高一数学必修1-函数模型及其应用

高一数学必修1 函数模型及其应用(1)

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学习要求

1．了解解实际应用题的一般步骤；

2．初步学会根据已知条件建立函数关系式的方法； 3．渗透建模思想，初步具有建模的能力.

自学评价

1．数学模型就是把 实际问题 用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题，得出关于实际问题的数学描述． 2. 数学建模就是把实际问题加以 抽象概括

建立相应的 数学模型 的过程，是数学地解决问题的关键． 3. 实际应用问题建立函数关系式后一般都要考察 定义域 ．

【精典范例】

例1．写出等腰三角形顶角y （单位：度）与底角x 的函数关系． 【解】1802y x =- ()090x <<

点评: 函数的定义域是函数关系的重要组成部分．实际问题中的函数的定义域，不仅要使函数表达式有意义，而且要使实际问题有意义．

例2．某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为200万元,生产每台计算机的可变成本为3000元,每台计算机的售价为5000元.分别写出总成本C (万元)、单位成本P （万元）、销售收入R （万元）以及利润L （万元）关于总产量x （台）的函数关系式.

分析：销售利润()L x =销售收入()R x -成本()C x ,其中成本()C x = (固定成本+可变成本).

【解】总成本与总产量的关系为

2000.3,C x x N *=+∈.

单位成本与总产量的关系为

200

0.3,P x N x

*=

+∈. 销售收入与总产量的关系为

0.5,R x x N *=∈.

利润与总产量的关系为

0.2200,L R C x x N *=-=-∈ ．

例3．大气温度()y C 随着离开地面的高度()x km 增大而降低，到上空11km 为止，大约每上升1km ，气温降低6C ，而在更高的上空气温却几乎没变（设地面温度为22C ）． 求：（1）y 与x 的函数关系式； （2） 3.5x km =以及12x km =处的气温． 【解】（1）由题意，

当011x ≤≤时，226y x =-， ∴当11x =时，2261144y =-⨯=-， 从而当11x >时，44y =-． 综上，所求函数关系为

[]226,0,1144,(11,)

x x y x ⎧-∈⎪

=⎨

-∈+∞⎪⎩； （2）由（1）知， 3.5x km =处的气温为

226 3.51y =-⨯=C ，

12x km =处的气温为44C -．

点评:由于自变量在不同的范围中函数的表达式不同，因此本例第1小题得到的是关于自变量的分段函数；第2小题是已知自变量的值，求函数值的问题．

追踪训练一

1．生产一定数量的商品时的全部支出称为生产成本，可表示为商品数量的函数，现知道一企

业生产某种产品的数量为x 件时的成本函数

是

()2

120010

2

C x x x =++

（元）

，若每售出一件这种商品的收入是200元，那么生产并销售这种商品的数量是200件时，该企业所得的利润可达

到

17800

元.

2．某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监与时间t （小时）之间近似测，服药后每毫升血液中的含药量y （微克）满足如图所示的曲线.（OA 为线段，AB 为某

二次函数图象的一部分，

O 为原点）.

()y f x =；

（1）写出服药后y 与t 之间的函数关系式少于

4

9

微克时，对治疗有（2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不效，求服药一次治疗疾病有效的时间.

解：（1）由已知得2

4011(5),154

t t y t t ≤≤⎧⎪

=⎨-<≤⎪⎩ （2）当01t ≤≤时，449t ≥，得1

19t ≤≤； 当15t <≤时，2

14(5)49

t -≥，

得 1911,33t t ≥≤或， ∴11

13

t <≤ ∴

11193

t ≤≤， ∴11132399

-=， 因此服药一次治疗疾病有效的时间约为3.5

小时.

听课随笔

【选修延伸】

一、函数与图象

高考热点1: （2002年高考上海文，理16）一般地，家庭用电量（千瓦时）与气温（℃）有一定的关系，如图所示，图（1）表示某年12个月中每月的平均气温.图（2）表示某家庭在这年12个月中每个月的用电量.根据这些信息，以下关于该家庭用电量与其气温间关系的叙述中，正确的是（）

A.气温最高时，用电量最多

B.气温最低时，用电量最少

C.当气温大于某一值时，用电量随气温增高而增加

D.当气温小于某一值时，用电量随气温渐低而增加

答案：C

分析：该题考查对图表的识别和理解能力.

【解】经比较可发现，2月份用电量最多，而2月份气温明显不是最高.因此A项错误.同理可判断出B项错误.由5、6、7三个月的气温和用电量可得出C项正确.

思维点拔：

数学应用题的一般求解程序

（1）审题：弄清题目意，分清条件和结论，理顺数量关系；

（2）建模：将题目条件的文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；（3）解模：求解数学模型，得到数学结论；

（4）结论：将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义，并根据题意下结论．

追踪训练二

1.有一块半径为R的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是⊙O 的直径，上底CD的端点在圆周上，写出这个梯形周长y和腰长x间的函数关系式，并求出它的定义域．