数学竞赛训练题上册

数学竞赛训练题上册 The following text is amended on 12 November 2020.函数与极限._______,)(lim .1)0(,)1()(.1202==-='=+'-+''=→a a x xx y y e y x y x y x y y x x 则若且满足设函数 .________,1,))(()(.2===---=b x e x b x a x b e x f x 则为可去间断点处在处为无穷间断点在已知3. 求xxx a a x 1111lim ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⋅+∞→，其中0,1a a >≠. 4、设当0x >时，方程211kx x+=有且仅有一个解，求k 的取值范围.5．求1121cos2lim4n n tdt n t →⎰. 6、设()f x 在上连续[,]a b ，证明：12200lim ()d (0)2h h f x x f h x π+→=+⎰。

证明：()f x 在上连续[,]a b ，因而有界，所以0M ∃>，当[,]x a b ∈时有()f x M ≤。

_________.)(lim ,4]cos 1)(1[ln 121lim7.30==-+-→→xx f x x f x x x 则已知 8、设函数(,)f x y 可微，1)2,0(),,(),(,=-='πf y x f y x f x ，且满足y nn e y f n y f cot ),0()1,0(lim =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+∞→，求(,)f x y 。

9．求曲线1(0)(1)xxx y x x +=>+的斜渐近线方程。

10、设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内二阶可导，且()()0f a f b ==，()0,()0f a f b +-''>>，证明：12,(,)a b ηη∃∈，使得12()0,()0f f ηη''''<>。

11、设函数()f x 满足(1)1f =，且对1x ≥时，有221()()f x x f x '=+，证明：(1)lim ()x f x →+∞存在；（2）lim ()14x f x π→+∞≤+。

12、设(,)f u v 具有二阶连续的偏导数，且满足22222f fu v∂∂+=∂∂，用变量代换u xy =，221()2v x y =-将(,)f u v 变成(,)g x y ，试求满足222222g g a b x y x y ∂∂-=+∂∂的常数a 和b 。

13．设()1sin 0lim 0nn x x x f x n x x n x αβ→∞⎧>⎪⎪=⎨+⎛⎫⎪+≤ ⎪⎪-⎝⎭⎩，试讨论()f x 在0x =处的连续性。

14．设2222tan(),(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)x y x y x y x y f x y x y -⎧+≠⎪+=⎨⎪=⎩，证明：(,)f x y 在（0,0）处可微，并求(0,0)(,)df x y 。

15求221001(1)x nn n x x t dt ∞+→--∑⎰分析：由于21210011(1)(1)2(21)!(21)!nn nn n n n t n n ∞∞++==-=-++∑=t R ∈3)xx e x=且：012133x →=-=16．试求2211lim ()()nnn i j nn i n j →∞==++∑∑的值。

导数与微分1. 设,222z y x u ++=求函数u 在点M(1,1,1)处沿曲面222y x z +=在点M 处的外法线方向→n 的方向导数Mnu →∂∂2、设⎩⎨⎧'+'+=++=),()(0),()(u u y x u u y ux z ψϕψϕ其中函数),(y x z z =具有二阶连续偏导数，证明：.0222222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂-∂∂⋅∂∂y x z y z x z .______________),(,),0(,)0,(,),(.322===+=∂∂∂=y x f y y f x x f y x yx zy x f z 则且满足设.___________________),,(,d )2(d )2(d )2(d ,),,(.4222=-+-+-==z y x u z y x z y z x y x z y x u z y x u u 则且可微已知函数.___________)(,d )(13)(.51022=--=⎰x f x x f x x x f 则已知函数6 x x f 22/tan )(sin =，求)(x f7. 已知]1)([)(//-=-x f x x f ，求)(x f8. 设)(u f 在+∞<<∞-u 内可导，且0)0(=f ，又⎩⎨⎧>≤<=1101)(ln /x xx x f ，求)(u f9. 设)(x f y =在x 处的改变量为)(1x o x xyy ∆+∆+=∆（0→∆x ），1)0(=y ，求)1(/y10. 由方程1sin e 22y0t =+⎰⎰dt tt dt x （0>x ）确定y 是x 的函数，求dxdy 11. )(x y y =是由012=-⎰+-dt e x xy t 确定的函数，求0//=x y12、设函数),,(z y x f u =是可微函数，如果,z f y f x f z y x '='='证明：u 仅为r =中值定理与导数的应用1．设函数f （x ，y )可微，且对任意x,y,t ,满足),(),(2y x f t ty tx f =，)2,2,1(0-P 是曲面),(:y x f z =∑上的一点，求当4)2,1(=-'x f 时，∑在点0P 处的法线方程.2. 设连续函数()f u 在u=0处可导,且(0)0f =，(0)3f '=-。

试求：422221lim d d tt x y z t f x y z π→++≤⎰⎰⎰.3、设函数()f x 在(1,)+∞上可微，且对1x >满足2222()()(()1)x f x f x x f x -'=+证明：.))((lim +∞=+→∞x x f x4、设二元函数xy y x y x u +--=2275),(，其定义域为{}75),(22≤-+=xy y x y x D（1）设点,),(00D y x M ∈求过点0M 的方向向量→l ，使0M lu →∂∂为最大，并记此最大值 为),(00y x g .(2)设0M 在D 的边界7522=-+xy y x 上变动，求),(00y x g 的最大值. 5、设函数()f x 在[,]a b 上连续，且存在(,)c a b ∈使得()0f c '=，证明：(,)a b ξ∃∈使得()()()f f a f b aξξ-'=-。

._______d d )cos(1lim ,:.62220222=+≤+⎰⎰-→+rD y x r r y x y x e r r y x D 则设 7．设函数2(,)()x f x y e ax b y -=+-，若(1,0)f -为(,)f x y 的极大值，求常数,a b 满足的条件。

.12)10.(2有且仅有三个实根证明方程分八+=x x9、设函数()f x 在[],a b 上有连续的导数，且存在(),c a b ∈，使得()0f c '=，证明：存在(,)a b ξ∈，使得()()()f f a f b aξξ-'=-10、设在上半空间0>z 上函数有连续的二阶偏导数，且2(),(),(),x y z u x y z x r u x y r u x z z r φφφ'''=+++=+=++其中r =0lim ()r r φ+→存在，(,,)(0,0,0)lim (,,)0x y z u x y z →=，[(,,)]0div gradu x y z =，求(,,)u x y z 的表达式。

11. 设()f x 在[,)a +∞上二阶可导，且,0)(,0)(<'>a f a f 而当a x >时,,0)(≤''x f 证明在(,)a +∞内，方程()0f x =有且仅有一个实根．12. 设),(y x f 有二阶连续偏导数, ),(),(22y x e f y x g xy +=, 且))1((1),(22y x o y x y x f +-+--=, 证明),(y x g 在)0,0(取得极值, 判断此极值是极大值还是极小值, 并求出此极值.13. 设f (x )在 [0,1] 上连续, f (0)= f (1) , 求证: 对于任意正整数ｎ，必存在]1,0[∈n x ，使)1()(nx f x f n n +=．14.是其中求且有连续的二阶导数设)(,)()(lim,0)(,0)0()0(,)(0)(00x u dtt f dtt f x f f f x f x x u x ⎰⎰+→>''='=.))(,()(轴上的截距处切线在在点曲线x x f x x f y =15、(10分) 讨论是否存在 [0,2] 上满足下列条件的函数, 并阐述理由: f (x ) 在 [0,2] 上有连续导数, f (0) = f (2)=1,.1|)(|,1|)(|2≤≤'⎰dx x f x f不定积分与定积分1．求不定积分2dx y⎰，其中：22()y x y x -=. .2. 设曲线Γ是平面1x y z ++=与球面2221x y z ++=的交线，试求积分2()d x y s Γ+⎰..3、求最小的实数C ，对于连续函数()f x ，总有11|()|f dx C f x dx ≤⎰⎰成立。

4、设球22221:x y z R Ω++≤和球2222:2(0)x y z Rz R Ω++≤>的公共部分体积为512π时，求1Ω的表面位于2Ω内的部分1S 的面积.5．设1(),(1)xf x t t dt x -=≥-⎰，求曲线()f x 与x 轴所围封闭图形的面积S.6、是否存在[0,]π上的连续函数()f x ， 使得：203()sin 4f x x dx π-≤⎰ 与 203()cos 4f x x dx π-≤⎰成立 7、设在上半平面{}0),(>=y y x D 内，函数),(y x f 具有连续偏导数，且对任意的0>t 都有),(),(2y x f t ty tx f -=.证明：对D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L,都有⎰=-Ldy y x xf dx y x yf 0),(),(.8、设函数)(x f 在区间[0,1]上具有连续导数，1)0(=f ，且满足⎰⎰⎰⎰='tt D D dxdy t f dxdy y x f )(),(， 其中{})10(0,0),(≤<≤≤-≤≤=t t x x t y y x D t .求)(x f 的表达式.9．设Ω是由锥面z =与半球面z =围成的空间区域，∑是Ω的整个边界的外侧，计算d d d d d d x y z y z x z x y ∑++⎰⎰。