最新圆锥曲线题型总结

圆锥曲线题型总结直线和圆锥曲线常考题型 运用的知识： 1、中点坐标公式：1212,y 22x x y yx ++==，其中,x y 是点1122(,)(,)A x y B x y ，的中点坐标。

2、弦长公式：若点1122(,)(,)A x y B x y ，在直线(0)y kx b k =+≠上，则1122y kx b y kx b =+=+，，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，AB ====或者AB ==== 3、两条直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+垂直：则121k k =-两条直线垂直，则直线所在的向量120v v =4、韦达定理：若一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不同的根12,x x ，则1212,b cx x x x a a+=-=。

常见的一些题型：题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系例题1、已知直线:1l y kx =+与椭圆22:14x y C m+=始终有交点，求m 的取值范围解：根据直线:1l y kx =+的方程可知，直线恒过定点（0，1），椭圆22:14x y C m +=过动点04m ≠（，且，如果直线:1l y kx =+和椭圆22:14x y C m+=14m ≥≠，且，即14m m ≤≠且。

规律提示：通过直线的代数形式，可以看出直线的特点：:101l y kx =+⇒过定点（，） :(1)1l y k x =+⇒-过定点（，0） :2(1)1l y k x -=+⇒-过定点（，2）题型二：弦的垂直平分线问题例题2、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ∆是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。

解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。

设直线:(1)l y k x =+，0k ≠，11(,)A x y ，22(,)B x y 。

由2(1)y k x y x =+⎧⎨=⎩消y 整理，得 2222(21)0k x k x k +-+= ①由直线和抛物线交于两点，得2242(21)4410k k k ∆=--=-+> 即2104k <<② 由韦达定理，得：212221,k x x k -+=-121x x =。

则线段AB 的中点为22211(,)22k k k--。

线段的垂直平分线方程为：221112()22k y x k k k--=-- 令y=0,得021122x k =-，则211(,0)22E k - ABE ∆为正三角形，∴211(,0)22E k -到直线AB 的距离d AB 。

AB =221k k =+2d k=22122k k k+=解得13k =±满足②式 此时053x =。

题型三：动弦过定点的问题例题3、已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为3，且在x 轴上的顶点分别为A 1(-2,0),A 2(2,0)。

（I ）求椭圆的方程； （II ）若直线:(2)l xt t =>与x 轴交于点T,点P 为直线l 上异于点T 的任一点，直线PA 1,PA 2分别与椭圆交于M 、N 点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论 解：（I ）由已知椭圆C 的离心率32c ea ==，2a =,则得3,1c b ==。

从而椭圆的方程为2214x y += （II ）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线1A M 的斜率为1k ,则直线1A M的方程为1(2)y k x =+，由122(2)44y k x x y =+⎧⎨+=⎩消y 整理得222121(14)161640k x k x k +++-=12x -和是方程的两个根，21121164214k x k -∴-=+ 则211212814k x k -=+，1121414k y k =+，即点M 的坐标为2112211284(,)1414k k k k -++，同理，设直线A 2N 的斜率为k 2，则得点N 的坐标为2222222824(,)1414k k k k --++ 12(2),(2)p p y k t y k t =+=- 12122k k k k t-∴=-+，直线MN 的方程为：121121y y y y x x x x --=--，∴令y=0，得211212x y x y x y y -=-，将点M 、N 的坐标代入，化简后得：4x t=又2t >，∴402t<< 椭圆的焦点为(3,0) 43t∴=，即43t =故当43t =时，MN 过椭圆的焦点。

题型四：过已知曲线上定点的弦的问题例题4、已知点A 、B 、C 是椭圆E ：22221x y a b+= (0)a b >>上的三点，其中点A (23,0)是椭圆的右顶点，直线BC 过椭圆的中心O ，且0AC BC =，2BC AC=，如图。

(I)求点C 的坐标及椭圆E 的方程；(II)若椭圆E 上存在两点P 、Q ，使得直线PC 与直线QC 关于直线3x=对称，求直线PQ 的斜率。

解：(I)2BC AC =，且BC 过椭圆的中心O OC AC∴=0AC BC = 2ACO π∴∠=又A (23,0) ∴点C 的坐标为(3,3)。

A (23,0)是椭圆的右顶点， 3a ∴=222112x y b += 将点C 3,3)代入方程，得24b =， ∴椭圆E 的方程为221124x y += (II)直线PC 与直线QC 关于直线3x =∴设直线PC 的斜率为k ，则直线QC 的斜率为k -，从而直线PC 的方程为：3(3)y k x =-，即 3(1)y kx k =+-，由223(1)3120y kx k x y ⎧=+-⎪⎨+-=⎪⎩消y ，整理得： 222(13)3(1)91830k x k k x k k ++-+--=3x =是方程的一个根，229183313Pk k x k --∴=+ 即223(13)P x k =+同理可得： 223(13)Q x k =+3(1)3(1)P Q P Q y y kx k kx k -=-++＝()23P Q k x x k +-23(13)k + 22223(13)3(13)P Q x x k k -=++23(13)k + 13P Q PQ P Qy y k x x -∴==- 则直线PQ 的斜率为定值13。

题型五：共线向量问题例题5、设过点D(0,3)的直线交曲线M ：22194x y +=于P 、Q 两点，且DP DQ ,求实数的取值范围。

解：设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),DP DQ (x 1,y 1-3)=(x 2,y 2-3 即12123(3)x x y y方法一：方程组消元法 又P 、Q 是椭圆29x +24y =1上的点22222222194()(33)194x y x y 消去x 2， 可得222222(33)14y y即y 2=1356又－2y 2 2 －213562 解之得：155λ≤≤ 则实数的取值范围是1,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦。

方法二：判别式法、韦达定理法、配凑法 设直线PQ 的方程为：3,0y kx k =+≠，由2234936y kx x y =+⎧⎨+=⎩消y 整理后，得 22(49)54450k x kx +++= P 、Q 是曲线M 上的两点 22(54)445(49)k k ∴∆=-⨯+＝2144800k -≥ 即295k ≥ ①由韦达定理得：1212225445,4949k x x x x k k +=-=++212121221()2x x x x x x x x +=++ 222254(1)45(49)k k λλ+∴=+ 即22223694415(1)99k k k λλ+==++ ②由①得211095k <≤，代入②，整理得 236915(1)5λλ<≤+，解之得155λ<< 当直线PQ 的斜率不存在，即0x=时，易知5λ=或15λ=。

总之实数的取值范围是1,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦。

题型六：面积问题例题6、已知椭圆C ：12222=+by a x （a ＞b ＞0）的离心率为,36短轴一个端点到右焦点的距离为3。

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为23，求△AOB 面积的最大值。

解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意3c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩1b ∴=，∴所求椭圆方程为2213x y +=。

（Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，。

（1）当AB x ⊥轴时，AB =。

（2）当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y kx m =+。

=，得223(1)4m k =+。

把y kx m =+代入椭圆方程，整理得222(31)6330k x kmx m +++-=，122631kmx x k -∴+=+，21223(1)31m x x k -=+。

22221(1)()AB k x x ∴=+-22222223612(1)(1)(31)31k m m k k k ⎡⎤-=+-⎢⎥++⎣⎦22222222212(1)(31)3(1)(91)(31)(31)k k m k k k k ++-++==++ 2422212121233(0)34196123696k k k k k k=+=+≠+=++⨯+++≤。

当且仅当2219kk =，即3k =±时等号成立。

当0k =时，AB ，综上所述max 2AB =。

∴当AB最大时，AOB △面积取最大值max 1222SAB =⨯⨯=。

题型七：弦或弦长为定值问题例题7、在平面直角坐标系xOy 中，过定点C （0，p ）作直线与抛物线x 2=2py （p>0）相交于A 、B 两点。

（Ⅰ）若点N 是点C 关于坐标原点O 的对称点，求△ANB 面积的最小值；（Ⅱ）是否存在垂直于y 轴的直线l ，使得l 被以AC 为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由。

（Ⅰ）依题意，点N 的坐标为N （0,-p ）,可设A （x 1,y 1）,B （x 2,y 2），直线AB 的方程为y=kx+p,与x 2=2py 联立得⎩⎨⎧+==.22p kx y pyx 消去y 得x 2-2pkx-2p 2=0.由韦达定理得x 1+x 2=2pk,x 1x 2=-2p 2. 于是21221x x p S S S ACN BCN ABN-⋅=+=∆∆∆＝21221214)(x x x x p x x p -+=-＝.228422222+=+k p p k p p222min 0p S k ABN ==∴∆）时，（当.（Ⅱ）假设满足条件的直线l 存在，其方程为y=a,AC 的中点为为直与AC t O ,'径的圆相交于点P 、Q ，PQ 的中点为H ，则）点的坐标为（2,2,11p y x O PQ H O +'⊥'2121)(2121p y x AC P O -+=='＝22121p y +. ,221211p y a p y a H O --=+-=' 222HO P O PH '-'=∴=21221)2(41)(41p y a p y ---+ ＝),()2(1a p a y pa -+-22)2(PH PQ =∴=.)()2(42⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-a p a y p a 令02=-p a ，得p PQ p a ==此时,2为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为2py =， 即抛物线的通径所在的直线. 解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得22222122122128414)(11p k p k x x x x k x x k AB +⋅+=-+⋅+=-+=＝.21222+⋅+k k p又由点到直线的距离公式得212kp d+=.从而，,2212212212122222+=+⋅+⋅+⋅=⋅⋅=∆k p k pk k p AB d S ABN.22max 02p S k ABN ==∴∆）时，（当（Ⅱ）假设满足条件的直线t 存在，其方程为y=a ，则以AC 为直径的圆的方程为,0))(())(0(11=-----y y p y x x x 将直线方程y=a 代入得).(1)2(4))((4,0))((121112a p a y p a y a p a x y a p a x x x -+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=---∆=----＝则 设直线l 与以AC 为直径的圆的交点为P （x 2,y 2）,Q （x 4,y 4）,则有.)()2(2)()2(41143a p a y p a a p a y p a x x PQ -+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=-=令p PQ p a p a ===-此时得,2,02为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为2py =.即抛物线的通径所在的直线。