第二章-流体静力学
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第二章流体静力学
A、9:1:10:2 B、相同 C、与形状有关
流体力学
pA pB 2 gh2 3 gh3 1gh1
倾斜式测压计（微压计）
通常用来测量气体压强
pAm 2 gl sin 1 gh1
倾斜管放大了测量距 离，提高了测量精度
流体力学
l h
1
sin
作业：P.63～65 23 26 2 10 2 13
流体力学
小结1
作等压面 被测点 相界面 等高的两点必须在连 通的同一种液体中 沿液柱向上，压强减小 沿液柱向下，压强增大
流体力学
U型管测压计2
U型管测压计特点 测量范围较大 可测量气体压强
pAm 2 gh2 1gh1 2 gh2 可测量真空压强 指示液不能与被测液体掺混
流体力学
差压计
流体力学
x
y
z
j
p y
x
y
z
k
p z
x
y
z
i
p x
j
p y
k
p z
x
y
z
p
x
y
z
流体力学
压强梯度
2.2 静止流体平衡微分方程
静止流体受力平衡
f xyz pxyz 0
静止流体平衡方程－欧拉平衡方程
流体静压强的特性
垂直于作用面，指向流体内部
大小与作用面方位无关，只是作 用点位置的函数
绝对压强、计示压强小结2
液柱式测压计
各种测压计的优缺点 指示液的选取 几个概念 相对静止、等压面
流体力学
pA pB 2 gh2 3 gh3 1gh1
倾斜式测压计（微压计）
通常用来测量气体压强
pAm 2 gl sin 1 gh1
倾斜管放大了测量距 离，提高了测量精度
流体力学
l h
1
sin
作业：P.63～65 23 26 2 10 2 13
流体力学
小结1
作等压面 被测点 相界面 等高的两点必须在连 通的同一种液体中 沿液柱向上，压强减小 沿液柱向下，压强增大
流体力学
U型管测压计2
U型管测压计特点 测量范围较大 可测量气体压强
pAm 2 gh2 1gh1 2 gh2 可测量真空压强 指示液不能与被测液体掺混
流体力学
差压计
流体力学
x
y
z
j
p y
x
y
z
k
p z
x
y
z
i
p x
j
p y
k
p z
x
y
z
p
x
y
z
流体力学
压强梯度
2.2 静止流体平衡微分方程
静止流体受力平衡
f xyz pxyz 0
静止流体平衡方程－欧拉平衡方程
流体静压强的特性
垂直于作用面，指向流体内部
大小与作用面方位无关，只是作 用点位置的函数
绝对压强、计示压强小结2
液柱式测压计
各种测压计的优缺点 指示液的选取 几个概念 相对静止、等压面
第二章 流体静力学
表面力具有传递性
3
工程流体力学
二、静压力的两个重要特性
• 流体静止时，τ=0；只能承受压应力，即 压强，其方向与作用面垂直，并指向流体 内部。
• 特性1（方向性）：平衡流体中的应力 p⊥→受压面。
• 特性2（大小性）：平衡流体内任一点的压 强p与作用方位无关,即 p =f(x,y,z)。
4
工程流体力学
工程流体力学
第二章 流体静力学
流体静力学是研究流体在静止状态下的 力学规律，包括压强的分布规律和固体壁面 所受到的液体总压力。
1
工程流体力学
第一节 流体静压力及其特性
一、流体静压力：
1、总压力P ：静止流体与容器壁之间、内部相邻 两部分流体之间的作用力。单位“牛”
2、静压力：单位面积上的总压力。即压强。
26
工程流体力学
（1）、测压管
测压管是一种最简单的液柱式测压计。为了减少毛细 现象所造成的误差，采用一根内径为10mm左右的直玻璃 管。测量时，将测压管的下端与装有液体的容器连接，上 端开口与大气相通，如图所示。
测压管只适用于测量较小的压强， 一般不超过19.6MPa，相当于 2mH2O。如果被测压强较高，则 需加长测压管的长度，使用就很不 方便。此外，测压管中的工作介质 就是被测容器中的流体，所以测压 管只能用于测量液体的压强。
例2-6、油罐深度测定，如图所示。已知h1=60cm， △h1=25cm， △h2=30cm，油的相对密度d油=0.9。求h2。
解析：这是由三个以上的容器组成的连通器
1、找出共有等压面。n-n , m-m
2、以A点为计算起点，B点为计算终点，
计算路线如图箭头所示。
3、列连通器平衡方程
n
第二章流体静力学
dy → 0, p y = pS 当四面体向A点收缩时，
同理 px = pz = pS
§2.2静力学基本方程（Euler静平衡方程）：
取一个矩形微元六面体，其六个面分别与 坐标轴平行，设微元中心处的压强为 p。 由于 这是个微小体积，因此认为六个面上的压强各 自均匀分布，常用面上中心来做代表。
而面上中心处的压强又可以围绕六面体 中心做Taylor展开。展开式忽略二阶以上 的高阶量，有
1 ⎞ ⎛ p A = p⎜ x + dx ⎟ 2 ⎠ ⎝
p A = p + 0.5(∂p ∂x )dx
p B = p − 0.5(∂p ∂x )dx
这样，垂直于x轴的两个面上的表面力分 别为
[ p + 0.5(∂p ∂x )dx ]dydz [ p − 0.5(∂p ∂x )dx ]dydz
§2.3重力作用下静止流体内部的压强分布 [均匀液体的压强分布] 根据Euler静平衡方程 可以得到：
p = p0 + γh
第一部分是自由面上的压强，第二部分称 为剩余压强。
p = p0 + γh = γ ( p0 γ + h )
这种做法，称为虚水面方法。
[连通器] （ 1 ）同种液体，表面自由压强相等。则两液面 等高，任一等高度的面上均为等压面。 （ 2 ）同种液体，但表面自由压强不等。则自由 压强大者，液面低。 （3）不同液体（不相混）。密度大者液面低。
F = ∫ ρf dV
V
2、表面力——一个流体体积的表面上，受 到其他部分的流体或与之相接的固体的 作用力。这种力，只是作用在体积的表 面上而没有作用到体积内部的流体质点 上。 通常可以把表面力分解为法向的和 切向的分量，分别称为法向力和切向力。 单位面积上则称为法向应力和切应力。
第二章 流体静力学
所以表面abcd的总压力为：( p
p dx )dxdy x 2
同理面aˊbˊcˊd ˊ的总压
p dx 力为： (p )dydz x 2
z
微团在X轴方向的表面
力和为：
(p p dx p dx )dydz ( p )dydz x 2 x 2
p
p dx x 2
位质量流体受到的质量力在水平面x轴和y轴的投影为零， 铅直方向z轴的投影为重力加速度g，根据
则有
dp g dz
dp ( f x dx f y dy f z dz)
积分得
p zc g
液体静止的基本方程
式中：g在本书中取值9.807m/s2；
z为测压处相对于边界条件(基准面)的高差。 c为常数，大小由边界条件确定。
若一个函数W(x,y,z)使质量力的投影等于这个函数的偏
导数，即
W fx x
fy
W y
fz
W z
则称函数W(x,y,z)为质量力势函数。 一个存在质量力势函数的力场，称为有势力场，相应的
质量力称为有势质量力，简称有势力。
等压面性质： • 等压面就是等势面； • 等压面与质量力垂直； •两种互不掺混液体的分界面也是等压面。
等压面:在静止流体内，由静压力相等的各点组成的面
自由面：静止液体和气体接触的面
水平面既是等压面也是自由面
液体静压强分布规律只适用静止、同种、连续液体
同一容器或同一连通器盛有多种不同密度的液体时，关键是找到等 压面
§2-4
液体的相对静止
辩证唯物主义:
①运动是普遍的、永恒的和无条件的，因而是绝
流体力学第二章流体静力学
第二章 流体静力学
❖ 流体静力学研究流体的平衡规律，由平衡条 件求静压强分布规律，并求静水总压力。
❖静止是一个相对概念，指流体相对于地球无 运动的绝对平衡和流体相对于地球运动但质点 之间、质点与容器之间无运动的相对平衡。
❖流体质点之间没有相对运动，意味着粘性将 不起作用，所以流体静力学的讨论不须区分流 体是实际流体或理想流体。
pA mhm a
p1左 pA a p1右 mh
2.5.3水银压差计
即使在连通的 静止流体区域中 任何一点的压强 都不知道，也可 利用流体的平衡 规律，知道其中 任何二点的压 差，这就是比压 计的测量原理。
p1左 pA ( z A hm ) p1右 pB mhm zB
面，自由表面上压强为大气压，则液面
以下 h 处的相对压强为 γh ，所以在
液体指定以后,高度也可度量压强，称 为 液 柱 高 ， 例 如 ： ××m(H2O) ， ××mm(Hg) 等。特别地，将水柱高称 为水头。
p=0 h
ph
98 kN/m2=一个工程大气压=10 m(H2O)=736 mm(Hg)
任意形状平面上的静水总压力大 小，等于受压面面积与其形心点 压强的乘积。
2．静水总压力的方向垂直并指 向受压面
3.总压力P的作用点
根据合力矩定理，对x轴
PyD ydP
yy sin dA sin y2dA
p
1 2
p x
dx
dydz
p
1 2
p x
dx
dydz
X
dxdydz
0
化简得：
X 1 p 0
x
Y，z方向可得：
Y Z
1
1
p y p
0
❖ 流体静力学研究流体的平衡规律，由平衡条 件求静压强分布规律，并求静水总压力。
❖静止是一个相对概念，指流体相对于地球无 运动的绝对平衡和流体相对于地球运动但质点 之间、质点与容器之间无运动的相对平衡。
❖流体质点之间没有相对运动，意味着粘性将 不起作用，所以流体静力学的讨论不须区分流 体是实际流体或理想流体。
pA mhm a
p1左 pA a p1右 mh
2.5.3水银压差计
即使在连通的 静止流体区域中 任何一点的压强 都不知道，也可 利用流体的平衡 规律，知道其中 任何二点的压 差，这就是比压 计的测量原理。
p1左 pA ( z A hm ) p1右 pB mhm zB
面，自由表面上压强为大气压，则液面
以下 h 处的相对压强为 γh ，所以在
液体指定以后,高度也可度量压强，称 为 液 柱 高 ， 例 如 ： ××m(H2O) ， ××mm(Hg) 等。特别地，将水柱高称 为水头。
p=0 h
ph
98 kN/m2=一个工程大气压=10 m(H2O)=736 mm(Hg)
任意形状平面上的静水总压力大 小，等于受压面面积与其形心点 压强的乘积。
2．静水总压力的方向垂直并指 向受压面
3.总压力P的作用点
根据合力矩定理，对x轴
PyD ydP
yy sin dA sin y2dA
p
1 2
p x
dx
dydz
p
1 2
p x
dx
dydz
X
dxdydz
0
化简得：
X 1 p 0
x
Y，z方向可得：
Y Z
1
1
p y p
0
第二章 流体静力学
工程实际：堤坝、闸门、桥墩 研究目标：合力的大小、方向、作用点 计算方法：解析法和图解法
h
h
一、解析法
如图所示，静止液体中有一倾斜放置的平面MN，试求作用 在该平面上的总压力。
1）粗线MN代表其侧视图，正面投影为绕其对称轴转90 度 2）平面MN的延伸面与自由液面的交角为；
3）坐标系：ox轴为平面MN的延伸面与自由液面的交线；
二、欧拉平衡微分方程的全微分形式
p X
x ×dx
p Y
y
×dy
p Z
z
×dz
p dx p dy p dz ( Xdx Ydy Zdz)
x y z
p p(x, y, z) dp p dx p dy p dz x y z
通常作用在流体上的单位 质量力是已知的，利用上 式便可求得流体静压强的 分布规律。
yD
sin Iox
P
sin Iox hc A
sin Iox yc sin A
I ox yc A
引入平行移轴公式 Iox Ic Ayc2
yD
I ox yc A
Ic yc2 A yc A
yc
Ic yc A
由此可知，压力中心D必位于受压面形心c之下。
说明：
工程中常见的受压平面多具有轴对称性（对称轴与
当流体存在真空时，工程习惯上用真空度（负压）表示。
真空
pv pabs pa
道 路
三者关系
当p>pa 时，绝对压强=表压强+当地大气压 当p<pa 时，绝对压强=当地大气压-真空度
p 表压强
p>pa 真空度
当地大气压 pa
绝对压强
p<pa
绝对真空 p=0
h
h
一、解析法
如图所示，静止液体中有一倾斜放置的平面MN，试求作用 在该平面上的总压力。
1）粗线MN代表其侧视图，正面投影为绕其对称轴转90 度 2）平面MN的延伸面与自由液面的交角为；
3）坐标系：ox轴为平面MN的延伸面与自由液面的交线；
二、欧拉平衡微分方程的全微分形式
p X
x ×dx
p Y
y
×dy
p Z
z
×dz
p dx p dy p dz ( Xdx Ydy Zdz)
x y z
p p(x, y, z) dp p dx p dy p dz x y z
通常作用在流体上的单位 质量力是已知的，利用上 式便可求得流体静压强的 分布规律。
yD
sin Iox
P
sin Iox hc A
sin Iox yc sin A
I ox yc A
引入平行移轴公式 Iox Ic Ayc2
yD
I ox yc A
Ic yc2 A yc A
yc
Ic yc A
由此可知，压力中心D必位于受压面形心c之下。
说明：
工程中常见的受压平面多具有轴对称性（对称轴与
当流体存在真空时，工程习惯上用真空度（负压）表示。
真空
pv pabs pa
道 路
三者关系
当p>pa 时，绝对压强=表压强+当地大气压 当p<pa 时，绝对压强=当地大气压-真空度
p 表压强
p>pa 真空度
当地大气压 pa
绝对压强
p<pa
绝对真空 p=0
第二章.流体静力学
p0
14
水静力学基本方程：
p p0 gh
结论：重力作用下的均质流体有 1）静水压强随深度按线性规律增加。
A
1 2
A h
h
2）静水压强等于表面压强加上流体的g与该点淹没深度的乘积。
3）自由表面下深度h相等的各点压强均相等——只有重力作用下的 同一连续连通的静止流体的等压面是水平面。(例A—A) 4）推广：已知某点的压强和两点间的深度差，即可求另外一点的 压强值。
三、面积力
1、面积力（Surface Force）：又称表面力，是相邻流体或其它物体 在隔离体表面上的直接施加的接触力。它的大小与作用面面 积成正比。 表面力按作用方向可分为：
5
压力：垂直于作用面。
切力：平行于作用面。
2、应力：单位面积上的表面力，单位： N/m2 或 Pa
压应力 切应力
p lim P A0 A
c.真空（Vacuum）：是指绝对压强小于一个大气压的受压状态。 真空值pv
P
1
pν pa pabs
真空高度
( pabs pa )
0'
p1
p2
pabs1
0' 相对压强基准
2
hv
pv g
pa pabs g
pa
0
pabs2
绝对压强基准 0
注意：计算时无特殊说明时均采用相对压强计算。
pn py F
A
B
px O pz
D
C
x
类似地有：
y
n为斜面ABC的法线方向
质量力：
px p y pz pn
故与作用面的方位无关。
由∑X=0
第二章-流体静力学
第⼆章-流体静⼒学⼀、学习导引1、流体静⽌的⼀般⽅程（1）流体静⽌微分⽅程x p f x ??=ρ1，y p f y ??=ρ1，zpf z ??=ρ1 （2）压强微分)(dz f dy f dx f dp z y x ++=ρ（3）等压⾯微分⽅程0=++dz f dy f dx f z y x2、液体的压强分布重⼒场中，液体的位置⽔头与压强⽔头之和等于常数，即C pz =+γ如果液⾯的压强为0p ，则液⾯下深度为h 处的压强为h p p γ+=03、固体壁⾯受到的静⽌液体的总压⼒物体受到的⼤⽓压的合⼒为0。
计算静⽌液体对物⾯的总压⼒时，只需考虑⼤⽓压强的作⽤。
（1）平⾯壁总压⼒：A h P c γ= 压⼒中⼼Ay J y y c cc D += 式中，坐标y 从液⾯起算；下标D 表⽰合⼒作⽤点；C 表⽰形⼼。
（2）曲⾯壁总压⼒：222z y x F F F F ++=分⼒：x xc x A h F γ=，y yc y A h F γ=，V F z γ=4、难点分析（1）连通器内不同液体的压强传递流体静⼒学基本⽅程式的两种表达形式为C pz =+γ和h p p γ+=0。
需要注意的是这两个公式只适⽤于同⼀液体，如果连通器⾥⾯由若⼲种液体，则要注意不同液体之间的压强传递关系。
（2）平⾯壁的压⼒中⼼压⼒中⼼的坐标可按式Ay J y y c cc D +=计算，⾯积惯性矩c J 可查表，计算⼀般较为复杂。
求压⼒中⼼的⽬的是求合⼒矩，如果⽤积分法，计算往往还简便些。
（3）复杂曲⾯的压⼒体压⼒体是这样⼀部分空间体积：即以受压曲⾯为底，过受压曲⾯的周界，向相对压强为零的⾯或其延伸⾯引铅垂投影线，并以这种投影线在相对压强为零的⾯或其延伸⾯上的投影⾯为顶所围成的空间体积。
压⼒体内不⼀定有液体。
正确绘制压⼒体，可以很⽅便地算出铅垂⽅向的总压⼒。
（4）旋转容器内液体的相对静⽌液体随容器作等⾓速度旋转时，压强分布及⾃由⾯的⽅程式为c z gr p +-=)2(22ωγc gr z +=2220ω恰当地选取坐标原点，可以使上述表达式简化。
第二章流体静力学
当四面体的体积趋于零时，可证得px= py=pz=pn
即
p=p(x,y,z)
§2-2 流体的平衡微分方程及积分
一、流体的平衡微分方程
在平衡流体中取如图所示微小正交六面体。分析六面
体在x、y、z方向所受外力，列平衡方程，整理化简得
fx
1
p x
0
fy
1
p y
0
1 p
fz z 0
上式也可用矢量方程表示：
虚压力体：压力体和液体在受压曲面的异侧， Pz向上。
A
A
B
B
例4：试绘制图中abc曲面上的压力体。如已知曲面abc为半圆 柱面，宽度为1m，d=3m，试求abc柱面所受静水压力的水平分 力Px和竖直分力Pz 。
a
d d/2
b 水
水 c
[解] 因abc曲面左右两侧均有水的作用，故应分别考虑。
考虑左侧水的作用
故得欧拉平衡微分方程综合式（即全微分形式）
dp ( f xdx f ydy f z dz)
四.等压面
1.定义： p=C或dp=0的平面或曲面。
2.等压面微分方程
f xdx f y dy f z dz 0
或
f•
ds
0
3.等压面的性质
(1)等压面与等势面重合;
(2)等压面恒与质量力正交。
其作用点为通过体积重心所引出的水平线与受压面的交点D。 当相对压强分布图为三角形时，D点位于自由液面下(2h)/3处。
对于相对压强分布图为梯形情况，可将其分解成三角形和矩 形两部分进行计算后，最后利用合力矩定理求总压力作用点。
例3.铅垂放置的矩形平板闸门，面板后布置三根横梁,各横梁受 力相等,已知闸门上游水头H=4m，试求： （1）每根横梁所受静水总压力的大小； （2）各横梁至水面的距离。
流体力学--第二章流体静力学
1 Px p x dydz 2
1 Py p y dxdz 2
1 P p dA Pz pz dydx 2 Y 设 X 、 、Z 分别为沿三个坐标轴方向上的单位
质量力，则沿三个方向上的质量力分别为：
1 1 1 Fx X dxdydz Fy Y dxdydz Fz Z dxdydz 6 6 6
Fx 0, p x
其中
1 dA cos(n, x) dydz 2 1 dA cos(n, y ) dzdx 2 1 dA cos(n, z ) dydx 2
px p y pz p
结论
由于斜平面ABC的方位是任意的，上式即证明 了在同一点处各个方向上的静压强值是相等 的。
pn
静压强
p
α
pt
图2－2
切向压强
假 设： 在静止流体中，流体静压强方向不与作用面 相垂直，与作用面的切线方向成α角 则存在
切向压强pt
法向压强pn
流体流动
与假设静止流体相矛盾
A
B
C
D
E
F
（2）静压强的各向等值性：静止流体内任意一点处 沿各个方向上的静压强大小相等，即
px p y pz p
dA
dAz
dAx
b
z
dA
微小面积上的微压力
dP ghdA
水平总压力
分解
dPx dp cos ghdA cos
dPz dp sin ghdA sin
Px dPx ghdA cos g hdAx ghC Ax
2 2
y
o
A g
x
1 Py p y dxdz 2
1 P p dA Pz pz dydx 2 Y 设 X 、 、Z 分别为沿三个坐标轴方向上的单位
质量力，则沿三个方向上的质量力分别为：
1 1 1 Fx X dxdydz Fy Y dxdydz Fz Z dxdydz 6 6 6
Fx 0, p x
其中
1 dA cos(n, x) dydz 2 1 dA cos(n, y ) dzdx 2 1 dA cos(n, z ) dydx 2
px p y pz p
结论
由于斜平面ABC的方位是任意的，上式即证明 了在同一点处各个方向上的静压强值是相等 的。
pn
静压强
p
α
pt
图2－2
切向压强
假 设： 在静止流体中，流体静压强方向不与作用面 相垂直，与作用面的切线方向成α角 则存在
切向压强pt
法向压强pn
流体流动
与假设静止流体相矛盾
A
B
C
D
E
F
（2）静压强的各向等值性：静止流体内任意一点处 沿各个方向上的静压强大小相等，即
px p y pz p
dA
dAz
dAx
b
z
dA
微小面积上的微压力
dP ghdA
水平总压力
分解
dPx dp cos ghdA cos
dPz dp sin ghdA sin
Px dPx ghdA cos g hdAx ghC Ax
2 2
y
o
A g
x
第二章 流体静力学
A
P P A
P dp P lim A0 A dA
流体静压力和流体静压强都是压力的一种度量，它们的区 别仅在于前者是作用在某一面积上的总压力，而后者是作 用在某一面积上的平均压力或某一点的压强。
§2.1 流体静压强及其特性
2.1.2 流体静压强的特性 特性一：流体静压强的作用方向沿作用面的内法线方向。
1
第二章 流体静力学
§2.1 流体静压强及其特性
§2.2 重力场中流体的平衡 §2.3 压强的计算基准和度量单位
§2.4 液柱式测压计
§2.5 静止液体作用在固体壁面上的总压力 §2.6 流体平衡微分方程
§2.7 液体的相对平衡
§2.1 流体静压强及其特性
2.1.1 流体静压强 当流体静止或者相对静止时，流体的压强称为流体的静压强。
2.2.3 液体静压强分布图
p p0 gh
1.ρgh部分的绘制
P0
D
A
= gh 设 P＇
’ 对于A点： P A = ghA 0
’ 对于B点： PB = ghB
P
E
C
2. P0部分的绘制
P 0
ghB
B
PB P 0 ghB
h
根据静压强等值传递规律，P0部分等值的传递到 受压面任意点上去。
如果A、B两处为同种液体：
A B
pA pB g (h2 h1 ) g gh3
1-2为 等压面
如果A、B两处为同种气体：
pA pB g gh3
§2.4 液柱式压差计
2.4.3 倾斜式微压计
h l sin
p ＇g (h h)
A1 h A2l
流体力学第二章流体静力学
2.2.2 流体平衡微分方程的积分
各式分别乘以dx、dy、dz然后相加
dp ( Xdx Ydy Zdz ) 流体平衡微分方程的综合式
静压强的分布规律完全由单位质量力决定
p gz c
由边界条件确定积分常数c，可得：
p c z g g p z C g
一封闭水箱，自由表上 面气体绝对压强
2 p 0为78kN/m ， 求 液 面 下 淹 没 深 度 h为 1.5m
处 点 C的 绝 对 静 水 压 强 ， 相对 静 水 压 强 和 真 空 度 。
解：p
abs
p 0 γ w h 78 9.8 1.5
92.7kN/m
2
pr pa b s pa t
静止流体中等压面是水平面。但静止流体中的水平面不一定 都是等压面，静止流体中水平面是等压面必须同时满足静止、同 种流体且相互连通的条件，三个条件缺一不可。
2.3.3 流体静力学基本方程的意义
•
在静水压强分布公式 z p C 中，各项都为长度量纲。
位置水头（水头） ： Z 位置势能（位能）： Z
法向应力沿内法线方向，即受压的方向
（流体不能受拉），即：流体静压强的方 向总是垂直指向受压面。
•
静压强的大小与作用面的方向无关
在静止流体中取出以M 为顶点的四面体流体微元，它受到的
质量力和表面力必是平衡的，以 y 方向为例，写出平衡方程。
p y d Ay pn d An cos(n, y) Y d V 0
时，注意到质量力比起表面 力为高阶无穷小，即得 pn=py，同理有 pn=px，pn=pz
o
z
py
dz
px pn
第二章 流体静力学
2、作用于六面体的质量力 x轴向
X dxdydz
x轴向的平衡 1 p 1 p (p dx)dydz ( p dx)dydz X dxdydz 0 2 x 2 x
X
p 0 x
同理
p Y 0 y p Z 0 z
流体平衡微分方程式 （欧拉平衡方程）
第二节 流体静压强的分布规律
三、气体压强计算
前述规律，虽然是在液体的基础上提出来的，但对于不可 压缩气体仍然适用。 由于气体密度很小的特点，在高差不是很大的情况下，气 柱产生的压强很小，因而可以忽略ρg h的影响，即 p= p0 上式表明空间各点气体压强相等，例如液体容器、测压管、 锅炉等上部的气体空间，就认为各点的压强是相等的。
第一节 流体静压强及其特性
二、流体静压强的特性
（1）静压强的垂向性。 流体静压强总是沿着作用面 的内法线方向。 （2）静压强的各向等值性。 在静止或相对静止的流体中，任一点的流体静压强的大小与 作用面的方向无关，只与该点的位置有关，即同一点上各个 方向的流体静压强大小相等。
第一节 流体静压强及其特性
第七节 液体平衡微分方程
p 0 x p Y 0 y p Z 0 z
X
指出流体处于平衡状态时，作用于 流体上的质量力与压强递增率之间 的关系。它表示单位体积质量力在 某一轴的分力，与压强沿该轴的递 增率相平衡。
1 p x 1 p Y y 1 p Z z X
水头。 p Z ：测压管水面相对于基准面的高度，测压管水头。 g
所谓测压管是一端和大气相通，另一端和液体中某一点相 接的管子。 两水头相加等于常数，表示在同一容器的静止液体中所有 各点的测压管水面必然在同一水平面上。
第二节 流体静压强的分布规律
X dxdydz
x轴向的平衡 1 p 1 p (p dx)dydz ( p dx)dydz X dxdydz 0 2 x 2 x
X
p 0 x
同理
p Y 0 y p Z 0 z
流体平衡微分方程式 （欧拉平衡方程）
第二节 流体静压强的分布规律
三、气体压强计算
前述规律，虽然是在液体的基础上提出来的，但对于不可 压缩气体仍然适用。 由于气体密度很小的特点，在高差不是很大的情况下，气 柱产生的压强很小，因而可以忽略ρg h的影响，即 p= p0 上式表明空间各点气体压强相等，例如液体容器、测压管、 锅炉等上部的气体空间，就认为各点的压强是相等的。
第一节 流体静压强及其特性
二、流体静压强的特性
（1）静压强的垂向性。 流体静压强总是沿着作用面 的内法线方向。 （2）静压强的各向等值性。 在静止或相对静止的流体中，任一点的流体静压强的大小与 作用面的方向无关，只与该点的位置有关，即同一点上各个 方向的流体静压强大小相等。
第一节 流体静压强及其特性
第七节 液体平衡微分方程
p 0 x p Y 0 y p Z 0 z
X
指出流体处于平衡状态时，作用于 流体上的质量力与压强递增率之间 的关系。它表示单位体积质量力在 某一轴的分力，与压强沿该轴的递 增率相平衡。
1 p x 1 p Y y 1 p Z z X
水头。 p Z ：测压管水面相对于基准面的高度，测压管水头。 g
所谓测压管是一端和大气相通，另一端和液体中某一点相 接的管子。 两水头相加等于常数，表示在同一容器的静止液体中所有 各点的测压管水面必然在同一水平面上。
第二节 流体静压强的分布规律
第二章—流体静力学
单位换算关系
应力单位法 液柱高度法 液柱高度法
大气压倍数法 大气压倍数法
帕
pa
1pa=1N/m2
米水柱
1mH2O=9.8103pa
mH2O
毫米汞柱
1mmHg=13.6mmH2O
mmHg =133.3pa
标准大气压
1atm=10.3323mH2O=
atm 760mmHg=101325pa 工程大气压 at 1at=10mH2O=735.6
作业
附加例： 静止大气的压强分布 国际标准大气 Z
dp ( fxdx f ydy fzdz)
dp gdz
O
对流层的压强分布
T T0 z
T0 288K 0.0065K / m
p RT
p dp
g z dz
p p0
R 0 T0 z
p
(1
g
z) R
(1
z
)5.2565
p0
T0
exp
g R T1
(z
z1 )
exp(
z
11000) 6336
六. 静止液体作用在平面壁和曲面 壁上的总压力
o
hD hc P h a
c
D
力三要素？
b
a
c
y
大小， 方向，
y
b
D dA
yc
x
作用点（压
y’
yD
力中心）
x’
P dP pdA ghdA (gysin)dA = pcA
A
A
A
PA-PB= 2 g(z2-z1+z4-z3) - 1 g(z2-z3)= P1-P4
A、B中为液体时： P1 = PA +A g(zA-z1)
第二章流体静力学
将质量力代入全微分形式的流体静力平衡方程：
dp ( Xdx Ydy Zdz)
得：
积分得:
dp ( 2 xdx 2 ydy gdz)
④真空压力(真空度)： 此时 p绝 pa , p表 0 即表压和真空度是数值 相等符号相反的两个量
29
pv pa p绝 gh p表
(2-10)式给出的压力为绝对压力，在工程中测量某一 绝对压力是较复杂的，而采用开口测压管测压力要方便 很多。该法测得的压力相对大于大气压，所以又称为相 对压力，也称为表压。 工程上常常会遇到绝对压力小于大气压的情况，此时 采用相对压力法，测得得表压是负值。将绝对压力不足 于大气压的差值称为真空压力(简称为真空度)，用Pv表示
pv pa p绝 gh p表
各种压力表示方法的相互关系如下图所示。
30
31
压力的单位：
我国推行采用国际标准单位制，采用法定计量单位为： 帕[斯卡]，符号：[Pa] ①[Pa]=1N/m2 ；
②大气压：
1标准大气压 101325N / m 2 0.1MPa 2 1工程大气压 98100 N / m
(2 5)
19
对于不可压缩的流体（密度为常数），方 程(2-5)的右端可以视为某一势函数的全微分：
U U U dU dx dy dz x y z
也即：
U X x U Y y U Z z
20
欧拉方程可进一步写成简化形式：
10
2.2 流体静力平衡微分方程及等压面
一般情况下，流体体系中的静压力是一个空间位置的 函数，所以为了确定任意流体体系的静压力分布，需要 描述流体静压力分布的微分方程，该方程叫流体静力平 衡微分方程，也称欧拉方程(Euler Equation)。
第二章-流体静力学
p1 p 2 ' g L 2 L1 cos
例2-3 用复式压差计测量两条气体管道的压差。两个U形管的工作液体为水银，密度
为 2 ，其连接管充以酒精，密度为 1 为 z 1 、z 2 、z 3 、z 4 。求压差 p A p B 。如果水银面的高度读数
解 界面1的压强 界面2的压强 界面3的压强
上式反映了液体的压强与高度的函数关系。由此式可以看出以下几点：
[1] 当z为常数时，压强也是一个常值，因此，等压面是一个水平面。这个结论对
任何一种不可压缩流体都适用。但是，对于不同的流体，由于它们的密度不同， 因此上式的常数c不相同。
[2] 在同一种液体中，压强p随高度z的增加而变小。
[3] 设液面上的压强为
由于 h D 2 4 h d 2 4 故
p a p g 1 d D h
2
取水银的密度 13600 kg m 3
代入数据，得真空压强为 26939 Pa
2-5 静止大气压的压强分布 国际标准大气
大气层中的压强与密度、温度的变化有关，而且受到季节、时间、气候诸 因素的影响。世界各地的大气压强分布不同的。为了便于科技资源的交流， 根据各国气象的统计数据，国际上约定一种大气压强、密度和温度随海拔 高度变化的规律，这就是国际标准大气。 国际标准大气取海平面为基准面，在基准面上的大气参数为
3
10 Pa 0 . 986 10 Pa
5 5
3 当绝对压强 p 117 . 7 10 Pa
时，表压 p g 19 . 1kPa
当绝对压强 p 68 . 5 10
Hale Waihona Puke 3Pa时，真空压强 p v 30 . 1kPa 或柱高 3.069mmH2O
例2-3 用复式压差计测量两条气体管道的压差。两个U形管的工作液体为水银，密度
为 2 ，其连接管充以酒精，密度为 1 为 z 1 、z 2 、z 3 、z 4 。求压差 p A p B 。如果水银面的高度读数
解 界面1的压强 界面2的压强 界面3的压强
上式反映了液体的压强与高度的函数关系。由此式可以看出以下几点：
[1] 当z为常数时，压强也是一个常值，因此，等压面是一个水平面。这个结论对
任何一种不可压缩流体都适用。但是，对于不同的流体，由于它们的密度不同， 因此上式的常数c不相同。
[2] 在同一种液体中，压强p随高度z的增加而变小。
[3] 设液面上的压强为
由于 h D 2 4 h d 2 4 故
p a p g 1 d D h
2
取水银的密度 13600 kg m 3
代入数据，得真空压强为 26939 Pa
2-5 静止大气压的压强分布 国际标准大气
大气层中的压强与密度、温度的变化有关，而且受到季节、时间、气候诸 因素的影响。世界各地的大气压强分布不同的。为了便于科技资源的交流， 根据各国气象的统计数据，国际上约定一种大气压强、密度和温度随海拔 高度变化的规律，这就是国际标准大气。 国际标准大气取海平面为基准面，在基准面上的大气参数为
3
10 Pa 0 . 986 10 Pa
5 5
3 当绝对压强 p 117 . 7 10 Pa
时，表压 p g 19 . 1kPa
当绝对压强 p 68 . 5 10
Hale Waihona Puke 3Pa时，真空压强 p v 30 . 1kPa 或柱高 3.069mmH2O
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2-3 静止液体的压强分布
选x,y坐标系在水平面上,z坐标为海拔高度,质量力在x,y方向的分量为零, 在z方向的分量为 f z = g .由式(2-1)得
dp = ρgdz
ρg
:单位质量流体的重量 ; 液体的密度 或
ρ 为常数.积分上式得
(2-3)
p = ρgz + c
z+
p =c ρg
上式反映了液体的压强与高度的函数关系.由此式可以看出以下几点: 上式反映了液体的压强与高度的函数关系.由此式可以看出以下几点:
(2-4)
p = p0 + ρg (z 0 z ) = p0 + ρgh
式中,z 0 z = h 为液深 液深,也称为淹深 淹深. 液深 淹深 压强沿液深线性地增加.任一点的压强p由两部分组成:
p0 和 ρgh
显然,自由面上的压强 p0 的任何变化,都会等值地传递到液体中的任何一点,这就是帕斯卡定律 帕斯卡定律. 帕斯卡定律 根据式(2-4),很容易画了压强沿液深的分 布图.如图2-4所示,挡水面AB的压强可用 直线表示.水面的压强(等于大气压)用线 段CA表示.水深h处的压强用线段DB表示, 其中EB长度等于 ρgh .平行四边行CDEA 表示表面压强p0传播到壁面AB上任何一点 的压强,三角形AEB表示仅由于液体受到 重力作用而引起的压强.
指向地心.
表面力: 表面力:指流体微团的表面受到周围物体(固体 和流体)的作用力,在流体的表面取一个微元面 积△A,外法矢为n.作用在面积△A上的力有法向 力和切向力.法向力与n平行,切向力与n垂直. 作用在单位面积上的外力称为应力,N/m2.
流体静止时,切应力为零
也不能承受拉应力,因为如果有拉应力存在, 流体必将发生变形运动,所以,静止流体只 能承受压应力,即压强,其方向与作用面垂 直,并指向流体内部.
静止流体中任意一点的各个方向的压强值都相等
证明: 考虑四面体上的表面力和质量力在x方向的平衡
1 1 yzp x p n An cos(n, x ) + xyzρf x = 0 2 6 An :斜面的面积 f x :质量力在x方向的分量
, cos(n, x ) :外法矢n与x轴夹角的余弦 1 An cos(n, x ) = yz 注意到 2
fy
1 p 1 p p dy dzdx p + dy dzdx + ρf y dxdydz = 0 2 y 2 y
化简得 同理可得
1 p fy = ρ y
fz =
1 p ρ z
1 p fx = ρ x
(2-1)
这就是流体静止的微分方程,它是由瑞士 学者欧拉于1775年首先推导出来的,故又 称欧拉平衡方程 欧拉平衡方程
解 表压
p = ρgh ,以 ρ ,g,h的值代入,得海水平均密度为 ρ = 1052.3 kg m 3
例2-2 气象部门使用巴(bar)作为压强单位,某地的大气压为986mbar,求: (1)绝对压强为 117.7 kN m 3 时的表压强;
(2)绝对压强为 68.5 kN m 3 时的真空压强,并用水柱高表示 解 大气压
压强可以用液柱高度h按 p = ρgh 换算出来.通常,测压管所用的工作 液体是水或水银.在计算标准中液柱高度有严格的定义.按照中国计量 局颁布的国家标准,重力加速度取 g = 9.80665 m s 2 .1mmH2O柱高压强 定义为4℃时1 mm水柱产生的压强,1mmHg柱高压强定义为时1mm水银 柱产生的压强,1个标准大气压(记为1atm)为760mm水银柱高.0℃水 银密度为 13595 kg m 3.因此,液柱高压强的柱高值为
[1] 当z为常数时,压强也是一个常值,因此,等压面是一个水平面.这个结论对
任何一种不可压缩流体都适用.但是,对于不同的流体,由于它们的密度不同, 因此上式的常数c不相同.
[2] 在同一种液体中,压强p随高度z的增加而变小.
[3] 设液面上的压强为
p0 ,高度为 h0 ,根据式(2-3),液体中任意一点的压强
p1 p2 = ρ ' g (L2 L1 )cosθ
例2-3 用复式压差计测量两条气体管道的压差.两个U形管的工作液体为水银,密度
为 ρ 2 ,其连接管充以酒精,密度为 ρ1 为 z1 ,z 2 ,z3 ,z 4 .求压差 p A p B .如果水银面的高度读数
解 界面1的压强 界面2的压强 界面3的压强
降 h = 200mm ,求杯口气压的真空度.
解 设管口大气压为 pa ,水银密度为
ρ ,则
pa = p + ρg (h + h )
由于 hπD 2 4 = hπd 2 4 故
pa p = ρg 1+ (d D ) h
2
[
]
取水银的密度
ρ = 13600 kg m 3
26939Pa
代入数据,得真空压强为
因此
当四面体缩成一点时 x y z 因此
1 p x p n + xρf x = 0 3
趋于零
p x = pn
p x = p y = p z = pn
再考虑y,z方向的力平衡,可以得到 因此
pz p y
也等于
pn
2-2流体静止的微分方程 流体静止的微分方程
在流场中任取一个边长为dx,dy,dz的六面体.在此六面体内的流体在表面力和质 量力的作用下保持静止, 设六面体中心点的压强为p,密度为 ρ 单位质量力在y方向的分量为 y方向的静力平衡方程为
由式(2-1)容易得到坐标差为dx,dy,dz的两个邻点的压差为
p p p dp = dx + dy + dz = ρ ( f x dx + f y dy + f z dz ) x y z
积分上式就可以得到压强p的分布式
(2-2)
对于均质的不可压缩流体,密度是一个常数.这时,上式右边括号内的 三项之和也应该是某个函数的全微分 ∏ x, y, z 全微分流 ຫໍສະໝຸດ 力 学集美大学机械工程学院
第二章 流体静力学
流体静力学研究流体在静止状态下的力学规律,包括压强的分布 规律和固体壁面所受到的液体总压力. 静止状态可以分为绝对静止状态和相对静止状态.如果流体相对于固 结于地面的坐标系没有运运,就称为绝对静止,如果相对于某个动坐 标系没有运动,则称为相对静止. 绝对静止和相对静止具有共性:流体质点之间没有相对运动, 流体的粘性作用表现不出来,作用在流体上的压力和质量力达到 平衡.
1mmH 2O = 9.80665Pa
1mmHg = 133.322 Pa
1atm = 101325Pa
在工程实际中,取
g = 9.806 m ,以简化计算工作. s2
2 度 g = 9.78812 m s ,求海水的平均密度.
例2-1 在海面以下 h = 30m 深处测得海水的表压为 309kPa ,当地的重力加速
根据测压管的工作原理,工程上将绝对压强与当地大气压之差称为相对压强 相对压强,也 相对压强 称为计示压强或表压强 计示压强或表压强,以 p g 表示,即 p g = p p a.如果某点的绝对压强小于 计示压强或表压强 真空压强,用 pv 表示,即 当地大气压,则当地大气压与点的绝对压强之差称为真空压强 真空压强 pv = p a p ,真空压强也称为真空度 真空度. 真空度
液柱式测压计是根据流体静力学的基本原理,利用液柱高度来测量压强差的仪器 液柱式测压计
形管和П形管 一.U形管和 形管 形管和
U形管一端与测点连接,另一端与大气相通. 水管中心的压强为p,水密度为 ρ ,U形管 工作液体的密度为 ρ ' ,U形管左液面压强 为 p + ρgh1 ,右液面压强为大气压 pa
p = 986 103 ×105 Pa= 0.986 105 Pa × ×
3 当绝对压强 p = 117.7 × 10 Pa 时,表压 p g = 19.1kPa
3 当绝对压强 p = 68.5 × 10 Pa 时,真空压强 pv = 30.1kPa 或柱高 3.069mmH2O
2-4 液柱式测压计
2-5 静止大气压的压强分布 国际标准大气
大气层中的压强与密度,温度的变化有关,而且受到季节,时间,气候诸 因素的影响.世界各地的大气压强分布不同的.为了便于科技资源的交流, 根据各国气象的统计数据,国际上约定一种大气压强,密度和温度随海拔 高度变化的规律,这就是国际标准大气 国际标准大气. 国际标准大气 国际标准大气取海平面为基准面,在基准面上的大气参数为
p + ρgh1 = pa + ρ ' gh2
或
p pa = ρ ' gh2 ρgh1
这样可测得表压强
右图U形管可以测得两个水管的 压差 p1 p2 .设U形管左,右 液面高差 h .为了便于计算, 不妨设U形管右液面至管轴线高 差为h,显然,左液面压强为 p1 + ρg (h + h ),右液面压强为 p2 + ρgh ,故有
p1 p2 = ρ ' g (h + l sin θ )
三.多管压差计
多管压差计用于测量若干点的气体压差. 多管压差计 它由若干支与容器连通的测压管,读数板 及支架组成.读数板的垂直偏角为 θ . 工作液体一般是水,密度为 ρ ' .将测点 的压强接至测压管,如果各测点的压强不 同,则测压管的液面读数L将不相同.例 如, p1 > p2 ,则 L1 < L2 ,压差为
d∏ = f x dx + f y dy + f z dz
(
)
由于
d∏ =
∏ x
∏ ∏ ∏ dx + dy + dz x y z
f y= ∏ y
因此 f x=