2018几何图形的折叠与动点问题

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2018届中考数学一轮复习讲义第41讲几何图形折叠问题

2018届中考数学一轮复习讲义第41讲几何图形的折叠问题【知识巩固】折叠型问题通常是把某个图形按照给定的条件折叠，通过折叠前后图形变换的相互关系来命题。

折叠型问题立意新颖，变幻巧妙，对培养学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力非常有效。

下面我们一起来探究这种题型的解法。

折叠的规律是:折叠部分的图形，折叠前后，关于折痕成轴对称，两图形全等。

【典例解析】典例一、三角形中的折叠(2017湖北襄阳)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别在AC，BC上，且∠CDE=∠B，将△CDE沿DE折叠，点C恰好落在AB边上的点F处．若AC=8，AB=10，则CD 的长为．【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；KQ：勾股定理．【分析】根据D，C，E，F四点共圆，可得∠CDE=∠CFE=∠B，再根据CE=FE，可得∠CFE=∠FCE，进而根据∠B=∠FCE，得出CF=BF，同理可得CF=AF，由此可得F是AB的中点，求得CF=AB=5，再判定△CDF∽△CFA，得到CF2=CD×CA，进而得出CD的长．【解答】解：由折叠可得，∠DCE=∠DFE=90°，∴D，C，E，F四点共圆，∴∠CDE=∠CFE=∠B，又∵CE=FE，∴∠CFE=∠FCE，∴∠B=∠FCE，∴CF=BF，同理可得，CF=AF，∴AF=BF，即F是AB的中点，∴Rt△ABC中，CF=AB=5，由D，C，E，F四点共圆，可得∠DFC=∠DEC，由∠CDE=∠B，可得∠DEC=∠A，∴∠DFC=∠A，又∵∠DCF=∠FCA，∴△CDF∽△CFA，∴CF2=CD×CA，即52=CD×8，∴CD=，故答案为：．【变式训练】如图，已知△ABC中，AC=BC，点D、E分别在边AB、BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在B'处，DB'、EB'分别交AC于点F、G，若∠ADF=66°，则∠EGC的度数为66°．【考点】翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质．【分析】由翻折变换的性质和等腰三角形的性质得出∠B′=∠B=∠A，再由三角形内角和定理以及对顶角相等得出∠B′GF=∠ADF即可．【解答】解：由翻折变换的性质得：∠B′=∠B，∵AC=BC，∴∠A=∠B，∴∠A=∠B′，∵∠A+∠ADF+∠AFD=180°，∠B′+∠B′GF+∠B′FG=180°，∠AFD=∠B′FG，∴∠B′GF=∠ADF=66°，∴∠EGC=∠B′GF=66°．故答案为：66°．典例二、四边形的折叠（2017广东）如图，矩形纸片ABCD中，AB=5，BC=3，先按图（2）操作：将矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落在边AB上的点E处，折痕为AF；再按图（3）操作，沿过点F的直线折叠，使点C落在EF上的点H处，折痕为FG，则A、H两点间的距离为．【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LB：矩形的性质．【分析】如图3中，连接AH．由题意可知在Rt△AEH中，AE=AD=3，EH=EF﹣HF=3﹣2=1，根据AH=，计算即可．【解答】解：如图3中，连接AH．由题意可知在Rt△AEH中，AE=AD=3，EH=EF﹣HF=3﹣2=1，∴AH===，故答案为．【变式训练】（2017内江）如图，在矩形AOBC中，O为坐标原点，OA、OB分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（0，3），∠ABO=30°，将△ABC沿AB所在直线对折后，点C落在点D处，则点D的坐标为（）A．（，） B．（2，）C．（，） D．（，3﹣）【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；D5：坐标与图形性质；LB：矩形的性质．【分析】根据翻折变换的性质结合锐角三角函数关系得出对应线段长，进而得出D点坐标．【解答】解：∵四边形AOBC是矩形，∠ABO=30°，点B的坐标为（0，3），∴AC=OB=3，∠CAB=30°，∴BC=AC•tan30°=3×=3，∵将△ABC沿AB所在直线对折后，点C落在点D处，∴∠BAD=30°，AD=3，过点D作DM⊥x轴于点M，∵∠CAB=∠BAD=30°，∴∠DAM=30°，∴DM=AD=，∴AM=3×cos30°=，∴MO=﹣3=，∴点D的坐标为（，）．故选：A．典例三、圆中的折叠（2016·山东省德州市·4分）如图，半径为1的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则图中阴影部分的面积是﹣．【考点】扇形面积的计算；翻折变换（折叠问题）．【分析】连接OM交AB于点C，连接OA、OB，根据题意OM⊥AB且OC=MC=，继而求出∠AOC=60°、AB=2AC=，然后根据S弓形ABM=S扇形OAB﹣S△AOB、S阴影=S半圆﹣2S弓形ABM 计算可得答案．【解答】解：如图，连接OM交AB于点C，连接OA、OB，由题意知，OM⊥AB，且OC=MC=，在RT△AOC中，∵OA=1，OC=，∴cos∠AOC==，AC==∴∠AOC=60°，AB=2AC=，∴∠AOB=2∠AOC=120°，则S弓形ABM=S扇形OAB﹣S△AOB=﹣××=﹣，S阴影=S半圆﹣2S弓形ABM=π×12﹣2（﹣）=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了轴对称的性质的运用、勾股定理的运用、三角函数值的运用、扇形的面积公式的运用、三角形的面积公式的运用，解答时运用轴对称的性质求解是关键．【变式训练】（2016·黑龙江龙东·3分）如图，MN是⊙O的直径，MN=4，∠AMN=40°，点B为弧AN 的中点，点P是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为2．【考点】轴对称-最短路线问题；圆周角定理．【分析】过A作关于直线MN的对称点A′，连接A′B，由轴对称的性质可知A′B即为PA+PB 的最小值，由对称的性质可知=，再由圆周角定理可求出∠A′ON的度数，再由勾股定理即可求解．【解答】解：过A作关于直线MN的对称点A′，连接A′B，由轴对称的性质可知A′B即为PA+PB的最小值，连接OB，OA′，AA′，∵AA′关于直线MN对称，∴=，∵∠AMN=40°，∴∠A′ON=80°，∠BON=40°，∴∠A′OB=120°，过O作OQ⊥A′B于Q，在Rt△A′OQ中，OA′=2，∴A′B=2A′Q=2，即PA+PB的最小值2．故答案为：2．典例七、折叠在几何图形中的综合应用（2016·四川攀枝花）如图，正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后折痕DE分别交AB、AC于点E、G，连结GF，给出下列结论：①∠ADG=22.5°；②tan∠AED=2；③S△AGD=S△OGD；④四边形AEFG是菱形；⑤BE=2OG；⑥若S△OGF=1，则正方形ABCD的面积是6+4，其中正确的结论个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】四边形综合题．【分析】①由四边形ABCD是正方形，可得∠GAD=∠ADO=45°，又由折叠的性质，可求得∠ADG的度数；②由AE=EF＜BE，可得AD＞2AE；③由AG=GF＞OG，可得△AGD的面积＞△OGD的面积；④由折叠的性质与平行线的性质，易得△EFG是等腰三角形，即可证得AE=GF；⑤易证得四边形AEFG是菱形，由等腰直角三角形的性质，即可得BE=2OG；⑥根据四边形AEFG是菱形可知AB∥GF，AB=GF，再由∠BAO=45°，∠GOF=90°可得出△OGF时等腰直角三角形，由S△OGF=1求出GF的长，进而可得出BE及AE的长，利用正方形的面积公式可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠GAD=∠ADO=45°，由折叠的性质可得：∠ADG=∠ADO=22.5°，故①正确．∵由折叠的性质可得：AE=EF，∠EFD=∠EAD=90°，∴AE=EF＜BE，∴AE＜AB，∴＞2，故②错误．∵∠AOB=90°，∴AG=FG＞OG，△AGD与△OGD同高，∴S△AGD＞S△OGD，故③错误．∵∠EFD=∠AOF=90°，∴EF∥AC，∴∠FEG=∠AGE，∵∠AGE=∠FGE，∴∠FEG=∠FGE，∴EF=GF，∵AE=EF，∴AE=GF，故④正确．∵AE=EF=GF，AG=GF，∴AE=EF=GF=AG，∴四边形AEFG是菱形，∴∠OGF=∠OAB=45°，∴EF=GF=OG，∴BE=EF=×OG=2OG．故⑤正确．∵四边形AEFG是菱形，∴AB∥GF，AB=GF．∵∠BAO=45°，∠GOF=90°，∴△OGF时等腰直角三角形．∵S△OGF=1，∴OG2=1，解得OG=，∴BE=2OG=2，GF===2，∴AE=GF=2，∴AB=BE+AE=2+2，∴S正方形ABCD=AB2=（2+2）2=12+8，故⑥错误．∴其中正确结论的序号是：①④⑤．故选B．【变式训练】【能力检测】1.如图，一张矩形纸片沿AB对折，以AB中点O为顶点将平角五等分，并沿五等分的折线折叠，再沿CD剪开，使展开后为正五角星（正五边形对角线所构成的图形），则∠OCD 等于_________．答案：126°知识点：矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形内角和定理解析：按照如图所示的方法折叠，剪开，把相关字母标上，易得∠ODC和∠DOC的度数，利用三角形的内角和定理可得∠OCD的度数．解决本题的关键是能够理解所求的角是五角星的哪个角，解题时可以结合正五边形的性质解决．解答：解：展开如图：∵∠COD＝360°÷10＝36°，∠ODC＝36°÷2＝18°，∴∠OCD＝180°﹣36°﹣18°＝126°．故选C．2.将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图所示的图形，已知∠CED′＝60°，则∠AED的大小是（）A.60°B.50°C.75°D.55°答案：A知识点：矩形的性质；翻折变换（折叠问题）解析：解答：解：∵∠AED′是△AED沿AE折叠而得，∴∠AED′＝∠AED．又∵∠DEC＝180°，即∠AED′+∠AED+∠CED′＝180°，又∠CED′＝60°，∴∠AED＝＝60°．故选A．分析：根据折叠前后对应部分相等得∠AED′＝∠AED，再由已知求解．图形的折叠实际上相当于把折叠部分沿着折痕所在直线作轴对称，所以折叠前后的两个图形是全等三角形，重合的部分就是对应量．3. （2016·四川南充）如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，将纸片展平；再一次折叠，使点D落到EF上点G处，并使折痕经过点A，展平纸片后∠DAG的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．75°【分析】直接利用翻折变换的性质以及直角三角形的性质得出∠2=∠4，再利用平行线的性质得出∠1=∠2=∠3，进而得出答案．【解答】解：如图所示：由题意可得：∠1=∠2，AN=MN，∠MGA=90°，则NG=AM，故AN=NG，则∠2=∠4，∵EF∥AB，∴∠4=∠3，∴∠1=∠2=∠3=×90°=30°，∴∠DAG=60°．故选：C．【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及平行线的性质，正确得出∠2=∠4是解题关键．4.（2016贵州毕节3分）如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC=2：1，则线段CH的长是（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）．【分析】根据折叠的性质可得DH=EH，在直角△CEH中，若设CH=x，则DH=EH=9﹣x，CE=3cm，可以根据勾股定理列出方程，从而解出CH的长．【解答】解：由题意设CH=xcm，则DH=EH=（9﹣x）cm，∵BE：EC=2：1，∴CE=BC=3cm∴在Rt△ECH中，EH2=EC2+CH2，即（9﹣x）2=32+x2，解得：x=4，即CH=4cm．故选（B）5. （2017贵州安顺）如图，矩形纸片ABCD中，AD=4cm，把纸片沿直线AC折叠，点B 落在E处，AE交DC于点O，若AO=5cm，则AB的长为（）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LB：矩形的性质．【分析】根据折叠前后角相等可证AO=CO，在直角三角形ADO中，运用勾股定理求得DO，再根据线段的和差关系求解即可．【解答】解：根据折叠前后角相等可知∠BAC=∠EAC，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD，∴∠EAC=∠EAC，∴AO=CO=5cm，在直角三角形ADO中，DO==3cm，AB=CD=DO+CO=3+5=8cm．故选：C．6. （2017宁夏）如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点A'处．若∠1=∠2=50°，则∠A'为105°．【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质，得出∠ADB=∠BDG=∠DBG，由三角形的外角性质求出∠BDG=∠DBG=∠1=25°，再由三角形内角和定理求出∠A，即可得到结果．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBG，由折叠可得∠ADB=∠BDG，∴∠DBG=∠BDG，又∵∠1=∠BDG+∠DBG=50°，∴∠ADB=∠BDG=25°，又∵∠2=50°，∴△ABD中，∠A=105°，∴∠A'=∠A=105°，故答案为：105°．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理的综合应用，熟练掌握平行四边形的性质，求出∠ADB的度数是解决问题的关键．7. （2017青海西宁）如图，将▱ABCD沿EF对折，使点A落在点C处，若∠A=60°，AD=4，AB=8，则AE的长为．【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；L5：平行四边形的性质．【分析】过点C作CG⊥AB的延长线于点G，易证△D′CF≌△ECB（ASA），从而可知D′F=EB，CF=CE，设AE=x，在△CEG中，利用勾股定理列出方程即可求出x的值．【解答】解：过点C作CG⊥AB的延长线于点G，在▱ABCD中，∠D=∠EBC，AD=BC，∠A=∠DCB，由于▱ABCD沿EF对折，∴∠D′=∠D=∠EBC，∠D′CE=∠A=∠DCB，D′C=AD=BC，∴∠D′CF+∠FCE=∠FCE+∠ECB，∴∠D′CF=∠ECB，在△D′CF与△ECB中，∴△D′CF≌△ECB（ASA）∴D′F=EB，CF=CE，∵DF=D′F，∴DF=EB，AE=CF设AE=x，则EB=8﹣x，CF=x，∵BC=4，∠CBG=60°，∴BG=BC=2，由勾股定理可知：CG=2， ∴EG=EB+BG=8﹣x+2=10﹣x在△CEG 中，由勾股定理可知：（10﹣x ）2+（2）2=x 2，解得：x=AE=故答案为：8. 如图，把一个矩形纸片OABC 放入平面直角坐标系中，使OA 、OC 分别落在x 轴、y 轴上，连接OB ，将纸片OABC 沿OB 折叠，使点A 落在A′的位置上．若OB ＝，21＝OC BC ，求点A′的坐标为．答案：53 ，54 知识点：坐标与图形性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）分析：由已知条件可得：BC ＝1，OC ＝2．设OC 与A′B 交于点F ，作A′E ⊥OC 于点E ，易得△BCF ≌△OA′F ，那么OA′＝BC ＝1，设A′F ＝x ，则OF ＝2﹣x ．利用勾股定理可得A′F ＝，OF ＝，利用面积可得A′E ＝A′F×OA′÷OF ＝，利用勾股定理可得OE ＝，所以点A’的坐标为（）．解决本题的关键是利用三角形的全等得到点A′所在的三角形的一些相关的线段的长度，进而利用面积的不同表示方法和勾股定理得到所求的点的坐标．解答：解：∵OB ＝5，21＝OC BC ∴BC ＝1，OC ＝2设OC 与A′B 交于点F ，作A′E ⊥OC 于点E∵纸片OABC 沿OB 折叠∴OA ＝OA′，∠BAO ＝∠BA′O ＝90°∵BC ∥A′E∴∠CBF ＝∠FA′E∵∠AOE ＝∠FA′O∴∠AOE ＝∠CBF∴△BCF ≌△OA′F∴OA′＝BC ＝1，设A′F ＝x∴OF ＝2﹣x∴A′F ＝，OF ＝∵A′E ＝A′F×OA′÷OF ＝∴OE ＝∴点A’的坐标为（53-，54）．故答案为：（53-，54）．9. （2017江西）已知点A （0，4），B （7，0），C （7，4），连接AC ，BC 得到矩形AOBC ，点D 的边AC 上，将边OA 沿OD 折叠，点A 的对应边为A'．若点A'到矩形较长两对边的距离之比为1：3，则点A'的坐标为：（，3）或（，1）或（2，﹣2）．【考点】PB ：翻折变换（折叠问题）；D5：坐标与图形性质；LB ：矩形的性质．【分析】由已知得出∠A=90°，BC=OA=4，OB=AC=7，分两种情况：（1）当点A'在矩形AOBC 的内部时，过A'作OB 的垂线交OB 于F ，交AC 于E ，当A'E ：A'F=1：3时，求出A'E=1，A'F=3，由折叠的性质得：OA'=OA=4，∠OA'D=∠A=90°，在Rt △OA'F 中，由勾股定理求出OF==，即可得出答案；②当A'E ：A'F=3：1时，同理得：A'（，1）；（2）当点A'在矩形AOBC 的外部时，此时点A'在第四象限，过A'作OB 的垂线交OB 于F ，交AC 于E ，由A'F ：A'E=1：3，则A'F ：EF=1：2，求出A'F=EF=BC=2，在Rt △OA'F中，由勾股定理求出OF=2，即可得出答案．【解答】解：∵点A（0，4），B（7，0），C（7，4），∴BC=OA=4，OB=AC=7，分两种情况：（1）当点A'在矩形AOBC的内部时，过A'作OB的垂线交OB于F，交AC于E，如图1所示：①当A'E：A'F=1：3时，∵A'E+A'F=BC=4，∴A'E=1，A'F=3，由折叠的性质得：OA'=OA=4，在Rt△OA'F中，由勾股定理得：OF==，∴A'（，3）；②当A'E：A'F=3：1时，同理得：A'（，1）；（2）当点A'在矩形AOBC的外部时，此时点A'在第四象限，过A'作OB的垂线交OB于F，交AC于E，如图2所示：∵A'F：A'E=1：3，则A'F：EF=1：2，∴A'F=EF=BC=2，由折叠的性质得：OA'=OA=4，在Rt△OA'F中，由勾股定理得：OF==2，∴A'（2，﹣2）；故答案为：（，3）或（，1）或（2，﹣2）．。

2018年全国中考数学图形折叠变换压轴题专题复习

2018年全国中考数学图形折叠变换压轴题专题复习【课标要求】1.图形的初步认识：点、线、面、角(1)掌握画基本几何体(直棱柱、圆柱、圆锥、球)的三视图，会判断简单物体的三视图，能根据三视图描述基本几何体或实物原型．(2)了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图判断立体模型．(3)了解几何体与其三视图、展开图(球除外)之间的关系．(4)掌握比较角的大小，估计一个角的大小，计算角度的和与差，进行度、分、秒简单换算．(5)理解角平分线及其性质，了解补角、余角、对顶角；理解等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等．(6)掌握基本事实：两点之间，线段最短；经过两点有一条直线，并且只有一条直线．(7)理解垂线、垂线段等概念，垂线段最短的性质，点到直线距离的意义，能度量点到直线的距离；(8)掌握基本事实：过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线．(9)掌握用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线；线段垂直平分线及其性质．(10)理解平行线的特征和平行线的识别；了解过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线；掌握用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线．(11)探索并证明平行线的判定定理及逆定理：两条平行线被第三条直线所截，如果内错角相等（或同旁内角互补），那么这两条直线平行。

(12)理解平行线之间距离的意义；掌握度量两条平行线之间的距离的方法．2.轴对称(1)通过实例了解轴对称的概念，并能探索它的基本性质：对应点所连的线段被对称轴垂直平分．(2)掌握能按要求作简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形．(3)掌握简单图形之间的轴对称关系，并指出对称轴．(4)掌握基本图形(等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆)的轴对称性质及相关性质．(5)掌握利用轴对称进行图案的设计．3.平移和旋转(1)通过具体实例认识平移，理解对应点连线平行（或在同一直线上）且相等的性质；掌握按要求作简单平面图形平移后的图形；掌握选用平移进行图案设计．(2)通过具体实例认识旋转(含中心对称)；理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质．(3)探索线段、平行四边形、正多边形、圆的中心对称性质．(4)掌握按要求作简单平面图形旋转后的图形．(5)掌握图形之间的轴对称、平移、旋转及其组合四种关系形式．(6)掌握运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计．(7)在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，培养学生的数学说理的习惯与能力．(8)了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小。

2019年河南中考数学之选择、填空重难点题型：专题四几何图形的折叠与动点问题

折叠后点位置的不确定
8．(2018· 达州)如图，Rt△ABC 中，∠C＝90° ，AC＝2，BC＝5，点 D 是 BC 边上一点，且 CD＝1，点 P 是线段 DB 上一动点，连接 AP，以 AP 为斜边在 AP 的下方作等腰直角三角形 AOP.在点 P 从点 D 运动至点 B 的过程中，点 O 的运动路径长为 2 2 ．
4．如图，在直角坐标系中，点 A(4，0)，B(0，2)，过点 A 的直线 l⊥AB，点 P 是直线 l 上一动点，过点 P 作 PC⊥x 轴，垂足为点 C，把△ACP 沿 AP 翻折，使点 C 落在点 D 处，且以点 A，D，P 为顶点的三角形与△ABP 相似，则所有满足条件的点 P 的坐标是 (5，2)或(8，8)或(0，－8)或(3，－2) ．
12．(2018· 安阳一模改编)在矩形 ABCD 中，AB＝4，BC＝9，点 E 是 AD 边上一动点，将△ABE 折叠，点 A 的对应点为 A′，若点 A′到矩形较长两对边的距离之比为 1∶3， 4 4 则线段 AE 的长为 5 15或7 7或 4 3 ． 13．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝3，AD＝6，点 E 为 AD 边上一点，将△ABE 沿 BE 折叠，点 A 落在点 A′处，取 BE 的中点 F，连接 A′F，当 A′F 平行于矩形的某条边时，AE 的长为
折叠后特殊三角形的判定
1．(2018· 宜宾)如图，在矩形 ABCD 中，AB＝3，CB＝2，点 E 为线段 AB 上的动点，将△CBE 沿 CE 折叠，使点 B 落在矩形内点 F 处，下列结论正确的是 ①②③ 所有正确结论的序号) ．(写出
①当 E 为线段 AB 中点时，AF∥CE； 9 ②当 E 为线段 AB 中点时，AF＝； 5 13－2 13 ③当 A，F，C 三点共线时，AE＝； 3 ④当 A，F，C 三点共线时，△CEF≌△AEF.

2018届中考复习专题折叠压轴题(无答案)

中考专题：折叠问题折叠型问题是近年中考的热点问题，通常是把某个图形按照给定的条件折叠，通过折叠前后图形变换的相互关系来命题。

折叠型问题立意新颖，变幻巧妙，对培养学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力非常有效。

图形折叠问题中题型的变化比较多，主要有以下几点：1．图形的翻折部分在折叠前和折叠后的形状、大小不变，是全等形；2．图形的翻折部分在折叠前和折叠后的位置关于折痕成轴对称；3．将长方形纸片折叠，三角形是否为等腰三角形；4．解决折叠问题时，要抓住图形之间最本质的位置关系，从而进一步发现其中的数量关系；5．充分挖掘图形的几何性质，将其中的基本的数量关系，用方程的形式表达出来，并迅速求解，这是解题时常用的方法之一。

折叠问题数学思想：(1)思考问题的逆向(反方向)，(2)从一般问题的特例人手，寻找问题解决的思路；(3)把一个复杂问题转化为解决过的基本问题的转化与化归思想；(4)归纳与分类的思想(把折纸中发现的诸多关系归纳出来，并进行分类)；(5)从变化中寻找不变性的思想.用“操作”、“观察”、“猜想”、“分析”的手段去感悟几何图形的性质是学习几何的方法。

折叠问题主要有以下题型：题型1：动手问题此类题目考查学生动手操作能力，它包括裁剪、折叠、拼图，它既考查学生的动手能力，又考查学生的想象能力，往往与面积、对称性质联系在一起．题型2：证明问题动手操作的证明问题，既体现此类题型的动手能力，又能利用几何图形的性质进行全等、相似等证明．题型3：探索性问题此类题目常涉及到画图、测量、猜想证明、归纳等问题，它与初中代数、几何均有联系．此类题目对于考查学生注重知识形成的过程，领会研究问题的方法有一定的作用，也符合新课改的教育理论。

典型例题一．折叠后求度数例1．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC、BD为折痕，则∠CBD的度数为（）A．600 B．750 C．900 D．950练习1．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D、C分别落在D′、C′的位置，若∠EFB＝65°，则∠AED′等于（）A．50° B．55°C．60° D．65°2．把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，D、C分别在M、N的位置上，若∠EFG=55°，则∠1=_______°，∠2=_______°A3. 用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示的正五边形ABCDE ，其中∠BAC ＝度。

2018年中考数学一轮复习专题图形折叠问题及答案

2018年中考数学一轮复习专题图形折叠问题及答案2018年中考数学一轮复习专题图形折叠问题综合复习一选择题：1.如图，E是矩形ABCD中BC边的中点，将△ABE沿AE折叠到△AFE，F在矩形ABCD内部，延长AF交DC于G点，若∠AEB=55°，则∠DAF=( )A．40° B．35° C．20° D．15°2.如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置，若∠EFB=65°，则∠AED′等于（）A．50° B．55° C．60° D．65°3.如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是（）A．12 B．24 C．12 D．164.如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD=8，AB=4，则DE长为（）A．3 B．4 C．5 D．65.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF.若AB=3，则BC的长为（）A．1 B．2 C. D.6.如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，则重叠部分△AFC的面积为（）A．12 B．10 C．8 D．67.如图，矩形ABCD中，点E在边AB上，将矩形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC的点F处．若AE=5，BF=3，则CD的长是（）A.7B.8 C．9 D． 108.如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠DEC的大小为（）A．78° B．75° C．60° D．45°9.如图，将边长为12cm的正方形ABCD折叠，使得点A落在CD 边上的点E处，折痕为MN．若CE的长为7cm，则MN的长为（）A． 10 B． 13 C． 15 D． 1210.如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内翻折，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，若EH=12厘米，EF=16厘米，则边AD 的长是 ( )A．12厘米 B．16厘米 C．20厘米 D．28厘米11.如图，在矩形 OABC 中，OA=8，OC=4，沿对角线 OB 折叠后，点 A 与点 D 重合，OD 与 BC交于点 E，则点 D 的坐标是（）A．（4，8）B．（5，8）C．（，） D．（，）12.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、EF为折痕，∠BAE=30°，，折叠后，点C落在AD边上的C1处，并且点B落在EC1边上的B1处．则BC的长为（）A. B. 2 C. 3 D.13.如图，矩形纸片ABCD中，AD=3cm，点E在BC上，将纸片沿AE折叠，使点B落在AC上的点F处，且∠AEF=∠CEF，则AB的长是( )A.1 cm B．cm C．2 cm D． cm14.如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，点E是AD上一个动点，把△BAE沿BE向矩形内部折叠，当点A的对应点A1恰好落在∠BCD的平分线上时，CA1的长为（）A．3或4 B．4或3C．3或4 D．3或415.如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AB，BC上，且AE=AB．将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q．对于下列结论：①EF=2BE，②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是( )A．①② B．②③C．①③ D．①④16.如图，点M、N分别在矩形ABCD边AD、BC上，将矩形ABCD沿MN翻折后点C恰好与点A重合，若此时=,则△AMD′的面积与△AMN的面积的比为( )A．1:3 B．1:4 C．1:6 D．1: 917.图，矩形ABCD中，点E是AD的中点，将△ABE折叠后得到△GBE，延长B G交CD于点F，若CF=1，FD=2，则BC的长为( )A.3B.2C.2D.218.如图，矩形ABCD边AD沿拆痕AE折叠，使点D落在BC上的F处，已知AB=6，△ABF的面积是24，则FC等于（）.A．2 B．3 C．4 D．519.如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，将纸片折叠，点A、D分别落在点A′、D′处，且A′D′经过点B，EF为折痕，当D′F⊥CD 时，的值为（）A．B．C．D．20.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5.折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC 边上移动时，折痕的端点P，Q也随之移动。

河南中考中折叠问题,真题分析

类型一折叠三角形
分析
类型一折叠三角形
本题考查了轴对称的性质、勾股定理和线段的性质等；
类型二折叠矩形
例2 如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B'处，当△CEB'为直角三角形时，BE的长为__________．
分析
宝剑锋从磨砺出；梅花香自苦寒来。
AB上，AE＝3，点F是边BC上不与点B，C重合
的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B'
处．若△CDB'恰为等腰三角形，则DB'的长
为
.
分析
根据翻折的性质，可得B′E的长，根据勾股定理，可得CE的长，根据等腰三角形的判定，可得答案．
类型三折叠正方形
例3 如图，正方形ABCD的边长是16，
2．特殊三角形：(1)直角或等腰三角形的判定：首先从可能满足直角的顶点或腰入手，通过矩形的性质、折叠的性质或结合直角三角形勾股定理直接计算，或设出某条线段长，根据相似、勾股定理等，列方程进行求解； 3．河南中招考试中，此类问题的重点为分类讨论，即该题多为多解题，注意等腰三角形的腰，直角三角形的直角顶点，特殊点的位置等．
3
填空题
图形的折叠
矩形的性质及折叠；直角三角形的判定；勾股定理
3
填空题
图形的折叠
三角形的折叠；直角三角形的判定；相似三角形的判定
——
—
—
图形折叠及动点问题的相关计算是近七年河南中招考试的重点及必考点，均在填空题第15题进行考查，分值为 3分；
常见的类型有三角形折叠相关计算、四边形结合的相关计算，常见的设问为探究特殊三角形存在时的线段长、探究动点在特殊位置时的线段长．

2018中考数学专题04 图形折叠问题(选填题重难点题型)(解析版)

1中考指导：近年来，图形折叠问题特别是矩形折叠问题一直是各地中考试题中一道靓丽的风景线.将矩形按不同要求进行折叠可以产生丰富多彩的几何问题.其中，创设开放的折叠情境，使矩形的顶点在折叠后的图形中的落点位置不固定，形成两解类中考压轴填空题的命题形式正悄然兴起. 折叠矩形纸片是轴对称变换，属于全等图形的范畴.可以先从边、角、形三方面思考折叠前后有哪些相等的线段、角和全等三角形，然后联想已知条件，看看又能产生哪些新的结论.这当中，尤其要注意将矩形折叠中产生的角平分线与矩形的两组对边分别平行结合在一起思考，往往会发现等腰三角形.面对折叠后的“静止”图形，你会发现解决这类折叠问题的关键有二点:一是在折叠操作(或“凭空想象”)中，弄清楚各种情况，画出相应状态下的静态图形;二是利用轴对称知识将分散的几何条件(边长)集中到某一个直角三角形中，再设未知数，运用勾股定理构建方程求解.典型例题解析:【例1】（2017年内蒙古赤峰二中中考数学二模）如图，在矩形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、CD 的中点，沿着BE 将△ABE 折叠，点A 刚好落在BF 上，若AB=2，则AD=________．【答案】22∴Rt △EA′F ≌Rt △EDF （HL ）， ∴A′F=DF=1，∴BF=BA′+A′F=AB +DF=2+1=3，在Rt △BCF 中，22223122BF CF -=-=∴2 ．点睛：本题考查了翻折变换的知识，解答本题的关键是连接EF ，证明Rt △EA′F ≌Rt △EDF ，得出BF 的长，再利用勾股定理解答即可．【例2】（河南省周口市西华县2018届九年级第一次模拟）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB=5，AC=3，点D 是BC 上一动点，连接AD ，将△ACD 沿AD 折叠，点C 落在点E 处，连接DE 交AB 于点F ，当△DEB 是直角三角形时，DF 的长为_____．3【答案】或．∴DE=；如图2所示：∠EDB=90时，4由翻折的性质可知：AC=AC′，∠C=∠C′=90°， ∵∠C=∠C′=∠CDC′=90°， ∴四边形ACDC′为矩形，【点睛】本题考查了翻折变换、勾股定理、相似三角形的判定与性质等，结合题意，正确地进行分类讨论并画出相应的图形是解题的关键.*网【例3】（2018年河南省驻马店市实验中学第一次中考模拟）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝83，AD ＝10，点E 是CD 的中点，将这张纸片依次折叠两次：第一次折叠纸片使点A 与点E 重合，如图②，折痕为MN ，连接ME ，NE ；第二次折叠纸片使点N 与点E 重合，如图③，点B 落到B′处，折痕为HG ，连接HE ，则下列结论：①ME ∥HG ；②△MEH 是等边三角形；③∠EHG ＝∠AMN ；④tan ∠EHG ＝53.其中正确的个数是( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C点睛：本题属于四边形综合题，主要考查翻折变换、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识的综合应用，解题的关键是作辅助线构造相似三角形，依据相似三角形对应边成比例，求得EN的长度．解决折叠问题时，常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．强化训练1．（2018年浙江省宁波市鄞州区中考数学模拟）在矩形纸片A BCD中，AD=8，AB=6，E是边BC上的点，将纸片沿5AE折叠，使点B落在点F处，连接FC，当△EFC为直角三角形时，BE的长为（）A. 3B. 5C. 3或5D. 3或6【答案】D点睛：本题考查了翻折变换、矩形的性质、角平分线的性质、正方形的判定与性质以及勾股定理，分∠EFC=90°和∠FEC=90°两种情况寻找BE的长度是解题的关键．2．如图是一张矩形纸片ABCD，AD＝10cm，若将纸片沿DE折叠，使DC落在DA上，点C的对应点为点F，若BE＝6cm，则CD＝( )A. 4cmB. 6cmC. 8cmD. 10cm67【答案】A【解析】由题意可知∠DFE=∠CDF=∠C=90°，DC=DF ， ∴四边形ECDF 是正方形， ∴DC=EC=BC-BE ， ∵四边形ABCD 是矩形， ∴BC=AD=10， ∴DC=10-6=4（cm ）. 故选A.3．如图,矩形ABCD 沿着AE 折叠,使D 点落在BC 边上的F 点处,如果60BAF ∠=o ,则DAE ∠等于 ( )A. 15°B. 30°C. 45°D. 60° 【答案】A4．（陕西省宝鸡市凤翔县2017-2018学年九年级期末）如图，在矩形ABCD 中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC 折叠，则重叠部分△AFC 的面积为（）8A. 12B. 10C. 8D. 6 【答案】B【解析】四边形ABCD 是矩形,,,,,,点睛：本题考查了图形的翻折问题、矩形的性质、三角形的面积及勾股定理;利用勾股定理求得AF 的大小,从而求得叠部分△AFC 的面积是正确解答本题的关键. *网95．（辽宁省大石桥市水源镇九年一贯制学校2018届九年级下学期月考）如图，矩形纸片ABCD 中，G 、F 分别为AD 、BC 的中点，将纸片折叠，使D 点落在GF 上，得到△HAE ，再过H 点折叠纸片，使B 点落在直线AB 上，折痕为PQ ．连接AF 、EF ，已知HE=HF ，下列结论：①△MEH 为等边三角形；②AE ⊥EF ；③△PHE ∽△HAE ；④ 23AD AB ，其中正确的结论是（）A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ①②③④ 【答案】D【解析】试题解析：∵矩形纸片ABCD 中，G 、F 分别为AD 、BC 的中点， ∴GF ⊥AD ，由折叠可得，AH=AD=2AG ，∠AHE=∠D=90°， ∴∠AHG=30°，∠EHM=90°-30°=60°， ∴∠HAG=60°=∠AED=∠MEH ，∴△EHM 中，∠EMH=60°=∠EHM=∠MEH ， ∴△MEH 为等边三角形，故①正确； ∵∠EHM=60°，HE=HF ， ∴∠HEF=30°，∴∠FEM=60°+30°=90°，即AE ⊥EF ，故②正确； ∵∠PEH=∠MHE=60°=∠HEA ，∠EPH=∠EHA=90°，10∴△PHE ∽△HAE ，故③正确；6．（安徽合肥市2018届初三名校大联考一）如图,矩形ABCD 中,AB=4,BC=2,把矩形ABCD 沿过点A 的直线AE 折叠，点D 落在矩形ABCD内部的点D 处,则CD 的最小值是A. 2B. 5C. 252D. 252【答案】C【解析】根据题意，点D′在以点A 为圆心，AD 为半径且在矩形ABCD 内部的圆弧上，连接AC 交圆弧于点D′，由勾股定理得2242+=5CD′的最小值为5，故选C.7．（广东省广州三中2017年中考数学一模）如图，把一矩形纸片OABC 放入平面直角坐标系xoy 中，使OA ，OC 分别落在x 轴、y 轴上，现将纸片OABC 沿OB 折叠，折叠后点A 落在点A'的位置，若OA=1，OB=2，则点A'的坐标为（）11A. 132⎛⎫⎪⎪⎝⎭， B. 132⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， C. 3455⎛⎫- ⎪⎝⎭， D. （ ()31-，【答案】B【解析】点睛：（1）折叠问题充分利用对应的边相等，角相等.12（2）通过三角函数值能推出角的度数；（3）已知线段的长度，表示坐标的时候注意符号问题.8．（2018年广东省深圳市中考数学突破模拟二）如图，将矩形ABCD 沿AE 折叠，点D 的对应点落在BC 上点F处，过点F 作FG ∥CD ，连接EF ，DG ，下列结论中正确的有（）①∠ADG=∠AFG ；②四边形DEFG 是菱形；③DG 2=12AE•EG ；④若AB=4，AD=5，则CE=1．A. ①②③④B. ①②③C. ①③④D. ①② 【答案】B（3）如图所示，连接DF 交AE 于O ，∵四边形DEFG为菱形，∴GE⊥DF，OG=OE=12 GE，∵∠DOE=∠ADE=90°，∠OED=∠DEA，∴△DOE∽△ADE，∴OE DEDE AE，即DE2=EO•AE，∵EO=12GE，DE=DG，∴DG2=12AE•EG，故③正确；9．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F．若AB=4，BC= 6，则FD的长为（）1314A.85 B. 4 C. 94D. 23 【答案】C【解析】试题解析：∵E 是AD 的中点，∴AE =DE ，∵△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE , ∴AE =EG ，AB =BG ， ∴ED =EG ，∵在矩形ABCD 中， ∴90A D ∠=∠=o ， ∴90EGF ∠=o ，1510．（2018年湖北省咸宁市咸安区中考数学模拟）如图，有一矩形纸片ABCD ，AB=6，AD=8，将纸片折叠使AB 落在AD 边上，折痕为AE ，再将△ABE 以BE 为折痕向右折叠，AE 与CD 交于点F ，则CFCD的值是（）A. 1B.12 C. 13 D. 14【答案】C【解析】由题意知：AB=BE=6，BD=AD ﹣AB=2（图2中），AD=AB ﹣BD=4（图3中）； ∵CE∥AB， ∴△ECF∽△ADF，得12CE CF AD DF ==，即DF=2CF ，所以CF ：CD=1：3，16故选C ．【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠问题，相似三角形的判定与性质等，准确识图是解题的关键. *网11．如图，在矩形ABCD 中，AB =3，AD =5，点E 在DC 上，将矩形ABCD 沿AE 折叠，点D 恰好落在BC 边上的点F 处，那么cos ∠EFC 的值是（）A.35 B. 45 C. 12D. 32【答案】A点睛：本题考查的是翻折变换的性质、余弦的概念，掌握翻折变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变换，对应边和对应角相等时解题的关键.1712．如图，在矩形ABCD 中，点F 在AD 上，点E 在BC 上，把这个矩形沿EF 折叠后，使点D 恰好落在BC 边上的G 点处，若矩形面积为43且∠AFG =60°，GE =2BG ，则折痕EF 的长为（）A. 1B. 3C. 2D. 23【答案】C13．（2017年安徽省安庆一中中考数学三模）如图，小亮拿一张矩形纸图（1），沿虚线对折一次得图（2），下将对角两顶点重合折叠得图（3），按图（4）沿折痕中点与重合顶点的连线剪开，得到三个图形，这三个图形分别是（）A. 都是等腰梯形B. 都是等边三角形C. 两个直角三角形，一个等腰三角形D. 两个直角三角形，一个等腰梯形【答案】C【解析】严格按照图中的顺序向上对折，对角顶点对折，沿折痕中点与重合顶点的连线剪开展开可得到两个直角三角形，一个等腰三角形．故选C．14．如图，将一张三角形纸片折叠，使点落在边上，折痕，得到；再继续将纸片沿的对称轴折叠，依照上述做法，再将折叠，最终得到矩形，若中，和的长分别为和，则矩形的面积为（）．A. B. C.D.【答案】B15．（山东省临朐县沂山风景区2018届九年级上期末模拟）如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，将纸片折叠，1819使点C 与点A 重合，折痕为EF ，点D 的对应点为G ，连接DG ，则图中阴影部分面积是（）A. 5B. 3C.365 D. 185【答案】D【解析】过点G 作GH ⊥AD 于点H ，由题意知，AF=FC ，AB=CD=AG=4，BC=AD=8，在Rt △ABF 中，由勾股定理知AB 2+BF 2=AF 2 ，即42+（8﹣AF ）2=AF 2 ，解得AF=5，2016．如图，在矩形ABCD 中，AD=5，AB=8，点E 为射线DC 上一个动点，把△ADE 沿直线AE 折叠，当点D 的对应点F 刚好落在线段AB 的垂直平分线上时，则DE 的长为________．A. 3或4B.52或10 C. 52或53 D. 25或53【答案】B【解析】试题解析：①如图1，当点F 在矩形内部时， ∵四边形ABCD 为矩形， 58AD AB ==，， ∴AB CD =，②如图2，当点F在矩形外部时，2122∵四边形ABCD 为矩形， 58AD AB ==，，∴AB CD =，设DE EF y ==，则4ME y =-，在Rt EMF V 中， ∴222ME MF EF +=，即()22248y y -+=，∴10.y =即DE =10. 故选B.17．（河南省濮阳市2018届九年级第一次模拟）如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点D ，E 为AC ，BC 上两个动点，若将∠C 沿DE 折叠，点C 的对应点'C 恰好落在AB 上，且'ADC∆恰为直角三角形，则此时CD 的长为___________.23【答案】12473或【解析】试题解析： 9034C AC BC ∠=︒==，，，225,AB AC BC ∴=+=由折叠可知： .DC DC =' 若90,ADC ∠='oDC '∥,CB,ADC ACB '∴V V ∽,AD DC AC CB ∴='3,34DC DC-∴= 解得： 12.7CD =点睛：两组角对应相等，两个三角形相似.18．（河北省唐山市路南区2017年中考数学三模）如图，将矩形纸片ABCD沿其对角线AC折叠，使点B落在点B′AD=3，则△EB′C的周长为________．的位置，AB′与CD交于点E，若AB=8，【解析】试题分析：根据翻折图形的性质可得：B′C=BC=AD，∠B′=∠B=∠D=90°，结合对顶角得出△ADE和△CB′E 全等，则B′E=DE，则△EB′C的周长=B′C+B′E+CE=BC+DE+EC=BC+CD=AD+AB=3+8=11．*网19．（2018年咸宁市通城县北港镇初级中学数学中考模拟）如图，在矩形ABCD中，把∠A沿DF折叠，点A恰好落E处，则tan∠ADF=_______．在矩形的对称中心2420．（安徽省蚌埠市2017届九年级下学期中考一模）如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：①四边形CFHE是菱形；②线段BF的取值范围为3≤BF≤4；③EC平分∠DCH；④当点H与点A重合时，EF=25．以上结论中，你认为正确的有______．（填序号）【答案】①②④．【解析】试题解析：①∵FH与EG，EH与CF都是原来矩形ABCD的对边AD、BC的一部分，∴FH//CG,EH//CF，∴四边形CFHE是平行四边形，由翻折的性质得，CF=FH，2526∴四边形CFHE 是菱形，故①正确；③∴∠BCH =∠ECH ，∴只有30DCE ∠=o 时EC 平分∠DCH ，故③错误；过点F 作FM ⊥AD 于M ，则ME =(8−3)−3=2，由勾股定理得， 2225EF MF ME =+=，故④正确，综上所述，结论正确的有①②④，故答案为：①②④.27。

专题4-3 折叠与探究性问题问题理科-2018年高考数学备

2018届高考数学大题狂练第四篇立体几何（理科）专题03 折叠与探究性问题问题1．如图，四棱柱1111ABCD A BC D -的底面为菱形， 0120BAD ∠=，2AB =， ,E F 为1,CD AA 中点. （1）求证： //DF 平面1B AE ；（2）若1AA ⊥底面ABCD ，且直线1AD 与平面1B AE 所成线面角的正弦值为34，求1AA 的长.【答案】(1)证明见解析；(2)2.【解析】试题分析：（1）设G 为1AB 的中点，根据平几知识可得四边形DEGF 是平行四边形，即得//DF EG ，再根据线面平行判定定理得结论，（2）根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解得平面1B AE 一个法向量，根据向量数量积求向量夹角，再根据线面角与向量夹角互余关系列等式，解得1AA 的长.所以//DF 平面1B AE .（2）因为ABCD 是菱形，且060ABD ∠=，所以ABC ∆是等边三角形取BC 中点G ，则AG AD ⊥，因为1AA ⊥平面ABCD ，所以1AA AG ⊥， 1AA AD ⊥建立如图的空间直角坐标系，令1(0)AA t t =>，则)02n AE x ⋅==且10n AB y tz ⋅=-+= ，取(),,4n t =，设直线1AD 与平面1B AE 所成角为θ，则()12163sin 424n AD t t n AD θ⋅===+⋅ ，解得2t =，故线段1AA 的长为2.2．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形， PD DA ⊥, PD DC ⊥. （Ⅰ）若E 是PA 的中点，求证： //PC 平面BED ；（Ⅱ）若PD AD =， 2PE AE =，求直线PB 与平面BED 所成角的正弦值.【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)【解析】试题分析： ()1连接AC 交BD 于G ，中位线 //EG PC ，从而证明()2分别以,,DA DC DP 为,,x y z 轴的正方向建立坐标系，求出法向量为n，利用sin cos ,n PB α= 计算结果（Ⅱ）设2CD =，则2AB BC AD PD ====，且23PE PA =.分别以,,DA DC DP 为,,x y z 轴的正方向建立坐标系，则()()()()()420,0,0,2,0,0,,0,,0,2,0,2,2,0,0,0,233D A E C B P ⎛⎫⎪⎝⎭∴()()422,2,0,,0,,2,2,233DB DE PB ⎛⎫===-⎪⎝⎭，设平面BED 的一个法向量为(),,n x y z = ，则2200{ { 420033x y n DB x z n DE +=⋅=⇒+=⋅= ,令1x =-，则1y =，∴2z =∴()1,1,2n =- 设直线PB 与平面BED 所成的角为α，则sin cos ,3PB n n PB PB nα⋅===⋅所以PB 与平面BED3．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，点E 是棱AB 上的动点. （1）求证： 11DA ED ⊥；（2）若直线1DA 与平面1CED 所成的角是45，请你确定点E 的位置，并证明你的结论.【答案】(1)见解析(2) 直线1DA 与平面1CED 所成的角是45时，点E 在线段AB 中点处【解析】试题分析： ()1要证明11DA ED ⊥，只需要证明110DA ED =即可，建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标，得到向量1DA 和1ED 的坐标，利用向量的数量积的计算公式进行计算即可；另解：容易得到1AE A D ⊥，又因为11A D AD ⊥，得到1A D ⊥平面1D AE ，从而证得()112DA ED ⊥先利用求平面法向量的计算公式，求出平面1CED 的法向量，由已知直线1DA 与平面1CED 所成的角是45︒，利用甲角公式得到方程，解方程即可得到点E 的位置所以DA 1⊥ED 1另解： 1AE ADA ⊥平面，所以1AE A D ⊥. 又11A D AD ⊥，所以11A D D AE ⊥平面. 所以11DA ED ⊥（2）以A 为原点，AB 为x 轴、AD 为y 轴、AA 1为z 轴建立空间直角坐标系所以()10,0,1A 、()0,1,0D 、()1,1,0C 、()10,1,1D ，设AE t =，则(),0,0E t 设平面CED 1的法向量为(),,n x y z =，由10{ 0n CD n CE ⋅=⋅= 可得()0{10x z t x y -+=--=，所以(){1z x y t x==-，因此平面CED 1的一个法向量为()1,1,1t -由直线1DA 与平面1CED 所成的角是45，可得11sin45DA n DA n ⋅︒==，解得12t =由于AB =1，所以直线1DA 与平面1CED 所成的角是45时，点E 在线段AB 中点处 4．如图所示，在四棱台ABCD A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥底面ABCD ，四边形ABCD 为菱形，∠BAD ＝120°，AB ＝AA 1＝2A 1B 1＝2.(1)若M 为CD 中点，求证：AM ⊥平面AA 1B 1B ； (2)求直线DD 1与平面A 1BD 所成角的正弦值．【答案】（1）见解析（2）15∵四边形ABCD 为菱形， ∠BAD ＝120°， ∴△ACD 为等边三角形，又M 为CD 中点， ∴AM ⊥CD ，由CD ∥AB 得，AM ⊥AB .∵AA 1⊥底面ABCD ，AM ⊂平面ABCD ，∴AM ⊥AA 1. 又AB ∩AA 1＝A ， ∴AM ⊥平面AA 1B 1B .(2)∵四边形ABCD 为菱形，∠BAD ＝120°，AB ＝AA 1＝2A 1B 1＝2，∴DM＝1，AM＝，∴∠AMD＝∠BAM＝90°，设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则即令x＝1，则n＝(1，，1)，∴|cos〈n，〉|＝＝＝.∴直线DD1与平面A1BD所成角的正弦值为.5．如图，在直角梯形中，.直角梯形通过直角梯形以直线为轴旋转得到，且使得平面平面.(Ⅰ)求证：平面平面；(Ⅱ)延长至点，使为平面内的动点，若直线与平面所成的角为，且，求点到点的距离的最小值.【答案】(1)见解析(2)【解析】试题分析：（1）由于直角梯形通过直角梯形以直线为轴旋转得到，,利用面面垂直的性质可得平面，进而由面面垂直的判定定理可得结论；（2）由(Ⅰ)可知两两垂直.分别以为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，的坐标为，求得，利用向量垂直数量积为零求出平面的一个法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得，进而可得，进而可得结果. 试题解析：(Ⅰ)直角梯形中，，直角梯形通过直角梯形以直线为轴旋转得到，,又平面平面，平面，平面平面.，得.设的坐标为，则,由,得,,,,所以，当时，,点到点的距离的最小值为.6．已知如图， PA ⊥平面A B C D ，四边形A B C D 为等腰梯形， //AD BC ，2224BC AB AD PA ====.（1）求证：平面PAC ⊥平面PAB ；（2）已知E 为PC 中点，求AE 与平面PBC 所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）7【解析】试题分析：（1）连接AC ，过A 作AG BC ⊥于G ，过D 作DH BC ⊥于H ，由三角形内角和定理可得AC B ⊥A ，由PA ⊥平面ABCD ，可得PA AC ⊥，从而可得AC ⊥平面PAB ，由面面垂直的判定定理可得结论；（2）由（1）知， PA AC ⊥，∴PAC ∆为直角三角形， E 为PC 中点，设A 到平面PBC 距离为h ，根据“等积变换”P ABC A PBC V V --=可求得h =AE 与平面PBC 所成角的正弦值.试题解析：（1）连接AC ，过A 作AG BC ⊥于G ，过D 作DH BC ⊥于H . 在等腰梯形ABCD 中，∵24BC AD ==，∴1BG CH ==.∴60ABC DCB ∠=∠= ，则120ADC BAD ∠=∠= ， 30ACD DAC ∠=∠= ， ∴90BAC ∠= 即AC B ⊥A ，∵PA ⊥平面ABCD ， AC ⊂平面ABCD ， ∴PA AC ⊥，∴AC ⊥平面PAB ，又AC ⊂平面PAC ，∴平面PAC ⊥平面PAB.即114232⨯⨯1132h =⨯⨯，∴7h =. ∴AE 与平面PBC所成角的正弦值等于72=.。

2018届高考数学立体几何(理科)专题03-折叠与探究性问题

2018届高考数学立体几何（理科）专题03 折叠与探究性问题1．如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面为菱形， 0120BAD ∠=， 2AB =， ,E F 为1,CD AA 中点. （1）求证： //DF 平面1B AE ；（2）若1AA ⊥底面ABCD ，且直线1AD 与平面1B AE 所成线面角的正弦值为34，求1AA 的长.2．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形， PD DA ⊥, PD DC ⊥. （Ⅰ）若E 是PA 的中点，求证： //PC 平面BED ；（Ⅱ）若PD AD =， 2PE AE =，求直线PB 与平面BED 所成角的正弦值.3．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱AB 上的动点. （1）求证： 11DA ED ⊥；（2）若直线1DA 与平面1CED 所成的角是45，请你确定点E 的位置，并证明你的结论.4．如图所示，在四棱台ABCD A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥底面ABCD ，四边形ABCD 为菱形，∠BAD ＝120°，AB＝AA1＝2A1B1＝2.(1)若M为CD中点，求证：AM⊥平面AA1B1B；(2)求直线DD1与平面A1BD所成角的正弦值．5．如图，在直角梯形中，.直角梯形通过直角梯形以直线为轴旋转得到，且使得平面平面.(Ⅰ)求证：平面平面；(Ⅱ)延长至点，使为平面内的动点，若直线与平面所成的角为，且，求点到点的距离的最小值.AD BC，6．已知如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为等腰梯形，//====.2224BC AB AD PA（1）求证：平面PAC ⊥平面PAB ；（2）已知E 为PC 中点，求AE 与平面PBC 所成角的正弦值.2018届高考数学立体几何（理科）专题03 折叠与探究性问题（教师版）1．如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面为菱形， 0120BAD ∠=， 2AB =， ,E F 为1,CD AA 中点.（1）求证： //DF 平面1B AE ；（2）若1AA ⊥底面ABCD ，且直线1AD 与平面1B AE 所成线面角的正弦值为34，求1AA 的长. 【答案】(1)证明见解析；(2)2.所以//DF 平面1B AE .（2）因为ABCD 是菱形，且060ABD ∠=，所以ABC ∆是等边三角形取BC 中点G ，则AG AD ⊥，因为1AA ⊥平面ABCD ，所以1AA AG ⊥， 1AA AD ⊥ 建立如图的空间直角坐标系，令1(0)AA t t =>，则()30n AE x ⋅=+=且130n AB x y tz ⋅=-+=，取()3,,4n t t =-，设直线1AD 与平面1B AE 所成角为θ，则()12163sin 424n AD t t n AD θ⋅===+⋅，解得2t =，故线段1AA 的长为2. 2．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形， PD DA ⊥, PD DC ⊥. （Ⅰ）若E 是PA 的中点，求证： //PC平面BED ；（Ⅱ）若PD AD =， 2PE AE =，求直线PB 与平面BED 所成角的正弦值. 【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)3.（Ⅱ）设2CD =，则2A B B C A D P D ====，且23P E P A =.分别以,,DA DC DP 为,,x y z 轴的正方向建立坐标系，则()()()()()420,0,0,2,0,0,,0,,0,2,0,2,2,0,0,0,233D A E C B P ⎛⎫⎪⎝⎭ ∴()()422,2,0,,0,,2,2,233DB DE PB ⎛⎫===-⎪⎝⎭，设平面BED 的一个法向量为(),,n x y z =，则2200{ { 420033x y n DB x z n DE +=⋅=⇒+=⋅=,令1x =-，则1y =，∴2z =∴()1,1,2n =- 设直线PB 与平面BED 所成的角为α，则2sin cos ,PB n n PB PB nα⋅===⋅ 所以PB 与平面BED 3．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱AB 上的动点. （1）求证： 11DA ED ⊥；（2）若直线1DA 与平面1CED 所成的角是45，请你确定点E 的位置，并证明你的结论. 【答案】(1)见解析(2) 直线1DA 与平面1CED 所成的角是45时，点E 在线段AB 中点处所以DA 1⊥ED 1另解： 1AE ADA ⊥平面，所以1AE A D ⊥.又11A D AD ⊥，所以11A DD AE ⊥平面. 所以11DA ED ⊥（2）以A 为原点，AB 为x 轴、AD 为y 轴、AA 1为z 轴建立空间直角坐标系所以()10,0,1A 、()0,1,0D 、()1,1,0C 、()10,1,1D ，设AE t =，则(),0,0E t 设平面CED 1的法向量为(),,n x y z =，由10{ 0n CD n CE ⋅=⋅=可得()0{10x z t x y -+=--=，所以(){1z x y t x==-，因此平面CED 1的一个法向量为()1,1,1t -由直线1DA 与平面1CED 所成的角是45，可得11sin45DA n DA n⋅︒=可得2=，解得12t = 由于AB =1，所以直线1DA 与平面1CED 所成的角是45时，点E 在线段AB 中点处4．如图所示，在四棱台ABCD A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥底面ABCD ，四边形ABCD 为菱形，∠BAD ＝120°，AB ＝AA 1＝2A 1B 1＝2.(1)若M 为CD 中点，求证：AM ⊥平面AA 1B 1B ； (2)求直线DD 1与平面A 1BD 所成角的正弦值．【答案】（1）见解析（2）15∵四边形ABCD 为菱形，∠BAD ＝120°，∴△ACD 为等边三角形，又M 为CD 中点，∴AM ⊥CD ，由CD ∥AB 得，AM ⊥AB .∵AA 1⊥底面ABCD ，AM ⊂平面ABCD ，∴AM ⊥AA 1.又AB ∩AA 1＝A ，∴AM ⊥平面AA 1B 1B .(2)∵四边形ABCD 为菱形，∠BAD ＝120°，AB ＝AA 1＝2A 1B 1＝2，∴DM ＝1，AM ＝，∴∠AMD ＝∠BAM ＝90°，设平面A 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则即令x ＝1，则n ＝(1，，1)，∴|cos〈n ，〉|＝＝＝.∴直线DD 1与平面A 1BD 所成角的正弦值为.5．如图，在直角梯形中，.直角梯形通过直角梯形以直线为轴旋转得到，且使得平面平面.(Ⅰ)求证：平面平面；(Ⅱ)延长至点，使为平面内的动点，若直线与平面所成的角为，且，求点到点的距离的最小值.【答案】(1)见解析(2)试题解析：(Ⅰ)直角梯形中，，直角梯形通过直角梯形以直线为轴旋转得到，,又平面平面，平面，平面平面.，得.设的坐标为，则,由,得,,,,所以，当时，,点到点的距离的最小值为.6．已知如图， PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为等腰梯形， //AD BC ， 2224BC AB AD PA ====.（1）求证：平面PAC ⊥平面PAB ；（2）已知E 为PC 中点，求AE 与平面PBC 所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2 试题解析：（1）连接AC ，过A 作AG BC ⊥于G ，过D 作DH BC ⊥于H .在等腰梯形ABCD 中，∵24BC AD ==，∴1BG CH ==.∴60ABC DCB ∠=∠=，则120ADC BAD ∠=∠=， 30ACD DAC ∠=∠=，∴90BAC ∠=即AC B ⊥A ，∵PA ⊥平面ABCD ， AC ⊂平面ABCD ，∴PA AC ⊥，∴AC ⊥平面PAB ，又AC ⊂平面PAC ，∴平面PAC ⊥平面PAB.即114232⨯⨯1132h =⨯⨯，∴7h =. ∴AE 与平面PBC所成角的正弦值等于727=.。

(完整版)几何图形折叠问题

几何图形折叠问题【疑难点拨】1.折叠(翻折)问题常常出现在三角形、四边形、圆等平面几何问题中，其实质是轴对称性质的应用．解题的关键利用轴对称的性质找到折叠前后不变量与变量，运用三角形的全等、相似及方程等知识建立有关线段、角之间的联系．2.折叠(翻折)意味着轴对称，会生成相等的线段和角，这样便于将条件集中．如果题目中有直角，则通常将条件集中于较小的直角三角形，利用勾股定理求解．3.矩形中的一次折叠通常利用折叠性质和平行线性质求角的度数，或者利用折叠性质以及勾股定理求线段长度．矩形中的两次或多次折叠通常出现“一线三直角”的模型(如图)，从而构造相似三角形，利用相似三角形求边或者角的度数．4.凡是在几何图形中出现“折叠”这个字眼时，第一反应即存在一组全等图形，其次找出与要求几何量相关的条件量．1.常见的轴对称图形：等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆.2.折叠的性质：折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等．【基础篇】一、选择题：1..（2018•四川凉州•3分）如图将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使C落在C′处，BC′交AD于点E，则下到结论不一定成立的是（）AD=BC′B．∠EBD=∠EDB C．△ABE∽△CBD D．sin∠ABE=A．2. （2017山东烟台）如图1，将一圆形纸片向右、向上两次对折后得到如图2所示的扇形AOB．已知OA=6，取OA的中点C，过点C作CD⊥OA交于点D，点F是上一点．若将扇形BOD沿OD翻折，点B恰好与点F重合，用剪刀沿着线段BD，DF，FA依次剪下，则剪下的纸片（形状同阴影图形）面积之和为（）．A．36π-108 B．108-32π C．2πD．π3. （2017浙江衢州）如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD 于点F，则DF的长等于（）A．B．C．D．4.（2018·山东青岛·3分）如图，三角形纸片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点E为AB中点．沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕现交于点F．已知EF=，则BC的长是（）A．B．32C．3 D．335.（2017乌鲁木齐）如图，在矩形ABCD中，点F在AD上，点E在BC上，把这个矩形沿EF折叠后，使点D恰好落在BC边上的G点处，若矩形面积为4且∠AFG=60°，GE=2BG，则折痕EF的长为（）A．1 B．C．2 D．二、填空题：6.（2018·辽宁省盘锦市）如图，已知Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，AC=2+4，点M、N分别在线段AC.AB 上，将△ANM沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当△DCM为直角三角形时，折痕MN的长为．7.（2018·山东威海·8分）如图，将矩形ABCD（纸片）折叠，使点B与AD边上的点K重合，EG为折痕；点C 与AD边上的点K重合，FH为折痕．已知∠1=67.5°，∠2=75°，EF=+1，则BC的长．8.（2018·湖南省常德·3分）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边上的点G处，点C落在点H处，已知∠DGH=30°，连接BG，则∠AGB= ．三、解答与计算题：9.（2018·广东·7分）如图，矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．（1）求证：△ADE≌△CED；（2）求证：△DEF是等腰三角形．10.（2018•山东枣庄•10分）如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．（1）求证：四边形EFDG是菱形；（2）探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；（3）若AG=6，EG=2，求BE的长．【能力篇】一、选择题：11.（2018·辽宁省阜新市）如图，将等腰直角三角形ABC（∠B=90°）沿EF折叠，使点A落在BC边的中点A1处，BC=8，那么线段AE的长度为( )．A．4 B．5 C．6 D．712.（2018·四川省攀枝花·3分）如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于F点，连结CP并延长CP交AD于Q点．给出以下结论：①四边形AECF为平行四边形；②∠PBA=∠APQ；③△FPC为等腰三角形；④△APB≌△EPC．其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．413.（2018·湖北省武汉·3分）如图，在⊙O中，点C在优弧上，将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若⊙O的半径为，AB=4，则BC的长是（）A． B．C．D．二、填空题：14. (2018·辽宁省葫芦岛市) 如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，将△BCE沿BE折叠后得到△BEF、且点F在矩形ABCD的内部，将BF延长交AD于点G．若=，则= ．15.（2018·四川宜宾·3分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，CB=2，点E为线段AB上的动点，将△CBE沿CE 折叠，使点B落在矩形内点F处，下列结论正确的是（写出所有正确结论的序号）①当E为线段AB中点时，AF∥CE；②当E为线段AB中点时，AF=95；③当A、F、C三点共线时，AE=；④当A、F、C三点共线时，△CEF≌△AEF．三、解答与计算题：16.（2018·湖北省宜昌·11分）在矩形ABCD中，AB=12，P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，顶点B 的对应点是点G，过点B作BE⊥CG，垂足为E且在AD上，BE交PC于点F．（1）如图1，若点E是AD的中点，求证：△AEB≌△DEC；（2）如图2，①求证：BP=BF；②当AD=25，且AE＜DE时，求cos∠PCB的值；③当BP=9时，求BE•EF的值．17.（2018·广东·7分）如图，矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．（1）求证：△ADE≌△CED；（2）求证：△DEF是等腰三角形．18.（2018•江苏盐城•10分）如图，在以线段为直径的上取一点，连接、.将沿翻折后得到.（1）试说明点在上；（2）在线段的延长线上取一点，使.求证：为的切线；（3）在（2）的条件下，分别延长线段、相交于点，若，，求线段的长.【探究篇】19.（2018年江苏省泰州市•12分）对给定的一张矩形纸片ABCD进行如下操作：先沿CE折叠，使点B落在CD边上（如图①），再沿CH折叠，这时发现点E恰好与点D重合（如图②）（1）根据以上操作和发现，求的值；（2）将该矩形纸片展开．①如图③，折叠该矩形纸片，使点C与点H重合，折痕与AB相交于点P，再将该矩形纸片展开．求证：∠HPC=90°；②不借助工具，利用图④探索一种新的折叠方法，找出与图③中位置相同的P点，要求只有一条折痕，且点P在折痕上，请简要说明折叠方法．（不需说明理由）20.（2018年江苏省宿迁）如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点E、F分别在边AB、CD上，将正方形ABCD 沿直线EF折叠，使点B的对应点M始终落在边AD上（点M不与点A、D重合），点C落在点N处，MN与CD交于点P，设BE=x，（1）当AM= 时，求x的值；（2）随着点M在边AD上位置的变化，△PDM的周长是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值；（3）设四边形BEFC的面积为S，求S与x之间的函数表达式，并求出S的最小值.几何图形折叠问题【疑难点拨】1.折叠(翻折)问题常常出现在三角形、四边形、圆等平面几何问题中，其实质是轴对称性质的应用．解题的关键利用轴对称的性质找到折叠前后不变量与变量，运用三角形的全等、相似及方程等知识建立有关线段、角之间的联系．2.折叠(翻折)意味着轴对称，会生成相等的线段和角，这样便于将条件集中．如果题目中有直角，则通常将条件集中于较小的直角三角形，利用勾股定理求解．3.矩形中的一次折叠通常利用折叠性质和平行线性质求角的度数，或者利用折叠性质以及勾股定理求线段长度．矩形中的两次或多次折叠通常出现“一线三直角”的模型(如图)，从而构造相似三角形，利用相似三角形求边或者角的度数．4.凡是在几何图形中出现“折叠”这个字眼时，第一反应即存在一组全等图形，其次找出与要求几何量相关的条件量．1.常见的轴对称图形：等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆.2.折叠的性质：折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等．【基础篇】一、选择题：1..（2018•四川凉州•3分）如图将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使C落在C′处，BC′交AD于点E，则下到结论不一定成立的是（）A．AD=BC′B．∠EBD=∠EDB C．△ABE∽△CBD D．sin∠ABE=【分析】主要根据折叠前后角和边相等找到相等的边之间的关系，即可选出正确答案．【解答】解：A、BC=BC′，AD=BC，∴AD=BC′，所以正确．B、∠CBD=∠EDB，∠CBD=∠EBD，∴∠EBD=∠EDB正确．D、∵sin∠ABE=，∴∠EBD=∠EDB∴BE=DE∴sin∠ABE=．故选：C．【点评】本题主要用排除法，证明A，B，D都正确，所以不正确的就是C，排除法也是数学中一种常用的解题方法．2. （2017山东烟台）如图1，将一圆形纸片向右、向上两次对折后得到如图2所示的扇形AOB．已知OA=6，取OA的中点C，过点C作CD⊥OA交于点D，点F是上一点．若将扇形BOD沿OD翻折，点B恰好与点F重合，用剪刀沿着线段BD，DF，FA依次剪下，则剪下的纸片（形状同阴影图形）面积之和为（）．A．36π-108 B．108-32π C．2πD．π【考点】MO：扇形面积的计算；P9：剪纸问题．【分析】先求出∠ODC=∠BOD=30°，作DE⊥OB可得DE=OD=3，先根据S弓形BD=S扇形BOD﹣S△BOD求得弓形的面积，再利用折叠的性质求得所有阴影部分面积．【解答】解：如图，∵CD⊥OA，∴∠DCO=∠AOB=90°，∵OA=OD=OB=6，OC=OA=OD，∴∠ODC=∠BOD=30°，作DE⊥OB于点E，则DE=OD=3，∴S弓形BD=S扇形BOD﹣S△BOD=﹣×6×3=3π﹣9，则剪下的纸片面积之和为12×（3π﹣9）=36π﹣108，故答案为：36π﹣108．故选A3. （2017浙江衢州）如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD 于点F，则DF的长等于（）A．B．C．D．【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LB：矩形的性质．【分析】根据折叠的性质得到AE=AB，∠E=∠B=90°，易证Rt△AEF≌Rt△CDF，即可得到结论EF=DF；易得FC=FA，设FA=x，则FC=x，FD=6﹣x，在Rt△CDF中利用勾股定理得到关于x的方程x2=42+（6﹣x）2，解方程求出x．【解答】解：∵矩形ABCD沿对角线AC对折，使△ABC落在△ACE的位置，∴AE=AB，∠E=∠B=90°，又∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，∴AE=DC，而∠AFE=∠DFC，∵在△AEF与△CDF中，，∴△AEF≌△CDF（AAS），∴EF=DF；∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC=6，CD=AB=4，∵Rt△AEF≌Rt△CDF，∴FC=FA，设FA=x，则FC=x，FD=6﹣x，在Rt△CDF中，CF2=CD2+DF2，即x2=42+（6﹣x）2，解得x=，则FD=6﹣x=．故选：B．4.（2018·山东青岛·3分）如图，三角形纸片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点E为AB中点．沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕现交于点F．已知EF=，则BC的长是（）A．B．32C．3 D．33【分析】由折叠的性质可知∠B=∠EAF=45°，所以可求出∠AFB=90°，再直角三角形的性质可知EF=AB，所以AB=AC的长可求，再利用勾股定理即可求出BC的长．【解答】解：∵沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，∴∠B=∠EAF=45°，∴∠AFB=90°，∵点E为AB中点，∴EF=12AB，EF=32，∴AB=AC=3，∵∠BAC=90°，∴BC=2，故选：B．【点评】本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，求出∠AFB=90°是解题的关键．5.（2017乌鲁木齐）如图，在矩形ABCD中，点F在AD上，点E在BC上，把这个矩形沿EF折叠后，使点D恰好落在BC边上的G点处，若矩形面积为4且∠AFG=60°，GE=2BG，则折痕EF的长为（）A．1 B．C．2 D．【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LB：矩形的性质．【分析】由折叠的性质可知，DF=GF、HE=CE、GH=DC、∠DFE=∠GFE，结合∠AFG=60°即可得出∠GFE=60°，进而可得出△GEF为等边三角形，在Rt△GHE中，通过解含30度角的直角三角形及勾股定理即可得出GE=2EC、DC= EC，再由GE=2BG结合矩形面积为4，即可求出EC的长度，根据EF=GE=2EC即可求出结论．【解答】解：由折叠的性质可知，DF=GF，HE=CE，GH=DC，∠DFE=∠GFE．∵∠GFE+∠DFE=180°﹣∠AFG=120°，∴∠GFE=60°．∵AF∥GE，∠AFG=60°，∴∠FGE=∠AFG=60°，∴△GEF为等边三角形，∴EF=GE．∵∠FGE=60°，∠FGE+∠HGE=90°，∴∠HGE=30°．在Rt△GHE中，∠HGE=30°，∴GE=2HE=CE，∴GH==HE=CE．∵GE=2BG，∴BC=BG+GE+EC=4EC．∵矩形ABCD的面积为4，∴4EC•EC=4，∴EC=1，EF=GE=2．故选C．二、填空题：6.（2018·辽宁省盘锦市）如图，已知Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，AC=2+4，点M、N分别在线段AC.AB 上，将△ANM沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当△DCM为直角三角形时，折痕MN的长为．【解答】解：分两种情况：①如图，当∠CDM=90°时，△CDM是直角三角形，∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，AC=2+4，∴∠C=30°，AB=AC=，由折叠可得：∠MDN=∠A=60°，∴∠BDN=30°，∴BN=DN=AN，∴BN=AB=，∴AN=2BN=．∵∠DNB=60°，∴∠ANM=∠DNM=60°，∴∠AMN=60°，∴AN=MN=；②如图，当∠CMD=90°时，△CDM是直角三角形，由题可得：∠CDM=60°，∠A=∠MDN=60°，∴∠BDN=60°，∠BND=30°，∴BD=DN=AN，BN=BD\1AB=，∴AN=2，BN=，过N作NH⊥AM于H，则∠ANH=30°，∴AH=AN=1，HN=，由折叠可得：∠AMN=∠DMN=45°，∴△MNH是等腰直角三角形，∴HM=HN=，∴MN=．故答案为：或．7.（2018·山东威海·8分）如图，将矩形ABCD（纸片）折叠，使点B与AD边上的点K重合，EG为折痕；点C 与AD边上的点K重合，FH为折痕．已知∠1=67.5°，∠2=75°，EF=+1，求BC的长．【分析】由题意知∠3=180°﹣2∠1=45°、∠4=180°﹣2∠2=30°、BE=KE、KF=FC，作KM⊥BC，设KM=x，知EM=x、MF=x，根据EF的长求得x=1，再进一步求解可得．【解答】解：由题意，得：∠3=180°﹣2∠1=45°，∠4=180°﹣2∠2=30°，BE=KE、KF=FC，如图，过点K作KM⊥BC于点M，设KM=x，则EM=x、MF=x，∴x+x=+1，解得：x=1，∴EK=、KF=2，∴BC=BE+EF+FC=EK+EF+KF=3++，∴BC的长为3++．【点评】本题主要考查翻折变换，解题的关键是掌握翻折变换的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．8.（2018·湖南省常德·3分）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边上的点G处，点C落在点H处，已知∠DGH=30°，连接BG，则∠AGB= 75°．【分析】由折叠的性质可知：GE=BE，∠EGH=∠ABC=90°，从而可证明∠EBG=∠EGB．，然后再根据∠EGH﹣∠EGB=∠EBC﹣∠EBG，即：∠GBC=∠BGH，由平行线的性质可知∠AGB=∠GBC，从而易证∠AGB=∠BGH，据此可得答案．【解答】解：由折叠的性质可知：GE=BE，∠EGH=∠ABC=90°，∴∠EBG=∠EGB．∴∠EGH﹣∠EGB=∠EBC﹣∠EBG，即：∠GBC=∠BGH．又∵AD∥BC，∴∠AGB=∠GBC．∴∠AGB=∠BGH．∵∠DGH=30°，∴∠AGH=150°，∴∠AGB=∠AGH=75°，故答案为：75°．【点评】本题主要考查翻折变换，解题的关键是熟练掌握翻折变换的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．三、解答与计算题：9.（2018·广东·7分）如图，矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．（1）求证：△ADE≌△CED；（2）求证：△DEF是等腰三角形．【分析】（1）根据矩形的性质可得出AD=BC、AB=CD，结合折叠的性质可得出AD=CE、AE=CD，进而即可证出△ADE ≌△CED（SSS）；（2）根据全等三角形的性质可得出∠DEF=∠EDF，利用等边对等角可得出EF=DF，由此即可证出△DEF是等腰三角形．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=CD．由折叠的性质可得：BC=CE，AB=AE，∴AD=CE，AE=CD．在△ADE和△CED中，，∴△ADE≌△CED（SSS）．（2）由（1）得△ADE≌△CED，∴∠DEA=∠EDC，即∠DEF=∠EDF，∴EF=DF，∴△DEF是等腰三角形．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、翻折变换以及矩形的性质，解题的关键是：（1）根据矩形的性质结合折叠的性质找出AD=CE、AE=CD；（2）利用全等三角形的性质找出∠DEF=∠EDF．10.（2018•山东枣庄•10分）如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．（1）求证：四边形EFDG是菱形；（2）探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；（3）若AG=6，EG=2，求BE的长．【分析】（1）先依据翻折的性质和平行线的性质证明∠DGF=∠DFG，从而得到GD=DF，接下来依据翻折的性质可证明DG=GE=DF=EF；（2）连接DE，交AF于点O．由菱形的性质可知GF⊥DE，OG=OF=GF，接下来，证明△DOF∽△ADF，由相似三角形的性质可证明DF2=FO•AF，于是可得到GE、AF、FG的数量关系；（3）过点G作GH⊥DC，垂足为H．利用（2）的结论可求得FG=4，然后再△ADF中依据勾股定理可求得AD的长，然后再证明△FGH∽△FAD，利用相似三角形的性质可求得GH的长，最后依据BE=AD﹣GH求解即可．【解答】解：（1）证明：∵GE∥DF，∴∠EGF=∠DFG．∵由翻折的性质可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF，∴∠DGF=∠DFG．∴GD=DF．∴DG=GE=DF=EF．∴四边形EFDG为菱形．（2）EG2=GF•AF．理由：如图1所示：连接DE，交AF于点O．∵四边形EFDG为菱形，∴GF⊥DE，OG=OF=GF．∵∠DOF=∠ADF=90°，∠OFD=∠DFA，∴△DOF∽△ADF．∴，即DF2=FO•AF．∵FO=GF，DF=EG，∴EG2=GF•AF．（3）如图2所示：过点G作GH⊥DC，垂足为H．∵EG2=GF•AF，AG=6，EG=2，∴20=FG（FG+6），整理得：FG2+6FG﹣40=0．解得：FG=4，FG=﹣10（舍去）．∵DF=GE=2，AF=10，∴AD==4．∵GH⊥DC，AD⊥DC，∴GH∥AD．∴△FGH∽△FAD．∴，即=．∴GH=．∴BE=AD﹣GH=4﹣=．【点评】本题主要考查的是四边形与三角形的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、菱形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用，利用相似三角形的性质得到DF2=FO•AF是解题答问题（2）的关键，依据相似三角形的性质求得GH的长是解答问题（3）的关键．【能力篇】一、选择题：11.（2018·辽宁省阜新市）如图，将等腰直角三角形ABC（∠B=90°）沿EF折叠，使点A落在BC边的中点A1处，BC=8，那么线段AE的长度为( )．A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：由折叠的性质可得AE=A1E．∵△ABC为等腰直角三角形，BC=8，∴AB=8．∵A1为BC的中点，∴A1B=4，设AE=A1E=x，则BE=8﹣x．在Rt△A1BE中，由勾股定理可得42+（8﹣x）2=x2，解得x=5．故答案为：5．故选B12.（2018·四川省攀枝花·3分）如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于F点，连结CP并延长CP交AD于Q点．给出以下结论：①四边形AECF为平行四边形；②∠PBA=∠APQ；③△FPC为等腰三角形；④△APB≌△EPC．其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4解：①如图，EC，BP交于点G；∵点P是点B关于直线EC的对称点，∴EC垂直平分BP，∴EP=EB，∴∠EBP=∠EPB．∵点E为AB中点，∴AE=EB，∴AE=EP，∴∠PAB=∠PBA．∵∠PAB+∠PBA+∠APB=180°，即∠PAB+∠PBA+∠APE+∠BPE=2（∠PAB+∠PBA）=180°，∴∠PAB+∠PBA=90°，∴AP⊥BP，∴AF∥EC；∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，故①正确；②∵∠APB=90°，∴∠APQ+∠BPC=90°，由折叠得：BC=PC，∴∠BPC=∠PBC．∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠ABP+∠PBC=90°，∴∠ABP=∠APQ，故②正确；③∵AF∥EC，∴∠FPC=∠PCE=∠BCE．∵∠PFC是钝角，当△BPC是等边三角形，即∠BCE=30°时，才有∠FPC=∠FCP，如右图，△PCF不一定是等腰三角形，故③不正确；④∵AF=EC，AD=BC=PC，∠ADF=∠EPC=90°，∴Rt△EPC≌△FDA（HL）．∵∠ADF=∠APB=90°，∠FAD=∠ABP，当BP=AD或△BPC是等边三角形时，△APB≌△FDA，∴△APB≌△EPC，故④不正确；其中正确结论有①②，2个．故选B．13. （2018·湖北省武汉·3分）如图，在⊙O 中，点C 在优弧上，将弧沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ．若⊙O 的半径为，AB=4，则BC 的长是（）A ．B ．C ．D ．【分析】连接OD 、AC 、DC 、OB 、OC ，作CE ⊥AB 于E ，OF ⊥CE 于F ，如图，利用垂径定理得到OD ⊥AB ，则AD=BD=AB=2，于是根据勾股定理可计算出OD=1，再利用折叠的性质可判断弧AC 和弧CD 所在的圆为等圆，则根据圆周角定理得到=，所以AC=DC ，利用等腰三角形的性质得AE=DE=1，接着证明四边形ODEF 为正方形得到OF=EF=1，然后计算出CF 后得到CE=BE=3，于是得到BC=3 2．【解答】解：连接OD 、AC 、DC 、OB 、OC ，作CE ⊥AB 于E ，OF ⊥CE 于F ，如图， ∵D 为AB 的中点， ∴OD ⊥AB ， ∴AD=BD=AB=2，在Rt △OBD 中，OD=22(5)2 =1， ∵将弧沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ．∴弧AC 和弧CD 所在的圆为等圆， ∴=，∴AC=DC ， ∴AE=DE=1，易得四边形ODEF 为正方形， ∴OF=EF=1，在Rt △OCF 中，CF=22(5)1 ， ∴CE=CF+EF=2+1=3，而BE=BD+DE=2+1=3， ∴BC=3．故选：B ．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理和垂径定理．二、填空题：14. (2018·辽宁省葫芦岛市) 如图，在矩形ABCD 中，点E 是CD 的中点，将△BCE 沿BE 折叠后得到△BEF 、且点F 在矩形ABCD 的内部，将BF 延长交AD 于点G ．若=，则= ．【解答】解：连接GE ．∵点E 是CD 的中点，∴EC=DE ．∵将△BCE 沿BE 折叠后得到△BEF 、且点F 在矩形ABCD 的内部，∴EF=DE ，∠BFE=90°．在Rt △EDG 和Rt △EFG 中，∴Rt △EDG ≌Rt △EFG （HL ），∴FG=DG ．∵=，∴设DG=FG=a，则AG=7a，故AD=BC=8a，则BG=BF+FG=9a，∴AB==4a，故==．故答案为：．15.（2018·四川宜宾·3分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，CB=2，点E为线段AB上的动点，将△CBE沿CE 折叠，使点B落在矩形内点F处，下列结论正确的是①②③（写出所有正确结论的序号）①当E为线段AB中点时，AF∥CE；②当E为线段AB中点时，AF=95；③当A、F、C三点共线时，AE=；④当A、F、C三点共线时，△CEF≌△AEF．【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；KB：全等三角形的判定；LB：矩形的性质．【分析】分两种情形分别求解即可解决问题；【解答】解：如图1中，当AE=EB时，∵AE=EB=EF，∴∠EAF=∠EFA，∵∠CEF=∠CEB，∠BEF=∠EAF+∠EFA，∴∠BEC=∠EAF，∴AF∥EC，故①正确，作EM⊥AF，则AM=FM，在Rt△ECB中，EC==，，∵∠AME=∠B=90°，∠EAM=∠CEB，∴△CEB∽△EAM，∴=，∴=，∴AM=，∴AF=2AM=95，故②正确，如图2中，当A、F、C共线时，设AE=x．则EB=EF=3﹣x，AF=13﹣2，在Rt△AEF中，∵AE2=AF2+EF2，∴x2=（﹣2）2+（3﹣x）2，∴x=，，∴AE=，故③正确，如果，△CEF≌△AEF，则∠EAF=∠ECF=∠ECB=30°，显然不符合题意，故④错误，故答案为①②③．【点评】本题考查翻折变换、全等三角形的性质、勾股定理、矩形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．三、解答与计算题：16.（2018·湖北省宜昌·11分）在矩形ABCD中，AB=12，P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，顶点B 的对应点是点G，过点B作BE⊥CG，垂足为E且在AD上，BE交PC于点F．（1）如图1，若点E是AD的中点，求证：△AEB≌△DEC；（2）如图2，①求证：BP=BF；②当AD=25，且AE＜DE时，求cos∠PCB的值；③当BP=9时，求BE•EF的值．【分析】（1）先判断出∠A=∠D=90°，AB=DC再判断出AE=DE，即可得出结论；（2）①利用折叠的性质，得出∠PGC=∠PBC=90°，∠BPC=∠GPC，进而判断出∠GPF=∠PFB即可得出结论；②判断出△ABE∽△DEC，得出比例式建立方程求解即可得出AE=9，DE=16，再判断出△ECF∽△GCP，进而求出PC，即可得出结论；③判断出△GEF∽△EAB，即可得出结论．【解答】解：（1）在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，AB=DC，∵E是AD中点，∴AE=DE，在△ABE和△DCE中，，∴△ABE≌△DCE（SAS）；（2）①在矩形ABCD，∠ABC=90°，∵△BPC沿PC折叠得到△GPC，∴∠PGC=∠PBC=90°，∠BPC=∠GPC，∵BE⊥CG，∴BE∥PG，∴∠GPF=∠PFB，∴∠BPF=∠BFP，∴BP=BF；②当AD=25时，∵∠BEC=90°，∴∠AEB+∠CED=90°，∵∠AEB+∠ABE=90°，∴∠CED=∠ABE，∵∠A=∠D=90°，∴△ABE∽△DEC，∴，设AE=x，∴DE=25﹣x，∴，∴x=9或x=16，∵AE＜DE，∴AE=9，DE=16，∴CE=20，BE=15，由折叠得，BP=PG，∴BP=BF=PG，∵BE∥PG，∴△ECF∽△GCP，∴，设BP=BF=PG=y，∴，∴y=，∴BP=，在Rt△PBC中，PC=，cos∠PCB==；③如图，连接FG，∵∠GEF=∠BAE=90°，∵BF∥PG，BF=PG，∴▱BPGF是菱形，∴BP∥GF，∴∠GFE=∠ABE，∴△GEF∽△EAB，∴，∴BE•EF=AB•GF=12×9=108．【点评】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，利用方程的思想解决问题是解本题的关键．17.（2018·广东·7分）如图，矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．（1）求证：△ADE≌△CED；（2）求证：△DEF是等腰三角形．【分析】（1）根据矩形的性质可得出AD=BC、AB=CD，结合折叠的性质可得出AD=CE、AE=CD，进而即可证出△ADE ≌△CED（SSS）；（2）根据全等三角形的性质可得出∠DEF=∠EDF，利用等边对等角可得出EF=DF，由此即可证出△DEF是等腰三角形．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=CD．由折叠的性质可得：BC=CE，AB=AE，∴AD=CE，AE=CD．在△ADE和△CED中，，∴△ADE≌△CED（SSS）．（2）由（1）得△ADE≌△CED，∴∠DEA=∠EDC，即∠DEF=∠EDF，∴EF=DF，∴△DEF是等腰三角形．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、翻折变换以及矩形的性质，解题的关键是：（1）根据矩形的性质结合折叠的性质找出AD=CE、AE=CD；（2）利用全等三角形的性质找出∠DEF=∠EDF．18.（2018•江苏盐城•10分）如图，在以线段为直径的上取一点，连接、.将沿翻折后得到.（1）试说明点在上；（2）在线段的延长线上取一点，使.求证：为的切线；（3）在（2）的条件下，分别延长线段、相交于点，若，，求线段的长. 【答案】（1）解：连接OC，OD，由翻折可得OD=OC，∵OC是⊙O的半径，∴点D在⊙O上。

中考数学专题题型讲练过关题型04 几何图形的折叠与动点问题

1.如图,等边三角形ABC的边长为2,D,E分别是边AB,AC上的点,沿DE所在的直线折叠∠A,使点A的对应点P始终落在边BC上,若△BDP是直角三角形,则AD的长为.(第1题)(第2题)2.[2018周口地区模拟]如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,AB=5,D是BC上一动点(点D不与点B,C重合),连接AD,将△ACD沿AD折叠,点C落在点E处,DE交AB于点F,当△DEB是直角三角形时,DF的长为.3.[2018新乡一模]如图,菱形ABCD的边长是4,∠DAB=60°,点M,N分别在边AD,AB上,且MN⊥AC,垂足为点P,把△AMN沿MN折叠得到△A'MN,若△A'DC恰为等腰三角形,则AP 的长为.4.[2018郑州外国语三模]如图,已知在等腰三角形ABC中,AB=AC=,BC=4,点D从点A出发,以每秒个单位长度的速度向点B运动,同时点E从点B出发,以每秒4个单位长度的速度向点C运动,在DE的右侧作∠DEF=∠B,交直线AC于点F.设运动时间为t秒,则当△ADF是一个以AD为腰的等腰三角形时,t的值为.5.[2017郑州适应性]如图,在直角坐标系中,点A(2,0),点B(0,1),过点A的直线l垂直于线段AB,点P是直线l上一动点,过点P作PC⊥x轴,垂足为点C,把△ACP沿AP翻折180°,使点C落在点D处,若以A,D,P为顶点的三角形与△ABP相似,则所有满足此条件的点P的坐标为.6.[2017郑州八中三模]如图,在Rt△ABC中,AB=3,BC=4,点P是射线BC上一个动点,连接AP,将△ABP沿AP折叠,当点B的对应点B'落在BC的垂直平分线上时,则BP的长为.7.[2017许昌二模]如图,矩形ABCD中,AB=8,BC=15,点E是AD边上一点,连接BE,把△ABE沿BE折叠,使点A落在点A'处.点F是CD边上一点,连接EF,把△DEF沿EF折叠,使点D落在直线EA'上的点D'处.当点D'落在BC边上时,AE的长为.8.[2018信阳二模]在矩形纸片ABCD中,AB=9,BC=6,在矩形边上有一点P,且DP=3.将矩形纸片折叠,使点B与点P重合,折痕所在直线分别交边CD,AB于点E,F,则EF的长为.9.[2018平顶山二模]如图,已知矩形ABCD,AB=2,AD=6,点E,F分别是线段AD,BC上的点,且四边形ABFE是正方形,若点G是线段AD上的动点,连接FG,将矩形沿FG折叠,使得点C的对应点P落在正方形ABFE的对角线所在的直线上,则线段AP的长为.10.[2018许昌一模]如图,矩形纸片ABCD中,AB=3,AD=5,点P是边BC上的动点,现将纸片折叠,使点A与点P重合,折痕与矩形的边交于E,F两点,要使折痕始终与边AB,AD有交点,BP 的取值范围是.11.[2017平顶山二模]如图,在矩形纸片ABCD中,AB=5,AD=2,点P在线段AB上运动,设AP=x.现将纸片折叠,使点D与点P重合,得折痕EF(点E,F为折痕与矩形边的交点),再将纸片还原,则四边形EPFD为菱形时,x的取值范围是.12.如图,已知矩形ABCD中,AB=4,BC=2,点M,E在边AD上,点F在边AB上,并且DM=1,现将△AEF沿着直线EF折叠,使点A落在边CD上的点P处,则当PB+PM的值最小时,ME的长度为.13.[2019原创]如图,矩形ABCD中,AB=4,AD=9,点E,F分别是BC,AD上的动点,∠FEC为钝角,沿直线EF翻折矩形,点C,D的对应点分别为C',D',若C',D',B在同一条直线上,且=,则AF的长为.14.[2018四川泸州]如图,等腰三角形ABC的底边BC=20,面积为120,点F在边BC上,且BF=3FC,EG是腰AC的垂直平分线,若点D在EG上运动,则△CDF周长的最小值为.15.[2018河南省实验三模]如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,AC=2,E为斜边AB 的中点,P是射线BC上的一个动点,连接AP,PE,将△AEP沿着边PE折叠,折叠后得到△EPA',若折叠后△EPA'与△BEP的重叠部分的面积恰好为△ABP面积的,则此时BP的长为.参考答案1.4-6或3-∵△ABC是等边三角形,∴∠B=60°.由折叠可知,AD=DP,设AD=DP=x,则BD=2-x.当∠DPB=90°时,DP=BDsin B,即x=(2-x),解得x=4-6;当∠BDP=90°时,DP=BDtan B,即x=(2-x),解得x=3-.故AD的长为4-6或3-.2.或在Rt△ABC中,BC===4.由折叠可知AE=AC=3,DC=DE.分三种情况讨论.①当∠DEB=90°时,如图(1)所示,点E与点F重合,EB=2.设DC=ED=x,则BD=4-x.在Rt△DBE中,DE2+BE2=DB2,即x2+22=(4-x)2,解得x=,∴DE=.②当∠EDB=90°时,如图(2)所示,由折叠可知∠AED=∠C=90°,又∠EDB=90°,∴四边形ACDE为矩形,又∵AC=AE,∴矩形ACED为正方形,∴CD=AC=3,∴DB=BC-DC=4-3=1.∵DF∥AC,∴△BDF∽△BCA,∴=,即=,解得DF=.③当∠EBD=90°时,AC∥BE,此时点A到BE的距离为BC的长,而AE=AC<BC,故此种情况不存在.综上可知,DF的长为或.图(1)图(2)3.或2-2由题意可知,当A'D=CD时,点A'与点A或点C重合,不符合题意,故需分以下两种情况讨论.①如图(1),当A'D=A'C时,∠A'DC=∠A'CD=30°,∴∠AA'D=60°,又∵∠CAD=30°,∴∠ADA'=90°,∴AA'===.由折叠可得AP=AA'=.②如图(2),当CA'=CD=4时,连接BD交AC于点O,则在Rt△COD中,CO=CD×cos30°=4×=2,∴AC=4,∴AA'=AC-A'C=4-4.由折叠可得AP=AA'=2-2.综上可知,AP的长为或2-2.图(1)图(2)4.,或根据题意可得AD=t,BE=4t,则BD=-t,CE=4-4t.易证△BDE∽△CEF,∴=,∴BD·CF=CE·BE.分以下三种情况讨论.①如图(1),当点F在线段AC上,且AF=AD=t时,CF=BD=-t,∴(-t)2=4t(4-4t),解得t=(不合题意的解已舍去).②如图(2),当点F在CA的延长线上,且AF=AD=t时,CF=+t,∴(-t)(+t)=4t(4-4t),解得t=(不合题意的解已舍去).③如图(3),当点F在CA的延长线上,且DF=AD=t时,过点B作BM⊥AC,垂足为点M,设AM=x,由勾股定理可得AB2-AM2=BC2-CM2,即()2-x2=42-(+x)2,解得x=.取AF的中点H,连接DH,则∠HDA=∠MBA,∴sin∠HDA=sin∠MBA,即=,∴=,解得AH=t,∴AF=t,∴(-t)(+t)=4t(4-4t),解得t=(不合题意的解已舍去).综上所述,t的值为,或.图(1)图(2)图(3)5.(,1),(4,4),(,-1)或(0,-4)∵点A(2,0),点B(0,1),∴OA=2,OB=1,AB==.由题意可得,△ACP≌△ADP,要使△ADP与△ABP相似,则△ACP与△ABP相似.由PA⊥AB,PC⊥x轴,易得△ACP∽△BOA,则==.(1)如图(1),当点P在x轴的上方时,设AC=m,则PC=2m,PA=m.①当△ACP∽△PAB时,有=,即=,解得m=,∴PC=1,OC=2+=,∴点P的坐标为(,1);②当△ACP∽△BAP时,有=,即=,解得m=2,∴PC=4,OC=2+2=4,∴点P的坐标为(4,4).(2)如图(2),当点P在x轴的下方时,设AC=m,则PC=2m,则PA=m.①当△ACP∽△PAB时,有=,即=,解得m=,∴PC=1,OC=2-=,∴点P的坐标为(,-1);②当△ACP∽△BAP,∴=,即=,解得m=2,∴PC=4,OC=2-2=0,∴点P的坐标为(0,-4).综上所述,点P的坐标为(,1),(4,4),(,-1)或(0,-4).图(1)图(2)6.或如图,作BC的垂直平分线分别交AC,BC于点D,E.(1)当点P在线段BC上时,如图(1),过点A作AF⊥ED交ED的延长线于点F,易得AF=BE=BC=2,AB'=AB=3.设BP=B'P=x,B'E=m,则PE=2-x.易证△AB'F∽△B'PE,∴=,即=,∴m=x.在Rt△PB'E中,B'P2=PE2+B'E2,则x2=(2-x)2+(x)2,解得x1=,x2=(不合题意,舍去),此时BP的长为.(2)当点P在BC的延长线上时,如图(2),过点B'作B'M⊥BA交BA 的延长线于点M,过点P作PN⊥MB'交MB的延长线于点N,则四边形MBEB'是矩形,MB'=BE=2,AB=AB'=3,∴AM=.设BP=B'P=y,则NB'=y-2.易证△MAB'∽△NB'P,∴=,即=,则NP=.在Rt△NPB'中,由勾股定理,得NP2+B'N2=B'P2,即+(y-2)2=y2,解得y=(不合题意,舍去)或y=.图(1)图(2)7.或设AE=x,则DE=15-x,根据折叠的特征,得A'E=AE=x,D'E=DE=15-x,∠AEB=∠A'EB,A'B=AB=8,∴D'A'=15-2x.∵AD∥BC,∴∠AEB=∠CBE,∴∠D'EB=∠CBE,∴D'B=D'E=15-x.在Rt△BA'D'中,由勾股定理,得A'B2+A'D'2=D'B2,即(15-x)2=82+(15-2x)2,解得x=.8.6或2分以下两种情况讨论.①如图(1),当点P在CD上时,∵PD=3,CD=AB=9,∴CP=6,∴CP=BC,∴点C与点E重合,∴四边形PFBE是正方形,∴EF=6.②如图(2),当点P在AD上时,连接BP,过点E作EQ⊥AB于点Q,∵PD=3,AD=6,∴AP=3,∴PB===3.易得△ABP∽△QEF,∴=,即=,解得EF=2.综上,EF的长为6或2.图(1)图(2)9.4或4-2由折叠知PF=CF.∵四边形ABCD是矩形,∴CD=AB=2,BC=AD=6.∵四边形ABFE是正方形,∴AE=EF=FB=AB=2,∴FC=BC-FB=6-2=4,AF=2,∴FP=4.分以下三种情况讨论.①如图(1),当点P落在BE的延长线上时,由正方形的性质可知,直线BE垂直平分线段AF,∴AP=FP=4.②如图(2),当点P落在EB的延长线上时,同理可得AP=FP=4.③如图(3),当点P落在FA的延长线上时,AP=FP-AF=4-2.综上,线段AP的长为4或4-2.图(1)图(2)图(3)10.1≤BP≤3①如图(1),当点F,D重合时,BP的值最小.根据折叠的性质知,PF=AF=5.在Rt△PFC中,PF=5,FC=3,则PC=4,∴BP=1.②如图(2),当点E,B重合时,BP的值最大.由折叠的性质可得BP=AB=3.故BP的取值范围是1≤BP≤3.图(1)图(2)11.2≤x≤5由题意知,DE=EP,DF=PF,要使四边形EPFD为菱形,只需DE=DF即可.如图(1),若点E在AD上,点F在BC上,此时DE≤2,而DF>5,∴DE≠DF,四边形EPFD不是菱形;如图(2),若点E在AD上,点F在CD上,∠EDF=90°,若DE=DF,则∠DEF=∠DFE=45°,此时四边形EPFD为正方形,则点E与点A重合,即图(3)为图(2)的特殊情形,此时AP=2;如图(4),若点E 在AB上,点F在CD上.∵AB∥CD,∴∠DFE=∠PEF.由折叠的性质可知,∠DEF=∠PEF,∴∠DEF=∠DFE,∴DE=DF,此时四边形EPFD总是菱形.综上所述,当2≤x≤5时,四边形EPFD是菱形.图(1)图(2)图(3)图(4)12.如图,作点M关于直线CD的对称点M',连接M'B交CD于点P,此时PB+PM的值最小.∵四边形ABCD为矩形,∴DP∥AB,∴△M'DP∽△M'AB,∴=,即=,∴DP=.由折叠的性质可知AE=EP,设EM=a,则DE=1-a,EP=AE=1+a.在Rt△DEP中,DE2+DP2=EP2,即(1-a)2+()2=(1+a)2,解得a=.故当PB+PM的值最小时,ME的长度为.13.连接BF,∵=,∴=.∵D'C'=DC=4,∴BD'=2.设AF=x,则FD'=9-x.∵BF为Rt△ABF和Rt△BD'F的公共边,∴AB2+AF2=BD'2+D'F2,∴42+x2=22+(9-x)2,解得x=.14.18连接AD,∵EG垂直平分线段AC,∴DA=DC,∴DF+DC=DF+AD,∴当A,D,F三点共线时,DF+DC的值最小,最小值就是线段AF的长.过点A作AH⊥BC于点H,∵BC·AH=120,BC=20,∴AH=12.∵AB=AC,AH⊥BC,∴BH=CH=10.∵BF=3FC,∴CF=FH=5,∴AF===13,∴DF+DC的最小值为13,∴△CDF周长的最小值为13+5=18.15.2或2∵∠ACB=90°,∠B=30°,AC=2,E为斜边AB的中点,∴AB=4,AE=AB=2,BC=2.分以下两种情况讨论.①若PA'与AB交于点F,连接A'B,如图(1).由折叠的性质可知S△A'EP=S△AEP,A'E=AE=2.∵点E是AB的中点,∴S△BEP=S△AEP=S△ABP.由题可知S△EFP=S△ABP,∴S△EFP=S△BEP=S△AEP=S△A'EP,∴EF=BE=BF,PF=A'P=A'F,∴四边形A'EPB是平行四边形,∴BP=A'E=2.②若EA'与BC交于点G,连接A'B,如图(2).同理可得GP=BP=BG,EG=EA'=×2=1,∴四边形A'BEP是平行四边形,∴A'P=BE=AE,且A'P∥BE,∴四边形A'PAE是平行四边形,∴AP=A'E=2,∴AP=AC,即点P与点C重合,∴BP=BC=2.综上所述,BP的长为2或2.图(1)图(2)。

(完整版)几何图形折叠问题

HistudyjiftS7^i viPTUk帮助预子個建持续迸步的孚刃力几何图形折叠问题【疑难点拨】1. 折叠（翻折）问题常常出现在三角形、四边形、圆等平面几何问题中，其实质是轴对称性质的应用•解题的关键利用轴对称的性质找到折叠前后不变量与变量，运用三角形的全等、相似及方程等知识建立有关线段、角之间的联系.2. 折叠（翻折）意味着轴对称，会生成相等的线段和角，这样便于将条件集中•如果题目中有直角，则通常将条件集中于较小的直角三角形，利用勾股定理求解.3. 矩形中的一次折叠通常利用折叠性质和平行线性质求角的度数，或者利用折叠性质以及勾股定理求线段长度•矩形中的两次或多次折叠通常出现“一线三直角”的模型（如图），从而构造相似三角形，利用相似三角形求边或者角的度数.4. 凡是在几何图形中出现“折叠”这个字眼时，第一反应即存在一组全等图形，其次找出与要求几何量相关的条件量.1.常见的轴对称图形：等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆 .2.折叠的性质：折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等. 【基础篇】一、选择题：1. . （2018?四川凉州？ 3分）如图将矩形 ABCD&对角线BD 折叠，使C 落在C'处，BC'交AD 于点E ,则下到结论不一定成立的是（）AD=BCB .Z EBD=/ EDB C.A ABE^A CBD D sin / ABE*A.IHistudyjlftS7^l viPTUk帮助预子個建持续iS步的孚刃力2. （2017山东烟台）如图1，将一圆形纸片向右、向上两次对折后得到如图2所示的扇形AOB已知OA=6取OA的中点C,过点C作CD L OA交理于点D,点F是上一点.若将扇形BOD沿OD翻折，点B恰好与点F重合，用剪刀沿着线段BD, DF, FA依次剪下，则剪下的纸片（形状同阴影图形）面积之和为（___________ .A. 36 n -108 B . 108-32 n C. 2 n D.nABC AB=AC / BAC=90，点E为AB中点.沿过点E的直线折5. （2017乌鲁木齐）如图，在矩形ABCD中，点F在AD上,点E在BC上，把这个矩形沿EF折叠后，使点D恰好落在BC边上的G点处，若矩形面积为4胚且/ AFG=60 , GE=2BG则折痕EF的长为（）A. 1B.说C. 2D.加如图，矩形纸片ABCD中, AB=4, BC=6将厶ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD 叠，使点B与点A重合，折痕现交于点F.已知E一，则BC的长是（3. （2017浙江衢州）于点F,则DF的长等于（）4. （2018 •山东青岛• 3分）如图，三角形纸片B. 3.2C. 3HiSMldy」畅字刃VIPT住叱帮朗预子陶建持续进步的孚刃门二、填空题:6. （2018 •辽宁省盘锦市）如图，已知Rt△ ABC中，/ B=90°, / A=60°, AC=2三+4,点M N分别在线段AC.ABD恰好落在线段BC上，当△ DCM为直角三角形时，折痕MN勺长为.ABCD（纸片）折叠，使点B与AD边上的点K重合，EG为折痕；点C2=75°, EF= + 1,则BC的长-3分）如图，将矩形ABCD沿 EF折叠，使点B落在AD边上的点G处，点C落在点H处,BG 则/ AGB=三、解答与计算题：9. （2018 •广东• 7分）如图，矩形ABCD中, AB> AD,把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处,上，将厶ANM沿直线Mr折叠，使点A的对应点8. （2018 •湖南省常德7. （2018 •山东威海• 8分）如图，将矩形已知/ DGH=30，连接(1)求证：△ ADE^A CEDAE交CD于点F,连接DEHistudyjlftS7^]l viPTUk|帮助预子陶建持续进步的孚刃力|10—（ 2018?山东枣庄？ 10分）如图，将矩形— D 交AF 于点G,连接DG（1）求证：四边形EFDG 是菱形；（2）探究线段EG GF AF 之间的数量关系，并说明理由；（3）若 AG=6 EG=2E ，求 BE 的长.【能力篇】一、选择题： 11.（ 2018 •辽宁省阜新市）如图，将等腰直角三角形ABC （/ B=90°）沿EF 折叠，使点A 落在BC 边的中点A处，BC=8,那么线段AE 的长度为（）12.（ 2018 •四川省攀枝花・3分）如图，在矩形 ABCD 中, E 是AB 边的中点，沿 EC 对折矩形ABCD 使B 点落在点P 处，折痕为EC 连结AP 并延长AP 交CD 于 F 点，连结CP 并延长CP 交AD 于Q 点.给出以下结论： ① 四边形AECF 为平行四边形； ② / PBA=Z APQ③ 厶FPC 为等腰三角形； ④ 厶 APB^A EPC 其中正确结论的个数为（）A . 1 B. 2 C. 3D. 4C. 6D. 7D GECEB .A .亠13. （2018 •湖北省武汉• 3分）如图，在O O 中，点C 在优弧-I.上，将弧「■沿BC 折叠后刚好经过 AB 的中点 D.若O O 的半径为匚AB=4,则BC 的长是（、填空ABCD 中，点E 是CD 的中点，将△ BCE 沿BE 折叠后得到△ BEF14. （2018 •辽宁省葫芦岛市）如图，在矩形15. （ 2018 •四川宜宾• 3分）如图，在矩形 ABCD 中, AB=3 CB=2,点E 为线段AB 上的动点，将△ CBE 沿 CE ①当E 为线段AB 中点时，AF// CE; ②当E 为线段AB 中点时，AF=9 ;5④当 A F 、C 三点共线时，△ CEF ^A AEF.DG 1且点F 在矩形ABCD 勺内部，将 BF 延长交AD 于点G.若 =' ，则折叠，使点B 落在矩形内点F 处，下列结论正确的是（写出所有正确结论的序③当A F 、C 三点共线时,AE='HiSMiaa快乐字刃I VIPT 性叱帮朗滋子陶建持续进步的孚刃门GvPEDU !BCEDCA'B三、解答与计算题:16. (2018 •湖北省宜昌• 11分)在矩形 ABCD 中, AB=12 P 是边AB 上一点，把△ PBC 沿直线PC 折叠，顶点B 的对应点是点 G,过点B 作BEL CG 垂足为E 且在AD 上, BE 交PC 于点F . (1)如图1,若点E 是AD 的中点，求证：△ AEB^A DEC (2)如图2,①求证：BP=BF③当BP=9时，求 BE?EF 的值.②当 AD=25 且 AE v DE 时，求 cos / PCB 的值; 17. (2018 •广东• 7分)如图，矩形ABCC 中，AB> AD,把矩形沿对角线 AC 所在直线折叠，使点B 落在点E 处, AE 交CD 于点F ,连接DE (1)求证：△ ADE^A CED (2)求证：△ DEF 是等腰三角形.HiSMc!®快S 字刃丄VIP 亍性比帮朗预子陶建持续进步的孚刃门■ BC *HiStUCU快乐字刃VIPT性比帮助预子问建持续迸步的字刃力18. （2018?江苏盐城？10分）如图，在以线段二5■为直径的上取一点，连接、就•将_二弓匚沿.止翻折后得到□.（1 ）试说明点在上；（2）在线段.：「的延长线上取一点，使上厂—」一丄.求证：三壬为①门的切线；（3）在（2）的条件下，分别延长线段、匚吕相交于点，若m厂=J，二匸=-,求线段的长•【探究篇】19. （2018年江苏省泰州市？12分）对给定的一张矩形纸片ABCD进行如下操作：先沿CE折叠，使点B落在CD 边上（如图①），再沿CH折叠，这时发现点E恰好与点D重合（如图②）（2）将该矩形纸片展开.①如图③，折叠该矩形纸片，使点C与点H重合，折痕与AB相交于点P,再将该矩形纸片展开.求证：/ HPC=90 ;②不借助工具，利用图④探索一种新的折叠方法，找出与图③中位置相同的P点，要求只有一条折痕，且点P 在折痕上，请简要说明折叠方法•（不需说明理由）（1）根据以上操作和发现，求的值;设四边形BEFC 的面积为S ,求S 与x 之间的函数表达式，并求出 S 的最小值.(2) 随着点M 在边AD 上位置的变化，△ PDM 的周长是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值;(3) 沿直线EF 折叠，使点B 的对应点M 始终落在边AD 上（点M 不与点A D 重合），点C 落在点N 处，MN W CD 交3 .....HistudyjlftS7^l VIPTlik帮助预子陶建持续iS步的孚刃力几何图形折叠问题【疑难点拨】1. 折叠（翻折）问题常常出现在三角形、四边形、圆等平面几何问题中，其实质是轴对称性质的应用•解题的关键利用轴对称的性质找到折叠前后不变量与变量，运用三角形的全等、相似及方程等知识建立有关线段、角之间的联系.2. 折叠（翻折）意味着轴对称，会生成相等的线段和角，这样便于将条件集中•如果题目中有直角，则通常将条件集中于较小的直角三角形，利用勾股定理求解.3. 矩形中的一次折叠通常利用折叠性质和平行线性质求角的度数，或者利用折叠性质以及勾股定理求线段长度•矩形中的两次或多次折叠通常出现“一线三直角”的模型（如图），从而构造相似三角形，利用相似三角形求边或者角的度数.4. 凡是在几何图形中出现“折叠”这个字眼时，第一反应即存在一组全等图形，其次找出与要求几何量相关的条件量.1.常见的轴对称图形：等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆.2.折叠的性质：折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等.【基础篇】一、选择题：1. . （2018?四川凉州？3分）如图将矩形ABCD&对角线BD折叠，使C落在C'处，BC'交AD于点E,则下到结论不一定成立的是（）A. AD=BCB.Z EBD=/ EDBC.A ABE^A CBD D sin / ABE*ED【分析】主要根据折叠前后角和边相等找到相等的边之间的关系，即可选出正确答案.【解答】解：A、BC=BC, AD=BC二AD=BC，所以正确.B、 / CBD2 EDB / CBD=/ EBD EBD2 EDB正确.AED、T sin / ABE』,BE•••Z EBD=/ EDB••• BE=DEHistudyjlftS7^l VIPTlik帮助预子陶建持续iS步的孚刃力• sin / ABE^.ED故选：C.HistudyjlftS7^ll viPTUk|帮助预子詞11持续进步的字刃力|【点评】本题主要用排除法，证明 A , B , D 都正确，所以不正确的就是—C,排除法也是数学中一种常用的解题方法. 2.（2017山东烟台）如图1，将一圆形纸片向右、向上两次对折后得到如图2所示的扇形AOB 已知OA=6取OA 的中点C,过点C 作CDL OA 交丽于点D,点F 是廳上一点.若将扇形BOD 沿 OD 翻折，点B 恰好与点F 重合，用剪刀沿着线段 BD, DF , FA 依次剪下，则剪下的纸片（形状同阴影图形）面积之和为（ __________ . A . 36 n -108 B . 108-32 n C . 2 n D.n【考点】MO 扇形面积的计算；P9:剪纸问题.1【分析】先求出/ ODC M BOD=30，作DEL OB 可得DE= OD=3先根据S 弓形BD =S 扇形BOD - & BOD 求得弓形的面积,2再利用折叠的性质求得所有阴影部分面积.【解答】解：如图，••• CD L OA•••/ DCO M AOB=90 ,•••/ ODC M BOD=30 ,则剪下的纸片面积之和为 12X （ 3 n- 9） =36 n- 108, 故答案为： 36 n- 108 .故选 A 3.（2017浙江衢州）如图，矩形纸片 ABCD 中, AB=4, BC=6将厶ABC 沿 AC 折叠，使点B 落在点E 处，CE 交AD于点F ,则DF 的长等于（）…S 弓形B[=S 扇形X 6X 3=3n- 9,•/ OA =OD =OB =6OC |OA作DE L OB 于点E ,则 DE= OD=3c Mg 心BOD _d BOD=His【udy 』?i 乐字刃］vi 卩卞性比帮朗预子陶建持续迸步的孚刃门【考点】PB 翻折变换（折叠问题）；LB :矩形的性质.【分析】根据折叠的性质得到 AE=AB / E=Z B=90°,易证Rt △ AEF ^ Rt △ CDF ,即可得到结论设FA=x ,则FC=x , FD=6- x ,在Rt △ CDF 中利用勾股定理得到关于 x 的方程x 2=42+（ 6-x ）【解答】解：•••矩形 ABCD 沿对角线AC 对折，使△ ABC 落在厶ACE 的位置, ••• AE=AB / E=Z B=90°,又•••四边形ABCD 为矩形， • AB=CD • AE=DC 而/ AFE=Z DFC•••在△ AEF 与厶CDF 中，ZAFE-ZCFD•••△ AEF ^A CDF ( AAS ,• EF=DF ；•••四边形ABCD 为矩形， • AD=BC=6 CD=AB=4 •/ Rt △ AEF ^ Rt △ CDF • FC=FA设 FA=x ,贝U FC=x , FD=6- x , 13 在 Rt △ CDF 中，CF=C D+DF ,即 x 2=42+ (6 - x ) 2,解得 x= , 则 FD=6- x=. 故选：B.HiStUdyjl?iS7^l VIPTUk帮朗预子陶建持续进步的孚刃门D.5, 7EF=DF ；易得FC=FA,解方程求出x .B- AC4. （2018 •山东青岛• 3分）如图，三角形纸片ABC AB=AC / BAC=90，点E为AB中点.沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕现交于点F.已知EF=，贝U BC的长是（）2A. .B. 3、2C. 3D. 3 3【分析】由折叠的性质可知/ B=Z EAF=45，所以可求出/ AFB=90，再直角三角形的性质可知EF丄AB,所以AB=AC!的长可求，再利用勾股定理即可求出BC的长.【解答】解：•••沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，•••/ B=Z EAF=45 ,•••/ AFB=90° ,•••点E为AB中点，1 3•EF= —AB, EF= ,2 2•AB=AC=3•••/ BAC=90 ,•BC=3.2 ,故选：B.【点评】本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，求出/ AFB=9C°是解题的关键.5. （2017乌鲁木齐）如图，在矩形ABCD中，点F在AD上,点E在BC上，把这个矩形沿EF折叠后，使点D恰好落在BC边上的G点处，若矩形面积为4胚且/ AFG=60 , GE=2BG则折痕EF的长为（）HiStUdyjl?iS7^l VIPTUk帮朗预子陶建持续is步的孚刃门【考点】PB:翻折变换（折叠问题）；LB:矩形的性质.【分析】由折叠的性质可知，DF=GF HE=CE GH=DC/ DFE=/ GFE结合/ AFG=60即可得出/ GFE=60，进而可得出△ GEF为等边三角形，在Rt△ GHE中,通过解含30度角的直角三角形及勾股定理即可得出GE=2EC DC= EC,再由GE=2BG吉合矩形面积为4 ，即可求出EC的长度，根据EF=GE=2EC卩可求出结论.【解答】解：由折叠的性质可知，DF=GF HE=CE GH=DC Z DFE=Z GFE•••/ GFE+Z DFE=180 -Z AFG=120 ,•••/ GFE=60 .•/ AF// GE Z AFG=60 ,•Z FGE=/ AFG=60 ,•△ GEF为等边三角形，•EF=GE•••/ FGE=60，/ FGE+Z HGE=90 ,•Z HGE=30 .在Rt△ GHE中, Z HGE=30 ,•GE=2HE=C,•GH= =*$HE= CE•/ GE=2BG•BC=BG+GE+EC=4EC•••矩形ABCD勺面积为 4 ,•4EC?^EC=4 ,•EC=1, EF=GE=2故选C.二、填空题：6. （2018 •辽宁省盘锦市）如图，已知Rt△ ABC中，Z B=90°, Z A=60°, AC=2 :;+4,点M N分别在线段AC.AB上，将△ ANM沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当△ DCM为直角三角形时，折痕MN勺长为 .帮朗滋子陶建持续迸步的孚刃门①如图，当/ CDM=90时，△ CDM是直角三角形,•••在Rt△ ABC中，/ B=90°, / A=60° AC=^+4, /-Z C=30°, AB^ AC五+-,由折叠可得:Z MDN Z A=60°1_ 1_Z BDN=30，•/ BN空DN爰AN •/丄術+卸BN= AB= ：,■2硬+4•• AN=2BN="Z DNB=60 , /Z ANM Z DNM=60，/•/ AMN=60 , •師+4•• AN=MN=";【解答】解：分两种情况：②如图，当/ CMD=90时，△ CDM是直角三角形,帮助预子问il持续迸步的孚刃力I □ ~I] ■由题可得：/ CDM=60 , / A=Z MDN=60 , /-Z BDN=60 , / BND=30 BD空DN= AN, BN庐BD\1AB巫+2 ,1_/• AN=2, BN^3,过N 作NH L AM于H,贝UZ ANH=30 , /• AH空AN=1, HN昉,由折叠可得：Z AMN Z DMN=45 ,/•△ MNH是等腰直角三角形，/• HM=HN= :,/ MN= ■.故答案为：'或；7. （2018 •山东威海• 8分）如图，将矩形ABCD（纸片）折叠，使点B与AD边上的点K重合，EG为折痕；点C与AD边上的点K重合，FH为折痕.已知Z 仁67.5 ° ,Z 2=75°, EF= + 1,求BC的长.【分析】由题意知Z 3=180 ° - 2 Z 1=45°、Z 4=180°- 2Z 2=30 °、BE=KE KF=FC 作KM L BC,设KM=x 知EM=x MF= x,根据EF的长求得x=1，再进一步求解可得.【解答】解：由题意，得：Z 3=180 °- 2 Z 1=45°,Z 4=180°- 2Z 2=30 °, BE=KE KF=FC设KM=x 贝U EM=x MF^J x,x+ V3x^3+1,解得：x=1,••• EK=J办KF=2,.BC=BE+EF+FC=EK+EF+KF=3++J：,• BC的长为【点评】本题主要考查翻折变换，解题的关键是掌握翻折变换的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.8. （2018 •湖南省常德・3分）如图，将矩形ABC［沿EF折叠，使点B落在AD边上的点G处，点C落在点H处, 已知Z DGH=30，连接BG 则Z AGB= 75如图，过点K作KM L BC于点M帮朗预子陶建持续进步的孚刃门/ EBC-Z EBG即：/ GBC M BGH由平行线的性质可知/ AGB=Z GBC从而易证/ AGB2 BGH据此可得答案.【解答】解：由折叠的性质可知：GE=BE / EGH M ABC=90 ,•••/ EBG=Z EGB•••/ EGH-Z EGB玄EBC-Z EBG 即：/ GBC=/ BGH又••• AD// BC•Z AGB=Z GBC•Z AGB=Z BGHvZ DGH=30 ,•Z AGH=150 ,•Z AGB二Z AGH=75 ,2故答案为：75°.【点评】本题主要考查翻折变换，解题的关键是熟练掌握翻折变换的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.三、解答与计算题：9. (2018 •广东• 7分)如图，矩形ABCD中, AB> AD,把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处,AE交CD于点F,连接DE(1)求证：△ ADE^A CED(2)求证：△ DEF是等腰三角形.【分析】(1)根据矩形的性质可得出AD=BC AB=CD结合折叠的性质可得出AD=CE AE=CD进而即可证出△ ADE◎ △ CED( SSS ;(2)根据全等三角形的性质可得出Z DEF=Z EDF利用等边对等角可得出EF=DF由此即可证出△ DEF是等腰三角形.HiSMlda快乐字刃I VI PT住叱帮朗预子陶建持续进步的孚刃门【解答】证明：(1)：四边形ABCD是矩形，••• AD=BC AB=CD由折叠的性质可得：BC=CE AB=AE•AD=CE AE=CDC AD=CE在厶人。

河南省中考数学专题复习专题三几何图形的折叠与动点问题训练

专题三几何图形的折叠与动点问题类型一与特殊图形有关(2018·河南)如图.∠MAN＝90°.点C在边AM上.AC＝4.点B为边AN上一动点.连接BC.△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称.点D.E分别为AC.BC的中点.连接DE并延长交A′B所在直线于点F.连接A′E.当△A′EF为直角三角形时.AB的长为________．【分析】当△A′EF为直角三角形时.存在两种情况：①∠A′EF＝90°.②∠A′FE＝90°进行讨论．【自主解答】当△A′EF为直角三角形时.存在两种情况：①当∠A′EF＝90°时.如解图①.∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称.∴A′C＝AC＝4.∠ACB＝∠A′CB.∵点D.E分别为AC.BC的中点.∴D、E是△ABC的中位线.∴DE∥AB.∴∠CDE＝∠MAN＝90°.∴∠CDE＝∠A′EF.∴AC∥A′E.∴∠ACB＝∠A′EC.∴∠A′CB＝∠A′EC.∴A′C＝A′E＝4.在Rt△A′CB中.∵E是斜边BC的中点.∴BC＝2A′E＝8.由勾股定理.得AB2＝BC2－AC2.∴AB＝82－42＝43；②当∠A′FE＝90°时.如解图②.∵∠ADF＝∠A＝∠DFB＝90°.∴∠ABF＝90°.∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称.∴∠ABC＝∠CBA′＝45°.∴△ABC是等腰直角三角形.∴AB＝AC＝4；综上所述.AB的长为43或4.图①图②1．如图.四边形ABCD是菱形.AB＝2.∠ABC＝30°.点E是射线DA上一动点.把△CDE沿CE折叠.其中点D 的对应点为D′.连接D′B. 若使△D′BC为等边三角形.则DE＝________________.2．如图.在Rt△ABC中.∠ACB＝90°.AB＝5.AC＝4.E、F分别为AB、AC上的点.沿直线EF将∠B折叠.使点B恰好落在AC上的D处．当△ADE恰好为直角三角形时.BE的长为______．3．(2017·河南)如图.在Rt△ABC中.∠A＝90°.AB＝AC.BC＝2＋1.点M.N分别是边BC.AB上的动点.沿MN所在的直线折叠∠B.使点B的对应点B′始终落在边AC上．若△MB′C为直角三角形.则BM的长为__________．4．(2018·新乡一模)菱形ABCD的边长是4.∠DAB＝60°.点M、N分别在边AD、AB上.且MN⊥AC.垂足为P.把△AMN沿MN折叠得到△A′MN.若△A′DC恰为等腰三角形.则AP的长为____________．5．(2017·三门峡一模)如图.在Rt△ABC中.∠ACB＝90°.AB＝5.AC＝3.点D是BC上一动点.连接AD.将△ACD沿AD折叠.点C落在点C′.连接C′D交AB于点E.连接BC′.当△BC′D是直角三角形时.DE的长为______．6．(2018·盘锦)如图.已知Rt△ABC中.∠B＝90°.∠A＝60°.AC＝23＋4.点M、N分别在线段AC、AB 上．将△ANM沿直线MN折叠.使点A的对应点D恰好落在线段BC上.当△DCM为直角三角形时.折痕MN的长为__________．7．(2018·乌鲁木齐)如图.在Rt△ABC中.∠C＝90°.BC＝2 3.AC＝2.点D是BC的中点.点E是边AB上一动点.沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置.B′D交AB于点F.若△AB′F为直角三角形.则AE的长为________．8．(2017·洛阳一模)在菱形ABCD 中.AB ＝5.AC ＝8.点P 是对角线AC 上的一个动点.过点P 作EF 垂直AC 交AD 于点E.交AB 于点F.将△AEF 折叠.使点A 落在点A′处.当△A′CD 为等腰三角形时.AP 的长为______．9．(2018·濮阳一模)如图.在Rt△ABC 中.∠C＝90°.AC ＝3.BC ＝4.点D.E 为AC.BC 上两个动点．若将∠C 沿DE 折叠.点C 的对应点C′恰好落在AB 上.且△ADC′恰好为直角三角形.则此时CD 的长为__________．类型二点的位置不确定(2016·河南)如图.已知AD∥BC .AB⊥BC .AB ＝3.点E 为射线BC 上一个动点.连接AE.将△ABE 沿AE折叠.点B 落在点B′处.过点B′作AD 的垂线.分别交AD.BC 于点M.N.当点B′为线段MN 的三等分点时.BE 的长为________．【分析】根据勾股定理.可得EB′.根据相似三角形的性质.可得EN 的长.根据勾股定理.可得答案．【自主解答】由翻折的性质.得AB ＝AB′.BE ＝B′E.①当MB′＝2.B′N＝1时.设EN ＝x.得B′E＝x 2＋1.由△B′EN～△AB′M .EN B′M ＝B′E AB′.即x 2＝x 2＋13.x 2＝45.BE ＝B′E＝45＋1＝355； ②当MB′＝1.B′N＝2时.设EN ＝x.得B′E＝x 2＋22.△B′EN∽△AB′M .EN B′M ＝B′E AB′.即x 1＝x 2＋43.解得x 2＝12.BE ＝B′E＝12＋4＝322.故答案为：322或355.1．如图.正方形ABCD 的边长为9.将正方形折叠.使D 点落在BC 边上的点E 处.折痕为GH.若点E 是BC 的三等分点.则线段CH 的长是_______．2．(2018·林州一模)在矩形ABCD中.AB＝4.BC＝9.点E是AD边上一动点.将边AB沿BE折叠.点A的对应点为A′.若点A′到矩形较长两对边的距离之比为1∶3.则AE的长为__________．3．(2015·河南)如图.矩形ABCD中.AD＝5.AB＝7.点E为DC上一个动点.把△ADE沿AE折叠.当点D的对应点D′落在∠ABC的平分线上时.DE的长为______．4．(2017·商丘模拟)如图.在矩形ABCD中.AD＝5.AB＝8.点E为射线DC上一个动点.把△ADE沿直线AE 折叠.当点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时.则DE的长为__________．5．如图.在矩形ABCD中.BC＝6.CD＝8.点P是AB上(不含端点A.B)任意一点.把△PBC沿PC折叠.当点B 的对应点B′落在矩形ABCD对角线上时.BP＝________．6．(2018·河南模拟)如图.△ABC中.AB＝ 5.AC＝5.tan A＝2.D是BC中点.点P是AC上一个动点.将△BPD 沿PD折叠.折叠后的三角形与△PBC的重合部分面积恰好等于△BPD面积的一半.则AP的长为____________．7．在矩形ABCD中.AB＝6.BC＝12.点E在边BC上.且BE＝2CE.将矩形沿过点E的直线折叠.点C.D的对应点分别为C′.D′.折痕与边AD交于点 F.当点 B.C′.D′恰好在同一直线上时.AF的长为__________________．类型三根据图形折叠探究最值问题如图.在矩形纸片ABCD中.AB＝2.AD＝3.点E是AB的中点.点F是AD边上的一个动点.将△AEF沿EF所在直线翻折.得到△A′EF.则A′C的长的最小值是________．【分析】以点E为圆心.AE长度为半径作圆.连接CE.当点A′在线段CE上时.A′C的长取最小值.根据折叠的性质可知A′E＝1.在Rt△BCE中利用勾股定理可求出CE的长度.用CE－A′E即可求出结论．例3题解图【自主解答】以点E为圆心.AE长度为半径作圆.连接CE.当点A′在线段CE上时.A′C的长取最小值.如解图所示．根据折叠可知：A′E＝AE＝12AB＝1.在Rt△BCE中.BE＝12AB＝1.BC＝3.∠B＝90°.∴CE＝BE2＋BC2＝10.∴A′C的最小值＝CE－A′E＝10－1.故答案为10－1.1．(2019·原创)如图.在边长为10的等边三角形△ABC中.D是AB边上的动点.E是AC边的中点.将△ADE 沿DE翻折得到△A′DE.连接BA′.则BA′的最小值是__________．2．在矩形ABCD中.AD＝12.E是AB边上的点.AE＝5.点P在AD边上.将△AEP沿EP折叠.使得点A落在点A′的位置.如图.当A′与点D的距离最短时.△A′PD的面积为________．3．如图.在边长为4的正方形ABCD中.E为AB边的中点.F是BC边上的动点.将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F.连接B′D.则当B′D取得最小值时.tan∠BEF的值为__________．4．(2017·河南模拟)如图.在Rt△ABC中.∠ACB＝90°.AC＝4.BC＝6.点D是边BC的中点.点E是边AB上的任意一点(点E不与点B重合).沿DE翻折△DBE使点B落在点F处.连接AF.则线段AF的长取最小值时.BF 的长为_________．参考答案类型一针对训练1.3＋1或23－2 【解析】(1)当点E在边AD上时.过点E作EF⊥CD于F.如解图①.设CF＝x.第1题解图①∵∠ABC＝30°.∴∠BCD＝150°.∵△BCD′是等边三角形.∴∠DCD′＝90°.由折叠可知.∠ECD＝∠D′CE＝45°.∵EF＝CF＝x.在直角三角形DEF中.∠D＝30°.∴DE＝2x.∴DF＝3x.∴CD＝CF＋DF＝x＋3x＝2.解得x＝3x－1.∴DE＝2x＝23－2.(2)当E在DA的延长线上时.如解图②.第1题解图②过点B作BF⊥DA于点F.根据折叠可知.∠ED′C＝∠D＝30°.又∵三角形BD′C是等边三角形.∴D′E垂直平分BC.∵AD∥BC.∴D′E⊥AD.∵∠ABC＝30°∴∠BAF＝30°.又∵AB＝2.∴AF＝ 3.令D′E与BC的交点为G.则易知EF ＝BG ＝12BC ＝1.∴AE＝3－1.∴DE＝3＋1.综上所述.DE 的长度为3＋1或23－2. 2.158或157【解析】在Rt△ABC 中.∵∠C＝90°.AB ＝5.AC ＝4.∴BC＝3.沿直线EF 将∠B 折叠.使点B 恰好落在BC 上的D 处.当△ADE 恰好为直角三角形时.根据折叠的性质：BE ＝DE.设BE ＝x.则DE ＝x.AE ＝5－x.①当∠ADE＝90°时.则DE∥BC .∴DE CB ＝AE AB .∴x 3＝5－x 5.解得x ＝158；②当∠AED＝90°时.则△AED∽△ACB .∴DE BC＝AE AC .∴x 3＝5－x 4.解得x ＝157.故所求BE 的长度为：158或157. 3.122＋12或1 【解析】①如解图①.当∠B′MC＝90°.B′与A 重合.M 是BC 的中点.∴BM＝12BC ＝122＋12；②如解图②.当∠MB′C＝90°.∵∠A＝90°.AB ＝AC.∴∠C＝45°.∴△CMB′是等腰直角三角形.∴CM＝2MB′.∵沿MN 所在的直线折叠∠B.使点B 的对应点为B′.∴BM＝B′M .∴CM＝2BM.∵BC＝2＋1.∴CM ＋BM ＝2BM ＋BM ＝2＋1.∴BM＝1.综上所述.若△MB′C 为直角三角形.则BM 的长为122＋12或1.图①图②第3题解图 4.433或23－2 【解析】①如解图①.当A′D＝A′C 时.∠A′DC＝∠A′CD＝30°.∴∠AA′D＝60°.又∵∠CAD＝30°.∴∠ADA′＝90°.在Rt△ADA′中.AA′＝AD cos 30°＝432＝833.由折叠可得AP ＝12AA′＝433；图①图②第4题解图②如解图②.当CD ＝CA′＝4时.连接BD 交AC 于O.则Rt△COD 中.CO ＝CD×cos 30°＝4×32＝2 3.∴AC ＝4 3.∴AA′＝AC －A′C＝43－4.由折叠可得AP ＝12AA′＝23－2；故答案为433或23－2. 5 .32或34【解析】如解图①所示.点E 与点C′重合时．在Rt△ABC 中.BC ＝AB 2－AC 2＝4.由翻折的性质可知；AE ＝AC ＝3、DC ＝DE.则EB ＝2.设DC ＝ED ＝x.则BD ＝4－x.在Rt△DBE 中.DE 2＋BE 2＝DB 2.即x 2＋22＝(4－x)2.解得x ＝32.∴DE＝32.图①图②第5题解图如解图②所示：∠EDB＝90°时．由翻折的性质可知：AC ＝AC′.∠C＝∠AC′D＝90°.∵∠C＝∠AC′D ＝∠CDC′＝90°.∴四边形ACDC′为矩形．又∵AC＝AC′.∴四边形ACDC′为正方形．∴CD＝AC ＝3.∴DB＝BC －DC ＝4－3＝1.∵DE∥AC .∴△BDE∽△BCA.∴DE AC ＝DB CB ＝14.即ED 3＝14.解得DE ＝34.点D 在CB 上运动.∠DBC′＜90°.故∠DBC′不可能为直角．故答案为：32或34. 6.23＋43或 6 【解析】分两种情况：①如解图①.当∠CDM＝90°.△CDM 是直角三角形.∵在Rt△ABC 中.∠B＝90°.∠A＝60°.AC ＝23＋4.∴∠C＝30°.AB ＝12AC ＝3＋2.由折叠可得.∠MDN＝∠A＝60°.∴∠BDN＝30°.∴BN＝12DN ＝12AN.∴BN＝13AB ＝3＋23.∴AN＝2BN ＝233＋43.∵∠DNB＝60°.∴∠ANM ＝∠DNM＝60°.∴∠ANM＝60°.∴AN＝MN ＝23＋43.②如解图②.当∠CMD＝90°时.△CDM 是直角三角形.由题可得∠CDM＝60°.∠A＝∠MDN＝60°.∴∠BDN＝60°.∠BND＝30°.∴BD＝12DN ＝12AN.BN ＝3BD.又∵AB＝3＋2.∴AN＝2.BN ＝ 3.过N 作NH⊥AM 于H.则∠ANH＝30°.∴AH＝12AN ＝1.HN ＝ 3.由折叠可得∠AMN＝∠DMN＝45°.∴△MNH 是等腰直角三角形.∴HM＝HN ＝ 3.∴MN＝ 6.故答案为23＋43或 6.图①图②第6题解图7．3或145 【解析】∴∠C＝90°.BC ＝2 3.AC ＝2.∴tan B＝AC BC ＝223＝33.∴∠B＝30°.∴AB＝2AC ＝4.∵点D 是BC 的中点.沿DE 所在直线把△BDE 翻折到△B′D′E 的位置.B′D 交AB 于点F.∴DB＝DC ＝ 3.EB′＝EB.∠DB′E＝∠B＝30°.设AE ＝x.则BE ＝4－x.EB′＝4－x.当∠AFB′＝90°时.在Rt△BDF 中.cos B ＝BF BD .∴BF＝3cos 30°＝32.∴EF＝32－(4－x)＝x －52.在Rt△B′EF 中.∵∠EB′F＝30°.∴EB′＝2EF. 则4－x ＝2(x －52).解得x ＝3.此时AE 为3；第7题解图当∠FB′A＝90°时.作EH⊥AB′于H.连接AD.如解图.∵DC＝DB′.AD ＝AD.∴Rt△ADB′≌Rt△ADC .∴AB′＝AC ＝2.∵∠AB′E＝∠AB′F＋∠EB′F＝90°＋30°＝120°.∴∠EB′H＝60°.在Rt△EHB′中.B′H＝12B ′E ＝12(4－x).EH ＝3B′H＝32(4－x).在Rt△AEH 中.∵EH 2＋AH 2＝AE 2.∴34(4－x)2＋[12(4－x)＋2]2＝x 2.解得x ＝145.此时AE 为145.综上所述.AE 的长为3或145. 8.32或3916【解析】∵四边形ABCD 是菱形.∴AB＝BC ＝CD ＝AD ＝5.∠DAC＝∠BAC.∵EF⊥AA′.∴∠EPA＝∠FPA′＝90°.∴∠EAP＋∠AEP＝90°.∠FAP＋∠AFP＝90°.∴∠AEP＝∠AFP .∴AE＝AF.∵△A′EF 是由△AEF 翻折.∴AE＝EA′.AF ＝FA′.∴AE＝EA′＝A′F＝FA.∴四边形AEA′F 是菱形.∴AP＝PA′.①当CD＝CA′时.∵AA′＝AC －CA′＝3.∴AP ＝12AA′＝32.②当A′C ＝A′D 时.∵∠A′CD ＝∠A′DC ＝∠DAC .∴△A′CD∽△DAC.∴A′C AD ＝DC AC .∴A′C＝258.∴AA′＝8－258＝398.∴AP＝12AA′＝3916.故答案为32或3916. 9.127或43【解析】①如解图①.当∠ADC′＝90°时.∠ADC′＝∠C .第9题解图①∴DC′∥CB .∴△ADC′∽△ACB.又∵AC＝3.BC ＝4.∴AD DC′＝34.设CD ＝C′D＝x.则AD ＝3－x.∴3－x x ＝34.解得x ＝127.经检验：x ＝127是所列方程的解.∴CD＝127；②如解图②.当∠DC′A＝90°时.∠DCB＝90°.第9题解图②由折叠可得.∠C ＝∠DC′E ＝90°.∴C′B 与CE 重合.由∠C ＝∠AC′D ＝90°.∠A ＝∠A .可得△ADC′∽△ABC .在Rt △ABC 中.AB ＝5.∴AD C′D ＝AB CB ＝54.设CD ＝C′D＝x.则AD ＝3－x.∴3－x x ＝54.解得x ＝43.∴CD＝43.综上所述.CD 的长为127或43. 类型二针对训练1．4或52 【解析】设CH ＝x.则DH ＝EH ＝9－x.当BE∶EC＝2∶1时.BC ＝9.∴CE＝13BC ＝3.在Rt△ECH 中.EH 2＝EC 2＋CH 2.即(9－x)2＝32＋x 2.解得x ＝4.即CH ＝4.当BE∶EC＝1∶2时.CE ＝23BC ＝6.在Rt△ECH 中.EH 2＝EC 2＋CH 2.即(9－x)2＝62＋x 2.解得：x ＝52.即CH ＝52.故CH 的长为4或52. 2.477或4155【解析】如解图.过点A′作A′M⊥AD 于M 交BC 于N.则四边形ABNM 是矩形.∴AB＝MN ＝4.∵若点A′到矩形较长两对边的距离之比为1∶3.∴A′M＝1.A′N＝3或A′M＝3.A′N＝1.①当A′M＝1.A′N ＝3时.在Rt△BA′N 中.BN ＝42－32＝7.∴AM ＝BN ＝7.由△A′EM～△BA′N .∴EM A′N ＝A′M BN .∴EM 3＝17.∴EM＝377.∴AE＝477；②当A′M＝3.A′N＝1时.同理可得AE ＝4155.,第2题解图)第3题解图3.52或53【解析】如解图.连接BD′.过D′作MN⊥AB .交AB 于点M.CD 于点N.作D′P⊥BC 交BC 于点P.∵点D 的对应点D′落在∠ABC 的平分线上.∴MD′＝PD′.设MD′＝x.则PD′＝BM ＝x.∴AM＝AB －BM ＝7－x.又由折叠图形可得AD ＝AD′＝5.∴x 2＋(7－x)2＝25.解得x ＝3或4.即MD′＝3或4.在Rt△END′中.设ED′＝a.①当MD′＝3时.AM ＝7－3＝4.D′N＝5－3＝2.EN ＝4－a.∴a 2＝22＋(4－a)2.解得a ＝52.即DE ＝52；②当MD′＝4时.AM ＝7－4＝3.D′N＝5－4＝1.EN ＝3－a.∴a 2＝12＋(3－a)2.解得a ＝53.即DE ＝53.综上所述.DE 的长为52或53. 4.52或10 【解析】分两种情况：①如解图①.当点F 在矩形内部时.∵点F 在AB 的垂直平分线MN 上.∴AN ＝4.∵AF＝AD ＝5.由勾股定理得FN ＝3.∴FM＝2.设DE 为x.则EM ＝4－x.FE ＝x.在△EMF 中.由勾股定理.得x 2＝(4－x)2＋22.∴x＝52.即DE 的长为52；图①图②第4题解图②如解图②.当点F 在矩形外部时.同①的方法可得FN ＝3.∴FM＝8.设DE 为y.则EM ＝y －4.FE ＝y.在△EMF 中.由勾股定理.得y 2＝(y －4)2＋82.∴y＝10.即DE 的长为10.综上所述.点F 刚好落在线段AB 的垂直平分线上时.DE 的长为52或10. 5．3或92【解析】①点A 落在矩形对角线BD 上.如解图①.∵在矩形ABCD 中.AB ＝8.BC ＝6∴∠ABC＝90°.AC ＝BD.∴AC＝BD ＝62＋82＝10.根据折叠的性质.得PC⊥BB′.∴∠PBD＝∠BCP .∴△BCP∽△ABD .∴BP AD ＝BC AB.即BP 6＝68.解得BP ＝92；②点A 落在矩形对角线AC 上.如解图②.根据折叠的性质.得BP ＝B′P .∠B＝∠PB′C ＝90°.∴∠AB′A＝90°.∴△APB′∽△ACB .∴B′P BC ＝AP AC .即BP 6＝8－BP 10.解得BP ＝3.故答案为：3或92.图①图②第5题解图6．2或5－ 5 【解析】分两种情况：①当点B′在AC 的下方时.如解图①.∵D 是BC 中点.∴S △BPD ＝S △PDC .∵S △PDF ＝12S △BPD .∴S △PDF ＝12S △PDC .∴F 是PC 的中点.∴DF 是△BPC 的中位线.∴DF∥BP .∴∠BPD＝∠PDF .由折叠得：∠BPD＝∠B′PD .∴∠B′PD＝∠PDF .∴PB′＝B′D .即PB ＝BD.过B 作BE⊥AC 于E.在Rt△ABE中.tan A ＝BE AE＝2.∵AB＝ 5.∴AE＝1.BE ＝2.∴EC＝5－1＝4.由勾股定理.得BC ＝BE 2＋EC 2＝22＋42＝2 5.∵D 为BC 的中点.∴BD＝ 5.∴PB＝BD ＝ 5.在Rt△BPE 中.PE ＝1.∴AP＝AE ＋PE ＝1＋1＝2；图①图②第6题解图②当点B′在AC 的上方时.如解图②.连接B′C .同理得：F 是DC 的中点.F 是PB′的中点.∴DF＝FC.PF ＝FB′.∴四边形DPCB′是平行四边形.∴PC＝B′D＝BD＝ 5.∴AP＝5－ 5.综上所述.AP的长为2或5－5.7．8＋23或8－2 3 【解析】由折叠的性质得.∠EC′D′＝∠C＝90°.C′E＝CE.∵点B、C′、D′在同一直线上.∴∠BC′E＝90°.∵BC＝12.BE＝2CE.∴BE＝8.C′E＝CE＝4.在Rt△BC′E中.BE C′E＝2.∴∠C′BE＝30°.①当点C′在BC的上方时.如解图①.过E作EG⊥AD于G.延长EC′交AD于H.则四边形ABEG是矩形.∴EG＝AB＝6.AG＝BE＝8.∵∠C′BE＝30°.∠BC′E＝90°.∴∠BEC′＝60°.由折叠的性质得.∠C′EF＝∠CEF＝60°.∵AD∥BC.∴∠HFE＝∠CEF＝60°.∴△EFH是等边三角形.∴在Rt△EFG 中.EG＝6.∴GF＝23.∴AF＝8＋23；②当点C′在BC的下方时.如解图②.过F作FG⊥AD于G.D′F交BE于H.同①可得.四边形ABGF是矩形.△EFH是等边三角形.∴AF＝BG.FG＝AB＝6.∠FEH＝60°.在Rt△EFG 中.GE＝23.∵BE＝8.∴BG＝8－2 3.∴AF＝8－2 3.图①图②第7题解图类型三针对训练1．53－5 【解析】如解图.连接BE.第1题解图∵AB＝BC＝AC＝10.∴∠C＝60°.∵AB＝BC.E是AC的中点.∴BE⊥AC.∴BE＝BC2－EC2＝102－52＝53.∵AC＝10.E是AC边的中点.∴AE＝5.由翻折的性质可知A′E＝AE＝5.∵BA′＋A′E≥BE.∴当点B、A′、E在一条直线上时.BA′有最小值.最小值＝BE－A′E＝53－5.2.403【解析】连接DE.DE＝52＋122＝13.∵将△AEP沿FP折叠.使得点A落在点A′的位置.∴EA′＝EA＝5.∵A′D≥DE－EA′第2题解图(当且仅当A′点在DE 上时.取等号).∴当A′与点D 的距离最短时.A′点在DE 上.∴DA′＝13－5＝8.设PA′＝x.则PA ＝x.PD ＝12－x.在Rt△DPA′中.x 2＋82＝(12－x)2.解得x ＝103.∴△A′PD 的面积＝12×8×103＝403. 3.1＋52【解析】在Rt△ADE 中.DE ＝22＋42＝2 5.当B′在ED 上时.B′D 最小.在ED 上截取EB′＝EB ＝2.连接B′F .FD.则B′D＝ED －EB′＝25－2.设BF ＝x.则B′F＝x.CF ＝4－x.在Rt△B′FD 和Rt△FCD 中.利用勾股定理.可得DB′2＋B′F 2＝DF 2＝CF 2＋DC 2.即(25－2)2＋x 2＝(4－x)2＋42.解得x ＝5＋1.∴Rt△BEF 中.tan∠BEF＝BF BE ＝1＋52.第3题解图4.1255【解析】由题意得：DF ＝DB.第4题解图∴点F 在以D 为圆心.BD 为半径的圆上.作⊙D; 连接AD 交⊙D 于点F.此时AF 值最小.∵点D 是边BC 的中点.∴CD＝BD ＝3；而AC ＝4.由勾股定理得：AD 2＝AC 2＋CD 2.∴AD＝5.而FD ＝3.∴FA＝5－3＝2.即线段AF长的最小值是2.连接BF.过F 作FH⊥BC 于H.∵∠ACB＝90°.∴FH∥AC .∴△DFH∽△DAC .∴DF AD ＝DH CD ＝HF AC.即35＝DH 3＝HF 4.∴HF＝125.DH ＝95.∴BH＝245.∴BF＝BH 2＋HF 2＝1255.。

攻破15个特色专题之备战2018中考数学专题05 图形折叠类问题

考点 2：折叠后度数判断
【典型例题】（2017 内蒙古赤峰市）如图，将边长为 4 的菱形 ABCD 纸片折叠，使点 A 恰好落在对角线的
交点 O 处，若折痕 EF= 2 3 ，则∠A=（）
A．120° B．100° C．60° D．30°
【方法归纳】
在折叠问题中，利用对称性可得到相等的角和边．
【变式训练】
（2017 宁夏）如图，将平行四边形 ABCD 沿对角线 BD 折叠，使点 A 落在点 A'处．若∠1=∠2=50°，则∠A'
为
．
考点 3：折叠后线段长度判断
【典型例题】（2017 新疆乌鲁木齐市）如图，在矩形 ABCD 中，点 F 在 AD 上，点 E 在 BC 上，把这个矩形
沿 EF 折叠后，使点 D 恰好落在 BC 边上的 G 点处，若矩形面积为 4 3 且∠AFG=60°，GE=2BG，则折痕 EF
三角形，请画出不同情形的示意图，并写出对应的 a 的取值范围．【问题解决】（4）用一张正方形铁片剪一个直角边长分别为 4cm 和 1cm 的直角三角形铁片，所需正方形铁片的边长的最小值为 cm．
【方法归纳】解决折叠问题时，一是要对图形折叠有准确定位，抓住图形之间最本质的位置关系，从点、线、面三
根据轴对称的性质可以得到：折叠重合部分一定全等，折痕所在直线就是这两个全等形的对称轴；互相重合两点(对称点)之间的连线必被折痕垂直平分；对称两点与对称轴上任意一点连结所得的两条线段相等；对称线段所在的直线与对称轴的夹角相等. 在解题过程中要充分运用以上结论，借助辅助线构造直角三角形，结合相似形、锐角三角函数等知识来解决有关折叠问题．
【变式训练】
（2017 天门）如图，下列 4×4 网格图都是由 16 个相同小正方形组成，每个网格图中有 4 个小正方形已涂

2018年中考数学重庆专版专题突破课件专题八与平移、折叠、旋转相关的动态问题

专题八丨与平移、折叠、旋转相关的动态问题
|针对训练|
1．如图 Z8－2，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝－x ＋bx＋c 的图象与 x 轴交于点 A(－1，0)和点 B，与 y 轴交于点 C(0，3)，抛物线的顶点为点 D. (1)求抛物线和直线 AD 的解析式； (2)直线 AD 与 y 轴交于点 F，点 E 是点 C 关于对称轴的对称点，点 P 是线段 AE 上一动点，将△AFP 沿着 FP 所在的直线翻折得到 △A′FP，当△A′FP 与△AED 重叠部分为直角三角形时，求 AP 的长．
3 坐标为0，－ . 2
专题八丨与平移、折叠、旋转相关的动态问题
(2)如图，连接 DE，延长 FD 交 y 轴于点 G，∵点 K 为点 D 关于直线 1 2 3 BE 的对称点，∴S△KEF＝S△DEF.当 y＝0 时， x －x－＝0，解得：x1 2 2 ＝－1，x2＝3. ∴A(3，0)，B(－1，0)．∵B(－1，0)，E(0，1)，∴直线 BE 的解析式为 y＝x＋1. 1 2 3 解方程 x＋1＝ x －x－，得：x1＝－1，x2＝5. 2 2 则 F(5，6)．∵点 D 坐标为(1，－2)， ∴直线 DF 的解析式为 y＝2x－4.则 G(0，－4)． ∴S△KEF＝S△DEF＝S△EFG－S△EDG 1 ＝ ×(1＋4)×(5－1)＝10. 2
专题八丨与平移、折叠、旋转相关的动态问题
3．图形的旋转图形上的每一点都绕着旋转中心沿着相同的方向旋转了相同的角度．旋转后的图形与原来的图形的形状和大小都没有发生变化，即它们是全等的．旋转前后两个图形的对应点到旋转中心的距离相等；对应点到旋转中心的连线所成的角相等，并且等于旋转角．
专题八丨与平移、折叠、旋转相关的动态问题

几何图形的折叠与动点问题

几何图形的折叠与动点问题1. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝9，点E 在BC 上，CE ＝4，点F 是AD 上的一个动点，若把△BEF 沿EF 折叠，点B 落在点B ′处，当点B ′恰好落在矩形ABCD 的一边上，则AF 的长为________．第1题图3或 113 【解析】如解图①，当点B ′落在边AD 上时，则易证四边形BEB ′F 为菱形，∴BF ＝BE ＝9－4＝5，由勾股定理易求AF ＝3；如解图②，当点B ′落在边CD 上时，BE ＝B ′E ＝9－4＝5.由勾股定理易求B ′C ＝3，∴B ′D ＝4－3＝1.设AF ＝x ，则FD ＝9－x .根据折叠的性质得BF ＝B ′F ，∴x 2＋42＝(9－x )2＋12，解得x ＝113，∴AF ＝3或 113.第1题解图2.如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝6，点P是边BC 上的动点，现将纸片折叠，使点A与点P重合，折痕与矩形边的交点分别为E、F，要使折痕始终与边AB、AD有交点，则BP的取值范围是________．第2题图6－25≤BP≤4【解析】①如解图①，当F、D重合时，BP的值最小，根据折叠的性质可知：AF＝PF＝6，在Rt△PFC中，PF＝6，FC＝4，则PC＝25，∴BP min＝6－25；②如解图②，当E、B重合时，BP的值最大，根据折叠的性质即可得到AB＝BP＝4，即BP的最大值为4；故BP的取值范围是6－25≤BP≤4.3.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝6，E，F分别是线段AD、BC上的点，连接EF，使四边形ABFE为正方形，若点G是AD上的动点，连接FG，将矩形沿FG折叠使得点C 落在正方形ABFE的对角线所在的直线上，对应点为P，则线段AP的长为__________．第3题图4或4－22【解析】当C落在BE的延长线上时，对应点为P1，如解图①，连接FP1，AP1，过P1点作P1H⊥FC，垂足为点H，交AD于点N，设FH＝x，∵∠P1BH＝45°，∴P1H ＝BH＝x＋2，由折叠性质可得P1F＝FC＝6－2＝4，在Rt△P1HF中，x2＋(x＋2)2＝42，解得x＝7－1或x＝－7－1(舍去)，∴P1H＝2＋7－1＝7＋1，P1N＝7＋1－2＝7－1，在Rt△P1NA中，AP1＝AN2＋P1N2＝（7＋1）2＋（7－1）2＝4；当点C落在F A的延长线上时，对应点为P2，如解图②，易知P2F＝CF＝4，AF＝22＋22第3题解图4.如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC (AD ＜BC )，AB 与CD 不平行，AB ＝CD ＝5，BC ＝12，点E 是BC 上的动点，将∠B 沿着AE 折叠，使点B 落在直线AD 上的点B ′处，DB ′＝1，直线BB ′与直线DC 交于点H ，则DH ＝________．第4题图511或513 【解析】如解图①所示，∵AD ∥BC ，∴△HB ′D∽△HBC ，∴HD HC ＝DB ′CB ，∵AB ＝CD ＝5，BC ＝12，DB ′＝1，∴HD 5＋HD＝112，解得：HD ＝511；如解图②所示，∵AD ∥BC＝12，DB′＝1，∴HD5－HD＝112，解得：DH＝513.故DH的长度为511或513.5.如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB＝8，点E为射线BC 上一个动点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC于点M，N.当点B′分线段MN为3∶5的两部分时，EN的长为________．35511或53913【解析】由翻折的性质，得AB ＝AB ′，BE ＝B ′E .①当MB ′＝3，B ′N ＝5时，设EN ＝x ，得B ′E ＝x 2＋25.由题意得△B ′EN ∽△AB ′M ，∴EN B ′M ＝B ′E AB ′，即x 3＝x 2＋258，解得x 2＝4511，∴EN ＝x ＝35511；②当MB ′＝5，B ′N ＝3时，设EN ＝x ，得B ′E ＝x 2＋9，由题意得△B ′EN ∽△AB ′M ，∴EN B ′M ＝B ′E AB ′，即x 5＝x 2＋98，解得x 2＝7513，∴EN ＝x ＝53913，故EN 的长为35511或53913.6.如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，点P 是对角线BD 上一动点，将纸片折叠，使点C 与点P 重合，折痕为EF ，折痕EF 的两端分别在BC 、DC 边上(含端点)，当△PDF 为直角三角形时，FC 的长为________．24 7或83【解析】在矩形ABCD中，AB＝CD＝6，BC＝AD＝8，在Rt△BCD中，由勾股定理得BD＝10.由折叠得PE＝EC，PF＝CF，∠EPF＝∠FCE＝90°.∵∠PDF＜90°，∴△PDF 为直角三角形有以下两种情况：(Ⅰ)如解图1，当∠PFD＝90°时，∵∠FCE＝∠FPE＝∠PFC＝90°，∴四边形PECF是矩形．∵PF＝FC，∴四边形PECF是正方形，∴PF∥BC，∴△DPF∽△DBC，∴PFBC＝DFDC.设FC＝PF＝x，则DF＝6－x，∴x8＝6－x6，解得：x＝247，即FC＝247；(Ⅱ)如解图2，当∠DPF＝90°时，∵∠FPE＝∠FCB＝90°，∴此时点E与点B 重合，∴BP＝BC＝8，∴PD＝10－8＝2.∵∠PDF公用，∠DPF＝∠DCB＝90°，∴△DPF∽△DCB，∴PFBC＝PDDC，即：PF8＝26，解得：PF＝83，∴FC＝83.综上所述，FC的长为247或83.7.如图，正方形的边长为4，E 是BC 的中点，点P 是射线AD 上一动点，过P 作PF ⊥AE 于F .若以P 、F 、E 为顶点的三角形与△ABE 相似，则P A ＝________．第7题图2或5 【解析】分两种情况：如解图①，当△EFP ∽△ABE 时，则有∠PEF ＝∠EAB ，∴PE ∥AB ，∴四边形ABEP 为矩形，∴P A ＝EB ＝2；如解图②，当△PFE ∽△ABE 时，则有∠PEF ＝∠AEB ，又∵∠P AF ＝∠AEB ，∴∠PEF ＝∠P AF ，∴PE ＝P A ，∵PF ⊥AE ，∴点F 为AE 的中点，∵AE ＝42＋22＝25，PE AE ＝EF EB ，即PE 25＝52，得PE ＝5，∴P A ＝5，∴当P A ＝2或P A ＝5时，以P 、F 、E 为顶点的三角形与△ABE 相似．第7题解图8.如图，矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，E 是AD 中点，点P 在射线BD 上运动，若△BEP 为等腰三角形，则线段BP 的长度等于____________．第8题图2或53或655 【解析】∵在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，E 是AD 的中点，∴∠BAD ＝90°，AE ＝DE ＝1，∴△ABE 是等腰直角三角形，∴BE ＝2AB ＝ 2.若△BEP 为等腰三角形，则分三种情况：①当BP ＝BE 时，显然BP ＝2；②当PB ＝PE 时，如解图①，连接AP .∵PB ＝PE ，AB ＝AE ，∴AP 垂直平分BE ，∵△ABE 是等腰直角三角形，∴∠BAP ＝∠EAP ＝45°，作PM ⊥AB 于点M ，设PM ＝x ，∵S △ABD ＝S △ABP ＋S △APD ，∴12×1×2＝12×1×x ＋12×2×x ，解得x ＝23，∴PM ＝23，∴BP ＝PM sin ∠ABD ＝2325＝53；③当EB ＝EP 时，如解图②，过点A 作AF ⊥BD 于点F ，过点E 作EG ⊥BD 于点G ，在Rt △ABF 中，AF ＝AB ·sin ∠ABF ＝1×25＝255，∵AE ＝ED ，EG ∥AF ，∴EG ＝12AF ＝55，在Rt △BEG 中，∵BE ＝2，EG ＝55，∴BG ＝BE 2－EG 2＝355，∵EB ＝EP ，EG ⊥BP ，∴BP ＝2BG ＝655.综上所述，线段BP 的长度等于2或53或655.第8题解图① 第8题解图②9.如图，在▱ABCD 中，∠B ＝30°，AB ＝AC ，O 是两条对角线的交点，过点O 作AC 的垂线分别交边AD 、BC 于点E 、F ；为__________．第9题图3∶4或3∶8 【解析】如解图，连接AF 、MF ，∵AB ＝AC ，∠B ＝30°，∴∠ACB ＝∠B ＝30°， ∵点O 是对角线的交点，EF ⊥AC ，∴AF ＝FC ，∴∠ACB ＝∠F AC ＝30°，∴∠F AB ＝90°，∴BF ＝2AF ＝2FC ，∵点M 为AB 的三等分点，如解图①，当BM ＝13AB 时，设S △BMF ＝a ，则S △AMF ＝2a ，S △ABF ＝3a ，∴S △AFC ＝3a 2，∴S △AOE ＝3a 4，∴S △AOE ∶S △BMF ＝3a 4∶a ＝3∶4.则△AOE 与△BMF 的面积比为3∶4；如解图②，当BM ＝23AB时，S △AOE ∶S △BMF ＝3a 4∶2a ＝3∶8.综上所述：△AOE 与△BMF的面积比为3∶4或3∶8.第9题解图① 第9题解图②10.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，AC ＝2，E 为斜边AB 的中点，点P 是射线BC 上的一个动点，连接AP 、PE ，将△AEP 沿着边PE 折叠，折叠后得到△EP A ′，若△EP A ′与△ABC 的另一个交点为F ，当EF ＝14AB 时，则BP的长为________．第10题图 2或23 【解析】∵∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，AC ＝2，E为斜边AB 的中点，∴AB ＝4，AE ＝12AB ＝2，BC ＝2 3.①若P A ′与AB 交于点F ，连接A ′B ，如解图①，由折叠可得S △A ′EP ＝S △AEP ，A ′E ＝AE ＝2，∵点E 是AB 的中点，∴S △BEP ＝S △AEP ＝12S △ABP .∵EF ＝14AB ，∴S △EFP ＝12S △BEP ＝12S △AEP ＝12S △A ′EP ，∴EF ＝12BE ＝BF ，PF ＝12A ′P ＝A ′F .∴四边形A ′EPB 是平行四边形，∴BP ＝A ′E ＝2；②若EA ′与BC 交于点F ，连接AA ′，交EP 于H ，如解图②.同理可得FP ＝12BP ＝BF ，EF＝12×2＝1.∵BE＝AE，∴EF＝12EA′＝12AP＝1，∴AP＝2＝AC，∴点P与点C重合，∴BP＝BC＝2 3.故BP的长为2或2 3.第10题解图①第10题解图②。

2018年河南中考动态折叠变化题 (共22张PPT)

例题12：如图，矩形ABCD中，AB= 2,AD=2，点E是BC边上的一个动点，连接 1或 2或2 2 。 AE，过点D作DF⊥AE于点F，当△CDF是等腰三角形时，BE的长为_________
矩形有关的动态折叠几何题
例题13：如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，E是AB的中点，直线l平行于直线 EC，且直线l与直线EC之间的距离为2，点F在矩形ABCD边上，将矩形ABCD沿直 2 2或4 2 2 。线EF折叠，使点A恰好落在直线l上，则DF的长为_________
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THANKS！
例题16：如图：在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，点E是边BC上一动点，把三角形DCE沿DE折叠得△DFE,射线DF交直线CB于点P,当△AFD为等腰三角形时，DP 9 2 24 7 或的长为______ 2 7 。
正方形有关的动态折叠几何题
例题1：如图正方形ABCD中，边长为8，点E为BC上一个动点，且点E不与点B，C重合，把三角形ABE沿AE折叠，当点B对应点为B’落在正方形的对称轴上时，则BE的 8 3 16 8 3或或8 2-8。长___________ 3
2018
考点模块中考15题动态折叠问题
矩形有关的动态折叠几何题
例题1：如图，矩形ABCD中,AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B 3 或3 沿AE折叠，使点B落在点B'处，当△CEB'为直角三角形时，BE的长为______ 2
例题2：如图，在矩形ABCD中，AD=5，AB=8，点E为DC边上的一个动点，把 △ADE沿AE折叠，当点D的对应点刚好D′落在矩形ABCD的对称轴上时，则DE 5 5 3 或的长为_____ ． 2 3

中考数学专题复习专题三几何图形的折叠与动点问题训练

专题三几何图形的折叠与动点问题类型一与特殊图形有关(2018·河南)如图，∠MAN＝90°，点C在边AM上，AC＝4，点B为边AN上一动点，连接BC，△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，点D，E分别为AC，BC的中点，连接DE并延长交A′B所在直线于点F，连接A′E.当△A′EF为直角三角形时，AB的长为________．【分析】当△A′EF为直角三角形时，存在两种情况：①∠A′EF＝90°，②∠A′FE＝90°进行讨论．【自主解答】当△A′EF为直角三角形时，存在两种情况：①当∠A′EF＝90°时，如解图①，∵△A′BC 与△ABC关于BC所在直线对称，∴A′C＝AC＝4，∠ACB＝∠A′CB.∵点D，E分别为AC，BC的中点，∴D、E是△ABC的中位线，∴DE∥AB，∴∠CDE＝∠MAN＝90°，∴∠CDE＝∠A′EF，∴AC∥A′E，∴∠ACB＝∠A′EC，∴∠A′CB＝∠A′EC，∴A′C＝A′E＝4.在Rt△A′CB中，∵E是斜边BC的中点，∴BC＝2A′E ＝8，由勾股定理，得AB2＝BC2－AC2，∴AB＝82－42＝43；②当∠A′FE＝90°时，如解图②，∵∠ADF ＝∠A＝∠DFB＝90°.∴∠ABF＝90°，∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，∴∠ABC＝∠CBA′＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝AC＝4；综上所述，AB的长为43或4.图①图②1．如图，四边形ABCD是菱形，AB＝2，∠ABC＝30°，点E是射线DA上一动点，把△CDE沿CE折叠，其中点D的对应点为D′，连接D′B. 若使△D′BC为等边三角形，则DE＝________________.2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，E、F分别为AB、AC上的点，沿直线EF将∠B折叠，使点B恰好落在AC上的D处．当△ADE恰好为直角三角形时，BE的长为______．3．(2017·河南)如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BC＝2＋1，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′始终落在边AC上．若△MB′C为直角三角形，则BM 的长为__________．4．(2018·新乡一模)菱形ABCD的边长是4，∠DAB＝60°，点M、N分别在边AD、AB上，且MN⊥AC，垂足为P，把△AMN沿MN折叠得到△A′MN.若△A′DC恰为等腰三角形，则AP的长为____________．5．(2017·三门峡一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，点D是BC上一动点，连接AD，将△ACD沿AD折叠，点C落在点C′，连接C′D交AB于点E，连接BC′.当△BC′D是直角三角形时，DE的长为______．6．(2018·盘锦)如图，已知Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°，AC＝23＋4，点M、N分别在线段AC、AB上．将△ANM沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当△DCM为直角三角形时，折痕MN的长为__________．7．(2018·乌鲁木齐)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝23，AC＝2，点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交AB于点F，若△AB′F为直角三角形，则AE的长为________．8．(2017·洛阳一模)在菱形ABCD 中，AB ＝5，AC ＝8，点P 是对角线AC 上的一个动点，过点P 作EF 垂直AC 交AD 于点E ，交AB 于点F ，将△AEF 折叠，使点A 落在点A′处，当△A′CD 为等腰三角形时，AP 的长为______．9．(2018·濮阳一模)如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC ＝3，BC ＝4，点D ，E 为AC ，BC 上两个动点．若将∠C 沿DE 折叠，点C 的对应点C′恰好落在AB 上，且△ADC′恰好为直角三角形，则此时CD 的长为__________．类型二点的位置不确定(2016·河南)如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB ＝3，点E 为射线BC 上一个动点，连接AE ，将△ABE沿AE 折叠，点B 落在点B′处，过点B′作AD 的垂线，分别交AD ，BC 于点M ，N.当点B′为线段MN 的三等分点时，BE 的长为________．【分析】根据勾股定理，可得EB′，根据相似三角形的性质，可得EN 的长，根据勾股定理，可得答案．【自主解答】由翻折的性质，得AB ＝AB′，BE ＝B′E.①当MB′＝2，B′N＝1时，设EN ＝x ，得B′E＝x 2＋1.由△B′EN～△AB′M，EN B′M ＝B′E AB′，即x 2＝x 2＋13，x 2＝45，BE ＝B′E＝45＋1＝355； ②当MB′＝1，B′N＝2时，设EN ＝x ，得B′E＝x 2＋22，△B′EN∽△AB′M，EN B′M ＝B′E AB′，即x 1＝x 2＋43，解得x 2＝12，BE ＝B′E＝12＋4＝322，故答案为：322或355.1．如图，正方形ABCD 的边长为9，将正方形折叠，使D 点落在BC 边上的点E 处，折痕为GH.若点E 是BC 的三等分点，则线段CH 的长是_______．2．(2018·林州一模)在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝9，点E是AD边上一动点，将边AB沿BE折叠，点A 的对应点为A′.若点A′到矩形较长两对边的距离之比为1∶3，则AE的长为__________．3．(2015·河南)如图，矩形ABCD中，AD＝5，AB＝7，点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点D′落在∠ABC的平分线上时，DE的长为______．4．(2017·商丘模拟)如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝8，点E为射线DC上一个动点，把△ADE沿直线AE折叠，当点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时，则DE的长为__________．5．如图，在矩形ABCD中，BC＝6，CD＝8，点P是AB上(不含端点A，B)任意一点，把△PBC沿PC折叠，当点B的对应点B′落在矩形ABCD对角线上时，BP＝________．6．(2018·河南模拟)如图，△ABC中，AB＝5，AC＝5，tan A＝2，D是BC中点，点P是AC上一个动点，将△BPD沿PD折叠，折叠后的三角形与△PBC的重合部分面积恰好等于△BPD面积的一半，则AP的长为____________．7．在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝12，点E在边BC上，且BE＝2CE，将矩形沿过点E的直线折叠，点C，D 的对应点分别为C′，D′，折痕与边AD交于点F，当点B，C′，D′恰好在同一直线上时，AF的长为__________________．类型三根据图形折叠探究最值问题如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A′EF，则A′C的长的最小值是________．【分析】以点E 为圆心，AE 长度为半径作圆，连接CE.当点A′在线段CE 上时，A′C 的长取最小值，根据折叠的性质可知A′E＝1，在Rt△BCE 中利用勾股定理可求出CE 的长度，用CE －A′E 即可求出结论．例3题解图【自主解答】以点E 为圆心，AE 长度为半径作圆，连接CE ，当点A′在线段CE 上时，A′C 的长取最小值，如解图所示．根据折叠可知：A′E＝AE ＝12AB ＝1.在Rt△BCE 中，BE ＝12AB ＝1，BC ＝3，∠B＝90°，∴CE＝BE 2＋BC 2＝10，∴A′C 的最小值＝CE －A′E＝10－1.故答案为10－1.1．(2019·原创)如图，在边长为10的等边三角形△ABC 中，D 是AB 边上的动点，E 是AC 边的中点，将△ADE 沿DE 翻折得到△A′DE，连接BA′，则BA′的最小值是__________．2．在矩形ABCD 中，AD ＝12，E 是AB 边上的点，AE ＝5，点P 在AD 边上，将△AEP 沿EP 折叠，使得点A 落在点A′的位置，如图，当A′与点D 的距离最短时，△A′PD 的面积为________．3．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，E 为AB 边的中点，F 是BC 边上的动点，将△EBF 沿EF 所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D.则当B′D 取得最小值时，tan∠BEF 的值为__________．4．(2017·河南模拟)如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC ＝4，BC ＝6，点D 是边BC 的中点，点E 是边AB 上的任意一点(点E 不与点B 重合)，沿DE 翻折△DBE 使点B 落在点F 处，连接AF ，则线段AF 的长取最小值时，BF 的长为_________．参考答案类型一针对训练 1.3＋1或23－2 【解析】(1)当点E 在边AD 上时，过点E 作EF⊥CD 于F ，如解图①，设CF ＝x ，第1题解图①∵∠ABC＝30°，∴∠BCD＝150°.∵△BCD′是等边三角形，∴∠DCD′＝90°.由折叠可知，∠ECD＝∠D′CE＝45°，∵EF＝CF ＝x ，在直角三角形DEF 中，∠D＝30°，∴DE＝2x ，∴DF＝3x ，∴CD＝CF ＋DF ＝x ＋3x ＝2，解得x ＝3x －1，∴DE＝2x ＝23－2.(2)当E 在DA 的延长线上时，如解图②.第1题解图②过点B 作BF⊥DA 于点F ，根据折叠可知，∠ED′C＝∠D＝30°，又∵三角形BD′C 是等边三角形，∴D′E 垂直平分BC ，∵AD∥BC.∴D′E⊥AD，∵∠ABC＝30°∴∠BAF＝30°，又∵AB＝2，∴AF＝ 3.令D′E 与BC 的交点为G ，则易知EF ＝BG ＝12BC ＝1，∴AE＝3－1，∴DE＝3＋1，综上所述，DE 的长度为3＋1或23－2.2.158或157【解析】在Rt△ABC 中，∵∠C＝90°，AB ＝5，AC ＝4，∴BC＝3.沿直线EF 将∠B 折叠，使点B 恰好落在BC 上的D 处，当△ADE 恰好为直角三角形时，根据折叠的性质：BE ＝DE ，设BE ＝x ，则DE ＝x ，AE ＝5－x ，①当∠ADE＝90°时，则DE∥BC，∴DE CB ＝AE AB ，∴x 3＝5－x 5，解得x ＝158；②当∠AED＝90°时，则△AED∽△ACB，∴DE BC ＝AE AC ，∴x 3＝5－x 4，解得x ＝157，故所求BE 的长度为：158或157. 3.122＋12或1 【解析】①如解图①，当∠B′MC＝90°，B′与A 重合，M 是BC 的中点，∴BM＝12BC ＝122＋12；②如解图②，当∠MB′C＝90°，∵∠A＝90°，AB ＝AC ，∴∠C＝45°，∴△CMB′是等腰直角三角形，∴CM＝2MB′.∵沿MN 所在的直线折叠∠B ，使点B 的对应点为B′，∴BM＝B′M，∴CM＝2BM.∵BC＝2＋1，∴CM＋BM ＝2BM ＋BM ＝2＋1，∴BM＝1，综上所述，若△MB′C 为直角三角形，则BM 的长为122＋12或1.图①图②第3题解图 4.433或23－2 【解析】①如解图①，当A′D＝A′C 时，∠A′DC＝∠A′CD＝30°，∴∠AA′D＝60°.又∵∠CAD＝30°，∴∠ADA′＝90°，在Rt△ADA′中，AA′＝AD cos 30°＝432＝833，由折叠可得AP ＝12AA′＝433；图①图②第4题解图②如解图②，当CD ＝CA′＝4时，连接BD 交AC 于O ，则Rt△COD 中，CO ＝CD×cos 30°＝4×32＝23，∴AC＝43，∴AA′＝AC －A′C＝43－4，由折叠可得AP ＝12AA′＝23－2；故答案为433或23－2. 5 .32或34【解析】如解图①所示，点E 与点C′重合时．在Rt△ABC 中，BC ＝AB 2－AC 2＝4.由翻折的性质可知；AE ＝AC ＝3、DC ＝DE ，则EB ＝2.设DC ＝ED ＝x ，则BD ＝4－x.在Rt△DBE 中，DE 2＋BE 2＝DB 2，即x2＋22＝(4－x)2.解得x ＝32.∴DE＝32.图①图②第5题解图如解图②所示：∠EDB＝90°时．由翻折的性质可知：AC ＝AC′，∠C＝∠AC′D＝90°.∵∠C＝∠AC′D ＝∠CDC′＝90°，∴四边形ACDC′为矩形．又∵AC＝AC′，∴四边形ACDC′为正方形．∴CD＝AC ＝3.∴DB＝BC －DC ＝4－3＝1.∵DE∥AC，∴△BDE∽△BCA.∴DE AC ＝DB CB ＝14，即ED 3＝14.解得DE ＝34.点D 在CB 上运动，∠DBC′＜90°，故∠DBC′不可能为直角．故答案为：32或34. 6.23＋43或 6 【解析】分两种情况：①如解图①，当∠CDM＝90°，△CDM 是直角三角形，∵在Rt△ABC 中，∠B＝90°，∠A＝60°，AC ＝23＋4，∴∠C＝30°，AB ＝12AC ＝3＋2，由折叠可得，∠MDN＝∠A ＝60°，∴∠BDN＝30°，∴BN＝12DN ＝12AN ，∴BN＝13AB ＝3＋23，∴AN＝2BN ＝233＋43，∵∠DNB＝60°，∴∠ANM＝∠DNM＝60°，∴∠ANM＝60°，∴AN＝MN ＝23＋43.②如解图②，当∠CMD＝90°时，△CDM 是直角三角形，由题可得∠CDM＝60°，∠A＝∠MDN＝60°，∴∠BDN＝60°，∠BND＝30°，∴BD ＝12DN ＝12AN ，BN ＝3BD ，又∵AB＝3＋2，∴AN＝2，BN ＝3，过N 作NH⊥AM 于H ，则∠ANH＝30°，∴AH＝12AN ＝1，HN ＝3，由折叠可得∠AMN＝∠DMN＝45°，∴△MNH 是等腰直角三角形，∴HM＝HN ＝3，∴MN＝6，故答案为23＋43或 6.图①图②第6题解图7．3或145 【解析】∴∠C＝90°，BC ＝23，AC ＝2，∴tan B＝AC BC ＝223＝33，∴∠B＝30°，∴AB＝2AC ＝4.∵点D 是BC 的中点，沿DE 所在直线把△BDE 翻折到△B′D′E 的位置，B′D 交AB 于点F ，∴DB＝DC ＝3，EB′＝EB ，∠DB′E＝∠B＝30°.设AE ＝x ，则BE ＝4－x ，EB′＝4－x ，当∠AFB′＝90°时，在Rt△BDF 中，cos B ＝BF BD ，∴BF＝3cos 30°＝32，∴EF＝32－(4－x)＝x －52.在Rt △B′EF 中，∵∠EB′F ＝30°，∴EB′＝2EF ，则4－x ＝2(x －52)，解得x ＝3，此时AE 为3；第7题解图当∠FB′A ＝90°时，作EH⊥AB′于H ，连接AD ，如解图，∵DC ＝DB′，AD ＝AD ，∴Rt△ADB′≌Rt△ADC ，∴AB′＝AC ＝2.∵∠AB′E ＝∠AB′F ＋∠EB′F ＝90°＋30°＝120°，∴∠EB′H＝60°.在Rt△EHB′中，B′H＝12B ′E ＝12(4－x)，EH ＝3B′H＝32(4－x)，在Rt△AEH 中，∵EH 2＋AH 2＝AE 2，∴34(4－x)2＋[12(4－x)＋2]2＝x 2，解得x ＝145，此时AE 为145.综上所述，AE 的长为3或145.8.32或3916【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴AB＝BC ＝CD ＝AD ＝5，∠DAC＝∠BAC.∵EF⊥AA′，∴∠EPA ＝∠FPA′＝90°，∴∠EAP ＋∠AEP ＝90°，∠FAP ＋∠AFP ＝90°，∴∠AEP ＝∠AFP ，∴AE ＝AF.∵△A′EF 是由△AEF 翻折，∴AE＝EA′，AF ＝FA′，∴AE＝EA′＝A′F＝FA ，∴四边形AEA′F 是菱形，∴AP＝PA′.①当CD ＝CA′时，∵AA′＝AC －CA′＝3，∴AP＝12AA′＝32.②当A′C＝A′D 时，∵∠A′CD＝∠A′DC＝∠DAC，∴△A′CD∽△DAC，∴A′C AD ＝DC AC ，∴A′C＝258，∴AA′＝8－258＝398，∴AP＝12AA′＝3916，故答案为32或3916. 9.127或43 【解析】①如解图①，当∠ADC′＝90°时，∠ADC′＝∠C，第9题解图①∴DC′∥CB，∴△ADC′∽△ACB.又∵AC＝3，BC ＝4，∴AD DC′＝34，设CD ＝C′D＝x ，则AD ＝3－x ，∴3－x x ＝34，解得x ＝127，经检验：x ＝127是所列方程的解，∴CD＝127；②如解图②，当∠DC′A＝90°时，∠DCB ＝90°，第9题解图②由折叠可得，∠C＝∠DC′E＝90°，∴C′B 与CE 重合，由∠C＝∠AC′D＝90°，∠A＝∠A，可得△ADC′∽△ABC，在Rt △ABC 中，AB ＝5，∴AD C′D ＝AB CB ＝54，设CD ＝C′D＝x ，则AD ＝3－x ，∴3－x x ＝54，解得x ＝43，∴CD＝43.综上所述，CD 的长为127或43. 类型二针对训练1．4或52 【解析】设CH ＝x ，则DH ＝EH ＝9－x ，当BE∶EC＝2∶1时，BC ＝9，∴CE＝13BC ＝3.在Rt△ECH 中，EH 2＝EC 2＋CH 2，即(9－x)2＝32＋x 2，解得x ＝4，即CH ＝4.当BE∶EC＝1∶2时，CE ＝23BC ＝6.在Rt△ECH 中，EH 2＝EC 2＋CH 2，即(9－x)2＝62＋x 2，解得：x ＝52，即CH ＝52.故CH 的长为4或52.2.477或4155【解析】如解图，过点A′作A′M⊥AD 于M 交BC 于N ，则四边形ABNM 是矩形，∴AB＝MN ＝4.∵若点A′到矩形较长两对边的距离之比为1∶3，∴A′M＝1，A′N＝3或A′M＝3，A′N＝1.①当A′M＝1，A′N＝3时，在Rt△BA′N 中，BN ＝42－32＝7，∴AM＝BN ＝7.由△A′EM～△BA′N，∴EM A′N ＝A′M BN ，∴EM 3＝17，∴EM＝377，∴AE＝477；②当A′M＝3，A′N＝1时，同理可得AE ＝4155., 第2题解图)第3题解图3.52或53【解析】如解图，连接BD′，过D′作MN⊥AB，交AB 于点M ，CD 于点N ，作D′P⊥BC 交BC 于点P.∵点D 的对应点D′落在∠ABC 的平分线上，∴MD′＝PD′.设MD′＝x ，则PD′＝BM ＝x ，∴AM＝AB －BM ＝7－x ，又由折叠图形可得AD ＝AD′＝5，∴x 2＋(7－x)2＝25，解得x ＝3或4，即MD′＝3或4.在Rt△END′中，设ED′＝a ，①当MD′＝3时，AM ＝7－3＝4，D′N＝5－3＝2，EN ＝4－a ，∴a 2＝22＋(4－a)2，解得a ＝52，即DE ＝52；②当MD′＝4时，AM ＝7－4＝3，D′N＝5－4＝1，EN ＝3－a ，∴a 2＝12＋(3－a)2，解得a ＝53，即DE ＝53.综上所述，DE 的长为52或53. 4.52或10 【解析】分两种情况：①如解图①，当点F 在矩形内部时，∵点F 在AB 的垂直平分线MN 上，∴AN＝4.∵AF＝AD ＝5，由勾股定理得FN ＝3，∴FM＝2.设DE 为x ，则EM ＝4－x ，FE ＝x ，在△EMF 中，由勾股定理，得x 2＝(4－x)2＋22，∴x＝52，即DE 的长为52；图①图②第4题解图②如解图②，当点F 在矩形外部时，同①的方法可得FN ＝3，∴FM＝8，设DE 为y ，则EM ＝y －4，FE ＝y ，在△EMF 中，由勾股定理，得y 2＝(y －4)2＋82，∴y＝10，即DE 的长为10.综上所述，点F 刚好落在线段AB 的垂直平分线上时，DE 的长为52或10. 5．3或92【解析】①点A 落在矩形对角线BD 上，如解图①，∵在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝6∴∠ABC ＝90°，AC ＝BD ，∴AC ＝BD ＝62＋82＝10.根据折叠的性质，得PC⊥BB′，∴∠PBD ＝∠BCP ，∴△BCP∽△ABD，∴BP AD ＝BC AB ，即BP 6＝68，解得BP ＝92；②点A 落在矩形对角线AC 上，如解图②，根据折叠的性质，得BP ＝B′P，∠B＝∠PB′C＝90°，∴∠AB′A＝90°，∴△APB′∽△ACB，∴B′P BC ＝AP AC ，即BP 6＝8－BP 10，解得BP ＝3，故答案为：3或92.图①图②第5题解图6．2或5－ 5 【解析】分两种情况：①当点B′在AC 的下方时，如解图①，∵D 是BC 中点，∴S △BPD ＝S △PDC ，∵S △PDF ＝12S △BPD ，∴S △PDF ＝12S △PDC .∴F 是PC 的中点，∴DF 是△BPC 的中位线，∴DF∥BP，∴∠BPD＝∠PDF，由折叠得：∠BPD＝∠B′PD，∴∠B′PD＝∠PDF，∴PB′＝B′D，即PB ＝BD ，过B 作BE⊥AC 于E ，在Rt△ABE 中，tan A ＝BE AE＝2，∵AB＝5，∴AE＝1，BE ＝2，∴EC＝5－1＝4，由勾股定理，得BC ＝BE 2＋EC 2＝22＋42＝25，∵D 为BC 的中点，∴BD＝5，∴PB＝BD ＝5，在Rt△BPE 中，PE ＝1，∴AP ＝AE ＋PE ＝1＋1＝2；图①图②第6题解图②当点B′在AC的上方时，如解图②，连接B′C，同理得：F是DC的中点，F是PB′的中点，∴DF＝FC，PF＝FB′，∴四边形DPCB′是平行四边形，∴PC＝B′D＝BD＝5，∴AP＝5－5，综上所述，AP的长为2或5－ 5.7．8＋23或8－2 3 【解析】由折叠的性质得，∠EC′D′＝∠C＝90°，C′E＝CE.∵点B、C′、D′在同一直线上，∴∠BC′E＝90°，∵BC＝12，BE＝2CE，∴BE＝8，C′E＝CE＝4，在Rt△BC′E中，BEC′E ＝2，∴∠C′BE＝30°.①当点C′在BC的上方时，如解图①，过E作EG⊥AD于G，延长EC′交AD于H，则四边形ABEG是矩形，∴EG＝AB＝6，AG＝BE＝8，∵∠C′BE＝30°，∠BC′E＝90°，∴∠BEC′＝60°，由折叠的性质得，∠C′EF＝∠CEF＝60°.∵AD∥BC，∴∠HFE＝∠CEF＝60°，∴△EFH是等边三角形，∴在Rt△EFG中，EG＝6，∴GF＝23，∴AF＝8＋23；②当点C′在BC的下方时，如解图②，过F作FG⊥AD于G，D′F交BE于H，同①可得，四边形ABGF是矩形，△EFH是等边三角形，∴AF＝BG，FG ＝AB＝6，∠FEH＝60°，在Rt△EFG中，GE＝23.∵BE＝8，∴BG＝8－23，∴AF＝8－2 3.图①图②第7题解图类型三针对训练1．53－5 【解析】如解图，连接BE.第1题解图∵AB＝BC＝AC＝10，∴∠C＝60°.∵AB＝BC，E是AC的中点，∴BE⊥AC.∴BE＝BC2－EC2＝102－52＝53.∵AC＝10，E 是AC 边的中点，∴AE＝5.由翻折的性质可知A′E＝AE ＝5.∵BA′＋A′E≥BE，∴当点B 、A′、E 在一条直线上时，BA′有最小值，最小值＝BE －A′E＝53－5.2.403【解析】连接DE ，DE ＝52＋122＝13，∵将△AEP 沿FP 折叠，使得点A 落在点A′的位置，∴EA′＝EA ＝5，∵A′D≥DE－EA′第2题解图(当且仅当A′点在DE 上时，取等号)，∴当A′与点D 的距离最短时，A′点在DE 上，∴DA′＝13－5＝8，设PA′＝x ，则PA ＝x ，PD ＝12－x ，在Rt△DPA′中，x 2＋82＝(12－x)2，解得x ＝103，∴△A′PD 的面积＝12×8×103＝403. 3.1＋52【解析】在Rt△ADE 中，DE ＝22＋42＝25，当B′在ED 上时，B′D 最小，在ED 上截取EB′＝EB ＝2，连接B′F，FD ，则B′D＝ED －EB′＝25－2，设BF ＝x ，则B′F＝x ，CF ＝4－x ，在Rt△B′FD 和Rt△FCD 中，利用勾股定理，可得DB′2＋B′F 2＝DF 2＝CF 2＋DC 2，即(25－2)2＋x 2＝(4－x)2＋42，解得x ＝5＋1，∴Rt△BEF 中，tan∠BEF＝BF BE ＝1＋52.第3题解图4.1255【解析】由题意得：DF ＝DB ，第4题解图∴点F 在以D 为圆心，BD 为半径的圆上，作⊙D; 连接AD 交⊙D 于点F ，此时AF 值最小，∵点D 是边BC 的中点，∴CD＝BD ＝3；而AC ＝4，由勾股定理得：AD 2＝AC 2＋CD 2，∴AD＝5，而FD ＝3，∴FA＝5－3＝2，即线段AF 长的最小值是2，连接BF ，过F 作FH⊥BC 于H ，∵∠ACB＝90°，∴FH∥AC，∴△DFH∽△DAC，∴DF AD ＝DH CD ＝HF AC ，即35＝DH 3＝HF 4，∴HF＝125，DH ＝95，∴BH＝245，∴BF＝BH 2＋HF 2＝1255.。

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