平面的法向量与平面的向量表示
平面向量与平面的关系
平面向量与平面的关系平面向量是向量的一种形式，它的组成部分是一个起点和一个终点，可以用箭头来表示。
平面是二维的，由二维点的集合构成，其上的点可以用二维坐标表示。
本文将探讨平面向量与平面之间的关系及相关的性质。
一、平面向量的定义与性质平面向量可以表示为两个点之间的差向量。
设点A(x1, y1)和点B(x2, y2)是平面上的两个点，其联结的平面向量可以表示为AB = (x2 -x1, y2 - y1)。
平面向量具有以下性质：1. 平面向量的模：平面向量AB的模可以通过勾股定理求得，即|AB| = √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2]。
2. 平面向量的加法：两个平面向量的加法可以通过将它们的对应分量相加得到。
设平面向量A(x1, y1)和平面向量B(x2, y2)，它们的和为A +B = (x1 + x2, y1 + y2)。
3. 平面向量的数量积：两个平面向量的数量积定义为它们对应分量的乘积的和。
设平面向量A(x1, y1)和平面向量B(x2, y2)，它们的数量积为A · B = x1x2 + y1y2。
4. 平面向量的夹角：设平面向量A和平面向量B不同时为零向量，它们的夹角θ可以由余弦定理求得，即cosθ = (A · B) / (|A| |B|)，从而可以计算出夹角的大小。
二、平面向量与平面之间的关系平面向量和平面之间有着密切的关系，我们将讨论以下几个方面：1. 平面上的平行向量：若两个平面向量的方向相同或相反，它们为平行向量。
若平面向量A(a, b)与平面向量B(x, y)平行，则存在实数k，使得a = kx，b = ky。
2. 平面上的法向量：设平面向量A(a, b)与平面向量B(x, y)垂直，则A为平面的法向量。
当且仅当a = -ky，b = kx时，平面向量A与平面向量B垂直。
3. 平面与平面之间的夹角：设平面P1的法向量为A(a1, b1)，平面P2的法向量为B(a2, b2)，则两个平面之间的夹角θ可以由以下公式计算得到：cosθ = (a1a2 + b1b2) / (|A| |B|)。
高二数学选修课件：3-2-2平面的法向量与平面的向量表示
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第三章
空间向量与立体几何
[例 1]
如图， ABCD 是直角梯形， ∠ABC＝90° SA⊥ ，
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1 平面 ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝2，求平面 SCD 与平 面 SAB 的法向量．
第三章
空间向量与立体几何
[分析] 解答本题可先建立空间直角坐标系，写出每
个平面内两个不共线向量的坐标，再利用待定系数法求出 平面的法向量．
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[解析]
∵AD、AB、AS 是三条两两垂直的线段，
→ → → ∴以 A 为原点，以AD、AB、AS的方向为 x 轴，y 轴， 1 z 轴的正方向建立坐标系， A(0,0,0)， 2， 则 D( 0,0)， C(1,1,0)， → ＝(1，0,0)，是平面 SAB 的法向量， S(0,0,1)，AD 2 设平面 SCD 的法向量 n＝(1，λ，μ)，
第三章
空间向量与立体几何
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第三章
空间向量与立体几何
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第三章
空间向量与立体几何
1．知识与技能
掌握平面的法向量的概念及性质． 理解平面的向量表示． 2．过程与方法 用向量的观点认识平面、利用平面的法向量证明平行人ຫໍສະໝຸດ 教 B 版 数 学或垂直问题．
3．情感态度与价值观 培养学生转化的数学思想，增强应用意识．
第三章
空间向量与立体几何
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第三章
空间向量与立体几何
重点：平面法向量的概念及性质． 难点：利用法向量法解决几何问题．
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第三章
空间向量与立体几何
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法向量1
A
B
x
F E
Dy
C
小结：
想想看，这节课我们都学到了什么？ 1、怎么求法向量？ 2、利用法向量证明平行与垂直问题
作业：练习册：47-48页
目标：
会求法向 量并用法 向量解题
请各位老师批评指正 谢谢
课前小测答案：
1、 a b x1x2 y1 y2 z1z2
2、a b 0
3、 E(1, 1 ,2) F 1 ,1,1
2、线面垂直性质定理： （1）垂直于同一平面的直线互相平行 （2）垂直面的直线，垂直面内所有直线
目标：
会求法向 量并用法 向量解题
3、线面平行判定定理：不在面内直线平行面内一条直线， 则线面平行
4、面面平行判定定理：两条相交直线平行于同一个 平面，则两个平面平行
新知教学
1、已知平面 ，如果向量 n 的基线与
即xy
y z
赋值：x 1 n (1,1,1)
步骤1-2-1
目标：
会求法向
（1）设 n x, y, z
量并用法 向量解题
（2）找出平面内不共
线向量 v1,v2
n
v1
0
n v2 0
（3）解方程组，赋值
应用1 ：ABCD是直角梯形，ABC SA 平面ABCD SA AB BC 1 AD
x2 y2 z2 1 法向量是否
n (1,1,1)
唯一？
思考：求平面ABC的单位法向量坐标
求法向量方法
设法向量 n x, y, z
AB （1，1，0） BC 0，1，1
n AB 0 n BC 0
x y 0 y z 0
平面的法向量和方向向量
平面的法向量和方向向量平面的法向量和方向向量是平面几何中的重要概念，它们在描述平面的性质和运动方向时起到了关键作用。
本文将分别介绍平面的法向量和方向向量，并探讨它们的应用和相关性质。
一、平面的法向量平面的法向量是指垂直于该平面的向量。
设平面P上有一条直线L，经过L上的两点A和B可以确定一条向量AB。
如果向量AB垂直于平面P，那么向量AB就是平面P的法向量。
平面的法向量有以下性质：1. 法向量与平面上任意两个垂直向量的内积为零。
设向量a和向量b是平面P上的两个垂直向量，向量n是平面P的法向量，则有a·n=0，b·n=0。
2. 平面上的两个垂直向量的内积为零时，它们是平面的法向量的倍数关系。
设向量a和向量b是平面P上的两个垂直向量，向量n是平面P的法向量，则有a·n=0，b·n=0，因此存在实数k，使得a=k·n，b=k·n。
3. 平面上的两个非零向量的叉积是平面的法向量的倍数。
设向量a 和向量b是平面P上的两个非零向量，向量n是平面P的法向量，则有向量a×b=k·n，其中k为实数。
平面的法向量在几何和物理学中有广泛的应用。
例如，在计算平面上的点到另一平面的距离时，可以利用平面的法向量来求解。
同时，在力学中，平面的法向量也被用来描述平面上的压力和力的作用方向。
二、平面的方向向量平面的方向向量是指平面上的一个非零向量，它表示了平面上的一个方向。
设平面P上有一条直线L，经过L上的两点A和B可以确定一条向量AB。
如果向量AB不是平面P的法向量，那么向量AB 就是平面P的方向向量。
平面的方向向量有以下性质：1. 平面上的两个非零向量的线性组合是平面的方向向量。
设向量a 和向量b是平面P上的两个非零向量，向量c=k1·a+k2·b，其中k1和k2为实数，则向量c是平面P的方向向量。
2. 平面上的两个方向向量的叉积是平面的法向量。
平面的法向量与平面的向量表示
返回
设平面A1BD的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)．
则nn11·AA11DB＝＝00，
－x1－z1＝0， y1－z1＝0.
令z1＝1，得x1＝－1，y1＝1.
所以平面A1BD的一个法向量为n1＝(－1，1，1)．
设平面CD1B1的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
则nn22··DD11CB1＝＝00， xy22－＋zy22＝＝00.，令y2＝1，得x2＝－1，z2＝1，
返回
[例2] 如图，在正方体ABCD－ A1B1C1D1中，E，F，M分别为棱BB1， CD，AA1的中点．
(1)证明：C1M∥平面ADE； (2)平面ADE⊥平面A1D1F.
[思路点拨] 建立空间坐标系．求出平面ADE与平 面A1D1F的法向量求解．
返回
[精解详析] (1)以 D 为原点， 向量 DA、DC 、DD1 的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立坐标 系如图，设正方体的棱长为 1.
返回
1．平面的法向量 已知平面α，如果向量n的基线与平面α 垂直 ，则向 量n叫做平面α的法向量或说向量n与平面α正交． 2．平面的向量表示式 设A是空间任一点，n为空间内任一非零向量，适合条 件 ·n＝0的点M构成的图形是过点A并且与向量n垂直 的 平面 ， AM ·n＝0 通常称为一个平面的向量表示式．
∵m·C1M ＝(0，－1，2)·(1，－1，－12)＝0＋1－1＝0，
∴C1M ⊥m. 又C1M 平面ADE，∴C1M∥平面ADE.
返回
(2)由D1(0，0，1)，A1(1，0，1)，F(0，
1 2
，0)得
D1 A1
＝
(1，0，0)， D1F ＝(0，12，－1)，
法向量与平面的向量表示
3.2.2平面的法向量与平面的向量表示
A 组
1.已知四面体ABCD ，棱AB AC =，棱DB DC =，点M 为棱BC 的中点，在图中指出，哪两点确定的位置向量是平面ADM 的法向量？哪两个平面互相垂直？为什么？
2.已知正方体''''ABCD A B C D -，写出平面ABC 和平面'AB C 的一个法向量。
4.如图，已知PO ⊥平面ABC ，AC BC =,D 为AB 的中点，求证：AB PC ⊥。
5.如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，且PA ⊥底面AC ，如果BC PB ⊥，求证ABCD 是矩形。
6.已知(3A ，0，0)，(0B ，4，0)，(0C ，0，5)，求平面ABC 的单位法向量。
7.已知正方体''''ABCD A B C D -，分别写出两个对角面的一个法向量，并证明两个对角面互相垂直。
8.已知四面体ABCD 的棱AB CD ⊥，AC BD ⊥，求证：AD BC ⊥。
B 组
9.直四棱柱1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 是矩形，121 3.AB AD AA ===，， M 是BC 的中点.在1DD 上是否存在一点N ，使1MN DC ⊥？。
课件1：3.2.2平面的法向量与平面的向量表示
令 z1＝1，得 x1＝a－1， ∴n1＝(a－1,0,1). 设平面 C1DE 的一个法向量为 n2＝(x2，y2，z2)，
三垂线定理及其逆定理
求平面的法向量
如图 3－2－10，ABCD 是直角梯形，∠ABC＝90°， SA⊥平面 ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝12，求平面 SCD 的法 向量．
【思路探究】 先确定平面 SCD 内的两个不共线向量，比 如D→C，S→C，再设出平面的法向量为 n＝(x，y，z)，构造方程组 求解．
∵P→D＝0，2 3 3，－1，显然P→D＝
3 3 n.
∴P→D∥n，∴P→D⊥平面 ABE，
即 PD⊥平面 ABE.
利用空间向量解决探索性问题 (12 分)在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E 是棱 BC 的中点，试在棱 CC1 上求一点 P，使得平面 A1B1P⊥平面 C1DE.
图 3－2－13
D→A＝(2,0,0)，A→E＝(0,2,1)．
(1)设 n1＝(x1，y1，z1)是平面 ADE 的法向量，
则 n1⊥D→A，n1⊥A→E，
即 n1·D→A＝2x1＝0， n1·A→E＝2y1＋z1＝0，
得xz11＝＝－0，2y1，
令 z1＝2，则 y1＝－1， 所以 n1＝(0，－1,2)．
因为F→C1·n1＝－2＋2＝0，所以F→C1⊥n1. 又因为 FC1⊄平面 ADE，所以 FC1∥平面 ADE.
的中点，N 为 BC 的中点．
证明：直线 MN∥平面 OCD. 【思路探究】 只需建系证明M→N·n
平面向量的法向量和单位向量
平面向量的法向量和单位向量平面向量是二维空间中的线段，它具有方向和大小。
在平面向量中，存在着一些特殊的向量，比如法向量和单位向量。
本文将从法向量和单位向量两个方面进行探讨。
一、法向量在平面向量中，法向量是与给定向量垂直的向量，通常用n表示。
对于平面向量a=(a1,a2)，其法向量可以表示为n=(-a2,a1)，或者n=(a2,-a1)。
法向量的方向垂直于给定向量，并且具有相同的大小。
法向量在几何学中有着重要的应用，比如在计算两个向量的夹角时，常常使用法向量来进行计算。
法向量还可以用来表示平面的法线方向，从而帮助求解平面几何中的问题。
二、单位向量单位向量是指长度为1的向量，表示为u。
在二维空间中，单位向量通常表示为u=(cosθ,sinθ)，其中θ为向量与x轴的夹角。
单位向量的大小为1，表示方向而不表示大小。
单位向量在向量运算中起着非常重要的作用。
在计算两个向量的夹角时，可以使用单位向量来表示向量的方向，从而简化计算。
单位向量还常用于表示力的方向，以及在物理学中描述物体的位移和速度方向。
结论平面向量中的法向量和单位向量是非常重要的概念，它们在几何学和向量运算中都具有重要的应用价值。
法向量可以帮助我们求解向量的垂直方向，单位向量则可以帮助我们统一向量的方向，并简化向量运算的复杂度。
深入理解和应用法向量和单位向量，有助于提升数学和物理学等相关学科的学习成绩，同时也为解决实际问题提供了便利。
愿本文对读者有所启发，帮助大家更好地理解平面向量的法向量和单位向量。
高中数学平面的法向量与平面的向量表示知识点解析
第三章 §3.2 直线的方向向量与直线的向量方程
3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.理解平面的法向量的概念，会求平面的法向量. 2.会用平面的法向量证明平面与平面平行、垂直. 3.了解三垂线定理及其逆定理.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
自主学习 题型探究 达标检测
12345
课堂小结
KETANGXIAOJIE
1.用法向量来解决平面与平面的关系问题，思路清楚，不必考虑图形的位置 关系，只需通过向量运算，就可得到要证明的结果. 2.利用三垂线定理证明线线垂直，需先找到平面的一条垂线，有了垂线，才 能作出斜线的射影，同时要注意定理中的“平面内的一条直线”这一条件， 忽视这一条件，就会产生错误结果.
置；若不存在，请说明理由.
题型三 利用空间向量证明垂直问题
例3 三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为 A1B1C1，∠BAC＝90°，A1A⊥平面ABC，A1A＝ 3，AB＝AC＝2A1C1＝2，D为 BC的中点.证明：平面A1AD⊥平面BCC1B1.
反思感悟 利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径，一是利用两 个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂 直；二是直接求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂直，从而得到两 个平面垂直.
1 自主学习
PART ONE
知识点一 平面的法向量 已知平面α，如果 向量n的基线与平面α垂直 ，则向量n叫做平面α的法向量或 说向量n与平面α正交. 知识点二 平面的向量表示 设A是空间任一点，n为空间内任一非零向量，则适合条件 A→M·n＝0 的点M的 集合构成的图形是过空间内一点A并且与n垂直的平面.这个式子称为一个平面 的向量表示式.
高二数学(人教B版)选修2-1全册同步练习：3-2-2平面的法向量与平面的向量表示
3.2.2平面的法向量与平面的向量表示一、选择题1．下列命题中正确的是( )A ．如果一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直B ．如果一条直线与平面的一条斜线垂直，则它与斜线在平面上的射影垂直C ．如果一向量和斜线在平面内的射影垂直，则它垂直于这条斜线D ．如果一非零向量和一平面平行，且和一条斜线垂直，则它垂直于斜线在平面内的射影[答案] D[解析] 由三垂线定理知D 成立．2．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，平面ACB 1的一个法向量为( )A.BD 1→B.DB →C.BA 1→D.BB 1→ [答案] A3．点A (a,0,0)，B (0，b,0)，C (0,0，c )，则平面ABC 的一个法向量为( )A ．(bc ，ac ，ab )B ．(ac ，ab ，bc )C ．(bc ，ab ，ac )D ．(ab ，ac ，bc ) [答案] A[解析] 设法向量为n ＝(x ，y ，z )，则AB ·n ＝0，AC →·n ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧－ax ＋by ＝0－ax ＋cz ＝0∴n ＝(bc ，ac ，ab )． 故选A. 4．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若E 为A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于( ) A ．ACB ．BDC ．A 1DD ．A 1A[答案] B[解析] 直线CE 在平面AC 内的射影为AC ，又AC ⊥BD ，∴BD ⊥CE ，故选B.5．正方体AC 1中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，则下列直线中不互相垂直的是( )A ．B 1C 与C 1D 1B ．D 1B 与B 1C C ．D 1B 与EFD ．A 1B 与B 1C 1 [答案] C[解析]D1B与EF所成角等于∠D1BC，其余弦值为33，故选C.6．若平面α、β的法向量分别为u＝(－2,3，－5)，v＝(3，－1,4)，则()A．α∥βB．α⊥βC．α、β相交但不垂直D．以上均不正确[答案] C[解析]∵u＝(－2,3，－5)，v＝(3，－1,4)，∴u与v不平行且u与v不垂直，故选C.7．平面α的一个法向量为v1＝(1,2,1)，平面β的一个法向量v2＝－(2,4,2)，则平面α与平面β()A．平行B．垂直C．相交D．不能确定[答案] A[解析]由v1∥v2故可判定α∥β.8．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝() A．2B．－4C．4D．－2[答案] C[解析]∵α∥β，∴1－2＝2－4＝－2k，∴k＝4，故选C.9．若直线l的方向向量为a＝(－1,0，－2)，平面α的法向量为u＝(4,0,8)，则() A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．l与α斜交[答案] B[解析]∵u＝－4a，∴u∥a，∴a⊥α，∴l⊥α.故选B.10．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点，则()A．面AED∥面A1FD1B．面AED⊥面A1FD1C．面AED与面A1FD相交但不垂直D．以上都不对[答案] B[解析] 以D 为原点，DA →、DC →，DD 1→分别为x ，y ，z 建立空间直角坐标系求面AED 的法向量n 1与面A 1FD 1的法向量n 2.∵n 1·n 2＝0，∴n 1⊥n 2，∴平面AED ⊥平面A 1FD 1.二、填空题11．若直线l 与β的法向量分别是a ＝(1,0，－2)，b ＝(－1，0,2)，则直线l 与β的位置关系是________．[答案] l ⊥β[解析] ∵a ∥b ，∴l ⊥β.12．已知l ∥α，且l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为⎝⎛⎭⎫1，12，2，则m ＝________.[答案] －8[解析] 设a ＝(2，m,1)，b ＝(1，12，2)． ∵l ∥α，∴a ⊥b ，∴2＋12m ＋2＝0，∴m ＝－8. 13．已知正四棱锥(如图所示)，在向量PA →－PB →＋PC →－PD →，PA→＋PC →，PB →＋PD →，PA →＋PB →＋PC →＋PD →中，不能作为底面ABCD 的法向量的向量是________．[答案] PA →－PB →＋PC →－PD →[解析] ∵PA →－PB →＋PC →－PD →＝BA →＋DC →＝0，不能作为这个平面的法向量，对其它三个化简后可知均与PO →共线．而PO ⊥平面ABCD ，它们可作为这个平面的法向量．14．如图所示，已知矩形ABCD ，AB ＝1，BC ＝a ，P A ⊥平面ABCD ，若在BC 上只有一个点Q 满足PQ ⊥QD ，则a 的值等于________．[答案] 2[解析] 以A 为原点，建立如图所示坐标系，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，D (0，a,0)，C (1，a,0)，设Q (1，x,0)，P (0,0，z )，PQ →＝(1，x ，－z )，QD→＝(－1，a －x,0)．由PQ →·QD →＝0，得－1＋x (a －x )＝0，即x 2－ax ＋1＝0.当Δ＝a 2－4＝0，即a ＝2时，Q 只有一个．三、解答题15．已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A (0,0,2)，B (4,2,0)，C (2,4,0)，求平面ABC 的单位法向量．[解析] AB →＝(4,2，－2)，AC →＝(2,4，－2)设n ＝(x ，y ，z )是平面ABC 的单位法向量，则有⎩⎪⎨⎪⎧ |n |2＝1，n ·AB →＝0，n ·AC →＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＋z 2＝1，2x ＋y －z ＝0，x ＋2y －z ＝0. 取z >0，得x ＝y ＝111，z ＝311 . ∴n ＝111(1,1,3)．16．如图所示，M 、N 、P 分别是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中的棱CC 1、BC 、CD 的中点．求证：A 1P ⊥平面DMN .[证明] 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则D (0,0,0)，A 1(2,0,2)，P (0,1,0)，M (0,2,1)，N (1,2,0)．∴向量A 1P →＝(0,1,0)－(2,0,2)＝(－2,1，－2)，DM →＝(0,2,1)－(0,0,0)＝(0,2,1)，DN →＝(1,2,0)．∴A 1P →·DM →＝(－2,1，－2)·(0,2,1)＝(－2)×0＋1×2＋(－2)×1＝0.A 1P →·DN →＝(－2,1，－2)·(1,2,0)＝(－2)×1＋1×2＋(－2)×0＝0.∴A 1P →⊥DM →，A 1P →⊥DN →，即A 1P ⊥DM ，A 1P ⊥DN ，又DM ∩DN ＝D ，∴A 1P ⊥平面DMN .17．棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，在棱DD 1上是否存在点P 使B 1D ⊥面P AC?[解析] 以D 为原点建立如图所示的坐标系，设存在点P (0,0，z )，AP →＝(－a,0，z )，AC →＝(－a ，a,0)，DB 1→＝(a ，a ，a )，∴B 1D ⊥面PAC ，∴DB 1→·AP →＝0，DB 1→·AC →＝0.∴－a 2＋az ＝0.∴z ＝a ，即点P 与D 1重合．∴点P 与D 1重合时，DB 1⊥面P AC .18．如图所示，ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ，M 、N 、Q 分别是PC 、AB 、CD 的中点，(1)求证：MN ∥PAD ；(2)求证：平面QMN ∥平面PAD ；(3)求证：MN ⊥平面PCD .[解析] (1)如图以A 为原点，以AB ，AD ，AP 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，设B (b,0,0)，D (0，d,0)，P (0,0，d )，则C (b ，d,0)∵M ，N ，Q 分别是PC ，AB ，CD 的中点，∴M ⎝⎛⎭⎫b 2，d 2，d 2，N ⎝⎛⎭⎫b 2，0，0，Q ⎝⎛⎭⎫b 2，d ，0 ∴MN →＝⎝⎛⎭⎫0，－d 2，－d 2， ∵面PAD 的一个法向量为m ＝(1,0,0)∴MN →·m ＝0，即MN →⊥m ，∴MN 不在面P AD 内，∴MN ∥面PAD ，(2)QN →＝(0，－d,0)，QN →⊥m ，又QN 不在面P AD 内，又QN ∥面PAD .又∵MN ∩QN ＝N ，∴面MNQ ∥平面P AD .(3)PD →＝(0，d ，－d )，DC →＝(b,0,0)， ∴MN →·PD →＝⎝⎛⎭⎫－d 2d ＋⎝⎛⎭⎫－d 2(－d )＝0， MN →·DC →＝0，∴MN →⊥PD →，MN →⊥DC ，又PD ∩DC ＝D ， ∴MN →⊥平面PCD .。
课件4：3.2.2平面的法向量与平面的向量表示
①证明两直线的
方向向量的数量
积为0.
②证明两直线所
成角为直角.
线面垂直
①证明直线的
方向向量与平
面的法向量是
平行向量．
②证明直线与
平面内的相交
直线互相垂直.
面面垂直
①证明两个平
面的法向量垂
直．
②证明二面角
的平面角为直
角.
例题解析
例1
已知点A(a,0,0)，B(0，b,0)，C(0,0，c)，其中
间的平行、垂直问题．(重点、难点)
自学导引
1．平面的法向量
已知平面α，如果向量n的基线与平面α垂直，则
法向量 或 说 向 量 n 与 平 面
向 量 n 叫 做 平 面 α 的 _______
正交
α_____．
自学导引
1．平面的法向量
平面法向量的性质：
(1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量．
(2)条件m⊂α并非可有可无．把m⊂α，改为m∥α，
其他条件不变，三垂线定理仍然成立．
(3) 三 垂 线 定 理 是 证 明 空 间 两 条 直 线 垂 直 的 依
据．应用定理的关键是：要证线线垂直，转化为
证明m与l在α内的射影l′垂直．
2．三垂线定理及逆定理的理解
(4)三垂线定理及其逆定理合起来可表述为：设l是
求证：l⊥AC.
证明：取向量v∥l，则v∥ α，且v ⊥ .
因为AB⊥ α ，l ⊂ α，所以
v⊥.
又因为·v=( + )·v= ·v + ·v=0.
因此v⊥，得⊥AC.
本例证明所得的结论，通常称为三垂线定理.
线面平 ②根据线面平行判定定理在平面内找一个向量与已知直线的方向向
平面的法向量与平面的向量表示
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向量表示：平面上任意向量表示平 面上任意点的位置
法向量的长度和方向决定了平面的 方向而向量表示的长度和方向决定 了平面上任意点的位置
平面的法向量与平面的向量表示的转换方法
法向量：垂直于平面的向量表示平 面的方向
转换方法：通过向量积或点积计算 法向量与向量表示的关系
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Байду номын сангаас法向量：垂直于平面的向 量
法向量的方向：与平面的 法向量平行
法向量的长度：与平面的 法向量长度相等
法向量的作用：表示平面 的方向和位置
平面的向量表示的定义
平面的向量表示：平面上任意向量都可以用两个不共线的向量表示 向量的表示方法：向量可以用坐标表示也可以用向量的模和方向表示 向量的模：向量的长度表示向量的大小 向量的方向：向量的方向表示向量的方向
平面的向量表示的几何意义
向量表示：平面上任意向量都可以用两个不共线的向量表示 向量加法：两个向量的和向量在平面上 向量乘法：向量与标量相乘结果向量在平面上 向量叉乘：两个向量的叉乘结果为垂直于平面的向量
平面的向量表示的计算方法
向量的表示：向量可以用坐标表示如(x, y, z) 向量的加法：两个向量相加得到新的向量 向量的减法：两个向量相减得到新的向量 向量的数乘：向量与一个数相乘得到新的向量 向量的叉乘：两个向量叉乘得到新的向量 向量的点乘：两个向量点乘得到新的向量
平面的向量表示的应用场景
计算机图形学： 用于表示和操 作三维空间中 的物体和场景
物理学：用于 描述力和运动 的方向和大小
工程学：用于 分析和设计机 械、建筑等工
程结构
数学：用于解 决线性代数、 微积分等数学
3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示
直线与平面垂直的判定定理 如果一条直线和平面的两条相交直线垂 直，那么这条直线垂直于这个平面。 那么这条直线垂直于这个平面。 已知: 、 是平面 是平面α内 已知 a、b是平面 内 的两条相交直线， 的两条相交直线，且 直线n⊥ ， ⊥ ， 直线 ⊥a，n⊥b， 求证： ⊥ 求证：n⊥α.
α
n b c a
例3．已知点 ．已知点A(a，0，0)，B(0，b，0)， ， ， ， ， ， ， C(0，0，c)，其中abc≠0，如图，求平面 ， ， ，其中 ，如图， ABC的一个法向量。 的一个法向量。 的一个法向量
z C n
r ， ， n =(bc，ac，ab)
O B x
y
分别是平面α的垂线 例4．已知：AB，AC分别是平面 的垂线 ．已知： ， 分别是平面 和斜线， 是 在 内的射影 内的射影， α且 和斜线，BC是AC在α内的射影，l ⊂ 且 l⊥BC，求证：l⊥AC. ⊥ ，求证： ⊥ 三垂线定理
4. 如图，在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB 如图， － ＝BC＝2，AA1＝1，则 BC1 与平面 BB1D1D 所 ＝ ， ， 成角的正弦值为( 成角的正弦值为 D ) 6 2 5 15 10 A. B. C. D. 3 5的向量表示
r 已知平面α， 的基线与平面α 已知平面 ，如果向量 n的基线与平面 r 垂直，则向量 叫做平面α的法向量或说 垂直， 叫做平面 的法向量或说 n r 向量 与平面α正交。 与平面 正交。 正交 n
由平面法向量的定义可知，平面 的一个 由平面法向量的定义可知，平面α的一个 法向量垂直于与平面共面的所有向量。 法向量垂直于与平面共面的所有向量。 由于同时垂直于同一平面的两条直线平 可以推知， 行，可以推知，一个平面的所有法向量互 相平行。 相平行。 由平面法向量的性质， 由平面法向量的性质，很容易通过向量 运算证明直线与平面垂直的判定定理。 运算证明直线与平面垂直的判定定理。 直线与平面垂直的判定定理
平面的法向量
平面的法向量平面的法向量确定平面位置的重要向量，指与平面垂直的非零向量，一个平面的法向量可有无限多个，但单位法向量有且仅有两个。
例如在空间直角坐标系中平面Ax+By+Cz+D=0的法向量为n=(A,B,C)，而它的单位法向量即法向量除以法向量的长度，正负代表方向。
平面的法向量1法向量简介法向量，是空间解析几何的一个概念，垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。
法向量适用于解析几何。
由于空间内有无数个直线垂直于已知平面，因此一个平面都存在无数个法向量（包括两个单位法向量）。
定义：三维平面的法线是垂直于该平面的三维向量。
曲面在某点P处的法线为垂直于该点切平面的向量。
法线是与多边形的曲面垂直的理论线，一个平面存在无限个法向量。
在电脑图学的领域里，法线决定着曲面与光源的浓淡处理，对于每个点光源位置，其亮度取决于曲面法线的方向。
如果一个非零向量n与平面a垂直，则称向量n为平面a的法向量。
垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。
每一个平面存在无数个法向量。
计算：对于像三角形这样的多边形来说，多边形两条相互不平行的边的叉积就是多边形的法线。
用方程ax+by+cz=d表示的平面，向量(a,b,c)就是其法线。
如果S是曲线坐标x(s,t)表示的曲面，其中s及t是实数变量，那么用偏导数叉积表示的法线为。
如果曲面S用隐函数表示，点集合(x,y,z)满足F(x,y,z)=0，那么在点(x,y,z)处的曲面法线用梯度表示为。
如果曲面在某点没有切平面，那么在该点就没有法线。
例如，圆锥的顶点以及底面的边线处都没有法线，但是圆锥的法线是几乎处处存在的。
通常一个满足Lipschitz连续的曲面可以认为法线几乎处处存在。
数学空间向量公式大全
数学空间向量公式大全空间向量知识点空间向量与平面向量类似，只是在三维空间中表示。
若一个向量垂直于一个平面，则它是该平面的法向量。
表示向量OA可以表示为a=(x1,y1,z1)，向量OB可以表示为b=(x2,y2,z2)，向量AB可以表示为AB=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)。
AB=-BA。
运算a+b=(x1+x2,y1+y2,z1+z2)，a-b=(x1-x2,y1-y2,z1-z2)，λa=(λx1,λy1,λz1)(λ∈R)，a·b=|a||b|cos=x1x2+y1y2+z1z2.点P分有向线段AB的比为λ，则P的坐标为(x1+λx2)/(1+λ)，(y1+λy2)/(1+λ)，(z1+λz2)/(1+λ)（λ∈R且λ≠1）。
中点公式为(x1+x2)/2，(y1+y2)/2，(z1+z2)/2.三角形重心公式为(x1+x2+x3)/3，(y1+y2+y3)/3，(z1+z2+z3)/3.模设点A的坐标为(x1,y1,z1)，点B的坐标为(x2,y2,z2)，则AB的模为|AB|=√[(x1-x2)²+(y1-y2)²+(z1-z2)²]。
向量a的模为|a|=√(x²+y²+z²)。
平行与垂直若向量a与向量b平行，则a1=λb1，a2=λb2，a3=λb3（λ∈R）。
若向量a与向量b垂直，则a·b=0，即x1x2+y1y2+z1z2=0.夹角若向量a与向量b夹角为θ，则cosθ=a·b/|a||b|。
建立空间直角坐标系的常用方法有四种。
首先，当底面是正方形时，通常以底面两条邻边为x轴和y轴。
其次，当底面是菱形时，常以底面两条对角线为x轴和y轴。
第三，当底面是等腰三角形时，通常以底边及底边上的高为x轴和y轴。
最后，当底面为平行四边形时，常以一条边为x轴，并作一条与这一条边垂直的直线作为y轴。
第一个空间向量的应用方法是求平面的法向量。
方向向量与法向量
垂直 平行
相交
巩固性训练3
1、设平面 的法向量为(1,2,-2),平面 的法向量为 (-2,-4,k),若 // ，则k= ；若 则 k= 。 2、已知 l // ，且 l 的方向向量为(2,m,1)，平面 的法向量为(1,1/2,2),则m= . 3、若 l 的方向向量为(2,1,m),平面 的法向量为 (1,1/2,2),且 l ，则m= .
1 2 x 2 y z 0 x 即 , 取z 1，得 2 4 x 5 y 3z 0 y 1
1 2 2 求平面ABC的单位法向量为 ( ， ，） 3 3 3
1 n ( , 1,1), 2
3 | n | 2
问题：如何求平面的法向量？
线线垂直 l1 l2 e1 e2 e1 e2 0 ；
线面垂直 l1 1 e1 // n1 e1 n1 ；
面面垂直 1 2 n1 n2 n1 n2 0. 若e (a1 , b1 , c1 ), n (a2 , b2 , c2 ),则 l e // n e n a1 a2 , b1 b2 , c1 c2 .
1 DA (1, 0, 0)， (1,1, , ) DE 2 设平面ADE的一个法向量 为n=(x，y，z ) 则由n DA 0， DE 0得 n
D1
z
C1 B1 E
A1 D A
x
F B
C y
1 又因为D1 F (0, , 1) 2 所以 D1 F 平面ADE
(1)设出平面的法向量为n ( x, y, z )
高二数学高效课堂资料平面的法向量(用)
证明：因为OA BC OA (OC OB)
O OA OC OA OB
| OA | | OC | cos | OA | | OB | cos
| OA | | OB | cos | OA | | OB | cos
D
AD 、D C 、DD的中点，
P
求证：⑴平面PQR∥平面EFG。 A R
⑵ BD⊥平面EFG
D
A
E
B
Q
C
B
G C
F B
例. 在空间直角坐标系内，设平面 经过 点 P(x0 , y0 , z0 ) ，平面 的法向量为 e ( A, B, C)， M (x, y, z) 为平面 内任意一点，求 x, y, z
例1、设平面α的法向量为(1, 2, －2),平面β 的法向量为(－2, －4, k),
若α//β，则k=
4；
若α⊥β, 则 k= －5 。
练习 1、已知l//α，且l的方向向量为(2, m, 1)， 平面α的法向量为(1, 1 , 2), 则m= －8 .
2
2、已知l⊥α，且l的方向向量为(2, 1, m), 平面α的法向量为(1, 1 , 2), 则m= 4 .
关于三垂线定的应用：关键是找出平面(基准面)
及垂线。至于射影则是由垂足、斜足来确定的，因而是第 二位的。
第一、定平面(基准面) 第二、找平面垂线（电线杆）
第三、看斜线，射影可见
第四、证明直线a垂直于射影线，从而得出a与b垂直。
强调：1°四线是相对同一个平面而言。
2°定理的关键是找“基准面”和“电线
P
a PA a (PO OA)
a PO a OA
平面向量的单位法向量和法向量的性质
平面向量的单位法向量和法向量的性质平面向量在数学中是一个重要的概念，它可以用来描述平面上的位移、速度和力的方向与大小。
除了平面向量的基本性质外，本文将重点讨论单位法向量和法向量的性质。
在文章中，将按照数学论文的格式进行描述。
1. 引言平面向量是数学中重要的概念之一，它可以用来表示平面上的位移、速度和力的方向和大小。
在研究平面向量的性质时，单位法向量和法向量的性质是我们特别关注的。
2. 定义与性质2.1 单位法向量的定义单位法向量是指长度为1的法向量，它与给定的法向量方向相同或相反。
假设平面上有一个法向量n，则单位法向量可以表示为u = n /||n||，其中||n||表示法向量n的长度。
2.2 单位法向量的性质(1) 单位法向量的长度为1。
由定义可知，单位法向量的长度为1，即||u|| = 1。
(2) 单位法向量与原法向量同向或反向。
当原法向量的长度为正数时，单位法向量与原法向量方向相同；当原法向量的长度为负数时，单位法向量与原法向量方向相反。
3. 法向量的性质3.1 法向量的定义法向量是指与平面垂直的向量。
在平面上，法向量可以从平面上的两个不共线向量通过叉乘得到。
3.2 法向量的性质(1) 法向量与平面上的任意向量垂直。
由法向量的定义可知，法向量与平面上的任意向量的点积为0，即n·a = 0，其中n为法向量，a为平面上的向量。
(2) 法向量的长度为平面的面积。
根据向量叉乘的性质，法向量的长度等于平面的面积的两倍，即||n|| = 2S，其中n为法向量，S为平面的面积。
4. 应用示例在物理学和工程学领域，单位法向量和法向量的性质有着广泛的应用。
例如，在力学中，通过求解物体所受力的法向量，可以确定物体所受的压强；在电磁学中，通过单位法向量可以求解电场的方向和强度。
5. 结论单位法向量和法向量是平面向量的重要性质，它们在数学和物理中都有着广泛的应用。
单位法向量可以用来表示长度为1的法向量，而法向量则具有垂直于平面的特点。
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1．确定平面的法向量通常有两种方法： (1)利用几何体中已知的线面垂直关系； (2)用待定系数法，设出法向量，根据它和α内不共线 两向量的垂直关系建立方程组进行求解．由于一个平面 的法向量有无数个，故可从方程组的解中取一个最简单 的作为平面的法向量． 2．用空间向量处理平行问题的常用方法： (1)线线平行转化为直线的方向向量平行． (2)线面平行转化为直线的方向向量与平面法向量垂直．
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(2)三垂线定理： 如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平 面内的 射影垂直，则它也和这条斜线垂直． (3)三垂线定理的逆定理： 如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直， 则它也和这条斜线在平面内的 射影垂直．
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1．用向量法证明线线、线面、面面之间的垂直关系， 主要是找出直线的方向向量、平面的法向量之间的关系， 因此求直线的方向向量及平面的法向量是解题关键．
证明：以D为原点，建立如图所示的空间 直角坐标系，设正方体的棱长为1，则 A1(1，0，1)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)， B1(1，1，1)，C(0，1，0)，D(0，0，0)．所以 A1D ＝ (－1，0，－1)， A1B ＝(0，1，－1)， D1B1 ＝(1，1， 0)， D1C ＝(0，1，－1)．
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4．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中 点，求证：平面AED⊥平面A1FD1. 证明：如图，建立空间直角坐标系Dxyz.
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[例3] 在正方体ABCDA1B1C1D1 中，求证：A1C⊥平面BDC1.
[思路点拨] 根据正方体中的垂直关系，找到A1C 在平面ABCD和平面CDD1C1内的射影，由三垂线定理 证明BD⊥A1C，C1D⊥A1C.
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3．两平面平行、垂直的判定 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则 ①α∥β或α与β重合 ⇔ n1∥；n2 ②α⊥β⇔ n1⊥n⇔2 n1.n2=．0 4．正射影与三垂线定理 (1)正射影： 已知平面α和一点A，过点A作α的垂线l与α相交于点 A′，则A′就是点A在平面α内的 正射影，简称 射影．
证明：连接DO1、BO1、AO2、CO2. ∵O1是△BCD的垂心，∴DO1⊥BC. 又AO1⊥平面BCD，∴BC⊥AD(三垂 线定理)． ∵BC是平面ACD的斜线，BO2⊥平面ACD，CO2是BC 在平面ACD内的射影， ∴CO2⊥AD(三垂线定理的逆定理)．同理，AO2⊥CD. 故O2是△ACD的垂心．
(1)l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0； (2)l⊥α⇔a∥u⇔(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)； (3)α∥β⇔u∥v⇔(a2，b2，c2)＝m(a3，b3，c3)； (4)α⊥β⇔u⊥v⇔u·υ＝0⇔a2a3＋b2b3＋c2c3＝0.
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3．在正方体ABCDA1B1C1D1中，求证：平面A1BD∥平面 CD1B1.
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5．正三棱锥PABC中，求证：BC⊥PA.
证明：在正三棱锥PABC中，P在底 面ABC内的射影O为正三角形ABC的 中心，连接AO，则AO是PA在底面A BC内的射影，且BC⊥AO，所以BC ⊥PA.
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6．在空间四边形ABCD中，A在平面BCD内的射影O1是 △BCD的垂心，试证明B在平面ACD内的射影O2必是 △ACD的垂心．
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1．平面的法向量 已知平面α，如果向量n的基线与平面α 垂直 ，则向 量n叫做平面α的法向量或说向量n与平面α正交． 2．平面的向量表示式 设A是空间任一点，n为空间内任一非零向量，适合条 件 ·n＝0的点M构成的图形是过点A并且与向量n垂直 的 平面 ， AM ·n＝0 通常称为一个平面的向量表示式．
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[例2] 如图，在正方体ABCD－ A1B1C1D1中，E，F，M分别为棱BB1， CD，AA1的中点．
(1)证明：C1M∥平面ADE； (2)平面ADE⊥平面A1D1F.
[思路点拨] 建立空间坐标系．求出平面ADE与平 面A1D1F的法向量求解．
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[一点通] 设直线l的方向向量a＝(a1，b1，c1)，平面α的 法向量u＝(a2，b2，c2)，平面β的法向量v＝(a3，b3，c3)，且 l⊄α，α与β不重合，则
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[精解详析] 在正方体中，AA1⊥ 平面ABCD，所以AC是A1C在平面ABCD 内的射影，又AC⊥BD，所以BD⊥A1C. 同理D1C是A1C在平面CDD1C1内的射影． 所以C1D⊥A1C.又C1D∩BD＝D，所以A1C⊥平面BDC1.
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[一点通] (1)三垂线定理及其逆定理主要用于证明空间两条直线 的垂直问题．对于同一平面内的两直线垂直问题也可用“平 移法”，将其转化为空间两直线的垂直问题，用三垂线定理 证明． (2)当图形比较复杂时，要认真观察图形，证题的思维 过程是“一定二找三证”，即“一定”是定平面和平面内的直 线，“二找”是找平面的垂线、斜线和斜线在平面内的射影， “三证”是证直线垂直于射影或斜线．
第
三
章
3.2
理解教材新知
空 3.2.2
间 平面
向
的法
把握热
量
向量
点考向
与 与平
考点一 考点二 考点三
立 面的
体 向量
应用创新演练
几 表示
何
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3．2.2 平面的法向量与平面的向量表示
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若l1，l2是两条不同的直线，α、β是两个不同的平 面，且l1⊥α，l2⊥β.
问题1：若l1∥l2，则α与β有什么位置关系？ 提示：α∥β. 问题2：若l1⊥l2，则α、β什么位置关系？ 提示：α⊥β.
则该平面的一个法向量为
()
A．(1，－1，1)
B．(2，－1，1)
C．(－2，1，1)
D．(－1，1，－1)
解析：显然a与b不平行，设平面的法向量为n＝(x，y，z)，
则有ab··nn＝ ＝00
2x＋3y＋z＝0， 5x＋6y＋4z＝0.
令z＝1，得x＝－2，y＝1.
∴n＝(－2，1，1)． 答案：C
2．一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可以 根据需要进行选取，一个平面的所有法向量共线．
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[例1] 已知点A(1，0，0)、B(0，2，0)、C(0，0，3)， 求平面ABC的一个法向量．
[思路点拨]
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[一点通] 利用待定系数法求法向量的解题步骤： 返回
1．已知平面内的两个向量a＝(2，3，1)，b＝(5，6，4)，