分数裂项与整数裂项(学练结合)
分数及整数裂项计算
本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。
很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。
本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。
分数裂项一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++分数裂项计算教学目标知识点拨1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
分数裂项六种题型
分数裂项六种题型一、整数裂项整数裂项是一种常见的数学问题，通过将整数拆分成两个整数之和或之差，从而简化计算或证明某些数学关系式。
以下是一些常见的整数裂项例子：1.将整数拆分成两个相邻整数之和或之差，例如：5=2+3，10=3+7。
2.将整数拆分成两个绝对值相等的数之和或之差，例如：10=3+(-3)，20=7+(-7)。
二、分数裂项分数裂项是将分数拆分成两个或多个分数的和或差，以便于计算或证明某些数学关系式。
以下是一些常见的分数裂项例子：1.将分数拆分成两个同分母的分数的和或差，例如：1/2=1/(4)+1/(4)，2/3=1/(3)+1/(3)。
2.将分数拆分成两个异分母的分数的和或差，例如：2/5=3/(15)+(-4)/(15)，4/7=3/(21)+4/(21)。
三、混合数裂项混合数裂项是指将整数、分数等不同类型的数拆分成两个或多个数之和或差。
以下是一些常见的混合数裂项例子：1.将混合数拆分成一个整数和一个分数的和或差，例如：3/2=2+(1/2)，5=3+(2/2)。
2.将混合数拆分成两个分数之和或差，例如：4/3=1/(2)+3/(4)，7/6=1/(3)+1/(2)。
四、裂项相消法裂项相消法是一种常见的数学方法，用于简化分数的计算。
其基本思想是将一个分数拆分成两个或多个分数的和或差，以便于约简分数。
以下是一个裂项相消法的例子：求和：1/2+1/6+1/12+1/20+...的值。
解答：原式=(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+(1/4-1/5)+...通过约简，我们得到原式=1-1/n（当n趋于无穷大时）。
五、分式裂项相消法分式裂项相消法是一种将分式拆分成多个分式的和或差，然后约简的方法。
以下是一个分式裂项相消法的例子：求分式：(a^2-b^2)/(a^2+b^2)的值。
解答：原式=(a^2-b^2)/(a^2+b^2)=(a-b)(a+b)/(a^2+b^2)=(a-b)/(a+b)+(a+b) /(a-b)。
小学六年级下册数学练习题：第8讲.整数裂项与通项归纳( 解析版)
五年级春季比较与估算六年级暑期分数裂项六年级暑期整数裂项与通项归纳六年级寒假计算模块综合选讲一六年级春季计算模块综合选讲二掌握整数裂项技巧；灵活运用通项归纳的技巧进行巧算漫画释义知识站牌在第一讲我们学过分数裂项，也就是大家看到的下面的题目：111111335577999101+++++⨯⨯⨯⨯⨯ .但是如果来了一个怪兽，它非常喜欢吃分数，尤其喜欢吃分数的分子，结果这个怪兽就把上题的分子吃掉了，只剩下1335577999101⨯+⨯+⨯+⨯++⨯ 了，此时还可以用我们的法宝（裂项）计算吗？也许是因为怪兽只吃到了分数的皮毛，分数没有受到很大的伤害，因此法宝还可以继续使用，这就是我们今天要学习的整数裂项.1.掌握整数裂项的技巧，并能理解整数裂项与分数裂项的联系和区别2.灵活运用通项归纳的技巧进行巧算一、整数裂项()()()112231123⨯+⨯++⨯+=⨯⨯+⨯+ n n n n n 例如：1×2+2×3+3×4+…+9×10()1121230123⨯=⨯⨯-⨯⨯⨯；()1232341233⨯=⨯⨯-⨯⨯⨯；()1343452343⨯=⨯⨯-⨯⨯⨯；……()19109101189103⨯=⨯⨯-⨯⨯⨯；那么，原式=（1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+…+9×10×11-8×9×10）13⨯=（9×10×11-0×1×2）13⨯=330二、通项归纳一些计算题目中，如果题目中给出数字很有规律，而且题目又很长，那么我们通常就可以采取把这个规律用字母总结成公式的形式，然后对公式进行计算，找到非常简单的运算技巧，最后把简单运算技巧运用到每一项最终达到简算的目的，这就是通项归纳的技巧．课堂引入经典精讲教学目标模块一：裂项例1：因数差1的整数裂项例2：因数差不是1的整数裂项例3：多个因数乘积的整数裂项例4：整数裂项的应用模块二：通项归纳例5：整数裂项中的通项归纳例6：平方差公式中的通项归纳模块三：综合运用例7：通项归纳的灵活运用例8：裂项的综合运用计算：⑴12231920⨯+⨯++⨯= ________．⑵4556675960⨯+⨯+⨯++⨯= ________．（学案对应：超常1，带号1）【分析】⑴本题项数较少，可以直接将每一项乘积都计算出来再计算它们的和，但是对于项数较多的情况显然不能这样进行计算．对于项数较多的情况，可以进行如下变形：()()()()()()()()()12111111211333n n n n n n n n n n n n n n ++--++==++--+，所以原式：)1=192021012=26603⨯⨯-⨯⨯⑵原式()7196054361605931=⨯⨯-⨯⨯=.计算：⑴35573335⨯+⨯++⨯= ________．⑵14477104952⨯+⨯+⨯++⨯ =_________（学案对应：超常2）【分析】（1）原式=()712053137353361=⨯⨯-⨯⨯．（2）原式()15572741555249914=⨯⨯-⨯⨯+=例题思路计算：⑴12323434591011⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯= ⑵1234234534569101112⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯= ⑶123423453456(1)(2)(3)n n n n ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+++++= ⑷357579192123⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯= ⑸135735795791119212325⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯= （学案对应：带号2）【分析】⑴()()()()()()()()111212311244n n n n n n n n n n n ++=+++--++，原式()1910111201234=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯191011124=⨯⨯⨯⨯2970=从中还可以看出，()()()()()1123234345121234n n n n n n n ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++++=+++ ．⑵()()()()()()()()1112(3)123(4)112(3)55n n n n n n n n n n n n n n +++=++++--+++，原式()1910111213012345=⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯19101112135=⨯⨯⨯⨯⨯30888=⑶()()12342345345612(3)n n n n ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+++++ ()()()1123(4)5n n n n n =++++⑷原式()11921232513578=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯28665=⑸原式1105(192123252713579)10=+⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯619458=计算：1!32!43!54!62012!20142013!⨯-⨯+⨯-⨯+-⨯+= ．【分析】观察下面的规律：1!31!(12)1!2!⨯=⨯+=+，2!42!(13)2!3!⨯=⨯+=+原式1!2!2!3!3!4!4!5!2011!2012!2012!2013!2013!=+--++--+++--+ 1=．1111121223122334122334910++++⨯⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯++⨯ 【分析】由于()()()112231123n n n n n ⨯+⨯++⨯+=++ ，则()()()131223112n n n n n =⨯+⨯++⨯+++ ，原式333312323434591011=++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 31111112122323349101011⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 3112121011⎛⎫=⨯- ⎪⨯⨯⎝⎭81110=大约1500年前，欧洲的数学家们是不会用“0”的.他们使用罗马数字.罗马数字是用几个表示数的符号，按照一定规则，把它们组合起来表示不同的数目.在这种数字的运用里，不需要使用“0”.后来，罗马帝国有一位学者从印度记数法里发现了“0”这个符号.有了“0”，进行数学运算方便极了，他非常高兴，还把印度人使用“0”的方法向大家做了介绍.过了一段时间，这件事被教皇知道了.当时是欧洲的中世纪，教会的势力非常大，教皇的权力更是远远超过皇帝.教皇非常恼怒，他斥责说，神圣的数是上帝创造的，在上帝创造的数里没有“0”这个怪物，如今谁要把它给引进来，谁就是亵渎上帝！于是，教皇就下令，把这位学者抓了起来，并对他施加了酷刑，使他两手残废，再也不能握笔写字.就这样，“0”被那个愚昧、残忍的教皇明令禁止了.虽然“0”被禁止使用，但是罗马的数学家们还是不管禁令，在数学研究中仍然秘密地使用“0”，并做出了很多贡献.后来“0”终于在欧洲被广泛使用，而罗马数字却逐渐被淘汰了.计算：22222222246201231517120131⨯⨯⨯⨯=---- （学案对应：超常3，带号3）【分析】通项归纳：()()()222222221211n n n n n n n n ⨯==⨯+++-原式=1231006123410071007⨯⨯⨯⨯= 计算：222222221223201220132013201412232012201320132014++++++++⨯⨯⨯⨯ （学案对应：超常4，带号4）【分析】（法1）：可先来分析一下它的通项情况，2222(1)(1)1(1)(1)(1)1n n n n n n n a n n n n n n n n++++==+=+⨯+⨯+⨯++原式=213243542013201220142013()()()()()()122334452012201320132014++++++++++++ 2013201320132402620142014=⨯+=（法2）：22222(1)2211122(1)(1)n n n n n a n n n n n n n n ++++===+=+⨯+++⨯+原式1111222212232012201320132014=++++++++⨯⨯⨯⨯ 120132(1)2014=⨯+-201340262014=计算：1234569910023459899⨯+⨯+⨯++⨯=⨯+⨯++⨯ 【分析】设原式=B A ()333300************1=⨯⨯-⨯⨯=+A B 500099252322=⨯++⨯+⨯+=- A B 原式=B A ()()()()3283338350003333005000333300=-+=--+-++=A B A B A B AB1.计算：1234234517181920⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯= 【分析】原式()11718192021012345=⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯488376=2.计算：357579313335⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯= 【分析】原式()13133353713578=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯165585=3.计算111111111335192124______111111111111123234345192021++++++++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯…【分析】利用裂和的方法可以将每一项展开原式111111113351912421111111111111111111111111123123234234345345192021192021=++++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ (11111111111111111111111123123423453420211920)=++++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ (23123423453420211920)=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯…兔妈妈买来10个萝卜，准备分给四个小宝宝.她把10个萝卜分成4份．从左到右分别是1个、2个、3个、4个.小黑闹着要吃那份最多的.妈妈说：“你如果能只移动1个萝卜，使4份萝卜的排列顺序倒过来，从左到右分别是4个、3个、2个、1个，那就给你最多的.”大家能帮帮小黑吗？答案：把第四堆的第三个萝卜移到第一堆和第二堆之间.附加题=（1×2+2×3+…+19×20）+（2×3+3×4+…+20×21）通过整数裂项方法得到结果．原式11192021(202122123)573833=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯=4.147474647464547464521525251525150525150495251504965⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【分析】首先把每项分数约分．14747464746454321525251525150525150495251504948⨯⨯⨯⨯⨯⨯+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 再将原式各项的分母都通分为5251504948⨯⨯⨯⨯，则各项的分子依次为51504948⨯⨯⨯，50494847⨯⨯⨯，49484746⨯⨯⨯，…………4321⨯⨯⨯．计算中可以应用下面的公式：()()()12342345123n n n n ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+++++ ()()()()112345n n n n n =++++．根据上面的公式，分子的和为148495051525⨯⨯⨯⨯⨯，与分母约分，结果为15．5.222222222222233333333333331121231234122611212312341226+++++++++-+-+-=+++++++++ 【分析】先找通项公式：2222223333(1)(21)1232212116()(1)1233(1)314n n n n n n a n n n n n n n ⨯+⨯++++++===⨯=⨯+⨯+++++⨯++ ，所以，原式21111111131223342627⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+-+++--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 2152132781⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭6.计算1×100+2×99+3×98+…+98×3+99×2+100×1=.【分析】通项公式2(101)101n a n n n n =-=-，所以原式1101(1100)10021001012016=⨯+⨯÷-⨯⨯⨯=1717007.计算：2323233--- （共2013条分数线）=【分析】32272133321--==-43261521332772133--=-==--5421431213321515213233--=-==---………………2122132213233n n ++--=--- ，所以2013条分数线的话，答案应该为201520142121--一、整数裂项1122334(1)(1)(1)3n n n n n ⨯+⨯+⨯++-⨯=-⨯⨯+ 1123234345(2)(1)(2)(1)(1)4n n n n n n n ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++-⨯-⨯=-⨯-⨯⨯+ 110111112121399100(9910010191011)3⨯+⨯+⨯++⨯=⨯⨯-⨯⨯ 二、通项归纳解题步骤1.找规律，归纳第n 项公式2..将归纳出的公式用到每一项，进行计算1.请计算：1223344950⨯+⨯+⨯++⨯ =_________【分析】原式()4165021051504931=⨯⨯-⨯⨯=.2.请计算：24462426⨯+⨯++⨯= ________．【分析】原式()291242028262461=⨯⨯-⨯⨯=3.计算：2464686810222426⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯= 【分析】原式家庭作业知识点总结()12224262802468=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯48048=4.计算：2013!(1!2!23!34!42011!20112012!2012)-+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯= ．【分析】观察下面的规律：1!11!(21)2!1!⨯=⨯-=-2!22!(31)3!2!⨯=⨯-=-原式2013!(2!1!3!2!4!3!2012!2011!2013!2012!)=--+-+-++-+- 2013!(2013!1!)=--1=5.计算：111112122312233412233499100++++⨯⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯++⨯ 【分析】由于()()()112231123n n n n n ⨯+⨯++⨯+=++ ，则()()()131223112n n n n n =⨯+⨯++⨯+++ ，原式333312323434599100101=++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 311111121223233499100100101⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 311212100101⎛⎫=⨯- ⎪⨯⨯⎝⎭1514720200=6.计算：22222223992131991⨯⨯⨯=--- 【分析】通项公式：()()()()()221111112n n n a n n n n ++==+++-+，原式22334498989999(21)(21)(31)(31)(41)(41)(981)(981)(991)(991)⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯- 223344559898999931425364999710098⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 22334498989999132435979998100=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 29999110050=⨯=7.计算：2222122318191920⨯+⨯++⨯+⨯ 【分析】方法一：2(1)(1)[(2)1](1)(2)(1)n a n n n n n n n n n n =+=++-=++-+原式123122342318192018191920211920=⨯⨯-⨯+⨯⨯-⨯++⨯⨯-⨯+⨯⨯-⨯ 123234181920192021(122318191920)=⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯-⨯+⨯++⨯+⨯111920212219202143=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯41230=方法二：分拆(21-)232222⨯=-，(31-)232333⨯=- 再用公式原式323232333222(22)(33)(2020)(12320)(12320)=-+-++-=++++-++++ 221120212021414123046=⨯⨯-⨯⨯⨯=8.计算：12343456567817181920⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯= （提示：()2333211214n n n +++=+ ）【分析】一般的整数裂项各项之间都是连续的，本题中各项之间是断开的，为此可以将中间缺少的项补上，再进行计算．记原式为A ，再设23454567678916171819B =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯ ，则12342345345617181920A B +=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯ 117181920214883765=⨯⨯⨯⨯⨯=，现在知道A 与B 的和了，如果能再求出A 与B 的差，那么A 、B 的值就都可以求出来了．1234234534564567567817181920A B -=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯ 4(123345567...171819)=⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯222242(21)4(41)6(61)18(181)⎡⎤=⨯⨯-+⨯-+⨯-++⨯-⎣⎦33334(24618)4(24618)=⨯++++-⨯++++ 221148*********=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯64440=所以，()488376644402276408A =+÷=．【超常班学案1】计算：⑴34455619202021⨯+⨯+⨯++⨯+⨯=⑵233445100101⨯+⨯+⨯++⨯= 【分析】⑴134=345-2343⨯⨯⨯⨯⨯⨯（）；145=56-3453⨯⨯⨯⨯⨯⨯（4）；156=67-4563⨯⨯⨯⨯⨯⨯（5）；……12021=2122-1920213⨯⨯⨯⨯⨯⨯（20）；原式=15-234+56-35++202122-1920213⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ （3444）超常班学案=1202122-2343⨯⨯⨯⨯⨯（）=3072⑵原式(234123)(345234)(10010110299100101)3⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯++⨯⨯-⨯⨯= ()11001011021233=⨯⨯⨯-⨯⨯343398=本题也可直接采用结论：()()()112231123n n n n n ⨯+⨯++⨯+=++ ，则原式()1223344510010112=⨯+⨯+⨯+⨯++⨯-⨯ 110010110223=⨯⨯⨯-343398=【超常班学案2】请计算：（1）25588116265⨯+⨯+⨯++⨯= ________；（2）3771111156367⨯+⨯+⨯++⨯= ________．【分析】（1）原式()110626568258304509=+⨯⨯⨯-⨯⨯=；（2）原式()12163677137112497612=+⨯⨯⨯-⨯⨯=.【超常班学案3】计算：121231234123502232342350++++++++++⨯⨯⨯⨯++++++ 【分析】通项公式为：()()()1121231212n n n n n n n n n n +++++==⨯+++-+-+ ，（n 从2开始）原式32435451501425364952=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 3507515226=⨯=【超常班学案4】计算：22222212231001011223100101++++++⨯⨯⨯ 【分析】方法一：通过代数式进行通项归纳或者找规律，可知：2222(1)2112(1)(1)(1)n n n n n n a n n n n n n +++++===+⨯+++，所以原式=1111001002222002001223100101101101++++++=+=⨯⨯⨯ 方法二：原式=22222132()()12122323++++⨯⨯⨯⨯ 22101100()100101100101++⨯⨯21321011001223100101=++++++ 上式为若干组同分母分数的和，而且这些和都是2，所以原式⋅=+⨯= 1011002001011001002【超常123班学案1】请计算：（1）344556677889910101111121213⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=________；（2）4556674950⨯+⨯+⨯++⨯= ________．【分析】（1）原式()11213142347203=⨯⨯⨯-⨯⨯=；（2）原式()1495051345416303=⨯⨯⨯-⨯⨯=.【超常123班学案2】S=1×2×3+2×3×4+3×4×5+ +2010×2011×2012，试求出4×S÷（2010×2011×2012）的值．【分析】1123=1234-01234⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯（）；1234=345-12344⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯（2）；1345=456-23454⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯（3）；……12010201120122010201120122013-20092010201120124⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯（）原式=12010201120122013012342010201120124⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯÷⨯⨯（）（）=2013【超常123班学案3】222111111213120131⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯⨯+ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭【分析】22221(1)(1)111(1)1(1)1(2)2n n n n n a n n n n n n ++++=+===⨯+-+-⨯++原式223320132013132420122014=⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 220132013120141007=⨯=【超常123班学案4】计算：22222222212323489103353517+++++++++++++ 【分析】原式2222222222221232348910213191++++++=+++--- 通项归纳，()()22222221132551133111211n n n n n n n n n -++++⎛⎫==+=+- ⎪----+⎝⎭原式511138122910⎛⎫=⨯++-- ⎪⎝⎭292242799=+=１２３班学案。
小学奥数教程：分数裂项计算 全国通用(含答案)
本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。
很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。
本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。
分数裂项一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：知识点拨教学目标分数裂项计算（1）11a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
小学尖子生训练-分数裂项计算 模块练习(含答案)
本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。
很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。
本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。
分数裂项一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：知识点拨教学目标分数裂项计算常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
六年级分数裂项作业
分数裂项校区 班级 姓名本讲知识点属于计算大板块内容,其实分数裂项很大程度上就是发现规律、利用公式得过程,可以分为观察、改造、运用公式等过程。
很多时候裂项得方式不易找到,需要进行适当得变形,或者先进行一部分运算,使其变得更加简单明了。
本讲就是整个奥数知识体系中得一个精华部分,列项与通项归纳就是密不可分得，所以先找通项就是裂项得前提,就是能力得体现,对学生要求较高。
一、“裂差”型运算将算式中得项进行拆分,使拆分后得项可前后抵消,这种拆项计算称为裂项法、裂项分为分数裂项与整数裂项，常见得裂项方法就是将数字分拆成两个或多个数字单位得与或差。
遇到裂项得计算题时,要仔细得观察每项得分子与分母，找出每项分子分母之间具有得相同得关系,找出共有部分，裂项得题目无需复杂得计算,一般都就是中间部分消去得过程,这样得话，找到相邻两项得相似部分,让它们消去才就是最根本得。
(1）对于分母可以写作两个因数乘积得分数,即形式得,这里我们把较小得数写在前面,即，那么有(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式得分数,即:，形式得，我们有:1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 裂差型裂项得三大关键特征：(１）分子全部相同，最简单形式为都就是1得,复杂形式可为都就是ｘ（ｘ为任意自然数）得,但就是只要将ｘ提取出来即可转化为分子都就是1得运算。
（２）分母上均为几个自然数得乘积形式,并且满足相邻2个分母上得因数“首尾相接”(3)分母上几个因数间得差就是一个定值。
二、“裂与”型运算:知识点拨学习目标常见得裂与型运算主要有以下两种形式:(１）(2)裂与型运算与裂差型运算得对比：裂差型运算得核心环节就是“两两抵消达到简化得目得”,裂与型运算得题目不仅有“两两抵消”型得,同时还有转化为“分数凑整”型得,以达到简化目得。
【例 1】。
【巩固】【巩固】【例 2】【例 3】【巩固】计算:【巩固】计算：【巩固】【巩固】计算:=【巩固】。
分数的裂项 裂差
第1讲 分数的裂项（裂差）【内容综述】在分数裂项中可能用到整数的裂项公式，如：1）1+2+3+⋯+n =()12n n +； 2）1⨯2+2⨯3+⋯+n ⨯(n +1)=()()123n n n ++； 3）1⨯2⨯3+2⨯3⨯4+⋯+n ⨯(n +1)⨯(n +2)=()()()1234n n n n +++； 4）1⨯n +2⨯(n -1)+3⨯(n -2)+⋯+(n -1)⨯2+n ⨯1=()()126n n n ++； 5）()()()()222222+12+224626n n n n ⨯⨯++++= ；（n 为偶数） 6）()()()22222122+1135216n n n n -⨯⨯++++-= ；（n 为奇数） 7）2222123n ++++ =()()1216n n n ++； 8）3333123n ++++ =()2123n ++++ =()2214n n +； 这节课我们学习分数的裂项——裂差，这种方法是分数多项计算常用方法，我们的目的能够达到下面的“咔咔算式”：（中间项可以抵消，剩下首尾有限项的算式命名为“咔咔算式”）11111111111223341n n n n n --+-+-++-=-=-裂差口诀：连加必裂差，裂差变咔咔，采用“撕分母”的方法。
11b a a b a b -=-⨯，()11111n n n n =-++，()1111n n p p n n p ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭。
例1. 计算：111112233499100++++⨯⨯⨯⨯ =________； 【分析】整体共99个分数相加，不可能去通分，又是连加的形式，利用裂差变为咔咔算式。
【解答】原式=1111111112233499100-+-+-++- =111100- =99100【评注】同学们一定记住这个算式的方法和结果，好多题目都可以变成这个结构哦！例2. 计算：123101224474656++++⨯⨯⨯⨯ =_______； 【分析】本题的分子虽然不同，但都恰好是分母中两个因数之差，仍然可以采用裂差法解题。
第五章基础-裂项综合(讲义及答案).
第五章裂项综合（讲义）＞知识点睛1.整数裂项对于较长的复杂算式，单单靠一般的运算顺序和计算方法是很难求出结果的。
如果算式中每一项的排列都是有规律的，那么我们就要利用这个规律进行巧算和简算。
而裂项法就是一种行之有效的巧算和简算方法。
通常的做法是：把算式中的每一项裂变成两项的差，而且是每个裂变的后项（或前项）恰好与上个裂变的前项（或后项）相互抵消，从而达到“以短制长”的U的。
现举例说明：例如：lx2 + 2x3 + 3x4 + ・・・ + 9xl0Ix2 = (lx2x3-Oxlx2)x_32x3 = (2x3x4-lx2x3)x 133x4 = (3x4x5-2x3x4)xl3那么，原式= (lx2x3-0xlx2 + 2x3x4-lx2x3 + »-+ 9x10x11-8x 9 xl0)x 3=(9xl0xll-0xlx2)x3= 330因此可以得知:lx 2 + 2 X 3 + •••+ «x (« +1 上X nx(« +1 )x (« + 2 )32.分数裂项（1）“裂差”型运算对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即丄形式的，这U X b里我们把较小的数写在前面，即那么有丄」Tuxb b-a a h常见的裂和型运算主要有以下两种形式:a +b a h 1 ]___ = ____ + ___ = — + 一uxb uxb axb b a＞精讲精练【板块一】整数裂项初步经典例题1观察下列规律，在括号内填入适当的数，使下述三个式子“左边 相加二右边相加”。
1x2= L X [1X 2X （3）-（0）X 1x2]32x3= _x[2x3x( )-( )x2x3]33x4= _x[3x4x( )一( )x3x4]3算一算：Ix2 + 2x3 + 3x 4 + 4x5 +5x6 + 6x7 + 7x8练一练汁算：lx 2 + 2 X 3 + 3x4 + …+98x99 + 99x100(1) (3)MV经典例题23x 4 + 4x5 +5x6 + 6x7 + 7x8 + 8x 9 + 9x10+10x11 +11x12+12x13(2)3x5 + 5x7+…+ 17x19+19x21(3)lx 3 + 2 X 4 + 3x 5 + 4 X 6 +・・・+ 68 X 70 + 69 X 71 练一练计算：2x5+5x8 + 8x11+- +32x35【板块二】分数裂项综合 经典例题319 29 41 55 71 89 109 20 30 42 56 72 90 llo + ____________1x2 2x3 而 19x20 72元 ■+— 30 (3)59x 60经典例题43 2 4(1) —七2x5 5x7 7x1111x16⑵4冷h 分器莎练一练亠 22x29二9264丄264+ 264 +…+ 264 卜2643)4^ 8^^ 12x16 124x128 128x132【板块三】整数裂项进阶经典例题5(1)观察下列规律，在括号内填入适当的数。
小学奥数教程：分数裂项计算 全国通用(含答案)
本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。
很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。
本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。
分数裂项一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：知识点拨教学目标分数裂项计算（1）11a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
五年级整数裂项练习题
五年级整数裂项练习题一、基础裂项题1. 将28裂项为两个整数的和。
2. 将45裂项为两个整数的和。
3. 将63裂项为两个整数的和。
4. 将80裂项为两个整数的和。
5. 将99裂项为两个整数的和。
二、进阶裂项题1. 将36裂项为三个整数的和。
2. 将48裂项为三个整数的和。
3. 将60裂项为三个整数的和。
4. 将72裂项为三个整数的和。
5. 将84裂项为三个整数的和。
三、混合裂项题1. 将50裂项为两个整数的差。
2. 将65裂项为两个整数的差。
3. 将75裂项为两个整数的差。
4. 将85裂项为两个整数的差。
5. 将90裂项为两个整数的差。
四、应用裂项题1. 小明有23个苹果，他想把这些苹果分给几个朋友，每个朋友分得相同数量的苹果。
请列举出所有可能的分法。
2. 小红有34个糖果，她想把这些糖果分给几个朋友，每个朋友分得相同数量的糖果。
请列举出所有可能的分法。
3. 小华有41本书，他想把这些书分给几个朋友，每个朋友分得相同数量的书。
请列举出所有可能的分法。
4. 小李有56个铅笔，他想把这些铅笔分给几个朋友，每个朋友分得相同数量的铅笔。
请列举出所有可能的分法。
5. 小王有69个橘子，他想把这些橘子分给几个朋友，每个朋友分得相同数量的橘子。
请列举出所有可能的分法。
五、拓展裂项题1. 将100裂项为两个整数的和，使得这两个整数的差为10。
2. 将120裂项为两个整数的和，使得这两个整数的差为15。
3. 将140裂项为两个整数的和，使得这两个整数的差为20。
4. 将160裂项为两个整数的和，使得这两个整数的差为25。
5. 将180裂项为两个整数的和，使得这两个整数的差为30。
六、整数裂项与乘法结合题1. 将12裂项为两个整数的和，然后分别将这两个整数乘以2。
2. 将18裂项为两个整数的和，然后分别将这两个整数乘以3。
3. 将24裂项为两个整数的和，然后分别将这两个整数乘以4。
4. 将30裂项为两个整数的和，然后分别将这两个整数乘以5。
1、分数的裂项(裂差)
华数知识点点击破
陈拓老师讲义
例5. 计算： 1
1 1 1 1 _________； 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 100
n n 1 ，尽量不要约去分母中的 2，分母就是分数裂项的敏感 2 数列：12，23，34，46，„„，可以直接裂项了。 1 1 1 1 1 【解答】原式 2 100 101 1 2 2 3 3 4 4 5 1 2 1 101 200 101 【评注】如果在连加的算式中，如果能使用公式的，尽量使用公式，相同位置上的数才可以约分，否则 可以找不到规律。
【分析】整体共 99 个分数相加，不可能去通分，又是连加的形式，利用裂差变为咔咔算式。 1 1 1 1 1 1 1 1 【解答】原式 1 2 2 3 3 4 99 100
1 1 1 100
99 100
【评注】同学们一定记住这个算式的方法和结果，好多题目都可以变成这个结构哦！
【分析】分母先使用公式：123n
例6. 计算：
12 22 22 32 32 42 20152 20162 =__________； 1 2 23 3 4 2015 2016 【分析】当你找不到解题方法的时候，不妨具体算出每个加数的大小，如果发现是假分数，最好化成带 分数，以便，整数部分和小数部分分别计算。 1 1 1 1 【解答】原式 2 （共 2015 项） 2 2 2 23 3 4 2015 2016 1 2 1 1 1 1 2 2015 2015 2016 1 2 2 3 3 4 1 4030 1 2016 2015 4030 2016
1-2-2-1分数裂项.题库.doc
本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。
很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。
本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。
分数裂项一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即： 1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：知识点拨教学目标分数裂项计算（1）11a b a ba b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯（2）2222a b a b a ba b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
典型的裂项法求和例题
3 比如 2 * 3 = 1 (2 ´ 3 ´ 4 -1´ 2 ´ 3)
3 所以原式= 1 (19 ´ 20 ´ 21) = 2660
3
6、 1* 2 * 3 + 2 * 3 * 4 + 3 * 4 * 5 + ......+ 9 *10 *11
10、 3 + 32 + 33......+ 39
等比数列，因为 3n = 1 (3n+1 - 3n ) 2
所以原式= 1 (32 - 3 + 33 - 32 + ......+ 310 - 39 ) = 1 (310 - 3) = 29523
2
2
其他如：
1
= n+1- n
n+1+ n
(a - 1)a n = a n+1 - a n lg n + 1 = lg(n + 1) - lg n
19 ´ 20
这是最简单的裂项求和，因为 1 = 1 - 1 n * (n + 1) n n + 1
所以原式=1- 1 = 19 20 20
2、 1 + 1 + 1 ...... + 1
1´3 3´样，只是分母相乘的两个数差为 2
因为
1
= 1( 1 - 1 )
(2n -1) * (2n +1) 2 2n -1 2n + 1
=1+1/4(16*15*14*13-1*2*3*4) / 3!