历年平面向量高考试题汇集

19．【10 安徽文数】设向量 a (1,0) , b ( 1 , 1 ) , 则下列结论中正确的是 22
(A) a b
2 (B) a ?b
2
(C) a / /b
(D) a b 与 b 垂直
20. 【10 重庆文数】若向量 a (3, m) ， b (2, 1) ， agb 0 ，则实数 m 的值为
向相反，则 a 的坐标为 ________．
【解析】 因为 a＋λb＝(1,2) ＋λ(1,0) ＝ (1 ＋λ，2) ，又因为 (a ＋ λb) ∥c，(1
1 ＋λ) ×4－2×3＝0，解得 λ＝2.
【解析】 因为 a∥b 且 a⊥ c，所以 b⊥ c，所以 c·(a ＋ 2b) ＝c·a＋2b·c＝0.
17．【2011·课标文数江西卷】已知两个单位向量 －2e2，b2＝ 3e1＋ 4e2，则 b1·b2＝________.
π e1，e2 的夹角为 3，若向量 b1＝e1
18．【2011 课标文数全国卷】 已知 a 与 b 为两个不共线的单位向量， k 为实数，若 向量 a＋b 与向量 ka－b 垂直，则 k＝ ________.
|a＋ b－ c|＝ 3－2c·a＋b ≤1，故选 B. 7．【2011 课标文数辽宁卷】已知向量 a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则 k ＝( )
A ．－ 12
B．－ 6
C．6
D．12
1 8．【2011 大纲理数 1 全国卷】设向量 a，b，c 满足 |a|＝|b|＝ 1， a·b＝－ 2，〈 a－ c，
11．【2011·课标理数天津卷】已知直角梯形 ABCD 中， AD ∥ BC，∠ ADC ＝90°， AD ＝2，BC＝1，P 是腰 DC 上的动点，则 |P→A＋3P→B|的最小值为 ________．
2/8
12．【2011·课标理数浙江卷】 若平面向量 α，β满足 | α＝｜1，| β≤｜1，且以向量 α， β为邻边的平行四边形的面积为 12，则 α与 β的夹角 θ的取值范围是 ________．
－12，0
，
E
1 3，
3 6
，故 A→D ＝
0，－
3 2
，B→E＝
5 6，
3 6
，所以 A→D ·B→E ＝－
23×
63＝－
1 4.
【解析】 设 a 与 b 的夹角为 θ，由 (a＋ 2b)(a－ b)＝－ 2 得
|a|2＋a·b－2|b|2＝ 4＋ 2× 2× cosθ－2×4＝－ 2，解得
1
π
cosθ＝2，∴ θ＝3.
【解析】
|e1|＝|e2|＝1 且
1 e1·e2＝ 2，所以
b1·b2＝ (e1－2e2) ·(3e1＋4e2)＝ 3e21－ 2e1·e2－
8e22＝ 3－ 2× 12－ 8＝－ 6.
【解析】 由题意，得 (a＋ b) ·(ka－b)＝k|a|2－a·b＋ka·b－ |b|2＝ k＋ (k－1)a ·b－1
2
| a |2| b |2
1
r2 r2 ab
rr ( a b)2
2
uuur
uuur
25.【 10 全国卷】△ ABC 中，点 D 在边 AB 上， CD 平分∠ ACB ，若 CB = a , CA =
b, a =1 ，
b
= 2,
则
uuru CD =（
A
）
1
a
+
2b
33
4a +3b 55
（B） 2 a + 1 b （ C） 3 a + 4 b （D）
A. 0 解析： 2a b
B. 2 2
C. 4
D. 8
(2a b)2 4a2 4a b b2 8 2 2
22．【10 湖南文数】若非零向量 a，b 满足 |a | | b |,(2 a b) b 0 ，则 a 与 b 的夹角为
C
A. 300
B. 600
C. 1200 D. 1500
uur
uur
23.【 10 全国卷理数】 V ABC 中，点 D 在 AB 上，CD 平方 ACB ．若 CB a ，CA b ，
33
55
BD BC 1
uuur uuur uuur r r
∵ CD 为 角 平 分 线 ， ∴ AD AC 2 ， ∵ AB CB CA a b ， ∴
uuur 2 uuur 2 r 2 r
uuur uuur uuur r 2 r 2 r 2 r 1 r
AD AB a b
CD CA AD b a b a b
3
3 3 ，∴
33 33
r 26. 【10 山东理数】定义平面向量之间的一种运算“ e ”如下，对任意的 a=(m,n) ，
r
rr
b （ p,q) ，令 a e b=mq-np ，下面说法错误的是（
）
rr
rr
A. 若 a 与 b 共线，则 ae b=0
r rr r B. a e b=b e a
5/8
0≤θ≤π，故
π θ＝3.
【解析】 由已知 a＝(1,1)， b＝ (－1,2)，得 a·b＝1×(－1)＋1×2＝1.
【解析】 由题知， D 为 BC 中点， E 为 CE 三等分点，以 BC 所在的直线为 x 轴，
以 AD 所在的直线为
y 轴，建立平面直角坐标系， 可得 A
0，
3 2
，D(0,0)，B
27. 【 10 四 川 理 数 】 设 点 M 是 线 段 BC 的 中 点 ， 点 A 在 直 线 BC 外 ，
uuur 2
uuur uuur uuur uuur
＝ (k－1)(1＋ a·b)＝0，a 与 b 不共线，所以 a·b≠－1，所以 k－ 1＝ 0，解得 k ＝1.
【解析】 a b = ( 1 , 1 ) ， ( a b)gb 0 ，所以 a b 与 b 垂直 . 22
【解析】 D
21.【 10 重庆理数】已知向量 a，b 满足 a ?b 0, a 1, b 2, ，则 2a b
3
3
uuur CD
uuur uuur CA+AD
2 uuur 1 uuur CB CA
2r a
1
r b
，选
B.
3
3
33
uuur r uuur 24. 【 10 辽宁文数】平面上 O, A, B 三点不共线，设 OA a, OB
， r b,则
所以 OAB 的面
积等于 （ A）
r2 r2 ab
rr (a b)2
3/8
【解析】
由题意得：
|α||β|sin
θ＝12，∵
|α|＝1，|β|≤ 1，∴
sin
θ＝21|β|≥
1 2.
又∵ θ∈(0， π，）∴ θ∈
π6，
5π 6.
【解析】 设 a 与 b 的夹角为 θ，依题意有 (a＋ 2b) ·(a－b)＝a2＋a·b－ 2b2＝－ 7＋2cosθ
＝－ 6，所以
cosθ＝12.因为
【解析】 BA→＋C→D＋ E→F＝B→A＋ A→F－B→C＝B→F－ B→C＝C→F，所以选 D.
【解析】 | a＋2b| 2＝(a ＋ 2b) 2＝| a| 2＋4a·b＋4| b| 2＝3，则 | a＋2b| ＝ 3，
故选 B
【解析】 因为 2a＋b＝( 2， 4) ＋( 1，－ 1) ＝( 3，3) ，a－b＝( 0， 3) ，所以
r2 r2 r r （B） a b (a b) 2
（ C） 1
r2 r2 ab
rr (a b)2
2
（D） 1
r2 r2 ab
rr (a b) 2
2
1r r
rr
S OAB
| a || b | sin a,b 2
1r r | a || b |
1
cos2
rr a, b
2
1r r
r (a
r b)
2
| a ||b | 1 r r
高考数学选择题分类汇编
1．【2011 课标文数广东卷】已知向量 a＝(1,2)，b＝(1,0)， c＝ (3,4)．若 λ为实数，
(a＋ λ b∥) c，则 λ＝(
1
1
A. 4
B .2
) C．1
D．2
2．【2011·课标理数广东卷】 若向量 a，b，c 满足 a∥ b 且 a⊥c，则 c·(a＋ 2b)＝ ( )
|c|的最大值是
2，故选
A.
【解析】
因为 a－2b＝ (
3，3)，由 a－2b 与 c 共线，有
k＝ 3
33，可得
k＝1.
【解析】 因为 a 与 b 的方向相反，根据共线向量定义有： a＝λb( λ<，0)所以 a ＝(2 λ，λ．）
由 |a|＝2 5，得 2λ2＋λ2＝2 5? λ＝－ 2 或 λ＝2(舍去 )， 故 a＝(－ 4，－ 2)．
4/8
a
1，b
uuur 2 ，则 CD
（A）1 a
2 b （B）2 a
1 b （C）3 a
4 b （ D）4 a
3b
33
33
55
55
【解析】因为 CD 平分
ACB ，由角平分线定理得
AD CA =
2 ，所以 D为 AB的
DB CB 1
三
等
分
点
，
且
uuur 2 uuur 2 uuur uuur AD AB (CB CA)
b－ c〉＝ 60°，
则 |c|的 最 大 值 等 于 (
) A ．2
B. 3
C. 2
D．1
1/8
9．【2011 课标理数北京卷】已知向量 a＝( 3， 1)，b＝(0，－ 1)，c＝(k， 3)．若 a－ 2b 与 c 共线，则 k＝________. 10 ．【 2011·课标文数湖南卷】设向量 a，b 满足 |a|＝2 5，b＝ (2,1)，且 a 与 b 的方
A. 2
B. 3
C. 5
D. 7
.
5．【2011 课标文数湖北卷】若向量 a＝(1,2)， b＝ (1，－ 1)，则 2a＋b 与 a－ b 的夹
角等于 ( )
π A ．－ 4
π B. 6
π
3π
C.4
D. 4
6．【2011 课标理数辽宁卷】 若 a，b，c 均为单位向量， 且 a·b＝ 0，(a－ c) ·(b－ c)≤0，
| 2a＋b| ＝ 3 2 ， | a－b| ＝ 3. 设 2a ＋ b 与 a － b 的 夹 角 为 θ， 则 cosθ＝
( 2a＋b) ·( a－b) ( | 2a＋ b| | a－b| ＝
3，3) ·( 0，3)
3 2×3
＝
2 2 ，又
θ∈ [
0，π]
，所以
θ＝π4.
【解析】 a·(2a－b)＝ 2a2－ a·b＝ 0，即 10－(k－2)＝ 0，所以 k＝ 12，故选 D.
（A） 3 2
（ B） 3 2
（C）2
（D）6
【解析】 建立如图 1－6 所示的坐标系，设 DC＝ h，则 A(2,0) ，B(1，h)．
设 P(0，y)， (0≤y≤h) 则 P→A＝(2，－ y)， P→B＝ (1，h－y)，
| | ∴ P→A＋3P→B ＝ 25＋ 3h－ 4y 2≥ 25＝5.
C.对任意的
r r rr R ，有（ a) e b= ( a e b)
D.
r (a e
r b)
2
rr +(ab)
2
=|ar |2|br |2
rr
rr
rr
【解析】若 a 与 b 共线，则有 a e b=mq-np=0 ，故 A 正确；因为 b e a pn-qm ，而
rr
rrr r
a e b=mq-np ，所以有 a e b be a ，故选项 B 错误，故选 B。
则|a＋b－ c|的最大值为 ( ) A. 2－ 1
B．1
C. 2
D．2
【解析】 |a＋b－c|＝ a＋ b－ c 2＝ a2＋ b2＋c2＋2a·b－2a·c－ 2b·c，由于 a·b＝0，
所以上式＝ 3－2c·a＋b ，又由于 (a－c) ·(b－c)≤0，得 (a＋ b) ·c≥c2＝ 1，所以
A．4
B．3
C．2
D．0
3．【 2011 大纲理数四川卷】如图 1－1，正六边形 ABCDEF 中，B→A ＋ C→D＋E→F＝ ( )
A．0
B. B→E
C. A→D
D. C→F
4．【2011 大纲文数全国卷】 设向量 a，b 满足 |a|＝ |b|＝1，a·b＝－ 12，则 |a＋ 2b|＝ (
)
13 ．【2011·新课标理数安徽卷】 已知向量 a，b 满足 (a＋2b) ·(a－ b)＝－ 6，且|a|＝1，
|b|＝2，则 a 与 b 的夹角为 ________． 14．【2011·课标文数福建卷】若向量 a＝ (1,1)， b＝ (－1,2)，则 a·b 等于 ________． 15．【2011·课标理数湖南卷】 在边长为 1 的正三角形 ABC 中，设B→C＝2B→D ，C→A ＝ 3C→E，则 A→D ·B→E＝________. 16．【2011 课标理数江西卷】已知 |a|＝|b|＝2，(a＋2b) ·(a－ b)＝－ 2，则 a 与 b 的夹 角为 ________．
【解析】 设向量 a，b，c 的起点为 O，终点分别为 A ，B，C，由已知条件 得，∠ AOB ＝ 120°，∠ACB ＝ 60°，则点 C 在△ AOB 的外接圆上，当 OC 经过圆心
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时， |c|最大，在△ AOB 中，求得 AB ＝ 3，由正弦定理得△ AOB 外接圆的直径是
3 sin120
＝°2，