位置关系的判断垂直
两直线的位置关系公式
两直线的位置关系公式两直线的位置关系公式是指用数学公式来描述两条直线之间的位置关系。
在平面几何中，直线是最基本的图形，研究直线之间的位置关系对于解决很多几何问题具有重要意义。
下面将介绍两条直线的四种位置关系及其对应的公式。
1. 平行关系：当两条直线之间没有交点且始终保持相同的方向时，它们是平行的。
此时，可以使用斜率来判断两条直线是否平行。
如果两条直线的斜率相等但截距不相等，那么它们是平行的。
用数学公式表示为：直线1的斜率 = 直线2的斜率且直线1的截距≠ 直线2的截距2. 垂直关系：当两条直线之间的夹角为90度时，它们是垂直的。
在平面直角坐标系中，两条直线垂直的条件是它们的斜率的乘积等于-1。
用数学公式表示为：直线1的斜率× 直线2的斜率 = -13. 相交关系：当两条直线在平面上有一个公共的交点时，它们是相交的。
相交的情况有两种：交点为有限点和交点为无穷远点。
直线相交的条件是它们的斜率不相等。
用数学公式表示为：直线1的斜率≠ 直线2的斜率4. 重合关系：当两条直线完全重合时，它们是重合的。
重合的直线有无穷多个交点，它们的斜率和截距相等。
用数学公式表示为：直线1的斜率 = 直线2的斜率且直线1的截距 = 直线2的截距两条直线的位置关系可以通过斜率、截距等数学公式来判断。
这些公式可以帮助我们在解决几何问题时确定直线之间的位置关系，从而得出准确的结论。
在实际应用中，我们可以通过计算斜率和截距，或者观察直线的图形来判断它们的位置关系，进而解决相关问题。
直线的位置关系公式是平面几何中的重要概念，对于几何学的学习和实际问题的解决都具有重要意义。
两条直线位置关系判断方法
两条直线的位置关系判断方法设平面上两条直线的方程分别为11112222:0,:0l a x b y c l a x b y c ++=++= 一．行列式法记系数行列式为1122,a b D a b =和相交⇔0D ≠ 1221b a b a ≠⇔1l 和2l 平行⇔0,0x D D =≠或0,0y D D =≠和重合⇔0===x y D D D二．比值法和相交()0b ,a 22≠； 和垂直⇔0b a b a 2211=+；和平行()0c ,b ,a 222≠；和重合()0c ,b ,a 222≠ 三．斜率法111222:y 0.:y 0l k x b l k x b =+==+=（条件：两直线斜率都存在，则可化成点斜式） 12l l ⇔与相交21k k ≠ ；2121b b k k ≠=，2121b b k k ==，；-1.=21k k ;特别提醒：在具体判断两条直线的位置关系时，先考虑比值法，但要注意前提条件(分母不为零)；再考虑斜率法，但也有条件(两条直线的斜率都存在)，最后选择行列式(无条件)； 注：（1）两直线平行是它们的法向量（方向向量）平行的充分非必要条件；（2）两直线垂直是它们的法向量（方向向量）垂直的充要条件；（3）两条直线平行⇔它们的斜率均存在且相等或者均不存在；（4）两条直线垂直⇔他们的斜率均存在且乘积为-1，或者一个存在另一个不存在；1122,x c b D c b -=-1122y a c D a c -=-1l 2l 1l 2l 1l 2l ⇔2121b b a a ≠1l 2l 1l 2l ⇔212121c c b b a a ≠=1l 2l ⇔212121c c b b a a ==12l l ⇔与平行12l l ⇔与重合12l l ⇔与垂直例题分析1.下列命题中正确的是……………………………………………………………………（ B ）A.平行的两条直线的斜率一定相等B.平行的两条直线倾斜角相等C.两直线平行的充要条件是斜率相等D.两直线平行是他们在y 轴上截距不相等的充分条件分析：A.两条直线斜率均不存在时也是平行,此时斜率不存在；C.”斜率相等”是”两直线平行”的既不充分也不必要条件；D.既不充分也不必要条件，因为两条直线斜率均不存在时也是平行，此时不存在y 轴上的截距，反之显然不成立；2、若l 1与l 2为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为a 1，a 2，斜率分别为k 1，k 2，则下列命题（1）若l 1∥l 2，则斜率k 1=k 2； （2）若斜率k 1=k 2，则l 1∥l 2；（3）若l 1∥l 2，则倾斜角a 1=a 2；（4）若倾斜角a 1=a 2，则l 1∥l 2；其中正确命题的个数是…………………………………………………………………（ C ）A ．1B ．2C ．3D ．4分析：(2)(3)(4)对，此时要注意已知条件l1与l 2为两条不重合的直线3、已知两条不重合的直线l 1，l 2的倾斜角分别为α1，α2，给出如下四个命题： ∥若sin α1=sinα2，则l 1∥l 2∥若cos α1=cosα2，则l 1∥l 2∥若l 1∥l 2，则tan α1•tanα2=﹣1∥若l 1∥l 2，则sin α1sinα2+cosα1cosα2=0其中真命题是…………………………………………………………………………（ B ）A ．①③B ．②④C ．②③D ．①②③④分析：①sin α1=sin α2， 可知α1=α2 或α1 +α2 =π，因为倾斜角α1，α2的范围[)π0，，所以不一定推出；②cos α1=cos α2 ,可知 α1=α2 ，因为倾斜角α1,α2的范围[)π0，，所以可以推出；③如果成立的话，必须斜率存在，可是α1=π，α2 =2π，致使斜率不存在； ④若两条直线斜率都存在时，显然成立，若两条直线斜率有一个不存在时也成立，下证，不妨设α1=π，α2 =2π，此时也成立； 4、已知直线06y )2k (x 3:l 1=++-与直线02y )3k 2(kx :l 2=+-+，记3k 2k )2k (3D -+-=.”0D =”是”两条直线1l 与直线2l 平行”的…………………………… ( A ) A ．充分不必要条件； B ．必要不充分条件 ； C ．充要条件; D ．既不充分也不必要条件5、若直线1:l 22+=+x ay a 与直线2:l 1+=+ax y a 不重合，则12l l ∥的充要条件( C ）A. 1a =-；B. 12=a ； C. 1a =； D. 1a =或1a =-. 分析：法1：比值法，此时要保证分母不为零，故讨论当0a =时，1:2=l x ；2:1=l y ，此时垂直，不满足条件，舍去当1a -=时，1:0-=l x y ；2:0-=l y x ，此时重合，舍去当10a -，≠时，12122111+⇔=≠⇔=+a a l l a a a ∥ 法2.())1a (1a 2D );1a (2a D ,a 1D y x 2+-=+-=-=）（1a =⇔类似也可以用斜率法，此时只需要讨论0a =和0a ≠两种情况6、直线,01by x :l ,01y ax :l 21=-+=++则1ba -=是21l l ⊥的………………………………（ A ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 分析：⇔⊥21l l 0b a =+7、“a=2”是”直线ax+2y=0平行于直线x+y=1”的…………………………………………（ C ）A.充分不必要条件;B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件分析：(比值法:先观察有没有一条直线方程前面的系数是不是均为零，若有就把其作为分母) 直线ax+2y=0平行于直线x+y=1⇔ 10121a ≠=2a =⇔ 8.已知直线()01m 4y )m m (x )3m m 2(:l 221=---+-+与直线()R a 03y )1a (x 2:l 2∈=+--(1)m 为___1m ≠且98m ≠-__时，21l l 与相交；(2)m 为__6- __时，21l l 与垂直；分析：直线方程含有参数m ，故必须保证这个方程表示的是直线（y ,x 前面的系数不全为零),故1≠m(1)21l l 与相交⇔98≠-m ; (2)21l l 与垂直⇔6=-m9、已知直线()R ααsin x y :l 1∈=和直线c x 2y :l 2+=，则下列关于直线21l ,l 关系判断正确的有____.③____①．通过平移可以重合；②不可能垂直；③可能与x 轴围成直角三角形；分析：①如果两条直线平移之后可以重合，就必须满足斜率相同，可是2αsin ≠ ②如果两条直线垂直就必须斜率之积等于-1，此时12αsin -=⋅，6π5α= ③由第②问中，可知这两条直线有可能垂直，故可能与x 轴围成直角三角形，因为只要有一个角是直角就可以啦；10、若直线l 1：2x+（m+1）y+4=0与直线l 2：mx+3y ﹣2=0平行，则m 的值为（ C ）A ．﹣2B ．﹣3C ．2或﹣3D ．﹣2或﹣3分析：同第5题11、已知P 1（a 1，b 1）与P 2（a 2，b 2）是直线y=kx+1（k 为常数）上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组的解的情况是…………………………………………（ B ）故下面只需要先判断1221b a b a -是否为0证： 因为 P 1（a 1，b 1）与P 2（a 2，b 2）是直线y=kx+1（k 为常数）上两个不同的点并且直线y=kx+1的斜率存在，∥k=，即a 1≠a 2，并且b 1=ka 1+1，b 2=ka 2+1，∴a 2b 1﹣a 1b 2=a 2 (ka 1+1)-a 1 (ka 2+1)=ka 1a 2﹣ka 1a 2+a 2﹣a 1=a 2﹣a 1∥方程组有唯一解．。
垂直于同一平面的两条直线位置关系
垂直于同一平面的两条直线位置关系垂直于同一平面的两条直线是几何学中比较常见的一种情况，其位置关系的判断和解题方法也是初中数学及以上阶段的重要内容。
本文将从角度、坐标、距离等几个方面来讲解垂直于同一平面的两条直线的位置关系。
一、角度法垂直于同一平面的两条直线有一条显著的特点，即它们的夹角为90度，也就是说，它们是互相垂直的。
因此，判断两条直线是否垂直的最简单方法就是通过它们的夹角来判断。
夹角可以通过两条直线的斜率求出，即两条直线的斜率乘积为-1时，两条直线才是垂直的。
设两条直线分别为l1：y=k1x+b1和l2：y=k2x+b2，它们的斜率分别为k1和k2，则k1*k2=-1时，两条直线垂直。
二、坐标法另外一种判断两条直线是否垂直的方法是通过它们的方程来进行推导。
对于两条直线l1：y=k1x+b1和l2：y=k2x+b2，如果它们垂直，则它们的斜率乘积应该等于-1。
具体来说，就是：k1*k2=-1将两条直线的斜率代入公式中，将其化简，我们可以得到两条直线斜率之间的关系：k1=-1/k2这就是说，当两条直线是垂直的时候，它们的斜率应该满足上述关系。
三、距离法判断两条直线是否垂直的另一种方法是通过它们的距离来进行推导。
这需要先得到两条直线的距离，如果它等于0，则表示两条直线相交或重合；如果它大于0，则表示两条直线平行；如果它等于直线l1和直线l2上某一点的连线长度，则表示两条直线垂直。
假设两条直线分别为l1：y=k1x+b1和l2：y=k2x+b2，它们所对应的点分别为(x1,y1)和(x2,y2)，则它们之间的距离为：d=[k2(x1-x2)-(y1-y2)+b2-b1]/(根号下[k2^2+1])如果d等于0，则l1与l2重合或交叉；如果d不等于0，且k1=k2，则l1与l2平行；如果d等于l1上(x1,y1)到l2的距离或l2上(x2,y2)到l1的距离，则l1与l2垂直。
综上所述，垂直于同一平面的两条直线位置关系的判断可以从角度、坐标及距离等方面来考虑。
平行垂直的判定和性质
平行垂直的判定和性质
这是一篇有关平行垂直的判定和性质的文章，篇幅约3000字。
平行与垂直是初中几何中的重要概念，被广泛应用于日常生活中。
一条直线与另一条直线的位置关系，决定了是否为平行或垂直。
很多人对如何判断一条直线是否为平行或垂直有疑问，接下来，我们将重点介绍直线的平行和垂直的判定和性质。
首先，什么是平行。
平行是指两条直线在一个平面上，永远不会相交，即它们的非真公分线永远不会重合，这叫做平行。
具体的判定方法是：如果两条直线的斜率相同，或者其中一条斜率不存在，那么它们就是平行的。
其次，什么是垂直。
垂直是指两条直线在同一平面上，互相垂直，不存在公共点，这叫做垂直。
具体的判定方法是：如果两条直线的斜率乘积为-1，那么它们就是垂直的。
上面讲解了平行垂直的判定方法，下面我们来重点介绍一些平行垂直的性质。
首先，两条平行直线之间的距离是不变的。
因此，这些直线映射到同一个坐标轴上，它们之间的距离仍然是不变的。
其次，平行直线总是有一条垂线，而垂线的斜率与这两条直线的斜率的乘积为-1。
此外，垂直直线的垂线总会相交。
垂线的斜率等于垂直直线的斜率的倒数。
最后，对于任意的四边形，如果除了一条对角线之外的其他三边
都相互垂直，那么该四边形就是矩形。
以上就是平行垂直的判定和性质，希望能够给大家带来帮助。
当然，几何中还有许多有趣的概念、定理和证明，在学习之初，从平行与垂直这一基础概念开始，系统地学习几何，对于我们更多地提升几何感知和思维能力是非常有帮助的。
平面内两条直线的位置关系
平面内两条直线的位置关系一、定义在平面直角坐标系中，两条直线的位置关系指的是两条直线所在的平面上，它们之间的相对位置关系。
二、平行关系1.定义如果两条直线在同一平面内且不相交，则这两条直线是平行的。
2.特征① 两条平行直线的斜率相等；② 两条平行直线之间的距离是恒定的。
3.判断方法判断两条直线是否平行，可以通过比较它们的斜率是否相等来确定。
如果斜率相等，则它们是平行的；反之则不是。
三、垂直关系1.定义如果两条直线在同一平面内且相交成90度角，则这两条直线是垂直的。
2.特征① 两条垂直直线之间的乘积为-1；② 一条垂直于x轴或y轴上的直线与另一条垂直于y轴或x轴上的直线互为垂线。
3.判断方法判断两条直线是否垂直，可以通过比较它们的斜率乘积是否为-1来确定。
如果乘积为-1，则它们是垂直的；反之则不是。
四、相交关系1.定义如果两条直线在同一平面内且不平行，则这两条直线相交。
2.特征① 两条相交直线之间的夹角是非零的；② 两条相交直线之间的距离是变化的。
3.判断方法判断两条直线是否相交，可以通过比较它们的斜率是否相等来确定。
如果斜率不相等，则它们是相交的；反之则不是。
五、平面内一般位置关系1.定义如果两条直线在同一平面内，既不平行也不垂直，则这两条直线处于一般位置关系。
2.特征① 两条一般位置关系的直线之间不存在任何特殊规律；② 可以通过求出它们的交点来确定它们的具体位置关系。
3.判断方法判断两条直线是否处于一般位置关系，可以通过先判断它们是否平行或垂直，如果都不是，则它们处于一般位置关系。
然后可以通过求出它们的交点来确定它们的具体位置关系。
六、总结以上就是平面内两条直线的位置关系及其特征和判断方法。
在实际应用中，我们需要根据具体情况来选择合适的方法来判断两条直线的位置关系，以便更好地解决问题。
垂直度和位置度的关系
垂直度和位置度的关系
嘿，咱今天就来聊聊垂直度和位置度这俩家伙的关系哈！
你说这垂直度呢，就好像一个人站得笔直笔直的，不歪不斜，特有范儿。
它呀，就是衡量一个东西是不是站直了，有没有歪七扭八的。
那位置度呢，就像是这个人站的地方对不对，是不是该站这儿，不能跑偏了呀。
这俩关系可紧密啦！就好比你要把一个东西放好，它不仅得站直咯，还得站在该站的位置上。
要是光站直了，位置不对，那也不行呀。
反过来，位置对了，却歪歪扭扭的，那也看着别扭不是。
比如说盖房子吧，那柱子得垂直吧，不然房子不就歪啦。
同时呢，这柱子还得在它该在的地方，不能东一个西一个的。
这就像我们排队，每个人都得站直了，还得站在自己该站的点上，队伍才整齐好看嘛。
有时候我就想啊，这生活中好多事儿都和这垂直度与位置度有关系呢。
就像找工作，你得有自己的专业能力，这就相当于垂直度，得过硬。
然后呢，还得找到适合自己的岗位，这就是位置度啦。
要是能力不错，但是找错了岗位，那也发挥不出最大的作用呀。
再比如谈恋爱，两个人得相互喜欢，这是垂直度，然后还得在对的时间遇到对的人，这就是位置度咯。
不然就算再喜欢，时机不对，那也可能遗憾错过呀。
哎呀呀，这垂直度和位置度呀，就像一对好兄弟，相互配合，才能把事情做好。
我们做事的时候也得时刻想着它们，把自己该站直的站直了，该放对位置的放对了。
总之呢，不管是生活中的大事小事，都离不开这俩家伙。
我们可得好好对待它们，让它们帮我们把生活过得更精彩呀！哈哈，这就是我对垂直度和位置度关系的理解啦，是不是还挺有意思的呀！。
图形的位置关系与判定
图形的位置关系与判定图形的位置关系与判定是数学领域中一个重要的概念。
在几何学中，图形的位置关系指的是不同图形之间的相对位置，而图形的判定指的是判断一个图形是否满足某种特定的位置关系。
本文将介绍一些常见的图形位置关系及其判定方法。
一、图形的位置关系1. 平行关系平行关系是最基本的图形位置关系之一。
当两条直线或两个平面上的点、线或面互不相交，并且距离始终相等时，我们称它们为平行关系。
判定方法：对于平面上两条直线的判定，可以使用斜率来判断。
如果两条直线的斜率相等且不相交，则它们是平行的。
对于三维空间中的平行关系，可以利用向量的方法进行判断。
2. 垂直关系垂直关系是指两条直线、线段或两个平面互相垂直的位置关系。
在二维平面中，如果两条直线的斜率相乘等于-1，则可以判定它们垂直。
判定方法：在二维平面上，两条直线垂直的条件是斜率的乘积为-1。
在三维空间中，可以利用向量的方法计算两个平面的法向量，如果两个法向量垂直，则可以判定它们互相垂直。
3. 相交关系相交关系是指两个图形有公共点或线的位置关系。
在二维空间中，两条直线相交于一点，两条线段相交于一个点或线段，两个平面相交于一条直线。
判定方法：判断两条直线是否相交可以比较它们的斜率和截距。
如果斜率相等且截距不相等，则可以判定两条直线相交。
对于线段和平面的相交判定，常用的方法有直接比较坐标和向量运算。
二、图形的判定1. 同位角判定同位角是指两条平行直线被一条截线所切割，形成的对应角。
如果一条截线与两条平行直线的同位角相等，则可以判定这条直线与另一条直线平行。
判定方法：使用同位角定义，通过测量两个角是否相等来判断平行关系。
2. 内角和判定内角和是指一个图形内部的各个角度之和。
例如，正三角形的内角和是180度。
通过计算图形的内角和，可以判断该图形是否是某个特定图形的角。
判定方法：根据各种图形的内角和公式，计算图形的内角和与特定图形的内角和进行比较，如果相等，则可以判定该图形是特定图形的角。
垂直于同一直线的两条直线位置关系
垂直于同一直线的两条直线位置关系一、直线的垂直关系1. 两条直线垂直的定义直线上的一点作为顶点，以该点为中心的两条射线，如果它们互相垂直，则称这两条射线互相垂直。
在平面几何中，两条直线是垂直的，指的是它们的倾斜角是 90 度的关系。
2. 垂直直线的性质垂直直线之间的交角为 90 度。
根据垂直的定义，两条垂直直线至少有一个公共垂直。
3. 如何判断两条直线是否垂直判断两条直线是否垂直可以通过它们的斜率来进行。
如果两条直线的斜率相乘等于 -1，那么这两条直线是垂直的。
当两条直线的斜率分别为 m1 和 m2 时，如果满足 m1 * m2 = -1，则这两条直线是垂直的。
二、垂直直线的位置关系1. 直线和其垂线任意一条直线上的点到另一条直线的垂线距离是最短的，垂线上的点到任意直线上的点的连线都和该直线垂直。
2. 直线和直线组成的角两条垂直直线组成的角被称为直角。
直角是一个等于 90 度的角。
3. 垂直平分线一个线段的中垂线是一个与该线段垂直，并将该线段等分的线段。
4. 垂直平行线两条不在同一直线上的直线，如果它们的斜率均相乘等于 -1，则这两条直线是垂直平行线。
5. 垂直直线的几何性质垂直直线所包含的角是直角，垂直直线可以互相垂直平分。
三、实际应用1. 垂直直线的应用在建筑工程中，垂直直线是非常重要的，例如在建筑设计中，墙壁应该垂直于地面，以确保建筑的结构稳固。
2. 直角坐标系在数学中常用的直角坐标系中，垂直直线经常被用来表示坐标轴。
3. 衡量角度在工程测量中，垂直直线可用于测量角度大小，例如在道路修建中，交叉路口的直角转弯设计。
结语垂直于同一直线的两条直线的位置关系在几何学中具有重要意义，它们不仅在理论上具有严谨的定义和性质，而且在实际应用中也有着广泛的应用。
我们应该充分理解这一概念，才能更好地应用于实际生活和工作中。
垂直于同一直线的两条直线位置关系是平面几何中一个重要而基础的概念。
在前面的文章中，我们已经讨论了垂直直线的定义、性质以及其在实际生活中的应用。
位置关系的判断-垂直
位 置 关 系 的 判断-垂 直
位 置 关 系 的 判断-垂 直
例5、正方体ABCD-A1B1C1D1中， 已知E，F，G，H
位 置 关 系 的 判断-垂 直
位 置 关 系 的 判断-垂 直
推1、一直线垂直两平行平面中 的一个,必垂直另一个平面。
推2、两相交平面与第三平面垂 直,它们的交线必垂直第三平面.
4、直线所在的方向向量与平面 内两不共线向量内积为0，则线 面垂直.
位 置 关 系 的 判断-垂 直
位 置 关 系 的 判断-垂 直
例4、如图,AB是 ⊙O的直径,PA垂直于⊙O所在 的平面,C是 圆周上不同于A,B的任意一点,求证: 平面PAC⊥平面PBC. 证明: 设已知⊙O平面为α
Q P A面 ,B C 面
PABC 又 AB为圆的直径
ACBC QPABCACBC
QPAI ACA P A 面 P A C ,A C 面 P A C
例3、已知三棱锥V-ABC中， VA⊥VC，VB⊥VC，VE⊥AB于 E，求证：CE⊥AB。
V
线面垂直的性质
A
C
E
位 置 关 系 的 判断-垂 直
B
位 置 关 系 的 判断-垂 直
例4、已知ABCD是上、下底边长
分别为2和6，高为 3 的等腰梯
形，将它沿对称轴OO1折成直二
面角，(1)求证：AC⊥BO1。
位 置 关 系 的 判断-垂 直 位 置 关 系 的 判断-垂 直
位 置 关 系 的 判断-垂 直
位置关系
二、垂直问题的证明
位 置 关 系 的 判断-垂 直
位 置 关 系 的 判断-垂 直
两直线的位置关系
例 3 求经过两条直线 2x＋3y＋1＝0 和 x－3y＋4＝0 的交 点，并且垂直于直线 3x＋4y－7＝0 的直线方程．
【思路】 (1)先求两条直线的交点坐标，再由两线的垂直 关系得到所求直线的斜率，最后由点斜式可得所求直线方程． (2)因为所求直线与直线 3x＋4y－7＝0 垂直， 两条直线的斜 率互为负倒数，所以可设所求直线方程为 4x－3y＋m＝0，将两 条直线的交点坐标代入求出 m 值，就得到所求直线方程．
5 7 ∴交点为(－ ， )． 3 9
∵所求直线与 3x＋4y－7＝0 垂直， 4 ∴所求直线的斜率 k＝ . 3 7 4 5 由点斜式，得 y－ ＝ (x＋ )． 9 3 3 故所求直线的方程为 4x－3y＋9＝0.
方法二 设所求直线的方程为 4x－3y＋m＝0. 5 x＝－3， 将方法一中求得的交点坐标 y＝7. 9 5 7 代入上式得 4· (－ )－3·＋m＝0. 3 9 ∴m＝9.代入所设方程． 故所求直线的方程为 4x－3y＋9＝0.
1 2 【答案】 a＝2，垂足坐标为( ，－ )或 a＝－3，垂足坐 2 3 9 2 标为(－ ， ) 17 17
例 2
(2013· 北京东城区)若 O(0,0)，A(4，－1)两点到直线
ax＋a2y＋6＝0 的距离相等，则实数 a＝________.
|4a－a2＋6| 6 2 【解析】 由题意，得 2 4＝ ，即 4 a － a ＋ 2 4 a ＋a a ＋a 6＝± 6，解之得 a＝0 或－2 或 4 或 6.检验得 a＝0 不合题意，所 以 a＝－2 或 4 或 6.
(1)当 m＝4 时，直线 l1 的方程为 4x＋8y＋n＝0，把 l2 的方 程写成 4x＋8y－2＝0. |n＋2| ∴ ＝ 5，解得 n＝－22 或 n＝18. 16＋64 所以，所求直线的方程为 2x＋4y－11＝0 或 2x＋4y＋9＝0.
两条直线的位置关系--平行和垂直
课堂练习(教材P47）
1、判断下列各对直线是否平行或垂直： (1)y 3x 4与2y 6x 1 0 (2)y x与3x 3y 10 0 (3)3x 4y 5与6x 8y 7
(1, k)
3、两向量垂直的充要条件：
a (x1, y1) b (x2, y2 )
a b a b 0 x1x2 y1y2 0
新课讲授
一、特殊情况下的平行和垂直
1、k1和k2都不存在且x1 x2
l1∥ l2
y l1 l2
0 x1 x2 x
l l 2、k1不存在,且k2 0
A. - 3
B. - 6
C. - 3/2
D. 2/3
两直线 mx＋y－n =0和 x＋my＋1 =0 互相平行的条件是什么？
课后作业
习题7.3
p5354 1、2、3、4
2、求过A（2，3）且分别适合下列条件的直线的方程： (1)平行于直线2x y 5 0 (2)垂直于直线x y 2 0
3、已知两条直线l 和l，其中一条没有斜率，求这两条直线
在以下位置关系的1充要2 条件：
（1）平行（2）垂直
4、讨论下列各对直线是否平行或垂直：
(1)l1 : Ax By C1 0与l2 : Ax By C2 0 (2)l1 : Ax By C1 0与l2 : Bx Ay C2 0
1
2
y l1
y2
l2
0 x1
x
二、k1和k2 都存在情况下的平行和垂直
判断两个向量位置关系的方法
判断两个向量位置关系的方法两个向量位置关系的判断方法两个向量的位置关系在向量运算和几何学中具有重要意义。
判断两个向量位置关系的方法有很多种，本文将介绍其中几种常用的方法。
一、点积法点积法是判断两个向量位置关系的一种常用方法。
设有两个向量A和B，其点积为A·B = |A|·|B|·cosθ，其中|A|和|B|分别表示向量A和B的模长，θ表示A和B之间的夹角。
根据点积的性质，可以得到以下结论：1. 若A·B > 0，则θ∈[0, π/2)，即向量A和向量B的夹角为锐角。
这说明向量A和向量B的方向相近，可能存在相似的特征。
2. 若A·B = 0，则θ = π/2，即向量A和向量B的夹角为直角。
这说明向量A和向量B垂直，可能存在正交关系。
3. 若A·B < 0，则θ∈(π/2, π]，即向量A和向量B的夹角为钝角。
这说明向量A和向量B的方向相反，可能存在相反的特征。
通过点积法可以判断两个向量的方向关系以及是否存在相似性或相反性。
二、夹角余弦法夹角余弦法是另一种常用的判断两个向量位置关系的方法。
设有两个向量A和B，其夹角余弦为c osθ = (A·B)/(|A|·|B|)，其中|A|和|B|分别表示向量A和B的模长。
根据夹角余弦的值可以得到以下结论：1. 若cosθ > 0，则θ∈[0, π/2)，即向量A和向量B的夹角为锐角。
这说明向量A和向量B的方向相近，可能存在相似的特征。
2. 若cosθ = 0，则θ = π/2，即向量A和向量B的夹角为直角。
这说明向量A和向量B垂直，可能存在正交关系。
3. 若cosθ < 0，则θ∈(π/2, π]，即向量A和向量B的夹角为钝角。
这说明向量A和向量B的方向相反，可能存在相反的特征。
夹角余弦法与点积法类似，可以用来判断向量的方向关系和相似性。
三、向量投影法向量投影法是判断两个向量位置关系的另一种方法。
判断两个向量位置关系的方法
判断两个向量位置关系的方法判断两个向量的位置关系是线性代数中的重要内容之一。
下面将介绍一些常用的判断方法和相关的参考内容。
1.点积法（内积法）：点积法是判断两个向量位置关系的常用方法之一。
两个向量的点积可以通过计算两个向量的各个分量的乘积再求和得到。
点积为零时，表示两个向量垂直；点积为正时，表示两个向量夹角为锐角；点积为负时，表示两个向量夹角为钝角。
相关参考内容：《线代与解析几何》（高等教育出版社）：该教材介绍了向量的点积、夹角和正交等概念，并提供了丰富的例题和习题，适合初学者学习。
2.叉积法（外积法）：叉积法是判断两个向量位置关系的另一种常用方法。
两个向量的叉积可以通过计算两个向量的各个分量的乘积再求和得到。
叉积的结果是一个新的向量，其方向垂直于原有两个向量所在平面，并且满足右手定则。
相关参考内容：《线代与几何》（清华大学出版社）：该教材详细介绍了向量的叉积及其性质，并提供了大量的习题和案例，适合进一步深入学习。
3.向量投影法：向量投影法是通过将一个向量在另一个向量上的投影来判断它们的位置关系。
如果一个向量在另一个向量上的投影等于自身，则表示两个向量共线；如果一个向量在另一个向量上的投影为零，则表示两个向量垂直。
相关参考内容：《线性代数简明教程》（高等教育出版社）：该教材对向量投影的概念和计算方法进行了详细的介绍，并给出了大量的例题和习题，适合初学者学习。
4.向量的线性组合法：两个向量的线性组合是指通过对两个向量乘以不同的系数再求和得到一个新的向量。
如果两个向量的线性组合可以表示为一个非零向量，则表示两个向量共线；否则，两个向量不共线。
相关参考内容：《线性代数与行列式》（高等教育出版社）：该教材对向量的线性组合的概念和性质进行了介绍，并提供了丰富的例题和习题，帮助学生理解和掌握线性组合的方法。
总结：判断两个向量位置关系的方法主要有点积法、叉积法、向量投影法和向量的线性组合法等。
学习这些方法可以帮助我们更好地理解向量的几何性质和位置关系，并在实际问题中应用。
判断两个向量位置关系的方法(一)
判断两个向量位置关系的方法(一)判断两个向量位置关系引言在计算机图形学和计算几何学中，经常需要判断两个向量的位置关系。
本文将介绍一些常用的方法来判断两个向量的位置关系。
方法一：点积•计算两个向量的点积，若点积为0，则说明两个向量垂直；•若点积大于0，则说明两个向量夹角小于90度，且指向同一方向；•若点积小于0，则说明两个向量夹角大于90度，且指向相反方向。
方法二：叉积•计算两个向量的叉积，若叉积为0，则说明两个向量平行；•若叉积大于0，则说明两个向量夹角小于180度，且满足右手法则；•若叉积小于0，则说明两个向量夹角大于180度，且满足右手法则。
方法三：向量投影•将一个向量投影到另一个向量上，计算投影后的长度；•若投影后的长度为0，则说明两个向量垂直；•若投影后的长度大于0，并且小于被投影向量的长度，则说明两个向量夹角小于90度；•若投影后的长度等于被投影向量的长度，则说明两个向量共线；•若投影后的长度大于被投影向量的长度，则说明两个向量夹角大于90度。
方法四：夹角余弦•计算两个向量之间的夹角余弦值；•若夹角余弦值为0，则说明两个向量垂直；•若夹角余弦值大于0，并且小于1，则说明两个向量夹角为锐角；•若夹角余弦值等于1，则说明两个向量夹角为直角；•若夹角余弦值大于-1，并且小于0，则说明两个向量夹角为钝角。
方法五：复数形式•将两个向量分别转换为复数形式的表示；•比较复数的实部和虚部的大小关系，可以得出两个向量的位置关系。
结论通过点积、叉积、向量投影、夹角余弦和复数形式等方法，可以判断并分析两个向量的位置关系。
不同的方法适用于不同的场景和需求，在实际应用中可以根据具体情况选择合适的方法来判断两个向量的位置关系。
注意：本文仅涉及常用的判断方法，并无穷尽之意，读者可以根据需要进一步探索和研究。
方法一：点积•计算两个向量的点积公式为：a·b = ||a|| ||b|| cosθ，其中a·b表示两个向量的点积，||a||和||b||分别表示两个向量的长度，cosθ是两个向量夹角的余弦值。
判断线段的位置关系
判断线段的位置关系线段在几何学中是一个重要的概念，而判断线段的位置关系对于解决几何问题以及实际生活中的测量和设计都具有重要的意义。
本文将介绍如何准确地判断线段的位置关系，并提供相应的示例。
一、线段的定义与表示方法线段是两个点之间的有限部分。
一般来说，线段可以用两个端点来表示，比如AB表示一个线段，A和B分别为线段的两个端点。
另外，我们还可以用线段的长度来刻画线段的大小，即线段的长度是AB两点之间的距离。
二、线段的位置关系1. 相交与不相交当两个线段的延长线相交于一点时，我们称这两个线段相交。
若两个线段的延长线不相交，则称这两个线段不相交。
示例1：如下图所示，线段AB和线段CD相交于点E。
B D●──────╮╱╱╱╱╱╭──────○A ││E││C2. 平行与重合当两个线段的延长线不存在交点，并且距离始终保持相等时，我们称这两个线段平行。
而当两个线段的长度相等时，我们称它们重合。
示例2：如下图所示，线段AB与线段CD平行。
B●──────╮╱╱╱╱╱╭──────○A││││C││││D示例3：如下图所示，线段MN与线段OP重合。
N╭──────○M╭───────█───○O3. 垂直和夹角当两个线段的延长线相交，且相交处的四个角都为90度时，我们称这两个线段互相垂直。
当两个线段的延长线相交，且相交处的两个角之和为180度时，我们称这两个线段互为夹角。
示例4：如下图所示，线段AB与线段CD互相垂直。
B●──────╮╱╱╱╱╱╱╭───────○A│││C││││D示例5：如下图所示，线段EF与线段GH互为夹角。
H╱╱│F╱ │╱╱╱ │╱ │╱ ││ │E─────┼────●总结：通过对线段的定义和表示方法的介绍，我们可以根据线段是否相交、是否平行、是否垂直来判断线段的位置关系。
判断线段的位置关系对于解决几何问题以及实际生活中的测量和设计都具有重要的意义。
在实际应用中，我们可以通过几何工具、尺子等辅助工具来帮助我们准确地判断线段的位置关系，进而解决相关问题。
判断两个向量位置关系的方法
判断两个向量位置关系的方法判断两个向量位置关系介绍在计算机图形学和几何学中，判断两个向量的位置关系是一个常见问题。
在本文中，我们将介绍多种方法来判断两个向量的位置关系，涵盖了常见的情况和特殊情况。
方法一：点积判断1.计算两个向量的点积（内积）。
2.如果点积为0，表示两个向量垂直，即正交关系。
3.如果点积大于0，表示两个向量夹角小于90度，即锐角关系。
4.如果点积小于0，表示两个向量夹角大于90度，即钝角关系。
方法二：夹角大小判断1.计算两个向量的夹角。
2.如果夹角为0度，表示两个向量重合，即平行重合关系。
3.如果夹角为180度，表示两个向量反向，即平行反向关系。
4.如果夹角小于90度，表示两个向量夹角小于90度，即锐角关系。
5.如果夹角大于90度，表示两个向量夹角大于90度，即钝角关系。
方法三：叉积判断1.计算两个向量的叉积（外积）。
2.如果叉积为0，表示两个向量共线，即同向或反向关系。
3.如果叉积大于0，表示两个向量之间存在左手关系。
4.如果叉积小于0，表示两个向量之间存在右手关系。
5.注意：此方法仅适用于二维向量或在三维空间中的向量。
方法四：投影判断1.将一个向量投影到另一个向量上，得到两个投影向量。
2.比较两个投影向量的大小。
3.如果两个投影向量相等，表示两个向量平行。
4.如果两个投影向量不相等，表示两个向量不平行。
方法五：距离判断1.计算两个向量之间的距离。
2.如果距离为0，表示两个向量重合，即平行重合关系。
3.如果距离不为0，表示两个向量不重合。
4.注意：此方法常用于点到直线或点到平面的距离计算。
结论判断两个向量的位置关系是计算机图形学和几何学中的一个基本问题。
我们介绍了五种常见的方法，包括点积判断、夹角大小判断、叉积判断、投影判断和距离判断。
根据具体情况选择合适的方法，可以准确地判断向量之间的位置关系。
这些方法在游戏开发、计算机动画和物理模拟等领域都有广泛的应用。
在实际应用中，我们可以根据不同问题的特点选择适合的方法，并结合数学运算和几何推理来解决问题。
位置关系上下左右的概念
位置关系上下左右的概念位置关系是描述事物相对位置的概念，其中包括上、下、左、右等方向。
这些概念在日常生活中非常常见，无论是在描述空间位置、导航方向还是进行交流沟通时都会用到。
了解并掌握这些位置关系的概念，对于增强空间感知和准确表达意思都具有重要作用。
本文将详细介绍位置关系上下左右的概念，并探讨其在日常生活中的应用。
一、上下左右的定义1. 上：指事物在垂直方向上较高的位置。
例如，天空在我们头顶的位置可以被称为上方。
2. 下：与“上”相对，指事物在垂直方向上较低的位置。
例如，地面在我们脚下的位置可以被称为下方。
3. 左：指事物在水平方向上相对于自己而言的较远一侧。
例如，面向北方时，左侧就是西方。
4. 右：与“左”相对，指事物在水平方向上相对于自己而言的较近一侧。
例如，面向北方时，右侧就是东方。
二、上下左右在日常生活中的应用1. 地理方位：上下左右常用于描述地理方位。
例如，当我们朝北时，左手边就是西边，右手边就是东边。
2. 导航指引：上下左右在导航指引中起着非常重要的作用。
当我们使用地图或导航软件时，经常会听到指令，如“向前走”，“向右转”，这些指令就是以自己为参照物，描述前后左右方向的相对位置关系。
3. 家具摆放：在家居装饰中，了解上下左右的概念可以帮助我们更好地摆放家具。
例如，将电视放在客厅的正前方，将书柜放在客厅的右侧等等。
4. 交通安全：上下左右的概念在交通规则中也扮演着核心角色。
当我们驾驶车辆或者行人过马路时，遵守交通信号灯、行车规则等，就需要清楚上下左右的概念。
5. 图片描述：当我们描述一张图片或者绘画作品时，上下左右的概念可以帮助我们更准确地表达出画中各个元素的位置关系。
三、如何准确描述位置关系上下左右1. 使用明确的方位词：在描述位置关系时，最好使用明确的方位词语，而不是模棱两可的表达方式。
例如，使用“北方”代替“上方”，使用“东侧”代替“右边”。
2. 结合具体场景：在描述位置关系时，可以结合具体的场景进行表达，例如，参考地理方位、建筑物等，让对方更好地理解。
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位 置 关 系 的 判断垂 直
例3.
如图，直四棱柱 A’B’C’D’- ABCD（侧棱与底面垂直
的棱柱称为直棱柱）中，底面四边 形ABCD满足什么
条件时， A’C⊥B’D’？
A'
D'
B' C'
A D
B
C
结论：
当四边形ABCD的两条对角线互相垂直时， A’C⊥B’D’
位 置 关 系 的 判断垂 直
位 置 关 系 的 判断垂 直
(1)求证:CQ⊥面A1ABB1.
(2)求二面角
C-A1P-Q
A1
B1
(3)求P到面
C
P
A1CQ的距离.
仿北京、福建05试卷
A
位 置 关 系 的 判断垂 直
B Q
位 置 关 系 的 判断垂 直
例 2（2009 浙江卷理）（本题满分 15 分）
如 图 ， 平 面 PAC 平 面
ABC ，ABC 是以 AC 为
能 斜边的等腰直角三角
力 提
形，E、F、O
分别为
PA，
高 思
PB
，
AC
的中点，
考 题
AC=16，PA=PC=10．
（I）设 G 是 OC 的中点，证明：FG / / 平
面 BOE；
（II）证明：在 ABO 内存在一点 M，使
FM 平面 BOE，并求点 M 到 OA，
OB 的距离．
位 置 关 系 的 判断垂 直
矩形且PA⊥平面ABCD，M、N分别
是AB、PC的中点，
（1）求证：MN//平面PAD；
（2）当PM=MC时， P 求证：MN⊥平面PDC； N
D
C
AMB
位 置 关 系 的 判断垂 直
位 置 关 系 的 判断垂 直
直线、平面
5 、 三 棱 锥 P—ABC 中 ，
PA⊥ 平 面 ABC ， M 、 N 分 别
（1）异面直线AM与 CN所成角的大小； （2）异面直线AM A1
D1
M
C1 B1
与BD所成角的大小； （3）异面直线C1H
N
DH
C
O
与NO所成角的大小。A
B
arccos
2 5
arccos
10 10
arccos
15 5
位 置 关 系 的 判断垂 直
位 置 关 系 的 判断垂 直
直线、平面
3、P是矩形ABCD所在平面外一点，H
A
C
AF⊥BD。
B
位 置 关 系 的 判断垂 直
位 置 关 系 的 判断垂 直
直线、平面
8、Rt△ABC中,∠C=900,它在平面
α内的射影为等边△A1B1C1,AA1=a,
BB1=a+2,CC1=a+1， 求直线AB与平面
B
α所成的角θ.
A
C
arccos 3
E
3
B1
F
(arctan 2) α A1
分别是A1D1，B1C1，D1D，C1C的中点.
求证：平面AH⊥平面DF
D1
C1
E
A1
G
F
B1
H
D A
C B
位 置 关 系 的 判断垂 直
位 置 关 系 的 判断垂 直
例6、在四面体A-BCD中,∠BCD
=900,∠ADB=300 ,BC=CD , AB⊥
面BCD，E、F分别为AC、AD的
中点,(1)求证：
二、线面垂直的判定
1、判定定理:一直线与平面内的 两条相交直线垂直,则垂直平面。 2、两平行线中的一条与平面垂 直,则另一条与平面垂直。 3、面面垂直的性质：如果两平 面垂直,那么其中一平面内垂直 交线的直线垂直另一平面.
位 置 关 系 的 判断垂 直
位 置 关 系 的 判断垂 直
推1、一直线垂直两平行平面中 的一个,必垂直另一个平面。
B
位 置 关 系 的 判断垂 直
例4、已知ABCD是上、下底边长
分别为2和6，高为 3 的等腰梯
形，将它沿对称轴OO1折成直二 面角，(1)求证：AC⊥BO1。 (2)求二面角O-AC-O1的大小(课后练）.
D
O1
C
O1
D
C
A
O
B
05湖南高考试卷14分
A
位 置 关 系 的 判断垂 直
O B
位 置 关 系 的 判断垂 直
C b
O
A
D
M
例2、已知三棱锥V-ABC中，侧面 AVB垂直侧面BVC，VA垂直底面 ABC，求证：AB⊥BC。
V D
线面垂直的性质
A
B
C
位 置 关 系 的 判断垂 直
例3、已知三棱锥V-ABC中， VA⊥VC，VB⊥VC，VE⊥AB于 E，求证：CE⊥AB。
V
线面垂直的性质
A
C
E
位 置 关 系 的 判断垂 直
是底面边长的2倍，P是侧棱CC1上的点。(1)
求证:无论P在CC1上任何位置，总有
BD⊥AP.(2)若CC1=3C1P，求平面AB1P与
ABCD所成的角。
(3)P在何处时，AP在
D1
C1
平面ACB1上的射影 是∠B1AC平分线.
A1
B1
P
(2) arccos 3 (3)P距C的距离是
D
7 侧棱的 10 1
奇思妙想
12、P为正四面体S-ABC的侧面SBC 内一动点,且PS始终等于点P到底面 ABC的距离,则P点的轨迹是[ ]
A、圆
S
B、椭圆
e=PO/PE<1
C、双曲线
P
D、抛物线
A
位 置 关 系 的 判断垂 直
C
O
BE
位 置 关 系 的 判断垂 直
直线、平面
13、在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱
推2、两相交平面与第三平面垂 直,它们的交线必垂直第三平面.
4、直线所在的方向向量与平面 内两不共线向量内积为0，则线 面垂直.
位 置 关 系 的 判断垂 直
位 置 关 系 的 判断垂 直
例1、直三棱柱ABC-A1B1C1中
AC=BC=C1C=a,∠ACB=900,P为
BB1的中点,Q∈AB,∠A1QP=900,
4
A
位 置 关 系 的 判断垂 直
C B
位 置 关 系 的 判断垂 直
直线、平面
14、经过底面是菱形的直四棱柱ABCD-
A/B/C/D/的顶点A作一截面AB1C1D1,分别与 侧棱BB/,CC/,DD/交于B1,C1,D1,得到几何体
ABCDD1C1B1,BB1=DD1,CC1= 2 ,
AB=2,∠DAB=600。(1)求证:四边形 AB1C1D1为菱形.
为 AD 的 中 点 ， 且 PH⊥ 平 面 ABCD ，
ΔPAD是正三角形，E是PD的中点
（1）求证：PB//平面EAC；
（2）求证：AE⊥平面PCD；
（3）当AB=a，
P
AD= 2a 时，求证：
E
AC⊥PB。
HD
C
A
B
位 置 关 系 的 判断垂 直
位 置 关 系 的 判断垂 直
直线、平面
4 、 四 棱 锥 P—ABCD 中 ， ABCD 是
一、线线垂直的判定
4、线面垂直的性质:如果直线与 平面垂直,那么直线与平面内的 任意直线垂直。
5、如果两直线所在的向量内积 为0, 则两直线互相垂直.
例1、已知a、b是异面直线，a上
两点A、B的距离为8，b上两点C
、D的距离为6，AD、BC的中点
分别为M、N，且MN=5，求证：
a⊥b。
B
N
a
定义法
B
A
B
位 置 关 系 的 判断垂 直
直线、平面
11、如图：ABCD-A1B1C1D1是正四棱 柱，
(1)求证：BD⊥平面ACC1A1.
(2)若二面角C1-BD-C的大小为600，求
BC1与AC所成角的大小。 D1
C1
5 A1
B1
arccos 5
D
C
A
B
位 置 关 系 的 判断垂 直
位 置 关 系 的 判断垂 直
D. ②和④
位 置 关 系 的 判断垂 直
位 置 关 系 的 判断垂 直
例 2（2009 浙江卷文 4.）设, 是两个不同的平面，l 是 一条直线，以下命题正确的是（ C ）
A．若 l , ，则 l B．若 l / /, / / ，则 l
C．若 l , / / ，则 l
D．若 l / /, ，则 l
C1
位 置 关 系 的 判断垂 直
位 置 关 系 的 判断垂 直
直线、平面
9、在正四棱锥S-ABCD中,SA=AB
=a,M是SA上的点,SM:SA=1:3,
AC∩BD=O,(1)求直线MO与SB所成
的角.(2)求MO与 面SBD所成的角.
S
(3)求二面角M-CD-A M
D
C
O
A
B
位 置 关 系 的 判断垂 直
P
已知三棱锥P-ABC的顶点
P到底面三角形ABC的三
条边的距离相等,试判断
B
A 点P在底面ABC的射影的
O
位置？
C
内心
位 置 关 系 的 判断垂 直
位 置 关 系 的 判断垂 直
直线、平面综合训练
1、空间四边形ABCD中，P、Q、
R、S依次分别为四1条2 3边的中点，已
知AC= 1 2 3 ，BD= 4 3，四边形