2020年浙江省杭州高级中学高二(下)期中数学试卷

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浙江省杭州市高二下学期阶段性测试(期中)数学试题(解析版)

一、单选题1．已知函数，为的导函数，则的值为（） ()ln f x x x =()f x '()f x (1)f 'A ．B ．1C ．D ．013ln 3【答案】B【分析】求出函数的导函数，代入计算即可.【详解】因为，所以，所以. ()ln f x x x =()ln 1f x x '=+()1ln111f '=+=故选：B2．计算的值是（） 3477A C +A ．70 B ．245 C ．1050 D ．1680【答案】B【分析】由排列数，组合数定义可得答案.【详解】.()()347777765476524573744A C 24！！！！！⨯⨯⨯=+=⨯⨯+=-+-故选：B3．函数的大致图象为（）()22ln 41x x x f x =+A ． B ．C ．D ．【答案】A【分析】求出函数的定义域，分析函数的奇偶性以及该函数在区间上的函数值符()f x ()f x ()0,1号，结合排除法可得出合适的选项.【详解】函数的定义域为，()22ln 41x x x f x =+()(),00,-∞⋃+∞且，，所以，函数为偶函数， ()2ln 22x x x f x -=+()()()22ln ln 2222x x x x x x f x f x ----===++()f x 排除BC 选项；当时，，则，排除D 选项.01x <<ln 0x <()2ln 2ln 02222x x x x x xf x --==<++故选：A.【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；（2）从函数的值域，判断图象的上下位置．（3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（5）函数的特征点，排除不合要求的图象.4．设圆：，若直线在轴上的截距为，则与的交点个数为（） C 22230x x y -+-=l y 1l C A ． B ． C ． D ．以上都有可能012【答案】C【分析】利用直线过定点，判断定点在圆内即可．【详解】解：直线在轴上的截距为， l y 1直线过定点， ∴l ()01，，220201320-⨯+-=-< 点在圆内， ∴()01，直线与的交点个数为个．∴l C 2故选：．C 5．由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio 设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线（，22221y x a b-=0a >）下支的一部分，且此双曲线的一条渐近线为，下焦点到下顶点的距离为1，则0b>30x +=该双曲线的方程为（）A ．B ．C ．D ．22197y x -=22179y x -=2213y x -=2216349y x -=【答案】A【分析】， 3b =又下焦点到下顶点的距离为1，得到关系，结合解出即可.a c 、222c ab =+ab 、【详解】因为双曲线的渐近线方程为，22221yx a b-=0ax by ±+=又双曲线的一条渐近线为，所以30x =a b -= ，又下焦点到下顶点的距离为1， 3b =所以，结合解得，， 1c a -=222c a b =+29a =27b =故选：A ．6．第十九届亚运会在杭州举行，某项目比赛期间需要安排3名志愿者完成5项工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有多少种（） A ．25 B ．100 C ．150 D ．300【答案】C【分析】根据题意先考虑工作的分组情况，再利用部分平均分组的方法计算即可. 【详解】由题意可得该5项工作可以分为1、1、3三组或1、2、2三组两种情况，对于1、1、3三组，有种分法；对于1、2、2三组，有分法；故将五31152122C C C 10A ⋅⋅=22153122C C C 15A ⋅⋅=项工作分成三组有10+15=25种分法，安排到3人有种安排方式.3325A 150⨯=故选：C7．已知是数列的前n 项和，，，当数列n S {}n a 3273S =()()*1194N n n na n a n +--=∈的前n 项和取得最大值时，n 的值为（）{}()*12N n n n a a a n ++∈A ．30 B ．31 C ．32 D ．33【答案】C【分析】由递推式得到，结合等差中项知为等差数列，进而写出其通项公式并122n n n a a a ++=+{}n a 判断单调性，最后判断上各项的符号，即可确定前n 项和取得最大值时n 的值.{}()*12N n n n a a a n ++∈【详解】①，则②， ()1194n n na n a +=-+()12194n n n a na +++=+②－①得：，即， ()()12111n n n n n a na na n a ++++-=--122n n n a a a ++=+则数列为等差数列，且，{}n a 194a =由得：，则公差，123273a a a ++=291a =2d a =13a -=-所以，数列单调递减，而，，，......， 973n a n =-{}n a 321a =332a =-345a =-设，当时，，且，， n n b a =12n n a a ++30n ≤0n b >318b =-3210b =当时，恒成立，显然，， 33n ≥0n b <31322b b +=3132330b b b ++=即数列的前32项和最大.{}()*12N n n n a a a n ++∈故选：C8．设对于曲线上任一点处的切线，总存在曲线上一点处的切线()e xf x x =--1l ()32cosg x ax x =+，使得，则实数的取值范围是（）2l 12l l ⊥a A ．B ．C ．D ．21,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦21,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1,23⎛⎫- ⎪⎝⎭12,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D【分析】由题设两曲线任意一点切线斜率分别为、，根据垂直关系()e 1m f m '=--()32sin g n a n '=-及指数函数、正弦函数的性质确定、的范围，进而判断包含关系，即可求参数范围. ()f m '()g n '【详解】由，则的切线斜率为， ()e 1x f x '=--x m =()e 11m f m '=--<-由，则的切线斜率为， ()32sin g x a x '=-x n =()32sin g n a n '=-而两曲线上总存在切线、有，即， 1l 2l 12l l ⊥1(0,1)e 132sin m a n =∈-+而，即，故，sin [1,1]n ∈-32sin [32,32]a n a a -∈-+[32,3](0)2,1a a -+⊆所以，解得，即.320321a a -≤⎧⎨+≥⎩1233a -≤≤12,33a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦故选：D二、多选题9．箱子中有6个大小、材质都相同的小球，其中4个红球，2个白球．每次从箱子中随机的摸出一个球，摸出的球不放回．设事件A 表示“第1次摸球，摸到红球”，事件B 表示“第2次摸球，摸到红球”则下列结论正确的是（） A ． B ． 2()3P A =3()5P B =C ．D ． ()25P B A =()45P B A =【答案】AD【分析】利用条件概率及全概率公式进行求解.【详解】，A 正确；14162()3C P A C ==， ()()()24465256P AB P B A P A ⨯===由全概率公式可知：3242()()()564536P B P AB P AB =+=⨯+⨯=所以BC 错误，D 正确. 故选：AD10．下列说法正确的是（）A ．若数列是等差数列，且，则{}n a ()*,,,m n s t a a a a m n s t +=+∈N m n s t +=+B ．若是等差数列的前项和，则成等差数列 n S {}n a n 232,,n n n n n S S S S S --C ．若是等比数列的前项和，则成等比数列n S {}n a n 232,,n n n n n S S S S S --D ．若是等比数列的前项和，且（其中是非零常数，），则n S {}n a n nn S Aq B =+,A B *n ∈N A B+为零【答案】BD【分析】根据题意，由等差数列的通项与求和公式，以及等比数列的通项与求和公式，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】对于A ，取数列为常数列，对任意的，都有，故错误； {}n a *,,,m n s t ∈N m n s t a a a a +=+对于B ，设等差数列的首项为，公差为，则， {}n a 1a d 12n n S a a a =+++2212212n n n n n n n S S a a a a nd a nd a nd S n d ++-=+++=++++++=+ 同理，2232212231222n n n n n n n n n n S S a a a a a a n d S S n d ++++-=+++=++++=-+ 所以，所以成等差数列，故正确；()()2322n n n n n S S S S S -=+-232,,n n n n n S S S S S --对于C ，设，则，，所以此数列不是等比数列，故错误；()1nn a =-20S =42640,0S S S S -=-=对于D ，因为，()()()11111n n n n n n n n a S S Aq B Aq B Aq Aq A q q ----=-=+-+=-=-⨯所以此数列为首项是，公比为的等比数列，则，()1A q -q ()()111n n A q q S q--=-所以，所以，故正确.nn S Aq A =-0A B +=故选:BD11．如图，已知ABC 是边长为4的等边三角形，DE ，分别是ABAC ，的中点，将ADE 沿着DE 翻折，使点A 到点P 处，得到四棱锥P −BCED ，则（）A ．翻折过程中，直线BC 始终与平面PDE 平行B ．存在某个点P 位置，满足平面PDE ⊥平面PBC C ．翻折过程中，该四棱锥的体积有最大值为3D ．当 PB =52π3【答案】ACD【分析】A 选项，通过说明可判断选项正误；B 选项，如图建立以DE 中点F 为原点的空BC DE ∥间直角坐标系，利用平面PDE 法向量与平面PBC 法向量互相垂直可判断选项正误；C 选项，易知当平面PDE ⊥平面DBCE 时，四棱锥体积最大，计算体积即可判断选项正误；D 选项，结合B 选项分析与P 坐标，后算出四边形DBCE 外接圆圆心坐标，球心坐标，即可得相应球表PB =面积.【详解】A 选项，注意到在翻折过程中，始终有又平面PDE ，平面PDE ，,BC DE A BC ⊄DE ⊂则BC 始终与平面PDE 平行，故A 正确；B 选项，取DE 中点为F ，BC 中点为G ，连接AF ，PF ，FG .如图建立以F 为原点，AF 所在直线为y 轴，FD 所在直线为x 轴，过P 点且与平面DBCE 垂直直线为z 轴建立空间直角坐标系. 由题可得P 点在yOz 平面上，设，则FA FP==PFy θ∠=，由题.()P θθ()0,πθ∈则. ()()()()100220100,,,,,,,,D B CE --,()()11,cos ,si n ，,cos ,si n PD θθPE θθ==-.()()22,cos ,si n ，,cos ,si n PB θθPC θθ=-=--设平面PDE 法向量为，()1111,,nx y z =则，取. 1111111100n PD x y z n PE x y z θθθθ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩()101,t an ,n θ=- 设平面PBC 法向量为，()2222,,n x yz =则，))222222222020n PB x y z n PC x y z θθθθ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩取.因平面PDE ⊥平面PBC ， 2011si n ,,cos θn θ⎛⎫= ⎪-⎝⎭则不存在，则不存在相应的P 点，使PDE ⊥平面PBC ，故12101si n t an cos cos θθn n θθ⋅=+=⇒-B 错误；C 选项，易知当平面PDE ⊥平面DBCE 时，四棱锥体积最大，此时为底面对应高， PF 则，其中13P DBCE V S PF -=⋅⋅()()112422S DE BC FG=+⋅=⨯+⨯=PF 则，故C 正确.3P DBCE V -=D 选项，因，，则可得.PB =()2,cos ,si n PB θθ=-π2θ=.设四边形DBCE 外接圆圆心坐标为，由题知其在y 轴上，(P ()1333,,O x y z则.因，则，()1300,,O y 11O D O B=(2233314y y y +=+-⇒=.则外接球球心O 在过且与平面DBCE 垂直的直线上，设为.()100,O 1O ()0,O t 又，则. PO PB =)2224tt t +-=+⇒=0,O ⎛ ⎝则外接球半径为：.故外接球表面积为.PO ==3952493ππ⨯=故D 正确. 故选：ACD12．已知数列的前n 项和为，，且（，2，…），则（） {}n a n S 11a =1143n n n n a a a a ++⋅=-1n =A ． B ． C ． D ． 13n n a a +<51241a =1ln 1n n a ⎛⎫<+⎪⎝⎭17114n S ≤<【答案】ABD【分析】对于A 选项，只需判断；对于B 选项，通过通项公式可求得；对于C 选项，将0n a >5a 条件转化为，举出反例即可判断；对于D 选项，将数列放缩成等比数列求和，即可判132e n n +-<断.【详解】由条件，两边同时除以，得， 1143n n n n a a a a ++⋅=-1n n a a +⋅1134n na a +=-∴，故数列是以为首项，为公比的等比数列， 111232n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭1123a +=3∴，∴， 11112323n n n a a -⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭132n n a =-对于A 选项，∵，∴， 1032n na =>-11430n n n n a a a a ++⋅=->∴，故A 选项正确； 13n n a a +<对于B ，，所以B 选项正确； 551132241a ==-对于C 选项，，等价于， 132n na =-1ln ln(32)1nn n a ⎛⎫=-<+ ⎪⎝⎭132e n n +-<因为， 55532341172.10368 2.8e -=>=>所以当时，，故C 选项错误； 5n =132e n n +->对于D 选项，，2211112223273313133n n n n n n a n -==≤=≥-⋅⎛⎫⎫-- ⎪⎝⎭⎛⎪⎝⎭（）∴1012111111131311111737373714313n n n n S ----⎛⎫≤++++=+⋅=+- ⎪⋅⋅⋅⎝⎭- ， 1173114143n -=-⋅1714<又，∴，∴，故D 选项正确. 1032n n a =>-11n S S ≥=17114nS ≤<故选：ABD.【点睛】关键点点睛：由，得，是解决本题得关键. 1143n n n n a a a a ++⋅=-111232n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭三、填空题13．二项式的展开式的常数项等于_____________．6x ⎛⎝【答案】15【分析】在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于，求出的值，即可求得常数项.x 0r 【详解】二项式的展开式的通项公式为：，6x ⎛ ⎝()36216C 1r r r r T x -+=-令，求得，3602r -=4r =所以展开式的常数项为.()446C 115-=故答案为：1514．已知随机变量服从正态分布，若，则X ()26,N σ()0σ>()30.8P X >=()39P X <<=______．【答案】0.6【分析】根据概率之和为1，求得，再利用正态曲线的对称性得，即()3P X ≤()()93P X P X ≥=≤可求得答案.【详解】解：因为，所以， ()30.8P X >=()310.80.2P X ≤=-=因为随机变量服从正态分布，X ()26,N σ()0σ>所以， ()()930.2P X P X ≥=≤=所以. ()3910.20.20.6P X <<=--=故答案为：0.6.15．如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供种不同的颜色给其中个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则65，区域涂同色的概率为_____________．A C【答案】413【分析】利用分步乘法计数原理求出所有的涂色种数，再求出，区域涂同色情况，最后利用古A C 典概型的概率公式计算可得. 【详解】依题意分4步进行分析： ①，对于区域，有6种颜色可选；A ②，对于区域，与区域相邻，有5种颜色可选；B A ③，对于区域，与、区域相邻，有4种颜色可选；D A B ④，对于区域、，若与颜色相同，区域有4种颜色可选， CE A C E 若与颜色不相同，区域有3种颜色可选，区域有3种颜色可选， A C C E 则区域、有种选择， C E 43313+⨯=综上可得不同的涂色方案有种. 654131560⨯⨯⨯=其中与颜色相同的有种， A C 6544480⨯⨯⨯=所以，区域涂同色的概率. A C 4804156013P ==故答案为：41316．已知不等式对任意恒成立，则实数的最小值为___________.11ln a x a x e x x-+≥()0,1x ∈a 【答案】e -【分析】先将不等式变形为，11ln a xe x xx a -≥-11ln ln x x a a x e e x -≥-再构造函数，利用函数单调性可得，，再分离参数转化为()()ln 0f x x x x =->1a x e x ≥，然后求出函数的最小值，即解出． ()101ln a x x x≥<<()()()ln 0,1h x x x x =∈【详解】由题意，不等式可变形为， 11ln a xe x xx a -≥-得对任意恒成立.11ln ln x x a a x e e x -≥-()0,1x ∈设，()ln f x x x =-则对任意恒成立，，1()ax f e f x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭()0,1x ∈()111x f x x x -'=-=当时，，所以函数在上单调递减， 01x <<()0f x '<()f x ()0,1当时，，所以函数在上单调递增. 1x >()0f x ¢>()f x ()1,+∞当时，，因为求实数的最小值，()0,1x ∈1x e e >a 所以考虑的情况，此时， a<01a x >因为函数在上单调递增，()f x ()1,+∞所以要使，只需，()1ax f e f x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭1a x e x ≥两边取对数，得上， 1ln a x x≥由于，所以. ()0,1x ∈1ln a x x≥令，则，()()()ln 0,1h x x x x =∈()ln 1h x x '=+令，得，()0h x '=1=x e易得在上单调递减，在上单调递增，()h x 10,e ⎛⎫⎪⎝⎭1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，所以，所以， ()min 11h x h e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭()max1e h x ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭a e ≥-所以实数的最小值为. a e -故答案为：e -【点睛】关键点睛：求解不等式问题的关键：（1）适当变形，灵活转化，结合题设条件，有时需要对不等式进行“除法”变形，从而分离参数，有时需要进行移项变形，可使不等式两边具有相同的结构特点；（2）构造函数，利用导数求解，若分离参数，则直接构造函数，并借助导数加以求解，若转化为不等式两边具有相同的结构特点，则可根据该结构特点构造函数，并借助导数加以求解.四、解答题17．已知平面向量，，函数．()sin a x x = ()2sin ,sin b x x = ()1f x a b =⋅+(1)求的单调增区间．()f x (2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对的边，若，，求△ABC 周长的取()4f A =2a =值范围．【答案】(1)πππ,π,Z 63k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦(2) (]4,6【分析】(1)利用向量数量积的坐标运算求出，再通过二倍角与辅助角公式化简，带入三角函数的单调递增区间即可求得；(2)代入已知条件，余弦定理可以获得边之间的关系，再结合基本不等式即可求得周长的取值范围.【详解】（1）()212sin cos 11cos 221f x a b x x x x x =⋅+=++=-+= π2sin(226x -+，所以令，解得， πππ2π22π,Z 262k x k k -+£-£+Îππππ,Z 63k x k k -+££+Î所以函数的单调递增区间为;πππ,π,Z 63k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）因为，即，解得，即，()4f A =π2sin(2)246A -+=ππ22π,Z 62A k k -=+∈ππ,Z 3A k k =+∈因为A 为三角形的内角，所以，π3A =又因为，所以，即即，解得2a =2241cos 22b c A bc +-==224,b c bc +-=22()()4334b c b c bc ++-=≤，4b c +≤又因为a ，b ，c 是的边，所以，故△ABC 周长. ABC A 2b c +>46ABC C a b c <=++≤A 所以周长的取值范围是.ABC A (]4,618．如图所示，在三棱柱中，底面是正三角形，侧面是菱形，点在平11ABC A B C -ABC A 11AAC C 1A 面的射影为线段的中点，过点，，的平面与棱交于点．ABC AC D 1B B D α11A C E(1)证明：四边形是矩形；1BB ED (2)求平面和平面夹角的余弦值． 1ABB 1BB E 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）先根据线面平行的判定定理，性质定理证出四边形是平行四边形，再由条件1BB ED 可证得平面，于是，从而四边形是矩形；BD ⊥11ACC A BD DE ⊥1BB ED （2）由（1）知，，两两垂直，以，，所在直线分别为轴､轴､轴，DB AC 1A D DB AC 1A D x y z 建立如图所示的空间直角坐标系，再分别求出平面，平面的一个法向量，然D xyz -1DBB E 11ABB A 后根据二面角的向量公式即可求出．【详解】（1）连接，，1B E DE 在三棱柱中，侧面为平行四边形，所以， 111ABC A B C -11A ABB 11//B B A A 因为平面，平面，所以平面， 1B B ⊄11A ACC 1A A ⊂11A ACC 1//B B 11A ACC 因为平面，且平面平面，所以， 1B B ⊂1BB D 1BB D ⋂11A ACC DE =1//B B DE 因此，1//A A DE 因为点是的中点，所以为中点，所以， D AC E 11A C 1B B DE =所以四边形为平行四边形，1BB ED 在正中，因为是的中点，所以，ABC A D AC BD AC ⊥由题可知平面，平面，所以，， 1A D ⊥ABC ,BD AC ⊂ABC 1A D BD ⊥1A D AC ⊥因为，平面，所以平面，1AC A D D ⋂=1,AC A D ⊂11ACC A BD ⊥11ACC A又平面，所以，故四边形为矩形. DE ⊂11ACC A BD DE ⊥1BB ED （2）由（1）知，，两两垂直，DB AC 1A D 以，，所在直线分别为轴､轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系. DB AC 1A D x y z D xyz -设，则1AD =BD =在中，，，所以. 1AA D △12AA AD =190ADA ∠=︒1A D =于是，，，，()0,0,0D ()0,1,0A -(1A )B，，.)AB =)DB =(11AA BB ==设平面的法向量为，1DBB E (),,m a b c =由，得，取.100m BB m DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩b ⎧=⎪=()1m =- 设平面的法向量为， 11ABB A (),,n x y z =由，得，取. 100n AA n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩00y y ⎧=⎪+=()1,n = 设平面和平面夹角为，1ABB 1BB E θ则cos cos ,m θ==故平面和平面. 1ABB 1BB E19．甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球2次均未命中的概率为.（Ⅰ）求乙投球的命中率；（Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为，求的分布列和数学期望. 【答案】（Ⅰ）34（Ⅱ）的分布列为ξξ0 1 2 3P 1327321532932的数学期望ξ2E ξ=【详解】试题分析：对于问题（I ）由题目条件并结合间接法，即可求出乙投球的命中率；对于p 问题（II ），首先列出两人共命中的次数的所有可能的取值情况，再根据题目条件分别求出取ξξ各个值时所对应的概率，就可得到的分布列．ξ试题解析：（I ）设“甲投球一次命中”为事件，“乙投球一次命中”为事件.A B 由题意得解得或（舍去），所以乙投球的命中率为. 221(1())(1)16P B p -=-=34p =5434（II ）由题设知（I ）知，，，， 1()2P A =1()2P A =3()4P B =1()4P B =可能取值为ξ0,1,2,3故，2111(0)()((2432P P A P B B ξ==⋅=⨯=， 12(1)()()()(()P P A P B B C P B P B P A ξ==⋅+⋅⋅2113117(22444232=⨯+⨯⨯⨯=2139(3)()()()2432P P A P B B ξ==⋅=⨯= 15(2)1(0)(1)(3)32P P P P ξξξξ==-=-=-==的分布列为 ξξ0 1 23P 132 7321532932171590123232323232E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=【解析】1、概率；2、离散型随机变量及其分布列.20．已知函数，对任意，都有．()f x x ∈R ()()12023f x f x +-=(1)求的值．12f ⎛⎫⎪⎝⎭(2)数列满足：，求数列前项和． {}n a ()()12101n n a f f f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 122023n n a +⋅⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n S (3)若，证明： 22212111n n T a a a =+++ 242023n T <【答案】(1)20232(2)12n n S n +=⨯(3)证明见解析【分析】（1）依题意令，即可得解； 12x =（2）令可得，再利用倒序相加法得到，从而得到1x n=112023n f f n n -⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()202312n n a +=，最后利用错位相减法计算可得； ()12122023n n n a n +⋅=+⨯（3）利用放缩法得到，利用裂项相消法计算可得.()2222111202312023414na n n n ⎛⎫=<⨯- ⎪+⎝⎭+【详解】（1）因为对任意，都有， x ∈R ()()12023f x f x +-=令，所以，所以.12x =111202322f f ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1202322f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）因为， ()()12023f x f x +-=令，则， 1x n=111112023n f f f f n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭①， ()()12101n n a f f f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又②， ()()122110n n n a f f f f f f n n n n--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋯+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相加得：，11222[(0)(1)][(([()()][(1)(0)]2023(1)n n n a f f f f f f f f n n n n n--=++++++⋯++=+所以．()202312n n a +=， ∴()()11202312212202322023n n n n n a n +++⋅=⨯=+⨯所以③，22232(1)2n n S n =⨯+⨯+++⨯ ④，23122232(1)2n n S n +=⨯+⨯+++⨯ ③④可得，-212222(1)2n n n S n +-=⨯+++-+⨯，()()11212212212n n n n n ++-=+-+⨯=-⨯-所以；12n n S n +=⨯（3）由（2）可知，()202312n n a +=所以， ()()()222222211111202320144423202312023114na n n n n n n ⎛⎫==⨯<⨯=⨯- ⎪++⎝⎭++所以 22212111n nT a a a =+++()()()22222211120232023202311214144n =⨯+⨯++⨯+++ 222211111111202312202323202334244440231n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<⨯-+⨯-+⨯-++⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ， 221120231420243n ⎛⎫=⨯-< ⎪+⎝⎭所以. 242023n T <21．已知椭圆，，为左、右焦点，直线过交椭圆于，两点．22184x y +=1F 2F l 2F A B (1)若直线垂直于轴，求；l x ||AB (2)当时，在轴上方时，求、的坐标；190F AB ∠=︒A x A B (3)若直线交轴于，直线交轴于，是否存在直线，使得，若存在，求1AF y M 1BF y N l 11F AB F MN S S =A A出直线的方程；若不存在，请说明理由． l 【答案】(1)(2)，()0,2A 82,33B ⎛⎫-⎪⎝⎭(3)存在，或20x -=20x -=【分析】（1）由题意方程求得右焦点坐标，进一步求得，的坐标，则可求；A B ||AB （2）设，由，利用数量积为0求得与的方程，再由在椭圆11(,)A x y 11290(90)F AB F AF ∠=︒∠=︒1x 1y A 上，得与的另一方程，联立即可求得的坐标．得到直线的方程，与椭圆方程联立即可求1x 1y A AB 得的坐标；B （3）设，，，，直线，联立直线方程与椭圆方程，结11(,)A x y 22(,)B x y 3(0,)M y 4(0,)N y :2l x my =+合，得，再由直线的方程：，得纵坐标11F AB F MN S S =A A 12342||||y y y y -=-1AF 11(2)2y y x x =++M，由直线的方程：，得的纵坐标，结合根与系数的13122y y x =+1BF 22(2)2y y x x =++N 24222y y x =+关系，得，解得值，从而得到直线方程． 22244416422m mm m m --+⋅+=++m 【详解】（1）解：依题意，，当轴时，将代入，解得2(2,0)F AB x ⊥2x =22184x y +=y =则，，所以(A (2,B ||AB =（2）解：设，，，， 11(,)A x y 11290(90)F AB F AF ∠=︒∠=︒ 1(2,0)F -2(2,0)F 所以，111(2,)AF x y =---211(2,)AF x y =-+-，∴22121140AF AF x y ⋅=-+=又在椭圆上，满足，即，A 2211184x y +=22114(18x y =-，解得，即．∴221144(108x x -+-=10x =(0,2)A 所以直线，:2AB y x =-+联立，解得或，所以； 222184y x x y=-+⎧⎪⎨+=⎪⎩8323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩02x y =⎧⎨=⎩82,33B ⎛⎫- ⎪⎝⎭（3）设，，，， 11(,)A x y 22(,)B x y 3(0,)M y 4(0,)N y 直线，:2l x my =+则，11212121||||2||2F AB S F F y y y y =⋅-=-A ． 1134341||||||2F MN S F O y y y y =⋅-=-A 联立，得．222184x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩22(2)440m y my ++-=则，．12242m y y m +=-+12242y y m -=+由直线的方程：，得纵坐标； 1AF 11(2)2y y x x =++M 13122y y x =+由直线的方程：，得的纵坐标． 1BF 22(2)2y y x x =++N 24222y y x =+若，即，11F AB F MN S S =A A 12342||||y y y y -=-， 121212341212121222228()||||||||2||2244(4)(4)y y y y y y y y y y x x my my my my --=-=-==-++++++，，12|(4)(4)|4my my ∴++=21212|4()16|4m y y m y y +++=代入根与系数的关系，得，解得 22244416422m mm m m --+⋅+=++m =存在直线或满足题意．∴20x -=20x -=【点睛】方法点睛：解析几何中与弦长相关的三角形面积常有两种求法：（1），其中为弦长，为另一顶点到直线的距离； 12S AB d =⋅AB d AB （2）面积等于水平宽与铅垂高积的一半.22．已知函数，.()xe f x x =()tan g x x =(1)讨论的单调性；()f x (2)设函数，试判断在内的零点个数.()()()F x f x g x =-()F x ,00,22ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】(1)在区间，上单调递减，在区间上单调递增 (,0)-∞(0,1)(1,)+∞(2)零点个数为2【分析】（1）利用导数求解单调区间即可.（2）首先将题意转化为根的个数，设，再分类讨论与sin cos 0x e x x x -=()sin cos x h x e x x x =-()h x 轴的交点个数即可.x 【详解】（1）函数的定义域为，， ()x e f x x ={}0x x ≠22(1)()x x x e x e e x f x x x'--==令，得.()0 f x '=1x =当时，；当时，； (,0)x ∈-∞()0f x '<(0,1)x ∈()0f x '<当时，，(1,)x ∈+∞()0f x '>所以在区间，上单调递减，在区间上单调递增.()f x (,0)-∞(0,1)(1,)+∞（2）令，得.()()()tan 0xF x f x g x xe x =-=-=sin cos 0x e x x x -=设，所以.()sin cos x h x e x x x =-()()()1sin cos x xh x x x x e e '=++-①当时，可知，则，所以，,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭0x e x >>x e x >e 0x x -<又，，所以，sin 0x <cos 0x >()0h x '<从而在上单调递减，()sin cos x h x e x x x =-,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭又，，(0)1h =-022h ππ⎛⎫-=> ⎪⎝⎭由零点存在定理及的单调性，得在上有一个零点.()h x ()h x ,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭②当时，，0,4x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦cos sin 0x x ≥>由（1）知函数在上单调递减，在上单调递增，()xe f x x=(0,1)(1,)+∞所以时，函数，则.0,4x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦()(1)1xf x f x e e =>=>0x e x >>所以，则恒成立.cos sin x e x x x >()sin cos 0x h e x x x x =-<所以在上无零点.()h x 0,4π⎛⎤⎥⎝⎦③当时，，，,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin cos 0x x >>()(sin cos )(cos sin )0x h x x x e x x x '=-++>则在上单调递增.()h x ,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭又，， 022h ππ⎛⎫=> ⎪⎝⎭440444e h e πππππ⎫⎛⎫==-<⎪ ⎪⎝⎭⎭所以在上存在一个零点.()h x ,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭综上，在内零点个数为2，()h x ,00,22ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即在内的零点个数为2.()F x ,00,22ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

2020年浙江省杭州高二(下)期中数学试卷解析版

期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.复数的共轭复数是（）A. 1+2iB. 1-2iC. 2+iD. 2-i2.一个袋子中有4个红球，2个白球，若从中任取2个球，则这2个球中有白球的概率是（）A. B. C. D.3.二项式（-3x）6的展开式中的常数项为（）A. -540B. 135C. 270D. 5404.若（1+2x）2（1-x）5=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，则a2+a4+a6=（）A. 32B. 16C. 15D. 05.用数学归纳法证明不等式++…+＞（n＞1，n∈N*）的过程中，从n=k到n=k+1时左边需增加的代数式是（）A. B. -C. +D.6.已知，且，则，的值满足（）A. ，都大于1B. ，至少有一个小于1C. ，都小于1D. 以上说法都不正确7.已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡．若顾客甲没有银联卡，顾客乙只带了现金，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中的三种结账方式，那么他们结账方式的可能情况有（）种A. 19B. 26C. 7D. 128.函数f（x）=2x2-ln|x|的部分图象大致为（）A. B.C. D.9.已知函数f（x）=m ln（x+1）-3x-3，若不等式f（x）＞mx-3e x在x∈（0，+∞）上恒成立，则实数m的取值范围是（）A. 0≤m≤3B. m≥3C. m≤3D. m≤010.已知函数，关于x的方程有m个不同的实数解，则m的所有可能的值构成的集合为（）A. {3}B. {3，5}C. {3，4}D. {3，4，5}二、填空题（本大题共7小题，共37.0分）11.现有5件相同的产品，其中3件合格，2件不合格，从中随机抽检2件，则一件合格，另一件不合格的概率为______．12.已知复数z=lg（m2+2m-14）+（m2-m-6）i，若复数z是实数，则实数m=______；若复数z对应的点位于复平面的第二象限，则实数m的取值范围为______．13.已知随机变量的分布列为：ξ-102P x y若，则x+y=______；D（ξ）=______．14.在（1-ax+x2）5的展开式中，x3的系数为30，则实数a的值为______．15.若存在x0∈R，满足f（x0）=g（x0）且f'（x0）=g'（x0），则称x0为函数f（x）与g（x）的一个“S点”，若函数f（x）=ax2-1与g（x）=ln x存在“S点”，则实数a=______．16.在一个如图所示的6个区域栽种观赏植物，要求同一块区域中种同一种植物，相邻的两块区域中种不同的植物．现有4种不同的植物可供选择，则不同的栽种方案的总数______．（结果用数字表示）17.设函数f（x）=e x（2x-1）-ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）＜0，则a的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题，共73.0分）18.如图是一旅游景区供游客行走的路线图，假设从进口A开始到出口B，每遇到一个岔路口，每位游客选择其中一条道路行进是等可能的．现有甲、乙、丙、丁共4名游客结伴到旅游景区游玩，他们从进口A的岔路口就开始选择道路自行游玩，并按箭头所指路线行走，最后到出口B中，设点C是其中的一个交叉路口点．（1）求甲经过点C的概率；（2）设这4名游客中恰有X名游客都是经过点C，求随机变量X的概率分别和数学期望．19.在（x2）n的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为．（1）求n的值；（2）求展开式中所有的有理项；（3）求展开式中系数最大的项．20.已知函数，记数列{a n}的前n项和为S n，且有a1=f（1）．当n≥2时，．（1）计算a1，a2，a3，a4；（2）请归纳猜测数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．21.已知函数f（x）=axe x-1，g（x）=ln x+kx．（1）求g（x）的单调区间；（2）若k=1，f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．22.已知函数，g（x）=ax2+bx．（1）当a=2，b=-3时，求函数f（x）在x=1处的切线方程，并求函数f（x）的最大值；（2）若函数y=f（x）的两个零点分别为x1，x2，且x1≠x2，求证：．答案和解析1.【答案】A【解析】解：由=，得复数的共轭复数是：1+2i．故选：A．直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2.【答案】B【解析】解：一个袋子中有4个红球，2个白球，从中任取2个球，基本事件总数n==15，这2个球中有白球包含的基本事件个数m=+=9，∴这2个球中有白球的概率是p==．故选：B．从中任取2个球，基本事件总数n==15，这2个球中有白球包含的基本事件个数m=+=9，由此能求出这2个球中有白球的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】B【解析】解：二项式（-3x）6的展开式的通项公式为T r+1=•（-3）r•，令=0，求得r=2，可得展开式中的常数项为•9=135，故选：B．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．4.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．令x=0，得a0=1；再分别令x=1，x=-1，可得a2+a4+a6的值．【解答】解：对于（1+2x）2（1-x）5=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，令x=0，得a0=1，令x=1，可得a0+a1+a2+…+a7=0，再令x=-1，可得a0-a1+a2-a3…+a6-a7=32，∴2（a0+a2+a4+a6）=32，∴a2+a4+a6=15，故选：C．5.【答案】B【解析】解：当n=k时，左边的代数式为++…+，当n=k+1时，左边的代数式为++…+++，故用n=k+1时左边的代数式减去n=k时左边的代数式的结果为：+-=-．故选：B．求出当n=k时，左边的代数式，当n=k+1时，左边的代数式，相减可得结果．本题考查用数学归纳法证明不等式，注意式子的结构特征，以及从n=k到n=k+1项的变化．6.【答案】B【解析】解：∵x＞0，y＞0且y-x＞1，∴x＜y-1，∴-x＞1-y，∴＜=-1，取特殊值判断，当x=1,y=4时，,当x=1.5,y=4时，,当x=1,y=5时，,所以可大于1，可等于1，可小于1，∴可小于1，可等于1，可大于1，故，至少有一个小于1．故选：B．根据不等式的性质和函数的性质即可判断．本题考查了不等式的性质和函数的性质，考查了转化能力和运算能力，属于中档题．7.【答案】B【解析】解：顾客甲没有银联卡，顾客乙只带了现金，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，①当甲丙丁顾客都不选微信时，则甲有2种选择，当甲选择现金时，其余2人A22=2种，当甲选择支付宝时，丙丁可以都选银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选支付宝或现金，故有1+C21C21=5，故有2+5=7种，②当甲丙丁顾客都不选支付宝时，则甲有2种选择，当甲选择现金时，其余2人A22=2种，当甲选择微信时，丙丁可以都选银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选微信或现金，故有1+C21C21=5，故有2+5=7种，③当甲丙丁顾客都不选银联卡时，若有人使用现金，则C31A22=6种，若没有人使用现金，则有C32A22=6种，故有6+6=12种，根据分步计数原理可得共有7+7+6+6=26种，故选：B．由题意，根据甲丙丁的支付方式进行分类，根据分类计数原理即可求出．本题考查了分步计数原理和分类计数原理，考查了转化思想，属于难题8.【答案】A【解析】解：函数f（x）=2x2-ln|x|为偶函数，则其图象关于y轴对称，排除B；当x＞0时，f（x）=2x2-ln x，f′（x）=4x-．当x∈（0，）时，f′（x）＜0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0．∴f（x）在（0，）上为减函数，在（，+∞）上为增函数，∴f（x）有极小值f（）=＞0．结合选项可得，函数f（x）=2x2-ln|x|的部分图象大致为A．故选：A．由函数为偶函数排除B；再由导数研究单调性且求得极值判断．本题考查函数奇偶性的判断及应用，训练了利用导数研究函数的单调性，是中档题．9.【答案】C【解析】【分析】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题.令g（x）=m ln x-3x问题等价于g（x+1）＞g（e x）在（0，+∞）上恒成立，根据函数的单调性求出a的范围即可.【解答】解：令g（x）=m ln x-3x，问题等价于g（x+1）＞g（e x）在（0，+∞）上恒成立，因为x∈（0，+∞）时，1＜x+1＜e x，所以只需g（x）在（1，+∞）上递减，即x＞1，f′（x）≤0恒成立，即，∴m≤3（x+1），∴m≤3.故选C.10.【答案】A【解析】解：函数f（x）的导数为f′（x）====，由f′（x）＞0，得-1＜x＜3，f（x）递增；由f′（x）＜0，得x＞3或x＜-1，f（x）递减．即有f（x）在x=-1处取得极小值f（-1）=-2e；在x=3处取得极大值f（3）=，作出f（x）的图象，如图所示；关于x的方程，令n=f（x），则n2-nt-=0，由判别式△=t2+＞0，方程有两个不等实根，n1n2=-＜0，则原方程有一正一负实根．而-2e×═-，即当n1=，则n2=-2e，此时y=n1，和f（x）有两个交点，y=n2与f（x）有1个交点，此时共有3个交点，当n1＞，则-2e＜n2＜0，此时y=n1，和f（x）有1个交点，y=n2与f（x）有2个交点，此时共有3个交点，当0＜n1＜则n2＜-2e，此时y=n1和f（x）有3个交点，y=n2与f（x）有0交点，此时共有3个交点，当-2e＜n1＜0，则或n2＞，此时y=n1和f（x）有2个交点，y=n2与f（x）有1个交点，此时共有3个交点，当n1=-2e，则n2=，此时y=n1和f（x）有1个交点，y=n2与f（x）有2个交点，此时共有3个交点，当n1＜-2e，则0＜n2＜，此时y=n1和f（x）有0个交点，y=n2与f（x）有3个交点，此时共有3个交点，综上方程[f（x）]2+tf（x）-=0（t∈R）恒有3个不同的实数解，即m=3，即m的所有可能的值构成的集合为{3}，故选：A．求函数f（x）的导数，判断函数的极值，作出函数f（x）的图象，设n=f（x），利用根与系数之间的关系得到n2-nt-=0，由判别式△=t2+＞0，方程有两个不等实根，n1n2=-＜0，利用数形结合进行讨论求解即可．本题考查方程的根的个数的判断，考查函数方程的转化思想，注意运用二次方程的判别式和韦达定理，考查数形结合和分类讨论的思想方法，综合性较强，难度较大．11.【答案】【解析】解：从5件产品中任意抽取2件有=10种抽法，其中一件合格、另一件不合格的抽法有=6种．根据古典概型的概率计算公式可得一件合格，另一件不合格的概率P=．故答案为．分别求出基本事件的总数和要求事件包含的基本事件的个数，根据古典概型的概率计算公式即可得出．熟练掌握古典概型的概率计算公式、组合和组合数的计算公式是解题的关键．12.【答案】3 （-5，-1-）【解析】解：∵z=lg（m2+2m-14）+（m2-m-6）i为实数，∴，解得m=3；由复数z对应的点位于复平面的第二象限，得，解得-5＜m＜-1-．∴实数m的取值范围为（-5，-1-）．故答案为：3；（-5，-1-）．由实部真数大于0且虚部为0求解m值；由实部真数大于0且小于1，虚部大于0联立不等式组求解．本题考查复数的基本概念，考查对数函数的性质，训练了一元二次不等式组的解法，是基础题．13.【答案】【解析】解：由题意得：，解得x=，y=，∴x+y=，D（ξ）=（-1-）2×+（0-）2×+（2-）2×=．故答案为：，．由离散型随机变量的分布列的性质及数学期望的性质列方程组，能求出x，y，由此能求出x+y和D（ξ）．本题考查概率的求法，考查离散型随机离题的方差的求法，考查离散型随机变量的分布列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.【答案】-1【解析】解：在（1-ax+x2）5的展开式中，通项公式T r+1=（x2-ax）r，（x2-ax）r的通项公式T k+1=（x2）r-k（-ax）k=（-a）k x2r-k，令2r-k=3．则r=2时，k=1；r=3时，k=3．∴x3的系数为30=+，解得a=-1．故答案为：-1．利用通项公式即可得出．本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.【答案】【解析】解：f′（x）=2ax，g′（x）=（x＞0），令f′（x）=g′（x）可得a=，令f（x）=g（x）可得a=，令F（x）=-=（x＞0），设函数f（x）=ax2-1与g（x）=ln x的“S点”为x0，则x0为F（x）的零点．令F（x）=0可得1+2ln x=0，故x=，即x0=．把x0=代入a=可得a=．故答案为：．分别令f′（x）=g′（x），f（x）=g（x），分离参数可得a=，a=，则数f（x）与g（x）的“S点”为F（x）=-的零点，求出零点即可得出a的值．本题考查了函数零点的计算，函数与方程的应用，属于中档题．16.【答案】588【解析】解：根据题意，分2步进行分析：①，对于区域B有4种情况可选，E区域与B相邻，有3种情况可选：②，对于剩下的4个区域，分4种情况讨论：A区域与E区域的相同，C区域与E区域的也相同；此时D区域的选法有3种，F区域的选法也有3种，此时ADCF的区域有3×3=9种；A区域与E区域的不相同，C区域与E区域的相同；此时A区域的选法有2种，D区域的选法有2种，F区域的选法有3种，此时ADCF的区域有2×2×3=12种；A区域与E区域的相同，C区域与E区域的不相同；此C区域的选法有2种，F区域的选法有2种，D区域的选法有3种，此时ADCF的区域有2×2×3=12种；A区域与E区域的不相同，C区域与E区域也不相同；此时A区域的选法有2种，D区域的选法有2种，C区域的选法有2种，F区域的选法有2种，此时ADCF的区域有2×2×2×2=16种；则ADCF的区域的选法有9+12+12+16=49种栽种方案；则有12×49=588种不同的栽种方案；故答案为：588．根据题意，分2步进行分析：①，对于区域B有4种情况可选，E区域与B相邻，有3种情况可选：②，对于剩下的4个区域，分4种情况讨论，由加法原理求出其栽种方案数目，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及分步计、分类数原理的应用，属于基础题．17.【答案】[，1）【解析】解：函数f（x）=e x（2x-1）-ax+a，其中a＜1，设g（x）=e x（2x-1），y=ax-a，∵存在唯一的整数x0，使得f（x0）＜0，∴存在唯一的整数x0，使得g（x0）在直线y=ax-a的下方，∵g′（x）=e x（2x+1），∴当x＜-时，g′（x）＜0，∴当x=-时，[g（x）]min=g（-）=-．当x=0时，g（0）=-1，g（1）=e＞0，直线y=ax-a恒过（1，0），斜率为a，故-a＞g（0）=-1，且g（-1）=-3e-1≥-a-a，解得．∴a的取值范围是[，1）．故答案为：[，1）．设g（x）=e x（2x-1），y=ax-a，则存在唯一的整数x0，使得g（x0）在直线y=ax-a的下方，由此利用导数性质能求出a的取值范围．本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．18.【答案】解：（1）设“甲从进口A开始到出口B经过点C”为事件M，甲选中间的路的概率为，在前面从岔路到达点C的概率为，这两步事件相互独立，∴选择从中间一条路走到点C的概率为：P1==，同理，选择从最右边的道路走到点C的概率为P2==，∵选择中间道路和最右边道路行走的两个事件彼此互斥，∴P（M）=P1+P2=，∴甲经过点C的概率为．（2）随机变量可能的取值为0，1，2，3，4，P（X=0）=，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，P（X=4）==，∴X的分布列为：X01 2 3 4PE（X）=+4×=．【解析】（1）设“甲从进口A开始到出口B经过点C”为事件M，甲选中间的路的概率为，在前面从岔路到达点C的概率为，这两步事件相互独立，由此利用互斥事件概率加法公式能求出甲经过点C的概率．（2）随机变量可能的取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：（1）有题意知：通项公式为T r+1=•2r•，则第4项的系数为•23，倒数第4项的系数为•2m-3，则有=，即=，∴m=7．（2）由（1）可得当2m-为整数时，即r=0，2，4，6时，为有理项．故所有的有理项为T1=x14，T3=84x9，T5=560x4，T7=448x-1．（3）设展开式中第r+1项的系数最大，则，求得≤r≤，∴r=5，故系数最大项为T6=•25•=672．【解析】（1）由题意根据二项展开式的通项公式，求得m的值．（2）令x的幂指数等于整数，求得r的值，可得结论．（3）设展开式中第r+1项的系数最大，根据，求得r的范围，可得结论．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．20.【答案】解：（1）函数，a1=f（1）=1．当n≥2时，．即S n+a n=（n2+5n+2）．∴S2+a2=，解得a2=．同理可得：a3=，a4=．（2）猜测数列{a n}的通项公式为a n=，用数学归纳法证明．（i）n=1，2时，成立．（ii）假设n=k∈N*时成立，k≥2，即a k=．S k=1++=-．则n=k+1时，S k+2a k+1=[（k+1）2+5（k+1）+2]，∴-+2a k+1=（k2+7k+8），解得a k+1=+k+1+1．∴n=k+1时成立．综上可得：数列{a n}的通项公式为a n=．【解析】（1）函数，a1=f（1）=1．当n≥2时，．即S n+a n=（n2+5n+2）．n=2，3，4时解出即可．（2）猜测数列{a n}的通项公式为a n=，用数学归纳法证明即可．本题考查了数列递推关系、数学归纳法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21.【答案】解：（1）g（x）=ln x+kx的定义域为（0，+∞），g′（x）=+k，当k≥0时，g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）上是增函数；当k＜0时，令g′（x））=+k=0，得x=-，令g′（x）=+k＞0，得0＜x＜-，所以g（x）在（0，-）上是增函数，令g′（x）=+k＜0，得x＞-，所以g（x）在（-，+∞）上是减函数；（2）当k=1时，f（x）≥g（x）恒成立，即axe x-1≥ln x+kx恒成立，因为x＞0，所以a≥．令h（x）=．h′（x）=，令p（x）=-ln x-x，p′（x）=--1＜0，故p（x）在（0，+∞）上单调递减，且p（）=1-＞0，p（1）=-1＜0，故存在t∈（，1）使得p（t）=-ln t-t=0，即ln t+t=0，t=e-t，当x∈（0，t）时，p（x）＞0，h′（x）＞0；当x∈（t，+∞），p（x）＜0，h'（x）＜0；所以h（x）max=h（t）===1，所以a≥1；故实数a的取值范围是{a|a≥1}．【解析】（1）求函数的导数，分类讨论k的取值范围可求g（x）的单调区间；（2）（分离参数、设而不求，转化为函数问题）若k=1，f（x）≥g（x）恒成立，即axe x-1≥ln x+kx恒成立因为x＞0，所以a≥．令h（x）=．求函数h（x）的最大值即可求实数a的取值范围．本题考查了导数的综合应用问题，考查恒成立问题，正确求导是关键．属于中档题．22.【答案】（1）解：当a=2，b=-3时，（x＞0）则f'（e）=-1，切点为，故函数f（x）在x=1处的切线方程为．……（3分），令h（x）=1-ln x-x2，则h（x）=1-ln x-x2在（0，+∞）是减函数又h（1）=0∴x∈（0，1），h（x）＞0，f'（x）＞0，x∈（1，+∞），h（x）＜0，f'（x）＜0，f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）是减函数，f max（x）=f（1）=2…………（7分）（2）证明：∵x1，x2是f（x）的两个零点，不妨设x1＜x2，∴f（x1）=f（x2）=0，，∴，，相减得：，⇒，⇒，，∴⇒，令，即证0＜t＜1时，，，令，，在（0，1）上是增函数，又∵m（1）=0，∴t∈（0，1），m（t）＜0，命题得证…………（12分）【解析】（1）代入a，b的值，求出函数的导数，求出切点坐标，求出切线方程，求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的最大值即可；（2）根据函数的单调性求出令，即证0＜t＜1，，令，根据函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．。

2020年浙江省杭州高级中学高二(下)期中数学试卷

期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.设全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，2}，B={2，3，4}，则A∩（∁U B）=（）A. {1，2，5，6}B. {1}C. {2}D. {1，2，3，4}2.与命题“若a∈M，则b∉M”的逆否命题是（）A. 若a∉M，则b∉MB. 若b∈M，则a∉MC. 若a∉M，则b∈MD. 若b∉M，则a∈M3.已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4.若变量x，y满足约束条件，且z=3x+y的最大值为（）A. 5B. 6C. 7D. 85.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x（x+1），那么f（-1）等于（）A. -2B. -1C. 0D. 26.函数y=x ln|x|的大致图象是（）A. B.C. D.7.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2-b2=bc，sin C=sin B，则A=（）.A. 30°B. 60°C. 90°D. 120°8.已知函数，若对任意两个不相等的正数x1、x2，都有恒成立，则a的取值范围为（）A. [2，+∞）B. （4，+∞）C. （-∞，4]D. （-∞，4）9.如图，在底面为正三角形的棱台ABC-A1B1C1中，记锐二面角A1-AB-C的大小为α，锐二面角B1-BC-A的大小为β，锐二面角C1-AC-B的大小为γ，若α＞β＞γ，则（）A.B.C.D.10.已知椭圆与双曲线有相同的左、右焦点F1，F2，若点P是C1与C2在第一象限内的交点，且|F1F2|=4|PF2|，设C1与C2的离心率分别为e1，e2，则e2-e1的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共7小题，共21.0分）11.复数（i为虚数单位）的共轭复数=______，|z|=______．12.曲线的离心率为______，渐近线为______．13.已知某几何体的三视图如图，则这个几何体的体积是______，表面积是______．14.已知函数，则f（f（ln2））=______，不等式f（3-x2）＞f（2x）的解集为______．15.设曲线y=x n+1（n∈N*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为x n，则x1•x2•…•x2019的值为______．16.抛物线y2=8x的焦点为F，设A（x1，y1）、B（x2，y2）是抛物线上的两个动点，若，则∠AFB的最大值为______．17.已知函数，则函数y=f（g（x））-a的零点最多有______个．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）18.已知函数．（1）求函f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位后得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在区间上的值域．19.已知函数f（x）=ax2-4ax+1+b（a＞0）的定义域为[2，3]，值域为[1，4]；设g（x）=．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若不等式g（2x）-k2x≥0在x∈[1，2]上恒成立，求实数k的取值范围．20.如图，已知四棱椎E-ABCD，△EAD是以AD为斜边的直角三角形，AE=2，∠DAE=60°，BC∥AD，AB=BC=CD=AD，P是ED的中点．（1）求证CP∥平面ABE；（2）若CE=，求直线CP与平面AED所成的角．21.如图，椭圆E：+=1（a＞b＞0）经过点A（0，1），且离心率为．（1）求椭圆E的方程；（2）若M点为右准线上一点，B为左顶点，连接BM交椭圆于N，求的取值范围；（3）经过点（1，1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点P，Q（均异于点A）证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值．22.函数．（1）若f（x）是定义域上的单调函数，求a的取值范围；（2）设分别为函数f（x）的极大值和极小值，若s=m-n，求s的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∁R B={1，5，6}；∴A∩（∁R B）={1，2}∩{1，5，6}={1}．故选：B．进行补集、交集的运算即可．考查全集、补集，及交集的概念，以及补集、交集的运算，列举法表示集合．2.【答案】B【解析】解：否定没有的条件作结论，否定命题的结论作条件，即可得到命题的逆否命题．命题“若a∈M，则b∉M”的逆否命题是：若b∈M，则a∉M．故选：B．直接利用四种命题是逆否关系写出结果即可．本题考查四种命题的逆否关系，基本知识的考查．3.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断及线面平行的判定,属于基础题.根据线面平行的判定定理，可判断充分性，根据线面、线线的位置关系可判断必要性，从而可得答案.【解答】解：∵mα，nα，∴当m∥n时，m∥α成立，即充分性成立，当m∥α时，m∥n不一定成立，m，n也可能是异面直线，即必要性不成立，则“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件.故选A.4.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．属于基础题.作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=3x+y得y=-3x+z，平移直线y=-3x+z，由图象可知当直线y=-3x+z经过点C时，直线y=-3x+z的截距最大，此时z最大．由，解得x=2，y=-1，即C（2，-1），代入目标函数z=3x+y得z=3×2-1=5．即目标函数z=3x+y的最大值为5．故选：A．5.【答案】A【解析】解：根据题意，f（1）=1×（1+1）=2，又由f（x）为奇函数，则f（-1）=-f（1）=-2；故选：A．由函数在x＞0时的解析式可得f（1）的值，又由f（x）为奇函数，结合奇函数的性质，可得f（-1）=-f（1），即可得答案．本题考查函数的奇偶性性质的应用，是基础题，要灵活应用函数奇偶性的性质．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查函数图象的作法，函数图象问题就是考查函数性质的问题．容易看出，该函数是奇函数，所以排除B项，再原函数式化简，去掉绝对值符号转化为分段函数，再从研究x＞0时，特殊的函数值符号、极值点、单调性、零点等性质进行判断．【解答】解：令f（x）=x ln|x|，易知f（-x）=-x ln|-x|=-x ln|x|=-f（x），所以该函数是奇函数，排除选项B；又x＞0时，f（x）=x lnx，容易判断，当x→+∞时，x lnx→+∞，排除D选项；令f（x）=0，得x lnx=0，所以x=1，即x＞0时，函数图象与x轴只有一个交点，所以C 选项满足题意．故选：C．7.【答案】C【解析】【分析】此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，属于一般题.已知第二个等式利用正弦定理化简用b表示出c，代入第一个等式表示出a，利用余弦定理表示出cos A，将表示出的a与c代入求出cos A的值，即可确定出A的度数．【解析】解：已知等式sin C=sin B，由正弦定理化简得：c=b，代入a2-b2=bc得：a2-b2=3b2，即a=2b，∴cos A===0，则A=90°，故选：C．8.【答案】A【解析】解：函数，定义域：（0，+∞）；若对任意两个不相等的正数：x1、x2，都有恒成立，则有：f（x1）-f（x2）＞4（x1-x2），∴f（x1）-4x1＞f（x2）-4x2，令：g（x）=f（x）-4x=ax2+a ln x-4x，有：g（x）=f（x）-4x=ax2+a ln x-4x，在（0，+∞）上单增，g′（x）=ax+-4≥0；在（0，+∞）上恒成立，也就是ax2-4x+a≥0恒成立，在（0，+∞）；即：a≥；x∈（0，+∞）；a≥（）max；x∈（0，+∞）；令h（x）=；x∈（0，+∞）；h′（x）=；函数h（x）在（0，1）上h′（x）＞0，h（x）单调递增，函数h（x）在（1，+∞）上h′（x）＜0，h（x）单调递减．h（1）max=2∴a≥（）max=2；故选：A．先确定g（x）=f（x）-4x=ax2+a ln x-4x，在（0，+∞）上单增，再利用导数，可得ax2-4x+a≥0恒成立，即可求出实数a的取值范围．本题考查函数单调性，考查导数知识的运用，确定g（x）=f（x）-4x=ax2+a ln x-4x，在（0，+∞）上单增是关键．属于难题．9.【答案】D【解析】【分析】本题考查三棱台中三条侧棱长的大小的求法，二面角，考查空间想象能力，属于中档题．利用二面角的定义，数形结合即可求出结果．【解答】解：在底面为正三角形的棱台ABC-A1B1C1中，棱台ABC-A1B1C1的侧棱延长交于P点，过P作在平面ABC上的射影H，设H到AB，BC，CA的距离分别为HC′，HA′，HB′，因为锐二面角A1-AB-C的大小为α，锐二面角B1-BC-A的大小为β，锐二面角C1-AC-B 的大小为γ，所以，∴，∵α＞β＞γ，∴tanα>tanβ>tanγ，则HB′>HA′>HC′，故H所在区域如图所示(D为的垂心)，比较AA1，BB1，CC1，即比较HA，HB，HC，由图可知HC>HA>HB，∴CC1>AA1>BB1．故选D．10.【答案】B【解析】【分析】本题考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质，主要是离心率的范围，考查换元法和构造函数法，考查运算能力，属于中档题．运用椭圆和双曲线的定义，以及离心率公式和范围，结合换元法和对勾函数的单调性，即可得到所求范围．【解答】解：设|PF1|=m，|PF2|=n，由椭圆的定义可得m+n=2a1，由双曲线的定可得m-n=2a2，解得m=a1+a2，n=a1-a2，由|F1F2|=4|PF2|，可得n=c，即a1-a2=c，由e1=，e2=，可得-=，由0＜e1＜1，可得＞1，可得＞，即1＜e2＜2，则e2-e1=e2-=，可设2+e2=t（3＜t＜4），则==t+-4，由f（t）=t+-4在3＜t＜4递增，可得f（t）∈（，1）．故选：B．11.【答案】1-i【解析】解：∵=，∴，|z|=．故答案为：1-i；．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念及复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念及复数模的求法，是基础题．12.【答案】y=±2x【解析】解：根据题意，双曲线，其焦点在x轴上，且a=1，b=2，则c==，则双曲线的离心率e==，其渐近线方程y=±2x；故答案为：，y=±2x．根据题意，由双曲线的标准方程分析其焦点位置以及a、b的值，计算可得c的值，由离心率公式以及渐近线方程计算可得答案．本题考查双曲线的几何性质以及标准方程，属于基础题．13.【答案】，【解析】【分析】本题考查了棱锥的三视图和体积计算，属于基础题．几何体为三棱锥，底面为等腰三角形，一侧面垂直底面，画出直观图，求解体积以及表面积即可．【解答】解：由三视图可知几何体是底面是等腰直角三角形，一侧面垂直底面的三棱锥，棱锥的高为1，如图：AO=OD=1，BO=OC=，DO⊥底面ABC，所以几何体的体积V==．表面积为：故答案为：；．14.【答案】{x|-3＜x＜1}【解析】解：f（ln2）=e ln2=2，所以f（f（ln2））=f（2）=，当x＜0时，f（x）=，则f'（x）=x2-x＜0，所以f（x）在（-∞，0）上递增，则f（x）＜f（0）=0 又当x≤0时，f（x）=e x，在[0，+∞）上单调递增，则f（x）≥f（0）=0，所以f（x）在R上单调递增，所以由f（3-x2）＞f（2x），得3-x2＞2x，所以-3＜x＜1，所以不等式的解集为：{x|-3＜x＜1}．故答案为：；{x|-3＜x＜1}．判断函数f（x）在R上的单调性，然后根据单调性解不等式即可．本题考查了函数求值，和不等式的解法，属基础题．15.【答案】【解析】解：因为y=x n+1，故y′=（n+1）x n，所以x=1时，y′=n+1，则直线方程为y-1=（n+1）（x-1），令y=0，则x=1-=，故切线与x轴的交点为（，0），则x1•x2•…•x2019=×××…×=．故答案为：．先求出其导函数，把x=1代入，求出切线的斜率，进而得到切线方程，找到切线与x轴的交点的横坐标的表达式，化简即可求出结论．本题主要考查导函数在求切线方程中的应用以及函数与数列的综合问题．在利用导函数求切线方程时，应知道切线的斜率为导函数在切点处的函数．16.【答案】【解析】解：∵|AB|，|AF|+|BF|=x1+x2+4，∴|AF|+|BF|=|AB|．在△AFB中，由余弦定理得：cos∠AFB===-1=．又|AF|+|BF|=|AB|≥2，∴|AF|•|BF|≤|AB|2．∴cos∠AFB≥=-，∴∠AFB的最大值为，故答案为：．利用余弦定理，结合基本不等式，即可求出∠AFB的最大值．本题考查抛物线的定义，考查余弦定理、基本不等式的运用，属于中档题．17.【答案】6【解析】解：分别作出函数的图象（如右），可得g（x）的值域为（-∞，-3]∪[1，+∞），由y=f（g（x））-a=0，可得a=f[g（x）]，可令t=g（x），即y=f（t），当log35＜a＜2时，-7＜t＜-1，或2＜t＜3或3＜t＜4，由y=g（x）的图象，可得t=g（x）的交点个数为6个，则函数y=f（g（x））-a的零点最多6个．故答案为：6．分别作出y=f（x）和y=g（x）的图象，求得g（x）的值域，通过f（x）的图象，考虑log35＜a＜2时，f（t）=a的t的范围，再求t=g（x）的x的个数，可得所求结论．本题考查分段函数的图象和运用，考查函数方程的转化思想和数形结合思想，属于中档题．18.【答案】解：（1）f（x）=cos x（sin x+cos x）+=cos x sinx+cos2x+=cos2x+1=，∴f（x）的周期T=，由+2kπ（k∈Z），得-+kπ（k∈Z），∴f（x）的单调增区间为；（2）函数f（x）的图象向右平移个单位后，得g（x）==，∵x∈，∴2x-，∴，∴g（x）∈，∴g（x）的值域为：．【解析】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论；（2）根据y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，得到结果．19.【答案】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=ax2-4ax+1+b（a＞0）其图象对称轴为直线x=2，函数的定义域为[2，3]，值域为[1，4]，∴，解得：a=3，b=12；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f（x）=3x2-12x+13，g（x）==．若不等式g（2x）-k2x≥0在x∈[1，2]上恒成立，则k≤（）2-2（）+1在x∈[1，2]上恒成立，2x∈[2，4]，∈[，]，当=，即x=1时，（）2-2（）+1取最小值，故k≤．【解析】本题考查二次函数在闭区间上的最值，考查函数恒成立问题问题，考查数形结合与等价转化、函数与方程思想的综合应用，是中档题．（Ⅰ）根据函数f（x）=ax2-4ax+1+b（a＞0）的定义域为[2，3]，值域为[1，4]，其图象对称轴为直线x=2，且g（x）的最小值为1，最大值为4，列出方程可得实数a，b的值；（Ⅱ）若不等式g（2x）-k2x≥0在x∈[1，2]上恒成立，分离变量k，在x∈[1，2]上恒成立，进而得到实数k的取值范围．20.【答案】证明：（1）取AE中点G，连结PG，BG，∵BC∥AD，BC=AD，PG∥AD，PG=，∴BC∥PG，BC=PG，则四边形BCPG为平行四边形，则PC∥BG，∵BG⊂平面PAB，PC⊄平面PAB，∴CP∥平面ABE；解：（2）在等腰梯形ABCD中，过C作CO⊥AD，垂足为O，连接EO，PO，由已知可得OD=1，CD=2，则CO=，在△ODE中，由余弦定理求得，而CE=，∴OC2+OE2=CE2，即∠COE为直角，则OC⊥OE，由OC⊥AD，∴OC⊥平面AED，∴∠CPO为直线CP与平面AED所成的角，由OP=，∴tan，即∠CPO=60°．∴直线CP与平面AED所成的角为60°．【解析】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了空间角的求法，是中档题．（1）取AE的中点F，连结PG，BG，推导出四边形BCPG为平行四边形，CP∥BG，则CP∥平面ABE；（2）在等腰梯形ABCD中，过C作CO⊥AD，垂足为O，求解三角形证明OC⊥底面AED，可得∠CPO为直线CP与平面AED所成的角，进一步求解三角形得答案．21.【答案】（1）解：由题意知，b=1，再由a2=b2+c2，解得，继而得椭圆的方程为；（2）解：由（1）知，椭圆右准线方程为x=2，设M点横坐标为x0，则==，∵-＜x0≤，∴．∴的取值范围是[，+∞）；（3）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），x1x2≠0由题设知，直线PQ的方程为y=k（x-1）+1（k≠0），代入，化简得（1+2k2）x2-4k（k-1）x+2k（k-2）=0，则，由已知△＞0，从而直线AP与AQ的斜率之和=2k+（2-k）=2k-2（k-1）=2．即有直线AP与AQ斜率之和为2．【解析】（1）运用离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a，进而得到椭圆方程；（2）设P点横坐标为x0，则==，由-＜x0≤，可得的取值范围；（3）由题意设直线PQ的方程为y=k（x-1）+1（k≠0），代入椭圆方程+y2=1，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简计算即可得到结论．本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理求解．考查直线的斜率公式，属于中档题．22.【答案】解：（1）函数．定义域为（0，+∞），∴f′（x）=a+-=，∵函数f（x）在定义域（0，+∞）内为单调函数，∴f'（x）≤0或f'（x）≥0在（0，+∞）恒成立，①当a=0时，f′（x）=-＜0在（0，+∞）内恒成立，∴a=0满足题意；②当a＞0时，设g（x）=ax2-2x+a（x∈（0，+∞））由题意知△=4-4a2≤0∴a≤-1或a≥1又∵a＞0，∴a≥1，所以a的取值范围为：a=0或a≥1，（2）由导函数的ax2-2x+a，得△＞0得4-4a2＞0，即-1＜a＜1且＜a＜1，得＜a＜1，此时设f'（x）=0的两根为x1，x2，（x1＜x2），所以m=f（x1），n=f（x2），因为x1x2=1，所以x1＜1＜x2，由＜a＜1，且ax12-2x1+a=0，得＜x1＜1，所以s=m-n=ax1--2ln x1-（ax2--2ln x2）=ax1--2ln x1-（-ax1+2ln x1）=2（ax1--2ln x1），由ax12-2x1+a=0，得a=，代入上式得，s=4（-ln x1）=4（-ln x12），令x12=t，所以＜t＜1，g（x）=-ln x，则s=4g（t），g′（t）=＜0，所以g（x）在[，1]上单调递减，从而g（1）＜g（t）＜g（），即0＜g（t）＜，所以0＜s＜．s的取值范围是0＜s＜．【解析】（1）求出函数导数，令它大于等于0和小于等于0，其在定义域上恒成立，分类讨论a即可得到啊的范围，注意定义域；（2）设f'（x）=0的两根为x1，x2，（x1＜x2），所以m=f（x1），n=f（x2），因为x1x2=1，所以x1＜1＜x2，由＜a＜1，且ax12-2x1+a=0，得＜x1＜1，所以s=m-n=ax1--2ln x1-（ax2--2ln x2）=ax1--2ln x1-（-ax1+2ln x1）=2（ax1--2ln x1），由ax12-2x1+a=0，得a=，代入上式得，g（x）=-ln x，求导数，应用单调性，即可得到S的范围．本题考查导数的综合应用：求单调区间和求极值，考查二次方程的两根的关系，构造函数应用导数判断单调性，是一道综合题．。

2020年浙江省杭州地区重点中学高二(下)期中数学试卷

期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知直线l：2x+y-1=0与直线l2：ax+y=0平行，若l1∥l2，则a=（）A. -2B.C. 2D.2.已知椭圆+=1上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦点的距离为（）A. 2B. 3C. 7D. 53.函数f（x）=cos x+sin x，则=（）A. B. C. D.4.方程（x2+y2+2x）（x+y-2）=0表示的曲线是（）A. 一个圆和一条射线B. 一个圆和一条直线C. 一个圆D. 一条直线5.已知函数y=f（x）的导函数f'（x）的图象如图所示，则（）A. 函数y=f（x）的区间上单调递减B. 当x=3时函数y=f（x）取得极小值C.D. 当时函数y=f（x）取得极大值6.设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面．考查下列命题，（1）若m∥α，n∥α，m∥β，n∥β，m⊥n则α∥β；（2）若m⊥β，α⊥β，则m∥α；（3）若α⊥β，m⊥α，n∥β，则m⊥n；（4）若m∥n，n⊥β，m⊂α则α⊥β其中真命题是（）A. （1）（2）B. （1）（4）C. （1）（3）D. （2）（4）7.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠CAB=120°，，AA1=2，则异面直线AB1与CA1所成角的余弦值为（）A.B.C.D.8.已知点A（a，b），B（x，y）为抛物线y=-（x-1）2上两点，且x＜a，记|AB|=g（x）．若函数g（x）在定义域（-∞，a）上单调递减，点A坐标不可能是（）A. （1，0）B. （0，-1）C. （-1，-4）D. （3，-4）9.抛物线y2=2px（p＞0）的准线交x轴于点C，焦点为F，A，B物线上的两点．若A，B，C三点共线，且满足|AF|+|BF|=|AB|，设直线AB的斜率为k，则有（）A. B. C. D.10.在矩形ABCD中，AD=1，AB=2，若点E满足，将△ADE沿AE翻折，当D'在面ABCE内的投影在∠BAE的平分线上时，分别记二面角D'-AE-B、D'-AB-E、D'-CE-B、D'-BC-A的平面角分别为α、β、γ、δ，则（）A. α＜β且γ=δB. α＞β且γ=δC. α=β且γ＜δD. α=β且γ＞δ二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.已知复数（i是虚数单位），则复数z的共轭复数=______，|z|=______．12.已知双曲线C1：与椭圆C2：有相同的焦点，则m=______；双曲线C1的渐近线方程为______．13.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______，表面积为______．14.已知圆C：（x-a）2+（y-b）2=2，圆心C在曲线y=（x∈[1，2]）上．则ab= ______ ，直线l：x+2y=0被圆C所截得的长度的取值范围是______ ．15.已知圆台上底面半径为，下底面半径为，母线长为2，AB为圆台母线，一只蚂蚁从点A出发绕圆台侧面一圈到点B，则蚂蚁经过的最短路径长度为______．16.已知椭圆长轴的右端点为A，其中O为坐标原点．若椭圆上不存在点P，使AP垂直PO，则椭圆的离心率的最大值为______．17.已知函数f（x）=e x-+ax-a2的零点不少于两个，则实数a的取值范围______．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知函数f（n）=-1+3-5+…+（-1）n•（2n-1），（n∈N*）．（1）求f（n+1）-f（n）；（2）用数学归纳法证明f（n）=（-1）n•n．19.已知点P（1，0），Q（4，0），一动点M满足|MQ|=2|MP|．（1）求点M的轨迹方程；（2）过点A（2，3）的直线l与（1）中的曲线有且仅有一个公共点，求直线l的方程．20.四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠BCD=90°，AB=AD=2DC=2．△PAD为正三角形，二面角P-AD-C的大小为．（1）线段AD的中点为M．求证：平面PMB⊥平面ABCD；（2）求直线BA与平面PAD所成角的正弦值．21.已知抛物线C的对称轴为x轴，点P（1，2）在抛物线C上，A，B是抛物线C上不同的两点，直线PA，PB的斜率为k1，k2，满足k1+k2=-4．（1）求抛物线的标准方程；（2）证明：直线AB过定点；（3）当点P到直线AB距离最大时，求△PAB的面积．22.已知函数f（x）=x2-x-a ln x，a∈R．（1）若不等式f（x）＜0无解，求a的值；（2）若函数f（x）存在两个极值点x1、x2，且x1＜x2，当恒成立时，求实数m的最小值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵l1∥l2，∴2-a=0，解得a=2．故选：C．利用直线相互平行与斜率之间的关系即可得出．本题考查了直线相互平行与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查椭圆的定义．在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，圆锥曲线的定义往往是解题的突破口．先根据条件求出a=5；再根据椭圆定义得到关于所求距离d的等式即可得到结论．【解答】解：设所求距离为d，由题得：a=5．根据椭圆的定义椭圆上任意一点到两个焦点距离的和等于2a得：2a=3+d⇒d=2a-3=7．故选：C．3.【答案】C【解析】解：f′（x）=cos x-sin x，∴．故选：C．可以求出导函数f′（x）=cos x-sin x，带入即可求出的值．考查基本初等函数的求导公式，以及已知函数求值的方法．4.【答案】B【解析】解：方程（x2+y2+2x）（x+y-2）=0等价于x+y-2=0或x2+y2+2x=0，①在直角坐标系中，方程x+y-2=0图象为一条直线，②x2+y2+2x=0，配方得（x+1）2+y2=1，方程表示以（-1，0）为圆心，以1为半径的圆，故（x2+y2+2x）（x+y-2）=0表示一条直线和一个圆，故选：B．方程（x2+y2+2x）（x+y-2）=0等价于x+y-2=0或x2+y2+2x=0，进行分析，得结论．本题考查曲线与方程，重点是对于方程的理解，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：由导函数的图象，可知x∈（-4，），x∈（1，3）时，f′（x）＜0，函数是减函数，x＜-4，x∈（-，1），x＞3时，f′（x）＞0，函数是增函数；所以A函数y=f（x）的区间上单调递减不正确；当x=3时函数y=f（x）取得极小值正确；．所以C不正确；当时函数y=f（x）取得极小值，所以D不正确；故选：B．利用导函数的图象，判断函数的单调性以及函数的极值点，即可推出结果．本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，考查转化思想以及计算能力．6.【答案】B【解析】解：m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，（1），若m∥α，n∥α，m∥β，n∥β，m⊥n，则α∥β，正确．反之若α∩β=l，由m∥α，m∥β，由线面平行的性质定理可得m∥l，同样由n∥α，n∥β，由线面平行的性质定理可得n∥l，则m∥n，这与m⊥n矛盾，故（1）正确；（2），若m⊥β，α⊥β，由线面垂直和面面垂直的性质定理，以及线面的位置关系可得m∥α或m⊂α，故（2）错误；（3），若α⊥β，m⊥α，可得m∥β或m⊂β，又n∥β，则m，n平行或相交或异面，故（3）错误；（4），若m∥n，n⊥β，可得m⊥β，又m⊂α，则α⊥β，故（4）正确．故选：B．考虑α、β相交，运用线面平行的性质定理，推得m∥n，即可判断（1）；由线面垂直和面面垂直的性质定理，以及线面的位置关系，可判断（2）；由线面垂直和面面垂直的性质定理，以及线线的位置关系可判断（3）；由线面垂直和面面垂直的判定定理，即可判断（4）．本题考查空间线线、线面和面面的位置关系，主要是平行、垂直的判定和性质的运用，考查空间想象能力和推理能力，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：取AA1的中点为E，AC的中点为D，A1B1的中点为F，AB的中点为H，连接DE，EF，FH，HD，FD，因为EF∥B1A，ED∥A1C，即∠FED（或其补角）为异面直线AB1与CA1所成角，在直角三角形FHD中，可得FD2=FH2+HD2=22+（）2=，又易得EF=ED=，在三角形DEF中，由余弦定理可得：cos∠FED==-，即异面直线AB1与CA1所成角的余弦值为，故选：D．由异面直线所成角的作法可得：∠FED（或其补角）为异面直线AB1与CA1所成角，再由异面直线所成角的求法利用余弦定理即可得解．本题考查了异面直线所成角的作法及求法，属中档题．8.【答案】D【解析】解：由题意可知，当A（3，-4）时，不妨取B（1，0），则|AB|==2，当B（0，-1）时，|AB|==3，而1＞0且2＞3，显然这与函数g（x）在定义域（-∞，a）上单调递减矛盾，即A的坐标不可能是（3，-4）．故选：D．考虑当A（3，-4）时，不妨取B（1，0），和B（0，-1），计算两点的距离|AB|，结合单调性的定义，即可得到所求结论．本题考查抛物线的方程和运用，以及两点的距离公式，函数单调性的定义，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：设A（x1，y1）B（x1，y1）AB所在直线方程为y=k（x+）联立方程整理得，k2x2+p（k2-2）x+=0x1+x2=p（），x1x2=如右图，由抛物线的定义可知||AF|=|AD|=x1+，|BF|=|BE|=x2+，|AB|==|x1-x2|==，∵，∴x1+x2+p=×即p（）+p=×解得k2=故选：A．画出示意图，设出直线的方程，由抛物线的定义可知|AF|=|AD|=x1+，|BF|=|BE|=x2+，进而求解．考察对抛物线定义的理解，以及两点间公式与方程根和斜率的关系．10.【答案】D【解析】解：在矩形ABCD中，AD=1，AB=2，若点E满足，将△ADE沿AE翻折，当D'在面ABCE内的投影在∠BAE的平分线上时，分别记二面角D'-AE-B、D'-AB-E的平面角分别为α、β，则α=β，当λ=时，如图：当D'在面ABCE内的投影在∠BAE的平分线O，O到BC的距离大于O到CE的距离，所以D'-CE-B、D'-BC-A的平面角分别为γ、δ，γ＞δ，故选：D．利用已知条件判断α=β，然后利用λ的特殊值，判断γ、δ的大小，即可得到选项．本题考查二面角的平面角的判断，以及重要结论的应用，是基本知识的考查．11.【答案】-1+i【解析】解：∵=，∴，|z|=．故答案为：-1+i；．利用复数代数形式的乘除运算化简，求其共轭复数，再由复数模的计算公式求模．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．12.【答案】5【解析】解：双曲线C1：与椭圆C2：有相同的焦点，可得2+m=16-9，解得m=5，双曲线C1：．渐近线方程为．故答案为：5；．通过双曲线与椭圆的焦点相同，列出方程求解m．然后求解双曲线的渐近线方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．13.【答案】3+【解析】解：根据几何体的三视图，转换为几何体为：该几何体为正方体，沿面的对角线在左下角和右上角各截去一个三棱锥体．故：V==，S==6-3+=3+故答案为：，3+首先把几何体的三视图转换为几何体，进一步利用几何体的体积和表面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三视图和直观图之间的转换，几何体的体积和表面积公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．14.【答案】1；[，]【解析】解：∵圆C：（x-a）2+（y-b）2=2，圆心C在曲线y=（x∈[1，2]）上，∴ab=1，圆心到直线的距离d==，∵a∈[1，2]，∴b∈[，1]，∴d∈[，]，∴直线l：x+2y=0被圆C所截得的长度的取值范围是[，]故答案为1，[，]．由圆C：（x-a）2+（y-b）2=2，圆心C在曲线y=（x∈[1，2]）上，可得ab，利用弦长公式，可得结论．本题考查直线与圆位置关系的运用，考查弦长公式，考查学生的计算能力，属于中档题．15.【答案】2【解析】解：设截得圆台的圆锥的顶点为O，将圆锥沿AB所在母线展开如图，设A点展开图中的点为A'，依题意，蚂蚁经过的最短路径长度为A'B，则因为圆台上底面半径为，下底面半径为，所以OB=，AB=2，设展开图的圆心角为θ，则θ==，所以三角形OAB为等边三角形，又B为OA的中点，所以A'B=4×sin=2．故答案为：2．将截得圆台的圆锥沿AB所在母线展开，将曲面上两点的最短距离问题转化为平面内两点的最短距离，即线段的长处理即可．本题考查了曲面上两点的最短距离问题，将曲面问题转化为平面距离问题是解决问题的关键．本题属于基础题．16.【答案】【解析】解：A1（-a，0），A2（a，0），设P（x，y），则=（-x，-y），=（a-x，-y），∵使AP垂直PO，所以=0，∴（a-x）（-x）+（-y）（-y）=0，y2=ax-x2＞0，∴0＜x＜a．代入使AP垂直PO（a＞b＞0），整理得（b2-a2）x2+a3x-a2b2=0 在（0，a）上有解，令f（x）=（b2-a2）x2+a3x-a2b2=0，∵f（0）=-a2b2＜0，f（a）=0，如图：△=（a3）2-4×（b2-a2）×（-a2b2）=a2（a4-4a2b2+4b4）=a2（a2-2c2）2≥0，∴对称轴满足 0＜-＜a，∴＜1，∴＞，又 0＜＜1，∴＜e＜1，即椭圆的离心率e的取值范围是（，1）．椭圆上不存在点P，使AP垂直PO，则椭圆的离心率的最大值为：．故答案为：．由AP垂直PO，转化可得y2=ax-x2＞0，故 0＜x＜a，代入椭圆得（b2-a2）x2+a3x-a2b2=0 在（0，a）上有解，令f（x）=（b2-a2）x2+a3x-a2b2=0，结合图形，能求出椭圆的离心率e的范围．然后求解椭圆的离心率的最大值．本题考查椭圆的离心率的取值范围的求法，考查两个向量坐标形式的运算法则，两个向量的数量积公式，一元二次方程在一个区间上有实数根的条件，体现了数形结合的数学思想．17.【答案】（-∞，--ln2）【解析】解：e x-+ax-a2=0，化为：e x--a2=-ax．∴函数f（x）=e x-+ax-a2的零点不少于两个⇔函数g（x）=e x--a2，与y=-ax的图象至少有两个交点．g′（x）=e x-x=h（x），h′（x）=e x-，可得x=-ln2时，函数h（x）取得极小值，h（-ln2）=+ln2．∴g′（x）＞0，∴函数g（x）在R上单调递增，∴-a＞+ln2时，函数g（x）=e x--a2，与y=-ax的图象至少有两个交点．∴实数a的取值范围是（-∞，--ln2）．故答案为：（-∞，--ln2）．e x-+ax-a2=0，化为：e x--a2=ax．函数f（x）=e x-+ax-a2的零点不少于两个⇔函数g（x）=e x--a2，与y=-ax的图象至少有两个交点．利用导数研究函数的单调性、切线斜率即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性、切线斜率、方程的解转化为曲线的交点，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：（1）∵f（n）=-1+3-5+…+（-1）n•（2n-1），（n∈N*）．∴f（n+1）-f（n）=（-1）n+1（2n+1）．（2）证明：（i）n=1时，f（1）=-1成立．（ii）假设n=k∈N*时成立，即f（k）=（-1）k•k．则n=k+1时，f（k+1）=f（k）+（-1）k+1（2k+1）=（-1）k•k+（-1）k+1（2k+1）=（-1）k+1（2k+1-k）=（-1）k+1（k+1）．∴n=k+1时也成立．综上可得：对于任意n∈N*，f（n）=（-1）n•n．【解析】（1）由f（n）=-1+3-5+…+（-1）n•（2n-1），（n∈N*）．可得f（n+1）-f（n）=（-1）n+1（2n+1）．（2）利用数学归纳法及其（1）的结论即可得出．本题考查了数列递推关系、数学归纳法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.【答案】解：（1）设M（x，y），由|MQ|=2|MP|有：，∴x2+y2=4，∴M点的轨迹方程为x2+y2=4．（2）直线l与M点的轨迹有且只有一个公共点即为直线l与圆M相切，当直线l的斜率k不存在时，直线l的方程为：x-2=0；当直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为：y-3=k（x-2），圆心（0，0）到直线l的距离等于半径，即，此时，∴直线l的方程为5x-12y+26=0．【解析】（1）设点M的坐标，根据已知用数学表达式表示出来，再化简即可；（2）直线与曲线相交有且只有一个公共点，即为相切，可以用几何关系：圆心到直线的距离等于半径．求点的轨迹方程，求哪个点最好就设哪个点的坐标，再根据已知，用数学关系式表述x 与y之间的关系，化简即可；（2）中主要考查直线与圆相切的情况，属于基础题．20.【答案】（1）证明：如图，在直角梯形ABCD中，过D作DE⊥AB于E，由已知可得AD=2，AE=1，则DE=，∴∠BAD=，则△ABD为正三角形，又△PAD为正三角形，M为线段AD的中点，可得PM⊥AD，BM⊥AD，又PM∩BM=M，∴AD⊥平面PBM，而AD⊂平面ABCD，∴平面PMB⊥平面ABCD；（2）解：在平面PMB中，过B作BO⊥PM，垂足为O，则BO⊥平面PAD，连接AO，则AO为AB在平面PAD内的射影，∴∠BAO为直线BA与平面PAD所成角，在等边三角形ABD中，由AB=2，求得BM=，由二面角P-AD-C的大小为，可得，∴BO=，又AB=2，∴直线BA与平面PAD所成角的正弦值为．【解析】（1）由题意画出图形，在直角梯形ABCD中，过D作DE⊥AB于E，求解三角形可得△ABD为正三角形，又△PAD为正三角形，M为线段AD的中点，可得PM⊥AD，BM⊥AD，再由线面垂直的判定可得AD⊥平面PBM，从而得到平面PMB⊥平面ABCD；（2）在平面PMB中，过B作BO⊥PM，垂足为O，则BO⊥平面PAD，连接AO，则∠BAO 为直线BA与平面PAD所成角，然后求解三角形得答案．本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了线面角的求法，是中档题．21.【答案】解：（1）设抛物线的方程为y2=2ax（a＞0），点P（1，2）在抛物线上，可得22=2a×1，解得a=2，则抛物线的方程为y2=4x；（2）证明：设A（，y1），B（，y2），又P（1，2），可得k1+k2=+=-4，化为y1y2=-3（y1+y2）-8，①则直线AB的方程为y-y1=（x-），即为y=x+，将①代入上式可得y=（x-2）-3，由x=2可得y=-3，则直线AB恒过定点M（2，-3）；（3）当PM⊥AB时，P到直线AB的距离最大，由k AB k PM=-1，可得k AB=-=，则直线AB的方程为y+3=（x-2），即x=5y+17，代入抛物线方程y2=4x可得y2-20y-68=0，△=202+4×68＞0成立，y1+y2=20，y1y2=-68，|AB|=•=•=8，则△PAB的面积为S=|PM|•|AB|=×8=52．【解析】（1）设抛物线的方程为y2=2ax（a＞0），将P（1，2）代入抛物线方程，解得a，可得所求抛物线方程；（2）设A（，y1），B（，y2），由直线的斜率公式可得PA，PB的斜率，由条件可得y1，y2的关系，由点斜式方程可得直线AB的方程，化简整理，结合直线恒过定点的求法，可得证明；（3）当PM⊥AB时，P到直线AB的距离最大，由两直线垂直的条件可得此时AB的斜率，以及直线AB的方程，代入抛物线方程消去x，运用韦达定理和弦长公式，可得|AB|，再由三角形的面积公式，计算可得所求值．本题考查抛物线的方程和运用，考查直线恒过定点的求法，以及直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查化简运算能力，属于中档题．22.【答案】解：（1）f（x）=x2-x-a ln x（x＞0），则f'（x）=，f（1）=0，∵不等式f（x）＜0无解，∴f（x）极小值=f（1），∴f'（1）=2-1-a=0，∴a=1；（2）∵函数f（x）存在两个极值点x1、x2，且x1＜x2，∴f'（x）在（0，+∞）上有两个不相等的实根，即x1、x2是方程2x2-x-a=0的两个不相等的正实根，∴，．令，则0＜t＜1，∴==-==，令g（t）=（0＜t＜1），则g'（t）=，∴g（t）在（0，1）上单调递增，∴g（t）＜g（1）=0．∵当恒成立，∴m＞g（t）在（0，1）上恒成立，∴m≥g（1）=0，∴实数m的最小值为0．【解析】（1）根据f（1）=0和不等式f（x）＜0无解，可得f（x）极小值=f（1），进一步得到f'（1）=0，解方程求出a的值；（2）根据条件可知x1、x2是方程2x2-x-a=0的两个不相等的正实根，然后令，由条件可得=．构造函数g（t）=（0＜t＜1），由恒成立，可知m＞g（t）在（0，1）上恒成立，进一步求出m的最小值．本考查了不等式无解问题，不等式恒成立问题和利用导数研究函数的单调性与最值，考查了转化思想和函数思想，属难题．。

浙江省杭州地区(含周边)重点中学2020-2021学年高二下学期期中联考数学试题及答案

2020学年第二学期期中杭州地区(含周边)重点中学高二年级数学学科参考答案一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合要求的．）12345678910C B C B A D A D BB 二、填空题：（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.）11．26(3,6,5)-12．43π5313．8；1014．()06-，；()03-，15．6416．2317．1(,1]2三、解答题：（本大题共5小题，共74分.）18．解：（1）22a =，33a =，44a =………………………6分（2）猜想n a n =………………………8分下面用数学归纳法证明n a n =．①当1n =时，11a =．等式成立②假设n k =时，等式也成立，即k a k =．则1n k =+时，222212121(1)k k a k a k k k +=-+=-+=+．由数列{}n a 为正项数列，所以11k a k +=+，即1n k =+时也成立由①②知等式n a n =成立.………………………14分19．解：（1）取AB 的中点G ，连接1,EG A G .,E F 分别为BC 与11A C 的中点，112EG AC F ∴∥∥∴四边形1A GEF 为平行四边形，1EF A G ∴∥………………………4分1111,A G ABB A EF ABB A⊂⊄ 平面平面∴EF ∥平面11ABB A ；………………………6分（2）1EF A G∥∴EF 与平面11ACC A 所成角即1A G 与平面11ACC A 所成角.过点G 作GH AC ⊥交AC 于点H ，连接1A H ,11,A C B C .ABC △G 为AB 的中点，242AC AH ∴==111,AB BC AB B B AB A B ⊥⊥ ，∥，1111A B BCC B ∴⊥平面，111A B B C ∴⊥，四边形11BCC B 为菱形，且160B BC ∠=︒，12,B C ∴=由2221111A B B C A C +=可得122A C =.22211111cos 222AA AC A C A AC AA AC +-∴∠==⋅.112cos 4AH A AH AA ==∠ ，1A H AC ∴⊥，AC ∴⊥平面1A GH ,AC ⊂ 平面11ACC A ，∴平面1A GH ⊥平面11ACC A ，1GA H ∴∠为1A G 与平面11ACC A 所成角.………………………10分70821452212752cos 11221211=⋅-+=⋅-+=∠H A G A GH H A G A H GA ,∴直线EF 与平面11ACC A 所成角的正弦值为35105.………………………15分（其他解法酌情给分）20．解：（1）01655r d -+===，所以圆方程为22(1)5x y +-=.………………………5分（2）（i ）当01x =时，(1,3),(1,1)M N -，此时直线AM 的方程为20x y -+=.12222d -+==,22(21)(01)2BN =-++=∴12d BN =………………………8分（ii ）12d BN =下面证明：2BN d =.设00(,),M x y 则00(,2)N x y -直线AM 的方程为：00(2)2y y x x =++，即000(2)20y x x y y -++=002200220022(2)(2)(2)x y d BN x y x y --+==-+-++证224BN d =即)()()22222000000(2)(2)(2)422x y x y x y -+-++=+-将2200(1)5x y +-=代入可得：()()()20000006(2)4(2)2(2)x y x y x y -+++=+-化简得到：左边22000205510x y y ==+-=右边.故12d BN =成立.………………………15分（其他解法酌情给分）21．解析：（1）()1a x a f x x x-'=-=，………………………2分当0a ≤时，()0f x '≥，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增；………………………4分当0a <时，令()0f x '=，a x =.()0f x '<时，(0,)x a ∈，()0f x '>时，(,)x a ∈+∞.所以()f x 在区间(0,)a 上单调递减，在区间(,)a +∞上单调递增.………………………7分（2）()0f x ≥即()min ln b x a x a ≤-+，令()ln g x x a x a =-+，由（1）可得：()g x 的最小值为()2ln g a a a a =-.所以2ln b a a a ≤-，222ln b a a a a a -≤--.………………………10分令2()2ln ,()12ln h x x x x x h x x x '=--=--.易得()h x '在(0,)+∞上单调递减，有1()0,(1)02h h ''><，故()h x '在1(,1)2上存在唯一的零点0x ，0()0h x '=.()h x 在01(,)2x 上单调递增，在0(,1)x 上单调递减.所以22000000001()()2ln ,(,1)2h x h x x x x x x x x ≤=--=+∈.所以0()(1)2h x h <=，所以222ln 2b a a a a a -≤--<，得证.………………………15分（其他解法酌情给分）22．解：（1）设直线PQ 方程为(1)2y k x =-+，以及点1122(,),(,)P x y Q x y ，联立抛物线与直线PQ 方程得24480x kx k -+-=，则1212448x x k x x k +=⎧⎨=-⎩…………………2分因为A 为线段PQ 的中点，所以12k =.12PQ x =-=………………………5分（2）设点00(,)B x y ，由()=,0AP PB AQ QB λλλ=-> 由得到0101112+1+x x y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪⎩，02021121x x y y λλλλ-⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩………………………7分1122(,),(,)P x y Q x y 分别带入抛物线C 方程，整理得220000(4)(248)70x y x y λλ-+---=()()220000(4)(248)70x y x y λλ--+----=将上述两式相减得，或者将λλ-，看作上述方程的两个根：()()002200002487,44x y x y x y λλλλ---+-=--=--得00248=0x y --即B 在定直线':240l x y --=上运动。

2020浙江高二下学期期中联考数学试题含答案

2020浙江⾼⼆下学期期中联考数学试题含答案数学试题注意事项：1. 本科⽬考试分试题卷和答题卷，考⽣须在答题卷上作答。

2. 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（⾮选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共40分）⼀、选择题（本⼤题共10⼩题，每⼩题4分，共40分。

在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的。

）1．若全集{}2,1,0,1-=U ，{}3|2<∈=x Z x A ，则=A C U （▲）A.{}2B.{}2,0C.{}2,1-D.{}2,0,1-2．已知复数z 满⾜i z i 31)1(-=+（i 是虚数单位），则复数z 在复平⾯内对应的点在（▲） A. 第⼀象限 B. 第⼆象限 C. 第三象限 D. 第四象限3．已知 2log ,0()3,0x x x f x x >?=?≤?，则=)]21([f f （▲）A. 13-B. 13C. 3D. 3-4．已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平⾯，则下列命题正确的是（▲） A. 若//,//m n αα，则//m n B. 若//,mααβ⊥，则m β⊥C. 若//,//m m αβ，则//αβD. 若//,,m n m n αβ⊥?，则αβ⊥5．等⽐数列{}n a 中，01>a ，则“31a a <”是“41a a <”的（▲）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分⼜不必要条件 6．若某空间⼏何体的三视图如图所⽰，则该⼏何体的表⾯积是（▲）2cmA. 5B. 325+C. 225+D. 77．已知21,F F 分别是双曲线)0,0(12222>>=-b a b ya x 的左、右焦点，若双曲线右⽀上存在点A ，使1230F AF ∠=o ，且线段1AF 的中点在y 轴上，则双曲线的离⼼率是（▲）42251055俯视图左视图正视图A. 32+B. 3C.332 D. 32 8．把函数()cos()(0)6f x x π23π个单位长度后与原图像重合，则当ω取最⼩值时，()f x 的单调递减区间是（▲） A.5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈ B.7[,]()1212k k k Z ππππ--∈ C.225[,]()318318k k k Z ππππ-+∈ D.272[,]()318318k k k Z ππππ--∈ 9．在ABC ?中，⾓C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若函数1)(31)(2223+-+++=x ac c a bx x x f 有极值点，则)32sin(π+B 的最⼩值是（▲）A. 0B. 1-C.23 D. 23- 10．设函数)(x f 的定义域为D ，若存在闭区间D b a ?],[，使得函数)(x f 满⾜：①)(x f 在],[b a 上是单调函数；②)(x f 在],[b a 上的值域是]2,2[b a ，则称区间],[b a 是函数)(x f 的“和谐区间”．下列结论错．误．的是（▲） A. 函数)0()(2≥=x x x f 存在“和谐区间” B. 函数)(3)(R x x x f ∈+=不存在“和谐区间” C. 函数)0(14)(2≥+=x x xx f 存在“和谐区间” D. 函数)81(log )(-=x c c x f （0>c 且1≠c ）不存在“和谐区间”第Ⅱ卷（⾮选择题部分，共110分）⼆、填空题（本⼤题共7⼩题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11．椭圆22143x y +=的长轴长是▲，离⼼率是▲． 12．设数列{}n a 是公差为d 的等差数列，99,105642531=++=++a a a a a a ．则=n a ▲；数列{}n a 的前n 项和n S 取得最⼤值时，=n ▲．≤-≥-+≥+-020101x y x y x ，则y x z +=2的最⼤值为▲；22)1()1(++-y x 的最⼩值为▲．14. 若函数221,0(),0(2),0x x x f x a x g x x ?+->?==??为奇函数，则=a ▲，=-)]2([g f ▲．15. 已知)cos()(m x x x f ++=为奇函数，且m 满⾜不等式01582<+-m m ，则实数m 的值为▲．16.正⽅体1111D C B A ABCD -中，点P 在线段C A 1上运动（包括端点），则BP 与1AD 所成⾓的取值范围是▲．17．设M 是ABC ?内⼀点，32=?，?=∠60BAC ，定义),,()(p n m M f = 其中p n m ,,分别是MAB MAC MBC ,,的⾯积，若),,2()(y x M f =，a yx =+41，则a a 22+的取值范围是▲．三、解答题（本⼤题共5⼩题，共74分。

2020年浙江省杭州市高二(下)期中数学试卷解析版

期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.函数f （x ）=cos x （sin x +1）的导数是（）A. cos2x +sin xB. cos2x -sin xC. cos2x +cos xD. cos2x -cos x 2.若函数y =x 3+x 2+mx +1是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是（）A. （，+∞）B. （-∞，]C. [，+∞）D. （-∞，）3.用数学归纳法证明1-+-+…+-=++…+（n ∈N *），则从“n =k 到n =k +1”，左边所要添加的项是（）A. B. -C. -D.-4.自二面角内一点分别向两个面引垂线，它们所成的角与二面角的平面角（）A. 相等 B. 互补 C. 相等或互补 D. 不能确定5.抛物线y 2=4x 的焦点为F ，弦AB 过F ，原点为O ，抛物线准线与x 轴交于点C ，∠OFA =135°，则tan ∠ACB 等于（）A.B. C. D.6.已知点E ，F 分别是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱AB ，AA 1的中点，点M ，N 分别是线段D 1E 与C 1F 上的点，则与平面ABCD 垂直的直线MN 有（）A. 0条B. 1条C. 2条D. 无数条7.如图，矩形ABCD 中，AB =3，BC =4，沿对角线BD 将△ABD 折起，使A 点在平面BCD 内的射影落在BC 边上，若二面角C -AB -D 的平面角大小为θ，则sinθ的值等于（）A.B.C.D.8.三边长均为正整数，且最大边长为11的三角形的个数为（）A. 25 B. 26 C. 36 D. 379.已知P-ABC是正四面体（所有棱长都相等的四面体），E是PA中点，F是BC上靠近点B的三等分点，设EF与PA、PB、PC所成角分别为α、β、γ，则（）A. β＞γ＞αB. γ＞β＞αC. α＞β＞γD. α＞γ＞β10.已知不等式e x-4x+2≥ax+b（a，b∈R，且a≠-4）对任意实数x恒成立，则的最大值为（）A. 2-2ln 2B. -1-ln 2C. -2ln 2D. -ln 2二、填空题（本大题共7小题，共42.0分）11.设i为虚数单位，则复数的虚部为______，模为______．12.过原点作曲线y=e x的切线，则切点的坐标为______，切线的斜率为______．13.正四面体ABCD的棱长为2，棱AB∥平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的最小值是______，最大值是______．14.已知双曲线C：=1（t＞0）的其中一条渐近线经过点（1，1），则该双曲线的右顶点的坐标为______，渐近线方程为______．15.如图，正三棱柱ABC-A1B1C1（底面是正三角形，侧棱垂直底面）的各条棱长均相等，D为AA1的中点．M、N分别是BB1、CC1上的动点（含端点），且满足BM=C1N．当M、N运动时，下列结论中正确的是______（填上所有正确命题的序号）．①平面DMN⊥平面BCC1B1；②三棱锥A1-DMN的体积为定值；③△DMN可能为直角三角形；④平面DMN与平面ABC所成的锐二面角范围为．16.一条街道上有10盏路灯，将路灯依次排列并编号1～10．有关部门要求晚上这10盏路灯中相邻的两盏灯不能全开，且这10盏路灯中至少打开两盏路灯．则符合要求的开法总数是______．17.已知函数f（x）=的图象恰好经过三个象限，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）18.用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数．（1）在组成的五位数中，所有奇数的个数有多少？（2）在组成的五位数中，数字1和3相邻的个数有多少？（3）在组成的五位数中，若从小到大排列，30124排第几个？19.已知函数f（x）=（-1）ln x．（1）求f（x）的图象在点x=1处的切线方程；（2）求f（x）在区间[]上的取值范围．20.已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形，∠ADC=120°，AD的中点M是顶点P的底面ABCD的射影，N是PC的中点．（Ⅰ）求证：平面MPB⊥平面PBC；（Ⅱ）若MP=MC，求直线BN与平面PMC所成角的正弦值．21.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，抛物线E：y2=4x的焦点恰好是椭圆C的右焦点F．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点F作两条斜率都存在的直线l1，l2，l1交椭圆C于点A，B，l2交椭圆C 于点G，H，若|AF|是|AH|-|FH|与|AH|+|FH|的等比中项，求|AF|•|FB|+|GF|•|FH|的最小值．22.函数．（1）若f（x）是定义域上的单调函数，求a的取值范围；（2）设分别为函数f（x）的极大值和极小值，若s=m-n，求s的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：f′（x）=-sin x（sin x+1）+cos x•cos x=cos2x-sin2x-sin x=cos2x-sin x．故选：B．进行基本初等函数和积的导数的求导即可．考查基本初等函数和积的导数的求导公式．2.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系．属于基础题.当导数大于0是原函数单调递增，当导数小于0时原函数单调递减．对函数进行求导，令导函数大于等于0在R上恒成立即可．【解答】解：若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，只需y′=3x2+2x+m≥0恒成立，即△=4-12m≤0，∴m≥,则实数m的取值范围是[，+∞）.故选C.3.【答案】D【解析】解：当n=k时，等式的左边为1-+-+…+-，当n=k+1时，等式的左边为1-+-+…+-+，故从“n=k到n=k+1”，左边所要添加的项是．故选：D．根据式子的结构特征，求出当n=k时，等式的左边，再求出n=k+1 时，等式的左边，比较可得所求．本题考查用数学归纳法证明等式，注意式子的结构特征，以及从n=k到n=k+1项的变化．4.【答案】B【解析】解：设二面角的棱为l，自二面角内一点分别向两个面引垂线，两条交线确定的平面与已知平面的交线分别为BD，CD，则l⊥平面ABDC，∠BDC为二面角的平面角，由四边形的内角和为360°，可知∠BDC与∠BAC互补∴自二面角内一点分别向两个面引垂线，它们所成的角与二面角的平面角互补故选：B．设二面角的棱为l，自二面角内一点分别向两个面引垂线，两条交线确定的平面与已知平面的交线分别为BD，CD，则l⊥平面ABDC，∠BDC 为二面角的平面角，由四边形的内角和为360°，可得结论．本题考查二面角的平面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．5.【答案】D【解析】解：∵抛物线方程为y2=2px=4x∴p=2∵焦点F坐标为（，0），准线l方程为x=-．∴F点坐标为（1，0），准线l方程x=-1∴C点坐标为（-1，0）∵∠OFA=135°∴直线AB的斜率为1，∵直线AB经过点F（1，0）∴直线AB方程为y=x-1，又∵点A与点B在抛物线上，∴两方程联立，得到x2-6x+1=0解得A（3+2，2+2）B（3-2，2-2）∴=（4-2，2-2），=（4+2，2+2）∴cos∠ACB==，sin∠ACB=，tan∠ACB=2．故选：D．AB方程y=x-1，与抛物线方程y2=4x联立，解得A，B的坐标，即可求出tan∠ACB．本题考查直线与抛物线的位置关系，考查同角三角函数基本关系式，正确求出A，B的坐标是关键．6.【答案】B【解析】解：设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，以C为原点建立空间直角坐标系，则D1（2，0，2），E（1，2，0），=（-1，2，-2），C1（0，0，2），F（2，2，1），=（2，2，-1），设=λ，则M（2-λ，2λ，2-2λ），设=t，则N（2t，2t，2-t），∴=（2t-2+λ，2t-2λ，2λ-t），∵直线MN与平面ABCD垂直，∴，解得λ=t=，∵方程组只有唯一的一组解，∴与平面ABCD垂直的直线MN有1条．故选：B．设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，以C为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求出与平面ABCD垂直的直线MN只有1条．本题考查空间直线与平面的位置关系，主要是直线与平面平行的判断和面面平行的判定与性质，考查空间想象能力和简单推理能力．7.【答案】A【解析】【分析】本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，其中求出二面角的平面角是解答本题的关键．根据已知中矩形ABCD中，AB=3，BC=4，沿对角线BD将△ABD折起，使A点在平面BCD 内的射影落在BC边上，若二面角C-AB-D的平面角大小为θ，我们可以得到∠CAD是二面角C-AB-D的平面角，解三角形CAD即可得到答案．【解答】解：由AO⊥平面BCD，CD在平面BCD内，知AO⊥CD又CD⊥BC，且AO交BC于O，故CD⊥平面ABC又AB在平面ABC内，故CD⊥AB，又DA⊥AB，且CD交DA于D，故AB⊥平面ACD，又AC在平面ACD内，故AB⊥AC，又AB⊥AD故∠CAD是二面角C-AB-D的平面角在△CAD中，由CD⊥平面ABC，AC在平面ABC内，可知CD⊥AC又CD =3，AD=4，故sin∠CAD==故选：A．8.【答案】C【解析】解：由题意知本题是一个分类计数问题，另外两边长用x，y表示，且不妨设1≤x≤y≤11，要构成三角形，必须x+y≥12．当y取值11时，x=1，2，3，…，11，可有11个三角形；当y取值10时，x=2，3，…，10，可有9个三角形；当y取值分别为9，8，7，6时，x取值个数分别是7，5，3，1，∴根据分类计数原理知所求三角形的个数为11+9+7+5+3+1=36．故选C．本题是一个分类计数问题，最长的边长度是11，另外两边长用x，y表示，要构成三角形必须x+y≥12，列举出当y分别从11，10，9，8，7，6时，对应的三角形的个数，根据分类计数原理得到结果．本题考查分类计数原理，考查组成三角形的条件，考查分类讨论思想的应用，是一个比较简单的综合题目，这种题目出现的几率比较大．9.【答案】D【解析】【分析】取AC中点G，连结PG，过B作BO⊥平面PAC，交PG于点O，在平面PAC中过O作OD∥AC，交PA于D，以O为原点，OP为x轴，OD为y轴，OB为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出α＞γ＞β．本题考查异面直线所成角的大小的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．【解答】解：取AC中点G，连结PG，过B作BO⊥平面PAC，交PG于点O，在平面PAC中过O作OD∥AC，交PA于D，设正四面体棱长为2，则OG===，PO==，BO==，以O为原点，OP为x轴，OD为y轴，OB为z轴，建立空间直角坐标系，则P（，0，0），A（-，1，0），B（0，0，），C（-，-1，0），E（，，0），F（-，-，），=（-，-，），=（-，1，0），=（-，0，），=（-，-1，0），∵EF与PA、PB、PC所成角分别为α、β、γ，∴cosα===0，∴α=90°，cosβ===，cosγ===，∴α＞γ＞β．故选：D．10.【答案】D【解析】【分析】不等式化为e x-（a+4）x+2-b≥0恒成立，构造函数f（x）=e x-（a+4）x+2-b，利用导数f′（x）判断f（x）的单调性，求f（x）的最值，转化为的不等式，从而求出它的最大值．本题考查了不等式恒成立问题，也考查了利用导数研究函数的单调性与求最值问题，是综合题．【解答】解：不等式e x-4x+2≥ax+b化为e x-（a+4）x+2-b≥0，令f（x）=e x-（a+4）x+2-b，则f′（x）=e x-（a+4），若a＜-4，则f′（x）＞0，函数f（x）函数单调增，当x→-∞时，f（x）→-∞，不可能恒有f（x）≥0；若a＞-4，由f′（x）=e x-（a+4）=0，得极小值点x=ln（a+4），由f（ln（a+4））=（a+4）-（a+4）ln（a+4）+2-b≥0，得b≤（a+4）-（a+4）ln（a+4）+2，则≤=1-ln（a+4）-，令g（t）=1-ln t-，t=a+4＞0，则g′（t）=-+=，则当0＜t＜2时，g′（t）＞0，当t＞2时，g′（t）＜0，则当t=2时，g（t）取得极大值，而g（2）=1-ln2-=-ln2，∴的最大值为-ln2．故选：D．11.【答案】-2【解析】解：∵=，∴复数的虚部为-2；模为．故答案为：-2；．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数的模求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．12.【答案】（1，e）e【解析】解：设切点为（m，n），y=e x的导数为y′=e x，即有切线的斜率为k=e m，切线的方程为y-n=e m（x-m），代入原点（0，0），可得n=me m，又n=e m，解得m=1，n=e，则切线的斜率为e．故答案为：（1，e）；e．设切点为（m，n），求出导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程，代入原点，解方程可得m=1，进而得到切线的斜率．本题考查导数的运用：求切线的斜率，正确确定切点和运用直线方程是解题的关键．13.【答案】 2【解析】解：因为正四面体的对角线互相垂直，且棱AB∥平面α，当CD∥平面α，这时的投影面是对角线为2的正方形，此时面积最大，是2×=2．当CD⊥平面α时，射影面的面积最小，此时构成的三角形底边是2，高是直线CD到AB的距离，为，射影面的面积是=．∴正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的最小值是，最大值是2．故答案为：，2．当CD∥平面α，这时的投影面是对角线为2的正方形，此时射影面的面积最大，当CD⊥平面α时，射影面的面积最小，由此能求出结果．本题考查射影构成的图形面积的最值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．14.【答案】（，0）y=±x【解析】解：由题意可得双曲线的渐近线方程为：x-y=0，双曲线C：=1（t＞0）的其中一条渐近线经过点（1，1），可得t=2，所以双曲线的右顶点的坐标为（，0），双曲线方程为：=1，渐近线方程为：y=±x．故答案为：（，0）；y=±x．求出双曲线的渐近线方程，代入点的坐标，求出t，然后求解右顶点的坐标，渐近线方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．15.【答案】①②④【解析】解：如图，当M、N分别在BB1、CC1上运动时，若满足BM=C1N，则线段MN必过正方形BCC1B1的中心O，而DO⊥平面BCC1B1，∴平面DMN⊥平面BCC1B1，①正确；当M、N分别在BB1、CC1上运动时，△A1DM的面积不变，N到平面A1DM的距离不变，∴棱锥N-A1DM的体积不变，即三棱锥A1-DMN的体积为定值，②正确；若△DMN为直角三角形，则必是以∠MDN为直角的直角三角形，但MN的最大值为BC1，而此时DM，DN的长大于BB1，∴△DMN不可能为直角三角形，③错误；当M、N分别为BB1，CC1中点时，平面DMN与平面ABC所成的角为0，当M与B重合，N与C1重合时，平面DMN与平面ABC所成的锐二面角最大，为∠C1BC，等于．∴平面DMN与平面ABC所成的锐二面角范围为（0，]，④正确，∴正确的是①②④．故答案为：①②④．由BM=C1N，得线段MN必过正方形BCC1B1的中心O，由DO⊥平面BCC1B1，可得平面DMN⊥平面BCC1B1；由△A1DM的面积不变，N到平面A1DM的距离不变，得到三棱锥A1-DMN的体积为定值；利用反证法思想说明△DMN不可能为直角三角形；平面DMN与平面ABC平行时所成角为0，当M与B重合，N与C1重合时，平面DMN与平面ABC所成的锐二面角最大．本题考查了命题的真假判断与应用，考查了棱柱的结构特征，考查了空间想象能力和思维能力，是中档题．16.【答案】133【解析】解：根据题意，分4种情况讨论：①，10盏路灯中开2盏路灯，相邻的两盏灯不能全开，有C92=36种开法；②，10盏路灯中开3盏路灯，相邻的两盏灯不能全开，有C83=56种开法；③，10盏路灯中开4盏路灯，相邻的两盏灯不能全开，有C74=35种开法；④，10盏路灯中开5盏路灯，相邻的两盏灯不能全开，有C65=6种开法；则有36+56+35+6=133种符合要求的开法；故答案为：133．根据题意，按打开路灯的数目分4种情况讨论，求出每种情况的开法数目，由加法原理计算即可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分类加法计数原理，属于基础题．17.【答案】【解析】解：（1）当a＜0时，f（x）在（-∞，0]上单调递减，又f（0）=-1，故f（x）的图象经过第二、三象限，当x＞0时，f（x）=，∴f′（x）=．①若a≤-1，则f′（x）＞0恒成立，又当x→0+时，f（x）→2，∴f（x）的图象在（0，+∞）上经过第一象限，符合题意；②当-1＜a＜0时，f′（x）＞0在[2，+∞）上恒成立，当0＜x＜2时，令f′（x）=0可得x=＜，∴f（x）在（0，）上单调递减，在（，2）上单调递增，又f（）=-（a+1）+2=2（1-）＞0，∴f（x）的图象在（0，+∞）上经过第一象限，符合题意；（2）当a=0时，f（x）在（-∞，0）只经过第三象限，f（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上的图象只经过第一象限，不符合题意；（3）当a＞0时，f（x）在（-∞，0）上单调递增，故f（x）在（-∞，0]上的图象只经过第三象限，∴f（x）在（0，+∞）上的最小值＜0．当0＜x＜2时，令f′（x）=0可得x=，若＜2，即a＜11时，f（x）在（0，+∞）上的最小值为f（）=2（1-），令2（1-）＜0，解得a＞2，∴2＜a＜11．若≥2即a≥11时，则f（x）在（0，2）上单调递减，当x≥2时，令f′（x）=0可得x=，若≤2，即11≤a≤13时，f（x）在（2，+∞）上单调递增，故f（x）在（0，+∞）上的最小值为f（2）=8-2a，令8-2a＜0解得a＞4，故而11≤a≤13，若＞2，即a＞13时，f（x）在（2，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，故f（x）在（0，+∞）上的最小值为f（）=-，显然-＜0恒成立，故而a＞13．综上，a＜0或a＞2．故答案为：．分情况讨论f（x）的单调性，计算f（x）在（0，+∞）上的最小值，根据函数图象经过的象限得出最小值与0的关系，从而得出a的范围．本题考查了函数单调性判断与最值计算，属于中档题．18.【答案】解：（1）依题意，所有奇数的个数为=36个；（2）数字1和3相邻的个数有=36个；（3）比30124小的数的个数为：=48个，所以在组成的五位数中，若从小到大排列，30124排第49个．【解析】（1）先排个位，再排首位，其它可以全排列，根据乘法原理即可得到结果；（2）使用捆绑法结合计数原理计算即可；（3）计算出比30124小的五位数的个数，即可得到30124排第几．本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数问题，考查间接法，属于中档题．19.【答案】解：（1）∵函数f（x）=（-1）ln x，∴ln x+（-1）=，∴=0．又f（1）=（-1）ln1=0，所以f（x）的图象在点x=1处的切线方程为y=0．（2）由（1）知f′（x）=，令g（x）=ln x+2（1-）∵y=ln x与y=1-都是区间（0，+∞）上的增函数，∴g（x）=ln x+2（1-）是（0，+∞）上的增函数．又g（1）=0，∴当x＞1时，g（x）＞0，即f′（x）＞0，此时f（x）在[]递增；当0＜x＜1时，g（x）＜0，即f′（x）＜0，此时f（x）[]递减；又f（1）=0，f（）=（-1）ln=ln2，f（2）=（）ln2．∴[f（x）]min=0，[f（x）]max=max{f（2），f（）}=（-1）ln2，∴f（x）在区间[]的取值范围为[0，（）ln2]．【解析】本题考查函数的切线方程的求法，考查函数在半区间上的取值范围的求法，考查导数的几何意义、导数的性质、函数的单调性、最值等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．（1）求出f′（x）=，利用导数的几何意义能求出f（x）的图象在点x=1处的切线方程．（2）f′（x）=．由y=ln x与y=1-都是区间（0，+∞）上的增函数，得g（x）=ln x+2（1-）是（0，+∞）上的增函数．由此能求出f（x）在区间[]的取值范围．20.【答案】（Ⅰ）证明：在菱形ABCD中，设AB=2a，M是AD的中点，MB2=AM2+AB2-2AM•AB•cos60°=3a2，MC2=DM2+DC2-2DM•DC•cos120°=7a2．又∵BC2=4a2，∴MB2+BC2=MC2，∴MB⊥BC，又∵P在底面ABCD的射影M是AD的中点，∴PM⊥平面ABCD，又∵BC⊂平面ABCD，∴PM⊥BC，而PM∩MB=M，PM，MB⊂平面PMB，∴BC⊥平面PMB，又BC⊂平面PBC，∴平面MPB⊥平面PBC．（Ⅱ）解：过B作BH⊥MC，连接HN，∵PM⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴BH⊥PM，又∵PM，MC⊂平面PMC，PM∩MC=M，∴BH⊥平面PMC，∴HN为直线BN在平面PMC上的射影，故∠BNH为直线BN与平面PMC所成的角，在△MBC中，由（Ⅰ）知BC⊥平面PMB，PB⊂平面PMB，∴PB⊥BC．，∴直线BN与平面PMC所成角的正弦值为．【解析】（Ⅰ）证明BC⊥平面PMB，即可证明：平面MPB⊥平面PBC；（Ⅱ）过B作BH⊥MC，连接HN，证明∠BNH为直线BN与平面PMC所成的角，即可求直线BN与平面PMC所成角的正弦值．本题考查线面垂直、面面垂直的证明，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21.【答案】解：（1）抛物线E：y2=4x的焦点为（1，0），可得F（1，0），即c=1，由离心率e=，即=，解得a=2，b==，则椭圆方程为+=1；（2）若|AF|是|AH|-|FH|与|AH|+|FH|的等比中项，可得|AF|2=（|AH|-|FH|）（|AH|+|FH|）=|AH|2-|FH|2，即AF⊥FH，设l1的方程为：y=k（x-1），l2的方程为：y=-（x-1），设A（x1，y1），B（x2，y2），G（x3，y3），H（x4，y4）．由消去y得：（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0，可得x1+x2=，x1x2=，同理x3+x4=，x3x4=，∴|AF|•|FB|+|FG|•|HF|=（2-x1）•（2-x2）+（2-x3）•（2-x4）=4-（x1+x2）+x1x2+4-（x3+x4）+x3x4=8-+•-+•=6-3•=6-3•=6-3•=6-3•，由3k2+≥2=6，当且仅当k4=1，即k=±1时，上式取得等号，则|AF|•|FB|+|GF|•|FH|的最小值为．【解析】本题考查椭圆及抛物线的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，焦半径公式及基本不等式的综合运用，属于难题．（1）求得抛物线的焦点可得c=1，再由离心率公式可得a，进而求得b的值，求得椭圆方程的标准方程；（2）运用等比数列中项性质可得|AF|2=（|AH|-|FH|）（|AH|+|FH|）=|AH|2-|FH|2，即AF⊥FH，设直线l1、l2的方程，将直线l1、l2代入代入椭圆方程，利用韦达定理，表示出|AF|•|FB|+|GF|•|FH|=（2-x1）•（2-x2）+（2-x3）•（2-x4），由基本不等式性质可知3k2+，即k=±1时，可得|AF|•|FB|+|FG|•|HF|的最小值．22.【答案】解：（1）函数．定义域为（0，+∞），∴f′（x）=a+-=，∵函数f（x）在定义域（0，+∞）内为单调函数，∴f'（x）≤0或f'（x）≥0在（0，+∞）恒成立，①当a=0时，f′（x）=-＜0在（0，+∞）内恒成立，∴a=0满足题意；②当a＞0时，设g（x）=ax2-2x+a（x∈（0，+∞））由题意知△=4-4a2≤0∴a≤-1或a≥1又∵a＞0，∴a≥1，所以a的取值范围为：a=0或a≥1，（2）由导函数的ax2-2x+a，得△＞0得4-4a2＞0，即-1＜a＜1且＜a＜1，得＜a＜1，此时设f'（x）=0的两根为x1，x2，（x1＜x2），所以m=f（x1），n=f（x2），因为x1x2=1，所以x1＜1＜x2，由＜a＜1，且ax12-2x1+a=0，得＜x1＜1，所以s=m-n=ax1--2ln x1-（ax2--2ln x2）=ax1--2ln x1-（-ax1+2ln x1）=2（ax1--2ln x1），由ax12-2x1+a=0，得a=，代入上式得，s=4（-ln x1）=4（-ln x12），令x12=t，所以＜t＜1，g（x）=-ln x，则s=4g（t），g′（t）=＜0，所以g（x）在[，1]上单调递减，从而g（1）＜g（t）＜g（），即0＜g（t）＜，所以0＜s＜．s的取值范围是0＜s＜．【解析】（1）求出函数导数，令它大于等于0和小于等于0，其在定义域上恒成立，分类讨论a即可得到啊的范围，注意定义域；（2）设f'（x）=0的两根为x1，x2，（x1＜x2），所以m=f（x1），n=f（x2），因为x1x2=1，所以x 1＜1＜x 2，由＜a ＜1，且ax 12-2x 1+a =0，得＜x 1＜1，所以s =m -n =ax 1--2ln x 1-（ax 2--2ln x 2）=ax 1--2ln x 1-（-ax 1+2ln x 1）=2（ax 1--2ln x 1），由ax 12-2x 1+a =0，得a =，代入上式得，g （x ）=-ln x ，求导数，应用单调性，即可得到S 的范围．本题考查导数的综合应用：求单调区间和求极值，考查二次方程的两根的关系，构造函数应用导数判断单调性，是一道综合题．。

浙江省2020版高二下学期期中数学试卷(理科)B卷

浙江省2020版高二下学期期中数学试卷（理科）B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共15分)1. （1分） (2020高一下·滨海月考) 某单位有职工480人，其中青年职工210人，中年职工150人，老年职工120人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本.若样本中的青年职工为7人，则样本容量为________.2. （1分）(2013·广东理) 执行如图所示的程序框图，若输入n的值为4，则输出s的值为________．3. （1分） (2018高二下·泰州月考) 若的方差为3，则的方差为________.4. （1分）(2017·滨州模拟) 为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有________株树木的底部周长小于110cm．5. （1分） (2017高三下·长宁开学考) 从0，1，2，…，9这10个整数中任意取3个不同的数作为二次函数f（x）=ax2+bx+c的系数，则使得∈Z的概率为________．6. （1分）(2014·江西理) 10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________．7. （1分） (2015高二下·登封期中) 若复数z满足3z+ =1+i，其中i是虚数单位，则z=________．8. （1分）(2017·太原模拟) 已知（2x2+x﹣y）n的展开式中各项系数的和为32，则展开式中x5y2的系数为________．（用数字作答）9. （1分）校团委组织“中国梦，我的梦”知识演讲比赛活动，现有4名选手参加决赛，若每位选手都可以从4个备选题目中任选出一个进行演讲，则恰有一个题目没有被这4位选手选中的情况有________ 种．10. （1分） (2019高三上·太和月考) 二项式的展开式中的常数项是 ________．11. （1分） A，B两人下棋，A获胜的概率为30%，两人下成和棋的概率为20%，那么A不输的概率为________12. （2分） (2020高三上·浙江月考) 在17世纪，有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战，给他出了一道题目：甲、乙两个人赌博，他们两人获胜的机率相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，一共进行五局，赢家可以获得100法郎的奖励.当比赛进行到第四局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因中止了比赛，那么如何分配这100法郎才比较公平？因为甲输掉后两局的可能性只有，也就是说甲赢得后两局或后两局中任意赢一局的概率为，甲有75%的期望获得100法郎；而乙期望赢得100法郎就得在后两局均击败甲，乙连续赢得后两局的概率为，即乙有25%的期望获得100法郎奖金.这个故事里出现了“期望”这个词，数学期望由此而来.若某随机事件的概率分布列满足，则 ________；若，则 ________.13. （1分） (2019高二下·海东月考) 已知的展开式中，二项式系数和为，各项系数和为，则 ________．14. （1分）已知 ,则 ________．二、解答题 (共6题；共55分)15. （5分） (2017高一下·黄山期末) 已知关于x的二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1．（Ⅰ）设集合A={﹣1，1，2，3，4，5}和B={﹣2，﹣1，1，2，3，4}，分别从集合A，B中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．（Ⅱ）设点（a，b）是区域内的随机点，求函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．16. （10分） (2016高二上·黑龙江期中) 如图，在棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1E=CF=1．（1）求两条异面直线AC1与D1E所成角的余弦值；（2）求直线AC1与平面BED1F所成角的正弦值．17. （15分） (2016高二下·新洲期末) 某媒体对“男女延迟退休”这一公众关注的问题进行了民意调查，如表是在某单位得到的数据（人数）：（1）能否有90%以上的把握认为对这一问题的看法与性别有关？赞同反对合计男5611女11314合计16925（2）从赞同“男女延迟退休”16人中选出3人进行陈述发言，求事件“男士和女士各至少有1人发言”的概率；（3）若以这25人的样本数据来估计整个地区的总体数据，现从该地区（人数很多）任选5人，记赞同“男女延迟退休”的人数为X，求X的数学期望．附：p（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828K2= ．18. （5分）求二项式（x2+）10的展开式中的常数项？19. （10分）(2020·九江模拟) 已知椭圆的焦距为，短轴长为 .（1）求的方程；（2）若直线与相交于、两点，求以线段为直径的圆的标准方程.20. （10分） (2016高一下·合肥期中) 已知数列{an}的前n项和为Sn ， a1=1，an+1= Sn ．求证：（1）数列{ }成等比；（2） Sn+1=4an ．参考答案一、填空题 (共14题；共15分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：二、解答题 (共6题；共55分)答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、答案：16-2、考点：解析：答案：17-1、答案：17-2、答案：17-3、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：。

2020-2021学年浙江省杭州地区重点中学高二(下)期中数学试卷

2020-2021学年浙江省杭州地区重点中学高二（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知抛物线C：y2=2x，则抛物线C的焦点到准线的距离为()A. 14B. 12C. 1D. 22.设函数f(x)=x3−x，则f(x)在(1,0)处的切线斜率为()A. 0B. 2C. 3D. 13.若复数z=i(1+i)，则|z|=()A. 1B. √3C. √2D. 24.已知直线l1：2x+ay+b=0和l2：3x+3y+b+1=0，则“a=2”是“l1//l2”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5.关于不同的直线m，n与不同的平面α，β，下列四个选项正确的是()A. m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥nB. m//α，n//β，且α//β，则m//nC. m⊥α，n//β，且α⊥β，则m⊥nD. m⊂α，n⊂β，且α//β，则m//n6.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，若存在圆心在双曲线的一条渐近线上的圆，它与另一条渐近线、x轴都相切，则该双曲线的离心率为()A. 3B. √3C. √2D. 27.如图，在三棱锥P−ABC中，已知PA=PB=12AC=√2，AB=BC=2，平面PAB⊥平面ABC，则异面直线PC与AB所成角的余弦值为()A. √66B. √53C. √33D. √638.已知定义在(a,b)上的函数f(x)和g(x)的导函数f′(x)、g′(x)的图象如图所示，g′(x)图象在x2处与f′(x)的图象相切，则关于函数ℎ(x)=f(x)−g(x)的判断正确的是()A. 在区间(x 1,x 2)上先增后减B. x 2为极小值点C. 在区间(x 1,x 3)上单调递减D. 有1个极大值点，1个极小值点9. 若曲线C 1：(x 2−4y)(ky +x −3k)=0与曲线C 2：y =1+√−x 2−2x 的图象恰有三个不同的交点，则k 的取值范围为( ) A. (34,+∞) B. (−43,−1) C. (−43,−1] D. (34,1] 10. 在棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点E 在棱AA 1上，AE =3A 1E ，点G 是棱CD 的中点，点F满足BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (0<λ<12)，当平面EFG 与平面ABCD 所成(锐)二面角的余弦值为√63时，经过E ，F ，G 三点的截面的面积为( )A. 2√6B. 7√64 C. √17 D. 7√66二、单空题（本大题共7小题，共36.0分）11. 在空间直角坐标系中，已知M(−1,2，3)，N(1,4，−1)，则|MN|= ______ ；M 关于N 的对称点坐标为______ ．12. 母线长为1的圆锥，其侧面展开图的圆心角等于43π，则该圆锥底面周长为______ ；高为______ ．13. 已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为______ ，最长棱的棱长为______ ．14. 已知直线l ：(3λ+1)x +(1−λ)y +6−6λ=0(λ为实数)过定点P ，则点P 的坐标为______ ．15. 将分别标有数字1，2，3，4，5，6的6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为8，则不同的排法共有______ 种.16. 已知A ，B 是椭圆x 29+y 24=1的左、右顶点，点M ，N 分别在矩形ABCD的边BC ，CD 上，|AD|=4，且AM 与BN 的交点P 在椭圆上(第一象限内)，则|BM||CN|= ______ ．17.已知函数f(x)=(x2+2x+a)e x有两个极值点x1，x2，若f(x)存在最小值，且满足不等式f(x1)⋅f(x2)>−2e−4，则a的取值范围为______ ．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）2−2a n=n2+1，n∈N∗．18.设正项数列{a n}满足a1=1，a n+1(1)求a2，a3，a4的值；(2)猜想数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．19.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=BC=2，AC=2√2，∠B1BC=60°，四边形ABB1A1为正方形，E、F分别为BC与A1C1的中点．(1)求证：EF//平面ABB1A1；(2)求直线EF与平面ACC1A1所成角的正弦值．20.已知圆C的圆心C为(0,1)，且圆C与直线2x−y+6=0相切．(1)求圆C的方程；(2)圆C与x轴交于A，B两点，若一条动直线l：x=x0交圆于M，N两点，记圆心到直线AM的距离为d．(ⅰ)当x 0=1时，求d |BN|的值．(ⅰ)当−2<x 0<2时，试问d |BN|是否为定值，并说明理由．21. 设函数f(x)=x −alnx +a −b ，其中a ，b ∈R ，e =2.71828…为自然对数的底数．(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)≥0恒成立，求证：b −a 2<2．22. 已知抛物线C ：x 2=4y ，过点A(1,2)的动直线l 与抛物线C 相交于不同两点P ，Q ．(1)若A 恰为PQ 的中点，求|PQ|的值；(2)若存在点B ，满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =−λQB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ≠1).当|AB|最小时，求λ的值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：抛物线C：y2=2x，焦点坐标(12,0)，准线方程为：x=−12，抛物线C的焦点到准线的距离为：1．故选：C．利用抛物线方程，转化求解抛物线C的焦点到准线的距离即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题．2.【答案】B【解析】解：∵f(x)=x3−x，∴f′(x)=3x2−1，则f′(1)=3×12−1=2．∴f(x)在(1,0)处的切线斜率为2．故选：B．求出原函数的导函数，得到函数在x=1处的导数值，则答案可求．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础的计算题．3.【答案】C【解析】解：∵z=i(1+i)=−1+i，则|z|=√2，故选：C．利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：直线l1：2x+ay+b=0和l2：3x+3y+b+1=0，当l1//l2时，23=a3≠bb+1，解得a=2且b≠2，因此当a=2时，不能推出l1//l2；所以“a=2”是“l1//l2”的必要不充分条件．故选：B．先求出l1//l2对应的a的取值，根据充分条件，必要条件的定义即可判断．本题主要考查两直线平行的充要条件的应用，以及充分条件，必要条件的判断，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：由m⊥α，α⊥β，可得m⊂β或m//β，又n⊥β，∴m⊥n，故A正确；由m//α，α//β，得m⊂β或m//β，又n//β，则m//n或m与n相交或m与n异面，故B错误；由m⊥α，α⊥β，得m⊂β或m//β，又n//β，则m//n或m与n相交或m与n异面，故C错误；由m⊂α，n⊂β，且α//β，则m//n或m与n异面，故D错误．故选：A．由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐一分析四个选项得答案．本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．6.【答案】D【解析】解：如图，双曲线x2a2−y2b2=1的两条渐近线方程分别为y=−bax和y=bax，设圆C的圆心C(x0,bax0)，由题意可知，C到x轴的距离等于C到直线y=−bax的距离，则|ba x0|=|bx0+a⋅bax0|√a2+b2=|2bx0|c，即ba =2bc，∴e=ca=2．故选：D．不妨设圆心在双曲线一条渐近线y=ba x上，设出C的坐标，由C到x轴的距离等于到直线y=−bax的距离列式求得双曲线的离心率．本题考查双曲线的简单性质，考查了点到直线距离公式的应用，体现了数学转化思想方法，是中档题．7.【答案】A【解析】解：取AB的中点M，连接PM，可得PM⊥AB，由平面PAB⊥平面ABC，可得PM⊥平面ABC，在平面ABC内，过C作CH//AB，且CH=AB，则∠PCH(或补角)为异面直线PC，AB所成角．由四边形ABCH是边长为2的正方形，可得MH=√4+1=√5，由△PMH为直角三角形，可得PH=√PM2+MH2=√1+5=√6，由BC⊥AB，PM⊥平面ABC，可得BC⊥PB，则PC=√2+4=√6，在△PCH中，cos∠PCH=PC2+CH2−PH22PC⋅CH =6+4−62×√6×2=√66．故选：A．取AB的中点M，连接PM，在平面ABC内，过C作CH//AB，则∠PCH(或补角)为异面直线PC，AB所成角．由面面垂直的性质定理，以及勾股定理、余弦定理，计算可得所求值．本题考查异面直线所成角的求法，考查转化思想和数形结合思想、运算能力，属于中档题．8.【答案】D【解析】解：函数ℎ(x)=f(x)−g(x)，则ℎ′(x)=f′(x)−g′(x)，由图象可知：x<x1时，ℎ′(x)<0，此时函数ℎ(x)单调递减；x1<x<x3时，ℎ′(x)>0，此时函数ℎ(x)单调递增；x>x3时，ℎ′(x)<0，此时函数ℎ(x)单调递减．于是：x1为函数ℎ(x)的极小值点，x3为函数ℎ(x)的极大值点．可得：ABC不正确，D正确．故选：D．函数ℎ(x)=f(x)−g(x)，ℎ′(x)=f′(x)−g′(x)，结合本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：曲线C 1：(x 2−4y)(ky +x −3k)=0，可得y =14x 2或ky +x −3k =0；曲线C 2：y =1+√−x 2−2x ，由−x 2−2x ≥0，y ≥1．可得−2≤x ≤0；那么(y −1)2=−x 2−2x ，即(x +1)2+(y −1)2=1，圆心为(−1,1)，半径为1，作出图象，通过图象可知y =14x 2与曲线C 2交于A ，只有一个交点；那么ky +x −3k =0与曲线C 2必有2个交点；ky +x −3k =0直线恒过(0,3)点，当直线ky +x −3k =0与曲线C 2交，切B 点时，可得k =−43；当直线ky +x −3k =0恰好过A 点时，可得k =−1；∴恰有三个不同的交点，则k 的取值范围为(−43,−1]；故选：C ．曲线C 1：(x 2−4y)(ky +x −3k)=0看成两条曲线问题，与半圆交点有三个，即可求解k 的取值范围．本题主要考查直线与圆的位置关系，作出的图象，体现了化归与转化、数形结合的数学思想，属于中档题． 10.【答案】B【解析】解：如图，以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，G(0,1，0)，E(2,0，32)，F(2,2，2λ)，则GE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−1,32)，GF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1,2λ)，设平面EFG 的一个法向量为n⃗ =(x,y,z)，由{n ⃗ ⋅GE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x −y +32z =0n ⃗ ⋅GF⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +y +2λz =0，取z =1，可得n ⃗ =(−38−λ2,−λ+34,1)，平面ABCD 的一个法向量m⃗⃗⃗ =(0,0,1)，由题意，|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ ||=1√(38+λ2)2+(−λ+34)2+1=√63，解得λ=14或λ=1320(舍)， ∴F 为四等分点(靠近B)，延长EF ，AB ，设EF ∩AB =I ，连接IG ，交BC 于K ，延长IG ，交AD 的延长线于L ，连接EL ，交DD 1于H ，则五边形EFKGH 为截面图形，由题意求得EF =√5，FK =√12+(12)2=√52，GK =√2，HG =√52，EH =√5，FH =2√2，摘出五边形EFKGH 如图，求解三角形可得等腰三角形EFH 底边FH 上的高为√3，等腰梯形HGKF 的高为√32，则截面面积为S =12×2√2×√3+12×(√2+2√2)×√32=7√64．故选：B ．以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，由空间向量结合平面EFG 与平面ABCD 所成(锐)二面角的余弦值为√63求得λ，画出截面图，求出截面五边形的边长，再由等腰三角形及等腰梯形的面积作和得答案．本题考查二面角的平面角及其求法，考查平面的基本性质及推理，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．11.【答案】2√6 (3,6，−5)【解析】解：根据题意，M(−1,2，3)，N(1,4，−1)，则|MN|=√4+4+16=2√6，设点P 是要求的点，则P 的坐标为(x,y ，z)，M 与P 关于点N 对称，则N 是M 和P 的中点，则{1=x−124=y+22−1=z+32，解可得{x =3y =6z =−5，即要求点的坐标为(3,6，−5)；故答案为：2√6，(3,6，−5)．根据题意，由空间两点距离公式可得|MN|的值，设点P 是要求的点，则P 的坐标为(x,y ，z)，分析可得N 是M 和P 的中点，由中点坐标公式可得x 、y 、z 的值，即可得答案．本题考查空间点的坐标，涉及空间两点间距离的计算，属于基础题．12.【答案】4π3 √53 【解析】解：母线长为1的圆锥，其侧面展开图的圆心角等于43π，所以侧面展开图对应的扇形的弧长是43π×1=4π3，即该圆锥底面周长为43π；底面圆的半径为r =4π32π=23，高为ℎ=√12−(23)2=√53．故答案为：4π3，√53．根据圆锥的侧面展开图是扇形，且扇形的弧长是圆锥底面圆的周长，由此求出底面圆的半径和高．本题考查了圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径，以及圆锥的底面周长是侧面展开图的扇形弧长应用问题．13.【答案】8 2√10【解析】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是侧面PAB ⊥底面ABC 的三棱锥，如图所示；过点P 作PO ⊥AB ，垂足为O ，则PO =4，三棱锥P −ABC 的体积为13×12×6×2×4=8；三棱锥P −ABC 的各条棱长为AB =6，BC =2，AC =√62+22=2√10，PA =√42+22=2√5，PB =√42+42=4√2，PC =√22+(4√2)2=6；所以最长的棱是AC =2√10．故答案为：8，2√10根据几何体的三视图，得出该几何体是侧面垂直于底面的三棱锥，画出图形，结合图形求出它的体积与最长的棱长即可．本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图得出几何体的结构特征，是基础题目．14.【答案】(0,−6)【解析】解：直线l：(3λ+1)x+(1−λ)y+6−6λ=0(λ为实数)，即λ(3x−y−6)+(x+y+6)=0，该直线经过3x−y−6=0和x+y+6=0的交点P(0,−6)，故答案为：(0,−6)．在直线的方程中，分离参数，再让参数的系数等于零，可得不含参数的部分也等于零，解方程组求得定点的坐标．本题主要考查直线经过定点问题，属于基础题．15.【答案】64【解析】解：根据题意，数字1，2，3，4，5，6中任选2个，和为8的情况有2、6和3、5两种；分2步进行分析：①在2、6和3、5中，任选1组，安排在中间行，有C21A22=4种情况，②将剩下的4个数字安排在其他4个位置，有4×2×A22=16种情况，则有4×16=64种排法，故答案为：64．根据题意，有数字1，2，3，4，5，6中任选2个，和为8的情况有2、6和3、5两种；据此分2步分析中间行和其余两行的排法数目，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．16.【答案】23【解析】解：由题意，P在第一象限，则AM、BN的斜率都存在，设P(x0,y0)，直线AM：y=k1(x+3)，取x=3，可得M(3,6k1)，直线BN：y=k2(x−3)，取y=4，可得N(3+4k2,4)，∴|BM|=6k1，|CN|=x C−x N=−4k2，∴|BM||CN|=−32k1k2，∵P(x0,y0)在椭圆x29+y24=1上，∴x029+y024=1，即y02=4−4x029=49(9−x02)，而k1k2=y0−0x0+3⋅y0−0x0−3=y02x02−9=−49，∴|BM||CN|=−32k1k2=−32×(−49)=23．故答案为：23．由已知可知AM、BN的斜率都存在，设P(x0,y0)，直线AM：y=k1(x+3)，直线BN：y=k2(x−3)，求出M、N的坐标，可得|BM||CN|=−32k1k2，再由P在椭圆上，结合斜率公式求得k1k2，则答案可求．本题考查椭圆的几何性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．17.【答案】(12,1]【解析】解：f′(x)=(x2+4x+a+2)e x，∵函数f(x)=(x2+2x+a)e x有两个极值点x1，x2，∴方程x2+4x+a+2=0有两个不等实数根x1，x2，∴△=16−4(a+2)>0，解得a<2．则x1+x2=−4，x1x2=a+2．不妨设x1<x2，x→−∞时，f(x)→0；x→+∞时，f(x)→+∞．因此x1为极大值点，x2为极小值点．若f(x)存在最小值，则f(x2)≤0，(x22+2x2+a)e x2≤0，∵x22+4x2+a+2=0，∴x22+2x2+a=−2−2x2，∴−2−2x2≤0，∴x2≥−1，−a=x22+4x2+2=(x2+2)2−2≥−1，解得a≤1．∵f(x)满足不等式f(x1)⋅f(x2)>−2e−4，∴(x12+2x1+a)e x1(x22+2x2+a)e x2>−2e−4，∵x12+4x1+a+2=0，x22+4x2+a+2=0，∴x 12+2x 1+a =−2−2x 1，x 22+2x 2+a =−2−2x 2，∴(−2−2x 1)(−2−2x 2)e x 1+x 2>−2e −4，∴4(1+x 1)(1+x 2)e −4>−2e −4，∴1+x 1+x 2+x 1x 2>−12，∴1−4+a +2>−12，解得a >12，∴12<a ≤1，则a 的取值范围(12,1]．故答案为：(12,1]．f′(x)=(x 2+4x +a +2)e x ，根据函数f(x)=(x 2+2x +a)e x 有两个极值点x 1，x 2，可得方程x 2+4x +a +2=0有两个不等实数根x 1，x 2，于是△>0，解得a 范围．可得根与系数的关系．不妨设x 1<x 2，x →−∞时，f(x)→0；x →+∞时，f(x)→+∞.可得x 1为极大值点，x 2为极小值点．若f(x)存在最小值，且满足不等式f(x 1)⋅f(x 2)>−2e −4，代入化简可得a 的取值范围．本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．18.【答案】解：(1)设正项数列{a n }满足a 1=1，a n+12−2a n =n 2+1，n ∈N ∗．可得n =1时，a 2=2，n =2时，a 3=3，n =3时，a 4=4．(2)猜想a n =n ，下面用数学归纳法证明a n =n ，①当n =1时，a 1=1，等式成立．∴当n =1时成立；②假设当n =k 时，猜想成立，即a k =k ，那么当n =k +1时，a k+12=2a k +k 2+1=(k +1)2，正项数列{a n }，所以a k+1=k +1，∴当n =k +1时猜想也成立，由①②可得猜想成立．【解析】(1)利用数列的递推公式求解数列的前几项．(2)猜想数列的通项公式，然后利用数学归纳法的证明步骤证明即可．本题主要考查归纳推理，数学归纳法，数列的通项等相关基础知识．考查运算化简能力、推理论证能力和化归思想19.【答案】(1)证明：取AB 的中点G ，连接EG ，A 1G ，因为E ，F 分别为BC ，A 1C 1的中点，所以EG//AC//A 1F ，且EG =12AC =12A 1F ，所以四边形A 1GEF 为平行四边形，故EF //A 1G ，因为A 1G ⊂平面ABB 1A 1，EF ⊄平面ABB 1A 1，所以EF//平面ABB 1A 1；(2)解：建立如图所示的空间直角坐标系，因为AB =BC =2，AC =2√2，所以AC 2=AB 2+BC 2，所以AB ⊥BC ，因为四边形ABB 1A 1为正方形，所以AB ⊥BB 1，又因为BB 1∩BC =B ，所以AB ⊥平面BCC 1B 1，因为∠B 1BC =60°，所以AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0，√3)，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2,0)， EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =EC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +C 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0，0)+(1，0，√3)+(−1，1，0)=(1，1，√3)，设平面ACC 1A 1的法向量为n⃗ =(x,y ，z)， {AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =x +√3z =0AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =2x −2y =0，令x =√3，n ⃗ =(√3,√3,−1)，所以直线EF 与平面ACC 1A 1所成角的正弦值为|EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||EF ⃗⃗⃗⃗⃗|⋅|n ⃗⃗ |=√3√5⋅√7=√10535．【解析】(1)只须证明EF 平行于平面平面ABB 1A 1内直线A 1G 即可；(2)用向量数量积计算直线与平面成角正弦值．本题考查了直线与平面的位置关系，考查了直线与平面成角计算问题，属于中档题．20.【答案】解：(1)圆C 的半径r =|−1+6|√22+(−1)2=√5，则圆C 的方程为x 2+(y −1)2=5；(2)(ⅰ)由x 2+(y −1)2=5，取y =0，可得x =±2．∴A(−2,0)，B(2,0)，圆C 与动直线l ：x =x 0交于M ，N 两点，则{x 2+(y −1)2=√5x =x 0x 0=1，解得{x =1y =3或{x =1y =−1， ∴M(1,3)，N(1,−1)，则直线AM 的方程y −0=31−(−2)(x +2)，即x −y +2=0．圆心到直线AM 的距离d =√2=√22， |BN|=√(2−1)2+(0+1)2=√2，∴d |BN|=√22√2=12；(ⅰ)由圆C 与动直线l ：x =x 0交于M ，N 两点，设M(x 0,y 1)，N(x 0,y 2)，联立{x 2+(y −1)2=5x =x 0，解得M(x 0,1+√5−x 02)，N(x 0,1−√5−x 02)， ∴直线AM ：y =1+√5−x 02x 0+2(x +2)．圆心(0,1)到直线AM 的距离d =|−1+2+2√5−x 02x 0+2|√(1+5−x 02)(x 0+2)2+1=|2√5−x 02−x 0|√10+4x 0+2√5−x 02．|BN|=√(x 0−2)2+(1−√5−x 02)2=√10−4x 0−2√5−x 02．则d |BN|=|2√5−x 2−x |√10+4x 0+2√5−x 02√10−4x 0−2√5−x 02=|2√5−x 02−x 0|√4(−3x 02−4x 0√5−x 02+20)=12． ∴d |BN|为定值12．【解析】(1)求出圆心到直线的距离，则圆C 的方程可求；(2)(ⅰ)当x 0=1时，可得直线l ：x =1，与圆的方程联立求得M 、N 的坐标，写出AM 的方程，求出圆心到直线AM 的距离d ，再求出|BN|，则答案可求； (ⅰ)联立直线与圆的方程，求得M 、N 的坐标，写出AM 的方程，求出圆心到直线AM 的距离d ，再求出|BN|，整理即可求得d |BN|为定值12．本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．21.【答案】解：(1)f(x)=x −alnx +a −b ，x ∈(0,+∞)．f′(x)=1−a x =x−a x ，a ≤0时，f′(x)>0，函数f(x)在x ∈(0,+∞)上单调递增．a >0时，函数f(x)在(0,a)上单调递减，在(a,+∞)上单调递增．(2)证明：∵f(x)≥0恒成立，a >0．∴b ≤x −alnx +a ，由(1)可得：y =x −alnx +a 的最小值为2a −alna ．∴b ≤2a −alnab −a 2≤2a −alna −a 2，∴要证明b −a 2<2，即证明：2a −alna −a 2<2即可．令g(a)=2a −alna −a 2，g′(a)=1−lna −2a =ℎ(a)，ℎ(a)在(0,+∞)上单调递减，ℎ(12)=ln2>0，ℎ(1)=−1<0，因此存在唯一x 0∈(12,1)，使得ℎ(x 0)=0=1−lnx 0−2x 0．函数g(a)在x 0处取得最大值，g(x)≤g(x 0)=x 0(2−lnx 0−x 0)=x 0(1+x 0)=(x 0+12)2−14<2．因此结论成立．【解析】(1)f(x)=x −alnx +a −b ，x ∈(0,+∞).f′(x)=1−a x =x−a x ，对a 分类讨论即可得出单调性．(2)由f(x)≥0恒成立，a >0.可得b ≤x −alnx +a ，由(1)可得：y =x −alnx +a 的最小值为2a −alna ． b ≤2a −alna ，得到b −a 2≤2a −alna −a 2，要证明b −a 2<2，即证明：2a −alna −a 2<2即可．令g(a)=2a −alna −a 2，利用导数研究函数的单调性、极值，进而得出结论．本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值、方程与不等式的解法，考查了推理能力于计算能力，属于难题．22.【答案】解：(1)由题意可设直线l 的方程为y −2=k(x −1)，P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，x 12=4y 1，x 22=4y 2，两式相减可得(x 1−x 2)(x 1+x 2)=4(y 1−y 2)，可得k =y 1−y 2x 1−x 2=x 1+x 24=24=12，所以直线l 的方程为y −2=12(x −1)，与抛物线的方程x 2=4y 联立，可得x 2−2x −6=0，可得x 1+x 2=2，x 1x 2=−6，则|PQ|=√1+14⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√52×√4+24=√35； (2)设直线l 的方程为y =kx −k +2，P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，B(x 0,y 0)，则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−1,y 1−2)，AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2−1,y 2−2)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0−x 1,y 0−y 1)，QB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0−x 2,y 0−y 2)，因为AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =−λQB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ>0且λ≠1)，所以B 也在直线l 上，所以{x 1−1=λ(x 0−x 1)x 2−1=−λ(x 0−x 2)，解得x 0=2x 1x 2−(x 1+x 2)x 1+x 2−2，由{y =kx −k +2x 2=4y，可得x 2−4kx +4k −8=0，可得x 1+x 2=4k ，x 1x 2=4k −8，所以x 0=2(4k−8)−4k 4k−2=2k−82k−1=1−72k−1， y 0=k(1−72k−1)−k +2=2−7k 2k−1，所以|AB|=√(1−72k−1−1)2+(2−7k 2k−1−2)2=7√1+k 2(2k−1)2，令t =2k −1，则k =t+12，|AB|=7√1+(t+1)24t 2=7√54t 2+12t +14 =7√54(1t+15)2+15，所以当1t =−15即t =−5时，|AB|取得最小值7√55．即k =−2，x 0=125，y 0=−45，B(125,−45)，由{x 1−1=λ(x 0−x 1)x 2−1=−λ(x 0−x 2)，可得−λ2=x 1x 2−(x 1+x 2)+1x 02−x 0(x 1+x 2)+x 1x 2=−16+8+114425−125×(−8)−16=−2532，解得λ=5√28．【解析】(1)可设直线l 的方程为y −2=k(x −1)，由点差法，结合直线的斜率公式和中点坐标公式，可得k ，联立直线l 的方程和抛物线的方程，运用韦达定理和弦长公式，可得|PQ|；(2)设直线l 的方程为y =kx −k +2，P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，B(x 0,y 0)，与抛物线的方程联立，运用韦达定理和向量共线的坐标表示，化简整理，解得B 的坐标和|AB|，由二次函数的最值，可得k ，求得B 的坐标，进而得到所求值．本题考查抛物线的方程和性质，以及直线和抛物线的位置关系和向量共线的坐标表示，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．。

2020-2021学年浙江省杭州重点中学高二下学期期中联考文科数学试卷

试题解析：（1） 2分
， 4分
解得 6分
（2） 8分
即
解得 10分
当时，此时舍去；
当时，此时满足题意。
综上， 12分
考点：集合的包含关系与交集并集运算
17．（1）（2）
【解析】
试题分析：（1）将点的横坐标代入函数式得到纵坐标的值，利用导数的几何意义可求出切线斜率，进而写出切线方程（2）首先由函数导数计算出单调区间，从而确定函数极值，与边界值比较得到两个最值
试题解析：真：恒成立恒成立
（1）；（2）
所以 3分
真：对任意的恒成立
对任意的恒成立
所以 6分
因为为假，为真，所以真假或假真8分
（1）真假： 10分
（2）假真： 12分
所以 14分
考点：1.复合命题；2.不等式与函数的转化
19．（1）在区间上单调递增，在区间上单调递减（2）
7．C
【解析】
试题分析：函数中当时化为，所以与在部分函数图像相同
考点：函数图像
8．B
【解析】
试题分析：函数为“ 倍缩函数” 有两个不等的实数根，即有两个不等的正实数根，中当时最小值为，时为0，
考点,1.函数单调性与最值；2方程与函数的转化；3.数形结合法
9．
【解析】
试题分析：，则，，
试题解析：（1） 2分
， 4分
所以切线方程为： 6分
（2）
所以时，函数单调递增；时，函数单调递减8分
所以 10分
因为，所以 12分
考点：1.导数的几何意义；2.函数导数与单调性最值
18．
【解析】

2019-2020学年浙江省杭州高级中学高二(下)期中数学试卷(含答案解析)

2019-2020学年浙江省杭州高级中学高二(下)期中数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共30.0分）1. 已知全集U ={1,2，3，4，5，6，7，8，9，10}，集合A ={2,3，5，9}，集合B ={4,5，6，7，9}，则(∁U A)∩(∁U B)=( )A. {5,9}B. {2,3}C. {1,8，10}D. {4,6，7}2.题中，真命题的有( )个A. 1B. 2C. 3D. 43. 命题甲：f(x)是R 上的单调递增函数；命题乙：∃x 1<x 2，f(x 1)<f(x 2).则甲是乙的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分且必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知实数x ，y 满足{x +y ≤2x −y ≤20≤x ≤1则z =2x +4y 的最大值是( )A. −4B. 2C. 6D. 85. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，现给出以下结论：(1)此函数一定有零点；(2)此函数可能没有零点；(3)此函数有奇数个零点；(4)此函数有偶数个零点；以上结论正确的个数是( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个6. 已知函数f(x)满足f(−x)=f(x)，当x ≥0时，f(x)=x 2−1e x，则f(x)的图象大致是( )A.B.C.D.7. 在△ABC 中，a =1，b =3，C =60°，则c =( )A. √7B. 7C. √13D. 138.若函数在上可导，下列说法正确的是()A. 若，对任意恒成立，则有B. 若，对任意恒成立，则有C. 若，对任意恒成立，则有D. 若，对任意恒成立，则有9.如图所示，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=1.若二面角C−AB−C1的大小为60°，则点C到平面C1AB的距离为()．A.B.C.D. 110.双曲线C：x24−y2=1的两条渐近线夹角(锐角)为θ，则tanθ=()A. 815B. 158C. 34D. 43二、单空题（本大题共3小题，共9.0分）11.已知函数f(x)=lnx+ax ，x∈(0,3]，其图象上任意一点P(x0,y0)处的切线的斜率k≤12恒成立，则实数a的取值范围是______．12.已知抛物线y2=2px(p>0)，F为其焦点，l为其准线，过F作一条直线交抛物线于A，B两点，A′，B′分别为A，B在l上的射线，M为A′B′的中点，给出下列命题：①A′F⊥B′F；②AM⊥BM；③A′F//BM；④A′F与AM的交点在y轴上；⑤AB′与A′B交于原点．其中真命题的是______.(写出所有真命题的序号)13. 已知函数f(x)={|2x +1|,x ≤1log 2(x −1),x >1，若f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)(x 1,x 2,x 3互不相等)，则实数x 1+x 2+x 3的取值范围为______．三、多空题（本大题共4小题，共12.0分）14. 已知复数z =i 6+1a+i (其中a ∈R ，i 是虚数单位)的实部为−1，则a = ，|z|= ． 15. 双曲线x 24−y 212=1的焦距是 (1) ，渐近线方程是 (2) ．16. 若某多面体的三视图如图所示，则此多面体的体积为，外接球的表面积为．17. 设函数f(x)={log 3x,x ∈(0,+∞)x 2+2,x ∈(−∞,0]，则f(f(−1))= (1) ，不等式f(x)≤3的解集是 (2) ．四、解答题（本大题共5小题，共60.0分） 18. 已知函数f(x)=√3sin2x +2cos 2x.(Ⅰ)当x ∈[0,π2]时，求函数f(x)的值域；(Ⅱ)设a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，f(c)=3，c =1，ab =2√3，求a ，b 的值．19. 已知函数f(x)=x +4x (其中常数a >0)．(Ⅰ)求证：f(x)在(0,2]上是减函数，在[2,+∞)上是增函数； (Ⅱ)求函数f(x)在区间[2,4]上的值域．20.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示．(Ⅰ)求f(x)的解析式；(Ⅱ)设锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若f(A)=√2，a=2，求△ABC面积的最大值．21.已知椭圆的焦点坐标为F1(−1,0)，F2(1,0)，过F2垂直于长轴的直线交椭圆于A、B两点，且|AB|=3．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)过F1点作相互垂直的直线l1，l2，分别交椭圆于P1，P2，P3，P4试探究1|P1P2|+1|P3P4|是否为定值？并求当四边形P1P2P3P4的面积S最小时，直线l1，l2的方程．22. 已知函数f(x)={−e 2x +bx +c,x ≤1a(x 2lnx −x +1)+1,x ≥1(Ⅰ)若0<b <2e 2，试讨论函数f(x)在区间(−∞,1]上的单调性； (Ⅱ)若函数f(x)在x =0处取得极值1，求f(x)在区间[−2,2]上的最大值．【答案与解析】1.答案：C解析：解：∵全集U={1,2，3，4，5，6，7，8，9，10}，集合A={2,3，5，9}，集合B={4,5，6，7，9}，∴∁U A={1,2，4，6，7，8，10}，∁U B={1,2，3，8，10}，则(∁U A)∩(∁U B)={1,8，10}．故选：C．根据全集U，以及A与B，求出A与B的补集，找出两补集的交集即可．此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2.答案：C解析：此题考查四种命题及其真假的判断．故选C．3.答案：A解析：解：根据函数单调性的定义可知，若f(x)是R上的单调递增函数，则∀x1<x2，f(x1)<f(x2)成立，∴命题乙成立．若：∃x1<x2，f(x1)<f(x2)，则不满足函数单调性定义的任意性，∴命题甲不成立．∴甲是乙成立的充分不必要条件．故选：A．根据函数单调性的定义和性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用函数单调性的定义和性质是解决本题的关键，比较基础．4.答案：D解析：解：由已知不等式组得到平面区域如图：z=2x+4y变形为y=−12x+z4，此直线经过图中D(0,2)时，在y轴截距最大即z最大，所以z的最大值为2×0+4×2=8；故选D．先作出不等式组对应的区域，由图形判断出最优解，代入目标函数计算出最大值即可．本题考查简单线性规划，解题的重点是作出正确的约束条件对应的区域，根据目标函数的形式及图象作出正确判断找出最优解．5.答案：B解析：解：函数f(x)是定义在R上的奇函数时，此函数一定有零点，因为f(x)在R上有定义，所以f(0)=0，0是f(x)的零点；所以(1)正确，(2)错误；根据奇函数的对称性知，函数f(x)有零点，则零点关于原点对称，再加上原点处，共有奇数个零点；所以(3)正确，(4)错误．综上知，正确的结论是(1)(3)，共2个．故选：B．根据奇函数的定义与性质，对题目中的命题判断正误即可．本题考查了函数的奇偶性与命题真假的判断问题，是基础题．6.答案：C解析：解：根据题意，函数f(x)满足f(−x)=f(x)，即函数f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，排除B，当x≥0时，f(x)=x2−1，则区间(0,1)上，f(x)<0，在区间(1,+∞)上，f(x)>0，排除D，e x当x→+∞时，f(x)→0，排除A，故选：C．根据题意，由f(x)满足f(−x)=f(x)可得函数f(x)为偶函数，排除B，再分析f(x)>0与f(x)<0的区间，排除D，又由当x→+∞时，f(x)→0，排除A，即可得答案．本题考查函数的图象分析，涉及函数奇偶性的性质，属于基础题．7.答案：A解析：此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，属于基础题．利用余弦定理列出关系式，将a，b及cos C的值代入即可求出c的值．解：∵在△ABC中，a=1，b=3，C=60°，∴由余弦定理得：c2=a2+b2−2abcosC=1+9−3=7，则c=√7．故选A．8.答案：D解析：构造函数则函数为单调递增，A错误构造函数，则函数单调递减B错误构造函数则函数为单调递增，，C错误则函数为单调递减，D 正确9.答案：A解析：取AB 中点D ，连接CD ，C 1D ，则∠CDC 1是二面角C −AB −C 1的平面角．因为AB =1，所以CD =，所以在Rt △DCC 1中，CC 1=CD ·tan 60°=×=，C 1D ==．设点C 到平面C 1AB 的距离为h ，由VC −C 1AB =VC 1−ABC ，得××1×ℎ=××1××，解得ℎ=.故选A10.答案：D解析：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查渐近线方程的运用，运用两直线的夹角公式计算是解题的关键，属于基础题．求出双曲线的渐近线方程，求得斜率，再由两直线的夹角公式，计算即可得到．解：双曲线C ：x 24−y 2=1的两条渐近线分别为y =±12x ，则斜率分别为−12，12．由两直线的夹角公式可得， tanθ=|12−(−12)1+12×(−12)|=43．故选D ．11.答案：a≥12解析：解：由f(x)=lnx+ax ，(a>0)，得到f′(x)=x−ax2∴f′(x0)=x0−ax02，且以y=f(x)(x∈(0,3])图象上任意一点P(x0,y0)为切点的切线的斜率k≤12恒成立则f′(x0)=x0−ax02≤12在(0,3]上恒成立，即a≥x0−12x02在(0,3]上恒成立，令g(x)=x0−12x02(0<x≤3)，可知g(x)max=g(1)=12，∴a≥12，故答案为：a≥12．切线的斜率即为函数在切点处的导数，让f′(x0)=x0−ax02≤12恒成立即可，再由不等式恒成立时所取的条件得到实数a范围．本题考查了导数的几何意义，函数在图象上某点处的切线的斜率就是在该点处的导数值，考查了利用分离变量法求参数的取值范围，此题是中档题．12.答案：①②③④⑤解析：①由于A，B在抛物线上，根据抛物线的定义可知A′F=AF，B′F=BF，从而由相等的角，由此可判断A′F⊥B′F；②取AB中点C，利用中位线即抛物线的定义可得CM=12(AF+BF)=12AB，从而AM⊥BM；③由②知，AM平分∠A′AF，从而可得A′F⊥AM，根据AM⊥BM，利用垂直于同一直线的两条直线平行，可得结论；④取AB⊥x轴，则四边形AFMA′为矩形，则可得结论；⑤取AB⊥x轴，则四边形ABB′A′为矩形，则可得结论．本题以抛物线为载体，考查抛物线的性质，解题的关键是合理运用抛物线的定义．解析：解：①由于A，B在抛物线上，根据抛物线的定义可知A′A=AF，B′B=BF，因为A′、B′分别为A、B在l上的射影，所以A′F⊥B′F；②取AB中点C，则CM=12(AF+BF)=12AB，∴AM⊥BM；③由②知，AM平分∠A′AF，∴A′F⊥AM，∵AM⊥BM，∴A′F//BM；④取AB⊥x轴，则四边形AFMA′为矩形，则可知A′F与AM的交点在y轴上；⑤取AB⊥x轴，则四边形ABB′A′为矩形，则可知AB′与A′B交于原点故答案为①②③④⑤．13.答案：(1,8)解析：本题考查分段函数的图象和运用，主要考查函数的对称性和对数的运算性质，正确画图和通过图象观察是解题的关键．作出函数f(x)的图象，令t=f(x1)=f(x2)=f(x3)，设x1<x2<x3，由图象的对称性可得x1+x2=−1，由条件可得2<x3<9，即可得到答案．解：令t=f(x1)=f(x2)=f(x3)，作出函数f(x)图象，虚线为y=t，x=1时，f(1)=3，已知f(x1)=f(x2)=f(x3)，设x1<x2<x3，则有x1+x2=−1，0<f(x3)<3．由y=3，即有log2(x−1)=3，x=9，即x3<9，y=0时，有log2(x−1)=0，解得x=2，即x3>2，即2<x3<9，可得x1+x2+x3的取值范围为(1,8)，故答案为：(1,8)．14.答案：0√2解析：本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．直接利用复数代数形式的乘除运算化简，即可求解．解：因为z=i6+1a+i =−1+a−ia2+1的实部为−1，所以−1+aa2+1=−1，解可得a=0，则z=−1−i，|z|=√2．故答案为：0，√2．15.答案：8y=±√3x解析：解：双曲线x24−y212=1的a=2，b=2√3，c=√4+12=4，可得2c=8，渐近线方程为y=±√3x.故答案为：8，y=±√3x.求得双曲线的a，b，c，可得双曲线的焦距2c，渐近线方程y=±bax.，本题考查双曲线的方程和性质，主要是焦距和渐近线方程，考查方程思想和运算能力，属于基础题．16.答案：563π解析：解：由三视图可知：该几何体是正方体切去一个角余下的部分，其主观图如下：∴多面体的体积为1−13×12×1×1×1=56．此多面体外接球的直径是此正方体的对角线√3．因此其球的表面积是4π⋅(√32)2=3π．故答案为：56，3π．由三视图可知：该几何体是正方体切去一个角余下的部分．本题考查了正方体的三视图、球的表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．17.答案：1[−1,27]解析：解：∵函数f(x)={log 3x,x ∈(0,+∞)x 2+2,x ∈(−∞,0], ∴f(−1)=(−1)2+2=3， f(f(−1))=f(3)=log 33=1，当x ∈(−∞,0]时，f(x)=x 2+2≤3，解得−1≤x ≤0；当x ∈(0,+∞)时，f(x)=log 3x ≤3，解得0<x ≤27，综上不等式f(x)≤3的解集是[−1,27]．故答案为：1，[−1,27]．推导出f(−1)=(−1)2+2=3，从而f(f(−1))=f(3)，由此能求出结果；当x ∈(−∞,0]时，f(x)=x 2+2≤3，当x ∈(0,+∞)时，f(x)=log 3x ≤3，由此能求出不等式f(x)≤3的解集．本题考查函数值、不等式的解集的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.答案：解：(Ⅰ)f(x)=√3sin2x +2cos 2x =√3sin2x +cos2x +1(2分)=2sin(2x +π6)+1(4分)∵x ∈[0,π2]，∴2x +π6∈[π6,7π6]，∴sin(2x +π6)∈[−12,1]，(6分)∴函数f(x)的值域为[0,3]. (7分) (Ⅱ)∵f(C)=3，∴2sin(2C +π6)+1=3，即sin(2C +π6)=1．∵0<C <π， ∴2C +π6∈[π6,13π6]，∴2C +π6=π2， ∴C =π6. (10分) 又c 2=a 2+b 2−2abcosC ，c =1，ab =2√3，cosC =√32，∴a 2+b 2=7.(12分)由{a 2+b 2=7ab =2√3，得 {a =2b =√3或 {a =√3b =2. (14分)解析：(Ⅰ)利用三角函数间的关系将f(x)化简为f(x)=2sin(2x +π6)+1，由x ∈[0,π2]；可求得2x +π6∈[π6,7π6]，从而可求得函数f(x)的值域．(Ⅱ)由f(C)=3可求得C ，利用余弦定理可求得a 2+b 2=7，通过解方程可求得a 、b 的值．本题考查三角函数间的关系，考查正弦函数的性质，考查余弦定理与解方程得能力，属于难题．19.答案：证明：(Ⅰ)设x 1>x 2≥2，所以x 1x 2>4，则：f(x 1)−f(x 2)=x 1+4x 1−x 2−4x 2=x 1−x 2+4x 1−4x 2=x 1−x 2−4(x 1−x 2)x 1x 2=(x 1−x 2)(x 1x 2−4)x 1x 2>所以f(x)在[2,+∞)为单调增函数．同理f(x)在(0,2]上是减函数，(Ⅱ)由(Ⅰ)知，函数f(x)在区间[2,4]上为增函数， f(2)=2+2=4，f(4)=4+1=5，所以：值域为[4,5]．解析：(Ⅰ)设x 1>x 2≥2，可得：x 1x 2>4，由于f(x 1)−f(x 2)>0，即可证明f(x)在[2,+∞)为单调增函数．同理可证f(x)在(0,2]上是减函数，(Ⅱ)函数f(x)在区间[2,4]上为增函数，计算f(2)，f(4)的值即可得解值域．本题的考点是函数单调性的判断与证明及函数的值域的求法，本题采取了定义法证明，考查了转化思想，属于基础题．20.答案：解：(Ⅰ)∵14T =14⋅2πω=π8−(−π8)=π4，∴T=2πω=π，解得ω=2．根据五点法作图可得2×π8+φ=0，求得φ=−π4，∴函数f(x)=2sin(2x−π4).(Ⅱ)设锐角△ABC中，∵f(A)=2sin(2A−π4)=√2，∴sin(2A−π4)=√22，∴A=π4．∵a=2，由余弦定理可得a2=4=b2+c2−2bc⋅cosπ4≥(2−√2)bc，∴bc≤2−2=4+2√2，当且仅当b=c时，bc最大为4+2√2，故△ABC面积12bc⋅sinA的最大值为(2+√2)×√22=√2+1．解析：本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，余弦定理、基本不等式的应用，属于中档题．(Ⅰ)根据周期求得ω，再根据五点法作图求得φ，从而求得函数f(x)的解析式；(Ⅱ)设锐角△ABC中，由f(A)=√2，求得sin(2A−π4)的值，可得A的值．由余弦定理并利用基本不等式可得bc≤2−√2=4+2√2，由此求得△ABC面积12bc⋅sinA的最大值．21.答案：解：(Ⅰ)由题意，设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，由焦点F2的坐标为(1,0)知a2−b2=1，①再由12a2+y2b2=1，整理得y=±b2a．∵过F2垂直于长轴的弦长|AB|=3，∴2b2a=3.②联立①、②可解得a2=4，b2=3．∴椭圆的方程为x24+y23=1.…(3分)(Ⅱ)若l1、l2中一条的斜率不存在，则另一条的斜率则为0，此时，|P1P2|=4，|P3P4|=|AB|=3，于是1|P1P2|+1|P3P4|=14+13=712.…(5分)若l 1、l 2的斜率均存在且不为0，设l 1的方程：y =k(x +1)，则l 2的方程：y =−1k (x +1)，联立方程{x 24+y 23=1y =−1k (x +1)消去x 得：(3k 2+4)y 2+6ky −9=0， ∴y 1+y 2=−6k 3k 2+4,y 1y 2=−93k 2+4， ∴|P 3P 4|=√1+k 2|y 1−y 2|=√1+k 2√36k 2(3k 2+4)2+363k 2+4=12(k 2+1)3k 2+4．同理可得：|P 1P 2|=12(k 2+1)4k 2+3，∴1|P 1P 2|+1|P 3P 4|=4k 2+312(k 2+1)+3k 2+412(k 2+1)=712．∴综上知1|P 1P 2|+1|P 3P 4|=712(定值).…(9分)∵1|P 1P 2|+1|P 3P 4|=712≥2√1|P 1P 2||P 3P 4|，∴|P 1P 2||P 3P 4|≥(247)2=57649， ∴S max =12|P 1P 2||P 3P 4|≥28849．当且仅当|P 1P 2|=|P 3P 4|，即12(k 2+1)4k 2+3=12(k 2+1)3k 2+4时，S 最小，此时解得k =±1，∴四边形P 1P 3P 2P 4的面积S 最小时， l 1、l 2的直线方程：y =±(x +1).…(13分)解析：(Ⅰ)设椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，由已知条件推导出a 2−b 2=1，2b 2a=3.由此能求出椭圆的方程．(Ⅱ)若l 1、l 2中一条的斜率不存在，则另一条的斜率则为0，1|P 1P 2|+1|P 3P 4|=712.若l 1、l 2的斜率均存在且不为0，设l 1的方程：y =k(x +1)，则l 2的方程：y =−1k (x +1)，联立方程{x 24+y 23=1y =−1k(x +1)得：(3k 2+4)y 2+6ky −9=0，由韦达定理求出|P 3P 4|=12(k 2+1)3k 2+4.同理可得：|P 1P 2|=12(k 2+1)4k 2+3，由此能求出四边形P 1P 3P 2P 4的面积S 最小时，l 1、l 2的直线方程．本题考查椭圆方程的求法，考查四边形面积最小时直线方程的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想和函数与方程思想的合理运用．22.答案：解：(Ⅰ)当x ≤1时，f′(x)=−2e 2x +b ，易知函数f′(x)为(−∞,1]上的减函数，令f′(x)=0得导函数有唯一零点x =12ln b2，因为0<b <2e 2，因此x =12ln b2<1，故导数值在(−∞,12ln b2)为正，在(12ln b 2,1]为负，所以函数f(x)在(−∞,12ln b2)为增函数，在(12ln b2,1]为减函数； (Ⅱ)由题意当x =0时，f(0)=c −1=1， ∴c =2，当x <1时，f′(x)=−2e 2x +b ，依题意得f′(0)=b −2=0， ∴b =2，经检验b =2，c =2符合条件，因此f(x)={−e 2x +2x +2,x ≤1a(x 2lnx −x +1)+1,x ≥1当−2≤x ≤1时，f(x)=−e 2x +2x +2，f′(x)=−2e 2x +2，令f′(x)=0得x =0当x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：由上表可知f(x)在[−2,1]上的最大值为1．当1<x ≤2时，f(x)=a(x 2lnx −x +1)+1． f′(x)=a(2xlnx +x −1)，令g(x)=2xlnx +x −1，当1<x ≤2时，显然g(x)>0恒成立，当a <0时，f′(x)=a(2xlnx +x −1)<0， f(x)在(1,2]单调递减，所以f(x)<f(1)=1恒成立．此时函数在[−2,2]上的最大值为1；当a =0时，在(1,2]上f(x)=1，当a >0时，在(1,2]上f′(x)=a(2xlnx +x −1)>0 所以在(1,2]上，函数f(x)为单调递增函数． ∴f(x)在(1,2]最大值为a(4ln2−1)+1，∵a(4ln2−1)+1>1，故函数f(x)在[−2,2]上最大值为a(4ln2−1)+1．综上：当a≤0时，f(x)在[−2,2]上的最大值为1；当a>0时，f(x)在[−2,2]最大值为a(4ln2−1)+1．解析：(Ⅰ)当x≤1时，f′(x)=−2e2x+b，令f′(x)=0得导函数有唯一零点x=12ln b2，讨论各区间上导函数的符号，可得函数f(x)在区间(−∞,1]上的单调性；(Ⅱ)根据函数f(x)在x=0处取得极值1，可求出b，c的值，对a进行分类讨论，可得a取不同值时，f(x)在区间[−2,2]上的最大值．本题考查的知识点是分段函数的应用，导数法确定函数的单调性和最值，是分段函数与导数的综合应用，难度较大，属于难题．。

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