第2章 波函数与薛定谔方程

第二章 薛定谔方程

本章我们将以微观粒子的波粒二象性为依据，引 进描述微观粒子状态的波函数，讨论波函数的性
质，建立非相对论量子力学的基本方程——薛定
谔方程。

1 波函数的统计解释 2 态叠加原理 3 薛定谔方程 4 定态薛定谔方程
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§2.1 波函数的统计解释

为了表示微观粒子的波粒二相性，可以用平面波来 描写自由粒子，其频率和波长与自由粒子的能量和
( p , t ) 成正比是自然的。这已为晶
e
ip r / 的成分，所以粒子的
2
它代表
五、力学量的平均值与算符的引入

粒子处于波函数ψ(r)所描述的状态下，虽然不是 所有力学量都具有确定的值，但它们都有确定的 几率分布，因而有确定的平均值。如位置x的平
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均值为
2 3 x (r ) xd r
1 取有限值,
2
但不排除个别奇点的存在
2 可归一化，但
3
2
单值
4 在一定的条件下要求波函数及其各阶导数连续
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四、动量分布几率

我们已经看到，按照波函数的统计解释，在空间r
点找到粒子的几率∝|ψ(r)|2 。现在我们要问，如果
测量粒子的其他力学量，几率又如何分布呢？我 们现以最常碰到的动量为例进行讨论。
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的区别，经典波幅的大小决定波动的能量。经典 波不可归一化。若波函数ψ(r)未归一化，显然则 有 2 3 (r ) d r A 0
( 全)

但ψ(r)与A-1/2ψ(r) 描述的是同一个几率波。ψ(r)没 有归一化，而A-1/2ψ(r) 是归一化的。


1
(全)
A
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ (r ) d 3 r 1
在电子的衍射实验中，如果入射粒子流的强度很大， 即单位时间内有许多电子被晶体反射，则照片上很快 就出现衍射花样。如果入射粒子流的强度很小，电子 一个一个地从晶体表面反射，这时照片上就出现一个 一个的点子，显示出电子的“颗粒性”。
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1 波函数的统计解释


开始时，它们看起来似乎是毫无规律的散布 着，随着时间的延长，点子数目逐渐增多， 它们在照片上的分布就形成了衍射花样，这 显示出了电子的波动性。由此可见，实验所 显示的电子的波动性是许多电子在同一实验 中的统计结果，或者是一个电子在许多次相 同实验中的统计结果。波函数正是为描述粒 子的这种行为而引入的。 波恩在上述基础上提出了波函数的统计解释， 其内容为：

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2 用波函数的统计解释就容易说明电
子的衍射实验
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3 波函数的归一化

据波函数的统计解释，很自然要求该粒子（不产 生，不湮灭）在空间各点的几率总和为1，即要求 波函数满足条件 2 3 3 ( r ) d r 1 ( d r dxdydz )
( 全)

这称为波函数的归一化条件。但应强调，对于几 率分布来说，重要的是相对几率分布，不难看出， ψ(r)与Cψ(r) (C为常数)所描述的相对几率分布是完 全相同的。它们描述同一个几率波。波函数具有 常数因子不定性。这与经典波具有着本质
全确定。与此类似，还可以讨论粒子的其他力学量
测量值的几率分布（详见后）。概括起来，当ψ(r)
给定后，粒子所有的力学量测量值的几率分布都确 定下来。从这个意义上讲，ψ(r)完全描述了一个三
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维空间中粒子的量子态。所以也将波函数称为态
函数。

( p )也完全描述了粒子的量 同样我们也可以说， ( p 子态。因为给定 )后，不仅动量的测量几率分 2 布(∝ ( p ) )完全确定，而且其位置的测量几率



2 3 d p ( p) p d p *( p) p( p)
3
3 3 1 ipr / e p( p) 3/ 2 (2 )
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d p d r *(r )

d p d r *(r )
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按前所述，给定波函数ψ(r)之后，测得粒子动
量在(p,p+dp) 中的几率为
2 ( p ) dp ，其中
( p )

1 ip r / 3 ( r )e d r 3/ 2 ( 2 )
( p ) 来间接的计算动量的平均值 因此可借助于
p
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波函数在空间中某点的强度(波函数的模方)与在 该点找到粒子的几率成正比。即
ψ (x, y, z, t) dxdydz

2
表示t 时刻在点(x，y，z)附近的体元dτ=dxdydz 中 找到粒子的几率。 按照这种解释，描述粒子的波乃是几率波。波函 数ψ(x，y，z) 即为几率波幅。几率波的概念正确 的把物质粒子的波动性与原子性统一了起来，它 已为大量实验所证实。
( r )
1 ip r / 3 ( p )e d p 3/ 2 ( 2 )
其逆 ( p )
1 ip r / 3 ( r ) e d r 3/ 2 ( 2 )
若考虑随时间变化，则为
(r , t ), ( p, t )
分布(∝|ψ(r)|2 )也是完全确定的(Fourier变换相联 系)，它的其他力学量测量值的几率分布也可类似 给出。因此粒子的量子态既可以用ψ(r)来描述，
也可以用 ( p ) 来描述(还可以用其他力学量为自变
量的函数来描述)，它们彼此之间有确定的的变换 关系，彼此完全等价。它们描述的都是同一个

ˆ i p
3 ˆ 则 p * ( r ) p ( r ) d r
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可表为
ˆ ) p (，p
动量算符

上式表明，动量平均值与波函数的梯度密切相关 （与波数 k 成正比）。 动能T=p2/2m和角动量L=r×p的平均值也可类似 求出。 一般说来，粒子的力学量A的平均值可如下求出
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一、 波动、粒子两重性矛盾的分析



1 把电子看成是物质波包
包括波动力学的创始人薛定谔、德布罗意等人把 电子波理解为电子的某种实际结构，即看成三维 空间中连续分布的某种物质波包，因而呈现出了 干涉、衍射等现象。波包的大小即电子的大小， 波包的群速度即电子运动的速度。按经典自由粒 子能量，并利用德布罗意关系可得
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§2.2 态叠加原理
1 量子态及其表象

从上节已经看出，对一粒子，当描述它的波函数ψ(r)
给定后，测量位置时，|ψ(r)|2就代表粒子出现在r点的
2 几率密度；测量动量时， ( p )就代表测得其动量为 p ) ψ(r) 的Fourier 变换，由ψ(r) 完 p的几率密度。 ( 是
2

量子力学提出后，许多悬而未决的问题很快得以 解决，令人心悦诚服。但完全弄清这个理论的物 理含义却花了稍长的时间，量子理论的解释及内 部的自洽是在1927年玻恩(Born)对波函数的统计 解释提出之后才得以解决的。本节我们在分析波 动、粒子两重性矛盾的基础上介绍波函数的统计 解释。 人们对物质粒子波动性的理解曾经历过一场激烈 的论争。主要有如下两种观点。
2
A-1/2称为归一化因子。波函数归一化与否，并 不影响几率分布。
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注意：1）象平面波等一些理想波函数，它 们不能归一化。对此的归一化问题将在后 边介绍； 2）对于归一化的波函数仍有一个模为1的 因子不定性，即相位（phase）不定性。

e i 1
e
i
2
2
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三、统计解释对波函数提出的要求
E P 2 / 2m
E , P k

k 2 / 2m
所以波包的群速度为
g
d k dk m
4

由于群速度依赖于k，所以物质波包要扩散，那么随 着时间的推移，电子将愈来愈“胖”。这与实验是 矛盾的。实验测到的一个电子总处于空间一个小区 域中，如在原子之内，其广延不会超过原子的大小。


ˆ 3 ˆ ) A * (r ) A (r )d r ( , A
是与力学量A相应的算符
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若波函数未归一化，则
ˆ ) /( , ) A ( , A

力学量用不可交换位置的算符来表示，这是量子 力学的一个基本假设。对于有经典对应的力学量 的算符的表示及其力学量与算符的内在深刻关系， 我们下面继续讨论。 体系的能量与哈密顿算符
( r , t )
1 i ( pr Et ) / 3 ( p，t )e d p 3/ 2 ( 2 )
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与|ψ(r)|2表示粒子在坐标空间中的几率密度相似，
2 ( p , t ) 用来表示粒子的动量几率密度分布，
ψ(r) 中含有平面波
动量的几率与 体衍射实验所证明。

按照已为衍射实验证明的de Broglie关系，若ψ为一
个平面单色波(波长λ，频率ν)，则相应的粒子动量
p=h/λ,能量E=hv。但在一般情况下，ψ是一个波包， 它由许多平面单色波叠加而成，即
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含有各种频率的分波，因而相应粒子的动量(能量)
有一个分布。按照傅里叶变换，ψ(r，t) 可展成不
同频率单色波的叠加，即

此外在电子衍射实验中，电子波打到晶体表面后 发生衍射，衍射波将沿不同方向传播，如果按电 子波包的观点，空间不同方向测到的只能是“电 子的一部分”，但实验上测到的总是一个个的电 子，各具有一定的质量和电荷等。 物质波包的观点显然是夸大了粒子的波动性，抹 杀了它的粒子性。是带有片面性的。
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2 把波动看成是大量电子分布于空间而形成的疏密波 这显然夸大了粒子性，而抹杀了其波动性。这与单 个电子具有波动性（可控制电子束疏到几乎是一个 个的电子，当时间足够长时仍会出现衍射花样）是 矛盾的。

二、波函数的统计解释


电子(微观粒子)到底是什么？ 它既不是经典的粒子，也不是经典的波。它是粒子 和波动两重性矛盾的统一。实际上是粒子“颗粒性” (具有一定的质量和电荷等属性的客体，但不与粒
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子具有确定轨道相对应，这是由于位置和动量不能 同时具有确定的值，即测不准关系，后讲)与波的 “相干叠加性”(呈现干涉、衍射等现象，但不与 某种实在物理量在空间分布的周期性变化相对应) 的统一。
动量通过德布罗意关系联系起来，它们都是常数。
如果粒子受到随时间或位置变化的力场的作用，它 的动量和能量不再是常数，这时粒子就不能用平面 波来描述。而必须用较复杂的波来描述。在一般情 况下，我们用一个函数表示描述粒子的波，并称这
个函数为波函数，用 ( x, y, z, t ) 来表示。而描写自
由粒子的德布罗意平面波是波函数的一个特例。




这里假定了波函数已归一化。又如势能V(r)的平
均值为
2 3 V (r ) V (r )d r


但不能象求势能平均值这样求动量的平均值，即
2 3 p ( r ) p( r ) d r



这是因为由于波粒二象性，粒子在空间“某一点 的动量”的说法是无意义的。
3 3


1 ipr / (i)e ( p) 3/ 2 (2 )
d r * (r )(i) (r )
3


这样，我们就找到了直接用ψ(r)来计算动量平均 值的公式，而不必借助于ψ(r)的Fourier变换来间 接计算。但这时就出现了一种新的数学工具—— 算符，令
2 ˆ H 2 V 2
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相对应。

ˆ 而得 它是将哈密顿函数中的动量p换为动量算符 p
出，这反映了从力学量的经典表示式得出量子力学 中表示该力学量的算符规则，即：如果量子力学中 的力学量F在经典力学中有相应的力学量，则表示这 ˆ 由经典表示式 F (r , p) 中将p换 个力学量的算符 F ˆ 而得出，即 为算符 p ˆ ˆ ˆ ˆ F (r , p) F (r , p) F (r ,i) ˆ ˆ ˆ 例如 L r p L r p i r 有关经典力学中没有的力学量(如自旋)，在量子力学 中如何表示将另行讨论。