高中数学：应用题练习

合集下载

高中数学应用题汇总

高中数学应用题汇总1.两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B 的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065. （1）将y表示成x的函数；（11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离;若不存在，说明理由。

解（1）如图,由题意知AC⊥BC,,其中当时，y=0.065,所以k=9所以y表示成x的函数为（2）令得所以即当时,即所以函数为单调减函数,当时, ,即所以函数为单调增函数.所以当时, 即当C点到城A的距离为时, 函数有最小值（注：该题可用基本不等式求最小值。

）2.某化工厂生产某种产品，每件产品的生产成本是3元，根据市场调查，预计每件产品的出厂价为x元(7≤x≤10)时，一年的产量为(11－x)2万件；若该企业所生产的产品全部销售，则称该企业正常生产；但为了保护环境，用于污染治理的费用与产量成正比，比例系数为常数k (1≤k≤3)。

（1）求该企业正常生产一年的利润F(x)与出厂价x的函数关系式；（2）当每件产品的出厂价定为多少元时，企业一年的利润最大，并求最大利润.（1）依题意，F(x)＝(x－3)(11－x)2－k(11－x)2＝(x－3－k)(11－x)2，x∈[7,10].（2）因为F′(x)＝(11－x)2－2(x－3－k)(11－x)＝(11－x)(11－x－2x ＋6＋2k)＝(x－11)[3x－(17＋2k)].由F′(x)＝0，得x＝11(舍去)或x＝.(6分)因为1≤k≤3，所以≤≤.①当≤≤7，即1≤k≤2时，F′(x)在[7,10]上恒为负，则F(x)在[7,10]上为减函数，所以[F(x)]max＝F(7)＝16(4－k).(9分)②当7<≤，即2<k≤3时，[F(x)]max＝F()＝(8－k)3.(12分)即当1≤k≤2时，则每件产品出厂价为7元时，年利润最大，为16(4－k)万元.当2<k≤3时，则每件产品出厂价为元时，年利润最大，为(8－k)3万元.(14分)3.某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为当年产量不足80千件时，（万元）；当年产量不小于80千件时，（万元）．通过市场分析，若每件售价为500元时，该厂当年生产该产品能全部销售完．（1）写出年利润（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该厂在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润是多少•解．（Ⅰ）（Ⅱ）当∴当当时∴当且仅当综上所述，当最大值1000，即年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大4.某工厂生产一种产品的成本费由三部分组成：①职工工资固定支出元；②原材料费每件40元；③电力与机器保养等费用为每件元，其中是该厂生产这种产品的总件数.（1）把每件产品的成本费（元）表示成产品件数的函数，并求每件产品的最低成本费；（2）如果该厂生产的这种产品的数量不超过件，且产品能全部销售．根据市场调查：每件产品的销售价与产品件数有如下关系：，试问生产多少件产品，总利润最高？（总利润=总销售额—总的成本）•(Ⅰ) ，成本的最小值为元(Ⅱ) 当时,解析:（1）……2分由基本不等式得……4分当且仅当，即时，等号成立…6分∴，成本的最小值为元．………7分（2）设总利润为元，则………9分……12分当时,………13分答：生产件产品时，总利润最高，最高总利润为元. (14)5.某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为.设该容器的建造费用为千元.（Ⅰ）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的【解析】（Ⅰ）因为容器的体积为立方米，所以,解得,所以圆柱的侧面积为=,两端两个半球的表面积之和为,所以+,定义域为(0,).（Ⅱ）因为+=,所以令得:; 令得:,所以米时, 该容器的建造费用最小.6.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为万元．该建筑物每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位：cm）满足关系：，若不建隔热层，每年能源消耗费用为万元．设为隔热层建造费用与年的能源消耗费用之和．（1）求的值及的表达式；（2）隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值．解：（1）设隔热层厚度为，由题设，每年能源消耗费用为，由,∴,∴……2分而隔热层建造费用为……4分最后得隔热层建造费用与年的能源消耗费用之和为……6分（2），令，则所以，……8分（当且仅当,即时，不等式等式成立）……10分故是的取得最小值，对应的最小值为……13分答：当隔热层修建厚时，总费用达到最小值万7.如图，公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D 在AB上，E在AC上.（1）设AD＝x（x≥0），ED＝y，求用x表示y的函数关系式；（2）如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应在哪里（3）如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应在哪里？解：（1）在△ADE中，y2＝x2＋AE2－2x·AE·cos60°y2＝x2＋AE2－x·AE,①又S△ADE＝ S△ABC＝a2＝x·AE·sin60°x·AE＝2.②②代入①得y2＝x2＋－2（y＞0）, ∴y＝（1≤x≤2）……4分.（2）如果DE是水管y＝≥,当且仅当x2＝，即x＝时“＝”成立，故DE∥BC，且DE＝……8分（3）如果DE是参观线路，记f（x）＝x2＋，可知函数在[1，]上递减，在[，2]上递增，故f（x） max＝f（1）＝f（2）＝5. ∴y max＝.。

(完整版)高中数学应用题

函数、不等式型1、某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式210(6)3ay x x =+--，其中3<x<6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．解：（Ⅰ）因为x=5时，y=11，所以1011, 2.2aa +== （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，该商品每日的销售量2210(6),3y x x =+--所以商场每日销售该商品所获得的利润222()(3)[10(6)]210(3)(6),363f x x x x x x x =-+-=+--<<-. 从而，2'()10[(6)2(3)(6)]30(4)(6)f x x x x x x =-+--=--，于是，当x 变化时，'(),()f x f x 的变化情况如下表：由上表可得，x=4是函数()f x 在区间（3，6）内的极大值点，也是最大值点，所以，当x=4时，函数()f x 取得最大值，且最大值等于42.答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.2、某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x （0＜x ＜1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x ，年销售量也相应增加.已知年利润=（每辆车的出厂价－每辆车的投入成本）×年销售量. （1）若年销售量增加的比例为0.4x ，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x 应在什么范围内？（2）年销售量关于x 的函数为)352(32402++-=x x y ，则当x 为何值时，本年度的年利润最大？最大利润为多少？解：（1）由题意得：本年度每辆车的投入成本为10×（1+x ）；出厂价为13×（1+0.7x ）；年销售量为5000×（1+0.4x ）， …………2分因此本年度的利润为[13(10.7)10(1)]5000(10.4)y x x x =⨯+-⨯+⨯⨯+(30.9)5000(10.4)x x =-⨯⨯+即：21800150015000(01),y x x x =-++<< ……………6分由2180015001500015000x x -++>，得506x << ……8分（2）本年度的利润为)55.48.49.0(3240)352(3240)9.03()(232++-⨯=++-⨯⨯-=x x x x x x x f则),3)(59(972)5.46.97.2(3240)(2'--=+-⨯=x x x x x f ……10分由,395,0)('===x x x f 或解得当)(,0)()95,0('x f x f x >∈时，是增函数；当)(,0)()1,95('x f x f x <∈时，是减函数.∴当95=x 时，20000)95()(=f x f 取极大值万元， ……12分因为()f x 在（0，1）上只有一个极大值，所以它是最大值， ……14分所以当95=x 时，本年度的年利润最大，最大利润为20000万元． ……15分 3、某民营企业生产,A B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图甲，B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图乙(注：利润与投资单位：万元)．甲乙（Ⅰ）分别将,A B 两种产品的利润表示为投资x (万元)的函数关系式；（Ⅱ）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入,A B 两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润为多少万元?解：（Ⅰ）设投资为x 万元,A 产品的利润为()f x 万元,B 产品的利润为()g x 万元. 由题设x k x g x k x f 21)(,)(==由图知(1)f =41,故1k =41又45,25)4(2=∴=k g从而)0(45)(),0(41)(≥=≥=x x x g x x x f .（Ⅱ）设A 产品投入x 万元,则B 产品投入10-x 万元,设企业利润为y 万元.)100(104541)10()(≤≤-+=-+=x x x x g x f y 令x t -=10，则)100(1665)25(414541022≤≤+--=+-=t t t t y .当75.3,1665,25m ax ===x y t 此时时.答：当A 产品投入3.75万元，B 产品投入6.25万元,企业最大利润为1665万元. 4、如图所示，一科学考察船从港口O 出发，沿北偏东α角的射线OZ 方向航行，而在离港口a 13（a 为正常数）海里的北偏东β角的A 处有一个供给科考船物资的小岛，其中31tan =α，132cos =β．现指挥部需要紧急征调沿海岸线港口O 正东m （a m 37>）海里的B 处的补给船，速往小岛A 装运物资供给科考船，该船沿BA 方向全速追赶科考船，并在C 处相遇．经测算当两船运行的航向与海岸线OB 围成的三角形OBC 的面积最小时，这种补给最适宜．⑴ 求S 关于m 的函数关系式)(m S ； ⑵ 应征调m 为何值处的船只，补给最适宜．【解】 ⑴以O 为原点，OB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则直线OZ 方程为x y 3=． ………………2分设点()00,y x A ，则a a a x 313313sin 130=⋅==β，a a a y 213213cos 130=⋅==β，即()a a A 2,3，又()0,m B ，所以直线AB 的方程为()m x ma ay --=32．上面的方程与x y 3=联立得点)736,732(am ama m am C -- ……………5分)37(733||21)(2a m a m am y OB m S C >-=⋅=∴ ………………8分⑵328)3149492(314)37(949)37()(222a a a a a a m a a m a m S =+≥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-+-= ……12分当且仅当)37(949372a m a a m -=-时，即a m 314=时取等号， ……………14分答：S 关于m 的函数关系式)37(733||21)(2a m a m am y OB m S C >-=⋅=∴⑵ 应征调a m 314=处的船只，补给最适宜． ………………15分5、某生产饮料的企业准备投入适当的广告费，对产品进行促销.在一年内，预计年销量Q （万件）与广告费x （万元）之间的函数关系为)0(113≥++=x x x Q .已知生产此产品的年固定投入为3万元,每生产1万件此产品仍需要再投入32万元,若每件售价为“年平均每件成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和. (1) 试将年利润W 万元表示为年广告费x 万元的函数；(2) 当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大，最大年利润为多少？ (1)年生产成本为)332(+Q 万元，年收入为]%50)332%(150[x Q ++万元.所以)332(21x Q W -+==)311332(21x x x -+++⨯=)0()1(235982≥+++-x x x x （7分） (2))1(264)1(100)1(2+-+++-=x x x W =42)13221(50≤+++-x x （12分）当7,13221=+=+x x x 时,等号成立. 所以当年广告费投入7万元时, 年利润最大为42万元.（14分）6、为迎接2010年上海世博会，要设计如图的一张矩形广告，该广告含有大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为260000cm ，四周空白的宽度为10cm ，栏与栏之间的中缝空白的宽度为5cm ，怎样确定广告矩形栏目高与宽的尺寸(单位：cm )，能使整个矩形广告面积最小.解：设矩形栏目的高为acm ，宽为bcm ，则20000ab =，20000b a∴= 广告的高为(20)a cm +，宽为(330)b cm +(其中0,0a b >>) 广告的面积40000(20)(330)30(2)6060030()60600S a b a b a a=++=++=++3060600120006060072600≥⨯=+= 当且仅当40000a a=，即200a =时，取等号,此时100b =. 故当广告矩形栏目的高为200cm ，宽为100cm 时，可使广告的面积最小.7、某地发生特大地震和海啸，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质。

高中数学应用题专项练习

高中数学应用题专项练习1. 题目一已知一条直线与x轴交于点A（2,0），与y轴交于点B（0,3）。

求直线的斜率k及方程的解析式。

2. 题目二一只小猪在厨房里吃食物。

已知小猪每天吃食物的质量是它上一天吃食物质量的1/4，第一天吃了800克。

请问，第五天它吃了多少克食物？3. 题目三某地的人口数量年增长率为3%。

已知该地的人口数量在2010年是500万人，请问到了2020年这里的人口数量是多少人？4. 题目四小明身高150cm，目标是长到170cm。

每一年他的身高会增长5cm。

请问，需要几年才能达到他的目标身高？5. 题目五一辆汽车从A地沿直线道路以每小时60公里的速度开往B地，途中耗时4小时。

然后汽车以60公里/小时的速度返回A地。

请问，汽车返回A地需要多长时间？6. 题目六有一条跑步道，每800米设有一块标志石。

小明从起点开始在跑步道上跑步，每分钟跑300米，他跑到第5块标志石时停下来休息。

请问，小明跑步的总时间是多少分钟？7. 题目七某项工程需要15个人在30天内完成。

目前已经有10个人参与，已经过了7天。

请问，剩余的工程需要多少人才能在剩下的时间内完成？8. 题目八一部手机总共有100个应用程序，其中有60%的应用程序是社交类应用。

已知手机用户每天平均使用手机3小时，其中1小时是用于社交类应用。

请问，用户每天平均使用手机的社交类应用的个数是多少个？9. 题目九一个蔬菜市场上有100件土豆，其中20%的土豆是坏的。

顾客每次购买4个土豆。

请问，如果顾客每天购买20个土豆，他需要几天才能购买到不坏的土豆？10. 题目十数列1，3，6，10，15等是一种特殊的数列，每一项的值都是前一项的值加上当前项的下标值。

请问第10项的值是多少？。

高中数学应用题

高中应用题专题复习例1．建筑一个容积为48米3，深为3米的长方体蓄水池，池壁每平方米的造价为a 元，池底每平方米的造价为2a 元。

把总造价y 表示为底的一边长x 米的函数，并指出函数的定义域。

解：容积=底面积×高= 48 ⇒ 底面积×3 = 48 ⇒ 底面另一边长：m =x 16 池壁造价=池壁面积×a = 2(3x + 3m )×a = 6( x +x 16)a = 6(x +x 16)a 池底造价=底面积×2a =16×2a = 32a∴ y = 6(x +x16)a + 32a ( x > 0 ) 例2. 有根木料长为6米，要做一个如图的窗框，已知上框架与下框架的高的比为1∶2，问怎样利用木料，才能使光线通过的窗框面积最大（中间木档的面积可忽略不计.解：如图设x, 则竖木料总长= 3x + 4x = 7x, 三根横木料总长= 6 -7x∴ 窗框的高为3x ，宽为376x - 即窗框的面积 y = 3x ·376x -= -7x 2 + 6x ( 0 < x <76) 配方：y =79)73(72+--x ( 0 < x < 2 ) ∴ 当x =73米时，即上框架高为73米、下框架为76米、宽为1米时，光线通过窗框面积最大. 3．利润问题：（1）利润=收入-成本（2）利润=单位利润×销售量例3. 将进货单价为8元的商品按单价10元销售，每天可卖出100个。

若该商品的单价每涨1元，则每天销售量就减少10个。

如何确定该商品的销售单价，使利润最大？分析：（1）每出售一个商品的利润=销售单价-进货单价= 10- 8 = 2（2）以单价10元为基础：单价每次涨1元，当涨了x 元（即可看成涨了x 次）时，则每出售一个商品的利润= 2+ x 元, 销售量为100 -10x 个∴ 每个商品的利润y = (2 + x )( 100 -10x ) = -10x 2 + 80x + 200 = -10( x - 4)2 + 360即当x = 4时，y 有最大值360∴ 当每个商品的单价为14元时，利润最大.4．与增长率相关的问题：〖要点〗增长率为正：原产量×(1 + 增长的百分率)经过x 年增长率为负：原产量×(1 - 增长的百分率)经过x 年例5. 一种产品的年产量原来是a 件，在今后m 年内，计划使年产量每年比上一年增加p %. 写出年产量随经过年数变化的函数关系式.解：设经过x 年后，年产量为y, 则y = a ( 1 + p %)x例9. 画一个边长2角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，求：（1）第10个正方形的面积（2）这10个正方形的面积的和解：（1）设{a n }表示各正方形的面积∵ a 1 = 22 = 4, a 2 = (22)2, a 3 = 42 = 8∴ {a n }是公比为2的等比数列第10个正方形的面积a 10 = a 1q 9 = 4×29 = 2048 (厘米2)（2）这10个正方形的面积和409221)21(41)1(1010110=--=--=q q a S （厘米2）例10．一个球从100米高处自由落下，每次着地后又回到原高度的一半再落下. 当它第10次着地时，共经过了多少米？解：设球落下的高度依次为a 1, a 2, …, a 10 .x 2xMPAB ∵ a 1 = 100, a 2 = 50, a 3 = 25 ∴ {a n }是公比为21的等比数列则球第10次落下时落下的路程为20012825575211])21(1[1001010≈=--=S ∴本球共经过的路程为S = 2S 10 - 100 ≈300 （米）一．解析几何中的应用题例16．抛物线拱桥顶部距水面2米时，水面宽4米. 当水面下降1米时，水面的宽是多少？解：如图建立直角坐标系，则抛物线方程为x 2 = -2py 依题意知：x = 2时，y = -2代入方程得p = 1即抛物线方程为 x 2 = -y, 当水面下降1米时，y = -3 ⇒ x =3∴ 水面宽为2x =32≈3.5 (米)例17．我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F 2为一个焦点的椭圆，近地点A 距地面439千米，远地点距地面2384千米，地球半径大约为6371千米，求卫星的轨道方程.解：如图建立坐标系∵ a -c = |OA| - | OF 2| = |F 2A| = 6371 + 439 = 6810a + c = |OB| + |OF 2| = |F 2B| = 6371 + 2384 = 8755∴ a = 7782.5, c = 972.5 ⇒ b 2 = 7721.52 即卫星的轨道方程是：步1772277832222=+y x 例18．在相距1400米的A 、B 两哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3秒，已知声速是340米/秒，炮弹爆炸点在怎样的曲线上？并求出轨迹方程.解：设爆炸t 秒后A 哨所先听到爆炸声，则B 哨所t + 3 则 |MA| = 340t, |MB| = 340( t + 3 ) = 340t + 1020两式相减：|MA| - |MB| = 1020 (|AB| = 1400> 1020)∴ 炮弹爆炸点的轨迹是以A 、B 为焦点的双曲线以AB 为x 轴、AB 中点为原点建立直角坐标系（如图）∴ A(-700, 0 ), B( 700, 0 ) ⇒ c = 700且 2a = 1020 ⇒ a = 510 ⇒ b 2 =229900炮弹爆炸的轨迹方程是：122990026010022=-y x ( x > 0 ) 例19．如图，某灾区的灾民分布在一个矩形地区，现要将救灾物资从P 处紧急运往灾区. P 往灾区有两条道路PA 、PB ，且PA=110公里，PB=150公里，AB= 50公里. 为了使救灾物资尽快送到灾民手里，需要在灾区划分一条界线，使从PA 和PB 两条路线到灾民所在地都比较近. 求出该界线的方程.解：要使沿PA 、PB 两条线路到救灾地点都比较近，有三种情况：（1）沿PA 线路（2）沿PB 线路（3）沿PA 、PB 线路都相同故分界线以第（3）种情况划分：即|PA| + |MA| = |PB| + |MB| ⇒ 110 + |MA| = 150 + |MB| ∴ |MA|-|MB| = 40, 即知分界线是以A 、B 为焦点的双曲线AB = 50 ⇒ 2c = 50 ⇒ c = 25, 2a = 40 ⇒ a = 20 ⇒ b 2 = 225若以AB 为x 轴、AB 的中点为原点建立直角坐标系则分界线方程是：122540022=-y x （在矩形内的一段）注意：确定分界线的原则是：从P 沿PA 、PB 到分界线上点的距离. 练习：1某森林出现火灾，火势正以每分钟2m 100的速度顺风蔓延，消防站接到警报立即派消防队员前去，在火灾发生后五分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火2m 50，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元，另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而烧毁一平方米森林损失费为60元．（1）设派x 名消防队员前去救火，用t 分钟将火扑灭，试建立t 与x 的函数关系式；（2）问应该派多少消防队员前去救火，才能使总损失最少？2有一座大桥既是交通拥挤地段，又是事故多发地段，为了保证安全，交通部门规定。

高三数学应用题50练(全国百所重点高中)

BCDAOP1. 如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的两个顶点A ，B 及CD 的中点P 处．AB ＝20km ，BC ＝10km ．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界）且与A ，B 等距的一点O 处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO ，BO ，PO ．记铺设管道的总长度为y km ．（1）按下列要求建立函数关系式：（i ）设BAO θ∠=（rad ），将y 表示成θ的函数；（ii ）设OP x =（km ），将y 表示成x 的函数；（2）请你选用（1）中的一个函数关系确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短。

（Ⅰ）①由条件知PQ 垂直平分AB ，若∠BAO=θ(rad) ，则10cos cos AQ OA θθ==, 故 10cos OB θ=，又OP ＝1010tan θ-，所以10101010tan cos cos y OA OB OP θθθ=++=++-，所求函数关系式为2010sin 10cos y θθ-=+04πθ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭②若OP=x (km) ，则OQ ＝10－x ，所以()222101020200x x x -+=-+所求函数关系式为)2220200010y x x x x =+-+≤≤（Ⅱ）选择函数模型①，()()()'2210cos cos 2010sin 102sin 1cos cos sin y θθθθθθθ-----== 令'y =0 得sin 12θ=，因为04πθ<<，所以θ=6π，当0,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'0y < ，y 是θ的减函数；当,64ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，'0y > ，y 是θ的增函数，所以当θ=6π时，min 10103y =+P 位于线段AB 的中垂线上，在矩形区域内且距离AB 边33km 处。

2. 某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H(单位：m ），如示意图，垂直放置的标杆BC 的高度h=4m ，仰角∠ABE=α，∠ADE=β。

高考数学应用题及答案

高考数学应用题及答案1. 题目：某工厂生产一种产品，该产品的成本函数为 $ C(x) =3000 + 50x $，其中 $ x $ 表示生产的产品数量。

如果每件产品的销售价格为 $ 150 $ 元，求生产多少件产品时，工厂的利润最大。

答案：首先，我们需要找到利润函数 $ P(x) $。

利润等于总收入减去总成本，即 $ P(x) = R(x) - C(x) $。

总收入 $ R(x) $ 为 $ 150x $，因此利润函数为：\[ P(x) = 150x - (3000 + 50x) = 100x - 3000 \]为了找到利润最大的生产数量，我们需要求 $ P(x) $ 的最大值。

由于 $ P(x) $ 是关于 $ x $ 的线性函数，其最大值出现在$ x $ 取最大值时。

然而，实际生产中 $ x $ 必须是非负整数。

因此，我们需要考虑实际的生产限制。

由于 $ P(x) $ 是一个递增的线性函数，所以当 $ x $ 越大，利润 $ P(x) $ 也越大。

但是，实际生产中可能存在生产能力的限制，例如机器的最大生产能力、原材料的限制等。

假设生产能力限制为$ x_{\text{max}} $，那么在 $ 0 \leq x \leq x_{\text{max}} $ 的范围内，利润函数 $ P(x) $ 是递增的。

因此，在没有额外限制的情况下，生产的产品数量越多，利润越大。

但是，实际中需要考虑生产能力的限制。

2. 题目：某商店销售两种商品，商品A的售价为 $ 20 $ 元，成本为 $ 15 $ 元；商品B的售价为 $ 30 $ 元，成本为 $ 25 $ 元。

如果商店计划销售这两种商品，使得总利润最大化，且商品A和商品B的销售数量比为 $ 3:2 $，求商店应该销售多少件商品A和商品B。

答案：设商品A的销售数量为 $ 3k $ 件，商品B的销售数量为$ 2k $ 件，其中 $ k $ 为正整数。

高考数学实际应用题集

高考数学实际应用题集1. 假设一辆汽车以60公里/小时的速度行驶，行驶了1小时后，汽车所行驶的距离是多少？答案：60公里2. 一个长方体的长、宽、高分别是4厘米、3厘米和2厘米，求长方体的对角线长度。

答案：5厘米3. 小明买了一本书，书的定价是100元，书店给出了9折的优惠，小明实际需要支付多少钱？答案：90元4. 某公司有100名员工，其中30%的员工是女性，那么该公司有多少名女性员工？答案：30名5. 一个等差数列的前两项分别是1和3，求这个等差数列的第10项。

答案：176. 一个圆的半径增加了20%，原来的面积是200π平方厘米，增加后的面积是多少？答案：240π平方厘米7. 一个正方体的边长是6厘米，求它的表面积和体积。

答案：表面积112平方厘米，体积72立方厘米8. 一个水池的底面积是20平方米，如果每小时注水2立方米，那么填满水池需要多少时间？答案：10小时9. 一个长方体的长是4厘米，宽是3厘米，高是2厘米，求这个长方体的对角线长度。

答案：5厘米10. 一条直线上有三个点A、B、C，点A的坐标是（1，2），点B 的坐标是（3，4），点C的坐标是（5，6），求线段BC的长度。

答案：7厘米11. 一个圆锥的底面半径是3厘米，高是4厘米，求这个圆锥的体积。

答案：48π立方厘米12. 一个正三角形的边长是6厘米，求这个正三角形的面积。

答案：18平方厘米13. 一个等比数列的前两项分别是1和2，求这个等比数列的第10项。

答案：102414. 一个球的半径是5厘米，求这个球的表面积和体积。

答案：表面积125π平方厘米，体积413.12立方厘米15. 一个长方体的长是4厘米，宽是3厘米，高是2厘米，求这个长方体的对角线长度。

答案：5厘米16. 一条直线上有三个点A、B、C，点A的坐标是（1，2），点B 的坐标是（3，4），点C的坐标是（5，6），求线段AB的长度。

答案：3厘米17. 一个圆的半径是3厘米，求这个圆的面积。

高中生数学应用题练习题及讲解

高中生数学应用题练习题及讲解### 高中生数学应用题练习题及讲解#### 练习题1：几何问题题目：在一个直角三角形中，已知直角边AB的长度为3，斜边AC的长度为5，求另一直角边BC的长度。

解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和。

设BC的长度为x，则有：\[ AC^2 = AB^2 + BC^2 \]\[ 5^2 = 3^2 + x^2 \]\[ 25 = 9 + x^2 \]\[ x^2 = 16 \]\[ x = 4 \]所以，BC的长度为4。

#### 练习题2：函数应用题目：某工厂生产一种产品，每件产品的成本为10元，售价为20元。

如果生产x件产品，求总利润y与产品数量x之间的关系。

解答：每件产品的利润为售价减去成本，即20 - 10 = 10元。

总利润y等于每件产品的利润乘以产品数量x，即：\[ y = 10x \]所以，总利润y与产品数量x之间的关系是线性关系，且斜率为10。

#### 练习题3：概率问题题目：一个袋子中有5个红球和3个蓝球，随机抽取2个球，求至少抽到1个红球的概率。

解答：首先计算总的可能情况，即从8个球中抽取2个球的组合数，用组合公式C(n, k)表示：\[ C(8, 2) = \frac{8!}{2!(8-2)!} = 28 \]然后计算没有抽到红球的情况，即抽到2个蓝球的组合数：\[ C(3, 2) = \frac{3!}{2!(3-2)!} = 3 \]至少抽到1个红球的概率为1减去没有抽到红球的概率：\[ P(至少1红) = 1 - \frac{C(3, 2)}{C(8, 2)} = 1 -\frac{3}{28} = \frac{25}{28} \]#### 练习题4：线性规划问题题目：一个农民有10000平方米的土地，他想种植小麦和玉米。

每平方米小麦的利润是10元，每平方米玉米的利润是15元。

如果小麦的种植面积不超过玉米的种植面积的2倍，求最大利润。

高考数学应用题

高考数学应用题
1. 解析几何题: 设直线l经过点A(1,2)且平行于向量u=(3,4)，求直线l的方程。

2. 概率题: 一个骰子投掷三次，求至少出现一次6的概率。

3. 函数题: 已知函数f(x)=3x^2-2x+1，求f(-2)的值。

4. 三角函数题: 在直角三角形ABC中，sinA=3/5，cosB=4/5，求sin(A+B)的值。

5. 利息问题: 一笔本金5000元，年利率为4.5%，计算存款三年后的本息和。

6. 几何题: 设正方形ABCD的边长为2，点E和F分别为AB 和BC的中点，求AD与EF的交点G的坐标。

7. 统计题: 一学校调查了1000名学生的身高，数据显示其中男生的平均身高为170cm，标准差为5cm，女生的平均身高为165cm，标准差为4cm，问全校学生的平均身高和标准差分别是多少？
8. 方程题: 解方程2x^2+5x-3=0。

9. 数列题: 求等差数列an=2n-1的前10项和。

10. 逻辑推理题: 若命题p为真，则下列命题哪些为真？
- p∨(¬p∧q)
- p∧(¬q∨p)
- (p∨q)∧(¬p∨¬q)。

(完整版)高中数学应用题

高中数学三年级上册归一归总应用题练习

高中数学三年级上册归一归总应用题练习
1. 甲、乙两市到丙市分别有两条公路，甲市到丙市有直达公路
和绕道公路两个方案，乙市到丙市也有直达公路和绕道公路两个方案。

已知直达公路的行驶时间比绕道公路少15分钟，而甲市到丙
市的直达公路的行驶时间比乙市到丙市的直达公路行驶时间多6分钟。

现在要求从甲市到丙市行驶时间最少，请问选择直达公路还是
绕道公路？为什么？
2. 某商场在周末进行促销活动，对于购买额在100元及以上的
顾客，可以打8折优惠；对于购买额在200元及以上的顾客，可以
打7折优惠；对于购买额在300元及以上的顾客，可以打6折优惠。

现有一顾客购买了一件商品，原价400元，那么他应该享受几折优
惠呢？
3. 甲、乙两个人一起修理一台机器，他们分工协作，其中甲独
立工作时间是乙的2倍，如果甲独立工作时间再加上乙独立工作时
间的3倍，正好完成整个修理工作，求甲完成整个修理工作需要多
长时间？
以上是一些高中数学三年级上册归一归总应用题练习的例子，希望能帮助学生们更好地理解和应用相关知识点。

请学生们根据题目进行思考和解答，然后对照答案进行自我评估和订正。

如果仍有疑问，可以向老师请教。

加油！。

高中数学经典应用题及答案解析

高中数学经典应用题及答案解析一、数列与数列求和1. 数列的等差数列通项公式为 $a_n = a_1 + (n-1)d$，其中$a_n$ 为第 n 项，$a_1$ 为首项，d 为公差。

2. 数列的等差数列求和公式为 $S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$，其中 $S_n$ 为前 n 项和。

3. 数列的等比数列通项公式为 $a_n = a_1 * q^{(n-1)}$，其中$a_n$ 为第 n 项，$a_1$ 为首项，q 为公比。

4. 数列的等比数列求和公式为 $S_n = \frac{a_1 * (q^n - 1)}{q - 1}$，其中 $S_n$ 为前 n 项和。

二、函数与方程1. 一次函数的一般式为 $y = kx + b$，其中 k 为斜率，b 为截距。

2. 二次函数的一般式为 $y = ax^2 + bx + c$，其中 a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。

3. 求解一元二次方程可使用求根公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$。

4. 求解一元二次方程的判别式 $\Delta = b^2 - 4ac$ 可判断方程的根类型。

三、三角函数1. 正弦定理为 $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} =\frac{c}{\sin C}$，其中 a、b、c 为三角形的边长，A、B、C 为对应的角度。

2. 余弦定理为 $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$，其中 a、b、c 为三角形的边长，C 为对应的角度。

3. 正弦函数图像的周期为2π，幅值为 1，周期函数为 $y = A\sin(\omega x + \varphi)$。

4. 余弦函数图像的周期为2π，幅值为 1，周期函数为 $y = A\cos(\omega x + \varphi)$。

四、概率与统计1. 事件 A 和 B 的并集为 $A \cup B$，相应的概率为 $P(A \cupB) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$。

高中二年级数学应用题专项练习题

高中二年级数学应用题专项练习题
1. 题目一
一辆卡车从A地出发，以每小时40公里的速度向B地行驶。

一辆小轿车从B地出发，以每小时60公里的速度向A地行驶。

车辆同时出发后，多久会相遇？
2. 题目二
一块长方形的田地，长宽分别为12米和8米。

现在要在田地周围修筑一条宽2米的红砖墙，剩下的面积用于种植庄稼。

请问红砖墙的总长度和田地剩下的面积分别是多少？
3. 题目三
某班学生参加学校文化活动，全班共有45名学生。

其中，男生是女生人数的1.5倍。

请问男生和女生各有多少人？
4. 题目四
小明从家到学校的距离是2公里。

他步行的速度是每小时5公里，骑自行车的速度是每小时10公里。

小明早上步行去上学，下午骑自行车回家。

请问小明从家到学校总共需要多长时间？
5. 题目五
某商店原价出售一种商品时，每件商品的价格为200元。

商店为了促销，降价20%售卖。

请问现在每件商品的价格是多少？
6. 题目六
某公司总共有200个员工，其中男性员工占总数的60%。

请问该公司有多少名男性员工和女性员工？
以上是高中二年级数学应用题专项练题。

希望通过练能够提高你的数学应用能力。

如果有任何问题，请随时向老师寻求帮助。

高中数学中的实际应用练习题

高中数学中的实际应用练习题在高中数学学习的过程中，我们经常会遇到许多实际应用题。

这些题目通过将数学知识与实际问题相结合，帮助我们更好地理解和应用数学。

本文将给出一些典型的高中数学实际应用练习题，并逐步解答这些题目。

一、购物费用计算小明去商场购买了一件原价为500元的衣服，商场正在举办“八折优惠”的活动。

请问小明购买这件衣服需要支付多少钱？解答：首先，我们知道“八折”表示打八折，即打折扣后的价格为原价的80%。

那么小明购买这件衣服需要支付的金额为：500元 × 80% = 400元所以小明购买这件衣服需要支付400元。

二、图形面积计算某房间的地板为长方形，长为6米，宽为4米。

如果房间的天花板为一个正方形，边长为10米，那么这个房间的总面积是多少？解答：这个房间的地板面积为长乘以宽，即6米 × 4米 = 24平方米。

天花板为一个正方形，边长为10米，所以天花板的面积为边长的平方，即10米 × 10米 = 100平方米。

所以这个房间的总面积为地板面积加上天花板面积，即24平方米 + 100平方米 = 124平方米。

三、速度计算小明骑自行车每小时的速度为20千米，而小强步行每小时的速度为5千米。

如果他们从同一地点同时出发，那么小明骑自行车和小强步行2小时后，他们之间的距离是多少？解答：小明骑自行车每小时的速度为20千米，所以他骑自行车2小时后的距离为20千米/小时 × 2小时 = 40千米。

小强步行每小时的速度为5千米，所以他步行2小时后的距离为5千米/小时 × 2小时 = 10千米。

所以小明和小强之间的距离为40千米 - 10千米 = 30千米。

通过以上三个实际应用练习题的解答，我们可以看到实际应用题目通常会结合数学知识和实际问题，通过运用数学的概念和计算方法，解决现实生活中的各种数学问题。

这些题目的解答过程既要注意数学计算的准确性，也要理解问题的实际意义，从而得出正确答案。

高三数学练习(应用题)(附答案)

高三数学练习(应用题)(附答案)高三数学练习(应用题)(附答案)1. 现有一块长方形草地，长为20米，宽为15米。

现要在草地周围建一圈石子路，宽度为1.5米。

请问需要多少石子路来建造完整的环路？解析：首先计算出草地的周长，再计算出石子路的周长，最后用石子路的周长除以石子路的宽度，即可得出所需的石子路片数。

草地的周长 = 2 × (长 + 宽) = 2 × (20 + 15) = 2 × 35 = 70米石子路的周长 = 草地的周长 + 2 × (宽度) = 70 + 2 × 1.5 = 73米所需的石子路片数 = 石子路的周长 ÷石子路的宽度= 73 ÷ 1.5 ≈ 48.7答案：需要49片石子路。

2. 现有一座圆形花坛，半径为5米。

其中心点距离花坛边缘的距离为3米。

现要在花坛内部种植树苗，每两棵树苗的距离要求至少为2米。

请问最多能种植多少棵树苗？解析：首先计算出花坛内部可以种植树苗的有效面积，然后计算树苗所需的面积，最后用有效面积除以树苗所需的面积，即可得出最多能种植的树苗数量。

花坛的有效面积 = 圆形面积 - 内圆的面积圆形面积= π × 半径² = 3.14 × 5² ≈ 78.5平方米内圆的面积= π × (半径 - 中心距离)² = 3.14 × (5 - 3)² ≈ 12.56平方米花坛的有效面积 = 78.5 - 12.56 ≈ 65.94平方米树苗所需的面积 = 2 × 2 = 4平方米最多能种植的树苗数量 = 花坛的有效面积 ÷树苗所需的面积≈ 16.49 ≈ 16棵答案：最多能种植16棵树苗。

3. 一辆汽车以每小时80公里的速度匀速行驶，行驶一小时后在某地停下来休息。

休息10分钟后，以每小时100公里的速度继续行驶。

高一数学函数的应用练习题难题带答案

高一数学必修一函数的应用一．选择题（共30小题）1．已知函数，关于x的方程f（x）＝a存在四个不同实数根，则实数a的取值范围是（）A．（0，1）∪（1，e）B．C．D．（0，1）2．某码头有总重量为13.5吨的一批货箱，对于每个货箱重量都不超过0.35吨的任何情况，都要一次运走这批货箱，则至少需要准备载重1.5吨的卡车（）A．12辆B．11辆C．10辆D．9辆3．已知函数f（x）＝和g（x）＝a（a∈R且为常数）．有以下结论：①当a＝4时，存在实数m，使得关于x的方程f（x）＝g（x）有四个不同的实数根；②存在m∈[3，4]，使得关于x的方程f（x）＝g（x）有三个不同的实数根；③当x＞0时，若函数h（x）＝f2（x）+bf（x）+c恰有3个不同的零点x1，x2，x3，则x1x2x3＝1；④当m＝﹣4时，关于x的方程f（x）＝g（x）有四个不同的实数根x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，若f（x）在[x，x4]上的最大值为ln4，则sin（3x1+3x2+5x3+4x4）π＝1．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．已知函数f（x）＝，若函数g（x）＝[f（f（x））]2﹣（a+1）•f（f（x））+a（a∈R）恰有8个不同零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，1）B．[0，1]C．（0，+∞）D．[0，+∞）5．已知，方程有三个实根x1＜x2＜x3，若x3﹣x2＝2（x2﹣x1），则实数a＝（）A．B．C．a＝﹣1D．a＝16．已知函数，若方程f（x）＝ax有三个不同的实数根x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，则x1﹣x2的取值范围是（）A．B．C．D．7．已知函数y＝f（x﹣1）的图象关于直线x＝1对称，则方程f（2020﹣x）＝f（log2020|x|）的解至少有多少个（）A．2B．3C．4D．58．函数f（x）是定义在R上的奇函数，且函数f（x﹣1）为偶函数，当x＝[0，1]时，，若g（x）＝f（x）﹣x﹣b有三个零点，则实数b的取值集合是（）A．，k∈Z B．，k∈ZC．，k∈Z D．，k∈Z9．已知函数，若函数g（x）＝f（x）﹣kx﹣1恰有三个零点，则实数k的取值范围为（）A．B．C．D．10．已知函数，若关于x的方程|f（x）﹣a|+|f（x）﹣a﹣1|＝1，有且仅有三个不同的整数解，则实数a的取值范围是（）A．B．[0，8]C．D．11．已知函数f（x）＝，g（x）＝f（x）﹣b，h（x）＝f[f（x）]﹣b，记函数g（x）和h（x）的零点个数分别是M，N，则（）A．若M＝1，则N≤2 B．若M＝2，则N≥2C．若M＝3，则N＝4 D．若N＝3，则M＝212．已知f（x）＝a（e x﹣e﹣x）﹣sinπx（a＞0）存在唯一零点，则实数a的取值范围（）A．B．C．D．13．若函数f（x）＝ae2x+（a﹣2）e x﹣x，a＞0，若f（x）有两个零点，则a的取值范围为（）A．（0，1）B．（0，1]C．D．14．已知函数f（x）＝函数g（x）＝kx．若关于x的方程f（x）﹣g（x）＝0有3个互异的实数根，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．15．已知函数f（x）＝min{x|x﹣2a|，x2﹣6ax+8a2+4}（a＞1），其中min（p，q）＝，若方程f（x）＝恰好有3个不同解x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），则x1+x2与x3的大小关系为（）A．x1+x2＞x3B．x1+x2＝x3C．x1+x2＜x3D．不能确定16．关于x的方程有四个不同的实数根，且x1＜x2＜x3＜x4，则（x4﹣x1）+（x3﹣x2）的取值范围（）A．B．C．D．17．已知函数，g（x）＝ax3﹣f（x）．若函数g（x）恰有两个非负零点，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．18．已知函数f（x）＝9（lnx）2+（a﹣3）•xlnx+3（3﹣a）x2有三个不同的零点x1，x2，x3，且x1＜1＜x2＜x3，则的值为（）A．81B．﹣81C．﹣9D．919．已知函数f（x）＝x2+ax+b（a，b∈R）在区间[2，3]上有零点，则a2+ab的取值范围是（）A．（﹣∞，4]B．C．[4，]D．20．已知三次函数0）有两个零点，若方程f′[f（x）]＝0有四个实数根，则实数a的范围为（）A．B．C．D．21．已知函数f（x）＝x2﹣2x﹣1，若函数g（x）＝f（|a x﹣1|）+k|a x﹣1|+4k（其中a＞1）有三个不同的零点，则实数k 的取值范围为（）A．（，]B．（）C．（]D．（）22．已知方程xe x﹣a（e2x﹣1）＝0只有一个实数根，则a的取值范围是（）A．a≤0或a≥B．a≤0或a≥C．a≤0D．a≥0或a≤﹣23．已知函数y＝f（x）（x∈R）满足f（x+2）＝f（x），且x∈[﹣1，1]时，f（x）＝1﹣|x|，又，则函数F（x）＝g（x）﹣f（x）在区间[﹣2017，2017]上零点的个数为（）A．2015B．2016C．2017D．201824．已知函数f（x）＝，若函数F（x）＝f（x）﹣b有四个不同的零点x1，x2，x3，x4（x1＜x2＜x3＜x4），则的取值范围是（）A．（2，+∞）B．C．D．[2，+∞）25．已知函数f（x）＝lnx+（1﹣a）x+a（a＞0），若有且只有两个整数x1，x2使得f（x1）＞0，且f（x2）＞0，则a的取值范围是（）A．B．（0，2+ln2）C．D．26．已知函数f（x）＝|x2﹣4x|，x∈R，若关于x的方程f（x）＝m|x+1|﹣2恰有4个互异的实数根，则实数m的取值范围为（）A．（0，）B．（0，）C．（2，）D．（2，）27．已知函数，则函数F（x）＝f（f（x））﹣ef（x）的零点个数为（）（e是自然对数的底数）．A．6B．5C．4D．328．已知关于x的方程为＝3e x﹣2+（x2﹣3），则其实根的个数为（）A．2B．3C．4D．529．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x﹣2）＝f（x），且当x∈[1，2]时，f（x）＝﹣4x2+18x﹣14，若函数g（x）＝f （x）﹣mx有三个零点，则正实数m的取值范围为（）A．（，18﹣4）B．（2，18﹣4）C．（2，3）D．（，3）30．已知函数f（x）＝|log2x|，g（x）＝，则方程|f（x）﹣g（x）|＝1的实根个数为（）A．2个B．3个C．4个D．5个二．填空题（共5小题）31．已知关于x的方程xlnx﹣a（x2﹣1）＝0在（0，+∞）上有且只有一个实数根，则a的取值范围是．32．已知函数有且仅有三个零点，并且这三个零点构成等差数列，则实数a的值为．33．若函数f（x）＝﹣﹣a存在零点，则实数a的取值范围是．34．已知函数f（x）＝1+x﹣+﹣+…+，g（x）＝1﹣x+﹣++…﹣，设F（x）＝f（x+3）g（x﹣4）且F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）内，则b﹣a的最小值是．35．已知函数，正实数a、b、c成公差为正数的等差数列，且满足f（a）f（b）f（c）＜0，若实数d是方程f（x）＝0的一个解，那么下列四个判断：①d＜a；②d＞b；③d＜c；④d＞c中，有可能成立的个数为．三．解答题（共5小题）36．已知函数f（x）＝lnx﹣ax（a＞0），设．（1）判断函数h（x）＝f（x）﹣g（x）零点的个数，并给出证明；（2）首项为m的数列{a n}满足：①a n+1+a n≠；②f（a n+1）＝g（a n）．其中0＜m＜．求证：对于任意的i，j∈N*，均有a i﹣a j＜﹣m．37．已知m＞0，函数f（x）＝e x﹣mx，直线l：y＝﹣m．（1）讨论f（x）的图象与直线l的交点个数；（2）若函数f（x）的图象与直线l：y＝﹣m相交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点（x1＜x2），证明：．38．已知a∈R，函数f（x）＝x﹣ae x+1有两个零点x1，x2（x1＜x2）．（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）证明：e+e＞2．39．已知函数在（﹣∞，+∞）上是增函数．（1）求实数a的值；（2）若函数g（x）＝f（x）﹣kx有三个零点，求实数k的取值范围．40．今年入秋以来，某市多有雾霾天气，空气污染较为严重．市环保研究所对近期每天的空气污染情况进行调査研究后发现，每一天中空气污染指数与f（x）时刻x（时）的函数关系为f（x）＝|log25（x+1）﹣a|+2a+1，x∈[0，24]，其中a为空气治理调节参数，且a∈（0，1）．（1）若a＝，求一天中哪个时刻该市的空气污染指数最低；（2）规定每天中f（x）的最大值作为当天的空气污染指数，要使该市每天的空气污染指数不超过3，则调节参数a 应控制在什么范围内？参考答案与试题解析一．选择题（共30小题）1．【解答】解：由题意，a＞0，令t＝，则f（x）＝a⇔⇔⇔⇔．记g（t）＝．当t＜0时，g（t）＝2ln（﹣t）﹣（t﹣）单调递减，且g（﹣1）＝0，又g（1）＝0，∴只需g（t）＝0在（0，+∞）上有两个不等于1的不等根．则⇔＝，记h（t）＝（t＞0且t≠1），则h′（t）＝＝．令φ（t）＝，则φ′（t）＝＝＜0．∵φ（1）＝0，∴φ（t）＝在（0，1）大于0，在（1，+∞）上小于0．∴h′（t）在（0，1）上大于0，在（1，+∞）上小于0，则h（t）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．由，可得，即a＜1．∴实数a的取值范围是（0，1）．故选：D．2．【解答】解：【解法1】从第1辆卡车开始依次装上货物，每车一直装到再装一箱就超过1.5吨为止，把多出的这一箱先单独留出来不往后面装，因为13.5÷（1.5+0.35）≈7.3，所以这样至少能装到第7辆卡车（包括单独留出）之后还有剩余；①如果装到第7辆卡车剩余的已经不足1.5吨，那么第8辆卡车可以把剩余的装走，此时前7辆卡车单独留出的7个货箱可以分成两组，一组3个，一组4个，每组不超过0.35×4＝1.4吨，这样再找2辆卡车就可以拉完，一共最多需要10辆卡车；②如果装到第7辆车剩余的货箱超过1.5吨，可以继续装第8辆卡车，此时8辆卡车上单独留出8个货箱可以分成两组，每组4个，每组都不超过0.35×4＝1.4吨，再找2辆卡车就可以拉走；上面10辆卡车一共装了超过1.5×8＝12吨货箱，所剩货箱不超过13.5﹣12＝1.5吨，最多还需要1辆卡车就可以拉走，所以一共最多需要11辆卡车；综上，要保证任何情况都能一次性拉走，则至少需要11辆卡车．【解法二】由题意，将所有货箱任意排定顺序；首先将货箱依次装上第1辆卡车，并直到再装1个就超过载重量为止，并将这最后不能装上的货箱放在第1辆卡车之旁；然后按同样办法装第2辆、第3辆、…，直到第8辆车装完并在车旁放了1个货箱为止；显然前8辆车中每辆所装货箱及车旁所放1箱的重量和超过1.5吨；所以所余货箱的重量和不足1.5吨，可以全部装入第9辆卡车；然后把前8辆卡车旁所放的各1货箱分别装入后2辆卡车，每车4个货箱，显然不超载；这样装车就可用8+1+2＝11辆卡车1次把这批货箱运走．故选：B．3．【解答】解：①当x≤0时，f（x）＝﹣x2+mx＝﹣（x2﹣mx）＝﹣（x﹣）2+，当对称轴＜0且＞4，即m＜0且m2＞16，即m＜﹣4时，f（x）＝g（x）＝4有四个不同的实数根，故①正确，②若m＞0，则函数的对称轴＞0，此时当x≤0时，函数f（x）为增函数，且f（x）≤0，此时当m∈[3，4]，使得关于x的方程f（x）＝g（x）不可能有三个不同的实数根，故②错误③当x＞0时，设t＝f（x）＝|lnx|，若f2（x）+bf（x）+c＝0有三个不同的根，则t2+bt+c＝0有两个不同的实根，其中t1＝0，t2＞0，当t1＝0时，对应一个根x1＝1，当t2＞0时，对应两个根x2，x3，且0＜x2＜1＜x3，则|lnx2|＝|lnx3|，即﹣lnx2＝lnx3，则lnx2+lnx3＝0，即ln（x2x3）＝0，则x2x3＝1，即x1x2x3＝1，故③正确，④当m＝﹣4时，作出f（x）的图象如图，由对数的性质知x3x4＝1，x＜＜x3，即f（x）在[x，x4]上的最大值为f（x）＝|lnx|＝2|lnx3|＝﹣2lnx3＝ln4＝2ln2，得lnx3＝﹣ln2，得x3＝，则x4＝2，由对称性知，即x1+x2＝﹣4，则sin（3x1+3x2+5x3+4x4）π＝sin（﹣12++8）π＝sin（﹣4π+π）＝sinπ＝sin＝1，故④正确，故正确的是①③④，共3个，故选：C．4．【解答】解：由g（x）＝[f（f（x））]2﹣（a+1）•f（f（x））+a＝0得[f（f（x））﹣1][f（f（x）﹣a]＝0，则f（f（x））＝1或f（f（x））＝a，作出f（x）的图象如图，则若f（x）＝1，则x＝0或x＝2，设t＝f（x），由f（f（x））＝1得f（t）＝1，此时t＝0或t＝2，当t＝0时，f（x）＝t＝0，有两个根，当t＝2时，f（x）＝t＝2，有1个根，则必须有f（f（x））＝a，（a≠1）有5个根，设t＝f（x），由f（f（x））＝a得f（t）＝a，若a＝0，由f（t）＝a＝0得t ＝﹣1，或t＝1，f（x）＝﹣1有一个根，f（﹣x）＝1有两个根，此时有3个根，不满足条件．若a＞1，由f（t）＝a得t＞2，f（x）＝t有一个根，不满足条件．若a＜0，由f（t）＝a得﹣2＜t＜﹣1，f（x）＝t有一个根，不满足条件．若0＜a＜1，由f（t）＝a得﹣1＜t1＜0，或0＜t2＜1或1＜t3＜2，当﹣1＜t1＜0时，f（x）＝t1，有一个根，当0＜t2＜1时，f（x）＝t2，有3个根，当1＜t3＜2时，f（x）＝t3，有一个根，此时有1+3+1＝5个根，满足条件．故0＜a＜1，即实数a的取值范围是（0，1），故选：A．5．【解答】解：由1﹣x2≥0得x2≤1，则﹣1≤x≤1，当x＜0时，由f（x）＝2，即﹣2x＝2．得1﹣x2＝x2，即2x2＝1，x2＝，则x＝﹣，①当﹣1≤x≤﹣时，有f（x）≥2，原方程可化为f（x）+2+f （x）﹣2﹣2ax﹣4＝0，即﹣4x﹣2ax﹣4＝0，得x＝﹣，由﹣1≤﹣≤﹣解得：0≤a≤2﹣2．②当﹣＜x≤1时，f（x）＜2，原方程可化为4﹣2ax﹣4＝0，化简得（a2+4）x2+4ax＝0，解得x＝0，或x＝﹣，又0≤a≤2﹣2，∴﹣＜﹣＜0．∴x1＝﹣，x2＝﹣，x3＝0．由x3﹣x2＝2（x2﹣x1），得＝2（+），解得a＝﹣（舍）或a＝．因此，所求实数a＝．故选：B．6．【解答】解：当y＝ax与y＝lnx相切时，设切点为（x0，lnx0），，∴，，由得再由图知方程f（x）＝ax的三个不同的实数根x1，x2，x3满足，1＜x2＜e＜x3因此，即x1﹣x2的取值范围是（）故选：B．7．【解答】解：∵f（x﹣1）是f（x）向右平移一个单位的图象，且函数y＝f（x﹣1）的图象关于直线x＝1对称，所以函数f（x）关于直线x＝0对称，即f（x）为偶函数，因此当“f（2020﹣x）＝f（log2020|x|）”是“|2020﹣x|＝|f（log2020|x|）|”充要条件时，此时方程f（2020﹣x）＝f（log2020|x|）的解的个数最少，接下来讨论方程|2020﹣x|＝|log2020|x||的解的个数，因为|2020﹣x|＝|log2020|x||等价于或，①当时，方程的解的个数即函数y＝2020﹣x的图象和函数y＝log2020|x|的图象的交点个数，画出两函数图象如下图所示：易知两函数在x∈（0，+∞）上存在一个交点，故方程有1解；②当时，下面分两种情况进行讨论，若x＜0，等价于，令g（x）＝，易得函数g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，又因为，，由零点存在定理可得函数g（x）在（﹣∞，0）上存在唯一零点，即方程在（﹣∞，0）上有且只有一个解；若x＞0时，等价于，下面我们证明当a∈（0，）时，函数y＝a x与函数y＝log a x图象有三个交点，假设A点在指数函数y＝a x上，且指数函数过该点的切线斜率为﹣1，B点在对数函数y＝log a x上，且对数函数过该点的切线斜率也为﹣1，当A、B重合时，它们会有一个交点，此时就是一个界点．图象如下图所示，指数函数为y＝a x，求导y′＝a x lna，即指数函数切线的斜率，，∴，与指数函数y＝a x对应的反函数，对数函数为y＝log a x，求导，即对数函数斜率，，∴x B＝﹣log a e，A，B重合，即x A ＝x B，∴log a（﹣log a e）＝﹣log a e，∴，即a＝，∴，即是一个分界点，结合指数函数数及对数函数的变化趋势可知，当a∈（0，）时，函数y＝a x与函数y＝log a x图象有三个交点，又因为，所以，于是方程在（0，+∞）上有三个解，即方程在（0，+∞）上有三个解，综上所述方程|2020﹣x|＝|log2020|x||一共有5个解，于是方程f（2020﹣x）＝f（log2020|x|）的解至少5个，故选：D．8．【解答】解：由已知得，f（﹣x）＝﹣f（x），f（x﹣1）＝f（﹣x﹣1），则f（x+1）＝﹣f（﹣x﹣1）＝﹣f（x﹣1）＝f（1﹣x），所以函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，关于原点对称，又f（x+2）＝f（（x+1）+1）＝﹣f（（x+1）﹣1）＝﹣f（x），进而有f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），所以得函数f（x）是以4为周期得周期函数，由g（x）＝f （x）﹣x﹣b有三个零点可知，函数f（x）与函数y＝x+b得图象有三个交点，当直线y＝x+b与函数f（x）图象在[0，1]上相切时，由，即2x2+（2b﹣2）x+b2＝0，故方程2x2+（2b﹣2）x+b2＝0有两个相等得实根，由△＝0⇒（2b﹣2）2﹣4•2•b2＝0，解得b＝﹣1±，当x∈[0，1]时，f（x）＝，作出函数f（x）与函数y＝x+b的图象如图：由图知当直线y＝x+b与函数f（x）图象在[0，1]上相切时，b＝﹣1+，数形结合可得g（x）在[﹣2，2]上有三个零点时，实数b满足，再根据函数f（x）的周期为4，可得所求的实数b的范围为，k∈Z．故选：C．9．【解答】解：当2＜x＜4时，y＝，则y≤0，等式两边平方得y2＝﹣x2+6x﹣8，整理得（x﹣3）2+y2＝1，所以曲线y＝表示圆（x﹣3）2+y2＝1的下半圆，如下图所示，由题意可知，函数y＝g（x）有三个不同的零点，等价于直线y＝kx+1与曲线y＝f（x）的图象有三个不同交点，直线y＝kx+1过定点P（0，1），当直线y＝kx+1过点A（4，0）时，则4k+1＝0，可得k＝；当直线y＝kx+1与圆（x﹣3）2+y2＝1相切，且切点位于第三象限时，k＜0，此时，解得k＝．由图象可知，当时，直线y＝kx+1与曲线y＝f（x）的图象有三个不同交点．因此，实数k取值范围是．故选：B．10．【解答】解：∵|f（x）﹣a|+|f（x）﹣a﹣1|＝，∴函数f（x）位于直线y＝a和y＝a+1的图象上有三个横坐标为整数的点，当x＜0时，且f（x）＜0，由双勾函数的单调性可知，函数y＝f（x）在区间（﹣∞，﹣）上单调递减，在区间（﹣，0）上单调递增，于是当x＜0时，，∵f（﹣1）＝，f（﹣2）＝，f（﹣3）＝，f（﹣4）＝，且f（﹣4）＞f （﹣3）＞f（﹣2），如下图所示，要使得函数f（x）位于直线y＝a和y＝a+1的图象上有三个横坐标为整数的点，则f（﹣3）≤a+1＜f（﹣4），即，解得．因此，实数a的取值范围是．故选：A．11．【解答】解：若f（x）＝2e2x﹣e x时，令f′（x）＝4e2x﹣e x＝0，解得x＝ln，易知此时f（x）在（﹣∞，ln）上单调递减，在（ln，+∞）上单调递增；作出函数y＝2e2x﹣e x及函数y＝x的图象如下图所示，由图象可知，函数f（x）最多有两个零点x＝0或x＝ln，不妨令b＝0，则①当a≤ln时，此时函数g（x）的零点为x＝0，则M＝1，此时函数h（x）的零点满足f（x）＝0，或f（x）＝ln，显然f（x）＝0有1个解，f（x）＝ln有1个解，则N＝2；②当ln＜a≤0时，此时函数g（x）的零点为0，ln，则M＝2，此时函数h（x）的零点满足f（x）＝0，或f（x）＝ln，显然f（x）＝0有两个解，f（x）＝ln无解，则N＝2；③当a＞0时，此时函数g（x）的零点为ln，则M＝1，此时函数h（x）的零点满足f（x）＝0，或f（x）＝ln，显然f（x）＝0有1个解，f（x）＝ln无解，则N＝1；由以上分析可知，故选：A．12．【解答】解：由题意知f（0）＝0，∵f（x）＝a（e x﹣e﹣x）﹣sinπx（a＞0）存在唯一零点，∴f（x）只有一个零点0．∵f（﹣x）＝sinπx+a（e﹣x﹣e x）＝﹣f（x），∴f（x）是奇函数，故只考虑当x＞0时，函数f（x）无零点即可．当x＞0时，有πx＞sinπx，∴f（x）＝a（e x﹣e﹣x﹣sinπx）＞a（e x﹣e﹣x﹣）．令g（x）＝e x﹣e﹣x﹣，x ＞0，则g（0）＝0，∵g′（x）＝e x+e﹣x﹣，x＞0，g″（x）＝e x﹣e﹣x＞0，∴g′（x）在（0，+∞）上单调递增，∵g（0）＝0，∴g′（x）＞g′（0）＝2﹣≥0，解得a≥．故选：B．13．【解答】解：f′（x）＝2ae2x+（a﹣2）e x﹣1＝（2e x+1）（ae x﹣1）．a≤0时，f′（x）＜0，函数f（x）在R上单调递减，此时函数f（x）最多有一个零点，不满足题意，舍去．a＞0时，f′（x）＝2ae2x+（a﹣2）e x﹣1＝（2e x+1）（ae x﹣1）．令f′（x）＝0，∴e x＝，解得x＝﹣lna．∴x∈（﹣∞，﹣lna）时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（﹣∞，﹣lna）上单调递减；x∈（﹣lna，+∞）时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在（﹣lna，+∞）上单调递增．∴x＝﹣lna时，函数f（x）取得极小值，∵f（x）有两个零点，∴f（﹣lna）＝a×+（a﹣2）×+lna＝1﹣+lna＜0，令u（a）＝1﹣+lna，u（1）＝0．u′（a）＝+＞0，∴函数u（x）在（0，+∞）上单调递增，∴0＜a＜1．又x→﹣∞时，f（x）→+∞；x→+∞时，f（x）→+∞．∴满足函数f（x）有两个零点．∴a的取值范围为（0，1），故选：A．14．【解答】解：作出函数g（x）和f（x）的图象如图：由图可知，当k≤0时，不满足题意，则k＞0；当直线y＝kx经过点B时，k＝＝，此时y＝x与函数f（x）图象有3个交点，满足；当y＝kx为y＝lnx的切线时，设切点（x0，lnx0），则k＝，故有lnx0＝•x0＝1，解得x0＝e，即有切点为A（e，1），此时g（x）＝x与f（x）有3个交点，满足题意；综上：当k∈[，]，故选：B．15．【解答】解：f（x）＝，易知f（a）＝a2（极大值）；f（2a）＝0（极小值）；（极大值）；f（3a）＝4﹣a2（极小值）．要使f（x）＝恰好有3个不同解，结合图象得：①当，即时，解得，不存在这样的实数a．②当，即时，解得；此时2a＜，又因为x2与x3关于x＝3a对称，∴x3﹣3a＝3a﹣x2＜a＜2a＜x1．∴x3＜4a ＜x1+x2．③当，即时，解得a＞2．此时，x1，x2是方程﹣x2+2ax＝的两实根，所以x1+x2＝2a，而x3＞3a，所以x1+x2＜x3，故选：D．16．【解答】解：依题意可知，|x2﹣4x+1|＝t2+1，由方程有四个根，所以函数y＝t2+1与y＝|x2﹣4x+1|的图象有四个交点，由图可知，x1+x4＝4，x2+x3＝4，1≤t2+1＜3，解得t2∈（0，2），由x2﹣4x+1＝t2+1解得x1＝2﹣；由﹣（x2﹣4x+1）＝t2+1解得x2＝2﹣；所以（x4﹣x1）+（x3﹣x2）＝8﹣2（x1+x2）＝2（+）设m ＝t2∈（0，2），n＝+，n2＝m+4+2﹣m+2＝6+2∈（6，6+4），即m∈（，2+），所以（x4﹣x1）+（x3﹣x2）的取值范围是（2，4+2）．故选：B．17．【解答】解：显然，x＝0满足g（x）＝0，因此，只需再让g（x）＝0有另外一个唯一正根即可．ax3﹣f（x）＝0，即为ax3＝f（x）．作出h（x）＝ax3，y＝f（x）图象如下：说明：射线与线段是y＝f（x）的部分图象，因为要分三种情况分析，故y＝h（x）的图象作了三个（只做出y轴右侧部分），分别对应①、②、③．（1）对于第一种情况：因为h′（0）＝0＜1，所以当y＝h（x）（如图象①）与y＝f（x）＝x在[0，1）上的图象有交点A时，只需h（1）＝a＞1即可；（2）对于第二种情况：y＝h（x）（图象②）与y＝f（x）＝x﹣1在[1，2）上的图象切于点B，设切点为（m，m﹣1），因为h′（x）＝3ax2，则，解得；（3）当y＝h（x）（图象③）与y＝x﹣1（1≤x＜2）相交于点C，且满足h（2）≤1，即时，只需x∈[2，3）时，g（x）≥0恒成立即可．所以ax3≥x﹣2，x∈[0，2]恒成立即可，且只能在x＝3处取等号，即，，在[2，3]上恒成立，故u（x）在[2，3]上递增，所以u（x）max＝u（3）＝，．故此时即为所求．综上可知，a的范围是．故选：C．18．【解答】解：f（x）＝9（lnx）2+（a﹣3）•xlnx+3（3﹣a）x2＝0⇒（a﹣3）（xlnx﹣3x2）＝﹣9（lnx）2⇒a﹣3＝，令t＝3﹣，则，t∈[3﹣，+∞），⇒a﹣3＝⇒9t2﹣（51+a）t+81＝0．设关于t的一元二次方程有两实根t1，t2，∴△＝（51+a）2﹣4×9×81＞0，可得a＞3或a＜﹣105．∴＞＝6，t1t2＝9．又∵t1+t2＝，当且仅当t1＝t2＝3时等号成立，由于t1+t2≠6，∴t1＞3，＜3（不妨设t1＞t2）．∵x1＜1＜x2＜x3，∴＞3，＜3，3﹣＜3．则可知＝t1，＝3﹣＝t2．∴＝．故选：A．19．【解答】解：不妨设x1，x2为函数f（x）的两个零点，其中x1∈[2，3]，x2∈R，则x1+x2＝﹣a，x1x2＝b．则a2+ab ＝（x1+x2）2﹣（x1+x2）•x1x2＝（1﹣x1）x22+（2x1﹣x12）x2+x12，由1﹣x1＜0，x2∈R，所以（1﹣x1）x22+（2x1﹣x12）x2+x12≤＝，可令g（x1）＝，g′（x1）＝，当x1∈[2，3]，g′（x1）＞0恒成立，所以g（x1）∈[g（2），g（3）]＝[4，]．则g（x1）的最大值为，此时x1＝3，还应满足x2＝﹣＝﹣，显然x1＝3，x2＝﹣时，a＝b＝﹣，a2+ab＝．故选：B．20．【解答】解：三次函数0）有两个零点，且由f′（x）＝x2+2ax﹣3a2＝0得x＝a 或﹣3a．故必有．又若方程f′[f（x）]＝0有四个实数根，则f（x）＝a或f（x）＝﹣3a共有四个根．①当前一组混合组成立时，做出图象（图①）可知，只需0＜a＜f（﹣3a）即可，即，解得②；②当后一组混合组成立时b＝﹣9a3，做出图象（图②）可知图②只需f（a）＜﹣3a＜0即可，即，解得③．取②③的并集可知，当时．方程f′[f（x）]＝0有四个根．故选：C．21．【解答】解：令t＝|a x﹣1|，t≥0，则函数g（x）＝f（|a x﹣1|）+k|a x﹣1|+4k可换元为：h（t）＝t2+（k﹣2）t+4k﹣1．若g（x）有三个不同的零点，则方程h（t）＝0有两个不同的实数根t1，t2，且解的情况有如下三种：①t1∈（1，+∞），t2∈（0，1），此时，解得；②t1＝0，t2∈（0，1），此时由h（0）＝0，求得k＝，∴h（t）＝，即，不合题意；③t1＝1，t2∈（0，1），此时由h（1）＝0，得k＝，∴h（t）＝，解得，符合题意．综上，实数k的取值范围为（]．故选：C．22．【解答】解：令t＝e x，t＞0，x＝lnt，则原方程转化成tlnt﹣a（t2﹣1）＝0，即，令，显然f（1）＝0，问题转化成函数f（t）在（0，+∞）上只有一个零点1，，若a＝0，则f（t）＝lnt在（0，+∞）单调递增，f（1）＝0，此时符合题意；若a＜0，则f′（t）＞0，f（t）在（0，+∞）单调递增，f（1）＝0，此时符合题意；若a＞0，记h（t）＝﹣at2+t﹣a，则函数h（t）开口向下，对称轴，过（0，﹣a），△＝1﹣4a2，当△≤0 即1﹣4a2≤0，即时，f′（t）≤0，f（t）在（0，+∞）单调递减，f（1）＝0，此时符合题意；当△＞0 即1﹣4a2＞0，即时，设h（t）＝0有两个不等实根t1，t2，0＜t1＜t2，又h（1）＞0，对称轴，所以0＜t1＜1＜t2，则f（t）在（0，t1）单调递减，（t1，t2）单调递增，（t2，+∞）单调递增，由于f（1）＝0，所以f（t2）＞0，取，，记令，则，所以f（t0）＜0，结合零点存在性定理可知，函数f（t）在（t1，t2）存在一个零点，不符合题意；综上，符合题意的a的取值范围是a≤0 或，故选：A．23．【解答】解：因为f（x+2）＝f（x），所以f（x）的一个周期为2，当x＞1时，g（x）＝，所以g′（x）＝，所以x∈（1，e），g′（x）＞0，函数是增函数，g（x）＞g（1）＝0，x∈（e，+∞），g′（x）＜0，函数是减函数，g（x）＞0，g（x）的最大值为1，f（x）与g（x）的图象如下：在区间[﹣1，1]内有一个根，在[1，2017]内有1008个周期，每个周期内均有2个根，所以F（x）共有2017个零点．故选：C．24．【解答】解：作出f（x）的函数图象如图所示：由图象知x1+x2＝﹣4，x3x4＝1，0＜b≤1，解不等式0＜﹣log2x≤1得：≤x3＜1，∴＝+，令t＝x32，则≤t＜1，令g（t）＝t+，则g（t）在[，1]上单调递减，g（1）＝2，g（）＝，∴g（1）＜g（t）≤g（），即2＜t+≤，故选：C．25．【解答】解：由f（x）＝lnx+（1﹣a）x+a＞0，得lnx＞（a﹣1）x﹣a，作出函数y＝lnx与y＝（a﹣1）x﹣a的图象如图：直线y＝（a﹣1）x﹣a过定点（1，﹣1），当x＝2时，曲线y＝lnx上的点为（2，ln2），当x＝3时，曲线y＝lnx上的点为（3，ln3）．过点（1，﹣1）与（2，ln2）的直线的斜率k＝，过点（1，﹣1）与（3，ln3）的直线的斜率k＝．由a﹣1＝ln2+1，得a＝ln2+2，由a﹣1＝，得a＝．∴若有且只有两个整数x1，x2使得f（x1）＞0，且f（x2）＞0，则a的取值范围是．故选：C．26．【解答】解：作出f（x）＝|x2﹣4x|与f（x）＝m|x+1|﹣2的图象如图，由图可知，f（x）＝m|x+1|﹣2恒过（﹣1，﹣2），且为2条射线，斜率分别为m，﹣m，当f（x）＝m|x+1|﹣2过（0，0）以及与抛物线相切时时临界情况，当f（x）＝m|x+1|﹣2过（0，0）时，m＝＝2，当f（x）＝m|x+1|﹣2与y＝﹣x2+4x相切时，联立，得x2+（m﹣4）x+m﹣2＝0，则△＝（m﹣4）2﹣4（m﹣2）＝0，解得m＝6﹣2（6+2舍去），故m的取值范围为（2，6﹣2），故选：C．27．【解答】解：不妨设，，易知，f1（x）＜0在（﹣∞，0]上恒成立，且在（﹣∞，0]单调递增；，设，由当x→0+时，g（x）→﹣∞，g（1）＝e﹣1＞0，且函数g（x）在（0，+∞）上单增，故函数g（x）存在唯一零点x0∈（0，1），使得g（x0）＝0，即，则，故当x∈（0，x0）时，g（x）＜0，f2'（x）＜0，f2（x）单减；当x∈（x0，+∞）时，g（x）＞0，f2'（x）＞0，f2（x）单增，故＝0，故f2（x）≥0；令t＝f（x），F（t）＝f（t）﹣et＝0，当t≤0时，﹣e﹣t﹣et＝0，解得t＝﹣1，此时易知f（x）＝t＝﹣1有一个解；当t＞0时，te t﹣t﹣1﹣lnt﹣et＝0，即te t﹣t﹣1﹣lnt＝et，作函数f2（t）与函数y＝et如下图所示，由图可知，函数f2（t）与函数y＝et有两个交点，设这两个交点为t1，t2，且t1＞0，t2＞0，而由图观察易知，f（x）＝t1，f（x）＝t2均有两个交点，故此时共有四个解；综上，函数F（x）＝f（f（x））﹣ef（x）的零点个数为5．故选：B．28．【解答】解：x＝不是方程＝3e x﹣2+（x2﹣3）的根，所以方程可变形为﹣＝，原问题等价于考查函数y＝﹣与函数g（x）＝的交点个数，令h（x）＝，则h′（x）＝，列表可得：x（﹣∞，﹣（﹣，﹣1）（﹣1，）（，3）（3，+∞））h′（x）++﹣﹣+h（x）单调递增单调递增单调递减单调递减单调递增函数y＝在有意义的区间内单调递增，故g（x）的单调性与函数h（x）的单调性一致，且g（x）的极值g （﹣1）＝g（3）＝﹣+2e，绘制函数图象如图所示，观察可得，y＝﹣与函数g（x）恒有3个交点，即方程实数根的个数是3，故选：B．29．【解答】解：根据f（x﹣2）＝f（x），可知函数的一个周期为2，作出x∈[1，2]时，f（x）＝﹣4x2+18x﹣14的图象再根据函数f（x）为偶函数，f（﹣x）＝f（x）＝f（x+2），所以函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，利用周期性，可以作出函数f（x）的图象，函数g（x）＝f（x）﹣mx有三个零点，所以函数y＝f（x）的图象与直线y＝mx 有三个交点，由图可知，当直线位于直线l1与直线l2之间时可以满足题意．当直线l2与y＝f（x）的图象相切时，联立得，4x2+（m﹣18）x+14＝0，∴△＝（m﹣18）2﹣4×4×14＝0，解得m＝18﹣4，m＝19+4（舍去）∴＜m＜18﹣4．故选：A．30．【解答】解：方程|f（x）﹣g（x）|＝1⇔f（x）＝g（x）±1，y＝g（x）+1＝，y＝g（x）﹣1＝．分别画出y＝f（x），y＝g（x）+1的图象．由图象（1）可得：0＜x≤1时，两图象有一个交点；1＜x≤2时，两图象有一个交点；x＞2时，两图象有一个交点．分别画出y＝f（x），y＝g（x）﹣1的图象．由图象（2）可知：x＞时，两图象有一个交点．综上可知：方程|f（x）﹣g（x）|＝1实数根的个数为4．故选：C．二．填空题（共5小题）31．【解答】解：当x＝1时，方程等价为ln1﹣a（1﹣1）＝0，即x＝1是方程的一个根，若当x＞0时，方程只有一个根，则由xlnx﹣a（x2﹣1）＝0得x＞0，且xlnx＝a（x2﹣1），即lnx＝a（x﹣），当x≠时，方程无解，即函数g（x）＝lnx与h（x）＝a（x﹣），在x≠1时无解，函数g（x）＝lnx为增函数，g′（x）＝，h′（x）＝a（1+），则当a＝0时，h（x）＝0，此时h（x）与函数g（x）只有一个交点（1，0），若a＜0，则h′（x）＜0，即h（x）为减函数，且h（1）＝0，此时两个函数图象只有一个交点（1，0）满足条件，若a＞0，要使g（x）与h（x）只有一个交点（1，0），则只需要h′（1）≥g′（1），即可则2a≥1，即a≥，综上a≥或a≤0，故答案为：a≥或a≤032．【解答】解：函数＝0，得|x+a|﹣﹣a＝3，设g（x）＝|x+a|﹣﹣a，h（x）＝3，则函数g （x）＝，不妨设f（x）＝0的3个根为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，当x＞﹣a时，由f（x）＝0，得g（x）＝3，即x﹣＝3，得x2﹣3x﹣4＝0，得（x+1）（x﹣4）＝0，解得x＝﹣1，或x＝4；若①﹣a≤﹣1，即a≥1，此时x2＝﹣1，x3＝4，由等差数列的性质可得x1＝﹣6，由f（﹣6）＝0，即g（﹣6）＝3得6+﹣2a ＝3，解得a＝，满足f（x）＝0在（﹣∞，﹣a]上有一解．若②﹣1＜﹣a≤4，即﹣4≤a＜1，则f（x）＝0在（﹣∞，﹣a]上有两个不同的解，不妨设x1，x2，其中x3＝4，所以有x1，x2是﹣x﹣﹣2a＝3的两个解，即x1，x2是x2+（2a+3）x+4＝0的两个解．得到x1+x2＝﹣（2a+3），x1x2＝4，又由设f（x）＝0的3个根为x1，x2，x3成差数列，且x1＜x2＜x3，得到2x2＝x1+4，解得：a＝﹣1+（舍去）或a＝﹣1﹣．③﹣a＞4，即a＜﹣4时，f （x）＝0最多只有两个解，不满足题意；综上所述，a＝，或﹣1﹣．33．【解答】解：由题意得，a＝﹣＝﹣；表示了点A（﹣，）与点C（3x，0）的距离，表示了点B（，）与点C（3x，0）的距离，如下图，结合图象可得，﹣|AB|＜﹣＜|AB|，即﹣1＜﹣＜1，故实数a的取值范围是（﹣1，1）．故答案为：（﹣1，1）．34．【解答】解：∵f（x）＝1+x﹣+﹣+...﹣+，f′（x）＝1﹣x+x2﹣ (x2012)＝＞0，此时函数单调递增，∵f（0）＝1＞0，f（﹣1）＝﹣﹣＜0，∴函数f（x）存在一个唯一的零点，设函数f（x）的零点为x1，∴根据根的存在性定理可知x1∈（﹣1，0）．∵g（x）＝1﹣x+﹣+…+﹣，g′（x）＝﹣1+x﹣x2﹣…﹣x2012＝＝﹣＜0，即函数单调递减，∵g（1）＝＞0，g（2）＝，设函数g（x）存在唯一的一个零点x2，∴根据根的存在性定理可知x2∈（1，2）．由F（x）＝f（x+3）g（x﹣4）＝0，则f（x+3）＝0或g（x﹣4）＝0．由x+3∈（﹣1，0）．得﹣1＜x+3＜0，即﹣4＜x＜﹣3，∴函数f（x+3）的零点在（﹣4，﹣3）．由x﹣4∈（1，2）．，得1＜x﹣4＜2，即5＜x＜6，∴函数g（x﹣4）的零点在（5，6）．即函数F（x）＝f（x+3）•g（x﹣4）的零点在（﹣4，﹣3）和（5，6）内，∵F（x）的零点均在区间[a，b]，（a＜b，a，b∈Z），∴b≥6，a≤﹣4，∴b﹣a≥10，即b﹣a的最小值是10．35．【解答】解：，是由和y＝﹣log2x，两个函数中，每个函数都是减函数，所以，函数为减函数．∵正实数a，b，c是公差为正数的等差数列，∴不妨设0＜a＜b＜c∵f（a）f（b）f（c）＜0则f（a）＜0，f（b）＜0，f（c）＜0 或者f（a）＞0，f（b）＞0，f（c）＜0综合以上两种可能，恒有f（c）＜0所以可能有①d＜a；②d＜b；④d＜c，正确．故答案为：3．三．解答题（共5小题）36．【解答】解：（1）函数h（x）＝f（x）﹣g（x）在上有且仅有一个零点．证明如下：函数f（x）＝lnx﹣ax 的定义域为（0，+∞），由，可得函数g（x）的定义域为（﹣∞，），∴函数h（x）＝f（x）﹣g （x）的定义域为（0，）．h（x）＝f（x）﹣g（x）＝lnx﹣ax﹣ln（）+2﹣ax．h′（x）＝，当且仅当时等号成立，因此h（x）在上单调递增，又，故函数h（x）＝f（x）﹣g（x）在上有且仅有一个零点；证明：（2）由（1）可知h（x）在上单调递增，且，故当时，h（x）＜0，即f（x）＜g（x）；当时，h（x）＞0，即f（x）＞g（x）．∵，∴f（a1）＜g（a1）＝f（a2），若，则由，且f（x）在上单调递减，知，即，这与矛盾，故，而当时，f（x）单调递增，故；同理可证，…，，故数列{a n}为单调递增数列且所有项均小于，因此对于任意的i，j∈N*，均有．37．【解答】解：（1）由題意，令g（x）＝e x﹣mx+m，（m＞0）则g'（x）＝e x﹣m，令g'（x）＞0，解得x＞lnm．所以g（x）在（lnm，+∞）上单调递增，令g'（x）＜0，解得x＜lnm，所以g（x）在（﹣∞，lnm）上单调递减，则当x＝lnm时，函数取得极小值，同时也是最小值g（x）min＝g（lnm）＝m﹣mlnm+m＝m（2﹣lnm）①当m（2﹣lnm）＞0，即0＜m＜e2时，f（x）的图象与直线l无交点，②当m（2﹣lnm）＝0，即m＝e2时f（x）的图象与直线l只有一个交点．③当m（2﹣lnm）＜0，即m＞e2时f（x）的图象与直线l有两个交点．综上所述，当0＜m＜e2时，f（x）的图象与直线l无交点；m＝e2时f（x）的图象与直线l只有一个交点，m＞e2时f（x）的图象与直线l有两个交点．（2）证明：令φ（x）＝g（lnm+x）﹣g（lnm﹣x）＝me x﹣me﹣x﹣2mx，（x＞0）φ′（x）＝m（e x+e﹣x﹣2）∵e x+e ﹣x≥2＝2，∴φ'（x）≥0，即φ（x）在（0，+∞）上单调递增，∴φ（x）＞φ（0）＝0∴x＞0时，g（lnm+x）＞g（lnm﹣x）恒成立，又0＜x1＜lnm＜x2，∴lnm﹣x1＞0，∴g（lnm+lnm﹣x1）＞g（lnm﹣lnm+x1）即g（2lnm﹣x1）＞g（x1），又g（x1）＝g（x2）∴g（x2）＜g（2lnm﹣x1）∵2lnm﹣x2＞lnm，x2＞lnm，y＝g（x）在（lnm，+∞）上单调递增，∴x2＜2lnm﹣x1即x1+x2＜2lnm．38．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝1﹣ae x，①a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在R上递增，不合题意，舍去，②当a＞0时，令f′（x）＞0，解得x＜﹣lna；令f′（x）＜0，解得x＞﹣lna；故f（x）在（﹣∞，﹣lna）单调递增，在（﹣lna，+∞）上单调递减，由函数y＝f（x）有两个零点x1，x2（x1＜x2），其必要条件为：a＞0且f（﹣lna）＝﹣lna＞0，即0＜a＜1，此时，﹣1＜﹣lna＜2﹣2lna，且f（﹣1）＝﹣1﹣+1＝﹣＜0，令F（a）＝f（2﹣2lna）＝2﹣2lna﹣+1＝3﹣2lna﹣，（0＜a＜1），则F′（a）＝﹣+＝＞0，F（a）在（0，1）上单调递增，所以，F（a）＜F（1）＝3﹣e2＜0，即f（2﹣2lna）＜0，故a的取值范围是（0，1）．（Ⅱ）令f（x）＝0⇒a＝，令g（x）＝，g′（x）＝﹣xe﹣x，则g（x）在（﹣∞，0）单调递增，在（0，+∞）单调递减，由（Ⅰ）知0＜a＜1，故有﹣1＜x1＜0＜x2，令h（x）＝g（﹣x）﹣g（x），（﹣1＜x＜0），h（x）＝（1﹣x）e x﹣（1+x）e﹣x，（﹣1＜x＜0），h′（x）＝﹣xe x+xe﹣x＝x（e﹣x﹣e x）＜0，所以，h（x）在（﹣1，0）单调递减，故h（x）＞h（0）＝0，故当﹣1＜x＜0时，g（﹣x）﹣g（x）＞0，所以g（﹣x1）＞g（x1），而g（x1）＝g（x2）＝a，故g（﹣x1）＞g（x2），又g（x）在（0，+∞）单调递减，﹣x1＞0，x2＞0，所以﹣x1＜x2，即x1+x2＞0，故e+e≥2＝2e＞2．39．【解答】解：（1）当x＜0时，f（x）＝﹣x2．是增函数，且f（x）＜0＝f（0），故当x≥0时，f（x）为增函数，即f′（x）≥0恒成立，函数的导数f′（x）＝+2ax﹣2a＝+2a（x﹣1）＝（1﹣x）（﹣2a）≥0恒成立，当x≥1时，1﹣x≤0，此时相应﹣2a≤0恒成立，即2a≥恒成立，即2a≥（）max＝恒成立，当x≤1时，1﹣x≥0，此时相应﹣2a≥0恒成立，即2a≤恒成立，即2a≤（）min＝恒成立，则2a＝，即a＝．（2）若k≤0，则g（x）在R上是增函数，此时g（x）最多有一个零点，不可能有三个零点，则不满足条件．故k＞0，当x＜0时，g（x）＝﹣x2﹣kx有一个零点﹣k，g（0）＝f（0）﹣0＝0，故0也是故g（x）的一个零点，故当x＞0时，g（x）有且只有一个零点，即g（x）＝0有且只有一个解，即+﹣﹣kx＝0，得+﹣＝kx，（x＞0），则k＝+﹣，在x＞0时有且只有一个根，即y＝k与函数h（x）＝+﹣，在x ＞0时有且只有一个交点，h′（x）＝﹣+，由h′（x）＞0得﹣+＞0，即＜得e x＞2e，得x＞ln2e＝1+ln2，此时函数递增，由h′（x）＜0得﹣+＜0，即＞得e x＜2e，得0＜x＜ln2e＝1+ln2，此时函数递减，即当x＝1+ln2时，函数取得极小值，此时极小值为h（1+ln2）＝+﹣＝++﹣＝++﹣＝，h（0）＝1+0﹣＝1﹣，作出h（x）的图象如图，要使y＝k与函数h（x）＝+﹣，在x＞0时有且只有一个交点，则k＝或k≥1﹣，即实数k的取值范围是{}∪[1﹣，+∞）．40．【解答】解：（1）a ＝时，f（x）＝|log25（x+1）﹣|+2，x∈[0，24]，令|log25（x+1）﹣|＝0，解得x＝4，因此：一天中第4个时刻该市的空气污染指数最低．（2）令f（x）＝|log25（x+1）﹣a|+2a+1＝，当x∈（0，25a﹣1]时，f（x）＝3a+1﹣log25（x+1）单调递减，∴f（x）＜f（0）＝3a+1．当x∈[25a﹣1，24）时，f（x）＝a+1+log25（x+1）单调递增，∴f（x）≤f（24）＝a+1+1．联立，解得0＜a ≤．可得a ∈．因此调节参数a应控制在范围．第21页（共21页）。

高中数学-不等式的应用练习

高中数学-不等式的应用练习一、选择题1．某商场中秋前30天月饼销售总量f (t )与时间t (0＜t ≤30)的关系大致满足f (t )＝t 2＋10t ＋16，则该商场前t 天平均售出⎣⎢⎡⎦⎥⎤如前10天的平均售出为f 1010的月饼最少为( ) A ．18 B ．27 C ．20D ．16解析：平均销售量y ＝f t t ＝t 2＋10t ＋16t ＝t ＋16t＋10≥18，当且仅当t ＝16t，即t ＝4∈[1,30]时等号成立，即平均销售量的最小值为18. 答案：A2．汽车上坡时的速度为a ，原路返回时的速度为b ，且0＜a ＜b ，则汽车全程的平均速度比a ，b 的平均值( )A ．大B ．小C ．相等D ．不能确定解析：设单程为s ，则上坡时间t 1＝sa ，下坡时间t 2＝s b，平均速度为v ＝2s t 1＋t 2＝2s s a ＋s b ＝21a ＋1b＜a ＋b2. 答案：B3．某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件解析：若每批生产x 件产品，则每件产品的生产准备费用是800x 元，仓储费用是x8元，总的费用是800x ＋x8≥2800x ·x8＝20，当且仅当800x ＝x8，即x ＝80时取等号．答案：B4．如图，建立平面直角坐标系，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1 km ，某炮位于原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2(k ＞0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．则炮的最大射程为( )A ．20 kmB ．10 kmC ．5 kmD ．15 km解析：令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0.由实际意义和题设条件，知x ＞0，k ＞0.故x＝20k 1＋k 2＝20k ＋1k≤202＝10，当且仅当k ＝1k，即k ＝1时取等号．所以炮的最大射程为10 km. 答案：B 二、填空题5．设三角形的三边长分别为3,4,5，P 是三角形内的一点，则点P 到这个三角形三边的距离的积的最大值是________.解析：设点P 到三角形三边的距离分别为h 1，h 2，h 3. 由题意，得三角形为直角三角形，S ＝12×3×4＝6.∴12h 1·3＋12h 2·4＋12h 3·5＝6. ∴3h 1＋4h 2＋5h 3＝12≥3360h 1h 2h 3. ∴h 1h 2h 3≤6460＝1615.答案：16156．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为____________m.解析：如图，过点A 作AH ⊥BC 于点H ，交DE 于点F .易知DE BC ＝x 40＝AD AB ＝AFAH⇒AF ＝x ⇒FH＝40－x .则S ＝x (40－x )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫4022，当且仅当40－x ＝x ，即x ＝20时取等号．所以满足题意的边长x 为20 m.答案：20 三、解答题7．某渔业公司今年年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需各种费用12万元，从第二年开始包括维修费在内，每年所需费用均比上一年增加4万元，该船每年捕捞的总收入为50万元．(1)该船捕捞几年后开始盈利(即总收入减去成本及所有费用之差为正值)? (2)该船捕捞若干年后，处理方案有两种：①当年平均盈利达到最大值时，以26万元的价格卖出； ②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出．哪一种方案较为合算？请说明理由．解：(1)设捕捞n 年后开始盈利，盈利为y 元，则y ＝50n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤12n ＋n n －12·4－98＝－2n 2＋40n －98.由y ＞0，得n 2－20n ＋49＜0.解得10－51＜n ＜10＋51(n ∈N ＋)．所以3≤n ≤17.故捕捞3年后开始盈利．(2)①由(1)，得y ＝－2n 2＋40n －98.所以平均盈利为y n ＝－2n －98n＋40≤－22n ·98n＋40＝12，当且仅当2n ＝98n，即n ＝7时，年平均盈利最大．故经过7年捕捞后平均盈利最大，共盈利12×7＋26＝110(万元)． ②由(1)，得y ＝－2n 2＋40n －98＝－2(n －10)2＋102. 所以当n ＝10时，函数y 的最大值为102.故经过10年捕捞后盈利总额最大，共盈利102＋8＝110(万元)．因为两种方案盈利相等，但方案②的时间长，所以方案①合算．8．某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个八边形的休闲小区，其主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD 和矩形EFGH 构成的面积是200 m 2的十字形区域，现计划在正方形MNPQ 上建一花坛，造价为4 200元/m 2，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为210元/m 2，再在四个空角上铺草坪，造价为80元/m 2.(1)设总造价为S 元，AD 的边长为x m ，试建立S 关于x 的函数解析式； (2)计划至少要投多少万元才能建造这个休闲小区？解：(1)设DQ ＝y m ，则x 2＋4xy ＝200，即 y ＝200－x24x.所以S ＝4 200x 2＋210×4xy ＋80×4×12y 2＝38 000＋4 000x 2＋400 000x2(0＜x ＜102)． (2)由(1)，得S ＝38 000＋4 000x 2＋400 000x2≥38 000＋216×108＝118 000，当且仅当4 000x 2＝400 000x2，即x ＝10时取等号．因为118 000元＝11.8万元，所以计划至少要投入11.8万元才能建造这个休闲小区．一、选择题1．某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外，每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为( )A ．10B ．11C ．13D ．21解析：设该企业需要更新设备的年数为x ，设备年平均费用为y 万元，则x 年后的设备维护费用为2＋4＋…＋2x ＝[x (x ＋1)]万元，所以x 年的年平均费用为y ＝100＋0.5x ＋x x ＋1x＝x ＋100x＋1.5万元．由平均值不等式，得y ＝x ＋100x＋1.5x ·100x ＋1.5＝21.5，当且仅当x ＝100x，即x ＝10时取等号．答案：A2．设某公司原有员工100人从事产品A 的生产，平均每人每年创造产值t 万元(t 为正常数)．公司决定从原有员工中分流x (0＜x ＜100，x ∈N ＋)人去进行新开发的产品B 的生产．分流后，继续从事产品A 生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x %.若要保证产品A 的年产值不减少，则最多能分流的人数是( )A ．15B ．16C ．17D ．18解析：由题意，得分流前每年创造的产值为100t 万元，分流x 人后，每年创造的产值为(100－x )(1＋1.2x %)t 万元．则⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜100，x ∈N ＋，100－x1＋1.2x %t ≥100t .解得0＜x ≤503.因为x ∈N ＋，所以x 的最大值为16. 答案：B 二、填空题3．制造一个容积为π2 m 3的无盖圆柱形桶，用来做底面的金属板的价格为每平方米30元，做侧面的金属板的价格为每平方米20元，则当圆柱形桶的底面半径为________m 、高为________m 时，所使用的材料成本最低．解析：设此圆柱形桶的底面半径为r m ，高为h m ，则底面面积为πr 2m 2，侧面积为2πrh m 2.设原料成本为y 元，则y ＝30πr 2＋40πrh . 因为桶的容积为π2 m 3，所以πr 2h ＝π2，即rh ＝12r.所以y ＝30πr 2＋20rπ＝10π⎝ ⎛⎭⎪⎫3r 2＋1r ＋1r ≥10π·333，当且仅当3r 2＝1r ，即r ＝393时等号成立，此时h ＝392.答案：393 3924．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，那么其表面积最小时，底面边长为________.解析：设底面边长为x ，高为h ，则34x 2h ＝V ，即h ＝43V 3x2. 所以S 表＝2×34x 2＋3xh ＝32x 2＋3x ·43V 3x 2＝32x 2＋43Vx ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋8V x ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋4V x ＋4V x ≥32×3316V 2＝33·32V 2，当且仅当x 2＝4V x，即x ＝34V 时取等号．答案：34V 三、解答题5．如图(1)所示，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，如图(2)所示，求这个正六棱柱容器容积的最大值．(1) (2)解：设正六棱柱容器的底面边长为x (x ＞0)，高为h ，由下图，可得2h ＋3x ＝ 3.所以h ＝32(1－x )，V ＝S 底·h ＝6×34x 2h ＝ 332x 2·32(1－x )＝23×332·x 2·x 2·(1－x )≤9⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2＋x2＋1－x 33＝13，当且仅当x 2＝1－x ，即x ＝23时等号成立．所以当底面边长为23时，正六棱柱容器容积最大，为13.6．某养殖厂需定期购买饲料，已知该厂每天需要饲料200 kg ，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管与其他费用为平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元．(1)该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少？(2)若提供饲料的公司规定：当一次购买饲料不少于5 t 时其价格可享受八五折优惠(即为原价的85%)．该厂是否可以考虑利用此优惠条件？请说明理由．解：(1)设该厂应隔x (x ∈N ＋)天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y 1元．因为饲料的保管与其他费用每天比前一天少200×0.03＝6(元)，所以x 天饲料的保管与其他费用共 6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6＝(3x 2－3x )元．从而有y 1＝1x(3x 2－3x ＋300)＋200×1.8＝300x＋3x ＋357≥417，当且仅当300x＝3x ，即x ＝10时取等号．故每隔10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．(2)该厂可以考虑利用此优惠条件．理由如下：若厂家利用此优惠条件，则至少25天购买一次饲料．设该厂利用此优惠条件，每隔x 天(x ≥25)购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y 2元，则y 2＝1x(3x 2－3x ＋300)＋200×1.8×0.85＝300x＋3x ＋303(x ≥25)．因为y ′2＝－300x2＋3，所以当x ≥25时，y 2′＞0，即函数y 2在区间[25，＋∞)上是增函数．则当x ＝25时，函数y 2取得最小值为390. 而390＜417，故该厂可以考虑利用此优惠条件．。

高中数学：应用题练习

高中数学应用题汇总

(完整版)高中数学应用题

高中数学应用题专项练习

高中数学应用题

高三数学应用题50练(全国百所重点高中)

高考数学应用题及答案

高考数学实际应用题集

高中生数学应用题练习题及讲解

高考数学应用题

(完整版)高中数学应用题

高中数学三年级上册归一归总应用题练习

高中数学经典应用题及答案解析

高中二年级数学应用题专项练习题

高中数学中的实际应用练习题

高三数学练习(应用题)(附答案)

高一数学 函数的应用练习题难题带答案

高中数学-不等式的应用练习

高一数学函数的应用练习题难题带答案