组合与构造历届高中数学联赛真题分类汇编含详细答案

⑵没有一行或没有一列全部方格同色时，则对任意
1 i 33 ，均有 n Ai 2 ， n Bi 2 ，从而由
②知， L
33
n Ai
i1
n Bi
66 33 4 66 56
综上可知，分割边条数的最小值为 56 。
2017A 四、（本题满分 50 分）。设 m, n 均是大于 1 的整数， m n ， a1, a2 , ,an 是 n 个不超过 m 的
Ai , c j
Bi, cj
3 33 j 1i 1
Ai ,c j
Bi ,cj
3
n cj ①
j1
由于染 c j 色的方格有 1 332 363 个，设含有 c j 色方格的行有 a 个，列有 b 个，则 c j 色方格一定 3
在这 a 行和 b 列的交叉方格中，因此 ab 363 .从而 n ci a b 2 ab 2 363 38
0 .令 ci/
ci
aj
，c
/ j
cj
ai ，ck/
ck（ 1 k n ，
k i, j ）， 那 么 ② 成 立 ， 并 且
m ci/
ci , cj
c
/ j
0，与上面 类似可以证明到：
、、
S1 c1 ,c2,
, cn/
S1 c1 ,c2 ,
, cn
， S2
、、
c1 , c2 ,
, cn/
S2 c1, c2 , ,cn ，即说明 S1 与 S2 均是非
负整数，故通过有限次上述的调整，可以得到一组使得①成立，并且
S1 S2 0结论获证。
引理 2：①对任意的实数 a, b ，均有 a b a b ；②对任意整数 u 和实数 v ，有 uv u v ；
由于对任意整数 u 和实数 x ，均有 u x x ，于是不妨设 a,b
11 ,
，此时Hale Waihona Puke Baidu
a
a ，b
b，
22
对于一种颜色 c j ，设 n ci 是表示含有 c j 色方格的函数与列数之和 .
记 Ai , c j
1，Ai中含有 c j 色方格 0，Ai中不含 c j 色方格 ，同理定义
Bi , c j
1，Bi中含有 c j 色方格 0，Bi中不含 c j 色方格 ，
33
则 n Ai
i1
n Bi
33 3 i1 j1
接下来回到原题，由结论①存在整数 c1, c2 , , cn ，满足 c1a1 c2a2
cnan 1，并且 ci m，
n
1 i n .于是， ci ai x x ，由引理 2 得 x
i1
n
ci ai x
i1
n
ci ai x
i1
n
m ai x ，
i1
因此，
max
1i n
ai x
1 x③ mn
m1
若n
2
由 于 a1 , a2, , an 互 素 ， 即 a1, a2 , , an 1 ， 有 裴 蜀 定 理 ， 存 在 整 数 c1, c2 , , cn ， 满 足
c1a1 c2a2
cn an 1。①
下面证明，通过调整，存在一组
c1 ,c2, , cn 满足①，且 ci m ，记 S1 c1, c2, , cn
若 ab 0 ，不妨设 a 0 b ，则 a b
11 ,
，从而
a
b
ab a b
a
b
22
若 ab
0 ，不妨设 a,b 同号，则当 a
b
1 时，有 a b
2
11 ,，
22
此时 a b
ab a b
a
b ；当 a
b
1
时，注意到总有
ab
2
1
ab
aba
2
b ；故①得证；
又 y y ，由①知，②是成立的。
1
，故
2
3
66
n cj
j1
66 ③
⑴当有一行或有一列全部方格同色时， 不妨设有一行全为 c1色，从而方格纸的 33 列中均含有 c1 的方
格，由于 c1的方格有 363 个，故至少有 11 行中含有 c1色方格。于是 n c1 11 33 44。④
由①③④得 L n c1 n c2 n c3 66 44 39 39 66 56
组合与构造
2017A 三、（本题满分 50 分）将 33 33 方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方
格的个数相等。若相邻两个小方格的颜色不同，则称他们的公共边为“分割边”
。试求分割边条数的
最小值。
★解析： 记分割边的条数为 L .首先，将方格纸按如图所示分成三
个区域，分别染成三种颜色，粗线上均为分割边，此时共有
即 n ci 39 . j 1,2,3, ②
由于在行 Ai 中有 n Ai 种颜色的方格，因此至少有 n Ai 1条分割边，同理在行 Bi 中有 n Bi 种颜
色的方格，因此至少有 n Bi 1条分割边，于是，
33
33
33
L
n Ai 1
n Bi 1
n Ai n Bi
i1
i1
i1
下面分两种情形讨论 .
互不相同的正整数，且 a1, a2 , , an 互素。证明：对任意实数 x ，均存在一个 i （ 1 i n ），使得
ai x
2
x ，这里 y 表示实数 y 到它最近的整数的距离。
m(m 1)
★证明： 首先证明两个引理：
引理 1： 存在整数 c1, c2, ,cn ，满足 c1a1 c2a2
cnan 1，并且 ci m ， 1 i n .
ci
ci m
0，
S1 c1, c2 , , cn
cj 0。
cj m
如果 S1 0 ，那么存在 ci m 1 ，于是 ai ci 1 ，又 a1 ,a2 , , an 是大于 1 的整数，故由①可知，
存在 c j 0 ，令 ci/
ci
aj
，
c
/ j
cj
ai ， ck/
ck （ 1 k n ， k i , j ），则
，则由③知，
max
1i n
ai
x
1 x
mn
2x mm 1
若 n m 1 ， 则 在 a1, a2, , an 中 存 在 两 个 相 邻 的 正 整 数 。 不 妨 设 a1, a2 相 邻 ， 则 2
x 2x
x
a2x a1x
56 条
分割边，即 L 56 。
下面证明 L 56 .
将方格纸的行从上至下依次记为 A1 , A2 , , A33 ,列从左至右依次记为
B1 , B2 , , B33 ,行 Ai 中方格出现的颜色数记为 n Ai ，
列 Bi 中方格出现的颜色数记为 n Bi ，三种颜色分别记为 c1 ， c2 ， c3 ，
c1/ a1 c2/ a2
cn/ an
1，② 并且 0 m a j
ci/
ci ， c j
c
/ j
ak
m，
所以 S1 c1、, c2、, , cn/ S1 c1, c2 , ,cn ， S2 c1、,c2、, , cn/ S2 c1, c2 , , cn
如果 S2 0 ，则存在 c j
m ，因此有一个 ci