陈纪修《数学分析》(第2版)(下册)课后习题-多元函数的微分学(圣才出品)

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（5） （6）对 x，y，z 应用 Leibniz 公式，
17．计算下列函数的高阶微分： ，求 d2z； ，求 d3z； ，求 d3u； 求 dkz．
解：（1）
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18．函数 z＝f（x，y）满足
及
f（x，y）的表达式．
解：对 x 积分，得到
再将 所以
代入上式，得到
19．验证： 证明：（1）由
满足热传导方程 满足 Laplace 方程
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；求
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7．求函数 导数．
解：由于
在点 P（1，0）处的沿从点 P（1，0）到点 Q（2，－1）方向的方向 ，且
所以
8．设
，求它在点（1，1）处的沿方向
并指出：
（1）沿哪个方向的方向导数最大？
（2）沿哪个方向的方向导数最小？
（3）沿哪个方向的方向导数为零？
解：由于
所以
（1）当 （2）当 （3）当
时，沿 时，沿 或 时，沿
与 k 有关，所以函数在原点不连续，因而不可微． 16．计算下列函数的高阶导数：
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（1）
，求
；
（2）
，求
（3）
，求
（4）
求
（5）
，求
（6）
，求
解：（1）由
得到 （2）由
得到
（3）由
得到
（4）经计算，可依次得到
所以
由定义，
所以函数在原点（0，0）连续且可偏导．但
所以函数在（0，0）不可微． 14．验证函数
的偏导函数 fx（x，y），fy（x，y）在原点（0，0）不连续，但它在该点可微． 解：由定义，
当（x，y）≠（0，0）时，
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第 12 章 多元函数的微分学
§1 偏导数与全微分
1．求下列函数的偏导数：
解：
（ai 为常数）；
aij＝aji 且为常数．
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注意
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2．设 解：因为
求 fx（3，4）及 fy（3，4）． ，所以
3．设
验证
证明：由于
，所以
4．曲线
在点（2，4，5）处的切线与 x 轴的正向所夹的角度是多少？
解：以 x 为参数，曲线在点（2，4，5）处的切向量为 1），设它与 x 轴的正向所夹的角度为θ，则
（1，0，
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所以
．
5．求下列函数在指定点的全微分： ，在点（1，2）； ，在点（2，4）；
，在点（0，1）和 解：（1）因为
所以
（2）因为
，所以
（3）因为
所以
6．求下列函数的全微分：
解：
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方向
自变量的改变量为
则函数值的改变量为
由此可知当 l）．
时函数值增长最快，即函数值增长最快的方向为（1，1）和（－1，－
12．验证函数
在原点（0，0）连续且可偏导，但除方向 ei 和－ei（i＝1，2）外，在原点的沿其它方向的 方向导数都不存在．
，方向导数最大． 方向导数最小． 或
的方向导数，
， ，
，方向导数为零．
9．如果可微函数 f（x，y）在点（1，2）处的从点（1，2）到点（2，2）方向的方向
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导数为 2，从点（1，2）到点（1，1）方向的方向导数为－2．求 （1）这个函数在点（1，2）处的梯度； （2）点（1，2）处的从点（1，2）到点（4，6）方向的方向导数． 解：
明 f 的导数是单位阵；
（2）写出坐标分量函数的一般形式，使 f 的导数是单位阵；
（3）如果已知 f 的导数是对角阵 diag（p（x），q（y），r（z）），那么坐标分量函数应
该具有什么样的形式？
解：（1）由于
所以 f
的导数是单wenku.baidu.com阵．
（2）由
，可知，f1（x，y，z）与 y，z 无关，所以
得到
（2）由
得到
20．设 解：将
，确定 使得 f 满足方程
代入方程，解得
21．求下列向量值函数在指定点的导数：
，在
点；
，在
点；
，在（1，π）点．
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解：（1）
22．设 f：
为向量值函数．
（1）如果坐标分量函数 f1（x，y，z）＝x，f2（x，y，z）＝y，f3（x，y，z）＝z，证
由于
极限不存在，所以 fx（x，y）在原点（0，0）不连续．同理 fy（x，Y）在原点（0，0）也不 连续．但由于
所以函数在（0，0）可微． 15．证明函数
在原点（0，0）处沿各个方向的方向导数都存在，但它在该点不连续，因而不可微．
证明：函数沿方向
的方向导数为
所以函数在原点（0，0）处沿各个方向的方向导数都存在．但当（x，y）沿曲线 x＝ky2 趋 于（0，0）时，极限
解：
所以函数在原点（0，0）连续且可偏导．取方向
，则
当
即
时，极限存在且为零；
，即
时，极限不存在．所以除
方向 ei 和－ei（i＝1，2）外，在原点的沿其它方向的方向导数都不存在．
13．验证函数
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在原点（0，0）连续且可偏导，但它在该点不可微． 解：由于
所以在（1，2）处， （2）因为（4，6）－（1，2）＝（3，4），
所以
10．求下列函数的梯度： 解：（1）
在点（1，1，1）．
11．对于函数 f（x，y）＝xy，在第Ⅰ象限（包括边界）的每一点，指出函数值增加最 快的方向．
解：在（x，y）≠（0，0）点，函数值增长最快的方向为 grad f＝（y，x）； 在（0，0）点，由于梯度为零向量，不能直接从梯度得出函数值增长最快的方向．设沿