第三章 直线与方程 章末综合检测(人教A版必修2)

第三章直线与方程章末综合检测

(时间90分钟，满分120分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知直线l的方程为y＝－x＋1，则直线l的倾斜角为()

A．30°B．45°C．60°D．135°

【解析】由题意可知，直线l的斜率为－1，故由tan 135°＝－1，可知直线l的倾斜角为135°.

【答案】 D

2．(2014·长沙高一检测)如图，在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax与y＝x＋a正确的是()

【解析】当a>0时，A、B、C、D均不成立；当a<0时，只有C成立，故选C.

【答案】 C

3．直线x－2y＋5＝0与直线2x－y＋15＝0的位置关系是()

A．平行B．重合

C．相交但不垂直D．垂直

【解析】因为两直线的斜率分别为1

2和2，故两直线相交但不垂直．

【答案】 C

4．点(0,5)到直线2x－y＝0的距离是()

A.

5

2 B. 5 C.

3

2 D.

5

4

【解析】点(0,5)到直线2x－y＝0的距离为d＝|0－5|

22＋－2

＝ 5.

【答案】 B

5．直线5x－2y－10＝0在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则有() A．a＝2，b＝5 B．a＝2，b＝－5

C．a＝－2，b＝5 D．a＝－2，b＝－5

【解析】由5x－2y－10＝0得x

2－

y

5＝1，由截距式易知a＝2，b＝－5.

【答案】 B

6．两条直线y＝ax－2与y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则a等于() A．－1 B．0 C．1 D．2

【解析】 由题意及直线相互垂直的条件可知a (a ＋2)＝－1，解得a ＝－1.

【答案】 A

7．两平行直线5x ＋12y ＋3＝0与10x ＋24y ＋5＝0之间的距离是( )

A.213

B.113

C.126

D.526

【解析】直线10x ＋24y ＋5＝0可化为5x ＋12y ＋52＝0，故两平行直线间的距离d ＝

|3－52|52＋122＝126. 【答案】 C

8．(2014·武汉高一检测)三条直线：y ＋2x －4＝0，x －y ＋1＝0与ax －y ＋2＝0共有两个交点，则a 等于( )

A ．1

B ．2

C ．1或－2

D ．－1或2

【解析】 三条直线共有两个交点，一定有两条直线互相平行，并与第三条直线相交，而2x ＋y －4＝0与x －y ＋1＝0相交，故直线ax －y ＋2＝0与2x ＋y －4＝0平行或与x －y ＋1＝0平行，所以a ＝1或a ＝－2.

【答案】 C

9．过点P (1,3)，且与x ，y 轴的正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是( )

A ．3x ＋y －6＝0

B ．x ＋3y －10＝0

C ．3x －y ＝0

D ．x －3y ＋8＝0

【解析】 设所求直线的方程为x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)，则有12ab ＝6，且1a ＋3b ＝1.

由⎩⎪⎨⎪⎧ ab ＝12，1a ＋3b

＝1，解得⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝6.故所求直线的方程为x 2＋y 6＝1，即为3x ＋y －6＝0. 【答案】 A

10．直线l 过点A (2,11)，且与点B (－1,2)的距离最远，则直线l 的方程为( )

A ．3x －y －5＝0

B ．3x －y ＋5＝0

C ．x ＋3y ＋13＝0

D ．x ＋3y －35＝0

【解析】 当l ⊥AB 时符合要求，∵k AB ＝11－22－－

＝3，∴l 的斜率为－13， 所以直线l 的方程为y －11＝－13(x －2)，即x ＋3y －35＝0.故选D.

【答案】 D

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上)

11．已知点A (3,2)，B (－2，a )，C (8,12)在同一条直线上，则a ＝________.

【解析】 根据题意可知k AC ＝k AB ，即12－28－3＝a －2－2－3

，解得a ＝－8. 【答案】 －8

12．过点(1,3)且在x 轴的截距为2的直线方程是________．

【解析】 由题意设所求直线的方程为x 2＋y b ＝1，

又点(1,3)满足该方程，故12＋3b ＝1，∴b ＝6.

即所求直线的方程为x 2＋y 6＝1，化为一般式得3x ＋y －6＝0.

【答案】 3x ＋y －6＝0

13．P (－1,3)在直线l 上的射影为Q (1，－1)，则直线l 的方程是________．

【解析】 ∵k PQ ＝－1－31＋1

＝－2，PQ ⊥l ，∴k l ＝12， 由点斜式得直线l 的方程为y ＋1＝12(x －1)，即x －2y －3＝0.

【答案】 x －2y －3＝0

14．已知点M (a ，b )在直线3x ＋4y ＝15上，则a 2＋b 2的最小值为________．

【解析】

a 2＋

b 2的最小值为原点到直线3x ＋4y ＝15的距离：d ＝|0＋0－15|32＋42＝3. 【答案】 3

三、解答题(本大题共4小题,共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

15．(本小题满分12分)已知A (1，－1)，B (2,2)，C (3,0)三点，求点D ，使直线CD ⊥AB ，且CB ∥AD .

【解】 设D (x ，y )，则kCD ＝y x －3，k AB ＝3，k CB ＝－2，k AD ＝y ＋1x －1

. ∵k CD ·k AB ＝－1，k AD ＝k CB ，∴y x －3×3＝－1，y ＋1x －1

＝－2.∴x ＝0，y ＝1，即D (0,1)． 16．(本小题满分12分)直线l 经过两直线l 1：2x －y ＋4＝0与l 2：x －y ＋5＝0的交点，且与直线x －2y －6＝0垂直．

(1)求直线l 的方程；

(2)若点P (a,1)到直线l 的距离为5，求实数a 的值．

【解】 (1)由⎩⎨⎧

2x －y ＋4＝0，x －y ＋5＝0

得交点为(1,6)， 又直线l 垂直于直线x －2y －6＝0，所以直线l 的斜率为k ＝－2.

故直线l 的方程为y －6＝－2(x －1)，即2x ＋y －8＝0.

(2)由于P (a,1)到直线l 的距离等于5，则|2a ＋1－8|5＝5，解得a ＝1或a ＝6.