高等数学定积分可积条件
定积分的概念和可积条件
n
S() f ( i )xi，i [xi1, xi ], i 1
如果当 0 时极限 lim S() 存在，且与划分 的具 0
体选取无关，也与 i 的选取无关，则称函数 f (x) 在 [a,b]
上是黎曼可积的，并称上述极限为 f (x) 在 [a,b] 上的定积分，
T2
t tn1
n
n
(3) 作和： S si v( i )ti
i 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱi 1
n
S (4) 取极限：记
t
max {
1in
ti
},
lim
t 0
i 1
v( i
)ti
二、定积分的定义
设 f (x) 是定义在 [a,b] 上的有界函数，在 [a,b] 上任意取分 点a x0 x1 xn b，我们称之为区间 [a,b] 的一个划分， 记作 ，同时记 xi xi xi1，x m1iaxn {xi}，称之为划分
S( ') S(), S( ') S().
证明： 不是一般性，设 ' 就比 多一个分点 x '，且
不妨设 x ' (xk1, xk ) ，则
n
k 1
n
S() Mixi Mixi Mk xk Mixi
i 1
i 1
ik 1
k 1
S( ') Mixi (x ' xk1) sup f (x)
记作：
b
f (x)dx
，
即
a
b
n
a
f (x)dx
lim S()
0
lim
0 i1
定积分存在的条件
10
循序渐进
§7.2 定积分存在的条件
Mi Mi1 x'j xi1
Mi Mi2
xi
x
' j
M
m
x
' j
xi 1
xi
x
' j
M m xi xi1 M m p 1
M
m
p
1
2
p
1
M
m
2
另一方面，由定理1有
*
'
S L S L
2
于是将上面的两个不等式相加，得
'
S
L，S '
L
,及
0 S'－L
2
2
固定了p及 xi' 以后, 可取 (分法固定)
2020年4月8日星期三
海阔凭鱼跃,天高任鸟飞
7
循序渐进
§7.2 定积分存在的条件
min x1'
x0' ,
x2'
x1' , L
,
x'p
x
' p1
,
2 p 1 M m
（分法T 对应的小区间中最小的小区间长度）
证明: 设对于a，b有两个独立的分法，
对应的达布和分别记为 s1，s1及s2，s2， 我们来证明 s1 s2. 把两种分法的分点合并在一起，也是一种分法，
对应的达布和分别记为S3 , 及S3，于是由定理1知
S1 S3, S3 S2 . 而S3 S3 , 所以S1 S2.
(证毕)
2020年4月8日星期三
海阔凭鱼跃,天高任鸟飞
5
循序渐进
§7.2 定积分存在的条件
第17讲 可积的充要条件
b
证 (必要性) 设 f 在 [a,b] 上可积,且J
∀ε > 0, ∃δ > 0, 当 || T ||< δ 时, 有
= ∫a
f (x)dx.
∑n
f (ξi )Δxi − J
i =1
<ε ,
2
即
∑ J
−ε
2
<
n i =1
f (ξi )Δxi
<J
+ε .
2
由性质1,得
J
−
ε 2
≤
s(T
)
≤
S (T
)
上的分割 T ,
使
ω
ϕ k′
≥
δ
的所有小区间
Δ
k′
的总长
∑ ∆ tk′ < ε , 而在其余∆ k′′上的ωkϕ′′ < δ .
数学分析 第九章 定积分
高等教育出版社
*§6 可积性理论补叙
上和与下和的性质
设 = F (t) f (ϕ(t)) , t ∈[α , β ].
可积的充要条件
由以上可知：T 中小区间∆ k′′上，ωkF′′ < η, 至多在所 有∆ k′上ωkF′ ≥ η, 而这些小区间总长至多 为
∑ 使 S(T ) − s(T ) < ε , 即 ωiΔxi < ε . i =1
几何意义 由上和与下和的几何意 义知道，上述充
要条件的几何意义为： y 图中包围曲线 y = f ( x)的 一系列小矩形面积之和
∑ωi Δ xi < ε
T
y = f (x)
可以达到任意小,只要对
Oa
bx
[a, b] 的分割 T足够地细.
函数可积性
s(T2 ) s(T1 ) [mk ( x xk1 ) mk( xk x)] mk ( xk xk1 )
[Mk ( x xk1 ) Mk ( xk x)]
记作:
积分上限
b
n
a
f ( x)dx
lim
0 k 1
f (k ) xk
积分下限
定积分是 :
[a, b] 称为积分区间
积分和式的极限
2020/1/13
4
b
[例如] 曲边梯形的面积 A f ( x)dx a b 变速直线运动的路程 s v(t)dt a 定积分的“ ”定义：
1 D( x) 0
x为 有 理 数 x为 无 理 数
在[0, 1]上 不 可 积
[证]
任给[0,
1]的一个划
分xk
n k0
任 取k [ xk1 , xk ]是 有 理 数 (k 1,, n)
n
n
n
D(k )xk
k 1
xk
k 1
1
lim
0
作业
P44习题2.1: 2. 4. 8. P54习题2.2: 8. 9.
复习：P37—53 预习：P54—60
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1
第五讲 函数可积性
一、定积分的概念 二、可积性条件与可积类
2020/1/13
2
一、定积分的概念
黎曼积分定义：
设 函 数 f : [a, b] R, 对 区 间[a, b]
2020/1/13
定积分是高等数学中占有重要地位的
1
b a
g(x)dx
b
f (x)g(x)dx = f (ε)
a
但若
1
b a
g(x)dx
b
f (x)g(x)dx = Mf
a
则
b
(Mf − f (x))g(x)dx = 0
a
由 (Mf − f (x))g(x) 0 导出 (Mf − f (x))g(x) = 0
从而由
b a
g(x)dx
=
0，存在
ε
∈
(a,
−
h
x0 a
f (t)dt
−
f (x0)|
=|
x0 +h x0
f
(t)dt
−
h
x0 x0
+h
f
(x0
)dt
|
1 h
x0 +h
|f (t) − f (x0)|dt
x0
因为 f(x) 在 x0 连续，从而对 ε > 0，存在 δ > 0，当 |t − x0| δ 时， |f (t) − f (x0)| < ε，从而当 0 < h < δ 时，
1 h
x0 +h
|f (t) − f (x0)|dt < ε
x0
从而
lim
h→+0
x0 +h a
f
(t)dt
−
h
x0 a
f (t)dt
=
f (x0)
同样方法：
lim
h→−0
x0 −h a
f
(t)dt
−
h
x0 a
f (t)dt
=
一、可积的必要条件
三
可积条件
一、可积的必要条件 二、可积的充要条件
三、可积函数类
一、 可积的必要条件
a
f ( x)dx lim
||T || 0
M x
i 1 i
n
i
lim
||T || 0
m x
i 1 i i
n
b
a
f ( x)dx
其中： M i sup{ f ( x) : xi 1 x xi }
mi inf{ f ( x) : xi 1 x xi }
记
M i sup f x x xi 1 , xi mi
i 1 i
inf f x x x
n i 1
, x x x x
i i
i 1
作和式 S M i xi
S m i x i
i 1
n
分别称为对于这一分法的达布上和及达布下和， 统称达布和。
Riemann可积的第二充要条 件 其中：
M i sup{ f ( x) : xi 1 x xi } mi inf{ f ( x) : xi 1 x xi }
i M i mi
f(x)在[a,b]上Riemann可积
0, 分割T，使得 i xi
任给 i xi i 1, 2 , n 显然有
S (T ) f ( i )xi S (T )
定积分的可积性和计算
定积分的可积性和计算定积分是数学中的重要概念之一，它可以用于计算物理量、面积、体积等，并且也是微积分的重要部分。
在这篇文章中，我们将探讨定积分的可积性以及如何计算定积分。
一、定积分的可积性在计算定积分之前，我们需要知道一个重要的概念——可积性。
如果一个函数满足黎曼可积的条件，那么它就是可积的。
黎曼可积的定义是：如果函数 f(x) 在区间 [a,b] 上有定义，并且满足以下条件：1. 在区间 [a,b] 上有限个点 x0,x1,x2,...,xn，且 ai<=xi<=bi(i=0,1,2,...,n)；2. 在每个小区间 [xi-1,xi] 上，函数 f(x) 都是有界的；3. 左、右 Darboux 和相等，即：对区间 [a,b] 上的任意分割P，有：upper sum S(P,f)=Σ<sup>n</sup><sub>i=1</sub>(x<sup>*</sup><sub>i</sub>-x<sup>*</sup><sub>i-1</sub>)sup f(x)≥ lower sum L(P,f)=Σ<sup>n</sup><sub>i=1</sub>(x<sup>*</sup><sub>i</sub>-x<sup>*</sup><sub>i-1</sub>)inff(x)=I其中，x<sup>*</sup><sub>i</sub> 是小区间 [xi-1,xi] 上的任一点。
如果函数 f(x) 满足上述条件，那么它就是可积的。
反之，如果不满足上述条件，则函数不可积。
71定积分的概念与可积条件
y
y f( x )
A ?
a b
x b 所 围 成 .
o
x
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
y
o
a
（四个小矩形）
b
x o
a
（九个小矩形）
b
x
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
2 x x f ( ) x i i i i i xi ,
n
n
2
n
i 1
i 1
i 1
1 n 2 1n ( n 1 )( 2 n 1 ) i 1 3 i 3 n n i 1 n 6 i 1 n
n
2
1 1 1 1 , 2 6 n n
[ a , b ] 区 间 上 可 积 .
四、定积分的几何意义
f( x ) 0 , f( x ) 0 ,
f(x ) dx A 曲边梯形的面积 a
b
f(x ) dx A 曲边梯形的面积 a
的负值
b
A1
A2
A3
A4
f ( x ) dx A A A A 1 2 3 4 a
i 1 , 2 , , n [ q , q ] 典 型 小 区 间 为 ， （ ）
i 1 i
小 区 间 的 长 度 , x q q q ( q 1 ) i
i 1 , 2 , , n 取 ， （ ） q i
n 1 1 i1 q (q1 ) f (i )xi x i i 1 i 1 i 1 i i 1q
3.可积性质
3 定积分的性质
性质1 （线性性质）若均在上可积，则也在上可积，且
性质2 有界函数在区间和上可积，
, 并有
. ( 证明并解释几何意义 )规定, .
系设函数在区间上可积 . 则对, 有
.
（证）
性质3. 积分关于函数的单调性:
设函数, 且, .（证）(反之确否?)
积分的基本估计:
.
其中和分别为函数在区间上的下确界与上确界.
性质4. 绝对可积性:
设函数, , 且(注意
.)
该定理之逆不真. 以例做说明.
6. 积分第一中值定理:
, 使=.
( 推广的积分第一中值定理 )且不变号，则, 使
=.
Mathematical Monthly, 1982. No 5. P300—301 . 在该文中得到如下结果:
Th If is differentiable at ，，and is taken inthe Theorem for integral ，then
.
二. 变限积分:定义上限函数，（以及函数
）
其中函数. 指出这是一种新的函数, 也叫做面积函数.
定理 ( 面积函数的连续性 )
三. 举例:
例1 设. 试证
明: .
其中和是内的任二点, {}, .
例2 比较积分与的大小.
例3 设但. 证明>0.
例4 证明不等式.
证明分析：所证不等式为
只要证明在上成立不等式, 且等号不恒成立, 则由性质4和上例得所证不等式.
例5 证明.。
定积分存在的条件
T
,
__
使 S (T ) <
b
, a2
*) 设 T 有 p 个分点,
对任意分割T,由性质的推论有
__
S (T )
p
(M m)
T
__
S (T ) ,
28.05.2020
.
20
__
S (T )
p
(M
m)
T
__
S
(T
)
<
b
a
,
2
即
__
S (T )
p (M m)
T
b
< a
,
2
亦即
__
( Mi f (i )) xi
<
.
2
因此, T 时有
|
__
S (T ) I |
| | + | | < + __
S (T )
28.05.2020
f (i ) xi
f (i )xi I
.
= .
22
24
__
此即
lim
T 0
S (T ) = I
.由达布定理
,
b
a
=
I.
I b
同理可证 a =
28.05.2020
lim
T 0
f
(xi )xi .
=
I
.
23
即对 0 , 0 , 使当 T 时有
|
f (xi )xi
I
|<
2
对i
xi
成立.
在每个 [ xi1 , xi ] 上取 i , 使
0
数学分析9.3可积条件
第九章 定积分 3 可积条件一、可积的必要条件定理：若函数f 在[a,b]上可积，则f 在[a,b]上必定有界. 证：若f 在[a,b]上无界，则对于[a,b]的任一分割T ， 必存在属于T 的某个小区间△k ，f 在△k 上无界. 在i ≠k 的各个小区间△i 上任取ξi ，并记G=|i ki i x △)ξ(f ∑≠|.对任意大的正数M ，存在ξk ∈△k ，使得|f(ξk )|>kx △GM +，于是有 |i ki i x △)ξ(f ∑≠|≥|f(ξk )△x k |-|i ki i x △)ξ(f ∑≠|>kx △GM +·△x k -G=M. 因此，对于无论多小的║T ║，按上述方法选取的点集{ξi }，总能使 积分和的绝对值大于任何预先给出的正数，与f 在[a,b]上可积矛盾. ∴原命题得证.注：任何可积函数有界，但有界函数不一定可积。
例1：证明狄利克雷函数D(x)=⎩⎨⎧.x 0，x 1为无理数为有理数，，在[0,1]上有界但不可积.证：∵|D(x)|≤1, x ∈[0,1]，∴D(x)在[0,1]上有界.又对于[0,1]的任一分割T ，由有理数和无理数在实数中的稠密可知， 在属于T 的任一小区间△i 上，当取ξi 全为有理数时，i n1i i x △)ξ(D ∑==1；当取ξi 全为无理数时，i n1i i x △)ξ(D ∑==0. 即不论║T ║多么小，只要点集{ξi }取法不同（全取有理数或全取无理数），积分和有不同极限， ∴D(x)在[0,1]上不可积.二、可积的充要条件设f 在[a,b]上有界，T 是[a,b]上的任一分割，则在每个△i 存在上、下确界：M i =ix sup ∆∈f(x)，m i =ix inf ∆∈f(x)，i=1,2,…,n.记S(T)=∑=∆n 1i i i x M , s(T)=∑=∆n1i i i x m ，分别称为f 关于分割T 的上和与下和(或称为达布上和与达布下和，统称为达布和)，则 任给ξi ∈△i , i=1,2,…,n ，有s(T)≤i n1i i x △)ξ(f ∑=≤S(T).注：达布和与点集{ξi }无关，只与分割T 有关.定理：(可积准则)函数f 在[a,b]上可积的充要条件是： 任给ε>0，总存在相应的一个分割T ，使得S(T)-s(T)<ε.注：设ωi =M i -m i ，称为f 在△i 上的振幅，可记为ωi f ，则有 S(T)-s(T)=i n1i i x △ω∑=，可记作∑Ti i x △ω.定理’：函数f 在[a,b]上可积的充要条件是： 任给ε>0，总存在相应的某一分割T ，使∑Ti i x △ω<ε.可积的充要条件的几何意义：若f 在[a,b]上可积，则如图，只要分割充分地细，包围曲线y=f(x)的一系列小矩形面积之和可以达到任意小；反之亦然.三、可积函数类定理：若f 为[a,b]上的连续函数，则f 在[a,b]上可积.证：f 在[a,b]上连续，从而一致连续. ∴任给ε>0，存在δ>0， 对[a,b]中任意两点x ’,x ”，只要|x ’-x ”|<δ，就有|f(x ’)-f(x ”)|<ab ε-. 对[a,b]作分割T 使║T ║<δ，则在T 所属的任一区间△i 上， 就能使f 的振幅满足ωi =ix ,x sup ∆∈'''|f(x ’)-f(x ”)|≤ab ε-，从而有 ∑Ti i x △ω≤ab ε-∑Tix△=ε，原命题得证.定理：若f 为[a,b]上只有有限个间断点的有界函数，则f 在[a,b]上可积.证：设端点b 是f 在[a,b]上的间断点，任给ε>0，取δ’>0，满足 δ’<m)2(M ε-<b-a ，其中M 与m 分别为f 在[a,b]上的上确界与下确界.当m=M 时, f 为常量函数，可积.当m<M 时，记f 在小区间△’=[b-δ’,b]上的振幅为ω’，则 ω’δ’<(M-m)·m)2(M ε-=2ε. 又f 在[a,b-δ’]上连续，所以可积.∴对[a,b-δ’]存在某个分割T ’={△1,△2,…,△n-1}，使得∑'T i i x △ω<2ε.令△n =△’，则T={△1,△2,…,△n-1,△n }是对[a,b]的一个分割， 对于T ，有∑Ti i x △ω=∑'T i i x △ω+ω’δ’<2ε+2ε=ε. ∴f 在[a,b]上可积.同理可证f 在[a,b]上存在其它间断点时，原命题仍成立.定理：若f 是[a,b]上的单调函数，则f 在[a,b]上可积.证：设f 为增函数，且f(a)<f(b). 对[a,b]的任一分割T ，由f 的增性， f 在T 所属的每个小区间△i 上的振幅为ωi =f(x i )-f(x i-1)，于是有∑Tii x△ω≤∑T1-i i T )]f(x -)[f(x =[f(b)-f(a)]║T ║. 可见，任给ε>0，只要║T ║<b)(f )b f(ε-，就有∑Ti i x △ω<ε. ∴f 在[a,b]上可积.注：单调函数有无限多个间断点仍可积.例2：试用两种方法证明函数f(x)= ⎪⎩⎪⎨⎧⋯=≤+=1,2,n n 1x <1n 1n1，0x 0，，，在区间[0,1]上可积.证法一：在[0,1]上任取两点x 1<x 2.若1n 1+<x 1<x 2≤n 1,n=1,2…，则f(x 1)=f(x 2)； 若2n 1+<x 1≤1n 1+<x 2≤n 1或1n 1+<x 1≤n 1<x 2≤1n 1-, n=1,2…，则 2n 1+=f(x 1)<f(x 2)=n 1或n 1=f(x 1)<f(x 2)=1n 1-. 同理可证，当x 1<x 2时，f(x 1)≤f(x 2)，∴f 在[0,1]上的单调增. ∴f 在[0,1]上可积.证法二：任给ε>0，∵n 1lim n ∞→=0，∴当n 充分大时，有n 1<2ε. 即f 在[2ε,1]上只有有限个间断点. ∴f 在[2ε,1]上可积，且 存在对[2ε,1]的某一分割T ’，使得∑'T i i x △ω<2ε.∴对[0,1]的一个分割T ，由f 在[0,2ε]的振幅ω0<0，可得∑Ti i x △ω=ω0+2ε∑'T i i x △ω<2ε+2ε=ε. ∴f 在[0,1]上可积.例3：证明黎曼函数f(x)= ⎪⎩⎪⎨⎧=>=.)1,0(0,1x 0 p.q ，q p, ，qp x q 1内的无理数以及互素，， 在区间[0,1]上可积，且⎰10f(x )dx=0.证：任给ε>0，在[0,1]内使得q1>2ε的有理点qp 只有有限个， 设它们为r 1,r 2…,r k . 现对[0,1]作分割T={△1,△2,…,△n }, 使║T ║<2kε， 将T 中所有小区间分为{△i ’|i=1,2,…,m}和{△i ”|i=1,2,…,n-m}两类， 其中{△i ’}为含有点{r i |i=1,2,…,k}的所有小区间，其个数m ≤2k. 而{△i ”}为T 中所有其父不含{r i }的小区间.∵f 在△i ’上的振幅ωi ’≤21，∴i m1i i x △ω''∑=≤21∑='m1i i x △≤21·2k ║T ║<2ε， 又f 在△i ”上的振幅ωi ”≤2ε，∴i m-n 1i i x △ω''''∑=≤2ε∑=''m -n 1i i x △<2ε. ∴i n1i i x △ω∑==i m1i i x △ω''∑=+i m -n 1i i x △ω''''∑=<2ε+2ε=ε，∴f 在区间[0,1]上可积.当取ξi 全为无理数时，使f(ξi )=0，∴⎰10f(x )dx=i n1i i 0T x △)f(ξlim ∑=→=0.习题1、证明：若T ’是T 增加若干个分点后所得的分割，则∑'''T iix △ω≤∑Tiix△ω.证：依题意s(T ’)≤s(T), S(T ’)≥S(T). ∴s(T ’)-S(T ’)≤s(T)-S(T)，得证.2、证明：若f 在[a,b]上可积，[α,β]⊂[a,b]，则f 在[α,β]上也可积. 证：∵f 在[a,b]上可积，∴任给ε>0，总存在相应的一个分割T ， 使得S(T)-s(T)<ε. 又[α,β]⊂[a,b]，∴在[α,β]上存在相应的一个分割T ’， T ’是T 减少若干个分点所点后所得的分割，即有 s(T ’)≥s(T), S(T ’)≤S(T). ∴S(T ’)-s(T ’)≤S(T)-s(T)<ε，得证.3、设f,g 均为定义在[a,b]上的有界函数. 证明：若仅在[a,b]中有限个点处f(x)≠g(x)，则当f 在[a,b]上可积时，g 在[a,b]上也可积，且⎰baf(x )dx=⎰bag(x )dx.证：记F=g-f ，则F 在[a,b]上只有有限个点不为零，∴F 是[a,b]上可积. 对[a,b]上任何分割T ，取每个△i 上的介点ξi ，使F(ξi )=0，就有iix △)f(ξ∑=0，∴⎰baF =in1i iT x △)F(ξlim∑=→=0.又对任意T ，和每个△i 上的任意一点ξi ’，有iix △)ξg(∑'=iiix △)]ξf(-)ξ[g(∑''+iix △)ξf(∑'=iix △)ξF(∑'+iix △)ξf(∑'.由F,f 在[a,b]上可积，令║T ║→0，等式右边两式极限都存在， ∴等式左边的极限也存在，即g 在[a,b]上可积，且⎰ba g =⎰ba F +⎰ba f =⎰ba f .4、设f 在[a,b]上有界，{a n }⊂[a,b]，∞→n lim a n =c. 证明：若f 在[a,b]上只有a n (n=1,2,…)为其间断点，则f 在[a,b]上可积. 证：设c ∈(a,b)，f 在[a,b]上的振幅为ω，任给ε>0(4ωε<min{c-a,b-c})， 由∞→n lim a n =c 知存在N ，使得n>N 时，a n ∈U(c,4ωε)，从而 在[a,c-4ωε]∪[c+4ωε,b]上至多只有有限个间断点，即 存在[a,c-4ωε],[c+4ωε,b]上的分割T ’, T ”使得∑'''T i i x △ω<4ε, ∑''''''T i i x △ω<4ε. 记T 为T ’, T ”的所有分点并添上点c-4ωε, c+4ωε作为[a,b]上的分割，则 ∑Ti i x △ω≤∑'''T i i x △ω+ω(c+4ωε-c+4ωε)+∑''''''T i i x △ω<4ε+2ε+4ε=ε. 得证。
可积的条件
可积的条件
可积的充分条件：函数有界；在该区间上连续；有有限个间断点。
可积一般就是指：可积函数；如果f（x）在【a,b】上的定积分存在，我们就说f（x）在【a,b】上可积。
可积函数一定是有界的，可积是有界的充要条件，有界是可积的必要不充分条件。
比如狄利克雷函数就是一个很典型的函数，它处处不连续，处处极限不存在，是一个处处不连续的可测函数。
设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。
设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个第一类间断点，则f(x)在[a,b]上可积。
设f(x)在区间[a,b]上单调有界，则f(x)在[a,b]上可积。
可积函数是存在积分的函数。
除非特别指明，一般积分是指勒贝格积分；否则，称函数为黎曼可积等。
补充：
函数积分的数学意义就是积分上下限，函数曲线，坐标轴所围成面积的代数和。
所以函数可积等价于所围成的面积可求。
所以只要函数曲线是连续的或者有
有限个间断点，间断点的函数值存在或其极限存在，也就是说函数图像是有界的，不是无限延伸的，那么此类的函数可积。
定积分的可积准则及其应用
=M—m= — 称为函数f(x)在区间I的振幅
给区间 分法t，设 与
是函数f(x)在小区间 的振幅，
有 = 称为函数f(x)在区间 关于分法T的振幅和，简称振幅和.有了这个概念，于是，可积准则又可以改写为：
定理 （可积准则）函数f(x)在闭区间 可积 其中 是函数f(x)在区间 的振幅， .
3三类可积函数
下面证明定理1和定理2的等价性；
首先我们把对于 上的每个分割T： 记： 对 上的有界函数f(x)，令： . ,
证要证明定理1和定理2等价，只需证明下面两个方面：
由定理1的条件 定理2的条件；这是显然的.
又定理2的条件 定理1的条件
若对任意的 ，存在 及总存在 上的某一个分割 ,当 时，有 ，即 — < 设T为 上的任一分割，则对上述的 >0及 ，当 ，有： — = — — < .由 的任意性知： 由于对 上的任意有界函数f(x)，都有： ≥ ，由此可得 =
关键词：可积准则有界函数应用
从历史的角度来说，定积分是由计算平面上封闭曲线围成的区域的面积而产生的.人们在实践中逐步认识到，为了计算这类区域的面积.最后归结为计算具有特定结构的和式的极限.这种特定结构的和式极限，不仅是计算区域面积的数学工具，而且也是计算许多实际问题的数学工具.比如变力做工，水的压力，立体的体积等等.这里谈到定积分我们就会想到有界函数f(x)，已知有界函数不一定可积.那么什么样的有界函数是可积的呢？这就是我们今天要研究的定积分的可积准则及其应用..
有nkkk1x?这一条件是很强的我们知道这个任意性的实际计算是永远无法完成的因而这一定理在实际应用中会带来很大的不便而定理2只要求存在ab上的某一个分割t有nkkk1x?显然定理2要比定理一弱些而且容易实现然而尽管定理1和定理2的说法不同但它们是等价的
定积分的基本概念与可积函数类
定积分的基本概念与可积函数类黎曼积分一，摘要：本文先是从微积分的发展史开始讨论，从开普特第二定律到牛顿的变化量累积量再到莱布尼茨的特征三角，研究微积分思想的形成过程包括牛顿和莱布尼茨的积分思想与方法进而引出完整的以柯西，威尔斯特拉斯的极限ε-δ语言定义的定积分基本概念。
再着重分析了在黎曼积分定义前提下的可积函数类。
在讨论可积函数类的过程中主要分析了原函数（不定积分）与可积的关系，两类间断点与可积函数的关系以及间断点的个数与可积的关系。
在讨论的过程中我主要是通过举例说明,比如前者是通过证明连续函数有原函数，再证明教材中的牛顿莱布尼茨公式，引出了原函数存在是个比连续还强的条件。
即原函数存在一定可积，但可积不一定有原函数，比如黎曼函数。
再通过单调函数的（第一类间断点）可积性与黎曼函数（第一类间断点）的可积性与的函数f(x)=sin(1/x)（第二类间断点）的比较得出可积性对间断点的类别提出的要求。
即第一类间断点和第二类有穷间断点可能可积，对于无限间断点，无界肯定不可积。
再通过狄利克函数说明间断点的个数与可积性的关系，有限个间断点可积无限个间断点不可积。
当然上面说的所有的前提是在有界这个必要条件下的最后再补述了勒贝克积分与黎曼积分的关系，扩充可积条件。
在此处键入公式。
二，关于牛顿和莱姆尼茨的积分思想讲到定积分的基本概念就不得不说到微积分的发展历程，淡到微积分大家一定会想到两位数学界的伟人--------他们是英国的牛顿和德国的莱姆尼茨。
他们两分别独立从不同的角度思考终于发明了微积分，牛顿是从力学的运动的角度（物理学方面的求变化过程中的积累量。
例如，变速运动在一段时间【α,b】内行进的路程,变力使物体运动一段路程【α,b】所作的功等等。
），而莱姆尼茨则是从几何图形的角度着入研究的（主要是利用“特征三角形”从作曲线上任一点的切线进而求面积）。
虽然他们的积分思想有所差别，但他们的最终问题的根源却殊途同归回到了同一个问题上来了即蕴含在定积分概念中的基本思想----------有限逼近无限，以致促进了以后的极限方法的发展。
5.2.1 定积分的概念与可积条件
n
若极限
lim ∑ f (ξ i ) ∆ x i 存在，且极限值与分割 T 和 ξ i T →0
i =1
n
的取法无关，则称函数 f (x) 在 [a, b]上可积（或黎曼可积）， 极限值 J 称为 f (x) 在 [a, b]上的定积分，记为 积分上限
∫a
积分下限
b
f ( x) d x =
被积函数 被积表达式
b
b
b
（3）一般不能用 n → ∞ 来代替 T → 0 , 因为 n → ∞ 时未必有 T → 0 , 但 T → 0 时必定同时有
n → ∞.
19
（4） 积分和的极限
与普通函数极限 (i) 积分和
n i =1 n
||T ||→ 0
lim
∑ f (ξ )∆x
i =1 i
n
i
= J
x → x0
lim h( x ) = A 的区别：
n
i
= b − a,
当 ξ i 取无理数时
i i = i 1= i 1
∑ D(ξ )∆x = ∑ 0 ⋅ ∆x =
i
0,
||T ||→ 0
lim
∑ D(ξ )∆x
i
0 =
所以该函数在区间 [a , b] 上不可积.
21
注：（5）可积性是函数的又一分析性质. 稍后(推论5.2.2) 就会知道连续函数是可积的.于是开头的两个实例都可用 定积分记号表示：
(1)分割：把 [a, b] 任意分为n个小段: [ xi −1 , xi ]( i = 1, 2, , n). (2)近似：在 [ xi −1 , xi ] 上任取一点 ξi , 物体从 xi −1 移到 xi 时 F ( x) 作的功 ∆Wi ≈ F (ξ i )( xi − = xi −1 ) F (ξ i )∆xi (3)求和：物体从 a 移到 b 时 F ( x)作的功近似为: W ≈ ∑ F (ξ i ) ∆xi
定积分存在和可积的关系
定积分存在和可积的关系定积分存在和可积啊，就像是两个住在数学城堡里的小精灵，看似相似，却又有着微妙的差别。
定积分存在呢，就像是一个幽灵，有时候它悄悄地就出现了。
比如说，一个函数要是比较乖，像一个听话的小绵羊，规规矩矩的，那定积分存在就比较容易。
这就好比你在一条平坦的小路上散步，很容易就从这头走到那头，定积分就像你走过的路程，轻松就存在了。
可积呢，可就像是一个挑剔的美食家。
它要求更多的条件，就像美食家对食材的新鲜度、烹饪的火候等要求很严格一样。
一个函数要是想可积，那它得满足一些额外的条件，不能太“调皮捣蛋”。
要是函数图象像一个乱七八糟的涂鸦，到处都是尖尖角角，就像长满刺的刺猬，那可积性可就要好好审视审视了。
定积分存在有点像一个只要有地方住就行的小懒虫。
它只要能找到一个安身之所，不管这个地方是简陋的小茅屋还是豪华的大别墅，它就宣称自己存在了。
而可积呢，更像是一个讲究品质生活的人，它必须要有一个温馨、舒适、符合它各种要求的家，才肯说自己可积。
有时候，定积分存在就像一个广撒网的渔夫，只要能捞到点东西，就说自己有收获，也就是定积分存在。
可积则像是一个精准捕鱼的高手，它只对那些大小合适、种类正确的鱼感兴趣，条件很苛刻。
你可以把定积分存在想象成一个来者不拒的交友达人，不管对方是有点小毛病的怪咖，还是完美的绅士淑女，都能和人家成为朋友，也就是定积分存在。
而可积就像是一个眼光超高的恋爱高手，只对那些几乎完美的对象心动，对可积性要求很严格。
不过呢，定积分存在是可积的前提。
就像你得先有个毛坯房（定积分存在），才有可能把它装修成一个温馨的家（可积）。
要是连毛坯房都没有，还谈什么装修成豪华住宅呢？但也不是所有定积分存在的情况都能顺利达到可积的“高标准”。
就像不是每个能有个安身之处的人都能过上那种精致、高品质的生活一样。
总的来说，定积分存在和可积就像是数学世界里的一对难兄难弟，定积分存在比较随性，可积比较讲究，但它们又有着千丝万缕的联系，一起在数学的大舞台上演绎着奇妙的故事。
定积分可积准则定积分性质
物理应用
速度与加速度
定积分在物理中常用于计算速度和加速 度，例如匀加速直线运动的速度和位移 。
VS
功与热量
定积分也可用于计算力在某个区间上所做 的功或物体吸收或释放的热量。
04
定积分的计算方法
直接法
总结词
直接法是计算定积分的基本方法，通过将积 分区间划分为若干小区间，再求每个小区间 的定积分，最后求和得到原定积分的值。
详细描述
直接法的基本思想是将积分区间[a, b]划分 为n个小区间，每个小区间的长度为$Delta x = frac{b-a}{n}$，然后在每个小区间上任 取一点$x_i$，$i=1,2,ldots,n$，计算该点 处的函数值$f(x_i)$与小区间的长度$Delta x$的乘积$f(x_i)Delta x$，再将所有这些乘 积相加，即得原定积分$int_{a}^{b}f(x)dx$ 的值。
定积分可积准则与定积分 性质
目录
• 定积分可积准则 • 定积分性质 • 定积分的应用 • 定积分的计算方法
01
定积分可积准则
有界性准则
总结词
如果被积函数在积分区间上有界，则该函数是可积的。
详细描述
有界性准则指出，如果函数在积分区间上既有上界又有下界，则该函数是可积的。这是因为有界函数的图像在x 轴上方和下方都有界限，不会出现无穷大或无穷小的值，因此可以通过有限个矩形来近似计算定积分。
$int_{c}^{d}g'(t)dt$，从而简化计算。
分部积分法
要点一
总结词
分部积分法是通过将两个函数的乘积进行求导，再对求导 后的结果进行积分，从而计算出原定积分的值。
要点二
详细描述
分部积分法的基本思想是将两个函数的乘积进行求导，再对 求导后的结果进行积分。具体来说，如果存在两个函数 $u(x)$和$v(x)$，且$u'(x)=f(x)$和$v'(x)=g(x)$，那么可以 将原定积分$int_{a}^{b}f(x)g(x)dx$转化为 $int_{a}^{b}[u(x)v'(x)-u'(x)v(x)]dx$，从而计算出原定积分 的值。
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[ xk 1 , xk ] 上无界. 令
G
ik
f ( i )Δ xi ,
故必存在 k xk 1 , xk , 满足
M G f ( k ) . xk
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于是
i 1
f ( i )Δ xi
ik
f ( k )Δ xk
f ( i )Δ xi
前页 后页 返回
又任取 i [ xi 1 , xi ]\ Q, i 1, 2,
, n, 则
D(i )Δxi 0.
i 1
n
于是
n
D( i )Δxi D(i )Δxi
i 1 i 1 n i 1
n
n
1, 而这与
D( i )Δxi D(i )Δxi
S (T ) s(T ) ( M i mi )Δxi i Δxi .
i 1 i 1
n
n
此定理将在本章第六节定理 9.15 中证明. 在用它 证明可积性问题时,有多种方法可使
i x i . i 1
n
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常见的有三种方法,下面分别作出介绍. 第一种方法: 每个 i
M G Δ xk G M , xk
矛盾. 以下例子告诉我们, 有界性并不是可积的充分条件.
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例 1 试用反证法证明:狄利克雷函数 D( x ) 在任何
区间 [a , b] 上不可积.
证 若 D(x) 在 [a, b] 上可积 , 则 J R, 0,
i 1
1 1 D( i )Δxi J D(i )Δxi J 1 2 2 i 1 i 1
n n
相矛盾, 所以 D( x ) 在 [a , b] 上不可积.
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定义2 设 f 在 [a , b] 上有界, 对任意分割 称 S (T ) M i Δxi 为 f 关于分割 T 的上和,其中
与 i [ xi 1 , xi ] ( i 1,2,
n i 1
, n ) 如何选取, 都有
1,
f ( i )Δxi J
于是
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f ( i )Δxi
i 1
n
J 1 M.
则必有 k , 使得 f ( x ) 在 倘若 f ( x ) 在 [a, b] 上无界，
n
ba
n i 1
，从而
i Δxi b a Δxi .
i 1
例如, 在 [a, b] 上一致连续的 f ,便属于这种情形.
定理9.4（连续必可积）
若 f 在 [a , b] 上 连续，则 f 在 [a , b] 上 可积. 证 f 在 [a , b] 上连续,从而 在 [a , b] 上 一致连续.于
§3 可积条件
判别一个函数 f (x) 在[a, b]上是否可积,就是判别
极限 lim
f ( i ) xi T 0
i 1
n
是否存在. 在实际应用中，
直接按定义来判定是困难的. 我们希望由函数本身 的性质（例如函数的有界性、连续性等）来判别
函数的可积性. 为此, 先给出可积准则,并以此证明
n
ba
i i
,
Δx ba
i 1
从而
Δx
i 1
n
i
.
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第二种方法: 若 i 有界, 即 M , 对任意分割,
i 1
n
i M , 则当 || T ||
i 1 n i 1
n
M
时,
n
i Δ xi || T || i M M .
称 i M i mi ( i 1, 2,
振幅.
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n;
n) 为 f 在 [ xi 1 , xi ] 上的
振幅反映了函数在区间内的变化范围,是一个与连
续性相关联的概念. 定理9.3（可积准则）函数 f 在[a, b]上可积的充要 条件是： 0, 分割 T , 使
i 1
例如, f 在 [a, b] 上单调时,有
i
i 1
n
f (b) f (a ) ,
从而可证 f 在 [a , b] 上可积.
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定理9.5（单调必可积）
若 f 是 [a , b] 上的单调函数,则 f 在 [a , b] 上可积.
证 不妨设 f 是非常值的增函数，则对任意分割
有界性是可积的必要条件而非充分条件, 连续性是
可积的充分条件而非必要条件.
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定理9.1 (可积必有界） 若函数 f 在 [ a , b ] 上可积，则 f 在 [ a , b ] 上必有界.
证 设
f ( x )dx J . a
b
由定义, 对 1 0 , 0 , 只要 T , 无论 T
M i sup f ( x ) | x [ xi 1 , xi ], i 1, 2,
n i 1 i 1 n
T : a x0 x1 ... xn b,
n;
称 s(T ) mi Δxi 为 f 关于分割 T 的下和,其中
mi inf f ( x ) | x [ xi 1 , xi ] , i 1, 2,
T : a x0 x1 ... xn b,
i f ( xi ) f ( xi 1 ), i 1, 2, , n,
当 T 时 , 对任何 i [ xi 1 , xi ], 有
1 D( i )Δxi J 2 . i 1
现任取 i Q [ xi 1 , xi ], i 1, 2,
n n i 1 i 1
n
, n, 则
D( i )Δxi Δxi 1.
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是 0, 0, x, x [a, b], 若 x x , 则
f ( x) f ( x)
ba
.
因此当 [a , b] 上的分割 T 满足 T 时,
i M i mi
sup{ f ( x) f ( x) ，x, x [ xi 1 , xi ] }