复数的三角形式

复数的三角形式

1、复数的三角形式

(1)复数的幅角：设复数Z=a＋bi对应向量，以x轴的正半轴为始边，向量所在的射线(起点为O)为终边的角θ，叫做复数Z的辐角，记作ArgZ，其中适合0≤θ<2π的辐角θ的值，叫做辐角的主值，记作argZ．

说明：不等于零的复数Z的辐角有无限多个值，这些值中的任意两个相差2π的整数倍．

(2)复数的三角形式：r(cosθ＋isinθ)叫做复数Z=a＋bi的三角形式，其中．

说明：任何一个复数Z=a＋bi均可表示成r(cosθ＋isinθ)的形式．其中r为Z的模，θ为Z的一个辐角．

2、复数的三角形式的运算：

设Z=r(cosθ＋isinθ)，Z1=r1(cosθ1＋isinθ1)，Z2=r2(cosθ2＋isinθ2)．则

3、应用

例1求下列复数的模和辐角主值 （1）i +1 （2）i -3

解：（1）

2

11122=+=+i

又a b tan =

θ=1，点（1,1）在第一象限。所以4

1π

θ=

+=）（i arg

（2）2

1332

2=-+=-）（）（i

有

3

1-

=θtan ，点（

1

3-，）在第四象限，所以

611623π

π

πθ=

-

=-=）（i arg

想一想：怎样求复数i z 43-=的辐角?

想一想：复数的三角形式有哪些特征？下列各式是复数的三角形式吗？

（1）θθcos sin i + （2）[]）（）（︒-+︒-30302sin i cos

（3）

）（6655π

πsin i cos

+

例2 把下列复数转化为三角形式 （1）-1；（2）i 2； （3）

i -3

解：（1）

2201+-=）（r =1，辐角主值为θ=π=-）（1arg

，所以

-1=ππsin i cos +

（2）

2202

2=+=r 辐角主值为θ=()2

2π

=

i arg ，所以

i

2=

）

（222π

π

sin i cos

+

（3）

21322=-+=）（）（r ，由3

3

3

1-

=-=

θtan 和点），（13-在第

四象限，得

6

11623π

π

πθ=-

=-=）（i arg ，

所以

i -3=

）（6116112π

πsin i cos

+

总结：复数的代数形式bi a z +=化为复数的三角形式一般方

法步骤是：

①求复数的模：2

2b a r +=；②由

a b

tan =

θ及点）（b ,a 所在象限求出

复数的一个辐角（一般情况下，只须求出复数的辐角主值即可）；③写出复数的三角形式。

例3．求复数Z=1+cos θ+isin θ(π<θ<2π)的模与辐角主值. 分析:式子中多个“1”，只有将“1”消去，才能更接近三角形式，因此可利用三角公式消“1”.

解:Z=1+cos θ+isin θ=1+(2cos 2-1)+2i ·sin cos =2cos (cos +isin )........(1) ∵ π<θ<2π ∴ <<π, ∴cos <0

∴(1)式右端=-2cos(-cos-isin)=-2cos[cos(π+

)]+isin(π+)]

∴r=-2cos, ArgZ=π++2kπ(k∈Z)

∵<<π∴π<π+<2π，∴argZ=π+.

例4．将Z=(π<θ<3π)化为三角形式，并求其辐角主值.

分析:三角形中只有正余弦，因此首先想到“化切为弦”.下一步当然是要分母实数化，再向三角形式转化.

解:===

=cos2θ+isin2θ

∵π<θ<3π, ∴<2θ<6π,

∴π<2θ-4π<2π，∴argZ=2θ-4π

例5．若Z∈c，|Z-2|≤1，求｜Ｚ｜的最大，最小值和argZ范围.

解:法一，数形结合

由|Z-2|≤1，知Ｚ的轨迹为复平面上以（2，0）为圆心，1为半径的圆面（包括圆周），|Z|表示圆面上任一点到原点的距离.

显然1≤|Z|≤3, ∴|Z|max=3, |Z|min=1,

另设圆的两条切线为OA，OB，A，B为切点，由|CA|=1，|OC|=2知

∠AOC=∠BOC=，∴argZ∈[0,]∪[π,2π)

法二:用代数形式求解|Z|的最大，最小值，设Z=x+yi(x,y∈R) 则由|Z-2|≤1得(x-2)2+y2≤1,

∴|Z|=≤=,

∵(x-2)2+y2≤1, ∴(x-2)2≤1, ∴-1≤x-2≤1, ∴1≤x≤3,

∴1≤4x-3≤9, ∴1≤|Z|≤3.

例6．求-3-4i的平方根．

解法一利用复数代数形式．设-3-4i的平方根为x+yi(x，y ∈R)，则有

(x+yi)2=-3-4i, 即(x2-y2)+2xyi=-3-4i，由复数相等条件，得

∴-3-4i的平方根是±(1-2i)．

法二利用复数的三角形式．