三角函数知识点总结及高考题库(学生版)
(新)高中数学三角函数知识点及试题总结
高考三角函数1.特殊角的三角函数值：2．角度制与弧度制的互化：,23600π= ,1800π=3.弧长及扇形面积公式弧长公式：r l .α= 扇形面积公式:S=r l .21α----是圆心角且为弧度制。
r-----是扇形半径4.任意角的三角函数设α是一个任意角，它的终边上一点p （x,y ）, r=22y x + (1)正弦sin α=r y 余弦cos α=r x 正切tan α=xy (2)各象限的符号：sin α cos α tan αxy+O— —+x yO — ++— +y O— ++ —5.同角三角函数的基本关系：（1）平方关系：s in 2α+ cos 2α=1。
（2）商数关系：ααcos sin =tan α （z k k ∈+≠,2ππα）6.诱导公式：记忆口诀：2k παα±把的三角函数化为的三角函数，概括为：奇变偶不变，符号看象限。
()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．口诀：函数名称不变，符号看象限．()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭． ()6sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭．口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．7正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质降幂公式： 1+cos α=2cos 22α cos 2α22cos 1α+=1-cos α=2sin 22αsin 2α22cos 1α-= 9．正弦定理 ：2sin sin sin a b cR A B C===. 余弦定理：2222cos a b c bc A =+-;2222cos b c a ca B =+-;2222cos c a b ab C =+-.三角形面积定理.111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===.1．直角三角形中各元素间的关系：如图，在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。
三角函数知识点总结及高考题库
三角函数知识要点:定义1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。
若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。
角的大小是任意的。
定义2 角度制，把一周角360等分，每一等分为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。
360度=2π弧度。
若圆心角的弧长为l ，则其弧度数的绝对值|α|=rl ,其中r 是圆的半径。
定义3 三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P ，设它的坐标为（x ,y ），到原点的距离为r,则正弦函数s in α=ry ,余弦函数co s α=rx ,正切函数tan α=xy ,⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角三角函数知识框架图2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z =22,2k k k παπαπ⎧⎫<<+∈Z ⎨⎬⎩⎭第二象限角的集合为{}36090360180,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z =22,2k k k παπαππ⎧⎫+<<+∈Z ⎨⎬⎩⎭第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z =_________________ 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z =___________ 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z =____________________ 终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z =_________________ 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z =__________________ 3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z =__________________ 4、已知α是第几象限角，确定()*n nα∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为nα终边所落在的区域．5、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180π=，180157.3π⎛⎫=≈⎪⎝⎭．6、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．7、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．(口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦)8、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ．若⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πx ，则s inx <x <tanx .9、同角三角函数的基本关系：()221sin cos 1αα+=()2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-；;()sin 2tan cos ααα=sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛⎫== ⎪⎝⎭．10、三角函数的诱导公式：（把角写成απ±2k 形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限）()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭．()6sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． 11、两角和与差的三角函数公式：⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．12、和差化积与积化和差公式: s in α+s in β=2s in ⎪⎭⎫⎝⎛+2βαco s ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2βα,s in α-s in β=2cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2βαsin ⎪⎭⎫⎝⎛-2βα,co s α+co s β=2co s ⎪⎭⎫⎝⎛+2βαco s ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2βα, co s α-co s β=-2s in ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2βαs in ⎪⎭⎫⎝⎛-2βα,s in αco s β=21[s in (α+β)+s in (α-β)],co s αs in β=21[s in (α+β)-s in (α-β)],co s αco s β=21[co s(α+β)+co s(α-β)],s in αs in β=-21[co s(α+β)-co s(α-β)].13、二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴sin 22sin cos ααα=．⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-（21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=）．⑶22tan tan 21tan ααα=-．14、半角公式:s in ⎪⎭⎫ ⎝⎛2α=2)cos 1(α-±2cos 12cosαα+±=；αααααααsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan-=+=+-±=15、辅助角公式:()sin cos αααϕA +B =+，其中tan ϕB=A． 16、万能公式2tan 12tan2sin 2ααα+=，2tan 12tan 1cos 22ααα+-=，2tan 12tan2tan 2ααα-=17、函数sin y x =的图象上所有点向左（右）平移ϕ个单位长度，得到函数()sin y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的|1ω|倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象． 函数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移||ϕω个单位长度，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象． 例：以sin y x =变换到4sin(3)3y x π=+为例sin y x =向左平移3π个单位 （左加右减） sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭横坐标变为原来的13倍（纵坐标不变） sin 33y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭纵坐标变为原来的4倍（横坐标不变） 4sin 33y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭sin y x =横坐标变为原来的13倍（纵坐标不变）()sin 3y x =向左平移9π个单位 （左加右减） sin 39y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭sin 33x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭纵坐标变为原来的4倍（横坐标不变）4sin 33y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭注意：在变换中改变的始终是x 。
高中数学必修五三角函数知识点+练习题含答案解析(很详细)
高中数学必修五三角函数知识点+练习题含答案解析(很详细)第一部分必修五三角函数知识点整理第一章解三角形1、三角形的性质：①.A+B+C=π,? 222A B C π+=-?sin cos 22A B C += ②.在ABC ?中, a b +＞c , a b -＜c ; A ＞B ?sin A ＞sinB ...........................A ＞B ?cosA ＜cosB, a ＞b ? A ＞B③.若ABC ?为锐角?，则A B +＞2π,B+C ＞2π,A+C ＞2π; 22a b +＞2c ，22b c +＞2a ，2a ＋2c ＞2b2、正弦定理与余弦定理：①.(2R 为ABC ?外接圆的直径)2s i n a R A =、2sin b R B =、2sin c R C =sin 2a A R =、 sin 2b B R =、 sin 2c C R= 面积公式：111sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B ?=== ②.余弦定理：2222cos a b c bc A =+-、2222cos b a c ac B =+-、2222cos c a b ab C =+-222cos 2b c a A bc +-=、222cos 2a c b B ac +-=、222cos 2a b c C ab+-= 补充：两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ --=+ ? （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=- ? （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin 22sin cos ααα=．222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin1ααααααα±=±+=±?⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-升幂公式2sin 2cos 1,2cos 2cos 122αααα=-=+ ?落幂公式2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=．第二部分必修五练习题含答案解析第一章解三角形1.在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝6，AC ＝8，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．非钝角三角形解析：最大边AC 所对角为B ，则cosB ＝52＋62－822×5×6＝－320B>CB ．B>A>C C ．C>B>AD ．C>A>B解析由正弦定理a sinA ＝b sinB ，∴sinB ＝bsinA a ＝32.∵B 为锐角，∴B ＝60°，则C ＝90°，故C>B>A. 答案 C3．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 6 D.323解:由A ＋B ＋C ＝180°，可求得A ＝45°，由正弦定理，得b ＝asinB sinA ＝8×sin60°sin45°＝8×3222＝4 6. 答案 C4．在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，则BA →·BC → 的值为( )A ．5B ．－5C ．15D ．－15解析在△ABC 中，由余弦定理得：cosB ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝25＋49－642×5×7＝17. ∴BA →·BC →＝|BA →|·|BC →|cosB ＝5×7×17＝5. 答案 A5．若三角形三边长之比是1：3：2，则其所对角之比是( )A ．1：2：3B ．1：3：2C ．1：2： 3 D.2：3：2解析设三边长分不为a ，3a,2a ，设最大角为A ，则cosA ＝a 2＋3a 2－2a 22·a ·3a ＝0，∴A ＝90°.设最小角为B ，则cosB ＝2a 2＋3a 2－a 22·2a ·3a ＝32，∴B ＝30°，∴C ＝60°. 所以三角之比为1：2：3. 答案 A6．在△ABC 中，若a ＝6，b ＝9，A ＝45°，则此三角形有( )A ．无解B ．一解C ．两解D ．解的个数别确定解析由b sinB ＝a sinA ，得sinB ＝bsinA a ＝9×226＝3 24>1.∴此三角形无解．答案 A7．已知△ABC 的外接圆半径为R ，且2R(sin 2A －sin 2C)＝(2a －b)sinB(其中a ，b 分不为A ，B 的对边)，这么角C 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析依照正弦定理，原式可化为2R ? ??a 24R 2－c 24R 2＝(2a －b)·b 2R ，∴a 2－c 2＝(2a －b)b ，∴a 2＋b 2－c 2＝2ab ，∴cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝22，∴C ＝45°. 答案 B8．在△ABC 中，已知sin 2A ＋sin 2B －sinAsinB ＝sin 2C ，且满脚ab ＝4，则该三角形的面积为( )A ．1B ．2 C. 2 D. 3解析由a sinA ＝b sinB ＝c sinC＝2R ，又sin 2A ＋sin 2B －sinAsinB ＝sin 2C ，可得a 2＋b 2－ab ＝c 2.∴c osC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴C ＝60°，sinC ＝32. ∴S △ABC ＝12absinC ＝ 3. 答案 D9．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sinB sinC 的值为( ) A.85 B.58 C.53 D.35解析由余弦定理，得 cosA ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC，解得AC ＝3. 由正弦定理sinB sinC ＝AC AB ＝35. 答案 D10.在三角形ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则∠BAC 的大小为( )A.2π3B.5π6C.3π4D.π3解析由余弦定理，得cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝52＋32－722×5×3＝－12，∴∠BAC ＝2π3. 答案 A11．有一长为1 km 的歪坡，它的倾歪角为20°，现要将倾歪角改为10°，则坡底要加长( )A ．0.5 kmB ．1 kmC ．1.5 km D.32km 解析如图，AC ＝AB ·sin20°＝sin20°，BC ＝AB ·cos20°＝cos20°，DC ＝AC tan10°＝2cos 210°，∴DB ＝DC －BC ＝2cos 210°－cos20°＝1.答案 B12．已知△ABC 中，A ，B ，C 的对边分不为a ，b ，c.若a ＝c ＝6＋2，且A ＝75°，则b 为( )A ．2B ．4＋2 3C ．4－2 3 D.6－ 2解析在△ABC 中，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，∵a ＝c ，∴0＝b 2－2bccosA ＝b 2－2b(6＋2)cos75°，而cos75°＝cos(30°＋45°)＝cos30°cos45°－sin30°sin45°＝22? ????32－12＝14(6－2)，∴b 2－2b(6＋2)cos75°＝b 2－2b(6＋2)·14(6－2)＝b 2－2b ＝0，解得b ＝2，或b ＝0(舍去)．故选A. 答案 A 13．在△ABC 中，A ＝60°，C ＝45°，b ＝4，则此三角形的最小边是____________．解析由A ＋B ＋C ＝180°，得B ＝75°，∴c 为最小边，由正弦定理，知c ＝bsinC sinB ＝4sin45°sin75°＝4(3－1)．答案 4(3－1)14．在△ABC 中，若b ＝2a ，B ＝A ＋60°，则A ＝________.解析由B ＝A ＋60°，得 sinB ＝sin(A ＋60°)＝12sinA ＋32cosA. 又由b ＝2a ，知sinB ＝2sinA.∴2sinA ＝12sinA ＋32cosA. 即32sinA ＝32cosA.∵cosA ≠0，∴tanA ＝33.∵0°<A<180°，∴A ＝30°. 答案30° 15．在△ABC 中，A ＋C ＝2B ，BC ＝5，且△ABC 的面积为103，则B ＝_______，AB ＝_______.解析由A ＋C ＝2B 及A ＋B ＋C ＝180°，得B ＝60°.又S ＝12AB ·BC ·sinB ，∴10 3＝12AB ×5×sin60°，∴AB ＝8. 答案60° 816．在△ABC 中，已知(b ＋c)：(c ＋a)：(a ＋b)＝8：9：10，则sinA ：sinB ：sinC ＝________.解析设b ＋c ＝8k ，c ＋a ＝9k ，a ＋b ＝10k ，可得a ：b ：c ＝11：9：7.∴sinA ：sinB ：sinC ＝11：9：7.答案 11：9：717．在非等腰△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分不为a ，b ，c ，且a 2＝b(b ＋c)．(1)求证：A ＝2B ；(2)若a ＝XXX ，试推断△ABC 的形状．解 (1)证明：在△ABC 中，∵a 2＝b ·(b ＋c)＝b 2＋bc ，由余弦定理，得cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝bc ＋c 22ac ＝b ＋c 2a ＝a 2b ＝sinA 2sinB ，∴sinA ＝2sinBcosB ＝sin2B.则A ＝2B 或A ＋2B ＝π.若A ＋2B ＝π，又A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝C.这与已知相矛盾，故A ＝2B.(2)∵a ＝XXX ，由a 2＝b(b ＋c)，得XXX 2＝b 2＋bc ，∴c ＝2b.又a 2＋b 2＝4b 2＝c 2.故△ABC 为直角三角形．18．锐角三角形ABC 中，边a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，角A ，B 满脚2sin(A ＋B)－3＝0.求：(1)角C 的度数；(2)边c 的长度及△ABC 的面积．解 (1)由2sin(A ＋B)－3＝0，得sin(A ＋B)＝32. ∵△ABC 为锐角三角形，∴A ＋B ＝120°，∴∠C ＝60°.(2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两个根，∴a ＋b ＝23，ab ＝2.∴c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ＝(a ＋b)2－3ab ＝12－6＝6.∴c ＝ 6.S △ABC ＝12absinC ＝12×2×32＝32. 19.已知△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分不是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ，b)，n ＝(sinB ，sinA)，p ＝(b －2，a －2)．(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m ⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积．解 (1)证明：∵m ∥n ，∴asinA ＝bsinB.由正弦定得知，sinA ＝a 2R ，sinB ＝b 2R (其中R 为△ABC 外接圆的半径)，代入上式，得a ·a 2R ＝b ·b 2R，∴a ＝b.故△ABC 为等腰三角形．(2)∵m ⊥p ，∴m ·p ＝0，∴a(b －2)＋b(a －2)＝0，∴a ＋b ＝ab.由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2abcosC 得4＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0. 解得ab＝4，ab＝－1(舍去)．∴△ABC的面积S＝12absinC＝12×4×sinπ3＝ 3.。
高考三角函数复习专题
三角函数复习专题一、核心知识点归纳： ★★★1、正弦函数、余弦函数与正切函数的图象及性质：sin y x =cos y x = tan y x =图象定义域 R R值域[]1,1- []1,1-R最值当()k ∈Z 时，max 1y =；当 ()k ∈Z 时，min 1y =-．当()2x k k π=∈Z 时，max 1y =；当2x k ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =-． 既无最大值也无最小值周期性 2π 2ππ奇偶性奇函数 偶函数奇函数单调性在()k ∈Z 上是增函数；在()k ∈Z 上是减函数．在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在[]2,2k k πππ+()k ∈Z 上是减函数．在()k ∈Z 上是增函数．对称性对称中心()(),0k k π∈Z对称轴对称中心对称轴()x k k π=∈Z 对称中心无对称轴函 数 性 质★★2.正、余弦定理：在ABC ∆中有: ①正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===〔R 为ABC ∆外接圆半径〕 ⇒ 注意变形应用②面积公式：111sin sin sin 222ABC S abs C ac B bc A ∆===③余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩⇒二、方法总结：1.三角函数恒等变形的根本策略。
〔1〕注意隐含条件的应用：1＝cos 2x ＋sin 2x 。
〔2〕角的配凑。
α＝〔α＋β〕－β，β＝－等。
〔3〕升幂及降幂。
主要用2倍角的余弦。
〔4〕化弦〔切〕法，用正弦定理或余弦定理。
〔5〕引入辅助角。
asin θ＋bcos θ＝22b a +sin (θ＋ϕ)，这里辅助角ϕ所在象限由a 、b 的符号确定，ϕ角的值由tan ϕ＝ab确定。
2.解答三角高考题的策略。
〔1〕发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进展所谓的“差异分析〞。
三角函数知识点总结及高考题库
P xyAOM T 三角函数⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z 第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z4、已知α是第几象限角，确定()*n nα∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为nα终边所落在的区域．5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l rα=． 7、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180π=，180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭． 8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．9、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是()220r r x y =+>，则sin y r α=，cos x r α=，()tan 0yx xα=≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．11、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ． 12、同角三角函数的基本关系：()221sin cos 1αα+=()2222sin1cos ,cos 1sin αααα=-=-；αα22sec tan 1=+;αα22csc cot 1=+()sin 2tan cos ααα= sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛⎫== ⎪⎝⎭．(3)1cot tan =∙αα;1sec cos =∙αα;1csc sin =∙αα13、三角函数的诱导公式：()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．口诀：函数名称不变，符号看象限．()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭． ()6sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭．口诀：奇变偶不变，符号看象限． 重要公式⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+； ⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-； ⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴sin 22sin cos ααα=．⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-（2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=）． ⑶22tan tan 21tan ααα=-．公式的变形：()βαβαβαtan tan 1)tan(tan tan ∙±=±，2cos 12cosαα+±=；αααααααsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan -=+=+-±=辅助角公式()22sin cos sin αααϕA +B =A +B +，其中tan ϕB=A． 万能公式万能公式其实是二倍角公式的另外一种变形：2tan 12tan2sin 2ααα+=，2tan 12tan 1cos 22ααα+-=，2tan 12tan2tan 2ααα-=14、函数sin y x =的图象上所有点向左（右）平移ϕ个单位长度，得到函数()sin y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象． 函数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数 sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移ϕω个单位长度，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象． 函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质：①振幅：A ；②周期：2πωT =；③频率：12f ωπ==T ；④相位：x ωϕ+；⑤初相：ϕ． 函数()sin y x B ωϕ=A ++，当1x x =时，取得最小值为min y ；当2x x =时，取得最大值为max y ，则()max min 12y y A =-，()max min 12y y B =+，()21122x x x x T=-<． 15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sin y x =cos y x = tan y x =图象定义域 RR,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =；当22x k ππ=- ()k ∈Z 时，min 1y =-．当()2x k k π=∈Z 时，max 1y =；当2x k ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =-．既无最大值也无最小值周期性2π 2π π奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是增函数；在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ ()k ∈Z 上是减函数．在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在[]2,2k k πππ+()k ∈Z 上是减函数．在,22k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()k ∈Z 上是增函数．对称性对称中心()(),0k k π∈Z对称轴()2x k k ππ=+∈Z对称中心(),02k k ππ⎛⎫+∈Z ⎪⎝⎭ 对称轴()x k k π=∈Z 对称中心(),02k k π⎛⎫∈Z ⎪⎝⎭ 无对称轴三角函数题型分类总结一．求值1、sin330︒= tan 690° = o585sin =2、（1）(07全国Ⅰ) α是第四象限角，12cos 13α=，则sin α= （2）（09北京文）若4sin ,tan 05θθ=->，则cos θ= . 二.最值函数性 质1.（09福建）函数()sin cos f x x x =最小值是= 。
(完整版)高中数学三角函数复习专题
高中数学三角函数复习专题一、知识点整理 :1、角的看法的推行：正负，范围，象限角，坐标轴上的角；2、角的会集的表示：①终边为一射线的角的会集：x x2k, k Z=|k 360o, k Z②终边为向来线的角的会集：x x k, k Z；③两射线介定的地域上的角的会集：x 2k x2k, k Z④两直线介定的地域上的角的会集：x k x k, k Z；3、任意角的三角函数：（1）弧长公式： l a R R 为圆弧的半径，a为圆心角弧度数， l 为弧长。
（2）扇形的面积公式：S 1lR R 为圆弧的半径， l 为弧长。
2（3）三角函数定义：角中边上任意一点 P 为 ( x, y) ，设 | OP |r 则：sin y, cos x ,tan y r= a 2b2 r r x反过来，角的终边上到原点的距离为r 的点P的坐标可写为：P r cos, r sin 比如：公式 cos()cos cossin sin的证明（4）特别角的三角函数值α032 64322sin α012310-10222cosα13210-101222tan α0313不存不存0 3在在（5）三角函数符号规律：第一象限全正，二正三切四余弦。
（6）三角函数线：（判断正负、比较大小，解方程或不等式等）y T 如图，角的终边与单位圆交于点P，过点 P 作 x 轴的垂线，P 垂足为 M ，则Ao 过点 A(1,0)作 x 轴的切线，交角终边OP 于点 T，则M x。
（7）同角三角函数关系式：①倒数关系： tana cot a 1sin a ②商数关系： tan acosa③平方关系： sin 2 a cos2 a1（ 8)引诱公试sin cos tan三角函数值等于的同名三角函数值，前方-- sin+ cos- tan加上一个把看作锐角时，原三角函数值的- tan-+ sin- cos符号；即：函数名不变，符号看象限+- sin- cos+ tan2-- sin+ cos- tan2k++ sin+ cos+ tansin con tan2+ cos+ sin+ cot三角函数值等于的异名三角函数值，前方2+ cos- sin- cot加上一个把看作锐角时，原三角函数值的3- cos- sin+ cot2符号 ;3- cos+ sin- cot2即：函数名改变，符号看象限 : sin x cos x cos x比方444cos x sin x444.两角和与差的三角函数：（1）两角和与差公式：cos() cos a cos sin a sin sin( a) sin a coscosa sintan a(atan a tan注：公式的逆用也许变形)1 tan a tan．．．．．．．．．（2）二倍角公式：sin 2a 2sin acosa cos 2a cos2 a sin 2 a12 sin2 a 2 cos2 a 12 tan atan 2a1 tan2 a(3)几个派生公式：①辅助角公式：a sinx bcosx a2b2 sin(x)a22 cos()b x比方： sinα± cosα＝ 2 sin4＝ 2 cos4．sinα±3 cosα＝ 2sin3＝2cos3等．②降次公式： (sin cos) 21sin 2cos21cos2,sin 21cos222③ tan tan tan()(1 tan tan)5、三角函数的图像和性质：（此中 k z ）三角函数y sin x定义域（- ∞， +∞）值域[-1,1]最小正周期T2奇偶性奇[ 2k,2k]22单调性单调递加[ 2k,2k3 ]22单调递减x k对称性2(k ,0)零值点x ky cosx（- ∞， +∞）[-1,1]T 2偶[( 2k 1) ,2k ]单调递加[( 2k , (2k 1) ]单调递减x k(k,0)2x k2y tan xx k2（-∞，+∞）T奇(k,k)22单调递加k(,0)x kx k2x 2 k，最值点y max1ymax 1；无x k2x(2k 1) ，y min1y min1 6、 .函数y Asin( x) 的图像与性质：（本节知识观察一般能化成形如y Asin( x) 图像及性质）（ 1）函数 y Asin( x) 和 y Acos( x2 ) 的周期都是T（ 2）函数y A tan( x) 和 y Acot( x) 的周期都是T（ 3）五点法作y Asin( x) 的简图，设t x，取0、、、3、2来求相应x22的值以及对应的y 值再描点作图。
高中数学《三角函数》知识点及题型总结(最全)—精品文档
P xyAOM T 高中数学《三角函数》知识点及题型总结（最全）一、知识点汇编A斜边 π-α (0,r) α 邻边 B 对边 C (∠A=） (﹣r,0) (r , 0)A 1π+α (0,﹣r) ﹣α(∠A=∠B=45°） B 1 CA2 ∠A=30°，∠B=60°）=，=，=一、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是()220r r x y =+> 则sin y r α=，cos x r α=，()tan 0yx xα=≠．（任意角α的三角函数值只与α有关，而与点P 的位置无关）二、三角函数值在各象限的符号函数值 第一象限第二象限第三象限第四象限Sin α+ + ﹣ ﹣ Cos α+﹣﹣+Otan α+﹣+ ﹣三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）正切、余切余弦、正割-----+++++-+正弦、余割o o o x yx yx ySin α Cos α tan α注：①三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正． ②正弦的符号决定于纵坐标y 的符号 ③余弦的符号决定于横坐标x 的符号④正切是纵坐标y ，横坐标x 共同决定，同号（+），异号（-）三、特殊角的三角函数值1.常见角函数值30 45 6090° 180° 270° 360°1-11-111不存在不存在2.特殊角函数值15° 75° 105°2-2+-2-四、三角函数诱导公式公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin （2k π＋α）＝sin α cos （2k π＋α）＝cos α tan （2k π＋α）＝tan α cot （2k π＋α）＝cot α 公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin （π＋α）＝－sin α cos （π＋α）＝－cos α tan （π＋α）＝tan α cot （π＋α）＝cot α 公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin （－α）＝－sin α cos （－α）＝cos α tan （－α）＝－tan α cot （－α）＝－cot α 公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （π－α）＝sin α cos （π－α）＝－cos α tan （π－α）＝－tan α cot （π－α）＝－cot α 公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π－α）＝－sin α cos （2π－α）＝cos α tan （2π－α）＝－tan α cot （2π－α）＝－cot α 公式六：（π/2）±α与α的三角函数值之间的关系：五、角与角之间的转换⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+； ⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；ααπsin )21cos(=-ααπcos )21sin(=-ααπcos )21sin(=+ααπsin )21cos(-=+⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-； ⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+ ， ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=- ， ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．六、二倍角的正弦、余弦和正切公式⑴sin 22sin cos ααα=． ⑵2222cos2cossin 2cos 112sin ααααα=-=-=-（2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=）． ⑶22tan tan 21tan ααα=- 七、公式变形2cos 21cos 2αα+=21cos 2sin 2αα-=1+= 1-=a b = （a）八、正弦、余弦定理的比较正弦定理余弦定理内容A a sin ＝B b sin ＝Ccsin ＝2R （外接圆直径）；a 2=b 2+c 2-2bccosA ． c 2=a 2+b 2-2abcosC ． b 2=a 2+c 2-2accosB ．变形形式①边化角⎪⎩⎪⎨⎧===C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2②角化边RcC R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin ===. ③ a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ． ④aSinB=bSinA;bSinC=cSinB ;aSinC=cSinA解决问题①已知两角和任一边，求其他两边及一角．②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角．（1）已知三角形的三条边长，可求出三个内角；（2）已知三角形的两边及夹角，可求出第三边．九、常用面积公式1. S=a（表示a 边上的高） 2.S=ab=ac=bc3.S=r （a+b+c ） (r 为内切圆的半径)十．三角函数图像sin y x =cos y x = tan y x =图象定义域 R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R函数性 质最值当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =；当22x k ππ=-()k ∈Z 时，min 1y =-．当()2x k k π=∈Z 时，max 1y =；当2x k ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π 2π π奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是增函数；在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是减函数．在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在[]2,2k k πππ+()k ∈Z 上是减函数．在,22k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()k ∈Z 上是增函数．对称性对称中心()(),0k k π∈Z对称轴()2x k k ππ=+∈Z对称中心(),02k k ππ⎛⎫+∈Z ⎪⎝⎭ 对称轴()x k k π=∈Z 对称中心(),02k k π⎛⎫∈Z ⎪⎝⎭ 无对称轴十一，函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质Y ＝Asin(ωx＋φ)+b周期是ωπ2=T ; 对称轴ωx＋φ=k +得x= ;对称中心：ωx＋φ= k 得x=，所以对称中心为（，0）A 0 , ω0A 0 , ω0单调性单增 2kωx＋φ2k π+单减2k π+ωx＋φ2k π+单增2k π+ωx＋φ2k π+单减2k ωx＋φ2k π+ωx＋φ=2k π+ωx＋φ=2kωx＋φ=2k ωx＋φ=2k π+值域Y ＝Acos (ωx＋φ)+b周期是ωπ2=T ; 对称轴ωx＋φ=k 得x=;对称中心：ωx＋φ= k +得x= ，所以对称中心为（，0）A 0 , ω0A 0 , ω0 单调性单增 2k -ωx＋φ2k π单减2k πωx＋φ2k π+单增2k πωx＋φ2k π+ 单减 2k -ωx＋φ2k πωx＋φ=2k ωx＋φ=2k +ωx＋φ=2k+ωx＋φ=2k值域十二、图像变化Y＝Asin(ωx＋φ)+b1.向上（下）平移K个单位，得Y＝Asin(ωx＋φ)+b k2.向左（右）平移K个单位，得Y＝Asin+b3.横坐标不变，纵坐标变为原来的K倍，得Y＝k4.纵坐标不变，横坐标变为原来的K倍，得Y＝Asin(ω＋φ)+b解题方法：1.求一个角的大小，通常求余弦值2.已知一个角的大小时，马上求出另外两角之和3.看见两角之和，马上变为减去第三个角4.看见，马上想到：=得到5.当有边的一次关系时，用正弦定理（边化角：a=2RsinA…角化边：sinA=…）6.已知角与对边关系，用正弦定理7.既有边的平方关系，又有边的乘积关系时，用余弦定理8.已知角与邻边关系时，用余弦定理9. 已知面积S=ab =ac =bc ，求出两边之积10. 2cos 21cos 2αα+=， 21cos 2sin 2αα-= ，11. a b=（a）y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：①A 的确定：根据图象的最高点和最低点，即A ＝最高点－最低点2；②B 的确定：根据图象的最高点和最低点，即B ＝最高点＋最低点2；③ω的确定：结合图象，先求出周期，然后由T ＝2πω(ω>0)来确定ω；④φ的确定：把图像上的点的坐标带入解析式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B ,代入最高点或最低点题型分类剖析一、求三角函数求值1. 已知sin cos 2αα-=,α∈(0,π),则sin 2α=2.3sincos 2αα==若，则 3.已知sin2α=,则cos 2(α+)=4.若α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin 2α＋cos2α＝14，则tan α的值等于5.若cos 22π2sin 4αα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭cos sin αα+= 6.已知π4cos sin 365αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭7πsin 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值的大小 7.已知：1tan()3πα+=-，22sin 2()4cos 2tan()10cos sin 2παααβαα-++=-．（1）求tan()αβ+的值； （2）求tan β的值．二、求三角形中的函数值8.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c.若a 2－b 2＝3bc ，sinC ＝23sinB ，求角A 的大小。
完整版)高三三角函数专题复习(题型全面)
完整版)高三三角函数专题复习(题型全面)三角函数考点1：三角函数的概念三角函数是以角度或弧度为自变量的函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
考点2：三角恒等变换三角恒等变换包括两角和、差公式、倍角半角公式、诱导公式、同角的三角函数关系式等。
考点3：正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域、值域、最值、单调区间、最小正周期、对称轴对称中心等性质都需要掌握。
考点4：函数y=Asin(x)(A,)的图像与性质函数y=Asin(x)(A,)的定义域、值域、最值、单调区间、最小正周期、对称轴对称中心等性质也需要掌握。
此外，该函数的图像还可以通过一定的变换得到。
一、三角函数求值问题1.三角函数的概念例1.若角的终边经过点P(4a,3a)(a0)，则sin=-3/5.2.公式法例2.设(0,π/2)，若sin=1/2，则2cos()=√3.练1.已知角的终边上一点的坐标为（sinθ。
cosθ）(θ∈(π/2,π))，则sin=-cosθ。
3.化简求值例3.已知为第二象限角，且sin=15/17，求sin(+π/4)的值。
练：1.已知sin=1/5，则sin4-cos4的值为-24/25.2.已知tan(θ+)=1/2，求tanθ和sin2θ-cosθ.sinθ+2cos2θ的值。
4.配凑求值例4．已知,∈(π/3,π/2)，且sin(+)=-√3/2，sin(-)=1/2，求cos(+)的值。
练：1.设α∈(π/12,π/3)，β∈(0,π/6)，且sin(α+β)=-√3/2，sin(β-α)=-1/2，则cos(α+β)=1/2.1.已知三角函数的值，求其他三角函数的值已知 $sin\alpha = \frac{4}{5}$，$cos\beta = \frac{3}{5}$，$cos(\alpha - \beta) = \frac{1}{2}$，$sin(\beta + \theta) =\frac{3}{5}$，求 $sin(\alpha + \beta)$ 和 $tan(\alpha - 2\beta)$。
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三角函数三角函数知识框架图应用弧长与扇形同角三函数计算与化简应用诱导公式应用任意角角度制与任意角的三角函数的应用已知三角函的概念和角公式应用倍角公式应用差角公式应用知识要点 :定义 1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。
若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。
角的大小是任意的。
定义 2角度制，把一周角360 等分，每一等分为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角π弧度。
若圆心角的弧长为l ，则其弧度数的绝对值 | α|= l, 其中 r 是圆的半r径。
定义 3 三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点 P，设它的坐标为（ x, y），到原点的距离为 r, 则正弦函数 sin α=y, 余弦函数coα=x,正切函数 tan α=y, rsr x正角 : 按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角 : 不作任何旋转形成的角2、角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角．第一象限角的集合为ok 360oo =22k,kk 36090 , k k2第二象限角的集合为k 360o90o k 360o180o, k=22,kk k2第三象限角的集合为 k 360o 180o k 360o 270o , k =_________________第四象限角的集合为k 360o270ok 360o 360o , k=___________y终边在 x 轴上的角的集合为 k 180o , k=____________________P T终边在 y 轴上的角的集合为 k 180o 90o , k=_________________ OM Ax终边在坐标轴上的角的集合为k 90o ,k=__________________3、与角 终边相同的角的集合为 k 360o, k=__________________4、已知是第几象限角，确定n *所在象限的方法：先把各象限均分 n 等份，再从 x 轴的正半n轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则原来是第几象限对应的标号即为终边所落n在的区域．180o5、弧度制与角度制的换算公式：2360o ， 1o， 157.3o ．1806、若扇形的圆心角为为弧度制 ，半径为 r ，弧长为 l ，周长为 C ，面积为 S ，则 l r，C 2r l ，S1lr1 r2 ．227、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正． ( 口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦 )8、三角函数线： sin， cos， tan．若 x0,，则 sinx <x<tanx .29、同角三角函数的基本关系：1 sin2 cos 21 sin2 1 cos 2 ,cos 21 sin2 ；;2 sintansintan cos ,cossin ．costan10、三角函数的诱导公式： （把角写成k形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限）21 sin 2k sin ， cos 2k cos ， tan 2ktan k．2 sin sin ， cos cos ， tantan ．3 sin sin ， coscos ， tantan ．4 sinsin ， coscos， tan tan．5 sincos ， cos2sin． 6 sincos ， cossin ．22211、两角和与差的三角函数公式：⑴cos cos cos sin sin；⑵ cos cos cos sin sin；⑶sin sin cos cos sin；⑷ sin sin cos cos sin；⑸tantan tan（tan tan tan1tan tan）；1tan tan⑹ tantan tan（tan tan tan1tan tan）．1tan tan12、和差化积与积化和差公式:s inα +s inβ =2s in co s2,s inα -s inβ =2cos2sin2,2co sα+co sβ=2co s co s2, co sα- co sβ =-2s in2s in2,2s inαcoβ=1[sin(α β)+sin(αβ)],coαin β=1[sin(α β)-sin(αβ)], s2+-s s2+-co s αcoβ=1[coα β)+coαβ)],sin αin β=-1[coα β)-coαβ)].s2s(+s(-s2s(+s(-13、二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴ sin22sin cos．⑵ cos2cos2sin22cos21 1 2sin2（ cos21cos2， sin 21cos2）．22⑶ tan22tan．1tan214、半角公式 :s in=(1cos )cos 1 cos；tan21cos1sin 1 cos22221cos cos sin15、辅助角公式 :sin cos22 sin，其中 tan．16、万能公式2 tan1tan22， tan 2 tansin2， cos21tan221tan221tan2217、函数y sin x的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数 y sin x的图象；再将函数 y sin x的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的| 1| 倍（纵坐标不变），得到函数 y sin x的图象；再将函数y sin x的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数 y sin x的图象．函数 y sin x 的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1倍（纵坐标不变），得到函数y sin x 的图象；再将函数y sin x 的图象上所有点向左（右）平移|| 个单位长度，得到函数y sin x的图象；再将函数y sin x的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数 y sin x的图象．例：以 y sin x变换到y 4sin(3 x) 为例3y sin x 向左平移个单位（左加右减）y sin x33横坐标变为原来的1倍（纵坐标不变）y sin333纵坐标变为原来的 4 倍（横坐标不变）y4sin3x3y sin x 横坐标变为原来的1倍（纵坐标不变）y sin 3x 3向左平移个单位（左加右减）y sin 3x sin 3x993纵坐标变为原来的 4 倍（横坐标不变）y4sin 3x3注意：在变换中改变的始终是x。
高考数学三角函数知识点及典型例题讲解
――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结三角函数1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。
按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。
射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。
2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。
如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。
3. 终边相同的角的表示：（1）α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)⇔2()k k αθπ=+∈Z ，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角 1825-的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。
（答：25-；536π-）（2）α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ⇔()k k αθπ=+∈Z . （3）α终边与θ终边关于x 轴对称⇔2()k k αθπ=-+∈Z . （4）α终边与θ终边关于y 轴对称⇔2()k k απθπ=-+∈Z . （5）α终边与θ终边关于原点对称⇔2()k k απθπ=++∈Z .（6）α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈；α终边在y 轴上的角可表示为：,2k k Z παπ=+∈；α终边在坐标轴上的角可表示为：,2k k Z πα=∈.如α的终边与6π的终边关于直线x y =对称，则α＝____________。
（答：Z k k ∈+,32ππ）4、α与2α的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.如若α是第二象限角，则2α是第_____象限角 （答：一、三）5.弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：211||22S lR R α==，1弧度(1rad)57.3≈. 如已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。
(完整版)三角函数知识点及题型归纳,推荐文档
3 1
到原来的 倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是
2
3.将函数 y sin 2x 的图象向左平移 个单位, 再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析式是 4
4.（1）要得到函数
三角函数高考题型分类总结
一．求值
1.若 sin 4 , tan 0 ，则 cos
.
5
2. 是第三象限角， sin( ) 1 ，则 cos = 2
3.若角 的终边经过点 P(1， 2) ，则 cos =
cos(5 ) = 2
tan 2 =
4.下列各式中，值为 3 的是 2
()
（A） 2 sin15 cos15 （B） cos2 15 sin 2 15 （C） 2 sin 2 15 1 （D） sin 2 15 cos2 15
2 3
，7 6
上是增函数
B．在区间
，
2
上是减函数
C．在区间
3
，
4
上是增函数
D．在区间
3
，5 6
上是减函数
5.函数 y 2 cos2 x 的一个单调增区间是
()
A． ( , ) 44
B． (0, )
2
3 C． ( , )
44
D．
(
,
)
2
6．若函数 f(x)同时具有以下两个性质：①f(x)是偶函数，②对任意实数 x，都有 f( x )= 4
y
sin
x
的图象，只需将函数
y
cos
x
的图象向
平移 个单位
高考数学专项知识点：三角函数及解三角形(含真题)精选全文完整版
专题六三角函数及解三角形知识必备一、任意角、弧度制及任意角的三角函数1.角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.(2)按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z}.2.弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式角α的弧度数公式|α|＝lr (弧长用l 表示)角度与弧度的换算1°＝180 rad ；1rad ＝180°弧长公式弧长l ＝|α|r 扇形面积公式S ＝12lr ＝12|α|r 23.任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx(x ≠0).(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0).如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线.1.三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.2.若α∈2,0(，则tan α>α>sin α.3.角度制与弧度制可利用180°＝πrad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用.4.象限角的集合二、同角三角函数的基本关系与诱导公式1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：sin cos＝tan__α.2.三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2k π＋α(k ∈Z)π＋α－απ－α2－α2＋α正弦sin α－sin__α－sin__αsin__αcos__αcos__α余弦cos α－cos__αcos__α－cos__αsin__α－sin__α正切tan αtan__α－tan__α－tan__α口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限3.常用结论（1）同角三角函数关系式的常用变形(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α.（2）诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.（3）在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.三、三角函数的图象及性质1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，)1,2( ，(π，0)，)1,23(，(2π，0).(2)余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，)0,2( ，(π，－1)，)0,23(，(2π，1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z)函数y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图象定义域R R {x |x R x ≠k π＋2}值域[－1，1][－1，1]R 周期性2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数四、正弦定理余弦定理1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：(1)a ∶b ∶c ＝sin_A ∶sin_B ∶sin_C ；(2)a＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R等形式，以解决不同的三角形问题．2．余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab3．S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R 、r .4．在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下：A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式a ＝b sin A b sin A <a <b a ≥b a >b 解的个数一解两解一解一解5．实际问题中的常用角(1)仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)．(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等．(3)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如图②)．(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值．[难点正本疑点清源]1．在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B .2．根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．真题再现1．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】已知πsin sin =3 （）1，则πsin =6（）A ．12B C ．23D 【答案】B【解析】由题意可得：13sin sin cos 122，则：3sin cos 122 ，1sin cos 223，从而有：sin coscos sin 663，即sin 63.故选：B.【点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公式及其应用，属于中等题.2．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】设函数π()cos()6f x x 在[−π，π]的图像大致如下图，则f （x ）的最小正周期为A ．10π9B ．7π6C ．4π3D ．3π2【答案】C【解析】由图可得：函数图象过点4,09，将它代入函数 f x 可得：4cos 096，又4,09是函数 f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点，所以4962，解得32 .所以函数 f x 的最小正周期为224332T故选C.【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.3．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则tan B =AB ．C ．D ．【答案】C【解析】设,,AB c BC a CA b22222cos 916234933c a b ab C c2221cos sin tan 4299a cb B B B ac 故选：C【点睛】本题考查余弦定理以及同角三角函数关系，考查基本分析求解能力，属基础题.4．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】已知函数f (x )=sin x +1sin x，则A ．f (x )的最小值为2B ．f (x )的图像关于y 轴对称C ．f (x )的图像关于直线x 对称D ．f (x )的图像关于直线2x对称【答案】D【解析】sin x ∵可以为负，所以A 错；1sin 0()()sin ()sin x x k k Z f x x f x xQ Q ()f x 关于原点对称；11(2)sin (),()sin (),sin sin f x x f x f x x f x x x Q 故B 错；()f x 关于直线2x对称，故C 错，D 对故选：D【点睛】本题考查函数定义域与最值、奇偶性、对称性，考查基本分析判断能力，属中档题.5．【2020年高考天津】已知函数π()sin(3f x x ．给出下列结论：①()f x 的最小正周期为2π；②π(2f 是()f x 的最大值；③把函数sin y x 的图象上所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数()y f x 的图象．其中所有正确结论的序号是A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】B【解析】因为()sin()3f x x，所以周期22T，故①正确；51()sin(sin 122362f ，故②不正确；将函数sin y x 的图象上所有点向左平移3个单位长度，得到sin(3y x 的图象，故③正确.故选：B.【点晴】本题主要考查正弦型函数的性质及图象的平移，考查学生的数学运算能力，逻辑分析那能力，是一道容易题.6．【2020年高考北京】2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（ Day ）．历史上，求圆周率 的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为2 的近似值．按照阿尔·卡西的方法， 的近似值的表达式是A.30303sin tan n n nB.30306sin tan n n nC.60603sin tan n n nD.60606sin tan n n n【答案】A【解析】单位圆内接正6n 边形的每条边所对应的圆周角为360606n n，每条边长为302sin n，所以，单位圆的内接正6n 边形的周长为3012sin n n，单位圆的外切正6n 边形的每条边长为302tann ，其周长为3012tan n n，303012sin12tan 303026sin tan 2n n n n n n n，则30303sin tan n n n.故选：A.【点睛】本题考查圆周率 的近似值的计算，根据题意计算出单位圆内接正6n 边形和外切正6n 边形的周长是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.7．【2020年新高考全国Ⅰ卷】下图是函数y =sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)=A ．πsin(3x ）B ．πsin(2)3x C ．πcos(26x D ．5πcos(2)6x 【答案】BC【解析】由函数图像可知：22362T ，则222T，所以不选A,当2536212x时，1y 5322122k k Z ，解得： 223k k Z ，即函数的解析式为：2sin 22sin 2cos 2sin 236263y x k x x x.而5cos 2cos(2)66x x故选：BC.【点睛】已知f (x )＝Asin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)由ω＝2T即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.8．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】若2sin 3x ，则cos 2x __________．【答案】19【解析】22281cos 212sin 12()1399x x.故答案为19.【点睛】本题考查了余弦的二倍角公式的应用，属于基础题.9．【2020年高考江苏】已知2sin ()4 =23，则sin 2 的值是▲．【答案】13【解析】221sin ()cos )sin 2)4222Q 121(1sin 2)sin 2233故答案为：13【点睛】本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.10．【2020年高考北京】若函数()sin()cos f x x x 的最大值为2，则常数 的一个取值为________．【答案】2（2,2k k Z均可）【解析】因为 cos sin sin 1cos f x x x x，2 ，解得sin 1 ，故可取2.故答案为：2（2,2k k Z均可）.【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题.11．【2020年高考浙江】已知tan 2 ，则cos 2 _______，πtan(4_______．【答案】35-；13【解析】2222222222cos sin 1tan 123cos 2cos sin cos sin 1tan 125，tan 1211tan(41tan 123，故答案为：31,53【点睛】本题考查二倍角余弦公式以及弦化切、两角差正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.12．【2020年高考江苏】将函数πsin(32)4y x ﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是▲．【答案】524x【解析】3sin[2(]3sin(2)6412y x x72()()122242k x k k Z x k Z 当1k 时524x.故答案为：524x【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题.13．【2020年新高考全国Ⅰ卷】某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC 的切点，四边形DEFG 为矩形，BC ⊥DG ，垂足为C ，tan ∠ODC =35，BH DG ∥，EF =12cm ，DE=2cm ，A 到直线DE 和EF 的距离均为7cm ，圆孔半径为1cm ，则图中阴影部分的面积为________cm 2．【答案】542【解析】设 OB OA r ，由题意7AM AN ，12EF ，所以5NF ，因为5AP ,所以45AGP ，因为//BH DG ，所以45AHO ，因为AG 与圆弧AB 相切于A 点，所以OA AG ，即OAH △为等腰直角三角形；在直角OQD △中，52OQ r，72DQ r ，因为3tan 5OQ ODC DQ ，所以212522r r ，解得r等腰直角OAH △的面积为1142S；扇形AOB 的面积 2213324S，所以阴影部分的面积为1215422S S.故答案为：542.【点睛】本题主要考查三角函数在实际中应用，把阴影部分合理分割是求解的关键，以劳动实习为背景，体现了五育并举的育人方针.14．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B =150°.（1）若a ，b ，求ABC △的面积；（2）若sin A C =2，求C .【解析】（1）由题设及余弦定理得2222832cos150c c ，解得2c （舍去），2c ，从而a .ABC △的面积为12sin1502．（2）在ABC △中，18030A B C C ，所以sin sin(30)sin(30)A C C C C ，故sin(30)2C.而030C ，所以3045C ，故15C .【点睛】本题考查余弦定理、三角恒等变换解三角形，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.15．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知25cos ()cos 24A A ．（1）求A ；（2）若3b c a ，证明：△ABC 是直角三角形．【解析】（1）由已知得25sin cos 4A A ，即21cos cos 04A A ．所以21(cos 02A ，1cos 2A ．由于0A ，故3A ．（2）由正弦定理及已知条件可得sin sin B C A．由（1）知23B C ，所以2sin sin()33B B ．即11sin 222B B ，1sin()32B ．由于03B ，故2B ．从而ABC △是直角三角形．【点睛】本题主要考查诱导公式和平方关系的应用，利用勾股定理或正弦定理，余弦定理判断三角形的形状，属于基础题．16．【2020年高考江苏】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,45a c B ．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ，求tan DAC ∠的值．【解析】（1）在ABC △中，因为3,45a c B ，由余弦定理2222cos b a c ac B ，得29223455b ，所以b 在ABC △中，由正弦定理sin sin b c B C ，得=sin 45sin C，所以sin C（2）在ADC △中，因为4cos 5ADC ,所以ADC 为钝角，而180ADC C CAD ,所以C 为锐角.故cos C 则sin 1tan cos 2C C C .因为4cos 5ADC，所以3sin 5ADC ，sin 3tan cos 4ADC ADC ADC .从而31tan()242tan tan(180)tan()===311tan tan 111()42ADC C ADC ADC C ADC C ADC C .【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角恒等变换，属于中档题.17．【2020年高考天津】在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c．已知5,a b c ．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin A 的值；（Ⅲ）求πsin(24A 的值．【解析】（Ⅰ）在ABC △中，由余弦定理及5,a b c222cos 22a b c C ab ．又因为(0,π)C ，所以π4C ．（Ⅱ）在ABC △中，由正弦定理及π,4C a c sin 213sin 13a C A c ．（Ⅲ）由a c 及213sin 13A，可得313cos 13A ，进而2125sin 22sin cos ,cos 22cos 11313A A A A A．所以，πππ125sin(2)sin 2cos cos 2sin 44413213226A A A ．【点晴】本题主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换在解三角形中的应用，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.18．【2020年高考北京】在ABC 中，11a b ，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：（Ⅰ）a 的值：（Ⅱ）sin C 和ABC 的面积．条件①：17,cos 7c A；条件②：19cos ,cos 816A B ．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【解析】选择条件①（Ⅰ）17,cos 7c A ∵，11a b 22222212cos (11)72(11)7()7a b c bc A a a a ∵8a（Ⅱ）1cos(0,)sin77A A A∵，由正弦定理得：7sinsin sin sin2437a c CA C C11sin(118)8222S ba C选择条件②（Ⅰ）19cos,cos,(0,)816A B A B∵sin816A B由正弦定理得：6sin sin816a b aA B（Ⅱ）91sin sin()sin cos sin cos8161684C A B A B B A11sin(116)62244S ba C【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题.19．【2020年高考浙江】在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知2sin0b A ．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）求cos A+cos B+cos C的取值范围．【解析】（Ⅰ）由正弦定理得2sin sinB A A，故sin2B ，由题意得π3B .（Ⅱ）由πA B C得2π3C A，由ABC△是锐角三角形得ππ(,62A .由2π1cos cos()sin322C A A A得11π113cos cos cos sin()(,]2226222A B C A A A.故cos cos cosA B C的取值范围是13(,]22.【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求最值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.20．【2020年新高考全国Ⅰ卷】在①ac ，②sin 3c A ，③c 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在ABC △，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin A B ，6C，________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【解析】方案一：选条件①．由6C 和余弦定理得22222a b c ab ．由sin A B 及正弦定理得a ．222b c ．由①ac ，解得1a b c ．因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时1c ．方案二：选条件②．由6C 和余弦定理得2222a b c ab ．由sin A B 及正弦定理得a ．22232 ，由此可得b c ，6B C ，23A ．由②sin 3c A ，所以6c b a ．因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c 方案三：选条件③．由6C 和余弦定理得22222a b c ab ．由sin A B 及正弦定理得a ．2222 ，由此可得b c ．由③c ，与b c 矛盾．因此，选条件③时问题中的三角形不存在．【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．。
三角函数知识点总结及高考题目库15页word文档
P xyAOM T 三角函数2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z4、已知α是第几象限角，确定()*n nα∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为nα终边所落在的区域．5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l rα=． 7、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180π=，180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭． 8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．9、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是()220r r x y =+>，则sin y r α=，cos x r α=，()tan 0yx xα=≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．11、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ．12、同角三角函数的基本关系：()221sin cos 1αα+= (3)1cot tan =∙αα;1sec cos =∙αα;1csc sin =∙αα 13、三角函数的诱导公式：口诀：函数名称不变，符号看象限．口诀：奇变偶不变，符号看象限． 重要公式⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+； ⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-； ⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴sin 22sin cos ααα=． ⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-（2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=）． ⑶22tan tan 21tan ααα=-． 公式的变形： 辅助角公式()22sin cos sin αααϕA +B =A +B +，其中tan ϕB =A． 万能公式万能公式其实是二倍角公式的另外一种变形：14、函数sin y x =的图象上所有点向左（右）平移ϕ个单位长度，得到函数()sin y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象． 函数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数 sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移ϕω个单位长度，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质：①振幅：A ；②周期：2πωT =；③频率：12f ωπ==T ；④相位：x ωϕ+；⑤初相：ϕ． 函数()sin y x B ωϕ=A ++，当1x x =时，取得最小值为min y ；当2x x =时，取得最大值为max y ，则()max min 12y y A =-，()max min 12y y B =+，()21122x x x x T=-<． 15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sin y x = cos y x = tan y x =图象定义域 R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =；当22x k ππ=- ()k ∈Z 时，min 1y =-．当()2x k k π=∈Z 时，max 1y =；当2x k ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =-．既无最大值也无最小值周期性2π 2π π奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是增函数；在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ ()k ∈Z 上是减函数．在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在[]2,2k k πππ+()k ∈Z 上是减函数．在,22k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()k ∈Z 上是增函数．对称性对称中心()(),0k k π∈Z对称轴()2x k k ππ=+∈Z 对称中心(),02k k ππ⎛⎫+∈Z ⎪⎝⎭ 对称轴()x k k π=∈Z 对称中心(),02k k π⎛⎫∈Z ⎪⎝⎭ 无对称轴三角函数题型分类总结函 数 性 质一．求值1、sin330︒= tan690° = o585sin =2、（1）(07全国Ⅰ) α是第四象限角，12cos 13α=，则sin α= （2）（09北京文）若4sin ,tan 05θθ=->，则cos θ= . （3）（09全国卷Ⅱ文）已知△ABC 中，12cot 5A =-，则cos A = . (4) α是第三象限角，21)sin(=-πα，则αcos = )25cos(απ+=3、(1) (07陕西) 已知5sin ,5α=则44sin cos αα-= . (2)（04全国文）设(0,)2πα∈，若3sin 5α=，则2cos()4πα+= . （3）（06福建）已知3(,),sin ,25παπα∈=则tan()4πα+=4（07重庆）下列各式中，值为23的是( ) （A ）2sin15cos15︒︒ （B ）︒-︒15sin 15cos 22（C ）115sin 22-︒（D ）︒+︒15cos 15sin 22 5. (1)(07福建) sin15cos75cos15sin105+= (2)（06陕西）cos 43cos77sin 43cos167oooo+= 。
高考数学三角函数知识点总结及练习
高考数学三角函数知识点总结及练习三角函数总结及统练本文旨在总结和统练三角函数的基础知识，包括以下内容：一、基础知识1.集合S表示与角α终边相同的角的集合，其中β=2kπ+α，k∈Z。
2.三角函数是x、y、r三个量的比值，共有六种定义。
3.三角函数的符号口诀为“一正二弦，三切四余弦”。
4.三角函数线包括正弦线MP=sinα、余弦线OM=cosα和正切线AT=tanα。
5.同角三角函数的关系包括平方关系、商数关系和倒数关系，可以用“凑一拆一，切割化弦，化异为同”的口诀记忆。
6.诱导公式口诀为“奇变偶不变，符号看象限”，其中包括正弦、余弦、正切和余切的公式。
7.两角和与差的三角函数包括正弦、余弦、正切和余切的公式，以及三角函数的和差化积公式。
8.二倍角公式包括sin2α=2sinαcosα、cos2α=2cos2α-1=1-2sin2α=cosα-sinα、tan2α=2tanα/1-tan2α，以及对应的cos、tan公式。
9.三角函数的图象和性质，包括函数y=sinx、y=cosx和y=tanx的定义和定义域。
总之，三角函数是数学中的重要概念，掌握其基础知识对于研究高等数学和其他相关学科都有很大的帮助。
对于函数 $y=\sin x$，其定义域为 $[-\pi/2,\pi/2]$，值域为$[-1,1]$。
当 $x=2k\pi+\pi/2$ 时，函数取最大值 $1$；当$x=2k\pi-\pi/2$ 时，函数取最小值$-1$。
函数的周期为$2\pi$，是奇函数。
在区间 $[2k\pi-\pi/2,2k\pi+\pi/2]$ 上是增函数，在区间$[2k\pi-\pi,2k\pi]$ 上也是增函数，其中$k\in\mathbb{Z}$。
在区间 $[2k\pi,2k\pi+\pi]$ 上是减函数。
对于函数 $y=Asin(\omega x+\phi)$，当 $A>0$ 且$\omega>0$ 时，函数图像可以通过将横坐标缩短到原来的$\dfrac{1}{\omega}$ 倍，纵坐标伸长为原来的 $A$ 倍，再将图像左移$\dfrac{\phi}{\omega}$ 个单位得到。
2024年10月三角函数、解三角形大题汇编(学生版)
2024年9~10月三角函数、解三角形大题汇编知识点一：基本定理公式(1)正余弦定理：在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理公式a sin A=b sin B =csin C =2R a 2=b 2+c 2-2bc cos A ；b 2=c 2+a 2-2ac cos B ；c 2=a 2+b 2-2ab cos C ．常见变形(1)a =2R sin A ，b =2R sin B ，c =2R sin C ；(2)sin A =a 2R ，sin B =b 2R ，sin C =c2R；cos A =b 2+c 2-a 22bc ；cos B =c 2+a 2-b 22ac ；cos C =a 2+b 2-c 22ab．(2)面积公式：S ΔABC =12ab sin C =12bc sin A =12ac sin BS ΔABC =abc 4R=12(a +b +c )⋅r (r 是三角形内切圆的半径，并可由此计算R ，r ．)知识点二：相关应用(1)正弦定理的应用①边化角，角化边⇔a :b :c =sin A :sin B :sin C ②大边对大角大角对大边a >b ⇔A >B ⇔sin A >sin B ⇔cos A <cos B③合分比：a +b +csin A +sin B +sin C =a +b sin A +sin B =b +c sin B +sin C =a +c sin A +sin C =a sin A=b sin B =csin C =2R(2)△ABC 内角和定理：A +B +C =π①sin C =sin (A +B )=sin A cos B +cos A sin B ⇔c =a cos B +b cos A 同理有：a =b cos C +c cos B ，b =c cos A +a cos C ．②-cos C =cos (A +B )=cos A cos B -sin A sin B ；③斜三角形中，-tan C =tan (A +B )=tan A +tan B1-tan A ⋅tan B⇔tan A +tan B +tan C =tan A ⋅tan B ⋅tan C④sin A +B 2 =cos C 2；cos A +B 2 =sin C2⑤在ΔABC 中，内角A ，B ，C 成等差数列⇔B =π3,A +C =2π3．知识点三：实际应用(1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．【解题方法总结】1、方法技巧：解三角形多解情况在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式a=b sin A b sin A<a<b a≥b a>b a≤b解的个数一解两解一解一解无解2、在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：(1)若式子含有sin x的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；(2)若式子含有a,b,c的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；(3)若式子含有cos x的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；(4)代数变形或者三角恒等变换前置；(5)含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；(6)同时出现两个自由角(或三个自由角)时，要用到A+B+C=π．3、三角形中的射影定理在△ABC中，a=b cos C+c cos B；b=a cos C+c cos A；c=b cos A+a cos B．【题型分类汇编】1.(湖南省长沙市2025届高三六校九月大联考解析第15题)记ΔABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(3b-a)sin A=(b+c)(sin B-sin C).(1)求角C;(2)若ΔABC外接圆的半径为2,求ΔABC面积的最大值.2.(辽宁省沈阳市郊联体2024年高三上学期开学联考解析第16题)已知函数f (x )=23cos 2x -2025π2+2sin (x -2024π)cos x - 3.(1)求曲线y =f (x )的对称轴;(2)已知25f m -π6=14,m ∈2π3,5π6,求sin2m 的值.3.(福建泉州市2025届高中毕业班模拟检测(一)解析第15题)记ΔABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知a cos 2C 2+c cos 2A 2=32b .(1)证明:sin A +sin C =2sin B ;(2)若b =2,AB ⋅AC=3,求ΔABC 的面积.4.(长沙市雅礼中学2025届高三上学期(9月)综合自主测试解析第16题)在ΔABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,ΔABC 的面积为S ,433S =b 2sin (2A +B )sin B+1 .(1)求角A ;(2)若ΔABC 的面积为33,a =13,D 为边BC 的中点,求AD 的长.5.(山东省日照市2024-2025学年高三上学期开学校际联考解析第16题)记ΔABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=π3,a=2.(1)若sin B-sin C=12,求b;(2)若sin B+sin C=2sin A,求ΔABC的面积.6.(黄冈市2024年高三年级9月调研考试解析第16题)函数f(x)=sinωx⋅cosωx+cos2ωx,ω>0,函数的最小正周期为π.(1)求函数f(x)的单调递增区间以及对称中心;(2)将函数f(x)的图象先向右平移π8个单位,再向下平移12个单位,得到函数g(x)的图象,在函数g(x)图象上从左到右依次取点A1,A2,⋯,A2024,该点列的横坐标依次为x1,x2,⋯,x2024,其中x1=π4,x n+1-x n=π3n∈N*,求g x1+g x2+⋯+g x2024.7.(黄冈市2024年高三年级9月调研考试解析第18题)在ΔABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.(1)证明:tan A2=1-cos Asin A=sin A1+cos A;(2)若a,b,c成等比数列.(i)设ba=q,求q的取值范围;(ii)求tan A2tan C2的取值范围.8.(福建省漳州市2025届高三毕业班第一次教学质量检测解析第15题)在ΔABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足.请在①(a-b)sin(A+C)=(a-c)(sin A+sin C);②sinπ6-Ccos C+π3=14,这两个中任选一个作为条件,补充在横线上,并解答问题.(1)求C;(2)若ΔABC的面积为53,D为AC的中点,求BD的最小值.9.(唐山市2024-2025学年度高三年级摸底考试解析第15题)已知ΔABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,3sin2A+cos2A=2,b=2a.(1)求B;(2)若B为锐角,AC边上的高为2+6,求ΔABC的周长.10.(山东百师联盟2025届高三开学摸底联考解析第15题)已知ΔABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,C=π3,6b=ab+6c cos A.(1)求b的值;(2)若c=19,求ΔABC的面积.11.(2024年9月嘉兴市高三基础测试解析第15题)已知ΔABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(b+c-a)(b+c+a)=bc.(1)求A;(2)若D为BC边上一点,∠BAD=3∠CAD,AC=4,AD=3,求sin B.12.(江西省红色十校2025届高三上学期第一次联考解析第15题)已知ΔABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a(1-3cos C)=3c cos A.(1)求ba的值;(2)若c=2,求B最大时ΔABC的面积.13.(河北省邯郸市2024-2025学年高三第一次调研解析第15题)设ΔABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且(b+a)(sin∠ABC-sin∠BAC)=c(sin∠ABC-sin C),BC、AC边上的两条中线AD、BE相交于点P.(1)求∠BAC;(2)若AD=7,BE=2,cos∠DPE=714,求ΔABC的面积.14.(湘豫名校联考2024-2025学年新高考适应性调研考试解析第15题)在ΔABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知c=2,a2+c2-b2=23-2cos A bc.(1)求b的值;(2)设∠BAC的平分线交BC于点D,若ΔABC的面积为33,求线段AD的长.15.(山东省2024年9月高三七校联考解析第15题)已知锐角ΔABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a-c=2c cos B.(1)证明:B=2C;(2)若a=2,求cos Cb +1c的取值范围.16.(T8联考解析第16题)在ΔABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,4cos C+cos(A-B)=3,c=3.(1)求证:a+b=2c;(2)若点M是边AB上靠近点B的三等分点,求CM的最小值.17.(重庆市南开中学校2025届高三上学期第一次质量检测解析第15题)在ΔABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,a sin A=b-c 2sin B+c-b2sin C.(1)求A;(2)若ΔABC的面积为3,周长为8,求a.。
高考数学三角函数知识点总结及练习
三角函数总结及统练一. 教学内容：三角函数总结及统练 （一）基础知识1. 与角α终边相同的角的集合},2{Z k k S ∈+==απβ2. 三角函数的定义（六种）——三角函数是x 、y 、r 三个量的比值3. 三角函数的符号——口诀：一正二弦，三切四余弦。
4. 三角函数线 正弦线MP=αsin 余弦线OM=αcos 正切线AT=αtan5. 同角三角函数的关系平方关系：商数关系：倒数关系：1cot tan =⋅αα 1csc sin =⋅αα 1sec cos =⋅αα 口诀：凑一拆一；切割化弦；化异为同。
6. 诱导公式——口诀：奇变偶不变，符号看象限。
正弦 余弦 正切 余切7. 两角和与差的三角函数8. 二倍角公式——代换：令αβ=降幂公式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=22cos 1cos 22cos 1sin 22αααα半角公式：2cos 12sinαα-±=；2cos 12cos αα+±=；αααcos 1cos 12tan +-±= 9. 三角函数的图象和性质 函数图象定义域 R R值域 最值 2/2ππ+=k x 时1max =y ππ-=k x 22/时1min -=y πk x 2=时1max =yπk x 2=π+时1min -=yR无最大值 无最小值周期性 周期为π2周期为π2 周期为π奇偶性奇函数偶函数 奇函数单调性在]22,22[ππππ+-k k上都是增函数；在在]2,2[πππk k -上都是增函数，在]2,2[πππ+k k 上都在⎪⎭⎫ ⎝⎛+-2,2ππππk k 内都是增函数]232,22[ππππ++k k上都是减函数（Z k ∈）是减函数（Z k ∈） （Z k ∈） 10. 函数)sin(ϕω+=x A y 的图象变换 0,0>>ωA函数)sin(ϕω+=x A y 的图象可以通过下列两种方式得到：（1）−−−−−−−−−→−+=−−−−→−=倍横坐标缩短到原来的图象左移ωϕϕ1)sin(sin x y x y（2）−−−−→−=−−−−−−−−−→−=ωϕωω图象左移倍横坐标缩短到原来的)sin(sin 1x y x y（二）数学思想与基本解题方法1. 式子变形原则：凑一拆一；切割化弦；化异为同。
三角函数知识点总结及高考题库(学生版).doc
三角函数知识点总结及高考题库(学生版) 三角函数任意角的概念弧长与扇形面积公式角度制与弧度制同角三函数的基本关系任意角的三角函数诱导公式三角函数的图象和性质计算与化简证明恒等式已知三角函数值求角和角公式倍角公式差角公式应用应用应用应用应用应用应用三角函数知识框架图知识要点:定义1角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。
若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。
角的大小是任意的。
定义2角度制，把一周角360等分，每一等分为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。
360度=2π弧度。
若圆心角的弧长为l，则其弧度数的绝对值|α|=,其中r是圆的半径。
定义3三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x轴的非负半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P，设它的坐标为（x,y），到原点的距离为r,则正弦函数sinα=,余弦函数cosα=,正切函数tanα=,2、角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角．第一象限角的集合为=第二象限角的集合为=第三象限角的集合为=_________________PvxyAOMT第四象限角的集合为=___________终边在轴上的角的集合为=____________________终边在轴上的角的集合为=_________________终边在坐标轴上的角的集合为=__________________3、与角终边相同的角的集合为=__________________4、已知是第几象限角，确定所在象限的方法：先把各象限均分等份，再从轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则原来是第几象限对应的标号即为终边所落在的区域．5、弧度制与角度制的换算公式：，，．6、若扇形的圆心角为，半径为，弧长为，周长为，面积为，则，，．7、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．(口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦)8、三角函数线：，，．若，则sinx0)在区间[0，2π]的图像如下：那么ω=（）A.1B.2C.1/2D.1/34．（四川卷）下列函数中，图象的一部分如右图所示的是（）（A）（B）（C）（D）5.（广东卷文)已知中，的对边分别为若且，则2.（天津）定义在R上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，，则的值为2．(11年广东)函数f(x)是（）A．周期为的偶函数B．周期为的奇函数C．周期为2的偶函数D．.周期为2的奇函数3．（09四川）已知函数，下面结论错误的是()A.函数的最小正周期为2B.函数在区间［0，］上是增函数C.函数的图象关于直线＝0对称D.函数是奇函数4．(07安徽卷)函数的图象为C,如下结论中正确的是①图象C关于直线对称;②图象C关于点对称;③函数)内是增函数;④由的图象向右平移个单位长度可以得到图象C.5.（08广东卷）已知函数，则是（）A、最小正周期为的奇函数B、最小正周期为的奇函数C、最小正周期为的偶函数D、最小正周期为的偶函数6.在同一平面直角坐标系中，函数的图象和直线的交点个数是C（A）0（B）1（C）2（D）47．若α是第三象限角，且cos14.（2012陕西卷文）已知函数（其中）的周期为，且图象上一个最低点为.(Ⅰ)求的解析式；（Ⅱ）当，求的最值.15.（2009北京文）（本小题共12分）已知函数.（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值.16.（13全国二17）在中，，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设，求的面积．-19-。
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三角函数知识要点:定义1角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。
若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。
角的大小是任意的。
定义2角度制，把一周角360等分，每一等分为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。
360度=2π弧度。
若圆心角的弧长为l，则其弧度数的绝对值|α|=,其中r是圆的半径。
定义3三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x轴的非负半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P，设它的坐标为（x,y），到原点的距离为r,则正弦函数s inα=,余弦函数co sα=,正切函数tanα=,2、角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角．第一象限角的集合为=第二象限角的集合为=第三象限角的集合为=_________________ 任意角的概念弧长与扇形面积公式角度制与弧度制同角三函数的基本关系任意角的三角函数诱导公式三角函数的图象和性质计算与化简证明恒等式已知三角函数值求角和角公式倍角公式差角公式应用应用应用应用应用应用应用三角函数知识框架图P xyAO M T 第四象限角的集合为=___________终边在轴上的角的集合为=____________________终边在轴上的角的集合为=_________________ 终边在坐标轴上的角的集合为=__________________ 3、与角终边相同的角的集合为=__________________4、已知是第几象限角，确定所在象限的方法：先把各象限均分等份，再从轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则原来是第几象限对应的标号即为终边所落在的区域．5、弧度制与角度制的换算公式：，，． 6、若扇形的圆心角为，半径为，弧长为，周长为，面积为，则，，．7、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．(口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦) 8、三角函数线：，，．若，则s inx <x <tanx .9、同角三角函数的基本关系：；;．10、三角函数的诱导公式：（把角写成形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限），，．，，．，，．，，． ，．，．11、两角和与差的三角函数公式：⑴；⑵；⑶；⑷；⑸（）；⑹（）．12、和差化积与积化和差公式:s inα+s inβ=2s in co s,s inα-s inβ=2cos sin,co sα+co sβ=2co s co s, co sα-co sβ=-2s in s in,s inαco sβ=[s in(α+β)+s in(α-β)],co sαs inβ=[s in(α+β)-s in(α-β)],co sαco sβ=[co s(α+β)+co s(α-β)],s inαs inβ=-[co s(α+β)-co s(α-β)].13、二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴．⑵（，）．⑶．14、半角公式:s in=；15、辅助角公式:，其中．16、万能公式，，17、函数的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的||倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象．函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象．例：以变换到为例向左平移个单位（左加右减）横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）纵坐标变为原来的4倍（横坐标不变）横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）向左平移个单位（左加右减）纵坐标变为原来的4倍（横坐标不变）注意：在变换中改变的始终是x。
函数的性质：①振幅：；②周期：；③频率：；④相位：；⑤初相：．函数，当时，取得最小值为；当时，取得最大值为，则，，．函数性质图象定义域值域最值时，当；当．时，时，当；当．时，既无最大值也无最小值周期性奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在上是增函数；在上是减函数．上是在增函数；在上是减函数．在上是增函数．对称性对称中心对称轴对称中心对称轴对称中心无对称轴三角函数题型分类总结一．三角函数的求值、化简、证明问题常用的方法技巧有：a)常数代换法：如：b)配角方法：,,,1、= = =2、（1）(10全国Ⅰ)是第四象限角，，则__________（2）（11北京文）若，则 .(3) 是第三象限角，，则= = 3、(1)(09陕西)已知则= .(2)（12全国文）设，若，则= .（3）（08福建）已知则=4. (1)(10福建)=(2)（11陕西）= 。
（3）。
5.(1) 若sinθ＋cosθ＝，则sin 2θ=（2）已知，则的值为(3) 若 ,则=6. （10北京）若角的终边经过点，则= = 7．（09浙江）已知，且，则tan＝8.若，则=9.（09重庆文）下列关系式中正确的是（）A． B．C．D．10．已知，则的值为（）A．B．C．D．11．已知sinθ=－，θ∈（－，0），则cos（θ－）的值为（）A．－B．C．－D．12．已知f（cosx）=cos3x，则f（sin30°）的值是（）A．1 B． C．0 D．－113．已知sin x－sin y= －，cos x－cos y= ，且x，y为锐角，则tan(x－y)的值是( ) A．B．－C．±D．14．已知tan160o＝a，则sin2000o的值是( )A.a1＋a2B.－a1＋a2C.11＋a2D.－11＋a215.若，则的取值范围是： ( )（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）16.已知cos（α-）+sinα= ( )（A）-（B） (C)- (D)17.若则= （）（A）（B）2 （C）（D）二.最值1.（09福建）函数最小值是=。
2.①（08全国二）．函数的最大值为。
②（08上海）函数f(x)＝3sin x +sin(错误!+x)的最大值是③（12江西）若函数，，则的最大值为3.（08海南）函数的最小值为最大值为。
4.（12上海）函数的最小值是 .5．（11年福建）已知函数在区间上的最小值是，则的最小值等于6.（12辽宁）设，则函数的最小值为．7．将函数的图像向右平移了n个单位，所得图像关于y轴对称，则n的最小正值是A．B．C．D．8.若动直线与函数和的图像分别交于两点，则的最大值为（） A．1 B．C． D．29．函数y=sin（x+θ）cos（x+θ）在x=2时有最大值，则θ的一个值是（）A．B． C． D．10.函数在区间上的最大值是 ( )A.1B.C.D.1+11.求函数的最大值与最小值。
三.单调性1.（09天津）函数为增函数的区间是（）.A. B. C. D.2.函数的一个单调增区间是（）A．B．C．D．3.函数的单调递增区间是（）A． B． C． D．4．（07天津卷）设函数，则（）A．在区间上是增函数B．在区间上是减函数C．在区间上是增函数D．在区间上是减函数5.函数的一个单调增区间是 ( )A． B． C． D．6．若函数f(x)同时具有以下两个性质：①f(x)是偶函数，②对任意实数x，都有f()= f()，则f(x)的解析式可以是（）A．f(x)=cosx B．f(x)=cos(2x)C．f(x)=sin(4x)D．f(x) =cos6x四.周期性1．（07江苏卷）下列函数中，周期为的是（）A． B． C． D．2.（08江苏）的最小正周期为，其中，则=3.（04全国）函数的最小正周期是（）.4.（1）（04北京）函数的最小正周期是.（2）（09江苏）函数的最小正周期为（）.5.（1）函数的最小正周期是(2)（09江西文）函数的最小正周期为(3).（08广东）函数的最小正周期是．(4)（12年北京卷.理9）函数的最小正周期是.6.(09年广东文)函数是 ( )A．最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的偶函数C. 最小正周期为的奇函数D. 最小正周期为的偶函数7.（浙江卷2）函数的最小正周期是.8．函数的周期与函数的周期相等，则等于（）(A)2 (B)1 (C) ( D)五.对称性1.（08安徽）函数图像的对称轴方程可能是（）A．B．C．D．2．下列函数中，图象关于直线对称的是（）A B C D3．（11福建）函数的图象（）Ａ．关于点对称Ｂ．关于直线对称Ｃ．关于点对称Ｄ．关于直线对称4.（09全国）如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为（）(A)(B) (C) (D)六.图象平移与变换1.（08福建）函数y=cos x(x∈R)的图象向左平移个单位后，得到函数y=g(x)的图象，则g(x)的解析式为2.（08天津）把函数（）的图象上所有点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是3.(09山东)将函数的图象向左平移个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是4.(09湖南)将函数y=sinx的图象向左平移＜2的单位后，得到函数y=sin 的图象，则等于5．要得到函数的图象，需将函数的图象向 平移 个单位6（1）（12山东）要得到函数的图象，只需将函数的图象向 平移 个单位（2）为得到函数的图像，只需将函数的图像向 平移 个单位（3）为了得到函数的图象，可以将函数的图象向 平移 个单位长度 7.（2009天津卷文）已知函数的最小正周期为，将的图像向左平移个单位长度，所得图像关于y 轴对称，则的一个值是 （ ） ABCD8.将函数 y = 3 cos x －sin x 的图象向左平移 m （m > 0）个单位，所得到的图象关于 y 轴对称，则 m 的最小正值是 （D ） A. p 6 B. p 3 C. 2p 3 D. 5p 69.函数f (x )=cos x (x )(x R)的图象按向量(m,0) 平移后，得到函数y =-f ′(x )的图象，则m 的值可以为 ( )A.B.C.－D.－10.若函数y=sin （x+）+2的图象按向量a 平移后得到函数y=sinx 的图象，则a 等于 （ ）A ．（－，－2） B ．（，2） C ．（－，2） D ．（，－2）11．将函数y=f （x ）sinx 的图象向右平移个单位，再作关于x 轴的对称曲线，得到函数y=1－2sin 2x 的图象，则f （x ）是 （ ）A ．cosxB ．2cosxC ．sinxD ．2sinx 12．若函数的图象按向量平移后，它的一条对称轴是，则的一个可能的值是A ．B ．C ．D ．13.将函数的图象按向量平移后所得的图象关于点中心对称，则向量的坐标可能为A ．B ．C ．D ．七.图象1．（07宁夏、海南卷）函数在区间的简图是 （ ）2（浙江卷7）在同一平面直角坐标系中，函数的图象和直线的交点个数是（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）43.已知函数y=2sin(ωx+φ)(ω>0)在区间[0，2π]的图像如下：那么ω= （ ）A. 1B. 2C. 1/2D. 1/3 4．（2012年四川卷）下列函数中，图象的一部分如右图所示的是 （ ） （A ） （B ） （C ）（D ）5.（2009宁夏海南卷文）已知函数的图像如图所示，则。