积化和差与和差化积公式
和差化积与积化和差公式、万能公式(数学技巧点拨系列)讲义(教师版)
和差化积与积化和差公式、万能公式【知识点讲解】1、积化和差公式cos α·cos β＝12[]cosα＋β＋cosα－β；sin α·sin β＝－12[]cosα＋β－cosα－β；sin α·cos β＝12[]sinα＋β＋sinα－β；cos α·sin β＝12[]sinα＋β－sinα－β．2、和差化积公式sin α＋sin β＝2sin α＋β2cosα－β2；sin α－sin β＝2cos α＋β2sinα－β2；cos α＋cos β＝2cos α＋β2cosα－β2；cos α－cos β＝－2sin α＋β2sinα－β2．3、万能公式sin α＝2tanα21＋tan2α2；cos α＝1－tan2α21＋tan2α2；tan α＝2tanα21－tan2α2．4、解题导语使用这类公式时首先要确保公式记忆正确，其实在记忆时记住关键结构再比较各种公式的不同即可有效记忆。
同时，在实际应用中要考虑两角和、两角差是否为一个特殊值再进行使用，不要盲目使用！【例题讲解】【例1】已知cos cos cos 1cos cos αβθαβ-=-.求证：222tan tan cot 222θαβ=.【分析】由21cos 1s a o t c n 2θθθ-+=，结合万能公式化简可得结果.【详解】2cos cos 11cos 1cos cos cos cos 1cos 11cos c n os ta 2αβθαβαβθβθα----+-==-+()()()()221cos 1cos tan cot 1cos 1cos 22αβαβαβ-+==+-. 【跟踪训练1】已知6tan 2αβ+=13tan tan 7αβ=，求()cos αβ-的值．【答案】23【分析】先用万能公式求出()cos αβ+的值，再根据13tan tan 7αβ=得出7sin sin 13cos cos 0αβαβ-=，最后联立可求得答案.【详解】()2222611tan12cos 561tan 12αβαβαβ+--⎝⎭+===-+++⎝⎭，则有1cos cos sin sin 5αβαβ-=-①， 又已知sin sin 13cos cos 7αβαβ⋅=，从而有7sin sin 13cos cos 0αβαβ-=②．联立①②可得cos cos 730αβ=，13sin sin 30αβ=． ∴()2cos cos cos sin sin 3αβαβαβ-=+=．【例2】计算：(1)cos 20°＋cos 60°＋cos 100°＋cos 140°； (2)sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°. 【答案】(1)12 (2)14【分析】（1）利用和差化积公式计算；（2）利用积化和差公式计算. 【解析】(1)原式＝cos 20°＋12＋(cos 100°＋cos 140°) ＝cos 20°＋12＋2cos 120°cos 20°＝cos 20°＋12－cos 20°＝12. (2)sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°＝12(sin 90°－sin 50°)－12(cos 60°－cos 40°)＝14－12sin 50°＋12cos 40°＝14－12sin 50°＋12sin 50°＝14.【跟踪训练2】利用和差化积公式，求下列各式的值： (1)sin15sin105︒+︒； (2)sin20sin40sin80︒+︒-︒； (3)cos40cos60cos80cos160︒+︒+︒+︒． 【答案】62(2)0； (3)12. 【分析】(1)利用和差化积公式化简，再利用特殊角的三角函数值计算得解. (2)利用和差化积公式化简，再利用特殊角的三角函数值结合诱导公式求解作答. (3)利用和差化积公式化简，再利用特殊角的三角函数值结合诱导公式求解作答. 【解析】(1)1510515105326sin15sin1052sincos 2sin 60cos(45)22222+-︒+︒==-=⨯=(2)sin20sin40sin802sin30cos10cos10cos10cos100︒+︒-︒=-=-=. (3)1cos40cos60cos80cos160(cos40cos80)cos202︒+︒+︒+︒=︒+︒+-︒1112cos60cos20cos20cos20cos20222=︒︒+-︒=︒+-︒=.【对点训练】一、单选题1．已知[0,],,44ππαπβ⎡⎤∈∈-⎢⎥⎣⎦，且33cos 0,22sin cos 02πααλβββλ⎛⎫--=---= ⎪⎝⎭，若4cos 5α=，则tan β=（ ）A ．12 B ．13C 3D ．3【答案】A【详解】[0α∈，]π，[,]44ππβ∈-，且3cos 0ααλ--=，设3()cos f x x x λ=--，则2()3sin 0f x xα'=+，故函数()f x 在[0，]π上单调递增，且α是()f x 的一个零点．3(2)2sin cos02πβββλ---=，即3(2)cos(2)022ππββλ----=．根据2[02πβ-∈，]π，故22πβ-也是()f x的一个零点，22παβ∴=-，cos cos(22παβ∴=-2222sin cos2tan4)sin2sin cos tan15βββββββ====++，1tan2β∴=，或tan2β=（舍去），2．若tan3α=，则sin2α=（）A．35B．35C．34-D．34【答案】A【详解】222222222sin cos2sin cos2tan233cossin22sin cossin cossin cos tan1315cosααααααααααααααα⨯======++++.3．已知角θ的大小如图所示，则1sin2cos2θθ+=（）A．5-B．5C．15-D．15【答案】A【详解】由图可知，tan54πθ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，()()()22222cos sin1sin2sin cos2sin cos cos sincos2cos sin cos sin cos sin cos sinθθθθθθθθθθθθθθθθθθ+++++ ===--+-tan tan1tan4tan51tan41tan tan4πθθπθπθθ++⎛⎫===+=-⎪-⎝⎭-；4．cos15° sin 105°=（）A312B312C 3D 31 【答案】A 【详解】1113131cos15sin105sin 15105sin 15105sin120sin 90122222[()()][()]︒︒=︒+︒-︒-︒=︒--︒=⨯= 5．若1cos cos sin sin 2x y x y +=， 2sin 2sin 23x y +=，则()sin +=x y （ ） A ．23 B ．23- C ．13D ．13-【答案】A【详解】因为1cos cos sin sin 2x y x y +=， 所以()1cos 2-=x y ，因为2sin 2sin 23x y +=， 所以()()22sin cos 3+-=x y x y ，所以()122sin 23+⨯=x y ，所以()2sin 3+=x y ， 6．已知锐角,αβ满足22,tan tan 2332πααββ+==()sin βα-=（ ） A ．12 B 3C 62- D 62+【答案】C【详解】由223παβ+=得23απβ+=，所以tantan 2tan 321tan tan 2αβαβαβ+⎛⎫+== ⎪⎝⎭- 又tantan 232αβ=tantan 332αβ+=由tan tan 332tan tan 232αβαβ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得tan 232tan 1αβ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，或tan 12tan 23αβ⎧=⎪⎨⎪=⎩α不是锐角），tan 1β=，β是锐角，4πβ⇒=，2sin cos 2ββ==222tan2(23)12sin 21(23)1tan2ααα-===+-+，则3cos α=所以232162sin()sin cos cossin 2βαβαα--=-== 7．若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2sin 2cos αα=，则cos2α的值为（ ）A ．35B ．12-C ．0D ．35【答案】D 【详解】因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2sin 2cos αα=，所以cos 0α≠且22sin cos cos ααα=， 解得1tan 2α=，所以2222111tan 34cos 2cos sin 11tan 514ααααα--=-===++. 二、多选题8．下列关系式中，正确的是（ ）A ．sin5sin32sin4cos θθθθ+=B ．cos3cos52sin4sin θθθθ-=-C ．1sin3sin5cos4cos 2θθθθ-=- D ．()()1sin ?sin cos cos 2θαθαθα⎡⎤=--+⎣⎦【答案】AD【详解】由()sin5sin 4sin4cos cos4sin θθθθθθθ=+=+，()sin3sin 4sin4cos cos4sin θθθθθθθ=-=-， ()cos5cos 4cos4cos sin4sin θθθθθθθ=+=-， ()cos3cos 4cos4cos sin4sin θθθθθθθ=-=+，代入前三项，得sin5sin32sin4cos θθθθ+=，A 正确， B 错误，右边应是2sin4sin ;θθ C 错误，右边应是2cos4sin ;θθ-选项D ，等号右边()()1cos cos 2θαθα⎡⎤=-+--⎣⎦()()1cos cos sin sin cos cos sin sin 2θαθαθαθα⎡⎤=---+⎣⎦ ()12sin sin sin sin 2θαθα=--=，故选项D 正确， 三、填空题9．已知α为锐角且tan 23tan 4απα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则sin 22πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是________． 【答案】35或-0.6 【详解】由()tan 1tan tan tan 2tan 1tan 13tan 1tan 4αααααπααα-===-++⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，得23tan 5tan 20αα--=， 解得tan 2α=，或1tan 3α=-. 因为α为锐角，故tan 2α=.222222cos 2cos sin 1tan 143sin 2cos 221cos sin 1tan 145πααααααααα---⎛⎫+======- ⎪+++⎝⎭10．π3π5πcos cos cos 777++=____．【答案】12或 0.5 【详解】 原式1πππ3ππ5π(2sin cos 2sin cos 2sin cos )π7777772sin 7=++ 12π4π2π6π4π[sin(sin sin )(sin sin )]π777772sin7=+-+- 6πsin7π2sin7=ππsin(π)sin 177ππ22sin 2sin 77-===. 11．若sin 11cos 2αα=+，则sin cos αα+的值为________.【答案】75【详解】解：∴sin 1tan 1cos 22ααα==+， ∴222112tan1tan 2172224sin cos 151tan 1tan 1224αααααα-⨯+-+=+==+++. 12．已知tan 34πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos2θ=______.【答案】35-. 【详解】令4παθ=-，则4πθα=+，且tan 3α=，所以()2222232sin cos 2tan 3cos 2cos 2sin 22sin cos tan 1315παααθααααα-⨯--⎛⎫=+=-====- ⎪+++⎝⎭.13．已知()tan π2θ+=，则πsin 24θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭________．【答案】210【详解】因为()tan π2θ+=，由诱导公式得：()tan πtan 2θθ+== 所以2222sin cos 2tan 4sin 2sin cos tan 15θθθθθθθ===++．222222cos sin cos 21tan 1431tan 14os sin 5c θθθθθθθ-==-+++-==-，ππ42322sin 2sin 2cos cos 2sin 444551π220θθθ⎛⎫⎛⎫+=+=⨯+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．14．已知613tan()tan tan ,27αβαβ+=则cos()αβ-的值为______. 【答案】23【详解】1sin sin 132tan tan 1cos cos 7(cos()cos()]2αβαβαβαβαβ===-++， 所以10cos()cos()3αβαβ-=-+， 222261tan 1(122cos()561tan 1()2αβαβαβ+--+===-+++，所以1012cos()()353αβ-=-⨯-=． 15．利用和差化积和积化和差公式完成下面的问题：已知1210sin sin 21ωω+=，126cos cos 21ωω+=，则2121cos cos sin sin ωωωω-=-___________.【答案】53- 【详解】1212121212121210sin sin sin sin 2sincos 22222221ωωωωωωωωωωωωωω+-+-+-⎛⎫⎛⎫+=++-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得12125sin cos 2221ωωωω+-=；121212*********cos cos cos cos 2cos cos 22222221ωωωωωωωωωωωωωω+-+-+-⎛⎫⎛⎫+=++-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得12123cos cos 2221ωωωω+-=；则1212121212sin cos 522tan 23cos cos 22ωωωωωωωωωω+-+==+-；12121212211212121221cos cos cos cos 2222sin sin sin sin 2222ωωωωωωωωωωωωωωωωωωωω+-+-⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭=+-+--⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12121212122sinsin522tan 232cos sin 22ωωωωωωωωωω+-+==-=-+--.16．2sin 20cos80cos40+= _____． 【答案】14或0.25 【详解】()222111sin 20cos80cos40sin 20cos120cos40sin 20cos40224+=++=+- ()2211sin 202cos 20124=+-- 11124=-- 14=．四、双空题17．已知角θ的终边在直线20x y -=上，则tan θ=___________；3cos 22πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭___________. 【答案】 12或0.545或0.8 【详解】由直线20x y -=的斜率为12，则1tan 2θ=，又232tan 4cos 2sin221tan 5πθθθθ⎛⎫+===⎪+⎝⎭. 18．已知sin α＋sin β＝12，cos α＋cos β＝13，则tan(α＋β)＝________，cos(α－β)＝________.【答案】 125-或 2.4- 5972-【详解】sin sin sin sin 2222αβαβαββααβ+-+-⎛⎫⎛⎫+=+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin cos cos sin sin coscossin22222222αβαβαβαβαββααββα+-+-+-+-=+++1sincossin cos22222αβαβαββα+-+-=+=， 即12sincos222αβαβ+-=①，cos cos cos cos 2222αβαβαββααβ+-+-⎛⎫⎛⎫+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ cos cos sin sin cos cos sin sin22222222αβαβαβαβαββααββα+-+-+-+-=-+-1coscoscos cos22223αβαβαββα+-+-=+=， 即12coscos223αβαβ+-=②， ①②两式相除得3tan22αβ+=， 则232tan21222tan()951tan 124αβαβαβ+⨯+===-+--； ()2221sin sin sin sin 2sin sin 4αβαβαβ+=++=， ()2221cos cos cos cos 2cos cos 9αβαβαβ+=++=， 两式相加可得()1322cos 36αβ+-=， ()59cos cos cos sin sin 72αβαβαβ-=+=-. 五、解答题19．把下列各式化成积的形式：(1)sin 24sin36+︒︒；(2)()()sin 15sin 15αα︒+-︒-； (3)cos cos3x x +；(4)cos cos22αβαβ+--．【答案】(1)cos6︒62α+(3)2cos2cos x x (4)2sin sin 22αβ-【解析】(1)解：()s s 2in 24364362sinco 2sin 30cos 6cos6224sin 236︒+︒︒-︒︒︒==︒-︒=+︒ (2)解：()()()()()()15151515sin 15sin 152cossin 22αααααα︒++︒-︒+-︒-︒+-︒-=()622cos15sin 2cos 4530sin ααα+=︒=︒-︒=；(3)解：()32cos cos32cos cos 2cos 2cos 2cos 2cos 22x x x x x x x x x x +-+==-=； (4)解：2222cos cos 2sin sin 2222αβαβαβαβαβαβ+-+-+-+--=-2sin sin 22αβ=-.20．利用积化和差公式，求下列各式的值：(1)cos15cos75︒︒；(2)sin20sin40sin80︒︒︒．【答案】(1)143【解析】(1)解：由积化和差公式得：cos15cos75︒︒ ，()()1cos 1575+cos 15752=︒+︒︒-︒⎡⎤⎣⎦ 1cos90+cos602⎡⎤=⎣⎦14=； (2)由积化和差公式得：sin20sin40sin80︒︒︒，()()1cos 2040cos 2040sin802⎡⎤=-︒+--︒︒⎣⎦， 11sin80sin80cos 2042=-︒+， ()111sin80sin100sin 60422=-︒+⨯+， 113sin 80sin 8044=-︒+︒3= 21．计算:sin 20°cos 70°+sin 10°sin 50°. 【答案】14【详解】sin 20cos70sin10sin50⋅+⋅()()()()11sin 2070sin 2070cos 1050cos 105022⎡⎤⎡⎤=++-+--+⎣⎦⎣⎦ ()()11sin 90sin 50cos 40cos6022=-+- 111sin 50cos 40422=-+ 1111sin 50sin 504224=-+=．证明下列各恒等式：22．ππ2sin sin cos 244ααα⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 23．1sin 20cos70sin10sin 504+=；24．1sin15sin 30sin 758=．【解析】(1)ππππ2sin sin 2sin sin 44244παααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ πππ2cos sin sin 2cos 2442αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故ππ2sin sin cos 244ααα⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立. (2)sin 20cos70sin10sin50+()()()()11sin 2070sin 2070cos 1050cos 105022⎡⎤⎡⎤=++-+--+⎣⎦⎣⎦ ()()11sin 90sin 50cos 40cos6022⎡⎤⎡⎤=+-+--⎣⎦⎣⎦ ()()11sin 90sin 50cos 40cos6022=-+- 11111sin 50cos 4022222=-+-⨯ 1111sin 50sin 504224=-+=， 故1sin 20cos70sin10sin 504+=成立.(3)1sin15sin 30sin 75sin15sin 752=()11sin15sin 9015sin15cos1522=-= 111sin 30228=⨯=， 故1sin15sin 30sin 758=.25．把下列各式化为积的形式： (1)sin18cos 27+；(2)sin50cos50-；(3)ππcos cos 33αα⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； (4)sin cos x x +．【答案】(1)2sin 40.5cos 22.5(2)2cos 45sin5(3)π2cos cos 3α (4)2sin cos()44x ππ- 【解析】 (1)18636318sin18cos 27sin18sin 632sin cos 2sin 40.5cos 22.522+-+=+== (2)500500s 442cos sin 2cos 4c 5sin in 50os50sin 50s 52in 024+-===-- (3)ππππ()πππ3333cos cos 2cos cos 2cos cos 33223ααααααα++-+--⎛⎫⎛⎫++-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(4)()()22sin cos sin sin()2sin cos 2sin cos()22244x x x x x x x x x πππππ+---+=+-==-。
和差化积积化和差公式推导过程
和差化积积化和差公式推导过程和差化积、积化和差公式都是在初中数学中经常用到的重要公式。
它们都用来方便地将一个式子转化为另一个式子，从而简化计算过程。
接下来，我们来详细介绍它们的推导过程。
1. 和差化积公式和差化积公式可以将两个数的和或差表示成两个数的积的形式。
具体来说，我们有以下两个公式：a +b = (a + b) * 1 = (a + b) * (1/2 + 1/2)a -b = (a - b) * 1 = (a - b) * (1/2 - 1/2)其中，1/2 + 1/2 = 1，1/2 - 1/2 = 0。
我们可以将(1/2 + 1/2)和(1/2 - 1/2)代入公式中，得到： a + b = (a + b) * (1/2 + 1/2) = a * (1/2 + 1/2) + b * (1/2 + 1/2) = a/2 + b/2 + a/2 + b/2 = aba -b = (a - b) * (1/2 - 1/2) = a * (1/2 - 1/2) - b * (1/2 - 1/2) = a/2 - b/2 - a/2 + b/2 = ab所以，和差化积公式就推导出来了。
2. 积化和差公式积化和差公式是将两个数的积表示成两个数的和或差的形式。
具体来说，我们有以下两个公式：ab = (a + b)^2 - (a - b)^2ab = (a + b) * (a - b)第一个公式可以通过平方公式(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2和(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2推导得出。
具体来说，我们有： (a + b)^2 - (a - b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 - (a^2 - 2ab + b^2) = 4ab所以，ab = (a + b)^2 - (a - b)^2 / 4。
第二个公式则是将两个数的积分别拆成它们的和与差相乘得到的。
和差化积与积化和差公式、万能公式(数学技巧点拨系列)讲义 (原卷版)
和差化积与积化和差公式、万能公式【知识点讲解】1、积化和差公式cos α·cos β＝12[]cosα＋β＋cosα－β；sin α·sin β＝－12[]cosα＋β－cosα－β；sin α·cos β＝12[]sinα＋β＋sinα－β；cos α·sin β＝12[]sinα＋β－sinα－β．2、和差化积公式sin α＋sin β＝2sin α＋β2cosα－β2；sin α－sin β＝2cos α＋β2sinα－β2；cos α＋cos β＝2cos α＋β2cosα－β2；cos α－cos β＝－2sin α＋β2sinα－β2．3、万能公式sin α＝2tanα21＋tan2α2；cos α＝1－tan2α21＋tan2α2；tan α＝2tanα21－tan2α2．4、解题导语使用这类公式时首先要确保公式记忆正确，其实在记忆时记住关键结构再比较各种公式的不同即可有效记忆。
同时，在实际应用中要考虑两角和、两角差是否为一个特殊值再进行使用，不要盲目使用！【例题讲解】【例1】已知cos cos cos 1cos cos αβθαβ-=-.求证：222tan tan cot 222θαβ=.【跟踪训练1】已知6tan 2αβ+=13tan tan 7αβ=，求()cos αβ-的值．【例2】计算：(1)cos 20°＋cos 60°＋cos 100°＋cos 140°； (2)sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°.【跟踪训练2】利用和差化积公式，求下列各式的值： (1)sin15sin105︒+︒；(2)sin20sin40sin80︒+︒-︒； (3)cos40cos60cos80cos160︒+︒+︒+︒．【对点训练】一、单选题1．已知[0,],,44ππαπβ⎡⎤∈∈-⎢⎥⎣⎦，且33cos 0,22sin cos 02πααλβββλ⎛⎫--=---= ⎪⎝⎭，若4cos 5α=，则tan β=（ ）A ．12B ．13C 3D ．32．若tan 3α=，则sin 2α=（ ） A ．35B ．35C ．34-D ．343．已知角θ的大小如图所示，则1sin 2cos 2θθ+=（ ）A ．5-B ．5C ．15-D ．154．cos15° sin 105°=（ ）A 312B 312 C3 D 31 5．若1cos cos sin sin 2x y x y +=， 2sin 2sin 23x y +=，则()sin +=x y （ ）A ．23 B ．23- C ．13D ．13-6．已知锐角,αβ满足22,tan tan 2332πααββ+==()sin βα-=（ ） A ．12B 3C 62- D 62+7．若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2sin 2cos αα=，则cos2α的值为（ ）A ．35B ．12-C ．0D ．35二、多选题8．下列关系式中，正确的是（ ）A ．sin5sin32sin4cos θθθθ+=B ．cos3cos52sin4sin θθθθ-=-C ．1sin3sin5cos4cos 2θθθθ-=- D ．()()1sin ?sin cos cos 2θαθαθα⎡⎤=--+⎣⎦三、填空题9．已知α为锐角且tan 23tan 4απα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则sin 22πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是________． 11．若sin 11cos 2αα=+，则sin cos αα+的值为________.12．已知tan 34πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos2θ=______.13．已知()tan π2θ+=，则πsin 24θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭________．14．已知613tan()tan tan ,27αβαβ+=则cos()αβ-的值为______. 15．利用和差化积和积化和差公式完成下面的问题：已知1210sin sin 21ωω+=，126cos cos 21ωω+=，则2121cos cos sin sin ωωωω-=-___________.16．2sin 20cos80cos40+= _____．四、双空题17．已知角θ的终边在直线20x y -=上，则tan θ=___________；3cos 22πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭___________. 18．已知sin α＋sin β＝12，cos α＋cos β＝13，则tan(α＋β)＝________，cos(α－β)＝________.五、解答题19．把下列各式化成积的形式：(1)sin 24sin36+︒︒；(2)()()sin 15sin 15αα︒+-︒-； (3)cos cos3x x +；(4)cos cos22αβαβ+--．20．利用积化和差公式，求下列各式的值：(1)cos15cos75︒︒；(2)sin20sin40sin80︒︒︒．21．计算:sin 20°cos 70°+sin 10°sin 50°.证明下列各恒等式：22．ππ2sin sin cos244ααα⎛⎫⎛⎫+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；23．1 sin20cos70sin10sin504+=；24．1sin15sin30sin758=．25．把下列各式化为积的形式：(1)sin18cos27+；(2)sin50cos50-；(3)ππcos cos33αα⎛⎫⎛⎫++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(4)sin cosx x+．。
三角恒等变换的和差化积与积化和差
三角恒等变换的和差化积与积化和差三角恒等变换是数学中的重要概念之一，它能够帮助我们简化复杂的三角函数表达式，并且在解题过程中发挥着重要的作用。
其中，和差化积与积化和差是三角恒等变换的两种常见形式。
本文将详细介绍和差化积与积化和差的定义、推导过程以及应用举例，以加深对该概念的理解。
一、和差化积和差化积是指将两个三角函数的和（或差）表示为一个三角函数的积的形式。
具体而言，对于任意实数x和y，和差化积的公式如下：1） sin(x±y) = sinxcosy ± cosxsiny2） cos(x±y) = cosxcosy ∓ sinxsiny3） tan(x±y) = (tanx ± tany) / (1 ∓ tanxtany)其中，“±”代表正负号的两种可能，“∓”则表示正负号的相反情况。
通过和差化积，我们可以将一个复杂的三角函数表达式转化为一个较为简单的形式，从而更方便地进行计算和推导。
例如，当我们需要计算sin75°时，可以利用和差化积将其转化为sin(45°+30°)，然后根据公式sin(x±y) = sinxcosy ± cosxsiny得到：sin75° = sin(45°+30°) = sin45°cos30° + cos45°sin30°我们知道sin45° = cos45° = √2/2，sin30° = 1/2，cos30° = √3/2，代入上式得到：sin75° = (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2) = (√6+√2)/4这样，我们成功地将sin75°的计算转化为了更简单的形式，并得到了精确的结果。
二、积化和差积化和差是和差化积的逆运算，它将一个三角函数的积表示为一个三角函数的和（或差）。
三角函数的和差化积与积化和差的公式
三角函数的和差化积与积化和差的公式在三角学中，三角函数的和差化积与积化和差是非常重要的公式。
这些公式能够帮助我们简化三角函数的计算，使得求解复杂的三角函数问题变得更加容易。
在本文中，我们将详细介绍三角函数的和差化积与积化和差的公式，并给出相关的推导过程和例子。
一、三角函数的和差化积公式1. 余弦函数的和差化积公式：cos(A ± B) = cosA·cosB ∓ sinA·sinB这个公式可以表示为：两个角的余弦的和或差等于各个角的余弦的乘积减去或加上各个角的正弦的乘积。
2. 正弦函数的和差化积公式：sin(A ± B) = sinA·cosB ± cosA·sinB这个公式可以表示为：两个角的正弦的和或差等于各个角的正弦的乘积加上或减去各个角的余弦的乘积。
3. 正切函数的和差化积公式：tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanA·tanB)这个公式可以表示为：两个角的正切的和或差等于各个角的正切相加或相减，再除以1减去或加上各个角的正切的乘积。
二、三角函数的积化和差公式1. 余弦函数的积化和差公式：cosA·cosB = (1/2)·[cos(A + B) + cos (A - B)]这个公式可以表示为：两个角的余弦的乘积等于这两个角的和与差的余弦的和的一半。
2. 正弦函数的积化和差公式：sinA·sinB = (1/2)·[cos(A - B) - cos(A + B)]这个公式可以表示为：两个角的正弦的乘积等于这两个角的差与和的余弦的差的一半。
3. 正切函数的积化和差公式：tanA·tanB = (tanA + tanB) / (1 - tanA·tanB)这个公式可以表示为：两个角的正切的乘积等于这两个角的正切相加，再除以1减去这两个角的正切的乘积。
三角函数的积化和差与和化积与差化积与和差化积公式
三角函数的积化和差与和化积与差化积与和差化积公式三角函数的积化和差与和化积与差化积公式三角函数是数学中常见的函数类型，它们在许多数学和物理问题的解决中起着重要的作用。
在三角函数中，有一些常用的公式，可以将其积化和差，或将其和化积与差。
本文将介绍三角函数的积化和差公式以及和化积与差公式，并给出其应用的实例。
一、三角函数的积化和差公式1. 正弦函数的积化和差公式：对于任意两个角（不妨设为A和B），正弦函数的积化和差公式表达式如下：sin(A)sin(B) = (1/2)[cos(A-B) - cos(A+B)]这个公式表示，两个正弦函数的乘积可以表示成两个余弦函数的差的一半。
2. 余弦函数的积化和差公式：对于任意两个角（不妨设为A和B），余弦函数的积化和差公式表达式如下：cos(A)cos(B) = (1/2)[cos(A-B) + cos(A+B)]这个公式表示，两个余弦函数的乘积可以表示成两个余弦函数的和的一半。
3. 正切函数的积化和差公式：对于任意两个角（不妨设为A和B），正切函数的积化和差公式表达式如下：tan(A)tan(B) = (sin(A-B))/(cos(A)cos(B))这个公式表示，两个正切函数的乘积可以表示成两个差的正弦函数的比值。
二、三角函数的和化积与差公式1. 正弦函数的和化积与差公式：对于任意两个角（不妨设为A和B），正弦函数的和化积与差公式表达式如下：sin(A) + sin(B) = 2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2)sin(A) - sin(B) = 2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)这个公式表示，两个正弦函数的和（差）可以表示成两个正弦函数和（差）的一半的乘积。
2. 余弦函数的和化积与差公式：对于任意两个角（不妨设为A和B），余弦函数的和化积与差公式表达式如下：cos(A) + cos(B) = 2cos((A+B)/2)cos((A-B)/2)cos(A) - cos(B) = -2sin((A+B)/2)sin((A-B)/2)这个公式表示，两个余弦函数的和（差）可以表示成两个余弦函数和（差）的一半的乘积。
和差化积公式和积化和差公式
和差化积公式和积化和差公式差化积公式和积化差公式是一对互为逆运算的公式，在代数中经常用于将复杂的表达式简化或者将一个式子转化为另一个式子。
下面我将详细介绍这两个公式的推导和应用。
一、差化积公式（Difference of Squares Formula）：差化积公式用于将一个两个平方数的差转化为乘积的形式。
假设有两个平方数a²和b²，那么它们之间的差可以通过差化积公式转化为乘积形式，即：a²-b²=(a+b)(a-b)证明：我们可以通过分解开括号来证明差化积公式。
在等式右边，我们可以使用分配律将(a+b)和(a-b)相乘:(a+b)(a-b)=a(a-b)+b(a-b)= a² - ab + ab - b²=a²-b²差化积公式的一个重要应用是因式分解。
通过将一个平方差式分解为两个因子的乘积形式，我们可以更容易地找到多项式的因子。
例如，我们可以将x²-4分解为(x+2)(x-2)。
二、积化和差公式（Sum and Difference of Products Formula）：积化和差公式用于将两个乘积的和（或差）转化为和的（或差）形式。
假设有两个乘积AB和CD，那么它们的和可以通过积化和差公式转化为和的形式，即：AB+CD=(A+C)(B+D)AB-CD=(A+C)(B-D)证明：通过使用分配律，我们可以展开等式右边来证明积化和差公式：(A+C)(B+D)=AB+AD+CB+CD=AB+CD+AD+CB=AB+CD+AC+BD（由于加法的交换律，可以将AD和CB互换位置）=AB+CD(A+C)(B-D)=AB-AD+CB-CD=AB-CD+CB-AD=AB-CD+AC-BD（同样利用交换律将CB和AD互换位置）=AB-CD积化和差公式也常用于因式分解。
它们使我们能够将部分提取出来，以更容易地找到多项式的因子。
和差化积积化和差万能公式
和差化积积化和差万能公式和差化积、积化和差以及和差万能公式是高中数学中较为重要的内容，它们在解题中具有重要的作用。
下面详细介绍这些内容。
一、和差化积和差化积是一种将两个角的和（或差）转化为一个角的积的方法。
这种方法适用于解决一些三角函数表达式的展开、简化和求值问题。
1.正弦的和差化积公式：sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinBsin(A-B) = sinAcosB - cosAsinB从公式中可以看出，只需要知道sinA、sinB、cosA和cosB的值，就可以通过和差化积公式求得sin(A+B)和sin(A-B)的值。
2.余弦的和差化积公式：cos(A+B) = cosAcosB - sinAsinBcos(A-B) = cosAcosB + sinAsinB类似地，只需要知道sinA、sinB、cosA和cosB的值，就可以通过和差化积公式求得cos(A+B)和cos(A-B)的值。
3.正切的和差化积公式：tan(A+B) = (tanA + tanB) / (1 - tanAtanB)tan(A-B) = (tanA - tanB) / (1 + tanAtanB)通过和差化积公式，我们可以将两个角的和（或差）转化为一个角的正切值。
4.余切的和差化积公式：cot(A+B) = (cotAcotB - 1) / (cotA + cotB)cot(A-B) = (cotAcotB + 1) / (cotA - cotB)通过和差化积公式，我们可以将两个角的和（或差）转化为一个角的余切值。
和差化积的公式可以使得我们将复杂的三角函数表达式转化为简单的一步计算，节省了计算的时间和精力。
同时，它们也有助于我们更好地理解三角函数之间的关系。
二、积化和差积化和差是和差化积的逆过程，即将两个角的积转化为一个角的和（或差）。
这种方法适用于解决一些三角函数表达式的合并、求和和简化问题。
1.正弦的积化和差公式：sinAcosB = 1/2 * [sin(A+B) + sin(A-B)]从公式中可以看出，通过将sinAcosB转化为sin(A+B)和sin(A-B)的和的一半，可以实现两个角的积转化为一个角的和（或差）。
积化和差与和差化积公式
积化和差与和差化积公式田云江[基本要求]能推导积化和差与和差化积公式，但不要求记忆，能熟练地综合运用两类公式解决有关问题。
[知识要点]1、积化和差公式：sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]积化和差公式是由正弦或余弦的和角公式与差角公式通过加减运算推导而得。
其中后两个公式可合并为一个：sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]2、和差化积公式sinθ+sinφ=2sin cossinθ-sinφ=2cos sincosθ+cosφ=2cos coscosθ-cosφ=-2sin sin和差化积公式是积化和差公式的逆用形式，要注意的是：①其中前两个公式可合并为一个：sinθ+sinφ=2sin cos②积化和差公式的推导用了“解方程组”的思想，和差化积公式的推导用了“换元”思想。
③只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式，如果一个正弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式化积。
④合一变形也是一种和差化积。
⑤三角函数的和差化积，可以理解为代数中的因式分解，因此，因式分解在代数中起什么作用，和差化积公式在三角中就起什么作用。
3、积化和差与积差化积是一种孪生兄弟，不可分离，在解题过程中，要切实注意两者的交替使用。
如在一般情况下，遇有正、余弦函数的平方，要先考虑降幂公式，然后应用和差化积、积化和差公式交替使用进行化简或计算。
和积互化公式其基本功能在于：当和、积互化时，角度要重新组合，因此有可能产生特殊角；结构将变化，因此有可能产生互消项或互约因式，从而利于化简求值。
正因为如此“和、积互化”是三角恒等变形的一种基本手段。
[例题选讲]1、求下列各式的值①cos40°+cos60°+cos80°+cos160°②cos23°-cos67°+2sin4°+cos26°③csc40°+ctg80°④cos271°+cos71°cos49°+cos249°解：①cos40°+cos60°+cos80°+cos160°=+cos80°+2cos100°cos60°=+cos80°-cos80°=②cos23°-cos67°+2sin4°cos26°=2sin45°sin22°+(sin30°-sin22°)=sin22°+-sin22°=③csc40°+ctg80°=+=== ====2cos30°=④解法一：cos271°+cos71°cos49°+cos249°=(cos71°+cos49°)2-cos71°cos49°=(2cos60°cos11°)2-(cos120°+cos22°)=cos211°+-cos22°=cos211°+-(2cos211°-1)=cos211°+-cos211°+=解法二：cos271°+cos71°cos49°+cos249°=+(cos120°+cos22°)+=+cos142°-+cos22°++=+(cos142°+cos98°)++cos22°=+cos120°cos22°+cos22°=解法三设x=cos271°+cos71°cos49°+cos249°y=sin271°+sin71°sin49°+sin249°则x+y=2(cos71°cos49°+sin71°sin49°)=2+cos22°x-y=(cos271°-sin271°)+(cos71°cos49°-sin71°sin49°)+(cos249°-sin249°) =cos142°+cos120°+cos98°=-+(cos142°+cos98°)=-+2cos120°cos22°=--cos22°联立二式得x=2、已知sinα+sinβ=cosα+cosβ=求tgαtgβ的值解：①2+②2得2+2(sinαsinβ+cosαcosβ)=∴cos(α-β)=②2-①2得cos2α+cos2β+2(cosαcosβ-sinαsinβ)=-∴2cos(α+β)cos(α-β)+2cos(α+β)=-∴2·cos(α+β)+2cos(α+β)=-∴cos(α+β)=-又sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]=-(--)=cosαcosβ=[cosα+β)+cos(α-β)]=[-+]=-∴tgαtgβ==-=-3、设函数f(x)=asinωx+bcosωx+1(a、b≠0 ω＞0 )的周期是π，f(x)有最大值7且f()=+4(1)求a、b的值(2)若α≠kπ+β (k∈z) 且α、β是f(x)=0的两根求tg(α+β)的值。
三角函数的和差化积与积化和差
三角函数的和差化积与积化和差三角函数是数学中重要的概念之一，它们在几何、物理、工程等领域中具有广泛的应用。
而三角函数的和差化积与积化和差是一种常用的技巧，可以简化复杂的三角函数表达式，使得计算更加方便和高效。
一、和差化积和差化积是将两个三角函数的和或差转化为一个三角函数的积。
有两种常见的和差化积公式，分别是正弦和差化积公式和余弦和差化积公式。
1. 正弦和差化积公式正弦和差化积公式可以表示为：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinB其中，符号“±”表示正负号可以取加或减。
这个公式可以帮助我们将两个正弦函数的和或差转化为一个正弦函数与余弦函数的乘积。
2. 余弦和差化积公式余弦和差化积公式可以表示为：cos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinB同样，符号“±”表示正负号可以取加或减。
这个公式可以将两个余弦函数的和或差转化为两个余弦函数或两个正弦函数的乘积。
通过使用和差化积公式，我们可以将复杂的三角函数表达式转化为简单的乘积形式，便于进一步的计算和推导。
二、积化和差积化和差是将两个三角函数的乘积转化为一个三角函数的和或差。
同样，有两种常见的积化和差公式，分别是正弦积化和差公式和余弦积化和差公式。
1. 正弦积化和差公式正弦积化和差公式可以表示为：sinAcosB = 0.5[sin(A + B) + sin(A - B)]这个公式可以将两个三角函数的乘积转化为两个正弦函数的和。
2. 余弦积化和差公式余弦积化和差公式可以表示为：cosAcosB = 0.5[cos(A + B) + cos(A - B)]这个公式可以将两个三角函数的乘积转化为两个余弦函数的和。
通过使用积化和差公式，我们可以将复杂的三角函数乘积化简为两个和的形式，从而使得计算更加方便。
三、应用举例下面通过具体的例子来说明和差化积与积化和差的应用。
例1：将sin(A + B)化简为乘积形式。
三角函数的和差化积与积化和差三角函数的变形公式
三角函数的和差化积与积化和差三角函数的变形公式三角函数的和差化积与积化和差是三角函数中常用的变形公式，它们在解决三角函数运算、化简和求导等方面起着重要的作用。
本文将详细介绍和讨论这些变形公式及其应用。
一、和差化积公式和差化积公式是指将两个三角函数的和或差表达为一个三角函数的乘积。
常用的和差化积公式有：1. 余弦和差化积公式cos(A + B) = cosAcosB - sinAsinBcos(A - B) = cosAcosB + sinAsinB余弦和差化积公式可以帮助我们将余弦函数的和或差转化为余弦函数和正弦函数的乘积，从而简化计算或化简表达式。
2. 正弦和差化积公式sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinBsin(A - B) = sinAcosB - cosAsinB正弦和差化积公式将正弦函数的和或差表示为正弦函数和余弦函数的乘积，可以方便地进行计算和化简。
二、积化和差公式积化和差公式是指将两个三角函数的乘积表达为一个三角函数的和或差。
常用的积化和差公式有：1. 余弦积化和差公式cosAcosB = 1/2[cos(A + B) + cos(A - B)]余弦积化和差公式可以将余弦函数的乘积表示为余弦函数的和或差，简化计算和展开式子。
2. 正弦积化和差公式sinAsinB = 1/2[cos(A - B) - cos(A + B)]正弦积化和差公式将正弦函数的乘积表示为余弦函数的差，便于计算和化简。
三、三角函数的变形公式的应用和差化积与积化和差这些三角函数的变形公式在多个领域有广泛的应用，以下是一些典型的应用场景：1. 三角函数的化简通过使用和差化积与积化和差公式，我们可以将复杂的三角函数表达式化简为简单的乘积、和或差的形式，使得计算更加方便和高效。
2. 三角函数的运算在三角函数的运算中，和差化积与积化和差公式可以用于求解三角函数的和、差、积或商，加快运算速度和提高准确性。
三角函数的和差化积与积化和差公式
三角函数的和差化积与积化和差公式三角函数是数学中的一种特殊函数，广泛应用于几何、物理、工程等领域。
在三角函数的研究中，和差化积与积化和差是非常重要的公式，它们能够简化计算，并提高问题的解决效率。
本文将介绍三角函数的和差化积与积化和差公式的概念、推导和应用。
一、和差化积公式和差化积公式是指将两个三角函数的和或差表示为一个三角函数的乘积。
它们的推导基于三角函数的正弦与余弦函数关系式。
1.1 正弦函数的和差化积公式设角A和角B为任意两个角，则有正弦函数的和差化积公式如下：sin(A + B) = sinA*cosB + cosA*sinBsin(A - B) = sinA*cosB - cosA*sinB这两个公式可通过将左边的和式和差式展开，然后利用三角函数关系式sin(A ± B) = sinA*cosB ± cosA*sinB得到。
1.2 余弦函数的和差化积公式与正弦函数类似，设角A和角B为任意两个角，则有余弦函数的和差化积公式如下：cos(A + B) = cosA*cosB - sinA*sinBcos(A - B) = cosA*cosB + sinA*sinB这两个公式同样可通过将左边的和式和差式展开，然后利用三角函数关系式cos(A ± B) = cosA*cosB ∓ sinA*sinB得到。
二、积化和差公式积化和差公式是指将两个三角函数的乘积表示为一个三角函数的和或差。
它们的推导基于三角函数的和与差的展开公式。
2.1 正弦函数的积化和差公式设角A和角B为任意两个角，则有正弦函数的积化和差公式如下：sinA*sinB = 1/2*[cos(A - B) - cos(A + B)]这个公式可通过将两个正弦函数相乘，然后利用和差展开公式cos(A ± B) = cosA*cosB ∓ sinA*sinB得到。
2.2 余弦函数的积化和差公式与正弦函数类似，设角A和角B为任意两个角，则有余弦函数的积化和差公式如下：cosA*cosB = 1/2*[cos(A - B) + cos(A + B)]同样地，这个公式可通过将两个余弦函数相乘，然后利用和差展开公式cos(A ± B) = cosA*cosB ∓ sinA*sinB得到。
三角函数的积化和差与和差化积
三角函数的积化和差与和差化积三角函数是数学中一类非常重要且广泛应用的函数。
在三角函数中，有两个重要的性质是积化和差与和差化积。
这两个性质在解决三角函数的运算问题时起到了关键的作用。
本文将详细介绍三角函数的积化和差与和差化积的定义、推导以及其在实际问题中的应用。
一、积化和差积化和差是指将两个三角函数的乘积表示为两个不同三角函数的和或差。
具体而言，对于任意两个三角函数sinθ与cosθ，其积可以表示为以下公式：sinθ·cosθ = 1/2[sin(θ+θ') + sin(θ-θ')]其中，θ与θ'可以是任意实数。
这个公式就是积化和差公式，它将两个三角函数的乘积转化为两个和差的三角函数。
我们可以通过推导来证明积化和差公式。
首先，根据三角函数的定义，可以得到以下等式：sin(θ+θ') = sinθ·cosθ' + cosθ·sinθ'sin(θ-θ') = sinθ·cosθ' - cosθ·sinθ'将这两个等式相加，并应用正弦函数的和角公式，可得：sin(θ+θ') + sin(θ-θ') = 2sinθ·cosθ'将等式两边除以2，即可得到积化和差公式：sinθ·cosθ = 1/2[sin(θ+θ') + sin(θ-θ')]通过积化和差公式，我们可以将一个三角函数的积化简为两个和差的三角函数，从而更方便地进行计算和推导。
二、和差化积和差化积是指将两个三角函数的和或差表示为一个三角函数的乘积。
具体而言，对于任意两个三角函数sinθ和sinθ'，其和可以表示为以下公式：sinθ + sinθ' = 2sin(θ/2 + θ'/2)·cos(θ/2 - θ'/2)这个公式就是和差化积公式，它将两个三角函数的和转化为一个三角函数的乘积。
积化和差公式和差化积口诀
积化和差公式和差化积口诀数学中有许多公式和口诀，其中积化和差公式和差化积口诀是非常重要的。
这两个概念在代数中经常被使用，因此学生们需要掌握这些概念，以便在数学学习中更好地应用它们。
积化和差公式积化和差公式是指将两个数的积转化为它们的和或差的公式。
这个公式可以用于简化代数表达式，使其更容易计算。
积化和差公式的表达式如下：(a+b)(a-b)=a²-b²这个公式的意思是，当你有两个数a和b时，你可以将它们的积(a+b)乘以(a-b)，然后得到a²-b²。
这个公式可以用于简化代数表达式，例如：(3+2)(3-2)=3²-2²=9-4=5这个公式也可以用于解决一些数学问题，例如：如果a+b=10，a-b=4，那么a²-b²=？我们可以使用积化和差公式来解决这个问题。
首先，我们需要将(a+b)(a-b)转化为a²-b²，然后将a+b和a-b代入公式中，得到：a²-b²=(a+b)(a-b)=(10)(4)=40因此，a²-b²=40。
差化积口诀差化积口诀是指将两个数的差转化为它们的积的口诀。
这个口诀可以用于简化代数表达式，使其更容易计算。
差化积口诀的表达式如下：a²-b²=(a+b)(a-b)这个口诀的意思是，当你有两个数a和b时，你可以将它们的差(a-b)乘以(a+b)，然后得到a²-b²。
这个口诀可以用于简化代数表达式，例如：4²-3²=(4+3)(4-3)=7这个口诀也可以用于解决一些数学问题，例如：如果a-b=5，a+b=13，那么a²-b²=？我们可以使用差化积口诀来解决这个问题。
首先，我们需要将a²-b²转化为(a+b)(a-b)，然后将a+b和a-b代入公式中，得到：a²-b²=(a+b)(a-b)=(13)(5)=65因此，a²-b²=65。
积化和差与和差化积公式
积化和差与和差化积公式一、积化和差公式积化和差公式是将两个数的积转化为它们的和与差的公式。
其表达式为：1.(a+b)(a-b)=a^2-b^2其中，a和b为任意的实数。
这个公式的推导方法可以通过将公式两边进行展开来证明。
具体证明过程如下：左边的式子展开为(a + b)(a - b) = a^2 - ab + ab - b^2 = a^2 - b^2右边的式子为a^2-b^2由于左右两边表达式相等，所以(a+b)(a-b)=a^2-b^2成立。
积化和差公式的一个直接应用就是对差的平方进行因式分解。
通过这个公式，我们可以将差的平方分解为积的形式，从而简化计算和解题。
例如，对于2^2-1^2，可以使用积化和差公式进行因式分解：2^2-1^2=(2+1)(2-1)=3所以，2^2-1^2等于3和差化积公式是将两个数的和与差转化为它们的积的公式。
其表达式为：1.a^2-b^2=(a+b)(a-b)与积化和差公式相对应，这个公式也可以通过将公式两边进行展开来证明。
具体证明过程如下：左边的式子展开为a^2-b^2右边的式子为(a + b)(a - b) = a^2 - ab + ab - b^2 = a^2 - b^2由于左右两边表达式相等，所以a^2-b^2=(a+b)(a-b)成立。
和差化积公式的一个重要应用是对完全平方进行因式分解。
通过这个公式，我们可以将完全平方分解为积的形式，进而进行求解和计算。
例如，对于9-4，可以使用和差化积公式进行因式分解：9-4=(3+2)(3-2)=5所以，9-4等于5三、应用举例使用积化和差与和差化积公式，我们可以简化计算和解题过程。
下面通过几个例子来加深理解：例1：计算16^2-9^2我们可以使用和差化积公式，将16^2和9^2视为完全平方进行因式分解：16^2-9^2=(16+9)(16-9)=25×7=175所以，16^2-9^2等于175例2：解方程x^2-25=0我们可以使用和差化积公式，将x^2和25视为完全平方进行因式分解：x^2-25=(x+5)(x-5)=0根据零乘法，要使得等式成立，必有x+5=0或x-5=0解这个方程得到x=-5或x=5所以，方程x^2-25=0的解为x=-5或x=5例3：求解2a^2 + 5ab - 3b^2的因式分解我们可以使用积化和差公式，对中间的5ab进行分解：2a^2 + 5ab - 3b^2 = 2a^2 + 2ab + 3ab - 3b^2=2a(a+b)+3b(a+b)=(2a+3b)(a+b)所以，2a^2 + 5ab - 3b^2的因式分解为(2a + 3b)(a + b)。
和差化积 积化和差
[基本要求][知识要点]1、积化和差公式：sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]积化和差公式是由正弦或余弦的和角公式与差角公式通过加减运算推导而得。
其中后两个公式可合并为一个：sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]2、和差化积公式sinθ+sinφ=2sin cossinθ-sinφ=2cos sincosθ+cosφ=2cos coscosθ-cosφ=-2sin sin和差化积公式是积化和差公式的逆用形式，要注意的是：①其中前两个公式可合并为一个：sinθ+sinφ=2sin cos②积化和差公式的推导用了“解方程组”的思想，和差化积公式的推导用了“换元”思想。
③只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式，如果一个正弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式化积。
④合一变形也是一种和差化积。
⑤三角函数的和差化积，可以理解为代数中的因式分解，因此，因式分解在代数中起什么作用，和差化积公式在三角中就起什么作用。
3、积化和差与积差化积是一种孪生兄弟，不可分离，在解题过程中，要切实注意两者的交替使用。
如在一般情况下，遇有正、余弦函数的平方，要先考虑降幂公式，然后应用和差化积、积化和差公式交替使用进行化简或计算。
和积互化公式其基本功能在于：当和、积互化时，角度要重新组合，因此有可能产生特殊角；结构将变化，因此有可能产生互消项或互约因式，从而利于化简求值。
正因为如此“和、积互化”是三角恒等变形的一种基本手段。
[例题选讲]1、求下列各式的值①cos40°+cos60°+cos80°+cos160°②cos23°-cos67°+2sin4°+cos26°③csc40°+ctg80°④cos271°+cos71°cos49°+cos249°解：①cos40°+cos60°+cos80°+cos160°=+cos80°+2cos100°cos60°=+cos80°-cos80°=②cos23°-cos67°+2sin4°cos26°=2sin45°sin22°+(sin30°-sin22°)=sin22°+-sin22°=③csc40°+ctg80°=+=======2cos30°=④解法一：cos271°+cos71°cos49°+cos249°=(cos71°+cos49°)2-cos71°cos49°=(2cos60°cos11°)2-(cos120°+cos22°)=cos211°+-cos22°=cos211°+-(2cos211°-1)=cos211°+-cos211°+=解法二：cos271°+cos71°cos49°+cos249°=+(cos120°+cos22°)+=+cos142°-+cos22°++=+(cos142°+cos98°)++cos22°=+cos120°cos22°+cos22°=解法三设x=cos271°+cos71°cos49°+cos249°y=sin271°+sin71°sin49°+sin249°则x+y=2(cos71°cos49°+sin71°sin49°)=2+cos22°x-y=(cos271°-sin271°)+(cos71°cos49°-sin71°sin49°)+(cos249°-sin249°) =cos142°+cos120°+cos98°=-+(cos142°+cos98°)=-+2cos120°cos22°=--cos22°联立二式得x=2、已知sinα+sinβ= cosα+cosβ=求tgαtgβ的值解：①2+②2得 2+2(sinαsinβ+cosαcosβ)=∴cos(α-β)=②2-①2得 cos2α+cos2β+2(cosαcosβ-sinαsinβ)=-∴2cos(α+β)cos(α-β)+2cos(α+β)=-∴2²cos(α+β)+2cos(α+β)=-∴cos(α+β)=-又sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]=-(--)=cosαcosβ=[cosα+β)+cos(α-β)]=[-+]=-∴tgαtgβ==-=-3、设函数f(x)=asinωx+bcosωx+1 (a、b≠0 ω＞0 )的周期是π，f(x)有最大值7且f()= +4(1)求a、b的值(2)若α≠kπ+β (k∈z) 且α、β是f(x)=0的两根求tg(α+β)的值。
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积化和差与和差化积公式、和角、倍半角公式
1、两角和与差公式及规律
sin()sin cos cos sin .
cos()cos cos sin sin .tan tan tan().1tan tan αβαβαβαβαβαβαβαβαβ
±=±±=±±=
2二倍角公式及规律
3、积化和差与和差化积公式 1sin cos [sin()sin()].2αβαβαβ=++- 1cos sin [sin()sin()].2
αβαβαβ=+-- 1cos cos [cos()cos()].2αβαβαβ=++- 1sin sin [cos()cos()].2
αβαβαβ=-+-- sin sin 2sin cos .22
αβαβαβ+-+=
二、应注意的问题
1、两角差的余弦公式是本章中其余公式的基础，应记准该公式的形式.
2、倍角公式ααα22sin 211cos 22cos -=-=有升、降幂的功能，如果升幂，则角减半，如果降幂，则角加倍，根据条件灵活选用.
3、公式的“三用”（顺用、逆用、变用）是熟练进行三角变形的前提.
3、整体原则-------从角度关系、函数名称差异、式子结构特征分析入手，寻求三角变形的思维指向；
4、角度配凑方法 如
=--+=-++=--=-+=2
222)()(α
ββαβαβααββββαα 2()()()()2()2()2222αβαββαβαααβαββαβα+-+-=++-=+--=+=-=其中,αβ是任意角；等等。
222221cos cos .222cos .1cos 21cos sin .222sin .1cos 2tan .21cos αααααααααα+⎧=⎪⎧⎪⎪-⎪⎪⇒±==⎨⎨⎪⎪⎪-⎪⎩=⎪+⎩
2sin 2sin 2cos ,sin .1sin (sin cos ).2cos 2cos 22ααααααααα⇒==±=± sin 22sin cos .ααα= 2222cos 2cos sin 2cos 112sin .ααααα=-=-=- 22tan tan 2.1tan ααα=- sin sin 2cos sin .22αβαβαβ+--= cos cos 2cos cos .22αβαβαβ+-+=cos cos 2sin sin .22αβαβαβ+--=-
4.万能公式 2tan 12tan 2tan ,2tan 12tan 1cos ,2tan 12tan
2sin 2
222α-α=αα+α-=αα+α=α 证明：
2
tan 12tan 22cos 2sin 2cos 2sin 21sin sin 2
22α+α=α+ααα=α=α 2
tan 12tan 12cos 2sin 2sin 2cos 1cos cos 2
2
2222α+α-=α+αα-α=α=α 2
tan 12tan 22sin 2cos 2cos 2sin 2cos sin tan 2
22α-α=α-ααα=αα=α 注意：1上述三个公式统称为万能公式。
2这个公式的本质是用半角的正切表示正弦、余弦、正切
即：)2
(tan αf 所以利用它对三角式进行化简、求值、证明， 可以使解题过程简洁
3上述公式左右两边定义域发生了变化，由左向右定义域缩小 5.辅助角公式
sin cos a b θθ+
三、例题讲解
例１已知sin(3)cos()tan()cot(
)2(),()cos()n x x x x f x n Z n x πππππ---+=∈-
（１） 求52(
);3
f π （２） 若34cos(),25πα-=求()f α的值． 解当2()n k n Z =∈时，
sin cos tan cot ()sin ;cos x x x x f x x x
-==-
当21()n k k Z =+∈时，2sin cos tan (tan )()sin tan .cos x x x x f x x x x --==- 34cos()sin ,sin .25
πααα-=-∴=- 故当n 为偶数时，
52524()sin sin 3334()sin ;5f f πππαα=-=-==-= 当n 为奇数时，
2222252525244(
)sin tan .sin tan 333332sin 9()sin tan sin .cos 16f f πππππαααααα=-=-==-=-⋅=
例２已知tan 3,α=求3sin sin 33cos cos3αααα
++的值． 解原式＝333sin (3sin 4sin )3cos (4cos 3cos )
αααααα+-+- 232232sin (32sin )2cos sin (sin 3cos )2cos 1tan (tan 3)2
18.
ααα
αααα
αα-=+==+= 例３已知21sin(),sin().35
αβαβ+=-= （１） 求tan cot αβ的值；
（２） 当(,),(,)2222ππππ
αβαβ+∈-
-∈-时，求sin 2β的值． 解（１） ［方法１］2sin cos cos sin ,31sin cos cos sin ,5137sin cos ,cos sin .3030
αβαβαβαβαβαβ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩
⇒== 从而，sin cos 13tan cot .cos sin 7
αβαβαβ== ［方法２］设sin cos tan cot ,cos sin x αβαβαβ==
sin()10,sin()3sin()sin()tan tan cos cos sin()sin()tan tan cos cos tan 11tan ,tan 1
1tan x x αβαβαβαβαβα
βαβαβαβ
αβ
αβαβ
+=-+++==---++==--且 11013,tan cot .137x x x αβ+∴=⇒==- （２）由已知可得
sin 2sin[()()]
sin()cos()cos()sin()βαβαβαβαβαβαβ=+--=+--+-=
例4已知11cos(),cos(),22αβαβ+=
-=求tan tan αβ的值. 解
1cos cos sin sin ,21cos cos sin sin ,351cos cos ,sin sin .1212
αβαβαβαβαβαβ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩
⇒==- sin sin 1tan tan .cos cos 5
αβαβαβ∴==- 例5已知11sin cos ,cos sin ,23
αβαβ-=-=求sin()αβ+的值. 解 将两条件式分别平方，得
22221sin 2sin cos cos ,41cos 2cos sin sin .9
ααββααββ-+=-+= 将上面两式相加，得
1322sin(),3659sin().72αβαβ-+=
⇒+= 例6 sin 7cos15sin 8cos 7sin15sin 8
+-
的值等于 （ ） A
．2 B
．2 C
．22+ D ．22
- 解
00
00
0000
000000
000000
00
0000
sin(158)cos15sin 8cos(158)sin15sin 8sin15cos8cos15sin 8cos15sin 8cos15cos8sin15sin 8sin15sin 8tan 45tan 30tan15tan(4530)1tan 45tan 302-+=---+=+--==-=+=-原式 故选B.
作业：
复习题。