立体图形的体积计算学生用

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圆柱、圆锥、球体(学生版)

学科培优数学圆柱、圆锥、球体学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位立体图形，主要考点集中在不规则形体的表面积与体积计算。

其中有自成一类的“染色问题”，也是经常见到的“几何奥数题”。

小学阶段，我们除了学习平面图形外，还认识了一些简单的立体图形，如长方体、正方体（立方体）、直圆柱体，直圆锥体、球体等，并且知道了它们的体积、表面积的计算公式，本讲重点讲解立体图形中的圆柱、圆锥和球体。

重难点在于：1．圆柱、圆锥和球体的表面积和体积计算。

2．间接利用或逆用公式求解圆柱圆锥球体中的其它量。

3．圆柱圆锥球体等立体图形的组合图形主要的考点是：1．常见较复杂的组合图形计算。

2．灵活运用公式求解体积表面积外的其余量知识梳理一、圆柱、圆锥、球体圆柱体：如右图，圆柱体的底面是圆，其半径为r ；圆柱体的侧面展开图是一个长方形，长方形的宽相当于圆柱体的高，长相当于圆柱体的底面周长。

圆柱体的表面积：S 圆柱=侧面积+2个底面积=2πrh+2πr 2。

圆柱体的体积：2V r h π=圆柱圆锥体：如右图，圆锥体的底面是圆，其半径为r ；圆锥体r的侧面展开图是一个扇形。

圆锥体的体积：213V r h π=圆锥体球体：343V r π=球体求圆柱体的表面积．一般的方法是先求出圆柱体的侧面积，然后再加上圆柱的两个底面积。

求圆锥体的表面积需要先求出侧面积（扇形），再求出底面积（圆），两者相加即可。

例题精讲【试题来源】【题目】一个底面半径的是５厘米．高是１５厘米的圆柱体，试求出它的表面积。

【试题来源】【题目】一段圆柱体木料，如果截成两段，它的表面积增加25.12平方厘米；如果沿着直径劈成两个半圆柱体，它的表面积将增加100平方厘米。

求圆柱体的表面积。

【试题来源】【题目】一个圆柱体的体积是50.24立方厘米，底面半径是2厘米。

将它的底面平均分成若干个扇形后，再截开拼成一个和它等底等高的长方体，表面积增加了多少平方厘米? (π=3.14)【试题来源】【题目】已知圆柱体的高是10厘米，由底面圆心垂直切开，把圆柱分成相等的两半，表面积增加了40平方厘米，求圆柱体的体积．(3π=)【试题来源】【题目】一个圆柱形容器内放有一个长方形铁块．现打开水龙头往容器中灌水．3分钟时水面恰好没过长方体的顶面．再过18分钟水灌满容器．已知容器的高为50厘米，长方体的高为20厘米，求长方体底面面积与容器底面面积之比．【试题来源】【题目】兰州来的马师傅擅长做拉面，拉出的面条很细很细，他每次做拉面的步骤是这样的：将一个面团先搓成圆柱形面棍，长1.6米．然后对折，拉长到1.6米；再对折，拉长到1.6米……照此继续进行下去，最后拉出的面条粗细(直径)仅有原先面棍的164．问：最后马师傅拉出的这些细面条的总长有多少米?(假设马师傅拉面的过程中．面条始终保持为粗细均匀的圆柱形，而且没有任何浪费)【试题来源】【题目】一个盖着瓶盖的瓶子里面装着一些水（如下图所示），请你根据图中标明的数据，计算瓶子的容积是_________。

各形状物体体积计算公式

一些数学的体积和表面积计算公式3 立方图形名称符号面积S和体积V正方体 a－边长 S＝6a2 V＝a3长方体 a－长 b－宽 c－高 S＝2(ab+ac+bc)V＝abc棱柱 S－底面积 h－高 V＝Sh棱锥 S－底面积 h－高 V＝Sh/3棱台 S1和S2－上、下底面积h－高 V＝h[S1+S2+(S1S2)1/2]/3正棱台拟柱体 S1－上底面积 S2－下底面积 S0－中截面积 h－高V＝h(S1+S2+4S0)/6圆柱 r－底半径 h－高 C—底面周长 S底—底面积 S侧—侧面积S表—表面积 C＝2πr S底＝πr2 S侧＝Ch S表＝Ch+2S底V＝S底h＝πr2h空心圆柱 R－外圆半径 r－内圆半径 h－高V＝πh(R2-r2)直圆锥 r－底半径 h－高V＝πr2h/3圆台 r－上底半径 R－下底半径 h－高V＝πh(R2＋Rr＋r2)/3球 r－半径 d－直径V＝4/3πr3＝πd2/6球缺 h－球缺高 r－球半径 a－球缺底半径V＝πh(3a2+h2)/6 ＝πh2(3r-h)/3a2＝h(2r-h)球台 r1和r2－球台上、下底半径 h－高V＝πh[3(r12＋r22)+h2]/6圆环体 R－环体半径 D－环体直径 r－环体截面半径 d－环体截面直径V＝2π2Rr2＝π2Dd2/4桶状体 D－桶腹直径 d－桶底直径 h－桶高V＝πh(2D2＋d2)/12 (母线是圆弧形,圆心是桶的中心)V＝πh(2D2＋Dd＋3d2/4)/15 (母线是抛物、、长方形的周长=（长+宽）×2正方形的周长=边长×4长方形的面积=长×宽正方形的面积=边长×边长三角形的面积=底×高÷2平行四边形的面积=底×高梯形的面积=（上底+下底）×高÷2直径=半径×2 半径=直径÷2圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2圆的面积=圆周率×半径×半径长方体的表面积=（长×宽+长×高＋宽×高）×2长方体的体积=长×宽×高正方体的表面积=棱长×棱长×6正方体的体积=棱长×棱长×棱长圆柱的侧面积=底面圆的周长×高圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积圆柱的体积=底面积×高圆锥的体积=底面积×高÷3长方体（正方体、圆柱体）的体积=底面积×高平面图形名称符号周长C和面积S正方形a—边长C＝4aS＝a2长方形a和b－边长C＝2(a+b)S＝ab三角形a,b,c－三边长h－a边上的高s－周长的一半A,B,C－内角其中s＝(a+b+c)/2 S＝ah/2＝ab/2·sinC＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2＝a2sinBsinC/(2sinA)四边形d,D－对角线长α－对角线夹角S＝dD/2·sinα平行四边形a,b－边长h－a边的高α－两边夹角S＝ah＝absinα菱形a－边长α－夹角D－长对角线长d－短对角线长S＝Dd/2＝a2sinα梯形a和b－上、下底长h－高m－中位线长S＝(a+b)h/2＝mh圆r－半径d－直径C＝πd＝2πrS＝πr2＝πd2/4扇形r—扇形半径a—圆心角度数C＝2r＋2πr×(a/360)S＝πr2×(a/360)弓形l－弧长b－弦长h－矢高r－半径α－圆心角的度数S＝r2/2·(πα/180-sinα)＝r2arccos[(r-h)/r] - (r-h)(2rh-h2)1/2 ＝παr2/360 - b/2·[r2-(b/2)2]1/2＝r(l-b)/2 + bh/2≈2bh/3圆环R－外圆半径r－内圆半径D－外圆直径d－内圆直径S＝π(R2-r2)＝π(D2-d2)/4椭圆D－长轴d－短轴S＝πDd/4立方图形名称符号面积S和体积V正方体a－边长S＝6a2V＝a3长方体a－长b－宽c－高S＝2(ab+ac+bc)V＝abc棱柱S－底面积h－高V＝Sh棱锥S－底面积h－高V＝Sh/3棱台S1和S2－上、下底面积h－高V＝h[S1+S2+(S1S1)1/2]/3 拟柱体S1－上底面积S2－下底面积S0－中截面积h－高V＝h(S1+S2+4S0)/6圆柱r－底半径h－高C—底面周长S底—底面积S侧—侧面积S表—表面积C＝2πrS底＝πr2S侧＝ChS表＝Ch+2S底V＝S底h＝πr2h空心圆柱R－外圆半径r－内圆半径h－高V＝πh(R2-r2)直圆锥r－底半径h－高V＝πr2h/3圆台r－上底半径R－下底半径h－高V＝πh(R2＋Rr＋r2)/3球r－半径d－直径V＝4/3πr3＝πd2/6球缺h－球缺高a－球缺底半径V＝πh(3a2+h2)/6＝πh2(3r-h)/3a2＝h(2r-h)球台r1和r2－球台上、下底半径h－高V＝πh[3(r12＋r22)+h2]/6圆环体R－环体半径D－环体直径r－环体截面半径d－环体截面直径V＝2π2Rr2＝π2Dd2/4桶状体D－桶腹直径d－桶底直径h－桶高V＝πh(2D2＋d2)/12(母线是圆弧形,圆心是桶的中心)V＝πh(2D2＋Dd＋3d2/4)/15(母线是抛物线形)棱台体体积计算公式：V=（1/3）H（S上＋S下＋√[S上×S下]）H是高，S上和S下分别是上下底面的面积。

五年级数学技巧之体积计算

五年级数学技巧之体积计算在五年级学习数学的过程中，体积计算是一个重要的技巧。

通过学习体积计算，学生可以更好地理解物体的三维空间，并能应用于日常生活和解决实际问题。

本文将介绍几种常见的体积计算方法，并以实际例子说明其应用。

一、立方体的体积计算立方体是最基本的三维几何图形，其体积计算相对简单。

立方体的体积等于边长的立方。

例如，一个边长为5厘米的立方体，其体积计算公式为5 × 5 × 5 = 125立方厘米。

在日常生活中，我们常常遇到类似问题，比如水果盒子的体积。

假设一个水果盒子的长、宽、高分别为10厘米、8厘米、6厘米，我们可以利用体积计算公式得到水果盒子的体积为10 × 8 × 6 = 480立方厘米。

这样，在购买水果时，我们可以根据水果的数量来选择合适大小的盒子，以确保装下所有的水果。

二、长方体的体积计算长方体是指具有三个不同边长的长方形，也是常见的几何图形之一。

长方体的体积计算公式为三条边长的乘积。

例如，一个长方体的长、宽、高分别为10厘米、6厘米、4厘米，我们可以通过计算10 × 6 × 4= 240立方厘米来得到其体积。

假设我们在装书包时需要计算书包的容量，书包长30厘米，宽20厘米，高15厘米。

我们可以利用体积计算公式，计算书包的容量为30× 20 × 15 = 9000立方厘米。

通过计算书包的容量，我们可以判断书包是否足够装下所需要的物品。

三、圆柱体的体积计算圆柱体是一个底面为圆形的立体图形。

它的体积计算公式为底面积乘以高。

底面积等于半径的平方乘以π（圆周率）。

例如，一个半径为5厘米，高为10厘米的圆柱体的体积计算公式为5 × 5 × π × 10。

假设我们在做一个水杯的设计时，需要计算水杯的容量。

水杯的底面半径为3厘米，高为8厘米。

通过计算，我们可以得到水杯的体积为3 × 3 × π × 8。

立体图形表面积体积

教育学科教师辅导讲义学员编号：年级：课时数：学员姓名：辅导科目：学科教师：授课类型T (立体图形相关知识点) C （典型例题试题讲解） T （拓展提高）授课日期时段教学内容知识点一：表面积1、长方体表面积=长x 宽× 2+ 宽× 高× 2+ 长×高× 2 字母公式：S=ax b× 2+ a× c× 2+ b×c× 2 或者：长方体的表面积 =( 长×宽 + 长×高 + 宽×高 ) × 2 。

字母公式：S=(ax b+ a× c+ b×c)× 22、正方体的表面积 =棱长×棱长×6。

字母公式：S=a ×a× 63、圆柱体的表面积：圆柱表面积=上底+下底+侧面（侧面面积=底面圆的周长×圆柱的高）用字母表示：22s r ch π=+注：侧面积的求法：已知底面半径和高，rh π侧2s = 已知底面直径和高，dh π侧=s知识点二：体积1、长方体体积：长方体体积= ① 长×宽×高（Ｖ＝ａｂｈ）② 底面积×高=横截面积×长（V =sh ） 2、正方体的体积：正方体体积＝棱长×棱长×棱长检测题1：把一个圆柱的侧面展开，得到一个正方形．已知这个圆柱的高是10厘米，它的侧面积是（）平方厘米．A ．50B ．100C ．50πD ．100π答案：B检测题2．把一个棱长4厘米的正方体分割成两个长方体，表面积增加了______平方厘米．答案：64检测题3 一个正方体的棱长之和是48厘米，它的棱长是______厘米，表面积是______平方厘米，体积是______立方厘米．答案：2 24 8检测题4 把两个棱长5厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是______平方厘米．答案：250检测题5．一个练功房铺设了1600块长50厘米，宽10厘米，厚3厘米的木地板，这个练功房的面积有______平方米．答案：这个练功房的面积有80平方米．检测题6．圆柱的底面半径扩大2倍，高缩小到原来的21，它的体积就（）答案：扩大2倍检测题7．做一个圆柱体，侧面积是9.42平方厘米，高是3厘米，它的底面半径是______．答案：1.57cm一、专题精讲例1.如图是高为10厘米的圆柱，如果它的高增加4 厘米，那么它表面积就增加125.6平方厘米。

立体图形的体积计算

分割成无数个相同高度的圆柱体，再求和得到体积。圆锥体体积公式推导：通过将圆锥体分割成无数个相同高度的圆锥体，再求和得到体积。长方体体积公式推导：通过将长方体分割成无数个相同大小的小长方体，再求和得到体积。球体体积公式推导：通过将球体分割成无数个相同大小的球壳，再求和得到体积。
圆柱体的体积计算可以通过底面积乘以高来实现，也可以通过积分来求解。
圆柱体的体积计算在日常生活和工程中有着广泛的应用，如计算圆柱形物体的容积、液体容量等。
圆柱体的体积计算是立体几何中一个重要的知识点，对于理解三维空间和立体图形的性质具有重要意义。
圆锥体的体积公式：V=1/3πr²h 圆锥体的体积计算方法：先求出底面积和高，再代入公式计算圆锥体的体积计算实例：以实际题目为例，演示如何计算圆锥体的体积圆锥体的体积计算注意事项：强调计算过程中需要注意的事项，如单位统一等
立体图形的体积计算
汇报人：XX
目录
立体图形的种类
立体图形体积计算的基本公式
立体图形体积计算的应用
立体图形体积计算的注意事项
立体图形体积计算的练习题
立体图形的种类
长方体的体积公式：V=a×b×c，其中a、b、c分别为长方体的长、宽、高。
体积计算中需要注意的要点：长、宽、高的尺寸单位需要统一，计算时按照顺序进行乘法运算。
一个圆柱体的体积是 314立方厘米，它的底面积是314平方厘米，它的高是多少厘米？
一个圆锥体的体积是 12.56立方厘米，它的底面积是12.56平方厘米，它的高是多少厘米？
计算正方体的体积：边长为6cm，求体积。计算长方体的体积：长为8cm，宽为4cm，高为3cm，求体积。计算圆柱体的体积：底面半径为4cm，高为5cm，求体积。计算圆锥体的体积：底面半径为6cm，高为8cm，求体积。

五年级下册数学讲义数学专题--几何模块--长方体正方体的体积全国通用 (含答案)

长方体正方体的体积【教学目标】1.理解立体图形的体积的含义，熟练掌握体积的计算公式2.掌握液面升降问题，熔铸问题以及注水问题一．理解表面积、体积、容积的含义及体积的单位（1）体积：物体所占空间的大小，叫做物体的体积。

体积通常用V表示。

常用体积单位是立方米、立方分米、立方厘米。

（2）容积：箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，叫做它们的容积或容量。

常用容积单位是升、毫升，1升=1000毫升。

（3）体积与容积单位之间的换算：1立方分米=_________升，1立方厘米=______毫升。

二．体积计算公式：长方体的体积＝_________＝____________正方形的体积＝___________三．在解答立体图形的体积问题时，要掌握以下几点：(1)物体沉入水中，水面上升部分的体积等于物体的体积。

把物体从水中取出，水面下降部分的体积等于物体的体积。

这是物体全部浸没在水中的情况。

如果物体不全部浸没在水中，那么排开水的体积就等于浸在水中的那部分物体的体积。

不规则物体的体积=容器的底面积×上升(或下降)的水的高度(2)把一种形状的物体变为另一种形状的物体后，形状变了，但它的体积保持不变。

(3)求一些不规则形体体积时，可以通过变形的方法求体积。

(4)两个物体熔成一个物体（不计损耗），新物体的体积是原来物体的体积类型一：与表面积相结合例题1：一个长方体，如果高增加3厘米，就成为一个正方体．这时表面积比原来增加了96平方厘米．原来的长方体的体积是多少立方厘米？例题2：一个长方体如果长增加10厘米，则体积增加75立方厘米；如果宽增加8厘米，则体积增加80立方厘米；如果高增加6厘米，则体积增加72立方厘米，则原长方体的表面积是多少平方厘米？类型二：液面升降例3：有两个长方体水缸，甲缸长3分米，宽和高都是2分米；乙缸长4分米，宽2分米，里面的水深1.5分米，现把乙缸中的水倒入甲缸，水在甲缸里面深几分米？例4：一个长方体容器的底面是一个边长为60厘米的正方形，容器里直立一个高1米，底面边长15厘米的长方体铁块，这时的水深0.5米，如果把铁块取出，容器里面的水深是多少厘米？例5：有一个深12分米的长方体容器，其内侧底面为边长9分米的正方形，当容器底面的一边紧贴着桌面倾斜如图，容器内的水刚好不溢出，则容器内水有多少升？类型三：利用展开图求体积例6：如图，是边长为36厘米的正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图2的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的2倍，则他的体积是多少？类型四：熔铸问题例7：有一块棱长是80厘米的正方体的铁块，现在要把它溶铸成一个横截面积是20平方厘米的长方体，这个长方体的长是多少厘米？类型四：“注水”问题例8：如图（1）在底面积为100平方厘米，高为20厘米的长方体水槽内放入一个长方体烧杯，以恒定不变的流量速度向烧杯中注水，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽为止，此过程中，烧杯本身的质量、体积忽略不计，烧杯在大水槽中的位置始终不改变。

圆的体积计算公式表

圆的体积计算公式表常用的立体图形体积公式：长方体：v=abc（长方体体积=长×宽×高）正方体：v=a³（正方体体积=棱长×棱长×棱长）圆柱（正圆）：v=πr²×h【圆柱（正圆）体积=圆周率×底半径×底半径×高】圆锥（正圆）：v=πr²×h÷3【圆锥（正圆）体积=圆周率×底半径×底半径×高÷3】角锥：v=rs×h÷3【角锥体积=底面积×高÷3】柱体：v=sh(柱体体积=底面积×高）表面积的公式 1、柱体（1）棱柱每个面的面积相加）特殊长方体、正方体（长方体：s=2(ab+ah+bh)正方体：s=6a^2（2）圆柱s=2πr^2+2πrh2、锥体（1）棱锥每个面的面积相加（2）圆锥s=πr^2+πrl3、台体（1）棱台每个面的面积相加（2）圆台s=πr^2+πr′ ^2+πrl+πr′l4、球s=4πr^2长方形的周长=（长+宽）×2正方形的周长=边长×4长方形的面积=长×宽正方形的面积=边长×边长三角形的面积=底×高÷2平行四边形的面积=底×高梯形的面积=（上底+下底）×高÷2直径=半径×2 半径=直径÷2圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2圆的面积=圆周率×半径×半径长方体的表面积=（长×宽+长×高＋宽×高）×2长方体的体积 =长×宽×高正方体的表面积=棱长×棱长×6正方体的体积=棱长×棱长×棱长圆柱的侧面积=底面圆的周长×高圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积圆柱的体积=底面积×高圆锥的体积=底面积×高÷3长方体（正方体、圆柱体）的体积=底面积×高平面图形名称符号周长c和面积s正方形 a—边长 c＝4as＝a2长方形 a和b－边长 c＝2(a+b)s＝ab三角形 a,b,c－三边长h－a边上的高s－周长的一半a,b,c－内角其中s＝(a+b+c)/2 s＝ah/2＝ab/2·sinc＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2＝a2sinbsinc/(2sina)四边形 d,d－对角线长α－对角线夹角 s＝dd/2·sinα平行四边形 a,b－边长h－a边的高α－两边夹角 s＝ah＝absinα菱形 a－边长α－夹角d－长对角线长d－短对角线长 s＝dd/2＝a2sinα梯形 a和b－上、下底长h－高m－中位线长 s＝(a+b)h/2＝mh圆 r－半径d－直径 c＝πd＝2πrs＝πr2＝πd2/4扇形 r—扇形半径a—圆心角度数c＝2r＋2πr×(a/360)s＝πr2×(a/360)弓形 l－弧长b－弦长h－矢高圆的体积计算公式（圆的面积计算公式）r－半径α－圆心角的度数 s＝r2/2·(πα/180-sinα)＝r2arccos[(r-h)/r] - (r-h)(2rh-h2)1/2＝παr2/360 - b/2·[r2-(b/2)2]1/2＝r(l-b)/2 + bh/2≈2bh/3圆环 r－外圆半径r－内圆半径d－外圆直径d－内圆直径 s＝π(r2-r2)＝π(d2-d2)/4椭圆 d－长轴d－短轴 s＝πdd/4立方图形名称符号面积s和体积v正方体 a－边长 s＝6a2v＝a3长方体 a－长b－宽c－高 s＝2(ab+ac+bc)v＝abc棱柱 s－底面积h－高 v＝sh棱锥 s－底面积h－高 v＝sh/3棱台 s1和s2－上、下底面积h－高 v＝h[s1+s2+(s1s1)1/2]/3拟柱体 s1－上底面积圆的体积计算公式（圆的面积计算公式）s2－下底面积s0－中截面积h－高 v＝h(s1+s2+4s0)/6圆柱 r－底半径h－高c—底面周长s底—底面积s侧—侧面积s表—表面积 c＝2πrs底＝πr2s侧＝chs表＝ch+2s底v＝s底h＝πr2h扇形体积计算公式？它是一个扇形的平面图形，只有面积和周长，没有体积。

计算立方体体积的公式

计算立方体体积的公式嘿，咱们今天来聊聊计算立方体体积的公式！立方体，这玩意儿在咱们生活里可太常见啦！就说小朋友们玩的积木，那好多都是立方体形状的。

那啥是立方体呢？简单说，就是六个面都是正方形，而且大小都一样的立体图形。

计算立方体体积的公式呢，其实特别简单，就是边长乘边长再乘边长。

用数学式子写出来就是 V = a³，这里的 V 表示体积，a 表示立方体的边长。

举个例子哈，比如说有一个立方体，它的边长是 5 厘米。

那它的体积咋算？就是 5×5×5 = 125 立方厘米。

我记得有一次，我去一个小朋友家里，他正在做数学作业，刚好就碰到了计算立方体体积的题目。

小家伙一脸苦相，抓耳挠腮的，嘴里还嘟囔着：“这咋算呀，太难啦！”我就凑过去看了看，原来就是个边长为 3 厘米的立方体，问体积是多少。

我就跟他说：“别着急，你想想咱们的公式，边长乘边长再乘边长，那这个立方体的边长是 3 厘米，体积不就是3×3×3 嘛。

”小家伙听了，眨巴眨巴眼睛，拿起笔就开始算，算完之后，脸上立马露出了笑容，兴奋地跟我说：“我算出来啦，是 27 立方厘米！”看着他那高兴的样子，我心里也特别有成就感。

在实际生活中，这计算立方体体积的公式用处可大着呢！比如说，咱们要建一个正方体的水池，知道了边长，就能算出能装多少水，这样就能规划好水池的大小，是不是很实用？再比如，工厂里要生产一批正方体的包装盒，如果知道了要装的东西大概有多少体积，就能通过这个公式算出包装盒做成多大合适，既不浪费材料，又能装下东西。

还有哦，装修房子的时候，如果想买个正方体的收纳箱，那也得先算好体积，看看放不放得进预留的空间里。

总之，这计算立方体体积的公式虽然简单，但是用处多多。

只要咱们掌握好了，就能解决好多生活中的实际问题。

同学们在学习这个公式的时候，可别死记硬背，得多动手画画、算算。

比如说拿张纸，自己画几个不同边长的立方体，标上尺寸，然后算算体积，这样印象会更深刻。

五年级上册奥数试题-第9讲.立体图形的体积(含解析)人教版

1.掌握立体图形的体积计算常用公式．2.掌握求不规则立体图形体积的常用方法．本讲立体图形的体积计算，与第七讲的立体图形的表面积，是姐妹篇．对于小学几何而言，立体图形的体积计算，既可以很好地考查学生的空间想象能力，又可以具体考查学生在公式应用中处理相关数据的能力，所以，很多重要考试(比如仁华的入学考试，几乎每年必考)都很重视对立体图形的考查．其中，尤其要以“不规则立体图形的体积”为考查重点．立体图形的体积计算常用公式：立体图形示例体积公式相关要素长方体V abh=V Sh=三要素：a、b、h二要素：S、h正方体3V a=V Sh=一要素：a二要素：S、h 第9讲立体图形的体积圆柱体V=Sh二要素：S (或r 、d 、C ) 和h圆锥体V=13Sh 二要素：S 、h不规则形体的体积常用方法：一、化虚为实法二、切片转化法三、先补后去法四、实际操作法五、画图建模法【例 1】 (第五届《小数报》数学竞赛决赛)一个长方体的宽和高相等，并且都等于长的一半(如图)．将这个长方体切成12个小长方体，这些小长方体的表面之和为600平方分米．求这个大长方体的体积．【分析】设大长方体的宽(高)为a 分米，则长为2a ，右(左)面积为2a ，其余面的面积为22a ，根据题意， 22222862600a a a ⨯++⨯= 所以225a =，5a =．大长方体的体积2555250=⨯⨯⨯=(立方分米)．［铺垫］ (第十五届“迎春杯”决赛)把一根长2.4米的长方体木料锯成5段(如图)，表面积比原来增加了96平方厘米．这根木料原来的体积是_____立方厘米．2.4米［分析］ 96812÷=(平方厘米)，122402880⨯=(立方厘米)．所以这根木料原来的体积为2880立方厘米．【例 2】 (第九届“祖冲之杯”数学邀请赛)有一个长方体的盒子，从里面量长40厘米，宽12厘米，高7厘米，在这个盒子里放长5厘米，宽4厘米，高3厘米的长方体木块．最多可放块．【分析】下图表明34⨯的长方形可以填满712⨯的长方形．于是534⨯⨯的长方体可以填满40712⨯⨯的长方体，即盒子中最多可放这种长方体40712(534)56⨯⨯÷⨯⨯=(个)．规则立体图形体积的计算444433333［巩固］(第九届“迎春杯”数学竞赛决赛)把1个棱长是3厘米的正方体分割成若干个小的正方体，这些小正方体的棱长必须是整厘米数．如果这些小正方体的体积不要求都相等，那么最少可分割成个小正方体．［分析］因为小正方体的棱长只可能是2厘米或1厘米．必须分割出棱长是2厘米的小正方体才能使数量减少．显然，棱长是3厘米的正方体只能切割出一个棱长为2厘米的小正方体，剩余部分再切割出33322227819+=(个)⨯⨯-⨯⨯=-=个棱长是1厘米的小正方体，这样总共可以分割成11920小正方体．现有一张长40厘米、宽20厘米的长方形铁皮，请你用它做一只深是5厘米的长方体无盖铁皮盒(焊接处及铁皮厚度不计，容积越大越好)，你做出的铁皮盒容积是多少立方厘米?【分析】如图，在4020⨯的长方形铁皮的四角截去边长5厘米的正方形铁皮，然后焊接成长方形无盖铁皮盒．这个铁皮盒的长405530=--=(厘米)．宽205510=--=(厘米)，高5=(厘米)．体积301051500=⨯⨯=(立方厘米)．如图，在4020⨯长方形铁皮的左侧两角上割下边长5厘米的正方形(二块)，紧密焊接到右侧的中间部分，这样做成的无盖铁皮盒的长40535=-=(厘米)，宽205510=--=(厘米)，高5=(厘米)，体积351051750=⨯⨯=(立方厘米)．如图，在4020⨯的长方形铁皮的左右两侧各割下一条宽为5厘米的长方形铁皮(共二块)，分别焊到上、下的中间部分，这样做成的无盖铁皮盒的长40555520=----=(厘米)，宽20=(厘米)，高5=(厘米)，体积202052000=⨯⨯=(立方厘米)．因此，最后一种容积最大．［铺垫］ (第三届“华杯赛”复赛)如图从长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长2厘米的正方形，然后，沿虚线折叠成长方体容器．这个容器的体积是多少立方厘米？［分析］容器的底面积是(134)(94)45-⨯-=(平方厘米)，高为2厘米，所以容器的体积是，45290⨯=(立方厘米)．【例 3】 (第七届“华杯赛”决赛)用大小相等的无色透明玻璃小正方体和红色玻璃小正方体拼成一个大正方体1111ABCD A B C D -(如图)，大正方体内的对角线1AC ，1BD ，1CA ，1DB 所穿的小正方体都是红色玻璃小正方体，其它部分都是无色透明玻璃小正方体，小红正方体共用了401个，问：无色透明小正方体用了多少个?D 1C 1B 1A 1D CBA【分析】 1AC 、1BD ，1CA ，1DB ，四条对角线都穿过在正中央的那个小正方体．除此而外，每条对角线穿过相同的小正方体，所以每条对角线穿过401111014-+=个小正方体这就表明大正方体的每条边由101个小正方体组成．因此大正方体由3101个小正方体组成，其中无色透明的小正方体有310140110303014011029900-=-=．即用了1029900个无色透明的小正方体．【例 4】小明用若干个大小相同的正方体木块堆成一个几何体，这个几何体从正面看如下图左,从上面看如下图右．那么这个几何体至少用了块木块．【分析】这道题很多同学认为答案是26块．这是受思维定势的影响，认为右图中每一格都要至少放一块．其实，有些格不放，看起来也是这样的．如右图，带阴影的3块不放时，小正方体块数最少，为23块．［拓展］右图是由22个小正方体组成的立体图形，其中共有多少个大大小小的正方体？由两个小正方体组成的长方体有多少个？［分析］正方体只可能有两种：由1个小正方体构成的正方体，有22个；由8个小正方体构成的222⨯⨯的正方体，有4个．所以共有正方体22426+=(个)．由两个小正方体组成的长方体，根据摆放的方向可分为下图所示的上下位、左右位、前后位三种，其中上下位有13个，左右位有13个，前后位有14个，共有13131440++=(个)．【例 5】有黑白两种颜色的正方体积木，把它摆成右图所示的形状，已知相邻(有公共面)的积木颜色不同，标A 的为黑色，图中共有黑色积木多少块？【分析】分层来看，如下图(切面平行于纸面)共有黑色积木17块.A不规则立体图形体积的计算［拓展］这个图形，是否能够由112⨯⨯的长方体搭构而成？［分析］每一个112⨯⨯的长方体无论怎么放，都包含了一个黑色正方体和一个白色正方体，而黑色积木有17块，白色积木有15块，所以该图形不能够由112⨯⨯的长方体搭构而成.【例 6】一个酒瓶里面深30cm，底面内直径是10cm，瓶里酒深15cm．把酒瓶塞紧后使其瓶口向下倒立这时酒深25cm．酒瓶的容积是多少？(π取3)253015【分析】观察前后，酒瓶中酒的总量没变，即瓶中液体体积不变．当酒瓶倒过来时酒深25cm，因为酒瓶深30cm，这样所剩空间为高5cm的圆柱，再加上原来15cm 高的酒即为酒瓶的容积．酒的体积：101015π375π22⨯⨯=瓶中剩余空间的体积1010 (3025)π125π22-⨯⨯=酒瓶容积：375π125π500π1500(ml)+==［巩固］输液100毫升，每分钟输毫升．如图，请你观察第12分钟时图中的数据，问：整个吊瓶的容积是多少毫升？［分析］100毫升的吊瓶在正放时，液体在100毫升线下方，上方是空的，容积是多少不好算．但倒过来后，变成圆柱体，根据标示的格子就可以算出来．由于每分钟输毫升，12分钟已输液2.51230⨯=(毫升)，因此开始输液时液面应与50毫升的格线平齐，上面空的部分是50毫升的容积．所以整个吊瓶的容积是10050150+=(毫升)．【例 7】一只装有水的圆柱形玻璃杯，底面积是80平方厘米，高是15厘米，水深10厘米．现将一个底面积是16平方厘米，高为12厘米的长方体铁块竖放在水中后．现在水深多少厘米?【分析】8010(8016)12.5⨯÷-=，因为12.512>，所以此时水已淹没过铁块，8010(8016)1232⨯--⨯=，32800.4÷=，所以现在水深为120.412.4+=厘米［铺垫］一只装有水的圆柱形玻璃杯，底面积是80平方厘米，高是15厘米，水深8厘米．现将一个底面积是16平方厘米，高为12厘米的长方体铁块竖放在水中后．现在水深多少厘米?［分析］根据等积变化原理：用水的体积除以水的底面积就是水的高度．(法1)：808(8016)6406410⨯÷-=÷=(厘米)；(法2)：设水面上升了x 厘米．根据上升部分的体积=浸入水中铁块的体积列方程为：8016(8)x x =+，解得：2x =，8210+=(厘米)． (提问“圆柱高是15厘米”，和“高为12厘米的长方体铁块”这两个条件给的是否多余？)［拓展］一只装有水的圆柱形玻璃杯，底面积是80平方厘米，高是15厘米，水深13厘米．现将一个底面积是16平方厘米，高为12厘米的长方体铁块竖放在水中后．现在水深多少厘米?【分析】玻璃杯剩余部分的体积为80(1513)160⨯-=立方厘米，铁块体积为1612192⨯=立方厘米，因为160192<，所以水会溢出玻璃杯，所以现在水深就为玻璃杯的高度15厘米总结铁块放入玻璃杯会出现三种情况①放入铁块后，水深不及铁块高.②放入铁块后，水深比铁块高但未溢出玻璃杯，③水有溢出玻璃杯.小故事教师可以在此穿插一个关于阿基米德测量黄金头冠的体积的故事．一天国王让工匠做了一顶黄金的头冠，不知道工匠有没有掺假，必须知道黄金头冠的体积是多少，可是又没有办法来测量．(如果知道体积，就可以称一下纯黄金相应体积的重量，再称一下黄金头冠的重量，就能知道是否掺假的结果了)于是，国王就把测量头冠体积的任务交给他的大臣阿基米德．(小朋友们，你们能帮阿基米德解决难题吗？)阿基米德苦思冥想不得其解，就连晚上沐浴时还在思考这个问题．当他坐进水桶里，看到水在往外满溢时，突然灵感迸发，大叫一声：“我找到方法了……”，就急忙跑出去告诉别人，大家看到了一个还光着身子的阿基米德．他的方法是：把水桶装满水，当把黄金头冠放进水桶，浸没在水中时，所收集的溢出来的水的体积正是头冠的体积．【例 8】 (武汉明心杯数学挑战赛)如图所示，一个555⨯⨯的立方体，在一个方向上开有115⨯⨯的孔，在另一个方向上开有215⨯⨯的孔，在第三个方向上开有315⨯⨯的孔，剩余部分的体积是多少？表面积为多少？【分析】求体积：开了315⨯⨯的孔，挖去31515⨯⨯=，开了115⨯⨯的孔，挖去11514⨯⨯-=；开了215⨯⨯的孔，挖去215(22)6⨯⨯-+=，剩余部分的体积是：555(1546)100⨯⨯-++=．(另解)将整个图形切片，如果切面平行于纸面，那么五个切片分别如图：得到总体积为：22412100⨯+=．求表面积：表面积可以看成外部和内部两部分．外部的表面积为55612138⨯⨯-=，内部的面积可以分为前后、左右、上下三个方向，面积分别为()22515121320⨯⨯+⨯-⨯-⨯=、 ()2153513132⨯⨯+⨯-⨯-=、()2151511214⨯⨯+⨯-⨯-=，所以总的表面积为 138203214204+++=．(另解)运用类似于三视图的方法，记录每一方向上的不同位置上的裸露正方形个数：前后方向：32上下方向：30 左右方向：40总表面积为()⨯++=．2323040204 Array［巩固］一个由125个同样的小正方体组成的大正方体，从这个大正方体中抽出若干个小正方体，把大正方体中相对的两面打通，右图就是抽空的状态．右图中剩下的小正方体有多少个？［分析］解法一：(用“容斥原理”来解)由正面图形抽出的小正方体有5525⨯=个，由侧面图形抽出的小正方体有5525⨯=个，由底面图形抽出的小正方体有4520⨯=个，正面图形和侧面图形重合抽出的小正方体有1221228⨯+⨯+⨯=个，正面图形和底面图形重合抽出的小正方体有⨯+⨯+⨯=个，三个面的⨯+⨯=个，底面图形和侧面图形重合抽出的小正方体有121122713227图形共同重合抽出的小正方体有4个．根据容斥原理，252520877452++---+=，所以共抽出了52个小正方体．1255273-=，所以右图中剩下的小正方体有73个．注意这里的三者共同抽出的小正方体是4个，必须知道是哪4块，这是最让人头疼的事．但你可以先构造空的两个方向上共同部分的模型，再由第三个方向来穿过“花墙”．这里，化虚为实的思想方法很重要．解法二：(用“切片法”来解)可以从上到下切五层，得：（1）从上到下五层，如图：（2）或者，从右到左五片，如图：请注意这里的挖空的技巧是：先认一种方向．比如：从上到下的每一层，首先都应该有第一层的空四块的情况，即——如果挖第二层：第(1)步，把中间这些位置的四块挖走如图：第(2)步，把从右向左的两块成线地挖走．(请注意挖通的效果就是成线挖去)，如图：第(3)步，把从前向后的一块(请注意跟第二层有关的只是一块！)挖成线！如图：总结一下“切片法”：全面打洞(例如本题，五层一样)挖块成线(例如本题，在前一次的基层上，一条线一条线地挖)．这里体现的思想方法是：化整为零，有序思考！【例10】如图,已知A 、B 、C 分别是相邻的三条棱的中点．沿三个中点连成一个正三角形，把原来的立方体切掉一角．如果原来的立方体棱长为8，求：⑴切掉的小部分的体积是多少？⑵剩下的大部分的体积是多少？【分析】本题应用相关体积公式．⑴2111244103323V Sh ==⨯⨯⨯=锥⑵3185013V V =-=剩锥⑴教师可以沿三个不相邻的顶点再切一下，求小的图形与大的图形的体积各是多少？小的是：21118885323⨯⨯⨯=;大的是：24263.⑵教师可以提问：去掉一个角上的部分后，它的体积是原立方体体积的几分之几？【例11】如图，是一个正方体，将正方体的A 、C 、B '、D '四个顶点两两连接就构成一个正四面体，已知正方体的边长为3，求正四面体的体积.D′C′B′A′DC BA【分析】这个正四面体可以看作由正方体切掉A '、C '、B 、D 四个角后得到的，如图所示：B C AD′D′D′D′C′B′B′B′B′A′DC CBA AA A所以正四面体的体积1133343332718932⎛⎫=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=-= ⎪⎝⎭.【例12】如图是一个四棱锥的展开图，该展开图由正三角形和正方形构成，其中正方形的面积为8平方厘米，那么该四棱锥的体积为多少？【分析】知道四棱锥的底面面积，只要知道四棱锥的高就能求得四棱锥的体积．将四棱锥沿对角线和顶点构成的平面剖开，剖面是一个三角形.该三角形的斜边等于正方形的对角线，直角边等于正方形和等边三角形的边长，所以三角形是一个等腰直角三角形，它的高等于对角线的一半，根据对称性，这条高也等于四棱锥的高.本题，我们要想知道四棱锥的高，如果仅仅通过操作法，可能无法准确得知．我们隆重推出“画图建模法”，比如：请注意在一个正方体中如何作等边三角形，这一经验，会让我们“类比联想”到，如何让四个等边三角形围绕一个正方形，得到四棱锥．另外，这个四棱锥的高正好等于原正方体棱长的一半．根据小正方形面积是8推得，大正方形面积是小正方形的2倍，所以大正方形面积是16，所以大正方体的边长是4．所以小正方体的棱长为2．即四棱锥的高度为2．四棱锥的体积为168233⨯÷=立方厘米．1.(第十一届“迎春杯”)有一个长方体，长是宽的2倍，宽是高的3倍；长的12与高的13之和比宽多1厘米．这个长方体的体积是立方厘米．【分析】长的12即宽，所以高的13就是1厘米，高是3厘米，宽是339⨯=厘米，长是9218⨯=厘米，体积是3918486⨯⨯=(立方厘米)．2. (第六届“华杯赛”决赛口试)某工人用薄木板钉成一个长方体的邮件包装箱，并用尼龙编织条(如图所示)在三个方向上的加固．所用尼龙编织条分别为365厘米，405厘米，485厘米．若每个尼龙加固时接头重叠都是5厘米．问这个长方体包装箱的体积是多少立方米?【分析】长方体中高+宽1(3655)1802=-=， ⑴高+长1(4055)2002=-=， ⑵长+宽1(4855)2402=-=， ⑶⑵-⑴：长-宽20=， ⑷ ⑷+⑶：长130=，从而宽110=，代入⑴得高70=．所以长方体体积为701101301001000⨯⨯=(立方厘米) 1.001=(立方米)3. 有三个大小一样的正方体，将接触的面用胶粘接在一起成图示的形状，表面积比原来减少了16平方厘米.求所成形体的体积.【分析】三个小正方体拼接成图中的样子，减少了小正方体的4个侧面正方形的面积，表面积减少了16平方厘米，每个正方形侧面为1644÷=平方厘米，每个正方体棱长为2厘米，三个小正方体体积(即所成形体的体积)是33224⨯=立方厘米.4. 一个盖着瓶盖的瓶子里面装着一些水，瓶底面积为10平方厘米，(如下图所示)，请你根据图中标明的数据，计算瓶子的容积是＿＿＿＿＿＿．【分析】由已知条件知，第二个图上部空白部分的高为752cm -=，从而水与空着的部分的比为4:22:1=，由图1知水的体积为104⨯，所以总的容积为()4022160÷⨯+=立方厘米． 5.有许多相同的立方体，每个立方体的六个面上都写着同一个数字(不同的立方体可以写相同的数字)先将写着2的立方体与写着1的立方体的三个面相邻，再将写着3的立方体写着2的立方体相邻(见左下图)．依这样构成右下图所示的立方体，它的六个面上的所有数字之和是多少?高宽长33223323322323111111【分析】第一层如下图，第二层、第三层依次比上面一层每格都多1(见下图)．765434565第三层654323454第二层第一层343212345上面的9个数之和是27，由对称性知，上面、前面、右面的所有数之和都是27．同理，下面的9个数之和是45，下面、左面、后面的所有数之和都是45．所以六个面上所有数之和是(2745)3216+⨯=．6.把一个长方体形状的木料分割成3小块，使这3小块的体积相等．已知这长方体的长为15厘米，宽为12厘米，高为9厘米．分割时要求只能锯两次，如图1就是一种分割线的图．除这种分割的方法外，还可有其他不同的分割方法，请把分割线分别画在图2的各图中．图1图2【分析】分割方法很多，如图3，给出以下9种分割方法：图3低地的价值加州海岸的一座城市中，所有适合建筑的土地在不断的开发中都已经被开发，并予以利用，城市的地皮不断飙升着。

长方体、正方体表面积与体积计算的应用-答案

- -长方体、正方体表面积与体积计算的应用答案典题探究例1．一块长方体铁皮（厚度不计），四个角剪去边长为10厘米的正方形，焊成一个无盖的长方体铁皮盒可以盛油3升．已知这块长方形铁皮的长为40厘米，求长方形铁皮的面积．考点：长方体、正方体表面积与体积计算的应用．专题：立体图形的认识与计算．分析：根据题意知：焊成的长方体铁皮盒的高是10厘米，则焊成长方体的底边长的他是40﹣2×10=20厘米，根据长方体的体积（容积）公式可求出出这个长方体的底面积，再除以底面积的他，可求出底面积的宽，再加上去掉的2条长10厘米的边，可求出铁皮的宽，再根据长方形的面积公式可求出铁皮的面积，据此解答．解答：解：3升=3000毫升=3000立方厘米3000÷5=600（平方厘米）600÷（40﹣10×2）=600÷（40﹣20）=600÷20=30（厘米）40×（30+10×2）=40×（30+20）=40×50=2000（平方厘米）答：铁皮的面积是2000平方厘米．点评：解答此题的关键是，先求出铁盒的宽，进而求出铁皮的宽，从而求得铁皮的面积．例2．有一房间，长8米，宽4米，高3.2米，要粉刷房子的顶面和四壁周围，除去门窗的面积28平方米，要粉刷的面积占整个房间顶面与四壁的百分之多少？考点：长方体、正方体表面积与体积计算的应用．专题：立体图形的认识与计算．分析：首先根据长方体的表面积公式，求出顶面和四壁的面积，用顶面和四壁的面积减去门窗的面积就是粉刷的面积，再根据求一个数是另一个数的百分之几，用除法解答．解答：解：8×4+8×3.2×2+4×3.2×2=32+51.2+25.6=108.8（平方米），（108.8﹣28）÷108.8=80.8÷108.8≈0.743=74.3%，答：要粉刷的面积占整个房间顶面与四壁的74.3%．点评：此题主要考查长方体的表面积公式，以及百分数意义的实际应用．- zj.例3．一个长方体木料的长和宽都是2分米，高是40厘米，这根木料的体积是16立方米；如果把这根木料锯成两个正方体，那么这两个正方体的表面积的和是48平方分米．考点：长方体、正方体表面积与体积计算的应用．分析：（1）求长方体的体积，根据体积公式代入数据求解即可；（2）40厘米=2分米×2，所以把这根木料锯成两个正方体，就要把这个长方体从高的中点截开，每个正方体的棱长就是2分米，由此求出它们的表面积和．解答：解：（1）40厘米=4分米；2×2×4，=4×4，=16（立方分米）；（2）4÷2=2（分米）；两个正方体的棱长都是2分米；2×2×6×2，=4×6×2，=24×2，=48（平方分米）；答：这根木料的体积是16立方米；这两个正方体的表面积的和是48平方分米．故答案为：16立方米；48平方分米．点评：第二问关键是找出如何才能截出两个正方体，并由此求出正方体的棱长，进而求解．例4．挖一个长4米，宽3米，深3米的长方体水池，这个水池占地12平方米．考点：长方体、正方体表面积与体积计算的应用．专题：立体图形的认识与计算．分析：由题意可知：求水池的占地面积，实际上是求上口的面积，水池的长和宽已知，利用长方形的面积公式即可求解．解答：解：4×3=12（平方米）答：这个水池占地12平方米．故答案为：12．点评：解答此题的关键是明白：求水池的占地面积，实际上是求上口的面积．例5．用小棒和橡皮泥做一个长方体或正方体的框架，小棒不能折断或者接拼，下面是提供的材料：小棒长度1号袋2号袋3号袋4号袋9cm 8根10根3根2根7cm 4根3根8根12根4cm 4根3根5根2根（1）要使做成的长方体（或正方体）体积最大，应选用1号袋的材料．（2）如果要将所做成的最大的长方体或正方体框架糊上纸，至少需要纸X多少平方厘米？考点：长方体、正方体表面积与体积计算的应用；长方体的特征．专题：压轴题；立体图形的认识与计算．分析：根据长方体的特征，它有12条棱，8个顶点，6个面．它的12条棱分为3组，每组4条棱的长度相等，在特殊情况下（有两个相对的面是正方形），它有8条棱的长度相等，另外4条棱的长度相等，又因长宽高的值越大，其体积就越大，由此确定出长、宽、高的值，再据长方体的表面积即可得解．解答：解：（1）根据长方体的特征，一般情况长方体的12条棱，分为3组，每组4条棱的长度相等，在特殊情况下，有8条棱的长度相等．因此，用8根9厘米和4根7厘米长的小棒（不能折断）和橡皮泥，搭成一个正方体，体积最大．（2）表面积为：7×7×2+7×9×4，=98+252，=350（平方厘米）；答：（1）要使做成的长方体（或正方体）体积最大，应选用1号袋的材料．（2）如果要将所做成的最大的长方体或正方体框架糊上纸，至少需要纸X350平方厘米．故答案为：1．点评：此题主要考查长方体的棱的特征，由此解决问题．演练方阵A档（巩固专练）一．选择题（共5小题）1．有一个长方体，长是a米，宽是b米，高是h米，若把它的高增加5米，则这个长方体的体积增加（）A．abh+5 B．ab（h+5）C．5ab D．以上都不是考点：长方体、正方体表面积与体积计算的应用．分析：此题可直接考虑，长方体的高增加5米，而长和宽不变增加的部分仍是一个长方体，由长方体的体积计算公式直接得到结果．解答：解：高增加5米，而长和宽不变，增加的部分是一个长是a米，宽是b米，高是5米的长方体，所以它的体积V=5ab；故选C．点评：此题主要考查长方体的体积计算公式：长方体的体积=长×宽×高．2．一根长方体钢材，横截面积是120平方厘米，长40厘米，它的体积是（）立方厘米．A．48 B．480 C．4800 D．48000考点：长方体、正方体表面积与体积计算的应用．分析：根据长方体的体积=底面积×高，将数据代入公式计算即可．解答：解：120×40=4800（立方厘米），故选：C．点评：此题主要考查长方体的体积公式及其计算．3．一个装有水的长方体水槽，底面积为360平方米，水深12厘米，现将一个底面积为72平方厘米的长方体铁块竖放在水槽中，仍有部分露在外面，则现在水深（）厘米．A．15 B．30 C．5D．35考点：长方体、正方体表面积与体积计算的应用．专题：立体图形的认识与计算．分析：将长方体铁块竖放在水槽中，上升水的体积就等于水中长方体铁块的体积，水槽的底面积减去铁块的底面积就是水的底面积，求出上升水的高度，再求出现在水深．解答：解：水面升高：72×12÷（360﹣72），=864÷288，=3（厘米）；现在水深：12+3=15（厘米）．答：现在水深15厘米．故选：A．点评：解答此题的关键是理解求上升水的高度要用水中长方体铁块的体积除以水的底面积．4．一个水箱，从里面量底面边长为6分米的正方形，水深0.35米，求箱里的水有（）升．A．126 B．1260 C．12.6考点：长方体、正方体表面积与体积计算的应用．专题：立体图形的认识与计算．分析：首先根据长方体的容积公式：v=sh，先求出底面积，再求出水箱的容积是多少立方分米，换算成用升作单位即可．解答：解：0.35米=3.5分米6×6×3.5=126（立方分米）=126（升）答：水箱里的水有126升．故选：A．点评：此题主要考查长方体的容积（体积）的计算，直接根据长方体的容积公式解答．注意单位名称的换算．5．用两个棱长为1分米的小正方体拼成一个长方体，发生了什么变化？（）A．体积变大，表面积变小B．体积变小，表面积变大C．体积不变，表面积变大D．体积不变，表面积变小考点：长方体、正方体表面积与体积计算的应用．分析：先求出这两个小正方体的表面积和体积之和；再求出拼成1个长方体之后，这个长方体的表面积和体积，然后与原来的表面积和体积比较即可．解答：解：原来2个小正方体的表面积是：6×1×1×2=12（平方分米）；体积是：1×1×1×2=2（立方分米）；新长方体的长是2分米，宽是1分米，高是1分米；表面积是：1×2×2+1×2×2+1×1×2=4+4+2，=10（平方分米）；体积是：2×1×1=2（立方分米）；12平方分米＞10平方分米，表面积变小了；2立方分米=2立方分米，体积不变．故选：D．点评：两个小正方体拼成一个长方体之后由于有两个面拼在了一起，它们的表面积就减少了；但所占的空间并没有变化，所以体积不变．二．填空题（共15小题）6．往一个长60厘米，宽30厘米，高50厘米的鱼缸注30厘米高的水，注入的水体积是54000立方厘米．考点：长方体、正方体表面积与体积计算的应用．专题：立体图形的认识与计算．分析：运用长方体的体积公式求30厘米深水的体积，根据长方体的体积公式即可解答．解答：解：60×30×30=1800×30=54000（立方厘米）答：水的体积是54000立方厘米．故答案为：54000立方厘米．点评：本题考查了长方体的体积的实际应用，掌握长方体的体积公式是解题的关键．7．只列式，不计算一个长方体玻璃箱，底边长是6分米，宽4分米．把一块石头放入这个玻璃箱完全沉没在水中后，水面升高了1.5分米．这块石头的体积是多少立方分米？考点：长方体、正方体表面积与体积计算的应用．专题：立体图形的认识与计算．分析：根据题意可知：水在玻璃箱中上升的体积就是石头的体积，根据长方体的体积公式：v=abh，把数据代入公式解答即可．解答：解：6×4×1.5=24×1.5=36（立方分米）答：这块石头的体积是36立方分米．点评：把石头完全放入水中，水上升的部分的体积就是石头的体积．8．一辆卡车车厢的底面积为4.8平方米．运送一种长方体形的包装箱，包装箱的棱长分别为0.6米，0.4米，0.5米，如果码放2层，这辆卡车最多能装48个包装箱．考点：长方体、正方体表面积与体积计算的应用．专题：立体图形的认识与计算．分析：根据题中长方体的包装箱长、宽和高的数据，可知长方体的面积最小的一个面是0.4×0.5=0.2平方米，就让这一面朝下，先算出一层能装的包装箱的个数，再求得两层可装的包装箱的个数．据此列式计算即可解决．解答：解：一层能装的包装箱的个数：4.8÷（0.5×0.4），=4.8÷0.2，=24（个），两层能装的包装箱的个数：24×2=48（个）．答：最多可以装48个包装箱．故答案为：48．点评：解决此题关键是弄清楚要使装的包装箱个数最多，首先考虑把哪一面朝下，找出面积最少的一面，先求出一层装的个数，进而求出两层装的个数即可．9．一个长方体水箱的容积是200升，这个水箱的底面是一个边长为50厘米的正方形，水箱的高是80厘米．考点：长方体、正方体表面积与体积计算的应用．专题：立体图形的认识与计算．分析：根据长方体的容积（体积）的计算方法，v=abh，再根据容积单位与体积单位之间的关系，1升=1立方分米=1000立方厘米；已知长方体的容积（体积）和底面积（50×50）求高，用体积÷底面积=高；据此解答即可．解答：解：200升=200000立方厘米200000÷（50×50）=200000÷2500=80（厘米）答：水箱的高是80厘米．故答案为：80．点评：此题主要根据长方体的体积（容积）的计算方法，已知体积和底面积求高，体积÷底面积=高．10．一个长5分米，宽3分米，高4分米的石膏长方体，最好选用面积为20平方分米的面为底面放置时最安全．它所占空间的大小是60立方分米．考点：长方体、正方体表面积与体积计算的应用．分析：要使长方体石膏放置时最安全，必须使底面积最大．已知长5分米，宽3分米，高4分米的石膏长方体，所以最大面的面积是5×4=20平方分米．求它所占空间的大小，就是求它的体积，根据长方体的体积=长×宽×高，代入公式即可算出答案．解答：解：最大面的面积：5×4=20（平方分米）；体积：5×4×3=60（立方分米）；故答案为：20，60．点评：此题主要考查长方体的底面积和体积的公式及应用，主要理解要使物体放置时最安全，就要以最大面为底面．11．要做一个长是6米，宽是4米，高是2米的无盖的玻璃鱼缸，至少需要玻璃64平方米．考点：长方体、正方体表面积与体积计算的应用．专题：立体图形的认识与计算．分析：首先搞清是求长方体的表面积，其次这个长方体的表面由五个长方形组成，缺少上面，最后计算这五个面的面积，解决问题．解答：解：（6×2+4×2）×2+6×4=（12+8）×2+24=40+24=64（平方米）答：做这个鱼缸至少需要玻璃64平方米．故答案为：64平方米．点评：这是一道关于长方体表面积的实际应用，在计算表面积时，要分清需要计算几个长方形面的面积，缺少的是哪一个面的面积．此题应注意单位换算．12．一个礼品盒的形状是长方体，长、宽、高分别是12cm，1dm和5cm．用纸将它包装起来，所需包装纸的面积最少是460cm2．（粘接部分不计）考点：长方体、正方体表面积与体积计算的应用．专题：立体图形的认识与计算．分析：根据长方体的表面积公式：s=（ab+ah+bh）×2，把数据代入公式解答即可．解答：解：1分米=10厘米（12×10+12×5+10×5）×2=（120+60+50）×2=230×2=460（平方厘米）答：所需包装纸的面积最少是460cm2．故答案为：460．点评：此题主要考查长方体的表面积公式的灵活运用．13．做一根长5米的烟囱，它的横截面是边长2分米的正方形，至少要用4平方米铁皮．考点：长方体、正方体表面积与体积计算的应用．专题：立体图形的认识与计算．分析：烟囱是没有底面的，已知烟囱横截面是边长2分米的正方形，长5米，根据长方体的表面积的计算方法，求出它的4个侧面的面积即可．解答：解：2分米=0.2米，0.2×5×4=4（平方米）答：做这个烟囱至少需要铁皮4平方米．故答案为：4．点评：此题属于长方体的表面积的实际应用，解答关键是弄清所求物体形状，它是由几个面围成的，然后根据长方体的表面积的计算方法解答．14．一块正方体石料，棱长4分米，如果每立方分米2.7千克，这块石料重172.8千克．考点：长方体、正方体表面积与体积计算的应用．专题：立体图形的认识与计算．分析：先利用正方体的体积=棱长3，求出这个石料的体积，再乘2.7千克即可解答问题．解答：解：4×4×4×2.7=64×2.7=172.8（千克）答：这块石料重172.8千克．故答案为：172.8．点评：此题主要考查正方体的体积公式的实际应用．15．一个正方体的表面积是384平方分米，体积是512立方分米，这个正方体棱长的总和是96分米．考点：长方体、正方体表面积与体积计算的应用．分析：要求棱长总和，先要求出棱长，根据正方体的表面积÷6=底面积，可以求出正方体的底面积，又根据正方体的体积÷底面积=高这个关系求出高，在正方体中，12条棱都相等，高即棱长，然后利用棱长×12计算出棱长总和．解答：解：正方体的底面积为384÷6=64（平方分米），故它的棱长为：512÷64=8（分米），棱长的总和为8×12=96（分米）．故答案为：96分米．点评：该种类型的题目，做题时应根据给出的条件，运用正方体的表面积=底面积×6以及正方体的体积=底面积×高这两个关系，代入数据即可求出结论．16．（•岚山区模拟）用铁皮做一个长、宽、高分别是1.2米、5分米、40厘米的长方体箱子，这个箱子放在室内最少占地0.2平方米．考点：长方体、正方体表面积与体积计算的应用．专题：立体图形的认识与计算．分析：求占地面积就是求这个箱子的底面积，要使占地面积最小，那么就把最小的面作为底面，放在地上，根据长方形的面积公式求解；解答：解：5分米=0.5米，40厘米=0.4米0.4＜0.5＜1.20.4×0.5=0.2（平方米）答：最少占地0.2平方米．故答案为：0.2点评：解答有关长方体的实际问题，一定要搞清所求的是什么，再进一步选择合理的计算方法进行计算解答问题．17．一间教室长15米，宽12米，高4米，门窗的面积占42平方米，如果要粉刷这间教室，粉刷的面积是得数平方米？（顶面不粉刷）考点：长方体、正方体表面积与体积计算的应用．专题：立体图形的认识与计算．分析：由题意可知：顶棚不粉刷，地面是不需要粉刷的，所以粉刷的是四面墙壁，再减去门窗的面积，根据长方形的面积公式：s=ab，把数据代入公式解答．解答：解：（15×4+12×4）×2﹣42=（60+48）×2﹣42=108×2﹣42=216﹣42=174（平方米），答：粉刷的面积是174平方米．点评：解答有关长方体计算的实际问题，一定要搞清所求的是什么，再进一步选择合理的计算方法进行计算解答问题．18．60m3沙均匀铺在长10米，宽3米的长方体沙坑内，可以铺20分米厚．考点：长方体、正方体表面积与体积计算的应用．专题：立体图形的认识与计算．分析：根据长方体的体积公式：V=abh可知h=V÷ab，已知体积是60立方米，长10米，宽3米，注意结果的单位要换算，据此解答．解答：解：60÷（10×3）=60÷30=2（米）=20（分米）答：可以铺20分米．故答案为：20．点评：本题主要考查了学生对长方体体积公式的灵活运用情况，注意单位换算．19．将一个棱长为0.4分米的正方体框架改做成一个长6厘米、宽4厘米、高2厘米的长方体框架，在长方体框架的表面糊一层硬纸，需硬纸88平方厘米．考点：长方体、正方体表面积与体积计算的应用．专题：立体图形的认识与计算．分析：根据“正方体的棱长总和=12×棱长，”求出正方体的棱长和，因为长方体框架的棱长总和和正方体框架的棱长总和相等，进而根据“长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4”，解答即可；在长方体框架的表面糊一层硬纸，需硬纸多少，即求长方体的表面积，根据“长方体的表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2”进行解答即可．解答：解：12×0.4=4.8（分米）=48（厘米）48÷4﹣6﹣4=12﹣6﹣4=2（厘米）（6×4+6×2+4×2）×2=（24+12+8）×2=44×2=88（平方厘米）答：可做高是2厘米需要硬纸88平方厘米．故答案为：2、88平方厘米．点评：答此题应根据长方体的棱长总和的计算方法和长方体表面积的计算方法进行解答．20．楼房外壁用于流水的水管是长方体．如果每节长15分米，横截面是一个长方形，长1分米，宽0.6分米．做一节水管，至少要用铁皮48平方分米．考点：长方体、正方体表面积与体积计算的应用．专题：立体图形的认识与计算．分析：求做一节水管，至少要用铁皮多少平方分米，实际是求长方体的侧面积，根据“长方体的侧面积=（长×高+宽×高）×2”，代入数值计算即可．解答：解：（1×15+0.6×15）×2=（15+9）×2=24×2=48（平方分米）答：至少要用铁皮48平方分米．故答案为：48．点评：本题运用“底面周长×长度=侧面积”进行计算即可．考查了学生灵活解决问题的能力．三．解答题（共8小题）21．学校要修建一条长80米，宽6米的长方形人行道，需要铺上12厘米厚的水泥砂石，如果一辆运输车每次载重8立方米，需要运几次才能把人行道修建好？考点：长方体、正方体表面积与体积计算的应用．专题：立体图形的认识与计算．分析：要求需要运几次才能把人行道修建好，先求出修这条人行道需要多少立方米的沙子，根据长方体的体积=长×宽×高，求出体积，再用体积÷一辆运输车每次载重8立方米，就是所需的次数．解答：解：12厘米=0.12米80×6×0.12=480×0.12=57.6（立方米）57.6÷8≈8（次）答：需要运8次才能把人行道修建好．点评：掌握长方体的体积公式是解题的关键．22．皓月集团的冷藏车厢是长方体形，外面长3.6米，宽2.4米，高2米，如果车厢的壁厚0.2米，则这个冷藏车厢的容积为多少立方米？考点：长方体、正方体表面积与体积计算的应用．专题：立体图形的认识与计算．分析：要求这个冷藏车厢的容积为多少立方米长，先求出长方体容器的实际长、宽、高，因车厢的壁厚0.2米，所以这个冷藏车厢的实际长为3.6﹣0.2×2=3.2米，宽为2.4﹣0.2×2=2米，高为2米，根据容积公式=长×宽×高，又据此代入数据即可解答．解答：解：（3.6﹣0.2×2）×（2.4﹣0.2×2）×3=3.2×2×2=12.8（立方米）答：容积是12.8立方米．点评：此题主要考查长方体容器的容积的计算方法，求出冷库的实际长、宽、高是解题的关键．23．有两个同样的长方体盒子，长是4厘米，宽是3厘米，高是2厘米．现在要把这两个盒子包装成一包，你能想出几种包装方法？分别算出各种方法所需包装的大小．（接口处不计）考点：长方体、正方体表面积与体积计算的应用．专题：立体图形的认识与计算．分析：（1）第一种：两个长方体上下重叠在一起，得到一个大长方体，长4厘米，宽3厘米，高2×2=4厘米；第二种：两个长方体左右平放在一起得到：长4×2=8厘米，宽3厘米，高2厘米；第三种：两个长方体这样前后平放在一起得到：长4厘米，宽3×2=6厘米，高2厘米．（2）根据长方体的表面积公式算出每一种的包装面积，进行比较得出结论．解答：解：（1）第一种：两个长方体上下重叠在一起，得到一个大长方体，长4厘米，宽3厘米，高2×2=4厘米；第二种：两个长方体左右平放在一起得到：长4×2=8厘米，宽3厘米，高2厘米；第三种：两个长方体这样前后平放在一起得到：长4厘米，宽3×2=6厘米，高2厘米．（1）第一种：（4×3+4×4+3×4）×2=40×2=80（平方厘米）（2）第二种：（8×3+8×2+3×2）×2=46×2=92（平方厘米）第三种：（4×6+4×2+6×2）×2=44×2=88（平方厘米）答：第一种包装方案所用的包装纸的大小是80平方厘米，第二种包装方案所用的包装纸的大小是92平方厘米，第三种包装方案所用的包装纸的大小是88平方厘米．点评：这是一道长方体表面积的实际应用，考查了学生对长方体表面积计算公式的掌握情况，以及实际操作能力．24．一个房间长5米，宽3米，高2.8米，现需粉刷四壁和天花板，扣除门窗的面积4.5平方米，求要粉刷的总面积有多大？这房间的体积有多大？考点：长方体、正方体表面积与体积计算的应用．专题：立体图形的认识与计算．分析：首先搞清这道题是求长方体的表面积，其次这个长方体的表面由五个长方形组成，缺少下面，最后计算这五个面的面积减去门窗的面积，由此解决问题．求这个房间的体积，根据长方体的体积公式：v=abh，把数据代入体积公式进行解答．解答：解：5×3+5×2.8×2+3×2.8×2﹣4.5，=15+28+16.8﹣4.5，=59.8﹣4.5，=55.3（平方米），5×3×2.8=42（立方米），答：要粉刷的总面积有55.3平方米，这房间的体积有42立方米．点评：这是一道长方体表面积、体积的实际应用，在计算时要分清需要计算几个长方形面的面积，缺少的是哪一个面的面积，从而列式解答即可．25．要制作一个长4米，宽2.5米，高1.2米的无盖水箱，至少要用多少平方米铁皮？考点：长方体、正方体表面积与体积计算的应用．专题：立体图形的认识与计算．分析：我们运用侧面积加上一个底面的面积，就是制作一个长4米，宽2.5米，高1.2米的无盖水箱的铁皮的面积．解答：解：（4+2.5）×2×1.2+4×2.5，=13×1.2+10，=25.6（平方米）；答：至少要用25.6平方米铁皮．点评：本题考查了长方体表面积公式的掌握与运用情况．26．（•麟游县）一个建筑队挖地基，长40.5米，宽24米，深2米，挖出的土平均每4立方米重7吨，如果用载重4.5吨的一辆汽车把这些土的运走，需运多少次？考点：长方体、正方体表面积与体积计算的应用；分数乘法应用题．分析：要求需要运多少次，需要求出要运多少吨土；所以要先求出挖出土的体积，再求出这些土的吨数，再求出需要运土的吨数，然后就可求出运的次数．解答：解：挖出土的体积：40.5×24×2=1944（立方米）；挖出土的重量：1944÷4×7═3402（吨）；要运的土的吨数：3402×=2268（吨）；2268÷4.5=504（次）；答：需运504次．点评：此题考查了长方体体积的应用，主要是利用倍数关系求出挖出土的重量．27．（•海安县模拟）芳芳打算制作一个火柴盒，在下面的方格纸上分别设计了火柴盒的内盒与外盒两部分的展开图．（硬纸板的厚度忽略不计）（1）在上图中分别将火柴盒内盒和外盒的几个面用虚线分开．（2）芳芳设计的火柴盒的体积是多少立方厘米？（3）制作这样一个火柴盒，至少要用多少硬纸板？考点：长方体、正方体表面积与体积计算的应用；长方体的展开图．专题：立体图形的认识与计算．分析：火柴盒是我们生活中常见的一个长方体物体，它是由内盒和外盒两部分组成的，内盒有5个面，外盒有4个面．首先，我们可以根据长方体面将内盒和外盒的各个面表示出来，然后，再根据火柴盒的长、宽、高计算出它的体积和制作这样一个火柴盒至少要用多少硬纸板．解答：解：（1）内盒各个面表示如下左图，外盒各个面表示如下右图．（2）火柴盒的体积是：4×3×1=12（立方厘米）答：芳芳设计的火柴盒的体积是12立方厘米．（3）内盒：3×4+（1×3+1×4）×2=12+14=26（平方厘米）外盒：（3×4+1×4）×2=（12+4）×2=32（平方厘米）26+32=58（平方厘米）答：制作这样一个火柴盒，至少要用58平方厘米的硬纸板．点评：掌握长方体的体积和表面积公式是解题的关键．28．客厅的顶部长为6m，宽为4m，装了1盏直径是1m的圆形大灯，12盏面积分别是0.015m2的小彩灯，装灯之外部分需要再次粉刷，要粉刷的面积有多少平方米？。

立体图形的体积和表面积的计算公式

立方图形：名称符号面积S和体积V
正方体a－边长S＝6a2 V＝a3
长方体a－长b－宽c－高S＝2(ab+ac+bc) V＝abc
棱柱S－底面积h－高V＝Sh
棱锥S－底面积h－高V＝Sh/3
棱台S1和S2－上、下底面积h－高V＝h[S1+S2+(S1S1)1/2]/3
拟柱体S1－上底面积S2－下底面积S0－中截面积h－高V＝h(S1+S2+4S0)/6
圆柱r－底半径h－高C—底面周长S底—底面积S侧—侧面积S表—表面积C＝2πr S底＝πr2 S侧＝Ch S表＝Ch+2S底V＝S底h ＝πr2h
空心圆柱R－外圆半径r－内圆半径h－高V＝πh(R2-r2)
直圆锥r－底半径h－高V＝πr2h/3 圆台r－上底半径R－下底半径h－高V＝πh(R2＋Rr＋r2)/3 球r－半径d－直径V＝4/3πr3＝πd2/6
球缺h－球缺高r－球半径a－球缺底半径V＝πh(3a2+h2)/6 ＝πh2(3r-h)/3 a2＝h(2r-h)
球台r1和r2－球台上、下底半径h－高V＝πh[3(r12＋r22)+h2]/6
圆环体R－环体半径D－环体直径r－环体截面半径d－环体截面直径V＝2π2Rr2 ＝π2Dd2/4
桶状体D－桶腹直径d－桶底直径h－桶高V＝πh(2D2＋d2)/12 (母线是圆弧形,圆心是桶的中心) V＝πh(2D2＋Dd＋3d2/4)/15 (母线是抛物线形) 长*宽*高底面积*高底面积*高/3 边长的立方
鞠躬尽瘁，死而后已。

——诸葛亮。

小学奥数长方体与正方体(二)

对于小学几何而言，立体图形的表面积和体积计算，既可以很好地考查学生的空间想象能力，又可以具体考查学生在公式应用中处理相关数据的能力，所以，很多重要考试都很重视对立体图形的考查．如右图，长方体共有六个面(每个面都是长方形)，八个顶点，十二条棱．cba HGFEDCBA①在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等． (叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形．) ②长方体的表面积和体积的计算公式是：长方体的表面积：2()S ab bc ca =++长方体；长方体的体积：V abc =长方体．③正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形．如果它的棱长为a ，那么：26S a =正方体，3V a =正方体．长方体与正方体的体积立体图形的体积计算常用公式：立体图形示例体积公式相关要素长方体V abh = V Sh =三要素：a 、b 、h 二要素：S 、h正方体3V a =V Sh =一要素：a 二要素：S 、h不规则形体的体积常用方法： ①化虚为实法 ②切片转化法 ③先补后去法 ④实际操作法 ⑤画图建模法【例 1】一个长方体的棱长之和是28厘米，而长方体的长宽高的长度各不相同，并且都是整厘米数，则长方体的体积等于立方厘米。

例题精讲长方体与正方体（二）【考点】长方体与正方体【难度】2星【题型】填空【例 2】将几个大小相同的正方体木块放成一堆，从正面看到的视图是图（a），从左向右看到的视图是图（b），从上向下看到的视图是图（c），则这堆木块最多共有___________块。

【考点】长方体与正方体【难度】2星【题型】填空【关键词】希望杯，4年级，初赛，8题【例 3】一根长方体木料，体积是0.078立方米．已知这根木料长1.3米．宽为3分米，高该是多少分米?孙健同学把高错算为3分米．这样，这根木料的体积要比0.078立方米多多少?【考点】长方体与正方体【难度】2星【题型】解答【关键词】小数报，决赛【例 4】如图，两个同样的铁环连在一起长28厘米，每个铁环长16厘米。

《立体图形的体积计算》教案

媒体使用
板书设计
立体图形的体积计算
1、立体图形的体积概念。
2、立体图形的体积计算。
作业布置
与设计
个性化作业设计：
1、一个圆柱侧面展开得到一个长方形，长方形的长是9.42厘米，宽是3厘米，这个圆柱体的侧面积是（）平方厘米，表面积是（）平方厘米，体积是（）立方厘米，将它削成一个最大的圆锥体，应削去（）立方厘米。
教学目标
1．进一步理解常见几何体的体积计算公式及其推导过程，体会相关体积公式的内在联系，感受探索几何体体积计算方法的一般策略。
2．在解决问题的过程中，发展学生灵活应用相关数学知识和方法的能力。
3．进一步感受数学与生活的密切联系，体会学习数学的重要性。
重难点分析
重点：几何体体积计算公式的推导过程及其应用。
学生独立解答。
2.学生解答后提问：
“第一个正方体的表面积和体积相等”这句话对吗？为什么？
你能说说表面积和体积的区别吗？（含义、计算方法、计量单位）
解题以后你还有什么体会？（认真审题、正确选择方法、细心计算）
3.填一填。
(1)小明用小正方体魔方搭一个大正方体，至少需要（）个魔方。这个大正方体的表面积是原来小正方体的（）倍。
1．立体图形体积计算方法：
长方体的体积＝长×宽×高（V＝abh）
正方体的体积＝棱长×棱长×棱长(V＝a3)
圆柱的体积＝底面积×高(V＝Sh)
圆锥的体积＝底面积×高× (V＝ Sh)
2．长方体、正方体、圆柱体积公式的统一：V＝Sh
3．解决几何体体积和表面积的综合实际问题（注意表面积与体积的联系和区别）
4．圆柱体积公式的创新：圆柱的体积＝侧面积的一半×半径
学情分析
复习要整合知识，进一步精简和优化原有的认知结构。首先让学生说说长方体的体积公式及其推导过程。再让学生说说由长方体的体积公式可以推出哪些几何体的体积公式，各是怎样推导的。在此基础上，让学生在教材提供的示意图中填一填，并进一步思考：能不能用一个公式统一表示长方体、正方体和圆柱的体积计算方法？从而使学生认识到：由于长方体中长乘宽的结果就是长方体的底面积，正方体中相应两条棱长相乘的结果就是正方体的底面积，所以长方体、正方体和圆柱的体积公式可以统一为“V＝Sh”。通过这些整合，学生对立体图形的认识能提升一个层次，不再孤立地理解、记忆各个立体图形的体积的计算方法。

【小升初】小学数学《立体图形的体积专题课程》含答案

26.立体图形的体积知识要点梳理一、体积和容积1．体积：物体所占空间的大小叫做物体的体积。

2．容积：容器所能容纳物体的体积叫做容积。

容积单位一般用体积单位。

当容器所容纳的物体是液体时，常用升、毫升作单位。

（注：容积的计算方法跟体积的计算方法相同，但要从容器的里面量。

）二、立体图形的体积计算公式考点精讲分析典例精讲考点1方体和正方体的体积【例1】在一个长、宽、高分别是30厘米、25厘米、60厘米的长方体的箱子里，最多能装进棱长为1分米的立方体（）个。

A．45 B．30 C．36 D．72【精析】把这个长方体箱子的长、宽、高分别换算成分米是3分米、2.5分米、6分米，这个箱子一层长可以装进3个，宽只能装进2个棱长1分米的立方体，高可以装进6个，因此只能装进（3×2×6）＝36个。

【答案】 C【归纳总结】注意，此题容易出现的错误是不考虑实际，用这个箱子的容积除以每个立方体的体积。

考点2圆柱的体积【例2】下图是一根空心钢管，求它所用钢材的体积。

【精析】此题考查空心圆柱体积的求法。

根据空心圆柱的体积＝大圆柱的体积－小圆柱的体积计算即可。

【答案】 3.14×［（1.22）2－（0.62）2］×2.5＝2.1195（立方米）答：它所用钢材的体积是2．1195立方米。

【例3】有一种饮料瓶的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），容积是20升。

瓶中装有一些饮料，正放时饮料高度为20cm，倒放时空余部分高度为5cm，问瓶中现有饮料（）升。

【精析】正放和倒放时，瓶中液体的体积不变，即空余部分体积相等。

【答案】20×［20÷（20＋5）］＝16（升）答：瓶中现有饮料16升。

【归纳总结】无论是正放还是倒放瓶子的饮料和瓶子的体积不变，所以它们的空余部分总是不变的。

考点2 圆锥的体积【例4】一个圆锥形沙堆，底面积是8平方米，高是1．5米。

用这堆沙在5米宽的路上铺2厘米厚，能铺多少米？【精析】沙子都铺在路面上后的形状，是一个宽5米、厚2厘米的近似长方体。

立体图形计算二(圆柱体圆锥体表面积体积计算)学生版

一、立体几何（五下）立体图形计算二圆柱体、圆锥体表面积、体积计算知识点1、（师达）把一段圆柱形圆木，加工成等底等高的圆锥体，削去部分体积是圆锥体积的__________倍．2、（2010年十一学校初试）如图，瓶底的面积和锥形杯口的面积相等，将瓶子中的液体倒入锥形杯子中，能倒满________杯．3、如图所示，一块三层蛋糕，由三个高都为1分米，底面半径分别为1.5分米、1分米和0.5分米的圆柱体组成．请问：（1）这个蛋糕的表面积是__________平方分米．（π取3.14）（2）如果沿经过中轴线AB 的平面切一刀，将该蛋糕分成完全相同的两部分，那表面积之和是__________．14、（2007年101中分班）如图，这只木箱的下半部是棱长为20cm的正方体，上半部是圆柱体的一半．通过计算得其体积为cm3．（取3）5、（2013年三帆入学）如图：一种饮料瓶，容积是600毫升，瓶身是圆柱形．将该瓶正放时饮料高20厘米，倒放时余部分高5厘米，瓶内的饮料是（）毫升．6、（金帆六年级秋季）一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形(不包括瓶颈)，如图．已知它的容积为26.4π立方厘米．当瓶子正放时，瓶内的酒精的液面高为6厘米；瓶子倒放时，空余部分的高为2厘米．问：瓶内酒精的体积是多少立方厘米？合多少升？7、把一张铁皮按下图剪料，正好能制成一只铁皮水桶，求所制铁皮水桶的容积．（铁皮厚度忽略不计，π取3．14）8、图为一卷紧绕成的牛皮纸，纸卷直径为20厘米，中间有一直径为6厘米的卷轴．已知纸的厚度为0.4毫米，问：这卷纸展开后大约有多长？9、（2013希望杯六年级初赛）用底面内半径和高分别是12cm，20cm的空心圆锥和空心圆柱各一个组成如图所示竖放的容器，在这个容器内注入一些细沙，能填满圆锥，还能填部分圆柱，经测量，圆柱部分的沙子高5cm，若将这个容器倒立，则沙子的高度是＿＿＿＿＿cm．10、（金帆六年级秋季）如图，甲、乙两容器相同，甲容器中水的高度是锥高的13，乙容器中水的高度是锥高的23，比较甲、乙两容器，哪一只容器中盛的水多？多的是少的的几倍？11、（师达）圆柱体积是圆锥体积的3倍．（）12、（2011走美杯六年级初赛）图1盒子高为20cm ，底面数据如图2，这个盒子的容积是__________3cm ．（π取3.14）13、将图1、图2中的平面图形分别折叠成一个四棱锥和三棱柱，这两个立体图形的体积分别是多少？（图1正中央是一个面积为18平方厘米的正方形，每边上分别有一个腰长为5厘米的等腰三角形；图2中的图形由三个长方形和两个直角三角形组成．）14、（师达）一个底面半径是6厘米的圆柱形玻璃器皿里装有一部分水，水中浸没着一个高9厘米的圆锥铅锤，当铅锤从水中取出后，水面下降了0.5厘米．这个圆锥体的底面积是__________．15、（2012高思杯六年级）小高家有一个圆柱形鱼缸，底面半径20厘米，水面高20厘米．一天，小高为了装饰鱼缸，买了一块雨花石放到鱼缸里（石头完全被水淹没），结果水面高度变为20.5厘米．那么这块雨花石的体积是__________立方厘米．（π取3.14）16、（2012迎春杯六年级初赛）有一个足够深的水槽，底面的长为16厘米、宽为12厘米的图2长方形，原本在水槽里盛有6厘米深的水和6厘米深的油（油在水的上方）．如果在水槽中放入一个长、宽、高分别为8厘米、8厘米、12厘米的铁块，那么油层的层高是______________厘米．17、（金帆五年级秋季）在底面边长为60厘米的正方形的一个长方体的容器里，直立着一个长1米，底面为正方形，边长15厘米的四棱柱铁棍．这时容器里的水半米深，现在把铁棍轻轻地向正上方提起24厘米，露出水面的四棱柱铁棍浸湿部分长多少厘米？18、一个底面长30分米，宽10分米，高12分米的长方体水池，存有四分之三池水．请问：（1）将一个高11分米，体积330立方分米的圆柱放入池中，水面的高度变为多少分米？（2）如果再放入一个同样的圆柱，水面高度又变成了多少分米？（3）如果再放入一个同样的圆柱，水面高度又变成了多少分米？19、（2011希望杯六年级复赛）如图，在一个棱长为20厘米的正方体密闭容器的下底固定水油一个实心圆柱体，容器内盛有m 升水时，水面恰好经过圆柱体的上底面．如果将容器倒置，圆柱体有8厘米露出水面．已知圆柱体的底面积是正方体底面积的18，求实心圆柱体的体积．20、图是一个有底无盖的容器的平面展开图，其中①是边长为18厘米的正方形，②③④⑤是同样大的等腰直角三角形，⑥⑦⑧⑨是同样大的等边三角形．那么，这个容器的容积是多少毫升？单位：厘米1、（2007年101中分班）修建一个圆柱形沼气池，底面直径是4米，深3米，在池的四壁及下底面抹上水泥，那么抹水泥部分的面积是平方米．（取3）2、（金帆六年级秋季）一个盖着瓶盖的瓶子里面装着一些水，瓶底面积为10平方厘米，(如下图所示)，请你根据图中标明的数据，计算瓶子的容积．3、（金帆六年级秋季）一个圆柱体底面周长和高相等．如果高缩短4厘米，表面积就减少50.24平方厘米．求这个圆柱体的表面积是多少？课后作业4、（金帆六年级秋季）有一种饮料瓶的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），容积是30分米3．现在瓶中装有一些饮料，正放时饮料高度为20厘米，倒放时空余部分的高度为5厘米（见下图）．问：瓶内现有饮料多少立方分米？5、（2013年十一学校初试）如图，有一张长方形铁皮，剪下图中的两个圆及一块长方形，正好可以做成一个圆柱体，这个圆柱体的底面半径为10厘米，那么圆柱的体积________立方厘米．（结果保留）6、（师达）一个圆柱的体积是60立方厘米，和它等底等高的圆锥的体积是__________平方厘米．7、（2010年101中分班）有一块棱长为6 cm的正方体木块，用它削成一个尽可能大的圆锥模型，被削掉的部分最少是cm3．（得数保留π）8、如图，已知圆柱的底面直径、圆柱的高、圆锥的高都是6米，求该立体图形的体积．（π取3.14）9、在边长为2的正方体中，放入一个最大的圆柱，该圆柱的体积是多少？（π取3.14）10、有大、中、小三个立方体水池，它们的内部棱长分别是6米，3米，2米．三个池子都装了半池水．现将两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高了6厘米和4厘米．如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，大水池的水面会升高__________厘米．（结果精确到小数点后两位）11、有一个高24厘米，底面半径为10厘米的圆柱形容器，里面装了一半水．现有一根长30厘米，底面半径为2厘米的圆柱体木棒．将木棒竖直放入容器中，使棒的底面与容器的底面接触．这时水面升高了__________厘米．。

小学五年级数学解析：体积计算与实际应用

小学五年级数学解析：体积计算与实际应用一、常见立体几何图形的体积公式1. 长方体的体积公式：长方体的体积 = 长×宽×高。

例题解析：例题1：一个长方体的长为10厘米，宽为5厘米，高为8厘米，求其体积。

解答：体积 = 10厘米× 5厘米× 8厘米 = 400立方厘米。

2. 正方体的体积公式：正方体的体积 = 边长³。

例题解析：例题2：一个正方体的边长为6厘米，求其体积。

解答：体积 = 6厘米× 6厘米× 6厘米 = 216立方厘米。

3. 圆柱体的体积公式：圆柱体的体积 = 底面积×高 = π×半径²×高。

例题解析：例题3：一个圆柱体的底面半径为4厘米，高为10厘米，求其体积。

解答：体积 = π× 4²厘米²× 10厘米≈ 3.14 × 16厘米²× 10厘米 = 502.4立方厘米。

4. 棱柱体的体积公式：棱柱体的体积 = 底面积×高。

例题解析：例题4：一个三棱柱的底面是一个面积为12平方厘米的三角形，高为15厘米，求其体积。

解答：体积 = 12平方厘米× 15厘米 = 180立方厘米。

二、复合立体图形的分割与体积计算1. 复合立体图形的定义与分割方法定义：复合立体图形是由多个简单立体图形组合而成的图形。

要计算复合立体图形的体积，可以将其分割成多个简单立体图形，然后分别计算体积，再将这些体积相加。

例题解析：例题1：计算一个由两个长方体组合而成的L形立体图形的体积。

解答：将L形立体图形分割为两个长方体，分别计算体积，总体积 = 体积1 + 体积2。

例题2：计算一个由圆柱体和正方体组合而成的立体图形的体积。

解答：将图形分割为一个圆柱体和一个正方体，分别计算体积，总体积 = 圆柱体积+ 正方体体积。

三、体积计算的实际应用1. 容器的容量计算例题解析：题目：计算一个长方体水箱的容量，已知其长为2米，宽为1.5米，高为1米。

如何计算棱柱和棱锥的体积

如何计算棱柱和棱锥的体积棱柱和棱锥是几何学中常见的立体图形，我们可以通过一定的计算方法求出它们的体积。

本文将介绍如何计算棱柱和棱锥的体积，并给出相应的计算公式。

一、棱柱的体积计算方法棱柱是一个有两个底面为平行多边形的立体图形。

要计算棱柱的体积，我们需要知道底面的面积和棱柱的高度。

假设底面的面积为A，棱柱的高度为h，则棱柱的体积V可以通过以下公式计算得出：V = A × h这个公式可以简单理解为：棱柱的体积等于底面积乘以高度。

以一个矩形棱柱为例，假设矩形的长为a，宽为b，高为h，那么矩形棱柱的体积V可以通过以下公式计算得出：V = a × b × h同样地，对于其他多边形的底面，我们也可以根据相应的底面公式计算得到其面积，然后代入上述公式计算棱柱的体积。

二、棱锥的体积计算方法棱锥是一个底面为多边形，有一个顶点与底面上一点相连的立体图形。

计算棱锥的体积也需要知道底面的面积和棱锥的高度。

假设底面的面积为A，棱锥的高度为h，则棱锥的体积V可以通过以下公式计算得出：V = A × h ÷ 3这个公式可以简单理解为：棱锥的体积等于底面积乘以高度再除以3。

以一个三角形棱锥为例，假设三角形的底边长为a，高为h，那么三角形棱锥的体积V可以通过以下公式计算得出：V = (a × a × √3) × h ÷ 6同样地，对于其他多边形的底面，我们也可以根据相应的底面公式计算得到其面积，然后代入上述公式计算棱锥的体积。

三、计算实例下面通过一个具体的计算实例来进一步说明如何计算棱柱和棱锥的体积。

实例1：计算一个边长为5，高度为8的正方形棱柱的体积。

首先，正方形的面积可以通过公式A = a × a计算得到，其中a为边长。

代入数值，可以得出正方形的面积A = 5 × 5 = 25。

然后，根据棱柱的体积公式V = A × h，将面积和高度代入计算得出体积。