基本不等式专题 ---完整版(非常全面)

（1）若 a,b, c, d R ，则 (a2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd )2
3、已知 a b c 1，求证： a2 b2 c2 1 3
4、已 知 a,b, c R ， 且 a b c 1 ， 求 证 ： (1 a)(1 b)(1 c) 8abc
（2）若 a1, a2 , a3, b1, b2 , b3 R ，则有： (a12 a22 a32 )(1b12 b22 b32 ) (a1b1 a2b2 a3b3 )2 （3）设 a1, a2 , , an与b1,b2 , ,bn 是两组实数，则有
cd
如果 n N ，求 n 的最大值；（参考：4）
（提示：分离参数，换元法）
(3)(a b)(c d ) ( ac bd )2 (a , b, c , d 0 , 当且仅当a b ；即ad bc时等号成立)
cd
3、二维形式的柯西不等式的向量形式
(当且仅当 0, 或存在实数k ,使 a k 时,等号成立)
题型五：巧用“1”的代换求最值问题 1、已知 a, b 0, a 2b 1，求 t 1 1 的最小值；
ab
法一：
变式 4：已知 x, y 0 ，且 1 9 4 ，求 x y 的最小值； xy
法二：
变式 5：
（1）若 x, y 0 且 2x y 1，求 1 1 的最小值；
xy
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析：令 a (2sin， 3 cos， cos)，b (1，sin，cos)
7、（2013 年江苏卷（数学）选 修 4—5：不等式选 讲
已知 a b 0 ，求证: 2a3 b3 2ab 2 a 2b
题型三：利用不等式求最值 （一）（凑项）
1、已知
x
2
，求函数
y
2
x
4
4 2x
4
的最小值；
变式 1：已知 x 2 ，求函数 y 2x 4 的最小值； 2x 4
变式 2：已知 x 2 ，求函数 y 2x 4 的最大值； 2x 4
设 a,b, c 均为正数,且 a b c 1,证明:
(Ⅰ) ab bc ca 1 ; (Ⅱ) a2 b2 c2 1.
3
bca
题型二：利用不等式求函数值域
1、求下列函数的值域
（1）
y
3x
2
1 2x2
（2） y x(4 x)
（3） y x 1 (x 0) x
（4） y x 1 (x 0) x
1
ab
若 a, b R* ，则 a b 2 ab
3、基本不等式的两个重要变形
（1）若 a, b R* ，则 a b ab 2
（2）若 a, b R* ，则 ab a b 2
2
2 、 已 知 a, b, c 为 两 两 不 相 等 的 实 数 ， 求 证 ：
a 2 b 2 c 2 ab bc ca
基本不等式专题辅导
一、知识点总结
1、基本不等式原始形式
二、题型分析 题型一：利用基本不等式证明不等式
（1）若 a, b R ，则 a2 b2 2ab
（2）若 a, b R ，则 ab a 2 b2
2 2、基本不等式一般形式（均值不等式）
1、设 a, b 均为正数，证明不等式:
ab
≥
1
2
R
,
当且仅当 a1 b1
a2 b2
an bn
时等号成立)
题型分析 题型一：利用柯西不等式一般形式求最值
1、设 x, y, z R ，若 x2 y2 z2 4 ，则 x 2 y 2z 的
4、（2013 年湖南卷（理））已知 a,b, c , a 2b 3c 6,
则 a2 4b2 9c2 的最小值是
存在两项 am , an ，使得
aman
4a1 ，求
1 m
4 n
的最小值；
变式 3：已知 x, y 0 ，且 1 1 9 ，求 x y 的最小值。 xy
题型六：分离换元法求最值（了解） 1、求函数 y x2 7x 10 (x 1) 的值域；
x 1
题型七：基本不等式的综合应用 1、已知 log2 a log2 b 1 ，求 3a 9b 的最小值
3
3
3
2、设 x, y, z R ，2x y 2z 6 ，求 x2 y2 z2 的最
小值 m ，并求此时 x, y, z 之值。 Ans ： m 4; (x, y, z) ( 4 , 2 , 4)
333
5 、（ 2013 年 湖 北 卷 （ 理 ）） 设 x, y, z R , 且 满 足: x2 y2 z2 1, x 2 y 3z 14 ,求 x y z 的
变式：已知 a, b 0 满则 1 4 2 ，若 a b c 恒成立， ab
求 c 的取值范围；
4、三维柯西不等式
若 a1, a2 , a3, b1, b2 , b3 R ，则有：
(a12 a22 a32 )(1b12 b22 b32 ) (a1b1 a2b2 a3b3 )2
（2）若 a, b, x, y R 且 a b 1，求 x y 的最小值；
xy
变式 1：已知 a, b 0, a 2b 2 ，求 t 1 1 的最小值； ab
变式 2：已知 x, y 0, 2 8 1 ，求 xy 的最小值； xy
变式 6：已知正项等比数列 an满足：a7 a6 2a5 ，若
变式：求函数 y x2 8 (x 1) 的值域； x 1
2、（2009 天津）已知 a, b 0 ，求 1 1 2 ab 的最小值；
ab
2、求函数 y x 2 的最大值；（提示：换元法） 2x 5
变式 1：（2010 四川）如果 a b 0 ，求关于 a, b 的表达 式 a2 1 1 的最小值；
练习：1、已知
x
5 4
，求函数
y
4x
2
1 4x 5
的最小值；
2、若 0 x 2 ，求 y x(6 3x) 的最大值；
2、已知
x
5 4
，求函数
y
4x
2
1 4x
5
的最大值；
变式：若 0 x 4 ，求 y x(8 2x) 的最大值；
题型四：利用不等式求最值 （二）（凑系数）
1、当
时，求 y x(8 2x) 的最大值；
( Ans :12 )
最小值为
时， (x, y, z)
析： (x 2 y 2z)2 (x2 y2 z 2 )[12 (2)2 22 ] 4 9 36
∴ x 2 y 2z 最小值为 6
此时 x y z
6
2
1 2 2 12 ( 2)2 22 3
∴ x 2，y 4，z 4
（3）若 ab 0 ，则 a b 2 (当且仅当 a b 时取“=”）
ba
（4）若 a, b R ，则 ab ( a b)2 a2 b2
2
2
（5）若 a, b R* ，则 1
11
ab a b 2
a2 b2 2
ab
特别说明：以上不等式中，当且仅当 a b 时取“=”
6、柯西不等式
2、二维形式的柯西不等式的变式
(1) a2 b2 c2 d 2 ac bd (a , b, c , d R , 当且仅当a b ；即ad bc时等号成立)
cd
2、已知
x
y
z
0且
1 x
y
1 y
z
x
n
z
恒成立，
(2) a2 b2 c2 d 2 ac bd (a , b, c , d R , 当且仅当a b ；即ad bc时等号成立)
3、求函数 y 2x 1 5 2x (1 x 5) 的最大值；
2
2
（提示：平方，利用基本不等式）
变式 1：当
时，求 y 4x(8 2x) 的最大值；
变式：求函数 y 4x 3 11 4x ( 3 x 11) 的最大值；
4
4
变式 2：设 0 x 3 ，求函数 y 4x(3 2x) 的最大值。 2
变式
2：（2010
山东）已知
x,
y
0
，
2
1
x
2
1
y
1 3
，
求 xy 最大值；（提示：通分或三角换元）
变式：设 x, y, z 是正数，满足 x 2 y 3z 0 ，求 y2 的 xz
最小值；
变式 3：（2011 浙江）已知 x, y 0 ， x2 y2 xy 1， 求 xy 最大值；
值；
3、设 x, y, z R ，2x 3y z 3，求 x 2 ( y 1)2 z 2
之最小值为
，此时 y
（析： 2x 3y z 3 2x 3( y 1) z 0 ）
6、求 2 sin 3 cos sin cos cos 的最大值与最
小值。（ Ans ：最大值为 2 2 ，最小值为 2 2 ）
总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；
特别说明：以上不等式中，当且仅当 a b 时取“=”
4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”
5、常用结论
（1）若 x 0 ，则 x 1 2 (当且仅当 x 1 时取“=”） x
（2）若 x 0 ，则 x 1 2 (当且仅当 x 1 时取“=”） x
ab a(a b)
变式：求函数 y x 1 的最大值； 4x 9
变式 2：（2012 湖北武汉诊断）已知，当 a 0, a 1 时， 函数 y loga (x 1) 1 的图像恒过定点 A ，若点 A 在直 线 mx y n 0 上，求 4m 2n 的最小值；
3、已知 x, y 0 ， x 2 y 2xy 8 ，求 x 2 y 最小值；
5、已 知 a,b, c R ， 且 a b c 1 ， 求 证 ：
1 a
1
1 b
1
1 c
1
8
(a12 a22 an2 )(b12 b22 bn 2) (a1b1 a2b2 a nbn) 2
6、（2013 年新课 标Ⅱ卷数学（理）选 修 4—5：不等式选 讲
4 、（ 2013 年 山 东 （ 理 ）） 设 正 实 数 x, y, z 满 足 x2 3xy 4 y2 z 0 , 则 当 xy 取 得 最 大 值 z
时, 2 1 2 的最大值为（ ） xyz
A． 0
B．1
9
C．
4
D． 3
（提示：代入换元,利用基本不等式以及函数求最值）
变式 1：已知 a, b 0 ，满足 ab a b 3 ，求 ab 范围；
(ai , bi
R
,
当且仅当 a1 b1
a2 b2
a3 b3
时等号成立)
5、一般 n 维柯西不等式
设 a1, a2 , , an与b1,b2 , ,bn 是两组实数，则有:
(a12 a22 an2 )(b12 b22 bn 2) (a1b1 a2b2 a nbn) 2
(ai , bi
题型八：利用基本不等式求参数范围 1、（2012 沈阳检测）已知 x, y 0 ，且 (x y)( 1 a ) 9
xy 恒成立，求正实数 a 的最小值；
题型九：利用柯西不等式求最值
1、二维柯西不等式
(a , b, c , d R , 当且仅当a b ；即ad bc时等号成立) cd
若 a,b, c, d R ，则 (a2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd )2