陈纪修《数学分析》(第2版)(下册)课后习题-多元函数的微分学(圣才出品)
陈纪修主编的《数学分析》(第2版)辅导书-第6章 不定积分【圣才出品】
第6章 不定积分6.1 复习笔记一、不定积分的概念和运算法则1．微分的逆运算——不定积分（1）原函数若在某个区间上，函数F （x ）和f （x ）成立关系F'（x ）=f （x ），则称函数F （x ）是f （x ）的一个原函数。
（2）不定积分一个函数f （x ）的原函数全体称为这个函数的不定积分，记作这里，“”称为积分号，f （x ）称为被积函数，x 称为积分变量。
2．不定积分的线性性质若函数f （x ）和g （x ）的原函数都存在，则对任意常数k 1和k 2，函数k 1f（x ）+k 2g （x）的原函数也存在，且有二、换元积分法和分部积分法1．换元积分法（1）在不定积分中，用u=g （x ）对原式作变量代换，这时相应地有du=g'（x ）dx ，于是，这个方法称为第一类换元积分法，也被俗称为“凑微分法”。
（2）找到一个适当的变量代换x=φ（t ）（要求x=φ（t ）的反函数t=φ-1（x ）存在），将原式化为这个方法称为第二类换元积分法。
2．分部积分法对任意两个可微的函数u （x ）、v （x ），成立关系式d[u （x ）v （x ）]=v （x ）d[u （x ）]+u（x）d[v （x ）]，两边同时求不定积分并移项，就有也即这就是分部积分公式。
三、有理函数的不定积分及其应用1．有理函数的不定积分（1）形如的函数称为有理函数，这里和分别是m 次和n 次多项式，n，m 为非负整数。
若m>n ，则称它为真分式；若m≤n，则称它为假分式。
（2）设有理函数是真分式，多项式有k 重实根α即则存在实数λ与多项的次数低于的次数，成立（3）设有理函数是真分式，多项式有l 重共轭复根，即其中则实数和多项式的次数低的次数，成立2．可化成有理函数不定积分的情况（1）类的不定积分。
这里R （u ，v ）表示两个变量μ、υ的有理函数（即分子和分母都是关于u ，v的二元多项式）。
对作变量代换，则。
数学分析课后习题答案--高教第二版(陈纪修)--5章
.k
hd
π π
4
(3) 令 f ( x) = 2 arctan x + arcsin
2x ，注意到 x 2 − 1 > 0, ∀x > 1 ，所以 2 1+ x
由于 f ( x) 在 [1, +∞ ) 连续，所以 f ( x) ≡ f (1) = 2 +
案 网
至多有限个点有 f ′( x ) = 0 之外，都有 f ′( x ) > 0 ，则 f ( x ) 在 [ a , b ] 上严格 单调增加；同时举例说明，其逆命题不成立。 证 设 a = x0 < x1 < " < xn −1 < xn = b ，其中 x1 , x2 ," , xn −1 是 f '( x) 全部的零点。 则 f ( x) 在 [ xi , xi +1 ] (i = 0,1," , n − 1) 上严格单调增加。 从而，f ( x) 在 [a, b] 上 严格单调增加。 构造函数
(ξ , f (ξ )) 不在 ( a, f ( a )), (b, f (b)) 的连线上。
假设 (ξ , f (ξ )) 在 (a, f (a )), (b, f (b)) 的连线的上方，则
f (ξ ) − f (a ) f (b) − f (a ) f (b) − f (ξ ) > > ， ξ −a b−a b −ξ
的两倍。
5． 设函数 f ( x ) 和 g ( x ) 在 [ a , b ] 上连续， 在 ( a , b ) 上可导, 证明 ( a , b ) 内存
课
在一点 ξ ，使得
后 答
案 网
针排列，则ψ ( x) 就是三角形面积的两倍，否则－ψ ( x) 就是三角形面积
数学分析 第二版 上下册 课后答案 陈纪修
7
但在[ 0, 1 ] 的任一子区间上都不是单调函数。
解
f
(
x)
=
⎧x
⎨ ⎩1
−
x
x为有理数 。
x为无理数
8
第二章 数列极限
习 题 2.1 实数系的连续性
1. (1) 证明 6 不是有理数；
(2) 3 + 2 是不是有理数? 证（1）反证法。若 6 是有理数，则可写成既约分数 6 = m 。由 m2 = 6n2 ，
3
习 题 1.2 映射与函数
1. 设 S = {α , β ,γ }, T = {a,b,c} ，问有多少种可能的映射 f ：S → T ? 其中
哪些是双射?
解 有 33 = 27 种可能的映射，其中有 3!= 6 种是双射，它们是
⎧α a
⎧α a
⎧α b
⎧α b
⎧α c
⎧α c
f : ⎪⎨β b ， f : ⎪⎨β c ， f : ⎪⎨β c ， f : ⎪⎨β a ， f : ⎪⎨β a ， f : ⎪⎨β b 。
(3) f (x) = sin2 x + cos2 x , g(x) = 1。
解 （1）函数 f 和 g 不等同；
5
（2）函数 f 和 g 不等同；
（3）函数 f 和 g 等同。
7. (1) 设 f (x + 3) = 2x3 − 3x2 + 5x − 1,求 f (x) ；
(2)
设
f
⎜⎛ ⎝
x
x −
(4)
y = f (u) =
u
,u
=
g(x)
=
x x
−1。
+1
( ) ( ) 解（1） y = loga (x2 − 3) ，定义域： − ∞,− 3 ∪ 3,+∞ ，值域： (−∞,+∞) ；
陈纪修数学分析答案
陈纪修数学分析答案【篇一：陈纪修教授《数学分析》九讲学习笔记与心得】class=txt>云南分中心 ? 昆明学院 ? 周兴伟此次听陈教授的课，收益颇多。
陈教授的这些讲座，不仅是在教我们如何处理《数学分析》中一些教学重点和教学难点，更是几堂非常出色的示范课。
我们不妨来温习一下。
第一讲、微积分思想产生与发展的历史法国著名的数学家h.庞加莱说过：“如果我们想要预见数学的将来，适当的途径是研究这门科学的历史和现状。
” 那么，如果你要学好并用好《数学分析》，那么，掌故微积分思想产生与发展的历史是非常必要的。
陈教授就是以这一专题开讲的。
在学校中，我不仅讲授《数学分析》，也讲授《数学史》，所以我非常赞同陈教授在教学中渗透数学史的想法，这应该也是提高学生数学素养的有效途径。
在这一讲中，陈教授脉络清晰，分析精当，这是我自叹不如的。
讲《数学史》也有些年头，但仅满足于史料的堆砌，没有对一些精彩例子加以剖析。
如陈教授对祖暅是如何用“祖暅原理”求出球的体积的分析，这不仅对提高学生的学习兴趣是有益的（以疑激趣、以奇激趣），而且有利于提高学生的民族自豪感（陈教授也提到了这一点）。
第二讲、实数系的基本定理在这一讲中，陈教授从《实变函数》中对集合基数的讨论展开，对实数系的连续性作了有趣的讨论。
首先是从绅士开party的礼帽问题，带我们走进了“无穷的世界”。
我在开《数学赏析》时有一个专题就是“无穷的世界”，我给学生讲礼帽问题、也讲希尔伯特无穷旅馆问题，但遗憾的是，当我剖析“若无穷旅馆住满了人，再来两个时，可将住１号房间的移往３号房间，住２号房间的移往４号房间，从而空出两个房间”时，学生对我“能移”表示怀疑。
这一点我往往只能遗憾的说“跳不出有限的圈子，用有限的眼光来看无限，只能是‘只在此山中，云深不知处’”。
当然，我还是会进一步考虑如何来讲好这一讲。
若陈教授或其他老师有好的建议，能指点一下，则不胜感激。
对于集合[0,1]与(0,1)的对等关系，包括q与Ｒ的对等关系，或者说他们之间双射的构造。
陈纪修《数学分析》(第2版)(下册)名校考研真题-Euclid空间上的极限和连续(圣才出品)
第11章Euclid空间上的极限和连续一、判断题1．若f（x，y）在D内对x和y都是连续的，则f（x，y）对（x，y）∈D为二元连续函数．[重庆大学研]【答案】错【解析】举反例：，很明显但是不存在，如果选取路径y=kx趋于0，有不唯一．二、填空题（1）函数的定义域是______，它是______区域；（2）函数的定义域是______；（3）函数的定义域是______；（4）二元函数的定义域是______；（5）函数的定义域是______．[西安交通大学研]【答案】（1）（2）（3）椭圆与抛物线所围的区域；（4）（5）三、解答题1．设f（x）为定义在上的连续函数，α是任意实数，有证明：E是开集，F是闭集．[江苏大学2006研]证明：对任意的，有．因为f（x）在上连续，所以由连续函数的局部保号性知，存在的一个邻域使得当时有，从而，故E是开集．设为F 的任意一个聚点，则存在F中的点列使得．由于f（x）在上连续，所以，又，从而，即，故F是闭集．2．求．[南京大学研、厦门大学研、山东科技大学研]解：方法一由于令，有所以方法二由于，，所以，故有3．设f（x，y）在[a，b]×[c，d]上连续，证明：在[c，d]上连续．[南京理工大学研、华东师范大学研]证明：反证法．假设g（y）在某点处不连续，则存在及点列，使得因为f（x，y）在[a，b]×[c，d]上连续，故在[a，b]×[c，d]上一致连续．于是对，存在δ＞0，当时恒有．特别当时，即．固定y，让x在[a，b]上变化，取最大值，可得即时，．因为，所以对δ＞0，存在N ＞0，当n＞N时有，从而有，这与一开始得到的不等式矛盾，结论得证．4．设，为有界闭集，试证：开集W、V，使得A证明：A、B为有界闭集．[四川大学研]令显然W、V为开集．5．设试讨论下面三种极限：[南京工学院研]解：由于在y=0和x=0的函数极限不存在，故在（0，0）点的两个累次极限都不存在．6．设f（x，y是区域D：|x|≤1，|y|≤1上的有界k次齐次函数（k≥1），问极限是否存在？若存在，试求其值．[南京大学研]解：令x=rcosθ，y=rsinθ．由于f（x，y）是区域D上的有界k次齐次函数7．设二元函数f(x,y)在正方形区域[0，1]×[0，1]上连续．记J=[0，1]．（1）试比较的大小并证明之；（2）给出并证明使等式成立的（你认为最好的）充分条件．[浙江大学研]解：（1），有上式对于任意的x都成立，则由y的任意性可知（2）若，使下面证明上面条件为充分条件显然8．设为n维欧氏空间，A是的非空子集，定义x到A的距离为证明：上的一致连续函数．[南京大学研] 证明：有对使故对时，即上的一致连续函数．9．[暨南大学2013研] 解：设，则。
陈纪修《数学分析》(第2版)(下册)课后习题-含参变量积分(圣才出品)
7．设函数 具有二阶导数， 是可导的，证明函数
满足弦振动方程
以及初始条件
。
证明：直接计算，可得
所以
且显然成立
。
8．利用积分号下求导法计算下列积分：
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解：（1）设
于是
令
则
所以
（2）设
作变换
得到
则
。
。
则
。设 由于
。研究函数
的连续性。
解：设
由于
在
在 处连续。
设
则
。由于 在 上连续，且
上的最小值
当 时，成立
于是
上连续，可知 所以 在
由 连续。
可知
即
在
处不
§2 含参变量的反常积分
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1．证明下列含参变量反常积分在指定区间上一致收敛：
与
在
上一致收敛。所以
在
上一致收敛。
（ ii ） 当
对于
取
取
则当 充分大时，
由 Cauchy 收敛准则，
在
上不一致收敛，同理
在
上也不一致收敛，所以
在
上不一致收敛。
（3）（i）当
而
收敛，由 Weierstrass
判别法
在
上一致收敛。
（ii）当 取
由于
由 Cauchy 收敛准则，可知
在
（ 4 ）（ i ） 当
即
关于
一致有界，以及 单调，当
时 关于
致趋于零，由 Dirichlet 判别
陈纪修《数学分析》（第2版）（下册）名校考研真题-曲线积分、曲面积分与场论（圣才出品）
陈纪修《数学分析》（第2版）（下册）名校考研真题-曲线积分、曲面积分与场论（圣才出品）第14章曲线积分、曲面积分与场论1．计算为取逆时针方向．[南开大学2011研]解：记因为P与Q在点（0，0）处都无定义，则不能直接应用格林公式．在L围成的区域内取一闭曲线L1:（取逆时针方向）,则在L与L1围成是区域内可以应用格林公式．由于则由Green公式知，则2．求第一型曲面积分其中h≠R．[浙江大学研]解：令其中且3．计算其中[湖南大学研]解：令所以4．求常数λ，使得曲线积分对上半平面内任何光滑闭曲线L成立．[北京大学研]解：记由题设知，所考虑积分在上半平面内与路径无关，所以，即即即所以λ=．5．设为xy平面上具有光滑边界的有界闭区域且u为非常值函数及证明[武汉大学研]证明：因在上，u=0．故所以又u为非常值函数，故再注意到的连续性，所以6．计算其中∑为圆柱面被z=0，z=3截的部分外侧．[北京航空航天大学研]解：分别补充圆柱体的交面记P=x，Q=y，R=z，由奥高公式而平面，yz平面；平面，yz平面，所以从而7．计算为[南开大学2011研]解：(对称性)8．计算曲线积分其中L是从（2a，0）沿曲线到点（0，0）的一段．[兰州大学2009研]解：曲线即记则所以所以由Green公式得9．计算，其中为圆柱面的部分，它的法线与ox轴正向成锐角；为xoy平面上半圆域：的部分，它的法线与oz轴正向相反．[上海交通大学研]解：如图14-1所示，补充则构成封闭曲面的外侧，由奥高公式其中则又，从而平面，平面，从而图14-110．计算曲线积分其中C是从A（－a，0）经上半椭圆到B（a，0）的弧段．[湖北大学研]解：记则所以此积分在上半平面内与路径无关，如图14-2所示取以（0，0）为心，a为半径的上半圆周，则。
数学分析课后习题答案--高教第二版(陈纪修)--12章
5
aw .
⎛ x2 y2 + 2 2 b ⎝a
co m
解
在 ( x, y ) ≠ (0,0) 点, 函数值增长最快的方向为 grad f = ( y, x) ; 在 (0,0) 点, 由于梯度为零向量，不能直接从梯度得出函数值增长
最快的方向。设沿方向 v = (cos α , sin α ) 自变量的改变量为
⎛ x2 ∂z 2 x = sec 2 ⎜ ⎜ y ∂x y ⎝
2 ⎞ ∂z x2 2⎛ x ⎞ ⎜ ⎟。 ⎟， = − sec ⎜ y ⎟ ⎟ ∂y y2 ⎝ ⎠ ⎠
∂z 1 x y y x y x y x x y 1 ∂z = cos cos + 2 sin sin ， = − 2 cos cos − sin sin 。 ∂x y y x x y x y x ∂y y x x y
案
网
n ∂u = ∑ aij xi , ∂y j i =1
∂u = ai , i = 1,2, " , n 。 ∂xi
n
∑ aij y j , i = 1,2,", n ，
ww
x
z z z ∂u ∂u ∂u = zy z −1 x y ln x ， = y z x y −1 ， = y z x y ln x ln y 。 ∂x ∂y ∂z
（6） u = ln( x 2 + y 2 + z 2 ) 。
co m
5. 求下列函数在指定点的全微分： （1） f ( x, y ) = 3 x 2 y − xy 2 ，在点 (1,2) ； （2） f ( x, y ) = ln(1 + x 2 + y 2 ) ，在点 (2,4) ；
陈纪修《数学分析》(第2版)(下册)章节题库-曲线积分、曲面积分与场论(圣才出品)
第14章曲线积分、曲面积分与场论1．计算曲线积分，其中L是绕原点的简单闭曲线．解：方法一当时，可以验证，所以可将曲线L换成以原点为中心，适当小的＞0为半径的小圆周：易见构造辅助函数：仍有．若定义A（0，0）＝0，B（0，0）＝1，则A，B在原点连续．事实上，由泰勒展开式，有．所以有即补充定义后A在原点连续，同理可证B也在原点连续．于是I＝J＝2π．方法二在L′上，有故积分值与无关．注意到被积函数关于连续，令，在积分号下取极限即得2．设封闭曲线的正向与z轴正向符合右手法则，求曲线积分解：由可得因此可设曲线L的参数方程为：，t从－3π/4到3π/4．于是3．设函数f（x）在（－∞，＋∞）上具有一阶连续导数，L是上半平面y＞0内的有向分段光滑曲线，其起点为（a，b），终点为（c，d）．记（1）证明：曲线积分I与积分路径无关；（2）当ab＝cd时，求I的值．证明：（1）因为所以在上半平面内曲线积分I与积分路径无关．（2）由（1）知，是某个函数u（x，y）的全微分，而设F（x）是f（x）的一个原函数，则，因此4．计算积分其中（n，x），（n，y）分别是由x轴、y轴正向与L的外法向n之间的夹角，L为逐段光滑的简单闭曲线．解：表示L的正向，即沿逆时针方向，切线方向τ与一致，如图14-1所示.从n逆时针旋转π/2即到τ，于是有（n，x）＝（τ，y），（n，y）＝π－（τ，x），故cos（n，x）ds＝cos（τ，y）ds＝dy，cos（n，y）ds＝－cos（τ，x）ds＝－dx．从而其中S表示L所围的面积．图14-15．计算曲面积分，其中S是球面解：将球面S分成三部分S1，S2，S3，其中此时曲面S1在xOy平面的投影区域为，S1的方程为z＝，故有从而6．计算曲面积分，其中S为下半球面的上侧，a＞0为常数．解：采用补面法．按常规应补平面S1：x2＋y2≤a2，z＝0．仔细观察发现被积函数在原点处有奇性，不能直接应用高斯公式，但注意到在下半球面上的点（x，y，z）满足x2＋y2＋z2＝a2，则可将原曲面积分改写成这样，取S1的法向方向与z轴正向相反，就可对上式使用高斯公式了．于是有其中V是S1，S所围的空间区域．故7．计算曲线积分L是x2＋y2＋z2＝2r1x与x2＋y2＝2r2x的交线（0<r2<r1，z＞0），L的方向是使L所围的球面上较小部分区域保持在左边．解：由于球面的外法向的方向余弦为所以由斯托克斯公式，有其中S是球面x2＋y2＋z2＝2r1x由L所围的部分．由于曲面S关于xOz平面对称，所以．又由可知，。
陈纪修主编的《数学分析》(第2版)辅导书-第3章 函数极限与连续函数【圣才出品】
的数列{xn}，相应的函数值数列{f（xn）}成立
。
（2）Heine 定理的另一表述
，且
存在的充分必要条件是：对于任意满足条件
且
xn≠x0（n=1，2，3，…）的数列{xn}，相应的函数值数列{f（xn）}收敛。
5．单侧极限
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第 3 章 函数极限与连续函数
3.1 复习笔记
一、函数极限 1．函数极限的定义 设函数 y=f（x）在点 x0 的某个去心邻域中有定义，即存在 ρ>0，使
如果存在实数 A，对于任意给定的 ε>0，可以找到 δ>0，使得当
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则称当
时，
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是有界量，记为
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若又存在 ，当 在 的某个去心邻域中，成立
则称当
时，
与 是同阶无穷小量。
（3）若
，称当
时， 与 是等价无穷小量，记为
2．无穷大量的比较
设
是两个变量，当
时它们都是无穷大量，讨论 的极限情况。
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（3）函数极限
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台
存在而且有限的充分必要条件是：对于任意给定的 ε>0，存
在 X>0，使得对一切 x′，x″>X，成立
二、连续函数 1．连续函数的定义 （1）在某点处连续 设函数 f（x）在点 x0 的某个邻域中有定义，并且成立
①若 f（x）>g（x）成立。
②推论
复旦大学数学系陈纪修《数学分析》(第二版)习题答案ex2-1,2
第二章 数列极限习 题 2.1 实数系的连续性1. (1) 证明6不是有理数；(2) 3+2是不是有理数?证（1）反证法。
若6是有理数，则可写成既约分数nm=6。
由，可知是偶数，设，于是有，从而得到是偶数，这与226n m =m k m 2=2223k n =n nm是既约分数矛盾。
（2）3+2不是有理数。
若3+2是有理数，则可写成既约分数32+n m=，于是222623nm =++，252622−=n m ，即6是有理数，与（1）的结论矛盾。
2. 求下列数集的最大数、最小数，或证明它们不存在： ； A x x =≥{|}0 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<=320|sin πx x B ； ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<∈=+m n n m m n C 并且N ,。
解 ；因为，有0min =A A x ∈∀A x ∈+1，x x >+1，所以不存在。
A max 12sin max ==πB ；因为B x ∈∀，⎦⎤⎜⎝⎛∈∃2,0πα，使得αsin =x ，于是有B ∈2sinα，x <2sinα，所以B min 不存在。
C max 与都不存在，因为C min C m n ∈∀，有C m n ∈+1，C m n ∈++11， 111++<<+m n m n m n ，所以与都不存在。
C max C min 3. A B ,是两个有界集，证明： (1) 是有界集；A B ∪(2) 也是有界集。
S x y x A y B =+∈∈{|,}证 （1）设A x ∈∀，有1M x ≤，B x ∈∀，有2M x ≤，则B A x ∪∈∀，有{}21,max M M x ≤。
（2）设，有A x ∈∀1M x ≤，B x ∈∀，有2M x ≤，则S x ∈∀，有21M M x +≤。
4. 设数集S 有上界，则数集T x x S =−∈{|}有下界，且sup S =T inf −。
证 设数集S 的上确界为，则对任意S sup ∈x T x x S =−∈{|}，有，即；同时对任意S x sup ≤−S x sup −≥0>ε，存在S y ∈，使得ε−>S y sup ，于是，且T y ∈−ε+−<−S y sup 。
数学分析课后习题答案 高教第二版 陈纪修 章
D
D
（2）因为在 D 上成立 x + y ≥ 3 ，所以 ln(x + y) < [ln(x + y)]2 ，于是
∫∫ln(x + y)dxdy < ∫∫[ln(x + y)]2 dxdy 。
D
D
3．用重积分的性质估计下列重积分的值：
(1) ∫∫ xy(x + y)dxdy ，其中 D 为闭矩形[0,1] × [0,1] ；
Ω
Ω
Ω
当 ∫ g(x)dV = 0 ，积分中值定理显然成立。当 ∫ g(x)dV ≠ 0 ，则
Ω
Ω
∫ f (x)g(x)dV
m≤ Ω
≤M，
∫ g(x)dV
Ω
m 所以存在 µ ∈[m, M ]，使得
co ∫ f (x)g(x)dV
. Ω
=µ，
w ∫ g(x)dV
a Ω
d 即
.kh ∫ f (x)g(x)dV = µ ∫ g(x)dV 。
D
(2)
∫∫
D
100
+
dxdy cos2 x +
cos 2
y
，其中 D 为区域 {(x,
y)| | x|+| y|≤
10} ；
1
(3)
∫∫∫ Ω
1
+
dxdxdz x2 + y2 + z2
，其中
Ω
为单位球 {(x, y, z)| x2
+
y2
+
z2
≤ 1} 。
解（1）因为在 D 上成立 0 ≤ xy(x + y) ≤ 2 ，所以
网 ( )( ) ∫∫ ∫ ∫ （2） xy e x2+y2 dxdy = b xe x2 dx d ye y2 dy = 1 eb2 − ea2 ed2 − ec2 。
数学分析课后习题答案--高教第二版(陈纪修)--10章
第十章 函数项级数习 题 10. 1 函数项级数的一致收敛性1. 讨论下列函数序列在指定区间上的一致收敛性。
⑴ S n (x ) = , (i) x nx −e ∈)1,0(， (ii) x ∈； ),1(+∞ ⑵ S n (x ) = x , x nx −e ∈),0(+∞；⑶ S n (x ) = sin nx , (i)x ∈),(+∞−∞， (ii) x ∈],[A A −()； 0>A ⑷ S n (x ) = arctan nx , (i)x ∈)1,0(， (ii) x ∈； ),1(+∞ ⑸ S n (x ) =221nx +, x ∈),(+∞−∞； ⑹ S n (x ) = nx (1 - x )n , x ∈]1,0[；⑺ S n (x ) =n x ln n x, (i) x ∈)1,0(， (ii) x ∈)；),1(+∞ ⑻ S n (x ) = nnx x +1, (i) x ∈)1,0(， (ii) x ∈；),1(+∞ ⑼ S n (x ) = (sin x )n , x ∈],0[π；⑽ S n (x ) = (sin x )n1, (i) x ∈[0,]π， (ii) x ∈],[（0>δ）；δπδ− ⑾ S n (x ) = nn x ⎟⎠⎞⎜⎝⎛+1, (i) x ∈),0(+∞， (ii)x ∈],0(A ()； 0>A ⑿ S n (x ) = ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+x n x n 1, (i) x ∈),0(+∞, (ii)[)0,,>+∞∈δδx 。
解 （1）(i) ，0)(=x S )()(sup ),()1,0(x S x S S S d n x n −=∈1= ─/→ 0（∞→n ）， 所以{}()n S x 在上非一致收敛。
(0,1) (ii) ，0)(=x S )()(sup ),(),1(x S x S S S d n x n −=+∞∈n e −=)(0∞→→n ，所以{}()n S x 在上一致收敛。
陈纪修《数学分析》(第2版)(下册)章节题库-数项级数(圣才出品)
由数学归纳法即可看出式子成立． 12．求下列级数的和：
同理
解：（1）由公式
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，
所以
其部分和
故 （2）设
，两边同乘以
得
解得
故
（3）此级数通项趋于 0，因此只需求 的极限即可．利用公式
（其中 c 为尤拉常数
）有
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（1）先证：
用 sn 表示级数的前 n 项部分和，注意到 an>0，则有
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由于级数
收敛，所以
，因此
，并且容
易看出
（2）再证：
事实上，对任意的正整数 n，存在唯一的正整数 m，使得 m2≤n<（m+1）2．由 单调递减，可得
由
可得
于是有
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由此可见，当 p>0 时，级数收敛；当 p≤0 时，级数发散．
4．设{pn}为正数列，证明：若级数
收敛，则级数
也
收敛． 证明：用收敛原理．引进记号 q0=0，
下面估计部分和数列的上界．令
则
由柯西不等式，有 代入上式可得
14．若级数
与 都收敛，且不等式
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成立，证明级数
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也收敛．又若 与
都发散，试问
一定发散吗？
证明：（1）方法一：
，由
与
都收敛知，存在正整数 N，当 n＞N 及
对任意正整数 p 都有
陈纪修《数学分析》(第2版)(下册)名校考研真题-Fourier级数(圣才出品)
第16章Fourier级数一、判断题存在实数，，使得.（）[华东师范大学2009研]【答案】对【解析】可选取周期为的连续可微函数，且当时，；时，，取，，为的Fourier系数，则有，.结论得证.二、解答题1．将函数展开为余弦级数．[华中科技大学2008研]解：对作偶式周期延拓，则的傅里叶系数为：，，即，（），所以．2．（1）试讨论级数关于0≤x≤1是否一致收敛；（2）设函数f的周期为2π，且，试利用f的Fourier展开计算的和数.[复旦大学研]解：（1），取，则故关于0≤x≤1不一致收敛.（2）Fourier系数由于f（x）在（0，2π）上连续，由收敛定理知对，有在端点x=0和x=2π处，其傅里叶级数收敛于令x=2π，有故3．把函数展开成Fourier（傅立叶）级数．[中山大学研]解：将f（x）延拓成以2π为周期的按段光滑函数.故f（x）的Fourier级数为由收敛定理知它收敛于4．设在上黎曼可积，证明：的傅里叶展开式有相同系数的充要条件是[北京大学2007研]证明：此处只需证明的情况（对于一般的情况只是区间的平移和拉伸）．都为0，，5．在[0，π]上展开f（x）=x＋cosx为余弦级数．[华中科技大学研]解：将f（x）= x＋cosx延拓为[－π，π]上的偶函数.则由收敛定理，对在点x=π处，其傅里叶级数收敛于6．设f（x）为以为周期且在[－π，π]上可积的函数，和为f（x）的傅里叶系数.（1）试求f（x＋h）的傅里叶系数，（其中h为常数）；（2）令，求函数F（x）的傅里叶系数，并利用所得结果证明巴塞瓦（Parseval）等式：[哈尔滨工业大学研]解：（1）设f（x＋h）的傅里叶系数为和即同理（2）设F（x）的傅里叶系数为，易知F（x）是以2π为周期的函数．因为f（x）连续，所以由含参变量积分性质知，F（x）是连续函数，又故F（x）是[－π，π]上的偶函数，从而F（x）的傅里叶系数另外，根据含参变量积分的积分顺序可交换定理，令x＋t =u可得由F（x）的连续性和收敛定理得或取x=0，则得Parseval等式7．将函数展成级数，并求的和．[苏州大学2005研]解：根据题意，f（x）在上是奇函数因此。
陈纪修主编的《数学分析》(第2版)辅导书-第4章 导数和微分【圣才出品】
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第 4 章 导数和微分
4.1 复习笔记
一、微分和导数
1．微分的定义
（1）对函数
定义域中的一点 ,若存在一个只与 有关。而与 无关的数
，使得当△x→0 恒成立关系式
则称 f（x）在 处的微分存在，或称 f（x）在 处可微。 若函数 y=f（x）在某一区间上的每一点都可微，则称 f'（x）在该区间上可微。 （2）若函数 f（x）在 x 处是可微的，那么当△x→0 时必有△y→0,即 f（x）在 x 处连
（3）多重复合函数的链式法则
（4）形如
的函数称为幂指函数，对于幂指函数的求导，常采用
的方法叫对数求导法，计算时，先对两边取对数，令
再分别求
导。
2．一阶微分的形式不变性
复合函数的微分公式为
由于
，代入上式就得到它的等价表示形式
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它与以 u 为自变量的函数 y=f（u）的微分式
一模一样。即不论 u 自变量还是中间变量，函数 y=f（u）的微分形式是相同的，这被称 为“一阶微分的形式不变性”。
3．隐函数求导与求微分 对于隐函数的求导与求微分问题，可以利用复合函数的求导法则或一阶微分的形式不 变性来求得，而无须从隐函数解出显函数。
这个结论可以推广到多个函数线性组合的情况：
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②莱布尼茨公式 设 f（x）和 g（x）都是 n 阶可导函数，则它们的积函数也 n 阶可导，且成立公式
这里 2．高阶微分
是组合系数。
陈纪修《数学分析》(第2版)(下册)课后习题-重积分(圣才出品)
第13章重积分§1 有界区域上的重积分1．设一平面薄板（不计其厚度），它在xy平面上的表示是由光滑的简单闭曲线围成的闭区域D．如果该薄板分布有面密度为的电荷，且在D上连续，试用二重积分表示该薄板上的全部电荷．解：设电荷总量为Q，则2．设函数在矩形上有界，而且除了曲线段外，在D上其他点连续．证明f在D上可积．证明：设，将D用平行于两坐标轴的直线分成n个小区域，记，不妨设，将曲线段包含在内，于是在有界闭区域上连续，因此在上可积，即，当时，而当时，取，当时，就有所以f在D上可积．3．按定义计算二重积分，其中解：将D分成n2个小正方形取，则4．设一元函数f（x）在[a,b]上可积，．定义二元函数，证明F（x,y）在D上可积．证明：将[a，b]、[c，d]分别作划分：和则D分成了nm个小矩形记是f（x）在小区间上的振幅，是F在上的振幅，则于是由f（x）在[a，b]上可积，可知，所以即F（x,y）在D上可积．5．设D是R2上的零边界闭区域，二元函数在D上可积．证明和也在D上可积．证明：首先有设，将D划分成n个小区域，利用不等式，可得于是所以由f，g在D上可积，可知即在D上可积．类似地可得从而在D上也可积．§2 重积分的性质与计算1．证明重积分的性质8．证明：不妨设，M、m分别是f（x）在区域Ω上的上确界、下确界，由、性质1和性质3，可得当，积分中值定理显然成立．当，有所以存在，使得即如果f在有界闭区域Ω上连续，由介值定理，存在，使得所以2．根据二重积分的性质，比较下列积分的大小：（1），其中D为x轴、y轴与直线x＋y＝1所围的区域；（2），其中D为闭矩形[3，5]×[0，1]．解：（1）因为在D上成立0＜x＋y＜1，所以，于是（2）因为在D上成立x＋y≥3，所以，于是3．用重积分的性质估计下列重积分的值：（1），其中D为闭矩形[0，1]×[0，1]；（2），其中D为区域（3），其中Ω为单位球解：（1）因为在D上成立，所以（2）因为在D上成立，所以（3）因为在Ω上成立，所以4．计算下列重积分：（1），其中D为闭矩形[0，1]×[0，1]；（2），其中D为闭矩形[a，b]×[c，d]；（3），其中Ω为长方体[1，2]×[1，2]×[1，2]．解：5．在下列积分中改变累次积分的次序：（改成先y方向，再x方向和z方向的次序积分）；（改成先x方向，再y方向和z方向的次序积分）．解：6．计算下列重积分：（1），其中D为抛物线和直线所围的区域；（2），其中D为圆心在（a，a），半径为a并且与坐标轴相切的圆周上较短的一段弧和坐标轴所围的区域；（3），其中D为区域（4），其中D为直线和0）所围的区域；（5），其中D为摆线的一拱与x轴所围的区域；（6），其中D为直线和x＝1所围的区域；。
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所以在（1，2）处， （2）因为（4，6）－（1，2）＝（3，4），
所以
10．求下列函数的梯度： 解：（1）
在点（1，1，1）．
11．对于函数 f（x，y）＝xy，在第Ⅰ象限（包括边界）的每一点，指出函数值增加最 快的方向．
解：在（x，y）≠（0，0）点，函数值增长最快的方向为 grad f＝（y，x）； 在（0，0）点，由于梯度为零向量，不能直接从梯度得出函数值增长最快的方向．设沿
2．设 解：因为
求 fx（3，4）及 fy（3，4）． ，所以
3．设
验证
证明：由于
，所以
4．曲线
在点（2，4，5）处的切线与 x 轴的正向所夹的角度是多少？
解：以 x 为参数，曲线在点（2，4，5）处的切向量为 1），设它与 x 轴的正向所夹的角度为θ，则
（1，0，
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方向
自变量的改变量为
则函数值的改变量为
由此可知当 l）．
时函数值增长最快，即函数值增长最快的方向为（1，1）和（－1，－
12．验证函数
在原点（0，0）连续且可偏导，但除方向 ei 和－ei（i＝1，2）外，在原点的沿其它方向的 方向导数都不存在．
得到
（2）由
得到
20．设 解：将
，确定 使得 f 满足方程
代入方程，解得
21．求下列向量值函数在指定点的导数：
，在
点；
，在
点；
，在（1，π）点．
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解：（1）
22．设 f：
为向量值函数．
（1）如果坐标分量函数 f1（x，y，z）＝x，f2（x，y，z）＝y，f3（x，y，z）＝z，证
7．求函数 导数．
解：由于
在点 P（1，0）处的沿从点 P（1，0）到点 Q（2，－1）方向的方向 ，且
所以
8．设
，求它在点（1，1）处的沿方向
并指出：
（1）沿哪个方向的方向导数最大？
（2）沿哪个方向的方向导数最小？
（3）沿哪个方向的方向导数为零？
解：由于
所以
（1）当 （2）当 （3）当
时，沿 时，沿 或 时，沿
由于
极限不存在，所以 fx（x，y）在原点（0，0）不连续．同理 fy（x，Y）在原点（0，0）也不 连续．但由于
所以函数在（0，0）可微． 15．证明函数
在原点（0，0）处沿各个方向的方向导数都存在，但它在该点不连续，因而不可微．
证明：函数沿方向
的方向导数为
所以函数在原点（0，0）处沿各个方向的方向导数都存在．但当（x，y）沿曲线 x＝ky2 趋 于（0，0）时，极限
与 k 有关，所以函数在原点不连续，因而不可微． 16．计算下列函数的高阶导数：
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（1）
，求
；
（2）
，求
（3）
，求
（4）
求
（5）
，求
（6）
，求
解：（1）由
得到 （2）由
得到
（3）由
得到
（4）经计算，可依次得到
，方向导数最大． 方向导数最小． 或
的方向导数，
， ，
，方向导数为零．
9．如果可微函数 f（x，y）在点（1，2）处的从点（1，2）到点（2，2）方向的方向
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导数为 2，从点（1，2）到点（1，1）方向的方向导数为－2．求 （1）这个函数在点（1，2）处的梯度； （2）点（1，2）处的从点（1，2）到点（4，6）方向的方向导数． 解：
所以
．
5．求下列函数在指定点的全微分： ，在点（1，2）； ，在点（2，4）；
，在点（0，1）和 解：（1）因为
所以
（2）因为
，所以
（3）因为
所以
6．求下列函数的全微分：
解：
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第 12 章 多元函数的微分学
§1 偏导数与全微分
1．求下列函数的偏导数：
解：
（ai 为常数）；
aij＝aji 且为常数．
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注意
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明 f 的导数是单位阵；
（2）写出坐标分量函数的一般形式，使 f 的导数是单位阵；
（3）如果已知 f 的导数是对角阵 diag（p（x），q（y），r（z）），那么坐标分量函数应
该具有什么样的形式？
解：（1）由于
所以 f
的导数是单位阵．
（2）由
，可知，f1（x，y，z）与 y，z 无关，所以
解：
所以函数在原点（0，0）连续且可偏导．取方向
，则
当
即
时，极限存在且为零；
，即
时，极限不存在．所以除
方向 ei 和－ei（i＝1，2）外，在原点的沿其它方向的方向导数都不存在．
13．验证函数
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在原点（0，0）连续且可偏导，但它在该点不可微． 解：由于
18．函数 z＝f（x，y）满足
及
f（x，y）的表达式．
解：对 x 积分，得到
再将 所以
代入上式，得到
19．验证： 证明：（1）由
满足热传导方程 满足 Laplace 方程
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；求
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（5） （6）对 x，y，z 应用 Leibniz 公式，
17．计算下列函数的高阶微分： ，求 d2z； ，求 d3z； ，求 d3u； 求 dkz．
解：（1）
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所以
由定义，
所以函数在原点（0，0）连续且可偏导．但
所以函数在（0，0）不可微． 14．验证函数
的偏导函数 fx（x，y），fy（x，y）在原点（0，0）不连续，但它在该点可微． 解：由定义，
当（x，y）≠（0，0）时，
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