系统稳定性分析
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➢ 当系统特征方程具有正实数特征根和 实部为正的复数特征根及实部为零的 虚根时，系统是不稳定的。
第六章 系统稳定性分析
6.1.3系统稳定的充分必要条件
设线性定常系统的微分方程为
an
dn dt n
xo t
an1
d n1 dt n1
xo t
a1
d dt
xo t
a0 xo t
bm
dm dt m
t
xo
t
此时系统是不稳定的。
第六章 系统稳定性分析
若系统特征根具有重根时，只要满足Re[si]<0，有
lim
t
xo
t
0
系统就是稳定的。
系统稳定的充分必要条件是： 系统特征方程的根全部具有负实部。系统的特
征根就是系统闭环传递函数的极点，因此，系统 稳定的充分必要条件还可以表述为：系统闭环传
递函数的极点全部位于[s]平面的左半平面。
e
2 1 nt
指数规律衰减收敛于 原平衡状态图(b)
第六章 系统稳定性分析
4无阻尼状态(ξ=0)
xo
t
L1
n
s2
nຫໍສະໝຸດ Baidu
2 n
n
sin
nt
等幅振荡远离原平衡状态图(c)
第六章 系统稳定性分析
综上所述，结合6.1.1中稳定性的定义，可 以得出二阶系统稳定性与特征根的关系为 ：
➢ 当系统特征方程的根全部为负实数特 征根和实部为负的复数特征根时，系 统是稳定的。
平衡状态，则称系统是不稳定的。
第六章 系统稳定性分析
所以，稳定性反映干扰消失后过渡过程的性 质，是系统自身的一种恢复能力，它是系统的固 有特性。
干扰消失的时刻，系统与平衡状态的偏差可以 看作是系统的初始偏差。因此，系统的稳定性可 以定义如下：
若控制系统在初始偏差的作用下，其过渡过程 随着时间的推移，逐渐衰减并趋于零，则称系统 为稳定。否则，系统称为不稳定。
xi t
bm1
d m1 dt m1
xi t
b1
d dt
xi t b0xi t
（n≥m）
对上式进行拉氏变换，得X o
s
M s Ds
Xi s
N s Ds
M s bmsm bm1sm1 b1s b0 系统传
D s ansn an1sn1 a1s a0 递函数
MDss＝Gs
第六章 系统稳定性分析
第六章 系统稳定性分析
本章学习要点 6.1 系统稳定的概念和条件 6.2 劳斯（Routh）稳定判据 6.3 Nyquist稳定判据 6.4 Bode稳定判据 6.5 系统的相对稳定性
第六章 系统稳定性分析
6.1 系统稳定的概念和条件 6.1.1系统稳定的基本概念
如果一个系统受到扰动，偏离了原来的平衡状 态，当扰动消失后，系统的状态可能为如下形式：
6.2.1系统稳定的必要条件
设系统的特征方程为
D s ansn an1sn1 a1s a0 0
an sn
an1 an
s n 1
a1 an
s
a0 an
an s s1s s2 s sn 0
式中，s1，s2，…，sn为系统的特征根。
第六章 系统稳定性分析
an1 an
＝－s1＋s2＋＋sn
L1
N s Ds
n i1
Ai e sit
Ai是与初始条件有关的系数。
第六章 系统稳定性分析
若系统所有特征根si的实部Re[si]<0，则零输 入响应随着时间的增长将衰减到零，即
lim
t
xo
t
0
此时系统是稳定的。
反之，若特征根中有一个或多个根具有正实部，
则零输入响应随着时间的增长而发散，即
lim
an2
an
＝
＋
s1s2＋s1s3＋＋sn－1sn
an3
an
＝－
s1s2
s3＋s1s2
a0 an
＝－1n
s1s2
sn
s4＋＋sn－2
sn－1sn
要使全部特
征根s1， s2，…，sn 均具有负实
部，就必须
满足以下两
个条件：
（1）都特不征等方于程零的必。各项要系条数a件i（：i=0，1，2，…，n） （2）特征方程的各项系ai数>0ai的符号都相同。
第六章 系统稳定性分析
1 欠阻尼状态(0<ξ<1)
xo t
n 1 2
e nt
sin d t
2 临界阻尼状态(ξ=1)
振荡衰减收敛于 原平衡状态图(a)
xo
t
L1
s
n2 n
2
n2tent
3过阻尼状态(ξ>1)
指数规律衰减收敛于 原平衡状态图(b)
xo t
2
n 2
1
e
2 1 nt
若系统有一对共轭极点位于虚轴上或有一极点位 于原点，其余极点均位于[s]平面的左半平面，则 零输入响应趋于等幅振荡或恒定值，此时系统处 于临界稳定状态。临界稳定系统属于不稳定系统。
第六章 系统稳定性分析
6.2 劳斯（Routh）稳定判据
劳斯稳定判据也称代数判据，它是基于方程 式根与系数的关系建立的。
N(s)是与初始条件有关的s多项式。
第六章 系统稳定性分析
根据稳定性定义，研究系统在初始状态下的
时间响应（即零输入响应），取 X i s＝0 ，得到
X o s
N s Ds
若si为系统特征方程D(s)=0的根（即系统传递函数
的极点。i=1，2，…，n），且si各不相同时，有
xo t
L1 Xo s
B2
B3
B4
s 2 D1 D2 s1 E1 s0 F1
第六章 系统稳定性分析
an an2
A1
an1 an3 an1
an an4
1振荡衰减图(a) 衰减收敛于原平衡状态
2指数规律衰减图(b)
远离原平衡状态 3等幅或发散振荡图(c)
4按指数规律增加图(d)
第六章 系统稳定性分析
(a)
(b)
(c)
(d)
对于图(a)与(b)，当扰动消失后，系统能逐渐恢
复到原平衡状态，称系统是稳定的；
对于图 (c)与(d)，当扰动消失后，系统远离了原
第六章 系统稳定性分析
6.2.2 系统稳定的充要条件
设系统的特征方程为
D s ansn an1sn1 a1s a0 0
将上式中的各项系数，按下面的格式排成劳斯表
s n an an2 an4 an6
s n1 an1 an3 an5 an7
s n2 A1
A2
A3
A4
s n3 B1
第六章 系统稳定性分析
6.1.2 系统稳定性与特征根的关系 在4.3.2中，二阶系统的特征方程为
s2 2ns n2 0
特征方程的根为
s1, s2 n n 2 1
阻尼比ξ不同时，二阶系统特征根的形式不同，见 表4.2，而二阶系统特征根的形式又决定了系统的 响应形式，对于单位脉冲响应（见4.3.3节）：
第六章 系统稳定性分析
6.1.3系统稳定的充分必要条件
设线性定常系统的微分方程为
an
dn dt n
xo t
an1
d n1 dt n1
xo t
a1
d dt
xo t
a0 xo t
bm
dm dt m
t
xo
t
此时系统是不稳定的。
第六章 系统稳定性分析
若系统特征根具有重根时，只要满足Re[si]<0，有
lim
t
xo
t
0
系统就是稳定的。
系统稳定的充分必要条件是： 系统特征方程的根全部具有负实部。系统的特
征根就是系统闭环传递函数的极点，因此，系统 稳定的充分必要条件还可以表述为：系统闭环传
递函数的极点全部位于[s]平面的左半平面。
e
2 1 nt
指数规律衰减收敛于 原平衡状态图(b)
第六章 系统稳定性分析
4无阻尼状态(ξ=0)
xo
t
L1
n
s2
nຫໍສະໝຸດ Baidu
2 n
n
sin
nt
等幅振荡远离原平衡状态图(c)
第六章 系统稳定性分析
综上所述，结合6.1.1中稳定性的定义，可 以得出二阶系统稳定性与特征根的关系为 ：
➢ 当系统特征方程的根全部为负实数特 征根和实部为负的复数特征根时，系 统是稳定的。
平衡状态，则称系统是不稳定的。
第六章 系统稳定性分析
所以，稳定性反映干扰消失后过渡过程的性 质，是系统自身的一种恢复能力，它是系统的固 有特性。
干扰消失的时刻，系统与平衡状态的偏差可以 看作是系统的初始偏差。因此，系统的稳定性可 以定义如下：
若控制系统在初始偏差的作用下，其过渡过程 随着时间的推移，逐渐衰减并趋于零，则称系统 为稳定。否则，系统称为不稳定。
xi t
bm1
d m1 dt m1
xi t
b1
d dt
xi t b0xi t
（n≥m）
对上式进行拉氏变换，得X o
s
M s Ds
Xi s
N s Ds
M s bmsm bm1sm1 b1s b0 系统传
D s ansn an1sn1 a1s a0 递函数
MDss＝Gs
第六章 系统稳定性分析
第六章 系统稳定性分析
本章学习要点 6.1 系统稳定的概念和条件 6.2 劳斯（Routh）稳定判据 6.3 Nyquist稳定判据 6.4 Bode稳定判据 6.5 系统的相对稳定性
第六章 系统稳定性分析
6.1 系统稳定的概念和条件 6.1.1系统稳定的基本概念
如果一个系统受到扰动，偏离了原来的平衡状 态，当扰动消失后，系统的状态可能为如下形式：
6.2.1系统稳定的必要条件
设系统的特征方程为
D s ansn an1sn1 a1s a0 0
an sn
an1 an
s n 1
a1 an
s
a0 an
an s s1s s2 s sn 0
式中，s1，s2，…，sn为系统的特征根。
第六章 系统稳定性分析
an1 an
＝－s1＋s2＋＋sn
L1
N s Ds
n i1
Ai e sit
Ai是与初始条件有关的系数。
第六章 系统稳定性分析
若系统所有特征根si的实部Re[si]<0，则零输 入响应随着时间的增长将衰减到零，即
lim
t
xo
t
0
此时系统是稳定的。
反之，若特征根中有一个或多个根具有正实部，
则零输入响应随着时间的增长而发散，即
lim
an2
an
＝
＋
s1s2＋s1s3＋＋sn－1sn
an3
an
＝－
s1s2
s3＋s1s2
a0 an
＝－1n
s1s2
sn
s4＋＋sn－2
sn－1sn
要使全部特
征根s1， s2，…，sn 均具有负实
部，就必须
满足以下两
个条件：
（1）都特不征等方于程零的必。各项要系条数a件i（：i=0，1，2，…，n） （2）特征方程的各项系ai数>0ai的符号都相同。
第六章 系统稳定性分析
1 欠阻尼状态(0<ξ<1)
xo t
n 1 2
e nt
sin d t
2 临界阻尼状态(ξ=1)
振荡衰减收敛于 原平衡状态图(a)
xo
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L1
s
n2 n
2
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3过阻尼状态(ξ>1)
指数规律衰减收敛于 原平衡状态图(b)
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e
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若系统有一对共轭极点位于虚轴上或有一极点位 于原点，其余极点均位于[s]平面的左半平面，则 零输入响应趋于等幅振荡或恒定值，此时系统处 于临界稳定状态。临界稳定系统属于不稳定系统。
第六章 系统稳定性分析
6.2 劳斯（Routh）稳定判据
劳斯稳定判据也称代数判据，它是基于方程 式根与系数的关系建立的。
N(s)是与初始条件有关的s多项式。
第六章 系统稳定性分析
根据稳定性定义，研究系统在初始状态下的
时间响应（即零输入响应），取 X i s＝0 ，得到
X o s
N s Ds
若si为系统特征方程D(s)=0的根（即系统传递函数
的极点。i=1，2，…，n），且si各不相同时，有
xo t
L1 Xo s
B2
B3
B4
s 2 D1 D2 s1 E1 s0 F1
第六章 系统稳定性分析
an an2
A1
an1 an3 an1
an an4
1振荡衰减图(a) 衰减收敛于原平衡状态
2指数规律衰减图(b)
远离原平衡状态 3等幅或发散振荡图(c)
4按指数规律增加图(d)
第六章 系统稳定性分析
(a)
(b)
(c)
(d)
对于图(a)与(b)，当扰动消失后，系统能逐渐恢
复到原平衡状态，称系统是稳定的；
对于图 (c)与(d)，当扰动消失后，系统远离了原
第六章 系统稳定性分析
6.2.2 系统稳定的充要条件
设系统的特征方程为
D s ansn an1sn1 a1s a0 0
将上式中的各项系数，按下面的格式排成劳斯表
s n an an2 an4 an6
s n1 an1 an3 an5 an7
s n2 A1
A2
A3
A4
s n3 B1
第六章 系统稳定性分析
6.1.2 系统稳定性与特征根的关系 在4.3.2中，二阶系统的特征方程为
s2 2ns n2 0
特征方程的根为
s1, s2 n n 2 1
阻尼比ξ不同时，二阶系统特征根的形式不同，见 表4.2，而二阶系统特征根的形式又决定了系统的 响应形式，对于单位脉冲响应（见4.3.3节）：