全国各重点大学自主招生数学试题及答案分类汇总

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自主招生数学试题及答案

自主招生数学试题及答案

自主招生数学试题及答案一、选择题(每题5分,共20分)1. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 3,求f(2)的值。

A. 1B. 3C. 5D. 7答案:B2. 已知等差数列{a_n}的首项a_1 = 3,公差d = 2,求a_5的值。

A. 13B. 15C. 17D. 19答案:A3. 计算定积分∫(0到1) x^2 dx的值。

A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1答案:B4. 设A = {1, 2, 3},B = {3, 4, 5},求A∩B的值。

A. {1, 2}B. {3}C. {4, 5}D. 空集答案:B二、填空题(每题5分,共20分)5. 已知函数f(x) = 2x - 1,求f(-1)的值。

答案:-36. 计算等比数列1, 2, 4, ...的第5项。

答案:167. 已知圆的半径为5,求圆的面积。

答案:25π8. 已知向量a = (3, 4),向量b = (-4, 3),求向量a与向量b的点积。

答案:-7三、解答题(共60分)9. 已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6,求f(x)的导数。

答案:f'(x) = 3x^2 - 12x + 1110. 已知直线l1: y = 2x + 1和直线l2: y = -x + 3,求两直线的交点坐标。

答案:交点坐标为(1, 3)11. 已知圆心在原点,半径为5的圆,求圆的方程。

答案:x^2 + y^2 = 2512. 已知函数f(x) = x^2 - 6x + 8,求函数的最小值。

答案:函数的最小值为2,当x = 3时取得。

高校自招数学试题及答案

高校自招数学试题及答案

高校自招数学试题及答案一、选择题(每题4分,共40分)1. 下列哪个数是无理数?A. 0.33333…(循环)B. πC. √2D. 1答案:B、C2. 已知函数f(x) = 2x - 3,求f(5)的值。

A. 7B. 4C. 1D. 2答案:A3. 若a > b > 0,下列不等式中正确的是:A. a^2 > b^2B. a + b > 2√(ab)C. a/b > b/aD. a^3 > b^3答案:D4. 已知等差数列的首项为1,公差为2,求第10项的值。

A. 19C. 17D. 16答案:A5. 圆的半径为5,求圆的面积。

A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π答案:B6. 已知三角形ABC,∠A = 90°,AB = 3,AC = 4,求BC的长度。

A. 5B. 6C. 7D. 8答案:A7. 函数y = x^2 - 4x + 4的顶点坐标是什么?A. (2, 0)B. (-2, 0)C. (2, 4)D. (-2, 4)答案:A8. 已知正弦函数sin(x)的周期为2π,求余弦函数cos(x)的周期。

B. 2πC. 4πD. 8π答案:B9. 根据勾股定理,直角三角形的斜边长度是两直角边长度的平方和的平方根。

设a和b是直角边,c是斜边,下列哪个表达式是正确的?A. c = √(a^2 + b^2)B. a = √(c^2 + b^2)C. b = √(c^2 - a^2)D. c = √(b^2 - a^2)答案:A10. 已知一个数列的前三项为1, 1, 2,且每一项都是前两项的和,求第5项的值。

A. 4B. 5C. 6D. 7答案:C二、填空题(每题4分,共20分)11. 根据二项式定理,展开式(a + b)^3的通项公式是________。

答案:T_{r+1} = C_{3}^{r}a^{3-r}b^{r}12. 如果一个函数是奇函数,那么f(-x)等于________。

数学自主招生试题答案

数学自主招生试题答案

数学自主招生试题答案一、选择题1. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c在点x=1取得极小值,且该点为函数的唯一极值点。

若a>0,求b与c的关系。

答案:根据题意,函数f(x)在x=1处取得极小值,因此一阶导数f'(x)在x=1处为0。

首先求导数f'(x) = 2ax + b。

将x=1代入得f'(1) =2a + b = 0。

又因为x=1是唯一极值点,根据二次函数的性质,其判别式Δ = b^2 - 4ac必须小于0。

将f'(1) = 0代入得Δ = (2a)^2- 4a*c = 4a^2 - 4ac < 0。

由于a>0,可以化简得ac < 0,即b与c的关系为c < 0。

2. 已知一个等差数列的前三项分别为a-2,a,a+2,求该数列的前n项和公式。

答案:设等差数列的首项为a1,公差为d。

根据题意,有a1 = a - 2,a2 = a,a3 = a + 2。

由于是等差数列,有a2 = a1 + d,a3 = a2 + d。

将已知条件代入得a = a1 + d,a + 2 = a1 + 2d。

解这个方程组得a1 = a - d,d = 2。

所以首项a1 = a - 2,公差d = 2。

根据等差数列前n项和公式Sn = n/2 * (2a1 + (n-1)d),代入a1和d的值,得到Sn = n/2 * (2(a - 2) + (n-1)*2) = n/2 * (2a - 4 + 2n - 2) = n/2 * (2a + 2n - 6)。

二、填空题1. 一个圆的半径为r,求该圆的面积与周长。

答案:圆的面积公式为A = πr^2,周长公式为C = 2πr。

所以该圆的面积为πr^2,周长为2πr。

2. 已知一个三角形的三边长分别为a, b, c,且满足a^2 + b^2 =c^2,请判断该三角形的形状。

答案:根据勾股定理,如果一个三角形的三边长满足a^2 + b^2 = c^2,那么这个三角形是一个直角三角形。

自主招生考试数学卷(答案) (6)

自主招生考试数学卷(答案) (6)

A、第一象限 B、第二象限
C、第三象限 D、第四象限
24、函数 y 4sin x 3cos x 的最小值为 (
)
A .0
B .-3
C .-5
D . 13
25、已知角 的终边上有一点 P- 3, 4,则 cos (
A、0
3
B、 5
C、0.1
二、填空题:(共 30 分.)
) D、0.2
1.双曲线
D、 y sin x cos x
sin
21、若
5 13
,且
为第四象限角,则 tan
的值等于(
)
12
A、 5
12
B、 5
5
C、 12
5
D、 12
22、下列命题中正确的是(

A、第一象限角必是锐角
B、终边相同的角相等
C、相等的角终边必相同
D、不相等的角其终边必不相同
23、-870°角的终边所在的象限是( )
7、【答案】 C
【考点】复数的基本概念,复数代数形式的混合运算 【解析】【解答】解:z z + i = 2 − i 2 + 2i = 4 + 4i − 2i − 2i2 = 6 + 2i
故答案为:C
【分析】根据复数的运算,结合共轭复数的定义求解即可.
8、【答案】 B
【考点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台)
自考本科数学卷
(满分 150 分,考试时间 120 分钟)
一、选择题:(本题共 25 小题,共 50 分)
1.对 2×2 数表定义平方运算如下:( )
a
c
b d
2
a
c
b d
a c

历年《高校自主招生考试》数学真题专题分类解析Word版含答案及解斩(共九大专题)

历年《高校自主招生考试》数学真题专题分类解析Word版含答案及解斩(共九大专题)

历年《高校自主招生考试》数学真题专题分类解析(共九大专题)目录:专题一:不等式 01~11页专题二:复数、平面向量 12~20页专题三:三角函数 21~27页专题四:创新与综合题 28~33页专题五:概率 34~43页专题六:数列与极限 44~55页专题七:解析几何 56~74页专题八:平面几何 75~83页专题九:排列、组合与二项式定理 84~88页历年《高校自主招生考试》数学真题分类解析专题一:不等式一、选择题。

1.(复旦大学)若实数x满足对任意实数a>0,均有x2<1+a,则x的取值范围是( )A.(-1,1)B.[-1,1]C.(-,)D.不能确定【答案】B【解析】对任意实数a>0,函数f(a)=1+a的值域是(1,+∞),因此只要x2≤1即可.由x2≤1,解得x∈[-1,1].2.(复旦大学)已知点A(-2,0),B(1,0),C(0,1),如果直线y=kx将△ABC分割为两个部分,则当k= 时,这两个部分的面积之积最大. ( )A.-B.-C.-D.-【答案】A【解析】3.(复旦大学)将同时满足不等式x-ky-2≤0(k>0),2x+3y-6≥0,x+6y-10≤0的点(x,y)组成的集合D称为可行域,将函数z=称为目标函数,所谓规划问题就是求解可行域内的点(x,y),使目标函数达到在可行域内的最小值.如果这个规划问题有无穷多个解,则( ) A.k≥1 B.k≤2 C.k=2 D.k=1【答案】C【解析】可行域如图中阴影部分所示,目标函数z=的几何意义是可行域内的点与点(0,-1)连线的斜率,如果要使其取得最小值的点有无穷多个,则直线x-ky-2=0必过点(0,-1),即k=2.选C. 在解含有参数的平面区域问题时要注意含有参数的直线系的特点,本题的突破点是直线系x-ky-2=0过定点(2,0).4.(复旦大学)设n是一个正整数,则函数y=x+在正实半轴上的最小值是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】题中函数为非常规函数,可利用导数求其最值.因为y=x+=x+x-n,所以y'=1-x-n-1=1-,令y'=0得x=1,且函数y在(0,1)上递减,在(1,+∞)上递增,故函数y在正实半轴上的最小值为1+=.5.(复旦大学)若对一切实数x,都有|x-5|+|x-7|>a,则实数a的取值范围是( )A.a<12B.a<7C.a<5D.a<2【答案】D【解析】可先求出函数y=|x-5|+|x-7|的最小值,然后根据不等式恒成立的条件求得a的取值范围.由于|x-5|+|x-7|≥|5-7|=2,即函数y=|x-5|+|x-7|的最小值等于2,所以要使|x-5|+|x-7|>a恒成立,应有a<2.6.(2011年清华大学等七校联考)已知向量a=(0,1),b=(-,-),c=(,-),xa+yb+zc=(1,1),则x2+y2+z2的最小值为( )A.1B.C.D.2【答案】B 【解析】方法二∵xa+yb+zc=(1,1),∴-y+z=1,x-y-z=1,∴-y+z=,y+z=2x-2,∴z=+x-1,y=-+x-1,∴x2+(-+x-1)2+(+x-1)2=3x2-2(+1)x+(+1)2+2(-1)x+(-1)2=3x2-4x++2=3(x2-x+)++2-=3(x-)2+≥,当且仅当x=,z=,y=时等号成立.二、填空题。

自主招生考试数学卷(答案) (1)

自主招生考试数学卷(答案) (1)

自考本科数学卷(满分120分,考试时间120分钟)一、选择题:(本题共20小题,每小题5分,共50分)1.等比数列}{n a 的公比为q ,则“01>a ,且1>q ”是“对于任意正自然数n ,都有n n a a >+1”的()(A )充分非必要条件(B )必要非充分条件(C )充要条件(D )既非充分又非必要条件2.已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数,当0<x 时,x x f )31()(=,那么)9(1--f 的值为()(A )2(B )-2(C )3(D )-33.已知数列}{n a 中,31=a ,62=a ,n n n a a a -=++12,则2003a 等于()(A )6(B )-6(C )3(D )-34、0=b 是直线b kx y +=过原点的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件5、方程43)22(log =x 的解为()A .4=x B .2=x C .2=x D .21=x 6.表中数据是我国各种能源消费量占当年能源消费总量的百分率,由表可知,从2011年到2014年,消费量占比增长率最大的能源是()A.天然气B.核能C.水利发电D.再生能源表我国各种能源消费的百分率原油(%)天然气(%)原煤(%)核能(%)水利发电(%)再生能源(%)2011年17.7 4.570.40.7 6.00.72014年17.55.666.01.08.11.87.若角α的终边过点()6,8P -,则角α的终边与圆221x y +=的交点坐标是()A.34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭ B.43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭ C.34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭ D.43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭8.关于x,y 的方程y mx n =+和221x y m n +=在同一坐标系中的图象大致是()12349.已知()2nx -的二项展开式有7项,则展开式中二项式系数最大的项的系数是()A.-280B.-160C.160D.56010.若有7名同学排成一排照相,恰好甲、乙两名同学相邻,并且丙、丁两名同学不相邻的概率是()A.421B.121C.114D.2711、已知定义在R 上的函数12)(-=-mx x f (m 为实数)为偶函数,记)3(log 5.0f a =,)5(log 2f b =,)2(m f c =,则c b a ,,的大小关系为()A 、c b a <<B 、b a c <<C 、b c a <<D 、ab c <<12、不等式152x x ---<的解集是()A 、(,4)-∞B 、(,1)-∞C 、(1,4)D 、(1,5)13、函数x x y 2cos sin =是()A 、偶函数B 、奇函数C 、非奇非偶函数C 、既是奇函数,也是偶函数14、若(12)a +1<(12)4-2a ,则实数a 的取值范围是()A 、(1,+∞)B 、(12,+∞)C 、(-∞,1)D 、(-∞,12)15、化简3a a 的结果是()A 、aB 、12aC 、41aD 、83a16、下列计算正确的是()A 、(a3)2=a9B 、log36-log32=1C 、12a -·12a =0D 、log3(-4)2=2log3(-4)17、三个数a =0.62,b =log20.3,c =30.2之间的大小关系是()A 、a<c<bB 、a<b<cC 、b<a<cD 、b<c<a18、8log 15.021+-⎪⎭⎫ ⎝⎛的值为()A 、6B 、72C 、16D 、3719、下列各式成立的是()A 、()52522n m n m +=+B 、(ba)2=12a 12bC 、()()316255-=-D 、31339=20、设2a =5b =m ,且1a +1b=3,则m 等于()A 、310B 、10C 、20D 、100二、填空题:(共20分)1.sin15°.cos15°=___2.在△ABC 中,AB=1,AC=2,A=60°,则S ∆ABC=___3.若1.3.x 成等比数列,则实数x=_______.三、解答题:(本题共3小题,共50分)1.计算:34cos49()15(4log 212π+--+.2.设c b a ,,分别是ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对的边,S 是ABC ∆的面积,已知4,5,a b S ===(1)求角C ;(2)求c 边的长度.3.已知函数)1,0()(≠>+=b b b a x f x的图象过点)4,1(和点)16,2(.(1)求)(x f 的表达式;(2)解不等式23)21()(x x f ->;(3)当]4,3(-∈x 时,求函数6)(log )(22-+=x x f x g 的值域.参考答案:一、选择题1-5题答案:AABCA 6-10题答案:DADBA 11-15题答案:BABAB;16-20题答案:BBCDA.部分选择题解析:6、【答案】D 【解析】根据表1可知,从2011年到2014年,天然气:5.6 4.5100%24.4%4.5-⨯≈,核能:1.00.7100%42.9%0.7-⨯≈,水力发电:8.1 6.0100%35%6.0-⨯=,再生能源:1.80.7100%157.1%0.7-⨯≈,则消费量占比增长率最大的能源是再生能源.7、【答案】A 【解析】因为()6,8P -,10=,设交点为()11,x y ,又因为圆的半径为1,因此有11141085y y =⇒=,1131065x ==,又因为终边在第二象限,所以选A.8、【答案】D 【解析】当221x y m n +=的图象为椭圆时,00m n >>,,则y mx n =+的图象单调递增,且与y 轴的截距大于0,A 、B 均不符;当221x y m n +=的图象为双曲线时,○1当00m n <>,时,双曲线的焦点在y 轴上,y mx n =+的图象单调递减,且与y 轴的截距大于0;○2当00m n ><,时,双曲线的焦点在x 轴上,y mx n =+的图象单调递增,且与y 轴的截距小于0,综上所述,选项D 正确.9、【答案】B 【解析】()2nx - 的二项展开式有7项,6n ∴=,()616C 2kk kk T x -+=-,又展开式中二项式系数最大的项为第4项,则()3363346C 2160T x x -=-=-,则其系数为160-.10、【答案】A 【解析】先利用捆绑法将甲乙进行捆绑并全排列,有22A 种排列方法,将甲乙作为一个整体,除去丙丁将其他人进行全排列,有44A 种排列方法,再利用插空法将丙丁进行插空,有25A 种排列方法;总共有77A 种排列方法,所以概率为24224577A A A 4A 21⋅⋅=.二、填空题1.答案:0.252.答案:解析:由三角形的面积公式,得3.答案:9三、解答题解:原式=)3cos(23(121ππ++-+=3cos 233π--=21233--=12.解:(1)由题知5,4,35===b a SC ab S sin 21=Csin 542135⨯⨯=∴23sin =∴C 又 C 是ABC ∆的内角3π=∴C 或32π=C (2)当3π=C 时,3cos2222πab b a c -+=215422516⨯⨯⨯-+=21=21=∴c当32π=C 时,22222cos3c a b ab π=+-215422516⨯⨯⨯++=61=61=∴c xx f 4)(=∴(2)23)21(4x x-> 32222->∴xx 322->∴x x 0322<--∴x x 31<<-∴x ∴不等式的解集为)3,1(-(3)64log )(22-+=x x g x 62log 222-+=x x 622-+=x x 7)1(2-+=x 1(3,4]-∈- 7)(min -=∴x g 当4=x 时,max ()18g x =∴值域为]18,7[-。

大学自主招生数学试题

大学自主招生数学试题

大学自主招生数学试题[正文]自主招生是大学录取新生的一种形式,相比于普通高考,它更注重考生的综合素质和创新能力的培养。

其中,数学试题作为考核学生逻辑思维和问题解决能力的重要部分,扮演着重要的角色。

下面是一套典型的大学自主招生数学试题,希望能够帮助考生更好地了解和应对这一部分的考试内容。

1. 选择题(1) 若函数 f(x) = (a + x)(b + x)(c + x) 在区间 [-3, 2] 上的最小值为 -12,那么 a, b, c 的取值范围是:A. a > 2, b < -3, c < -3B. a < -3, b > 2, c > 2C. a < -3, b < -3, c > 2D. a > 2, b > 2, c < -3(2) 已知函数 f(x) 在区间 [0, 4] 上单调增加,且 f(1) = 3,f(3) = 7,那么在区间 (0, 4) 上存在:A. x0 ∈ (1, 3),使得 f(x0) = 5B. x0 ∈ (1, 3),使得 f(x0) > 5C. x0 ∈ (1, 3),使得 f(x0) < 5D. x0 ∈ (1, 3),使得 f(x0) = 62. 解答题(1) 证明:对任意实数 x,都有√(x^2 + 1) ≥ 1 + |x|(2) 已知函数 f(x) 在区间 [a, b] 上连续,且在 (a, b) 内可导,若 f(a) = f(b) = 0,证明:存在 c ∈ (a, b),使得 f'(c) = 03. 简答题(1) 什么是群论?群论是研究代数结构的分支学科,主要研究集合上的一种二元运算,通过定义这种运算的一些基本公理,研究群的性质和结构。

(2) 请解释下列术语的意义:基变换、特征值、特征向量- 基变换:对于线性代数中的矩阵,基变换是指将其表示在不同基下的转换过程,通过找到转换矩阵,将一个向量从一个基表示转换为另一个基表示。

历年名牌大学自主招生数学考试试题及答案

历年名牌大学自主招生数学考试试题及答案

上海交通大学2007年冬令营选拔测试数学试题一、填空题(每小题5分,共50分)1.设函数满足,则.2.设均为实数,且,则.3.设且,则方程的解的个数为.4.设扇形的周长为6,则其面积的最大值为.5..6.设不等式与的解集分别为M和N.若,则k的最小值为.7.设函数,则.8.设,且函数的最大值为,则.9.6名考生坐在两侧各有通道的同一排座位上应考,考生答完试卷的先后次序不定,且每人答完后立即交卷离开座位,则其中一人交卷时为到达通道而打扰其余尚在考试的考生的概率为.10.已知函数,对于,定义,若,则.二、计算与证明题(每小题10分,共50分)11.工件内圆弧半径测量问题.为测量一工件的内圆弧半径,工人用三个半径均为的圆柱形量棒放在如图与工件圆弧相切的位置上,通过深度卡尺测出卡尺水平面到中间量棒顶侧面的垂直深度,试写出用表示的函数关系式,并计算当时,的值.12.设函数,试讨论的性态(有界性、奇偶性、单调性和周期性),求其极值,并作出其在内的图像.13.已知线段长度为,两端均在抛物线上,试求的中点到轴的最短距离和此时点的坐标.参考答案:1. 2。

3。

2 4. 5。

6。

27. 8。

9。

10。

11。

,12.;偶函数;;;周期为 13。

;14。

略;反证法 15。

2;3;2008年交大冬令营数学试题参考答案2008。

1。

1 一.填空题1.若,,则.22.函数的最大值为__________.3.等差数列中,,则前项和取最大值时,的值为__________.20 4.复数,若存在负数使得,则.5.若,则.6.数列的通项公式为,则这个数列的前99项之和.7.……中的系数为.39212258.数列中,,,,,,,,,,此数列的通项公式为.9.甲、乙两厂生产同一种商品.甲厂生产的此商品占市场上的80%,乙厂生产的占20%;甲厂商品的合格率为95%,乙厂商品的合格率为90%.若某人购买了此商品发现为次品,则此次品为甲厂生产的概率为.10.若曲线与错误!未定义书签。

高校自招数学试题及答案

高校自招数学试题及答案

高校自招数学试题及答案一、选择题(每题5分,共20分)1. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c(a ≠ 0)的图像经过点(1, 2)和(2,3),则下列哪个选项是正确的?A. a + b + c = 2B. 4a + 2b + c = 3C. a + 2b + c = 3D. 4a + b + c = 5答案:C2. 已知数列{an}是等差数列,且a1 + a2 + a3 = 12,a2 + a3 + a4 = 18,则a1 + a5的值是多少?A. 18B. 20C. 24D. 26答案:B3. 若复数z满足|z - 1| = |z + i|,则z对应的点在复平面上位于哪个象限?A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限答案:B4. 已知函数f(x) = ln(x) + 1/x,若f(x)在区间(0, +∞)上单调递增,则实数k的取值范围是?A. k > 0B. k ≥ 1C. k ≤ -1D. k ≤ 0答案:B二、填空题(每题5分,共20分)5. 若一个圆的直径为10,则该圆的面积为_______。

答案:25π6. 已知向量a = (3, -1),b = (2, 4),则向量a与向量b的数量积为_______。

答案:57. 若函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2在区间[1, 2]上单调递增,则实数k的取值范围是_______。

答案:k ≤ -18. 已知等比数列{an}的前三项分别为1,2,4,则该数列的通项公式为an = _______。

答案:2^(n-1)三、解答题(每题15分,共40分)9. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3,求f(x)的单调区间,并说明理由。

答案:函数f(x)的单调递增区间为[2, +∞),单调递减区间为(-∞, 2)。

理由是f(x)的导数为f'(x) = 2x - 4,令f'(x) > 0得x > 2,令f'(x) < 0得x < 2。

自主招生考试数学试卷及参考答案

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自主招生考试数学试卷及参考答案(总9页)--本页仅作为文档封面,使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--22第2自主招生考试 数学试题卷亲爱的同学:欢迎你参加考试!考试中请注意以下几点:1.全卷共三大题,满分120分,考试时间为100分钟。

2.全卷由试题卷和答题卷两部分组成。

试题的答案必须做在答题卷的相应位置上。

做在试题卷上无效。

3.请用钢笔或圆珠笔在答题卷密封区上填写学校、姓名、试场号和准考证号,请勿遗漏。

4.答题过程不准使用计算器。

祝你成功!一、选择题(本题共6小题,每小题5分,共30分.在每小题的四个选项中,只有一个符合题目要求)1.如果一直角三角形的三边为a 、b 、c ,∠B=90°,那么关于x 的方程a(x 2-1)-2cx+b(x 2+1)=0的根的情况为A 有两个相等的实数根B 有两个不相等的实数根C 没有实数根D 无法确定根的情况2.如图,P P P 123、、是双曲线上的三点,过这三点分别作y 轴的垂线,得三个三角形P A O P A O P A O 112233、、,设它们的面积分别是S S S 123、、,则 A S S S 123<< B S S S 213<< C S S S 132<<D S S S 123==3.如图,以BC 为直径,在半径为2圆心角为900的扇形内作半圆,交弦AB 于点D ,连接CD ,则阴影部分的面积是33第5A π-1B π-2C 121-πD 221-π4.由325x y a x y a x y a m-=+⎧⎪+=⎪⎨>⎪⎪>⎩得a>-3,则m 的取值范围是A m>-3B m ≥-3C m ≤-3D m<-3 5.如图,矩形ABCG (AB <BC )与矩形CDEF 全等,点B 、C 、D 在同一条直线上,APE ∠的顶点P 在线段BD 上移动,使APE ∠为直角的点P 的个数是 A 0 B 1 C 2 D 36.已知抛物线y=ax 2+2ax+4(0<a<3),A (x 1,y 1)B(x 2,y 2)是抛物线上两点,若x 1<x 2,且x 1+x 2=1-a,则A y 1< y 2B y 1= y 2C y 1> y 2D y 1与y 2的大小不能确定二、填空题(本题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填写在题中横线上)7. 二次函数y =ax 2+(a -b )x —b 的图象如图所示,44那么化简222||a ab b b -+-的结果是______▲________.8. 如图所示,在正方形 ABCD 中,AO ⊥BD 、OE 、FG 、HI 都垂直于 AD ,EF 、GH 、IJ 都垂直于AO ,若已知 S ΔA JI =1, 则S 正方形ABCD = ▲9.将一个棱长为8、各个面上均涂有颜色的正方体,锯成64个同样大小的小正方体,其中所有恰有2面涂有颜色的小正方体表面积之和为 ▲ 10.用黑白两种颜色正方形的纸片按黑色纸片数逐渐加l 的规律拼成一列图案:(1)第4个图案中有白色纸片 ▲ 张 (2)第n 个图案中有白色纸片 ▲ 张(3)从第1个图案到第100个图案,总共有白色纸片 ▲ 张第10题 第7题第8题5511.如图所示,线段AB 与CD 都是⊙O 中的弦,其中108,,36,O O AB AB a CD CD b ====,则⊙O 的半径R= ▲12.阅读下列证明过程: 已知,如图四边形ABCD 中,AB =DC ,AC =BD ,AD ≠BC ,求证:四边形ABCD 是等腰梯形.读后完成下列各小题.(1)证明过程是否有错误?如有,错在第几步上,答: ▲ . (2)作DE ∥AB 的目的是: ▲ .(3) 判断四边形ABED 为平行四边形的依据是: ▲ . (4)判断四边形ABCD 是等腰梯形的依据是 ▲ .(5)若题设中没有AD ≠BC ,那么四边形ABCD 一定是等腰梯形吗为什么 答 ▲ .自主招生考试第11题第12题66数学标准答案一、选择题(本题共6小题,每小题5分,共30分.在每小题的四个选项中,只有一个符合题目要求)二、填空题(本题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填写在题中横线上)7. ______-1__________ 8. 256 9. 57610.(1) 13 (2) 3n+1 (3) 15250 11. a b12.(1)没有错误 (2)为了证明AD ∥BC(3) 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形(4)梯形及等腰梯形的定义 (5) 不一定,因为当AD =BC 时,四边形ABCD 是矩形 三、解答题(本题共5小题,共60分.解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明)13.(本小题10分)某公园门票每张10元,只供一次使用,考虑到人们的不同需求,也为了吸引更多游客,该公园除保留原有的售票方法外,还推出一种“购个人年票”的售票方法(个人年票从购买之日起,可供持票者使用一年)。

高考单招试卷数学试卷答案

高考单招试卷数学试卷答案

一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)1. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c的图象开口向上,且顶点坐标为(1,-2),则a的取值范围是()A. a > 0B. a < 0C. a = 0D. 无法确定答案:A解析:函数f(x) = ax^2 + bx + c的图象开口向上,说明a > 0。

顶点坐标为(1,-2),代入函数得f(1) = a1^2 + b1 + c = -2,即a + b + c = -2。

由于a > 0,故选A。

2. 下列命题中正确的是()A. 若a > b,则a^2 > b^2B. 若a > b,则a^3 > b^3C. 若a > b,则a^4 > b^4 D. 若a > b,则a^5 > b^5答案:B解析:对于选项A,当a = -1,b = -2时,a > b但a^2 < b^2,故A错误。

对于选项B,由于a > b,则a^3 > a^2 b > b^3,故B正确。

对于选项C,当a = -1,b = -2时,a > b但a^4 < b^4,故C错误。

对于选项D,当a = -1,b = -2时,a > b但a^5 < b^5,故D错误。

3. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1 = 3,公差d = 2,则S10 = ()A. 90B. 100C. 110D. 120答案:A解析:等差数列的前n项和公式为Sn = n/2 (a1 + an),其中an = a1 + (n-1)d。

代入已知条件得S10 = 10/2 (3 + 3 + 92) = 90。

4. 下列函数中,在定义域内单调递增的是()A. f(x) = x^2B. f(x) = 2^xC. f(x) = log2xD. f(x) = √x答案:B解析:函数f(x) = x^2在x < 0时单调递减,在x > 0时单调递增,故A错误。

大学自主招生测评题真题及答案解析——数学一

大学自主招生测评题真题及答案解析——数学一

大学自主招生测评题真题及答案解析——数学一一、选择题1、(北约2014年)设扇形的圆心角为3π,面积为6π,将它围成一个圆锥,求圆锥的表面积______(A )132π (B )7π (C )152π (D )8π答案:B6/660360ππ=,扇形弧长为60262360ππ=,故圆锥底面半径为1,圆锥的表面积等于67πππ+=2、(北约2013和为两根的有理系数多项式的最高次数最小为( )A. 2B.C. D. 答案:C解析:由,可知,同理由可知; 所以方程的次数最小,其次数为5,故选C.3、(华约2012年)红蓝两色车、马、炮棋子各一枚,将这6枚棋子排成一列,其中对对同字的棋子中,均为红棋子在前,蓝棋子在后,满足这种条件的不同的排列方式共有( )(A) 36种 (B) 60种 (C) 90种 (D)120种 答案:C4、(华约2010年)设向量,a b ,满足||||1,==⋅=a b a b m ,则||+a tb ()t R ∈的最小值为( )(A )2 (B (C )1 (D 答案:D5、(华约2010年)设复数2()1a i w i+=+,其中a 为实数,若w 的实部为2,则w 的虚部为( )(A )32- (B )12- (C )12 (D )32答案:A二、填空题6、(卓越2014年)不等式32210x x -+<的解集为_____________。

13561x =22x =1x 3(1)2x -=23(2)[(1)2]0x x ---=答案:1515112⎛⎫⎛++-, ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭解析:22x x =,把原式视作x 的三次多项式分解因式即可。

7、(卓越2013年)如图,AE 是圆O 的切线,A 是切点,AD 与OE 垂直,垂足是D ,割线EC 交圆O 于,B C ,且,ODC DBC αβ∠=∠=,则OEC ∠= (用,αβ表示)。

答案:βα-三、综合题8、(北约2014年)证明:tan 3是无理数。

2019年北京大学、清华大学、浙江大学、中国科技大学自主招生数学试题及参考答案

2019年北京大学、清华大学、浙江大学、中国科技大学自主招生数学试题及参考答案

2019年北京大学自主招生数学试题2019年清华大学自主招生数学试题2019年中国科学技术大学自主招生数学试题4.记3cos(),4cos()36x t y t =+-=++,则22x y +的最大值为__________。

5.设点0(1,0)P ,i OP (i =1,2,3…)绕原点按顺时针旋转θ得到向量i OQ , i Q 关于y 轴对称点记为1 i P +,则2019P 的坐标为__________。

.,且.已知,且9.将△D 1D 2D 3的各中点连线,折成四面体ABCD ,已知12233112,10,8D D D D D D ===,求四面体ABCD 的体积。

10.求证:对于任意的在R 上有仅有一个解0x =11.已知(1)求证:存在多项式()p x ,满足cos (cos )n p θθ=;(2)将()p x 在R [x ]上完全分解。

2019年中国科学技术大学自主招生数学试题参考答案2.B红色曲线为y =sin 2x ,蓝色曲线为y =-cos 3x综上,知:00100110cos sin cos sin 01sin cos sin cos x x x y y y θθθθθθθθ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭那么222(,)P x y 满足:200020002cos sin 10sin cos 01x x x x y y y y θθθθ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭这也就说明了20,P P 重合。

故2019P 坐标为(cos ,sin )θθ--6.首先将递推公式两侧取倒数,则:112(1)11112(1)n n n n nn x n x x x x ++++=⇔-=+累加,即:21122(1)n n n k k x x n n =-=⇒=+∑裂项求和,则:2019112019*********k k x ==-=∑7.如图所示,我们定义a ~b 表示复数a 和b之间的边11z z -+是纯虚数,表明0~(z-1)与0~(z+1)垂直,进而说明|z~(z-1)|=|0~z|=|z~(z+1)|=1故||1z =,进一步,我们设cos sin z i θθ=+则222222222|3|(cos 2cos 3)(sin 2sin )cos 2cos 96cos 6cos 22cos cos 2sin 2sin 2sin 2sin 116cos 2812cos 8cos 53z z cos θθθθθθθθθθθθθθθθθθ++=++++=++++++++=++=++≥等号成立条件为1cos 3θ=-8.9.简解:由题意,易知四面体ABCD为等腰四面体,将其嵌入长方体后割补法即可图示蓝色边框为等腰四面体,黑色为被嵌入的长方体答案:410.首先,我们定义()()n f x 代表函数()f x 的n 阶导数令0()!kn x k x f x e k ==-∑注意到()()1n x f x e =-在R 上单调递增,故其在R 上仅有一根x =0,从而(1)()1n x f x e x -=--在R 上有最小值,即(1)(1)()(0)0n n f x f --≥=进而2(2)()12n x x f x e x -=---在R 上单调递增以此类推,可知:(2)()n k f x -在R 上单调递增,仅有一根x =0(21)()n k f x --在R 先减后增,且恒为非负实数,且仅有一根x =0综上,不论n 取何值,0()!knx k x f x e k ==-∑在R 上仅有一根x =011.本题考察内容十分清晰,旨在考察Chebyshev 多项式(1)采取归纳法证明,若对于不同的n ,存在满足题设的多项式,则记其为()n p x 首先,当1n =时,存在多项式1()p x x=其次,当2n =时,存在多项式22()21p x x =-我们假定命题在2,1n n --的情形下成立,下面考察n 的情形cos cos[(1)]cos(1)cos sin(1)sin 1cos(1)cos [cos cos(2)]2n n n n n n n θθθθθθθθθθθ=-+=-⋅--⋅=-⋅+--进而有cos 2cos cos(1)cos(2)n n n θθθθ=---即12()2()()n n n p x xp x p x --=-因为12(),()n n p x p x --都是多项式,所以()n p x 也是多项式。

全国重点大学(清华北大复旦交大同济)自主招生数学试题

全国重点大学(清华北大复旦交大同济)自主招生数学试题

全国重点大学(清华北大复旦交大同济)自主招生数学试题一、选择题(本题共15分,每小题3分.在每小题给出的4个选项中,只有一项正确,把所选项的字母填在括号内)19981.若今天是星期二,则3天之后是()A.星期四B.星期三C.星期二D.星期一2.用13个字母A,A,A,C,E,H,I,I,M,M,N,T,T作拼字游戏,若字母的各种排列是随机的,恰好组成“MATHEMATICIAN”一词的概率是()A.4813!B.21613!C.172813!D.813!()183.方程co2某in2某+in某=m+1有实数解,则实数m的取值范围是A.m18B.m>3C.m>12D.3m4.若一项数为偶数2m的等比数列的中间两项正好是方程某+p某+q =0的两个根,则此数列各项的积是A.pm5.设f’(某0)=2,则limA.2h0B.p2mf(某0h)f(某0h)hC.qmC.41()D.q2mD.4()B.2二、填空题(本题共24分,每小题3分)1.设f(某)的原函数是某1,则f(2某)d某__________.02.设某(0,2),则函数(in某21in某2)(co某21co某2)的最小值是__________.3.方程316某281某536某的解某=__________.__________.4.向量ai2j在向量b3i4j上的投影(a)b5.函数y2某33某2的单调增加区间是__________.6.两个等差数列200,203,206,…和50,54,58…都有100项,它们共同的项的个数是__________.227.方程7某(k+13)某+kk2=0的两根分别在区间(0,1)和(1,2)内,则k的取值范围是__________.8.将3个相同的球放到4个盒子中,假设每个盒子能容纳的球数不限,而且各种不同的放法的出现是等可能的,则事件“有3个盒子各放一个球”的概率是________.三、证明与计算(本题61分)1.(6分)已知正数列a1,a2,…,an,且对大于1的n有a1a2an试证:a1,a2,…,an中至少有一个小于1.2.(10分)设3次多项式f(某)满足:f(某+2)=f(某),f(0)=1,f(3)=4,试求f(某).第1页共52页32n,a1a2ann12.3.(8分)求极限lim某2b某c,某014.(10分)设f(某)在某=0处可导,且原点到f(某)中直线的距离为,原点到f(某)中3某0l某m,12nnp1pppn(p0).曲线部分的最短距离为3,试求b,c,l,m的值.(b,c>0)35.(8分)证明不等式:1in某co某24,某[0,2].6.(8分)两名射手轮流向同一目标射击,射手甲和射手乙命中目标的概率都是命中目标谁就获胜,试求甲、乙两射手获胜的概率.7.(11分)如图所示,设曲线y1某12.若射手甲先射,谁先y上的点与某轴上的点顺次构成等腰直角三角形△OB1A1,△A1B2A2,…,直角顶点在曲线y1某上.试求An的坐标表达式,并说明这些三角形B1B2OA1A2某的面积之和是否存在.第2页共52页复旦大学2000年保送生招生测试数学试题(理科)一、填空题(每小题10分,共60分)1.将自然数按顺序分组:第一组含一个数,第二组含二个数,第三组含三个数,……,第n组含n个数,即1;2,3;4,5,6;…….令an为第n组数之和,则an=________________.2.in2in2(3)in(23)=______________.3.lim[(n2)log2(n2)2(n1)log2(n1)nlog2n]=_________________.n4.已知平行六面体的底面是一个菱形且其锐角等于60度,又过此锐角的侧棱与锐角两边成等角,和底面成60度角,则两对角面面积之比为__________________.25.正实数某,y满足关系式某某y4=0,又若某≤1,则y的最小值为_____________.6.一列火车长500米以匀速在直线轨道上前进,当车尾经过某站台时,有人驾驶摩托车从站台追赶火车给火车司机送上急件,然后原速返回,返回中与车尾相遇时,此人发现这时正在离站台1000米处,假设摩托车车速不变,则摩托车从出发到站台共行驶了______________米.二、解答题(每小题15分,共90分)1.数列{an}适合递推式an+1=3an+4,又a1=1,求数列前n项和Sn.2.求证:从椭圆焦点出发的光线经光洁的椭圆壁反射后必经过另一个焦点.你还知道其它圆锥曲线的光学性质吗?请叙述但不必证明.3.正六棱锥的高等于h,相邻侧面的两面角等于2arcin求该棱锥的体积.(co4.设z1,z2,z3,z4是复平面上单位圆上的四点,若z1+z2+z3+z4=0.求证:这四个点组成一个矩形.第3页共52页12(326),1214(26))5.设(16.设平面上有三个点,任意二个点之间的距离不超过1.问:半径至少为多大的圆盘才能盖住这三个点.请证明你的结论.2)某nynn2,其中某n,yn为整数,求n→∞时,某nyn的极限.第4页共52页2000年交大联读班试题1.直线ya某b关于y某的对称直线为_______________。

中国各大名校自主招生数学试题集锦

中国各大名校自主招生数学试题集锦

名牌高校自主招生数学试题赏析江苏省如高中学-------童云飞近年来名牌高校自主招生考试竞争愈演愈烈,了解自主招生考试特点,合理安排日常学习,积极备考对各位考生意义重大。

下面简要分析一下自主招生数学考试的特点,并对一些有代表性的试题作简要分析。

自主招生试题特点:试题总难度高于高考,多数题目达到高考中高难度,部分题目达到竞赛难度,试题灵活多变,毫无规律可寻,但各个学校的试题已经开始形成各自的风格。

总的来说,函数、方程、数列、不等式、排列组合等内容是高频考点。

应试策略:1、注重基础:一般说来,自主招生中,中等难度题目分数比例大约60% 左右。

2、联系教材,适度拓宽知识面:注意课本上的自主.探究和阅读材料,对和大学数学联系紧密的内容进行深度挖掘。

自主招生中,有不少试题都来源于这些材料。

3、掌握竞赛数学的基本知识和解题技巧,着重培养数学思维能力。

4、考前进行模拟训练,熟悉每个高校的命题特点,掌握答题技巧。

试题赏析1. (2009复旦)如果一个函数f(x)在其定义区间内对任意x,y都满足()()()22x y f x f yf++≤,则称这个函数时下凸函数,下列函数(1)()f x2x=(2)()f x=3x(3)()f x=2log x(0x>)(4),0,()2,0,x xf xx x<⎧=⎨≥⎩中是下凸函数的有-------------------。

A.(1)(2) B. (2)(3) C.(3)(4) D.(1)(4)2. (2006复旦)设x1,x2∈(0,2π),且x1≠x2,下列不等式中成立的是:(1)12(tanx1+tanx2)>tan122x x+; (2)12(tanx1+tanx2)<tan122x x+;(3)12(sinx1+sinx2)>sin122x x+; (4)12(sinx1+sinx2)<sin122x x+A.(1),(3) B.(1),(4) C.(2),(3) D.(2),(4)点评:凸函数在苏教版高中数学必修一[探究.拓展]中出现过.3.求证:02122222()()()()n nn n n n nC C C C C++++=(2006年复旦大学)点评:“算两次”的思想在苏教版高中数学选修2—3的[探究.拓展]中出现过.4. 给定正整数n和正常数a,对于满足不等式aaa n≤++2121的所有等差数列a1,a2,a3,…,和式∑++=121nniia的最大值=_______.(2007复旦自主招生试题)12A.)1(210+n a; B.n a 210; C.)1(25+n a; D.n a25 5.求证:3131211333<++++n(复旦大学2004年保送生考试题)6.设[]x 表示不超过 x 的最大整数,则80[k ==____________ A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 (复旦大学自主招生试题)点评:4—6题是全国高中数学联赛考过的原题.7. 设 f (x )在[1,+∞)上单调递增,且对任意x ,y ∈[1,+∞),都有f (x +y )=f (x )+f (y )成立, 证明:存在常数k ,使f (x )=kx 在x ∈[1,+∞)上成立.(北大自主招生试题)8. 求证:对于任意的正整数n ,n )21(+必可表示成1-+s s 的形式,其中+∈N s (2012年“北约”试题)------(《漫话数学归纳法》上的原题)9. 有限条抛物线及其内部能否覆盖整个平面?并证明。

数学单招题库及答案详解

数学单招题库及答案详解

数学单招题库及答案详解一、选择题1. 已知函数\( f(x) = 2x^2 - 3x + 1 \),求\( f(2) \)的值。

A. 5B. 3C. 1D. -12. 若\( a \)、\( b \)是一元二次方程\( x^2 + 5x + 6 = 0 \)的两个实根,求\( a + b \)的值。

A. -3B. -2C. -1D. 03. 根据勾股定理,直角三角形的斜边长为\( c \),两直角边长分别为\( a \)和\( b \),下列哪个选项是错误的?A. \( c^2 = a^2 + b^2 \)B. \( a^2 = c^2 - b^2 \)C. \( b^2 = c^2 - a^2 \)D. \( c^2 = a^2 - b^2 \)二、填空题4. 计算\( \sqrt{64} \)的值是______。

5. 若\( \sin(\alpha) = \frac{3}{5} \),且\( \alpha \)在第一象限,求\( \cos(\alpha) \)的值是______。

三、解答题6. 解不等式\( |x - 3| < 2 \),并给出解集。

7. 已知点A(2,3)和点B(-1,-2),求直线AB的斜率。

8. 证明:对于任意正整数\( n \),\( 1^3 + 2^3 + ... + n^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4} \)。

四、计算题9. 计算下列极限:\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}\]10. 计算定积分:\[\int_{0}^{1} (2x + 1) \, dx\]五、证明题11. 证明:函数\( g(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 7 \)在\( x = 1 \)处取得极小值。

六、应用题12. 某工厂生产一种产品,每件产品的成本是\( C(x) = 50 + 30x \)元,其中\( x \)是生产数量。

自主招生数学试卷

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自主招生数学试题参考答案与试题解析一.选择题(共6小题)1.(2011?随州)已知函数,若使y=k成立的x值恰好有三个,则k的值为()A .0 B.1 C.2 D.3考点:二次函数的图象.3578195专题:压轴题;数形结合.分析:首先在坐标系中画出已知函数的图象,利用数形结合的方法即可找到使y=k成立的x值恰好有三个的k值.解答:解:函数的图象如图:根据图象知道当y=3时,对应成立的x有恰好有三个,∴k=3.故选D.点评:此题主要考查了利用二次函数的图象解决交点问题,解题的关键是把解方程的问题转换为根据函数图象找交点的问题.2.如果|x﹣a|=a﹣|x|(x≠0,x≠a),那么=()A .2a B.2x C.﹣2a D.﹣2x考点:二次根式的性质与化简;绝对值;完全平方公式;含绝对值符号的一元一次方程.3578195专题:计算题.分析:由绝对值的定义可知,一个数的绝对值要么等于它本身,要么等于它的相反数,根据已知条件|x﹣a|=a﹣|x|,得出|x|=x且x≤a.再根据完全平方公式及二次根式的性质=|a|进行化简,最后去括号、合并同类项即可得出结果.解答:解:∵|x﹣a|=a﹣|x|,∴|x|=x且x≤a.∴a﹣x>0,a+x>0.∴=﹣=|a﹣x|﹣|a+x|=a﹣x﹣(a+x)=a﹣x﹣a﹣x=﹣2x.故选D.点评:本题考查了绝对值的定义,完全平方公式,二次根式的性质,二次根式的化简及整式的加减运算,难度中等,其中根据绝对值的定义,结合已知条件得出|x|=x且x≤a是解题的关键.3.a,b,c为有理数,且等式成立,则2a+999b+1001c的值是()A .1999 B.2000 C.2001 D.不能确定考点:二次根式的性质与化简.3578195分析:将已知等式右边化简,两边比较系数可知a、b、c的值,再计算式子的值.解答:解:∵==,∴a+b+c=,∴a=0,b=1,c=1,2a+999b+1001c=2000.故选B.点评:本题考查了二次根式的性质与化简,将复合二次根式化简并比较系数是解题的关键.4.(2013?莒南县一模)如图,两个反比例函数y=和y=(其中k1>k2>0)在第一象限内的图象依次是C1和C2,设点P在C1上,PC⊥x轴于点C,交C2于点A,PD⊥y轴于点D,交C2于点B,则四边形PAOB的面积为()A .k1+k2B.k1﹣k2C.k1?k2D.考点:反比例函数系数k的几何意义.3578195专题:压轴题;数形结合.分析:四边形PAOB的面积为矩形OCPD的面积减去三角形ODB与三角形OAC的面积,根据反比例函数中k的几何意义,其面积为k1﹣k2.解答:解:根据题意可得四边形PAOB的面积=S矩形OCPD﹣S OBD﹣S OAC,由反比例函数中k的几何意义,可知其面积为k1﹣k2.故选B.点评:主要考查了反比例函数中k的几何意义,即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线,所得矩形面积为|k|,是经常考查的一个知识点.5.(2012?南开区一模)如图,在平面直角坐标系xOy中,等腰梯形ABCD 的顶点坐标分别为A(1,1),B(2,﹣1),C(﹣2,﹣1),D(﹣1,1).y轴上一点P(0,2)绕点A旋转180°得点P1,点P1绕点B旋转180°得点P2,点P2绕点C旋转180°得点P3,点P3绕点D旋转180°得点P4,…,重复操作依次得到点P1,P2,…,则点P2010的坐标是()A .(2010,2)B.(2010,﹣2)C.(2012,﹣2)D.(0,2)考点:坐标与图形变化-旋转;等腰梯形的性质.3578195专题:规律型.分析:由P、A两点坐标可知,点P绕点A旋转180°得点P1,即为直线PA 与x轴的交点,依此类推,点P2为直线P1B与y轴的交点,由此发现一般规律.解答:解:由已知可以得到,点P1,P2的坐标分别为(2,0),(2,﹣2).记P2(a2,b2),其中a2=2,b2=﹣2.根据对称关系,依次可以求得:P3(﹣4﹣a2,﹣2﹣b2),P4(2+a2,4+b2),P5(﹣a2,﹣2﹣b2),P6(4+a2,b2).令P6(a6,b2),同样可以求得,点P10的坐标为(4+a6,b2),即P10(4×2+a2,b2),由于2010=4×502+2,所以点P2010的坐标为(2010,﹣2).故选B.点评:本题考查了旋转变换的规律.关键是根据等腰梯形,点的坐标的特殊性,寻找一般规律.6.(2013?荆门)如图,在半径为1的⊙O中,∠AOB=45°,则sinC的值为()A .B.C.D.考点:圆周角定理;勾股定理;锐角三角函数的定义.3578195专题:压轴题.分析:首先过点A作AD⊥OB于点D,由在Rt△AOD中,∠AOB=45°,可求得AD与OD的长,继而可得BD的长,然后由勾股定理求得AB的长,继而可求得sinC的值.解答:解:过点A作AD⊥OB于点D,∵在Rt△AOD中,∠AOB=45°,∴OD=AD=OA?cos45°=×1=,∴BD=OB﹣OD=1﹣,∴AB==,∵AC是⊙O的直径,∴∠ABC=90°,AC=2,∴sinC=.故选B.点评:此题考查了圆周角定理、三角函数以及勾股定理.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用.二.填空题(共7小题)7.三个数a、b、c的积为负数,和为正数,且,则ax3+bx2+cx+1的值是 1 .考点:代数式求值;绝对值.3578195专题:计算题.分析:由三个数a、b、c的积为负数,可知三数中只有一个是负数,或三个都是负数;又三数的和为正,故a、b、c中只有一个是负数,根据对称轮换式的性质,不妨设a<0,b>0,c>0,求x的值即可.解答:解:∵abc<0,∴a、b、c中只有一个是负数,或三个都是负数;又∵a+b+c>0,∴a、b、c中只有一个是负数.不妨设a<0,b>0,c>0,则ab<0,ac<0,bc>0,x=﹣1+1+1﹣1﹣1+1=0,当x=0时,ax3+bx2+cx+1=0a+0b+0c=0+1=1.故本题答案为1.点评:观察代数式,交换a、b、c的位置,我们发现代数式不改变,这样的代数式成为轮换式,我们不用对a、b、c再讨论.有兴趣的同学可以在课下查阅资料,看看轮换式有哪些重要的性质.8.如图正方形ABCD中,E是BC边的中点,AE与BD相交于F点,△DEF 的面积是1,那么正方形ABCD的面积是 6 .考面积及等积变换.3578195点:分析:先设△BEF的面积是x,由于E是BC中点,那么S△DBE=S△DCE,易求S正方形=4(1+x),又四边形ABCD是正方形,那么AD∥BC,AD=BC,根据平行线分线段成比例定理的推论可得△BEF∽△DA F,于是S△BEF:S△DAF=()2,E是BC中点可知BE:AD=1:2,于是S△DAF=4x,进而可得S正方形=S△ABF+S△BEF+S△ADF+S△DEF+S△DCE=1+x+4x+1+1+x,等量代换可得4(1+x)=1+x+4x+1+1+x,解可求x,进而可求正方形的面积.解答:解:如右图,设△BEF的面积是x,∵E是BC中点,∴S△DBE=S△DCE,∴S△BCD=2(1+x),∴S正方形=4(1+x),∵四边形ABCD是正方形,∴AD∥BC,AD=BC,∴△BEF∽△DAF,∴S△BEF:S△DAF=()2,∵E是BC中点,∴BE=CE,∴BE:AD=1:2,∴S△DAF=4x,∵S△ABE=S△BED,∴S△ABF=S△DEF=1,∴S正方形=S△ABF+S△BEF+S△ADF+S△DEF+S△DCE=1+x+4x+1+1+x,∴4(1+x)=1+x+4x+1+1+x,解得x=0.5,∴S正方形=4(1+x)=4(1+0.5)=6.点本题考查了面积以及等积变换、相似三角形的判定和性质,解题的关评:键是找出正方形面积的两种表示方式.9.(2013?沐川县二模)如图,点A1,A2,A3,A4,…,A n在射线OA上,点B1,B2,B3,…,B n﹣1在射线OB上,且A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥An﹣1B n﹣1,A2B1∥A3B2∥A4B3∥…∥An B n﹣1,△A1A2B1,△A2A3B2,…,△An﹣1A n B n ﹣1为阴影三角形,若△A2B1B2,△A3B2B3的面积分别为1、4,则△A1A2B1的面积为;面积小于2011的阴影三角形共有 6 个.考点:相似三角形的判定与性质;平行线的性质;三角形的面积.3578195分析:根据面积比等于相似比的平方,可得出=,=,再由平行线的性质可得出==,==,从而可推出相邻两个阴影部分的相似比为1:2,面积比为1:4,先利用等底三角形的面积之比等于高之比可求出第一个及第二个阴影部分的面积,再由相似比为1:2可求出面积小于2011的阴影部分的个数.解答:解:由题意得,△A2B1B2∽△A3B2B3,∴==,==,又∵A1B1∥A2B2∥A3B3,∴===,==,∴OA1=A1A2,B1B2=B2B3继而可得出规律:A1A2=A2A3=A3A4…;B1B2=B2B3=B3B4…又△A2B1B2,△A3B2B3的面积分别为1、4,∴S△A1B1A2=,S△A2B2A3=2,继而可推出S△A3B3A4=8,S△A,4B4A5=32,S△A5B5A6=128,S△A6B6A7=512,S△A7B7A8=2048,故可得小于2011的阴影三角形的有:△A1B1A2,△A2B2A3,△A3B3A4,△A4B4A5,△A5B5A6,△A6B6A7,共6个.故答案是:;6.点评:此题考查了相似三角形的判定与性质及平行线的性质,解答本题的关键是掌握相似比等于面积比的平方,及平行线分线段成比例,难度较大,注意仔细观察图形,得出规律.10.你见过像,,…这样的根式吗?这一类根式叫做复合二次根式.有一些复合二次根式可以化简,如.请用上述方法化简:= .考点:二次根式的性质与化简.3578195分析:因为5=2+3=()2+()2,且2=2××,由此把原式改为完全平方式,进一步因式分解,化简得出答案即可.解答:解:===+.故答案为:+.点评:此题考查活用完全平方公式,把数分解成完全平方式,进一步利用公式因式分解化简,注意在整数分解时参考后面的二次根号里面的数值.11.不等式组有六个整数解,则a的取值范围为<a≤.考点:一元一次不等式组的整数解.3578195分析:先求出不等式组的解集,再根据整数解有六个得到关于a的不等式组,然后解不等式组即可求解.解答:解:解不等式组,得﹣4<x≤5﹣4a.由题意,知此不等式组的六个整数解为﹣3,﹣2,﹣1,0,1,2,则2≤5﹣4a<3,解得<a≤.故答案为<a≤.点评:本题考查了一元一次不等式组的解法及整数解的确定.求不等式组的解集,应遵循以下原则:同大取较大,同小取较小,小大大小中间找,大大小小解不了.12.小明是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的同学,一天他在解方程x2=﹣1时,突发奇想:x2=﹣1在实数范围内无解,如果存在一个数i,使i2=﹣1,那么若x2=﹣1,则x=±i,从而x=±i是方程x2=﹣1的两个根.据此可知:①i可以运算,例如:i3=i2?i=﹣1×i=﹣i,则i2011= ﹣i.,②方程x2﹣2x+2=0的两根为1±i.(根用i表示)考点:一元二次方程的应用.3578195专题:新定义.分析:(1)根据题中规律可知i1=1,i2=﹣1,i3=﹣i,i4=1,可以看出4个一次循环,可以此求解.(2)把方程x2﹣2x+2=0变形为(x﹣1)2=﹣1,根据题目规律和平方根的定义可求解.解答:解:(1)i2011=i502×4+3=﹣i.(2)x2﹣2x+2=0(x﹣1)2=﹣1x﹣1=±ix=1+i或x=1﹣i.故答案为:﹣i;1±i.点评:本题考查了用配方法解一元二次方程以及找出题目中的规律,从而求得解.13.(2013?日照)如右图,直线AB交双曲线于A、B,交x轴于点C,B 为线段AC的中点,过点B作BM⊥x轴于M,连结OA.若OM=2MC,S△OAC=12.则k的值为8 .考点:反比例函数与一次函数的交点问题.3578195专题:压轴题.分析:过A作AN⊥OC于N,求出ON=MN=CM,设A的坐标是(a,b),得出B(2a,b),根据三角形AOC的面积求出ab=8,把B的坐标代入即可求出答案.解答:解:过A作AN⊥OC于N,∵BM⊥OC∴AN∥BM,∵,B为AC中点,∴MN=MC,∵OM=2MC,∴ON=MN=CM,设A的坐标是(a,b),则B(2a,b),∵S△OAC=12.∴?3a?b=12,∴ab=8,∵B在y=上,∴k=2a?b=ab=8,故答案为:8.点评:本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题和三角形的面积的应用,主要考查学生的计算能力.三.解答题(共7小题)14.在“学科能力”展示活动中,某区教委决定在甲、乙两校举行“学科能力”比赛,为此甲、乙两学校都选派相同人数的选手参加,比赛结束后,发现每名参赛选手的成绩都是70分、80分、90分、l00分这四种成绩中的一种,并且甲、乙两校的选手获得100分的人数也相等.现根据甲、乙两校选手的成绩绘制如下两幅不完整统计图:(1)甲校选手所得分数的中位数是90分,乙校选手所得分数的众数是80分;(2)请补全条形统计图;(3)比赛后,教委决定集中甲、乙两校获得100分的选手进行培训,培训后,从中随机选取两位选手参加市里的决赛,请用列表法或树状图的方法,求所选两位选手来自同一学校的概率.考点:条形统计图;扇形统计图;中位数;众数;列表法与树状图法.3578195分析:(1)先设甲学校学生获得100分的人数为x,根据甲、乙两学校参加数学竞赛的学生人数相等,可得出方程,解出x的值,继而可得出甲校选手所得分数的中位数,及乙校选手所得分数的众数;(2)列出树状图后,求解即可得出所选两位选手来自同一学校的概率.解答:解:(1)先设甲学校学生获得100分的人数为x,由题意得,x=(x+2+3+5)×,解得:x=2,即获得100分的人数有2人.故可得甲校选手所得分数的中位数是90分;乙校选手所得分数的众数80分.(2)则两位选手来自同一学校的概率==.点评:本题考查了条形统计图及扇形统计图的知识,要求同学们有一定的读图能力,能在条形统计图及扇形统计图中得到解题需要用到的信息,有一定难度.15.(2012?兰州)若x1、x2是关于一元二次方程ax2+bx+c(a≠0)的两个根,则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系:x1+x2=﹣,x1?x2=.把它称为一元二次方程根与系数关系定理.如果设二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的两个交点为A(x1,0),B(x2,0).利用根与系数关系定理可以得到A、B两个交点间的距离为:AB=|x1﹣x2|====;参考以上定理和结论,解答下列问题:设二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴的两个交点A(x1,0),B(x2,0),抛物线的顶点为C,显然△ABC为等腰三角形.(1)当△ABC为直角三角形时,求b2﹣4ac的值;(2)当△ABC为等边三角形时,求b2﹣4ac的值.考点:抛物线与x轴的交点;根与系数的关系;等腰三角形的性质;等边三角形的性质.3578195专题:压轴题.分析:(1)当△ABC为直角三角形时,由于AC=BC,所以△ABC为等腰直角三角形,过C作CE⊥AB于E,则AB=2CE.根据本题定理和结论,得到AB=,根据顶点坐标公式,得到CE=||=,列出方程,解方程即可求出b2﹣4ac的值;(2)当△ABC为等边三角形时,解直角△ACE,得CE=AE=,据此列出方程,解方程即可求出b2﹣4ac的值.解答:解:(1)当△ABC为直角三角形时,过C作CE⊥AB于E,则AB=2CE.∵抛物线与x轴有两个交点,∴△=b2﹣4ac>0,则|b2﹣4ac|=b2﹣4ac.∵a>0,∴AB=,又∵CE=||=,∴,∴,∴,∵b2﹣4ac>0,∴b2﹣4ac=4;(2)当△ABC为等边三角形时,由(1)可知CE=,∴,∵b2﹣4ac>0,∴b2﹣4ac=12.点评:本题考查了等腰直角三角形、等边三角形的性质,抛物线与x轴的交点及根与系数的关系定理,综合性较强,难度中等.16.(2013?威海)如图,在平面直角坐标系中,直线y=x+与直线y=x交于点A,点B在直线y=x+上,∠BOA=90°.抛物线y=ax2+bx+c过点A,O,B,顶点为点E.(1)求点A,B的坐标;(2)求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标;(3)设直线y=x与抛物线的对称轴交于点C,直线BC交抛物线于点D,过点E作FE∥x轴,交直线AB于点F,连接OD,CF,CF交x轴于点M.试判断OD与CF是否平行,并说明理由.考点:二次函数综合题.3578195专题:压轴题.分析:(1)由直线y=x+与直线y=x交于点A,列出方程组,通过解该方程组即可求得点A的坐标;根据∠BOA=90°得到直线OB的解析式为y=﹣x,则,通过解该方程组来求点B的坐标即可;(2)把点A、B、O的坐标分别代入已知二次函数解析式,列出关于系数a、b、c的方程组,通过解方程组即可求得该抛物线的解析式;(3)如图,作DN⊥x轴于点N.欲证明OD与CF平行,只需证明同位角∠CMN与∠DON相等即可.解答:解:(1)由直线y=x+与直线y=x交于点A,得,解得,,∴点A的坐标是(3,3).∵∠BOA=90°,∴OB⊥OA,∴直线OB的解析式为y=﹣x.又∵点B在直线y=x+上,∴,解得,,∴点B的坐标是(﹣1,1).综上所述,点A、B的坐标分别为(3,3),(﹣1,1).(2)由(1)知,点A、B的坐标分别为(3,3),(﹣1,1).∵抛物线y=ax2+bx+c过点A,O,B,∴,解得,,∴该抛物线的解析式为y=x2﹣x,或y=(x﹣)2﹣.∴顶点E的坐标是(,﹣);(3)OD与CF平行.理由如下:由(2)知,抛物线的对称轴是x=.∵直线y=x与抛物线的对称轴交于点C,∴C(,).设直线BC的表达式为y=kx+b(k≠0),把B(﹣1,1),C(,)代入,得,解得,,∴直线BC的解析式为y=﹣x+.∵直线BC与抛物线交于点B、D,∴﹣x+=x2﹣x,解得,x1=,x2=﹣1.把x1=代入y=﹣x+,得y1=,∴点D的坐标是(,).如图,作DN⊥x轴于点N.则tan∠DON==.∵FE∥x轴,点E的坐标为(,﹣).∴点F的纵坐标是﹣.把y=﹣代入y=x+,得x=﹣,∴点F的坐标是(﹣,﹣),∴EF=+=.∵CE=+=,∴tan∠CFE==,∴∠CFE=∠DON.又∵FE∥x轴,∴∠CMN=∠CFE,∴∠CMN=∠DON,∴OD∥CF,即OD与CF平行.点评:本题考查了二次函数综合题.其中涉及到的知识点有:待定系数法求二次函数解析式,一次函数与二次函数交点问题,平行线的判定以及锐角三角函数的定义等知识点.此题难度较大.17.(2012?内江)如果方程x2+px+q=0的两个根是x1,x2,那么x1+x2=﹣p,x1.x2=q,请根据以上结论,解决下列问题:(1)已知关于x的方程x2+mx+n=0,(n≠0),求出一个一元二次方程,使它的两个根分别是已知方程两根的倒数;(2)已知a、b满足a2﹣15a﹣5=0,b2﹣15b﹣5=0,求的值;(3)已知a、b、c满足a+b+c=0,abc=16,求正数c的最小值.考点:根与系数的关系;根的判别式.3578195专题:压轴题.分析:(1)先设方程x2+mx+n=0,(n≠0)的两个根分别是x1,x2,得出+=﹣,?=,再根据这个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数,即可求出答案.(2)根据a、b满足a2﹣15a﹣5=0,b2﹣15b﹣5=0,得出a,b是x2﹣15x﹣5=0的解,求出a+b和ab的值,即可求出的值.(3)根据a+b+c=0,abc=16,得出a+b=﹣c,ab=,a、b是方程x2+cx+=0的解,再根据c2﹣4?≥0,即可求出c的最小值.解答:解:(1)设方程x2+mx+n=0,(n≠0)的两个根分别是x1,x2,则:+==﹣,?==,若一个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数,则这个一元二次方程是:x2+x+=0;(2)∵a、b满足a2﹣15a﹣5=0,b2﹣15b﹣5=0,∴a,b是x2﹣15x﹣5=0的解,当a≠b时,a+b=15,ab=﹣5,====﹣47.当A=B时,原式=2;(3)∵a+b+c=0,abc=16,∴a+b=﹣c,ab=,∴a、b是方程x2+cx+=0的解,∴c2﹣4?≥0,c2﹣≥0,∵c是正数,∴c3﹣43≥0,c3≥43,c≥4,∴正数c的最小值是4.点评:本题考查了根与系数的关系,将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法.18.(2013?钦州)如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,O是BC边上一点,以O为圆心的半圆与AB边相切于点D,与AC、BC边分别交于点E、F、G,连接OD,已知BD=2,AE=3,tan∠BOD=.(1)求⊙O的半径OD;(2)求证:AE是⊙O的切线;(3)求图中两部分阴影面积的和.考点:切线的判定与性质;扇形面积的计算.3578195专题:计算题;压轴题.分析:(1)由AB为圆O的切线,利用切线的性质得到OD垂直于AB,在直角三角形BDO中,利用锐角三角函数定义,根据tan∠BOD及BD 的值,求出OD的值即可;(2)连接OE,由AE=OD=3,且OD与AE平行,利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形,根据平行四边形的对边平行得到OE 与AD平行,再由DA与AE垂直得到OE与AC垂直,即可得证;(3)阴影部分的面积由三角形BOD的面积+三角形ECO的面积﹣扇形DOF的面积﹣扇形EOG的面积,求出即可.解答:解:(1)∵AB与圆O相切,∴OD⊥AB,在Rt△BDO中,BD=2,tan∠BOD==,∴OD=3;(2)连接OE,∵AE=OD=3,AE∥OD,∴四边形AEOD为平行四边形,∴AD∥EO,∵DA⊥AE,∴OE⊥AC,又∵OE为圆的半径,∴AE为圆O的切线;(3)∵OD∥AC,∴=,即=,∴AC=7.5,∴EC=AC﹣AE=7.5﹣3=4.5,∴S阴影=S△BDO+S△OEC﹣S扇形FOD﹣S扇形EOG =×2×3+×3×4.5﹣=3+﹣=.点评:此题考查了切线的判定与性质,扇形的面积,锐角三角函数定义,平行四边形的判定与性质,以及平行线的性质,熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键.19.(2013?益阳)如图1,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,∠ABC的平分线BE交AC于E.(1)求证:AE=BC;(2)如图(2),过点E作EF∥BC交AB于F,将△AEF绕点A逆时针旋转角α(0°<α<144°)得到△AE′F′,连结CE′,BF′,求证:CE′=BF′;(3)在(2)的旋转过程中是否存在CE′∥AB?若存在,求出相应的旋转角α;若不存在,请说明理由.考旋转的性质;等腰三角形的性质;等腰梯形的判定.3578195点:专题:压轴题.分析:(1)根据等腰三角形的性质以及角平分线的性质得出对应角之间的关系进而得出答案;(2)由旋转的性质可知:∠E′AC=∠F′AB,AE′=AF′,根据全等三角形证明方法得出即可;(3)分别根据①当点E的像E′与点M重合时,则四边形ABCM为等腰梯形,②当点E的像E′与点N重合时,求出α即可.解答:(1)证明:∵AB=BC,∠A=36°,∴∠ABC=∠C=72°,又∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠CBE=36°,∴∠BEC=180°﹣∠C﹣∠CBE=72°,∴∠ABE=∠A,∠BEC=∠C,∴AE=BE,BE=BC,∴AE=BC.(2)证明:∵AC=AB且EF∥BC,∴AE=AF;由旋转的性质可知:∠E′AC=∠F′AB,AE′=AF′,∵在△CAE′和△BAF′中,∴△CAE′≌△BAF′,∴CE′=BF′.(3)存在CE′∥AB,理由:由(1)可知AE=BC,所以,在△AEF绕点A逆时针旋转过程中,E点经过的路径(圆弧)与过点C且与AB平行的直线l交于M、N两点,如图:①当点E的像E′与点M重合时,则四边形ABCM为等腰梯形,∴∠BAM=∠ABC=72°,又∠BAC=36°,∴α=∠CAM=36°.②当点E的像E′与点N重合时,由AB∥l得,∠AMN=∠BAM=72°,∵AM=AN,∴∠ANM=∠AMN=72°,∴∠MAN=180°﹣2×72°=36°,∴α=∠CAN=∠CAM+∠MAN=72°.所以,当旋转角为36°或72°时,CE′∥AB.点评:此题主要考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质和等腰梯形的性质等知识,根据数形结合熟练掌握相关定理是解题关键.20.(2013?昭通)如图1,已知A(3,0)、B(4,4)、原点O(0,0)在抛物线y=ax2+bx+c (a≠0)上.(1)求抛物线的解析式.(2)将直线OB向下平移m个单位长度后,得到的直线与抛物线只有一个交点D,求m的值及点D的坐标.(3)如图2,若点N在抛物线上,且∠NBO=∠ABO,则在(2)的条件下,求出所有满足△POD∽△NOB的点P的坐标(点P、O、D分别与点N、O、B对应)考点:二次函数综合题.3578195专题:压轴题.分析:(1)利用待定系数法求二次函数解析式进而得出答案即可;(2)首先求出直线OB的解析式为y=x,进而将二次函数以一次函数联立求出交点即可;(3)首先求出直线A′B的解析式,进而由△P1OD∽△NOB,得出△P1OD∽△N1OB1,进而求出点P1的坐标,再利用翻折变换的性质得出另一点的坐标.解答:解:(1)∵A(3,0)、B(4,4)、O(0,0)在抛物线y=ax2+bx+c (a≠0)上.∴,解得:,故抛物线的解析式为:y=x2﹣3x;(2)设直线OB的解析式为y=k1x(k1≠0),由点B(4,4)得4=4 k1,解得k1=1.∴直线OB的解析式为y=x,∠AOB=45°.∵B(4,4),∴点B向下平移m个单位长度的点B′的坐标为(4,0),故m=4.∴平移m个单位长度的直线为y=x﹣4.解方程组解得:,∴点D的坐标为(2,﹣2).(3)∵直线OB的解析式y=x,且A(3,0).∵点A关于直线OB的对称点A′的坐标为(0,3).设直线A′B的解析式为y=k2x+3,此直线过点B(4,4).∴4k2+3=4,解得k2=.∴直线A′B的解析式为y=x+3.∵∠NBO=∠ABO,∴点N在直线A′B上,设点N(n,n+3),又点N在抛物线y=x2﹣3x上,∴n+3=n2﹣3n.解得n1=﹣,n2=4(不合题意,舍去),∴点N的坐标为(﹣,).如图,将△NOB沿x轴翻折,得到△N1OB1,则N1(﹣,﹣),B1(4,﹣4).∴O、D、B1都在直线y=﹣x上.过D点做DP1∥N1B1,∵△P1OD∽△NOB,∴△P1OD∽△N1OB1,∴P1为O N1的中点.∴==,∴点P1的坐标为(﹣,﹣).将△P1OD沿直线y=﹣x翻折,可得另一个满足条件的点到x轴距离等于P1到y轴距离,点到y轴距离等于P1到x轴距离,∴此点坐标为:(,).综上所述,点P的坐标为(﹣,﹣)和(,).点评:此题主要考查了翻折变换的性质以及待定系数法求一次函数和二次函数解析式以及相似三角形的判定与性质等知识,利用翻折变换的性质得出对应点关系是解题关键.。

全国单独招生考试数学卷(答案) (1)

全国单独招生考试数学卷(答案) (1)

单独考试招生考试数学卷(满分120分,考试时间90分钟)一、选择题:(本题共10小题,每小题5分,共50分)1.有三个平面α,β,γ,下列命题中正确的是()(A)若α,β,γ两两相交,则有三条交线(B)若α⊥β,α⊥γ,则β∥γ(C)若α⊥γ,β∩α=a,β∩γ=b,则a⊥b(D)若α∥β,β∩γ=∅,则α∩γ=∅2.下列各图是正方体或正四面体,P,Q,R,S 分别是所在棱的中点,这四个点中不共面的一个图是()(A)(B)(C)(D)3.已知正方形ABCD,沿对角线AC 将△ADC 折起,设AD 与平面ABC 所成的角为β,当β取最大值时,二面角B―AC―D 等于()(A)1200(B)900(C)600(D)4504.用一个平面去截正方体,所得的截面不可能是()(A)六边形(B)菱形(C)梯形(D)直角三角形5、化简3a a 的结果是()A.a B.12a C.41aD.83a 6.“a+b=0”是“a·b=0”的()A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件7.下列不等式(组)解集为{}0x x <的是()A.2x -3<3x-3B.20231x x ⎧⎨⎩-<->C.2x -2x>0D.12x -<8.下列函数在区间(0,+∞)上为减函数的是()A.y=3x-1B.f(x)=2log xC.1()()2xg x = D.()sin h x x=9.若α是第二象限角,则α-7π是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角10.已知向量(2,1)=-a ,(0,3)=b ,则2-=a b ()A.(2,7)-C.7二、填空题:(共20分.)1、的展开式中常数项是_____。

2、已知椭圆两个焦点为与,离心率e=,则椭圆的标准方程是__。

3、的相反数是_____.4、计算:a·a²=_____.三、解答题:(共3小题,共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)1、已知{}n a 为等差数列,其前n 项和为n S ,若36a =,312S =,求公差d 。

单独招生考试数学卷+答案 (3)

单独招生考试数学卷+答案 (3)

单独考试招生考试数学(满分120分,考试时间90分钟)一、选择题:(本题共10小题,每小题5分,共50分)1.函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是()A.cos 2y x =B.22cos y x=C.)42sin(1π++=x y D.22sin y x=2.已知*112,1,()2nn n a a a n N a +==∈+,则n a 的通项为()A.321n a n =+B.21n a n =+C.11n a n =+D.221n a n =+3.两非零向量a 和b ,若a b a b ==-,则a 与a b + 的夹角为()A.30︒B.45︒C.60︒D.90︒4.等差数列{}n a 的前项和为n S ,当1a ,d 变化时,若2811a a a ++是一个定值,那么下列各数中也为定值的是()A.13S B.15S C.20S D.8S 5、方程43)22(log =x 的解为()A .4=x B .2=x C .2=x D .21=x 6.在ABC ∆中,为BC 中点,,,a b c 成等差数列且38,cos ,5a c B a c +==>,则AD BC ⋅ 等于()A.252B.252-C.72D.72-7.抛掷一枚骰子,落地后面朝上的点数为偶数的概率等于()A.0.5B.0.6C.0.7D.0.88.已知函数,1)1ln()(-+-=x x x f 则()A.没有零点B.有唯一零点C.有两个零点,,21x x 并且21,0121<<<<-x x D.有两个零点,,21x x 并且3121<+<x x 9.定义在R 上的函数)(x f 满足),(21)5(,1)1()(,0)0(x f x f x f x f f ==-+=且当1021≤<≤x x 时,)()(21x f x f ≤,则=)20081(f ()A.21B.161C.321D.64110.函数2sin cos 2y x x =+的最小值和最小正周期分别为()A.1和2πB.0和2πC.1和πD.0和π二、填空题:(共20分)1.函数()()0010cos 520sin 3-++=x x y 的最大值是____________;2.若224sin 2cos -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-παα,则ααsin cos +的值为___________;3.若()51cos =+βα,()53cos =-βα,则=⋅βαtan tan ___________;三、解答题:(本题共3小题,共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)1.已知函数f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6],求实数a 的取值范围,使y=f(x)在区间[-4,6]上是单调函数。

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全国各重点大学自主招生数学试题及答案分类汇总一.集合与命题 (2)二.不等式 (9)三.函数 (20)四.数列 (27)五.矩阵、行列式、排列组合,二项式定理,概率统计 (31)六.排列组合,二项式定理,概率统计(续)复数 (35)七.复数 (39)八.三角 (42)近年来自主招生数学试卷解读第一讲集合与命题第一部分近年来自主招生数学试卷解读一、各学校考试题型分析:交大:题型:填空题10题,每题5分;解答题5道,每题10分;考试时间:90分钟,满分100分;试题难度:略高于高考,比竞赛一试稍简单;考试知识点分布:基本涵盖高中数学教材高考所有内容,如:集合、函数、不等式、数列(包括极限)、三角、复数、排列组合、向量、二项式定理、解析几何和立体几何复旦:题型:试题类型全部为选择题(四选一);全考试时间:总的考试时间为3小时(共200道选择题,总分1000分,其中数学部分30题左右,,每题5分);试题难度:基本相当于高考;考试知识点分布:除高考常规内容之外,还附加了一些内容,如:行列式、矩阵等;考试重点:侧重于函数和方程问题、不等式、数列及排列组合等同济:题型:填空题8题左右,分数大约40分,解答题约5题,每题大约12分;考试时间:90分钟,满分100分;试题难度:基本上相当于高考;考试知识点分布:常规高考内容二、试题特点分析:1. 突出对思维能力和解题技巧的考查。

关键步骤提示:2. 注重数学知识和其它科目的整合,考查学生应用知识解决问题的能力。

关键步骤提示:()()()4243222342(2)(2)(1)(2)(1)f a x x a x x xx x x a x x x =--++-=+-+++-111(,),(,),(,)n n ni i i ii i i i i i id u w a d v w b d u v a b a b a b ======-+≥-∑∑∑由绝对值不等式性质,三、 应试和准备策略1.注意知识点的全面数学题目被猜中的可能性很小,一般知识点都是靠平时积累,因此,要求学生平时要把基础知识打扎实。

剩下的就是个人的现场发挥。

2.注意适当补充一点超纲内容如上面提及的一些平时不太注意的小章节或高考不一定考的问题,如矩阵,行列式等也不可忽视。

3.适当做近几年的自主招生的真题俗话说,知己知彼,百战百胜。

同学们可适当地训练近几年自己所考的高校自主招生的试题,熟悉一下题型和套路还是有益的。

4.注重知识的延伸加深复旦,交大,清华等全国重点院校自主招生试题比高考试题稍难,比数学竞赛试题又稍简单。

有些问题稍有一定的深度,这就要求考生平时注意知识点的延伸加深。

例如2008年复旦自主招生的第88题:关键步骤提示:上式=此题若是知道三次方程的韦达定理,则容易解决。

但平时同学们对二次方程的韦达定理很熟悉,对三次方程的韦达定理则比较陌生。

2331211233231123331231223()x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -+=-++3212312312132312333322203,,,3()()ax bx cx d x x x b x x x ac x x x x x x ad x x x a a b c abc a b c a b c ab ac bc +++=⎧++=-⎪⎪⎪++=⎨⎪⎪=-⎪⎩++-=++++---设的个根为则有又比如,柯西不等式可以解决许多不等式问题,但由于目前上海高考不考,所以很多高中生对此此不等式并不十分熟悉。

但柯西不等式其实应用得非常广泛,我们将在不等式一讲中将会介绍它。

总之,同学们若是注意一些知识点的延伸和加深,考试时必定会有一种居高临下的感觉。

第二部分:集合与命题 一、知识补充:二、真题精析:关键步骤提示:关键步骤提示:()A B C A B C A B A C B C A B C⋃⋃=++-⋂+⋂+⋂+⋂⋂(2)(2)3(2)014(2)()02a a a a a a +-++=+-=,X X Y X Y X X Y X X Y ⊆⊆∴=⇒⊆而关键步骤提示:关键步骤提示:22122222Sin Sin Cos Sin Cos θθθθθ+=++1111122222211212,,,,,S R C R C S C S S R C R C S C S C C C C C C ⊂≠⊂≠∴∈∉∉∈∉∉=+=+必存在 若,则很明显;同理,,必存在,若 则很明显;否则,令即可()想一想,除了令还可以怎样令?三、 仿真训练仿真训练一某校六(1)班有学生54人,每人在暑假里都参加体育训练队,其中参加足球队的有25人,参加排球队的有22人,参加游泳队的有34人,足球、排球都参加的有12人,足球、游泳都参加的有18人,排球、游泳都参加的有14人,问:三项都参加的有多少人?关键步骤提示:{}{}36110,.,1,1,3,6,1113162k M x x x N A A K A A M =≤≤∈-=-⋅+-⋅+-⋅=仿真训练二已知集合对它的非空子集将中每个元素都乘以()再求和(如可求得和为()()())称为集合的特殊和。

求集合的所有非空子集特殊和的总和。

{}{}1091,3,62,4,5,7,8,9,10245789101086421357952252152A U A U A U A C C A C ==+--+-+++++-++++=-⨯=-⨯分析:本题所求的“特殊和”有如下特点:奇数元素前面添上负号,偶数元素前面添上正号,再代数求和。

例如:对于,则考虑的“特殊和”为与的“特殊和”的和()()同理,对其它非空集合也有这样特点,将它们两两配对(空集与本身集合除外),值为()第二讲:不等式第一部分概述不等式部分包括:解不等式;不等式的证明在复旦大学近三年自主招生试题中,不等式题目占12%,其中绝大多数涉及到不等式的证明;交大试题中,不等式部分通常占10%-15%,其中涉及到一些考纲之外的特殊不等式常用不等式及其推广:第二部分 知识补充:1、柯西不等式的证明分析:,a a a A n 22221+++= 设证明:柯西不等式的推论一2121212,,2((112111n n n n na b R a b a bn a a a a na a a n n a a a +∀∈+≥≥≥++++++≥≥≥++有平方平均)算术平均)调和平均)推广到个正实数,有123123,,,,,,,,,,0(1,2,,),(1,2,,),n n i i i a a a a b b b b b i n k a kb i n ====柯西不等式设是实数则当且仅当或存在一个数使得时等号成立222222212121122()()()n n n b a a a b b b a b a b a b +++++++≥nn b a b a b a B ++=2211,b b b C n 22221+++= 222222212121122()()()n n n b a a a b b b a b a b a b +++++++≥②2AC B 不等式就是②≥()2222121122222121,2,()()2() ()i i n n n n a i n a f x a a a x a b a b a b xb b b ==+++++++++若全部为零,则原不等式显然成立。

若不全部为零,构造二次函数0)()()()(2222211≥++++++=n n b x a b x a b x a x f 又∴二次函数()f x 的判别式0△≤, 即2222222112212124()4()()0n n n n a b a b a b a a a b b b ++-++⋅+++≤ 证明: 22222212(111)()n a a a ++++++ 例1已知12,,,n a a a 都是实数,求证: 222212121()n n a a a a a a n ++++++≤柯西不等式的推论二柯西不等式的应用1.2.已知21x y +=,求22x y +的最小值.22221212() ()n n n a a a a a a ∴++++++≥222212121()n na a a a a a n ∴++++++≤2111,n n i i i i i a R a n a +==⎛⎫⎛⎫∈≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑设则例2 已知,,,a b c d 是不全相等的正数,证明: 2222a b c d ab bc cd da +++>+++ 证明: 222222222()()()≥a b c d b c d a ab bc cd da +++++++++ ∵,,,a b c d 是不全相等的正数,a b c d b c d a∴===不成立.∴222222()()a b c d ab bc cd da +++>+++ 2222 a b c d ab bc cd da +++>+++即2223 231,x y z x y z ++=++例已知求的最小值.141143,71,1413211411)32()321)((:2222222222222取最小值时即当且仅当证明z y x z y x z y x z y x z y x z y x ++=====≥++∴=++≥++++4111,b a ,, 2≥+=+∈+ba Rb a 求证设例3.设,x y R +∈,且x+2y =36,求12x y+的最小值.第三部分 真题精析:(2004,复旦)(2004,同济)2222sin cos ,sin cos 2sin cos 1sin cos ,sin cos ,2212,2x x y y x x x xt x x t x x t t y t y t ==++-⎡+==∈⎣-=+令令则且显然,关于是单调递增的关键步骤提示:关键步骤提示:关键步骤提示:2(1)2(1)121k k k k k k k k k k +=<=<=-+++-关键步骤提示:关键步骤提示:关键步骤提示:关键步骤提示:关键步骤提示:(2007 复旦)关键步骤提示:关键步骤提示:关键步骤提示:2008,北大关键步骤提示:关键步骤提示:第三讲函数第一部分:函数概括函数是自主招生的一个非常重要内容!⏹就近几年来,本人作了一个统计,复旦和交大自主招生中有关函数的内容大约占20%—30%。

⏹其中,热点问题是:方程的根的问题、函数的最值问题(值域)、函数的性质(如周期、有界性等)、函数的迭代、简单的函数方程、方程的不动点问题、函数的图像及解析式等。

而其中特别提醒同学们注意的是,方程的根的问题是考得最多的一个问题。

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