -O AC OBOD 5AC ==90ABC ADC ∠=∠=O AC 1522OB OD AC OA OC =====O A BCD -O 52R =A BCD -2425R ππ=14．（江西八校4月联考（理））已知三棱锥的外接球的表面积为，，，，，则三棱锥的体积为（ ）A ．8 BC ．D ．16【答案】A 【分析】求出球的半径得是球直径，中点是球心，取中点，则平面，求得后可得到底面的距离，从而可求得棱锥的高．【解析】设球半径为，则，，而，所以是球的直径，球心是中点，，所以中点是直角外心，所以平面，又平面，所以，，，， 是中点，所以． 故选A ．【点睛】关键点点睛：本题考查求棱锥体积，关键是求得棱锥的高，由于已知外接球的表面积，求得 半径后确定就是球的直径，从而利用球的截面圆性质，易得平面的垂线，再由体积公式计算．15．（山西临汾市·高三一模（理））在棱长为2的正方体中，平面，则以平面P ABC-64π2AB=AC =AB AC ⊥8PA =P ABC -3PA PA O BC E OE ⊥ABC OE P R 2464R ππ=4R =8PA =PA O PA AB AC ⊥BC E ABCOE ⊥ABC AE ⊂ABC OE AE ⊥4BC ==122AE BC ==OE ===O AP 11122228332P ABC O ABC ABC V V S OE --==⨯⋅=⨯⨯⨯⨯=△PA ABC 1111ABCD A B C D -1B D α⊥截正方体所得的截面面积最大时的截面为底面，以为顶点的锥体的外接球的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】由正方体的对称性，可知当截面为正六边形时，截面面积最大，再分当球心在棱锥内部时和当球心在棱锥外部时，建立方程求得外接球的半径可得选项． 【解析】如图，由正方体的对称性，可知当截面为正六边形， 设交截面于，则为的中点，所以设正六棱锥外接球的球心为，外接球半径为，当球心在棱锥内部时，有，解得，外接球面积为； 若球心在棱锥外部时，有，解得．∴以为顶点的锥体的外接球的表面积为．故选B ． 【点睛】方法点睛：求解几何体外接球半径的思路是依据球的截面的性质：利用球的半径､截面圆的半径及球心到截面的距离三者的关系求解，其中确定球心的位置是关键．16．（浙江省宁海中学高三月考）如图，矩形中，，点在，上，满足，，将沿向上翻折至，使得在平面上的射影落在的重心处，设二面角的大小为，直线，与平面所成角分别为，，则（ ）α1B 12π253π203π6πEFGHKI EFGHKI 1B D EFGHKI M M 1B D 1112B M B D ==O R )222R R =+R =22543ππ⨯=(222R R =+-R =<1B 253πR r d 222R r d =+ABCD 236AB AD ==(),1,2i i E F i =CD AD 112E F =1221//E F E F 11DE F ∆11E F 11D E F ∆'D 'ABCD 22DE F ∆G D AB C '--αD A 'D C 'ABCD βγA ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】作的中垂线，根据几何关系得知点落在左边，故可得，则问题可解． 【解析】作的中垂线，中点为，取中点，故在上， 作交于，连接，如图所示：因为，，，可知点在左边， 则，由图可知，故 易知 ，由于 所以，则故选A 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于根据几何图形关系判断．17．（河南高三一模（理））如图，在棱长为1正方体中，为棱的中点，动点αβγ>>γαβ>>αγβ>>βαγ>>AC ML G ML GN GA GC <<AC ML AC O 22E F H G DH GN AB ⊥AB N ,GAGC 112E F =1221//E F E F 3,2AB AD ==G ML GA GC <GA GN >GN GA GC <<tan ,tan ,tan D G D G D GGN GA GCαβγ'''===GN GA GC <<tan tan tan αβγ>>αβγ>>GN GA GC <<1111ABCD A B C D -M AB P在侧面及其边界上运动，总有，则动点的轨迹的长度为（ ）A ．BC ．D【答案】A 【分析】分别取、的中点、，连，利用线面垂直的判定定理和性质可证动点的轨迹是线段，求出的长度即可得解． 【解析】如图：分别取、的中点、，连，，，因为为的中点，为的中点，为正方形，所以， 又平面，所以，而，所以平面，所以，同理可得，又，所以平面， 因为平面，所以，因为动点在侧面及其边界上运动，所以动点的轨迹是线段，而，所以动点的11BCC B 1AP D M ⊥P 2π16BC 1BB E F EF P EF EF BC 1BB E F ,,AE AF EF 1,A M DM 1A F M AB E BC ABCD DM AE ⊥1D D ⊥ABCD 1D D AE ⊥1DMD D D =AE ⊥1D DM 1D M AE ⊥1D M AF ⊥AE AF A ⋂=1D M ⊥AEF AP ⊂AEF 1AP D M ⊥P 11BCC B P EF 2EF =P轨迹的长度为．故选A ． 【点睛】关键点点睛：作出并证明动点的轨迹是本题解题关键，分别取、的中点、，连，则线段即为动点的轨迹，利用线面垂直的判定定理和性质即可得证．18．（江苏徐州市·高三二模）“帷幄”是古代打仗必备的帐篷，又称“幄帐”．如图是一种幄帐示意图，帐顶采用“五脊四坡式”，四条斜脊的长度相等，一条正脊平行于底面．若各斜坡面与底面所成二面角的正切值均为，底面矩形的长与宽之比为，则正脊与斜脊长度的比值为（ ）A ．B ．C ．D ．1【答案】B 【分析】取幄帐顶部，如图几何体，作平面，垂足为，则到边的距离相等，作于，于，得是二面角的平面角，是二面角的平面角，因此有，设，用表示出，即可得比值．【解析】取幄帐顶部，如图几何体，作平面，垂足为，则到边的距离相等，由平面，平面，得，同理． 作于，于， 因为，平面，所以平面，而平面，所以，所以是二面角的平面角，同理是二面角的平面角，，由已知，2P BC 1BB E F EF EF P 125:33589910ABCD EF -FO ⊥ABCD O O ,AB CD FM AB ⊥M FN BC ⊥N FNO ∠F BC O --FMO ∠F AB O --1tan tan 2FNO FMO ∠=∠=5,3AB a BC a ==a ,EF FB ABCD EF -FO ⊥ABCD O O ,AB CD FO ⊥ABCD BC ⊂ABCD FO BC ⊥FO OB ⊥FM AB ⊥M FN BC ⊥N FOFN F =,FO FN ⊂FON BC ⊥FON ON ⊂FON BC ON ⊥FNO ∠F BC O --FMO ∠F AB O --OM AB ⊥1tan tan 2FNO FMO ∠=∠=由，设，则，所以， 由得，，则， 由上知是正方形，，， 所以．故选B ．【点睛】关键点点睛：本题考查由二面角计算线段长，考查学生的空间想象能力．解题是作出各斜坡面与底面所成二面角的平面角，利用它们的正切值均为，并设出底面矩形边长后，用底面矩形边长表示出正脊与斜脊的长度，从而得比值．19．（浙江名校协作体联考）在矩形中，，，E 、F 分别为边、上的点，且，现将沿直线折成，使得点在平面上的射影在四边形内（不含边界），设二面角的大小为，直线与平面所成的角为，直线与直线所成角为，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D:5:3AB BC =5,3AB a BC a ==32MO a =313tan 224FO MO FMO a a =⋅∠=⨯=1tan 2FO FNO ON ∠==32ON a =35222EF a a a =-⨯=OMBN 2OB a ==94FB a ===28994EF a FB a ==12ABCD AB =3AD =AD BC 2AE BF ==ABE △BE 1A BE 1A BCDE CDEF 1A BE C --θ1A B BCDE α1A E BCββαθ<<βθα<<αβθ<<αθβ<<【分析】根据题意作出相应的二面角，线面角，线线角，结合点在平面上的射影求解． 【解析】过A 作的垂线，分别交，，于M ，G ，N ，如图，显然．因为，所以直线与所成角即为．当在平面上的射影为G 时，平面，此时．于是当在平面上的射影在线段上时，，所以． 由于，，进而得，．因为是在平面上的射影，所以由线面角最小性知，即．再由二面角的最大性知．故选D ．【点睛】关键点点睛：根据二面角平面角、线面角、异面直线所成的的角的定义，分别在图形中作出或找到是解题的关键，再根据位置分析角的变化范围即可比较大小．20．（河南高考适应性考试（理））棱长为的正方体密闭容器内有一个半径为的小球，小球可在正方体容器内任意运动，则其不能到达的空间的体积为（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】A【分析】由题可得小球在八个角不能到达的空间相当于边长为2的正方体中间挖掉一个半径为1的球的剩余部分，小球在12条边活动不到的空间相当于高为2，底面积为4的正四棱柱中间挖掉底面积为，高为2的圆柱剩下的部分，且有3个，由此可计算出体积．【解析】由题可得小球在八个角不能到达的空间相当于边长为2的正方体中间挖掉一个半径为1的球的剩余部分，其体积为，小球在12条边活动不到的空间相当于高为2，底面积为4的正四棱柱中间挖掉底面积为，高为2的圆柱剩下的部分，且有3个，则其体积为，1A BCDE BE EB EFDC A MN θ'∠=//BC AD A E 'AD βA 'BCDE AE ⊥A EF '2πβ=A 'BCDE GN 2A ED π'∠<A ED β'=∠EA EA '=MA MA '=2EAA β'∠=2MAA θ'∠=AM AA 'ABCD 22EAA MAA βθ''∠=>∠=βθ>θα>,,βθα4122323π-4812π-4283π-13203π-π334421833ππ-⨯=-π()4223246ππ⨯-⨯=-则小球不能到达的空间的体积为．故选A ． 【点睛】本题考查几何体体积的计算，解题的关键是得出小球在运动中不能到达的空间的结构特点． 21．（辽宁高三一模（理））球面上两点之间的最短连线的长度，就是经过这两个点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度（大圆就是经过球心的平面截球面所得的圆），我们把这个弧长叫做两点的球面距离．已知正的项点都在半径为的球面上，球心到，则、两点间的球面距离为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【分析】设球心为点，计算出，利用扇形弧长公式可求得结果．【解析】设球心为点，平面截球所得截面圆的半径为， 由正弦定理可得，，又，所以，为等边三角形，则，因此，、两点间的球面距离为．故选C ． 【点睛】思路点睛：求球面距离，关键就是要求出球面上两点与球心所形成的角，结合扇形的弧长公式求解，同时在计算球的截面圆半径时，利用公式（其中为截面圆的半径，为球的半径，为球心到截面的距离）来计算．22．（湖北武汉市·高三月考）某圆锥母线长为2面面积的最大值为（ ）A ．2B CD ．1【答案】A【分析】如图截面为，P 为MN 的中点，设，，进而可得面积最大值． 【解析】()4228+2463233πππ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭ABC 2ABC A B π2π23π34πO AOB ∠O ABC O r ==3sin AB ACB =∠233AB π∴==2OA OB ==AOB 3AOB π∠=A B 2233ππ⨯=22d R r -=r R d SMN (0=<≤OP x x =SMNS。

立体几何压轴小题含答案)

立体几何压轴小题含答案)
则在直角三角形BOE中，BO2=OE2+BE2=（PE-EO）2+BE2，
即R2=（4-R）2+（3 ）2，解得：R= ，故选C.
考点：三视图，球与多面体的切接问题，空间想象能力
12．如右图，在长方体 中， =11， =7， =12，一质点从顶点A射向点 ，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将 次到第 次反射点之间的线段记为 ， ，将线段 竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（）
一、选择题
1．如图，已知正方体 的棱长为4，点 ， 分别是线段 ， 上的动点，点 是上底面 内一动点，且满足点 到点 的距离等于点 到平面 的距离，则当点 运动时， 的最小值是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
试题分析：因为点 是上底面 内一动点，且点 到点 的距离等于点 到平面 的距离，所以，点 在连接 中点的连线上．为使当点 运动时， 最小，须 所在平面平行于平面 , ,选
故选A
点评：本题是基础题，考查球的内接多面体的知识，能够正确推出四棱锥的一条侧棱垂直底面的一个顶点，最长的侧棱就是直径是本题的关键，考查逻辑推理能力，计算能力．
18．二面角 为60°，A、B是棱 上的两点，AC、BD分别在半平面 内， ， ，且AB＝AC＝ ，BD＝ ，则CD的长为()
A． B． C． D．
考点：棱柱的结构特征．
9．下列命题中，错误的是（）
A．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交
B．平行于同一平面的两条直线不一定平行
C．如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面
D．若直线 不平行于平面 ，则在平面 内不存在与 平行的直线
【答案】B
【解析】

压轴题05 立体几何压轴题(原卷版)--2023年高考数学压轴题专项训练(全国通用-文)

压轴题05 立体几何压轴题(原卷版)--2023年高考数学压轴题专项训练(全国通用-文)

压轴题05立体几何压轴题题型/考向一：点、线、面间的位置关系和空间几何体的体积、表面积题型/考向二：外接球、内切球等相关问题题型/考向三：平面关系、垂直关系、体积、表面积等综合问题一、空间几何体的体积、表面积热点一空间几何体的侧面积、表面积柱体、锥体、台体和球的表面积公式：(1)若圆柱的底面半径为r，母线长为l，则S侧＝2πrl，S表＝2πr(r＋l).(2)若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则S侧＝πrl，S表＝πr(r＋l).(3)若圆台的上、下底面半径分别为r′，r，则S侧＝π(r＋r′)l，S表＝π(r2＋r′2＋r′l ＋rl).(4)若球的半径为R，则它的表面积S＝4πR2.热点二空间几何体的体积柱体、锥体、台体和球的体积公式：(1)V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)；Sh(S为底面面积，h为高)；(2)V锥体＝13(S上＋S下＋S上S下)h(S上、S下分别为上、下底面面积，h为高)；(3)V台体＝13(4)V球＝4πR3.3二、外接球、内切球问题类型一外接球问题考向1墙角模型墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决，外接球的直径等于长方体的体对角线长.长方体同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球半径为R.则(2R)2＝a2＋b2＋c2，即2R＝a2＋b2＋c2.常见的有以下三种类型：考向2对棱相等模型对棱相等模型是三棱锥的三组对棱长分别相等模型，用构造法(构造长方体)解决，外接球的直径等于长方体的体对角线长，如图所示，(2R )2＝a 2＋b 2＋c 2(长方体的长、宽高分别为a ，b ，c )，即R 2＝18(x 2＋y 2＋z 2)，如图.考向3汉堡模型汉堡模型是直三棱柱、圆柱的外接球模型，模型如下，由对称性可知，球心O 的位置是△ABC 的外心O 1与△A 1B 1C 1的外心O 2的连线的中点，算出小圆O 1的半径AO 1＝r ，OO 1＝h 2，所以R 2＝r 2＋h 24.考向4垂面模型垂面模型是有一条侧棱垂直底面的棱锥模型，可补为直棱柱内接于球；如图所示，由对称性可知球心O 的位置是△CBD 的外心O 1与△AB 2D 2的外心O 2连线的中点，算出小圆O1的半径CO1＝r，OO1＝h2，则R＝r2＋h24.类型二内切球问题内切球问题的解法(以三棱锥为例)第一步：先求出四个表面的面积和整个锥体的体积；第二步：设内切球的半径为r，建立等式V P－ABC＝V O－ABC＋V O－P AB＋V O－P AC＋V O－PBC⇒V P－ABC＝13S△ABC·r＋13S△P AB·r＋13S△P AC·r＋13S PBC·r＝13(S△ABC＋S△P AB＋S△P AC＋S△PBC)r；第三步：解出r＝3V P－ABCS△ABC＋S△P AB＋S△P AC＋S△PBC.类型三球的截面问题解决球的截面问题抓住以下几个方面：(1)球心到截面圆的距离；(2)截面圆的半径；(3)直角三角形(球心到截面圆的距离、截面圆的半径、球的半径构成的直角三角形).三、平行关系和垂直关系的证明、二面角等热点一空间线、面位置关系的判定判断空间线、面位置关系的常用方法(1)根据空间线面平行、垂直的判定定理和性质定理逐项判断，解决问题.(2)利用直线的方向向量、平面的法向量判断.(3)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线、面的位置关系，并结合有关定理进行判断.热点二几何法证明平行、垂直1.直线、平面平行的判定及其性质(1)线面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α.(2)线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b.(3)面面平行的判定定理：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β.(4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.2.直线、平面垂直的判定及其性质(1)线面垂直的判定定理：m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α.(2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.(3)面面垂直的判定定理：a⊂β，a⊥α⇒α⊥β.(4)面○热○点○题○型一点、线、面间的位置关系和空间几何体的体积、表面积一、单选题1．设l ，m 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列说法正确的是（）A ．若//l α，//m α，则//l mB ．若//l α，//l β，则//αβC ．若l α⊥，m α⊥，则//l mD ．若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ2．将半径为6的半圆卷成一个无底圆锥（钢接处不重合），则该无底圆锥的体积为（）A ．273πB ．27πC ．3πD ．9π3．在正方体1111ABCD A B C D -中，直线m 、n 分别在平面ABCD 和11ABB A ，且m n ⊥，则下列命题中正确的是（）A ．若m 垂直于AB ，则n 垂直于AB B ．若m 垂直于AB ，则n 不垂直于ABC ．若m 不垂直于AB ，则n 垂直于ABD ．若m 不垂直于AB ，则n 不垂直于AB4．如图是一款多功能粉碎机的实物图，它的进物仓可看作正四棱台，已知该四棱台的上底面边长为40cm ，下底面边长为10cm ，侧棱长为30cm ，则该款粉碎机进物仓的容积为（）A ．32cmB ．386003cmC ．3105002cmD ．33cm5．已知在春分或秋分时节，太阳直射赤道附近.若赤道附近某地在此季节的日出时间为早上6点，日落时间为晚上18点，该地有一个底面半径为4m 的圆锥形的建筑物，且该建筑物在一天中恰好有四个小时在地面上没有影子，则该建筑物的体积为（）A ．643πB ．π3C ．16π3D ．π36．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑.如故宫中和殿的屋顶为四角攒尖顶，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，设正四棱锥的侧面等腰三角形的顶角为60°，则该正四棱锥的侧面积与底面积的比为（）A ．4B 3C D 7．在三棱锥A BCD -中，4AB AC BD CD BC =====，平面α经过AC 的中点E ，并且与BC 垂直，则α截此三棱锥所得的截面面积的最大值为（）A B ．34C 2D ．328．已知圆台的母线长为4，上底面圆和下底面圆半径的比为1：3，其侧面展开图所在扇形的圆心角为π2，则圆台的高为（）A ．BC ．4D ．二、多选题9．已知平面α，β，直线l ，m ，则下列命题正确的是（）A ．若αβ⊥，,,m l m l αβα⋂=⊥⊂，则l β⊥B ．若l αβα⊂∥，，m β⊂，则//l mC ．若m α⊂，则“l α⊥”是“l m ⊥”的充分不必要条件D ．若m α⊂，l α⊄，则“l α∥”是“l m ”的必要不充分条件10．下列说法正确的是（）A ．若直线a 不平行于平面α，a α⊄，则α内不存在与a 平行的直线B ．若一个平面α内两条不平行的直线都平行于另一个平面β，则αβ∥C ．设l ，m ，n 为直线，m ，n 在平面α内，则“l α⊥”是“l m ⊥且l n ⊥”的充要条件D ．若平面α⊥平面1α，平面β⊥平面1β，则平面α与平面β所成的二面角和平面1α与平面1β所成的二面角相等或互补三、解答题11．已知直棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为菱形，且2AB AD BD ===，1AA =，点E 为11B D 的中点．(1)证明：//AE 平面1BDC ；(2)求三棱锥1E BDC -的体积．12．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC 为边长为2的正三角形，D 为BC 的中点，12AA =，且160CCB ∠= ，平面11BB C C ⊥平面ABC .(1)证明：1C D AB ⊥；(2)求三棱锥111B AA C -的体积.○热○点○题○型二外接球、内切球等相关问题一、单选题1．已知ABC 是边长为3的等边三角形，其顶点都在球O 的球面上，若球O 的体积为323π，则球心O 到平面ABC 的距离为（）AB ．32C ．1D ．22．已知三棱锥-P ABC 的底面ABC 是边长为1的正三角形，侧棱,,PA PB PC 两两垂直，若此三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积是（）A ．3πB ．πC ．3π4D ．3π23．一个圆锥的底面圆和顶点都恰好在一个球面上，且这个球的半径为5，则这个圆锥的体积的最大值时，圆锥的底面半径为（）A ．103B ．2C ．3D 4．已知圆锥的侧面积为2π，母线与底面所成角的余弦值为12，则该圆锥的内切球的体积为（）A ．4π3B C D 5．如图，几何体Ω为一个圆柱和圆锥的组合体，圆锥的底面和圆柱的一个底面重合，圆锥的顶点为A ，圆柱的上、下底面的圆心分别为B 、C ，若该几何体Ω存在外接球（即圆锥的顶点与底面圆周在球面上，且圆柱的底面圆周也在球面上）．已知24BC AB ==，则该组合体的体积等于（）A ．56πB ．70π3C ．48πD ．64π6．已知矩形ABCD 的顶点都在球心为O 的球面上，3AB =，BC =，且四棱锥O ABCD-的体积为，则球O 的表面积为（）A ．76πB ．112πCD 7．水平桌面上放置了4个半径为2的小球，4个小球的球心构成正方形，且相邻的两个小球相切.若用一个半球形的容器罩住四个小球，则半球形容器内壁的半径的最小值为（）A ．4B ．2C ．2D ．68．已知三棱锥-P ABC 的四个顶点均在球O 的球面上，2PA BC ==，PB AC ==PC AB =Q 为球O 的球面上一动点，则点Q 到平面PAB 的最大距离为（）A 2211B C 2211D 二、填空题9．在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，14AB AC PA AB AC ⊥=+=，，，当三棱锥的体积最大时，三棱锥-P ABC 外接球的体积为______．10．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA AB BC ==．设D 为1AC 的中点，三棱锥D ABC -的体积为94，平面1A BC ⊥平面11ABB A ，则三棱柱111ABC A B C -外接球的表面积为______．11．如图，直三棱柱111ABC A B C -的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB AC =，侧面11BCC B 是半球底面圆的内接正方形，则直三棱柱111ABC A B C -的体积为___________.12．如图所示的由4个直角三角形组成的各边长均相等的六边形是某棱锥的侧面展开图，若该六边形的面积为12，则该棱锥的内切球半径为___．○热○点○题○型三平面关系、垂直关系、体积、表面积等综合问题1．已知直棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为菱形，且2AB AD BD ===，1AA =，点E 为11B D 的中点．(1)证明：//AE 平面1BDC ；(2)求三棱锥1E BDC -的体积．2．如图，在四棱锥P ABCD -中，PAD 是等边三角形，底面ABCD 是棱长为2的菱形，平面PAD ⊥平面ABCD ，O 是AD 的中点，π3DAB ∠=.(1)证明：OB ⊥平面PAD ；(2)求点O 到平面PAB 的距离.3．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC 为边长为2的正三角形，D 为BC 的中点，12AA =，且160CCB ∠= ，平面11BB C C ⊥平面ABC .(1)证明：1C D AB ⊥；(2)求三棱锥111B AAC -的体积.4．如图1，在直角梯形ABCD 中，90ADC ∠=︒，AB CD ，122AD CD AB ===，E 为AC 的中点，将ACD 沿AC 折起，使折起后的平面ACD 与平面ABC 垂直，如图2.在图2所示的几何体D ABC -中：(1)求证：BC ⊥平面ACD ；(2)点F 在棱CD 上，且满足AD EF ，求几何体F BCE -的体积.5．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为菱形，60BCD ∠=︒，4AB =，EF CD ∥，2EF =，4CF =，点F 在平面ABCD 内的射影恰为BC 的中点G ．(1)求证：平面ACE 平面BED；(2)求该几何体的体积．。

立体几何选择填空压轴题专练

立体几何选择填空压轴题专练

立体几何选择填空压轴题专练A 组一、选择题1．如图，矩形ABCD 中， 2AB AD =， E 为边AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE翻转成1A DE ∆（1A ∉平面ABCD ）．若M 、O 分别为线段1A C 、DE 的中点，则在ADE ∆翻转过程中，下列说法错误的是（ ）A. 与平面1A DE 垂直的直线必与直线BM 垂直B. 异面直线BM 与1A E 所成角是定值C. 一定存在某个位置，使DE MO ⊥D. 三棱锥1A ADE -外接球半径与棱AD 的长之比为定值 【答案】C【解析】取CD 的中点F ，连BF,MF,如下图：可知面MBF// 1A DE ,所以A 对。

取1A D 中点G,可知//EG BM ，如下图，可知B 对。

点A 关于直线D E 的对为F,则DE ⊥面1A AF ，即过O 与DE 垂直的直线在平面1A AF 上。

故C 错。

三棱锥1A ADE -外接球的球心即为O 点，所以外接球半径为22AD 。

故D 对。

选C 2．一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为103，则h =（ ）A ．32B ．3C ．33D ．53 【答案】B 【解析】由三视图可知该几何体是三棱锥，其中底面是矩形，边长为6，5，高为h ，所以体积15610333V h h =⨯⨯⨯=∴=3．如图，矩形ABCD 中,AB=2AD,E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A 1DE ．若M 为线段A 1C 的中点，则在△ADE 翻折过程中，下面四个命题中不正确的是A ．｜BM ｜是定值B ．点M 在某个球面上运动C ．存在某个位置，使DE ⊥A 1 CD ．存在某个位置，使MB//平面A 1DE 【答案】C 【解析】取CD 中点F ，连接MF ，BF ，则MF//A 1D 且MF=21A 1D,FB//ED 且FB=ED 所以DE A MFB 1∠=∠，由余弦定理可得MB 2=MF 2+FB 2-2MF •FB •cos ∠MFB 是定值，所以 M 是在以B 为圆心，MB 为半径的球上，可得①②正确．由MF//A 1D 与 FB//ED 可得平面MBF ∥平面A 1DE ，可得④正确；A 1C 在平面ABCD 中的射影为AC ，AC 与DE 不垂直，可得③不正确．故答案为：①②④．4．如图，正四面体D ABC -的顶点A 、B 、C 分别在两两垂直的三条射线Ox ， Oy ，Oz 上，则在下列命题中，错误的是( ) A. O ABC -是正三棱锥B. 直线OB 与平面ACD 相交C. 直线CD 与平面ABC 所成的角的正弦值为32D. 异面直线AB 和CD 所成角是90︒ 【答案】C【解析】①如图ABCD 为正四面体， ∴△ABC 为等边三角形， 又∵OA 、OB 、OC 两两垂直， ∴OA ⊥面OBC ，∴OA ⊥BC ，过O 作底面ABC 的垂线，垂足为N ， 连接AN 交BC 于M ，由三垂线定理可知BC ⊥AM ， ∴M 为BC 中点，同理可证，连接CN 交AB 于P ，则P 为AB 中点， ∴N 为底面△ABC 中心，∴O ﹣ABC 是正三棱锥，故A 正确．②将正四面体ABCD 放入正方体中，如图所示，显然OB 与平面ACD 不平行． 则B 正确，③由上图知：直线CD 与平面ABC 6,则C 错误 ④异面直线AB 和CD 所成角是90︒，故D 正确. 二、填空题 5．（2017全国1卷理）如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O 。

【高考二轮压轴题】立体几何经典大题汇编(含答案)9

【高考二轮压轴题】立体几何经典大题汇编(含答案)9

【高考二轮压轴题】立体几何经典大题汇编（含答案)9未命名一、解答题1．如图，BCD ∆与MCD ∆都是边长为2的正三角形，平面MCD ⊥平面BCD ，AB ⊥平面BCD ，AB =（1）求直线AM 与平面BCD 所成的角的大小； （2）求平面ACM 与平面BCD 所成的二面角的正弦值.2．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒．点D ，E ，N 分别为棱PA ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，4PA AC ==，2AB =．（1）求证：MN ∥平面BDE ； （2）求二面角C EM N --的正弦值；（3）已知点H 在棱PA 上，且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为21，求线段AH 的长．3．如图，四棱锥P ABCD -的一个侧面PAD 为等边三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是平行四边形，2AD =，BD =3BAD π∠=.（1）求证：BD PD ⊥；（2）求二面角P BC D --的余弦值.4．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 的正方形，PB PD ==4PC =，点E 为PA 中点，AC 与BD 交于点O .（Ⅰ）求证：OE ⊥平面ABCD ； （Ⅱ）求二面角B PA D --的余弦值.5．如图所示,在四棱锥P-ABCD 中,PC ⊥平面ABCD,PC=2,在四边形ABCD 中,∠B=∠C=90°,AB=4,CD=1,点M 在PB 上,PB=4PM,PB 与平面ABCD 成30°的角.求证:(1)CM ∥平面PAD ． (2)平面PAB ⊥平面PAD ．6．如图1，ABC ∆是等腰直角三角形，AB AC ==D ，E 分别是AC ，AB 上的点，CD BE ==将ADE ∆沿DE 折起，得到如图2所示的四棱锥A BCDE '-，使得A B A C ''==图1 图2（2）求A B '与平面ACD '所成角的余弦值．7．如图甲所示，BO 是梯形ABCD 的高，45BAD ∠=︒，1OB BC ==，3OD OA =，先将梯形ABCD 沿OB 折起如图乙所示的四棱锥P OBCD -，使得PC =.（1）在棱PD 上是否存在一点F ，使得//CF 平面POB ？若存在，请求出PF 的值，若不存在，请说明理由;（2）点E 是线段PB 上一动点，当直线CE 与DP 所成的角最小时，求二面角B CE D --的余弦值.8．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且2PA PD AD ==，设E ，F ，G 分别为PC ，BD ，DC 的中点.（1）求证:平面//EFG 平面PAD ;（2）求直线EF 与平面PBD 所成角的正弦值.9．如图，在几何体ABCDEF 中，160AB CD AD DC CB ABC ∠︒，＝＝＝，＝，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，1CF ＝.(2)点M 在线段EF 上运动，设平面MAB 与平面FCB 所成二面角的平面角为()90θθ≤︒，试求cos θ的取值范围．10．已知三棱柱111ABC A B C -，底面三角形ABC 为正三角形，侧棱1AA ⊥底面ABC ，12,6AB AA ==，E 为1AA 的中点，F 为BC 中点.（1）求证：直线//AF 平面1BEC ；（2）求平面1BEC 和平面ABC 所成的锐二面角的余弦值.11．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ,4PA AD ==，2AB =,M 是PD 中点.（I ）求直线CD 与平面ACM 所成的角的正弦值； （II ）求点P 到平面ACM 的距离．12．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,,,E F G H 分别是1111,,C ,BC CC D A A 的中点．求证：（1）求证：EG平面11BB D D（2）求异面直线BF 与1HB 所成角的余弦值.13．如图，在长方形ABCD 中，4AB =，2AD =，点E 是DC 的中点.将ADE ∆沿AE 折起，使平面ADE ⊥平面ABCE ，连结DB 、DC 、EB .（1）求证：平面ADE ⊥平面BDE ；（2）求平面ADE 与平面BDC 所成锐二面角的余弦值.14．如图，梯形ABCD 所在的平面与等腰梯形ABEF 所在的平面互相垂直，AB ∥CD ∥EF ，AB ⊥AD ，CD ＝DA ＝AF ＝FE ＝2，AB ＝4.(1)求证：DF ∥平面BCE ； (2)求二面角C —BF —A 的正弦值；(3)线段CE 上是否存在点G ，使得AG ⊥平面BCF ？请说明理由．15．如图，已知正四棱锥P ABCD -的高为2，M 是棱PC 的中点（1）求直线AM 与平面PAB 所成角的大小； （2）求点M 到平面PAB 的距离.16．在三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∆是正三角形，AB =1A 在底面ABC 上的射影O 恰好是BC 中点，侧棱和底面成45︒角.（1）求证：1AA BC ⊥；（2）求二面角1C AA B --的大小； （3）求直线AB 与平面1AA C 所成角的大小.17．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，正方形ABCD 的边长为2，4PA =，设E 为侧棱PC 的中点.（1）求正四棱锥E ABCD -的体积V ； （2）求直线BE 与平面PCD 所成角θ的大小.18．如图，直线PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，且2PA AD ==，点E ，F ，G 分别是线段PA ，PD ，CD 的中点.(1)求异面直线EG 与BD 所成角的大小(结果用反三角表示)；(2)在线段CD 上是否存在一点Q ，使B F E Q ⊥，若存在，求出DQ 的长，若不存在，请说明理由.19．如图，空间几何体由两部分构成，上部是一个底面半径为1，高为2的圆锥，下部是一个底面半径为1，高为2的圆柱，圆锥和圆柱的轴在同一直线上，圆锥的下底面与圆柱的上底面重合，点P 是圆锥的顶点，AB 是圆柱下底面的一条直径，1AA 、1BB 是圆柱的两条母线，C 是弧AB 的中点.（1）求异面直线1PA 与BC 所成的角的大小； （2）求点1B 到平面PAC 的距离.20．如图，三棱锥P ﹣ABC 中，PC ⊥平面ABC ，PC ＝AC ＝2，AB ＝BC ，D 是PB 上一点，且CD ⊥平面P AB ．（1）求证：AB ⊥平面PCB ；（2）求二面角C ﹣P A ﹣B 的大小的余弦值．21．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA PD ⊥，PA PD =，AD 的中点是E ，PE ⊥面ABCD ，AB AD ⊥，1,2,AB AD AC CD ====（1）求异面直线PC 与AB 所成角的大小； （2）求面PDC 与平面PAB 所成二面角的大小．22．已知向量b 与向量()2,1,2a =-共线，且18a b ⋅=，()()ka b ka b +⊥-，求实数k 的值.23．如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是一个菱形，三角形PAD 是一个等腰三角形，∠BAD ＝∠PAD ＝3π，点E 在线段PC 上，且PE ＝3EC ．（1）求证：AD ⊥PB ；（2）若平面PAD ⊥平面ABCD ，求二面角E ﹣AB ﹣P 的余弦值．24．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，AP=2，AB=2，AD=4，且E 、F 分别是PB 、PC 的中点。

高考数学压轴题突破训练——立体几何（含详解）

高考数学压轴题突破训练——立体几何（含详解）

高考数学压轴题突破训练——立体几何1. 1. 如图，平面如图，平面VAD VAD⊥平面⊥平面ABCD ABCD，△，△，△VAD VAD 是等边三角形，是等边三角形，ABCD ABCD 是矩形，是矩形，AB AB AB∶∶AD AD＝＝2∶1，F 是AB 的中点．的中点．（1）求VC 与平面ABCD 所成的角；所成的角； （2）求二面角V-FC-B 的度数；的度数；（3）当V 到平面ABCD 的距离是3时，求B 到平面VFC 的距离．的距离．2.2.如图正方体如图正方体ABCD-1111D C B A 中，中，E E 、F 、G 分别是B B 1、AB AB、、BC 的中点．的中点．（1）证明：F D 1⊥EG EG；； （2）证明：F D 1⊥平面AEG AEG；； （3）求AE <cos ，>B D 1．3. 3. 在直角梯形在直角梯形P 1DCB 中，中，P P 1D//CB D//CB，，CD//P 1D 且P 1D D = = 6，BC = = 33，DC =6，A 是P 1D 的中点，沿AB 把平面P 1AB 折起到平面PAB 的位置，使二面角P －CD CD－－B 成45°角，设E 、F 分别是线段AB AB、、PD 的中点．的中点． （（1）求证：）求证：AF//AF//AF//平面平面PEC PEC；； （（2）求平面PEC 和平面PAD 所1. 1. 如图，平面如图，平面VAD VAD⊥平面⊥平面ABCD ABCD，△，△，△VAD VAD 是等边三角形，ABCD 是矩形，是矩形，AB AB AB∶∶AD AD＝＝2∶1，F 是AB 的中点．的中点．D B C F E A P （1）求VC 与平面ABCD 所成的角；所成的角； （2）求二面角V-FC-B 的度数；的度数；（3）当V 到平面ABCD 的距离是3时，求B 到平面VFC 的距离．的距离．2.2.如图正方体如图正方体ABCD-1111D C B A 中，中，E E 、F 、G 分别是B B 1、AB AB、、BC 的中点．的中点．（1）证明：F D 1⊥EG EG；； （2）证明：F D 1⊥平面AEG AEG；； （3）求AE <cos ，>B D 1．3. 3. 在直角梯形在直角梯形P 1DCB 中，中，P P 1D//CB D//CB，，CD//P 1D 且P 1D D = = 6，BC = = 33，DC =6，A 是P 1D 的中点，沿AB 把平面P 1AB 折起到平面PAB 的位置，使二面角P －CD CD－－B 成45°角，设E 、F 分别是线段AB AB、、PD 的中点．的中点． （（1）求证：）求证：AF//AF//AF//平面平面PEC PEC；； （（2）求平面PEC 和平面PAD 所成的二面角的大小；所成的二面角的大小； （（3）求点D 到平面PEC 的距离．的距离． 成的二面角的大小；成的二面角的大小； （（3）求点D 到平面PEC 的距离．的距离．BC DA P 1 DBCF E A P4. 4. 如图四棱锥如图四棱锥ABCD P -中，中，^PA 底面ABCD ，4=PA 正方形的边长为2 （1）求点A 到平面PCD 的距离；的距离；（2）求直线PA 与平面PCD 所成角的大小；所成角的大小； （3）求以PCD 与PAC 为半平面的二面角的正切值。

2024数学高考前冲刺题《立体几何》含答案

2024数学高考前冲刺题《立体几何》含答案

黄金冲刺大题03 立体几何1．（2024·黑龙江·二模）如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长和底面边长均为2，M 是BC 的中点，N 是1AB 的中点，P 是11B C 的中点．(1)证明：//MN 平面1A CP ；(2)求点P 到直线MN 的距离．2．（2024·安徽合肥·二模）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60,BAD M ∠=︒是侧棱PC 的中点，侧面PAD 为正三角形，侧面PAD ⊥底面ABCD ．(1)求三棱锥M ABC -的体积；(2)求AM 与平面PBC 所成角的正弦值．3．（2023·福建福州·模拟预测）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，平面11AA C C ⊥平面1,2ABC AB AC BC AA ====，1A B =．(1)设D 为AC 中点，证明：AC ⊥平面1A DB ；(2)求平面11A AB 与平面11ACC A 夹角的余弦值．4．（2024·山西晋中·三模）如图，在六面体ABCDE 中，BC BD ==，EC ED ⊥，且EC ED ==AB 平行于平面CDE ，AE 平行于平面BCD ，AE CD ⊥.(1)证明：平面ABE ⊥平面CDE ；(2)若点A 到直线CD 的距离为F 为棱AE 的中点，求平面BDF 与平面BCD 夹角的余弦值．5．（2024·辽宁·二模）棱长均为2的斜三棱柱111ABC A B C -中，1A 在平面ABC 内的射影O 在棱AC 的中点处，P 为棱11A B （包含端点）上的动点．(1)求点P 到平面1ABC 的距离；(2)若AP ⊥平面α，求直线1BC 与平面α所成角的正弦值的取值范围．6．（2024·重庆·模拟预测）在如图所示的四棱锥P -ABCD 中，已知AB CD ∥，90BAD ︒∠=，2CD AB =，PAB 是正三角形，点M 在侧棱PB 上且使得//PD 平面AMC ．(1)证明：2PM BM =；(2)若侧面PAB ⊥底面ABCD ，CM 与底面ABCD P AC B --的余弦值．7．（2024·安徽·模拟预测）2023年12月19日至20日，中央农村工作会议在北京召开，习近平主席对“三农”工作作出指示．某地区为响应习近平主席的号召，积极发展特色农业，建设蔬菜大棚．如图所示的七面体ABG CDEHF -是一个放置在地面上的蔬菜大棚钢架，四边形ABCD 是矩形，8AB =m ，4=AD m ，1ED CF ==m ，且ED ，CF 都垂直于平面ABCD ，5GA GB ==m ，HE HF =，平面ABG ⊥平面ABCD ．(1)求点H 到平面ABCD 的距离；(2)求平面BFHG 与平面AGHE 所成锐二面角的余弦值．8．（2024·重庆·模拟预测）如图，ACDE 为菱形，2AC BC ==，120ACB ∠=︒，平面ACDE ⊥平面ABC ，点F 在AB 上，且2AF FB =，M ，N 分别在直线CD ，AB 上．(1)求证：CF ⊥平面ACDE ；(2)把与两条异面直线都垂直且相交的直线叫做这两条异面直线的公垂线，若60EAC ∠=︒，MN 为直线CD ，AB 的公垂线，求AN AF的值；(3)记直线BE 与平面ABC 所成角为α，若tan α>BCD 与平面CFD 所成角余弦值的范围．9．（2024·安徽·二模）将正方形ABCD 绕直线AB 逆时针旋转90︒，使得CD 到EF 的位置，得到如图所示的几何体．(1)求证：平面ACF ⊥平面BDE ；(2)点M 为 DF 上一点，若二面角C AM E --的余弦值为13，求MAD ∠．10．（2024·安徽黄山·二模）如图，已知AB 为圆台下底面圆1O 的直径，C 是圆1O 上异于,A B 的点，D 是圆台上底面圆2O 上的点，且平面DAC ⊥平面ABC ，2DA DC AC ===，4BC =，E 是CD 的中点，2BF FD = ．(1)证明：2//DO BC ；(2)求直线DB 与平面AEF 所成角的正弦值.11．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）正四棱台1111ABCD A B C D -的下底面边长为1112A B AB =，M 为BC 中点，已知点P 满足()1112AP AB AD AA λλλ=-+⋅+ ，其中()0,1λ∈．(1)求证1D P AC ⊥；(2)已知平面1AMC 与平面ABCD 所成角的余弦值为37，当23λ=时，求直线DP 与平面1AMC 所成角的正弦值．12．（2024·辽宁·三模）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A ⊥底面1,2ABC AC AA ==，1,AB BC =，点E 为线段AC 的中点.(1)求证：1AB 平面1BEC ；(2)若1π3A AC ∠=，求二面角1A BE C --的余弦值.13．（2024·广东广州·一模）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，DCP 是等边三角形，π4DCB PCB ∠∠==，点M ，N 分别为DP 和AB 的中点.(1)求证：//MN 平面PBC ；(2)求证：平面PBC ⊥平面ABCD ；(3)求CM 与平面PAD 所成角的正弦值.14．（2024·广东梅州·二模）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，PAD 为等边三角形，//AD BC ，AD AB ⊥，22AD AB BC ===．(1)求证：AD PC ⊥；(2)点N 在棱PC 上运动，求ADN △面积的最小值；(3)点M 为PB 的中点，在棱PC 上找一点Q ，使得//AM 平面BDQ ，求PQ QC的值．15．（2024·广东广州·模拟预测）如图所示，圆台12O O 的轴截面11A ACC 为等腰梯形，111224,AC AA AC B===为底面圆周上异于,A C 的点，且,AB BC P =是线段BC 的中点.(1)求证：1C P //平面1A AB .(2)求平面1A AB 与平面1C CB 夹角的余弦值.16．（2024·广东深圳·二模）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C ⊥底面ABC ，且AB AC =，11A B A C =．(1)证明：1AA ⊥平面ABC ；(2)若12AA BC ==，90BAC ∠=︒，求平面1A BC 与平面11A BC 夹角的余弦值．17．（2024·河北保定·二模）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PCD 内存在一条直线EF 与AB 平行，PA ⊥平面ABCD ，直线PC 与平面ABCD ，PA BC ==，24CD AB ==.(1)证明：四边形ABCD 是直角梯形.(2)若点E 满足2PE ED = ，求二面角P EF B --的正弦值.18．（2024·湖南衡阳·模拟预测）如图，在圆锥PO 中，P 是圆锥的顶点，O 是圆锥底面圆的圆心，AC 是圆锥底面圆的直径，等边三角形ABD 是圆锥底面圆O 的内接三角形，E 是圆锥母线PC 的中点，6,4PO AC ==.(1)求证：平面BED ⊥平面ABD ；(2)设点M 在线段PO 上，且2OM =，求直线DM 与平面ABE 所成角的正弦值.19．（2024·湖南岳阳·三模）已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为4的菱形，60DAB ∠=︒，PA PC =，PB PD ==M 是线段PC 上的点，且4PC MC = ．(1)证明：PC ⊥平面BDM ；(2)点E 在直线DM 上，求BE 与平面ABCD 所成角的最大值．20．（2024·湖南·二模）如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的菱形，160,ABC BD ∠=⊥ 平面11AC D .(1)求四棱柱1111ABCD A B C D -的体积；(2)设点1D 关于平面11AC D 的对称点为E ，点E 和点1C 关于平面α对称（E 和α未在图中标出），求平面11AC D 与平面α所成锐二面角的大小.21．（2024·山东济南·二模）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，60,1,3,DAB PCB CD AB PC ∠=∠=︒===，平面PCB ⊥平面ABCD ，F 为线段BC 的中点，E 为线段PF 上一点.(1)证明：PF AD ⊥；(2)当EF 为何值时，直线BE 与平面PAD .22．（2024·山东潍坊·二模）如图1，在平行四边形ABCD 中，24AB BC ==，60ABC ∠=︒，E 为CD 的中点，将ADE V 沿AE 折起，连结BD ，CD ，且4BD =，如图2．(1)求证：图2中的平面ADE ⊥平面ABCE ；(2)在图2中，若点F 在棱BD 上，直线AF 与平面ABCE F 到平面DEC 的距离．23．（2024·福建·模拟预测）如图，在三棱锥-P ABC 中，,,3,PA PB AB BC AB BC ⊥⊥==P AB C --的大小为θ，PAB θ∠=.(1)求点P 到平面ABC 的距离；(2)当三棱锥-P ABC 的体积取得最大值时，求：（Ⅰ）二面角P AB C --的余弦值；（Ⅱ）直线PC 与平面PAB 所成角.24．（2024·浙江杭州·二模）如图，在多面体ABCDPQ 中，底面ABCD 是平行四边形，60,244,DAB BC PQ AB M ∠=︒===为BC 的中点，,,PQ BC PD DC QB MD ⊥⊥∥．(1)证明：90ABQ ∠=︒；(2)若多面体ABCDPQ 的体积为152，求平面PCD 与平面QAB 夹角的余弦值．25．（2024·浙江嘉兴·二模）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，PA ⊥平面,ABCD PA QD ，222,60BC AB PA ABC ∠==== .(1)证明：平面PCD ⊥平面PAC ；(2)若PQ =，求平面PCQ 与平面DCQ 夹角的余弦值.26．（2024·浙江绍兴·二模）如图，在三棱锥-P ABC 中，4AB =，2AC =，60CAB ∠=︒，BC AP ⊥.(1)证明：平面ACP ⊥平面ABC ；(2)若2PA =，4PB =，求二面角P AB C --的平面角的正切值.27．（2024·河北沧州·一模）如图，在正三棱锥A BCD -中，4BC CD BD ===，点P 满足AP AC λ= ，(0,1)λ∈，过点P 作平面α分别与棱AB ，BD ，CD 交于Q ，S ，T 三点，且//AD α，//BC α.(1)证明：(0,1)λ∀∈，四边形PQST 总是矩形；(2)若4AC =，求四棱锥C PQST -体积的最大值.28．（2024·湖北·二模）如图1．在菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒，4AB =，AE AD λ= ，(01)AF AB λλ=<< ，沿EF 将AEF △向上折起得到棱锥P BCDEP -．如图2所示，设二面角P EF B --的平面角为θ．(1)当λ为何值时，三棱锥P BCD -和四棱锥P BDEF -的体积之比为95？(2)当θ为何值时，()0,1λ∀∈，平面PEF 与平面PFB 的夹角ϕ29．（2024·湖北·模拟预测）空间中有一个平面α和两条直线m ，n ，其中m ，n 与α的交点分别为A ，B ，1AB =，设直线m 与n 之间的夹角为π3，(1)如图1，若直线m ，n 交于点C ，求点C 到平面α距离的最大值；(2)如图2，若直线m ，n 互为异面直线，直线m 上一点P 和直线n 上一点Q 满足//PQ α，P Q n ⊥且PQ m ⊥，（i ）求直线m ，n 与平面α的夹角之和；（ii ）设()01PQ d d =<<，求点P 到平面α距离的最大值关于d 的函数()f d ．30．（2024·浙江绍兴·模拟预测）如图所示，四棱台1111ABCD A B C D -，底面ABCD 为一个菱形，且120BAD ︒∠=.底面与顶面的对角线交点分别为O ，1O . 1122AB A B ==，11BB DD =1AA 与底面夹角余弦值为(1)证明：1OO ⊥平面ABCD ；(2)现将顶面绕1OO 旋转θ角，旋转方向为自上而下看的逆时针方向. 此时使得底面与1DC 的夹角正弦值为θ的值(90θ︒<)；(3)求旋转后1AA 与1BB 的夹角余弦值.黄金冲刺大题03 立体几何1．（2024·黑龙江·二模）如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长和底面边长均为2，M 是BC 的中点，N 是1AB 的中点，P 是11B C 的中点．(1)证明：//MN 平面1A CP ；(2)求点P 到直线MN 的距离．【答案】(1)证明见解析【分析】（1）建立如图空间直角坐标系A xyz -，设平面1A CP 的一个法向量为(,,)n x y z =，利用空间向量法证明0MN n ⋅= 即可；（2）利用空间向量法即可求解点线距.【详解】（1）由题意知，1AA ⊥平面ABC ，60BAC ︒∠=，而AB ⊂平面ABC ，所以1AA AB ⊥，在平面ABC 内过点A 作y 轴，使得AB ⊥ y 轴，建立如图空间直角坐标系A xyz -，则11(0,0,0),(2,0,0),(0,0,2),(2,0,2)A B C A B ，得33((1,0,1),(22M N P ，所以11312),((,22AC A P MN =-==- ，设平面1A CP 的一个法向量为(,,)n x y z = ，则1120302n A C x z n A P x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩，令1x =，得1y z ==-，所以(1,1)n =- ，所以11((1(1)02MN n ⋅=-⨯+⨯+⨯-= ，又MN 不在平面1A CP 内即//MN 平面1A CP ；（2）如图，连接PM ，由（1）得(0,0,2)PM =-，则2MN PM ⋅=- ，2MN PM == ，所以点P 到直线MN的距离为d =.2．（2024·安徽合肥·二模）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60,BAD M ∠=︒是侧棱PC 的中点，侧面PAD 为正三角形，侧面PAD ⊥底面ABCD ．(1)求三棱锥M ABC -的体积；(2)求AM 与平面PBC 所成角的正弦值．【答案】(1)12【分析】（1）作出辅助线，得到线线垂直，进而得到线面垂直，由中位线得到M 到平面ABCD的距离为（2）证明出BO AD ⊥，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，进而由法向量的夹角余弦值的绝对值求出线面角的正弦值.【详解】（1）如图所示，取AD 的中点O ，连接PO ．因为PAD 是正三角形，所以PO AD ⊥．又因为平面PAD ⊥底面,ABCD PO ⊂平面PAD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，所以PO ⊥平面ABCD，且PO =．又因为M 是PC 的中点，M 到平面ABCD12π22sin 23ABC S =⨯⨯⨯=△所以三棱锥M ABC -的体积为1132=．（2）连接,BO BD ，因为π3BAD ∠=，所以ABD △为等边三角形，所以BO AD ⊥，以O 为原点，,,OA OB OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(()()(),1,0,0,,P A B C -，所以((),,,2,0,0M AM PB BC ⎛⎛-=-==- ⎝⎝ ．设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =，则00PB n BC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020x =-=⎪⎩，解得0x =，取1z =，则1y =，所以()0,1,1n = ．设AM 与平面PBC 所成角为θ，则sin cos AM θ=即AM 与平面PBC ．3．（2023·福建福州·模拟预测）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，平面11AA C C ⊥平面1,2ABC AB AC BC AA ====，1A B =．(1)设D 为AC 中点，证明：AC ⊥平面1A DB ；(2)求平面11A AB 与平面11ACC A 夹角的余弦值．【答案】(1)证明见解析；【分析】（1）根据等边三角形的性质得出BD AC ⊥，根据平面11ACC A ⊥平面ABC 得出BD ⊥平面11ACC A ，1BD A D ⊥，利用勾股定理得出1AC A D ⊥，从而证明AC ⊥平面1A DB ；（2）建立空间直角坐标系，利用坐标表示向量，求出平面11A AB 的法向量和平面11ACC A 的一个法向量，利用向量求平面11A AB 与平面11ACC A 的夹角余弦值．【详解】（1）证明：因为D 为AC 中点，且2AB AC BC===，所以在ABC 中，有BD AC ⊥，且BD =，又平面11ACC A ⊥平面ABC ，且平面11ACC A 平面ABC AC =，BD ⊂平面ABC ,所以BD ⊥平面11ACC A ，又1A D ⊂平面11ACC A ，则1BD A D ⊥，由1A B =BD =，得1A D =，因为1AD =，12AA =，1A D =，所以由勾股定理，得1AC A D ⊥，又AC BD ⊥，11,,A D BD D A D BD =⊂ 平面1A DB ，所以AC ⊥平面1A DB ；（2）如图所示，以D 为原点，建立空间直角坐标系D xyz -，可得1(1,0,0),A A B ，则(()1,AA AB =-=- ，设平面11A AB 的法向量为(,,)n x y z = ，由100n AA x n AB x ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令x =1y =，1z =，所以)n = ,由（1）知，BD ⊥平面11ACC A ，所以平面11ACC A的一个法向量为(0,BD =，记平面11A AB 与平面11ACC A 的夹角为α，则||cos ||||n BD n BD α⋅= ，所以平面11A AB 与平面11ACC A4．（2024·山西晋中·三模）如图，在六面体ABCDE中，BC BD ==，EC ED ⊥，且EC ED ==AB平行于平面CDE ，AE 平行于平面BCD ，AE CD ⊥.(1)证明：平面ABE ⊥平面CDE ；(2)若点A 到直线CD 的距离为F 为棱AE 的中点，求平面BDF 与平面BCD 夹角的余弦值．【答案】(1)证明见解析【分析】（1）设平面ABE 与直线CD 交于点M ，使用线面平行的性质，然后用面面垂直的判定定理即可；（2）证明BE ⊥平面CDE ，然后构造空间直角坐标系，直接用空间向量方法即可得出结果.【详解】（1）设平面ABE 与直线CD 交于点M ，连接,ME MB ，则平面ABE 与平面CDE 的交线为ME ，平面ABE 与平面BCD 的交线为MB ，因为AB 平行于平面CDE ，AB ⊂平面ABE ，平面ABE 和平面CDE 的交线为ME ，所以AB ME ∥．同理AE MB ，所以四边形ABME 是平行四边形，故AE MB ，AB ME ∥.因为CD AE ⊥，AE MB ，所以CD MB ⊥，又BC BD ==，所以M 为棱CD 的中点在CDE 中，EC ED =，MC MD =，所以CD ME ⊥，由于AB ME ∥，故CD AB ⊥.而CD AE ⊥，AB AE A = ，,AB AE ⊂平面ABE ，所以CD ⊥平面ABE ，又CD ⊂平面CDE ，所以平面ABE ⊥平面.CDE （2）由（1）可知，CD ⊥平面ABME ，又AM ⊂平面ABME ，所以CD AM ⊥.而点A 到直线CD 的距离为，故AM =在等腰直角三角形CDE 中，由EC ED ==得2, 1.CD MC MD ME ====在等腰三角形BCD 中，由1MC MD ==，BC BD ==，得BM =在平行四边形ABME 中，AE BM ==1AB EM ==，AM =由余弦定理得222cos 2·EM AE AM MEA EM AE +-∠==，所以cos BME ∠=2BE ==.因为22222221BE ME BM +=+==，所以BE ME ⊥.因为平面ABME ⊥平面CDE ，平面ABME 和平面CDE 的交线为ME ，BE 在平面ABME 内.所以BE ⊥平面.CDE 如图，以E 为坐标原点，,,EC ED EB 分别为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系.则())()()0,0,0,,,0,0,2,2,E C D B A F ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以()(),0,2,.CD DB FB ⎫===⎪⎪⎭ 设平面BCD 的法向量为()111,,m x y z = ，则00m CD m DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1111020z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩.则可取12x =，得(2,m = .设平面BDF 的法向量为()222,,n x y z = ，则00n FB n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22222020y z z +=⎪+=⎩.取21z =，则()n =- ．设平面BDF 与平面BCD 的夹角为θ，则cos θ所以平面BDF 与平面BCD5．（2024·辽宁·二模）棱长均为2的斜三棱柱111ABC A B C -中，1A 在平面ABC 内的射影O 在棱AC 的中点处，P 为棱11A B（包含端点）上的动点．(1)求点P 到平面1ABC 的距离；(2)若AP ⊥平面α，求直线1BC 与平面α所成角的正弦值的取值范围．【答案】(2)2[5.【分析】（1）以O 为原点建立空间直角坐标系，求出平面1ABC 的法向量，再利用点到平面距离的向量求法求解即得.（2）由向量共线求出向量AP 的坐标，再利用线面角的向量求法列出函数关系，并求出函数的值域即可.【详解】（1）依题意，1A O ⊥平面ABC ，OB AC ⊥(底面为正三角形)，且1A O OB ==以O 为原点，1,,OB OC OA 的方向分别为,,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图，则11(0,0,0),(0,1,0),(0,2),(0,1,0),O A C A B C -，1AC = ，1(BC = ，1AA = ，由11//A B AB ，11A B ⊄平面1ABC ，AB ⊂平面1ABC ，则11//A B 平面1ABC ，即点P 到平面1ABC 的距离等于点1A 到平面1ABC 的距离，设(,,)n x y z = 为平面1ABC的一个法向量，由113020n AC y n BC y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取3z =，得(1,n = ，因此点1A 到平面1ABC的距离1||||AA n d n ⋅=== 所以点P 到平面1ABC．（2）设111A P A B λ= ，[0,1]λ∈，则111,1AP AA A P AA AB λλλ=+=+=+=+ ，由AP α⊥，得AP 为平面α的一个法向量，设直线1BC 与平面α所成角为θ，则111||sin |cos ,|||||BC AP BC AP BC AP θ⋅=〈〉=== 令5t λ=-，则5t λ=-，[4,5]t ∈，则sin θ====，由[4,5]t ∈，得111[,54t ∈，于是21752557()[,]38762516t -+∈，5]2，则2sin [5θ∈，所以直线1BC 与平面α所成角的正弦值的取值范围是2[5.6．（2024·重庆·模拟预测）在如图所示的四棱锥P -ABCD 中，已知AB CD ∥，90BAD ︒∠=，2CD AB =，PAB 是正三角形，点M 在侧棱PB 上且使得//PD 平面AMC ．(1)证明：2PM BM =；(2)若侧面PAB ⊥底面ABCD ，CM 与底面ABCDP AC B --的余弦值．【答案】(1)证明见解析；【分析】（1）连接BD 与AC 交于点E ，连接EM ，由已知得AB EB CD ED=，由线面平行的性质得PD EM ∥，根据三角形相似可得12EB BM ED PM ==，即2PM BM =（2）设AB 的中点O ，首先由已知得PO ⊥底面ABCD ，在PAB 中过点M 作MF PO ∥交AB 于点F ，得MF ⊥底面ABCD ，则MCF ∠为CM 与底面ABCD 所成角，在底面ABCD 上过点O 作OG AC ⊥于点G ，则PGO ∠是二面角P AC B --的平面角，根据条件求解即可【详解】（1）证明：连接BD 与AC 交于点E ，连接EM ，在EAB 与ECD 中，∵AB CD ∥，∴AB EB CD ED=，由2CD AB =，得2ED EB =，又∵//PD 平面AMC ，而平面PBD 平面AMC ME =，PD ⊂平面PBD ，∴PD EM ∥，∴在PBD △中，12EB BM ED PM ==，∴2PM BM =；（2）设AB 的中点O ，在正PAB 中，PO AB ⊥，而侧面PAB ⊥底面ABCD ，侧面PAB ⋂底面ABCD AB =，且PO ⊂平面PAB ，∴PO ⊥底面ABCD ，在PAB 中过点M 作//MF PO 交AB 于点F ，∴MF ⊥底面ABCD ，∴MCF ∠为CM 与底面ABCD 所成角，∴MF CF =，设6AB a =，则MF =，∴11CF a =，BF a ==，则在直角梯形ABCD 中，5AF a =，而12CD a =，则AD ==，在底面ABCD 上过点O 作OG AC ⊥于点G ，则PGO ∠是二面角P AC B --的平面角，易得3OA a =，AC =，在梯形ABCD 中，由3OA AC a OG AD OG =⇒=OG =，在Rt POG △中，PG =，∴cos OG PGO PG ∠==．7．（2024·安徽·模拟预测）2023年12月19日至20日，中央农村工作会议在北京召开，习近平主席对“三农”工作作出指示．某地区为响应习近平主席的号召，积极发展特色农业，建设蔬菜大棚．如图所示的七面体ABG CDEHF -是一个放置在地面上的蔬菜大棚钢架，四边形ABCD 是矩形，8AB =m ，4=AD m ，1ED CF ==m ，且ED ，CF 都垂直于平面ABCD ，5GA GB ==m ，HE HF =，平面ABG ⊥平面ABCD ．(1)求点H 到平面ABCD 的距离；(2)求平面BFHG 与平面AGHE 所成锐二面角的余弦值．【答案】(1)4(2)413【分析】（1）取,AB CD 的中点,M N ，证得平面//ADE 平面MNHG ，得到//AE GH ，再由平面//ABG 平面CDEHG ，证得//AG EH ，得到平行四边形AGHE ，得到GH AE =，求得4HN =，结合⊥HN 平面ABCD ，即可求解；（2）以点N 为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面BFHG 和平面AGHE 的法向量(1,3,4)n = 和(1,3,4)m =- ，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】（1）如图所示，取,AB CD 的中点,M N ，连接,,GM MN HN ，因为GA GB =，可得GM AB ⊥，又因为平面ABG ⊥平面ABCD ，且平面ABG ⋂平面ABCD AB =，GM ⊂平面ABG ，所以GM ⊥平面ABCD ，同理可得：⊥HN 平面ABCD ，因为ED ⊥平面ABCD ，所以//ED HN ，又因为ED ⊄平面MNHG ，HN ⊂平面MNHG ，所以//ED 平面MNHG ，因为//MN AD ，且AD ⊄平面MNHG ，MN ⊂平面MNHG ，所以//AD 平面MNHG ，又因为AD DE D ⋂=，且,AD DE ⊂平面ADE ，所以平面//ADE 平面MNHG ，因为平面AEHG 与平面ADE 和平面MNHG 于,AE GH ，可得//AE GH ，又由//GM HN ，//AB CD ，且AB GM M = 和CD HN N = ，所以平面//ABG 平面CDEHG ，因为平面AEHG 与平面ABG 和平面CDEHF 于,AG EH ，所以//AG EH ，可得四边形AGHE 为平行四边形，所以GH AE =，因为AE ===，所以GH =在直角AMG，可得3GM ===，在直角梯形GMNH中，可得34HN ==，因为⊥HN 平面ABCD ，所以点H 到平面ABCD 的距离为4.（2）解：以点N 为原点，以,,NM NC NH 所在的直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则(0,4,1),(0,4,1),(4,0,3),(0,0,4)E F G H -，可得(0,4,3),(0,4,3),(4,0,1)HE HF HG =--=-=- ，设平面BFHG 的法向量为(,,)n x y z = ，则40430n HG x z n HF y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，取4z =，可得1,3x y ==，所以(1,3,4)n = ，设平面AGHE 的法向量为(,,)m a b c = ，则40430m HG a c m HE b c ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩ ，取4c =，可得1,3a b ==-，所以(1,3,4)m =- ，则4cos ,13m n m n m n ⋅=== ，即平面BFHG 与平面AGHE 所成锐二面角的余弦值413.8．（2024·重庆·模拟预测）如图，ACDE 为菱形，2AC BC ==，120ACB ∠=︒，平面ACDE ⊥平面ABC ，点F 在AB 上，且2AF FB =，M ，N 分别在直线CD ，AB 上．(1)求证：CF ⊥平面ACDE ；(2)把与两条异面直线都垂直且相交的直线叫做这两条异面直线的公垂线，若60EAC ∠=︒，MN 为直线CD ，AB 的公垂线，求AN AF的值；(3)记直线BE 与平面ABC 所成角为α，若tan α>BCD 与平面CFD 所成角余弦值的范围．【答案】(1)证明见解析(2)913AN AF =(3)【分析】（1）先通过余弦定理及勾股定理得到CF AC ⊥，再根据面面垂直的性质证明；（2）以C 为原点，CA 的方向为x 轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系C xyz -，利用向量的坐标运算根据00MN CD MN AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，列方程求解即可；（3）利用向量法求面面角，然后根据tan α>.【详解】（1）2222cos 12AB AC BC AC BC ACB AB =+-⋅⋅∠==，2AF FB =，所以AF =1233CF CA CB =+ ，22214449993CF CA CB CA CB =++⋅= ，222416433AC CF AF +=+==，则CF AC ⊥，又因为平面ACDE ⊥平面ABC ，平面ACDE 平面ABC AC CF =⊂，面ABC ，故CF ⊥平面ACDE ；（2）以C 为原点，CA 的方向为x 轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系C xyz -，由60EAC ∠=︒，可得120DCA ∠=︒，2DC =，所以()(()0,0,0,,2,0,0,C D A F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭所以AF ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，(CD =- ，设2,0AN AF λλ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭，则22,0N λ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，设CM CD μ=，则()M μ-，22,MN λμ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭ ，由题知，223004442003MN CD MN AF λμμλμλ---=⎧⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨--+=⋅=⎪⎪⎩⎩，解得913λ=，213μ=-，故913AN AF =；（3）()B -，设EAC θ∠=，则()22cos ,0,2sin E θθ-，()32cos ,2sin BE θθ=- ，可取平面ABC 的法向量()0,0,1n = ，则sin cos ,n BE n BE n BEα⋅====⋅，cos α=，则tan α=>整理得210cos 9cos 20θθ-+<，故21cos ,52θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，CF ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，()2cos ,0,2sin CD θθ=-，()CB =- ，记平面CDF 的法向量为()1,,n x y z =，则有112cos 2sin 0000x z n CD y n CF θθ-+=⎧⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨=⋅=⎪⎪⎩⎩，可得()1sin ,0,cos n θθ= ，记平面CBD 的法向量为()2,,n a b c =，则有222cos 2sin 0000a c n CD a n CB θθ⎧-+=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨-=⋅=⎪⎪⎩⎩ ，可得)2,sin n θθθ= ，记平面BCD 与平面CFD 所成角为γ，则12cos cos ,n n γ== 21cos ,52θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2321sin ,425θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故cos γ=．9．（2024·安徽·二模）将正方形ABCD 绕直线AB 逆时针旋转90︒，使得CD 到EF 的位置，得到如图所示的几何体．(1)求证：平面ACF ⊥平面BDE；(2)点M 为 DF 上一点，若二面角C AM E --的余弦值为13，求MAD ∠．【答案】(1)证明见解析(2)45MAD ︒∠=【分析】（1）根据面面与线面垂直的性质可得BD AF ⊥，结合线面、面面垂直的判定定理即可证明；（2）建立如图空间直角坐标系，设MAD α∠=，1AB =，利用空间向量法求出二面角C AM E --的余弦值，13=，结合三角恒等变换求出α即可.【详解】（1）由已知得平面ABCD ⊥平面ABEF ，AF AB ⊥，平面ABCD ⋂平面ABEF AB =，AF ⊂平面ABEF ，所以AF ⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，故BD AF ⊥，因为ABCD 是正方形，所以BD AC ⊥，AC ，AF ⊂平面ACF ，AC AF A ⋂=，所以BD ⊥平面ACF ，又BD ⊂平面BDE ，所以平面ACF ⊥平面BDE .（2）由（1）知AD ，AF ，AB 两两垂直，以AD ，AF ，AB 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图.设MAD α∠=，1AB =，则()0,0,0A ，()cos ,sin ,0M αα，()1,0,1C ，()0,1,1E ，故()cos ,sin ,0AM αα= ，()1,0,1AC = ，()0,1,1AE = 设平面AMC 的法向量为()111,,m x y z = ，则0m AC ⋅= ，0m AM ⋅= 故111100x z x cos y sin αα+=⎧⎨+=⎩，取1sin x α=，则1cos y α=-，1sin z α=-所以()sin ,cos ,sin m ααα=--设平面AME 的法向量为()222,,n x y z = ，0n AE ⋅= ，0n AM ⋅= 故222200y z x cos y sin αα+=⎧⎨+=⎩，取2sin x α=，则2cos y α=-，2cos z α=所以()sin ,cos ,cos n ααα=- ，所以cos ,m n = ，13=，化简得：22sin 29sin 270αα-+=，解得sin 21α=或7sin 22α=（舍去）故45α=︒，即45MAD ∠=︒.10．（2024·安徽黄山·二模）如图，已知AB 为圆台下底面圆1O 的直径，C 是圆1O 上异于,A B 的点，D 是圆台上底面圆2O 上的点，且平面DAC ⊥平面ABC ，2DA DC AC ===，4BC =，E 是CD 的中点，2BF FD = ．(1)证明：2//DO BC ；(2)求直线DB 与平面AEF 所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析【分析】（1）取AC 的中点O ，根据面面垂直的性质定理，可得DO ⊥平面ABC ，即可求证21//DO OO ，进而可证矩形，即可根据线线平行以及平行的传递性求解.（2）建系，利用向量法，求解法向量1(1,2n =-与方向向量(1,4,DB =-的夹角，即可求解．【详解】（1）证明：取AC 的中点为O ，连接DO ，1OO ，12O O ，DA DC =Q ，O 为AC 中点，DO AC ∴⊥，又平面DAC ⊥平面ABC ，且平面DAC ⋂平面ABC AC =，DO ⊂平面DAC,DO ∴⊥平面ABC ，12//DO O O ∴，12DO O O =，故四边形12DOO O 为矩形，21//DO OO ∴，又O ，1O 分别是AC ，AB 的中点，1//OO BC ∴，2//DO BC ∴；（2）C 是圆1O 上异于A ，B 的点，且AB 为圆1O 的直径，BC AC ∴⊥，1OO AC ∴⊥，∴如图以O为原点建立空间直角坐标系，由条件知DO =(1A ∴,0,0),(1B -,4,0),(1C -,0,0),D ，∴1(2E -，设(F x ,y ,)z ，∴(1,4,)BF x y z =+-，(,)FD x y z =--- ，由2BF FD =，得14(,33F -，∴44(,33AF =- ，∴(1,4,DB =-，3(2AE =- ，设平面AEF 法向量为111(,,)n x y z = ，则1111130244033n AE x n AF x y z ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=-++=⎪⎩，取1(1,2n =- ，设直线BD 与平面AEF 所成角为θ，则sin |cos ,|n DB θ=<>= ∴直线BD 与平面AEF11．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）正四棱台1111ABCD A B C D -的下底面边长为1112A B AB =，M 为BC 中点，已知点P 满足()1112AP AB AD AA λλλ=-+⋅+ ，其中()0,1λ∈．(1)求证1D P AC ⊥；(2)已知平面1AMC 与平面ABCD 所成角的余弦值为37，当23λ=时，求直线DP 与平面1AMC 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析【分析】（1）方法一运用空间向量的线性运算，进行空间位置关系的向量证明即可.方法二：建立空间直角坐标系，进行空间位置关系的向量证明即可.（2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求解即可.【详解】（1）方法一：∵1112A B AB =，∴112AA AB AA AD ⋅=⋅== ．∵1112D A AD AA =-- ∴()()111111122D P D A AP AB AD AA λλλ⎛⎫=+=-+-+- ⎪⎝⎭ ∴()()()11111122D P AC AB AD AA AB AD λλλ⎡⎤⎛⎫⋅=-+-+-⋅+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ()()()22111111122AB AD AB AA AD AA λλλλ⎛⎫=-+-+-⋅+-⋅ ⎪⎝⎭ ()()1181841022λλλ⎛⎫=-+-+-= ⎪⎝⎭．∴1D P AC ⊥ ，即1D P AC ⊥．方法二：以底面ABCD 的中心O 为原点，以OM 方向为y 轴，过O 点平行于AD 向前方向为x 轴，以过点O 垂直平面ABCD 向上方向为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，设正四棱台的高度为h，则有)A，)B，()C，()D，1A h⎫⎪⎪⎭，1C h⎛⎫⎪⎪⎝⎭，1D h⎛⎫⎪⎪⎝⎭，()M，()AC=-()()()110,,,2AP h λλλλ⎛⎫⎛⎫=-+-+=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1D A h⎫=-⎪⎪⎭，11D P D A AP h hλ⎛⎫=+=-⎪⎪⎝⎭．故1AC D P⋅=，所以1D P AC⊥．（2）设平面ABCD的法向量为()0,0,1n=，设平面1AMC的法向量为(),,m x y z=，()AM=，1AC h⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭，则有1AM mAC m⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即x y hz⎧+=⎪⎨++=⎪⎩，令x=，则(),3m=．又题意可得3cos,7m n==，可得2h=．因为23λ=，经过计算可得40,0,3P⎛⎫⎪⎝⎭，12D⎛⎫⎪⎪⎝⎭，143D P⎫=⎪⎭．将2h=代入，可得平面1AMC的法向量()m=．设直线DP与平面1AMC所成角的为θsin cos DP θ= 12．（2024·辽宁·三模）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A ⊥底面1,2ABC AC AA ==，1,AB BC =，点E 为线段AC 的中点.(1)求证：1AB 平面1BEC ；(2)若1π3A AC ∠=，求二面角1A BE C --的余弦值.【答案】(1)证明见详解(2)【分析】（1）连接1BC ，交1B C 于点N ，连接NE ，利用线面平行的判定定理证明；（2）由已知可知，1AA C △为等边三角形，故1A E AC ⊥，利用面面垂直的性质定理可证得1A E ⊥底面ABC ，进而建立空间直角坐标系，利用向量法即可求二面角余弦值.【详解】（1）连接1BC ，交1B C 于点N ，连接NE ，因为侧面11BCC B 是平行四边形，所以N 为1B C 的中点，又因为点E 为线段AC 的中点，所以1//NE AB，因为1AB ⊄面1BEC ，NE ⊂面1BEC ，所以1//AB 面1BEC .（2）连接1AC ，1A E ，因为1π3A AC ∠=，12AC AA ==，所以1AA C △为等边三角形，12AC =，因为点E 为线段AC 的中点，所以1A E AC ⊥，因为侧面11ACC A ⊥底面ABC ，平面11ACC A 平面ABC AC =，1A E ⊂平面11ACC A ，所以1A E ⊥底面ABC ，过点E 在底面ABC 内作EF AC ⊥，如图以E 为坐标原点，分布以EF ，EC ，1EA 的方向为,,x y z 轴正方向建立空间直角坐标系，则()0,0,0E，1,02B ⎫-⎪⎪⎭，(10,C ，所以1,02EB ⎫=-⎪⎪⎭，(10,EC = ，设平面1BEC 的法向量为(),,m x y z = ，则110220m EB x y m EC y ⎧⋅=-=⎪⎨⎪⋅==⎩ ，令1x =，则2y z ==-，所以平面1BEC的法向量为()2m =- ，又因为平面ABE 的法向量为()0,0,1n =，则cos ,m n == ，经观察，二面角1A BE C --的平面角为钝角，所以二面角1A BE C --的余弦值为13．（2024·广东广州·一模）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，DCP 是等边三角形，π4DCB PCB ∠∠==，点M ，N 分别为DP 和AB 的中点.(1)求证：//MN 平面PBC ；(2)求证：平面PBC ⊥平面ABCD ；(3)求CM 与平面PAD 所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；【分析】（1）取PC 中点E ，由已知条件，结合线面平行的判断推理即得.（2）过P 作PQ BC ⊥于点Q ，借助三角形全等，及线面垂直的判定、面面垂直的判定推理即得.（3）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求解即得.【详解】（1）取PC 中点E ，连接,ME BE ，由M 为DP 中点，N 为AB 中点，得1//,2ME DC ME DC =，又1//,2BN CD BN CD =，则//,ME BN ME BN =，因此四边形BEMN 为平行四边形，于是//MN BE ，而MN ⊄平面,PBC BE ⊂平面PBC ，所以//MN 平面PBC .（2）过P 作PQ BC ⊥于点Q ，连接DQ ，由π,,4DCB PCB CD PC QC QC ∠=∠===，得QCD ≌QCP △，则π2DQC PQC ∠=∠=，即DQ BC ⊥，而2224PQ DQ PQ DQ PD ==+==，因此PQ DQ ⊥，又,,DQ BC Q DQ BC =⊂ 平面ABCD ，则PQ ⊥平面ABCD ，PQ ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面ABCD .（3）由（2）知，直线,,QC QD QP 两两垂直，以点Q 为原点，直线,,QC QD QP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(C P D M A -，((2,0,0),(0,CM AD DP === ，设平面PAD 的一个法向量(,,)n x y z =，则200n AD x n DP ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩ ，令1y =，得(0,1,1)n = ，设CM 与平面PAD 所成角为θ，||sin |cos ,|||||CM n CM n CM n θ⋅=〈〉=== 所以CM 与平面PAD14．（2024·广东梅州·二模）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，PAD 为等边三角形，//AD BC ，AD AB ⊥，22AD AB BC ===．(1)求证：AD PC ⊥；(2)点N 在棱PC 上运动，求ADN △面积的最小值；(3)点M 为PB 的中点，在棱PC 上找一点Q ，使得//AM 平面BDQ ，求PQ QC的值．【答案】(1)证明见解析(3)4【分析】（1）取AD 的中点H ，连接PH ，CH ，依题意可得四边形ABCH 为矩形，即可证明CH AD ⊥，再由PH AD ⊥，即可证明AD ⊥平面PHC ，从而得证；（2）连接AC 交BD 于点G ，连接MC 交BQ 于点F ，连接FG ，即可得到12CG AG =，再根据线面平行的性质得到12CF FM =，在PBC 中，过点M 作//MK PC ，即可得到2MK CQ =，最后由2PQ MK =即可得解.【详解】（1）取AD 的中点H ，连接PH ，CH ，则//AH BC 且AH BC =，又AD AB ⊥，所以四边形ABCH 为矩形，所以CH AD ⊥，又PAD 为等边三角形，所以PH AD ⊥，PH CH H = ，,PH CH ⊂平面PHC ，所以AD ⊥平面PHC ，又PC ⊂平面PHC ，所以AD PC ⊥.（2）连接HN ，由AD ⊥平面PHC ，又HN ⊂平面PHC ，所以AD HN ⊥，所以12ADH S AD HN HN =⋅= ，要使ADN △的面积最小，即要使HN 最小，当且仅当HN PC ⊥时HN 取最小值，因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PH ⊂平面PAD ，所以PH ⊥平面ABCD ，又HC ⊂平面ABCD ，所以PH HC ⊥，在Rt HPC 中，2CH =，PH =PC ==当HN PC ⊥时PH CH HN PC ⋅===所以ADN △.（3）连接AC 交BD 于点G ，连接MC 交BQ 于点F ，连接FG ，因为//AD BC 且22AD BC ==，所以CGB AGD ∽，所以12CG BC AG AD ==，因为//AM 平面BDQ ，又AM ⊂平面ACM ，平面BDQ 平面ACM GF =，所以//GF AM ，所以12CF CG FM AG ==，在PBC 中，过点M 作//MK PC ，则有2MK MF CQ CF==，所以2PQ MK =，所以24PQ MK CQ ==，即4PQ QC =15．（2024·广东广州·模拟预测）如图所示，圆台12O O 的轴截面11A ACC 为等腰梯形，111224,AC AA AC B ===为底面圆周上异于,A C 的点，且,AB BC P =是线段BC 的中点.(1)求证：1C P //平面1A AB .(2)求平面1A AB 与平面1C CB 夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)17【分析】（1）取AB 的中点H ，连接1,A H PH ，证明四边形11A C PH 为平行四边形，进而得1C P //1A H ，即可证明；（2）建立空间直角坐标系，求两平面的法向量，利用平面夹角公式求解.【详解】（1）取AB 的中点H ，连接1,A H PH ，如图所示，因为P 为BC 的中点，所以PH //1,2AC PH AC =.在等腰梯形11A ACC 中，11A C //111,2AC A C AC =，所以HP //1111,A C HP A C =，所以四边形11A C PH 为平行四边形，所以1C P //1A H ，又1A H ⊂平面11,A AB C P ⊄平面1A AB ，所以1C P //平面1A AB .（2）因为,AB BC =故2O B AC ⊥，以直线22,O A O B ，21O O 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，在等腰梯形11A ACC 中，111224AC AA AC ===，此梯形的高为h ==因为11111,2A C AC A C =//AC ，则()()(()210,0,0,2,0,0,,0,2,0,O A A B ()(12,0,0,C C --，所以11(1,(2,2,0),(2,2,0),(1,2,BC BC AB A B =--=--=-=- .设平面1A AB 的法向量为(),,m x y z =，则220,20,x y x y -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩令1y =，得m ⎛= ⎝ .设平面1C CB 的法向量为(),,n a b c = ，则20,220,a b a b ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩令a =1)n =- .设平面1A AB 与平面1C CB 的夹角为θ，则1cos cos 7θ= .16．（2024·广东深圳·二模）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C ⊥底面ABC ，且AB AC =，11A B A C =．(1)证明：1AA ⊥平面ABC ；(2)若12AA BC ==，90BAC ∠=︒，求平面1A BC 与平面11A BC 夹角的余弦值．【答案】(1)证明见解析；【分析】（1）取BC 的中点M ，连结MA 、1MA ，根据等腰三角形性质和线面垂直判定定理得BC ⊥平面1A MA ，进而由11A A B B 得1B B BC ^，再证明1B B ⊥平面ABC 即可得证.（2）建立空间直角坐标系，用向量法求解即可；也可用垂面法作出垂直于1A B 的垂面，从而得出二面角的平面角再进行求解即可.【详解】（1）取BC 的中点M ，连结MA 、1MA ．因为AB AC =，11A B A C =，所以BC AM ⊥，1BC A M ⊥，由于AM ，1A M ⊂平面1A MA ，且1AM A M M ⋂=，因此BC ⊥平面1A MA ，因为1A A ⊂平面1A MA ，所以1BC A A ⊥，又因为11A A B B ，所以1B B BC ^，。

【高考压轴题】空间立体几何经典大题汇编100题(含答案)

【高考压轴题】空间立体几何经典大题汇编100题(含答案)

【高考压轴题】空间立体几何经典大题汇编100题（含答案)未命名一、解答题1．直三棱柱'''ABC A B C -中，底面ABC 是边长为2的正三角形，'D 是棱''A C 的中点，且'AA =.（1）若点M 为棱'CC 的中点，求异面直线'AB 与BM 所成角的余弦值； （2）若点M 在棱'CC 上，且'A M ⊥平面''AB D ，求线段CM 的长.2．如图，在三棱台DEF ABC -中，2AB DE =，CF ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，45BAC ∠=︒，CF DE =，,G H 分别为,AC BC 的中点.（1）求证：//BD 平面FGH ；（2）求平面FGH 与平面ACFD 所成角（锐角）的大小.3．在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ==12AB AA ==，E 是棱1CC 的中点.(1)求证：平面1A AB ⊥平面1A BE ； (2)求二面角1A BE A --的余弦值.4．如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面,,ABCD AB AD CD BC ==. （1）求证：平面PBD ⊥平面PAC ； （2）若120,60B A D B CD ∠=∠=，且P B P D ⊥，求二面角B PC D --的平面角的大小.5．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11BB C C 是矩形，11AB B C ⊥，平面1A BC ⊥平面11AB C .（1）求证：11AB A B ⊥；（2）若113B C =，4AB =，160ABB ︒∠=，求二面角1A A C B --的余弦值.6．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是111,CC B C 的中点．（1）求证：1A F //平面1AD E ； （2）求二面角1D E A DC --余弦值.7．在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，//EF AB ，1DE EF ==，2DC BF ==，30EAD ︒∠=.（Ⅰ） 求证：AE ⊥平面CDEF ；（Ⅱ）在线段BD 上确定一点G ，使得平面EAD 与平面FAG 所成的角为30︒. 8．已知四棱锥P ABCD -中，平面PCD ⊥平面ABCD ，且22PD PC BC ===， 2,3BCD ABD π∠=∆是等边三角形，AC B D E =. (1)证明：PC ⊥平面PAD ； (2)求二面角P AB C --的余弦值.9．已知直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB AD ⊥，22AB AD CD ===，E 、F 分别是边AD 、BC 上的点，且//EF AB ，沿EF 将EFCD 折起并连接成如图的多面体CD ABFE -，折后BE ED ⊥．（Ⅰ）求证：AE FC ⊥；（Ⅱ）若折后直线AC 与平面ABFE 所成角θABCD ⊥平面FCB ．10．如图，在四棱锥S ABCD -中，SA ⊥平面ABCD ，且90ABC BCD ∠=∠=︒，22SA AB BC CD ====，E 是边SB 的中点．（1）求证：AE ⊥平面SBC ；（2）若F 是线段SB 上的动点（不含端点）：问当BF FS为何值时，二面角D CF B--余弦值为10-． 11．如图，已知三棱柱111ABC A B C -，侧面11BCC B ABC ⊥底面. (Ⅰ)若,M N 分别是1,AB AC 的中点，求证：11//MN BCC B 平面； (Ⅱ)若三棱柱111ABC A B C -的各棱长均为2，侧棱1BB 与底面ABC 所成的角为60︒，问在线段11A C 上是否存在一点P ，使得平面111B CP ACC A ⊥平面?若存在，求1C P 与1PA 的比值，若不存在，说明理由．12．已知某几何体直观图和三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形.（1）求证：BN 11C B N ⊥平面；（2）11sin C N CNB θθ设为直线与平面所成的角,求的值；（3）设M 为AB 中点，在BC 边上找一点P ，使MP //平面1CNB 并求BPPC的值. 13．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，,D E 分别是棱,BC AB 的中点，点F 在1CC 棱上，且AB AC =，13AA =，2BC CF ==.（1）求证：1//C E 平面ADF ；（2）当2AB =时，求二面角111A C E B --的余弦值.14．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知1CA CB ==，12AA =，90BCA ︒∠=．（1）求异面直线1BA 与1CB 夹角的余弦值； （2）求二面角1B AB C --平面角的余弦值．15．已知正三棱柱 中， 、 分别为 的中点，设.（1）求证：平面 平面 ；（2）若二面角 的平面角为，求实数 的值，并判断此时二面角是否为直二面角，请说明理由.16．在直三棱柱中，13,2,AA AB BC AC D ====是AC 中点. （Ⅰ）求证：1B C //平面1A BD ； （Ⅱ）求点1B 到平面1A BD 的距离； （Ⅲ）求二面角11A DB B --的余弦值.17．如图,在三棱柱ABC -111A B C 中,侧棱与底面垂直,090BAC ∠=,AB AC =1AA =2=,点,M N 分别为1A B 和11B C 的中点.(1)证明:1A M ⊥MC ;(2)求二面角N MC A --的正弦值.18．如图，四边形ABCD 是正方形，EA ⊥平面ABCD ，//EA PD ，22AD PD EA ===，F ，G ，H 分别为PB ，EB ，PC 的中点.（1）求证：//FG 平面PED ；（2）求平面FGH 与平面PBC 所成锐二面角的大小；（3）在线段PC 上是否存在一点M ，使直线FM 与直线PA 所成的角为3π？若存在，求出线段PM 的长；若不存在，请说明理由.19．已知五边形ABCDE 是由直角梯形ABCD 和等腰直角三角形ADE 构成，如图所示， AB AD ⊥， AE DE ⊥， AB CD ，且224AB CD DE ===，将五边形ABCDE 沿着AD 折起，且使平面ABCD ⊥平面ADE .（Ⅰ）若M 为DE 中点，边BC 上是否存在一点N ，使得MN 平面ABE ？若存在，求BNBC的值；若不存在，说明理由； （Ⅱ）求二面角A BE C --的平面角的余弦值.20．如图，在以,,,,,A B C D E F 为顶点的多面体中，四边形ACDF 是菱形，60,,//FAC AC BC AB DE ∠=︒⊥， //,2,1,BC EF AC BC BF ===（1）求证：BC ⊥平面ACDF ； （2）求二面角C AE F --的余弦值.21．在PABC 中，4PA =，PC =45P ∠=︒，D 是PA 中点（如图1）.将PCD ∆沿CD 折起到图2中1PCD ∆的位置，得到四棱锥1P ABCD -.（1）将PCD ∆沿CD 折起的过程中，CD ⊥平面1P DA 是否成立？并证明你的结论； （2）若1P D 与平面ABCD 所成的角为60°，且1PDA ∆为锐角三角形，求平面1P AD 和平面1P BC 所成角的余弦值.22．四棱锥P ABCD -中，侧面PDC 是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD 是60ADC ∠=︒的菱形，M 为PB 的中点，Q 为CD 的中点.（1）求证：PA CD ⊥；（2）求AQ 与平面CDM 所成的角.23．如图，在正方体ABCD – A 1B 1C 1D 1中，点E ，F ，G 分别是棱BC ，A 1B 1，B 1C 1的中点．（1）求异面直线EF 与DG 所成角的余弦值；（2）设二面角A —BD —G 的大小为θ，求 |cos θ| 的值．24．如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形， 60DAB DBF ∠=∠=︒，且F A F C =.（1）求证：AC ⊥平面BDEF ；（2）求直线AF 与平面BCF 所成角的正弦值.25．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,F G 分别是棱1,CC AD 的中点，E 为棱AB 上一点，且异面直线1B E 与BG 所成角的余弦值为25.（1）证明：E 为AB 的中点；（2）求平面1B EF 与平面11ABC D 所成锐二面角的余弦值.26．如图，ABC ∆中，02,4,90AC BC ACB ==∠=，,D E 分别是,AC AB 的中点，将ADE ∆沿DE 折起成PDE ∆，使面PDE ⊥面BCDE ，,H F 分别是PD 和BE 的中点，平面BCH 与PE ，PF 分别交于点,I G .（1）求证：//IH BC ；（2）求二面角P GI C --的正弦值.27．如图，矩形ABCD 中，6AB =，AD =点F 是AC 上的动点．现将矩形ABCD沿着对角线AC 折成二面角D AC B '--，使得D B '=．（Ⅰ）求证：当AF =D F BC '⊥；（Ⅱ）试求CF 的长，使得二面角A D F B -'-的大小为4π．28．如图，在三棱锥P ABC -中，,,CP CA CB 两两垂直且相等，过PA 的中点D 作平面α∥BC ，且α分别交PB ，PC 于M 、N ，交,AB AC 的延长线于,E F ．（Ⅰ）求证：EF ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若2AB BE =，求二面角P DM N --的余弦值.29．如图1，在M B C △中，24BM BC ==，BM BC ⊥，A ，D 分别为BM ，MC 的中点．将MAD △沿AD 折起到PAD △的位置，使90PAB ∠=，如图2，连结PB ，PC ．（Ⅰ）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若E 为PC 中点，求直线DE 与平面PBD 所成角的正弦值；（Ⅲ）线段PC 上是否存在一点G ，使二面角G AD P --求出PGPC的值；若不存在，请说明理由．30．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形.（1）求证：BD ⊥平面PAC ；（2）若PA AB BD ==，求PC 与平面PBD 所成角的正弦值.31．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，PD ⊥底面ABCD ，//,,1,AB CD AD CD AD AB BC ⊥===过A 作一个平面α使得//α平面PBC .（1）求平面α将四棱锥P ABCD -分成两部分几何体的体积之比；（2）若平面α与平面PBC PA 与平面PBC 所成角的正弦值.32．如图几何体ADM-BCN 中，ABCD 是正方形，CD //NM ，,AD MD CD CN ⊥⊥，MDC ∠=120o ，30CDN ∠=，24MN MD ==.（Ⅰ）求证：//AB CDMN 平面； （Ⅱ）求证：DN AMD ⊥平面； （Ⅲ）求二面角N AM D --的余弦值.33．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，且1PA AB ==，点E 在线段PC 上，且2PE EC =. （Ⅰ）证明：平面BDE ⊥平面PCD ； （Ⅱ）求二面角P BD E --的余弦值.34．在如图所示的多面体ABCDE 中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，AC AD CD DE 2AB 1G =====，，为AD 中点，F 是CE 的中点. （1）证明：BF 平面ACD （2）求点G 到平面BCE 的距离.35．如图所示，四棱锥P ABCD -的侧面PAD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，且//,AB CD AB AD ⊥,12CD PD AD AB ===,E 是PB 中点.（1）求证：CE ⊥平面PAB ；（2）若4CE AB ==，求直线CE 与平面PDC 所成角的大小.36．如图，在四棱锥E ABCD -中，ABD ∆是正三角形，BCD ∆是等腰三角形，120BCD ∠=，EC BD ⊥．（1）求证：BE DE =；（2）若AB =AE =EBD ⊥平面ABCD ，直线AE 与平面ABD 所成的角为45°，求二面角B AE D --的余弦值．37．如图1，在平行四边形11ABB A 中，160ABB ∠=︒，4AB =，12AA =，C 、1C 分别为AB 、11A B 的中点，现把平行四边形11ABB A 1沿C 1C 折起如图2所示，连接1B C 、1B A 、11B A ．（1）求证：11AB CC ⊥；（2）若1AB =11C AB A --的正弦值．38．如图,已知四棱锥S ABCD -中,底面ABCD 是边长为2的菱形,60BAD ∠=︒,SA SD SB ===点E 是棱AD 的中点,点F 在棱SC 上,且SF SC λ=,SA //平面BEF .（1）求实数λ的值;（2）求二面角S BE F --的余弦值.39．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，且PA PD =，90APD ︒∠=.（Ⅰ）证明：平面PAB ⊥平面PCD ； （Ⅱ）求二面角A PB C --的余弦值.40．如图，空间四边形OABC 中，,OA BC OB AC ⊥⊥.求证：OC AB ⊥.41．如图，直角梯形BDFE 中，||EF BD ，BE BD ⊥，EF =等腰梯形ABCD 中，||AB CD ，AC BD ⊥，24AB CD ==，且平面BDFE ⊥平面ABCD . （1）求证：AC ⊥平面BDFE ； （2）若BF 与平面ABCD 所成角为4π，求二面角B DF C --的余弦值.42．在如图所示的几何体中，正方形ABEF 所在的平面与正三角形ABC 所在的平面互相垂直，//CD BE ，且2BE CD =，M 是ED 的中点． （1）求证：//AD 平面BFM ；（2）求面EDF 与面ADB 所成锐二面角的大小．43．如图，四面体中，分别是的中点，（1）求证：平面;（2）求直线与平面所成角的正弦值.44．如图，已知正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1，E ，F ，G ，H 分别是棱AB ，CC '，AA '，C D ''的中点.（1）求证：EF 平面GHD ； （2）求直线EF 与BD '所成的角.45．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠ABC ＝60°，PAB ∆为正三角形，且侧面P AB ⊥底面ABCD ，E 为线段AB 的中点，M 在线段PD 上.（I ）当M 是线段PD 的中点时，求证：PB // 平面ACM ； （II ）求证：PE AC ⊥；（III ）是否存在点M ，使二面角M EC D --的大小为60°，若存在，求出PMPD的值；若不存在，请说明理由．46．长方形ABCD 中，2AB AD =，M 是DC 中点（图1）．将△ADM 沿AM 折起，使得AD BM ⊥（图2）在图2中：（1）求证：平面ADM ⊥平面ABCM ；（2）在线段BD 上是否存点E ，使得二面角E AM D --为大小为π4，说明理由． 47．如下图，在空间直角坐标系O xyz -中，正四面体（各条棱均相等的三棱锥）ABCD 的顶点,,A B C 分别在x 轴，y 轴，z 轴上.（Ⅰ）求证：//CD 平面OAB ； （Ⅱ）求二面角C AB D --的余弦值.48．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ,底面ABCD 为梯形， //AD BC ,AB DC ==1122AD AA BC ===，点P ，Q 分别为11A D ，AD 的中点.（Ⅰ）求证：//CQ 平面1PAC ； （Ⅱ）求二面角1C AP D --的余弦值；（Ⅲ）在线段BC 上是否存在点E ，使PE 与平面1PAC 所成角的正弦值是21若存在，求BE 的长；若不存在，请说明理由.49．如图在棱锥P ABCD -中，ABCD 为矩形，PD ⊥面ABCD ，2PB =，PB 与面PCD 成045角，PB 与面ABD 成030角.（1）在PB 上是否存在一点E ，使PC ⊥面ADE ，若存在确定E 点位置，若不存在，请说明理由；（2）当E 为PB 中点时，求二面角P AE D --的余弦值.50．如图所示，在底面为正方形的四棱柱1111ABCD A B C D -中，1111,2,3AA A B A D AB AA B π===∠=.（1）证明：平面1A BD ⊥平面11A BC ； （2）求直线1AC 与平面1DBC 所成角的正弦值.51．如图，在等腰梯形ABCD 中，060ABC ∠=，上底2CD =，下底4AB =，点E 为下底AB 的中点，现将该梯形中的三角形BEC 沿线段EC 折起，形成四棱锥B AECD -.（1）在四棱锥B AECD -中，求证：AD BD ⊥；（2）若平面BEC 与平面AECD 所成二面角的平面角为0120，求直线AE 与平面ABD所成角的正弦值.52．如图，已知四棱锥P ABCD - 中，//,,3,4,4,AB CD AB AD AB CD AD AP ⊥====060PAB PAD ∠=∠=.（1）证明：顶点P 在底面ABCD 的射影在BAD ∠的平分线上； （2）求二面角B PD C --的余弦值.53．如图，三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥平面11AAC C ，12AA AB AC ===，160A AC ∠=.过1AA 的平面交11B C 于点E ，交BC 于点F .(l)求证：1A C ⊥平面1ABC ；(Ⅱ)求证：四边形1AA EF 为平行四边形； (Ⅲ)若是23BF BC =，求二面角1B AC F --的大小． 54．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，平面PAD ⊥平面,//,ABCD BC AD ,PA PD ⊥,60,AB AD PDA E ⊥∠=为侧棱PD 的中点，且2,4AB BC AD ===.（1）证明：//CE 平面PAB ； （2）求二面角A PB C --的余弦值.55．如图1，梯形ABCD 中，AD BC ∥，CD BC ⊥，1BC CD ==，2AD =，E为AD 中点.将ABE ∆沿BE 翻折到1A BE ∆的位置，使11A E A D =，如图2.（Ⅰ）求证：平面1A DE ⊥与平面BCDE ； （Ⅱ）求直线1A B 与平面1A CD 所成角的正弦值；（Ⅲ）设M N 、分别为1A E 和BC 的中点，试比较三棱锥1M A CD -和三棱锥1N A CD -（图中未画出）的体积大小，并说明理由.56．如图1，梯形ABCD 中，//,,1,2,AD BC CD BC BC CD AD E ⊥===为AD中点.将ABE ∆沿BE 翻折到1A BE ∆的位置，如图2.（Ⅰ）求证：平面1A DE ∆⊥平面BCDE ； （Ⅱ）求直线1A B 与平面1A CD 所成角的正弦值；（Ⅲ）设,M N 分别为1A E 和BC 的中点，试比较三棱锥1M A CD -和三棱锥1N A CD -（图中未画出）的体积大小，并说明理由.57．如图,在几何体ABCDEF 中，四边形ADEF 为矩形，四边形ABCD 为梯形,//AB CD ,平面CBE 与平面BDE 垂直，且CB BE ⊥.。

2021年高考数学压轴题100题精选含答案

2021年高考数学压轴题100题精选含答案

S 13 23 2 9
∴梯形的面积为 2
2 2 ，故正确.
C：如下图知：四面体 ACBD 的体积为正方体体积减去四个直棱锥的体积，
V 841 18 8
∴
32
3 ，而四面体的棱长都为 22 ，有表面积为
S 4 1 2 2 2 2 sin 8 3
2
3
，
18 3r 8 r 3
4 r2 4
| AM || DB | 5 8 10 ，故正确. B：若 N 为 CC 的中点，连接 MN，则有 MN / / AD ，如下图示，
∴梯形 AMND’为过三点 A 、 M 、 D 的正方体 ABCD ABCD 的截面，
32 而 MN 2, AD 2 2, AM DN 5 ，可得梯形的高为 2 ，
【答案】ABD
【分析】
选项 A，B 可利用球的截面小圆的半径来判断；由平面 A1BD// 平面 B1D1C ，知满足 A1P// 平面 B1D1C
的点 P 在 BD 上， A1P 长的最大值为
2r A1P 2 ；结合以上条件点 P 与 B 或 D 重合，利用 sin 60 ，求
r 6 出 3 ，进而求出面积.
A(0, 0, 2), M ( 2 , 3 2 , 2),C(0, 2 2, 0)
构建如下空间直角坐标系，
22
， 若 P(x, y,0) ， 则
AM ( 2 , 3 2 , 0), AC (0, 2 2, 2), AP (x, y, 2)
22
，
cos MAC AM AC 6 15
∴
| AM || AC | 5 12 5 ，
【详解】
对 A 选项，如下图：由 A1P 3 ，知点 P 在以 A1 为球心，半径为 3 的球上，又因为 P 在底面 ABCD 内（含边界），底面截球可得一个小圆，由 A1A 底面 ABCD，知点 P 的轨迹是在底面上以 A 为圆心 的小圆圆弧，半径为 r A1P2 A1A2 2 ，则只有唯一一点 C 满足，故 A 正确；

最新高考立体几何压轴题精选

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ABCDE F1．甲烷分子由一个碳原子和四个氢原子组成,其空间构型为一正四面体,碳原子位于该正四 面体的中心,四个氢原子分别位于该正四面体的四个顶点上.若将碳原子和氢原子均视为一 个点(体积忽略不计),且已知碳原子与每个氢原子间的距离都为a ,则以四个氢原子为顶点 的这个正四面体的体积为( ) A,3827a3 C,313a D,389a 2．夹在两个平行平面之间的球,圆柱,圆锥在这两个平面上的射影都是圆,则它们的体积之比为( )A,3:2:1 B,2:3:1 C,3:6:2 D,6:8:33．设二面角a αβ--的大小是060,P 是二面角内的一点,P 点到,αβ的距离分别为1cm, 2cm,则点P 到棱a 的距离是( )A,3B,3cm C,23cmD,3cm 4．如图,E,F 分别是正三棱锥A -BCD 的棱AB,BC的中点,且DE ⊥EF.若BC=a ,则此正三棱锥的体积是( )A,324aB,324aC,312aD,312a 5．棱长为的正八面体的外接球的体积是( ) A,6πB,27C,3D,3 6．若线段AB 的两端点到平面α的距离都等于2,则线段AB 所在的直线和平面α的位置关系是 .7．若异面直线,a b 所原角为060,AB 是公垂线,E,F 分别是异面直线,a b 上到A,B 距离为 2和平共处的两点,当3EF =时,线段AB 的长为 .8．如图(1),在直四棱柱1111A B C D ABCD -中,当底面四边形ABCD 满足条件 时,有1A C ⊥1B 1D (注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形)CDF ABOCD EOAA B C D P Q9．如图(2),是一个正方体的展开图,在原正方体中,有下列命题: ①AB 与EF 所连直线平行; ②AB 与CD 所在直线异面; ③MN 与BF 所在直线成060; ④MN 与CD 所在直线互相垂直.其中正确命题的序号为 .(将所有正确的都写出)10．如图,在ABC ∆中,AB=AC=13,BC=10,DE//BC 分别交AB,AC 于D,E.将ADE ∆沿 DE 折起来使得A 到1A ,且1A DE B --为060的二面角,求1A 到直线BC 的最小距离.11．如图,已知矩形ABCD 中,AB=1,BC=a (0)a >,PA ⊥平面ABCD,且PA=1.(1)问BC 边上是否存在点Q 使得PQ ⊥QD?并说明理由;(2)若边上有且只有一个点Q,使得PQ ⊥QD,求这时二面角Q PD A --的正切.12. 已知三角形ABC 的顶点分别是A (1, 2, 3)、B (3, 4, 5)、C (2, 4, 7), 求三角形ABC 的面积.A BCDA BC D图(1)A BENM 图(2)Pz13.在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，122AB BB ==，P 为B 1C 1的中点．（1）求直线AC 与平面ABP 所成的角；（2）求异面直线AC 与B P 所成的角； （3）求点B 到平面APC 的距离．14.如图,正四棱锥P-ABCD 中，侧棱P A 与底面ABCD 所成的角的正切值为26。

立体几何压轴题

立体几何压轴题

1. 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABC［为矩形,AB=8 AD=4 3，侧面PAD为等边三角形，并且与底面ABCD所成二面角为60(1)求四棱锥P-ABCD勺体积(2)证明PAL BD2、如图，长方体框架ABCD- A，B，C，D,，三边AB、AD、AA，的长分别为6、&3.6，AE与底面的对角线B,D,垂直于E。

(1)证明A,E BD ;(2)求AE的长n(2)若直线AM 与平面VAC 所成角为-，求三棱锥B-ACM 的体积 43、如图，已知。

O 的直径AB=3点C 为。

0上异于A , B 的一点，VC 1平面ABC, 且VC=2点M 为线段VB 的中点。

(1)求证：BC 丄平面VAC;4、如图，在多面体ABCDE中，四边形ABCD是正方形，AB=2EF=2 EF// AB, EF 丄FB,CF丄FB, BF=CF G为BC的中点,(1)求证：FG//平面BDE⑵求平面BDE与平面BCF所成锐二面角的大小；⑶求四面体B-DEF的体积。

5、如图，三棱锥P-ABC中，PC丄平面ABC PC=AC=2AB=BC D是PB上的一点, 且CD L平面PAB(1)求证AB丄平面PCB(2)求二面角C-PA-B的大小的余弦值。

仁BE7、如图，直二面角D-AB-E 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，AE=EB,F 为 CE上的点，且BF 丄平面ACE(1)求证AE!平面BCE(2)求二面角B-AC-E 的正弦值;(3)求点D 到平面ACE 的距离。

1.如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，AB=8, AD=4. 3，侧面PAD 为等边三角形, 并且与底面ABCD 所成二面角为60°（3 ）求四棱锥P-ABCD 的体积（4）证明 PA ^ BD解；＜ I ）如园L ，5UD 的中点E ，连接FE ，则PE 丄舶）・所以NFEO 为側面P2D 与底面所成的二面角的平面角*所以PO3也，四複锥P-ABCD 的体积^P-ABCO=y x 8^443«343=96 ・迭二：如图2,连接込 延卡;L O 交BD 于点F.通过计算可得£0二4 AE=2^J ）又知和二4於，A0=S -得 EO-ADAE AB朋以5.t AAEGcoRt A BAD - 得 ZEAO=ZABD-所以 ZIAO+ZADF=90°所BUF 丄BD ・因为直线AF 为頁线菲在平面圧CDF1的身剧，所以醐丄前. 2、如图，长方体框架 ABCD - A 'BC 'D '，三边 与底面的对角线 B ,D ,垂直于E 。

高考解析几何压轴题精选(含答案)

高考解析几何压轴题精选(含答案)

1. 设抛物线的焦点为，点.若线段的中点在抛物线上，则到该抛物线准线的距离为_____________。

（3分）2 .已知m＞1，直线，椭圆，分别为椭圆的左、右焦点. （Ⅰ）当直线过右焦点时，求直线的方程；（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，，的重心分别为.若原点在以线段为直径的圆内，求实数的取值范围.（6分）3已知以原点O为中心，为右焦点的双曲线C的离心率。

（I）求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；（II）如题（20）图，已知过点的直线与过点（其中）的直线的交点E在双曲线C上，直线MN与两条渐近线分别交与G、H两点，求的面积。

（8分）4.如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和.（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；（Ⅱ）设直线、的斜率分别为、，证明；（Ⅲ）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.（7分）5.在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为A、B，右焦点为F。

设过点T（）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M、，其中m>0,。

（1）设动点P满足,求点P的轨迹；（2）设，求点T的坐标；（3）设,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）。

（6分）6．如图，设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.（1）求△APB的重心G的轨迹方程.（2）证明∠PFA=∠PFB.（6分）7．设A、B是椭圆上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点.（Ⅰ）确定的取值范围，并求直线AB的方程；（Ⅱ）试判断是否存在这样的，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由.（此题不要求在答题卡上画图）（6分）8．如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F1，F2在x轴上，长轴A1A2的长为4，左准线l与x轴的交点为M，|MA1|∶|A1F1|＝2∶1．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)若点P为l上的动点，求∠F1PF2最大值．（6分）9．设F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1| : |PF2|＝2 : 1，则三角形PF1F2的面积等于______________．（3分）10．在平面直角坐标系XOY中，给定两点M（－1，2）和N（1，4），点P在X轴上移动，当取最大值时，点P的横坐标为___________________。

立体几何小题之压轴篇(解析版)

立体几何小题之压轴篇(解析版)

题目7：矩形ABCD中，AB=4,BC=3,沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B-AC-D，则四面体ABCD的外接球的体积是（答案：1256π）解析：∵∠ADC=∠ABC=90°,故AC为外接球的直径，易得2R=5⇒R=52，四面体ABCD的外接球的体积为4π3×(52)3=1256π.题型三、体积之比的最值问题题目8：如图，四棱锥P-ABCD中，底面为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，PA=4,AB=3,G,H分别在PC,CA上，且PG=45PC,PH=13PA,过直线GH作平面与侧棱PB,PD 分别交于点M,N，截面把四棱锥分成上下两部分，则上部分与下部分体积比值的最小值为解析：引理：如图，V D−EFGV D−ABC=DE∙DF∙DGDA∙DB∙DC.证明：设DB与平面DAC所成角为α，∠ADC=β，则V D−EFGV D−ABC=13×12DE∙DGsinβ∙DF∙sinα13×12DA∙DC∙sinβ∙DB∙sinα=DE∙DF∙DGDA∙DB∙DC.回归本题：设PM→=mPB→,PN→=nPD→,PG→=45PC→=45(PA→+AC→ )=45(PA→+AB→+AD→ )=45(PB→+PD→−PA→ )点评：二面角与外接球的综合题，主要利用图形的对称性即球的性质，直接作出球心，构造直角三角形进行求解。

此类题较难，江浙卷出现的较多，但是不排除全国卷也会出类似的考题。

高考数学高考数学压轴题 立体几何多选题分类精编含答案

高考数学高考数学压轴题 立体几何多选题分类精编含答案

高考数学高考数学压轴题 立体几何多选题分类精编含答案一、立体几何多选题1．如图①，矩形ABCD 的边2BC =，设AB x =，0x >，三角形BCM 为等边三角形，沿BC 将三角形BCM 折起，构成四棱锥M ABCD -如图②，则下列说法正确的有（ ）A ．若T 为BC 中点，则在线段MC 上存在点P ，使得//PD 平面MATB ．当)3,2x ∈时，则在翻折过程中，不存在某个位置满足平面MAD ⊥平面ABCDC ．若使点M 在平面ABCD 内的射影落在线段AD 上，则此时该四棱锥的体积最大值为1 D ．若1x =，且当点M 在平面ABCD 内的射影点H 落在线段AD 上时，三棱锥M HAB -6322++【答案】BCD 【分析】对于A ，延长AT 与DC 的延长线交于点N ，此时，DP 与MN 必有交点； 对于B ，取AD 的中点H ，表示出2223MH MT HT x --，验证当)3,2x ∈时，无解即可； 对于C ，利用体积公式21233V x x =⨯⨯-，借助基本不等式求最值即可； 对于D ，要求外接球半径与内切球半径，找外接圆的圆心，又内接圆半径为2323r =++【详解】对于A ，如图，延长AT 与DC 的延长线交于点N ，则面ATM ⋂面()MDC N MN =．此时，DP 与MN 必有交点，则DP 与面ATM 相交，故A 错误； 对于B ，取AD 的中点H ，连接MH ，则MH AD ⊥．若面MAD ⊥面ABCD ，则有2223MH MT HT x =-=- 当)3,2x ∈时，无解，所以在翻折过程中，不存在某个位置满足平面MAD ⊥平面ABCD故B 正确；对于C ，由题可知，此时面MAD ⊥面ABCD ，由B 可知，(3x ∈，所以()22222221223232331333232x x V x x x x ⎛⎫+-⎛⎫=⨯⨯-=-≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当223x x =-，即6x =时等号成立．故C 正确； 对于D ，由题可知，此时面MAD ⊥面ABCD ，且2MH =因为AHB ，MHB 都是直角三角形，所以M ABH -底面外接圆的圆心是中点，所以1R =，由等体积法，可求得内接圆半径为2323r =++，故61322R r ++=，故D 正确．故选：BCD ． 【点睛】本题从多个角度深度考查了立体几何的相关内容，注意辅助线的作法，以及求内接圆半径的公式、基本不等式、构造函数等核心思想．2．如图，矩形ABCD 中，M 为BC 的中点，将ABM 沿直线AM 翻折成1AB M ，连结1B D ，N 为1B D 的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是（ ）A ．存在某个位置，使得1CN AB ⊥ B ．翻折过程中，CN 的长是定值C ．若AB BM =，则1AM BD ⊥D ．若1AB BM ==，当三棱锥1B AMD -的体积最大时，三棱锥1B AMD -外接球的体积是43π【答案】BD 【分析】对于A ，取AD 中点E ，连接EC 交MD 与F ，可得到EN NF ⊥，又EN CN ⊥，且三线,,NE NF NC 共面共点，不可能；对于B ，可得由1NEC MAB ∠=∠（定值），112NE AB =（定值），AM EC =（定值），由余弦定理可得NC 是定值．对于C ，取AM 中点O ，连接1,B O DO ，假设1AM B D ⊥，易得AM ⊥面1ODB ，即可得OD AM ⊥，从而AD MD =，显然不一定成立．对于D ，当平面B 1AM ⊥平面AMD 时，三棱锥B 1﹣AMD 的体积最大，可得球半径为1，体积是43π． 【详解】对于A 选项：如图1，取AD 中点E ，连接EC 交MD 与F ， 则11////NE AB NF MB ，，又11AB MB ⊥，所以EN NF ⊥， 如果1CN AB ⊥，可得EN CN ⊥，且三线,,NE NF NC 共面共点， 不可能，故A 选项不正确；对于B 选项：如图1，由A 选项可得1AMB EFN ≈△△，故1NEC MAB ∠=∠（定值），112NE AB =（定值），AM EC =（定值）， 故在NEC 中，由余弦定理得222cos CN CE NE NE CE NEC =+-⋅⋅∠，整理得222212422AB AB AB CN AM AM BC AB AM =+-⋅⋅=+ 故CN 为定值，故B 选项正确．对于C 选项：如图，取AM 中点O ，连接1,B O DO ，由AB BM =，得1B O AM ⊥，假设1AM B D ⊥，111B D B O B =，所以AM ⊥面1ODB ，所以OD AM ⊥，从而AD MD =，显然不恒成立，所以假设不成立，可得C 选项不正确．对于D 选项：由题易知当平面1AB M 与平面AMD 垂直时，三棱锥1B AMD -的体积最大，此时1B O ⊥平面AMD ，则1B O OE ⊥，由1AB BM ==，易求得122BO =，2DM =22221122122B E OB OE ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因此1EB EA ED EM ===，E 为三棱锥1B AMD -的外接球球心，此外接球半径为1，体积是43π．故D 选项正确． 故答案为：BD ． 【点睛】本题主要考查了线面、面面平行与垂直的判定和性质定理，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于难题.本题C 选项的解题的关键在于采用反证法证明，进而推出矛盾解题，D 选项求解的关键在于把握平面1AB M 与平面AMD 垂直时，三棱锥1B AMD -的体积最大.3．在长方体1111ABCD A B C D -中，4AB BC ==，18AA =，点P 在线段11A C 上，M 为AB 的中点，则（ ） A ．BD ⊥平面PACB ．当P 为11AC 的中点时，四棱锥P ABCD -外接球半径为72C ．三棱锥A PCD -体积为定值D ．过点M 作长方体1111ABCD A B C D -的外接球截面，所得截面圆的面积的最小值为4π【答案】ACD 【分析】利用线面垂直的判定定理可判断A 选项的正误；判断出四棱锥P ABCD -为正四棱锥，求出该四棱锥的外接球半径，可判断B 选项的正误；利用等体积法可判断C 选项的正误；计算出截面圆半径的最小值，求出截面圆面积的最小值，可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，因为AB BC =，所以，矩形ABCD 为正方形，所以，BD AC ⊥， 在长方体1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥底面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，1BD AA ∴⊥，1AC AA A ⋂=，AC 、1AA ⊂平面PAC ，所以，BD ⊥平面PAC ，A 选项正确；对于B 选项，当点P 为11A C 的中点时，PA ===同理可得PB PC PD ===因为四边形ABCD 为正方形，所以，四棱锥P ABCD -为正四棱锥， 取AC 的中点N ，则PN 平面ABCD ，且四棱锥P ABCD -的外接球球心在直线PN上，设该四棱锥的外接球半径为R ，由几何关系可得222PN R AN R -+=， 即2288R R -+=，解得92R =，B 选项错误； 对于C 选项，2114822ACDSAD CD =⋅=⨯=， 三棱锥P ACD -的高为18AA =，因此，116433A PCD P ACD ACD V V S AA --==⋅=△，C 选项正确；对于D 选项，设长方体1111ABCD A B C D -的外接球球心为E ，则E 为1BD 的中点， 连接EN 、MN ，则1142EN DD ==，122MN AD ==， E 、N 分别为1BD 、BD 的中点，则1//EN DD ， 1DD ⊥平面ABCD ，EN ∴⊥平面ABCD ，MN ⊂平面ABCD ，EN MN ∴⊥，EM ∴==过点M 作长方体1111ABCD A B C D -的外接球截面为平面α，点E 到平面α的距离为d ，直线EM 与平面α所成的角为θ，则sin d EM θθ==≤ 当且仅当2πθ=时，等号成立，长方体1111ABCD A B C D -的外接球半径为222126AB AD AA R ++'==，所以，截面圆的半径()()222226252r R d '=-≥-=，因此，截面圆面积的最小值为4π，D 选项正确.故选：ACD. 【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径； ③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.4．如图，已知正方体1ABCD ABC D -的棱长为a ，E 是棱CD 上的动点.则下列结论中正确的有（ ）A ．11EB AD ⊥B ．二面角11E A B A --的大小为4πC ．三棱锥11A BDE -体积的最小值为313a D ．1//D E 平面11A B BA 【答案】ABD 【分析】连接1A D 、1B C ，则易证1AD ⊥平面11A DCB ，1EB ⊂平面11A DCB ，则由线面垂直的性质定理可以判断选项A 正确；二面角11E A B A --的平面角为1DA A ∠，易知14DA A π∠=，则可判断选项B 正确；用等体积法，将求三棱锥11A B D E -的体积转化为求三棱锥11E AB D -的体积，当点E 与D 重合时，三棱锥11E AB D -的体积最小，此时的值为316a ，则选项C 错误；易知平面11//D DCC 平面11A B BA ，而1D E ⊂平面11D DCC ，则根据面面平行的性质定理可得1//D E 平面11A B BA ，可判断选项D 正确. 【详解】选项A ，连接1A D 、1B C ，则由正方体1ABCD ABC D -可知，11A D AD ⊥，111A B AD ⊥，1111A DA B A =，则1AD ⊥平面11A DCB ，又因为1EB ⊂平面11A DCB ，所以11EB AD ⊥，选项A 正确； 选项B ，因为11//DE A B ，则二面角11E A B A --即为二面角11D A B A --， 由正方体1ABCD ABC D -可知，11A B ⊥平面1DA A ， 则1DA A ∠为二面角11D A B A --的平面角，且14DA A π∠=，所以选项B 正确；选项C ，设点E 到平面11AB D 的距离为d ， 则11111113A B D E E AB D AB D V V S d --==⋅，连接1C D 、1C B ，易证平面1//BDC 平面11AB D ，则在棱CD 上，点D 到平面11AB D 的距离最短， 即点E 与D 重合时，三棱锥11A B D E -的体积最小， 由正方体1ABCD ABC D -知11A B ⊥平面1ADD ， 所以1111123111113326D AB D B ADDADD a V V S A B a a --==⋅=⋅⋅=， 则选项C 错误；选项D ，由正方体1ABCD ABC D -知，平面11//CC D D 平面11A B BA ，且1D E ⊂平面11CC D D ， 则由面面平行的性质定理可知1//D E 平面11A B BA ，则选项D 正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题对于选项C 的判断中，利用等体积法求三棱锥的体积是解题的关键.5．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，点E ，F 分别在1CC ，1BB 上，12C E EC →→=，12BF FB →→=.动点M 在侧面11ADD A 内(包含边界)运动，且满足直线//BM 平面1D EF ，则（ ）A ．过1D ，E ，F 的平面截正方体所得截面为等腰梯形B ．三棱锥1D EFM -的体积为定值C ．动点M 10D ．过B ，E ，M 的平面截正方体所得截面面积的最小值为10【答案】BCD 【分析】由题做出过1D ，E ，F 的平面截正方体所得截面为梯形1D EFN ，进而计算即可排除A 选项；根据//BM平面1D EF ，由等体积转化法得1111D EFM M D EF B D EF D BEFV V V V ----===即可得B 选项正确；取1AA 靠近1A 点的三等分点H ， 1DD 靠近D 点的三等分点I ，易知M 的轨迹为线段HI ，故C 选项正确；过M 点做BE 的平行线交1AA 于P ，交1DD 于O ，连接,BP OE ，易知过B ，E ，M 的平面截正方体所得截面即为平行四边形BPOE ，进而得当H 位于点I 时，截面面积最小，为四边形ABEI 的面积，且面积为S AB BE =⋅= 【详解】解：对于A 选项，如图，取BF 中点G ，连接1A G ，由点E ，F 分别在1CC ，1BB 上，12C E EC →→=，12BF FB →→=，故四边形11A D EG 为平行四边形，故11//AGD E ，由于在11A B G △，F 为1B G 中点，当N 为11A B 中点时，有11////NF A G D E ，故过1D ，E ，F 的平面截正方体所得截面为梯形1D EFN ，此时1D N ==，EF ==1D EFN 不是等腰梯形，故A 选项错误；对于B 选项，三棱锥1D EFM -的体积等于三棱锥1M D EF -的体积，由于//BM平面1D EF ，故三棱锥1M D EF -的体积等于三棱锥1B D EF -的体积，三棱锥1B D EF -的体积等于三棱锥1D BEF -的体积，而三棱锥1D BEF -的体积为定值，故B 选项正确； 对于C 选项，取1AA 靠近1A 点的三等分点H ， 1DD 靠近D 点的三等分点I ，易知1////HB AG NF ，1//BI D F ，由于1,HI BI I NFD F F ==，故平面//BHI 平面1D EF ，故M 的轨迹为线段HI ，故C 选项正确；对于D 选项，过M 点做BE 的平行线交1AA 于P ，交1DD 于O ，连接,BP OE ，则过B ，E ，M 的平面截正方体所得截面即为平行四边形BPOE ，易知当H 位于点I 时，平行四边形BPOE 边BP 最小，且为AB ，此时截面平行四边形BPOE 的面积最小，为四边形ABEI 的面积，且面积为S AB BE =⋅=D 选项正确； 故选：BCD【点睛】本题解题的关键在于根据题意，依次做出过1D ，E ，F 的平面截正方体所得截面为梯形1D EFN ，过B ，E ，M 的平面截正方体所得截面即为平行四边形BPOE ，进而讨论AD选项，通过//BM平面1D EF ，并结合等体积转化法得1111D EFM M D EF B D EF D BEF V V V V ----===知B 选项正确，通过构造面面平行得M 的轨迹为线段HI ，进而讨论C 选项，考查回归转化思想和空间思维能力，是中档题.6．已知四面体ABCD 的所有棱长均为2，则下列结论正确的是（ ） A ．异面直线AC 与BD 所成角为60︒ B ．点A 到平面BCD 的距离为263C ．四面体ABCD 6πD ．动点P 在平面BCD 上，且AP 与AC 所成角为60︒，则点P 的轨迹是椭圆 【答案】BC 【分析】在正四面体中通过线面垂直可证得AC ⊥BD ，通过计算可验证BC,通过轨迹法可求得P 的轨迹为双曲线方程即可得D 错误. 【详解】取BD 中点E ,连接,AE CE ,可得BD ⊥面ACE ,则AC ⊥BD ,故A 错误；在四面体ABCD 中，过点A 作AF ⊥面BCD 于点F ,则F 为为底面正三角形BCD 的重心，因为所有棱长均为2,22263AF AB BF =-=即点A 到平面BCD 的距离为263,故B 正确；设O 为正四面体的中心则OF 为内切球的半径，OA 我外接球的半径， 因为11433A BCD BCD BCD V S AF S OF -=⋅=⨯⋅△△，所以4AF OF =，即6=6OF AO =，, 所以四面体ABCD 的外接球体积3344633V R OA πππ===,故C 正确； 建系如图：26230,0,,0,,0A C ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,设(,,0)P x y ，则262326,,0,,333AP x y AC →→⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为cos 60AP AC AP AC →→→→⋅=，所以222324812241393972y x y +=++⨯+⨯， 即222388=33y x y +++，平方化简可得：22323400399y x y ----，可知点P 的轨迹为双曲线,故D 错误. 故选：BC ．【点睛】方法点睛：立体几何中动点轨迹的求解问题，解决此类问题可采用空间向量法，利用空间向量法表示出已知的角度或距离的等量关系，从而得到轨迹方程.7．在直角梯形ABCD 中，2ABC BCD π∠=∠=，1AB BC ==，2DC =，E 为DC 中点，现将ADE 沿AE 折起，得到一个四棱锥D ABCE -，则下列命题正确的有（ ） A ．在ADE 沿AE 折起的过程中，四棱锥D ABCE -体积的最大值为13B ．在ADE 沿AE 折起的过程中，异面直线AD 与BC 所成的角恒为4π C ．在ADE 沿AE 折起的过程中，二面角A EC D --的大小为45︒D ．在四棱锥D ABCE -中，当D 在EC 上的射影恰好为EC 的中点F 时，DB 与平面ABCE所成的角的正切为15 【答案】ABD 【分析】对于A ，四棱锥D ABCE -的底面面积是固定值，要使得体积最大，需要平面DAE ⊥平面ABCE ，此时DE CE ⊥，可求得1133D ABCE ABCE V S DE -=⋅=可判断A ；对于B ，在ADE 沿AE 折起的过程中，//AE BC ，所以异面直线AD 与AE 所成的角即为AD 与BC所成角，由翻折前可知4DAE π∠=可判断B ；对于C ，利用线面垂直的判定定理，结合翻折前可知AE ⊥平面DEC ，又AE ⊂平面ABCE ，所以平面DEC ⊥平面ABCE ，即二面角A EC D --的在大小为2π判断C ；对于D ，利用线面垂直的判定定理可知DF ⊥平面ABCE ，所以DBF ∠为直线DB 与平面ABCE 所成的角，在直角DFB △中，15tan 5DF DBF BF ∠==，可判断D 正确；【详解】对于A ，ADE 沿AE 折起得到四棱锥D ABCE -，由四棱锥底面面积是固定值，要使得体积最大，需要四棱锥的高最大，即平面DAE ⊥平面ABCE ，此时DE CE ⊥，由已知得1DE =，则111111333D ABCE ABCE V S DE -=⋅=⨯⨯⨯=，故A 正确； 对于B ，在ADE 沿AE 折起的过程中，//AE BC ，所以异面直线AD 与AE 所成的角即为AD 与BC 所成角，又1AB BC ==，2DC =，E 为DC 中点，可知4DAE π∠=，即异面直线AD 与BC 所成的角恒为4π，故B 正确；对于C ，由翻折前知，,AE EC AE ED ⊥⊥，且EC ED E =，则AE ⊥平面DEC ，又AE ⊂平面ABCE ，所以平面DEC ⊥平面ABCE ，即二面角A EC D --的大小为2π，故C 错误； 对于D，如图连接,DF BF ，由C 选项知，AE ⊥平面DEC ，又DF ⊂平面DEC ，则AE DF ⊥，又由已知得EC DF ⊥，且EC AE E ⋂=，则DF ⊥平面ABCE ，所以DBF ∠为直线DB 与平面ABCE 所成的角，在直角DFB △中，222222113122152tan 5511122DE CE DFDBF BFBC CE ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∠=====⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以DB 与平面ABCE 所成的角的正切为15，故D 正确； 故选：ABD 【点睛】关键点睛：本题考查立体几何综合问题，求体积，求线线角，线面角，面面角，解题的关键要熟悉几种角的定义，通过平移法找到线线角，通过证垂直找到线面角和面面角，再结合三角形求出角，考查了学生的逻辑推理能力，转化能力与运算求解能力，属于难题.8．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，线段11B D 上有两个动点,E F ，且1EF =，以下结论正确的有（ ）A ．AC BE ⊥B ．异面直线,AE BF 所成的角为定值C ．点A 到平面BEF 的距离为定值D ．三棱锥A BEF -的体积是定值 【答案】ACD 【详解】由AC BD ⊥，1AC DD ⊥可证AC ⊥平面11D DBB ，从而AC BE ⊥，故A 正确； 取特例，当E 与1D 重合时，F 是F '，AE 即1AD ，1AD 平行1BC ，异面直线,AE BF '所成的角是1C BF '∠，当F 与1B 重合时，E 是E '，BF 即1BB ，异面直线,AE BF '所成的角是1A AE '∠，可知1C BF '∠与1A AE '∠不相等，故异面直线,AE BF 所成的角不是定值，故B 错误；连结BD 交AC 于O ，又AC ⊥平面11D DBB ，点A 到平面11BDD B 的距离是2=AO ，也即点A 到平面BEF 的距离是22，故C 正确； 2=AO 为三棱锥A BEF -的高，又1111224BEFS =⨯⨯=△，故三棱锥A BEF -的体积为112234224⨯⨯=为定值，D 正确. 故选：ACD 【点睛】求空间中点到平面的距离常见方法为： （1）定义法：直接作平面的垂线，求垂线；（2）等体积法：不作垂线，通过等体积法间接求点到面的距离； （3）向量法：计算斜线在平面的法向量上的投影即可.9．如图四棱锥P ABCD -，平面PAD ⊥平面ABCD ，侧面PAD 是边长为26的正三角形，底面ABCD 为矩形，23CD =，点Q 是PD 的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．CQ ⊥平面PADB ．PC 与平面AQC所成角的余弦值为3C ．三棱锥B ACQ -的体积为D ．四棱锥Q ABCD -外接球的内接正四面体的表面积为【答案】BD 【分析】取AD 的中点O ，BC 的中点E ，连接,OE OP ，则由已知可得OP ⊥平面 ABCD ，而底面ABCD 为矩形，所以以O 为坐标原点，分别以,,OD OE OP 所在的直线为x 轴，y 轴 ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量依次求解即可. 【详解】解：取AD 的中点O ，BC 的中点E ，连接,OE OP ， 因为三角形PAD 为等边三角形，所以OP AD ⊥, 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以OP ⊥平面 ABCD ， 因为AD OE ⊥，所以,,OD OE OP 两两垂直，所以，如下图，以O 为坐标原点，分别以,,OD OE OP 所在的直线为x 轴，y 轴 ，z 轴，建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(O D A ，(P C B ，因为点Q 是PD的中点，所以Q ， 平面PAD 的一个法向量为(0,1,0)m =，6(22QC =-，显然 m 与QC 不共线， 所以CQ 与平面PAD 不垂直，所以A 不正确；3632(6,23,32),(,0,),(26,22PC AQ AC =-==， 设平面AQC 的法向量为(,,)n x y z =，则3602260n AQ x zn AC ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩，令=1x ，则y z ==， 所以(1,2,n =-， 设PC 与平面AQC 所成角为θ，则261sin 366n PC n PCθ⋅===， 所以22cos 3θ=，所以B 正确； 三棱锥B ACQ -的体积为1132B ACQ Q ABC ABCV V SOP --==⋅ 1112326326322=⨯⨯⨯⨯⨯=， 所以C 不正确；设四棱锥Q ABCD -外接球的球心为(0,3,)M a ，则MQ MD =，所以()()()22222263236322a a ⎛⎫⎛⎫++-=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得0a =，即(0,3,0)M 为矩形ABCD 对角线的交点， 所以四棱锥Q ABCD -外接球的半径为3，设四棱锥Q ABCD -外接球的内接正四面体的棱长为x ， 将四面体拓展成正方体，其中正四面体棱为正方体面的对角线，故正方体的棱长为22x ，所以22236x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，得224x =， 所以正四面体的表面积为2342434x ⨯=，所以D 正确. 故选：BD【点睛】此题考查线面垂直，线面角，棱锥的体积，棱锥的外接球等知识，综合性强，考查了计算能力，属于较难题.10．如图所示，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1，E ，F 分别是棱AA '，CC '的中点，过直线EF 的平面分别与棱BB '，DD '交于点M ，N ，以下四个命题中正确的是（ ）A ．0MN EF ⋅=B ．ME NE =C ．四边形MENF 的面积最小值与最大值之比为2:3D ．四棱锥A MENF -与多面体ABCD EMFN -体积之比为1:3 【答案】ABD 【分析】证明EF ⊥平面BDD B ''，进而得EF MN ⊥，即可得A 选项正确；证明四边形MENF 为菱形即可得B 选项正确；由菱形性质得四边形MENF 的面积12S MN EF =⋅，再分别讨论MN 的最大值与最小值即可；根据割补法求解体积即可. 【详解】对于A 选项，如图，连接BD ，B D ''，MN ．由题易得EF BD ⊥，EFBB '⊥，BD BB B '⋂=，所以EF ⊥平面BDD B ''，又MN ⊂平面BDD B ''，所以EF MN ⊥，因此0MN EF ⋅=，故A 正确．对于B 选项，由正方体性质得：平面''//BCC B 平面''ADD A ，平面''BCC B 平面EMFN MF =，平面''ADD A 平面EMFN EN =， 所以//MF EN ，同理得//ME NF ，又EF MN ⊥，所以四边形MENF 为菱形， 因此ME NE =，故B 正确．对于C 选项，由B 易得四边形MENF 的面积12S MN EF =⋅，所以当点M ，N 分别为BB '，DD '的中点时，四边形MENF 的面积S 最小， 此时2MN EF ==，即面积S 的最小值为1；当点M ，N 分别与点B （或点B '），D （或D ）重合时，四边形MENF 的面积S 最大，此时3MN =，即面积S 的最大值为62， 所以四边形MENF 的面积最小值与最大值之比为2:6，故C 不正确． 对于D 选项，四棱锥A MENF -的体积1112123346M AEF N AEF AEF V V V DB S --=+=⋅=⨯⨯=△； 因为E ，F 分别是AA '，CC '的中点，所以BM D N '=，DN B M '=，于是被截面MENF 平分的两个多面体是完全相同的，则它们的体积也是相同的，因此多面体ABCD EMFN -的体积21122ABCD A B C D V V ''''-==正方体，所以四棱锥A MENF -与多面体ABCD EMFN -体积之比为1:3，故D 正确． 故选：ABD ．【点睛】本题考查立体几何与向量的综合、截面面积的最值、几何体的体积，考查空间思维能力与运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于证明四边形MENF 为菱形，利用割补法将四棱锥A MENF -的体积转化为三棱锥M AEF - 和N AEF -的体积之和，将多面体ABCD EMFN -的体积转化为正方体的体积的一半求解.。

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ABCDE F1．甲烷分子由一个碳原子和四个氢原子组成,其空间构型为一正四面体,碳原子位于该正四 面体的中心,四个氢原子分别位于该正四面体的四个顶点上.若将碳原子和氢原子均视为一 个点(体积忽略不计),且已知碳原子与每个氢原子间的距离都为a ,则以四个氢原子为顶点 的这个正四面体的体积为( ) A,3827a3 C,313a D,389a 2．夹在两个平行平面之间的球,圆柱,圆锥在这两个平面上的射影都是圆,则它们的体积之比为( )A,3:2:1 B,2:3:1 C,3:6:2 D,6:8:33．设二面角a αβ--的大小是060,P 是二面角内的一点,P 点到,αβ的距离分别为1cm, 2cm,则点P 到棱a 的距离是( )A,3B,3cm C,23cmD,3cm 4．如图,E,F 分别是正三棱锥A -BCD 的棱AB,BC的中点,且DE ⊥EF.若BC=a ,则此正三棱锥的体积是( )A,324aB,324aC,312aD,312a 5．棱长为的正八面体的外接球的体积是( ) A,6πB,27C,3D,3 6．若线段AB 的两端点到平面α的距离都等于2,则线段AB 所在的直线和平面α的位置关系是 .7．若异面直线,a b 所原角为060,AB 是公垂线,E,F 分别是异面直线,a b 上到A,B 距离为 2和平共处的两点,当3EF =时,线段AB 的长为 .8．如图(1),在直四棱柱1111A B C D ABCD -中,当底面四边形ABCD 满足条件 时,有1A C ⊥1B 1D (注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形)CDF ABOCD EOAA B C D P Q9．如图(2),是一个正方体的展开图,在原正方体中,有下列命题: ①AB 与EF 所连直线平行; ②AB 与CD 所在直线异面; ③MN 与BF 所在直线成060; ④MN 与CD 所在直线互相垂直.其中正确命题的序号为 .(将所有正确的都写出)10．如图,在ABC ∆中,AB=AC=13,BC=10,DE//BC 分别交AB,AC 于D,E.将ADE ∆沿 DE 折起来使得A 到1A ,且1A DE B --为060的二面角,求1A 到直线BC 的最小距离.11．如图,已知矩形ABCD 中,AB=1,BC=a (0)a >,PA ⊥平面ABCD,且PA=1.(1)问BC 边上是否存在点Q 使得PQ ⊥QD?并说明理由;(2)若边上有且只有一个点Q,使得PQ ⊥QD,求这时二面角Q PD A --的正切.12. 已知三角形ABC 的顶点分别是A (1, 2, 3)、B (3, 4, 5)、C (2, 4, 7), 求三角形ABC 的面积.A BCDA BC D图(1)A BENM 图(2)DOCAPxz13.在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，122AB BB ==，P 为B 1C 1的中点．（1）求直线AC 与平面ABP 所成的角；（2）求异面直线AC 与B P 所成的角； （3）求点B 到平面APC 的距离．14.如图,正四棱锥P-ABCD 中，侧棱P A 与底面ABCD 所成的角的正切值为26。

（1）求侧面P AD 与底面ABCD 所成二面角的大小 ；（2）若E 是PB 中点，求异面直线PD 与AE 所成的角的正切值 ；（3）在侧面P AD 上寻找一点F 使EF ⊥侧面PBC15：在正方体的8个顶点、12条棱的中点、6个面的中心及正方体的中心共计27个点中，问共线的三点组的个数是多少16.如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝12PA ， 点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，OP ⊥底面ABC ． (Ⅰ)求证OD ∥平面PAB ； (Ⅱ) 求直线OD 与平面PBC 所成角的正弦．PP EDCB A17. 如图1，已知ABCD 是上．下底边长分别为2和6，高为3的等腰梯形，将它沿对称轴OO 1折成直二面角，如图2 （Ⅰ）证明：AC ⊥BO 1；（Ⅱ）求二面角O －AC －O 1的余弦．18.已知圆柱的底面半径为3，高为4，A 、B 两点分别在两底面圆周上，并且AB=5，求异面直线AB 与轴OO /之间的距离。

19.简单选填题1、已知βα,是平面，m ，n 是直线，给出下列命题：①若βαβα⊥⊂⊥，则m m ,；②若βαββαα//,////,,则，n m n m ⊂⊂；③如果ααα与是异面直线，那么、n n m n m ,,⊄⊂相交；图1④若.////,//,βαβαβαn n n n m n m 且，则，且⊄⊄=⋂ 其中正确命题的个数是（ ） A ．4B ．3C ．2D ．12、已知三条不重合的直线m 、n 、l 两个不重合的平面βα,，有下列命题①若αα//,,//m n n m 则⊂； ②若βαβα//,//,则且m l m l ⊥⊥； ③若βαββαα//,//,//,,则n m n m ⊂⊂； ④若αββαβα⊥⊥⊂=⊥n m n n m 则,,,, ；其中正确的命题个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43、α、β为两个互相垂直的平面，a 、b 为一对异面直线，下列条件：①a //α、b β⊂；②a ⊥α、b β//；③a ⊥α、b β⊥；④a //α、b β//且a 与α的距离等于b 与β的距离.其中是a ⊥b 的充分条件的有 （ ）A ．①④B ．①C ．③D ．②③4、已知三条不重合的直线m 、n 、l ，两个不重合的平面βα,，有下列命题 ①若αα//,,//m n n m 则⊂； ②若βαβα//,//,则且m l m l ⊥⊥；③若βαββαα//,//,//,,则n m n m ⊂⊂； ④若αββαβα⊥⊥⊂=⊥n m n n m 则,,,, ； 其中正确的命题个数是A ．1B ．2C ．3D ．45、若l 、m 、n 是互不相同的空间直线，,αβ是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是A ．若α∥β，,l a n β⊂⊂，则l ∥nB ．若α⊥β，l a ⊂，则l ⊥βC ．若l ⊥n ，m ⊥n ，则l ∥mD ．若l ⊥α， l ∥β，则α⊥β6、若二面角l αβ--为 ，直线m α⊥，直线n β⊂，则直线m 与n 所成的角取值范围是A ．B ．C ．D ．7、已知直线l 与平面α成045角，直线m α⊂，若直线l 在α内的射影与直线m 也成45°角，则l 与m 所成的角是A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°8、设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中E ，F 分别是棱A 1A ，B 1B 中点，G 为BC 上一点，若C 1F ⊥EG ，则FGD 1∠为（ ）A ．60°B ．90°C ．120°D ．150°9、已知三棱锥BCD A -中，060,,1,90=∠⊥===∠ADB BCD AB CD BC BCD 面，点E 、F 分别在AC 、AD 上，使面CD EF ACD BEF //,且面⊥，则平面BEF 与平面BCD 所成的二面角的正弦值为 （ ）A B C D 10、从P 点出发三条射线PA ，PB ，PC 两两成60°，且分别与球O 相切于A ，B ，C 三点，若球66774231[,]62ππ[,]32ππ[,]63ππ(0,)2π56π的体积为4π3，则OP 的距离为（ ）A ． 2B ． 3C ．32D ．211、直线l 与平面α成45°角，若直线l 在α内的射影与α内的直线m 成45°角，则l 与m 所成的角是（ ）A ．30°B ．45°C ． 60°D ．90°12、一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是 （ ）A ．8πB ．6πC ．4πD ．π13、已知线段AB 在平面α外，AB 两点到平面α的距离分别是1和3，则线段AB 中点到平面α的距离是__________.14、正三棱锥P －ABC 的四个顶点同在一个半径为2的球面上，若正三棱锥的侧棱长为23，则正三棱锥的底面边长是____________.15、(江苏省启东中学高三综合测试三)三棱锥P －ABC 的四个顶点点在同一球面上，若PA ⊥底面ABC ，底面ABC 是直角三角形，PA=2, AC=BC=1，则此球的表面积为 。

16、四面体ABCD 中，共顶点A 的三条棱两两相互垂直，且其长分别为361、、，若四面体的四个顶点同在一个球面上，则这个球的表面积为 。

答案：1．过顶点A,V 与高作一截面交BC 于点M,点O 为正四面体的中心,1O 为底面ABC 的中心,设正四面体VABC 的棱长为m ,则=VM,1O M =13AM =,1233O A AM ==,13VO m ==,得113OO VO VO m a =-=-在1Rt AOO ∆中,22211AO OO AO =+,即222()()33a m a m =-+,得3m a =.则1VO =43a ,有203111(sin 60)32V ABC V m VO -=⋅⋅⋅⋅=.选B. 温馨提示:正四面体外接球的半径VO :内切球的半径1OO =1:3:13a a =. 2． 32212341::():(2):(2)2:3:133V V V R R R R R πππ=⋅⋅⋅=,选B. 3．设PA ⊥棱a 于点A,PM ⊥平面α于点M,PN ⊥平面β于点N,PA=t ,PAM θ∠=,则sin 1sin(60)2t t αα=⎧⎨-=⎩,5sin αα=,有sin α=或(舍去),所以1sin 3t α==cm ,选B. 4．由DE ⊥EF,EF//AC,有DE ⊥AC,又AC ⊥BD,DEBD=D,得AC ⊥平面ABD.由对称性得090BAC CAD BAD ∠=∠=∠=,于是AB AC AD ===. 311()3222224B ACD V a a a -=⋅⋅⋅⋅=,选B.5．可由两个相同的四棱锥底面重合而成,有2r =得2r =,外接球的体积3433V r π==,选D. 6．当2AB <时,AB//α;当2AB =时,AB//α或AB ⊥α;当2AB >时,AB//α或与α斜交. 7．由EF EA AB BF =++,得22222cos EFEA AB BF EA BF θ=+++⋅⋅(1)当060θ=时,有219412212AB =+++⋅⋅⋅,得2AB =(2)当0120θ=时,有219412212AB=++-⋅⋅⋅,得6AB =8． AC ⊥BD.(或ABCD 是正方形或菱形等)9．将展开的平面图形还原为正方体NACF EMBD -,可得只②,④正确.10．解:设ABC ∆的高AO 交DE 于点1O ,令1AO x =, 由12=,有112OO x =-,在11A OO ∆中,01160A O O ∠=,有222011111112cos 60A O A O O O A O O O =+-⋅⋅⋅得1AO =当6x =时,1A 到直线BC 的最小距离为6.11．解:(1)(如图)以A 为原点建立空间直角坐标系,设BQ x =,则 Q (1,,0)x ,P(0,0,1),D (0,,0)a 得(1,,1)PQ x =-,(1,,0)QD a x =--由PQ QD ⊥,有(1,,1)(1,,0)0x a x -⋅--=,得210x ax -+= ①若方程①有解,必为正数解,且小于a .由2()40a ∆=--≥,0a >,得2a ≥. (i)当2a ≥时,BC 上存在点Q,使PQ ⊥QD;(ii)当02a <<时, BC 上不存在点Q,使PQ ⊥QD.(2)要使BC 边上有且只有一个点Q,使PQ ⊥QD,则方程①有两个相等的实根, 这时,2()40a ∆=--=,得2a =,有1x =.又平面APD 的法向量1(1,0,0)n =,设平面PQD 的法向量为2(,,)n x y z = 而(1,1,0)QD =-,(0,2,0)(0,0,1)(0,2,1)PD =-=-,由2200n QD n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,得(,,)(1,1,0)0(,,)(0,2,1)0x y z x y z ⋅-=⎧⎨⋅-=⎩,解得,2x y z y ==有2(1,1,2)n =,则121212cos ,n n n n n n ⋅<>===⋅,则12tan ,n n <>=所以二面角Q PD A --12. 根据向量积的定义, 可知三角形ABC 的面积→→→→||21sin ||||21AC AB A AC AB S ABC ⨯=∠=∆.由于→AB =(2, 2, 2), →AC =(1, 2, 4), 因此→→421222kj i =⨯AC AB =4i -6j +2k .于是142)6(421|264|21222=+-+=+-=∆k j i ABC S .13. （1）∵AB ⊥平面BC 1，PC ⊂平面BC 1，∴AB ⊥PC在矩形BCC 1B 1 中，BC=2，BB 1=1，P 为B 1C 1的中点，∴PC ⊥PB ∴PC ⊥平面ABP ，∴∠CAP 为直线AC 与平面ABP 所成的角∵，AC=，∴在Rt △APC 中，∠CAP=300∴直线AC 与平面ABP 所成的角为300 （2）取A 1D 1中点Q ，连结AQ 、CQ ，在正四棱柱中，有AQ ∥BP ，∴∠CAQ 为异面直线AC 与BP 所成的角 在△ACQ中，AQ AC CQ ====∴∠CAQ=600 ∴异面直线AC 与BP 所成的角为600 （也可用向量法） （3）过点B 作BH ⊥AP 于H ， 由题（1） PC ⊥平面ABP ，∴PC ⊥BH ∴BH ⊥平面APC ∴BH 的长即为点B 到平面APC 的距离在Rt △ABP 中，AB=2，3BP BH ==15解答：两端点都为顶点的共线三点组共有282=个；两端点都为面的中心共线三点组共有6132⨯=个；两端点都为各棱中点的共线三点组共有123182⨯=个，且没有别的类型的共线三点组，所以总共有2831849++=个16.解答OP ABC OA OC AB BC ⊥== 平面，，，.OA OB OA OP OB OP ∴⊥⊥⊥ ，，O OP z 以为原点，射线为非负轴，建立空间直角坐标系,0,0,,0,,0,0222AB a A B C ⎛⎫⎛⎫⎛= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝设，则()0,0,.OP h P h =设，则 ()D PC 为的中点，Ⅰ212,0,,422OD a h PA a ⎛⎫⎛∴=-= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭又1...2OD PA OD PA OD PAB ∴=-∴∴ 平面∥∥()2,PA a = Ⅱ,h ∴=,44OD ⎛⎫∴=- ⎪ ⎪⎝⎭,PBC n ⎛=- ⎝可求得平面的法向量210cos ,30OD n OD n OD n ⋅∴〈〉==⋅ OD PBC θ设与平面所成的角为，210sin cos ,30OD n θ=〈〉=则OD PBC ∴ 与平面所成的角为．17.解答（I ）证明 由题设知OA ⊥OO 1，OB ⊥OO 1．所以∠AOB 是所折成的直二面角的平面角，即OA ⊥OB ． 故可以O 为原点，OA 、OB 、OO 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图3，则相关各点的坐标是A （3，0，0），B （0，3，0），C （0，1，3）O 1（0，0，3）．从而.0333),3,3,0(),3,1,3(11=⋅+-=⋅-=-=BO AC BO AC 所以AC ⊥BO 1．（II ）解：因为,03331=⋅+-=⋅OC BO 所以BO 1⊥OC ，由（I ）AC ⊥BO 1，所以BO 1⊥平面OAC ，1BO 是平面OAC 的一个法向量．设),,(z y x n =是0平面O 1AC 的一个法向量，由,3.0,033001=⎩⎨⎧==++-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅z y z y x C O n AC n 取得)3,0,1(=n ． 设二面角O —AC —O 1的大小为θ，由n 、1BO 的方向可知=<θn ，1BO >，所以COS <=cos θn ，1BO .43||||11=⋅BO n 即二面角O —AC —O 1的大小是.43arccos18. 在圆柱底面上AO ⊥OO /，BO /⊥OO /，又OO /是圆柱的高，AB=5，所以d=233。

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