根式及其运算

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根式的知识点总结

根式的知识点总结一、根式的定义根式是求一个数的n次方根的运算，表示为√a，其中a为被开方数，n为指数。

如果n 为2，则称为开平方；n为3，则称为开立方；一般地，n为正整数，则称为开n次方。

根式也可以表示为a的1/n次方。

二、根式的性质1. 若a≥0，则√a存在且是实数；若a>0，则√a>0。

2. 根式的值唯一，即√a的值只有一个。

3. 若a＞b＞0，则√a＞√b。

4. 根式的运算律：①√(a×b)=√a×√b；②√(a÷b)=√a÷√b；③√(a±b)=√a±√b。

三、根式的化简对于根式的化简，我们首先需要找出被开方数的因数，然后利用根式的运算规律和因数分解法进行化简。

具体步骤如下：1. 将被开方数a分解成质因数的乘积形式：a=p₁^m₁×p₂^m₂×⋯×pₙ^mₙ。

2. 对开根号进行因数分解：√a=√(p₁^m₁×p₂^m₂×⋯×pₙ^mₙ)。

3. 利用根式的运算规律化简：√a=√(p₁^m₁)×√(p₂^m₂)×⋯×√(pₙ^mₙ)。

化简根式的目的是为了简化计算和做题的过程，避免繁琐的计算和错误的产生。

四、根式的运算规则1. 加减法运算对于根式的加减法运算，首先要将根式化为同类项，然后按照同类项的相加减法则进行计算。

具体步骤如下：将根式化为同类项之后，按照相同指数的根式进行加减法运算。

例如：√3+√5=√3+√52√3-√5=2√3-√52. 乘法运算对于根式的乘法运算，利用根式的运算规则进行计算，具体步骤如下：将根式化为同类项之后，按照相乘的根式进行乘法运算。

例如：√3×√5=√(3×5)=√15(2√3)×(3√5)=2×3×√(3×5)=6√153. 除法运算对于根式的除法运算，利用根式的运算规则进行计算，具体步骤如下：将根式化为同类项之后，按照相除的根式进行除法运算。

根式的化简与运算

根式的化简与运算在数学中，根式是指一个数的平方根、立方根、四次方根等。

化简和运算根式是数学中的基础操作，它们帮助我们简化复杂的根式表达式，使其更易于计算和理解。

本文将介绍根式的化简和运算规则以及相关的示例，帮助读者掌握这一重要的数学技巧。

一、根式的化简规则对于一个根式，我们可以通过化简来简化其表达式。

下面是常见的根式化简规则：1. 提取平方数因子：如果根式中有一个数的平方根出现多次，我们可以提取其中的一个平方根，将其与根号外的数相乘。

例如，√(4x^2)可以化简为2x。

2. 分解成成绩因式：如果根式中的数可以分解成多个数的乘积，我们可以将根号内的数分别开根，并将各个开根后的数相乘。

例如，√(4x^2)可以化简为2√x^2。

3. 合并同类项：如果根式中有相同的根号内的数相加或相减，我们可以将它们合并成一个根式。

例如，√x + √x可以化简为2√x。

4. 有理化分母：如果根式的分母是一个根号形式，我们可以通过有理化分母的方法将其改写为一个有理数。

例如，1/√x可以化简为√x/x。

这些化简规则可以帮助我们将复杂的根式化简为简单的形式，从而更方便地进行计算和运算。

下面我们将结合实例进一步说明。

二、根式的运算规则在进行根式运算时，我们需要遵守一些基本的运算规则，下面是常见的根式运算规则：1. 加减法运算：根式相加减的规则是，当根号内的数相同时，我们可以直接对根号外的数进行加减运算，并保持根号不变。

例如，√3 +√3可以化简为2√3。

2. 乘法运算：根式相乘的规则是，我们可以将根号内的数相乘，并将根号外的数相乘。

例如，√2 * √3可以化简为√6。

3. 除法运算：根式相除的规则是，我们可以将根号内的数相除，并将根号外的数相除。

例如，(√6)/(√2)可以化简为√3。

4. 乘方运算：根式的乘方运算是将根号内的数进行幂次运算。

例如，(√2)^2可以化简为2。

这些运算规则帮助我们完成根式的各种运算，进一步简化根式的表达式，并提供了解决实际问题的数学工具。

根式的运算

根式的运算根式的运算是数学中的一种基本运算，它主要涉及到对根号下的数的加减乘除等运算。

根式运算在代数、几何以及物理等学科中都有广泛的应用。

在本文中，我们将探讨根式运算的基本概念和常见的运算规则，以帮助读者更好地理解和应用根式运算。

一、根式的概念根式是指形如√a的表达式，其中√称为根号，a称为被开方数。

根式可以是整数、分数、小数或者其他形式的数。

根式运算主要涉及到对根号下的数的加减乘除等运算。

二、根式的加减法根式的加减法遵循以下规则：1. 根号下的数相同的根式可以直接相加或相减。

例如，√2 + √2 = 2√2，√3 - √3 = 0。

2. 根号下的数不同的根式不能直接相加或相减，需要进行化简。

例如，√2 + √3不能化简，只能写成√2 + √3。

3. 根号下的数相同但系数不同的根式可以合并。

例如，2√2 + 3√2 = 5√2。

三、根式的乘法根式的乘法遵循以下规则：1. 根号下的数相同的根式可以直接相乘。

例如，√2 × √2 = 2。

2. 根号下的数不同的根式可以通过乘法公式进行化简。

例如，√2 × √3 = √(2 × 3) = √6。

3. 根号下的数相同但系数不同的根式可以合并。

例如，2√2 × 3√2 = 6 × 2 = 12。

四、根式的除法根式的除法遵循以下规则：1. 根号下的数相同的根式可以直接相除。

例如，√6 ÷ √2 = √(6 ÷2) = √3。

2. 根号下的数不同的根式可以通过除法公式进行化简。

例如，√6 ÷ √3 = √(6 ÷ 3) = √2。

3. 根号下的数相同但系数不同的根式可以合并。

例如，2√6 ÷ 3√6 = (2 ÷ 3) = 2/3。

五、根式的化简根式的化简是指将根号下的数化为最简形式。

化简根式可以通过以下方法进行：1. 将根号下的数分解质因数，然后将相同的质因数提取出来。

根式及其运算

根式及其运算知识定位根式是初中数学的重要内容之一，也是近年各类初中数学竞赛中常常涉及到的知识点.解此类有关根式计算题的关键在于将无理式进行有理化.但是在很多竞赛题中我们遇到的计算式子却非常复杂和灵活，其中对根式的计算要求技巧性较强，因而计算的难度较大.在进行根式运算时，往往用到绝对值、整式、分式、因式分解，以及配方法、换元法、待定系数法等有关知识与解题方法，也就是说，根式的运算，可以培养同学们综合运用各种知识和方法的能力．知识梳理二次根式的概念：式子a (a ≥0)叫二次根式。

二次根式的性质：（1）()()02≥=a a a ；（2）⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==00002a ,a a ,a ,a a a二次根式的运算法则：（1）c )b a (c b c a ±=± (0≥c )；（2）ab b a =⋅ (00≥≥b ,a )；（3）baba =(00>≥b ,a )；（4）()()0≥=a a a m m若0>>b a ，则b a >。

设m ,d ,c ,b ,a 是有理数,且m 不是完全平方数，则当且仅当d b ,c a ==时，m d c m b a +=+ 。

形如b a x +=，b a y -=的这两个根式互称为共轭根式。

当两个含有二次根式的代数式相乘时，如果它们的积不含有二次根式，则这两个代数式互为有理化因式．例题精讲◆专题一：共轭因式法【试题来源】2006年第十七届“希望杯”数学竞赛第二试【题目】设0>m ，m x x =--+13，则代数式13-++x x 的值是 (用m 表示).【答案】m4 【解析】观察此题中13--+x x 与13-++x x 恰是共轭因式，因此想到将两式相乘得：()()()()413131322=--+=-++•--+x x x x x x即()433=-++•x x m ,所以mx x 413=-++. 点评：我们把形如b a +、b a -的两个根式互称为共轭因式,共轭因式相乘就恰好将无理式化为有理式，从而此题轻松解决. 【知识点】根式及其运算【适用场合】当堂例题【难度系数】2◆专题二：有理化法【试题来源】2008年全国初中数学联赛第一试【题目】已知实数x 、y 满足()()20082008200822=----y y x x ，则2007332322--+-y x y x 的值为( )【选项】(A)－2008 (B) 2008 (C)－1 (D)1 【答案】D 【解析】由已知()()20082008200822=----y y x x 可得：200820081200822--=--y y x x然后将等式左边分子有理化得：()()200820082008200820082222--=-+-+--y y x x x x x x()20082008200820082222--=-+--y y x x x x200820082008200822--=-+y y x x∴ 2008200822--=-+y y x x ①同理可得：2008200822-+=--y y x x ②由①、②得：x = y ∴ ()2008200822=--x x变形得： 20082008200822--=--x x x x将等式的左边分子有理化得：200820082008200822--=-+x x x x∴ 2008200822-+=--x x x x∴020082=-x ,即20082=x∴原式=120072008200720073323222=-=-=--+-x x x x x .故选D.点评：有理化法是解二次根式计算题的常用方法，就其形式来说可分为分母有理化和分子有理化两类.具体方法是在分式的分母(或分子)同时乘以原二次根式的有理化因式，从而达到化无理式为有理式的目的. 【知识点】根式及其运算【适用场合】当堂例题【难度系数】2◆专题三：因式分解法常用方法：利用配方法将被开方数配成完全平方式或者立方式【试题来源】2006年第十七届“希望杯”数学竞赛第二试【题目】计算-++++12862231286223+---，得 .【答案】2-【解析】此题分子、分母均含根式，如果按照通常的做法是先分母有理化，这样计算较繁.若观察到分母可进行因式分解，先将分母因式分解后，再化简.原式()()32432223++++=()()32432223-----()()423223+++=()()423223----421421-++=222222-++-=2-=点评：从此题我们可得到这样的启发：当分子分母均含有根式时，可用因式分解法先将式子化简，再进行计算，这样能起到化繁为简的作用. 【知识点】根式及其运算【适用场合】当堂例题【难度系数】2【试题来源】【题目】化简：2008200820082008100435715337++⎪⎭⎫⎝⎛，得到 . 【答案】1 【解析】解:原式.【知识点】根式及其运算【适用场合】当堂练习题【难度系数】3【试题来源】【题目】化简：)23)(36(23346++++,最后得_________【答案】23+【解析】原式==+【知识点】根式及其运算【适用场合】当堂练习题【难度系数】3◆专题四：换元法【试题来源】2004年全国初中数学联赛【题目】已知8a ≥1, 则333183131831-+-+-++a a a a a a 的值是( )【选项】 (A)1 (B) 23a (C)a 8 (D)不能确定【答案】A【解析】解析：设318-=a x ,则8132+=x a ,83312+=+x a原式()3228313x x x +++=()3228313xx x +-++ 3238133+++=x x x 3238133+-+-+x x x ()3381+=x ()3381x -+2121x x -++==1 选A.点评：此题若用常规方法根本无法入手进行解答，此处换元法的运用妙在能达到化无理式为有理式的目的，从而使问题迎刃而解. 【知识点】根式及其运算【适用场合】当堂例题【难度系数】2◆专题五：裂项法【试题来源】2003年第十四届“希望杯”全国数学竞赛第二试【题目】对于正整数n,有111111+-=+++n nn n n )n (，若某个正整数k 满足32111433413223121121=+++++++++k k k )k (,则k=______. 【答案】8【解析】解析：由公式111111+-=+++n nn n n )n (，因此有()111433413223121121++++++++++k k k k11131212111+-++-+-=k k111+-=k32111=+-k 3111=+∴k 8=∴k点评：裂项法在很多有关分式和分数的计算题中经常用到，我们仔细观察会发现能应用此方法进行计算的式子都有着某种特殊的规律.常用的裂项形式主要有以下几种： (1)()11111+-=+n n n n .如：200820071431321211⨯++⨯+⨯+⨯ 200812007131212111-++-+-= 200811-= 20082007=(2)()⎪⎭⎫⎝⎛+-=+k n n k k n n 1111.如：2008200511071741411⨯++⨯+⨯+⨯ ⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-+-⨯=2008120051714141131 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=20081131 2008200731⨯=2008669=(3)111111+-=+++n n n n n )n (.如本题中()111433413223121121++++++++++k k k k11131212111+-++-+-=k k111+-=k .【知识点】根式及其运算【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】4947474917557153351331++++++++【答案】73 【解析】考虑一般情形==12==原式111113(()2217747=+++-=-=【知识点】根式及其运算【适用场合】当堂练习题【难度系数】3◆专题六：条件转化法【试题来源】2006年第十七届“希望杯”数学竞赛第一试【题目】已知x ＝22＋1，则分式15119232----x x x x 的值等于__________．【答案】2【解析】由x ＝22＋1得：221=-x 两边平方得：()()22221=-x ,即722+=x x所以原式()()1511729272--+--+=x x x x x 154222---=x x ()1547222--+-=x x12--==2点评：此题先通过乘方的方法将已知条件中的无理式x ＝22＋1，转化为有理式722+=x x .再代入所求代数式中，通过逐步降次，从而求得代数式的值，因此这种方法称为条件转化法. 【知识点】根式及其运算【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】设215-=a ,则=-+---+aa a a a a a 3234522 . 【答案】－2 【解析】解:,,因此，本题正确答案是-2.【知识点】根式及其运算【适用场合】当堂练习题【难度系数】3◆专题七：配方及平方法【试题来源】2008年第十九届“希望杯”数学竞赛第二试【题目】当2>x 时，化简代数式1212--+-+x x x x ，得 .【答案】12-x【解析】法一:解析：应用配方法可得：()112112+-+-=-+x x x x()2211121+•-+-=x x()211+-=x 同理可得：=--12x x ()211--x∴1212--+-+x x x x()()221111--++-=x x1111--++-=x x∵2>x∴原式12-=x .点评：配方法是化简多重根式的常用方法.其根本做法是把被开方式b a 2±配方成完全平方式()2y x ±的形式()0,0≥≥y x ,即是要设法找到两个正数x ，y(x ＞y)，使x+y=a ，xy=b ，则()y x yx xy y x b a ±=±=±+=±222,其中(x ＞y).法二: 对于上面的例子还可以进行另一种思考：由于12-+x x 与12--x x 互为有理化因式(共轭因式)，则有()()2222121212-=--=--•-+x x x x x x x ,因此原式平方后是一个有理式，所以上题还可以用平方法. 解析：设1212--+-+=x x x x y ，则y ＞0.将上式两边分别平方得：()()1212122122--+--•-++-+=x x x x x x x x y()221222--+=x x x44222+-+=x x x ()2222-+=x x222-+=x x∵2>x ，∴442-=x y ∴1244-=-=x x y点评：解答含根式的计算题，关键在于如何将无理式转化成有理式.如果原无理式直接平方后就能从无理式转化为有理式，那么我们不妨用平方法，这种方法的解题思路更加自然流畅，计算过程也更加简便易行.【知识点】根式及其运算【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】武汉市选拔赛试题【题目】化简22)1(111+++n n，所得的结果为（）A ．1111+++n n B ．1111++-n n C ．1111+-+n n D ．1111+--n n 【答案】C【解析】待选项不再含根号，从而可预见被开方数通过配方运算后必为完全平方式形式．原式111n n n +=-+选（C ）【知识点】根式及其运算【适用场合】当堂练习题【难度系数】3◆专题八：巧用乘法公式解题【试题来源】2004年第十五届“希望杯”数学竞赛第二试【题目】对于任意的自然数n ，有f(n)=323232121121+-+-+++n n n n n , 则f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(999)＝ . 【答案】5【解析】注意到f(n)表达式的分母可整理成：()()2333231111-+-•+++n n n n ，形如22b ab a ++的形式，类似于立方差公式的一部份，因此考虑用立方差公式. 由立方差公式：()()2233bab a b a b a ++-=-有()()333311--+n n()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-•+++--+=23332333111111n n n n n n即()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-•+++•--+=233323331111112n n n n n n∴1=()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-•+++•--+2333233311111121n n n n n n将其代入f(n)表达式得：f(n ）=()()()()()23332323332333111111111121-+-•+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-•+++•--+•n n n n n n n n n n=()331121--+•n n∴f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(999)()()()()33333333998100021462124210221-•++-•+-•+-•=()3333333310009989984422021+-++-+-+-= 1021⨯= 5=点评：此题用常规方法无法入手进行解答，已知条件中的表达式也比较复杂，这时我们从表达式的形式上进行分析，得到22b ab a ++的形式，自然联想到立方差公式，然后运用乘法公式将条件进行转化，从而找到解决问题的捷径. 【知识点】根式及其运算【适用场合】当堂例题【难度系数】3◆专题九：活用整数、根式的性质解题【试题来源】2006年第十七届“希望杯”数学竞赛第一试【题目】计算2200612008200720062005-+⨯⨯⨯的结果是__________．【答案】2005【解析】：注意到此题中2005、2006、2007、2008是四个连续的正整数，而四个连续的正整数的积与1的和是一个完全平方数.因此本题有了如下的简便解法：原式()()()2200612200612006200612006-++⨯+⨯⨯-==()[]()()[]2200612200612006120062006-++⨯-⨯+⨯=()()2222006122006200620062006-+-+⨯+()()22222006120062006220062006-++-+=()2222006120062006--+=222006120062006--+==2005点评：正整数具有这样的性质“四个连续的正整数的积与1的和是一个完全平方数”，而本题恰是灵活运用了正整数的这一性质进行解答的.我们可以看到正整数的某些性质恰是解决有关正整数问题的金钥匙.【知识点】根式及其运算【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】重庆市竞赛题【题目】已知254245222+-----=xx x x y ，则22y x += ．【答案】6【解析】因一个等式中含两个未知量，初看似乎条件不足，不妨从二次根式的定义入手．二次根式有如下重要性质：(1)0≥a ，说明了a 与a 、na 2一样都是非负数；(2) a a =2)( (≥a 0)，解二次根式问题的途径——通过平方，去掉根号有理化；(3) a a =2)(，揭示了与绝对值的内在一致性．著名数学教育家玻利亚曾说，“回到定义中去”，当我们面对条件较少的问题时，记住玻利亚的忠告，充分运用概念解题．提示：22222205420,262045x x x y x y x x⎧-≥⎪⎪-→-==→+=⎨-⎪≥⎪-⎩【知识点】根式及其运算【适用场合】当堂例题【难度系数】3习题演练【试题来源】【题目】计算：（1）1014152110141521+--+++；（2）3151026332185231--+-+++．【答案】（1）562- （2）233- 【解析】（1）原式=101415212(57)3(57)(23)(57)101415212(57)3(57)(23)(57)+--+-+-+==++++++++(23)(32)(526)265=--=--=-（2）315102633218(31510)(1826)(332)52315231--+-+-+-+-=++++5(332)23(332)(332)(332)(5231)33252315231-+-+--++===-++++【知识点】根式及其运算【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】“希望杯”邀请赛试题【题目】计算223810++ 【答案】24+【解析】原式222108122(2)108(12)108(12)=+++=++=++242(2)4=+==【知识点】根式及其运算【适用场合】随堂课后练习【难度系数】4【试题来源】湖北省孝感市“英才杯”竞赛题【题目】计算1212--+-+aaaa【答案】见解析【解析】通过配方可以简化一重根号，本题的关键是就a的取值情况讨论，解决含根号、绝对值符号的综合问题．原式=2112aa⎧≤≤≤⎪==⎨>⎪⎩ 1，即12时，即时【知识点】根式及其运算【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】山东省竞赛题【题目】已知521332412---=----+ccbaba，求cba++的值．【答案】20【解析】思路点拨已知条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式怎样才能确定未知量的值呢?考虑从配方的角度试一试．原式可化为：2222211]2212][(3)2339]2a c c-+--+=----+即22211)2)]3)02++=，因此有10=，得2a=；20=，得6b=30=，得12c=。

根式的化简与计算

根式的化简与计算根式作为数学中的一种基本表达形式，广泛出现在各类数学问题中。

为了更好地理解和计算根式，我们需要学会对其进行化简与计算。

本文将介绍一些常见的根式化简与计算方法，帮助读者更好地掌握这一技巧。

一、根式的基本概念在开始讲解根式化简与计算之前，我们先来回顾一下根式的基本概念。

根式通常以√符号表示，具体形式为√a，其中a为被开方数。

我们可以将根式看作是求平方根的运算符号，用于表示某个数的平方根。

根式的表示方式还可以进一步拓展，如∛表示立方根，∜表示四次方根等。

这些表示方法都是根式的一种推广，本文主要以√为例进行讲解。

二、根式的化简当我们遇到一些复杂的根式时，为了方便计算和理解，常常需要对其进行化简。

根式的化简主要包括以下几种情况：1. 同底根式的合并当两个根式具有相同的底数时，可以合并为一个根式。

例如，√a与√b可以合并为√(ab)。

这种方法可以简化根式的表达形式，使之更加简洁。

2. 平方根的化简对于平方根，可以利用公式√(a*b) = √a * √b进行化简。

将一个数的平方根化简为两个数的平方根的乘积，可以让计算更加简便。

例如，√(4*9)可以化简为√4 * √9，即2 * 3 = 6。

3. 有理化分母当根式出现在分母中时，一般需要将其有理化，即将其转化为分子为整数的分式。

有理化分母的常用方法是乘以该根式的共轭形式。

例如，将1/√2有理化分母，可以乘以√2/√2，得到√2/2。

三、根式的计算根式的计算是指对给定的根式进行具体的数值运算。

根式的计算方法主要有以下几种：1. 根式的加减运算当两个根式具有相同的底数和指数时，可以直接进行加减运算。

例如，√2 + √2 = 2√2。

如果无法直接加减，可以先进行有理化分母，然后再进行运算。

2. 根式的乘法运算将两个根式相乘时，可以利用乘积的性质进行化简。

例如，√2 * √3 = √(2 * 3) = √6。

3. 根式的除法运算将一个根式除以另一个根式时，可以利用除法的性质进行化简。

根式及其运算.

根式及其运算二次根式的概念、性质以及运算法则是根式运算的基础，在进行根式运算时，往往用到绝对值、整式、分式、因式分解，以及配方法、换元法、待定系数法等有关知识与解题方法，也就是说，根式的运算，可以培养同学们综合运用各种知识和方法的能力．下面先复习有关基础知识，然后进行例题分析．二次根式的性质：二次根式的运算法则：设a，b，c，d，m是有理数，且m不是完全平方数，则当且仅当两个含有二次根式的代数式相乘时，如果它们的积不含有二次根式，则这两个代数式互为有理化因式．例1 化简：法是配方去掉根号，所以因为x-2＜0，1-x＜0，所以原式=2-x+x-1=1．＝a-b-a+b-a+b=b-a．说明若根式中的字母给出了取值范围，则应在这个范围内进行化简；若没有给出取值范围，则应在字母允许取值的范围内进行化简．例2 化简：分析两个题分母均含有根式，若按照通常的做法是先分母有理化，这样计算化简较繁．我们可以先将分母因式分解后，再化简．解法1 配方法．配方法是要设法找到两个正数x，y(x＞y)，使x+y=a，xy=b，则解法2 待定系数法．例4 化简：(2)这是多重复合二次根式，可从里往外逐步化简．分析被开方数中含有三个不同的根式，且系数都是2，可以看成解设两边平方得②×③×④得(xyz)2=5×7×35=352．因为x，y，z均非负，所以xyz≥0，所以xyz=35．⑤⑤÷②，有z=7．同理有x=5，y=1．所求x，y，z显然满足①，所以解设原式=x，则解法1 利用(a＋b)3＝a3＋b3＋3ab(a＋b)来解．将方程左端因式分解有(x-4)(x2＋4x＋10)＝0．因为x2＋4x＋10＝(x＋2)2＋6＞0，所以x-4＝0，x＝4．所以原式＝4．解法2说明解法2看似简单，但对于三次根号下的拼凑是很难的，因此本题解法1是一般常用的解法．例8 化简：解(1)本小题也可用换元法来化简．解用换元法．解直接代入较繁，观察x，y的特征有所以3x2-5xy＋3y2＝3x2＋6xy＋3y2-11xy＝3(x＋y)2-11xy＝3×102-11×1＝289．例11 求分析本题的关键在于将根号里的乘积化简，不可一味蛮算．解设根号内的式子为A，注意到1＝(2-1)，及平方差公式(a＋b)(a-b)＝a2-b2，所以A＝(2-1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(2256＋1)＋1＝(22-1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(2256＋1)＋1＝(24-1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)…(2256＋1)＋1＝…＝(2256-1)(2256＋1)＋1＝22×256-1＋1＝22×256，的值．分析与解先计算几层，看一看有无规律可循．解用构造方程的方法来解．设原式为x，利用根号的层数是无限的特点，有两边平方得两边再平方得x4-4x2＋4＝2＋x，所以x4-4x2-x＋2＝0．观察发现，当x＝-1，2时，方程成立．因此，方程左端必有因式(x ＋1)(x-2)，将方程左端因式分解，有(x＋1)(x-2)(x2＋x-1)＝0．解因为练习1．化简：2．计算：3．计算：。

根式的运算技巧

根式的运算平方根与立方根一、知识要点1、平方根：⑴、定义：如果x2=a，则x叫做a的平方根，记作“a称为被开方数）。

⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。

⑶、算术平方根：正数a的正的平方根叫做a2、立方根：⑴、定义：如果x3=a，则x叫做a a称为被开方数）。

⑵、性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。

3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。

二、规律总结：1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。

2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。

3≥0a≥0。

4、公式：⑴2=a（a≥0a取任何数）。

5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）。

例1 求下列各数的平方根和算术平方根（1）64；（2）2)3(-；（3）49151； ⑷ 21(3)-例2 求下列各式的值（1）81±；（2）16-；（3）259；（4）2)4(-.（5）44.1，（6）36-，（7）4925±（8）2)25(-例3、求下列各数的立方根：⑴ 343； ⑵ 10227-； ⑶ 0.729二、巧用被开方数的非负性求值. 大家知道，当a ≥0时，a 的平方根是±a ，即a 是非负数.例4、若,622=----y x x 求y x 的立方根.练习：已知,21221+-+-=x x y 求y x 的值.三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值.我们知道，当a ≥0时，a 的平方根是±a ，而.0)()(=-++a a例5、已知：一个正数的平方根是2a-1与2-a ，求a 的平方的相反数的立方根.练习：若32+a 和12-a 是数m 的平方根，求m 的值.四、巧解方程例6、解方程（1）（x+1）2=36 （2）27(x+1)3=64五、巧用算术平方根的最小值求值. 我们已经知道0≥a ,即a=0时其值最小,换句话说a 的最小值是零.例4、已知：y=)1(32++-b a ,当a 、b 取不同的值时，y 也有不同的值.当y 最小时,求b a 的非算术平方根.练习：1、若一个数的平方根是8±，则这个数的立方根是（）．A ．2B ．±2C ．4D ．±42、144的算术平方根是，16的平方根是；3、若m 的平方根是51a +和19a -，则m = ．4、327= ， 64-的立方根是；5、7的平方根为，21.1= ；6、一个数的平方是9，则这个数是，一个数的立方根是1，则这个数是；7、平方数是它本身的数是；平方数是它的相反数的数是；8、当x= 时，13-x 有意义；当x= 时，325+x 有意义；9、若164=x ，则x= ；若813=n ，则n= ；10、若3x x =，则x= ；若x x -=2，则x ；11、15的整数部分为a,小数部分为b,则a=____, b=____12、解方程：0324)1(2=--x （2） 3125(2)343x -=-（3 ） 264(3)90x --= （4）31(1)802x -+=1323(2)0y z -++=，求xyz 的值。

根式的运算技巧

根式的运算技巧根式的运算平方根与立方根一、知识要点1、平方根：⑴、定义：如果$x^2=a$，则$x$叫做$a$的平方根，记作“$\pm\sqrt{a}$”（$a$称为被开方数）。

⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；$0$的平方根是$0$；负数没有平方根。

⑶、算术平方根：正数$a$的正的平方根叫做$a$的算术平方根，记作“$\sqrt{a}$”。

2、立方根：⑴、定义：如果$x^3=a$，则$x$叫做$a$的立方根，记作“$\sqrt[3]{a}$”（$a$称为被开方数）。

⑵、性质：正数有一个正的立方根；$0$的立方根是$0$；负数有一个负的立方根。

3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。

二、规律总结：1、平方根是其本身的数是$\pm1$；算术平方根是其本身的数是正数；立方根是其本身的数是$1$或$-1$。

2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。

3、$a$本身为非负数，即$a\geq0$；$a$有意义的条件是$a\geq0$。

4、公式：⑴$(\pm\sqrt{a})^2=a$（$a\geq0$）；⑵$(\sqrt[3]{a})^3=a$（$a$取任何数）。

5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于$a$，则每一个非负数都为$\leq a$（此性质应用很广，务必掌握）。

例1：求下列各数的平方根和算术平方根1）$64$；（2）$-3$；（3）$1$例2：求下列各式的值1）$\pm81$；（2）$-16$；（3）$\dfrac{2}{3}$；（4）$-4$；（5）$1.2$；（6）$-36$；（7）$\pm7$例3：求下列各数的立方根：⑴$343$；⑵$-2$三、巧用被开方数的非负性求值.我们知道，当$a\geq0$时，$a$的平方根是$\pm a$，即$a$是非负数。

例4：若$2-x-\sqrt{x-1}=6$，求$-\sqrt[3]{y}$，其中$y=x-2-\sqrt{x-1}$。

根式的运算技巧

根式的运算平方根与立方根一、知识要点 1、平方根：⑴、定义：如果x 2=a ，则x 叫做a 的平方根，记作“a 称为被开方数）。

⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。

⑶、算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a ”。

2、立方根：⑴、定义：如果x 3=a ，则x 叫做a a 称为被开方数）。

⑵、性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。

3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。

二、规律总结：1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。

2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。

3≥0a ≥0。

4、公式：⑴2=a （a ≥0a 取任何数）。

5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）。

例1 求下列各数的平方根和算术平方根（1）64；（2）2)3(-；（3）49151； ⑷ 21(3)-例2 求下列各式的值（1）81±；（2）16-；（3）259；（4）2)4(-.（5）44.1，（6）36-，（7）4925±（8）2)25(-例3、求下列各数的立方根：⑴ 343； ⑵ 10227-； ⑶ 0.729二、巧用被开方数的非负性求值.大家知道，当a ≥0时，a 的平方根是±a ，即a 是非负数. 例4、若,622=----y x x 求y x的立方根.练习：已知,21221+-+-=x x y 求y x 的值.三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值.我们知道，当a ≥0时，a 的平方根是±a ，而.0)()(=-++a a 例5、已知：一个正数的平方根是2a-1与2-a ，求a 的平方的相反数的立方根.练习：若32+a 和12-a 是数m 的平方根，求m 的值.四、巧解方程例6、解方程（1）（x+1）2=36 （2）27(x+1)3=64五、巧用算术平方根的最小值求值.我们已经知道0≥a ,即a=0时其值最小,换句话说a 的最小值是零.例4、已知：y=)1(32++-b a ,当a 、b 取不同的值时，y 也有不同的值.当y 最小时,求b a的非算术平方根.练习：1、若一个数的平方根是8±，则这个数的立方根是（）．A ．2B ．±2C ．4D ．±4 2、144的算术平方根是，16的平方根是； 3、若m 的平方根是51a +和19a -，则m = ． 4、327= ， 64-的立方根是； 5、7的平方根为，21.1= ；6、一个数的平方是9，则这个数是，一个数的立方根是1，则这个数是；7、平方数是它本身的数是；平方数是它的相反数的数是；8、当x= 时，13-x 有意义；当x= 时，325+x 有意义；9、若164=x ，则x= ；若813=n ，则n= ；10、若3x x =，则x= ；若x x -=2，则x ；11、15的整数部分为a,小数部分为b,则a=____, b=____12、解方程：0324)1(2=--x （2） 3125(2)343x -=-（3 ） 264(3)90x --= （4） 31(1)802x -+=1323(2)0y z -++=，求xyz 的值。

根式的概念和运算

根式的概念和运算根式是数学中的一个重要概念，它与平方根和立方根的运算密切相关。

本文将详细介绍根式的概念以及如何进行根式的基本运算。

一、根式的概念根式是用一个数的幂次表达的数值，其中根号符号√表示开根运算的意思。

根式可以分为平方根、立方根、四次根等等，根号下的数字称为被开方数，根号上方的数字称为根指数。

二、根式的运算1. 简化根式简化根式是指化简根号下的被开方数，使其不能再进行开方运算。

简化根式的方法主要有以下几种：（1）将根号下的因数分解为平方数的积；（2）用平方数和其他有理数的积去代替根号下的被开方数；（3）将根号下的几个项分别简化后再进行运算。

举例说明：简化根号下的被开方数√72 = √(2 × 2 × 2 × 3 × 3) = 2 × 3√2 = 6√22. 根式的加减运算根式的加减运算可以通过化简根式的方式进行。

当两个根式具有相同的根指数和被开方数时，可以直接进行加减运算。

举例说明：根式的加减运算√8 + √2 = √(4 × 2) + √2 = 2√2 + √2 = 3√23. 根式的乘法运算根式的乘法运算可以通过相乘后进行简化根式的方式进行。

将相乘后的根式化简成最简形式，即将根号下的因数分解为平方数的积。

举例说明：根式的乘法运算√3 × √5 = √(3 × 5) = √154. 根式的除法运算根式的除法运算可以通过相除后进行简化根式的方式进行。

将相除后的根式化简成最简形式，即将根号下的因数分解为平方数的积。

举例说明：根式的除法运算√8 ÷ √2 = √(8 ÷ 2) = √4 = 2三、根式的运算规律1. 乘方与开方的互逆性乘方与开方的互逆性是指两个运算相互抵消，即一个数先开方后再平方，或者一个数先平方后再开方，结果都不变。

举例说明：乘方与开方的互逆性(√x)² = x(√x)³ = √x³2. 根式的乘方运算根式的乘方运算是指将根号下的被开方数与指数相乘，得到新的根式。

根号的运算公式大全

根号的运算公式大全开根号基础公式：①√ab=√a·√b﹙a≥0b≥0﹚这个可以交互使用。

这个最多运用于化简，如：√8=√4·√2=2√2；②√a／b=√a÷√b﹙a≥0b﹥0﹚；③√a=|a|（其实就是等于绝对值）这个知识点是二次根式重点也是难点。

当a=0时，√a=0；当a＜0时，√a=－a(等于它的相反数)；④分母有理化：分母不能有二次根式或者不能含有二次根式。

根号的运算法则如下：1、相乘时：两个有平方根的数相乘等于根号下两数的乘积，再化简；2、相除时:两个有平方根的数相除等于根号下两数的商,再化简;3、相加或相减:没有其他方法,只有用计算器求出具体值再相加或相减;4、分母为带根号的式子，首先让分母有理化，使②分母没有根号，而把根号转移到分5、同次根式相乘(除) ,把根式前面的系数相乘(除) ,作为积(商)的系数;把被开方数相乘(除) ,作为被开方数，根指数不变，然后再化成最简根式。

非同次根式相乘(除) ，应先化成同次根式后，再按同次根式相乘(除)的法则。

根号是一个数学符号。

根号是用来表示对一个数或一个代数式进行开方运算的符号。

在实数范围内，偶次根号下不能为负数，其运算结果也不为负。

奇次根号下可以为负数。

若a=b，那么a是b开n次方的n次方根或a是b的1/n次方。

开n次方手写体和印刷体用表示，被开方的数或代数式写在符号左方√￣的右边和符号上方一横部分的下方共同包围的区域中，而且不能出界。

用商的最高位数的20倍加上这个试商再乘以试商．如果所得的积小于或等于余数，试商就是平方根的第二位数；如果所得的积大于余数，就把试商减小再试（竖式中（3×20+4）×4=256，说明试商4就是平方根的第二位数）；根号对于初学者来说也许会比较难理解,不过,多多认识他也就习惯了.根号里带一个数字（暂且称它为a）指的是这个数字的正的平方根（称之为b）.即b的平方为a.概念清楚后,先来简单的自然数.。

根式运算的方法

根式运算的方法根式是关于数的一种特殊表示方式，可以用于表示数的平方根、立方根等。

根式运算是进行根式的加减、乘除等操作。

本文将介绍一些根式运算的基本方法。

根式的基本性质在进行根式运算之前，首先要了解一些根式的基本性质：1. 乘方与开方的互逆性：若$a$是一个非负实数，$m$和$n$是整数，那么$(\sqrt[m]{a})^n = \sqrt[m]{a^n}$。

2. 根式的乘法法则：$\sqrt[m]{a} \cdot \sqrt[m]{b} = \sqrt[m]{a\cdot b}$。

3. 根式的除法法则：$\frac{\sqrt[m]{a}}{\sqrt[m]{b}} =\sqrt[m]{\frac{a}{b}}$。

根式的加减法根式的加减法需要先化简，然后根据根式的性质进行运算。

下面是一些示例：示例1：同次根式的加减对于同次根式，即指数相同的根式，可以直接进行加减运算。

例如，计算$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{5}$：首先化简为同次根式：$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{\frac{2}{2}} = \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{10}$。

然后使用加法法则：$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{10} = \sqrt[3]{2 + 10} = \sqrt[3]{12}$。

示例2：异次根式的加减对于异次根式，即指数不同的根式，需要进行化简后再进行加减运算。

例如，计算$\sqrt[4]{3} - \sqrt[2]{2}$：首先化简为同次根式：$\sqrt[4]{3} - \sqrt[2]{2} = \sqrt[4]{3} - \sqrt[2]{2} \cdot \sqrt[4]{\frac{3}{3}} = \sqrt[4]{3} - \sqrt[2]{6}$。

根式的化简与运算

根式的化简与运算根式是高中数学中常见的一种数学符号，它可以表示一类特殊的数。

在实际问题中，我们经常需要对根式进行化简和运算，以便更好地理解和应用数学知识。

本文将介绍根式的概念、化简和运算的方法，并通过实例详细说明。

一、根式的概念根式是方程 x^n = a 的解所表示的数，其中 a 是非负实数，n 是大于等于 2 的自然数。

根式一般由根号、被开方数和指数组成，例如√a、³√b 等。

二、根式的化简化简根式是指将根式写成最简形式，即尽可能简化根号下的被开方数，且指数与根号外的数互质。

化简根式的基本原则如下：1. 将根号下的被开方数分解成互质因数的乘积；2. 将指数分解成互质因数的乘积；3. 将根号外的数与分解后的指数的各因式相配对，形成一组完全平方式。

接下来，我们通过几个实例来具体说明根式的化简方法。

例1：化简√12首先，我们将 12 分解成 2 × 2 × 3。

然后，我们知道根号下面有一个 2，所以√12 = 2√3。

例2：化简√75首先，我们将 75 分解成 3 × 5 × 5。

然后，我们知道根号下面有两个 5，所以√75 = 5√3。

例3：化简∛27首先，我们知道 27 = 3 × 3 × 3。

因此，∛27 = 3。

三、根式的运算根式的运算包括加减法和乘除法两种基本运算。

1. 加减法根式的加减法是指将具有相同根号下被开方数的根式进行合并。

步骤如下：a. 将根号下的被开方数分解成互质因数的乘积；b. 将指数分解成互质因数的乘积；c. 分别将各个根式按照步骤 a、b 分解的结果进行合并；d. 针对合并后的根式再次进行化简。

举个例子：例4：化简根式√5 - √2 + 3√2 - 2√5首先按照步骤 a 将根号下的被开方数分解成互质因数的乘积：√5 =√(5 × 1) = √5、√2 = √(2 × 1) = √2。

根式的概念和运算

根式的概念和运算根式是数学中常见的一种运算形式，它表达的是某个数的平方根、立方根或其他次方根。

本文将探讨根式的概念和运算，帮助读者更好地理解和运用根式。

一、根式的概念根式是对数的运算形式的一种拓展，表示数的多次方根。

其中最常见的是平方根，表示一个数的平方根。

通常以√来表示平方根，如√4表示4的平方根，即2。

如果是其他次方根，则以n√来表示，如3√27表示27的立方根，即3。

在根式中，被开根号的数称为被开方数，开方的次数称为指数。

根式的结果是一个数，使得该数的指数次方等于被开方数。

例如，对于√9，由于9的平方是81，所以恰好有√9=3。

二、根式的运算规则1. 同底数根式的相加减：当两个根式具有相同的底数时，可以进行相加减。

如√2 + 3√2 = 4√2。

这里的底数是2，指数分别为1和2，相加后的结果是4√2。

2. 同底数根式的乘法：当两个根式具有相同的底数时，可以进行乘法运算。

如√3 × √3 = 3。

这里两个根式都是以3为底数，指数都为1，所以乘积等于3。

3. 同底数根式的除法：当两个根式具有相同的底数时，可以进行除法运算。

如√8 ÷ √2 = √4 = 2。

这里被除数为8，除数为2，因为8可以分解成4×2，所以结果等于4。

4. 根式的乘方：根式也可以进行乘方运算，将底数和指数分别相乘。

如(√2)^2 = 2。

这里的底数是2，指数是2，乘方后结果等于2。

5. 根式的化简：有时候根式可以进行化简，即将其写成最简形式。

例如，√8可以化简为2√2，因为8可以分解为4×2，再开方就得到2√2。

三、根式的应用根式在数学中具有广泛的应用，尤其是在几何学和物理学中。

例如，在几何学中，根式可以表示线段的长度或图形的边长；在物理学中，根式可以表示物体的速度、加速度等。

根式还常常用于解决实际问题，如求根问题。

例如，求一个数的平方根可以帮助我们找到一个数的较为精确的近似值。

同时，根式还可以用于计算器和电脑程序中，进行数值的计算和精确的表示。

根式的基本概念与运算

根式的基本概念与运算
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根式的基本概念
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根式的运算
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根式的定义
根式表示一个数的平方根根式可以表示为根号下a的平方根根式可以表示为根号下a的n次方根根式可以表示为根号下a的n次方根的n次方
实际问题的解决
代数方程的求解几何问题的代数化物理问题的数学建模数学在经济学中的应用
数学竞赛中的应用
代数方程求解：利用根式性质简化方程，提高求解速度
数列求和：利用根式简化数列求和过程，快速得出结果
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函数极值：利用根式计算函数极值，优化函数图像
几何图形面积：利用根式计算几何图形面积，如圆、椭圆等
根式的分类
二次根式：形如√a（a≥0）的式子，其中a是实数立方根式：形如³√a（a≥0）的式子，其中a是实数根式的性质：根式具有非负性、有界性、单调性等性质根式的运算：根式可以进行加、减、乘、除等运算
根式的性质
根式具有非负性，即被开方数是非负数。
根式具有传递性，即如果a≥b>0，那么√a≥√b>0。
根式的乘除法
根式乘法：将根式化为最简形式后，将系数相乘，根号
内的数相乘
根式除法：将除法转化为乘法，将除数转化为倒数，再运用根式乘法
进行运算
运算规则：同次根式相乘除，把根式前面的系数相乘除，
根式不变
注意事项：运算时需注意化简根式，避免出现复杂化简

根式化简与运算

根式化简与运算在数学中，根式化简和运算是学习代数的基础内容。

它们用于简化和计算涉及根号的表达式。

本文将介绍根式化简和运算的基本概念、规则和方法。

一、根式化简根式化简是指将包含根号的表达式简化为最简形式。

一般来说，根式化简可以通过以下几个步骤进行：1. 提取公因子：将根号下能够整除的因子提取出来。

例如，sqrt(8)可以化简为2 * sqrt(2)。

2. 合并同类项：将根号下相同的项合并。

例如，sqrt(18)可以化简为3 * sqrt(2)。

3. 化简表达式：继续进行合并和提取公因子的操作，直至无法再进行化简。

需要注意的是，根式化简的过程中应尽量保持根号下的数值最小化。

这样可以使表达式更简洁、易读。

二、根式运算根式运算是指对包含根号的表达式进行加、减、乘、除等运算。

下面介绍几种常见的根式运算方法：1. 相同根式的加减法：若两个根式的根号下完全相同，则可以直接进行加减运算，并保持根号下的数值不变。

例如，sqrt(3) + sqrt(3) = 2 * sqrt(3)。

2. 根式与整数的乘法：将整数乘到根号前面。

例如，3 * sqrt(5) = sqrt(5) + sqrt(5) + sqrt(5)。

3. 根式与根式的乘法：将根式与根式相乘时，可以将根号内的数值相乘，并将结果放在一个根号内。

例如，sqrt(2) * sqrt(3) = sqrt(6)。

4. 根式的除法：将除号前面的根式乘以其倒数的根式。

例如，sqrt(6) / sqrt(2) =sqrt(3)。

5. 有理化分母：当分母是包含根号的表达式时，将分子和分母都乘以该表达式的共轭形式，以消去分母中的根号。

例如，1 / (sqrt(2) + 3) = (sqrt(2) - 3) /(2 - 9) = (sqrt(2) - 3) / -7。

三、例题解析例题1：化简 sqrt(75)。

解答：观察75可以分解为25和3的乘积，即75 = 25 * 3。

根式的运算技巧

根式的运算技巧TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8-根式的运算平方根与立方根一、知识要点1、平方根：⑴、定义：如果x2=a，则x叫做a的平方根，记作“a称为被开方数）。

⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。

⑶、算术平方根：正数a的正的平方根叫做a2、立方根：⑴、定义：如果x3=a，则x叫做a a称为被开方数）。

⑵、性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。

3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。

二、规律总结：1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。

2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。

30a≥0。

4、公式：⑴2=a（a≥0=（a取任何数）。

5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）。

例1求下列各数的平方根和算术平方根（1）64；（2）2)3(-；（3）49151； ⑷ 21(3)- 例2 求下列各式的值（1）81±；（2）16-；（3）259；（4）2)4(-. （5）44.1，（6）36-，（7）4925±（8）2)25(- 例3、求下列各数的立方根：⑴ 343； ⑵ 10227-； ⑶ 二、巧用被开方数的非负性求值.大家知道，当a ≥0时，a 的平方根是±a ，即a 是非负数. 例4、若,622=----y x x 求y x的立方根. 练习：已知,21221+-+-=x x y 求y x 的值. 三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值.我们知道，当a ≥0时，a 的平方根是±a ，而.0)()(=-++a a例5、已知：一个正数的平方根是2a-1与2-a ，求a 的平方的相反数的立方根. 练习：若32+a 和12-a 是数m 的平方根，求m 的值. 四、巧解方程例6、解方程（1）（x+1）2=36 （2）27(x+1)3=64 五、巧用算术平方根的最小值求值.我们已经知道0≥a ,即a=0时其值最小,换句话说a 的最小值是零. 例4、已知：y=)1(32++-b a ,当a 、b 取不同的值时，y 也有不同的值.当y 最小时,求b a的非算术平方根.练习：1、若一个数的平方根是8±，则这个数的立方根是（）．A ．2B ．±2C ．4D ．±4 2、144的算术平方根是，16的平方根是； 3、若m 的平方根是51a +和19a -，则m = ．4、327= ， 64-的立方根是；5、7的平方根为，21.1= ；6、一个数的平方是9，则这个数是，一个数的立方根是1，则这个数是；7、平方数是它本身的数是；平方数是它的相反数的数是；8、当x= 时，13-x 有意义；当x= 时，325+x 有意义；9、若164=x ，则x= ；若813=n ，则n= ；10、若3x x =，则x= ；若x x -=2，则x ； 11、15的整数部分为a,小数部分为b,则a=____, b=____12、解方程：0324)1(2=--x （2） 3125(2)343x -=-（3 ） 264(3)90x --= （4） 31(1)802x -+=1323(2)0y z -++=，求xyz 的值。

根式的基本性质与运算法则

根式的基本性质与运算法则
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单击输入目录标题根式的定义与表示根式的化简与运算根式的应用根式的扩展知识
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根式的定义与表示
根式的定义
根式：表示一个数的平方根的代数式
根号：表示一个数的算术平方根
根指数：表示开方次数的符号
被开方数：被开方数可以是实数或复数
根式的表示方法
根号：表示一个数的平方根
根号内：表示被开方数
根号外的数：表示开方运算的结果
根式：表示一个数的平方根的代数式
根式的性质
根式可以表示一个数的算术平方根或立方根
根式是由一个或多个根号组成的代数式
根式具有非负性，即被开方数必须是非负数
根式可以进行加、减、乘、除等运算
根式的化简与运算
根式的化简
根式解法的注意事项：在应用根式解法时，需要注意根式的合法性、根式的化简和求解过程中的运算错误等问题。
函数中的根式运算
根式在函数中的应用：简化函数表达式根式在求函数极值中的应用：利用根式性质求解极值根式在解决函数不等式问题中的应用：利用根式性质进行不等式变形和求解根式在解决函数零点问题中的应用：利用根式性质求解函数的零点
根式的极限与连续性
根式的极限：当根式中的自变量趋近于某个值时，根式的值的变化趋势。根式的连续性：根式在自变量的各个点上的取值都是连续的，即没有间断点。根式极限的存在条件：当被开方数大于等于0时，根式存在极限。根式连续性的性质：根式在定义域内是连续的，即在其定义域内任意一点都可取到根式的值。
根式与其他数学知识的联系
根式的乘法：利用根式的乘法法则，将根式相乘后化简。
根式的除法：利用根式的除法法则，将根式相除后化简。根式的加减法运算律：在根式的加减法中，同样适用加法交换律、加法结合律、减法交换律和减法结合律。