平面的法向量与平面的向量表示
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第
三
章
3.2
理解教材新知
空 3.2.2
间 平面
向
的法
把握热
量
向量
点考向
与 与平
考点一 考点二 考点三
立 面的
体 向量
应用创新演练
几 表示
何
返回
3．2.2 平面的法向量与平面的向量表示
返回
若l1，l2是两条不同的直线，α、β是两个不同的平 面，且l1⊥α，l2⊥β.
问题1：若l1∥l2，则α与β有什么位置关系？ 提示：α∥β. 问题2：若l1⊥l2，则α、β有什么位置关系？ 提示：α⊥β.
返回
1．平面的法向量 已知平面α，如果向量n的基线与平面α 垂直 ，则向 量n叫做平面α的法向量或说向量n与平面α正交． 2．平面的向量表示式 设A是空间任一点，n为空间内任一非零向量，适合条 件 ·n＝0的点M构成的图形是过点A并且与向量n垂直 的 平面 ， AM ·n＝0 通常称为一个平面的向量表示式．
返回
[例2]ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ如图，在正方体ABCD－ A1B1C1D1中，E，F，M分别为棱BB1， CD，AA1的中点．
(1)证明：C1M∥平面ADE； (2)平面ADE⊥平面A1D1F.
[思路点拨] 建立空间坐标系．求出平面ADE与平 面A1D1F的法向量求解．
返回
[一点通] 设直线l的方向向量a＝(a1，b1，c1)，平面α的 法向量u＝(a2，b2，c2)，平面β的法向量v＝(a3，b3，c3)，且 l⊄α，α与β不重合，则
证明：连接DO1、BO1、AO2、CO2. ∵O1是△BCD的垂心，∴DO1⊥BC. 又AO1⊥平面BCD，∴BC⊥AD(三垂 线定理)． ∵BC是平面ACD的斜线，BO2⊥平面ACD，CO2是BC 在平面ACD内的射影， ∴CO2⊥AD(三垂线定理的逆定理)．同理，AO2⊥CD. 故O2是△ACD的垂心．
证明：以D为原点，建立如图所示的空间 直角坐标系，设正方体的棱长为1，则 A1(1，0，1)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)， B1(1，1，1)，C(0，1，0)，D(0，0，0)．所以 A1D ＝ (－1，0，－1)， A1B ＝(0，1，－1)， D1B1 ＝(1，1， 0)， D1C ＝(0，1，－1)．
2．一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可以 根据需要进行选取，一个平面的所有法向量共线．
返回
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[例1] 已知点A(1，0，0)、B(0，2，0)、C(0，0，3)， 求平面ABC的一个法向量．
[思路点拨]
返回
[一点通] 利用待定系数法求法向量的解题步骤： 返回
1．已知平面内的两个向量a＝(2，3，1)，b＝(5，6，4)，
(1)l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0； (2)l⊥α⇔a∥u⇔(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)； (3)α∥β⇔u∥v⇔(a2，b2，c2)＝m(a3，b3，c3)； (4)α⊥β⇔u⊥v⇔u·υ＝0⇔a2a3＋b2b3＋c2c3＝0.
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3．在正方体ABCDA1B1C1D1中，求证：平面A1BD∥平面 CD1B1.
返回
5．正三棱锥PABC中，求证：BC⊥PA.
证明：在正三棱锥PABC中，P在底 面ABC内的射影O为正三角形ABC的 中心，连接AO，则AO是PA在底面A BC内的射影，且BC⊥AO，所以BC ⊥PA.
返回
6．在空间四边形ABCD中，A在平面BCD内的射影O1是 △BCD的垂心，试证明B在平面ACD内的射影O2必是 △ACD的垂心．
则该平面的一个法向量为
()
A．(1，－1，1)
B．(2，－1，1)
C．(－2，1，1)
D．(－1，1，－1)
解析：显然a与b不平行，设平面的法向量为n＝(x，y，z)，
则有ab··nn＝ ＝00
2x＋3y＋z＝0， 5x＋6y＋4z＝0.
令z＝1，得x＝－2，y＝1.
∴n＝(－2，1，1)． 答案：C
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3．两平面平行、垂直的判定 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则 ①α∥β或α与β重合 ⇔ n1∥；n2 ②α⊥β⇔ n1⊥n⇔2 n1.n2=．0 4．正射影与三垂线定理 (1)正射影： 已知平面α和一点A，过点A作α的垂线l与α相交于点 A′，则A′就是点A在平面α内的 正射影，简称 射影．
返回
1．确定平面的法向量通常有两种方法： (1)利用几何体中已知的线面垂直关系； (2)用待定系数法，设出法向量，根据它和α内不共线 两向量的垂直关系建立方程组进行求解．由于一个平面 的法向量有无数个，故可从方程组的解中取一个最简单 的作为平面的法向量． 2．用空间向量处理平行问题的常用方法： (1)线线平行转化为直线的方向向量平行． (2)线面平行转化为直线的方向向量与平面法向量垂直．
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[精解详析] 在正方体中，AA1⊥ 平面ABCD，所以AC是A1C在平面ABCD 内的射影，又AC⊥BD，所以BD⊥A1C. 同理D1C是A1C在平面CDD1C1内的射影． 所以C1D⊥A1C.又C1D∩BD＝D，所以A1C⊥平面BDC1.
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[一点通] (1)三垂线定理及其逆定理主要用于证明空间两条直线 的垂直问题．对于同一平面内的两直线垂直问题也可用“平 移法”，将其转化为空间两直线的垂直问题，用三垂线定理 证明． (2)当图形比较复杂时，要认真观察图形，证题的思维 过程是“一定二找三证”，即“一定”是定平面和平面内的直 线，“二找”是找平面的垂线、斜线和斜线在平面内的射影， “三证”是证直线垂直于射影或斜线．
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(2)三垂线定理： 如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平 面内的 射影垂直，则它也和这条斜线垂直． (3)三垂线定理的逆定理： 如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直， 则它也和这条斜线在平面内的 射影垂直．
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1．用向量法证明线线、线面、面面之间的垂直关系， 主要是找出直线的方向向量、平面的法向量之间的关系， 因此求直线的方向向量及平面的法向量是解题关键．
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4．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中 点，求证：平面AED⊥平面A1FD1. 证明：如图，建立空间直角坐标系Dxyz.
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[例3] 在正方体ABCDA1B1C1D1 中，求证：A1C⊥平面BDC1.
[思路点拨] 根据正方体中的垂直关系，找到A1C 在平面ABCD和平面CDD1C1内的射影，由三垂线定理 证明BD⊥A1C，C1D⊥A1C.
三
章
3.2
理解教材新知
空 3.2.2
间 平面
向
的法
把握热
量
向量
点考向
与 与平
考点一 考点二 考点三
立 面的
体 向量
应用创新演练
几 表示
何
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3．2.2 平面的法向量与平面的向量表示
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若l1，l2是两条不同的直线，α、β是两个不同的平 面，且l1⊥α，l2⊥β.
问题1：若l1∥l2，则α与β有什么位置关系？ 提示：α∥β. 问题2：若l1⊥l2，则α、β有什么位置关系？ 提示：α⊥β.
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1．平面的法向量 已知平面α，如果向量n的基线与平面α 垂直 ，则向 量n叫做平面α的法向量或说向量n与平面α正交． 2．平面的向量表示式 设A是空间任一点，n为空间内任一非零向量，适合条 件 ·n＝0的点M构成的图形是过点A并且与向量n垂直 的 平面 ， AM ·n＝0 通常称为一个平面的向量表示式．
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[例2]ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ如图，在正方体ABCD－ A1B1C1D1中，E，F，M分别为棱BB1， CD，AA1的中点．
(1)证明：C1M∥平面ADE； (2)平面ADE⊥平面A1D1F.
[思路点拨] 建立空间坐标系．求出平面ADE与平 面A1D1F的法向量求解．
返回
[一点通] 设直线l的方向向量a＝(a1，b1，c1)，平面α的 法向量u＝(a2，b2，c2)，平面β的法向量v＝(a3，b3，c3)，且 l⊄α，α与β不重合，则
证明：连接DO1、BO1、AO2、CO2. ∵O1是△BCD的垂心，∴DO1⊥BC. 又AO1⊥平面BCD，∴BC⊥AD(三垂 线定理)． ∵BC是平面ACD的斜线，BO2⊥平面ACD，CO2是BC 在平面ACD内的射影， ∴CO2⊥AD(三垂线定理的逆定理)．同理，AO2⊥CD. 故O2是△ACD的垂心．
证明：以D为原点，建立如图所示的空间 直角坐标系，设正方体的棱长为1，则 A1(1，0，1)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)， B1(1，1，1)，C(0，1，0)，D(0，0，0)．所以 A1D ＝ (－1，0，－1)， A1B ＝(0，1，－1)， D1B1 ＝(1，1， 0)， D1C ＝(0，1，－1)．
2．一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可以 根据需要进行选取，一个平面的所有法向量共线．
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[例1] 已知点A(1，0，0)、B(0，2，0)、C(0，0，3)， 求平面ABC的一个法向量．
[思路点拨]
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[一点通] 利用待定系数法求法向量的解题步骤： 返回
1．已知平面内的两个向量a＝(2，3，1)，b＝(5，6，4)，
(1)l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0； (2)l⊥α⇔a∥u⇔(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)； (3)α∥β⇔u∥v⇔(a2，b2，c2)＝m(a3，b3，c3)； (4)α⊥β⇔u⊥v⇔u·υ＝0⇔a2a3＋b2b3＋c2c3＝0.
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3．在正方体ABCDA1B1C1D1中，求证：平面A1BD∥平面 CD1B1.
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5．正三棱锥PABC中，求证：BC⊥PA.
证明：在正三棱锥PABC中，P在底 面ABC内的射影O为正三角形ABC的 中心，连接AO，则AO是PA在底面A BC内的射影，且BC⊥AO，所以BC ⊥PA.
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6．在空间四边形ABCD中，A在平面BCD内的射影O1是 △BCD的垂心，试证明B在平面ACD内的射影O2必是 △ACD的垂心．
则该平面的一个法向量为
()
A．(1，－1，1)
B．(2，－1，1)
C．(－2，1，1)
D．(－1，1，－1)
解析：显然a与b不平行，设平面的法向量为n＝(x，y，z)，
则有ab··nn＝ ＝00
2x＋3y＋z＝0， 5x＋6y＋4z＝0.
令z＝1，得x＝－2，y＝1.
∴n＝(－2，1，1)． 答案：C
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3．两平面平行、垂直的判定 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则 ①α∥β或α与β重合 ⇔ n1∥；n2 ②α⊥β⇔ n1⊥n⇔2 n1.n2=．0 4．正射影与三垂线定理 (1)正射影： 已知平面α和一点A，过点A作α的垂线l与α相交于点 A′，则A′就是点A在平面α内的 正射影，简称 射影．
返回
1．确定平面的法向量通常有两种方法： (1)利用几何体中已知的线面垂直关系； (2)用待定系数法，设出法向量，根据它和α内不共线 两向量的垂直关系建立方程组进行求解．由于一个平面 的法向量有无数个，故可从方程组的解中取一个最简单 的作为平面的法向量． 2．用空间向量处理平行问题的常用方法： (1)线线平行转化为直线的方向向量平行． (2)线面平行转化为直线的方向向量与平面法向量垂直．
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[精解详析] 在正方体中，AA1⊥ 平面ABCD，所以AC是A1C在平面ABCD 内的射影，又AC⊥BD，所以BD⊥A1C. 同理D1C是A1C在平面CDD1C1内的射影． 所以C1D⊥A1C.又C1D∩BD＝D，所以A1C⊥平面BDC1.
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[一点通] (1)三垂线定理及其逆定理主要用于证明空间两条直线 的垂直问题．对于同一平面内的两直线垂直问题也可用“平 移法”，将其转化为空间两直线的垂直问题，用三垂线定理 证明． (2)当图形比较复杂时，要认真观察图形，证题的思维 过程是“一定二找三证”，即“一定”是定平面和平面内的直 线，“二找”是找平面的垂线、斜线和斜线在平面内的射影， “三证”是证直线垂直于射影或斜线．
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(2)三垂线定理： 如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平 面内的 射影垂直，则它也和这条斜线垂直． (3)三垂线定理的逆定理： 如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直， 则它也和这条斜线在平面内的 射影垂直．
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1．用向量法证明线线、线面、面面之间的垂直关系， 主要是找出直线的方向向量、平面的法向量之间的关系， 因此求直线的方向向量及平面的法向量是解题关键．
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4．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中 点，求证：平面AED⊥平面A1FD1. 证明：如图，建立空间直角坐标系Dxyz.
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[例3] 在正方体ABCDA1B1C1D1 中，求证：A1C⊥平面BDC1.
[思路点拨] 根据正方体中的垂直关系，找到A1C 在平面ABCD和平面CDD1C1内的射影，由三垂线定理 证明BD⊥A1C，C1D⊥A1C.