基本不等式专题 ---完整版(非常全面)
不等式基本原理专题 ---(非常全面)
不等式基本原理专题 ---(非常全面)不等式基本原理专题 - 完整版概述在数学不等式中,有一些基本的原理和定理,这些定理不仅在不等式证明中起到重要的作用,而且在实际问题中也有着广泛的应用。
在本文中,将阐述几个不同的不等式基本原理,并通过相关例题进行演示。
一、加减法原理不等式加减法原理指的是,如果两个不等式关系成立,则将它们加起来或从其中一个减去另一个,得到的结果仍然是不等式关系。
例如:如果 $a>b$ 且 $c>d$,则 $a+c>b+d$如果 $a>b$ 且 $c>d$,则 $a-c>b-d$二、乘法原理不等式乘法原理指的是,如果不等式关系的两侧均为正或均为负,则将它们相乘,得到的结果仍然是不等式关系,而如果一侧为正,另一侧为负,则将它们相乘,则得到一种新的不等式关系。
例如:如果 $a>b>0$ 且 $c>d>0$,则 $ac>bd$如果 $a>b>0$ 且 $c<d<0$ 或 $a<b<0$ 且 $c>d>0$,则 $ac<bd$三、倒数性质不等式倒数性质指的是,如果 $a>b>0$,则$\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$。
例如:如果 $3>2>0$,则$\frac{1}{3}<\frac{1}{2}$。
四、平均值不等式平均值不等式是一个常用的不等式概念,它指的是对于一组实数 $a_1,a_2,...,a_n$,它们的算术平均值、几何平均值与调和平均值有以下关系:$\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}\geq \sqrt[n]{a_1 a_2 ... a_n}\geq\frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_n}}$。
例如:对于一组实数 $1,2,3$,它们的算术平均值是 $2$,几何平均值是 $\sqrt[3]{6}$,调和平均值是$\frac{3}{\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}=\frac{9}{5}$。
最新基本不等式完整版(非常全面)
基本不等式专题辅导一、知识点总结1、基本不等式原始形式(1)若R b a ∈,,则ab b a 222≥+(2)若R b a ∈,,则222b a ab +≤2、基本不等式一般形式(均值不等式)若*,R b a ∈,则ab b a 2≥+3、基本不等式的两个重要变形 (1)若*,R b a ∈,则ab ba ≥+2(2)若*,R b a ∈,则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab总结:当两个正数的积为定植时,它们的和有最小值;当两个正数的和为定植时,它们的积有最小值;特别说明:以上不等式中,当且仅当b a =时取“=”4、求最值的条件:“一正,二定,三相等”5、常用结论 (1)若0x >,则12x x+≥ (当且仅当1x =时取“=”) (2)若0x <,则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”) (3)若0>ab ,则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”)(4)若R b a ∈,,则2)2(222b a b a ab +≤+≤ (5)若*,R b a ∈,则2211122b a b a ab ba +≤+≤≤+特别说明:以上不等式中,当且仅当b a =时取“=” 6、柯西不等式(1)若,,,a b c d R ∈,则22222()()()a b c d ac bd ++≥+ (2)若123123,,,,,a a a b b b R ∈,则有:22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++(3)设1212,,,,,,n n a a a b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅与b 是两组实数,则有 222(a a a ++⋅⋅⋅+)222)b b b ++⋅⋅⋅+(2()a b a b a b ≥++⋅⋅⋅+二、题型分析题型一:利用基本不等式证明不等式1、设b a ,均为正数,证明不等式:ab ≥ba 112+2、已知cb a ,,为两两不相等的实数,求证:ca bc ab c b a ++>++2223、已知1a b c ++=,求证:22213a b c ++≥ 4、已知,,a b c R+∈,且1a b c ++=,求证:abc c b a 8)1)(1)(1(≥---5、已知,,a b c R+∈,且1a b c ++=,求证:1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭6、(2013年新课标Ⅱ卷数学(理)选修4—5:不等式选讲 设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明:(Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)2221a b c b c a++≥.7、(2013年江苏卷(数学)选修4—5:不等式选讲 已知0>≥b a ,求证:b a ab b a 223322-≥-题型二:利用不等式求函数值域1、求下列函数的值域 (1)22213x x y += (2))4(x x y -=(3))0(1>+=x x x y (4))0(1<+=x xx y题型三:利用不等式求最值 (一)(凑项)1、已知2>x ,求函数42442-+-=x x y 的最小值;变式1:已知2>x ,求函数4242-+=x x y 的最小值;变式2:已知2<x ,求函数4242-+=x x y 的最大值;练习:1、已知54x >,求函数14245y x x =-+-的最小值;2、已知54x <,求函数14245y x x =-+-的最大值;题型四:利用不等式求最值 (二)(凑系数)1、当时,求(82)y x x =-的最大值;变式1:当时,求4(82)y x x =-的最大值;变式2:设230<<x ,求函数)23(4x x y -=的最大值。
基本不等式(很全面)
基本不等式【知识框架】1、基本不等式原始形式(1)若R b a ∈,,则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,,则222b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式(均值不等式)若*,R b a ∈,则ab b a 2≥+3、基本不等式的两个重要变形(1)若*,R b a ∈,则ab b a ≥+2 (2)若*,R b a ∈,则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab 总结:当两个正数的积为定植时,它们的和有最小值;当两个正数的和为定植时,它们的积有最小值;4、求最值的条件:“一正,二定,三相等”5、常用结论(1)若0x >,则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”) (2)若0x <,则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”) (3)若0>ab ,则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”) (4)若R b a ∈,,则2)2(222b a b a ab +≤+≤ (5)若*,R b a ∈,则2211122b a b a ab+≤+≤≤+ 6、柯西不等式(1)若,,,a b c d R ∈,则22222()()()a b c d ac bd ++≥+(2)若123123,,,,,a a a b b b R ∈,则有:22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++(3)设1212,,,,,,n n a a a b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅与b 是两组实数,则有22212(n a a a ++⋅⋅⋅+)22212)n b b b ++⋅⋅⋅+(21122()n n a b a b a b ≥++⋅⋅⋅+【题型归纳】题型一:利用基本不等式证明不等式题目1、设b a ,均为正数,证明不等式:ab ≥ba 112+题目2、已知c b a ,,为两两不相等的实数,求证:ca bc ab c b a ++>++222题目3、已知1a b c ++=,求证:22213a b c ++≥题目4、已知,,a b c R +∈,且1a b c ++=,求证:abc c b a 8)1)(1)(1(≥---题目5、已知,,a b c R +∈,且1a b c ++=,求证:1111118⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪题目6、(新课标Ⅱ卷数学(理)设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明:(Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)2221a b c b c a ++≥.题型二:利用不等式求函数值域题目1、求下列函数的值域(1)22213x x y += (2))4(x x y -=(3))0(1>+=x x x y (4))0(1<+=x x x y题型三:利用不等式求最值 (一)(凑项)1、已知2>x ,求函数42442-+-=x x y 的最小值;变式1:已知2>x ,求函数4242-+=x x y 的最小值;变式2:已知2<x ,求函数4242-+=x x y 的最大值;变式3:已知2<x ,求函数4224xy x x =+-的最大值;练习:1、已知54x >,求函数14245y x x =-+-的最小值;题目2、已知54x <,求函数14245y x x =-+-的最大值;题型四:利用不等式求最值 (二)(凑系数)题目1、当时,求(82)y x x =-的最大值;变式1:当时,求4(82)y x x =-的最大值;变式2:设230<<x ,求函数)23(4x x y -=的最大值。
基本不等式(完整版)
2b+a≥2,ab>0; ab
a+b 3ab≤ 2 2,a,b∈R;
当且仅当 a=b 时 等号成立.
4a2+b2≥
a+b 2
2,a,b∈R
2
(5) 2 ab a b a2 b2 (a 0,b 0) .
11
2
2
ab
一、直接法
【例 1】以下结论,正确的是( ) A.y=x+ ≥4
B.ex+ >2
A. 2
B.2
C.2 2
D.4
解析:由1+2= ab知 a>0,b>0,所以 ab=1+2≥2 2 ,即 ab≥2 2,
ab
ab
ab
1=2,
ab 当且仅当 1+2=
即 a=4 2,b=2 4 2时取“=”,所以 ab 的最小值为 2 ab,
2.故选 C
ab
变式 1:若实数 x、y 满足 2x+2y=1,则 x+y 的取值范围是( )
证明: (a b)2 0 a2 2ab b2 0 a2 b2 2ab
推论: ab a2 b2 ( a,b R ). 2
2、如果 a 0 , b 0 ,则 a b 2 ab ,(当且仅当 a b 时取等号“=”).
推论: ab
(a b )2 ( a
a2 0 ,b 0 );
C.x(1﹣x)≤(
)2 =
D.sinx+
(0<x<π)的最小值是 2
解:A:当 x<0 时,不满足题意;B:
C:由基本不等式可得,x(1﹣x) 等号,故 C 符合题意; D:当 0<x<π时,0<sinx≤1,则 故选:C.
=2,不符合题意; = ,当且仅当 x=1﹣x 即 x= 时取
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第三讲:基本不等式专题一、知识点总结1、基本不等式原始形式(1)若R b a ∈,,则ab b a 222≥+(2)若R b a ∈,,则222b a ab +≤2、基本不等式一般形式(均值不等式)若*,R b a ∈,则ab b a 2≥+3、基本不等式的两个重要变形 (1)若*,R b a ∈,则ab ba ≥+2(2)若*,R b a ∈,则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab总结:当两个正数的积为定植时,它们的和有最小值; 当两个正数的和为定植时,它们的积有最大值;4、求最值的条件:“一正,二定,三相等”5、常用结论 (1)若0x >,则12x x+≥ (当且仅当1x =时取“=”) (2)若0x <,则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”)(3)若0>ab ,则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”)(4)若R b a ∈,,则2)2(222b a b a ab +≤+≤ (5)若*,R b a ∈,则2211122b a b a ab ba +≤+≤≤+(1)若,,,a b c d R ∈,则22222()()()a b c d ac bd ++≥+ (2)若123123,,,,,a a a b b b R ∈,则有:22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++(3)设1212,,,,,,n n a a a b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅与b 是两组实数,则有 222(a a a ++⋅⋅⋅+)222)b b b ++⋅⋅⋅+(2()a b a b a b ≥++⋅⋅⋅+二、题型分析题型一:利用基本不等式证明不等式1、设b a ,均为正数,证明不等式:ab ≥ba 112+2、已知cb a ,,为两两不相等的实数,求证:ca bc ab c b a ++>++2223、已知,,a b c R+∈,且1a b c ++=,求证:abc c b a 8)1)(1)(1(≥---4、已知,,a b c R+∈,且1a b c ++=,求证:1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭题型二:利用不等式求函数值域1、求下列函数的值域(1)22213x x y += (2))4(x x y -=(3))0(1>+=x x x y (4))0(1<+=x xx y题型三:利用不等式求最值 (一)(凑项)1、已知2>x ,求函数42442-+-=x x y 的最小值;变式1:已知2<x ,求函数4242-+=x x y 的最大值;练习:1、已知54x >,求函数14245y x x =-+-的最小值;2、已知54x <,求函数14245y x x =-+-的最大值; 题型四:利用不等式求最值 (二)(凑系数)1、当时,求(82)y x x =-的最大值;变式1:当时,求4(82)y x x =-的最大值;2、若02<<x ,求y x x =-()63的最大值;变式:若40<<x ,求)28(x x y -=的最大值;3、求函数)2521(2512<<-+-=x x x y 的最大值;(提示:平方,利用基本不等式)变式:求函数)41143(41134<<-+-=x x x y 的最大值;题型五:巧用“1”的代换求最值问题1、已知12,0,=+>b a b a ,求t a b=+11的最小值;法一:法二:变式1:已知22,0,=+>b a b a ,求t a b=+11的最小值;变式2:已知28,0,1x y x y>+=,求xy 的最小值;变式3:已知0,>y x ,且119x y+=,求x y +的最小值。
基本不等式完整版
基本不等式完整版一、知识点总结1.基本不等式原始形式:若 $a,b\in\mathbb{R}$,则 $a^2+b^2\geq 2ab$。
2.基本不等式一般形式(均值不等式):若 $a,b\in\mathbb{R^*}$,则 $a+b\geq 2\sqrt{ab}$。
3.基本不等式的两个重要变形:1)若 $a,b\in\mathbb{R^*}$,则 $\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$。
2)若 $a,b\in\mathbb{R^*}$,则 $ab\leq\left(\frac{a+b}{2}\right)^2$。
总结:当两个正数的积为定值时,它们的和有最小值;当两个正数的和为定值时,它们的积有最小值。
特别说明:以上不等式中,当且仅当 $a=b$ 时取“=”。
4.求最值的条件:“一正,二定,三相等”。
5.常用结论:1)若 $x>0$,则 $x+\frac{1}{x}\geq 2$(当且仅当$x=1$ 时取“=”)。
2)若 $x<0$,则 $x+\frac{1}{x}\leq -2$(当且仅当 $x=-1$ 时取“=”)。
3)若 $a,b>0$,则 $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$(当且仅当 $a=b$ 时取“=”)。
4)若 $a,b>0$,则 $ab\leq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2\leq \frac{a^2+b^2}{2}$。
5)若 $a,b\in\mathbb{R^*}$,则 $\frac{1}{a+b}\leq\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\leq\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}}$。
特别说明:以上不等式中,当且仅当 $a=b$ 时取“=”。
6.柯西不等式:1)若 $a,b,c,d\in\mathbb{R}$,则$(a^2+b^2)(c^2+d^2)\geq (ac+bd)^2$。
完整版)基本不等式知识点和基本题型
完整版)基本不等式知识点和基本题型基本不等式专题辅导一、知识点总结1.基本不等式原始形式若a,b∈R,则a+b≥2ab若a,b∈R,则ab≤(a^2+b^2)/22.均值不等式若a,b∈R,则a+b/2≥√(ab)3.基本不等式的两个重要变形若a,b∈R,则(a+b)/2≥√(ab)若a,b∈R,则ab≤(a+b)^2/4特别说明:以上不等式中,当且仅当a=b时取“=”4.求最值的条件:“一正,二定,三相等”5.常用结论1.x+1/x≥2 (当且仅当x=1时取“=”)2.x+1/x≤-2 (当且仅当x=-1时取“=”)3.若ab>0,则(a/b+b/a)/2≥2 (当且仅当a=b时取“=”)4.若a,b∈R,则ab≤(a^2+b^2)/2≤(a+b)^2/2特别说明:以上不等式中,当且仅当a=b时取“=”6.柯西不等式若a,b∈R,则(a^2+b^2)(1+1)≥(a+b)^2二、题型分析题型一:利用基本不等式证明不等式1.设a,b均为正数,证明不等式:ab≥(a+b)^2/42.已知a,b,c为两两不相等的实数,求证:a^2/(b-c)^2+b^2/(c-a)^2+c^2/(a-b)^2≥23.已知a+b+c=1,求证:a^2+b^2+c^2+3(ab+bc+ca)≥4/34.已知a,b,c∈R,且a+b+c=1,求证:(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc5.已知a,b,c∈R,且a+b+c=1,求证:|a-b|+|b-c|+|c-a|≥4√2/3题型二:利用不等式求最值1.已知a+b=1,求证:a^3+b^3≥1/42.已知a,b,c>0,且abc=1,求证:a/b+b/c+c/a≥a+b+c3.已知a,b,c>0,且a+b+c=1,求证:a/b+b/c+c/a≥34.已知a,b,c>0,求证:(a^2+b^2)/(a+b)+(b^2+c^2)/(b+c)+(c^2+a^2)/(c+a)≥(3/2)(a+b+c)5.已知a,b,c>0,求证:(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)≥9基本不等式专题辅导一、知识点总结1.基本不等式原始形式若a,b∈R,则a+b≥2ab若a,b∈R,则ab≤(a²+b²)/22.均值不等式若a,b∈R,则a+b/2≥√(ab)3.基本不等式的两个重要变形若a,b∈R,则(a+b)/2≥√(ab)若a,b∈R,则ab≤(a+b)²/4特别说明:以上不等式中,当且仅当a=b时取“=”4.求最值的条件:“一正,二定,三相等”5.常用结论1.x+1/x≥2 (当且仅当x=1时取“=”)2.x+1/x≤-2 (当且仅当x=-1时取“=”)3.若ab>0,则(a/b+b/a)/2≥2 (当且仅当a=b时取“=”)4.若a,b∈R,则ab≤(a²+b²)/2≤(a+b)²/2特别说明:以上不等式中,当且仅当a=b时取“=”6.柯西不等式若a,b∈R,则(a²+b²)(1+1)≥(a+b)²二、题型分析题型一:利用基本不等式证明不等式1.设a,b均为正数,证明不等式:ab≥(a+b)²/42.已知a,b,c为两两不相等的实数,求证:a²/(b-c)²+b²/(c-a)²+c²/(a-b)²≥23.已知a+b+c=1,求证:a²+b²+c²+3(ab+bc+ca)≥4/34.已知a,b,c∈R,且a+b+c=1,求证:(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc5.已知a,b,c∈R,且a+b+c=1,求证:|a-b|+|b-c|+|c-a|≥4√2/3题型二:利用不等式求最值1.已知a+b=1,求证:a³+b³≥1/42.已知a,b,c>0,且abc=1,求证:a/b+b/c+c/a≥a+b+c3.已知a,b,c>0,且a+b+c=1,求证:a/b+b/c+c/a≥34.已知a,b,c>0,求证:(a²+b²)/(a+b)+(b²+c²)/(b+c)+(c²+a²)/(c+a)≥(3/2)(a+b+c)5.已知a,b,c>0,求证:(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)≥9选修4-5:不等式选讲1.设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明:Ⅰ) ab+bc+ca≤1/3;Ⅱ) a^2b+b^2c+c^2a≥1/9.2.已知a≥b>0,求证:2a-b≥2ab-b^2.3.求下列函数的值域:1) y=3x+2;2) y=x(4-x);3) y=x+(x>2);4) y=x+(x<2)。
基本不等式完整版(非常全面)[整理]
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基本不等式可以指几乎所有组成分析和数学的基础。
它可以使许多不同的数学问题变
得更容易理解,因此使用它们进行计算是极其重要的。
基本不等式包括了三类不等式:大
小不等式,加法不等式和乘法不等式。
以下是一些基本的不等式定义。
1、大小不等式:大小不等式表示一个数与另一个数之间的存在或缺失的关系。
例如,如果A > B,则表示A大于B,而A ≤ B表示A小于或等于B,A ≠ B表示A与B之间存
在某种不同。
2、加法不等式:加法不等式表示两个数相加时的结果。
例如,A + B > C的意思是A
与B的和大于C,A + B ≤ C的意思是A与B的和小于或等于C,A + B = C的意思是A
与B的和等于C。
一般地,一个数与另一个数之间的关系可以用不等式来表示,但也可以用不等式来表
示多个数之间的关系:
1、省略不等式:3x + 2y = 4z,这表示3x + 2y至少等于4z的意思。
基本不等式可以用来处理大量数学问题,比如解一元不等式、求函数的极值以及进行
多元函数分析等。
它们对于熟悉数学理论和解决数学问题都极其重要。
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基本不等式专题辅导之迟辟智美创作一、知识点总结1、基本不等式原始形式(1)若R b a ∈,,则ab b a 222≥+(2)若R b a ∈,,则222b a ab +≤2、基本不等式一般形式(均值不等式) 若*,R b a ∈,则ab b a 2≥+3、基本不等式的两个重要变形(1)若*,R b a ∈,则ab ba ≥+2(2)若*,R b a ∈,则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab 总结:当两个正数的积为定植时,它们的和有最小值;当两个正数的和为定植时,它们的积有最小值; 特别说明:以上不等式中,当且仅那时b a =取“=” 4、求最值的条件:“一正,二定,三相等” 5、经常使用结论 (1)若0x >,则12x x+≥ (当且仅那时1x =取“=”) (2)若0x <,则12x x+≤- (当且仅那时1x =-取“=”)(3)若0>ab ,则2≥+abb a (当且仅那时b a =取“=”)(4)若R b a ∈,,则2)2(222b a b a ab +≤+≤ (5)若*,R b a ∈,则2211122b a b a ab ba +≤+≤≤+ 特别说明:以上不等式中,当且仅那时b a =取“=” 6、柯西不等式(1)若,,,a b c d R ∈,则22222()()()a b c d ac bd ++≥+ (2)若123123,,,,,a a a b b b R ∈,则有:22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++(3)设1212,,,,,,n n a a a b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅与b 是两组实数,则有 22212(n a a a ++⋅⋅⋅+)22212)n b b b ++⋅⋅⋅+(21122()n n a b a b a b ≥++⋅⋅⋅+二、题型分析题型一:利用基本不等式证明不等式 1、设b a ,均为正数,证明不等式:ab ≥ba 112+2、已知cb a ,,为两两不相等的实数,求证:ca bc ab c b a ++>++2223、已知1a b c ++=,求证:22213a b c ++≥4、已知,,a b c R +∈,且1a b c ++=,求证:abc c b a 8)1)(1)(1(≥---5、已知,,a b c R +∈,且1a b c ++=,求证:1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭6、(2013年新课标Ⅱ卷数学(理)选修4—5:不等式选讲设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明:(Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)2221a b c b c a++≥.7、(2013年江苏卷(数学)选修4—5:不等式选讲 已知0>≥b a ,求证:b a ab b a 223322-≥- 题型二:利用不等式求函数值域1、求下列函数的值域(1)22213x x y += (2))4(x x y -= (3))0(1>+=x x x y (4))0(1<+=x xx y题型三:利用不等式求最值 (一)(凑项)1、已知2>x ,求函数42442-+-=x x y 的最小值;变式1:已知2>x ,求函数4242-+=x x y 的最小值;变式2:已知2<x ,求函数4242-+=x x y 的最年夜值;练习:1、已知54x >,求函数14245y x x =-+-的最小值; 2、已知54x <,求函数14245y x x =-+-的最年夜值; 题型四:利用不等式求最值 (二)(凑系数) 1、那时,求(82)y x x =-的最年夜值;变式1:那时,求4(82)y x x =-的最年夜值;变式2:设230<<x ,求函数)23(4x x y -=的最年夜值.2、若02<<x ,求y x x =-()63的最年夜值;变式:若40<<x ,求)28(x x y -=的最年夜值;3、求函数)2521(2512<<-+-=x x x y 的最年夜值;(提示:平方,利用基本不等式)变式:求函数)41143(41134<<-+-=x x x y 的最年夜值;题型五:巧用“1”的代换求最值问题 1、已知12,0,=+>b a b a ,求t a b=+11的最小值; 法一: 法二:变式1:已知22,0,=+>b a b a ,求t a b=+11的最小值; 变式2:已知28,0,1x y x y>+=,求xy 的最小值;变式3:已知0,>y x ,且119x y+=,求x y +的最小值. 变式4:已知0,>y x ,且194x y+=,求x y +的最小值; 变式5:(1)若0,>y x 且12=+y x ,求11x y+的最小值;(2)若+∈R y x b a ,,,且1=+yb x a ,求y x +的最小值;变式6:已知正项等比数列{}n a 满足:5672a a a +=,若存在两项n m a a ,,使得14a a a n m =,求nm 41+的最小值; 题型六:分离换元法求最值(了解)1、求函数)1(11072-≠+++=x x x x y 的值域; 变式:求函数)1(182>-+=x x x y 的值域; 2、求函数522++=x x y 的最年夜值;(提示:换元法)变式:求函数941++=x x y 的最年夜值; 题型七:基本不等式的综合应用1、已知1log log 22≥+b a ,求ba93+的最小值 2、(2009天津)已知0,>b a ,求ab b a 211++的最小值;变式1:(2010四川)如果0>>b a ,求关于b a ,的表达式)(112b a a ab a -++的最小值; 变式2:(2012湖北武汉诊断)已知,那时1,0≠>a a ,函数1)1(log +-=x y a 的图像恒过定点A ,若点A 在直线0=+-n y mx 上,求nm 24+的最小值;3、已知0,>y x ,822=++xy y x ,求y x 2+最小值;变式1:已知0,>b a ,满足3++=b a ab ,求ab 范围;变式2:(2010山东)已知0,>y x ,312121=+++y x ,求xy 最年夜值;(提示:通分或三角换元)变式3:(2011浙江)已知0,>y x ,122=++xy y x ,求xy 最年夜值; 4、(2013年山东(理))设正实数z y x ,,满足04322=-+-z y xy x ,则当zxy取得最年夜值时,zy x 212-+的最年夜值为( )( )A .0B .1C .49D .3 (提示:代入换元,利用基本不等式以及函数求最值)变式:设z y x ,,是正数,满足032=+-z y x ,求xzy 2的最小值;题型八:利用基本不等式求参数范围1、(2012沈阳检测)已知0,>y x ,且9)1)((≥++ya xy x 恒成立,求正实数a 的最小值; 2、已知0>>>z y x 且zx n z y y x -≥-+-11恒成立,如果+∈N n ,求n 的最年夜值;(参考:4) (提示:分离参数,换元法) 变式:已知0,>b a 满则241=+ba ,若cb a ≥+恒成立,求c 的取值范围;题型九:利用柯西不等式求最值 1、二维柯西不等式),,,,(时等号成立;即当且仅当bc ad dbc a Rd c b a ==∈若,,,a b c d R ∈,则22222()()()a b c d ac bd ++≥+ 2、二维形式的柯西不等式的变式bd ac d c b a +≥+⋅+2222)1(),,,,(时等号成立;即当且仅当bc ad dbc a Rd c b a ==∈bdac d c b a +≥+⋅+2222)2( ),,,,(时等号成立;即当且仅当bc ad dbc a Rd c b a ==∈2)())()(3(bd ac d c b a +≥++),0,,,(时等号成立;即当且仅当bc ad dbc ad c b a ==≥3、二维形式的柯西不等式的向量形式≤),,,0(等号成立时使或存在实数当且仅当→→→→==ββk a k4、三维柯西不等式若123123,,,,,a a a b b b R ∈,则有:22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++),,(332211时等号成立当且仅当b a b a b a R b a i i ==∈ 5、一般n 维柯西不等式设1212,,,,,,n n a a a b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅与b 是两组实数,则有: 22212(n a a a ++⋅⋅⋅+)22212)n b b b ++⋅⋅⋅+(21122()n n a b a b a b ≥++⋅⋅⋅+),,(2211时等号成立当且仅当nn i i b a b a b a R b a ==∈ 题型分析题型一:利用柯西不等式一般形式求最值1、设,,x y z R ∈,若2224x y z ++=,则z y x 22+-的最小值为时,=),,(z y x析:]2)2(1)[()22(2222222+-+++≤+-z y x z y x3694=⨯=∴z y x 22+-最小值为6-此时322)2(16221222-=+-+-==-=z y x ∴32-=x ,34=y ,34-=z 2、设,,x y z R ∈,226x y z --=,求222x y z ++的最小值m ,并求此时,,x y z 之值.Ans :)34,32,34(),,(;4--==z y x m3、设,,x y z R ∈,332=+-z y x ,求222)1(z y x +-+之最小值为,此时=y(析:0)1(32332=+--⇔=+-z y x z y x ) 4、(2013年湖南卷(理))已知,,,236,a b c a b c ∈++= 则22249a b c ++的最小值是 (12:Ans ) 5、(2013年湖北卷(理))设,,x y z R ∈,且满足:2221x y z ++=,2314x y z ++=,求z y x ++的值;6、求φθφθθcos cos sin cos 3sin 2-+ 的最年夜值与最小值.(Ans :最年夜值为22,最小值为22)析:令→a (2sin ,3cos , cos ),→b(1,sin ,cos )。
基本不等式(很全面).(精选)
基本不等式(很全⾯).(精选)基本不等式【知识框架】1、基本不等式原始形式(1)若R b a ∈,,则ab b a 222≥+(2)若R b a ∈,,则222b a ab +≤2、基本不等式⼀般形式(均值不等式)若*,R b a ∈,则ab b a 2≥+3、基本不等式的两个重要变形(1)若*,R b a ∈,则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈,则22?+≤b a ab总结:当两个正数的积为定植时,它们的和有最⼩值;当两个正数的和为定植时,它们的积有最⼩值;4、求最值的条件:“⼀正,⼆定,三相等”5、常⽤结论(1)若0x >,则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”)(2)若0x <,则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”)(3)若0>ab ,则2≥+ab ba (当且仅当b a =时取“=”)(4)若R b a ∈,,则2)2(222b a b a ab +≤+≤(5)若*,R b a ∈,则22b a b a ab ba +≤+≤≤+6、柯西不等式(1)若,,,a b c d R ∈,则22222()()()a b c d ac bd ++≥+ (2)若123123,,,,,a a a b b b R ∈,则有:22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++(3)设1212,,,,,,n n a a a b b 与b 是两组实数,则有22212(n a a a +++)22212)n b b b +++(21122()n n a b a b a b ≥+++【题型归纳】题型⼀:利⽤基本不等式证明不等式题⽬1、设b a ,均为正数,证明不等式:ab ≥ba 112+题⽬2、已知c b a ,,为两两不相等的实数,求证:ca bc ab c b a ++>++222题⽬3、已知1a b c ++=,求证:22213a b c ++≥题⽬4、已知,,a b c R +∈,且1a b c ++=,求证:abc c b a 8)1)(1)(1(≥---题⽬5、已知,,a b c R +∈,且1a b c ++=,求证:1111118a b c---≥题⽬6、(新课标Ⅱ卷数学(理)设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明:(Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)2221a b c b c a++≥.题型⼆:利⽤不等式求函数值域题⽬1、求下列函数的值域(1)22213x x y += (2))4(x x y -=(3))0(1>+=x x x y (4))0(1<+=x xx y题型三:利⽤不等式求最值(⼀)(凑项) 1、已知2>x ,求函数424变式1:已知2>x ,求函数4242-+=x x y 的最⼩值;变式2:已知2242-+=x x y 的最⼤值;变式3:已知2xy x x =+-的最⼤值;练习:1、已知54x >,求函数14245y x x =-+-的最⼩值;题⽬2、已知54x <,求函数14245y x x =-+-的最⼤值;题型四:利⽤不等式求最值(⼆)(凑系数)题⽬1、当时,求(82)y x x =-的最⼤值;变式1:当时,求4(82)y x x =-的最⼤值;变式2:设230<题⽬2、若02<变式:若40<题⽬3、求函数)2521(2512<<-+-=x x x y 的最⼤值;变式:求函数)4x x x y 的最⼤值;题型五:巧⽤“1”的代换求最值问题题⽬1、已知12,0,=+>b a b a ,求t a b=+11的最⼩值;变式1:已知22,0,=+>b a b a ,求t a b=+11的最⼩值;变式2:已知28,0,1x y x y>+=,求xy 的最⼩值;变式3:已知0,>y x ,且119x y+=,求x y +的最⼩值。
基本不等式(很全面)
基本不等式(很全面)基本不等式基本不等式原始形式:对于任意实数a和b,有a+b≥2ab/(a^2+b^2)。
基本不等式一般形式(均值不等式):对于任意实数a和b,有a+b≥2ab/2.基本不等式的两个重要变形:1)对于任意实数a和b,有(a+b)/2≥√(ab)。
2)对于任意实数a和b,有ab≤(a^2+b^2)/2.求最值的条件:“一正,二定,三相等”。
常用结论:1)对于任意正实数x,有x+1/x≥2(当且仅当x=1时取“=”)。
2)对于任意负实数x,有x+1/x≤-2(当且仅当x=-1时取“=”)。
3)对于任意正实数a和b,有(a/b+b/a)≥2(当且仅当a=b 时取“=”)。
4)对于任意实数a和b,有ab≤(a^2+b^2)/2≤(a+b)^2/4.5)对于任意实数a和b,有1/(a+b)≤1/2√(ab)≤(1/a+1/b)/(a+b/2)。
特别说明:以上不等式中,当且仅当a=b时取“=”。
柯西不等式:1)对于任意实数a、b、c和d,有(a+b)(c+d)≥(ac+bd)^2.2)对于任意实数a1、a2、a3、b1、b2和b3,有(a1^2+a2^2+a3^2)(b1^2+b2^2+b3^2)≥(a1b1+a2b2+a3b3)^2.3)对于任意实数a1、a2、…、an和b1、b2、…、bn,有(a1^2+a2^2+…+an^2)(b1^2+b2^2+…+bn^2)≥(a1b1+a2b2+…+an bn)^2.题型归纳:题型一:利用基本不等式证明不等式。
题目1:设a、b均为正数,证明不等式ab≥2/(1/a+1/b)。
题目2:已知a、b、c为两两不相等的实数,求证:a/(b-c)^2+b/(c-a)^2+c/(a-b)^2≥2/(a-b+b-c+c-a)。
题目3:已知a+b+c=1,求证:a^2+b^2+c^2+9abc≥2(ab+bc+ca)。
题目4:已知a、b、c为正实数,且abc=1,求证:a/b+b/c+c/a≥a+b+c。
基本不等式完整版
一、知识点总结1、基本不等式原始形式(1)若a,b R,则a2 b2 2abc2 h2(2)若a,b R,则ab a L22、基本不等式一般形式(均值不等式)若a,b R*,则a b 2 . ab3、基本不等式的两个重要变形(1)若a,b R*,则ab22(2)若a,b R*,则ab 口2总结:当两个正数的积为定植时,它们的和有最小值;当两个正数的和为定植时,它们的积有最小值;特别说明:以上不等式中,当且仅当a b时取“=”4、求最值的条件:“一正,二定,三相等”5、常用结论(1) 若x 0,则x 1 2 (当且仅当x 1时取“=”)x(2)若x 0,则x 1 2 (当且仅当x 1时取x(3)若ab 0,则a b2(当且仅当 a b时取“=”)b a(4)若a, b R,则ab(a b)2 a2b22 2(5)若a, b R*,则1vab b l a2b2112\ 2a b特别说明:以上不等式中,当且仅当 a b时取“=”6、柯西不等式(1)若a,b,c,d R,则(a2 b2)(c2 d2) (ac bd)2(2)若a1,a2,a3,bi,b2,b3 R,则有:(印2a22 a32)4bj b22 b32) (a^ a?b2 a s b s)2(3)设a1,a2, ,a n与6也,,b n是两组实数,则有2 2 2 2 2 2 2 (a1 a2 a n )(b1 b2 b n) gb’ a2b2a n b n)二、题型分析题型一:利用基本不等式证明不等式.—91、设a,b均为正数,证明不等式:ab >1 1a b2、已知a,b,c为两两不相等的实数,求证:2 2 2a b c ab bc ca3、已知a b c 1,求证:a2 b2 c2 134、已知a,b,c R ,且a b c 1 ,求证:(1 a )(1 b)(1 c) 8abc5、已知a,b,c R 且a b c 1 , 求证6、(2013年新课标H卷数学(理)选修4—5:不等式选讲设均为正数,且,证明:(I );(H).7、(2013年江苏卷(数学)选修4—5:不等式选讲已知a b 0,求证:2a3 b3 2ab2 a2b 题型二:利用不等式求函数值域1、求下列函数的值域(1) y 3x22x(2) y x(4 x)1(3) y x —(X 0)X (4) y1x (x 0)x题型三:利用不等式求最值(一)(凑项)1、已知x 2,求函数y 2x42x 4的最小值;变式1 :已知x 2,求函数2x2x 4的最小值;变式2:已知x 2,求函数y 2x 4的最大值;2x 4变式2:设0 x ,求函数y 4x(3 2x)的最大值。
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基本不等式【知识框架】1、基本不等式原始形式(1)若R b a ∈,,则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,,则222b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式(均值不等式)若*,R b a ∈,则ab b a 2≥+3、基本不等式的两个重要变形(1)若*,R b a ∈,则ab b a ≥+2 (2)若*,R b a ∈,则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab 总结:当两个正数的积为定植时,它们的和有最小值;当两个正数的和为定植时,它们的积有最小值;4、求最值的条件:“一正,二定,三相等”5、常用结论(1)若0x >,则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”) (2)若0x <,则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”) (3)若0>ab ,则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”) (4)若R b a ∈,,则2)2(222b a b a ab +≤+≤ (5)若*,R b a ∈,则2211122b a b a ab b a +≤+≤≤+6、柯西不等式(1)若,,,a b c d R ∈,则22222()()()a b c d ac bd ++≥+(2)若123123,,,,,a a a b b b R ∈,则有:22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++(3)设1212,,,,,,n n a a a b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅与b 是两组实数,则有22212(n a a a ++⋅⋅⋅+)22212)n b b b ++⋅⋅⋅+(21122()n n a b a b a b ≥++⋅⋅⋅+【题型归纳】题型一:利用基本不等式证明不等式题目1、设b a ,均为正数,证明不等式:ab ≥b a 112+题目2、已知c b a ,,为两两不相等的实数,求证:ca bc ab c b a++>++222题目3、已知1a b c ++=,求证:22213a b c ++≥题目4、已知,,a b c R +∈,且1a b c ++=,求证:abc c b a 8)1)(1)(1(≥---题目5、已知,,a b c R +∈,且1a b c ++=,求证:1111118⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥⎪⎪⎪题目6、(新课标Ⅱ卷数学(理)设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明:(Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)2221a b c b c a++≥.题型二:利用不等式求函数值域题目1、求下列函数的值域(1)22213x x y += (2))4(x x y -=(3))0(1>+=x x x y (4))0(1<+=x x x y题型三:利用不等式求最值 (一)(凑项)1、已知2>x ,求函数42442-+-=x x y 的最小值;变式1:已知2>x ,求函数4242-+=x x y 的最小值;变式2:已知2<x ,求函数4242-+=x x y 的最大值;变式3:已知2<x ,求函数4224x y x x =+-的最大值;练习:1、已知54x >,求函数14245y x x =-+-的最小值;题目2、已知54x <,求函数14245y x x =-+-的最大值;题型四:利用不等式求最值 (二)(凑系数)题目1、当时,求(82)y x x =-的最大值;变式1:当时,求4(82)y x x =-的最大值;变式2:设230<<x ,求函数)23(4x x y -=的最大值。
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一、知识点总结1、基本不等式原始形式( 1)若 a, b R ,则 a 2b 22ab22( 2)若 a, b R ,则 abab 22、基本不等式一般形式(均值不等式) 若 a,b R*,则 a b 2 ab3、基本不等式的两个重要变形 ( 1)若 a, bR *,则abab22( 2)若 a, bR *a b,则 ab2总结:当两个正数的积为定植时,它们的和有最小值;当两个正数的和为定植时,它们的积有最小值;特别说明:以上不等式中,当且仅当 ab 时取“=”4、求最值的条件: “一正,二定,三相等”5、常用结论( 1)若 x0 ,则 x1 2 ( 当且仅当 x 1时取“ =”)x12 ( 当且仅当 x1 时取“=”)( 2)若 x 0 ,则 xx( 3)若 ab0,则ab 2 ( 当且仅当 ab 时取“=”)b a( 4)若 a, bR ,则 ab (a b)2 a 2 b 22222( 5)若 a, bR *,则 11 aba b a b 1 22a b特别说明:以上不等式中,当且仅当 a b 时取“ =”6、柯西不等式( 1)若 a, b, c, d R ,则 ( a2b 2 )(c 2d 2 ) (ac bd )2( 2)若 a 1 , a 2 , a 3 , b 1, b 2 , b 3 R ,则有:(a 12 a 2 2 a 32 )(1b 12 b 22 b 3 2 ) (a 1b 1 a 2b 2 a 3b 3 )2( 3)设 a 1 , a 2 , ,a n 与 b 1 ,b 2 , ,b n 是两组实数,则有 (a 12 a 22a n 2 ) (b 12 b 22b n 2 ) (a 1b 1 a 2b 2a nb n )2二、题型剖析题型一:利用基本不等式证明不等式1、设 a,b 均为正数,证明不等式 : ab ≥2 1 1 a b2 、 已 知 a, b, c 为 两 两 不 相 等 的 实 数 , 求 证 :a 2b 2c 2ab bc ca3、已知 ab c1,求证: a 2 b 2c 2134、已 知 a, b, c R, 且 a b c 1 , 求 证 :(1 a)(1 b)(1 c) 8abc5、已 知 a, b, cR, 且 a b c 1 , 求 证 :1 1 1 1 1 1 8a b c6、( 2013 年新课标Ⅱ卷数学(理) 选修 4— 5:不等式选讲设均为正数 , 且 , 证明 :( Ⅰ); ( Ⅱ).7、( 2013 年江苏卷(数学) 选修 4— 5:不等式选讲已知a b 0,求证 : a 3 b 3ab 2 a 2 b 22题型二:利用不等式求函数值域1、求以下函数的值域( 1) y 3x212( 2) y x(4 x)2x( 3) y x1( x 0)( 4) y x1( x 0)xx2、已知x 5 1的最大值;,求函数 y 4 x 24x4 5题型三:利用不等式求最值(一)(凑项)1、已知x 24的最小值;,求函数 y 2x 42x 442 ,求函数y 2x的最小值;2x 442 ,求函数y 2x的最大值;2x 4练习: 1、已知x 5 1的最小值;,求函数y 4 x 24x4 5题型四:利用不等式求最值(二)(凑系数)1、当时,求y x(82x) 的最大值;变式 1:当时,求y 4x(8 2x) 的最大值;3变式 2:设0x ,求函数 y 4x(3 2x) 的最大值。
基本不等式非常全面
根本不等式专题辅导一、知识点总结1、根本不等式原始形式〔1〕假设R b a ∈,,那么ab b a 222≥+〔2〕假设R b a ∈,,那么222ba ab +≤2、根本不等式一般形式〔均值不等式〕 假设*,R b a ∈,那么ab b a 2≥+3、根本不等式的两个重要变形〔1〕假设*,R b a ∈,那么ab b a ≥+2〔2〕假设*,R b a ∈,那么22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab总结:当两个正数的积为定植时,它们的和有最小值; 当两个正数的和为定植时,它们的积有最小值;特别说明:以上不等式中,当且仅当b a =时取“=〞4、求最值的条件:“一正,二定,三相等〞5、常用结论〔1〕假设0x >,那么12x x+≥ (当且仅当1x =时取“=〞〕〔2〕假设0x <,那么12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=〞〕〔3〕假设0>ab ,那么2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=〞〕〔4〕假设R b a ∈,,那么2)2(222b a b a ab +≤+≤ 〔5〕假设*,R b a ∈,那么2211122b a b a ab ba +≤+≤≤+特别说明:以上不等式中,当且仅当b a =时取“=〞 6、柯西不等式 〔1〕假设,,,a b c d R∈,那么22222()()()a b c d ac bd ++≥+〔2〕假设123123,,,,,a a a b b b R ∈,那么有:22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++〔3〕设1212,,,,,,n n a a a b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅与b 是两组实数,那么有 22212(n a a a ++⋅⋅⋅+)22212)n b b b ++⋅⋅⋅+(21122()n n a b a b a b ≥++⋅⋅⋅+二、题型分析题型一:利用根本不等式证明不等式1、设b a ,均为正数,证明不等式:ab ≥ba 112+2、cb a ,,为两两不相等的实数,求证:ca bc ab c b a ++>++2223、1a b c ++=,求证:22213a b c ++≥4、,,a b c R+∈,且1a b c ++=,求证:abc c b a 8)1)(1)(1(≥---5、,,a b c R+∈,且1a b c ++=,求证:1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭6、〔2021年新课标Ⅱ卷数学〔理〕选修4—5:不等式选讲 设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明:(Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)2221a b c b c a++≥.7、〔2021年XX 卷〔数学〕选修4—5:不等式选讲0>≥b a ,求证:b a ab b a 223322-≥-题型二:利用不等式求函数值域1、求以下函数的值域 〔1〕22213x x y += 〔2〕)4(x x y -=〔3〕)0(1>+=x x x y 〔4〕)0(1<+=x xx y题型三:利用不等式求最值 〔一〕〔凑项〕1、2>x ,求函数42442-+-=x x y 的最小值;变式1:2>x ,求函数4242-+=x x y 的最小值;变式2:2<x ,求函数4242-+=x x y 的最大值;练习:1、54x >,求函数14245y x x =-+-的最小值; 2、54x <,求函数14245y x x =-+-的最大值;题型四:利用不等式求最值 〔二〕〔凑系数〕1、当时,求(82)y x x =-的最大值;变式1:当时,求4(82)y x x =-的最大值;变式2:设230<<x ,求函数)23(4x x y -=的最大值。
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题型八:利用基本不等式求参数范围 1、(2012 沈阳检测)已知 x, y 0 ,且 (x y)( 1 a ) 9
xy 恒成立,求正实数 a 的最小值;
题型九:利用柯西不等式求最值
1、二维柯西不等式
(a , b, c , d R , 当且仅当a b ;即ad bc时等号成立) cd
若 a,b, c, d R ,则 (a2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd )2
1
ab
若 a, b R* ,则 a b 2 ab
3、基本不等式的两个重要变形
(1)若 a, b R* ,则 a b ab 2
(2)若 a, b R* ,则 ab a b 2
2
2 、 已 知 a, b, c 为 两 两 不 相 等 的 实 数 , 求 证 :
a 2 b 2 c 2 ab bc ca
析:令 a (2sin, 3 cos, cos),b (1,sin,cos)
(1)若 a,b, c, d R ,则 (a2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd )2
3、已知 a b c 1,求证: a2 b2 c2 1 3
4、已 知 a,b, c R , 且 a b c 1 , 求 证 : (1 a)(1 b)(1 c) 8abc
(2)若 a1, a2 , a3, b1, b2 , b3 R ,则有: (a12 a22 a32 )(1b12 b22 b32 ) (a1b1 a2b2 a3b3 )2 (3)设 a1, a2 , , an与b1,b2 , ,bn 是两组实数,则有
2、二维形式的柯西不等式的变式
(1) a2 b2 c2 d 2 ac bd (a , b, c , d R , 当且仅当a b ;即ad bc时等号成立)
cd
2、已知
x
y
z
0且
1 x
y
1 y
z
x
n
z
恒成立,
(2) a2 b2 c2 d 2 ac bd (a , b, c , d R , 当且仅当a b ;即ad bc时等号成立)
设 a,b, c 均为正数,且 a b c 1,证明:
(Ⅰ) ab bc ca 1 ; (Ⅱ) a2 b2 c2 1.
3
bca
题型二:利用不等式求函数值域
1、求下列函数的值域
(1)
y
3x
2
1 2x2
(2) y x(4 x)
(3) y x 1 (x 0) x
(4) y x 1 (x 0) x
5、已 知 a,b, c R , 且 a b c 1 , 求 证 :
1 a
1
1 b
1
1 c
1
8
(a12 a22 an2 )(b12 b22 bn 2) (a1b1 a2b2 a nbn) 2
6、(2013 年新课 标Ⅱ卷数学(理)选 修 4—5:不等式选 讲
7、(2013 年江苏卷(数学)选 修 4—5:不等式选 讲
已知 a b 0 ,求证: 2a3 b3 2ab 2 a 2b
题型三:利用不等式求最值 (一)(凑项)
1、已知
x
2
,求函数
y
2
x
4
4 2x
4
的最小值;
变式 1:已知 x 2 ,求函数 y 2x 4 的最小值; 2x 4
变式 2:已知 x 2 ,求函数 y 2x 4 的最大值; 2x 4
(3)若 ab 0 ,则 a b 2 (当且仅当 a b 时取“=”)
ba
(4)若 a, b R ,则 ab ( a b)2 a2 b2
2
2
(5)若 a, b R* ,则 1
11
ab a b 2
a2中,当且仅当 a b 时取“=”
6、柯西不等式
变式:求函数 y x2 8 (x 1) 的值域; x 1
2、(2009 天津)已知 a, b 0 ,求 1 1 2 ab 的最小值;
ab
2、求函数 y x 2 的最大值;(提示:换元法) 2x 5
变式 1:(2010 四川)如果 a b 0 ,求关于 a, b 的表达 式 a2 1 1 的最小值;
3、求函数 y 2x 1 5 2x (1 x 5) 的最大值;
2
2
(提示:平方,利用基本不等式)
变式 1:当
时,求 y 4x(8 2x) 的最大值;
变式:求函数 y 4x 3 11 4x ( 3 x 11) 的最大值;
4
4
变式 2:设 0 x 3 ,求函数 y 4x(3 2x) 的最大值。 2
值;
3、设 x, y, z R ,2x 3y z 3,求 x 2 ( y 1)2 z 2
之最小值为
,此时 y
(析: 2x 3y z 3 2x 3( y 1) z 0 )
6、求 2 sin 3 cos sin cos cos 的最大值与最
小值。( Ans :最大值为 2 2 ,最小值为 2 2 )
练习:1、已知
x
5 4
,求函数
y
4x
2
1 4x 5
的最小值;
2、若 0 x 2 ,求 y x(6 3x) 的最大值;
2、已知
x
5 4
,求函数
y
4x
2
1 4x
5
的最大值;
变式:若 0 x 4 ,求 y x(8 2x) 的最大值;
题型四:利用不等式求最值 (二)(凑系数)
1、当
时,求 y x(8 2x) 的最大值;
基本不等式专题辅导
一、知识点总结
1、基本不等式原始形式
二、题型分析 题型一:利用基本不等式证明不等式
(1)若 a, b R ,则 a2 b2 2ab
(2)若 a, b R ,则 ab a 2 b2
2 2、基本不等式一般形式(均值不等式)
1、设 a, b 均为正数,证明不等式:
ab
≥
1
2
题型五:巧用“1”的代换求最值问题 1、已知 a, b 0, a 2b 1,求 t 1 1 的最小值;
ab
法一:
变式 4:已知 x, y 0 ,且 1 9 4 ,求 x y 的最小值; xy
法二:
变式 5:
(1)若 x, y 0 且 2x y 1,求 1 1 的最小值;
xy
(ai , bi
R
,
当且仅当 a1 b1
a2 b2
a3 b3
时等号成立)
5、一般 n 维柯西不等式
设 a1, a2 , , an与b1,b2 , ,bn 是两组实数,则有:
(a12 a22 an2 )(b12 b22 bn 2) (a1b1 a2b2 a nbn) 2
(ai , bi
(2)若 a, b, x, y R 且 a b 1,求 x y 的最小值;
xy
变式 1:已知 a, b 0, a 2b 2 ,求 t 1 1 的最小值; ab
变式 2:已知 x, y 0, 2 8 1 ,求 xy 的最小值; xy
变式 6:已知正项等比数列 an满足:a7 a6 2a5 ,若
( Ans :12 )
最小值为
时, (x, y, z)
析: (x 2 y 2z)2 (x2 y2 z 2 )[12 (2)2 22 ] 4 9 36
∴ x 2 y 2z 最小值为 6
此时 x y z
6
2
1 2 2 12 ( 2)2 22 3
∴ x 2,y 4,z 4
变式
2:(2010
山东)已知
x,
y
0
,
2
1
x
2
1
y
1 3
,
求 xy 最大值;(提示:通分或三角换元)
变式:设 x, y, z 是正数,满足 x 2 y 3z 0 ,求 y2 的 xz
最小值;
变式 3:(2011 浙江)已知 x, y 0 , x2 y2 xy 1, 求 xy 最大值;
3
3
3
2、设 x, y, z R ,2x y 2z 6 ,求 x2 y2 z2 的最
小值 m ,并求此时 x, y, z 之值。 Ans : m 4; (x, y, z) ( 4 , 2 , 4)
333
5 、( 2013 年 湖 北 卷 ( 理 )) 设 x, y, z R , 且 满 足: x2 y2 z2 1, x 2 y 3z 14 ,求 x y z 的
总结:当两个正数的积为定植时,它们的和有最小值; 当两个正数的和为定植时,它们的积有最小值;
特别说明:以上不等式中,当且仅当 a b 时取“=”
4、求最值的条件:“一正,二定,三相等”
5、常用结论
(1)若 x 0 ,则 x 1 2 (当且仅当 x 1 时取“=”) x
(2)若 x 0 ,则 x 1 2 (当且仅当 x 1 时取“=”) x
R
,
当且仅当 a1 b1
a2 b2
an bn
时等号成立)
题型分析 题型一:利用柯西不等式一般形式求最值
1、设 x, y, z R ,若 x2 y2 z2 4 ,则 x 2 y 2z 的
4、(2013 年湖南卷(理))已知 a,b, c , a 2b 3c 6,
则 a2 4b2 9c2 的最小值是
4 、( 2013 年 山 东 ( 理 )) 设 正 实 数 x, y, z 满 足 x2 3xy 4 y2 z 0 , 则 当 xy 取 得 最 大 值 z
时, 2 1 2 的最大值为( ) xyz
A. 0
B.1
9
C.
4
D. 3
(提示:代入换元,利用基本不等式以及函数求最值)