2019届高考数学一轮复习第八章平面解析几何第四节直线与圆圆与圆的位置关系课时作业

第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系

课时作业 A 组——基础对点练

1．圆心为(4,0)且与直线3x －y ＝0相切的圆的方程为( ) A ．(x －4)2

＋y 2

＝1 B ．(x －4)2＋y 2

＝12 C ．(x －4)2

＋y 2

＝6

D ．(x ＋4)2

＋y 2

＝9

解析：由题意，知圆的半径为圆心到直线3x －y ＝0的距离，即r ＝|3×4－0|

3＋1＝23，结

合圆心坐标可知，圆的方程为(x －4)2

＋y 2

＝12，故选B. 答案：B

2．(2018·石家庄质检)若a ，b 是正数，直线2ax ＋by －2＝0被圆x 2

＋y 2

＝4截得的弦长为23，则t ＝a 1＋2b 2

取得最大值时a 的值为( ) A.12 B ．

32

C.34

D ．34

解析：因为圆心到直线的距离d ＝

24a 2

＋b

2

，则直线被圆截得的弦长L ＝2r 2

－d 2

＝2

4－4

4a 2＋b 2＝23，所以4a 2

＋b 2＝4.t ＝a

1＋2b 2

＝

122

·(22a )1＋2b

2

≤

1

22·12·[(22a )2＋(1＋2b 2)2]＝142[8a 2＋1＋2(4－4a 2)]＝942

，当且仅当⎩

⎪⎨⎪⎧

8a 2

＝1＋2b

2

4a 2

＋b 2

＝4时等号成立，此时a ＝3

4

，故选D.

答案：D

3．(2018·惠州模拟)已知圆O ：x 2

＋y 2

＝4上到直线l ：x ＋y ＝a 的距离等于1的点恰有3个，则实数a 的值为( ) A ．2 2 B ． 2

C ．－2或 2

D ．－22或2 2

解析：因为圆上到直线l 的距离等于1的点恰好有3个，所以圆心到直线l 的距离d ＝1，即d ＝|－a |2＝1，解得a ＝± 2.故选C.

答案：C

4．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2

＋(y ＋1)2

＝4截得的弦长为

________．

解析：已知圆的圆心为(2，－1)，半径r ＝2. 圆心到直线的距离d ＝|2＋2×－1－3|1＋4＝35

5，

所以弦长为2r 2

－d 2

＝2 22

－⎝

⎛⎭

⎪⎫3552＝255

5. 答案：255

5

5．已知m >0，n >0，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2

＋(y －1)2

＝1相切，则m ＋n 的取值范围是________．

解析：因为m >0，n >0，直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2

＋(y －1)2

＝1相切，所以圆心C (1,1)到直线的距离d ＝

|m ＋1＋n ＋1－2|

m ＋1

2

＋n ＋1

2

＝1，即|m ＋n |＝m ＋1

2

＋n ＋1

2

，两边平方并整理得，m ＋n ＋1＝mn ≤(

m ＋n

2

)2

，即(m ＋n )2

－4(m ＋n )

－4≥0，解得m ＋n ≥2＋22，所以m ＋n 的取值范围为[2＋22，＋∞)． 答案：[2＋22，＋∞)

6．两圆x 2

＋y 2

＋2ax ＋a 2

－4＝0和x 2

＋y 2

－4by －1＋4b 2

＝0恰有三条公切线，若a ∈R ，b ∈R 且ab ≠0，则1a

2＋1

b

2的最小值为________．

解析：两圆x 2

＋y 2

＋2ax ＋a 2－4＝0和x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0配方得，(x ＋a )2＋y 2＝4，x

2

＋(y －2b )2

＝1，依题意得两圆相外切，故a 2

＋4b 2

＝1＋2＝3，即a 2

＋4b 2

＝9，1a 2＋1b 2＝(a

2

9＋

4b 2

9)(1a 2＋1b 2)＝19＋a 2

9b 2＋4b 2

9a 2＋49≥5

9＋2 a 29b 2×4b 29a 2＝1，

当且仅当a 29b 2＝4b 29a

2，即a 2＝2b 2

时等号成立，故1a 2＋1

b

2的最小值为1.

答案：1

7．已知矩形ABCD 的对角线交于点P (2,0)，边AB 所在的直线方程为x ＋y －2＝0，点(－1,1)在边AD 所在的直线上． (1)求矩形ABCD 的外接圆方程；

(2)已知直线l ：(1－2k )x ＋(1＋k )y －5＋4k ＝0(k ∈R)，求证：直线l 与矩形ABCD 的外接圆相交，并求最短弦长．

解析：(1)依题意得AB ⊥AD ，∵k AB ＝－1， ∴k AD ＝1，

∴直线AD 的方程为y －1＝x ＋1，即y ＝x ＋2.