高中数学人教版必修第二章平面向量单元测试卷

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平面向量单元测试卷及答案

《平面向量》单元测试卷一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1．下列命题中的假命题是（） A 、→-→-BA AB 与的长度相等； B 、零向量与任何向量都共线； C 、只有零向量的模等于零；D 、共线的单位向量都相等。

2．；；④；③∥；②是单位向量；①是任一非零向量，若1|b |0|a |b a |b ||a |b a ±=>>→→→→→→→→），其中正确的有（⑤→→→=b a a|| A 、①④⑤B 、③C 、①②③⑤D 、②③⑤3．首尾相接能，，；命题乙：把命题甲：是任意三个平面向量，，，设→→→→→→→→→→=++c b a 0c b a c b a 围成一个三角形。

则命题甲是命题乙的（） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、非充分也非必要条件 4．）的是（下列四式中不能化简为→-AD A 、→-→-→-++BC CD AB ）（B 、）（）（→-→-→-→-+++CD BC MB AM C 、）（）（→-→-→-→--++CB AD AB ACD 、→-→-→-+-CD OA OC5．），则（），（，），（设21b 42a -=-=→→A 、共线且方向相反与→→b a B 、共线且方向相同与→→b a C 、不平行与→→b aD 、是相反向量与→→b a6．如图1，△ABC 中，D 、E 、F 分别是边BC 、CA 和AB 的中点，G 是△ABC 中的重心，则下列各等式中不成立的是（）A 、→-→-=BE 32BG B 、→-→-=AG 21DG C 、→-→--=FG 2CG D 、→-→-→-=+BC 21FC 32DA 317．）（，则锐角∥，且），（，），（设=-+=--=→→→→θθθb a 41cos 1b cos 12aA B C D EFG Í¼1A 、4πB 、6πC 、3πD 、36ππ或 8．）所成的比是（分，则所成比为分若→-→--CB A 3AB C A 、23-B 、3C 、32-D 、-29．）的范围是（的夹角与，则若θ→→→→<⋅b a 0b a A 、)20[π，B 、)2[ππ，C 、)2(ππ，D 、]2(ππ，10．→→→→→→→→b a 4a b 3b a b a 的模与，则方向的投影为在，方向的投影为在都是非零向量，若与设的模之比值为（） A 、43B 、34 C 、73 D 、74二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分） 11．。

《第2章平面向量》2013年单元测试卷1

《第2章平面向量》2013年单元测试卷《第2章平面向量》2013年单元测试卷一.选择题2．（3分）下列四式中不能化简为的是（）．C3．（3分）已知=（3，4），=（5，12），与则夹角的余弦为（）．C D．4．（3分）（2004•山东）已知、均为单位向量，它们的夹角为60°，那么||=（）．C D5．（3分）已知ABCDEF是正六边形，且，，则=（）．C D．6．（3分）设，为不共线向量，，，=，则下列关系式中正确的是（）．C D．7．（3分）设与是不共线的非零向量，且k+与+k共线，则k的值是（）8．（3分）（2013•黄埔区一模）在四边形ABCD中，=，且•=0，则四边形ABCD（）9．（3分）已知M（﹣2，7），N（10，﹣2），点P是线段MN上的点，且，则P点的坐标为（）10．（3分）已知=（1，2），=（﹣2，3），且k+与﹣k垂直，则k=（）．C D．11．（3分）（2011•合肥模拟）若平面向量=（1，x）和=（2x+3，﹣x）互相平行，其中x∈R，则|﹣|=（）．C12．（3分）下面给出的关系式中正确的个数是（）①②③④⑤．二.填空题13．（3分）若=（3，4），点A的坐标为（﹣2，﹣1），则点B的坐标为_________．14．（3分）已知=（3，﹣4），=（2，3），则2||﹣3•=_________．15．（3分）已知向量，，且，则的坐标是_________．16．（3分）△ABC中，A（1，2），B（3，1），重心G（3，2），则C点坐标为_________．17．（3分）如果向量与的夹角为θ，那么我们称为向量与的“向量积”，是一个向量，它的长度为，如果，则=_________．三、简答题18．设平面三点A（1，0），B（0，1），C（2，5）．（Ⅰ）试求向量2+的模（Ⅱ）试求向量与的夹角；（Ⅲ）试求与垂直的单位向量的坐标．19．已知向量=（3，），求向量，使||=2||，并且与的夹角为．20．已知平面向量．若存在不同时为零的实数k和t，使．（1）试求函数关系式k=f（t）（2）求使f（t）＞0的t的取值范围．21．如图，=（6，1），=（x，y），=（﹣2，﹣3），且．（1）求x与y间的关系；（2）若，求x与y的值及四边形ABCD的面积．22．已知、均为非零向量，当（t∈R）的模取最小值时，①求t的值；②已知与为不共线向量，求证与垂直．《第2章平面向量》2013年单元测试卷1参考答案与试题解析一.选择题2．（3分）下列四式中不能化简为的是（）．C，=；由以上可得只有，=，3．（3分）已知=（3，4），=（5，12），与则夹角的余弦为（）．C D．4．（3分）（2004•山东）已知、均为单位向量，它们的夹角为60°，那么||=（）．C D解：∵∴||=1||=1∴||==问题的特点，以熟练地应用数量积的性质．5．（3分）已知ABCDEF是正六边形，且，，则=（）．C D．==，且==6．（3分）设，为不共线向量，，，=，则下列关系式中正确的是（）．C D．根据条件计算向量++﹣=2则关系式中正确的是7．（3分）设与是不共线的非零向量，且k+与+k共线，则k的值是（）+与+kk++k++8．（3分）（2013•黄埔区一模）在四边形ABCD中，=，且•=0，则四边形ABCD（）解：∵==09．（3分）已知M（﹣2，7），N（10，﹣2），点P是线段MN上的点，且，则P点的坐标为（），则，∵2，∴，∴10．（3分）已知=（1，2），=（﹣2，3），且k+与﹣k垂直，则k=（）．C D．+﹣k=（1，2）﹣k（﹣2，3）=（1+2k，2﹣3k）．k=11．（3分）（2011•合肥模拟）若平面向量=（1，x）和=（2x+3，﹣x）互相平行，其中x∈R，则|﹣|=（）．C和的值，再有向量的减法求出解：因为平面向量互相平行，．12．（3分）下面给出的关系式中正确的个数是（）①②③④⑤．正确，故③二.填空题13．（3分）若=（3，4），点A的坐标为（﹣2，﹣1），则点B的坐标为（1，3）．，求出，所以=，因为14．（3分）已知=（3，﹣4），=（2，3），则2||﹣3•=28．，利用向量的数量积公式求出向量的数量积，代入求出值．解：∵∴∴15．（3分）已知向量，，且，则的坐标是或．设出向量的坐标，根据，∵，∴得：．∴的坐标是或．故答案为．16．（3分）△ABC中，A（1，2），B（3，1），重心G（3，2），则C点坐标为（5，3）．17．（3分）如果向量与的夹角为θ，那么我们称为向量与的“向量积”，是一个向量，它的长度为，如果，则=．解：∵，∴﹣=∴=4•，故答案为：三、简答题18．设平面三点A（1，0），B（0，1），C（2，5）．（Ⅰ）试求向量2+的模（Ⅱ）试求向量与的夹角；（Ⅲ）试求与垂直的单位向量的坐标．）由题意先求出，+||||=，然后求出•cosA=）设所求向量为然后由由⊥，利用向量的数量积的性质可得关于）∵，2+|2|==）∵||==|==，•cosA===）设所求向量为=，由⊥，得或∴（）或（﹣）19．已知向量=（3，），求向量，使||=2||，并且与的夹角为．|，||=4，设4=|||cos||=2||=4，设=cos sin=||||cos cos，∴﹣时，==4=220．已知平面向量．若存在不同时为零的实数k和t，使．（1）试求函数关系式k=f（t）（2）求使f（t）＞0的t的取值范围．．再由，，即）∵，∴∵，∴解得﹣＞21．如图，=（6，1），=（x，y），=（﹣2，﹣3），且．（1）求x与y间的关系；（2）若，求x与y的值及四边形ABCD的面积．）根据向量的加法法则得到=+==+，）∵++=+==∵∴===）时，与=22．已知、均为非零向量，当（t∈R）的模取最小值时，①求t的值；②已知与为不共线向量，求证与垂直．）求出）的值，推出值为与（22+2t||||cos＜，|+||cos，+|，＞）t=|有最小值）为不共线向量，=+[||=）⊥参与本试卷答题和审题的老师有：minqi5；caoqz；吕静；wdnah；xintrl；qiss；邢新丽；haichuan；sxs123；涨停（排名不分先后）菁优网2013年11月8日。

平面向量单元测试(含答案)

《平面向量》单元测试一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．如图1所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量=CD （）A ．BA BC 21+- B ．BA BC 21--C ．BA BC 21-D ．BA BC 21+2．与向量a ==⎪⎭⎫ ⎝⎛b ,21,27⎪⎭⎫ ⎝⎛27,21的夹解相等，且模为1的向量是（）A ．⎪⎭⎫- ⎝⎛53,54B ．⎪⎭⎫- ⎝⎛53,54或⎪⎭⎫ ⎝⎛-53,54 C ．⎪⎭⎫- ⎝⎛31,322 D ．⎪⎭⎫-⎝⎛31,322或⎪⎭⎫⎝⎛-31,322 3．设a r 与b r 是两个不共线向量，且向量a b λ+r r 与()2b a --r r共线，则λ=（）A ．0B ．－1C ．－2D ．0.54．已知向量()1,3=a ，b 是不平行于x 轴的单位向量，且3=⋅b a ，则b =（）A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21,23 B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,21 C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛433,41 D ．（1，0）5．如图,已知正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6,下列向量的数量积中最大的是（）A ．3121P P P P ⋅B ．4121P P P P ⋅C ．5121P P P P ⋅D ．6121P P P P ⋅ 6．在OAB ∆中，OA a =u u u r ，OB b =u u u r ，OD 是AB 边上的高，若AD AB λ=u u u r u u u r，则实数λ等于（）A ．2()a b a a b⋅-- B ．2()a a b a b⋅--C ．()a b a a b⋅--D ．()a a b a b⋅--7．设1(1,)2OM =u u u u r ，(0,1)ON =u u u r ，则满足条件01OP OM ≤⋅≤u u u r u u u u r ，01OP ON ≤⋅≤u u u r u u u r 的动点P 的变化范围（图中阴影部分含边界）是（）A ．B ．C ．D ． 8．将函数f (x )=tan(2x +3π)+1按向量a 平移得到奇函数g(x )，要使|a |最小，则a =（）A ．（,16π-）B ．（,16π-）C ．（,112π）D ．（,112π--）9．已知向量a r 、b r 、c r 且0a b c ++=r r r r ，||3a =r ，||4b =r ，||5c =r .设a r 与b r 的夹角为1θ，b r与c r 的夹角为2θ，a r 与c r的夹角为3θ，则它们的大小关系是（）A ．123θθθ<<B ．132θθθ<<C ．231θθθ<<D ．321θθθ<<10．已知向量),(n m a =，)sin ,(cos θθ=b ，其中R n m ∈θ,,.若||4||b a =，则当2λ<⋅b a 恒成立时实数λ的取值范围是（）A ．2>λ或2-<λB ．2>λ或2-<λC ．22<<-λD ．22<<-λ11．已知1OA =u u u r，OB =u u u r ，0OA OB ⋅=u u u r u u u r ，点C 在AOB ∠内，且30oAOC ∠=，设OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r (,)m n R ∈，则mn等于（）A ．13B ．3 C．3D12．对于直角坐标平面内的任意两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，定义它们之间的一种“距离”：2121.AB x x y y =-+-给出下列三个命题：①若点C 在线段AB 上，则;AC CB AB += ②在ABC ∆中，若90,o C ∠=则222;AC CB AB +=③在ABC ∆中，.AC CB AB +> 其中真命题的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.13．在中，,,3AB a AD b AN NC ===u u u r r u u u r r u u u r u u u r，M 为BC 的中点，则MN =u u u u r _______.（用a b r r 、表示）14．已知()()2,1,1,1,A B O --为坐标原点，动点M 满足OM mOA nOB =+u u u u r u u u r u u u r，其中,m n R ∈且2222m n -=，则M 的轨迹方程为 .15．在ΔABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM=2，则)(+⋅的最小值为 .16．已知向量)3,5(),3,6(),4,3(m m ---=-=-=，若点A 、B 、C 能构成三角形，则实数m 满足的条件是 .三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知向量)sin 1,sin 1(x x -=，)2cos ,2(x =.（1）若]2,0(π∈x ，试判断与能否平行？（2）若]3,0(π∈x ，求函数x f ⋅=)(的最小值.18．（本小题满分12分）（2006年湖北卷）设函数()()c b a x f +⋅=，其中向量()()x x b x x a cos 3,sin ,cos ,sin -=-=，()R x x x c ∈-=,sin ,cos .（1）求函数()x f 的最大值和最小正周期；（2）将函数()x f y =的图像按向量d 平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的d .19．（本小题满分12分）（2006年全国卷II ）已知向量a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)，－π2＜θ＜π2．（1）若a⊥b，求θ；（2）求｜a＋b｜的最大值．20.（本小题满分12分）在ABC △中，2AB AC AB AC ⋅=-=u u u r u u u r u u u r u u u r．（1）求22AB AC +u u u r u u u r 的值；（2）当ABC △的面积最大时，求A ∠的大小．21．（本小题满分12分）（2006陕西卷）如图，三定点A (2,1)，B (0,－1)，C (－2,1); 三动点D ，E ，M 满足]1,0[,,,∈===t t t t （1）求动直线DE 斜率的变化范围; （2）求动点M 的轨迹方程.22．（本小题满分14分）已知点P 是圆221x y +=上的一个动点，过点P 作PQ x ⊥轴于点Q ，设OM OP OQ =+u u u u r u u u r u u u r .（1）求点M 的轨迹方程；（2）求向量OP uuu r 和OM u u u u r夹角的最大值，并求此时P 点的坐标参考答案1．21+-=+=，故选A ． 2．B 设所求向量e r=（cos θ,sin θ）,则由于该向量与,a b r r 的夹角都相等,故e b e a e b e a ⋅=⋅⇔=⋅||||||||7117cos sin cos sin 2222θθθθ⇔+=-⇔3cos θ=-4sin θ,为减少计算量,可将选项代入验证,可知B 选项成立,故选B ．3．D 依题意知向量a b λ+r r 与-2共线，设a b λ+r rk =（-2），则有)()21(=++-k k λ，所以⎩⎨⎧=+=-0021λk k ，解得5.0=k ，选D ． 4．解选B ．设(),()b x y x y =≠，则依题意有1,y =+=1,22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 5．解析:利用向量数量积121(1,2,3,4,5,6)i PP PP i =u u u u r u u u rg 的几何意义:数量积121i PP PP u u u u r u u u rg 等于12P P u u u u r的长度12PP u u u u r 与1i PP u u u r 在12P P u u u u r 的方向上的投影1121cos ,i iPP PP PP <>u u u r u u u u r u u u r的乘积.显然由图可知13P P u u u u r 在12P P u u u u r 方向上的投影最大.所以应选(A).6．B (),,AD AB OD OA OB OA λλ=∴-=-u u u r u u u r u u u r u u u r Q 即得()()11,OD OA OB a b λλλλ=-+=-+u u u r u u u r u u u r又OD Q 是AB 边上的高，0OD AB ∴⋅=u u u r u u u r即()()()0,10OD OB OA a b b a λλ⋅-=∴-+⋅-=⎡⎤⎣⎦u u u r u u u r u u u r ，整理可得()2(),b a a a b λ-=⋅-即得()2a ab a bλ⋅-=-，故选B ． 7．A 设P 点坐标为),(y x ，则),(y x =.由01OP OM ≤⋅≤u u u r u u u u r ，01OP ON ≤⋅≤u u u r u u u r得⎩⎨⎧≤≤≤+≤10220y y x ，在平面直角坐标系中画出该二元一次不等式组表示的平面区域即可，选A ．8．A 要经过平移得到奇函数g(x)，应将函数f(x)=tan(2x+3π)+1的图象向下平移1个单位，再向右平移)(62Z k k ∈+-ππ个单位.即应按照向量))(1,62(Z k k a ∈-+-=ππ进行平移.要使|a|最小，应取a=（,16π-），故选A ．9．B 由0a b c ++=r r r r得)(+-=，两边平方得1222cos ||||2||||||θ++=，将||3a =r ，||4b =r ，||5c =r 代入得0cos 1=θ，所以0190=θ；同理，由0a b c ++=r r r r得)(b c a +-=，可得54cos 2-=θ，53cos 3-=θ，所以132θθθ<<.10． B 由已知得1||=b ，所以4||22=+=n m a ，因此)sin(sin cos 22ϕθθθ++=+=⋅n m n m b a 4)sin(4≤+=ϕθ，由于2λ<⋅恒成立，所以42>λ，解得2>λ或2-<λ.11．答案B ∵ 1OA =u u u r，OB =u u u r，0OA OB ⋅=u u u r u u u r∴△ABC 为直角三角形，其中1142AC AB ==∴11()44OC OA AC OA AB OA OB OA =+=+=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ∴31,44m n == 即3m n= 故本题的答案为B ． 12．答案B 取特殊值、数形结合A BC在ABC ∆中， 90oC ∠=，不妨取A （0，1）， C （0，0），B （0，1），则 ∵2121AB x x y y =-+- ∴ 1AC = 、1BC =、|10||01|2AB =-+-= 此时222AC CB +=、24AB = 、222AC CB AB +≠；AC CB AB +=即命题②、③是错误的.设如图所示共线三点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，则1313||||||||||||AC x x y y AC CC ''-+-=+＝＝||||||||AB B C C C C C ''''''''+++ ＝||||||||AB B B BC C C ''''''+++1212||||||||||||AB x x y y AB BB ''=-+-=+ 2323||||||||||||BC x x y y BC C C ''''=-+-=+∴ AC CB AB += 即命题①是正确的. 综上所述，真命题的个数1个，故本题的答案为B ．13．解：343A =3()AN NC AN C a b ==+u u u r u u u r u u u r u u u r r r 由得，12AM a b =+u u u u r r r，所以3111()()4244MN a b a b a b =+-+=-+u u u u r r r r r r r .14．2222=-y x 设),(y x M ，则),(y x =，又)1,1(),1,2(-=-=，所以由OM mOA nOB =+u u u u r u u u r u u u r 得),(),2(),(n n m m y x -+-=，于是⎩⎨⎧+-=-=nm y n m x 2，由2222m n -=消去m, n 得M 的轨迹方程为：2222=-y x . 15．2- 如图，设x AO =，则x OM -=2，所以)(+⋅OM OA OM OA ⋅⋅-=⋅=222)1(242)2(222--=-=--x x x x x ，故当1=x 时，OM mOA nOB =+u u u u r u u u r u u u r取最小值-2.AC 'CBB 'C ''16．21≠m 因为)3,5(),3,6(),4,3(m m ---=-=-=，所以),1(),1,3(m m ---==.由于点A 、B 、C 能构成三角形，所以与不共线，而当AB 与BC 共线时，有m m -=--113，解得21=m ，故当点A 、B 、C 能构成三角形时实数m 满足的条件是21≠m .17．解析：（1）若与平行，则有2sin 12cos sin 1⋅-=⋅x x x ，因为]2,0(π∈x ，0sin ≠x ，所以得22cos -=x ，这与1|2cos |≤x 相矛盾，故a 与b 不能平行.（2）由于x f ⋅=)(xx x x x x x x x sin 1sin 2sin sin 21sin 2cos 2sin 2cos sin 22+=+=-=-+=，又因为]3,0(π∈x ，所以]23,0(sin ∈x ，于是22sin 1sin 22sin 1sin 2=⋅≥+x x x x ，当xx sin 1sin 2=，即22sin =x 时取等号.故函数)(x f 的最小值等于22.18．解：（Ⅰ）由题意得，f(x)＝a·(b+c)=(sinx,－cosx)·(sinx －cosx,sinx －3cosx)＝sin 2x －2sinxcosx+3cos 2x ＝2+cos2x －sin2x ＝2+2sin(2x+43π). 所以，f(x)的最大值为2+2，最小正周期是22π＝π. （Ⅱ）由sin(2x+43π)＝0得2x+43π＝k.π，即x ＝832ππ-k ,k ∈Z ，于是d ＝（832ππ-k ，－2），,4)832(2+-=ππk d k ∈Z. 因为k 为整数，要使d 最小，则只有k ＝1，此时d ＝（―8π，―2）即为所求. 19．解析：解：（Ⅰ）若a ⊥b ，则sin θ＋cos θ＝0，由此得 tan θ＝－1(－π2＜θ＜π2)，所以 θ＝－π4；（Ⅱ）由a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)得｜a ＋b ｜＝(sin θ＋1)2＋(1＋cos θ)2＝3＋2(sin θ＋cos θ)＝3＋22sin(θ＋π4)，当sin(θ＋π4)＝1时，|a ＋b |取得最大值，即当θ＝π4时，|a ＋b |最大值为2＋1．20．解：（Ⅰ）由已知得：222,2 4.AB AC AB AB AC AC ⎧⋅=⎪⎨-⋅+=⎪⎩u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 因此，228AB AC +=u u u r u u u r ．（Ⅱ）2cos AB AC A AB AC AB AC⋅==⋅⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u ur ， 1sin 2ABC S AB AC A =⋅u u ur u u u r △12AB =⋅u u ur u u=≤=．（当且仅当2AB AC ==u u u r u u u r 时，取等号），当ABC △1cos 2AB AC A AB AC⋅==⋅u u u r u u u ru u u r u u u r，所以3π=∠A . 解：（I ）由条件知： 0a b =≠r r 且2222(2)444a b a b a b b +=++=r r r r r r r g42-=⋅，设a b r r 和夹角为θ，则41||||cos -==b a θ， ∴1cos 4arc θπ=-，故a b r r 和的夹角为1cos 4arc π-，（Ⅱ）令)a a b -r r r和(的夹角为βQ a b a -===r r r， ∴41021cos 222=+===β∴ )a a b -r r r和(的夹角为21．解析：如图，（Ⅰ）设D(x 0,y 0),E(x E ,y E ),M(x ,y).由AD →=tAB →, BE → = t BC →,知(x D －2,y D －1)=t(－2,－2). ∴⎩⎨⎧x D =－2t+2y D =－2t+1 同理 ⎩⎨⎧x E =－2ty E =2t －1.∴k DE = y E －y D x E －x D = 2t －1－(－2t+1)－2t －(－2t+2)= 1－2t. ∴t ∈[0,1] , ∴k DE ∈[－1,1].（Ⅱ）如图, OD →=OA →+AD → = OA →+ tAB →= OA →+ t(OB →－OA →) = (1－t) OA →+tOB →,OE →=OB →+BE → = OB →+tBC → = OB →+t(OC →－OB →) =(1－t) OB →+tOC →,OM → = OD →+DM →= OD →+ tDE →= OD →+t(OE →－OD →)=(1－t) OD →+ tOE →= (1－t 2) OA → + 2(1－t)tOB →+t 2OC →.设M 点的坐标为(x ,y),由OA →=(2,1), OB →=(0,－1), OC →=(－2,1)得 ⎩⎨⎧x=(1－t 2)·2+2(1－t)t ·0+t 2·(－2)=2(1－2t)y=(1－t)2·1+2(1－t)t ·(－1)+t 2·1=(1－2t)2 消去t 得x 2=4y, ∵t ∈[0,1], x ∈[－2,2]. 故所求轨迹方程为: x 2=4y, x ∈[－2,2]22．解析：（1）设(,)P x y o o ，(,)M x y ，则(,)OP x y =o o u u u r ，(,0)OQ x =o u u u r，(2,)OM OP OQ x y =+=o o u u u u r u u u r u u u r222212,1,124x x x x x x y y y y y y⎧==⎧⎪∴⇒+=∴+=⎨⎨=⎩⎪=⎩o o o o o o Q .（2）设向量OP uuu r 与OM u u u u r的夹角为α，则22cos ||||OP OMOP OM α⋅===⋅u u u r u u u u r u u u r u u u u r 令231t x =+o，则cos α==≥当且仅当2t =时，即P点坐标为(时，等号成立.第21题解法图OP u u u r 与OM u u u u r夹角的最大值是.。

人教版高二第二章平面向量单元测试精选(含答案)1

人教版高二第二章平面向量单元测试精选（含答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知平面上有四点O ，A ，B ，C ，向量,,OA OB OC u u u r u u u r u u u r 满足：0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r1OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅=-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，则△ABC 的周长是( )A ．B ．C ．3D ．6【来源】福建省晋江市季延中学2017-2018学年高一下学期期末考试数学试题【答案】A2．已知向量a,b r r 满足||1=r a ，1⋅=-r ra b ，则(2)⋅-=r r r a a bA ．4B ．3C ．2D ．0【来源】2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II) 【答案】B3．已知两个单位向量a r 和b r 夹角为60︒，则向量a b -r r在向量a r 方向上的投影为（）A ．1-B ．1C ．12-D ．12【来源】安徽省江淮六校2019届高三上学期开学联考理科数学试题【答案】D4．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =u u u rA ．3144AB AC -u u ur u u u rB ．1344AB AC -u u ur u u u rC ．3144AB AC +u u ur u u u rD ．1344AB AC +u u ur u u u r【来源】2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷) 【答案】A5．在ABC ∆中，已知向量AB u u u r 与AC u u u r 满足()||||AB AC BC AB AC +⊥u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r 且•12||||AB AC AB AC =u u u r u u u ru u u r u u u r ，则ABC ∆是( ) A ．三边均不相同的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形D ．等边三角形【来源】第六章平面向量及其应用6.4平面向量的应用【答案】D6．已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=︒，则BD CD =u u u r u u u rg A ．232a -B ．234a -C ．234a D ．232a 【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东卷带解析) 【答案】D7．若1,,(23)(4)a b a b a b ka b ==⊥+⊥-v v v vv v v v ，则实数k 的值为（） A ．-6B ．6C ．-3D ．3【来源】内蒙古平煤高级中学2017-2018学年高一下学期第二章单元检测数学试题【答案】B8．已知点()()()()1,1,1,2,2,1,3,4A B C D ---，则向量AB u u u r 在CD uuur 方向上的投影为（）A B C ．D ．【来源】河北省武邑中学2018届高三上学期期末考试数学（理)试题【答案】A9．已知向量(2,0)OB u u u r =，向量(2,2)OC u u u r =，向量)CA u u u ra a =，则向量OA u u u r 与向量OB uuu r的夹角的取值范围是（）． A ．π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．π5π,412⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．5ππ,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．π5π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦【来源】天津市耀华中学2018届高三12月月考数学（文)试【答案】D10．如图，正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC AM BD λμ=+u u u r u u u u r u u u r，则λμ+=（）A ．43B ．53C ．158D ．2【来源】2017届河北衡水中学高三上学期第二次调研数学（理)试卷（带解析) 【答案】B11．已知O 是ABC V 所在平面内的一点，A B C ∠∠∠，，所对的边分别为a b c ，，.若0aOA bOB cOC ++=u u u r u u u r u u u r，则O 是ABC V 的（）A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心【来源】第二章全章训练【答案】A12．设正方形ABCD 的边长为1，则AB BC AC -+u u u r u u u r u u u r等于（）A ．0BC ．2D ．【来源】第二章全章训练【答案】C13．如图，在ABC V 中，BA BC =u u u r u u u r ，延长CB 到D ，使AC AD ⊥u u u r u u u r.若AD AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ-的值是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【来源】第二章全章训练【答案】C14．设单位向量1e u r 、2e u u r 的夹角为23π，122a e e =+u r r u u r ，1223b e e =-r u r u r ，则b r 在a r 方向上的投影为（）A B C D 【来源】智能测评与辅导[文]-平面向量及复数【答案】A15．若O 为平面内任意一点，且()()20OB OC OA AB AC +-⋅-=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，则△ABC 是( )A ．直角三角形或等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．等腰三角形但不一定是直角三角形D ．直角三角形但不一定是等腰三角形【来源】2018年高考数学理科训练试题：专题(20) 平面向量的数量积及其应用【答案】C16．给出下面四个命题：①0AB BA u u u v u u u v u v+=； ②C AC AB B u u u v u u u v u u u v +=；③AC BC AB =u u u v u u u v u u u v －；④00AB u u u v⋅=.其中正确的个数为 A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【来源】20102011学年山东省威海市高一下学期期末模块考试数学【答案】B17．在ABC ∆中，若222sin sin sin A B C >+，则ABC ∆的形状是（） A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定【来源】2016-2017陕西西藏民族学院附中高二文12月考数学试卷（带解析) 【答案】C18．已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r，那么（） A ．AO OD =u u u r u u u rB ．2AO OD =u u u r u u u rC ．3AO OD =u u u r u u u rD ．2AO OD =u u u r u u u r【来源】2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学卷（北京) 【答案】A19．在ABC ∆中，设222AC AB AM BC -=⋅u u u r u u u r u u u u r u u u r，则动点M 的轨迹必通过ABC ∆的（） A ．垂心B ．内心C ．重心D ．外心【来源】黑龙江省哈尔滨市哈尔滨师范大学附属中学2018-2019学年高一下学期第一次月考数学试题【答案】D20．设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，使a ba b=成立的充分条件是( )A ．a ＝－bB ．a ∥bC ．a ＝2bD ．a ∥b 且|a|＝|b|【来源】福建省2018届数学基地校高三毕业班总复习平面向量、复数形成性测试卷（文科)数学试卷【答案】C21．已知四点()4,2A -，()6,4B -，()12,6C ，()2,12D ，给出下面四个结论：①AB CD ∥；②AB CD ⊥；③AC BD P ；④AC BD ⊥．其中正确结论的序号为（） A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④【来源】高二人教版必修2 第二章 1.3 两条直线的位置关系【答案】B22．已知△ABC 是正三角形,若a=AC uuu r -λAB u u u r 与向量AC uuu r的夹角大于90°,则实数λ的取值范围是( ) A ．λ<12B ．λ<2C ．λ>12D ．λ>2【来源】2018-2019学年高中数学人教A 版必修四第二章平面向量单元测试【答案】D23．如图，过点0(1)M ，的直线与函数()sin π02y x x =≤≤的图象交于A ，B 两点，则()OM OA OB ⋅+u u u u r u u u r u u u r等于（）A ．1B ．2C ．3D ．4【来源】2014-2015学年福建省南安第一中学高一下学期期中考试数学试卷（带解析) 【答案】B24．设a,b 为非零向量,|b|=2|a|,两组向量x 1,x 2,x 3,x 4和y 1,y 2,y 3,y 4均由2个a 和2个b 排列而成.若x 1·y 1+x 2·y 2+x 3·y 3+x 4·y 4所有可能取值中的最小值为4|a|2,则a 与b 的夹角为( ) A ．2π3B ．π3C ．π6D ．0【来源】2018-2019学年高中数学人教A 版必修四第二章平面向量单元测试【答案】B25．如图，在直角梯形 ABCD 中，AB ∥DC ，AD ⊥DC ，AD=DC=2AB ，E 为AD 的中点，若CA CE DB λμ=+u u u v u u u v u u u v，则λ+μ的值为（）A ．65B ．85C ．2D ．83【来源】湖南省澧县一中2018届高三一轮复习理科数学《平面向量》单元检测试题【答案】B26．已知点(4,3)A 和点(1,2)B ，点O 为坐标原点，则()OA tOB t R +∈u u u v u u u v的最小值为（）A ．B ．5C ．3D 【来源】四川省2017-2018年度高三“联测促改”活动理科数学试题【答案】D二、填空题27．已知向量AB u u u r与AC u u u r 的夹角为120︒，且32AB AC ==u u u r u u u r ，，若AP AB AC λ=+u u u r u u u r u u u r ，且AP BC ⊥u u u r u u u r则实数λ的值为__________．【来源】2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东卷带解析) 【答案】71228．（理）在直角坐标系x 、y 中，已知点A(0，1)和点B(－3，4)，若点C 在∠AOB 的平分线上，且|OC u u u r |＝2，求OC u u u r的坐标为_____________________．【来源】内蒙古平煤高级中学2017-2018学年高一下学期第二章单元检测数学试题【答案】(55-29．已知向量=a b ，则a 与b 夹角的大小为_________. 【来源】北京四中2018-2019学年第一学期高三期中考试数学（文科)试卷【答案】30.o30．ABC ∆是边长为2的等边三角形，已知向量a b r r ，满足22AB a AC a b ==+u u u r r u u u r r r，，则下列结论中正确的是____.（写出所有正确结论的序号）①a r 为单位向量；②b r 为单位向量；③a b ⊥r r；④b BC r u u u r ∥；⑤()4a b BC +⊥r r u u u r .【来源】第二章全章训练【答案】①④⑤31．正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，若3,1AB BD ==，则AB BD ⋅=u u u r u u u r____________．【来源】上海市华师附天山中学2018-2019学年高二上学期学期向量单元测验卷【答案】32-32．已知()()124,7,1,0P P --，点P 在线段12PP 的延长线上，且123PP PP =u u u r u u u r ，则点P 坐标为____________．【来源】上海市华师附天山中学2018-2019学年高二上学期学期向量单元测验卷【答案】17,22⎛⎫- ⎪⎝⎭33．在ABC V 中，()2,4,8AB AC AB AC AB ==+⋅=u u u r u u u r u u u r，则ABC V 面积等于____________．【来源】上海市华师附天山中学2018-2019学年高二上学期学期向量单元测验卷【答案】34．设F 为抛物线x 2=8y 的焦点，点A ，B ，C 在此抛物线上，若FA FB FC 0++=u u u r u u u r u u u r，则FA FB FC ++u u u r u u u r u u u r=______．【来源】2012届河南省郑州盛同学校高三上学期第一次月考文科数学【答案】635．如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AB=6，BC=8，△ACD 是等边三角形，则AC BD ⋅u u u v u u u v的值为_______________．【来源】湖南省澧县一中2018届高三一轮复习理科数学《平面向量》单元检测试题【答案】14.36．在矩形ABCD 中,AB =2，BC =1，E 为BC 的中点，若F 为该矩形内（含边界）任意一点，则AE ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AF ⃑⃑⃑⃑⃑ 的最大值为__________．【来源】2012届安徽省舒城中学高三第一学期期中考试理科数学【答案】9237．在△ABC 中，CA=2CB=2，1CA CB u u u v u u u v⋅=-，O 是△ABC 的外心，若CO uuu r =x CA u u u r +yu u rCB ，则x+y=_______________________．【来源】湖南省澧县一中2018届高三一轮复习理科数学《平面向量》单元检测试题【答案】136.38．已知向量若向量a,b 的夹角为π3,则实数m 的值为_____. 【来源】2018-2019学年高中数学人教A 版必修四第二章平面向量单元测试【答案】39．在四边形ABCD 中,AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =DC ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,1),且BA ⃑⃑⃑⃑⃑ |BA ⃑⃑⃑⃑⃑ |+BC ⃑⃑⃑⃑⃑ |BC ⃑⃑⃑⃑⃑ |=√3BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |BD⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |,则四边形ABCD 的面积为．【来源】2015高考数学（理)一轮配套特训：4-3平面向量的数量积及应用（带解析) 【答案】√3三、解答题40．在平面直角坐标系xoy 中，点(1,2),(2,3),(2,1)A B C ----。

人教版必修4《第二章平面向量》2020年单元测试卷(二)

①若
，则存在λ∈R，使得
；
②若
，则或；
③存在不全为零的实数λ，μ使得
；
④若
，则
．
第 1页（共 13页）
其中正确的命题是（）
A．①③
B．①④
7．（5 分）已知
，
，且
A．﹣4
B．4
C．②③
D．②④
，则向量在向量上的投影等于（）
C．
D．
8．（5 分）已知 O、A、M、B 为平面上四点，且＝λ +（1﹣λ），λ∈（1，2），则
＝，＝m ，＝n ，求证：
．
第 3页（共 13页）
人教版必修 4《第二章平面向量》2020 年单元测试卷（二）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）
1．（5 分）设
，
，且
，则锐角α为（）
A．30°
等于（）
A．6
B．8
C．﹣8
【解答】解：∵由向量加法的平行四边形法则可以知道，
D．﹣6
，
∵ ＝（2，4），＝（1，3），
∴
＝（﹣1，﹣1）
∵
＝（﹣3，﹣5）
∴ • ＝（﹣1）×（﹣3）+（﹣1）×（﹣5）＝8 故选：B．
直，则直线 l 的一般方程是
．
16．（5 分）已知向量
，＝（1，7），
，设 M 是直线 OP 上任意
一点（为坐标原点），则
的最小值为
．Hale Waihona Puke 三、解答题（本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

平面向量单元测试(含答案)

《平面向量》一、选择题1．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若OC e DC e BC 则213,5===（）A ．)35(2121e e +B ．)35(2121e e -C ．)53(2112e e - D ．)35(2112e e - 2．化简)]24()82(21[31b a b a --+的结果是（）A ．b a -2B ．a b -2C ．a b -D ．b a -3．对于菱形ABCD ，给出下列各式： ①BC AB =②||||BC AB =③||||BC AD CD AB +=- ④||4||||22AB BD AC =+ 2其中正确的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4 ABCD 中，设d BD c AC b AD a AB ====,,,，则下列等式中不正确的是（）A ．c b a =+B ．d b a =-C ．d a b =-D ．b a c =-5．已知向量b a 与反向，下列等式中成立的是（）A ．||||||b a b a -=-B ．||||b a b a -=+C ．||||||b a b a -=+D ．||||||b a b a +=+6．已知平行四边形三个顶点的坐标分别为（－1，0），（3，0），（1，－5），则第四个点的坐标为（） A ．（1，5）或（5，－5） B ．（1，5）或（－3，－5） C ．（5，－5）或（－3，－5） D ．（1，5）或（－3，－5）或（5，－5） 7．下列各组向量中：①)2,1(1-=e )7,5(2=e ②)5,3(1=e )10,6(2=e ③)3,2(1-=e )43,21(2-=e 其中能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（）A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③ 8．与向量)5,12(=d 平行的单位向量为（）A ．)5,1312(B ．)135,1312(--C ．)135,1312(或)135,1312(--D ．)135,1312(±±9．若32041||-=-b a ，5||,4||==b a ，则b a 与的数量积为（）A ．103B ．－103C ．102D ．1010．若将向量)1,2(=a 围绕原点按逆时针旋转4π得到向量b ,则b 的坐标为( ）A ．)223,22(--B ．)223,22(C ．)22,223(-D ．)22,223(-11．设k ∈R ，下列向量中，与向量)1,1(-=Q 一定不平行的向量是（）A ．),(k k b =B ．),(k k c --=C ．)1,1(22++=k k dD ．)1,1(22--=k k e12．已知12||,10||==b a ，且36)51)(3(-=b a ，则b a 与的夹角为（）A ．60°B ．120°C ．135°D ．150°二、填空题13．非零向量||||||,b a b a b a +==满足，则b a ,的夹角为 .14．在四边形ABCD 中，若||||,,b a b a b AD a AB -=+==且,则四边形ABCD 的形状是 15．已知)2,3(=a ，)1,2(-=b ，若b a b a λλ++与平行，则λ= .16．已知e 为单位向量，||a =4，e a 与的夹角为π32，则e a 在方向上的投影为 . 三、解答题17．已知非零向量b a ,满足||||b a b a -=+,求证: b a ⊥18．已知在△ABC 中，)3,2(=AB ，),,1(k AC =且△ABC 中∠C 为直角，求k 的值.19、设21,e e 是两个不共线的向量，2121212,3,2e e CD e e CB e k e AB -=+=+=，若A 、B 、D 三点共线，求k 的值.20．已知2||=a 3||=b ,b a 与的夹角为60o,b a c 35+=,b k a d +=3,当当实数k 为何值时，⑴c ∥dc⑵d21．如图，ABCD为正方形，P是对角线DB上一点，PECF为矩形，求证：①PA=EF；②PA⊥EF.22．如图，矩形ABCD内接于半径为r的圆O，点P是圆周上任意一点，求证：PA2+PB2+PC2+PD2=8r2.参考答案一．选择题：二、填空题：13． 120°； 14．矩形 15、 1± 16． 2- 三、解答题： 17．证：()()22ba b a -=+⇒+=+⇒-=+0222222=⇒+-=++⇒b a b b a a b b a a为非零向量又b a ,b a ⊥∴18．解：)3,1()3,2(),1(--=-=-=k k AB AC BC0)3,1(),1(0=--⋅⇒=⋅⇒⊥⇒∠∠k k BC AC BC AC RT C 为 21330312±=⇒=-+-⇒k k k19．()212121432e e e e e e CB CD BD-=+--=-=若A ，B ，D 三点共线，则BD AB 与共线，BD AB λ=∴设即212142e e e k e λλ-=+由于不共线与21e e 可得：221142e e k e e λλ-==故8,2-==k λ20.⑴若c ∥d 得59=k ⑵若d c ⊥得1429-=k21.解以D 为原点DC 为x 轴正方向建立直角坐标系则A(0,1), C:(1,0) B:(1,1))22,22(,r r P r DP 则设= )221,22(r r PA --=∴)0,22(:),22,1(r F r E 点为 )22,122(r r EF --=∴ 22)221()22(||r r PA -+-=∴ 22)22()221(||r r EF -+-=∴故EF PA =EF PA EF PA ⊥⇒=⋅0而22.证:PA PC AC PB PD BD-=-=,22222222||2||)(||||2||)(||PA PA PC PC PA PC AC PB PD PB PD PB PD BD +-=-=+-=-=∴0,,,=⋅=⋅⇒⊥⊥PC PA PB PD PC PA PB PD AC BD 故为直径 222222||||||||||||PD PC PB PA AC BD +++=+∴即2222222844r PD PC PB PA r r =+++=+。

人教版必修4《第二章平面向量》2020年单元测试卷(一) (有解析)

人教版必修4《第二章平面向量》2020年单元测试卷（一）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知向量a ⃗ =(4,−1)，b ⃗ =(−5,2)，且(a ⃗ +b ⃗ )//(m a ⃗ −b ⃗ )，则实数m =( )A. 1B. −1C. 75D. −75 2. 如果平面向量a ⃗ =(2,0)，b ⃗ =(1,1)，那么下列结论中正确的是( )A. |a ⃗ |=|b ⃗ |B. a ⃗ ⋅b ⃗ =2√2C. (a ⃗ −b ⃗ )⊥b ⃗D. a ⃗ //b ⃗3. 已知两个力F 1⃗⃗⃗ =(1,2)，F 2⃗⃗⃗⃗ =(−2,3)作用于平面内某静止物体的同一点上，为使该物体仍保持静止，还需给该物体同一点上再加上一个力F 3⃗⃗⃗⃗ ，则F 3⃗⃗⃗⃗ =( )A. (1,−5)B. (−1,5)C. (5,−1)D. (−5,1) 4. 已知向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a⃗ |=√3，|b ⃗ |=1，且|a ⃗ −b ⃗ |=|a ⃗ +b ⃗ |，则|a ⃗ −2b ⃗ |等于( ) A. √3 B. √5 C. √7 D. 3 5. 在△ABC 中，若|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，∠BAC =60°，则BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 6 B. 4 C. −6 D. −4 6. 若向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,3)，CA⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,7)，则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A. (−2,−4) B. (2,4) C. (6,10) D. (−6,−10) 7. 已知向量a ⃗ =(−1,2),b ⃗ =(1,−1)，则(a ⃗ −b ⃗ )⋅a ⃗ =( )A. 4B. −4C. 8D. 58. 若O 为△ABC 所在平面内一点，且满足(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0，则△ABC 的形状为( )A. 等腰三角形B. 正三角形C. 直角三角D. 以上都不对 9. 已知A(3,7)，B(5,2)，把向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 按向量a ⃗ =(1,2)平移后，所得向量A′B′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标是( ) A. (2,−5)B. (1,−7)C. (0,4)D. (3,−3)10. 向量a ⃗ =(2,−3)，b ⃗ =(−1,λ)，若a ⃗ ,b⃗ 的夹角为钝角，则λ的取值范围为( ) A. λ>23B. λ>23，且λ≠−23 C. λ>−23，且λ≠32 D. λ>−23 11. 已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAC =60°，则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 2B. 4−2√3C. −2D. 4+2√312. 如图，正六边形ABCDEF 的边长为1，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. −3B. −√3C. 3D. √3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=(−1,2)，b⃗ =(2,x)，c⃗=(m,−3)，且a⃗//b⃗ ，b⃗ ⊥c⃗，则x+m=______ ．14.已知向量a⃗与b⃗ 的夹角为120°，且a⃗=(−2,−6)，|b⃗ |=√10，则a⃗⋅b⃗ =______ ．15.已知向量p⃗=(2,−3)，q⃗=(x,2)，且p⃗⊥q⃗，则|p⃗+q⃗|的值为______ ．16.已知|a⃗|=1，a⃗与b⃗ 的夹角为60∘，则|a⃗−b⃗ |的最小值是____，|a⃗ −b⃗|的最小值是____．|b⃗|三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.平面内给定三个向量，回答下列问题：(1)若(a⃗+k c⃗ )⊥(a⃗+b⃗ )，求实数k；(2)设，求d⃗．18.已知|a⃗|=3，|b⃗ |=2，|a⃗|与|b⃗ |的夹角为60°，c⃗=3a⃗+5b⃗ ，d⃗=m a⃗−3b⃗ 。

人教版数学高二第二章平面向量单元测试精选(含答案)2

C．(1，＋∞)
D．(－∞，1)
【来源】内蒙古平煤高级中学 2017-2018 学年高一下学期第二章单元检测数学试题
【答案】B
8．若取两个互相垂直的单位向量 i, j 为基底,
且已知 a
3i 2 j,b
i 3j
则
5a
•
3b
等于（）
A．–45
B．45
C．–1
D．1
【来源】内蒙古平煤高级中学 2017-2018 学年高一下学期第二章单元检测数学试题
的形状为_____________________
【来源】内蒙古平煤高级中学 2017-2018 学年高一下学期第二章单元检测数学试题
【答案】直角三角形
32．已知
a
1,
b
2
，a
与b
的夹角为
3
，那么
a
b
a
b
=___________
.
【来源】广东华南师范大学附属中学 2017-2018 学年度高一第二学期模块测试数学（必
6
【来源】福建省 2018 届数学基地校高三毕业班总复习平面向量、复数形成性测试卷
（文科)数学试卷
【答案】B
26．已知复数 z1 1 2i ， z2 1 i ， z3 3 4i ，它们在复平面 xOy 上所对应
的点分别为 A，B，C．若 OC OA OB（ , R ），其中 O 为原点，则
量 a ，b 在基底 s 与 t 下的坐标分别为（﹣1，1），（3，2）．则向量 a 与 b 夹角的余弦值
是（）
A． 26 26
B． 13 13
C．﹣ 26 26
D．﹣ 13 13
【来源】湖南省澧县一中 2018 届高三一轮复习理科数学《平面向量》单元检测试题

人教版高中数学必修4 第二章《平面向量》测试题A卷

高中数学必修4 第二章《平面向量》测试题A 卷考试时间：100分钟，满分：150分一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）.1．已知两点A (4,1)，B (7，－3)，则向量AB →的模等于 ( ) A ．5 B.17 C ．3 2D.132．如果a 、b 是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是 ( ) A ．a ＝b B ．a ·b ＝1 C ．a ＝－bD ．|a |＝|b |3．已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b ＝ ( )A ．(－2，－1)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－1,0)4．若向量a ，b ，c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则c·(a ＋2b )＝ ( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 5．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |等于 ( ) A. 3 B ．2 3 C ．4 D ．126． a ，b 为平面向量，已知a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，则a ，b 夹角的余弦值等于( ) A.865 B ．－865 C.1665 D ．－16657．若AB →·BC →＋|AB →|2＝0，则△ABC 为 ( ) A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形 D ．等腰直角三角形 8．设a ＝(1，－2)，b ＝(－3,4)，c ＝(3,2)，则(a ＋2b )·c ＝ ( ) A ．(－15,12) B ．0 C ．－3 D ．－119．设a ，b ，c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a 与b 不共线，a ⊥c ，|a |＝|c |，则|b ·c |的值一定等于( )A ．以a ，b 为两边的三角形的面积B ．以b ，c 为两边的三角形的面积C ．以a ，b 为邻边的平行四边形的面积D ．以b ，c 为邻边的平行四边形的面积10．已知a ，b 是非零向量，且满足(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a 与b 的夹角是( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.56π 二、填空题（每小题6分，共计24分）. 11．已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(a －b )＝－6，且|a |＝1，|b |＝2，则a 与b 的夹角为________． 12．在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC ，AD ∥BC ，已知点A (－2,0)，B (6,8)，C (8,6)，则D 点的坐标为________．13．若向量a 、b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为π3，则|a ＋b |＝________.14．设e 1、e 2分别是平面直角坐标系中Ox 、Oy 正方向上的单位向量，OA →＝2e 1＋m e 2，OB →＝n e 1－e 2，OC →＝5e 1－e 2.若点A 、B 、C 在同一条直线上，且m ＝2n ，则实数m ，n 的值为________．三、解答题（共76分）.15.（本题满分12分）已知点A (－1,2)，B (2,8)及AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，求点C 、D 和CD →的坐标．16.（本题满分12分）向量a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝0，(a －b )⊥c ，a ⊥b ，若|a |＝1，求|a |2＋|b |2＋|c |2的值．17.（本题满分12分）已知向量a 、b 不共线，c ＝k a ＋b ，d ＝a －b ， (1)若c ∥d ，求k 的值，并判断c 、d 是否同向； (2)若|a |＝|b |，a 与b 夹角为60°，当k 为何值时，c ⊥d .18.（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)．(1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值．19.（本题满分14分）已知|F 1|＝|F 2|＝|F 3|＝a (a ＞0)，且两两向量的夹角相等，求|F 1＋F 2＋F 3|的值．20.（本题满分14分）已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，求|PA →＋3PB →|的最小值．高中数学必修4 第二章《平面向量》测试题A 卷参考答案一、选择题 1. 【答案】 A 【解析】 |AB →|＝(7－4)2＋(－3－1)2＝5.2. 【答案】 D【解析】两个单位向量的方向不一定相同或相反，所以选项A 、C 不正确；由于两个单位向量的夹角不确定，则a ·b ＝1不成立，所以选项B 不正确；|a |＝|b |＝1，则选项D 正确． 3. 【答案】 B【解析】 12a －32b ＝12(1,1)－32(1，－1) ＝(12－32，12＋32)＝(－1,2)．4. 【答案】D.【解析】∵a ⊥c ，∴a·c ＝0. 又∵a ∥b ，∴可设b ＝λa ，则c ·(a ＋2b )＝(1＋2λ)c·a ＝0. 5.【答案】B.【解析】∵|a |＝2， ∴|a ＋2b |2＝(a ＋2b )2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2 ＝22＋4×2×1×cos60°＋4×12＝12，∴|a ＋2b |＝2 3. 6.【答案】C.【解析】∵a ＝(4,3)，∴2a ＝(8,6)．又2a ＋b ＝(3,18)，∴b ＝(－5,12)，∴a ·b ＝－20＋36＝16.又|a |＝5，|b |＝13，∴cos 〈a ，b 〉＝165×13＝1665.7. 【答案】A【解析】0＝AB →·BC →＋|AB →|2＝AB →·(BC →＋AB →)＝AB →·AC →，∴AB →⊥AC →，∴∠BAC ＝90°.故选A. 8.【答案】C.【解析】∵b ＝(－3,4)，∴2b ＝2(－3,4)＝(－6,8)．又∵a ＝(1，－2)，∴a ＋2b ＝(1，－2)＋(－6,8)＝(－5,6)．又∵c ＝(3,2)，∴(a ＋2b )·c ＝(－5,6)·(3,2)＝－15＋12＝－3. 9. 【答案】C.【解析】∵|b ·c |＝|b ||c ||cosθ|，如图， ∵a ⊥c ，∴|b cos θ|就是以a 、b 为邻边的平行四边形的高，而|a |＝|c |，∴|b ·c |＝|a |(|b ||cos θ|)， ∴|b ·c |表示以a 、b 为邻边的平行四边形的面积，故选C.10.【答案】B.【解析】∵(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ， ∴(a －2b )·a ＝a·a －2a ·b ＝|a |2－2a ·b ＝0，(b －2a )·b ＝b 2－2a ·b ＝|b |2－2a ·b ＝0，由上两式可知|a |＝|b |，a ·b ＝12|a |2.设a ，b 夹角为θ. ∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝12|a |2|a |2＝12. 又∵θ∈[0，π]，∴θ＝π3.二、填空题 11.【答案】π3【解析】由(a ＋2b )·(a －b )＝－6得a 2－2b 2＋a ·b ＝－6. ∵|a |＝1，|b |＝2，∴12－2×22＋1×2×cos 〈a ，b 〉＝－6， ∴cos 〈a ，b 〉＝12.∵〈a ，b 〉∈[0，π]，∴〈a ，b 〉＝π3.12.【答案】(0，－2)【解析】因为四边形ABCD 的边AB ∥DC ，AD ∥BC ，所以四边形ABCD 为平行四边形，∴AB →＝DC →，设D (x ，y )，又∵AB →＝(8,8)，DC →＝(8－x,6－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 8－x ＝86－y ＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝－2，所以D 点的坐标为(0，－2)． 13.【答案】7【解析】∵|a |＝1，|b |＝2，〈a ，b 〉＝π3，∴|a |2＝1，|b |2＝4，a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝1，∴|a＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋2＋4＝7，∴|a ＋b |＝7.14. 【答案】m ＝10，n ＝5或m ＝－1，n ＝－12【解析】易知A (2，m )，B (n ，－1)，C (5，－1)，∴AB →＝(n －2，－1－m )，BC →＝(5－n,0)．∵A 、B 、C 三点共线，∴(n －2)×0－(－1－m )(5－n )＝0.又m ＝2n ，所以，n ＝5，m ＝10或n＝－12，m ＝－1.三、解答题15. 解：设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由题意可得AC →＝(x 1＋1，y 1－2)，AB →＝(3,6)，DA →＝(－1－x 2,2－y 2)，BA →＝(－3，－6)．∵AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，∴(x 1＋1，y 1－2)＝13(3,6)＝(1,2)，(－1－x 2,2－y 2)＝－13(－3，－6)＝(1,2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋1＝1y 1－2＝2和⎩⎪⎨⎪⎧ －1－x 2＝12－y 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0y 1＝4和⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝0. ∴C 、D 的坐标分别为(0,4)和(－2,0)，因此CD →＝(－2，－4)．16. 解：由(a －b )⊥c 知(a －b )·c ＝0. 又c ＝－(a ＋b )，∴(a －b )·(a ＋b )＝a 2－b 2＝0.故|a |＝|b |＝1，又c 2＝[－(a ＋b )]2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝a 2＋b 2＝2，∴|a |2＋|b |2＋|c |2＝4. 17. 解：(1)c ∥d ，故c ＝λd ，即k a ＋b ＝λ(a －b )．又a 、b 不共线， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝λ，1＝－λ.得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，k ＝－1.即c ＝－d ，故c 与d 反向．(2)c ·d ＝(k a ＋b )·(a －b )＝k a 2－k a ·b ＋a ·b －b 2 ＝(k －1)a 2＋(1－k )|a |2·cos60°又c ⊥d ，故(k －1)a 2＋1－k 2a 2＝0. 即(k －1)＋1－k2＝0. 解得k ＝1.18. 解：(1)由题设知AB →＝(3,5)，AC →＝(－1,1)，则 AB →＋AC →＝(2,6)，AB →－AC →＝(4,4)．所以|AB →＋AC →|＝210，|AB →－AC →|＝4 2.故所求的两条对角线长分别为42，210.(2)由题设知OC →＝(－2，－1)，(AB →－tOC →)＝(3＋2t,5＋t )．由(AB →－tOC →)·OC →＝0，得(3＋2t,5＋t )·(－2，－1)＝0，从而5t ＝－11，所以t ＝－115.19. 解：∵向量F 1，F 2，F 3两两向量的夹角相等，①当三个向量共线且同向时，两两向量的夹角均为0，于是有F 1＝F 2＝F 3，故|F 1＋F 2＋F 3|＝3|F 1|＝3a .②设三个向量两两的夹角为θ，则θ＋θ＋θ＝2π，∴θ＝2π3.又∵|F 1|＝|F 2|＝|F 3|＝a ＞0，∴F 21＝F 22＝F 23＝a 2，且三个向量均非零．∴F 1·F 2＝F 2·F 3＝F 1·F 3＝a 2cos 2π3＝－12a 2.∴|F 1＋F 2＋F 3|2＝F 21＋F 22＋F 23＋2(F 1·F 2＋F 1·F 3＋F 2·F 3)＝3a 2＋2×3×(－12a 2)＝0. ∴|F 1＋F 2＋F 3|＝0.综上所述，所求值为3a 或0.20. 解：法一：以D 为原点，分别以DA 、DC 所在直线为x 、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝x .∴D (0,0)，A (2,0)，C (0，a )，B (1，a )，P (0，x )， PA →＝(2，－x )，PB →＝(1，a －x )， ∴PA →＋3PB →＝(5,3a －4x )， |PA →＋3PB →|2＝25＋(3a －4x )2≥25， ∴|PA →＋3PB →|的最小值为5.法二：设DP →＝xDC →(0<x <1)， ∴PC →＝(1－x )DC →， PA →＝DA →－DP →＝DA →－xDC →， PB →＝PC →＋CB →＝(1－x )DC →＋12DA →，∴PA →＋3PB →＝52DA →＋(3－4x )DC →，|PA →＋3PB →|2＝254DA →2＋2×52×(3－4x )DA →·DC →＋(3－4x )2·DC →2＝25＋(3－4x )2DC →2≥25，∴|PA →＋3PB →|的最小值为5.。

平面向量测试题及答案

平面向量测试题及答案【篇一：平面向量单元测试与答案】1．已知△abc的三个顶点a、b、c及所在平面内一点p满足pa?pb?pc?ab，则点p与△abc的关系为( )a．p在△abc内部b．p在△abc外部 c．p在ab边所在直线上 d. p在△abc的ac边的一个三等分点上2．已知向量op?(1,1),op?(4,?4)，且p2点分有向线段pp 所成的比为－2，则op的坐标是112( )a．(?53532,2)b．(2,?2)c．（7，－9） d．（9，－7） 3．设?i,?j分别是x轴，y轴正方向上的单位向量，op?3cos??i?3sin??j，??(0,??2),oq??i。

若用?来表示op与oq的夹角，则?等于a．?b．?2??c．?2??d．???5．设平面上有四个互异的点a、b、c、d，已知（db?dc?2da)?(ab?ac)?0,则△abc的形状是( )a．直角三角形b．等腰三角形 c．等腰直角三角形d．等边三角形6．设非零向量a与b的方向相反，那么下面给出的命题中，正确的个数是（）b．c．15d．168．下列命题中：a?b?b?c则b?c,当且仅当a?0时成立其中正确命题的序号是a．①⑤ b．②③④ c．②③ d．①④⑤（） 9．在△abc中，已知|ab|?4,|ac|?1,s?abc?3,则ab?ac的值为a．－2b．210．已知，a（2，3），b（－4，5），则与ab共线的单位向量是a．e?(?310,)b．e?(?3,)或(3101010,?1010)c．e?(?6,2)d．e?(?6,2)或(6,2)11．设点p分有向线段p31p2所成的比为4，则点p1分p2p所成的比为a．?37b．?74c．?7 d．?43712．已知a?(1,2),b?(?3,2),ka?b与a?3b垂直时k值为a．17 b．18 c．19 d．2013．已知向量a,b的夹角为?3，|a|?2,|b|?1,则|a?b|?|a?b|? ．( )）））））（（（（（14．把一个函数图像按向量a?(?3,?2)平移后，得到的图象的表达式为y?sin(x??6)?2，则原函数的解析式为15．已知|a|=5,|b|=5, |c|=25,且a?b?c?0,则a?b?b?c?c?a=_______16．已知点a(2，0)，b(4，0)，动点p在抛物线y2＝－4x运动，则使ap?bp取得最小值的点p的坐标是17．设向量oa?(3,1),ob?(?1,2)，向量oc垂直于向量ob，向量bc 平行于oa，则od?oa?oc时,od的坐标为_________?????????????18．已知m＝(1+cos2x，1)，n＝(1，3sin2x+a)(x，a∈r，a是常数)，且y=om2on (o是坐标原点)⑴求y关于x的函数关系式y=f(x)；??⑵若x∈[0，]，f(x)的最大值为4，求a的值，并说明此时f(x)的图象可由y=2sin(x+)的图象26经过怎样的变换而得到．(8分)19．已知a（－1，0），b（1，0）两点，c点在直线2x?3?0上，且ac?ab,ca?cb，ba?bc成等差数列，20．已知：a 、b、c是同一平面内的三个向量，其中a ＝（1，2）⑴若|c|?25，且c//a，求c的坐标；⑵若|b|=21．已知向量a?(cos32x,sin32x),b?(cosx2,?sinx2),且x?[0,52?2],求 32,求?的值;(8分)⑴a?b及|a?b|;⑵若f(x)?a?b?2?|a?b|的最小值是参考答案?1．d 2．c 3．d 4．b 5．b 6．a 7．c 8．c 9．d 10．b 11．c 12．c13．2114．y?cosx 15．-2516．(0，0) ????????????????????17．解：设oc?(x,y),?oc?ob ，∴oc?ob?0，∴2y?x?0①又?bc//oa,bc?(x?1,y?2)3(y?2)?(x?1)?0即：3y?x?7② ?????????????????x?14,联立①、②得? ∴ oc?(14,7),于是od?oc?oa?(11,6)y?7?．18．解：⑴y=om2on＝1+cos2x+3sin2x+a，得f(x)=1+cos2x+3sin2x+a；⑵f(x) =1+cos2x+3sin2x+a化简得f(x) =2sin(2x+当x＝?6?6)+a+1，x∈[0，?6?2]。

第二章平面向量单元综合测试卷(带答案新人教A版必修4 )

第二章平面向量单元综合测试卷（带答案新人教A版必修4 ）第二章平面向量单元综合测试卷（带答案新人教A版必修4 ） (120分钟 150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.(2013•三明高一检测)化简 - + - 得( ) A. B. C. D.0 2.已知a，b都是单位向量，则下列结论正确的是( ) A.a•b=1 B.a2=b2C.a∥b a=bD.a•b=0 3.已知A，B，C为平面上不共线的三点，若向量 =(1，1)，n=(1，-1)，且n• =2，则n• 等于( ) A.-2 B.2 C.0 D.2或-2 4.点C在线段AB上，且 = ，若 =λ，则λ等于( ) A. B. C.- D.- 5.若a=(1，2)，b=(-3，0)，(2a+b)∥(a-mb)，则m= ( ) A.- B. C.2 D.-2 6.(2013•牡丹江高一检测)已知a+b=(1，2)，c=(-3，-4)，且b⊥c，则a在c方向上的投影是( ) A. B.-11C.-D.11 7.(2013•兰州高一检测)若|a|=1，|b|=2，c=a+b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为( ) A.30° B.60° C.120° D.150° 8.已知△ABC满足2= • + • + • ，则△ABC是( ) A.等边三角形B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形9.(2013•西城高一检测)在矩形ABCD中，AB= ，BC=1，E是CD上一点，且• =1，则• 的值为( ) A.3 B.2 C. D. 10.已知向量a=(1，2)，b=(2，-3).若向量c满足(c+a)∥b，c⊥(a+b)，则c= ( ) A. B. C. D.11.(2013•六安高一检测)△ABC中，AB边上的高为CD，若 =a， =b，a•b=0，|a|=1，|b|=2，则 = ( ) A. a- b B. a- b C. a- b D. a- b 12.在△ABC所在平面内有一点P，如果 + + = ，则△PAB与△ABC 的面积之比是( ) A. B. C. D. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中的横线上) 13.已知a=(2，4)，b=(-1，-3)，则|3a+2b|= . 14.已知向量a=(1， )，b=(-2，2 )，则a与b的夹角是. 15.(2013•江西高考)设e1，e2为单位向量.且e1，e2的夹角为，若a=e1+3e2，b=2e1，则向量a在b 方向上的射影为. 16.(2013•武汉高一检测)下列命题中：①a∥b 存在唯一的实数λ∈R，使得b=λa；②e为单位向量，且a∥e，则a=±|a|e；③|a•a•a|=|a|3；④a与b共线，b与c共线，则a与c共线；⑤若a•b=b•c且b≠0，则a=c. 其中正确命题的序号是. 三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)已知梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA=∠DAB=90°，CD=DA= AB. 求证：AC⊥BC. 18.(12分)(2013•无锡高一检测)设 =(2，-1)， =(3，0)， =(m，3). (1)当m=8时，将用和表示. (2)若A，B，C三点能构成三角形，求实数m应满足的条件. 19.(12分)在边长为1的等边三角形ABC中，设=2 ， =3 . (1)用向量，作为基底表示向量 . (2)求• . 20.(12分)(2013•唐山高一检测)已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a=(1，2). (1)若|b|=2 ，且a∥b，求b的坐标. (2)若|c|= ，且2a+c与4a-3c垂直，求a与c的夹角θ. 21.(12分)(能力挑战题)已知a=(1，cosx)，b=（，sinx），x∈(0，π). (1)若a∥b，求的值. (2)若a⊥b，求sinx-cosx的值. 22.(12分)(能力挑战题)已知向量a，b满足|a|=|b|=1， |ka+b|= |a-kb|(k>0，k∈R). (1)求a•b 关于k的解析式f(k). (2)若a∥b，求实数k的值. (3)求向量a与b夹角的最大值.答案解析 1.【解析】选D. - + - = + - = - =0. 2.【解析】选B.因为a，b都是单位向量，所以|a|=|b|=1，所以|a|2=|b|2，即a2=b2.3.【解析】选B.因为n• =n•( - ) =n• -n• ，又n• =(1，-1)•(1，1)=1-1=0，所以n• =n• =2.4.【解析】选C.由 = 知，| |∶| |=2∶3，且方向相反(如图所示)，所以 =- ，所以λ=- .5.【解析】选A.因为a=(1，2)，b=(-3，0)，所以2a+b=(-1，4)，a-mb=(1+3m，2)，又因为(2a+b)∥(a-mb)，所以(-1)×2=4(1+3m)，解得m=- . 【拓展提升】证明共线(或平行)问题的主要依据 (1)对于向量a，b，若存在实数λ，使得b=λa，则向量a与b共线(平行). (2)a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，若x1y2-x2y1=0，则向量a∥b. (3)对于向量a，b，若|a•b|=|a|•|b|，则a与b共线. 向量平行的等价条件有两种形式，其一是共线定理，其二是共线定理的坐标形式.其中，共线定理的坐标形式更具有普遍性，不必考虑向量是否为零和引入参数的存在性及唯一性. 6.【解析】选C.a•c=[(a+b)-b]•c=(a+b)•c-b•c. 因为a+b=(1，2)，c=(-3，-4)，且b⊥c，所以a•c=(a+b)•c =(1，2)•(-3，-4)=1×(-3)+2×(-4)=-11，所以a在c方向上的投影是 = =- . 7.【解析】选C.因为c=a+b，c⊥a，所以c•a=(a+b)•a=a2+b•a=0，所以a•b=-a2=-|a|2=-12=-1，设向量a与b的夹角为θ，则cosθ= = =- ，又0°≤θ≤180°，所以θ=120°. 8.【解析】选C.因为= • + • + • ，所以2= • + • + • ，所以•( - - )= • ，所以•( - )= • ，所以• =0，所以⊥ ，所以△ABC是直角三角形. 【变式备选】在四边形ABCD中， =a+2b， =-4a-b， =-5a-3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为( ) A.平行四边形 B.矩形 C.梯形 D.菱形【解析】选C.因为 = + + =-8a-2b=2 ，所以四边形ABCD为梯形. 9.【解析】选B.如图所示，以A为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系. A(0，0)，B( ，0)，C( ，1)，设点E 坐标为(x，1)，则 =(x，1)， =( ，0)，所以• =(x，1)•( ，0)= x=1，x= ，所以• = •( ，1)= × +1×1=2. 10.【解析】选D.设c=(x，y)，则c+a=(x+1，y+2)， a+b=(1，2)+(2，-3)= ，因为(c+a)∥b，c⊥(a+b)，所以即解得所以c= . 【误区警示】解答本题易混淆向量平行和垂直的坐标表示，导致计算错误. 11.【解析】选D.因为a•b=0，所以⊥ ，所以AB= = ，又因为CD⊥AB，所以△ACD∽△ABC，所以 = ，所以AD= = = ，所以 = = = (a-b)= a- b. 12.【解题指南】先对 + + = 进行变形，分析点P所在的位置，然后结合三角形面积公式分析△PAB与△ABC的面积的关系. 【解析】选A.因为 + + = = - ，所以2 + =0， =-2 =2 ，所以点P是线段AC的三等分点(如图所示). 所以△PAB与△ABC的面积之比是 . 13.【解析】因为3a+2b=3(2，4)+2(-1，-3) =(6，12)+(-2，-6)=(4，6)，所以|3a+2b|= =2 . 答案：2 14.【解析】设a与b的夹角为θ，a•b=(1，)•(-2，2 )=1×(-2)+ ×2 =4， |a|= =2，|b|= =4，所以cosθ= = = ，又0°≤θ≤180°，所以θ=60°. 答案：60° 15.【解析】设a，b的夹角为θ，则向量a在b方向上的射影为|a|cosθ=|a| = ，而a•b=(e1+3e2)•2e1=2+6cos =5，|b|=2，所以所求射影为 . 答案： 16.【解析】①错误.a∥b且a≠0 存在唯一的实数λ∈R，使得b=λa；②正确.e为单位向量，且a∥e，则a=±|a|e；③正确. = = = ；④错误.当b=0时，a与b共线，b与c共线，则a与c不一定共线；⑤错误.只要a，c在b方向上的投影相等，就有a•b=b•c. 答案：②③17.【证明】以A为原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系如图，设AD=1，则A(0，0)，B(2，0)， C(1，1)，D(0，1)，所以 =(-1，1)， =(1，1)，• =-1×1+1×1=0，所以AC⊥BC. 18.【解析】(1)当m=8时， =(8，3)，设 =x +y ，则 (8，3)=x(2，-1)+y(3，0)=(2x+3y，-x)，所以所以所以 =-3 + . (2)因为A，B，C三点能构成三角形，所以，不共线， =(1，1)， =(m-2，4)，所以1×4-1×(m-2)≠0，所以m≠6. 19.【解析】(1) = + =- + . (2) • = •(- + ) = •(- )+ • =| |•| |cos150°+ | |•| |cos30° = ×1× + × ×1× =- . 20.【解析】(1)设b=(x，y)，因为a∥b，所以y=2x；① 又因为|b|=2 ，所以x2+y2=20；② 由①②联立，解得b=(2，4)或b=(-2，-4). (2)由已知(2a+c)⊥(4a-3c)，(2a+c)•(4a-3c)=8a2-3c2-2a•c=0，又|a|= ，|c|= ，解得a•c=5，所以cosθ= = ，θ∈[0，π]，所以a与c的夹角θ= . 21.【解题指南】一方面要正确利用向量平行与垂直的坐标表示，另一方面要注意同角三角函数关系的应用. 【解析】(1)因为a∥b，所以sinx= cosx⇒tanx= ，所以 = = =-2. (2)因为a⊥b，所以 +sinxcosx=0⇒sinxcosx=- ，所以(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx= . 又因为x∈(0，π)且sinxcosx<0，所以x∈ ⇒sinx-cosx>0，所以sinx-cosx= . 22.【解题指南】(1)先利用a2=|a|2，将已知条件两边平方，然后根据数量积定义和运算律化简、变形求f . (2)先根据k>0和a∥b，判断a与b同向，再利用数量积的定义列方程求k的值. (3)先用求向量a与b夹角的公式表示出夹角的余弦值，再利用配方法求余弦值的最小值，最后根据余弦函数的单调性求夹角的最大值. 【解析】(1)由已知|ka+b|= |a-kb| 有|ka+b|2=( |a-kb|)2，k2a2+2ka•b+b2=3a2-6ka•b+3k2b2. 又因为|a|=|b|=1，得8ka•b=2k2+2，所以a•b= 即f(k)= (k>0). (2)因为a∥b，k>0，所以a•b= >0，则a与b同向. 因为|a|=|b|=1，所以a•b=1，即 =1，整理得k2-4k+1=0，所以k=2± ，所以当k=2± 时，a∥b. (3)设a，b的夹角为θ，则cosθ= =a•b = = = .当 = ，即k=1时，cosθ取最小值，又0≤θ≤π，所以θ= . 即向量a与b夹角的最大值为 .。

人教版高一数学必修4第二章平面向量测试题(含答案)

5
5
∴ （ 2 5 ，－ 5 ）或（－ 2 5 ， 5 ）即为所求．
5
5
5
5
19．由题设
, 设 b=
.
∴
,
, 则由
,得
解得 sin α =1 或
当 sin α=1 时， cosα=0；当
时，
。
故所求的向量
或
。
20．解：（1） x y, x y 0.即[( a t 2 3)b] ( ka t b) 0.
D． OC－OA ＋CD；
3．已知 a =（3，4）， b =（5，12）， a 与 b 则夹角的余弦为（
）
A． 63 65
B． 65
C ． 13 5
D． 13
4．已知 a、b 均为单位向量 , 它们的夹角为 60°, 那么 | a+ 3 b| = （）
A． 7
B． 10
C． 13
D．4
5．已知 ABCDEF是正六边形，且 AB ＝ a ， AE ＝ b ，则 BC ＝（）
它的长度 | ×b|=| ||b|sin θ，如果 | |=4, |b|=3,
·b=-2 ，则 | ×b|=____________。
三 . 解答题
18、设平面三点 A（1， 0），B（0，1），C（2，5）．（1）试求向量 2 AB ＋ AC 的模；（ 2）试求向量 AB 与 AC 的夹角；（ 3）试求与 BC 垂直的单位向量的坐标．
∈R)的模取最小值
|b|
（ 2）当 a、b 共线同向时，则
0 ，此时 t | a | |b |
∴ b ( a tb) b a tb 2 b a | a || b | | b || a | | a || b | 0

高中数学第二章平面向量单元质量评估含解析新人教A版必修4041026.doc

平面向量(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.如图e1,e2为互相垂直的单位向量,向量a+b+c可表示为 ( B )A.2e1+3e2B.3e1+2e2C.3e1-2e2D.-3e1-3e22.已知向量a=(1,x2),b=(x,8),若a∥b,则实数x的值为 ( A )A.2B.-2C.±2D.03.已知非零向量m,n的夹角为,且n⊥(-2m+n),则= ( B )A.2B.1C.D.4.已知向量a=(-2,0),a-b=(-3,-1),则下列结论正确的是 ( D )A.a·b=2B.a∥bC.|a|=|b|D.b⊥(a+b)5.已知向量a=(λ,1),b=(λ+2,1),若|a+b|=|a-b|,则实数λ的值为 ( C )A.1B.2C.-1D.-26.已知A,B,C是锐角△ABC的三个内角,向量p=(sin A,1),q=(1,-cos B),则p与q的夹角是( A )A.锐角B.钝角C.直角D.不确定7.在△AOB中,G为AB边上一点,OG是∠AOB的平分线,且=+m(m∈R),则= ( C )A. B.1 C. D.28.若非零向量a,b的夹角为锐角θ,且=c os θ,则称a被b“同余”.已知b被a“同余”,则向量a-b在向量a上的投影是 ( A )9.已知正方形ABCD的边长为2,对角线相交于点O,P是线段BC上一点,则·的最小值为 ( C )A.-2B.-C.-D.210.已知向量a=(1,2),b=(2,-3).若向量c满足(c+a)∥b,c⊥(a+b),则c等于( D )A. B.C. D.11.已知O为△ABC内一点,满足4=+2,则△AOB与△AOC的面积之比为 ( D )A.1∶1B.1∶2C.1∶3D.2∶112.已知O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三点,动点P满足=+λ,λ∈[0,+∞),则点P的轨迹经过△ABC的 ( A )A.外心B.内心C.重心D.垂心二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)13.已知平面向量a与b的夹角等于,如果|a|=4,|b|=,那么|2a-b|=.14.已知a=(2si n13°,2si n77°),|a-b|=1,a与a-b的夹角为,则a·b=3.15.若向量a,b夹角为,且|a|=2,|b|=1,则a与a+2b的夹角为.16.已知||=1,||=m,∠AOB=π,点C在∠AOB内且·=0.若=2λ+λ(λ≠0),则m=三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)设=(2,-1),=(3,0),=(m,3).(1)当m=8时,将用和表示.(2)若A,B,C三点能构成三角形,求实数m应满足的条件.解:(1)当m=8时,=(8,3).设=x+y,则(8,3)=x(2,-1)+y(3,0)=(2x+3y,-x).所以解得即=+.(2)因为A,B,C三点能构成三角形,所以,不共线.又=(1,1),=(m-2,4),所以1×4-1×(m-2)≠0,解得m≠6.18.(本小题满分12分)已知|a|=3,b=(1,).(1)若a,b共线且方向相同,求a的坐标.(2)若a与b不共线,k为何值时,a+k b与a-k b互相垂直?解:(1)设a=(x,y),因为|a|=3,b=(1,),且a与b共线,所以解得或又因为a,b方向相同,所以a的坐标为(,).(2)因为a+kb与a-kb互相垂直,所以(a+kb)·(a-kb)=a2-k2b2=|a|2-k2|b|2=0.由已知|a|=3,b=(1,),所以|b|=.所以9-3k2=0,解得k=±.所以当k=±时,a+kb与a-kb互相垂直.19.(本小题满分12分)在边长为3的正三角形ABC中,设=2,=2.(1)用向量,表示向量,并求的模.(2)求·的值.(3)求与的夹角的大小.解:(1)因为=2,=2,所以=+=+(-)=+.又·=||·||cos A=3×3×=.故||====.(2)=-+,所以·=·=--·+=-×32-×+×32=-.(3)||====,所以cos <,>===-,所以与的夹角为120°.20.(本小题满分12分)已知正方形ABCD,E,F分别是CD,AD的中点,BE,CF交于点P. 求证:(1)BE⊥CF.(2)AP=AB.解:(1)如图,建立直角坐标系xOy,其中A为原点,不妨设AB=2,则A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1).=-=(1,2)-(2,0)=(-1,2),=-=(0,1)-(2,2)=(-2,-1).因为·=-1×(-2)+2×(-1)=0,所以⊥,即BE⊥CF.(2)设P(x,y),则=(x,y-1),=(-2,-1).因为∥,所以-x=-2(y-1),即x=2y-2.同理由∥,得y=-2x+4,两式联立得:x=,y=,即P.所以=+=4=,所以||=||,即AP=AB.21.(本小题满分12分)已知向量a=(1,2),b=(cos α,sin α).设m=a+t b(t∈R).(1)若α=,求当|m|取最小值时实数t的值.(2)若a⊥b,问:是否存在实数t,使得向量a-b和向量m的夹角为,若存在,请求出t;若不存在,请说明理由.解:(1)因为α=,所以b=.所以m=a+tb=.所以|m|===,所以当t=-时,|m|取到最小值,最小值为.(2)存在满足题意的实数t.当向量a-b和向量m的夹角为时,则有cos =.又a⊥b,所以(a-b)·(a+tb)=a2+(t-1)a·b-tb2=5-t,|a-b|===,|a+tb|===.则有=,且t<5,整理得t2+5t-5=0,解得t=.所以存在t=满足条件.22.(本小题满分12分)如图,在四边形ABCD中,AD=4,AB=2.(1)若△ABC为等边三角形,且AD∥BC,E是CD的中点,求·.(2)若AC=AB,cos ∠CAB=,·=,求||.解:(1)因为△ABC为等边三角形,且AD∥BC,所以∠DAB=120°.又AD=2AB,所以AD=2BC.因为E是CD的中点,所以=(+)=(++)=(++)=+.又=-,所以·=·(-)=--·=×16-×4-×4×2×=11.(2)因为AB=AC,AB=2,所以AC=2.因为·=,所以·(-)=.所以·-·=.又·=||||cos ∠CAB=4×=,所以·=+·=.所以||2=|-|2=+-2·=4+16-2×=.即||=.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

《第2章平面向量》2013年单元测试卷

《第2章平面向量》2013年单元测试卷《第2章平面向量》2013年单元测试卷一、选择题（共14小题，每小题3分，满分42分）1．（3分）已知向量（）D．2．（3分）已知向量，则的坐标是（）3．（3分）已知，且∥，则x等于（）D．4．（3分）若，则与的夹角的余弦值为（）．C D．5．（3分）若，与的夹角是135°，则等于（）C D8．（3分）在平行四边形ABCD中，M为上任一点，则等于（）．C D．9．（3分）在平行四边形ABCD中，若，则必有（）．C或10．（3分）已知点C在线段AB的延长线上，且等于（）C．11．（3分）已知平面内三点A（2，2），B（1，3），C（7，x）满足，则x的值为（）12．（3分）已知△ABC的三个顶点分别是，重心G（x，﹣1），则x、yC．13．（3分）设两个非零向量不共线，且共线，则k的值为（）14．（3分）（2012•北京模拟）已知，则点M的坐标是（）．C D．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分20分）15．（4分）（2012•湖北模拟）已知垂直，则λ等于_________．16．（4分）已知等边三角形ABC的边长为1，则=_________．17．（4分）设是两个单位向量，它们的夹角是60°，则=_________．18．（4分）已知A（﹣3，4）、B（5，﹣2），则||=_________．19．（2分）设=（，sinα），=（cosα，），且⊥，则tanα=_________．20．（2分）若对n个向量，存在n个不全为零的实数k1，k2…，k n，使得=成立，则称向量为“线性相关”．依此规定，请你求出一组实数k1，k2，k3的值，它能说明=（1，0），=（1，﹣1），=（2，2）“线性相关”．k1，k2，k3的值分别是_________（写出一组即可）．三、解答题（共4小题，满分38分）21．（9分）已知，求线段AB的中点C的坐标．22．（9分）已知的夹角为60°，求．23．（10分）平面向量，已知∥，，求的坐标及夹角．24．（10分）如图所示，在△ABC中，D、F分别是BC、AC的中点，=，=，=．（1）用、表示向量、、、、；（2）求证：B、E、F三点共线．《第2章平面向量》2013年单元测试卷参考答案与试题解析一、选择题（共14小题，每小题3分，满分42分）1．（3分）已知向量（）D．=的值，即可得到=∴2．（3分）已知向量，则的坐标是（）通过向量坐标运算，直接求出，则3．（3分）已知，且∥，则x等于（）D．解：∵==∥x=．4．（3分）若，则与的夹角的余弦值为（）．C D．，可求解：设向量==的应用，属于基础试题．5．（3分）若，与的夹角是135°，则等于（）C D=解：由题意，与∴（﹣=中两个向量是8．（3分）在平行四边形ABCD中，M为上任一点，则等于（）．C D．可得答案．解：∵9．（3分）在平行四边形ABCD中，若，则必有（）．C或知对角线相等，再由矩形定义求解．中，∵10．（3分）已知点C在线段AB的延长线上，且等于（）C．11．（3分）已知平面内三点A（2，2），B（1，3），C（7，x）满足，则x的值为（），∵∴12．（3分）已知△ABC的三个顶点分别是，重心G（x，﹣1），则x、yC．13．（3分）设两个非零向量不共线，且共线，则k的值为（）解：∵共线）+∵14．（3分）（2012•北京模拟）已知，则点M的坐标是（）．C D．，∵∴的坐标是二、填空题（共6小题，每小题4分，满分20分）15．（4分）（2012•湖北模拟）已知垂直，则λ等于．解：∵∴∵②故答案为：16．（4分）已知等边三角形ABC的边长为1，则=．模已知，夹角已知，故∴﹣故答案为﹣17．（4分）设是两个单位向量，它们的夹角是60°，则=．+7=+7=﹣故答案为﹣18．（4分）已知A（﹣3，4）、B（5，﹣2），则||=10．||∴||===1019．（2分）设=（，sinα），=（cosα，），且⊥，则tanα=﹣．先利用向量垂直的充要条件得+解：∵=，=，∴sin﹣．20．（2分）若对n个向量，存在n个不全为零的实数k1，k2…，k n，使得=成立，则称向量为“线性相关”．依此规定，请你求出一组实数k1，k2，k3的值，它能说明=（1，0），=（1，﹣1），=（2，2）“线性相关”．k1，k2，k3的值分别是﹣4，2，1（写出一组即可）．个向量，存在成立，则称向量为=，= =====0∵，，三、解答题（共4小题，满分38分）21．（9分）已知，求线段AB的中点C的坐标．和向量的坐标，可以求得点∴22．（9分）已知的夹角为60°，求．解：由题意，已知∴∴23．（10分）平面向量，已知∥，，求的坐标及夹角．∥，，及平面向量的值，再根据，我们易得向量夹角的余弦值，进而得到向量∥得∴与∥，24．（10分）如图所示，在△ABC中，D、F分别是BC、AC的中点，=，=，=．（1）用、表示向量、、、、；（2）求证：B、E、F三点共线．，由题意求出，再由向量减法的三角形法则求出和；）求出，故两个向量共线，即=是平行四边形，则==∴=（=（的中点，∴==，∴﹣=（）﹣=﹣=﹣（）可知，=（，=（∴，即、是共线向量，所以参与本试卷答题和审题的老师有：俞文刚；庞会丽；lily2011；翔宇老师；wodeqing；wdnah；minqi5；涨停；吕静；caoqz；qiss；xintrl；gongjy；394782（排名不分先后）菁优网2013年11月20日。

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