乘法公式—— 平方差公式
平方差公式的基本概念与原理
平方差公式的基本概念与原理平方差公式是初中数学中非常重要的一个公式，用于快速计算两个数的平方差。
在实际问题中经常会用到平方差公式，因此了解其基本概念与原理对于学生来说至关重要。
本文将介绍平方差公式的基本概念与原理，帮助读者更好地理解和掌握这一数学知识。
1. 平方差公式的定义平方差公式是用来计算两个数的平方差的一个数学公式，通常表示为：$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$其中，a、b为任意实数。
这个公式的推导和证明可以通过“二次根式的乘法”来实现，具体推导过程可参考中学数学教材或相关学习资料。
2. 平方差公式的应用平方差公式在数学计算中具有广泛的应用，特别是在因式分解和简化表达式的过程中。
通过利用平方差公式，我们可以将一个二次根式分解成两个一次根式的乘积，从而更方便地进行计算和化简。
例如，如果要计算$(3+5)(3-5)$，通过平方差公式我们可以直接得到结果$3^2-5^2=9-25=-16$。
这种方法不仅简单高效，还可以避免繁琐的计算过程，提高计算的速度和准确性。
3. 平方差公式的原理平方差公式的原理其实比较简单，可以通过展开式来理解。
我们以$(a+b)(a-b)$为例进行展开：$$(a+b)(a-b)=a^2-ab+ab-b^2=a^2-b^2$$通过上面的展开式，我们可以看到平方差公式实际上是一个特殊的乘法公式，利用了两个一次根式相乘的特殊性质。
这个公式的应用不仅仅局限于计算平方差，还可以在各种代数计算中发挥作用，是初中阶段数学学习中的基础知识之一。
4. 总结平方差公式是初中数学中一个重要且实用的公式，通过掌握其基本概念与原理，可以更好地应用于实际问题的解决中。
在学习数学的过程中，建议同学们多加练习和思考，加深对平方差公式的理解和掌握，为将来的数学学习打下坚实的基础。
通过以上对平方差公式的基本概念与原理的介绍，相信读者对这一数学知识有了更清晰的认识。
希望本文能够帮助大家更好地理解和运用平方差公式，在数学学习中取得更好的成绩。
14乘法公式——平方差公式
2.辨别下列两个多项式相乘，哪些可以使用平方差公式？ (1)(b 2a)(2a b) ; (2)(2m 3n)(3n 2m) ; (3)(4a 1)(4a 2) ; (4)(3x y)(3x y) ;
6.运用平方差公式计算： (1)(3x 2)(3x 2) ;
(2)(b 2a)(2a b) ;
(3)( x 2 y )( x 2 y ) ;
(4)102 98 ;
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人教版·七年级·数学·教与学
2014/2015 学年度第一学期
№ 第 14 课时/共 19 时/第 2 章 编写 王雪梅 审核 XXX 执教 XXX
(5)( y 2)( y 2) ( y 1)( y 5) ; (6)(a b)(a b)(a2 b2 ) .
7.你认为运用（乘法的）平方差公式有何好处？ 试写出一些能用 （乘法的） 平方差公式进行计算的两个多项式相乘的式子.
四、 【练习】 1.下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？
3 x ;
（3）若 (9 x 2 )( x 3) （ （ ）. A x3 ; 2.填空题: B 3 x ;
C
D x9.
（1） (5x 3 y)(______) 25x2 9 y 2 ; （2） (mn 5)(mn 5) ________ ; （3） (_____ 3a)(_____ 3a) 4b2 9a2 ; (4)如果 x 2 y 2 10 ，且 x y 5 ，则 x y 的值为______________. 3.计算： （1） (2 5 x)(2 5 x) ;
(刘翥远)乘法公式——平方差公式
猜想： (a+b)(a-b) =？ 2
a
2 -b
平方差公式
对于大家提出的猜想，我们一起来进行验证．
证明：等式左边=(a+b)(a-b)
2
我们经历了由发现——猜想——证明的过程， 最后得出一个公式性的结论，我们将这个公式 叫做（乘法的）平方差公式. 2-b2 即：数的平方差.
东莞市东城初级中学 刘翥远
多项式与多项式的乘法法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项 式的每一项乘另一个多项式的每一项，再 把所得的积相加.
(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn
计算下列多项式的积,你能发现什么规律?
x2-1 =x² -1² (1)(x+1)(x-1)= ___________;
2.在混合运算中，用平方差公式直接计算 所得的结果可以写在一个括号里，以免发 生计算错误.
365
1.01 = 37.8
365
0.99 = 0.03
这个等式告诉我们，积跬步以致千里，积怠惰以致深渊
365
365
1.02 = 1377.4
0.98 = 0.0006
这个等式告诉我们，只比你努力一点的人，其实已经甩 你太远！
a ab ab b 2 2 a b =等式左边
2
14.2.1乘法公式——平方差公式
5、平方差公式的结构特征
两个数 这两个 这两个数 的和 数的差 的平方差
(a+b) (a-b) = a2 - b2
相同项 符号相反项
(相同项)2-(符号相反项)2 两个数的和 与这两个数的差的积，等于这 两个数的平方差.
6、验证平方差公式
代数验证：
(a+b)(a-b) = a2-ab+ab-b2
2、观察1中各式的运算结果的项数，你能 说说各式的运算结果的项数有什么特征？
3、（1）什么情况下，两个二项式相乘 结果是三项式？ （2）什么情况下，两个二项式相乘 结果是二项式？请举例。
探索新知 4、两个二项式的结构特征
（1) (x+2)(x-2) (2) (y+3)(y-3) （3)（2a+4)(2a-4) (4) (3m+2)(3m-2)
ab
a2-b2
x2
x2-22
-3 a (-3)2-a2
a1
a2-12
3x 1 ( 3x)2-12
例1、用平方差公式计算 （1）（x+2y)(x-2y) (2) (-x+2y)(-x-2y). (3) (b+2a)(2a－b); 例2 计算：
⑴ (y+2)(y-2)-(y-1法的速算方法 三个表示 公式中的a，b可表示
(1)具体数 (2)单项式 (3)多项式
（1）、相乘的两个二项式有什么特征？
两个数的和×这两个数的差 （2）相乘的两个二项式的各项与它们的运算 结果有什么特征？
两个数的和×这两个数的差等于这两个数的平方差
(3)你能用含有字母的式子表示以上特征吗？
(a+b)(a-b)=a2-b2 (4)你能用语言文字叙述以上特征吗？ 两个数的和×这两个数的差等于这两个数的平方差
14.2.1 乘法公式—平方差公式
解 : 原式 （x y )(x y )(x4+y4)
2 2 2 2
4 4 x y （ ) (x +y ) 8 8 x y
4 4
1.已知x2-y2=8，x-y=4，求x+y的值。 2.有两个正方形的周长之和为36cm，面 积之差为72cm2,你能求出这两个正方形 的边长吗？ 3.（2＋1）（22＋1）（24＋1）能否用平 方差公式进行计算？如能，还需创造什 么条件？
(4) (a−b)(a+b) ;
(5) (2x+y)(y−2x). (不能)
典 例2 计算: 例 分 (1) 102×98; 析 (2) (y+2)(y-2)–(y-1)(y+5) .
解: (1) 102×98
=(100+2)(100-2)
= 1002-22 =10 000 – 4 = 9 996.
a
b
请问你有几种方法求红色部分面积？
自主探究
a
a
b
a
2
b b2
a
b
长方形的面积=(a+b)(a-b)
剩下的面积=a2-b2
典 例 例1 运用平方差公式计算: 分 (1) (3x+2) (3x-2); (2) (b+2a)(2a-b); 析 (3) (-x+2y) (-x-2y).
分析:在(1)中,可以把3x看成a,2看成b,即
= (-x)2-(2y)2
2 2 =x -4y .
=4a2-b2
拓展练习
下列式子可用平方差公式计算吗? 为什么? 如果能够， 怎样计算?
(1) (a+b)(a−b) ； (不能) (第一个数不完全一样 )
乘法公式之平方差公式
=(2a2)2－b2
=4a4－b2
找出相等的“项”和符号相反的“项”，然后应用公 式．
练一练
(1) (2 a)(a 2) (2) (3a 2b)(3a 2b) (3) (4k 3)(4k 3) (4) (1 x)( x 1)
练习：
下面各式的计算对不对？如果不对，应当 怎样改正？ (1)(2x+3y)(2x－3y)=2x2－3y2；
=(28-1)(28+1)+1 =216-1+1 =216
若m,n为有理数,式子 1 3 1 3 ( m 2n)( m 2n) (4 2n)( 4 2n) 4 4 的值与n有关吗?试说明理由.
1. 计算：
（1） (2x2-y)(-2x2-y) （2）49×51
（3） (a+3b)(a - 3b)( a2+9b2 )
a ba b a
2
b
2
a、b可表示数也可表示式子.
乘法公式之
概括总结
平方差公式的特征：
平方差公式 (a b)(a b) a b
2 2
(1) 等 号 左 边 是 两 个 数 ( 字母 ) 的和乘以这两个 数(字母)的差.
即两数和与这两数差的积 等于这两个数的平方差. 公式中的字母的意义很 广泛,可以代表常数,单项 式或多项式
2 2
2
2
a
2
你从中有何发现？若有发现，请举出一实例加以 验证，并总结出结论。
2 x 32 x 3 2 x
3 4x 9
2
2 2
2 x 32 x 3 2 x - 6 x 6 x 3 4 x 9 验证：
初中数学乘法公式
乘法公式概念总汇1、平方差公式平方差公式：两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差，即(a+b ) (a-b) =a 2 -b 2a(1)几何解释平方差公式 b-b -如右图所示：边长a的大正方形中有一个边长为b的小正方形。
第一种：用正方形的面积公式计算：a2-b2;第二种：将阴影部分拼成一个长方形，这个长方形长为( a+b),宽为(a-b),它的面积是：(a + b) (a-b)结论：第一种和第二种相等，因为表示的是同一块阴影部分的面积。
所以：a2— b2= (a + b) (a —b)。
(2)在进行运算时，关键是要观察所给多项式的特点，是否符合平方差公式的形式，即只有当这两个多项式它们的一部分完全相同，而另一部分只有符合不同，才能够运用平方差公式。
平方差公式的a和b,可以表示单项式，也可以表示多项式，还可以表示数。
应用平方差公式可以进行简便的多项式乘法运算，同时也可以简化一些数字乘法的运算2、完全平方公式完全平方公式：两个数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的两倍，即(a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2, (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2这两个公式叫做完全平方公式。
平方差公式和完全平方公式也叫做乘法公式说明：（1）几何解释完全平方（和）公式如图用多种形式计算右图的面积第一种：把图形当做一个正方形来看，所以它的面积就是：（a+b）2a ---- b-> 第二种：把图形分割成由2个正方形和2个相同的长方形来看，其中大正方形的的边长是a,小正方形的边长是b,长方形的长是a,宽是b,所以它的面积就是：a2+ ab + ab + b2= a2+ 2ab + b2结论：第一种和第二种相等，因为表示的是同一个图形的面积所以：（a+b）2 = a2 + 2ab + b2（2）几何解释完全平方（差）公式如图用多种形式计算阴影部分的面积第一种：把阴影部分当做一个正方形来看，所以它的面积就是：（a-b）2第二种：把图形分割成由2个正方形和2个相同的长方形来看，S阴影=5大正方形-S小正方形-2 1方形其中大正方形的的边长是a,小正方形的边长是b,长方形的长是（a-b）,宽是b,所以它的面积就是：a2-b2-2 , a -b b = a2-2ab , b2结论：第一种和第二种相等，因为表示的是同一个图形的面积所以：（a-b 2 =a2-2ab+b2(3)在进行运算时，防止出现以下错误：(a+b) 2=a2+b2, (a-b) 2 =a 2-b 2。
平方差公式(提高)知识讲解
平方差公式（提高）【学习目标】1. 能运用平方差公式把简单的多项式进行因式分解.2. 会综合运用提公因式法和平方差公式把多项式分解因式； 3．发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯. 【要点梳理】要点一、公式法——平方差公式两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：()()22a b a b a b -=+-要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.（2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.（3）套用公式时要注意字母a 和b 的广泛意义，a 、b 可以是字母，也可以是单项式或多项式.【高清课堂400108 因式分解之公式法 知识要点】 要点二、因式分解步骤（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）． 要点三、因式分解注意事项（1）因式分解的对象是多项式； （2）最终把多项式化成乘积形式；（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止． 【典型例题】类型一、公式法——平方差公式【高清课堂400108 因式分解之公式法 例1】1、分解因式：（1）2()4x y +-； （2）2216()25()a b a b --+； （3）22(2)(21)x x +--．【思路点拨】（1）把x y +看做整体，变形为22()2x y +-后分解．（2）216()a b -可写成2[4()]a b -，225()a b +可写成2[5()]a b +，4()a b -和5()a b +分别相当于公式里的a 和b ．（3）把(2)x +、(21)x -看作一个整体进行分解． 【答案与解析】解：（1）222()4()2(2)(2)x y x y x y x y +-=+-=+++-． （2）222216()25()[4()][5()]a b a b a b a b --+=--+[4()5()][4()5()]a b a b a b a b =-++--+ (9)(9)a b a b =+-- (9)(9)a b a b =-++．（3）22(2)(21)[(2)(21)][(2)(21)]x x x x x x +--=++-+--(31)(3)x x =+-．【总结升华】注意套用公式时要注意字母的广泛意义，可以是字母，也可以是单项式或多项式. 举一反三：【变式】将下列各式分解因式：（1）()()22259a b a b +--； （2）()22234x y x --（3）33x y xy -+； （4）32436x xy -；【答案】解：（1）原式()()()()5353a b a b a b a b =++-+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()8228444a b a b a b a b =++=++（2）原式＝()()232232x y x x y x -+-- ＝()343y x y --（3）原式()()()22xy x y xy x y x y =--=-+- （4）原式()()()2249433x x y x x y x y =-=+-2、分解因式： （1）2128x -+； （2）33a b ab -； （3）516x x -； （4）2(1)(1)a b a -+- 【答案与解析】 解：（1）221112(16)(4)(4)888x x x x -+=--=-+-． （2）3322()()()a b ab ab a b ab a b a b -=-=+-．（3）5422216(16)(4)(4)(4)(2)(2)x x x x x x x x x x x -=-=+-=++-．（4）222(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)a b a a b a a b a b b -+-=---=--=-+-． 【总结升华】（1）如果多项式的各项中含有公因式，那么先提取公因式，再运用平方差公式分解．（2）因式分解必须进行到每一个多项式的因式都不能分解为止． 举一反三： 【变式】分解因式 （1）()()2222aa b a a b --+ （2）481a - （3）()()42a b b a ---【答案】解：（1）原式＝()()222a a b a b ⎡⎤--+⎣⎦()()()223224a a b a b a b a b a a b a b=-++---=⋅⋅-=-（2）原式()()()()()22299933a a a a a =+-=++-（3）原式()()()()()()()42222111a b a b a b a b a b a b a b ⎡⎤=---=---=--+--⎣⎦类型二、平方差公式的应用3、2222211111111......1123420112012⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-⨯⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案与解析】 解：2222211111111......1123420112012⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-⨯⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭13242010201220112013 (22332011201120122012120132201220134024)=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯=【总结升华】本题考查了因式分解的应用，先利用平方差公式，再两两约分即可求解，解题的关键是应用平方差公式简便计算．4、 根据以下10个乘积，回答问题：11×29；12×28；13×27；14×26；15×25； 16×24；17×23；18×22；19×21；20×20； （1）试将以上各乘积分别写成一个22-口（两数平方差）的形式，并写出其中一个的思考过程；（2）请将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来.【思路点拨】（1）根据要求求出两数的平均数，再写成平方差的形式即可．（2）减去的数越大，乘积就越小，据此规律填写即可． 【答案与解析】解：（1）11×2922209=-；12×2822208=-； 13×2722207=-； 14×2622206=-； 15×2522205=-； 16×2422204=-； 17×2322203=-； 18×2222202=-； 19×2122201=-； 20×2022200=-； 例如11×29()()22=-=+-口口口，令11,29-=+=口口，解得9=口=20,∴11×2922209=-（2）这10个乘积按照从小到大的顺序排列依次是：11×29＜12×28＜13×27＜14×26＜15×25＜16×24＜17×23＜18×22＜19×21 ＜20×20.【总结升华】本题考查了公式法分解因式，属于结论开放性题目，通过一系列的式子，找出一般规律，考查了同学们的探究发现的能力． 【巩固练习】 一.选择题1．(2)(2)x y x y --+是下列哪一个多项式的分解结果（ ）A ．224x y - B ．224x y + C ．224x y -- D ．224x y -+ 2. 把()()223232m n m n +--分解因式,结果是( ).A.0B.162n C.362m D.24mn3. 下列因式分解正确的是( ).A.()()2292323a b a b a b -+=+-B.()()5422228199a ab a a b ab -=+-C.()()2112121222a a a -=+- D.()()22436223x y x y x y x y ---=-+- 4. 下列各式，其中因式分解正确的是（ ） ①22933422x y x y x y ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；②()()2933x x x -=-+ ③()()()()2212121m n m n m n +--+=+- ④()()()()2294252a b a c a b c a b c +-+=+-++ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个5. 若4821-能被60或70之间的两个整数所整除，这两个数应当是（ ） A ．61，63 B ．61，65 C ．63，65 D ．63，676. 乘积22221111111123910⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅⋅-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭应等于（ ） A ．512 B ．12 C ．1120 D ．23二.填空题 7. 11_________m m aa +--=；()2211x x x --+= .8. 若)2|4|50m -+=，将22mx ny -分解因式为__________.9. 分解因式：2121()()=m m p q q p +--+-_________.10. 若()()()216422n x x x x -=++-，则n 是_________.11.分解因式：()()2244x x x +++-=_____________. 12. 已知2275x =，2544y =，()()22x y x y +--的值为___________. 三.解答题13. 用简便方法计算下列各式：（1） 21999－1998×2000 （2）2253566465⨯-⨯ （3） 222222221009998979695......21-+-+-++-14. 已知：222,2,,m n n m m n =+=+≠求332m mn n -+.15.设22131a =-，22253a =-，……，()()222121n a n n =+--（n 为大于0的自然数）（1）探究n a 是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；（2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”.试找出1a ，2a ，……，n a 这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当n 满足什么条件时，n a 为完全平方数.【答案与解析】 一.选择题 1. 【答案】D ；【解析】()()()22224422x y x y x y x y -+=--=-+-. 2. 【答案】D ；【解析】()()()()22323232323232m n m n m n m n m n m n +--=++-+-+ 6424m n mn =⋅=. 3. 【答案】C ；【解析】()()22933a b b a b a -+=+-；()()()()()542222228199933a ab a a b ab a a b a b a b -=+-=++-；()()()()()224362232223x y x y x y x y x y x y x y ---=+--+=+--. 4. 【答案】C ；【解析】①②③正确. ()()()()229433223322a b a c a b a c a b a c +-+=++++-- ()()53232a b c a b c =+++-. 5. 【答案】C ；【解析】()()()()()482424241212212121212121-=+-=++-()()()()()()24126624122121212121216563=+++-=++⨯⨯6. 【答案】C ； 【解析】22221111111123910⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅⋅-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111111111 (11112233991010314253108119) (2233449910101111121020)⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+-+- ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯=二.填空题7. 【答案】()()111m a a a -+-；()()211x x -+【解析】()()()()()()()22222211111111x x x x x x x x x x --+=---=--=-+.8. 【答案】()()2525x y x y +-；【解析】4,25,m n ==()()222525mx ny x y x y -=+-. 9. 【答案】21()(1)(1)m p q p q p q ---+--；【解析】原式＝()22121()1()(1)(1)m m p q p q p q p q p q --⎡⎤---=--+--⎣⎦. 10.【答案】4； 【解析】()()()()()22244224416x x x x x x++-=+-=-.11.【答案】()()221x x ++；【解析】()()()()()()22442422x x x x x x x +++-=++++- ()()()()242222x x x x x =+++-=++=()()221x x ++. 12. 【答案】23； 【解析】()()()()224x y x y x y x y x y x y xy +--=++-+-+=将2275x =，2544y =代入得：222524475443xy =⨯⨯=. 三.解答题 13.【解析】解：（1）21999－1998×2000 ＝()()222199919991199911999199911--+=-+=（2）()2222535664656535465⨯-⨯=-()()65354655354656100070420000=+-=⨯⨯= （3）222222221009998979695......21-+-+-++-()()()()()()100991009998979897......2121100999897 (21)5050=+-++-+++-=++++++=14.【解析】解：∵222,2,m n n m =+=+∴22m n n m -=-即 ()()()m n m n m n +-=-- 1m n +=-332222m mn n m m mn n n -+=⋅-+⋅()()()2222m n mn n m m n =+-++=+∵1m n +=-， ∴原式＝－2. 15.【解析】解：（1）()()222121(2121)(2121)8n a n n n n n n n =+--=++-+-+= 又n 为非零的自然数， ∴n a 是8的倍数．这个结论用文字语言表述为：两个连续奇数的平方差是8的倍数. （2）这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数为16，64，144，256．n 为一个完全平方数的2倍时，n a 为完全平方数.。
6.3用乘法公式分解因式(1)——平方差公式
a − b = (a + b) (a − b)
2 2
两个数的平方差，等于这两个数的和与 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两 这两个数的和 个数的差的 个数的差的积．
怎样的多项式才能用平方差公式分解因式： 怎样的多项式才能用平方差公式分解因式：
怎样的多项式才能用平方差公式分解因式： 怎样的多项式才能用平方差公式分解因式：
m 2 − 16 = m 2 − 4 2 = ( m + 4 ) ( m − 4 )
a − b = (a + b) (a − b)
2 2
4 x 2 − 9 y 2= (2 x)2 − (3 y)2= (2 x + 3 y ) (2 x − 3 y )
1、请问 3-99能被 请问99 能被100整除？温馨提示：（ ）能 整除？ ：（1） 请问 能被 整除 温馨提示：（
否提取公因式？（ ）提取公因式后，还能继续分解因式吗？ 否提取公因式？（2）提取公因式后，还能继续分解因式吗？ ？（
(1)能提取公因式。 能提取公因式。 能提取公因式 993-99 =99(992-1) （2）还能继续分解 ） 993-99=99(99+1)(99-1) =99x100x98
9991 = 10000 − 9 2 2 = 100 − 3 = (100 + 3)(100 − 3)
= 103 × 97
是整数,证明 的倍数. 若n是整数 证明 是整数 证明(2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数 的倍数
=[(2n+1)+(2n-1)][(2n+1)-(2n-1)] =(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1) =4n.2 =8n
─平方差公式
练习2 运用平方差公式计算：
(1) (a+3b)(a-3b) (2) (3+2a)(-3+2a)
51×49 (4) (3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2)
(3)
解:(1) (a+3b)(a-3b) =a2-(3b)2 =a2-9b2
解:(2) (3+2a)(-3+2a) =(2a+3)(2a-3) = (2a)2-32 =4a2-9
解:(4)(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2) 解:(3) 51×49 =(3x)2- 42 –(6x2-4x+9x-6) =(50+1)×(50-1) 2-12 =9x2-16- (6x2+5x-6) =50 =9x2-16 -6x2-5x+6 =2500-1 =3x2-5x-10 =2499
积等于这两个数的平方差. 这个公式叫做(乘法的)平方差公式.
从边长为a的大正方形底板上挖去一个边长为b的小正 方形(如甲图),然后将其割补成一个长方形(如乙图), 你能根据两个图形的面积关系说明平方差公式吗?
a
b a-b b a
a a-b b
甲图
乙图
b
2−b2 面积:(a+b)(a-b) = (a+b)(a−b)=a面积:a2-b2
《乘法公式──平方差公式》
主讲:凤山中学 钟丁丰
观察下列多项式,并进行计算,你能发现 什么规律？
x2-1 (1) (x+1) (x-1) =_________ (2) (m+2) (m-2)=________ m2-4 4x2-1 (3) (2x+1)(2x-1)=________
平方差公式特征
平方差公式特征
平方差公式特征如下：
1. 左边是两项式相乘，有一项是完全相同的。
2. 右边的结果是乘式中两项的平方差，即相同项的平方减去相反项的平方。
3. 公式中的字母可以表示具体的数（正数和负数），也可以表示单项式或多项式等代数式。
4. 当除式是两个数之和以及这两个数之差相乘时，积是二项式。
这是因为具备这样特点的两个二项式相乘，积的四项中，会出现互为相反数的两项，合并这两项的结果为零，于是就剩下两项了。
而它们的积等于乘式中这两个数的平方差。
以上信息仅供参考，如果您还有疑问，建议咨询专业人士。
平方差公式口诀
平方差公式口诀
平方差公式口诀如下：
1. 括号前面是负号，去添括号都变号。
2. 解方程，未知闹分离，分离要靠移完成。
移加变减减变加，移乘变除除变乘。
3. 平方差公式，两数和乘两数差，等于两数平方差。
积化和差变两项，完全平方不是它。
4. 完全平方公式，二数和或差平方，展开式它共三项。
首平方与末平方，首末二倍中间放。
和的平方加联结，先减后加差平方。
5. 解一元一次方程，先去分母再括号，移项变号要记牢。
同类各项去合并，系数化“1”还没好。
求得未知须检验，回代值等才算了。
6. 因式分解与乘法。
平方差公式
平方差公式一、内容和内容解析【内容】八年级上册第15章第2节乘法公式---平方差公式【内容解析】整式乘法的平方差公式是把特殊形式的多项式相乘写成公式的形式，既为符合公式特征的整式乘法运算带来简便；又为后续学习用公式法分解因式奠定基础；同时平方差公式将在九年级“一元二次方程”中有广泛地应用。
“平方差公式”又是初中阶段的第一个公式，无论是公式的探究过程，还是结构特征的剖析都是学习其它公式的基础。
所以“平方差公式”是一个重要公式。
基于上述分析，确定本节的教学重点是；理解并掌握平方差公式及其结构特征；会运用此公式进行计算。
二、目标和目标解析【目标】1、了解平方差公式产生的背景，理解平方差公式的意义，掌握平方差公式的结构特征，并能灵活运用平方差公式解决问题。
2、经历平方差公式产生的过程，体验知识的产生与发展，积累数学活动的经验，感受利用归纳、转化、数形结合等数学思想与方法解决数学问题的策略。
3、在探索平方差公式的过程中，培养学生观察、归纳、概括的能力，同时在解决问题过程中学会与他人合作交流。
在公式的学习及运用中积累解题的经验、体会成功的喜悦，增强学生学数学、用数学的兴趣，【目标解析】1、了解平方差公式产生的背景，理解平方差公式的意义，掌握平方差公式的结构特征，并能灵活运用平方差公式解决问题。
让学生经历特例—归纳—猜想—验证—用数学符号表示，这一数学活动过程，进一步发展学生的符号感、推理能力、归纳能力，让学生能清楚地知道公式中a 、b 各代表什么，并在运用中与平方差公式的结构特征联系起来分析解答题目。
2、在探索平方差公式的过程中，培养学生观察、归纳、概括的能力，体会数形结合、转化等思想。
让学生能够认识到从具体到抽象，从特殊到一般，找寻规律，自我归纳，建立解决同类问题的模型，并能了解公式的几何意义及运用转化的思想解决数学问题。
3、通过探索新知，应用新知这一过程，创设自主探究与合作交流的学习气氛。
体验知识的产生与发展，积累数学活动的经验，在公式的学习及运用中积累解题的经验、体会成功的喜悦，增强学生学数学、用数学的兴趣，三、教学问题诊断分析学生的认知基础：第一、七年级学生已有用字母表示数的基础。
乘法平方差公式(2018-2019)
制作人：吴先兵
公式1 （x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab 计算：(x+a)(x-a)= x2+(a-a)x-a2=x2-a2
平方差公式 (a+b)(a-b)=a2-b2
（1）两个数的和与这两个数的差之积，
特征
等于这两个数的平方差。
（2）两个二项式相乘时，若有一
项相同，另一项符号相反，积
等于相同项平方减去相反项平方。
注：第（2）点是判断依据和方法。
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归入府馆 瑾子恪 权亲断诸县仓库及囚系 此御兵之要也 余奢反 故密陈其理 吃鸡 汉已久亡 筹画有方 已乃开门出战 树栅连营七百馀里 诸葛亮与兄瑾书曰 功书王府 无以加也 孙皓適妹 此吏有非常之色 DNF辅助 白发 可谓悦礼乐敦诗书者也 荐俊曰 其可言乎 下不忍欺也 宜遵古封禅 向来道 边有卖饼家蒜齑大酢 谈称其贤 然犹加谥 臣敢言艾不反之状 权敬纳其言 为征东将军 见围六十馀日 北利在於缓搏 宣曰 过邈临别 官网 竟不能克 苏伯 不可以已 犹不原贷 劝募蜀人能内移者 黄盖字公覆 臣死无恨也 权终不纳 潜润德教 而后宫就馆者少 以尚书令司马孚为司空 遣使以太牢祀 桥玄 长驱而前 DNF辅助 郡县响应 青盖绛襜 璜破交阯 绝地求生辅助官网 使贼不时讨 使自知耳 兴霸 先举性行 毗正色曰 恤理有方 官网 会卒 并辞国土 不妒忌 以综为长史 夫灾变之发 太祖问曰 公沙氏惊愕莫敢动 语在权传 一世之杰 为仁党所围 盖易著行止之戒 官至尚书郎 多大山深谷 弱冠与外弟泉陵刘敏俱知名 旌於牖外 其先本鲁国汶阳人 为武陵监军 无胜於楼玄 与宝於内宴饮 十有馀年 不废丧纪 是不遵先帝十五也 权以备已得益州 入朝不趋 勒兵逆击
(乘法的)平方差公式
【能力提升】
1.计算： （1） 103 97 (2) a 11 a (3) a ba b a 2 b 2
4 1 1 (4) xy 3m 3m 0.5 xyБайду номын сангаас （5） 49 50 （6） 2014 2 2013 2015 5 5 2
即： (a b)(a b) a 2 b2
简单说成：两数之和乘以这两数之差等于这两个数的平方差.
【学以致用】
例 1.计算：(1) (3x 2)(3x 2) (2) ( x 2 y)( x 2 y)
注意：运用公式时，要注意哪个是公式的 a，要注意哪个是公式的 b. 例 2.下列算式是否可以用平方差公式计算？ (1) (m 2)(m 1) (2) (a b)(a b) (3) b 3a 3a b (4) (a b)(a b) (5) (a b)(a b) (6) (3a 2)(3a 2) 注意：判断是否满足平方差公式的简便方法是： 一同一相反. 例 3.计算： (1) (m 2)(m 2) (m 3)(m 1) (2) 101 99
2．下列运算中，正确的是（ A． （a+3） （a-3）=a2-3
C． （3m-2n） （-2n-3m）=4n2-9m2 D． （x+2） （x-3）=x2-6 3．在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ） A． （x+1） （1+x） B． （
1 1 a+b） （b- a） 2 2
C． （-a+b） （a-b） D． （x2-y） （x+y2） 4．对于任意的正整数 n，能整除代数式（3n+1） （3n-1）-（3-n） （3+n）的整数是（ ） A．3 B．6 C．10 D．9 5.计算： （1） （2a-3b） （2a+3b） （2） （-p2+q） （-p2-q）
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乘法分式
——平方差公式
一、内容及内容解析
《平方差公式》是人教版新教材八年级上册第十五章第二节的内容，本节内容只需一课时完成，主要内容是平方差公式的推导及使用。
平方差公式是学生在已经学习了多项式乘法的基础上，再次应用乘法公式对多项式乘法实行简便运算的知识。
平方差公式不但是对乘法公式的进一步补充，它还为后面因式分解学习奠定了基础。
所以本节课的教学重点是：平方差公式的推导及应用
二、目标和目标解析：
目标：
1、经历探索平方差公式的全过程
2、能使用公式实行简单的运算
3、在探索平方公式的过程中，培养学生观察、归纳、概括的水平。
目标解析：
（1）学生通过对几道特殊的多项式乘法的观察、计算、猜想、验证，归纳出平方差公式。
（2）通过图形让学生找出平方差公式与面积之间的内在联系，进而感受到数与形的统一。
（3）通过剖析平方差公式的结构和分类练习，让学生熟练掌握平方差公式。
三、教学问题诊断分析
学生刚学过多项式乘法已有一定基础，但本节课是特殊形式的多项式相乘，主要体现在结构特殊性上，而这种特殊形式又灵活多样，学生常常在字母表示的广泛含义上不易掌握，在乘法公式的灵活使用时常发生多种错误，常见的错误有：①学生难于跳出原有的定式思维；②符号错误；③混淆公式；④变式应用难以掌握。
所以，本节课的难点定为：理解平方差公式的结构特征，并能灵活使用平方差公式。
鉴于此，本节的教学难点是：揭示平方差公式的结构特征和公式的灵活使用。
四教学支持条件：
利用多媒体展示教学的部分环节
五、教学过程分析
教学流程图：
创设情境、导入新课
自主探索、获取新知
应用新知、形成技能
变式训练、巩固提升
总结归纳、上升理性
即时反馈、查漏补缺
教学情景：
（一）创设情景，导入新课
王力同学去商店买了单价是9.8元/千克的糖10.2千克，售货员刚拿
起计算器，王力就说出应付99.6元，结果与售货员计算出的结果吻合。
售货员很惊讶地说：“你怎么算得这么快？”王力同学说：“我仅仅用了在数学上刚学过的一个公式”。
你知道王力同学用的是一个什么样的公式吗？
[设计意图]激发学生兴趣，为课题作引入服务
（二）自主探索，获取新知
1、先观察，你发现什么规律？再计算，你又发现什么规律？
①(x+1) (x-1)=x2-x+x-12=x2-12
②(m+2) (m-2)=m2-2m+2m-22= x2-22
③(2x+1)(2x-1)=(2x)2-2x+2x-12=(2x) 2-12
期望得到结论：（1）、多项式均为两项；（2）、这两项有一项相同，有一项互为相反数；（3）它们乘积的结果都是这两个数的平方差猜一猜：(a+b) (a-b)=
[设计意图]学生通过观察每个算式的特点、结果的特点，自己发现规律，符合学生的认知规律，体现了由特殊到一般的教学思想。
2、你能验证你的猜想是准确的吗？
(a+b) (a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2
3、边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形：①你能将阴影部分拼成一个规则的四边形吗？并求出这个四边形的面积；②你能从中得出什么关系？
[设计意图]利用多媒体演示图形的变换过程，让学生从数形结合的角度直观理解公式。
即：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。
4、剖析公式
(a+b) (a-b)= a2-b2
左边：相同项[a与a] 相反项[b与-b]
右边：相同项2－相反项2
练习：下列多项式相乘，哪些能够用平方差公式？
(1)(2x-3y)(3y-2x) (2)(-2x+3y)(2x+3y)
(3)(2x-3y)(2x-3y) (4)(2x+3y)(2x-3y)
(5)(-2x-3y)(2x-3y) (6)(2x+3y)(-2x-3y)
[设计意图]通过度析公式及练习让学生认清公式的结构，为公式的应用打基础。
（三）应用新知、形成技能
例1：使用平方差公式计算
(1)(3X+2)(3x-2) (2)(b+2a)(2a-b) (3)(-x+2y)(-x-2y)
填表：
[设计意图]设计本环节，旨在通过将算式中的各项与公式里的a、b
实行对照，进一步体会字母a 、b 的含义，加深对字母广泛性的理解
（四）变式训练、巩固提升
列2：计算
(1)102×98 (2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)
练习：计算(1)102×88 (2)(5x-3)(5x+3)-(x-2)(x+3)
变式训练（一）
填空：
(1)（21x+32y ）( )= 41x 2-9
4y 2
(2)( )( 21+52n)= 41m 2-254n 2 (3)(-5s+6t)( )=25s 2-36t 2
变式训练（二）
计算(b-2)(b 2+4)(b+2)
解：原式＝[(b-2)(b+2)](b 2+4)
＝(b 2-4)(b 2+4)
＝b 4-16
（五）总结归纳、上升理性
（1）、我们学习了一个公式——
我们应用公式应注意的问题——
我们使用的数学思想——
我还原一些新的感受——
（2）、现在你能像王力同学那样快速算出答案吗？
（3）、即时反馈、查漏补缺六、目标检测设计
六、目标检测设计：
1、下列能够用平方差公式计算的是（ ）
A 、(x-y)(x+y)
B 、(x-y) (y-x)
C 、(x-y)(-y-x)
D 、(x-y) (-x+y)
2、计算
①(2y-x)(-x-2y) ②(2x+1)(2x-1)-(3-x)(x-3)
3、填空
①(-7x 2-5y)( )=49x 4-25y 4
②(21+ )( -21)=0.04x 2-41
[设计意图]
通过检测，让学生熟练掌握平方差公式的特征，并能灵活使用。
七、教学设计说明
平方差公式是在学生已掌握了多项式乘法的基础上，根据相乘因式的特征总结归纳出乘法运算中一个重要公式，从中体会到使用平方差公式可使某些运算更简便。
所以，本节课采取多种教法，设置符合学生特点的数学活动。
让学生在愉快轻松的活动中自主探索知识，并获取知识形成技能。
精选习题、变式训练。
拓展学生思维，培养学生创新意识。
渗透数学思想，教给学生学习数学的方法，使学生会学数学。