第2章 波函数与薛定谔方程
第二章波动方程和薛定谔方程
1 (2πh )3 / 2 1 (2πh )3 / 2
p ⋅r v h C p t e dp x dp y dp z ， ( , ) ∫∫∫ ∞
i vv
− p ⋅r v h Ψ r t e dxdydz 。 ( , ) ∫∫∫
i vv
&&dinger 方程给出： 4、波函数随时间变化的规律由 Schro
ih h2 2 ∂Ψ v =− ∇ Ψ + U (r , t )Ψ 。 ∂t 2μ
据此，可以得到几率守恒律的微分形式：
１
v ∂ω +∇⋅J =0 ， ∂t
v ih v v v 其中： ω (r , t ) = Ψ * (r , t )Ψ (r , t ) （假设 Ψ 归一化） ，J ≡ ( Ψ ∇Ψ * − Ψ * ∇Ψ ) 。 2μ
任意形状的势垒 U ( x) ，透射系数为：
D = D0 exp[−
四、典型例题
例 1、证明动量算符的属于本征值为 p' 的本征函数在动量表象中的表示是 δ ( p − p ' ) 。 证明：设 Ψ ( x, t ) 所描写的状态是具有动量 p ' 的自由粒子的状态，即
Ψ ( x, t ) = ψ p ' ( x )e
[−
h2 d2 * + U( x )]ψ * n = Enψn 2μ dx 2
，
（2）
即 ψ n 及 ψ* n 皆是与能量 E n 相对应的波函数。 而一维束缚定态不存在简并，于是：
４
ψ n = cψ * ， n （c 为复常数）
* 即： ψ * n = c ψn ，
则： ψ n = cc * ψ n = c ψ n ， 即： c = 1 ， 所以： c = e iδ ，可以取 δ = 0 ，即： ψ n = ψ * n 。 故 ψ n 为实数（无损一般性， ψ n 可取为实函数） 。
第二章 波函数和薛定谔方程
n 2
{
n/2 n 1 / 2
(n为偶数) n为奇数
1 En n 2
n 0,1,2,
En1 En
E0 1 2
n x N n e
1 2 x2 2
H n x
N n 1/ 2 n 2 n!
第二章 波函数和Schroinger方程
质子在钯中的波函数 /groups/materials%20characterisation/hydrogen%20in%20palladium.s html
薛定谔 ERWIN SCHRODINGER (1887-1961)
具有相同的深度 但是宽度不同的方势阱(1)
具有相同的深度 但是宽度不同的方势阱(2)
§2.4 一维方势阱
思考题: 半壁无限势阱时的解如何?
§2.5 一维谐振子
• • • • • • Motivation: 物理上: 势场在平衡位置附近展开 U(x)~k(x-x0)^2 任何连续谐振子体系无穷多个谐振子集合 辐射场简谐波的叠加 原子核表面振动,理想固体(无穷个振子) 真正可以严格求解的物理势(不是间断势) 描述全同粒子体系产生,湮灭算符
§2.6 一维薛定谔方程的普遍性质
§2.6 一维薛定谔方程的普遍性质
一维束缚态波函数可取为实数
§2.6 一维薛定谔方程的普遍性质
一维束缚态本征函数的图象(图见后)
§2.6 一维薛定谔方程的普遍性质
一维束缚态本征函数的图象
§2.6 一维薛定谔方程的普遍性质
一维束缚态本征函数的图象
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
角度部分的解
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
第二章波函数和薛定谔方程
第二章 波函数和薛定谔方程本章重点1. 微粒的状态由波函数完全描写（正确理解ψ的意义和性质）.2. 状态随时间的变化遵从薛定谔方程（掌握，会用）.3. 几个应用例子，说明了量子力学处理问题的方法和结果的特征（逐步理解）.§2.1波函数的统计解释引入：在经典力学中，用坐标和动量描述质点的运动状态。
在量子力学中，我们也要找到描述微观粒子的量，由于量子力学与经典力学根本不同，在量子力学中，微观粒子既要描述粒子性又要描述其波动性。
那么这一章我们首先来找用什么量来描述微观粒子。
重点: 微粒的状态由波函数完全描写 难点: 波函数ψ的意义和性质的理解 一、状态的描述1. 经典力学中质点的状态由)(,v p r描写 经典力学中用)(,v p r两基本量来描写质点的状态。
〈1〉每个时刻t 该二量都有完全确定的数值，且随t 变化；在任一时刻，我们都能测到质点确定的动量和坐标，并且他们是连续变化的。
〈2〉质点的其它力学量，如L E r V E k，总),(,等全是p r ,的函数—p r,决定体系的一切性质。
〈3〉质点状态的变化（运动）遵从牛顿定律：F dtrd m =22，当F 已知时，如果初始时刻)(,000v p r已知，则积分得：00)(v dt m F t v t+=⎰ ， 00)(p dt F t p t +=⎰ ， 00)()(r dt t v t r t+=⎰,即任何时刻的)(),(t p t r完全确定.〈4〉)(t r描写质点运动的轨道。
2.微粒的状态由波函数),(t rψ来完全描写<1> 微粒除了粒子性，还有波动性，这就决定了它不可能同时具有确定的r 和p,自由粒子由平面单色波描写，（)(Et r p i Ae-⋅=ψ，以后我们会看到）这时p 有确定值，而r完全不确定。
微粒无同时确定的p r,，也就不可能有确定的轨道。
<2> 为了描写粒子的状态，量子力学中用一个反映其波粒二象性的波函数),(t rψ来描写。
量子力学第二章
ν , λ 一定
Ψ(x, t) = Ψ e 0
i − ( Et− px ⋅x) ℏ
推广 ：三维自由粒子波函数
二、波函数的物理意义 波函数的物理意义
Ψ(r , t ) = Ψ0e
i − ( Et− p⋅r ) ℏ
如何理解波函数和粒子之间的关系？ 如何理解波函数和粒子之间的关系？ 1 物质波就是粒子的实际结构？即三维空间连续分 物质波就是粒子的实际结构？ 布的物质波包，那就会扩散，粒子将会越来越胖。 布的物质波包，那就会扩散，粒子将会越来越胖。再 衍射时，电子就会被分开。夸大了波动性， 者，衍射时，电子就会被分开。夸大了波动性，抹煞 了粒子性。 了粒子性。 2 大量粒子空间形成的疏密波？电子衍射实验， 大量粒子空间形成的疏密波？电子衍射实验， 电子流很弱时，时间足够长，仍会出现干涉图样。 电子流很弱时，时间足够长，仍会出现干涉图样。单 个电子就具有波动性。 个电子就具有波动性。 3 波函数的统计解释（Born 1926）:波函数在空间 波函数的统计解释（ ） 波函数在空间 某点的强度（振幅绝对值的二次方） 某点的强度（振幅绝对值的二次方）和该点找到粒子 的几（ 率成比例。即物质波是几率波。 的几（概）率成比例。即物质波是几率波。
2 2 x 2
2 2
i ( p⋅r − Et ) ℏ
2 px = − 2Ψ ℏ
pz2 ∂ 2Ψ = − 2Ψ 2 ∂z ℏ
2
p ∂Ψ ∂Ψ ∂Ψ 2 + 2 + 2 = ∇ ψ = − 2Ψ 2 ℏ ∂x ∂y ∂z
由
p2 E= 2µ
(2.3-3)
得
i i p2 i − ℏ2 2 ∂Ψ Ψ =− = − EΨ = − ∇Ψ ℏ ℏ 2µ ℏ 2µ ∂t
量子力学 第二章 波函数和薛定谔方程
x px
t E J
二.量子力学中的测量过程 1.海森伯观察实验 2.测量过程 被测对象和仪器，测量过程即相互作用过程，其影响 不可控制和预测。
三.一对共轭量不可能同时具有确定的值是微观粒 子具有波动性的必然结果。
并不是测量方法或测量技术的缺陷。而是在本质上 它们就不可能同时具有确定的值
i p
p2 2
对自由粒子：
2 E p
2
∴
2 i 2 t 2
3.力场中运动粒子的波动方程 能量关系：
E p2 U (r , t ) 2
2 i 2 U (r , t ) t 2
4.三个算符
2 H 2 U 2
1。与宏观粒子运动不同。
2。电子位置不确定。
3。几率正比于强度，即 ( r , t )
2
结论：
波函数的统计解释：波函数在空间某一点的 强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒 子的几率成正比。
2 数学表达： (r , t ) | (r , t ) |
归一化：
2 (r , t )d | (r , t ) | d 1
3 2 i ( pr Et )
e
(r ) p
1 (2)
3 2
e
i pr
(r , t )
( r ) dp dp dp x y z c( p, t ) p
其中：
而：
i Et c( p, t ) c( p) e
而在晶体表面反射后的晶电子状态
状态的迭加。
p
为各种值的
第二章-波函数和薛定谔方程
n
一维定态薛定谔方程的几个定理 第5*节——一维定态薛定谔方程的几个定理 5*节 一维 一维定态薛定谔方程 一维定态薛定谔方程 定理1 定理 一维束缚定态非简并 束缚态
h2 d 2 − + V ( x ) ψ ( x ) = Eψ ( x ) 2 µ dx 2
第5节 定态薛定谔方程
习题p52 2.1和2.2题 习题p52 2.1和2.2题 加 2
v 此时，薛定谔方程有分离变量型的解 此时，薛定谔方程有分离变量型的解 Ψ (r , t ) = ψ ( r ) f ( t )
r v t与r是独立变量=>E是常数=>f ( t ) ~ e − iEt / h ⇒ Ψ (r , t ) = ψ ( r )e 是独立变量=>E是常数=> => 由德布罗意关系知E是系统的能量。 由德布罗意关系知E是系统的能量。 r r − iEt / h v 为定态波函数。 定态波函数 Ψ (r , t ) = ψ ( r )e ，也称ψ (r ) 为定态波函数。 由这种波函数描述的状态， 定态——由这种波函数描述的状态，其能量为确定值。 由这种波函数描述的状态 其能量为确定值。 h2 2 r r r − ∇ + V ( r ) ψ ( r ) = Eψ ( r ) 定态薛定谔方程 定态薛定谔方程
第3(2)节 态叠加原理 3(2
为了说明干涉、衍射等现象，量子力学中假定态叠加原理成立。 为了说明干涉、衍射等现象，量子力学中假定态叠加原理成立。 线性叠加态
态叠加原理： 是系统可能的状态， 态叠加原理：如果 Ψn , n = 1,2,3,L是系统可能的状态，则它们的
Ψ = ∑ cn Ψn
n
也是系统的的一个可能状态。 也是系统的的一个可能状态。其中
第二章 波函数和薛定谔方程
2 (r , t )d | (r , t ) | d 1
说明：(1)即使要求波函数是归一化的，它仍然有一个 位相因子不能确定。(2)有些波函数不能(有限地)归一。 2 例如平面波。此时 | (r , t ) | 代表“相对几率密度”。
四、自由粒子的波函数
证明1：单电子衍射 电子一个一个的 入射，经过足够 长的时间，在屏 幕上形成衍射图 样。
证明2：正是由于单个电子具有波动性，才能理 解氢原子（只含一个电子！）中电子运动的稳 定性以及能量量子化这样一些量子现象。
错误的根源： 波由粒子组成的看法夸大了粒子性的一面， 而抹杀了粒子的波动性的一面，具有片面性。
A cos(k r t )
一般地，我们用复数形式
Ae
i ( k r t )
则自由粒子的平面波
i ( p r Et ) (r , t ) A e
有关实验：
电子双缝干涉
1.与宏观粒子运动不同。
2.电子位置不确定。
3.几率正比于强度，即
观测量的观测值及其几率分布也是完全确定的。因此，我们 把由 (r , t ) 描述的粒子的状态称为量子态或简称态（各 力学量的值不确定，但它的可能值及其分布几率是确定的）， 而把 称为态函数。 (r , t )
二 .态迭加原理
经典物理中，波函数的最本质的性质是迭加性
对微观粒子的波动性，其实质也是波的迭加性 经典物理：波的迭加只不过是将波幅迭加（波幅代
p的相对几率
当动量连续变化时
(r , t )
c( p) p (r , t )dpx dpy dpz
量子力学chapter2-薛定谔方程解析
12
§2 态叠加原理
（一）态叠加原理
微观粒子具有波动性，会产生衍射图样。而干 涉和衍射的本质在于波的叠加性，即可相加性， 两个相加波的干涉的结果产生衍射。因此，同 光学中波的叠加原理一样，量子力学中也存在 波叠加原理。因为量子力学中的波，即波函数 决定体系的状态，称波函数为状态波函数，所 以量子力学的波叠加原理称为态叠加原理。
|Ψ(r,t)|2 的意义是代表电子在 t 时刻出现在 r 点附近几率的大小， 确切的说，|Ψ(r,t)|2 Δx Δy Δz 表示在 t 时刻，在 r 点处，体 积元ΔxΔyΔz中找到粒子的概率。波函数在空间某点的强度（振幅绝 对值的平方）和在这点找到粒子的概率成比例，
Ψ(r，t)
概率波
8
（三）波函数的性质
= |C1 Ψ1|2+ |C2Ψ2|2 + [C1*C2Ψ1*Ψ2 + C1C2*Ψ1Ψ2*]
电子穿过狭缝 １出现在Ｐ点
题，以后再予以讨论。
10
（3）归一化波函数
Ψ(r,t )和CΨ(r,t )所描写状态的相对概率是相同的，这
里的 C 是常数。因为在 t 时刻，空间任意两点 r1 和 r2 处找到粒子的相对概率之比是：
2
2
C(r1 , t ) (r1 , t )
C(r2 , t )
(r2 , t )
可见，Ψ(r,t) 和 CΨ(r,t )描述的是同一概率波，所以波函 数有一常数因子不定性。
C = 1/∫∞|Ψ(r,t)|2dτ
这即是要求描写粒子量子 状态的波函数Ψ必须是
绝对值平方可积的函数。
若 ∫∞|Ψ(r,t)|2dτ∞, 则 C0, 这是没有意义的。
除了个别孤立奇点外,波函数单值,有界,连续
第二章 波函数和薛定谔方程
2.波恩（Born）对波函数的统计解释，概率波 2.波恩 Born）对波函数的统计解释， 波恩（ 水波的双狭缝干涉： 水波的双狭缝干涉：
I12 = h1 + h2 = h1 + h2 + (h h + h h )
2 2 2 * 1 2 * 1 2
= I1 + I2 +干涉项
11
子弹点射
•
1 2
ψ ψ
P1
1
2Байду номын сангаас
P
P 2
P= P +P 1 2
12
电子双缝衍射
电子的干涉现象与水波干射完全相似，但与子弹点射 完全不同。与水波干射的含意也有着本质的不同，前 者是强度，后者是接收到的电子多少！
13
电子干涉实验的结论： 电子干涉实验的结论： 大量电子在同一个实验中的统计结果，或者是一个 大量电子在同一个实验中的统计结果， 电子在多次相同实验中的统计结果。 电子在多次相同实验中的统计结果。
8
何为波包？ 何为波包？
波包是各种波数（长）平面波的迭加。波包的频率是 波矢的函数（ ω = ω(k)），我们将频率作泰勒展开
dω 1 d 2ω 2 ω(k) = ω(0) + k+ k +L 2 dk 2! dk dω d 2ω 是波包的群速度； 2 表示 ω(0)是基波，为常数；
波包的扩散；若 扩散。 由于
r Ψ(r , t) 的变化遵从薛定谔方程。 4） 的变化遵从薛定谔方程。
5
二、波函数的统计解释
r 如果粒子处于随时间和位置变化的力场 U(r , t) 中，它 的动量和能量不再是常量（或不同时为常量）， ），粒子 的动量和能量不再是常量（或不同时为常量），粒子 的状态就不能用平面波描写， 的状态就不能用平面波描写，而必须用较复杂的波描 一般记为： 写，一般记为：
量子力学第二章波函数和薛定谔方程PPT课件
③波函数一般满足连续性、有限性、单值性。
10
3．波函数的归一化条件
令
(r,t)C (r,t)
t 时刻，在空间任意两点 r 和1
对几率是：
处r 2 找到粒子的相
((rr1 2,,tt))2 2C C((rr1 2,,tt))2 2((rr1 2,,tt))2 2
r , t 和 r ,所t 描写状态的相对几率是相同的，
这里的 是常数C 。
11
非相对论量子力学仅研究低能粒子，实物粒子不会产 生与湮灭。这样，对一个粒子而言，它在全空间出现的 几率等于一，所以粒子在空间各点出现的几率具有相对 性，只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不 取决于强度的绝对大小，因而，将波函数乘上一个常数 后，所描写的粒子状态不变，即:
➢ 2.3 薛定谔方程
The Schrödinger equation
➢ 2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律
The current density of particles and conservation
laws
➢ 2.5 定态薛定谔方程
Time independent Schrödinger equation
8
设粒子状态由波函数 (r ,描t)述，波的强度是
(r,t)2*(r,t)(r,t)
按Born提出的波函数的统计解释,粒子在空间中
某一点 r 处出现的概率与粒子的波函数在该点模的
平方成比例
则微观粒子在t 时刻出现在 r 处体积元dτ内的几
大学物理：量子物理第二章 波函数和薛定谔方程-1
量子力学
粒子状态的 坐标（位置） 基本描述 动量（运动速度） --都是确定量
粒子具有波粒二象性，不可 能同时具有确定的坐标和动 量，坐标和动量都是以一定 的几率出现。用波函数描写 体粒子的量子状态。
其它量
其它物理量如能量等都 所有其它量都是以一定几率
是坐标和动量的函数-- 出现--用波函数描写体粒子
电子在底片上各位置出现的几率不是常数，出现的几率大， 即出现干涉图样中的“亮条纹”；有些地方电子出现的几率 为零，没有电子到达，显示“暗条纹”。在电子双缝干涉实 验中观察到的，是大量事件所显示出来的一种概率分布。 玻恩对波函数物理意义的解释：波函数在空间某一点的 强度和在该点找到粒子的几率成正比。
8
E p2 2m
自由粒子波函数：
(x,
t
t)
i
E
( x, t )
E (x,t) i (x,t)
t
x
i
p
2
x 2
p2 2
p2
2 2
x2
2 2
i t 2m x2
3
一维自由粒子运动所遵从的薛定谔方程：
i
t
2
2m
2
x 2
三维自由粒子运动所遵从的薛定谔方程：
i
t
2
2m
(
2
x2
2
y 2
都是确定量
的量子状态。
11
例如在量子力学中力学量表示为：
对于一维粒子出现在x坐标的平均值为
x x | (x) |2 dx *(x) x (x)dx
相应的涨落偏差
结论：经典力学能够表示粒子确定的位置和动量，但是量子力
学中的波函数只能给出粒子位置的平均值x 及其偏差(x)2 。 12
量子力学第二章波函数及薛定谔方程 ppt课件
例.1 已知一维粒子状态波函数为
(rv,t)Aexp 1 2a2x22 it
求归一化的波函数，粒子的几率分布，粒子在何处 出现的几率最大。
解:
(1).求归一化的波函数
(r ,t)2d xA2 e d a2x2 x A 2
归一化常数 Aa/ 1/2
1
a2
归一化的波函数
(rv,t)a/
则微观粒子在t 时刻出现在 rv 处体积元dτ内的
几率
d W (r v ,t) C (r v ,t)2d
观客这体表运明动描的写一粒种子统的计波规是律几性率，波波(函概数率波 )rr,,反t 有映时微
也称为几率幅。
某一点按Brov r处n提出出现的的波概函率数与的粒统子计的解波释函,数粒在子该在点空模间的中
3 3 e i(2 x h )/h , 6 (4 2 i)e i2 x /h .
2.已知下列两个波函数
1(x)
Asin
n
2a
(xa)
0
| x|a | x|a
n1,2,3,L
2(x)
Asin
n
2a
(xa)
| x|a
n1,2,3,L
0
| x|a
试判断: (1)波函数 1 ( x ) 和 2 ( x ) 是否描述同一状态?
440 Hz + 439 Hz + 438 Hz + 437 Hz + 436 Hz
实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。 例如一个原子内的电子，其广延不会超过原子大小 ≈1A0 。
电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？
“ 电子既不是粒子也不是波 ”，既不是经典的粒 子也不是经典的波，但是我们也可以说，“ 电子既 是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统一。”
第2章 波函数与薛定谔方程
二、波函数的统计解释
电子(微观粒子)到底是什么？ 它既不是经典的粒子，也不是经典的波。它是粒子 和波动两重性矛盾的统一。实际上是粒子“颗粒性” (具有一定的质量和电荷等属性的客体，但不与粒
6
子具有确定轨道相对应，这是由于位置和动量不能 同时具有确定的值，即测不准关系，后讲)与波的 “相干叠加性”(呈现干涉、衍射等现象，但不与 某种实在物理量在空间分布的周期性变化相对应) 的统一。
ˆ i p
3 ˆ 则 p * ( r ) p ( r ) d r
20
可表为
ˆ ) p (，p
动量算符
上式表明，动量平均值与波函数的梯度密切相关 （与波数 k 成正比）。 动能T=p2/2m和角动量L=r×p的平均值也可类似 求出。 一般说来，粒子的力学量A的平均值可如下求出
2
A-1/2称为归一化因子。波函数归一化与否，并 不影响几率分布。
12
注意：1）象平面波等一些理想波函数，它 们不能归一化。对此的归一化问题将在后 边介绍； 2）对于归一化的波函数仍有一个模为1的 因子不定性，即相位（phase）不定性。
e i 1
e
i
2
2
13
三、统计解释对波函数提出的要求
3
一、 波动、粒子两重性矛盾的分析
1 把电子看成是物质波包
包括波动力学的创始人薛定谔、德布罗意等人把 电子波理解为电子的某种实际结构，即看成三维 空间中连续分布的某种物质波包，因而呈现出了 干涉、衍射等现象。波包的大小即电子的大小， 波包的群速度即电子运动的速度。按经典自由粒 子能量，并利用德布罗意关系可得
第二章 波函数与薛定谔方程
W
3.5
3
( x, y, z, t ) dxdydz
2
5、状态迭加——干涉项 i1 i 2 一般，为复函数，如1 10e , 2 20e 2 2 c11 c2 2 c1 1 c2 2 c1 1 c2 2
(8)
这就是薛定谔波动方程。它揭示了微观世界中物质运动 的基本规律，是量子力学的基本假设之一。 二、薛定谔方程的讨论 1、要求
⑴、对粒子的所有状态成立，波动方程系数不能含有状 态参量，如 x, p, L ……
(2)、必须满足迭加原理，即方程对于其解而言是线 性的，当1，2各为其解，则 a1 b2也是其解
•
ψ(r, t)
它描写当粒子不受外力F (r , t )作用，因而E , P不变的 自由粒子运动。
Ae
i ( pr Et )
2、一般 F≠0, 在外力场中，势能 , V ( r , t )
波函数
(r , t )满足薛定谔方程和边界条件称为
• 1、经典波表示 y ( x, t ), E (r , t ), P(r , t )
2、定域的几率守恒 薛定谔方程是非相对论量子力学的基本方程。在非相对 论（低能）情况下，实物粒子（m 0 ）没有产生和湮 湮灭的现象，所以在随时间演化的过程中，粒子数目保 持不变（即粒子数守恒）。 对于一个粒子来说，在全空间中找到它的几率之总和应 不随时间改变，即
d 3 (r , t ) d r 0 dt
p2 E 2m
(1)
m 是粒子质量，按照德布罗意关系，与粒子运动相联系 2 的波的角频率 和波矢 k（ k ），由下式给出
第二章波函数与薛定谔方程
第二章 波函数与薛定谔方程2.1 设22()exp )2(x x A αψ-=，α为常数, 求归一化常数A . 解：由波函数满足的归一化条件()21x dx ψ+∞-∞=⎰有2222222222()exp 12()x x x x dx A dx A e dx A e dx αααψ+∞+∞+∞+∞---∞-∞-∞-∞-====⎰⎰⎰⎰由积分公式2x e dx +∞--∞=⎰有()()222211x x y e dx ed xe dy ααα+∞+∞+∞----∞-∞-∞===⎰⎰⎰即22221x A e dx A α+∞--∞==⎰，归一化常数A =2.2 设粒子波函数为(,,)x y z ψ ，求在(,)x x dx +范围中找到粒子的概率.解：在(,)x x dx +范围内找到粒子的概率为2(,,)x y z dydz dx ψ+∞+∞-∞-∞⎛⎫⎪⎝⎭⎰⎰.2.3 设在球坐标系中，粒子波函数表为(,,)r ψθϕ，求：(1)在球壳(,)r r dr +中找到粒子的概率；(2)在(,)θϕ方向的立体角d Ω中找到粒子的概率.解：(1)在球壳(,)r r dr +中找到粒子的概率为()22|(,,)|r d r dr ψθϕΩ⎰； (2)在(,)θϕ方向的立体角d Ω中找到粒子的概率()22|(,,)|r r dr d ψθϕΩ⎰.2.4求平面单色波为00()p i x p x ψ⎛⎫⎪⎝⎭=在动量表象中的形式. 解：由坐标表象与动量表象间傅里叶变换式()()121,t (,)e2ipx p x t dx ϕψπ+∞--∞=⎰得单色平面波动量表象中的形式为()()()()001112122111,t ()e e 222ii p x px px p p x dx e dx ϕψπππ⎛⎫ ⎪⎝⎭+∞+∞---∞-∞⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭==⎰⎰()()001e2i p p xdx p p δπ+∞---∞==-⎰即平面单色波的波函数在动量表象中的表示形式为()()00,p p t p p ϕδ=-.2.5 粒子在0x x =点的量子态为δ函数00()()x x x x ψδ=-，试在动量表象中写出此量子态的形式.解：由坐标表象与动量表象间傅里叶变换式()()121,t (,)e 2i px p x t dx ϕψπ+∞--∞=⎰得δ函数在动量表象中量子态的形式为()()()()00012211211()e e21,t ()2e 2ip i ip x x x x p p x dx x x dx δϕπψππ+∞-----∞+∞∞-===⎰⎰即量子态为δ函数的波函数在动量表象中表示形式为()()00121,t e2i px x p ϕπ-=.2.6 证明从单粒子薛定谔方程得出的粒子速度场是非旋的，即求证0v ∇⨯=，其中/v j ρ=，ρ为概率密度，j 为概率流密度.证明：概率密度为()()(),,,r t r t r t ρψψ*=概率流密度为()()()()(),,,,,2j r t r t r t r t r t mi ψψψψ**⎡⎤⎣⎦=∇-∇根据薛定谔方程式可导出几率守恒方程，并定义几率流密度()()()()()(),,ln ,ln ,2,,2r t r t jv r t r t mi r t r t miψψψψρψψ***⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦∇∇==-=∇-∇()()()()()ln ,ln ,l 2,,n 2r t i m r r t r t t mi ψψψψ**⎡⎤⎣⎦=∇-=∇可见v 正比于一个标量场()(),,r t r t ψψ* 的对数的梯度.梯度场无旋，故v是一个无旋场(0v ∇⨯=).2.7 设粒子在复势场()()()12V r V r iV r =+ 中运动，其中()1V r 和()2V r为实数，证明粒子的概率不守恒，并求出在某一空间体积中粒子概率“丧失”或“增加”的速率.解：根据薛定谔方程及其复数共轭形式()22122i V iV t m ψψψ∂=-∇++∂ (2.7.1)()22122i V iV t mψψψ***∂-=-∇+-∂ (2.7.2)ψ**(2.7.1) -ψ*(2.7.2)得()222222i iV t t m ψψψψψψψψψψ*****⎛⎫ ⎪⎝⎭∂∂+=-∇-∇+∂∂()2222iV mψψψψψψ***=-∇⋅∇-∇+ (2.7.3)即()()222V t mi ψψψψψψψψ****∂+∇⋅∇-∇=∂，可以写为 22j V tρρ∂+∇⋅=∂(2.7.4)其中()()(),,,r t r t r t ρψψ*=，()()()()(),,,,,2j r t r t r t r t r t mi ψψψψ**⎡⎤⎣⎦=∇-∇.上式右边不为零，这意味着粒子的几率不守恒.将上式对空间Ω积分，则得3322Sd r jds d rV t ρρΩΩ∂+=∂⎰⎰⎰ 故某一空间体积中粒子概率“丧失”或“增加”的速率为3322S V d r jds d r t ρρΩΩ∂=-+∂⎰⎰⎰ .2.8 设()()()1212,0E E r c r c r ψψψ=+ ，问(),0r ψ是否为定态，为什么？求(),r t ψ.解：(1)由于定态是体系能量具有确定值的状态，而题中波函数(),0r ψ处于能量1E 的本征态()1E r ψ与能量2E 的本征态()2E r ψ 的叠加状态，故(),0r ψ 不是定态；(2) t 时刻的波函数为()()()121212,i i E t E t E E r t c r e c r eψψψ--=+.2.9 计算1ikr e ψ=和2ikr e r ψ-=相应的概率流密度，并由所得结果说明这两个波函数描述的是怎样传播的波.解：由微商关系式：x y z e e e x y z∂∂∂∇=++∂∂∂ ，r r r e r ∇==，3211r r e r r r ∇=-=-(1)1ψ的概率流密度为：1ikr e r ψ=，1ikr e rψ-*= ()()()2122211ikr ikrikr ikrik ik ikr r r r e r e r ikr e e ikre r e r r rr r r ikr e e r ψ⎛⎫⎪⎝⎭∇-∇-∇-∇-∇=∇===∇= 或()111111ikrikrikr ikr ikr ikr ikr ikr r r r ikr e e ike e e e ike r e r e e e rrr r r r r r ψ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-∇=∇=∇+∇=∇+-∇=-= ()()()2212211ikrikr ikr ikr ikr i r r i r k k e r e r ikr e e ikre r e r r rr r r ikr e e r ψ-*------⎛⎫⎪⎝⎭∇-∇+-∇-∇=∇===--∇=+∇ ()()()()()11111,,,,,2j r t r t r t r t r t mi ψψψψ**⎡⎤⎣⎦=∇-∇()()22112ikrikrikr ikr r r ikr e ikr e e e e e mi r r r r --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦-+=--112r ikr ikr e mi r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭--=+2rk e mr =即()12,r k j r t e mr=描述的是沿径向向外传播的球面波； (2) 2ψ的概率流密度为：2ikr e r ψ-=，2ikr e rψ*= ()()()2222211ikr ikrikr ikr ikri r kr ikr e r e r ikr e e ikre r e ikr e e r r r rr r r ψ-------⎛⎫⎪⎝⎭∇-∇+-∇-+∇-∇=∇===-∇= ()()()2222211ikr ikrikr ikrikr ikr r ikr e r e r ikr e e ikre r ik e r r rr r r e r e r ψ*⎛⎫⎪⎝⎭∇-∇-∇-∇=∇====∇∇- ()()()()()22222,,,,,2j r t r t r t r t r t mi ψψψψ**⎡⎤⎣⎦=∇-∇()()22112ikrikr ikr ikrr r ikr e ikr e e e e e mi r r r r --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦+-=-- ()33112r ikr ikr e mi r r ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭-+-=-2rk e mr =-即()22,r k j r t e mr=-描述的是沿径向向内传播的球面波.2.10 粒子在一维势场中运动，若所处的外场均匀但与时间有关，即()(),V x t V t =，试用分离变量法求解一维薛定谔方程.解：由一维薛定谔波动方程()()()222,,,2i x t V x t x t t m x ψψ⎡⎤⎢⎥⎣⎦∂∂=-+∂∂ ， 采用分离变量法求特解，令其特解可表示为()()(),x t x f t ψϕ=，带入一维薛定谔波动方程有()()()()()()()()()()2222i x f t x f t V t x f t t m x ϕϕϕ∂∂=-+∂∂ ()()()()()()()()2222x i f t f t x V t x f t t m xϕϕϕ∂∂=-+∂∂方程两边同时除以()()x f t ϕ可得()()()()()22212f t i x V t f t t m x x ϕϕ∂∂=-+∂∂ ()()()()()22212f t i V t x f t t m x x ϕεϕ∂∂-=-≡∂∂其中ε是既不依赖于t ，也不依赖于x 的常数.(1)此时关于时间部分为：()()()f t i V t f t tε∂-=∂ 方程两边同时对时间t 积分得()()()()()()00000ln tt t t t df i d d V d d i f d V d t f d d ττττετττττε-=⇒-=⎰⎰⎰⎰⎰()()()()00ln ti V d t ti f t V d t f t e ττεττε⎛⎫ ⎪⎝⎭-+⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰=-+⇒=⎰(2)关于坐标的部分为：()()()()2222221202d d m x x x m x dx dx εϕεϕϕϕ-=⇒+=此二阶齐次微分方程的解为()x Ae ϕ±=由上述两部分可知()()()()0,t i V d t x t x f t Ae eττεψϕ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭-+±⎰==其中A 和ε均为常数，分别由归一化条件和初试条件决定.2.11 粒子在无限深方势阱中(0x a <<)中运动，对处于定态()n x ψ的粒子，证明：2ax =，()222226112a x x n π⎛⎫ ⎪⎝⎭-=-， 0p =，()222n p p mE -=，讨论n →∞的情况，并与经典计算结果比较.解：一维无限深方势阱内(0x a <<)粒子的波函数为()n n x x a πψ⎛⎫⎪⎝⎭=， 能量本征值为22222n n E ma π= .(1) ()()0n n n x n x x x x x dx dx a a ππψψ+∞*-∞⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==⎰⎰200cos 12sin 1222a a n x a n x x x a dx dx a a ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==⎰⎰ 0020022cos sin 1111122aaa a n x n x x a a dx dx x a a a n πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-=⎰⎰2a=(2)()222202n x a n x x x x dx a a ππ⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝-=-⎰22222002212sin 1cos 222a a a n x a n x x dx x dx a a a a ππ⎛⎫⎛⎫⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎭⎝⎭⎝⎭=-=--⎰⎰ 22220000112112cos cos 4a a a a n x a n xx dx x dx dx x dx a a a a a aππ=--+⎰⎰⎰⎰2222222260132412a a a a n n ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭=--+=-(3)()()()(n n i i n x n x p x x dx dx a a ππψψ+∞*-∞⎛⎫⎛⎫-∇-∇ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==⎰⎰22022sin cos sin aan n x n x n n x i dx i dx a a a a a πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-=-=⎰⎰0022022cos cos 222sin aaaa n x i n x n a a a n n x n i dx i a a a ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-==-=-⎰0=(4)()()222222220sin 2sin an n n x x x a n x p p x x dx dx a a ππψψ+∞*-∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∂∂--∂∂-==⎰⎰2222222230022sin sin sin a an n x n a a a a n x n x dx dx a a πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭--==⎰⎰002222223301221cos sin 222a a a n x a n x x a n a n n a a dx πππππ⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭-==-⎰22222n mE n a π==2.12 考虑质量为m 的粒子被限制在宽度为a 的一维无限深势阱();;0,2,2ax V x a x ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩<=∞> 中运动，(1)粒子的能级和相应的波函数；(2)粒子处于基态的动量分布. 解：(1)在阱内体系所满足的定态薛定谔方程是2222d E m dx ψψ=- ，2a x < (2.12.1)在阱外，定态薛定谔方程为()2222V x d E m dx ψψψ+=- ，2a x > (2.12.2) (2.12.2)式中，()x V →∞.根据波函数所满足的连续性和有限性条件，只有当0ψ=时，(2.12.2)式才能成立，所以有0ψ=，2ax >(2.12.3) 该条件为解(2.12.1)式时所需的边界条件.为书写简便，引入记号1222mEα⎛⎫⎪⎝⎭= (2.12.4) 则(2.12.1)式简写为2220d dx αψψ+=，2a x <它的解是sin cos A x B x ψαα=+，ax <(2.12.5) 根据ψ的连续性，由(2.12.3)式20a ψ⎛⎫± ⎪⎝⎭=，代入(2.12.5)，有22sin cos 0aaA B αα+=， 22sin cos 0aaA B αα-+=.由此得到2sin 0aA α=，2cos 0aB α=. (2.12.6)A 和B 不能同时为零，否则ψ到处为零，这在物理上是没有意义的.因此，我们得到两组解：(1) 0A =，2cos 0aα= (2.12.7) (2) 0B =，2sin 0aα= (2.12.8)由此可求得22anαπ=，1,2,3,n = (2.12.9)对于第一组解，n 为奇数；对于第二组解，n 为偶数. 0n =对应于ψ恒为零的解，n 等于负整数时解与n 等于相应正整数时解线性相关（仅差一负号），都不取.由(2.12.4)式和(2.12.9)式，得到体系的能量为22222n n E maπ= ，n 为正整数. (2.12.10) 将(2.12.7)式、(2.12.8)式依次代入(2.12.5)式中，并考虑(2.12.9)及(2.12.3)两式，得到一组解的波函数为sin ,20,2n n aA x n x a a x πψ⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩为正偶数 (2.12.11)另一组解的波函数为cos ,20,2n n aB x n x a a x πψ⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩为正奇数 (2.12.12)由归一化条件21dx ψ∞-∞=⎰可得常数A B ==(2)粒子处于基态时1n =，体系的能量为22122E ma π= ，波函数为1x aπψ=，对应于动量空间的波函数为：()()221a a i i px px p x e dx x e dx a πϕψ∞---∞-⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭==⎰22c os 2aipx a ap x e dx a π--⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭==⎰ 其中积分项2cosaipx a x edx a π--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰采用两次分部积分求出： 222222cossin sin a i px a a ai ipx px a a x e a a a ix edx x pe dx a a πππππ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-⎰⎰222sin i ai a p p aipx a i eep a a x e dx a πππ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰ (I)222222cossincos aipx a a aiipx px a a x e a a a ix edx x pe dx a a πππππ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=---⎰⎰2cos aipx a i a p x e dx aππ--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-⎰ (II) 结合(I)、(II)两式可得2222222222cos 2cos i a i a p p ai px a a ap a e e a p p a x e dx a πππππ---⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭+= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎰即()22cos a i px a ap a p x e dx a ππϕ--⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭== . 粒子处于基态的动量分布为()222224cos 221ap ap a p p a a p a πππϕπ⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎡⎤⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=2.14 粒子在如图所示的势阱中运动，设粒子处于第n 个束缚态，相应的能级为n E ，如0n V E ，求粒子在阱外出现的概率.解：00E V <<的情况下粒子处于束缚态：在阱外2ax ≥，定态波动方程为 ()022220V d m E dx ψψ--=令β=考虑到束缚态边界条件（x →∞处，()0x ψ→），方程应取如下形式的解(),2,2xx a Ae x x a Be x ββψ-⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩≥=≤-常数A 与B 由归一化条件确定（由于势场具有对称性A B =）.在阱内2ax ≤，定态波动方程表示为22220d mE dx ψψ+= 令k =波函数偶宇称态的解为()cos x C kx ψ ，奇宇称态的解为()sin x D kx ψ . (a) 偶宇称态，波函数()x ψ及其微商()x ψ'在2ax =处是连续的； 22cos cos 2a a x x a xaC kx C k AeAe ββ==--=⇒=()()222cos sin 2xa a x x aAeC kx akC k Ae βββ-==-''-=⇒=-两式相比可得到能级公式为tan 2ka kβ=. 如0n V E ，k β=→=，()2122n ka π+→ ()2222222222+xa a aa a xB A A Aee e e dx Bedx dx x ββββββββψ∞------∞+===⎰⎰⎰阱外带入关系式2cos 2aa C k Ae β-=得()222cos 2C kax dx ψβ=⎰阱外()222221sin 22cos aa C C a ka kdx C kx dx x ψ-+==⎰⎰阱内由于()2122n ka π+→，所以2cos 02ka →，sin 0ka →，粒子出现在阱外的概率远小于粒子出现在阱内的概率()()2222C a dx dx x x ψψ≈≈⎰⎰全空间阱内粒子出现在阱外的概率为()()220222c cos 2=o 2=s =222C k ka V a E dxC a a dxa x x βββψψ⎰⎰全空间阱外22220222221cos 21tan 112ka k k E k V a k ββ⎝⎭====+⎛⎫+ ⎪+⎝⎭=+⎝⎭⎝⎭.2.16 利用厄米多项式的递推关系()()()11220n n n H H nH ξξξξ+--+=，()()12n n H nH ξξ-='，求证()()111()n n n x x x x ψα-+⎤⎥⎥⎦=+，()()11()n n n d x x x dx ψα-+⎤⎥⎥⎦=， 并由此证明()n x ψ态下0x =，2nE V =，0p =，222n p m E T ==. 证明：(1)谐振子波函数()()22n n x H ξψξ-=，其中xξα=，α=关于Hermite 多项式有递推关系()()()11220n n n H H nH ξξξξ+--+=22ξ-得()()()22222211220n n n H H H ξξξξξξ---+--+=()()()2222221102n n n H H H ξξξξξξα---+--+= (*)()()()1120n n n x x xx αψ+--+=由此即得()()111()n n n x x x x ψα-+⎤⎥⎥⎦=(2) 由()()2n n x H ξψξ-=，()()()()()()()()222222x x x n n n n d d d dx dx dx d dx x H x e H x e H x αααψααα---⎫⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=+⎨⎬⎪ ⎪⎪⎭⎝⎭⎭= ()()()()()2222212x x n n x e H x e n H x αααααα---⎫⎛⎫⎪ ⎪=-+⎬⎪⎪⎝⎭⎭(()()()()2222212x x n n x H x n H x ααααα---=-+代入(*)的变形式得()()()222222112n n n H H H ξξξαξξξ---+-=+()(()()()()2222212x x n n n d x dx x H x n H x αααψαα---=-+()()()()22222112122x n n n H H n H x αξξαξξα--+---=-++⎫⎪⎪⎭()()()1112n n n x x x αψ⎫⎪⎪⎭+--=- ()()11n n x x α-+⎤⎥⎥⎦=(3)()()111n n n n nx x dx dx x x ψαψψ+∞+∞**-∞-+-∞⎤⎥⎥⎦==⎰⎰()()11n n n n x x dx dx ψψψψ-++∞+∞**-∞-∞=0=(4)()222222111222n n n n n n V m x m x m x V dx dx dx ωωωψψψψψψ+∞+∞+∞***-∞-∞-∞⎛⎫ ⎪⎝⎭====⎰⎰⎰由(1)得()()111()n n n x x x x ψα-+⎤⎥⎥⎦=+再乘以x 得()()2111()n n n x x x x ψψψα-+⎤⎥⎥⎦=()()()()2211n n n n x x x x αα-+⎫⎤⎤⎪⎥⎥⎪⎥⎦⎦⎤⎥=⎭⎥⎦()()()()2222112n n n n x x x ψα-+⎤⎥⎦=++ ()()()()()222222112n n n n n n x xdx n dx x x x ψψψψα+∞+∞**-∞-∞-+⎧⎫⎤⎨⎬⎩=⎭=⎥⎦+++⎰⎰()()()()222002112n n n n n n x dx n x dx x dx ψψψψψψα+∞+∞**-++∞∞*--∞-∞⎫⎪=++⎬⎪⎩⎭⎰ ()2212n α=+()()222222212111122221112222n n n n E m x m m V ωωωωα=++⎛⎫=+= ⎪⎝⎭==(5)()()11n n n n n n n d d i dx dx i i x dx d p d x x xψψψψψα+∞+∞+∞**-∞-∞-+*-∞--⎤⎛⎫-⎥ ⎪⎝⎭⎥⎦===⎰⎰⎰()()11000n n n n i x x dx dx ψψαψψ-++∞+∞**-∞-∞⎫⎪=-=⎬⎪⎭(6)()()22221121222nn n nnd dm dx m dxxpT dxmx dxαψψψ+∞+∞**-∞--∞+⎧⎫⎤⎪⎪⎥⎨⎬⎥⎪⎪⎛⎫--⎪⎝⎭⎦⎩⎭===⎰⎰()()()() 222 2n nn nn n mx x dx dx x x αααψψ+∞+∞*-*-∞∞+-⎧⎫⎧⎫⎤⎤⎪⎪⎪⎪⎥⎥⎨⎬⎨⎬⎥⎥⎪⎪⎪⎪⎫⎪-⎬⎪⎭⎦⎦⎩⎭⎩⎭=()()()()220022214nn n nnndx dxx xnmx dxψψψψαψψ+∞+∞**-∞+-∞-⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎩⎭+∞*-∞+-=-⎰⎰⎰()222111222212144nm nn Enm mωωα⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎛⎫⎪⎝⎭+==+=+=2.17 质量为m的粒子处于势阱()220;,1,20;xxxm xVω∞⎧>=≤⎪⎨⎪⎩中，求粒子的可能能量.提示：利用谐振子波函数()nxψ的奇偶性()()()1nn nx xψψ-=-.解：线性谐振子对应于本正函数()()221212122!xn nnx e H xnαααπψ-⎛⎫⎪=⎪⎝⎭，α=的本征值为12nE nω⎛⎫=+⎪⎝⎭.题中0x≤区域，粒子的波函数满足()0xϕ=.0x>区域粒子的波函数满足边界条件()00ϕ=，()0ϕ∞=，由波函数的连续性可知()00ϕ=.由谐振子波函数()nxψ的奇偶性条件()()()1nn nx xψψ-=-，我们得知只有当n取奇数时连续性条件才被满足，故此时粒子的可能能量值为()1321222nE n nωω⎛⎫⎛⎫=++=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0,1,2,n=.相应的本正函数为()()21n nx xϕ+=.()()()222222121011122n n n A x dx A x dx A x dx ψψϕ+∞+∞+∞++-∞====⎰⎰⎰，故A =.2.18 设()1,r t ψ 和()2,r t ψ 是不含时势场()V r中薛定谔方程的两个解，证明对变量变化的全空间积分312d x ψψ*⎰与时间无关，即3120d d x dtψψ*=⎰. 证明：由题意得()1,r t ψ 和()2,r t ψ分别满足薛定谔波动方程()()()()22111,,,2i r t r t V r r t t m ψψψ∂=-∇+∂ (2.18.1) ()()()()22222,,,2i r t r t V r r t t mψψψ∂=-∇+∂ (2.18.2) ()1,r t ψ*⨯ ()2.18.2 - ()2,r t ψ⨯()2.18.1*()()()()()()()()222122112,,,,,,2i r t r t r t r t r t r t t mψψψψψψ***∂=∇-∇∂()()()()()22112,,,,2r t r t r t r t mψψψψ**=∇⋅∇-∇上式对全空间进行积分()()()()()()()()233122112,,,,,,2i r t r t d x r t r t r t r t d x t mψψψψψψ***∂=∇⋅∇-∇∂⎰⎰ ()()()()()22112,,,,2r t r t r t r t ds m ψψψψ**=∇-∇⋅⎰由于无穷远处波函数为零，积分项()()()()()2112,,,,r t r t r t r t ψψψψ**∇-∇⎰ 为零，即()()()132,0,d d x dtr t r t ψψ*= .。
第二章 波函数与薛定谔方程
在t时刻r点，单位体积内找到粒子的几率是： ω (r,t)=dW(r,t)/dτ =C|Ψ (r,t)|2 在体积V内，t时刻找到粒子的几率为： W(t)=∫VdW =∫Vω (r,t)dτ =C∫V|Ψ (r,t)|2dτ
2. 平方可积
由于粒子存在空间中, 在全空间找到粒子的几率应等于1，所以： ∫∞|Ψ (r,t)|2dτ =1, 无穷大表示对整 3．波函数的归一化条件 个空间积分
• 对于一维薛定谔方程，如果ψ1和ψ2是某个能量特 征值E的两个线性独立解，则 ψ1 ψ2’ - ψ2 ψ1’ =C（常数）
• 对于一维薛定谔方程，与任何一个能量特征值相 应的线性独立解最多有两个，即每个能级最多有 两个简并态。
关于定态薛定谔方程的定理
• 对于一维束缚态，所有能级都是非简并的，波 函数为实函数。 • 对于一维束缚定态，如果V(x)为偶宇称，则每 一个ψE(x)都有明确的宇称性。 例1 粒子的一维自由运动。
1 2 2
) 代入方程可得 u ( 满足的微分方程
u '' 2 u ' ( 1)u 0
u( ) 有限值, (-< <)
可得厄密方程本征值问题的本征值：
n 2n 1
例如
(n 0,1, 2,3, )
u 1, 1, E
2 3 u , 3, E 2
（ ）d 2
2
[ ]d
d dt
（ ）d
i 2
[ ]d
其微分形式与 流体力学中连 续性方程的形 式相同
d dt
(r , t )d Jd
量子力学讲义 第二章(2)
•
在讨论了状态或波函数随时间变化的规律后
， 进一步讨论粒子在一定空间区域内出现的概 率将 怎样随时间变化。
设描写粒子状态的波函数是： (r , t ) 在时刻t 在r点周围单位体积内粒子出现的概率（概 2 率密度）： ( r , t ) ( r , t ) ( r , t ) | ( r , t ) | （1）
将（2）代入 （1）式中：
一、定态薛定谔方程
i [ 2 U r ] 2m t
（2）
2
2
（1）
i (r )
d f (t ) f (t )[ 2 U r ] 2 m dt 上式两边除以 ( r ) f (t )
（3）
2 i df 1 [ 2 U r ] f dt 2m
j k 其中 i x y z
（称为动量算符）
（向量算符）
问：p x
?
p x i
x
利用关系式(8)、(9)来建立在力场 中粒子波函数所满足的微分方程。 设粒子在力场中的势能为 U r ，则：
2、薛定谔方程：
三、薛定谔方程
2 p 两边乘以 p U r （10） E E U r 2m r , t 2m 2 E i t 代入上式得 i 2 U r 将 t 2m p i （11）
定态的特点 1）粒子的概率密度和概率流密度
与时间无关 因为
2 Et ( r , t ) ( r )e
t
i 2
一、定态薛定谔方程
2 (r )
显然， 0
2）能量具有确定的值 3）各力学量的平均值不随时间变化
第二章 波函数
波恩对波函数的统计解释: 波恩对波函数的统计解释 : 波函数在空间中某一点的 强度(振幅绝对值的平方)和在该点找到粒子的几率 强度 ( 振幅绝对值的平方 ) 和在该点找到粒子的 几率 成正比.波函数又称为几率波 几率波(Probability wave ). 成正比.波函数又称为几率波 . 按照波函数的统计解释,在粒子的衍射实验中, 按照波函数的统计解释,在粒子的衍射实验中, 衍射图样中衍射极大的地方,粒子投入的几率就大 极大的地方 几率就大, 衍射图样中衍射极大的地方,粒子投入的几率就大, 投射的粒子数也多;衍射极小的地方, 投射的粒子数也多;衍射极小的地方,粒子投射的几 率很小或等于零,粒子数很少或没有,相应地, 率很小或等于零,粒子数很少或没有,相应地,波的 强度很小或等于零. 强度很小或等于零. 人们曾经认为波是有它所描写的粒子组成的. 人们曾经认为波是有它所描写的粒子组成的.这 种看法是不正确的. 种看法是不正确的. 光的衍射现象是由波的干涉产生的. 光的衍射现象是由波的干涉产生的. 如果波是有它所描写的粒子组成, 如果波是有它所描写的粒子组成,则粒子流的衍射 现象应当是由于组成波的这些粒子相互作用而形成的 应当是由于组成波的这些粒子相互作用而形成的. 现象应当是由于组成波的这些粒子相互作用而形成的.
1 ik r ψ k (r ) = e V
(2.14) )
2.2 Superposition Principle (量子力学中的态叠加原理 量子力学中的态叠加原理) 量子力学中的态叠加原理
一,态叠加原理 经典物理中,声波和光波都遵从叠加原理. 经典物理中,声波和光波都遵从叠加原理.量子力学 中也存在一个类似的原理.称为态叠加原理 态叠加原理, 中也存在一个类似的原理.称为态叠加原理,是量子力学 原理的一个基本假设,适用于一切微观粒子的量子态. 原理的一个基本假设,适用于一切微观粒子的量子态.在 双缝实验中, 表示粒子穿过上缝1到达屏 的状态, 到达屏P的状态 Ψ 双缝实验中, 1 表示粒子穿过上缝 到达屏 的状态, 2 用 Ψ 表示粒子穿过下缝2到达屏 的的状态, 到达屏P的的状态 表示粒子穿过下缝 到达屏 的的状态,用 Ψ 表示粒子穿过两狭缝到达屏P的状态 的状态. 表示粒子穿过两狭缝到达屏 的状态.
量子力学第二章波函数和薛定谔方程 山东大学期末考试知识点复习
量子力学第二章波函数和薛定谔方程山东大学期末考试知识点复习量子力学第二章波函数和薛定谔方程山东大学期末考试知识点复习山东大学期末考试知识点述评第二章波函数和薛定谔方程1.微粒运动状态描述（1）波函数波函数ψ(r，t)是描述微观粒子状态的复值函数，波函数需要满足的标准条件为单值性、连续性和有界性，实际体系的波函数满足平方可积条件，即（2）波函数的意义波函数的模平方给出t时刻粒子出现在位置r邻域单位体积内的概率，即概率密度。
因此，标准的波函数应该是归一化的，即满足归一化条件非标准化波函数可以通过乘以标准化因子进行标准化。
（3）波函数的性质波函数ψ(r，t)满足叠加原理，如果ψi(r，t)，i=1，2，…为微观粒子的可能状态，则这也是一种可能的状态。
山东大学期末考试知识点复习2.微态演化（1）薛定谔方程状态ψ(r，t)随时间演化满足薛定谔方程在…之间称为哈密顿算符，u(r，t)是势能，若已知初始状态ψ(r，0)，由薛定谔方程可求出任意时刻t的状态ψ(r，t)。
（2）连续性方程由薛定谔方程可以推出连续性方程在…之间称为概率流密度，即沿着给定方向单位时间通过单位截面的概率，连续性方程是概率守恒定律的定域表现。
(3)定态薛定谔方成若体系的哈密顿不显含时间，即势场u不含t时，薛定谔方程可以分离变量，得到定态波函数解其中e是能量本征值，ψe（R）是相应的本征函数，满足稳态薛定谔方程山东大学期末考试知识点复习3.一维束缚稳态问题的描述（1）一维束缚定态问题由下面的方程和边界条件组成束缚态能量满足条件e<U（±∞). （2）束缚定态解的性质束缚定态中的能量取值不连续，形成能级，同一能级只对应一个本征函数，无简并现象，第n个能级en，n∈n对应的本征函数ψn(x)有n个内部零点(不包括边界)。
束缚态本征函数ψN（x）可以归一化，且归一化本征函数满足正交归一化本征函数集合具有完备性，任何平方可积函数ψ(x)都可以展开为归一化本征函数的线性组合，即其中膨胀系数为(3)典型实例：一维简谐振子一般的解析势阱在其极小值附近都可以近似为简谐振子势，其标准形式为在上述势场中，粒子作束缚运动，能级为山东大学期末考试知识点复习相应的本征函数为简谐振子的本征函数满足递推关系4.一维散射问题（1）问题描述以能量e>u(±∞)自左边向势场u(x)入射的粒子满足下面的方程和边界条件（2）问题的重要性(3)典型实例：粒子对方势垒的透射山东大学期末考试知识点述评能量为e的粒子入射到一个宽度为a，高度为u0的方形势垒反射系数和透射系数分别为。
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本章我们将以微观粒子的波粒二象性为依据，引 进描述微观粒子状态的波函数，讨论波函数的性
质，建立非相对论量子力学的基本方程——薛定
谔方程。
1 波函数的统计解释 2 态叠加原理 3 薛定谔方程 4 定态薛定谔方程
1
§2.1 波函数的统计解释
为了表示微观粒子的波粒二相性，可以用平面波来 描写自由粒子，其频率和波长与自由粒子的能量和
3
一、 波动、粒子两重性矛盾的分析
1 把电子看成是物质波包
包括波动力学的创始人薛定谔、德布罗意等人把 电子波理解为电子的某种实际结构，即看成三维 空间中连续分布的某种物质波包，因而呈现出了 干涉、衍射等现象。波包的大小即电子的大小， 波包的群速度即电子运动的速度。按经典自由粒 子能量，并利用德布罗意关系可得
这里假定了波函数已归一化。又如势能V(r)的平
均值为
2 3 V (r ) V (r )d r
但不能象求势能平均值这样求动量的平均值，即
2 3 p ( r ) p( r ) d r
这是因为由于波粒二象性，粒子在空间“某一点 的动量”的说法是无意义的。
动量通过德布罗意关系联系起来，它们都是常数。
如果粒子受到随时间或位置变化的力场的作用，它 的动量和能量不再是常数，这时粒子就不能用平面 波来描述。而必须用较复杂的波来描述。在一般情 况下，我们用一个函数表示描述粒子的波，并称这
个函数为波函数，用 ( x, y, z, t ) 来表示。而描写自
由粒子的德布罗意平面波是波函数的一个特例。
1 取有限值,
2
但不排除个别奇点的存在
2 可归一化，但
3
2
单值
4 在一定的条件下要求波函数及其各阶导数连续
14
四、动量分布几率
我们已经看到，按照波函数的统计解释，在空间r
点找到粒子的几率∝|ψ(r)|2 。现在我们要问，如果
测量粒子的其他力学量，几率又如何分布呢？我 们现以最常碰到的动量为例进行讨论。
( p , t ) 成正比是自然的。这已为晶
e
ip r / 的成分，所以粒子的
2
它代表
五、力学量的平均值与算符的引入
粒子处于波函数ψ(r)所描述的状态下，虽然不是 所有力学量都具有确定的值，但它们都有确定的 几率分布，因而有确定的平均值。如位置x的平
17
均值为
2 3 x (r ) xd r
( r , t )
1 i ( pr Et ) / 3 ( p，t )e d p 3/ 2 ( 2 )
16
与|ψ(r)|2表示粒子在坐标空间中的几率密度相似，
2 ( p , t ) 用来表示粒子的动量几率密度分布，
ψ(r) 中含有平面波
动量的几率与 体衍射实验所证明。
全确定。与此类似，还可以讨论粒子的其他力学量
测量值的几率分布（详见后）。概括起来，当ψ(r)
给定后，粒子所有的力学量测量值的几率分布都确 定下来。从这个意义上讲，ψ(r)完全描述了一个三
24
维空间中粒子的量子态。所以也将波函数称为态
函数。
( p )也完全描述了粒子的量 同样我们也可以说， ( p 子态。因为给定 )后，不仅动量的测量几率分 2 布(∝ ( p ) )完全确定，而且其位置的测量几率
2
A-1/2称为归一化因子。波函数归一化与否，并 不影响几率分布。
12
注意：1）象平面波等一些理想波函数，它 们不能归一化。对此的归一化问题将在后 边介绍； 2）对于归一化的波函数仍有一个模为1的 因子不定性，即相位（phase）不定性。
e i 1
e
i
2
2
13
三、统计解释对波函数提出的要求
( r )
1 ip r / 3 ( p )e d p 3/ 2 ( 2 )
其逆 ( p )
1 ip r / 3 ( r ) e d r 3/ 2 ( 2 )
若考虑随时间变化，则为
(r , t ), ( p, t )
8
波函数在空间中某点的强度(波函数的模方)与在 该点找到粒子的几率成正比。即
ψ (x, y, z, t) dxdydz
2
表示t 时刻在点(x，y，z)附近的体元dτ=dxdydz 中 找到粒子的几率。 按照这种解释，描述粒子的波乃是几率波。波函 数ψ(x，y，z) 即为几率波幅。几率波的概念正确 的把物质粒子的波动性与原子性统一了起来，它 已为大量实验所证实。
9
2 用波函数的统计解释就容易说明电
子的衍射实验
10
3 波函数的归一化
据波函数的统计解释，很自然要求该粒子（不产 生，不湮灭）在空间各点的几率总和为1，即要求 波函数满足条件 2 3 3 ( r ) d r 1 ( d r dxdydz )
( 全)
这称为波函数的归一化条件。但应强调，对于几 率分布来说，重要的是相对几率分布，不难看出， ψ(r)与Cψ(r) (C为常数)所描述的相对几率分布是完 全相同的。它们描述同一个几率波。波函数具有 常数因子不定性。这与经典波具有着本质
11
的区别，经典波幅的大小决定波动的能量。经典 波不可归一化。若波函数ψ(r)未归一化，显然则 有 2 3 (r ) d r A 0
( 全)
但ψ(r)与A-1/2ψ(r) 描述的是同一个几率波。ψ(r)没 有归一化，而A-1/2ψ(r) 是归一化的。
1
(全)
A
(r ) d 3 r 1
ˆ i p
3 ˆ 则 p * ( r ) p ( r ) d r Nhomakorabea20
可表为
ˆ ) p (，p
动量算符
上式表明，动量平均值与波函数的梯度密切相关 （与波数 k 成正比）。 动能T=p2/2m和角动量L=r×p的平均值也可类似 求出。 一般说来，粒子的力学量A的平均值可如下求出
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量子力学提出后，许多悬而未决的问题很快得以 解决，令人心悦诚服。但完全弄清这个理论的物 理含义却花了稍长的时间，量子理论的解释及内 部的自洽是在1927年玻恩(Born)对波函数的统计 解释提出之后才得以解决的。本节我们在分析波 动、粒子两重性矛盾的基础上介绍波函数的统计 解释。 人们对物质粒子波动性的理解曾经历过一场激烈 的论争。主要有如下两种观点。
分布(∝|ψ(r)|2 )也是完全确定的(Fourier变换相联 系)，它的其他力学量测量值的几率分布也可类似 给出。因此粒子的量子态既可以用ψ(r)来描述，
也可以用 ( p ) 来描述(还可以用其他力学量为自变
量的函数来描述)，它们彼此之间有确定的的变换 关系，彼此完全等价。它们描述的都是同一个
二、波函数的统计解释
电子(微观粒子)到底是什么？ 它既不是经典的粒子，也不是经典的波。它是粒子 和波动两重性矛盾的统一。实际上是粒子“颗粒性” (具有一定的质量和电荷等属性的客体，但不与粒
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子具有确定轨道相对应，这是由于位置和动量不能 同时具有确定的值，即测不准关系，后讲)与波的 “相干叠加性”(呈现干涉、衍射等现象，但不与 某种实在物理量在空间分布的周期性变化相对应) 的统一。
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§2.2 态叠加原理
1 量子态及其表象
从上节已经看出，对一粒子，当描述它的波函数ψ(r)
给定后，测量位置时，|ψ(r)|2就代表粒子出现在r点的
2 几率密度；测量动量时， ( p )就代表测得其动量为 p ) ψ(r) 的Fourier 变换，由ψ(r) 完 p的几率密度。 ( 是
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按前所述，给定波函数ψ(r)之后，测得粒子动
量在(p,p+dp) 中的几率为
2 ( p ) dp ，其中
( p )
1 ip r / 3 ( r )e d r 3/ 2 ( 2 )
( p ) 来间接的计算动量的平均值 因此可借助于
p
按照已为衍射实验证明的de Broglie关系，若ψ为一
个平面单色波(波长λ，频率ν)，则相应的粒子动量
p=h/λ,能量E=hv。但在一般情况下，ψ是一个波包， 它由许多平面单色波叠加而成，即
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含有各种频率的分波，因而相应粒子的动量(能量)
有一个分布。按照傅里叶变换，ψ(r，t) 可展成不
同频率单色波的叠加，即
此外在电子衍射实验中，电子波打到晶体表面后 发生衍射，衍射波将沿不同方向传播，如果按电 子波包的观点，空间不同方向测到的只能是“电 子的一部分”，但实验上测到的总是一个个的电 子，各具有一定的质量和电荷等。 物质波包的观点显然是夸大了粒子的波动性，抹 杀了它的粒子性。是带有片面性的。
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2 把波动看成是大量电子分布于空间而形成的疏密波 这显然夸大了粒子性，而抹杀了其波动性。这与单 个电子具有波动性（可控制电子束疏到几乎是一个 个的电子，当时间足够长时仍会出现衍射花样）是 矛盾的。
ˆ 3 ˆ ) A * (r ) A (r )d r ( , A
是与力学量A相应的算符
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若波函数未归一化，则
ˆ ) /( , ) A ( , A
力学量用不可交换位置的算符来表示，这是量子 力学的一个基本假设。对于有经典对应的力学量 的算符的表示及其力学量与算符的内在深刻关系， 我们下面继续讨论。 体系的能量与哈密顿算符