定积分的概念(教学内容)
《数学分析》第九章 定积分
n
若极限
||T ||0
lim F (i )ti
i 1
n
存在，
则定义此极限值为力所做的功
从上面例子看出，不管是求曲边梯形的面积或是 计算变力作的功，它们都归结为对问题的某些量 进行“分割、近似求和、取极限”，或者说都归
n 结为形如 f ( i ) xi 的和式极限问题。 i 1
我们把这些问题从具体的问题中抽象出来，作为
虽然曲边梯形的准确面积我们不会计算，但是
我们可以用一些小矩形来近似算出它的面积。
y y
o
a
（四个小矩形）
b
x o
a
（九个小矩形）
b
x
从中可以得到一个什么样的启示？
小曲边梯形的底：
y
y f (x)
f ( i )
[ xi 1 , xi ]
小曲边梯形的高：
f ( i )
小曲边梯形的面积：
O a
第九章
定 积 分
§1定积分概念 §2 牛顿—莱布尼茨公式 §3 可积条件 §4 定积分的性质 §5 微积分学基本定理 §6 定积分的计算 小结与习题
§9.1
定积分概念
一、问题的提出 二、定积分的定义
三、定积分的几何意义
9.1 定积分的概念
教学内容： 1) 定积分概念的引入
2）“分割、近似求和、取极限”数学思想的建立 3)定积分的数学定义 4)定积分的几何意义及简单应用 重 点： 定积分的数学定义 难 点：“分割、近似求和、取极限”变量数学思想的 建立
xi 1 xi b
x
⑶ 求和
（积零为整）
y
大曲边梯形的面积
f ( i )
S f ( i )xi
定积分的概念教案
定积分的概念教案一、教学目标：1.了解定积分的定义和计算方法；2.掌握定积分的性质和应用；3.培养学生的数学计算能力和逻辑思维能力。
二、教学内容：1.定积分的定义；2.定积分的计算方法；3.定积分的性质和应用。
三、教学重点：1.定积分的定义；2.定积分的计算方法。
四、教学难点：1.定积分的性质和应用；2.定积分与原函数的关系。
五、教学过程：Step 1 引入教师与学生展开对话，探讨学生对积分的了解：教师：同学们，你们对积分有什么了解？学生：积分就是求和。
教师：不错，积分的确是求和，但是定积分具体是什么呢？我们一起来探讨一下。
Step 2 定积分的定义教师向学生介绍定积分的定义：教师：定积分是微积分的一个重要概念，表示函数曲线与x轴之间的面积。
我们用符号∫来表示定积分，函数f(x)的定积分表示为∫f(x)dx，在积分号下面写上被积函数，dx表示自变量。
Step 3 定积分的计算方法教师通过示例向学生演示定积分的计算方法：教师：我们以函数f(x)=x^2为例，计算f(x)在区间[1,3]上的定积分。
教师在黑板上写下∫(1→3)x^2dx，并进行具体的计算步骤解释。
Step 4 定积分的性质和应用教师向学生介绍定积分的性质和应用，并通过例题进行讲解：教师：定积分具有线性性质、区间可加性和变量替换的性质，同时也可以用于计算面积、体积、质量等。
我们来看一个例题，计算函数f(x)=x在区间[-2,2]上的定积分，并解释其实际意义。
Step 5 定积分与原函数的关系教师引导学生思考定积分与原函数的关系：Step 6 总结与归纳教师与学生总结本节课的内容，并归纳出定积分的概念和性质：教师：同学们，通过本节课的学习，我们初步了解了定积分的定义、计算方法和性质。
下节课我们将进一步学习定积分的应用。
大家要做好预习哦！六、教学反思本节课通过引入、定义、示例演算等方式，使学生初步了解了定积分的概念和计算方法。
通过例题讲解，学生对定积分的应用有了基本的认识。
人教版A版高中数学选修2-2：定积分的概念教学内容
求和:求出n个小矩形面积之和，作为曲边梯
n
形面积S的近似值，即S Sn i1
1 f i 1 n n
n
由 Sn
i 1
1 f i 1 n n
n
1
i
1
2
i1 n n
1
0
1
1
2
1
2
2
1
n
1
2
n n n n n n n
1 n3
n
1n2n
1
0.8
0.6
0.4
f(x) = x2
0.2
01
n
0.2
2 3 4 0.5 nn n
i 1 i nn
f (i 1) n
1 n
A
1
f(i) n
f (i 1) n
f(i) n
1 n
1 n
1.5
2
0.4
1.4
以第一种方1.2法为例，可把曲边梯形分割成n个小矩形
1
0.8
0.6
0.4
f(x) = x2
0.2
0
0.5
1
0.2
当分割的小矩形越来越多时，观察所有的矩形面积之 1.4
和与曲边梯形的面积有什么关系
1.2
1
0.8
0.6
n = 10.00
0.4
f(x) = x2
0.2
0
0.5
1
0.2
当分割的1.4小矩形越来越多时，观察所有的矩形面积之 和与曲边梯形的面积有什么关系
1.2
1
0.8
0.6
n = 20.00
即S
第一节定积分的概念与性质.
定积分定积分与不定积分是两个不同的概念，前者是数，后者是函数族，但两者之间有着密切的联系．§1 定积分的概念与性质【目的要求】1、了解定积分的定义；2、了解定积分的性质、定积分存在的必要条件和充分条件；3、会熟练应用第一中值定理和估值定理．【重点难点】定积分的概念与定积分的性质．【教学内容】一、定积分概念引例1. 曲边梯形的面积在初等数学中，已经解决了圆、三角形、矩形、梯形等平面图形的面积问题，而对由任意曲线所围成的一般平面图形的面积计算问题尚未解决，其原因是用初等数学方法解决这类问题相当困难. 下面将介绍一种求曲边梯形的面积的方法，有了这种方法就可以解决一般封闭图形的面积问题.例1所谓曲边梯形，是指由连续曲线()(()0)y f x f x=≥，x轴以及直线==所围成的图形（如图6-1所示）. 现计算它的面积A.,x a x b图6-1分析从图中可以看出，当()a b上为常数时，图形变成矩形，其y f x=在[,]面积为：面积=底⨯高.而对于一般的曲面梯形，其高度是变化的，因而不能直接按矩形面积公式来求，然后，由于()y f x =在区间[,]a b 上的变化是连续，在很小的一段区间上它的变化量非常小. 因此，通过分割曲边梯形的底边[,]a b ，将整个曲边梯形分成若干个小曲边梯形，而每个小曲边梯形的底边长度非常小，并且其面积近似于一个小矩形的面积. 然后，将这些小矩形的面积相加，就是整个曲边梯形面积的近似值. 当然，随着分割的份数增多，近似程度越来越高.当无限分割[,]a b ，令每个小曲边梯形的底边长度趋于0，那么整个近似值的极限就是我们要求的曲边梯形的面积.先将详细过程叙述如下：(1) 分割：把区间[,]a b 任意分成n 份，设分点为012···n a x x x x b =<<<<=，于是每个小曲边梯形的长度为1i i i x x x -∆=-.过每个分点做x 轴的垂线，则可把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，再设每个小曲边梯形面积为i A .(2) 取近似：对于第i 个小曲边梯形，在其底边1[,]i i x x -上任取一点i ξ，并以()i f ξ为高作矩形，并用该矩形的面积近似替代每个小曲边梯形的面积，即()i i i A f x ξ≈⋅∆，其中1,2,,i n =.(3) 求和：将所有小矩形的面积求和，即得到原曲边梯形的近似面积1()ni i i A f x ξ==⋅∆∑.(4) 取极限：无限分割区间[,]a b ，使所有小区间的长度趋于0. 为此，记{}12max ,,,n x x x λ=∆∆⋅⋅⋅∆.当λ趋向于0时，1()ni i i A f x ξ==⋅∆∑的极限就是曲边梯形的面积A ，即1lim ()ni i x i A f x ξ→==⋅∆∑.2. 成本问题例 2 某公司对其产品的变化情况满足如下关系式：()5003xf x =-.其中x 表示该产品的数量；()f x 表示当产品数量为x 时，在增加一个单位产品所增加的成本（即边际函数）. 试求当产品从300件增加到900件时该公司所增加的成本C .分析 如同本教材前面章节对边际函数所描述的那样，在经济和商务中遇到的函数自变量往往取正整数，其函数值也是离散型的. 为数学处理方便，下面将其连续化，转化成具有连续倒数的函数来处理. 这是许多结果只能看成近似的，但不影响对实际问题的分析.(1) 分割： 该公司产品产量从300件增加到900件，将其连续化，把区间[300,900]任意分成n 份，设分点为012300900n x x x x =<<<<=.(2) 取近似：考虑产量从1i x -增加到i x 时所增加的成本，1()i f x -作为边际成本在1i x -的值表示当产量为1i x -时增加单位产量所增加的成本. 当产品数量增加i x ∆单位时，所增加的成本为1()i i f x x -⋅∆.(3) 求和：当产量从300增加到900时，所增加的总成本为11()ni i i f x x -=⋅∆∑.(4) 取极限：为了更精确估计，同样可设12max{,,,}n x x x λ=∆∆∆，当λ趋向于0时，所增加的总成本为101lim ()ni i i C f x x λ-→==∆⋅∆∑.二、定积分定义抛开这些问题的具体意义，抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括，我们就可以抽象出下述定积分的定义.定义 1.1 设函数()f x 在[,]a b 上有界，在[,]a b 中任意插入若干个分点012···n a x x x x b =<<<<=，把区间[,]a b 分成n 个小区间01121[,],[,],,[,]n n x x x x x x -⋅⋅⋅，各个小区间的长度依次为1102211,,,n n n x x x x x x x x x -∆=-∆=-⋅⋅⋅∆=-.在每个小区间1[,]i i x x -上任取一点i ξ1()i i i x x ε-≤≤，作函数值()i f ε与小区间长度i x ∆的乘积()i i f x ξ∆(1,2,,)i n =⋅⋅⋅，并作和1()ni i i S f x ξ==∆∑.记{}12max ,,,n x x x λ=∆∆⋅⋅⋅∆，如果不论对[,]a b 怎样划分，也不论在小区间1[,]i i x x -上点i ξ怎样选取，只要当0λ→时，和S 总趋于确定的极限I ，那么称函数()f x 在区间[,]a b 上可积，并称这个极限I 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分（简称积分），记作()d ba f x x ⎰，即()d baf x x ⎰=I =01lim ()ni i i f x λξ→=⋅∆∑，其中()f x 称为被积函数，()d f x x 称为被积表达式，x 称为积分变量，a 称为积分下限，b 称为积分上限，[,]a b 称为积分区间.根据积分定义，例1中的曲边梯形的面积A 是函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，即()d ba A f x x =⎰；例2中当产量从300件增加到900件时，所增加的成本为900300()d C f x x =⎰.关于定积分，作以下几点说明：(1) 函数()f x 在区间[,]a b 上可积是指积分()d ba f x x ⎰存在，即无论区间如何分割以及i ξ如何选取，01lim ()ni i i f x λξ→=⋅∆∑始终存在.(2) 定积分表示一个数值，它只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量用何字母表示无关，即有()d ()d ()d ()d bb b baaaaf x x f y y f t t f u u ===⎰⎰⎰⎰.(3) 在定义中，记号()d b af x x ⎰只有当a b <时才有意义，而当a b =或a b >是没有意义的.但为以后计算及应用方便起见，规定：()d 0aaf x x =⎰， ()d ()d ()b aabf x x f x x a b =->⎰⎰.(4) 几何意义：定积分()d b af x x ⎰的几何意义为由曲线()y f x =，x 轴及直线x a =，x b =所围成的封闭图形在x 轴上方与下方面积的代数和，其中x 轴上方面积为正，下方面积为负.对于定积分，有这样一个重要问题：函数()f x 在区间[,]a b 上满足怎样的条件，()f x 在[,]a b 上一定可积？这个问题我们不作深入讨论，而只给出以下两个充分条件.定理 1.1 设函数()f x 在[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上可积.定理 1.2 设函数()f x 在[,]a b 上有界，且只有有限个间断点，则()f x 在[,]a b 上可积.最后，举一个按定义计算定积分的例子. 例 3 利用定义计算定积分120d x x ⎰.解 因为被积函数2()f x x =在区间[0,1]上连续，而连续函数是可积的，所 以积分与区间[0,1]的分法及点i ξ的取法无关. 因此，为了便于计算，不妨把区间[0,1]分成n 等份，分点为i ix n=，1,2,1i n =-；这样，每个小区间1[,]i i x x -的长度1i x n∆=，1,2,i n =；取i i x ξ=，1,2,i n =.于是，得和式22111()n nniiii i i i i i f x x x x ξξ===⋅∆=∆=∆∑∑∑=2231111nn i i i i n n n ==⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭∑∑=311(1)(21)6n n n n ⋅++① =111(1)(2)6n n ++.当0λ→即n →∞时，取上式右端的极限. 由定积分的定义，即得所要计算的积分为1220011111d lim lim (1)(2)63ni i n i x x x n n λξ→→∞==∆=++=∑⎰. 二、定积分基本性质由定积分的定义与极限运算法则和性质，可以推出下列定积分的基本性质和积分中值定理（下面所涉及的函数在没说明情况下均表示在讨论区间上可积）.1．定积分的基本性质 性质 1[]()()d ()d ()d bbbaaaf xg x x f x x g x x±=±⎰⎰⎰. 对有限个函数1()f x ，2()f x ，,()n f x 亦成立，即[]12()()() d bn afx f x f x x ±±±⎰12()d ()d ()d b b bn aaa f x x f x x f x x =±±±⎰⎰⎰.性质 2 若k 为常数，则()d ()d bbaak f x x k f x x =⎰⎰.性质 3 （区间可加性）()d ()d ()d bc baacf x x f x x f x x =+⎰⎰⎰.若()f x 连续且c 介于a 与b 之间，即a b c <<时，该性质从几何意义看是显然的，当不介于a 与b 之间，该性质仍然成立. 因为当a b c <<时，()d ()d ()d cb c a a b f x x f x x f x x =+⎰⎰⎰， ()d ()d ()d bc c a a bf x x f x x f x x =-⎰⎰⎰.因为 ()d ()d cba cf x x f x x =-⎰⎰，所以()d ()d (()d bcbaacf x x f x x f x x=--⎰⎰⎰ ()d()d cb acf x x f x x =+⎰⎰. 当c a b <<时，可类似证明.性质 4 如果在区间[,]a b 上，有()()f x g x ≤，则()d ()d ()bbaaf x xg x x a b ≤<⎰⎰.性质 5 （估值定值）如果函数()f x 在区间[,]a b 上的最大值与最小值分别为M 与m ，则()()d ()()ba mb a f x x M b a a b -≤≤-<⎰，即 ()d baf x xm M b a≤≤-⎰.证 因为()m f x M ≤≤，由性质4得d ()d d bb baaam x f x x M x ≤≤⎰⎰⎰，再由性质2和d b ax b a =-⎰，即有 ()()()d b am b a f x xM b a-≤≤-⎰. 估计定值的几何意义是曲边梯形面积介于以区间[,]a b 为底，以最小纵坐标为高的矩形面积与以最大纵坐标为高的矩形面积之间. 性质5可用来估计积分值的大致范围.性质 6 （积分中值定理）设函数()y f x =在区间[,]a b 上连续，则在[,]a b 上至少存在一点()a b ξξ≤≤，使()d ()()baf x x f b a ξ=-⎰.证 因为()y f x =在[,]a b 上连续，由闭区间上连续函数的性质可知，()y f x =在[,]a b 上必存在最大值M 和最小值m .若a b =，显然.若a b <，利用性质5，并将不等式除以b a -，得1()d ba m f x x Mb a≤≤-⎰. 根据闭区间上连续函数的介值定理，在[,]a b 上至少存在一点，使得1()()d ba f f x xb aξ=-⎰. 即()d ()()baf x x f b a ξ=-⎰. 几何意义（见图6-2）是在曲边梯形底边上至少存在一点ξ，使得该曲边梯形面积等于同一底边、髙为()f ξ的矩形面积.图 6-2其中，1()()d baf f x x b a ξ=-⎰称为函数()y f x =在区间[,]a b 上的平均值.。
人教版高中选修2-21.5定积分的概念课程设计
人教版高中选修2-21.5定积分的概念课程设计
一、课程概述
本课程是人教版高中选修2数学课程中的第21.5章，主要介绍定积分的概念及相关性质。
二、教学目标
1.掌握定积分的概念及其物理意义。
2.掌握定积分的基本性质及计算方法。
3.理解定积分与求导函数之间的关系。
4.能够应用定积分解决实际问题。
三、教学内容
1. 定积分的概念
•定积分的引入
•定积分的定义
•定积分的几何意义
•定积分的物理意义
2. 定积分的基本性质
•定积分的线性性质
•定积分的区间可加性
•定积分的估值定理
•定积分的中值定理
3. 定积分的计算方法
•利用定积分计算面积和体积
1。
定积分的概念(教案)
1.5.3．定积分的概念一、复习回顾：1． 回忆前面曲边梯形的面积，汽车行驶的路程等问题的解决方法，解决步骤：2．上述两个问题的共性是什么？二、新知探究1．定积分的概念注：说明：（1）定积分()ba f x dx ⎰是一个 ，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）记为()ba f x dx ⎰，而不是n S ．（2）用定义求定积分的一般方法是：（3）曲边图形面积：变速运动路程：变力做功：例1：利用定积分的定义,计算dx x ⎰102 、 dx x ⎰103 的值.2．定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质1⎰b a dx x kf )(= ； 性质2 dx x g x f b a⎰±)]()([= 性质3 ⎰⎰=ca b a dx x f dx x f )()(+ 3．定积分的几何意义从几何上看，如果在区间[],a b 上函数()f x 连续且恒有()0f x ≥，那么定积分()ba f x dx ⎰表示由直线 和曲线 所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积，这就是定积分()b a f x dx ⎰的 几何意义。
思考：（1）在[,]a b 上0)(≥x f ，()b a f x dx ⎰= （2）在[,]a b 上0)(≤x f ，()ba f x dx ⎰=（3）在[,]a b 上)(x f 变号，()ba f x dx ⎰=⑤练习：1、利用定积分的几何意义，判断下列定积分值的正、负号。
（1）dx x ⎰20sin π（2）dx x ⎰-212 （3）dx x ⎰-1232、利用定积分的几何意义，说明下列各式成立（1）0sin 22=⎰-dx x ππ ， 0sin 20=⎰dx x π （2）dx x dx x ⎰⎰=200sin 2sin ππ3、计算下列定积分（1）dx b a ⎰1 （2）11x dx -⎰． （3） 50(24)x dx -⎰（4）dx x ⎰-1021 （5）120(2)x x dx -⎰三、课堂小结：①定积分的概念及性质②用定义法求简单的定积分③定积分的几何意义。
定积分
第五章定积分一、教材分析定积分起源于求图形的面积和体积等实际问题。
古希腊阿基米德用“穷竭法”，我国古代刘徽用“割圆术”，都曾解决过一些面积和体积问题，这些都是定积分的雏形。
直到17世纪中叶，牛顿和莱布尼兹先后提出了定积分的概念，并发现了积分与微分之间的内在联系，给出了计算定积分的N—L公式，从而才使定积分成为解决有关实际问题的有力工具。
定积分是积分学的一个基本概念，后续的重积分、曲线积分和曲面积分都是在定积分基础上的推广。
因此，本章在积分学中占有重要的基础地位。
定积分概念的形成反映了微积分的重要思想，定积分的计算则依赖于N—L公式。
二、教学要求1、理解定积分的概念及性质2、熟练掌握定积分的换元法和分部积分法。
3、理解积分上限函数及其求导定理。
熟悉牛顿（Newton）-莱布尼兹（Leibniz）公式。
4、了解反常积分的概念5、知道定积分的近似计算法（梯形法和抛物线法）三、教学重点与难点重点：定积分的概念及性质、N—L公式、定积分的换元法和分部积分法难点：积分上限函数及其求导定理、反常积分。
四、教学内容及课时划分§5—1 定积分的概念与性质 3课时§5—2 微积分基本公式 2课时§5—3 定积分的换元法和分部积分法 3课时§5—4 反常积分 2课时习题课 2课时合计 12课时五、本章知识结构图第一节 定积分的概念与性质教学目的：1．理解定积分的定义 2．掌握定积分的性质 教学重点、难点：1．重点：定积分的概念的形成 2．难点：用定积分定义求定积分 教学课时：3 教学过程：一、定积分问题举例：1、曲边梯形面积设)(x f y =在 []b a ,上非负、连续，由直线x = a, x = b, y = 0 及曲线)(x f y =所围成的图形，称为曲边梯形。
求曲边梯形的面积：在区间 [a,b] 中任意插入若干个分点b x x x x x a n n =<<<<=-1210 ，把[a,b]分成n 个小区间[10,x x ],[21,x x ], … [n n x x ,1-],它们的长度依次为： 1122011,,,--=∆-=∆-=∆n n n x x x x x x x x x经过每一个分点作平行于y 轴的直线段，把曲边梯形分成n 个窄曲边梯形，在每个小区间[i i x x ,1-]上任取一点i ξ，以[i i x x ,1-]为底，)(i f ξ为高的窄边矩形近似替代第i 个窄边梯形（i=1,2,…,n ）,把这样得到的n 个窄矩形面积之和作为所求曲边梯形面积A 的近似值，即n n i x f x f x f A ∆++∆+∆≈)()()(221ξξξ =∑=∆ni i i x f 1)(ξ设{}0,,,max 21→∆∆∆=λλn x x x 时，可得曲边梯形的面积∑=→∆=ni i i A x f A 10)(lim ξ2、变速直线运动的路程设某物体作直线运动，已知速度)(t v v =是时间间隔[21,T T ]上t 的连续函数，且)0(≥t v ，计算在这段时间内物体所经过的路程S在[21,T T ]内任意插入若干个分点212101T t t t t t T n n =<<<<=-把[21,T T ]分成n 个小段 [10,t t ]，[21,t t ]，…， [n n t t ,1-]各小段时间长依次为：,,,,1122011--=∆-=∆-=∆n n n t t t t t t t t t 相应各段的路程为：n S S S ∆∆∆,,,21在[i i t t ,1-]上任取一个时刻1()i i i i t t ττ-≤≤，以i τ时的速度()i v τ来代替[i i t t ,1-]上各个时刻的速度，则得：()i i i S v t τ∆≈∆ ),,2,1(n i = 进一步得到：1122()()()n n S v t v t v t τττ≈∆+∆++∆ =1()ni i i v t τ=∆∑设{}0,,,,max 21→∆∆∆=λλ当n t t t 时，得： 01l i m ()ni i i S v tλτ→==∆∑ 二、定积分的定义由上述两例可见，虽然所计算的量不同，但它们都决定于一个函数及其自变量的变化区间，其次它们的计算方法与步骤都相同，即归纳为一种和式极限，即面积∑=→∆=ni i i x f A 10)(lim ξλ，路程01lim ()ni i i S v t λτ→==∆∑.将这种方法加以精确叙述得到定积分的定义定义 设函数],[)(b a x f 在上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点 b x x x x x a n n =<<<<<=-1210 把区间[a,b]分成n 个小区间],,[,],,[],,[12110n n x x x x x x -各个小区间的长度依次为1122011,,,--=∆-=∆-=∆n n n x x x x x x x x x . 在每个小区间[i i x x ,1-]上任取一点1()i i i i x x ξξ-≤≤,作函数值)(i f ε与小区间长度i x ∆的乘积()(1,2,,),i i f x i n ξ∆= 并作出和1()ni i i S f x ξ==∆∑.记},,,max{21n x x x ∆∆∆= λ,如果不论对[a,b]怎样分法,也不论在小区间[i i x x ,1-]上点i ξ怎样取法,只要当1→λ时,和S 总趋于确定的极限I ,这时我们称这个极限I 为函数)(x f 在区间[a,b]上的定积分(简称积分), 记作⎰badx x f )(,即⎰badx x f )(=I =01lim ()ni i i f x λξ→=∆∑,其中)(x f 叫做被积函数, dx x f )(叫做被积表达式,x 叫做积分变量,a 叫做积分下限,b 叫做积分上限, [a,b]叫做积分区间.注意：积分与积分变量无关，即：⎰⎰⎰==bab abadu u f dt t f dx x f )()()(函数可积的两个充分条件：定理1 设],[)(b a x f 在上连续，则)(x f 在[a,b]上可积。
定积分定积分的概念与性质
第五章 定积分本章重点: 1 定积分计算: 1.用牛一莱公式2.用“特性”(奇偶对称)3.分段函数的定积分 2 积分上限函数求导及应用3 定积分计算中应注意的问题第一节．定积分的概念与性质教学内容和重点: 1 理解定积分定义 2 掌握性质和几何意义 一. 定积分的引入1. 数学上: 求曲边梯形的面积 ① 曲边梯形 ② 面积的求法ⅰ分割 ⅱ近似 ⅲ 求和 ⅳ 取极限i x ∆既表示第i 个小区间,也表示长度. A=01lim ()ni i f i x λξ→=∆∑max{}i x λ=∆2.物理上: ① 作变速直线运动的路程. V(t) [1,2T T ] ② 求法: S=01lim ()ni i i V t λξ→=∆∑③ 分析: ⅰ 含义不同,但处理的方法完全一样 ⅱ 式子均为特定和式结构的极限 二. 定积分的概念1. Def: 设f(x)在[a,b]上有界(有界才有极限) 若01lim ()ni i i f x λξ→=∆∑ ∃,则称01lim ()()nb i ia i f x f x dx λξ→=∆⎰∑2. 定积分存在的两个充分条件① 若f(x)∈C[a,b]⇒()baf x dx ⎰∃ (f(x)在[a,b]上可积)② 若f(x)在[a,b]上有界,且只有有限个间断点(非无穷,振荡)(工类的)⇒()ba f x dx ∃⎰3. 几个注意的问题① 定积分∃,对任意分法和任意取法都成立⇒采取特殊的分法,取法(比如等分) ② 0n λ→→∞等分③ 定积分的值,只与f(x)和积分区间[a,b]有关,与积分变量无关()()()b b baaaf x dx f u du f t dt ==⎰⎰⎰④ 定积分的几何意义1.()0().()2.()0()3.()()b a bb aabaf x A f x dx f x dx f x A f x dxf x f x dx -⎧>⇒=⎪⎪<⇒=+⎨⎪⎪⇒⎩⎰⎰⎰⎰面积有正有负是面积的代数和5. 定积分定义的应用① 利用几何意义来求定积分 如:04π=⎰221y x y =+= 如:设x ∀∈[a,b],有f(x)>0,f ’(x)>0,f ”(x)<0,则()()f b b a ->()b a f x dx ⎰>()()()2f a f b b a +->()()f a b a -大小顺序如何? S 曲梯>S 梯>S 矩 ② 求特定和式数列的极限如: 求111lim()12n n n n n→∞++⋅⋅⋅++++作等分:101111111lim lim lim ()11nn i n n n i i f dx i n i n n x nξ→∞→∞→∞=====〉=+++∑∑∑⎰ =[㏑(1+x)]10=㏑2 (在12,1之间) ③ 用定义求定积分 (等分 令i i x ξ=) 如:1lim lim (12)nbian n i b a b a b a b a b axdx x a a a n n n n n n→∞→∞=-----==++++⋅⋅⋅++∑⎰=lim((12))n b a b ana n n n→∞--+++⋅⋅⋅+=2(1)()lim()()122n b a b a n n b a na b a a n n →∞--+-+=-+ =221()2b a - 事实上:2221()22bb aax xdx b a ==-⎰三. 定积分的性质:1. 假设可积.2. 所求等式性质 a,b 大小无关系.3. 不等式性质要求上限必须大于下限4. 一个规定,6个性质 ① 规定: ⅰ()0aa f x dx =⎰ⅱ()()b aabf x dx f x dx =-⎰⎰ 0i x ∆<② 性质: ⅰ 线性性质. [()()]baf xg x dx ±⎰. ()kf x dx ⎰ⅱ 积分曲间可加性. ()bcbaacf x dx =+⎰⎰⎰注: ⑴c 可在a,b 之间,也可在a,b 之外⑵bcdebaac de=+++⎰⎰⎰⎰⎰ⅲ 1b adx b a =-⎰ (几何面积为b-a)ⅳ 保号性: 若[,]x a b ∀∈,有()0f x ≥()0ba f x dx ⇒≥⎰(b>a)推论: ⑴[,]x a b ∀∈,有()()()()bbaaf xg x f x dx g x dx ≤⇒≤⎰⎰⑵()()bbaaf x dx f x dx ≤⎰⎰ⅴ 估值性质: 设()[,],()m f a b f M x x ≤≤∈()()()bbaam b a f x dx Mdx M b a -≤≤=-⎰⎰ⅵ 积分中值定理: 设()[,]f x C a b ∈ ()baf x dx m M b a≤≤-⎰由介值定理: ()[,]f a b ξξ∈∃其中，至少 几何意义: ()()()ba f x dx fb a ξ=-⎰S 曲梯=S 矩③ 定积分的应用——例题分析例1． 比较积分值的大小ⅰ 1100xdx ⎰⎰与㏑（1+x ）dx > (㏑(1+x)<x<1x e -ⅱ 21⎰㏑xdx 与21⎰㏑2xdx > (㏑x<1)例2． 估计积分值ⅰ 52414(1sin )x dx ππ-+⎰ ⅱarctan xdx（251sin 44x ππ+在，上连，必有最值）551224444ππππππ=-≤⋅⋅⋅≤-=（）（）例3．设()[0,1]0()1f x C f x ∈≤<且. 试证：1lim ()0n n f x dx →∞=⎰证明：1lim ()lim ()(10)0n n n n f x dx f ξ→∞→∞=-=⎰ex ：P233.1 6 (1.4)。
定积分的基本概念
定积分的基本概念
一、定积分的基本概念
1.定积分的定义
定积分是指在区间[a,b]中，用函数f(x)的值在x处取的积分，其中x取值于a到b之间的某个点，f(x)的积分称为定积分。
也可以表示为
∫a, bf(x)dx=∫f(x)dx
即：将函数f(x)从x=a到x=b的定积分。
2.定积分的性质
（1）定积分是一种积分的形式，它是在定的一段区间内对某个函数f(x)求积分的形式。
（2）定积分可以表示为：∫f(x)dx=F(b)-F(a)，其中F(x)是f(x)的积分函数。
（3）定积分可以表示为：∫a, bf(x)dx=∑[f(x1)+f(x2)+…
+f(xn)]，其中x1,x2,…,xn为积分区间[a, b]的各个各点。
（4）定积分是一种表示曲线与坐标轴围成的面积的一种数学工具。
二、定积分的计算
1.定积分的数值计算
数值计算定积分，即把范围[a,b]离散成一定的小段，在每个小段上求f(x)的值，再用这些值进行总和，来求出定积分的近似值。
2.定积分的解析计算
解析计算此类定积分，即首先求出f(x)的积分方程，在范围[a,b]内，求得它的解后，再把范围[a,b]的定积分解析成积分函数F(x)的量对应的差值F(b)-F(a)。
三、定积分的应用
定积分的应用主要是用于求出曲线与坐标轴围成的面积，也可以用于求求解线性微分方程，求解有关动力学问题的时候，还有一些物理的和化学的问题，这些问题用的都是定积分的知识。
定积分概念教案
教案图4.1图AB的很慢，有的根本听不懂，基于这些特点，结合教学内容，我以板书教学为主，多媒体教学为辅，把概念较强的课本知识直观化、形象化，引导学生探索性学习。
六、教学方法：根据对学生的学情分析，本次课主要采用案例教学法，问题驱动教学法，讲与练互相结合，以教师的引导和讲解为主，同时充分调动学生学习的主动性和思考问题的积极性。
七、教学手段：传统教学与多媒体资源相结合。
八、教学时数：1课时。
九、教学过程：1、由两个实际例子引出定积分的概念.定积分是积分学的另一个重要的基本概念，和导数概念一样，它也是在解决各种实际问题中逐渐形成并发展起来的，现已成为解决许多实际问题的有力工具．本节将首先从实际问题出发引出定积分的概念，并介绍定积分的几何意义．例1 求曲边梯形的面积．初等数学可以计算多边形、圆形和扇形等规则图形的面积，但对于较复杂的曲线所围成的图形(图4.1)的面积计算则无能为力．如图所示，我们总可以用若干互相垂直的直线将图形分割成如阴影部分所示的基本图形，它是由两条平行线段，一条与之垂直的线段，以及一条曲线弧所围成，这样的图形称为曲边梯形．特别地，当平行线之一缩为一点时，称为曲边三角形．那么，为什么要研究曲边梯形呢？因为求任何曲线围成的几何图形的面积，都可归结为求若干个曲边梯形的面积的代数和. 现把问题归结如下：求由直线0,,===y b x a x 和连续曲线)(x f y =(()0)f x ≥所围成的曲边梯形AabB (图4.2)的面积S ．如果曲边梯形的高不变,即C y =(常数),则根据矩形面积公式 面积=底⨯高)n .2)n , 作积分和∑==∆ni i i x 12ξ)12n +. n λ→∞⇔概念?。
《定积分的概念及计算》教学设计方案
《定积分的概念及计算》教学设计方案
4、通过牛顿莱布尼兹世纪之争，传输不同途径均能达到最后目标，鼓
励学生坚持不懈
5、通过弧、弦、微分、积分概念，讲解矛盾两方面对立统一
教学方法教学举措目标1：培养学生民族自豪感，激发爱国主义情怀。
方法及措施：通过引入的实例让学生去了解中国传统工艺成就和现代航天事业的发展（介绍不易过多，引入即可，学生自己体会）
目标2：拓宽学生分析问题、解决问题的思路，进而提高解决问题的能力。
方法及措施：一是通过割圆术、微元法、定积分定义介绍“化整为零积零为整”的思想，进一步介绍这种思路方法实际应用。
二是通过牛顿、莱布尼兹世纪之争，最后的结论，让学生体会“殊途同归”，激发学生坚持不懈终将取得胜利的信心。
三是通过弧、弦、微分、积分概念，了解矛盾两方面对立统一规律。
定积分与微积分基本定理》教案
《定积分与微积分基本定理》教案一、教学目标1. 理解定积分的概念，掌握定积分的计算方法。
2. 掌握微积分基本定理，了解其应用。
3. 能够运用微积分基本定理解决实际问题。
二、教学内容1. 定积分的概念：定积分是函数在区间上的积累量，用符号∫表示。
2. 定积分的计算方法：牛顿-莱布尼茨公式、换元法、分部积分法等。
3. 微积分基本定理：微积分基本定理是定积分与导数之间的关系，表述为∫(f'(x)dx) = F(b) F(a)，其中F(x) 是f(x) 的一个原函数。
4. 微积分基本定理的应用：求解曲线下的面积、弧长、质心等问题的计算。
三、教学重点与难点1. 教学重点：定积分的概念、计算方法，微积分基本定理的理解与应用。
2. 教学难点：微积分基本定理的证明，定积分的计算方法的综合运用。
四、教学方法1. 讲授法：讲解定积分的概念、计算方法，微积分基本定理的证明。
2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用微积分基本定理解决。
3. 练习法：课堂练习与课后作业，巩固所学知识。
五、教学安排1. 第一课时：定积分的概念与计算方法。
2. 第二课时：微积分基本定理的证明。
3. 第三课时：微积分基本定理的应用。
4. 第四课时：定积分的综合练习。
六、教学策略1. 互动讨论：鼓励学生提问，师生共同探讨定积分与微积分基本定理的相关问题。
2. 小组合作：同学之间分工合作，共同完成定积分的计算和应用问题。
3. 利用多媒体：通过动画、图像等直观展示定积分的几何意义和应用。
七、教学评价1. 课堂问答：检查学生对定积分概念、计算方法和微积分基本定理的理解。
2. 课后作业：布置有关定积分的计算和应用问题，检验学生掌握程度。
3. 课程报告：要求学生选择一个实际问题，运用微积分基本定理进行解决，以此评估学生的实际应用能力。
八、教学资源1. 教材：选用权威、实用的教材，如《微积分学导论》等。
2. 辅导资料：提供定积分与微积分基本定理的相关习题及解答。
定积分概念教案范文
定积分概念教案范文教学内容：定积分概念教学教学目标：1.了解定积分的定义与概念；2.理解定积分的几何意义；3.掌握定积分的计算方法。
教学重点：1.理解定积分的概念；2.理解定积分的几何意义。
教学难点：1.掌握定积分的计算方法。
教学准备：白板、笔、相关的教学图表。
教学过程：Step 1：引入定积分的概念（10分钟）教师在黑板上写出“定积分”的定义：设f(x)是定义在[a, b]上的函数，如果对于任意划分ξ: a = x0 < x1 < ... < xn = b，任取ξi ∈ [xi-1, xi]，存在数ξi*，使得极限limξ→0 Σ f(ξi*)Δxi存在，且与ξ的取法无关，则称该极限为f(x)在[a, b]上的定积分，记为∫(a, b) f(x)dx。
Step 2：定积分的几何意义（20分钟）1.教师画出函数f(x)与x轴围成的曲边梯形，并解释这个曲边梯形的面积就是定积分的几何意义。
2.教师对不同类型的函数进行讨论，如常数函数、正函数、负函数、奇函数、偶函数等，以帮助学生更好地理解定积分的几何意义。
Step 3：定积分的计算方法（40分钟）1.教师通过例题演示定积分的计算方法，包括不定积分、定积分与导数的关系、基本公式等，并强调定积分的性质。
2.学生进行相关练习，巩固所学的定积分计算方法。
Step 4：讨论与拓展（30分钟）1.学生提问与讨论：可以让学生提问一些与定积分相关的问题并进行讨论，如定积分存在的条件、定积分与不定积分的关系等。
2.拓展学习：可以对定积分进行扩展学习，如定积分的应用、定积分的意义等。
Step 5：总结与反思（10分钟）教师对本节课的内容进行总结，并让学生进行反思：对定积分的概念有了更深的理解吗？掌握了定积分的计算方法吗？教学延伸：1.学生可以通过阅读相关的课外资料，深入了解定积分的应用与历史背景；2.学生可以完成一些定积分的练习题，进一步巩固所学的知识。
“定积分的概念”说课稿
“定积分的概念”说课稿众所周知，高等数学是工科专业最重要的课程之一。
其重要的原因不仅在于可以学到一些数学概念、公式和结论，为其他数学课和专业课的学习打好基础，更重要的是通过学习数学可以培育人的理性思维品格和思辩能力，能启迪智慧，开发创造力。
下面，笔者将从教材、教法、设计理念以及教学设计四个方面，介绍“定积分的概念”这节课。
一、教材分析课程定位：高等数学在高职（专）院校的教学计划中是一门重要的公共基础理论课。
通过本课程的学习，使学生获得够用的微积分、向量代数及空间解析几何的基本知识、必要的基础理论和常用的运算方法，为学习后续课程，特别是专业课程的学习和进一步扩展数学知识奠定必要的基础。
地位作用：本节课选自世纪数学教育信息化精品教材《高等数学》第五章第一节定积分的概念，是高等数学中最主要的经典理论，是学生进入“积分”世界必须跨过的第一道门槛。
这节课上承导数、不定积分，下接定积分在几何、物理、经济、电工学等其他学科中的应用。
教学内容：本节内容为定积分概念，主要包括三方面内容：两个引例――曲边梯形的面积和变速直线运动的路程；定积分的定义及几何意义；定积分的性质。
教学目标：知识目标――通过探求曲边梯形的面积，使学生了解“分割、近似、求和、取极限”的思想方法；能力目标――通过类比“割圆术”，引导学生萌发“以直代曲”的想法，逐步培养学生的辨证思维能力和知识迁移的能力；情感目标――从实践中创设情境，渗透“化整为零零积整”的辨证唯物观，培养学生的创新意识和科技服务于生活的人文精神。
二、教学方法学情分析：学生参加过高考，具备一定初等数学基础知识，但学生学高等数学的基础不扎实。
教学方法：数学课程对于高职学生来说，往往难度很大，教学时力求从学生已有知识和实际学习情况出发引入新课，启发、诱导学生参与教学活动，提出问题、分析问题、解决问题，适当采用自学辅导法（阅读教材）、通过以上方法的运用，让学生掌握重点知识，突破难点，提高应用知识的能力。
《定积分的概念》教学教案
《定积分的概念》教学教案教学教案《定积分的概念》一、教学目标1.理解定积分的概念和基本性质；2.掌握计算定积分的方法和技巧；3.运用定积分解决实际问题。
二、教学重点1.定积分的概念和基本性质；2.计算定积分的方法和技巧。
三、教学难点1.理解定积分的概念和基本性质；2.运用定积分解决实际问题。
四、教学准备1.教材：数学教材、习题集等；2.工具：黑板、粉笔等。
五、教学过程Step 1 知识导入（5分钟）1.复习集中讨论上一节课的内容，引入定积分的概念。
2.提问：你们对定积分有什么了解？Step 2 定积分的概念（20分钟）1. 导入：引入定积分的基本概念，如Riemann和、分割、积分和面积的关系等。
2.讲解：通过具体的例子，解释定积分的定义和意义。
3.提问：如何通过曲线的面积概念引入定积分？Step 3 定积分的基本性质（15分钟）1.引入：引入定积分的基本性质，如线性性质、区间可加性、保号性等。
2.讲解：通过具体例子验证定积分的基本性质。
3.提问：如何理解定积分的线性性质？Step 4 计算定积分（25分钟）1.导入：通过几何问题，引入定积分的计算方法。
2.讲解：教授求定积分的方法和技巧，如代数法、几何法、换元法等。
3.举例：通过具体的例子讲解并计算定积分。
4.练习：让学生完成相应的练习题。
Step 5 运用定积分（20分钟）1.导入：通过实际问题引入定积分的应用。
2.讲解：教授定积分在物理学和经济学等领域的应用。
3.举例：通过实际问题的例子，展示定积分的应用过程。
4.提问：你对定积分的应用有何感悟？Step 6 拓展延伸（15分钟）1.讲解：让学生了解定积分的应用不仅限于一元函数，还可以推广到二元和多元函数。
2.提问：你能举例说明定积分在二元和多元函数中的应用吗？六、教学总结（10分钟）1.复习：对本节课的知识点进行复习。
2.总结：对本节课的教学内容进行总结，概括定积分的概念、基本性质和计算方法。
高中数学定积分的概念教案新人教版选修
高中数学定积分的概念教案新人教版选修一、教学目标1. 理解定积分的概念，掌握定积分的定义方法和性质。
2. 学会利用定积分解决实际问题，提高运用数学知识解决实际问题的能力。
3. 培养学生的逻辑思维能力、创新能力和合作能力。
二、教学内容1. 定积分的概念：定积分的定义、定积分的性质。
2. 定积分的计算：牛顿-莱布尼茨公式、定积分的换元法、分部积分法。
3. 定积分在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点1. 重点：定积分的概念、性质，定积分的计算方法。
2. 难点：定积分的理解和运用，定积分的计算技巧。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究定积分的概念和性质。
2. 利用案例分析法，让学生学会将实际问题转化为定积分问题。
3. 运用讨论法，培养学生的合作能力和创新思维。
五、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，引导学生思考如何求解曲边图形的面积。
2. 探究定积分的概念：讲解定积分的定义，让学生理解定积分的基本思想。
3. 学习定积分的性质：引导学生通过举例，总结定积分的性质。
4. 定积分的计算：讲解牛顿-莱布尼茨公式，教授换元法和分部积分法。
5. 应用定积分解决实际问题：让学生分组讨论，选取实例进行分析。
6. 总结与反馈：对所学内容进行总结，收集学生反馈，及时调整教学方法。
六、教学评价1. 评价学生对定积分概念的理解程度，通过课堂提问、作业批改等方式进行。
2. 评价学生对定积分性质的掌握情况，通过课后练习、小测验等方式进行。
3. 评价学生运用定积分解决实际问题的能力，通过分组讨论、课堂展示等方式进行。
七、教学资源1. PPT课件：制作精美的PPT课件，展示定积分的概念、性质和计算方法。
2. 教学案例：收集与生活实际相关的案例，用于引导学生运用定积分解决实际问题。
3. 练习题库：编写一定数量的练习题，用于巩固学生对定积分的理解和运用。
八、教学进度安排1. 第1周：导入定积分的概念，讲解定积分的定义和性质。
高中数学定积分的概念教案
高中数学定积分的概念教案一、教学目标：1.了解定积分的概念及其在数学中的重要性；2.掌握定积分的基本性质和计算方法；3.能够运用定积分求解实际问题。
二、教学重点及难点：1.定积分的概念和基本性质；2.定积分的计算方法；3.定积分在实际问题中的应用。
三、教学内容：1.定积分的概念a.通过求和的思想引入定积分的概念；b.定义定积分的符号表示及含义；c.定积分的几何意义和物理意义。
2.定积分的性质a.定积分的线性性质；b.定积分的可加性质；c.定积分的保号性质。
3.定积分的计算方法a.定积分的基本性质；b.定积分的换元法；c.定积分的分部积分法。
4.定积分在实际问题中的应用a.通过实际问题引入定积分的应用；b.运用定积分求解速度、面积、体积等实际问题。
四、教学过程：1.引入定积分的概念（10分钟）a.通过求和的思想引入定积分的概念；b.讲解定积分的符号表示及其含义。
2.定积分的性质（15分钟）a.讲解定积分的线性性质、可加性质和保号性质；b.举例说明定积分性质的运用。
3.定积分的计算方法（20分钟）a.讲解定积分的基本性质和计算方法；b.通过实例演示定积分的换元法和分部积分法。
4.定积分在实际问题中的应用（15分钟）a.通过实际问题引入定积分的应用；b.运用定积分求解速度、面积、体积等实际问题。
五、教学方法：1.讲授相结合：简洁明了地讲解定积分的概念和性质，结合实例演示计算方法；2.激发思考：通过引入实际问题，激发学生的思考和探究欲望；3.启发式教学：提出问题引导学生独立思考，培养学生的解决问题能力。
六、教学资源：1.教材：教材中相关知识点、例题及练习题；2.多媒体教学：投影仪、电脑等多媒体设备。
七、教学评估：1.课堂练习：课堂上针对性地布置练习，检验学生对定积分的理解和掌握程度；2.作业布置：课后布置练习题，巩固学生对定积分的掌握。
八、课堂小结：通过本节课的学习，相信同学们已经初步了解了定积分的概念、性质和计算方法，并能够运用定积分解决实际问题。
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授课题目定积分的概念
课时数1课时
教学目标理解定积分的基本思想和概念的形成过程，掌握解决积分学问题的“四步曲”。
重点与难点重点：定积分的基本思想方法，定积分的概念形成过程。
难点：定积分概念的理解。
学情分析我所教授的学生从知识结构上来说属于好坏差别很大，有的接受新知识很快，有的很慢，有的根本听不懂，基
于这些特点，结合教学内容，我以板书教学为主，多媒
体教学为辅，把概念较强的课本知识直观化、形象化，
引导学生探索性学习。
教材分析本次课是学生学习完导数和不定积分这两个概念后的学习，定积分概念的建立为微积分基本定理的引出做了铺
垫，起到了承上启下的作用。
而且定积分概念的引入体
现着微积分“无限分割、无穷累加”“以直代曲、以不变
代变”的基本思想。
所以无论从内容还是数学思想方面，
本次课在教材中都处于重要的地位。
教学方法根据对学生的学情分析，本次课主要采用案例教学法，问题驱动教学法，讲与练互相结合，以教师的引导和讲
解为主，同时充分调动学生学习的主动性和思考问题的
积极性。
教学手段
传统教学与多媒体资源相结合。
课程资源 同济大学《高等数学》（第七版）上册
教学内容与过程
一、定积分问题举例
1、曲边梯形的面积
设)(x f y =在区间],[b a 上非负连续。
由)(,0,,x f y y b x a x ====所围成的图形称为曲边梯形（见下图），求其面积A ，具体计算步骤如下：
（1）分割：在区间],[b a 中任意插入1-n 个分点
b x x x x x a n n =<<<<<=-1210Λ
把],[b a 分成n 个小区间
],[,],,[],,[12110n n x x x x x x -Λ 它们的长度依次为：n x x x ∆∆∆,,,21Λ （2）近似代替：区间],[1i i x x -对应的第i 个小曲边梯形面积,)(i i i x f A ∆≈∆ξ ]).,[(1i i i x x -∈∀ξ
（3）求和：曲边梯形面积∑∑==∆≈∆=n i i i
n i i x f A A 1
1
)(ξ （4）取极限：曲边梯形面积,)(lim 10∑=→∆=n i i
i x f A ξλ其中
}.,,m ax {1n x x ∆∆=Λλ
2、变速直线运动路程
设物体做直线运动，已知速度)(t v v =是时间间隔],[21T T 上的非负连续函数，计算这段时间内物体经过的路程s ，具体计算步骤与上相似 x a b y o 1x i
x 1-i x i ξ。