余弦定理

高中正弦定理和余弦定理公式

当谈到三角函数的定理时，正弦定理和余弦定理是高中数学中的重要定理。

以下是它们的公式：
1. 正弦定理（Sine Rule）：
对于任何三角形ABC，其三个角度分别为A、B、C，对应的边长为a、b、c，正弦定理给出了边长和角度之间的关系：
a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)
2. 余弦定理（Cosine Rule）：
对于任何三角形ABC，其三个角度分别为A、B、C，对应的边长为a、b、c，余弦定理给出了边长和角度之间的关系：
c² = a² + b² - 2ab·cos(C)
b² = a² + c² - 2ac·cos(B)
a² = b² + c² - 2bc·cos(A)
这些定理在解决三角形中的边长、角度关系问题时非常有用。

通过应用正弦定理和余弦定理，可以计算未知边长或角度，以及解决各种涉及三角形的几何问题。

三角形的余弦定理

三角形的余弦定理三角形的余弦定理是解决三角形问题中一个重要的数学定理，它能够帮助我们计算三角形的边长和角度。

余弦定理是利用三角形中的余弦函数来表示三角形的边长之间的关系。

在本文中，我们将详细介绍余弦定理的原理和应用，并通过实例来加深理解。

1、余弦定理的原理三角形的余弦定理可以用如下公式来表示：c² = a² + b² - 2abcosC其中，a、b、c分别表示三角形任意两边和角C所对应的边。

该定理可以帮助我们计算三角形的边长和角度。

2、余弦定理的应用（1）已知三角形两边和夹角，求第三边。

假设已知三角形两边分别为a和b，夹角为C，我们通过余弦定理可以很容易地求得第三边c的长度，即：c = √(a² + b² - 2abcosC)。

例如，已知三角形两边分别为5cm和7cm，夹角为60°，我们可以通过余弦定理计算出第三边的长度c = √(5² + 7² - 2×5×7×cos60°) ≈8.86cm。

（2）已知三角形三边，求夹角。

假设已知三角形三边分别为a、b和c，我们可以通过余弦定理计算出夹角C的大小，即：cosC = (a² + b² - c²) / (2ab)。

例如，已知三角形三边分别为3cm、4cm和5cm，我们可以通过余弦定理计算出夹角C的大小：cosC = (3² + 4² - 5²) / (2×3×4) = 0.25，那么夹角C ≈ acos0.25 ≈ 75.52°。

3、余弦定理的实例例题一：已知三角形两边分别为6cm和8cm，夹角为45°，求第三边的长度。

解题过程：根据余弦定理，可知第三边c = √(6² + 8² - 2×6×8×cos45°) ≈ √(36 +64 - 2×6×8×0.7071) ≈ √3 ≈ 9.58cm。

一、知识梳理：余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。

余弦定理的推论：cosA=bc a c b 2222-+ , cosB=ac b c a 2222-+,cosC=abc b a 2222-+公式作用：（1）、已知三角形三边，求三角。

（2）、若A 为直角，则cosA=0，从而b 2+c 2=a 2若A 为锐角，则 cosA>0, 从而b 2+c 2>a 2若A 为钝角，则 cosA ﹤0, 从而b 2+c 2﹤a 2二、例题讲解：例1、在ABC ∆中，已知 30,3,32===C b a ，解此三角形。

例２、在ABC ∆中，已知6,10,7===c b a ，求此三角形三个角的余弦值并判定其形状。

例3、在ABC ∆中，已知 30,33,3===B c b ,解此三角形。

变式引申：在△ABC中，已知b=5,c=53,A=300,解三角形。

变式引申：在△ABC中，a:b:c=2:6:(3+1),求A、B、C。

例4：在△ABC中，acosA=bcosB,试确定此三角形的形状。

变式引申：在△ABC中，若（a+b+c）(b+c-a)=3bc,并且sinA=2sinBcosC,判断△ABC的形状。

三、余弦定理作业：1、已知在△ABC中，b=8,c=3,A=600,则a=( )A 2B 4C 7D 92、在△ABC中，若a=3+1,b=3-1,c=10,则△ABC的最大角的度数为（） A 1200 B 900 C 600 D 15003、在△ABC中，a:b:c=1:3:2,则A：B：C=（）A 1：2：3B 2：3：1C 1：3：2D 3：1：24、在不等边△ABC中，a是最大的边，若a2<b2+c2,则∠A的取值范围是（）A（2π，π） B（2,4ππ） C（2,3ππ） D（0，2π）5、在△ABC中，AB=5，BC=6，AC=8，则△ABC的形状是（）A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D非钝角三角形6、在ABC∆中，已知15,22,2===Cba，解此三角形。

余弦函数及余弦定理

余弦函数及余弦定理余弦函数及余弦定理是什么余弦定理，其实就是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理。

运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题。

下面小编给大家整理了关于余弦函数及余弦定理的内容，欢迎阅读，内容仅供参考!余弦函数余弦函数的定义域是整个实数集，值域是[-1,1]。

它是周期函数，其最小正周期为2π。

在自变量为2kπ(k为整数)时，该函数有极大值1;在自变量为(2k+1)π时，该函数有极小值-1。

余弦函数是偶函数，其图像关于y轴对称。

余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。

直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫这个锐角的余弦值。

利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题(1)已知三边，求三个角;(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。

正余弦定理的应用1.解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理2.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：①化边为角;②化角为边.并常用正余弦定理实施边角转化。

3.用正余弦定理解三角形问题可适当应用向量的数量积求三角形内角与应用向量的模求三角形的边长。

4.应用问题可利用图形将题意理解清楚，然后用数学模型解决问题。

5.正余弦定理与三角函数、向量、不等式等知识相结合，综合运用解决实际问题。

正余弦函数的性质余弦定理多种证明方法余弦定理的证明方法还有很多,比如可以用物理方法证明、可以构造相似三角形证明、可以利用图形。

余弦定理含义

余弦定理含义
余弦定理是在三角形中，描述了三个边和内夹角之间的关系。

它的含义可以总结如下：
在一个三角形ABC中，假设a、b、c分别表示边BC、AC和AB的长度，而角A、角B和角C分别表示对应的内夹角。

那么余弦定理的表达式如下：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab·cos(C)。

其中的cos(C)是角C的余弦值。

余弦定理的含义是：对于任意一个三角形，如果我们知道了三个边的长度，那么可以通过余弦定理计算出对应的三个内夹角的余弦值。

反之，如果我们已知三个边的长度以及其中两个夹角的度数，也可以利用余弦定理求解第三个角的度数。

余弦定理在解决三角形相关问题时非常有用，例如计算未知边长或角度、判断三角形的形状（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形）等。

它是解决三角学问题的重要工具之一。

初中余弦定理及其应用知识点

初中余弦定理及其应用知识点余弦定理是初中数学中重要的几何定理之一，它描述了一个三角形的边与角之间的关系。

在本文中，我们将详细介绍初中余弦定理的概念、推导过程以及其在实际应用中的几个重要知识点。

1. 余弦定理的概念及推导余弦定理是利用三角形中的余弦关系，将三角形的边与角进行关联的数学定理。

对于任意一个三角形ABC，设边长分别为a、b、c，夹角为A、B、C，则余弦定理可以表示为：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosC其中，c为三角形的斜边长，a和b为与角C对应的两条边的长度，cosC为角C的余弦值。

推导余弦定理的过程可以使用向量运算、正弦定理等多种方法，这里我们以向量运算为例进行推导。

假设三角形ABC的向量边长分别为a、b、c，向量AB与向量AC的夹角为θ，则向量c可以表示为c = b - a。

根据向量的模与夹角的余弦关系，我们可以得到以下等式：|c|^2 = |a|^2 + |b|^2 - 2|a||b|cosθ由于|c| = c，|a| = a，|b| = b，θ = C，上述等式可以转化为余弦定理的标准形式。

2. 余弦定理的应用2.1 三角形的边长求解余弦定理可以应用于解决在已知三角形的两边长和夹角的情况下，求解第三边长的问题。

根据余弦定理的公式，我们可以将c^2 = a^2 +b^2 - 2ab*cosC转化为解一元二次方程的形式，然后应用求根公式求解。

2.2 三角形的角度求解除了边长求解外，余弦定理还可以用于求解已知三角形的三个边长而未知的角度。

通过对余弦定理进行变换和化简，可以得到求解夹角的公式：cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / (2ab)根据公式，我们可以通过给定的三边长，计算出角C的余弦值，然后再通过查表或使用计算器求解具体的角度。

2.3 三角形形式判断另外一个应用余弦定理的重要知识点是判断三个给定边长是否能够构成一个三角形。

根据余弦定理的公式，如果存在一个角C，使得cosC为正数，则可以得出结论该三边长可以构成一个三角形。

余弦定理

课题余弦定理1.余弦定理在三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝c 2＋a 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ．2．余弦定理的推论根据余弦定理，可以得到以下推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab. 3．余弦定理与勾股定理的关系在△ABC 中，由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，若角C ＝90°，则cos C ＝0，于是c 2＝a 2＋b 2－2a ·b ·0＝a 2＋b 2，这说明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．规律：设c 是△ABC 中最大的边(或C 是△ABC 中最大的角)，则a 2＋b 2<c 2⇔△ABC 是钝角三角形，且角C 为钝角；a 2＋b 2＝c 2⇔△ABC 是直角三角形，且角C 为直角；a 2＋b 2>c 2⇔△ABC 是锐角三角形，且角C 为锐角．在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝3，B ＝60°，则AC 等于________． 13.边长为5、7、8的三角形中，最大角与最小角的和是________．1200在△ABC 中，sin A ：sin B ：sin C ＝3：5：7，则△ABC 是( )cA ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．无法确定题型1 已知两边及其一角解三角形例1 △ABC 中，已知b ＝3，c ＝33，B ＝30°，解此三角形．解析：方法一由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B.得32＝a 2＋(33)2－2a ×33×cos 30°，∴a 2－9a ＋18＝0，得a ＝3或6.当a ＝3时，A ＝30°，∴C ＝120°.当a ＝6时，由正弦定理sin A ＝a sin B b ＝6×123＝1.∴A ＝90°，∴C ＝60°. 变式1：已知△ABC 中，a ＝1，b ＝1，C ＝120°，则边c ＝________. 3题型2 已知三边解三角形例2 已知△ABC 中，a ∶b ∶c ＝2∶6∶(3＋1)，求△ABC 的各内角度数．分析：由比例的性质可以引入一个字母k ，用k 表示a 、b 、c ，再由余弦定理求解各角．解析：∵a ∶b ∶c ＝2∶6∶(3＋1)，∴令a ＝2k ，b ＝6k ，c ＝(3＋1)k.由余弦定理，有cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6k 2＋（3＋1）2k 2－4k 22·6k ·（3＋1）k＝22，∴A ＝45°. cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝4k 2＋（3＋1）2k 2－6k 22×2k （3＋1）k＝12，∴B ＝60°. ∴C ＝180°－A －B ＝180°－45°－60°＝75°.变式2：在△ABC 中，已知a －b ＝4，a ＋c ＝2b ，且最大角为120°，求三边的长．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝4，a ＋c ＝2b 得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＋4.c ＝b －4. ∴a ＞b ＞c ，∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos 120°，即(b ＋4)2＝b 2＋(b －4)2－2b (b －4)×⎝⎛⎭⎫－12，即b 2－10b ＝0. 解得b ＝0(舍去)或b ＝10，此时a ＝14，c ＝6.题型3 判断三角形的形状例3在△ABC 中，若b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bc cos B cos C ，试判断△ABC 的形状．[解析] 解法一：∵b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bc cos B cos C ，∴利用正弦定理可得 sin 2B sin 2C ＋sin 2C sin 2B ＝2sin B ·sin C ·cos B ·cos C ，∵sin B sin C ≠0，∴sin B ·sin C ＝cos B cos C ，∴cos(B ＋C )＝0，∴cos A ＝0，∵0<A <π，∴A ＝π2，∴△ABC 为直角三角形．解法二：已知等式可化为b 2－b 2cos 2C ＋c 2－c 2·cos 2B ＝2bc cos B cos C ，由余弦定理可得b 2＋c 2－b 2·⎝⎛⎭⎫a 2＋b 2－c 22ab 2－c 2(a 2＋c 2－b 22ac )2＝2bc ·a 2＋b 2－c 22ab ·a 2＋c 2－b 22ac ∴b 2＋c 2＝a 2，∴△ABC 为直角三角形．变式3：在△ABC 中，已知c ＝a cos B ，b ＝a sin C ，判断三角形形状．解析：由余弦定理知cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，代入c ＝a cos B 得：c ＝a·a 2＋c 2－b 22ac，∴c 2＋b 2＝a 2， ∴△ABC 是以A 为直角的直角三角形．又∵b ＝a sin C ，∴b ＝a·c a，∴b ＝c ， ∴△ABC 也是等腰三角形．综上所述，△ABC 是等腰直角三角形．题型四：正弦、余弦定理的综合应用例4：(2013·广东东莞第五中学高二期中测试)在四边形ABCD 中，已知AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA ＝60°，∠BCD ＝135°，求BC 的长．[解析] 在△ABD 中，设BD ＝x ，由余弦定理：BA 2＝BD 2＋AD 2－2BD ·AD ·cos ∠BDA即142＝x 2＋102－2·10x ·cos60°，整理得：x 2－10x －96＝0，解得x 1＝16，x 2＝－6(舍去)，由正弦定理，得BC sin ∠CDB ＝BD sin ∠BCD， ∴BC ＝16sin135°·sin30°＝8 2.变式4：如图，在△ABC 中，已知BC ＝15，AB AC ＝78，sin B ＝437，求BC 边上的高AD 的长． [解析] 在△ABC 中，由已知设AB ＝7x ，AC ＝8x ，由正弦定理，得7x sin C ＝8x sin B， ∴sin C ＝7x sin B 8x ＝78×437＝32，∴C ＝60°(C ＝120°舍去，否则由8x >7x ，知B 也为钝角，不符合要求)．由余弦定理，得(7x )2＝(8x )2＋152－16x ×15cos60°，∴x 2－8x ＋15＝0，＝43AB 123，或20 3.。

三角函数余弦定理公式

三角函数余弦定理公式三角函数余弦定理公式大全余弦定理对于边长为a、b、c而相应角为A、B、C的三角形，有：a^2 = b^2 + c^2 - 2bc·cosAb^2 = a^2 + c^2 - 2ac·cosBc^2 = a^2 + b^2 - 2ab·cosC也可表示为：cosC=(a^2 +b^2 -c^2)/ 2abcosB=(a^2 +c^2 -b^2)/ 2accosA=(c^2 +b^2 -a^2)/ 2bc这个定理也可以通过把三角形分为两个直角三角形来证明。

如果这个角不是两条边的夹角，那么三角形可能不是唯一的(边-边-角)。

要小心余弦定理的这种歧义情况。

延伸定理：第一余弦定理(任意三角形射影定理)设△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有a=b·cos C+c·cos B，b=c·cos A+a·cos C，c=a·cos B+b·cos A三角函数正弦定理公式正弦定理对于边长为a, b和c而相应角为A, B和C的三角形，有：sinA / a = sinB / b = sinC/c也可表示为：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R变形：a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC其中R是三角形的外接圆半径。

它可以通过把三角形分为两个直角三角形并使用上述正弦的定义来证明。

在这个定理中出现的公共数(sinA)/a是通过A, B和C三点的圆的直径的倒数。

正弦定理用于在一个三角形中(1)已知两个角和一个边求未知边和角(2)已知两边及其一边的对角求其他角和边的问题。

余弦定理变形公式

余弦定理变形公式余弦定理是三角形中的重要定理之一，可用于求解三角形的边长和角度。

在求解问题时，我们经常需要将余弦定理进行变形，以便更方便地利用该定理解决问题。

余弦定理的一般形式为：c² = a² + b² - 2ab*cos(C)其中，a、b、c为三角形的边长，C为夹在边a和边b之间的角。

将其作为变形的基础，我们可以推导出一些常用的余弦定理的变形公式。

1.求解角度公式由余弦定理可知：cos(C) = (a² + b² - c²) / (2ab)通过对该公式进行反余弦函数的运算，可以求得角度C的值：C = arccos((a² + b² - c²) / (2ab))类似地，还可以得到求解其他角度的公式：A = arccos((b² + c² - a²) / (2bc))B = arccos((a² + c² - b²) / (2ac))这些公式使我们能够通过三角形的边长来求解其对应的角度，从而进一步分析和计算问题。

2.求解边长公式余弦定理也可用于求解三角形的边长。

如果我们已知三角形的两条边和夹角，我们可以利用余弦定理将求解边长的问题转化为求解方程的问题。

例如，假设我们已知边a、边b和夹角C，我们可以将余弦定理的公式重组为：c² = a² + b² - 2ab*cos(C)从而求解边c的值。

同样地，也可以通过变换公式求解其他边的长度：b² = a² + c² - 2ac*cos(B)a² = b² + c² - 2bc*cos(A)这些公式为我们在已知夹角和至少两条边长的情况下，求解另一边长提供了便利。

3.应用于求解直角三角形余弦定理的典型应用是在直角三角形中。

由于直角三角形的一个角度为90度，其对应边的长度可以直接得到，从而使得利用余弦定理简化为通过两个未知量的方程求解一个未知量的问题。

解三角形余弦定理

解三角形余弦定理1、余弦定理：在中，有，，C ∆AB 2222cos a b c bc =+-A 2222cos b a c ac =+-B ．2222cos c a b ab C =+-余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.2、余弦定理的推论：，，．222cos 2b c a bc +-A =222cos 2a c b ac +-B =222cos 2a b c C ab+-=3、设、、是的角、、的对边，则：①若，则a b c C ∆AB A B C 222a b c +=；90C = ②若，则；③若，则．222a b c +>90C < 222a b c +<90C > 余弦定理的应用范围：②知三边求三角；②已知两边及它们的夹角，求第三边.用余弦定理，得到：=+⇔⇔∆>+⇔⇔∆<+⇔⇔222222222是直角是直角三角形是钝角是钝角三角形是锐角a b c A AB Ca b c A A B C ab c A∆是锐角三角形A B C 例题：1、在ABC 中，已知，，求b 及A .∆=a c 060=B 2、在ΔABC 中，已知a ＝7，b ＝10，c ＝6，求A 、B 和C .3、在ΔABC 中，已知a ＝2，b ＝3，C ＝60°，解这个三角形.4、在ABC 中，若，求角A .∆222a b c bc =++1、在△ABC 中，，，，那么等于（）3a =b =2c =B ∠A 、30°B 、45°C 、60°D 、120°2、已知△ABC 的三边长，则△ABC 的面积为（）6,5,3===c b a A 、B 、C 、D 、14142151523、在△ABC 中，，则△ABC 是（）31,4a b c =-== A 、锐角三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、任意三角形4．在△ABC 中，，则A 等于（）222a b c bc =++ A ．60° B ．45° C ．120° D ．30°5．在△ABC 中，b cos A ＝a cos B ，则三角形的形状为（）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形6．在△ABC 中，sin A :sin B :sin C =3:2:4，则cos C 的值为（） A ． B ．－ C ．　D ．－232314147．在△ABC 中，已知a ＝7，b ＝8，cos C ＝，则最大角的余弦值是1413________．8．在△ABC 中，若AB ＝，AC ＝5，且cos C ＝，则BC ＝________．51099、在△ABC 中，，求及。

余弦定理及推导

1.1.2 余弦定理
余弦定理定义及公式
余弦定理，是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理。

是勾股定理在一般三角形情形下的推广。

a²=b²+c²-2bccosA
余弦定理证明
如上图所示，△ABC，在c上做高，根据射影定理，可得到：
将等式同乘以c得到：
运用同样的方式可以得到：
将两式相加：
向量证明
正弦定理和余弦定理
正弦定理
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
（1）已知三角形的两角与一边，解三角形
（2）已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形
（3）运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系
直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦。

余弦定理
是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。

直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫这个锐角的余弦值。

正弦余弦定理公式

正弦余弦定理公式
正弦定理：设三角形的三边为a b c，他们的对角分别为a b c，外接圆半径为r，则称关系式a/sina=b/sinb=c/sinc为正弦定理。

余弦定理：设三角形的三边为a b c，他们的对角分别为a b c，则称关系式，a^2=b^2+c^2-2bc*cosa。

正弦定理：设三角形的三边为a b c，他们的对角分别为a b c，外接圆半径为r，则称关系式a/sina=b/sinb=c/sinc为正弦定理。

余弦定理：设立三角形的三边为a b c，他们的对角分别为a b c，则表示关系式
a^2=b^2+c^2-2bc*cosa
b^2=c^2+a^2-2ac*cosb
c^2=a^2+b^2-2ab*cosc。

证明：
任意三角形abc，作abc的外接圆o。

并作直径bd交⊙o于d，相连接da.
因为直径所对的圆周角是直角，所以∠dab=90度，
因为同弧所对的圆周角成正比，所以∠d等同于∠c。

所以c/sinc=c/sind=bd=2r。

相似可以证其余两个等式。

三角形的余弦定理

三角形的余弦定理三角形是几何学中最基础的图形之一，它由三条边和三个顶点组成。

在三角形中，有一条著名的几何定理被称为余弦定理。

本文将详细介绍三角形的余弦定理及其相关性质。

一、余弦定理的表述余弦定理是指在一个三角形ABC中，对应角A的两边分别为a和b，而c为BC的边长时，成立以下关系：c² = a² + b² - 2ab·cosA其中，c表示三角形的斜边（即BC）、a和b为两条边，A为两条边之间的夹角。

该定理可以用来计算三角形中各边和角度的关系。

二、利用余弦定理求边长余弦定理可以帮助我们计算三角形中缺失的边长。

当我们已知三角形的两个边和夹角时，可以通过该定理求解第三条边的长度。

具体步骤如下：1. 已知三角形ABC，已知边长a和b，夹角A。

2. 使用余弦定理，将已知的边长和夹角带入公式：c² = a² + b² -2ab·cosA。

3. 将公式进行变形，可得：c = √(a² + b² - 2ab·cosA)。

4. 计算出c的值，即得到三角形的第三边的长度。

通过这种方法，我们可以方便地计算出三角形的边长，进一步了解三角形的形状和结构。

三、利用余弦定理求角度除了求解边长之外，余弦定理还可以帮助我们计算三角形中的夹角。

当我们已知三角形的三个边长时，可以通过该定理求解夹角的度数。

具体步骤如下：1. 已知三角形ABC，已知边长a、b和c。

2. 使用余弦定理，将已知的边长带入公式：c² = a² + b² - 2ab·cosA。

3. 将公式进行变形，可得：cosA = (a² + b² - c²) / (2ab)。

4. 使用反余弦函数，计算出cosA的值。

得到的结果即为角A的弧度值。

5. 将弧度值转换为角度值，即可得到夹角A的度数。

通过这种方法，我们可以求解任意一个三角形中的夹角度数，进一步研究和分析三角形的性质。

余弦定理

余弦定理编辑
余弦定理，是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理。

是勾股定理在一般三角形情形下的推广模式。

余玄定理
表达式
cos A=(b²+c²-a²)/2bc[1]
欧几里得
余弦定理是解三角形中的一个重要定理，可应用于以下两种需求：
当已知三角形的两边及其夹角，可由余弦定理得出已知角的对边。

当已知三角形的三边，能够由余弦定理得到三角形的三个内角。

求边
余弦定理公式可变换为以下形式所以，如果知道了三角形的两边及其夹角，可由余弦定理得出已知角的对边。

求角
余弦定理公式可变换为以下形式所以，如果已知三角形的三条边，能够由余弦定理得到三角形的三个内角。

证明编辑
三角函数证明
如上图所示，△ABC，在c上做高，根据射影定理，可得到：
将等式同乘以c得到：
使用同样的方式能够得到：
将两式相加：
向量证明
中，
，
，
：。

直角三角形的余弦定理

直角三角形的余弦定理直角三角形是指其中一个角度为90度的三角形。

在直角三角形中，有一条特殊的定理被称为余弦定理，它可以帮助我们计算三角形的边长和角度等问题。

本文将介绍直角三角形的余弦定理及其应用。

1. 余弦定理的表述余弦定理是一种关于三角形边长和角度之间的关系定理。

对于一个直角三角形，设直角边分别为a和b，斜边为c，定义夹角C为直角对边a和b之间的夹角，则余弦定理可以表述为：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosC2. 余弦定理的证明余弦定理的证明可以通过向量法或三角函数的定义来完成。

这里我们采用三角函数的定义来证明。

设直角三角形的三个内角分别为A、B和C，对应的边长分别为a、b和c。

根据正弦定理和余弦定理的定义，我们可以得到：sinA = a/c, sinB = b/c, cosA = b/c, cosB = a/c由于A和B是直角三角形的两个内角，它们的和为90度，即A +B = 90度。

因此，我们可以得到：sinA = cosB, cosA = sinB将上述等式代入余弦定理的定义中，得到：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosC因此，余弦定理得证。

3. 余弦定理的应用余弦定理可以广泛应用于解决各种与直角三角形相关的问题。

以下是一些常见的应用场景：3.1 计算第三边的长度已知直角三角形的两条边的长度，可以利用余弦定理计算第三边的长度。

根据余弦定理的公式，将已知的边长代入即可求解。

3.2 计算角度已知直角三角形的两条边的长度，可以利用余弦定理计算两个角的大小。

根据余弦定理的公式，将已知的边长代入，通过使用反余弦函数即可计算得到角度的大小。

3.3 判断是否为直角三角形当已知三条边的长度时，可以利用余弦定理计算三个角的大小。

若其中一角接近90度（可容许一定误差），则可以判断该三角形为直角三角形。

4. 总结余弦定理是解决直角三角形相关问题的重要工具之一。

它通过建立直角三角形的边长和角度之间的关系，帮助我们求解三角形中未知量的值。

(经典)最全余弦定理的10种证明方法

(经典)最全余弦定理的10种证明方法——王彦文青铜峡一中一、余弦定理余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍,即在ABC ∆中,已知AB c =,BC a =,CA b =,则有2222cos a b c bc A =+-, 2222cos b c a ca B =+-, 2222cos c a b ab C =+-.二、定理证明为了叙述的方便与统一,我们证明以下问题即可:在ABC ∆中,已知AB c =,AC b =,及角A ,求证:2222cos a b c bc A =+-. 证法一:如图1,在ABC ∆中,由CB AB AC =-可得:()()CB CB AB AC AB AC ⋅=-⋅-222AB AC AB AC =+-⋅222cos b c bc A =+-即,2222cos a b c bc A =+-.证法二:本方法要注意对A ∠进行讨论.(1)当A ∠是直角时,由22222222cos 2cos90b c bc A b c bc b c a +-=+-︒=+=知结论成立. (2)当A ∠是锐角时,如图2-1,过点C 作CD AB ⊥,交AB 于点D ,则在Rt ACD ∆中,cos AD b A =,sin CD b A =.从而,cos BD AB AD c b A =-=-.在Rt BCD ∆中,由勾股定理可得: 222BC BD CD =+22(cos )(sin )c b A b A =-+222cos c cb A b =-+图1图2-1A即,2222cos a b c bc A =+-.说明:图2-1中只对B ∠是锐角时符合,而B ∠还可以是直角或钝角.若B ∠是直角,图中的点D 就与点B 重合；若B ∠是钝角,图中的点D 就在AB 的延长线上.(3)当A ∠是钝角时,如图2-2,过点C 作CD AB ⊥,交BA 延长线于点D ,则在Rt ACD ∆中,cos()cos AD b A b A π=-=-,sin()sin CD b A b A π=-=.从而,cos BD AB AD c b A =+=-.在Rt BCD ∆中,由勾股定理可得:222BC BD CD =+22(cos )(sin )c b A b A =-+222cos c cb A b =-+即,2222cos a b c bc A =+-.综上(1),(2),(3)可知,均有2222cos a b c bc A =+-成立. 证法三:过点A 作AD BC ⊥,交BC 于点D ,则在Rt ABD ∆中,sin BD c α=,cos ADc α=.在Rt ACD ∆中,sin CD b β=,cos ADbβ=.由cos cos()cos cos sin sin A αβαβαβ=+=-可得:2cos AD AD BD CD AD BD CDA c b c b bc-⋅=⋅-⋅= 2222AD BD CD bc -⋅=222222c BD b CD BD CD bc -+--⋅=222()2b c BD CD bc +-+=2222b c a bc+-=整理可得2222cos a b c bc A =+-. 证法四:在ABC ∆中,由正弦定理可得sin sin sin sin()a b c cA B C A B ===+. 从而有sin sin b A a B =,………………………………………………………………①sin sin()sin cos cos sin c A a A B a A B a A B =+=+. …………………………②图2-2图3将①带入②,整理可得cos cos a B c b A =-.…………………………………………③ 将①,③平方相加可得22222(cos )(sin )2cos a c b A b A b c bc A =-+=+-. 即,2222cos a b c bc A =+-.证法五:建立平面直角坐标系(如图4),则由题意可得点(0,0)A ,(,0)B c ,(cos ,sin )C b A b A ,再由两点间距离公式可得2a =22(cos )(sin )c b A b A -+222cos c cb A b =-+.即,2222cos a b c bc A =+-.证法六:在ABC ∆中,由正弦定理可得2sin a R A =,2sin b R B =,2sin c R C =. 于是,222224sin 4sin ()a R A R B C ==+222224(sin cos cos sin 2sin sin cos cos )R B C B C B C B C =++ 222224(sin sin 2sin sin 2sin sin cos cos )R B C B C B C B C =+-+ 2224(sin sin 2sin sin cos())R B C B C B C =+++ 2224(sin sin 2sin sin cos )R B C B C A =+-22(2sin )(2sin )2(2sin )(2sin )cos R B R C R B R B A =+-222cos b c bc A =+-即,结论成立.证法七:在ABC ∆中,由正弦定理可得2sin a R A =,2sin b R B =,2sin c R C =. 于是,2222cos a b c bc A =+-22222224sin 4sin 4sin 8sin sin cos R A R B R C R B C A ⇔=+-2222sin 2sin 2sin 4sin sin cos A B C B C A ⇔=+- 22sin 2cos 2cos 24sin sin cos A B C B C A ⇔=-+-222cos 22cos()cos()4sin sin cos A B C B C B C A ⇔-=-+--由于cos()cos()cos B C A A π+=-=-,因此2cos cos()cos()2sin sin cos A B C B C B C A ⇔=+-+cos cos()2sin sin A B C B C ⇔=--+cos cos cos sin sin cos()A B C B C B C ⇔=-+=-+. 这,显然成立.即,结论成立.证法八:如图5,以点C 为圆心,以CA b =为半径作C ,直线BC 与C 交于点,D E ,延长AB 交C 于F ,延长AC 交C 于G .则由作图过程知2cos AF b A =, 故2cos BF b A c =-.由相交弦定理可得:BA BF BD BE ⋅=⋅, 即,(2cos )()()c b A c b a b a ⋅-=+⋅-, 整理可得:2222cos a b c bc A =+-.证法九:如图6,过C 作CD ∥AB ,交ABC ∆的外接圆于D ,则AD BC a ==,BD AC b ==.分别过,C D 作AB 的垂线,垂足分别为,E F ,则cos AE BF b A ==,故2cos CD c b A =-.由托勒密定理可得AD BC AB CD AC BD ⋅=⋅+⋅, 即,(2cos )a a c c b A b b ⋅=⋅-+⋅.整理可得:2222cos a b c bc A =+-.证法十:由图7-1和图7-2可得2a =22(cos )(sin )c b A b A -+, 整理可得:2222cos a b c bc A =+-.c-bcosA图7-2图7-1余弦定理的证明方法还有很多,比如可以用物理方法证明、可以构造相似三角形证明、可以利用图形面积证明等.感兴趣的读者可以到图书馆或互联网中进行查询.图5GA图6。

余弦定理

课题余弦定理1.余弦定理在三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝c 2＋a 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ．2．余弦定理的推论根据余弦定理，可以得到以下推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab. 3．余弦定理与勾股定理的关系在△ABC 中，由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，若角C ＝90°，则cos C ＝0，于是c 2＝a 2＋b 2－2a ·b ·0＝a 2＋b 2，这说明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．规律：设c 是△ABC 中最大的边(或C 是△ABC 中最大的角)，则a 2＋b 2<c 2⇔△ABC 是钝角三角形，且角C 为钝角；a 2＋b 2＝c 2⇔△ABC 是直角三角形，且角C 为直角；a 2＋b 2>c 2⇔△ABC 是锐角三角形，且角C 为锐角．在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝3，B ＝60°，则AC 等于________． 13.边长为5、7、8的三角形中，最大角与最小角的和是________．1200在△ABC 中，sin A ：sin B ：sin C ＝3：5：7，则△ABC 是( )cA ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．无法确定题型1 已知两边及其一角解三角形例1 △ABC 中，已知b ＝3，c ＝33，B ＝30°，解此三角形．解析：方法一由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B.得32＝a 2＋(33)2－2a ×33×cos 30°，∴a 2－9a ＋18＝0，得a ＝3或6.当a ＝3时，A ＝30°，∴C ＝120°.当a ＝6时，由正弦定理sin A ＝a sin B b ＝6×123＝1.∴A ＝90°，∴C ＝60°. 变式1：已知△ABC 中，a ＝1，b ＝1，C ＝120°，则边c ＝________. 3题型2 已知三边解三角形例2 已知△ABC 中，a ∶b ∶c ＝2∶6∶(3＋1)，求△ABC 的各内角度数．分析：由比例的性质可以引入一个字母k ，用k 表示a 、b 、c ，再由余弦定理求解各角．解析：∵a ∶b ∶c ＝2∶6∶(3＋1)，∴令a ＝2k ，b ＝6k ，c ＝(3＋1)k.由余弦定理，有cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6k 2＋（3＋1）2k 2－4k 22·6k ·（3＋1）k＝22，∴A ＝45°. cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝4k 2＋（3＋1）2k 2－6k 22×2k （3＋1）k＝12，∴B ＝60°. ∴C ＝180°－A －B ＝180°－45°－60°＝75°.变式2：在△ABC 中，已知a －b ＝4，a ＋c ＝2b ，且最大角为120°，求三边的长．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝4，a ＋c ＝2b 得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＋4.c ＝b －4. ∴a ＞b ＞c ，∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos 120°，即(b ＋4)2＝b 2＋(b －4)2－2b (b －4)×⎝⎛⎭⎫－12，即b 2－10b ＝0. 解得b ＝0(舍去)或b ＝10，此时a ＝14，c ＝6.题型3 判断三角形的形状例3在△ABC 中，若b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bc cos B cos C ，试判断△ABC 的形状．[解析] 解法一：∵b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bc cos B cos C ，∴利用正弦定理可得 sin 2B sin 2C ＋sin 2C sin 2B ＝2sin B ·sin C ·cos B ·cos C ，∵sin B sin C ≠0，∴sin B ·sin C ＝cos B cos C ，∴cos(B ＋C )＝0，∴cos A ＝0，∵0<A <π，∴A ＝π2，∴△ABC 为直角三角形．解法二：已知等式可化为b 2－b 2cos 2C ＋c 2－c 2·cos 2B ＝2bc cos B cos C ，由余弦定理可得b 2＋c 2－b 2·⎝⎛⎭⎫a 2＋b 2－c 22ab 2－c 2(a 2＋c 2－b 22ac )2＝2bc ·a 2＋b 2－c 22ab ·a 2＋c 2－b 22ac ∴b 2＋c 2＝a 2，∴△ABC 为直角三角形．变式3：在△ABC 中，已知c ＝a cos B ，b ＝a sin C ，判断三角形形状．解析：由余弦定理知cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，代入c ＝a cos B 得：c ＝a·a 2＋c 2－b 22ac，∴c 2＋b 2＝a 2， ∴△ABC 是以A 为直角的直角三角形．又∵b ＝a sin C ，∴b ＝a·c a，∴b ＝c ， ∴△ABC 也是等腰三角形．综上所述，△ABC 是等腰直角三角形．题型四：正弦、余弦定理的综合应用例4：(2013·广东东莞第五中学高二期中测试)在四边形ABCD 中，已知AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA ＝60°，∠BCD ＝135°，求BC 的长．[解析] 在△ABD 中，设BD ＝x ，由余弦定理：BA 2＝BD 2＋AD 2－2BD ·AD ·cos ∠BDA即142＝x 2＋102－2·10x ·cos60°，整理得：x 2－10x －96＝0，解得x 1＝16，x 2＝－6(舍去)，由正弦定理，得BC sin ∠CDB ＝BD sin ∠BCD， ∴BC ＝16sin135°·sin30°＝8 2.变式4：如图，在△ABC 中，已知BC ＝15，AB AC ＝78，sin B ＝437，求BC 边上的高AD 的长． [解析] 在△ABC 中，由已知设AB ＝7x ，AC ＝8x ，由正弦定理，得7x sin C ＝8x sin B， ∴sin C ＝7x sin B 8x ＝78×437＝32，∴C ＝60°(C ＝120°舍去，否则由8x >7x ，知B 也为钝角，不符合要求)．由余弦定理，得(7x )2＝(8x )2＋152－16x ×15cos60°，∴x 2－8x ＋15＝0，∴x＝3，或x＝5，∴AB＝21，或AB＝35.在△ABD中，AD＝AB sin B＝437AB，∴AD＝123，或AD＝20 3.例5：设2a＋1，a,2a－1为钝角三角形的三边，求实数a的取值范围．[正解]∵2a＋1，a,2a－1为三角形的三边，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a＋1>0，a>0，2a－1>0，解得a>12，此时2a＋1最大．∵2a＋1，a,2a－1表示三角形的三边，还需a＋(2a－1)>2a＋1，解得a>2.设最长边所对角为θ，则cosθ＝a2＋(2a－1)2－(2a＋1)22a(2a－1)＝a(a－8)2a(2a－1)<0，解得12<a<8.∴a的取值范围是2<a<8.【课后巩固】1．在ABC∆中，已知Bac cos2=，试判断ABC∆的形状．2．在ABC∆中，已知cba+=2，CBA sinsinsin2=，试判断ABC∆的形状．3．如图，我炮兵阵地位于A处，两观察所分别设于C，D，已知ACD∆为边长等于a的正三角形．当目标出现于B时，测得︒=∠45CDB，︒=∠75BCD，试求炮击目标的距离AB．ACBD。