复数运算的几何意义解读

C
B
o x
z3
例2 设复平面上的点A.B.C对应的复数分别为z1,z2,z3,已知 |z1|=1,z2=z1z,z3=z2z,其中z=3/2(1+√3i),求四边形OABC的面 积。 C y
SOABC=SAOB+SBOC =15√3/2
B
ABaidu Nhomakorabea
o
x
例3：已知︱z︱=2,arg(z+2)=π/3求： (1)求虚数z (2)在复平面内，把复数z3对应的向量OP绕原点O按顺时 针旋转π/3，求所得向量对应的复数。 解(1)如图，设虚数z对应的向量OA，2对应的点为C，由 加法的几何意义可得以OC，OA为邻边作平行四边OABC， 则OB对应的复数为z+2，∠COB=π/3,|OA|=|BC|=|OC|=2, ∴∠AOB=∠OBC=∠BOC=π/3 y ∴∠COA=2π/3 ∴z=2(cos2π/3+isin2π/3)=-1+√3i A (2)z3=(-1+√3i)3=8(cos2π+isin2π) B 故由乘法的几何意义得 8(cos2π+isin2π) [cos(-2π/3)+isin(-2π/3)] o 2 C x =8(cos5π/3+sin5π/3) =4-4√3i
练习： (1)已知非零复数z1,z2分别对应于复平面上的点A,B，且 Z12-√3z1z2+z22=0，则三角形AOB是( B ) (A)等腰三角形 (B)等边三角形 (C)直角三角形 (D)等腰直角三角形 (2)复平面上点Z1对应的复数是-1+√3i，将向量OZ1绕原点O 顺时针旋转5π/6，得向量OZ2，则向量Z1Z2对应的复数的 三角形式为 (√6+√2)(cos7π/4+sin7π/4) (3)两个非零复数Z1Z2对应的向量OZ1⊥OZ2的充要条件是 z1/z2=λi(λ∈R, λ≠0) (4)非零复数满足|z1+z2|=|z1-z2|,u=(z1/z2)2,则( B ) (A)u＞0 (B)u＜0 (C)u=0 (D)以上都有可能 小结： (1)要能熟练应用复数运算的几何意义解决有关问题 (2)记住有关结论对解题是有帮助的
y
z
1、旋转对象 2、旋转方向 3、模的变化
Z1 θ2
r2
θ2
z1
θ1
o
x
例1 已知|z1| =|z2| ,argz1=π/3 , argz2=π/6, argz3=7π/8 求 z1+z2 arg———— .
z3
解：设z1,z2,z1+z2对应的点分别是ABC， 如图，∵|z1|=|z2|,由加法的几何意义知 四边形OACB为菱形，由 argz1=π/3,argz2=π/6, ∴∠COX=π/4,即 arg(z1+z2)=π/4,argz3=7π/8,由除法的几 何意义知 z1+z2 arg——— =11π/8 y A
复数 运算的几何意义
一
复数的加法与减法的几何意义 1、加法的几何意义 2、减法的几何意义 y Z2 Z1 x Z y Z1
Z2
o x
o
z1z2≠0时， z1+z2对应的向量是以OZ1、OZ2、为邻边
的平行四边形OZ1ZZ2的对角线OZ z2-z1对应的向量是Z1Z2
二 复数乘法与除法的几何意义 设复数z1=r1 (cosθ1+ i sinθ1) z2=r2 (cosθ2+ i sinθ2 ) 则复数z=z1z2=r1(cosθ1+isinθ1)r2(cosθ2+isinθ2) =r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]