2014年高考数学(文)难题专项训练(1)推理与证明(含答案)

合集下载

2014高考数学难题集锦(一)含详细答案及评分标准

2014高考数学难题集锦(一)1、已知集合，若集合，且对任意的，存在，使得（其中），则称集合为集合的一个元基底.（Ⅰ）分别判断下列集合是否为集合的一个二元基底，并说明理由；①，；②，.（Ⅱ）若集合是集合的一个元基底，证明：；（Ⅲ）若集合为集合的一个元基底，求出的最小可能值，并写出当取最小值时的一个基底.2、设函数（1）若关于x的不等式在有实数解，求实数m的取值范围；（2）设，若关于x的方程至少有一个解，求p 的最小值.（3）证明不等式：3、设，圆：与轴正半轴的交点为，与曲线的交点为，直线与轴的交点为．（1）用表示和;（2）求证:;（3）设,,求证:．4、数列，（）由下列条件确定：①；②当时，与满足：当时，,；当时，，.（Ⅰ）若，，写出，并求数列的通项公式；（Ⅱ）在数列中，若(,且)，试用表示；（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，设数列满足，，(其中为给定的不小于2的整数)，求证：当时，恒有.5、已知函数f（x）是定义在[-e,0）∪（0,e]上的奇函数，当x∈（0,e],f（x）=ax+lnx（其中e是自然对数的底数，a∈R）（1）求f（x）的解析式；（2）设g（x）=,x∈[-e,0）,求证：当a=-1时，f（x）>g（x）+;（3）是否存在实数a，使得当x∈[-e,0）时f（x）的最小值是3 如果存在，求出实数a的值；如果不存在，请说明理由．6、（理）对数列和，若对任意正整数，恒有，则称数列是数列的“下界数列”.（1）设数列，请写出一个公比不为1的等比数列，使数列是数列的“下界数列”；（2）设数列，求证数列是数列的“下界数列”；（3）设数列，构造，，求使对恒成立的的最小值.7、已知函数（1）求在点处的切线方程；（2）若存在，使成立，求的取值范围；（3）当时，恒成立，求的取值范围.8、已知函数．（I）讨论的单调性；（II）设，证明：当时，；（III）若函数的图像与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：（x0）＜0．9、函数，数列和满足：，，函数的图像在点处的切线在轴上的截距为．（1）求数列{}的通项公式；（2）若数列的项中仅最小,求的取值范围；（3）若函数，令函数数列满足:且其中．证明:．参考答案1、解：（Ⅰ）①不是的一个二元基底.理由是；②是的一个二元基底.理由是，.21世纪教育网………………………………………3分（Ⅱ）不妨设，则形如的正整数共有个；形如的正整数共有个；形如的正整数至多有个；形如的正整数至多有个.又集合含个不同的正整数，为集合的一个元基底.故，即. ………………………………………8分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，所以.当时，，即用基底中元素表示出的数最多重复一个. *假设为的一个4元基底，不妨设，则.当时，有，这时或.如果，则由，与结论*矛盾.如果，则或.易知和都不是的4元基底，矛盾.当时，有，这时，，易知不是的4元基底，矛盾.当时，有，这时，，易知不是的4元基底，矛盾.当时，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.当时，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.当时，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.当时，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.当时，均不可能是的4元基底.当时，的一个基底；或{3,7,8,9,10}；或{4,7,8,9,10}等，只要写出一个即可.综上，的最小可能值为5. ……………………14分2、解：（1）依题意得，而函数的定义域为∴在上为减函数，在上为增函数，则在上为增函数即实数m的取值范围为………………………………4分（2）则显然，函数在上为减函数，在上为增函数则函数的最小值为所以，要使方程至少有一个解，则，即p的最小值为0 …………8分（3）由（2）可知：在上恒成立所以，当且仅当x=0时等号成立令，则代入上面不等式得：即，即所以，，，，…，将以上n 个等式相加即可得到：………………………………12分3、解：（1）由点在曲线上可得, …………1分又点在圆上，则, ……………2分从而直线的方程为, ………………4分由点在直线上得: ,将代入化简得: ． ……………………6分（2） , …………7分又,……………9分（3）先证:当时,．事实上, 不等式后一个不等式显然成立,而前一个不等式．故当时, 不等式成立．, ……………………11分（等号仅在n=1时成立）求和得:……………………14分4、（Ⅰ）解：因为，所以,.因为,所以,.因为,所以,.所以. …………………………………… 2分由此猜想，当时,，则，.… 3分下面用数学归纳法证明：①当时，已证成立.②假设当（，且）猜想成立，即，，.当时，由，得，则，. 综上所述，猜想成立.所以.故. ……………………………………………… 6分（Ⅱ）解：当时，假设，根据已知条件则有，与矛盾，因此不成立，…………… 7分所以有，从而有，所以.当时，，,所以; …………………… 8分当时，总有成立.又，所以数列()是首项为，公比为的等比数列, ，,又因为，所以. …………………………… 10分（Ⅲ）证明：由题意得.因为，所以.所以数列是单调递增数列. …………………………………… 11分因此要证,只须证.由，则<，即.…… 12分因此.所以.故当,恒有. …………………………………………………14分5、21．6、（1）等，答案不唯一；……………4分（2），当时最小值为9,；……………6分，则,因此，时，最大值为6，……………9分所以，，数列是数列的“下界数列”；……………10分（3），…11分，……………12分不等式为，，，…13分设，则，…………15分当时，单调递增，时，取得最小值，因此，……………17分的最小值为……………18分7、.解（1）在处的切线方程为即（3分）（2）即令时，时，在上减，在上增.又时，的最大值在区间端点处取到.，在上最大值为故的取值范围是，（8分）（3）由已知得时，恒成立，设由（2）知当且仅当时等号成立，故，从而当即时，为增函数，又于是当时，即，时符合题意. （11分）由可得从而当时，故当时，为减函数，又于是当时，即故不符合题意.综上可得的取值范围为（14分）8、（I）（i）若单调增加.（ii）若且当所以单调增加，在单调减少. ………………4分（II）设函数则当.故当，………………8分（III）由（I）可得，当的图像与x轴至多有一个交点，故，从而的最大值为不妨设由（II）得从而由（I）知，………………14分9、解:（1），得是以2为首项，1为公差的等差数列，故…………3分（2），，在点处的切线方程为令得仅当时取得最小值，∴的取值范围为………6分（3）所以又因则显然…………8分………12分…………14分。

【把脉高考新题探究】2014届高考数学复习汇编全程必备10 推理与证明

《把脉最新高考—新题探究（数学）》2014届高三高考复习全程必备【反应高考走向的典型题】10.推理与证明1.【北京市石景山区2013届高三期末】在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{}5k n k n =+∈Z ，0,1,2,3,4k =．给出如下四个结论： ① []20133∈；② []22-∈； ③ [][][][][]01234Z =∪∪∪∪； ④ 整数,a b 属于同一“类”的充要条件是“[]0a b -∈”．其中，正确结论的个数为（）．A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C【解析】因为201340253=⨯+，所以[]20133∈，①正确。

2153-=-⨯+，[]23-∈所以②不正确。

③因为整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类所以正确。

整数a ，b 属于同一“类”，因为整数a ，b 被5除的余数相同，从而a-b 被5除的余数为0，反之也成立，故“整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“a-b ∈[0]”．故④正确，所以正确的结论个数有3个，选C.2.【贵州省遵义四中2013届高三第四次月考】对于三次函数32()f x ax bx cx d =+++（0a ≠），定义：设()f x ''是函数()y f x ='的导数，若方程()0f x ''=有实数解x 0，则称点（x 0，f （x 0））为函数()y f x =的“拐点”．有同学发现:“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现为条件，若函数321151()3132122g x x x x x =-+-+-，则12342010()()()()()20112011201120112011g g g g g +++++=（）（A ）2010 （B ）2011 （C ）2012 （D ）2013【答案】A【解析】令32115()33212h x x x x =-+-，12()1212m x x x ==--，则g （x ）=h （x ）+m （x ）．则2'()3h x x x =-+，''()21h x x =-令1''()210,2h x x x =-==，所以h （x ）的对称中心为（，1）．设点p （x 0，y 0）为曲线上任意一点，则点P 关于（，1）的对称点P ′（1﹣x 0，2﹣y 0）也在曲线上，∴h （1﹣x 0）=2﹣y 0 ，∴h （x 0）+h （1﹣x 0）=y 0+（2﹣y 0）=2． ∴h （）+h （）+h （）+h （）+…+h （） =[h （）+h （）]+[h （）+h （）]+[h （）+h （）]+…+[h （）+h （）]=1005×2=2010．由于函数m （x ）=的对称中心为（，0），可得m （x 0）+m （1﹣x 0）=0． ∴m （）+m （）+m （）+m （）+…+m （） =[m （）+m （）]+[m （）+m （）]+[m （）+m （）]+…+[m （）+m （）]=1005×0=0． ∴g （）+g （）+g （）+g （）+…+g （）=h （）+h （）+h （）+h （）+…+h （） +m （）+m （）+m （）+m （）+…+m （）=2010+0=2010，选A.3.【北京市东城区2013届高三上学期期末理】定义映射:f A B →，其中{(,),}A m n m n =∈R ，B =R ，已知对所有的有序正整数对(,)m n 满足下述条件:①(,1)1f m =；②若n m >，(,)0f m n =；③(1,)[(,)(,1)]f m n n f m n f m n +=+-，则(2,2)f = ，(,2)f n = ．【答案】2 22n -【解析】根据定义得(2,2)(11,2)2[(1,2)(1,1)]2(1,1)212f f f f f =+=+==⨯=。

(上海版第03期)2014届高三数学试题分省分项汇编专题15 推理与证明、新定义文(含解析)

（某某版第03期）2014届高三数学试题分省分项汇编专题15 推理与证明、新定义文（含解析）一．基础题组1. 【某某市杨浦区2013—2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷（文科）】若式子),,(c b a σ满足),,(),,(),,(b a c a c b c b a σσσ==，则称),,(c b a σ为轮换对称式．给出如下三个式子：①abc c b a =),,(σ； ②222),,(c b a c b a +-=σ； ③C B A C C B A 2cos )cos(cos ),,(--⋅=σC B A ,,(是ABC ∆的内角）．其中，为轮换对称式的个数是 ………（）. )(A 0)(B 1)(C 2)(D 32. 【2013学年第一学期十二校联考高三数学（文）考试试卷】定义函数D x x f y ∈=),(（定义域），若存在常数C ，对于任意D x ∈1,存在唯一的D x ∈2，使得C x f x f =+2)()(21,则称函数)(x f y =在D 上的“均值”为C ．已知函数[]100,10,lg )(∈=x x x f ，则函数)(x f y =在[]100,10上的均值为（）(A)101(B)43(C) 10 (D)233. 【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】给出以下四个命题：（1）对于任意的0>a ，0>b ，则有a b b a lg lg =成立；（2）直线b x y +⋅=αtan 的倾斜角等于α；（3）在空间．．如果两条直线与同一条直线垂直，那么这两条直线平行；（4）在平面．．将单位向量的起点移到同一个点，终点的轨迹是一个半径为1的圆．其中真命题的序号是．。

2014年全国高考试卷平面几何与推理证明部分汇编

2014年全国高考试卷平面几何与推理证明部分汇编1. （2014安徽理21）设实数0c >，整数1p >，n *∈N ．⑴证明：当1x >-且0x ≠时，(1)1p x px +>+； ⑵数列{}n a 满足11pa c >，111p n n np c a a a p p-+-=+．证明：11p n n a a c +>>．【解析】 ⑴ 证明：用数学归纳法证明：①当2p =时，22(1)1212x x x x +=++>+，原不等式成立．②假设(2*)p k k k =N ≥，∈时，不等式(1)1k x kx +>+成立．当1p k =+时，12(1)(1)(1)(1)(1)1(1)1(1)k k x x x x kx k x kx k x ++=++>++=+++>++所以1p k =+时，原不等式也成立．综合①②可得，当10x x >-，≠，对一切整数1p >，不等式(1)1p x px +>+均成立． ⑵ 证法一：先用数学归纳法证明1pn a c >． ①当1n =时，由题设11pa c >知1p n a c >成立． ②假设(1*)n k k k =N ≥，∈时，不等式1pn a c >成立．由111pn n n p c a a a p p-+-=+易知0*n a n >N ，∈．当1n k =+时，11111p k k p k k a p c ca a p p p a -+⎛⎫-=+=+- ⎪⎝⎭．当10pk a c >>得11110p k cp p a ⎛⎫-<-<-< ⎪⎝⎭．由⑴中的结论得11111ppk p k k a c p a p a +⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+->+⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．11p p k kcc p a a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．因此1pk ac +>，即11pk a c +>．所以1n k =+时，不等式1rn a c >也成立．综合①②可得，对一切正整数n ，不等式1pn a c >均成立．再由1111n p n n a ca p a +⎛⎫=+- ⎪⎝⎭可得11n n a a +<，即1n n a a +<．综上所述，11pn n a a c +>>，*n N ∈．证法二：设111()p p p cf x x x x c p p --=+，≥，则p x c ≥，并且11()(1)10p p p c p c f x p x p p p x ---⎛⎫'=+-=-> ⎪⎝⎭，1p x c >．由此可得，()f x 在1pc ⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎢⎣⎭，上单调递增．因而，当1px c >时，11()()p pf x f c c >=， ①当1n =时，由110pa c >>，即1p a c >可知12111111111p p p c c a a a a a p p p a -⎡⎤⎛⎫-=+=+-<⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，并且121()pa f a c =>，从而112p a a c >>．故当1n =时，不等式11pn n a a c +>>成立．②假设(1*)n k k k =N ≥，∈时，不等式11pk k a a c +>>成立，则当1n k =+时，11()()()pk k f a f a f c +>>，即有112pk k a a c ++>>．所以1n k =+时，原不等式也成立．综合①②可得，对一切正整数n ，不等式11pn n a a c +>>均成立．2. （2014安徽文12）如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC =过点A 作BC 的垂线，垂足为1A ；过点1A 作AC 的垂线，垂足为2A ；过点2A 作1A C 的垂线，垂足为3A ；…，依此类推，设1BA a =，12123567AA a A A a A A a ===，，…，，则7a =______________．【解析】 14由BC =11212321AB a AA a A A a ==⇒=====，由此可归纳出{}n a 是以12a =6671124a a q =⨯=⨯=⎝⎭． 3. （2014广东理15）如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且2EB AE =，AC 与DE 交于点F ，则CDF AEF △的面积△的面积=________．【解析】9．由CDF AEF △∽△，3AE CD =，面积之比为对应边的平方比，所以为9．4. （2014广东文15）A 1A 4A 3A 2第（12）题图ABC图3FE D CBA如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且2EB AE AC =，与DE 交于点F ，则CDF AEF =△的周长△的周长____________．【解析】3． 5. （2014湖北理15）如图，P 为⊙O 外一点，过P 点作⊙O 的两条切线，切点分别为A B ，，过PA 的中点Q 作割线交⊙O 于C D ，两点，若13QC CD ==，，则_____PB =【解析】 4由切割线定理得21(13)4QA QC QD =⋅=⨯+=，∴2QA =， ∵Q 为PA 的中点，∴24PA QA ==．故4PB PA ==．6. （2014湖南理12）如图，已知AB ，BC 是O 的两条弦，AO BC ⊥，AB =BC =O 的半径等于____________【解析】 32设线段AO 交BC 于点D 延长AO 交圆与另外一点E，则BD DC ==ABD 的勾股定理可得1AD =，由双割线定理可得2BD DC AD DE DE ⋅=⋅⇒=，则直径332AE r =⇒=，故填32． 7. （2014江苏理21A ）如图，AB 是圆O 的直径，C D 、是圆O 上位于AB 异侧的两点，证明：OCB D ∠=∠．图3FED CBA第15题图A图3【解析】OC OB =，∴OCB B ∠=∠，又∵B D ∠=∠，∴OCB D ∠=∠ 8. （2014江苏理23）已知函数0sin ()(0)xf x x x=>，设()n f x 为1()n f x -的导数，*n ∈N⑴求12πππ2()()222f f +的值⑵证明：对任意*n ∈N，等式1πππ()()444n n nf f -+=都成立．【解析】 ⑴ 0()sin xf x x =,两边求导得01()()cos f x xf x x +=两边再同时求导得122()()sin f x xf x x +=- (*) 将π2x =代入(*)式得12πππ2()()1222f f +=-⑵ 下证命题：1sin ,4cos ,41()()sin ,42cos ,43n n x n kx n k nf x xf x x n k x n k -=⎧⎪=+⎪+=⎨-=+⎪⎪-=+⎩，*k ∈N 恒成立当0n =时，0()sin xf x x =成立当1n =时，10()()cos xf x f x x +=，由(1)知成立当2n =时，21()2()sin xf x f x x +=-，由(1)知成立当3n =时，上式两边求导322()()2()cos xf x f x f x x ++=-，即 32()3()cos xf x f x x +=-假设当n m =(3)m ≥时命题成立，下面证明当1n m =+时命题也成立若14m k +=，*k ∈N ，则41m k =-，*k ∈N由1()()cos m m mf x xf x x -+=-两边同时求导得1()()()sin m m m xf x f x mf x x +++= 即1(1)()()sin m m m f x xf x x +++=，命题成立同理，若141m k +=+，*k ∈N ，则4m k =，*k ∈N由1()()sin m m mf x xf x x -+=两边同时求导得1(1)()()cos m m m f x xf x x +++=，命题成立若142m k +=+，*k ∈N ，则41m k =+，*k ∈N由1()()cos m m mf x xf x x -+=两边同时求导得1(1)()()sin m m m f x xf x x +++=-，命题成立若143m k +=+，*k ∈N ，则42m k =+，*k ∈N由1()()sin m m mf x xf x x -+=-两边同时求导得1(1)()()cos m m m f x xf x x +++=-，命题成立综上所述，命题对*n ∀∈N 恒成立代入π4x =得1πππ()()444n n nf f -+=两边同时取绝对值得1πππ()()444n n nf f -+=9. （2014辽宁理22文22）如图，EP 交圆于E C ，两点．PD 切圆于D G ，为CE 上一点且PG PD =．连接DG 并延长交圆于点A ．作弦AB 垂直EP ．垂足为F ． ⑴求证：AB 为圆的直径；⑵若AC BD =，求证：AB ED =．【解析】 ⑴ 因为PD PG =，所以PDG PGD ∠=∠由于PD 为切线，故PDA DBA ∠=∠，又由于PGD EGA ∠=∠,故DBA EGA ∠=∠ 所以DBA BAD EGA BAD ∠+∠=∠+∠，从而BDA PFA ∠=∠由于AF EP ⊥，所以90PFA ∠=︒，于是 90BDA ∠=︒，故AB 是直径．⑵ 连接BC DC ，.由于AB 是直径，故90BDA ACB ∠=∠=︒，在Rt BDA △与Rt ACB △中，,AB BA AC BD == 从而Rt BDA △≌Rt ACB .△于是DAB CBA ∠=∠.又因为DCB DAB ∠=∠，所以DCB CBA ∠=∠，故//DC AB ，由于AB EP ⊥，所以DC EP DCE ⊥∠，为直角，于是ED 为直径，由⑴得ED AB =．10. （2014陕西理15B 文15B ）如图，ABC △中，6BC =，以BC 为直径的半圆分别交AB ，AC 于点E ，F ，若2AC AE =，则EF =________．EPGFDCBACB FEAEPGFDCBA【解析】3 ∵四边形BCFE 内接于圆，∴AEF ACB ∠=∠，又A ∠为公共角， ∴EF AEAEF ACB BC AC∴=△△，∽，又∵62BC AC AE ==，．∴3EF =． 11. （2014天津理6文7）如图ABC △是圆的内接三角形，BAC ∠的平分线交圆于点D ，交BC 于点E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F ．在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分CBF ∠；②2FB FD FA =⋅；③AE CE BE DE ⋅=⋅；④AF BD AB BF ⋅=⋅．则所有正确结论的序号是（）A ．①②B ．③④C ．①②③D ．①②④【解析】 D由AD 平分BAC ∠知,BAD CAD BD CD ∠=∠=，由弦切角以及圆周角关系可知：FBD BAD DBC DAC BAD DAC FBD DBC ∠=∠∠=∠∠=∠∴∠=∠，，，，因此①正确；由切割线定理可直接得出②正确；易证AE BEACE BDE CE DE∴=∴，，△△∽③不正确；在ABF △和BDF △中，FBD BAD BFD BFA ∠=∠∠=∠，，AF ABABF BDF BF BD∴∴=，△△∽,AF BD AB BF ∴⋅=⋅，④正确．故选D ． 12. （2014新课标1理22文22）如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CB CE =．⑴证明：D E ∠=∠；⑵设AD 不是O 的直径，AD 的中点为M ，且MB MC =，证明：ADE △为等边三角形．【解析】 ⑴ 由题设得，A ，B ，C ，D 四点共圆，所以D CBE ∠=∠由已知得，CBE E ∠=∠，所以D E ∠=∠；⑵ 设BC 中点为N ，连接MN ，则由MB MC =，知MN BC ⊥，所以O 在直线MN 上，又AD 不是O 的直径，M 为AD 中点，故OM AD ⊥，FDCEBA(第6题图)E即MN AD ⊥所以AD BC ∥，故A CBE ∠=∠．又CBE E ∠=∠，故A E ∠=∠由（1）知D E ∠=∠．所以ADE △为等边三角形．13. （2014新课标2理22文22）如图，P 是O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与O 相交于点2B C PC PA =，，，D 为PC 的中点，AD 的延长线交O 于点E ．证明： ⑴BE EC =；⑵22AD DE PB ⋅=．【解析】 ⑴ 连接AB AC ，．由题设知PA PD =，故PAD PDA ∠=∠．因为PDA DAC DCA ∠=∠+∠，PAD BAD PAB ∠=∠+∠，DCA PAB ∠=∠，所以DAC BAD ∠=∠，从而BE EC =．因此BE EC =．⑵ 由切割线定理得2PA PB PC =⋅．因为PA PD DC ==，所以2DC PB BD PB ==，．由相交弦定理得AD DE BD DC ⋅=⋅，所以22AD DE PB ⋅=．14.（2014重庆理14）过圆外一点P 作圆的切线PA （A 为切点），再作割线PBC 分别交圆于B C ，．若6PA =，8AC =，9BC =，则AB =________．【解析】4P。

2014年北京市数学(文)高考真题含答案带解析(超完美word版)

2014年普通高等学校招生全国统一考试北京卷文科数学一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.若集合{}0,1,2,4A =，{}1,2,3B =，则A B = （）A.{}0,1,2,3,4B.{}0,4C.{}1,2D.{}3 2.下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（）A.x y e -=B.y x =C.ln y x =D.y x =3.已知向量()2,4a = ，()1,1b =-，则2a b -= （）A.()5,7B.()5,9C.()3,7D.()3,9 4.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（）A.1B.3C.7D.155.设a 、b 是实数，则“a b >”是“22a b >”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不必要条件C.充分必要条件D.既不充分不必要条件 6.已知函数()26log f x x x=-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（） A.()0,1B.()1,2C.()2,4D.()4,+∞7.已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则m 的最大值为（）A.7B.6C.5D.4 8.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”. 在特定条件下，可食用率p 与加工时间t （单位：分钟）满足的函数关系2p at bt c =++（a 、b 、c 是常数），图中记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（）A.3.50分钟B.3.75分钟C.4.00分钟D.4.25分钟二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9.若()()12x i i i x R +=-+∈，则x = . 10.设双曲线C的两个焦点为()，)，一个顶点式()1,0，则C 的方程为.11.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为.侧（左）视图正（主）视图12.在ABC ∆中，1a =，2b =，1cos 4C =，则c = ；sin A = . 13.若x 、y 满足11010y x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则z y +的最小值为 .14.顾客请一位工艺师把A 、B 两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件颜料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：则最短交货期为工作日.三、解答题共6小题，共80分。

三年高考-高考数学试题分项版解析专题14 推理与证明文(含解析)-人教版高三全册数学试题

三年高考（2014-2016）数学（文）试题分项版解析第十五章推理与证明一、选择题1. 【2014某某.文4】用反证法证明命题“设b a ,为实数，则方程02=++b ax x 至少有一个实根”时，要做的假设是（）A.方程02=++b ax x 没有实根B.方程02=++b ax x 至多有一个实根C.方程02=++b ax x 至多有两个实根D.方程02=++b ax x 恰好有两个实根【答案】A【解析】反证法的步骤第一步是假设命题反面成立，而“至少有一个根”的否定是“没有”，故选A .考点：反证法.【名师点睛】本题考查反证法.解答本题关键是理解反证法的含义，明确至少有一个的反面是一个也没有.本题属于基础题，难度较小.2. 【2014某某.文9】对于函数)(x f ，若存在常数0≠a ，使得x 取定义域内的每一个值，都有)2()(x a f x f -=，则称)(x f 为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是（） A x x f =)( B 2)(x x f = C x x f tan )(= D )1cos()(+=x x f【答案】D 考点：新定义，函数的图象和性质.【名师点睛】本题考查函数的概念、函数的奇偶性、新定义问题.此类问题的基本解法是紧扣新定义，研究各个函数的图象及特性，得出结论.本题是一道新定义问题，属于基础题，在考查函数的概念、函数的奇偶性、函数的图象等基础知识的同时，考查数阅读能力、学习能力、转化与化归思想.3. 【2015高考某某，文8】设实数a ，b ，t 满足1sin a b t +==（）A ．若t 确定，则2b 唯一确定B ．若t 确定，则22a a +唯一确定C ．若t 确定，则sin2b 唯一确定 D ．若t 确定，则2a a +唯一确定【答案】B【解析】因为1sin a b t +==，所以222(1)sin a b t +==，所以2221a a t +=-，故当t 确定时，21t -确定，所以22a a +唯一确定.故选B.【考点定位】函数概念【名师点睛】本题主要考查函数的概念.主要考查学生利用条件对其进行处理，通过对比选项，确定最终正确结论的能力.本题属于中等题，重点考查学生对条件的处理能力以及分析问题的能力.4. 【2015高考某某，文10】若集合 (){},,,04,04,04,,,p q r s p s q s r s p q r s E =≤<≤≤<≤≤<≤∈N 且，(){}F ,,,04,04,,,t u v w t u v w t u v w =≤<≤≤<≤∈N 且，用()card X 表示集合X 中的元素个数，则()()card card F E +=（）A ．50B ．100C ．150D ．200【答案】D【考点定位】推理与证明．【名师点晴】本题主要考查的是新符号，属于难题．在新符号的问题中抓住新符号的实质把其转化为我们熟悉的问题加以解决，这是解决新符号问题的一个基本方向，要注意准确理解试题中给出的新符号的含义．解决新符号这类试题时一定要万分小心，除了作理论方面的推导论证外，利用特殊值进行检验，也可作必要的合情推理．5.【2014高考某某卷.文.10】对任意复数1w .2w ,定义1212w w w w *=,其中2w 是2w 的共轭复数.对任意复数1z .2z .3z ,有如下四个命题：①()()()1231323z z z z z z z +*=*+*；②()()()1231213z z z z z z z *+=*+*；③()()123123z z z z z z **=**；④1221z z z z *=*.则真命题的个数是( )A .1B .2C .3D .4【答案】B【考点定位】本题考查复数中的新定义运算,考查复数的概念,属于中等偏难题.【名师点晴】本题主要考查的是新符号，属于难题．在新符号的问题中抓住新符号的实质把其转化为我们熟悉的问题加以解决，这是解决新符号问题的一个基本方向，要注意准确理解试题中给出的新符号的含义．解决新符号这类试题时一定要万分小心，除了作理论方面的推导论证外，利用特殊值进行检验，也可作必要的合情推理．6.【2014年普通高等学校招生全国统一考试某某卷10】《算数书》竹简于上世纪八十年代在某某省江陵县X 家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式21.36v L h ≈它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3. 那么近似公式2275v L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（） A.227 B.258C.15750D.355113 【答案】B【解析】试题分析：设圆锥底面圆的半径为r ，高为h ，依题意，r L π2=，h r h r 22)2(75231ππ=，所以275831ππ=，即π的近似值为258，故选B. 考点：《算数书》中π的近似计算，容易题.【名师点睛】以数学史为背景，重点考查圆锥的体积计算问题，其解题的关键是读懂文字材料，正确理解题意，建立方程关系.充分体现了方程思想在实际问题中的应用，能较好的考查学生运用基础知识的能力和简单近似计算能力.7. 【2015高考某某，文10】已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ，定义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为（）A ．77B ．49C ．45D ．30【答案】C . 【考点定位】本题考查用不等式表示平面区域和新定义问题，属高档题.【名师点睛】用集合、不等式的形式表示平面区域，以新定义为背景，涉及分类计数原理，体现了分类讨论的思想方法的重要性以及准确计数的科学性，能较好的考查学生知识间的综合能力、知识迁移能力和科学计算能力. 8. 【2014某某,文12】在平面直角坐标系中，两点()()111222,,,P x y P x y 间的“L-距离”定义为121212.PP x x y y =-+-则平面内与x 轴上两个不同的定点12,F F 的“L-距离”之和等于定值（大于12|||F F ）的点的轨迹可以是（）【答案】A考点：新定义，绝对值的概念，分类讨论思想.【名师点睛】本题是一道信息迁移题，通过定义“L-距离”，考查学生对新定义的理解能力及处理绝对值问题时的分类讨论思想.利用零点分区间法正确进行分类，做到不重不漏，并准确进行运算是求解本题的关键.二、填空题1. 【2016高考新课标2文数】有三X 卡片，分别写有1和2，1和3，2和3. 甲，乙，丙三人各取走一X 卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________________. 【答案】1和3 【解析】试题分析：由题意分析可知甲的卡片上数字为1和3，乙的卡片上数字为2和3，丙卡片上数字为1和2.考点：逻辑推理.【名师点睛】逻辑推理即演绎推理，就是从一般性的前提出发，通过推导即“演绎”，得出具体陈述或个别结论的过程.演绎推理的逻辑形式对于理性的重要意义在于，它对人的思维保持严密性、一贯性有着不可替代的校正作用.逻辑推理包括演绎、归纳和溯因三种方式.2.【2016高考某某文数】观察下列等式：22π2π4(sin )(sin )12333--+=⨯⨯； 2222π2π3π4π4(sin )(sin )(sin )(sin )2355553----+++=⨯⨯； 2222π2π3π6π4(sin )(sin )(sin )(sin )3477773----+++⋅⋅⋅+=⨯⨯； 2222π2π3π8π4(sin )(sin )(sin )(sin )4599993----+++⋅⋅⋅+=⨯⨯； ……照此规律，2222π2π3π2π(sin)(sin )(sin )(sin )21212121n n n n n ----+++⋅⋅⋅+=++++_________．【答案】()413n n ⨯⨯+ 【解析】考点：合情推理与演绎推理【名师点睛】本题主要考查合情推理与演绎推理，本题以三角函数式为背景材料，突出了高考命题注重基础的原则.解答本题，关键在于分析类比等号两端数学式子的特征，找出共性、总结规律，降低难度.本题能较好的考查考生逻辑思维能力及归纳推理能力等.3. 【2015高考某某，文14】定义运算“⊗”：22x yx yxy-⊗=（,0x y R xy∈≠，）.当00x y>>，时，(2)x y y x⊗+⊗的最小值是 . 【答案】2【解析】由新定义运算知，2222(2)4(2)(2)2y x y xy xy x xy--⊗==，因为，00x y>>，，所以，2222224222(2)2222x y y x x y xyx y y xxy xy xy xy--+⊗+⊗=+=≥=，当且仅当2x y=时，(2)x y y x⊗+⊗的最小值是2.【考点定位】1.新定义运算；2.基本不等式.【名师点睛】本题考查了基本不等式及新定义运算的理解能力，解答本题的关键，首先是理解新定义运算，准确地得到不等式，然后根据其特征，想到应用基本不等式求解.本题属于小综合题，也是一道能力题，在考查考生学习能力的基础上，考查考生的计算能力及应用数学知识解决问题的能力.由于近几年考生对新定义运算问题已有准备，因此，不会对此感到陌生.4.【2015高考某某，文16】观察下列等式：1－11 22 =1－11111 23434 +-=+1－11111111 23456456 +-+-=++…………据此规律，第n个等式可为______________________.【答案】11111111 1234212122n n n n n -+-+⋅⋅⋅+-=++⋅⋅⋅+-++【考点定位】归纳推理.【名师点睛】本题考查的是归纳推理，解题关键点在于发现其中的规律，要注意从运算的过程中去寻找.本题属于基础题，注意运算的准确性.5．【2014某某，文15】以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数()x ϕ组成的集合：对于函数()x ϕ，存在一个正数M ，使得函数()x ϕ的值域包含于区间[,]M M -。

2014年高考数学三轮专项模拟数列、推理与证明试卷理

数列、推理与证明本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2013·黄冈模拟)集合M ＝{y |y ＝lg(x 2＋1)，x ∈R }，集合N ＝{x |4x ＞4，x ∈R }，则M ∩N 等于( )A ．[0，＋∞)B ．[0,1)C ．(1，＋∞)D ．(0,1]【解析】由x 2＋1≥1知lg(x 2＋1)≥0，所以M ＝{y |y ≥0}，由4x ＞4知x ＞1，所以N ＝{x |x ＞1}，所以M ∩N ＝{x |x ＞1}，故选C. 【答案】 C2．如果命题“綈(p ∧q )”是真命题，则( ) A ．命题p 、q 均为假命题 B ．命题p 、q 均为真命题C ．命题p 、q 中至少有一个是真命题D ．命题p 、q 中至多有一个是真命题【解析】命题“綈(p ∧q )”是真命题，则命题“p ∧q ”是假命题，则命题p 、q 中至多有一个是真命题，故选D.【答案】 D3．(2013·宁波模拟)等差数列{a n }中，已知a 1＝－12，S 13＝0，使得a n ＞0的最小正整数n 为( )A ．7B ．8C ．9D ．10【解析】由S 13＝13(a 1＋a 13)2＝0得a 1＋a 13＝2a 7＝0，所以a 7＝0，又a 1＝－12，故n ≥8时，a n ＞0.【答案】 B4．(2013·课标全国卷Ⅱ)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( )A.13 B ．－13C.19D ．－19【解析】设公比为q ，∵S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋10a 1，a 1q 4＝9，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝9a 1，a 1q 4＝9，解得a 1＝19，故选C.【答案】 C5．下列函数中与函数y ＝－3|x |奇偶性相同且在(－∞，0)上单调性也相同的是( ) A ．y ＝－1xB ．y ＝log 2|x |C ．y ＝1－x 2D ．y ＝x 3－1【解析】函数y ＝－3|x |是偶函数且在(－∞，0)是增函数，故选C. 【答案】 C6．(2013·大纲全国卷)已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于( )A ．－6(1－3－10)B.19(1－3－10) C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10)【解析】由3a n ＋1＋a n ＝0，得a n ＋1a n ＝－13，故数列{a n }是公比q ＝－13的等比数列．又a 2＝－43，可得a 1＝4.所以S 10＝4⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－13101－⎝⎛⎭⎫－13＝3(1－3－10).【答案】 C7．已知向量a 、b 的夹角为120°，且|a |＝|b |＝4，那么b ·(2a ＋b )的值为( ) A ．48 B ．32 C ．1D ．0【解析】 b ·(2a ＋b )＝2a·b ＋b 2＝2×4×4×cos 120°＋42＝0. 【答案】 D8．已知f (x )＝12 013＋log 2x 1－x ，则f ⎝⎛⎭⎫12 014＋f ⎝⎛⎭⎫22 014＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 0132 014的值为( ) A ．1B ．2C ．2 013D ．2 014【解析】对任意0＜x ＜1，可得f (x )＋f (1－x )＝22 013.设S ＝f ⎝⎛⎭⎫12 014＋f ⎝⎛⎭⎫22 014＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 0132 014 则S ＝f ⎝⎛⎭⎫2 0132 014＋f ⎝⎛⎭⎫2 1022 014＋…＋f ⎝⎛⎭⎫12 014 于是2S ＝⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫12 014＋f ⎝⎛⎭⎫2 0132 014＋⎣⎡f ⎝⎛⎭⎫22 014＋⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫2 0122 014＋…＋[f ⎝⎛⎭⎫2 0132 014＋f ⎝⎛⎭⎫12 014] ＝22 013×2 013＝2，所以S ＝1. 【答案】 A第Ⅱ卷二、填空题(本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在题中横线上) 9．已知角α的终边与单位圆交于点⎝⎛⎭⎫－255，55，则sin 2α的值为________．【解析】由已知得sin α＝55，cos α＝－255，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×⎝⎛⎭⎫－255＝－45. 【答案】－4510．(2013·昆明模拟)已知数列{a n }中a 1＝1，a 2＝2，当整数n ＞1时，S n ＋1＋S n －1＝2(S n＋S 1)都成立，则S 15等于________．【解析】由S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋S 1)得，(S n ＋1－S n )－(S n －S n －1)＝2S 1＝2，即a n ＋1－a n ＝2(n ≥2)，数列{a n }从第二项起构成等差数列，S 15＝1＋2＋4＋6＋8＋…＋28＝211.【答案】 21111．(2013·东城模拟)在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝7，a n ＋2等于a n a n ＋1(n ∈N *)的个位数，则a 2 013的值是________．【解析】 a 1a 2＝2×7＝14，所以a 3＝4,4×7＝28，所以a 4＝8,4×8＝32，所以a 5＝2,2×8＝16，所以a 6＝6，a 7＝2，a 8＝2，a 9＝4，a 10＝8，a 11＝2，所以从第三项起，a n 成周期排列，周期数为6,2 013＝335×6＋3，所以a 2 013＝a 3＝4.【答案】 412．由直线y ＝2与函数y ＝2cos 2x 2(0≤x ≤2π)的图象围成的封闭图形的面积为________．【解析】 y ＝2cos 2x2＝cos x ＋1，则所求面积为S ＝∫2π0[]2－(cos x ＋1)d x ＝(x －sin x )|2π0＝2π.【答案】 2π13．(2013·潍坊模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，b 2＋c 2－a 2＝3bc ，则角B ＝________.【解析】由b 2＋c 2－a 2＝3bc 得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32，所以A ＝30°.由a cos B ＋b cos A ＝c sin C 得 sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin 2C ，即sin(A ＋B )＝sin 2C ，所以sin C ＝sin 2C . 因为0°＜C ＜180°，所以sin C ＝1，即C ＝90°，所以B ＝60°. 【答案】 60°14．(2013·淄博模拟)如图1，一个类似杨辉三角的数阵，请写出第n (n ≥2)行的第2个数为________．图1【解析】由已知得第n (n ≥2)行的第2个数为3＋3＋5＋7＋…＋[2(n －2)＋1]＝3＋(n －2)×2n 2＝n 2－2n ＋3. 【答案】 n 2－2n ＋315．(2013·孝感模拟)现有一根n 节的竹竿，自上而下每节的长度依次构成等差数列，最上面一节长为10 cm ，最下面的三节长度之和为114 cm ，第6节的长度是首节与末节长度的等比中项，则n ＝________.【解析】设对应的数列为{a n }，公差为d (d ＞0)．由题意知a 1＝10，a n ＋a n －1＋a n －2＝114，a 26＝a 1a n ，由a n ＋a n －1＋a n －2＝114得3a n －1＝114，解得a n －1＝38，(a 1＋5d )2＝a 1(a n －1＋d )，即(10＋5d )2＝10(38＋d )，解得d ＝2，所以a n －1＝a 1＋(n －2)d ＝38，即10＋2(n －2)＝38，解得n ＝16.【答案】 16三、解答题(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分12分)(2013·安徽高考)设数列{a n }满足a 1＝2，a 2＋a 4＝8，且对任意n ∈N *，函数f (x )＝()a n －a n ＋1＋a n ＋2x ＋a n ＋1cos x －a n ＋2sin x 满足f ′⎝⎛⎭⎫π2＝0.(2)若b n ＝2⎝⎛⎭⎫a n ＋12a n，求数列{b n }的前n 项和S n . 【解】 (1)由题设可得f ′(x )＝a n －a n ＋1＋a n ＋2－a n ＋1sin x －a n ＋2cos x . 对任意n ∈N *，f ′(π2)＝a n －a n ＋1＋a n ＋2－a n ＋1＝0，即a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1，故{a n }为等差数列．由a 1＝2，a 2＋a 4＝8解得{a n }的公差d ＝1，所以a n ＝2＋1·(n －1)＝n ＋1.(2)由b n ＝2⎝⎛⎭⎫a n ＋12a n ＝2⎝⎛⎭⎫n ＋1＋12n ＋1＝2n ＋12n ＋2知， S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝2n ＋2·n (n ＋1)2＋12⎣⎡⎦⎤1－(12)n 1－12＝n 2＋3n ＋1－12n .17．(本小题满分12分)(2013·佛山模拟)在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 为始边，角α的终边与单位圆O 的交点B 在第一象限，已知A (－1,3)．(1)若OA ⊥OB ，求tan α的值； (2)若B 点横坐标为45，求S △AOB .【解】 (1)由题可知：A (－1,3)，B (cos α，sin α)， OA →＝(－1,3)，OB →＝(cos α，sin α)，由OA ⊥OB ，得OA →·OB →＝0， ∴－cos α＋3sin α＝0，tan α＝13.(2)∵cos α＝45，∴sin α＝1－cos 2α＝35，即B ⎝⎛⎭⎫45，35， ∴OA →＝(－1,3)，OB →＝⎝⎛⎭⎫45，35， ∴|OA |＝(－1)2＋(3)2＝10，|OB |＝1，得cos ∠AOB ＝OA →·OB →|OA →||OB →|＝－1×45＋3×3510×1＝1010，∴sin ∠AOB ＝1－cos 2∠AOB ＝31010，则S △AOB ＝12|AO ||BO |sin ∠AOB ＝12×10×1×31010＝32.18．(本小题满分12分)(2013·青岛模拟)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 1＋a 2＋…＋a n －1－a n＝－1(n ≥2且n ∈N *)．(2)令d n ＝1＋log a a 2n ＋1＋a 2n ＋25(a ＞0，a ≠1)，记数列{d n }的前n 项和为S n ，若S 2n S n恒为一个与n 无关的常数λ，试求常数a 和λ.【解】 (1)由题知a 1＋a 2＋…＋a n －1－a n ＝－1，① 所以a 1＋a 2＋…＋a n －a n ＋1＝－1.②由①－②得：a n ＋1－2a n ＝0，即a n ＋1a n ＝2(n ≥2)，当n ＝2时，a 1－a 2＝－1，因为a 1＝1，所以a 2＝2，a 2a 1＝2，所以，数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列．故a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)因为a n ＝2n －1，所以d n ＝1＋log a a 2n ＋1＋a 2n ＋25＝1＋2n log a 2.因为d n ＋1－d n ＝2log a 2，所以{d n }是以d 1＝1＋2log a 2为首项，以2log a 2为公差的等差数列，所以S 2nS n ＝2n (1＋2log a 2)＋2n (2n －1)2×2log a 2n (1＋2log a 2)＋n (n －1)2×2log a 2＝2＋(4n ＋2)log a 21＋(n ＋1)log a 2＝λ⇒(λ－4)n log a 2＋(λ－2)(1＋log a 2)＝0，因为S 2nS n恒为一个与n 无关的常数λ，所以⎩⎪⎨⎪⎧(λ－4)log a 2＝0，(λ－2)(1＋log a 2)＝0，解得λ＝4，a ＝12.19．(本小题满分13分)某工厂为扩大生产规模，今年年初新购置了一条高性能的生产线，该生产线在使用过程中的维护费用会逐年增加，第1年的维护费用是4万元，从第2年到第7年，每年的维护费用均比上年增加2万元，从第8年开始，每年的维护费用比上年增加25%.(1)设第n 年该生产线的维护费用为a n ，求a n 的表达式． (2)设该生产线前n 年的维护费用为S n ，求S n .【解】 (1)由题意知，当n ≤7时，数列{a n }是首项为4，公差为2的等差数列，故a n ＝4＋(n －1)×2＝2n ＋2.当n ≥8时，数列{a n }从a 7开始构成首项为a 7＝2×7＋2＝16，公比为1＋25%＝54的等比数列，则此时a n ＝16×⎝⎛⎭⎫54n －7，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋2，n ≤7，16×⎝⎛⎭⎫54n －7，n ≥8. (2)当1≤n ≤7时，S n ＝4n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋3n ，当n ≥8时，由S 7＝70，得S n ＝70＋16×54×1－⎝⎛⎭⎫54n －71－54＝80×⎝⎛⎭⎫54n －7－10，所以该生产线前n 年的维护费用为 S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2＋3n ，1≤n ≤7，80×⎝⎛⎭⎫54n －7－10，n ≥8. 20．(本小题满分13分)(2013·天津模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －2(n ∈N *)，数列{b n }满足b 1＝1，且点P (b n ，b n ＋1)(n ∈N *)在直线y ＝x ＋2上．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式． (2)求数列{a n ·b n }的前n 项和D n .(3)设c n ＝a n ·sin 2n π2－b n ·cos 2n π2(n ∈N *)，求数列{c n }的前2n 项和T 2n .【解】 (1)当n ＝1时，a 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1，所以a n ＝2a n －1(n ≥2)，所以{a n }是等比数列，公比为2，首项a 1＝2，所以a n ＝2n ，又点P (b n ，b n ＋1)(n ∈N *)在直线y ＝x ＋2上，所以b n ＋1＝b n ＋2，所以{b n }是等差数列，公差为2，首项b 1＝1，所以b n ＝2n －1. (2)由(1)知a n ·b n ＝(2n －1)×2n ，所以D n ＝1×21＋3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n －3)×2n －1＋(2n －1)×2n ，①2D n ＝1×22＋3×23＋5×24＋7×25＋…＋(2n －3)×2n ＋(2n －1)×2n ＋1.②①－②得－D n ＝1×21＋2×22＋2×23＋2×24＋…＋2×2n －(2n －1)×2n ＋1＝2＋2×4(1－2n －1)1－2－(2n －1)×2n ＋1＝(3－2n )2n ＋1－6，则D n ＝(2n －3)2n ＋1＋6.(3)c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ， n 为奇数，－(2n －1)， n 为偶数，T 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)－(b 2＋b 4＋…＋b 2n ) ＝2＋23＋…＋22n －1－[3＋7＋…＋(4n －1)]＝22n ＋1－23－2n 2－n .21．(本小题满分13分)(2013·杭州模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－a n －⎝⎛⎭⎫12n －1＋2(n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝2n a n .(1)求证数列{b n }是等差数列，并求数列{a n }的通项公式．(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n ＋1n a n 的前n 项和为T n ，证明：n ∈N *且n ≥3时，T n ＞5n 2n ＋1. (3)设数列{c n }满足a n (c n －3n )＝(－1)n －1λn (λ为非零常数，n ∈N *)，问是否存在整数λ，使得对任意n ∈N *，都有c n ＋1＞c n .【解】 (1)在S n ＝－a n －⎝⎛⎭⎫12n －1＋2中，令n ＝1，可得S 1＝－a 1－1＋2＝a 1，即a 1＝12，当n ≥2时，S n －1＝－a n －1－⎝⎛⎭⎫12n －2＋2，所以a n ＝S n －S n －1＝－a n ＋a n －1＋⎝⎛⎭⎫12n －1，所以2a n ＝a n －1＋⎝⎛⎭⎫12n －1，即2n a n ＝2n －1a n －1＋1. 因为b n ＝2n a n ，所以b n ＝b n －1＋1，即当n ≥2时，b n －b n －1＝1. 又b 1＝2a 1＝1，所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列．于是b n ＝1＋(n －1)·1＝n ＝2n a n ，所以a n ＝n 2n (n ∈N *)．(2)由(1)得c n ＝n ＋1na n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫12n，所以T n ＝2×12＋3×⎝⎛⎭⎫122＋4×⎝⎛⎭⎫123＋…＋(n ＋1)⎝⎛⎭⎫12n ，① 12T n ＝2×⎝⎛⎭⎫122＋3×⎝⎛⎭⎫123＋4×⎝⎛⎭⎫124＋…＋(n ＋1)⎝⎛⎭⎫12n ＋1.② 由①－②得12T n ＝1＋⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫123＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －(n ＋1)⎝⎛⎭⎫12n ＋1 ＝1＋14⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n －11－12－(n ＋1)⎝⎛⎭⎫12n ＋1＝32－n ＋32n ＋1，所以T n ＝3－n ＋32n ，T n －5n 2n ＋1＝3－n ＋32n －5n2n ＋1＝(n ＋3)(2n －2n －1)2n (2n ＋1)，于是确定T n 与5n2n ＋1的大小关系等价于比较2n 与2n ＋1的大小，由2＜2×1＋1；22＜2×2＋1；23＞2×3＋1；24＞2×4＋1；25＞2×5＋1；… 可猜想当n ≥3时，2n ＞2n ＋1，证明如下：方法一：①当n ＝3时，对上式验算显示成立． ②假设当n ＝k 时成立，则n ＝k ＋1(k ≥2)时，2k ＋1＝2·2k ＞2(2k ＋1)＝4k ＋2＝2(k ＋1)＋1＋(2k －1)＞2(k ＋1)＋1，所以当n ＝k ＋1时猜想也成立．综合①②可知，对一切n ≥3的正整数，都有2n ＞2n ＋1. 方法二：当n ≥3时，2n ＝(1＋1)n ＝C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n －1n ＋C n n ≥C 0n ＋C 1n ＋C n －1n ＋C n n ＝2n ＋2＞2n ＋1，综上所述，当n ≥3时，T n ＞5n 2n ＋1.(3)因为c n ＝3n＋(－1)n －1λ·na n＝3n ＋(－1)n －1λ·2n ，所以c n ＋1－c n ＝[3n ＋1＋(－1)n λ·2n ＋1]－[3n ＋(－1)n －1λ·2n ]＝2·3n －3λ(－1)n －1·2n ＞0，所以(－1)n －1·λ＜⎝⎛⎭⎫32n －1.① 当n ＝2k －1(k ＝1,2,3，…)时， ①式即为λ＜⎝⎛⎭⎫322k －2，②依题意，②式对k ＝1,2,3，…都成立，所以λ＜1，当n ＝2k ，k ＝1,2,3，…时，①式即为λ＞－⎝⎛⎭⎫322k －1，③ 依题意，③式对k ＝1,2,3，…都成立，所以λ＞－32，所以－32＜λ＜1，又λ≠0，所以存在整数λ＝－1，使得对任意n ∈N *有c n ＋1＞c n .。

2014年高考数学分专题复习检测

目录1、不等式 (1)2、不等式证明 (5)3、导数 (8)4、复数 (12)5、概率 (15)6、函数 (19)7、极坐标、参数方程 (22)8、几何证明 (26)9、计数原理 (30)10、立体几何与空间向量 (34)11、平面解析几何初步 (39)12、平面向量 (42)13、三角函数 (45)14、数列 (49)15、算法初步 (52)16、统计案例 (56)17、推理与证明 (60)18、圆锥曲线与方程 (64)不等式第I 卷一、选择题1.已知函数()(1||)f x x a x =+. 设关于x 的不等式()()f x a f x +< 的解集为A, 若11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦, 则实数a 的取值范围是(A) 15,02⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭(B) 13,02⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭(C) 15,02130,2⎛⎫+⋃⎛ ⎪ ⎪⎝⎫- ⎪⎝⎭⎪⎭ (D) 52,1⎛⎫-- ⎪ ⎝⎭∞⎪ 2.若0ab<<11,则下列不等式:a b ab +<①;a b >②;a b <③中,正确的不等式有( ) A.0个 B.1个 C.2个D.3个3.圆22240x y x y ++-+=1关于直线220ax by -+=(,a b ∈)R 对称,则ab 的取值范围是( )A.,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦1B.0,4⎛⎤ ⎥⎝⎦1C.,04⎛⎫- ⎪⎝⎭1D.,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭1 4.已知0,0x y >>,且2x y+=11,若222x y m m +>+恒成立,则实数m 的取值范围是( )A.m ≥4或2m -≤B.2m ≥或4m -≤C.24m -<<D.42m -<<5.已知集合{}{}2|(1)4,,1,0,1,2,3M x x x R N =-<∈=-，则=N M（A ）{}2,1,0（B ）{}2,1,0,1- （C ）{}3,2,0,1- （D ）{}3,2,1,06.设函数()m f x x ax =+的导函数'()2f x x =+1,则不等式()6f x -<的解集是( )A.{|23}x x -<<B.{|32}x x -<<C.{|32}x x x ><-或D.{|23}x x x ><-或7.若不等式2(1)(1)3(1)0m x m x m +-++-<对一切实数x 均成立,则m 的取值范围( )A.(,1)-∞-B.13(,]11-∞C.(,1]-∞-D.13(,)11-∞8.设变量,x y 满足,,x y x y x +⎧⎪-⎨⎪⎩≤≤≥110,，则2x y +的最大值和最小值分别是()A.1,-1B.2,-2C.1,-2D.2,-1第Ⅱ卷二、填空题9.设2z x y =+，式中变量,x y 满足条件4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，求z 的最大值和最小值的和__________。

2014年江苏高考数学试题及详细答案(含附加题)

2014年江苏高考数学试题数学Ⅰ试题参考公式:圆柱的侧面积公式:S 圆柱=cl , 其中c 是圆柱底面的周长，l 为母线长. 圆柱的体积公式:V 圆柱=Sh ,其中S 是圆柱的底面积，h 为高.答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1．已知集合{2134}A =--，，，，{123}B =-，，，则A B = ．【答案】{13}-，2．已知复数2(52)z i =+(i 为虚数单位)，则z 的实部为．【答案】213．右图是一个算法流程图，则输出的n 的值是．【答案】54．从1236，，，这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是．【答案】135．已知函数cos y x =与sin(2)(0)y x ϕϕ=+<π≤，它们的图象有一个横坐标为 3π的交点，则ϕ的值是．【答案】6π 6．为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm ），所得数据均在区间[80130]，上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有株树木的底部周长小于100 cm ．【答案】247．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若21a =，8642a a a =+，则6a 的值是．【答案】48．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为12S S ，，体积分别为12V V ，，若它们的侧面积相等，且1294S S =，则12V V 的值是．【答案】329．在平面直角坐标系xOy 中，直线230x y +-=被圆22(2)(1)4x y -++=截得的弦长为． 25510．已知函数2()1f x x mx =+-，若对任意[1]x m m ∈+，，都有()0f x <成立，则实数m 的取值范围是．【答案】202⎛⎫ ⎪⎝⎭11．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线2by ax x=+(a b ，为常数)过点(25)P -，，且该曲线在点P 处的切线与直线7230x y ++=平行，则a b +的值是．【答案】3-12．如图，在平行四边形ABCD 中，已知，85AB AD ==，，32CP PD AP BP =⋅=，，则AB AD ⋅的值是．【答案】2213．已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当[03)x ∈，时，21()22f x x x =-+．若函数()y f x a=-在区间[34]-，上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是．【答案】()102，14．若ABC ∆的内角满足sin 22sin A B C =，则cos C 的最小值是． 62- 二、解答题：本大题共6小题, 共计90 分. 请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答, 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．(本小题满分14 分)已知()2απ∈π，，5sin 5α= （1）求()sin 4απ+的值；（2）求()cos 26α5π-的值．【答案】本小题主要考查三角函数的基本关系式、两角和与差及二倍角的公式，考查运算求解能力. 满分14分.（1）∵()5sin 2ααπ∈π=，，，∴225cos 1sin αα=--=()210sin sin cos cos sin sin )444210αααααπππ+=+=+=；（2）∵2243sin 22sin cos cos 2cos sin 55αααααα==-=-=，∴()()3314334cos 2cos cos2sin sin 2666525ααα5π5π5π+-=+=+⨯-=16．(本小题满分14 分)如图，在三棱锥P ABC -中，D E F ，，分别为棱PC AC AB ，，的中点．已知6PA AC PA ⊥=，，8BC =，5DF =．（1）求证：直线P A ∥平面DEF ；（2）平面BDE ⊥平面ABC ．【答案】本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分. （1）∵D E ，为PC AC ，中点 ∴DE ∥P A∵PA ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ∴P A ∥平面DEF （2）∵D E ，为PC AC ，中点 ∴132DE PA ==∵E F ，为AC AB ，中点 ∴142EF BC ==∴222DE EF DF += ∴90DEF ∠=°，∴DE ⊥EF ∵//DE PA PA AC ⊥，，∴DE AC ⊥ ∵ACEF E = ∴DE ⊥平面ABC∵DE ⊂平面BDE ， ∴平面BDE ⊥平面ABC ．17．(本小题满分14 分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，12F F ，分别是椭圆22221(0)y x a b a b +=>>的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0)b ，，连结2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结1FC ．（1）若点C 的坐标为()4133，，且22BF =（2）若1FC AB ⊥，求椭圆离心率e 的值．【答案】本小题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力. 满分14分.（1）∵()4133C ，，∴22161999a b+=∵22222BF b c a =+=，∴22(2)2a ==，∴21b = ∴椭圆方程为2212x y +=（2）设焦点12(0)(0)()F c F c C x y -，，，，，∵A C ，关于x 轴对称，∴()A x y -，∵2B F A ，，三点共线，∴b y b c x +=--，即0bx cy bc --=① ∵1FC AB ⊥，∴1yb xc c⋅=-+-，即20xc by c -+=② ①②联立方程组，解得2222222ca x b c bc y b c ⎧=⎪-⎨⎪=-⎩∴()2222222a c bc C b c b c --， ∵C 在椭圆上，∴()()222222222221a cbc b c b c a b --+=，化简得225c a =，∴5c a = 518．(本小题满分16分)如图，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处，点C 位于点O 正东方向170m 处(OC 为河岸)，4tan 3BCO ∠=．（1）求新桥BC 的长；（2）当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？解：本小题主要考查直线方程、直线与圆的位置关系和解三角形等基础知识，考查建立数学模型及运用数学知识解决实际问题的能力.满分16分. 解法一：(1) 如图，以O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy .由条件知A (0, 60)，C (170, 0)，直线BC 的斜率k BC =－tan ∠BCO =－43. 又因为AB ⊥BC ，所以直线AB 的斜率k AB =34. 设点B 的坐标为(a ,b )，则k BC =04,1703b a -=--k AB =603,04b a -=-解得a =80，b=120. 所以BC 22(17080)(0120)150-+-=. 因此新桥BC 的长是150 m.(2)设保护区的边界圆M 的半径为r m,OM =d m,(0≤d ≤60). 由条件知，直线BC 的方程为4(170)3y x =--，即436800x y +-= 由于圆M 与直线BC 相切，故点M (0，d )到直线BC 的距离是r ，即|3680|680355d dr --==. 因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m,所以80(60)80r d r d -⎧⎨--⎩≥≥即68038056803(60)805dd d d -⎧-⎪⎪⎨-⎪--⎪⎩≥≥解得1035d ≤≤故当d =10时,68035dr -=最大，即圆面积最大. 所以当OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大. 解法二:(1)如图，延长OA , CB 交于点F .因为tan ∠BCO =43.所以sin ∠FCO =45，cos ∠FCO =35.因为OA =60,OC =170，所以OF =OC tan ∠FCO =6803.CF =850cos 3OC FCO =∠,从而5003AF OF OA =-=. 因为OA ⊥OC ，所以cos ∠AFB =sin ∠FCO ==45，又因为AB ⊥BC ，所以BF =AF cos ∠AFB ==4003，从而BC =CF －BF =150.因此新桥BC 的长是150 m.(2)设保护区的边界圆M 与BC 的切点为D ，连接MD ，则MD ⊥BC ，且MD 是圆M 的半径，并设MD =r m ，OM =d m(0≤d ≤60).因为OA ⊥OC ，所以sin ∠CFO =cos ∠FCO ，故由(1)知，sin ∠CFO =3,68053MD MD r MF OF OM d ===--所以68035d r -=. 因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m,所以80(60)80r d r d -⎧⎨--⎩≥≥即68038056803(60)805dd d d -⎧-⎪⎪⎨-⎪--⎪⎩≥≥解得1035d ≤≤故当d =10时,68035dr -=最大，即圆面积最大. 所以当OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大.19．(本小题满分16分)已知函数()e e x x f x -=+其中e 是自然对数的底数．（1）证明：()f x 是R 上的偶函数；（2）若关于x 的不等式()e 1x mf x m -+-≤在(0)+∞，上恒成立，求实数m 的取值范围；（3）已知正数a 满足：存在0[1)x ∈+∞，，使得3000()(3)f x a x x <-+成立．试比较1e a -与e 1a -的大小，并证明你的结论．【答案】本小题主要考查初等函数的基本性质、导数的应用等基础知识，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力.满分16分.（1）x ∀∈R ，()e e ()x x f x f x --=+=，∴()f x 是R 上的偶函数（2）由题意，(e e )e 1x x x m m --++-≤，即(e e 1)e 1x x x m --+--≤∵(0)x ∈+∞，，∴e e 10x x-+->，即e 1e e 1xx x m ---+-≤对(0)x ∈+∞，恒成立令e (1)x t t =>，则211tm t t --+≤对任意(1)t ∈+∞，恒成立∵2211111(1)(1)113111t t t t t t t t --=-=---+-+-+-++-≥，当且仅当2t =时等号成立 ∴13m -≤（3）'()e e x x f x -=-，当1x >时'()0f x >，∴()f x 在(1)+∞，上单调增令3()(3)h x a x x =-+，'()3(1)h x ax x =--∵01a x >>，，∴'()0h x <，即()h x 在(1)x ∈+∞，上单调减∵存在0[1)x ∈+∞，，使得3000()(3)f x a x x <-+，∴1(1)e 2e f a =+<，即()11e 2e a >+∵e-1e 111ln ln ln e (e 1)ln 1ea a aa a a ---=-=--+设()(e 1)ln 1m a a a =--+，则()e 1e 111'()1e 2ea m a a a a ---=-=>+，当()11e e 12e a +<<-时，'()0m a >，()m a 单调增；当e 1a >-时，'()0m a <，()m a 单调减因此()m a 至多有两个零点，而(1)(e)0m m == ∴当e a >时，()0m a <，e 11e a a --<；当()11e e 2e a +<<时，()0m a <，e 11e a a -->；当e a =时，()0m a =，e 11e a a --=．20．(本小题满分16分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ．若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得n m S a =，则称{}n a 是“H 数列”．（1）若数列{}n a 的前n 项和2()n n S n *=∈N ，证明：{}n a 是“H 数列”；（2）设{}n a 是等差数列，其首项11a =，公差0d <．若{}n a 是“H 数列”，求d 的值；（3）证明：对任意的等差数列{}n a ，总存在两个“H 数列”{}n b 和{}n c ，使得()n n n a b c n *=+∈N 成立．【答案】本小题主要考查数列的概念、等差数列等基础知识，考查探究能力及推理论证能力, 满分16分. （1）当2n ≥时，111222n n n n n n a S S ---=-=-=当1n =时，112a S ==∴1n =时，11S a =，当2n ≥时，1n n S a += ∴{}n a 是“H 数列” （2）1(1)(1)22n n n n n S na d n d --=+=+ 对n *∀∈N ，m *∃∈N 使n m S a =，即(1)1(1)2n n n d m d -+=+- 取2n =得1(1)d m d +=-，12m d=+∵0d <，∴2m <，又m *∈N ，∴1m =，∴1d =- （3）设{}n a 的公差为d令111(1)(2)n b a n a n a =--=-，对n *∀∈N ，11n n b b a +-=- 1(1)()n c n a d =-+，对n *∀∈N ，11n n c c a d +-=+则1(1)n n n b c a n d a +=+-=，且{}{}n n b c ，为等差数列{}n b 的前n 项和11(1)()2n n n T na a -=+-，令1(2)n T m a =-，则(3)22n n m -=+ 当1n =时1m =；当2n =时1m =；当3n ≥时，由于n 与3n -奇偶性不同，即(3)n n -非负偶数，m *∈N 因此对n ∀，都可找到m *∈N ，使n m T b =成立，即{}n b 为“H 数列”． {}n c 的前ｎ项和1(1)()2n n n R a d -=+，令1(1)()n m c m a d R =-+=，则(1)12n n m -=+ ∵对n *∀∈N ，(1)n n -是非负偶数，∴m *∈N即对n *∀∈N ，都可找到m *∈N ，使得n m R c =成立，即{}n c 为“H 数列” 因此命题得证.数学Ⅱ(附加题)21.【选做题】本题包括A, B,C,D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.【选修4-1:几何证明选讲】(本小题满分10分)如图，AB 是圆O 的直径，C 、 D 是圆O 上位于AB 异侧的两点证明:∠OCB =∠D .本小题主要考查圆的基本性质，考查推理论证能力.满分10分. 证明：因为B , C 是圆O 上的两点，所以OB =OC . 故∠OCB =∠B .又因为C , D 是圆O 上位于AB 异侧的两点，故∠B ，∠D 为同弧所对的两个圆周角，所以∠B =∠D . 因此∠OCB =∠D .B.【选修4-2:矩阵与变换】(本小题满分10分)已知矩阵121x -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，1121⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦B ，向量2y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，x y ，为实数，若A α=B α，求x y ，的值．【答案】本小题主要考查矩阵的乘法等基础知识，考查运算求解能力.满分10分.222y xy -⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦A α，24y y +⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦B α，由A α=B α得22224y y xy y -=+⎧⎨+=-⎩，，解得142x y =-=， C.【选修4-4:坐标系与参数方程】(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为12x y ⎧=-⎪⎨⎪=+⎩，(t 为参数)，直线l 与抛物线24y x =交于A B ，两点，求线段AB 的长．【答案】本小题主要考查直线的参数方程、抛物线的标准方程等基础知识，考查运算求解能力.满分10分.直线l ：3x y +=代入抛物线方程24y x =并整理得21090x x -+= ∴交点(12)A ，，(96)B -，，故||AB =D.【选修4-5:不等式选讲】(本小题满分10分) 已知x >0, y >0,证明：(1+x +y 2)( 1+x 2+y )≥9xy.本小题主要考查算术一几何平均不等式.考查推理论证能力.满分10分. 证明：因为x >0, y >0, 所以1+x +y 2≥0>，1+x 2+y≥0>，所以(1+x +y 2)( 1+x 2+y )≥=9xy.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22．(本小题满分10分)盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P ；（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为123x x x ，，，随机变量X 表示123x x x ，，中的最大数，求X 的概率分布和数学期望()E X ．22.【必做题】本小题主要考查排列与组合、离散型随机变量的均值等基础知识，考查运算求解能力.满分10分.（1）一次取2个球共有29C 36=种可能情况，2个球颜色相同共有222432C C C 10++=种可能情况 ∴取出的2个球颜色相同的概率1053618P ==（2）X 的所有可能取值为432，，，则4449C 1(4)C 126P X === 3131453639C C C C 13(3)C 63P X +=== 11(2)1(3)(4)14P X P X P X ==-=-==∴X 的概率分布列为故X 的数学期望1113120()23414631269E X =⨯+⨯+⨯=23．(本小题满分10分)已知函数0sin ()(0)x f x x x=>，设()n f x 为1()n f x -的导数，n *∈N ．（1）求()()122222f f πππ+的值；（2）证明：对任意的n *∈N ，等式()()1444n n nf f -πππ+=成立．23.【必做题】本题主要考查简单的复合函数的导数，考查探究能力及运用数学归纳法的推理论证能力.满分10分.资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除----完整版学习资料分享---- (1)解：由已知，得102sin cos sin ()(),x x x f x f x x x x '⎛⎫'===- ⎪⎝⎭于是21223cos sin sin 2cos 2sin ()(),x x x x x f x f x x x x x x ''⎛⎫⎛⎫'==-=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以12234216(),(),22f f πππππ=-=-+ 故122()() 1.222f f πππ+=- (2)证明：由已知，得0()sin ,xf x x =等式两边分别对x 求导，得00()()cos f x xf x x '+=，即01()()cos sin()2f x xf x x x π+==+，类似可得 122()()sin sin()f x xf x x x π+=-=+，2333()()cos sin()2f x xf x x x π+=-=+， 344()()sin sin(2)f x xf x x x π+==+. 下面用数学归纳法证明等式1()()sin()2n n n nf x xf x x π-+=+对所有的n ∈*N 都成立. (i)当n =1时，由上可知等式成立.(ii)假设当n =k 时等式成立, 即1()()sin()2k k k kf x xf x x π-+=+. 因为111[()()]()()()(1)()(),k k k k k k k kf x xf x kf x f x xf x k f x f x --+'''+=++=++ (1)[sin()]cos()()sin[]2222k k k k x x x x ππππ+''+=+⋅+=+，所以1(1)()()k k k f x f x +++(1)sin[]2k x π+=+. 所以当n=k +1时,等式也成立. 综合(i),(ii)可知等式1()()sin()2n n n nf x xf x x π-+=+对所有的n ∈*N 都成立. 令4x π=，可得1()()sin()44442n n n nf f πππππ-+=+(n ∈*N ).所以1()()444n n nf f πππ-+=(n ∈*N ).。

推理与证明各地2014年高考题

推理与证明15．、[2014·福建卷] 若集合{a，b，c，d}＝{1，2，3，4}，且下列四个关系：①a＝1；②b≠1；③c＝2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是________．15．6[解析] 若①正确，则②③④不正确，可得b≠1不正确，即b＝1，与a＝1矛盾，故①不正确；若②正确，则①③④不正确，由④不正确，得d＝4；由a≠1，b≠1，c≠2，得满足条件的有序数组为a＝3，b＝2，c＝1，d＝4或a＝2，b＝3，c＝1，d＝4.若③正确，则①②④不正确，由④不正确，得d＝4；由②不正确，得b＝1，则满足条件的有序数组为a＝3，b＝1，c＝2，d＝4；若④正确，则①②③不正确，由②不正确，得b＝1，由a≠1，c≠2，d≠4，得满足条件的有序数组为a＝2，b＝1，c＝4，d＝3或a＝3，b＝1，c＝4，d＝2或a＝4，b＝1，c＝3，d＝2；综上所述，满足条件的有序数组的个数为6.19．、[2014·广东卷] 设数列{a n}的前n项和为S n，满足S n＝2na n＋1－3n2－4n，n∈N*，且S3＝15.(1)求a1，a2，a3的值；(2)求数列{a n}的通项公式．14．[2014·新课标全国卷Ⅰ] 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为________．14．A14．14．F＋V－E＝2M2 直接证明与间接证明4．[2014·山东卷] 用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是()A. 方程x2＋ax＋b＝0没有实根B. 方程x2＋ax＋b＝0至多有一个实根C. 方程x2＋ax＋b＝0至多有两个实根D. 方程x2＋ax＋b＝0恰好有两个实根4．AM3 数学归纳法21．、、[2014·安徽卷] 设实数c＞0，整数p＞1，n∈N*.(1)证明：当x＞－1且x≠0时，(1＋x)p＞1＋px；(2)数列{a n }满足a 1＞c 1p ，a n ＋1＝p －1p a n ＋c p a 1－p n ，证明：a n ＞a n ＋1＞c 1p. 21．证明：(1)用数学归纳法证明如下．①当p ＝2时，(1＋x )2＝1＋2x ＋x 2>1＋2x ，原不等式成立． ②假设p ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式(1＋x )k >1＋kx 成立．当p ＝k ＋1时，(1＋x )k ＋1＝(1＋x )(1＋x )k >(1＋x )(1＋kx )＝1＋(k ＋1)x ＋kx 2>1＋(k ＋1)x . 所以当p ＝k ＋1时，原不等式也成立．综合①②可得，当x >－1，x ≠0时，对一切整数p >1，不等式(1＋x )p >1＋px 均成立． (2)方法一：先用数学归纳法证明a n >c 1p .①当n ＝1时，由题设知a 1>c 1p成立．②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，不等式a k >c 1p成立．由a n ＋1＝p －1p a n ＋c p a 1－p n 易知a n >0，n ∈N *. 当n ＝k ＋1时，a k ＋1a k ＝p －1p ＋c p a －p k ＝1＋1p ⎝⎛⎭⎫c a p k－1. 由a k >c 1p >0得－1<－1p <1p ⎝⎛⎭⎫c a p k－1<0. 由(1)中的结论得⎝⎛⎭⎫a k ＋1a k p＝⎣⎡⎦⎤1＋1p ⎝⎛⎭⎫c a p k －1p>1＋p · 1p ⎝⎛⎭⎫c a p k －1＝c a p k . 因此a p k ＋1>c ，即a k ＋1>c 1p，所以当n ＝k ＋1时，不等式a n >c 1p也成立．综合①②可得，对一切正整数n ，不等式a n >c 1p 均成立．再由a n ＋1a n ＝1＋1p ⎝⎛⎭⎫c a p n －1可得a n ＋1a n <1，即a n ＋1<a n .综上所述，a n >a n ＋1>c 1p，n ∈N *.方法二：设f (x )＝p －1p x ＋c p x 1－p ，x ≥c 1p ，则x p ≥c ，所以f ′(x )＝p －1p ＋c p (1－p )x －p ＝p －1p ⎝⎛⎭⎫1－c x p >0. 由此可得，f (x )在[c 1p ，＋∞)上单调递增，因而，当x >c 1p 时，f (x )>f (c 1p )＝c 1p .①当n ＝1时，由a 1>c 1p>0，即a p 1>c 可知a 2＝p －1p a 1＋c p a 1－p 1＝a 1⎣⎡⎦⎤1＋1p ⎝⎛⎭⎫c a p 1－1<a 1，并且a 2＝f (a 1)>c 1p ，从而可得a 1>a 2>c 1p ，故当n ＝1时，不等式a n >a n ＋1>c 1p成立．②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，不等式a k >a k ＋1>c 1p 成立，则当n ＝k ＋1时，f (a k )>f (a k ＋1)>f (c 1p )，即有a k ＋1>a k ＋2>c 1p，所以当n ＝k ＋1时，原不等式也成立．综合①②可得，对一切正整数n ，不等式a n >a n ＋1>c 1p均成立．19．、[2014·广东卷] 设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2na n ＋1－3n 2－4n ，n ∈N *，且S 3＝15.(1)求a 1，a 2，a 3的值； (2)求数列{a n }的通项公式．22．、[2014·全国卷] 函数f (x )＝ln(x ＋1)－axx ＋a(a >1)． (1)讨论f (x )的单调性；(2)设a 1＝1，a n ＋1＝ln(a n ＋1)，证明：2n ＋2<a n ≤3n ＋2.22．解：(1)易知f (x )的定义域为(－1，＋∞)，f ′(x )＝x [x －（a 2－2a ）]（x ＋1）（x ＋a ）2.(i)当1<a <2时，若x ∈(－1，a 2－2a )，则f ′(x )>0，所以f (x )在(－1，a 2－2a )是增函数；若x ∈(a 2－2a ，0)，则f ′(x )<0，所以f (x )在(a 2－2a ，0)是减函数；若x ∈(0，＋∞)，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)是增函数．(ii)当a ＝2时，若f ′(x )≥0，f ′(x )＝0成立当且仅当x ＝0，所以f (x )在(－1，＋∞)是增函数.(iii)当a >2时，若x ∈(－1，0)，则f ′(x )>0，所以f (x )在(－1，0)是增函数；若x ∈(0，a 2－2a )，则f ′(x )<0，所以f (x )在(0，a 2－2a )是减函数；若x ∈(a 2－2a ，＋∞)，则f ′(x )>0，所以f (x )在(a 2－2a ，＋∞)是增函数． (2)由(1)知，当a ＝2时，f (x )在(－1，＋∞)是增函数．当x ∈(0，＋∞)时，f (x )>f (0)＝0，即ln(x ＋1)>2xx ＋2(x >0)．又由(1)知，当a ＝3时，f (x )在[0，3)是减函数．当x ∈(0，3)时，f (x )<f (0)＝0，即ln(x ＋1)<3xx ＋3(0<x <3)．下面用数学归纳法证明2n ＋2<a n ≤3n ＋2.(i)当n ＝1时，由已知23<a 1＝1，故结论成立．(ii)假设当n ＝k 时结论成立，即2k ＋2<a k ≤3k ＋2.当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝ln(a k ＋1)>ln ⎝⎛⎭⎫2k ＋2＋1>2×2k ＋22k ＋2＋2＝2k ＋3，a k ＋1＝ln(a k ＋1)≤ln ⎝⎛⎭⎫3k ＋2＋1<3×3k ＋23k ＋2＋3＝3k ＋3，即当n ＝k ＋1时，有2k ＋3 <a k ＋1≤3k ＋3，结论成立．根据(i)(ii)知对任何n ∈结论都成立．21．，，，[2014·陕西卷] 设函数f (x )＝ln(1＋x )，g (x )＝xf ′(x )，x ≥0，其中f ′(x )是f (x )的导函数．(1)令g 1(x )＝g (x )，g n ＋1(x )＝g (g n (x ))，n ∈N ＋，求g n (x )的表达式； (2)若f (x )≥ag (x )恒成立，求实数a 的取值范围；(3)设n ∈N ＋，比较g (1)＋g (2)＋…＋g (n )与n －f (n )的大小，并加以证明．21．解：由题设得，g (x )＝x1＋x (x ≥0)．(1)由已知，g 1(x )＝x 1＋x， g 2(x )＝g (g 1(x ))＝x 1＋x 1＋x 1＋x ＝x1＋2x ，g 3(x )＝x 1＋3x ，…，可得g n (x )＝x 1＋nx. 下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，g 1(x )＝x 1＋x ，结论成立．②假设n ＝k 时结论成立，即g k (x )＝x1＋kx.那么，当n ＝k ＋1时，g k ＋1(x )＝g (g k (x ))＝g k （x ）1＋g k （x ）＝x 1＋kx 1＋x 1＋kx ＝x1＋（k ＋1）x ，即结论成立．由①②可知，结论对n ∈N ＋成立．(2)已知f (x )≥ag (x )恒成立，即ln(1＋x )≥ax1＋x恒成立．设φ(x )＝ln(1＋x )－ax1＋x (x ≥0)，则φ′(x )＝11＋x －a（1＋x ）2＝x ＋1－a （1＋x ）2，当a ≤1时，φ′(x )≥0(仅当x ＝0，a ＝1时等号成立)，∴φ(x )在[0，＋∞)上单调递增，又φ(0)＝0， ∴φ(x )≥0在[0，＋∞)上恒成立，∴a ≤1时，ln(1＋x )≥ax1＋x 恒成立(仅当x ＝0时等号成立)．当a >1时，对x ∈(0，a －1]有φ′(x )<0， ∴φ(x )在(0，a －1]上单调递减， ∴φ(a －1)<φ(0)＝0.即a >1时，存在x >0，使φ(x )<0，故知ln(1＋x )≥ax1＋x不恒成立．综上可知，a 的取值范围是(－∞，1]．(3)由题设知g (1)＋g (2)＋…＋g (n )＝12＋23＋…＋nn ＋1，比较结果为g (1)＋g (2)＋…＋g (n )>n －ln(n ＋1)．证明如下：方法一：上述不等式等价于12＋13＋…＋1n ＋1<ln(n ＋1)，在(2)中取a ＝1，可得ln(1＋x )>x1＋x，x >0. 令x ＝1n ，n ∈N ＋，则1n ＋1<ln n ＋1n .下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，12<ln 2，结论成立．②假设当n ＝k 时结论成立，即12＋13＋…＋1k ＋1<ln(k ＋1)．那么，当n ＝k ＋1时，12＋13＋…＋1k ＋1＋1k ＋2<ln(k ＋1)＋1k ＋2<ln(k ＋1)＋ln k ＋2k ＋1＝ln(k＋2)，即结论成立．由①②可知，结论对n ∈N ＋成立．方法二：上述不等式等价于12＋13＋…＋1n ＋1<ln(n ＋1)，在(2)中取a ＝1，可得ln(1＋x )>x1＋x，x >0. 令x ＝1n ，n ∈N ＋，则ln n ＋1n >1n ＋1.故有ln 2－ln 1>12，ln 3－ln 2>13，……ln(n ＋1)－ln n >1n ＋1，上述各式相加可得ln(n ＋1)>12＋13＋…＋1n ＋1，结论得证．方法三：如图，⎠⎛0n x x ＋1d x 是由曲线y ＝xx ＋1，x ＝n 及x 轴所围成的曲边梯形的面积，而12＋23＋…＋nn ＋1是图中所示各矩形的面积和，∴12＋23＋…＋n n ＋1>⎠⎛0n x x ＋1d x ＝ ⎠⎛0n ⎝⎛⎭⎫1－1x ＋1d x ＝n －ln (n ＋1)，结论得证．22．，，[2014·重庆卷] 设a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋2＋b (n ∈N *)． (1)若b ＝1，求a 2，a 3及数列{a n }的通项公式．(2)若b ＝－1，问：是否存在实数c 使得a 2n <c <a 2n ＋1对所有n ∈N *成立？证明你的结论． 22．解：(1)方法一：a 2＝2，a 3＝2＋1. 再由题设条件知(a n ＋1－1)2＝(a n －1)2＋1.从而{(a n －1)2}是首项为0，公差为1的等差数列，故(a n －1)2＝n －1，即a n ＝n －1＋1(n ∈N *)．方法二：a 2＝2，a 3＝2＋1.可写为a 1＝1－1＋1，a 2＝2－1＋1，a 3＝3－1＋1.因此猜想a n ＝n －1＋1. 下面用数学归纳法证明上式．当n ＝1时，结论显然成立．假设n ＝k 时结论成立，即a k ＝k －1＋1，则a k ＋1＝（a k －1）2＋1＋1＝（k －1）＋1＋1＝（k ＋1）－1＋1，这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．所以a n ＝n －1＋1(n ∈N *)．(2)方法一：设f (x )＝（x －1）2＋1－1，则a n ＋1＝f (a n )．令c ＝f (c )，即c ＝（c －1）2＋1－1，解得c ＝14.下面用数学归纳法证明命题 a 2n <c <a 2n ＋1<1.当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (0)＝2－1，所以a 2<14<a 3<1，结论成立．假设n ＝k 时结论成立，即a 2k <c <a 2k ＋1<1. 易知f (x )在(－∞，1]上为减函数，从而 c ＝f (c )>f (a 2k ＋1)>f (1)＝a 2，即 1>c >a 2k ＋2>a 2.再由f (x )在(－∞，1]上为减函数，得c ＝f (c )<f (a 2k ＋2)<f (a 2)＝a 3<1，故c <a 2k ＋3<1，因此a 2(k ＋1)<c <a 2(k ＋1)＋1<1，这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．综上，存在 c ＝14使a 2n <C <a 2a ＋1对所有n ∈N *成立．方法二：设f (x )＝（x －1）2＋1－1，则a n ＋1＝f (a n )．先证：0≤a n ≤1(n ∈N *)． ① 当n ＝1时，结论明显成立．假设n ＝k 时结论成立，即0≤a k ≤1. 易知f (x )在(－∞，1]上为减函数，从而 0＝f (1)≤f (a k )≤f (0)＝2－1<1.即0≤a k ＋1≤1.这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．故①成立．再证：a 2n <a 2n ＋1(n ∈N *)． ②当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (a 2)＝f (0)＝2－1，所以a 2<a 3，即n ＝1时②成立．假设n ＝k 时，结论成立，即a 2k <a 2k ＋1. 由①及f (x )在(－∞，1]上为减函数，得 a 2k ＋1＝f (a 2k )>f (a 2k ＋1)＝a 2k ＋2， a 2(k ＋1)＝f (a 2k ＋1)<f (a 2k ＋2)＝a 2(k ＋1)＋1.这就是说，当n ＝k ＋1时②成立．所以②对一切n ∈N *成立．由②得a 2n <a 22n －2a 2n ＋2－1，即(a 2n ＋1)2<a 22n －2a 2n ＋2，因此a 2n <14. ③又由①②及f (x )在(－∞，1]上为减函数，得f (a 2n )>f (a 2n ＋1)，即a 2n ＋1>a 2n ＋2.所以a 2n ＋1>a 22n ＋1－2a 2n ＋1＋2－1，解得a 2n ＋1>14. ④ 综上，由②③④知存在c ＝14使a 2n <c <a 2n ＋1对一切n ∈N *成立．。

北京交通大学附中2014届高考数学一轮复习单元精品训练：推理与证明 Word版含答案]

北京交通大学附中2014届高考数学一轮复习单元精品训练：推理与证明本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知f 1(x)=sinx+cosx ，f n+1(x)是f n (x)的导函数，即f 2(x)= f ′1(x)，f 3(x)= f ′2(x)，…，f n+1(x)=f ′n (x)，n ∈N*，则f 2012 (x)= ( ) A ．sinx+cosx B ． sinx －cosx C ．－sinx ＋cosx D ．－sinx －cosx【答案】B2．设函数f 是定义在正整数有序对集合上的函数，并满足： ①(,),f x x x = ②(,)(.)f x y f y x = ③()(,)(,),(12,16)(16,12)x y f x y yf x x y f f +=++则的值是( )A ．96B ．64C ．48D ．24【答案】A3．否定“自然数a 、b 、c 中恰有一个奇数”时正确的反设是( )A ．a 、b 、c 都是偶数B ．a 、b 、c 都是奇数C ．a 、b 、c 中至少有两个奇数D ．a 、b 、c 中或都是偶数或至少有两个奇数【答案】D4．每设,,(,0),a b c ∈-∞则111,,a b c b c a+++( ) A ．都不大于2-B ．都不小于2-C ．至少有一个不大于2-D ．至少有一个不小于2-【答案】C5．已知数列{}n a 的前n 项和2(2)n n S n a n =≥，而11a =，通过计算234,,a a a ，猜想n a 等于( ) A ．22(1)n + B ．2(1)n n +C ．221n - D ．221n - 【答案】B6．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a ，b ，c 中至少有一个偶数”．正确的反设为( )A ．a ，b ，c 中至少有两个偶数B ．a ，b ，c 都是奇数C ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数D ．a ，b ，c 都是偶数【答案】B7．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的( )A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．等价条件【答案】Ａ8．在证明命题“对于任意角θ，44cossin θθ-=cos 2θ”的过程：“44cos sin θθ-=222222(cos sin )(cos sin )cos sin cos2θθθθθθθ+-=-=”中应用了( )A ．分析法B ．综合法C ．反证法D ．归纳法【答案】B9．现有两个推理：①在平面内“三角形的两边之和大于第三边”类比在空间中“四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”； ②由“若数列{}n a 为等差数列，则有15515211076a a a a a a +++=+++ 成立”类比“若数列{}n b 为等比数列，则有15152151076b b b b b b ⋅⋅=⋅⋅ 成立”，则得出的两个结论( ) A ．只有①正确 B ．只有②正确 C ．都正确D ．都不正确【答案】C10．在ABC △中，sin sin cos cos A C A C >，则ABC △一定是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定【答案】Ｃ 11．求形如()()g x y f x =的函数的导数，我们常采用以下做法：先两边同取自然对数得：ln ()ln ()y g x f x =,再两边同时求导得'''11()ln ()()()()y g x f x g x f x y f x =+，于是得到：'''1()[()ln ()()()]()y f x g x f x g x f x f x =+，运用此方法求得函数1x y x =的一个单调递增区间是( ) A ．(e,4) B ．(3,6)C ．(0,e)D ．(2,3)【答案】C12．现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能的少，那么剩余钢管的根数为( ) A ．9 B ．10 C ．19 D ．29【答案】B第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．若正数c b ，，a 满足14=++c b a ,则c b a 2++的最大值为．【答案】21014．从222576543,3432,11=++++=++=中，得出的一般结论是【答案】2(+1)++(3n 2)=(21)n n n +--15．将全体正整数排成一个三角形数阵： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10。

高考数学(理)二轮试题：第14章《推理与证明(含2014试题)》(含答案)

精选题库试题理数1.(2014 山东 ,4,5 分 )用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0起码有一个实根”时,要做的假定是 ()A. 方程 x3+ax+b=0 没有实根B. 方程 x3+ax+b=0 至多有一个实根C.方程 x3+ax+b=0 至多有两个实根3D. 方程 x +ax+b=0 恰巧有两个实根1.A1.因为“方程 x3+ax+b=0 起码有一个实根”等价于“方程 x3+ax+b=0 的实根的个数大于或等于1”,所以 ,要做的假定是方程 x3+ax+b=0 没有实根 .2.(2014 北京 ,8,5 分 )学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,挨次为“优异”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙 ,且此中起码有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”如.果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,而且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生 ,那么这组学生最多有 ()A.2 人B.3 人C.4 人D.5 人2.B2.设学生人数为 n,因为成绩评定只有“优异”“合格”“不合格”三种状况 ,所以当 n≥4时 ,语文成绩起码有两人相同 ,若此两人数学成绩也相同 ,与“随意两人成绩不全相同”矛盾 ;若此两人数学成绩不一样 ,则此两人有一人比另一人成绩好 ,也不知足条件 .所以 :n<4, 即 n≤3当. n=3 时 ,评定结果分别为“优异 ,不合格”“合格 ,合格”“不合格 ,优异”,切合题意 ,故 n=3,选 B.3. （ 2014 广东汕头一般高考模拟考试一试题，8）设）为平面直角坐标系上的两点，此中.令,,若, 且，则称点B为点A的“有关点”，记作：, 已知）为平面上一个定点，平面上点列知足：=，且点的坐标为，此中, 则点的有关点” 有（）个A.4B.6C.8D.103.C3.因为为非零整数）故或，所以点的有关点有8 个.4.(2014 陕西 ,15(B),5 分 )B.( 几何证明选做题 )如图 ,△ ABC 中 ,BC=6, 以 BC 为直径的半圆分别交AB,AC 于点 E,F,若 AC=2AE, 则 EF=________.4.34.∵四边形BCFE 内接于圆 ,∴∠ AEF= ∠ ACB,又∠ A 为公共角 ,∴△ AEF ∽△ ACB, ∴=,又∵ BC=6,AC=2AE.∴EF=3.5. (2014 陕西 ,14,5 分)察看剖析下表中的数据:多面体面数 (F)极点数 (V) 棱数 (E)三棱柱 569五棱锥 6610立方体 6812猜想一般凸多面体中F,V,E 所知足的等式是 ________________.5.F+V-E=25.察看表中数据 ,并计算 F+V 分别为 11,12,14,又其对应 E 分别为 9,10,12, 简单察看并猜想F+V-E=2.6.(2014 课表全国Ⅰ， 14， 5 分)甲、乙、丙三位同学被问到能否去过A,B,C 三个城市时 ,甲 :我去的城市比乙多,但没去 B 城市 ;乙 :我没去 C 城市 ;丙 :我三人去同一城市.由此可判断乙去的城市________.6.A6.因为甲、乙、丙三人去同一城市,而甲没有去 B 城市 ,乙没有去 C 城市 ,所以三人去同一城市A, 而甲去的城市比乙多,但没去 B 城市 ,所以甲去的城市数2,乙去的城市 A.7. (2014 福州高中班量, 15) 已知函数, 若数列足,且的前和,=.7.80427.依意，，，，，，，，，⋯所以，，猜想，所以.8.(2014 湖北黄高三 4 月模考， 14) 意大利有名数学家斐波那契在研究兔子生殖，有一数：1,1, 2,3, 5,8, 13 ，此中从第三个数起，每一个数都等于它前方两个数的和，咧是一个特别美和的数列. 有好多巧妙的属性 . 比方：跟着数列数的增添，前一与后一之比越迫近黄金切割0.6180339887⋯，人称数列“斐波那契数列”. 若把数列的每一除以4 所得的余数按相的序成新数列，在数列中第 2014的；数列中，第 2014 个 1 的的序号是.8. 340278.因是周期 6 的周期数列，前 6 ： 1， 1， 2，3， 1， 0，所以第 2014=6×335+4 的是 3；因每个周期内含有三个1，2014=3×671+1，所以第 2014 个 1 的的序号是 6×671+1=4027.9. (2014 黑江哈第三中学第一次高考模考，13) 已知，由不等式，,，获得推行：，数________.9.9.又已知不等式获得的推行，适当；当；当；⋯ ；由推理可知，.10.（2014 江西色六校高三第二次考理数，13）随意正整数，定的双乘以下：当偶数，；当奇数，`。

2014年全国高考数学真题文科及答案详解

2014年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合{}{}12|,31|≤≤-=≤≤-=x x B x x M ，则MB =（）A. )1,2(-B. )1,1(-C. )3,1(D. )3,2(-正确答案：A（2）若0tan >α，则A. 0sin >αB. 0cos >αC. 02sin >αD. 02cos >α 正确答案：A（3）设i iz ++=11，则=||z A. 21 B. 22 C. 23 D. 2正确答案：B（4）已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2，则=a A. 2 B. 26 C. 25D. 1正确答案：D（5）设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是A. )()(x g x f 是偶函数B. )(|)(|x g x f 是奇函数C. |)(|)(x g x f 是奇函数D. |)()(|x g x f 是奇函数正确答案：A（6）设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点，则=+ A. B.21 C. 21D. 正确答案：C（7）在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y = ，③)62cos(π+=x y ,④)42tan(π-=x y 中，最小正周期为π的所有函数为A.①②③B. ①③④C. ②④D. ①③ 正确答案：C8.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（） A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱正确答案：B9.执行右面的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =( )A.203B.72C.165D.158正确答案：D10.已知抛物线C ：x y =2的焦点为F ,()y x A 0,是C 上一点，zxxk xF A 045=，则=x 0（）A. 1B. 2C. 4D. 8正确答案：C（11）设x ，y 满足约束条件,1,x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩且z x ay =+的最小值为7，则a =（A ）-5 （B ）3 （C ）-5或3 （D ）5或-3 正确答案：B（12）已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是（A ）()2,+∞ （B ）()1,+∞ （C ）(),2-∞- （D ）(),1-∞-（B ）正确答案：A第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分（13）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________. 正确答案：2/3（14）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A 、B 、zxxk C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为________. 正确答案：A（15）设函数()113,1,,1,x e x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪≥⎩则使得()2f x ≤成立的x 的取值范围是________.正确答案：(（16）如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得 M 点的仰角60MAN ∠=︒，C 点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测得60MCA ∠=︒.已知山高100BC m =，则山高MN =________m .本文来自正确答案：150三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根。

2014年全国各地高考数学分类汇编-15 概率、统计、统计案例、推理与证明

2014年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（15概率、统计、统计案例、推理与证明）一、选择题：1. (2014北京理)学生的语文、数学成绩均被评为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有（）A．2人 B．3人 C．4人 D．5人【答案】B【解析1】试题分析：用A、B、C分别表示优秀、及格和不及格，依题意，事件A、B、C中都最多只有一个元素，所以只有AC，BB，CA满足条件，故选B.【解析2】假设AB两个同学的数学成绩一样，由题意知他们语文成绩不一样，这样他们的语文成绩总有人比另一个人高，语文成绩较高的同学比另一个同学“成绩好”，与已知条件“他们之中没有一个比另一个成绩好”相矛盾.因此，没有任意两个同学数学成绩是相同的.因为数学成绩只有3种，因而同学数量最大为3.即3位同学成绩分别为（优秀，不合格）、（合格，合格）、（不合格，优秀）时满足条件.2、(2014广东文)为了了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为A.50B.40C.25D.203. (2014广东理)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和如图2所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）A.200，20B.100，20C.200，10D.100，104．(2014湖北文)随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1，点数之和大于5的概率记为p2，点数之和为偶数的概率记为p3，则()A．p1＜p2＜p3B．p2＜p1＜p3 C．p1＜p3＜p2D．p3＜p1＜p24．C [解析]则p 1＝1036，p 2＝2636，p 3＝1836.故p 1<p 3<p 2.故选C.5．(2014湖北理得到的回归方程为y ＝bx ＋a ，则( )A ．a >0，b >0B ．a >0，b <0C ．a <0，b >0D ．a <0，b <0观察图象可知，回归直线y ＝bx ＋a 的斜率b <0，截距a >0.故a >0，b <0.故选B.6．(2014湖北文得到的回归方程为y ＝bx ＋a ，则( )A ．a ＞0，b ＜0B ．a ＞0，b ＞0C ．a ＜0，b ＜0D ．a ＜0，b ＞0由图像不难得出，回归直线y ＝bx ＋a 的斜率b <0，截距a >0，所以a >0，b <0.故选A.7. (2014湖南文、理)对一个容器为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为123,,p p p ，则（）123.A p p p =< 231.B p p p =< 132.C p p p =< 123.D p p p ==8. (2014湖南文)在区间[2,3]-上随机选取一个数X ，则1X ≤的概率为（）4.5A 3.5B 2.5C 1.5D 【答案】B【解析】在[]2,3-上符合1X ≤的区间为[]2,1-,所以35P =,故选B.9．(2014江西文)掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（）1.18A 1.9B 1.6C 1.12D 【答案】B 【解析】点数之和为5的基本事件有：（1,4）（4,1）（2,3）（3,2），所以概率为364=9110. (2014江西文、理)某人研究中学生的性别与成绩、学科网视力、智商、阅读量这4个变量之间的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（）A.成绩B.视力C.智商D.阅读量【答案】D【解析】()22215262214105281636203216362032χ⨯⨯-⨯⨯==⨯⨯⨯⨯⨯⨯，()()2222521651612521671636203216362032χ⨯⨯-⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯⨯⨯，()()222352248812521281636203216362032χ⨯⨯-⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯⨯⨯，()()222452143026526861636203216362032χ⨯⨯-⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯⨯⨯。

2014届高考数学文二轮专题突破：专题三第3讲推理与证明

第3讲推理与证明【高考考情解读】 1.高考主要考查对合情推理和演绎推理的理解及应用；直接证明和间接证明的考查主要作为证明和推理数学命题的方法，常与函数、数列、不等式、解析几何等综合命题．2.归纳推理和类比推理等主要是和数列、不等式等内容联合考查，多以选择题和填空题的形式出现，难度中等；而考查证明问题的知识面广，涉及知识点多，题目难度较大，主要考查逻辑推理能力、归纳能力和综合能力，难度较大．1．合情推理(1)归纳推理①归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的所有对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理．②归纳推理的思维过程如下：实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论(2)类比推理①类比推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理．②类比推理的思维过程如下：观察、比较→联想、类推→猜测新的结论2．演绎推理(1)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般性原理．②小前提——所研究的特殊情况．③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．(2)合情推理与演绎推理的区别归纳和类比是常用的合情推理，从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理；类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理．从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．3．直接证明(1)综合法用P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q 表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为P ⇒Q 1→Q 1⇒Q 2→Q 2⇒Q 3→…→Q n ⇒Q (2)分析法用Q 表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为Q ⇐P 1→P 1⇐P 2→P 2⇐P 3→…→4．间接证明反证法的证明过程可以概括为“否定——推理——否定”，即从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程．用反证法证明命题“若p 则q ”的过程可以用如图所示的框图表示．考点一归纳推理例1 (2013·湖北)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12n ，记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n ，正方形数 N (n,4)＝n 2，五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n ，六边形数N (n,6)＝2n 2－n………………………………………可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝____________. 答案 1 000解析由N (n,4)＝n 2，N (n,6)＝2n 2－n ，…，可以推测：当k 为偶数时，N (n ，k )＝k －22n 2＋4－k2n ，得到一个明显成立的条件∴N (10,24)＝24－22×100＋4－242×10＝1 100－100＝1 000.归纳推理的一般步骤是：(1)通过观察个别事物发现某些相同的性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题．并且在一般情况下，如果归纳的个别事物越多，越具有代表性，那么推广的一般性结论也就越可靠．(1)在数列{a n }中，若a 1＝2，a 2＝6，且当n ∈N *时，a n ＋2是a n ·a n ＋1的个位数字，则a 2 014等于 ( )A ．2B ．4C ．6D ．8答案 A解析由a 1＝2，a 2＝6，得a 3＝2，a 4＝2，a 5＝4，a 6＝8，a 7＝2，a 8＝6，…，据此周期为6，又2 014＝6×335＋4，所以a 2 014＝a 4＝2，故答案选A.(2)(2012·江西)观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10等于 ( )A ．28B ．76C ．123D ．199答案 C解析令a n ＝a n ＋b n ，则a 1＝1，a 2＝3，a 3＝4，a 4＝7，…得a n ＋2＝a n ＋a n ＋1，从而a 6＝18，a 7＝29，a 8＝47，a 9＝76，a 10＝123. 考点二类比推理例2 (1)在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14.推广到空间几何可以得到类似结论：若正四面体ABCD 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝________.(2)椭圆与双曲线有许多优美的对偶性质，如对于椭圆有如下命题：AB 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M 为AB 的中点，则k OM ·k AB ＝－b 2a 2.那么对于双曲线则有如下命题：AB 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M 为AB 的中点，则k OM ·k AB ＝________. 答案 (1)127 (2)b 2a2解析 (1)本题考查类比推理，也即是由特殊到特殊的推理．平面几何中，圆的面积与圆的半径的平方成正比，而在空间几何中，球的体积与半径的立方成正比，所以V 1V 2＝127.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则有⎩⎨⎧x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y22.将A ，B 代入双曲线x 2a 2－y 2b2＝1中得x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，两式相减得x 21－x 22a 2＝y 21－y 22b2，即(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＝(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2，即(y 1－y 2)(y 1＋y 2)(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝b 2a 2，即k OM ·k AB ＝b 2a2.类比推理是合情推理中的一类重要推理，强调的是两类事物之间的相似性，有共同要素是产生类比迁移的客观因素，类比可以由概念性质上的相似性引起，如等差数列与等比数列的类比；也可以由解题方法上的类似引起，当然首先是在某些方面有一定的共性，才能有方法上的类比，本题即属于此类．一般来说，高考中的类比问题多发生在横向与纵向类比上，如圆锥曲线中椭圆与双曲线等的横向类比以及平面与空间中三角形与三棱锥的纵向类比等．(1)若数列{a n }是等差数列，b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn，则数列{b n }也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为( )A ．d n ＝c 1＋c 2＋…＋c nnB ．d n ＝c 1·c 2·…·c nnC ．d n ＝n c n 1＋c n 2＋…＋c nnnD ．d n ＝nc 1·c 2·…·c n(2)命题p ：已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上的一个动点，过F 2作∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，垂足为M ，则OM 的长为定值．类比此命题，在双曲线中也有命题q ：已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1、F 2是双曲线的两个焦点，P 为双曲线上的一个动点，过F 2作∠F 1PF 2的________的垂线，垂足为M ，则OM 的长为定值________．答案 (1)D (2)内角平分线 a解析 (1)由{a n }为等差数列，设公差为d ，则b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n ＝a 1＋n －12d ，又正项数列{c n }为等比数列，设公比为q ，则d n ＝nc 1c 2…c n ＝nc n 1qn 2－n 2＝c 1q n －12，故选D. (2)对于椭圆，延长F 2M 与F 1P 的延长线交于Q . 由对称性知，M 为F 2Q 的中点，且PF 2＝PQ ，从而OM ∥F 1Q 且OM ＝12F 1Q .而F 1Q ＝F 1P ＋PQ ＝F 1P ＋PF 2＝2a ，所以OM ＝a .对于双曲线，过F 2作∠F 1PF 2内角平分线的垂线，垂足为M ，类比可得OM ＝a .因为OM ＝12F 1Q ＝12(PF 1－PF 2)＝12·2a ＝a .考点三直接证明与间接证明例3 已知数列{a n }满足：a 1＝12，3(1＋a n ＋1)1－a n ＝2(1＋a n )1－a n ＋1，a n a n ＋1<0 (n ≥1)；数列{b n }满足：b n ＝a 2n ＋1－a 2n (n ≥1)．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)证明：数列{b n }中的任意三项不可能成等差数列． (1)解已知3(1＋a n ＋1)1－a n ＝2(1＋a n )1－a n ＋1化为1－a 2n ＋11－a 2n ＝23，而1－a 21＝34，所以数列{1－a 2n }是首项为34，公比为23的等比数列，则1－a 2n ＝34×⎝⎛⎭⎫23n －1，则a 2n＝1－34×⎝⎛⎭⎫23n －1，由a n a n ＋1<0，知数列{a n }的项正负相间出现，因此a n ＝(－1)n＋11－34×⎝⎛⎭⎫23n －1， b n ＝a 2n ＋1－a 2n＝－34×⎝⎛⎭⎫23n ＋34×⎝⎛⎭⎫23n －1 ＝14×⎝⎛⎭⎫23n －1.(2)证明假设存在某三项成等差数列，不妨设为b m 、b n 、b p ，其中m 、n 、p 是互不相等的正整数，可设m <n <p ，而b n ＝14×⎝⎛⎭⎫23n －1随n 的增大而减小，那么只能有2b n ＝b m ＋b p ，可得2×14×⎝⎛⎭⎫23n －1＝14×⎝⎛⎭⎫23m －1＋14×⎝⎛⎭⎫23p －1，则2×⎝⎛⎭⎫23n －m＝1＋⎝⎛⎭⎫23p －m . 当n －m ≥2时，2×⎝⎛⎭⎫23n －m≤2×⎝⎛⎭⎫232＝89，上式不可能成立，则只能有n －m ＝1，此时等式为43＝1＋⎝⎛⎭⎫23p －m ，即13＝⎝⎛⎭⎫23p －m ，那么p －m ＝log 2313，左边为正整数，右边为无理数，不可能相等．所以假设不成立，那么数列{b n }中的任意三项不可能成等差数列．(1)有关否定性结论的证明常用反证法或举出一个结论不成立的例子即可．(2)综合法和分析法是直接证明常用的两种方法，我们常用分析法寻找解决问题的突破口，然后用综合法来写出证明过程，有时候，分析法和综合法交替使用．已知数列{a n }和{b n }满足：a 1＝λ，a n ＋1＝23a n ＋n －4，b n ＝(－1)n (a n －3n ＋21)，其中λ为实数，n 为正整数．(1)对任意实数λ，证明：数列{a n }不是等比数列； (2)试判断数列{b n }是否为等比数列．(1)证明假设存在一个实数λ，使{a n }是等比数列，则有a 22＝a 1a 3，即⎝⎛⎭⎫23λ－32＝λ⎝⎛⎭⎫49λ－4 ⇔49λ2－4λ＋9＝49λ2－4λ⇔9＝0，矛盾．所以{a n }不是等比数列．(2)解因为b n ＋1＝(－1)n ＋1[a n ＋1－3(n ＋1)＋21]＝(－1)n ＋1⎝⎛⎭⎫23a n －2n ＋14 ＝－23(－1)n ·(a n －3n ＋21)＝－23b n ，又b 1＝－(λ＋18)，所以当λ＝－18时，b n ＝0 (n ∈N *)，此时{b n }不是等比数列；当λ≠－18时，b 1＝－(λ＋18)≠0，由b n ＋1＝－23b n ，可知b n ≠0，所以b n ＋1b n ＝－23(n ∈N *)．故当λ≠－18时，数列{b n }是以－(λ＋18)为首项，－23为公比的等比数列；综上知，当λ＝－18时，数列{b n }构不成等比数列；当λ≠－18时，数列{b n }是以－(λ＋18)为首项，－23为公比的等比数列．1．合情推理的精髓是“合情”，即得到的结论符合“情理”，其中主要是归纳推理与类比推理．归纳推理是由部分得到整体的一种推理模式．类比推理是由此及彼的推理模式；演绎推理是一种严格的证明方式．2．直接证明的最基本的两种证明方法是综合法和分析法，这两种方法也是解决数学问题时常见的思维方式．在实际解题时，通常先用分析法寻求解题思路，再用综合法有条理地表述解题过程．1．将全体正奇数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第45行从左向右的第17个数为________．答案 2 013解析观察数阵，记第n 行的第1个数为a n ，则有 a 2－a 1＝2， a 3－a 2＝4， a 4－a 3＝6， a 5－a 4＝8， ……a n －a n －1＝2(n －1)．将以上各等式两边分别相加，得a n －a 1＝2＋4＋6＋8＋…＋2(n －1)＝n (n －1)，所以a n ＝n (n －1)＋1，所以a 45＝1 981.又从第3行起数阵每一行的数都构成一个公差为2的等差数列，则第45行从左向右的第17个数为1 981＋16×2＝2 013.2．在计算“1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k 项，k (k ＋1)＝13[k (k ＋1)(k ＋2)－(k －1)k (k ＋1)]，由此得1×2＝13(1×2×3－0×1×2)，2×3＝13(2×3×4－1×2×3)，…n (n ＋1)＝13[n (n ＋1)(n ＋2)－(n －1)n (n ＋1)]．相加，得1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)＝13n (n ＋1)(n ＋2)．类比上述方法，计算“1×2×3＋2×3×4＋…＋n (n ＋1)(n ＋2)”的结果为________．答案 14n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)解析类比k (k ＋1)＝13[k (k ＋1)(k ＋2)－(k －1)k (k ＋1)]，可得到k (k ＋1)(k ＋2)＝14[k (k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)－(k －1)k (k ＋1)(k ＋2)]，先逐项裂项，然后累加即得14n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)．(推荐时间：60分钟)一、选择题1．下列关于五角星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是( )A ．a n ＝n 2－n ＋1B ．a n ＝n (n －1)2C ．a n ＝n (n ＋1)2D ．a n ＝n (n ＋2)2答案 C解析从图中观察五角星构成规律， n ＝1时，有1个； n ＝2时，有3个； n ＝3时，有6个； n ＝4时，有10个；…所以a n ＝1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n (n ＋1)2.2．①已知p 3＋q 3＝2，求证p ＋q ≤2，用反证法证明时，可假设p ＋q ≥2；②已知a ，b ∈R ，|a |＋|b |<1，求证方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x 1的绝对值大于或等于1，即假设|x 1|≥1.以下结论正确的是( )A ．①与②的假设都错误B ．①与②的假设都正确C ．①的假设正确；②的假设错误D ．①的假设错误；②的假设正确答案 D解析反证法的实质是否定结论，对于①，其结论的反面是p ＋q >2，所以①不正确；对于②，其假设正确．3．已知函数f (x )是R 上的单调增函数且为奇函数，数列{a n }是等差数列，a 3>0，则f (a 1)＋f (a 3)＋f (a 5)的值( ) A ．恒为正数 B ．恒为负数 C ．恒为0D ．可正可负答案 A解析由已知得f (0)＝0，a 1＋a 5＝2a 3>0，所以a 1>－a 5. 由于f (x )单调递增且为奇函数，所以f (a 1)＋f (a 5)>f (－a 5)＋f (a 5)＝0，f (a 3)>0. ∴选A.4．已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个数对是( )A ．(7,5)B ．(5,7)C ．(2,10)D ．(10,1)答案 B解析依题意，就每组整数对的和相同的分为一组，不难得知每组整数对的和为n ＋1，且每组共有n 个整数时，这样的前n 组一共有n (n ＋1)2个整数时，注意到10(10＋1)2<60<11(11＋1)2，因此第60个整数对处于第11组(每对整数对的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每对整数对的和为12的组中的各数对依次为(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，因此第60个整数对是(5,7)，选B.5．已知正三角形内切圆的半径是其高的13，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是( )A ．正四面体的内切球的半径是其高的12B ．正四面体的内切球的半径是其高的13C ．正四面体的内切球的半径是其高的14D ．正四面体的内切球的半径是其高的15答案 C解析原问题的解法为等面积法，即S ＝12ah ＝3×12ar ⇒r ＝13h ，类比问题的解法应为等体积法， V ＝13Sh ＝4×13Sr ⇒r ＝14h ，即正四面体的内切球的半径是其高的14，所以应选C.6．把非零自然数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表(每行比上一行多一个数)．设a ij (i 、j ∈N *)是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数第j 个数，如a 42＝8，若a ij ＝2 010，则i ，j 的值的和为( )A ．75B ．76C ．77D ．78 答案 C解析观察偶数行的变化规律，2 010是数列：2,4,6,8，…的第1 005项，前31个偶数行的偶数的个数为(2＋62)×312＝32×31＝992，所以2 010是偶数行的第32行第13个数，即三角形数表中的第64行第13个数，所以i ＝64，j ＝13，所以i ＋j ＝77.故选C. 二、填空题7．有一个奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组含一个数{1}，第二组含两个数{3,5}，第三组含三个数{7,9,11}，第四组含四个数{13,15,17,19}，…，现观察猜想每组内各数之和为a n 与其组的编号数n 的关系为________．答案 a n ＝n 3解析由题意知a 1＝1＝13，a 2＝3＋5＝8＝23，a 3＝7＋9＋11＝27＝33，a 4＝13＋15＋17＋19＝64＝43，….因此可归纳出a n ＝n 3.8．(2013·陕西)观察下列等式：(1＋1)＝2×1(2＋1)(2＋2)＝22×1×3(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5 …照此规律，第n 个等式可为______________．答案 (n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)解析由已知的三个等式左边的变化规律，得第n 个等式左边为(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )，由已知的三个等式右边的变化规律，得第n 个等式右边为2n 与n 个奇数之积，即2n ×1×3×…×(2n －1)．9．如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n 个数，且两端的数均为1n ，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如11＝12＋12，12＝13＋16，13＝14＋112，…，则第10行第3个数(从左往右数)为________．答案1360解析由上面的规律可知第n 行的第一个数为1n ，第二个数为1n (n －1)，所以第9行的第二个数为18×9，第10行的第一个数为110，第二个数为19×10＝190，设第3个数为x ，即x ＋190＝19×8⇒x ＝1360. 10．对大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23⎩⎨⎧35，33⎩⎪⎨⎪⎧7911，43⎩⎪⎨⎪⎧13151719，….仿此，若m 3的“分裂数”中有一个是59，则m 的值为________．答案 8解析由已知可观察出m 3可分裂为m 个连续奇数，最小的一个为(m －1)m ＋1.当m ＝8时，最小的数为57，第二个便是59.∴m ＝8. 三、解答题11．观察下列三角形数表，假设第n 行的第二个数为a n (n ≥2，n ∈N *)．(1)依次写出第六行的所有6个数字；(2)归纳出a n ＋1与a n 的关系式并求出a n 的通项公式．解 (1)第六行的所有6个数字分别是6,16,25,25,16,6. (2)依题意a n ＋1＝a n ＋n (n ≥2)，a 2＝2，a n ＝a 2＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋2＋3＋…＋(n －1)＝2＋(n －2)(n ＋1)2.所以a n ＝12n 2－12n ＋1(n ≥2)．12．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2.(1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S nn(n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．(1)解由已知得⎩⎨⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，∴d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)． (2)证明由(1)得b n ＝S nn＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r .即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)． ∴(q 2－pr )＋(2q －p －r )2＝0.∵p ，q ，r ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，∵(p ＋r 2)2＝pr ，(p －r )2＝0，∴p ＝r .与p ≠r 矛盾．所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列．13．已知数列{a n }有a 1＝a ，a 2＝p (常数p >0)，对任意的正整数n ，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，并有S n 满足S n ＝n (a n －a 1)2.(1)求a 的值并证明数列{a n }为等差数列；(2)令p n ＝S n ＋2S n ＋1＋S n ＋1S n ＋2，是否存在正整数M ，使不等式p 1＋p 2＋…＋p n －2n ≤M 恒成立，若存在，求出M 的最小值；若不存在，说明理由．解 (1)由已知，得S 1＝1×(a －a )2＝a 1＝a ，所以a ＝0.由a 1＝0得S n ＝na n2，则S n ＋1＝(n ＋1)a n ＋12，∴2(S n ＋1－S n )＝(n ＋1)a n ＋1－na n ，即2a n ＋1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ，于是有(n －1)a n ＋1＝na n ，并且na n ＋2＝(n ＋1)a n ＋1，∴na n ＋2－(n －1)a n ＋1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ，即n (a n ＋2－a n ＋1)＝n (a n ＋1－a n )，则有a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，∴{a n }为等差数列． (2)由(1)得S n ＝n (n －1)p2，∴p n ＝(n ＋2)(n ＋1)p 2(n ＋1)np 2＋(n ＋1)np2(n ＋2)(n ＋1)p2＝2＋2n －2n ＋2，∴p 1＋p 2＋p 3＋…＋p n －2n ＝⎝⎛⎭⎫2＋21－23＋⎝⎛⎭⎫2＋22－24＋…＋⎝⎛⎭⎫2＋2n －2n ＋2－2n ＝2＋1－2n ＋1－2n ＋2. 由n 是整数可得p 1＋p 2＋p 3＋…＋p n －2n <3.故存在最小的正整数M ＝3，使不等式p 1＋p 2＋p 3＋…＋p n －2n ≤M 恒成立．。

高中数学文科数学高考试题2014～2017四年高考试题汇编题库第十四章推理与证明

第十四章推理与证明1.(2017课标II,9)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩,老师说,你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩,看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩,根据以上信息,则A.乙可以知道两人的成绩B.丁可能知道两人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩 1解析本题主要考查逻辑推理能力与推理论证能力.依题意,由于甲看后还是不知道自己的成绩,说明乙、丙两人必是一个优秀、一个良好,则甲、丁两人必是一个优秀、一个良好,因此乙看了丙的成绩就可以知道自己的成绩,丁看了甲的成绩就清楚自己的成绩,综合以上信息可知,乙、丁可以知道自己的成绩,选D.答案 D2.(2016·新课标全国Ⅲ,4)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A 点表示十月的平均最高气温约为15 ℃,B 点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是( )A.各月的平均最低气温都在0 ℃以上B.七月的平均温差比一月的平均温差大C.三月和十一月的平均最高气温基本相同D.平均最高气温高于20 ℃的月份有5个2.解析由题意知,平均最高气温高于20 ℃的六月,七月,八月,故选D.答案 D3.(2016·浙江,8)如图,点列{A n },{B n }分别在某锐角的两边上,且|A n A n ＋1|＝|A n ＋1A n ＋2|,A n ≠A n ＋2, n ∈N *,|B n B n ＋1|＝|B n ＋1B n ＋2|,B n ≠B n ＋2,n ∈N *(P ≠Q 表示点P 与Q 不重合).若d n ＝|A n B n |,S n 为△A n B n B n ＋1的面积,则( )A.{S n }是等差数列B.{S 2n }是等差数列C.{d n }是等差数列D.{d 2n }是等差数列3.解析 S n 表示点A n 到对面直线的距离(设为h n )乘以|B n B n －1|长度一半,即S n ＝12h n |B n B n －1|, 由题目中条件可知|B n B n －1|的长度为定值,过A 1作垂直得到初始距离h 1,那么A 1,A n 和两个垂足构成等腰梯形,则h n ＝h 1＋|A 1A n |tan θ(其中θ为两条线所成的锐角,为定值),从而S n ＝12(h 1＋|A 1A n |tan θ)|B n B n ＋1|,S n ＋1＝12(h 1＋|A 1A n ＋1|)|B n B n ＋1|, 则S n ＋1－S n ＝12|A n A n ＋1||B n B n ＋1|tan θ,都为定值,所以S n ＋1－S n 为定值,故选A.答案 A4.(2014·山东,4)用反证法证明命题“设a ,b 为实数,则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时,要做的假设是( )A.方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根B.方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根C.方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D.程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根4.解析至少有一个实根的否定是没有实根,故做的假设是“方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根”．答案 A5.(2017北京,14）某学习小组由学生和学科网&教师组成,人员构成同时满足以下三个条件： (ⅰ）男学生人数多于女学生人数；(ⅱ）女学生人数多于教师人数；(ⅲ）教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4,则女学生人数的最大值为__________．②该小组人数的最小值为__________．答案6,12解析设男生数,女生数,教师数为,,a b c ,则2,,,c a b c a b c >>>∈N第一小问：max 846a b b >>>⇒=第二小问：min 3,635,412.c a b a b a b c =>>>⇒==⇒++=6(2016·新课标全国Ⅱ,16)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是________.6.解析由丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”可知,丙为“1和2”或“1和3”,又乙说“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,所以乙只可能为“2和3”,所以由甲说“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,所以甲只能为“1和3”.答案 1和37.(2016·山东,12)观察下列等式：⎝⎛⎭⎫sin π3－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π3－2＝43×1×2；⎝⎛⎭⎫sin π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 4π5－2＝43×2×3； ⎝⎛⎭⎫sin π7－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π7－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π7－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 6π7－2＝43×3×4； ⎝⎛⎭⎫sin π9－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π9－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π9－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 8π9－2＝43×4×5； … 照此规律,⎝⎛⎭⎫sin π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 2n π2n ＋1－2＝________. 7.解析观察等式右边的规律：第1个数都是43,第2个数对应行数n ,第3个数为n ＋1. 答案 43×n ×(n ＋1)8.(2015·陕西,16)观察下列等式1－12＝12, 1－12＋13－14＝13＋14, 1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16, …据此规律,第n 个等式可为________．8.解析等式左边的特征：第1个等式有2项,第2个有4项,第3个有6项,且正负交错,故第n个等式左边有2n 项且正负交错,应为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n；等式右边的特征：第1个有1项,第2个有2项,第3个有3项,故第n 个有n 项,且由前几个的规律不难发现第n 个等式右边应为1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n . 答案 1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋ (12)9 (2014·福建,16)已知集合{a ,b ,c }＝{0,1,2},且下列三个关系：①a ≠2；②b ＝2；③c ≠0有且只有一个正确,则100a ＋10b ＋c 等于________．9.解析可分下列三种情形：(1)若只有①正确,则a ≠2,b ≠2,c ＝0,所以a ＝b ＝1与集合元素的互异性相矛盾,所以只有①正确是不可能的；(2)若只有②正确,则b ＝2,a ＝2,c ＝0,这与集合元素的互异性相矛盾,所以只有②正确是不可能的；(3)若只有③正确,则c ≠0,a ＝2,b ≠2,所以b ＝0,c ＝1,所以100a ＋10b ＋c ＝100×2＋10×0＋1＝201.答案20110.(2014·课标Ⅰ,14)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ,B ,C 三个城市时,甲说：我去过的城市比乙多,但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为________．10.解析根据甲和丙的回答推测乙没去过B 城市,又知乙没去过C 城市,故乙去过A 城市．答案 A11.(2016·浙江,20)设函数f (x )＝x 3＋11＋x,x ∈[0,1], 证明：(1)f (x )≥1－x ＋x 2；(2)34＜f (x )≤32. 11.证明 (1)因为1－x ＋x 2－x 3＝1－（－x ）41－（－x ）＝1－x 41＋x , 由于x ∈[0,1],有1－x 41＋x ≤1x ＋1, 即1－x ＋x 2－x 3≤1x ＋1,所以f (x )≥1－x ＋x 2. (2)由0≤x ≤1得x 3≤x ,故f (x )＝x 3＋1x ＋1≤x ＋1x ＋1＝x ＋1x ＋1－32＋32＝（x －1）（2x ＋1）2（x ＋1）＋32≤32, 所以f (x )≤32. 由(1)得f (x )≥1－x ＋x 2＝221⎪⎭⎫ ⎝⎛-x ＋34≥34, 又因为⎪⎭⎫ ⎝⎛21f ＝1924＞34,所以f (x )＞34. 综上,34＜f (x )≤32.12.(2015·四川,21)已知函数f (x )＝－2x ln x ＋x 2－2ax ＋a 2,其中a >0.(1)设g (x )是f (x )的导函数,讨论g (x )的单调性；(2)证明：存在a ∈(0,1),使得f (x )≥0恒成立,且f (x )＝0在区间(1,＋∞)内有唯一解．综上,34＜f (x )≤32. 12.解 (1)由已知,函数f (x )的定义域为(0,＋∞),g (x )＝f ′(x )＝2(x －1－ln x －a ),所以g ′(x )＝2－2x ＝2（x －1）x, 当x ∈(0,1)时,g ′(x )＜0,g (x )单调递减；当x ∈(1,＋∞)时,g ′(x )＞0,g (x )单调递增．(2)由f ′(x )＝2(x －1－ln x －a )＝0,解得a ＝x －1－ln x ,令φ(x )＝－2x ln x ＋x 2－2x (x －1－ln x )＋(x －1－ln x )2＝(1＋ln x )2－2x ln x ,则φ(1)＝1＞0,φ(e)＝2(2－e)＜0,于是,存在x 0∈(1,e),使得φ(x 0)＝0,令a 0＝x 0－1－ln x 0＝u (x 0),其中u (x )＝x －1－ln x (x ≥1),由u ′(x )＝1－1x≥0知,函数u (x )在区间(1,＋∞)上单调递增, 故0＝u (1)＜a 0＝u (x 0)＜u (e)＝e －2＜1,即a 0∈(0,1),当a ＝a 0时,有f ′(x 0)＝0,f (x 0)＝φ(x 0)＝0,再由(1)知,f ′(x )在区间(1,＋∞)上单调递增,当x ∈(1,x 0)时,f ′(x )＜0,从而f (x )＞f (x 0)＝0；当x ∈(x 0,＋∞)时,f ′(x )＞0,从而f (x )＞f (x 0)＝0；又当x ∈(0,1]时,f (x )＝(x －a 0)2－2x ln x ＞0,故x ∈(0,＋∞)时,f (x )≥0,综上所述,存在a ∈(0,1),使得f (x )≥0恒成立,且f (x )＝0在区间(1,＋∞)内有唯一解．13.(2015·江苏,20)设a 1,a 2,a 3,a 4是各项为正数且公差为d (d ≠0)的等差数列．(1)证明：2a 1,2a 2,2a 3,2a 4依次构成等比数列；(2)是否存在a 1,d ,使得a 1,a 22,a 33,a 44依次构成等比数列？并说明理由；(3)是否存在a 1,d 及正整数n ,k ,使得a n 1,a n +k 2,a n +2k 3,a n +3k 4依次构成等比数列？并说明理由． 13.(1)证明因为2a n ＋12a n＝2a n ＋1－a n ＝2d (n ＝1,2,3)是同一个常数, 所以2a 1,2a 2,2a 3,2a 4依次构成等比数列,(2)令a 1＋d ＝a ,则a 1,a 2,a 3,a 4分别为a －d ,a ,a ＋d ,a ＋2d (a ＞d ,a ＞－2d ,d ≠0)．假设存在a 1,d ,使得a 1,a 22,a 33,a 44依次构成等比数列,则a 4＝(a －d )(a ＋d )3,且(a ＋d )6＝a 2(a ＋2d )4.令t ＝d a,则1＝(1－t )(1＋t )3,且(1＋t )6＝(1＋2t )4⎝⎛⎭⎫－12＜t ＜1，t ≠0, 化简得t 3＋2t 2－2＝0(*),且t 2＝t ＋1.将t 2＝t ＋1代入(*)式,t (t ＋1)＋2(t ＋1)－2＝t 2＋3t ＝t ＋1＋3t ＝4t ＋1＝0,则t ＝－14,显然t ＝－14不是上面方程的解,矛盾,所以假设不成立．因此不存在a 1,d ,使得a 1,a 22,a 33,a 44依次构成等比数列．(3)解假设存在a 1,d 及正整数n ,k ,使得a n 1,a n +k 2,a n +2k 3,a n +3k 4依次构成等比数列,则a n 1(a 1＋2d )n +2k ＝(a 1＋d )2(n +k ),且(a 1＋d )n +k (a 1＋3d )n +3k ＝(a 1＋2d )2(n +2k )．分别在两个等式的两边同除以a 2(n +k )1及a 2(n ＋2k )1,并令t ＝d a 1⎝⎛⎭⎫t ＞－13，t ≠0, 则(1＋2t )n ＋2k ＝(1＋t )2(n ＋k ),且(1＋t )n ＋k (1＋3t )n ＋3k ＝(1＋2t )2(n ＋2k )．将上述两个等式两边取对数,得(n ＋2k )ln(1＋2t )＝2(n ＋k )ln(1＋t ),且(n ＋k )ln(1＋t )＋(n ＋3k )ln(1＋3t )＝2(n ＋2k )ln(1＋2t )．化简得2k [ln(1＋2t )－ln(1＋t )]＝n [2ln(1＋t )－ln(1＋2t )],且3k [ln(1＋3t )－ln(1＋t )]＝n [3ln(1＋t )－ln(1＋3t )]．再将这两式相除,化简得ln(1＋3t )ln(1＋2t )＋3ln(1＋2t )ln(1＋t )＝4ln(1＋3t )ln(1＋t )(**)．令g (t )＝4ln(1＋3t )ln(1＋t )－ln(1＋3t )ln(1＋2t )－3ln(1＋2t )ln(1＋t ),则g ′(t )＝2[（1＋3t ）2ln （1＋3t ）－3（1＋2t ）2ln （1＋2t ）＋3（1＋t ）2ln （1＋t ）]（1＋t ）（1＋2t ）（1＋3t ）. 令φ(t )＝(1＋3t )2ln(1＋3t )－3(1＋2t )2ln(1＋2t )＋3(1＋t )2ln(1＋t ),则φ′(t )＝6[(1＋3t )ln(1＋3t )－2(1＋2t )ln(1＋2t )＋(1＋t )ln(1＋t )]．令φ1(t )＝φ′(t ),则φ1′(t )＝6[3ln(1＋3t )－4ln(1＋2t )＋ln(1＋t )]．令φ2(t )＝φ1′(t ),则φ2′(t )＝12（1＋t ）（1＋2t ）（1＋3t ）＞0. 由g (0)＝φ(0)＝φ1(0)＝φ2(0)＝0,φ′2(t )＞0,知φ2(t ),φ1(t ),φ(t ),g (t )在⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,31和(0,＋∞)上均单调．故g (t )只有唯一零点t ＝0,即方程(**)只有唯一解t ＝0,故假设不成立．所以不存在a 1,d 及正整数n ,k ,使得a n 1,a n +k 2,a n +2k 3,a n +3k 4依次构成等比数列． 14.(2014·天津,20)已知q 和n 均为给定的大于1的自然数,设集合M ＝{0,1,2,…,q －1},集合 A ＝{x |x ＝x 1＋x 2q ＋…＋x n q n －1,x i ∈M ,i ＝1,2,…,n }．(1)当q ＝2,n ＝3时,用列举法表示集合A ；(2)设s ,t ∈A ,s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n q n －1,t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n q n －1,其中a i ,b i ∈M ,i ＝1,2,…,n . 证明：若a n ＜b n ,则s ＜t .14.(1)解当q ＝2,n ＝3时,M ＝{0,1},A ＝{x |x ＝x 1＋x 2·2＋x 3·22,x i ∈M ,i ＝1,2,3}．可得A ＝{0,1,2,3,4,5,6,7}．(2)证明由s ,t ∈A ,s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n q n －1,t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n q n －1,a i ,b i ∈M ,i ＝1,2,…,n 及a n <b n , 可得s －t ＝(a 1－b 1)＋(a 2－b 2)q ＋…＋(a n －1－b n －1)q n －2＋(a n －b n )q n －1≤(q －1)＋(q －1)q ＋…＋ (q －1)q n －2－q n －1＝（q －1）（1－q n －1）1－q －q n －1＝－1<0. 所以s <t .。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

【冲击高分系列】2014年高考数学（文）难题专项训练：推理与证明1.(2013北京海淀区5月模拟卷，8,5分) 若数列满足：存在正整数，对于任意正整数都有成立，则称数列为周期数列，周期为. 已知数列满足，则下列结论中错误的是()A. 若m=，则B. 若，则m可以取3个不同的值C. 若，则数列是周期为3的数列D. 且，数列是周期数列2.(2013年山东省高三4月巩固性练习，12,5分) 已知函数若函数的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为()A．B．C．D．3.（2012宁夏高三三模,12, 5分）已知有穷数列A: a1, a2, …, a n(n≥2, n∈N) . 定义如下操作过程T: 从A中任取两项a i, a j, 将的值添在A的最后, 然后删除a i, a j, 这样得到一系列n-1项的新数列A1(约定: 一个数也视作数列) ; 对A1的所有可能结果重复操作过程T, 又得到一系列n-2项的新数列A2; 如此经过k次操作后得到的新数列记作A k. 设A: -, 则A3的可能结果是()A. 0B.C.D.4.(2012大纲全国, 12, 5分) 正方形ABCD的边长为1, 点E在边AB上, 点F在边BC上, AE=BF=. 动点P从E出发沿直线向F运动, 每当碰到正方形的边时反弹, 反弹时反射角等于入射角. 当点P第一次碰到E时, P与正方形的边碰撞的次数为()A. 8B. 6C. 4D. 35. (2007上海, 15, 4分)设f(x)是定义在正整数集上的函数, 且f(x)满足:“当f(k)≥k2成立时, 总可推出f(k+1)≥(k+1)2成立”. 那么, 下列命题总成立的是()A. 若f(1)<1成立, 则f(10)<100成立B. 若f(2)<4成立, 则f(1)≥1成立C. 若f(3)≥9成立, 则当k≥1时, 均有f(k)≥k2成立D. 若f(4)≥25成立, 则当k≥4时, 均有f(k)≥k2成立6.(2013年广东省广州市高三4月综合测试，13,5分) 数列的项是由1或2构成，且首项为1，在第个1和第个1之间有个2，即数列为：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…，记数列的前项和为，则；．7.(2013年山东省高三4月巩固性练习，16,5分) 对大于或等于的自然数的次方幂有如下分解方式：根据上述分解规律，若的分解中最小的数是73，则的值为.8.(2013年湖北七市高三4月联合考试，16,5分) 挪威数学家阿贝尔，曾经根据阶梯形图形的两种不同分割(如下图) ，利用它们的面积关系发现了一个重要的恒等式——阿贝尔公式：a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n=a1(b1-b2) +L2(b2-b3) +L3(b3-b4) +…+L n-1(b n-1-b n) +L n b n，则其中：(I) L3=；(Ⅱ) L n=．9.（2013湖北黄冈市高三三月质量检测，17,5分）如图所示，将数以斜线作如下分群：(1) ，(2，3) ，(4，6，5) ，（8，12，10，7），（16，24，20，14，9），…，并顺次称其为第1群，第2群，第3群，第4群，…，则第7群中的第2项是；第群中个数的和是.…10.(2013山东青岛高三三月质量检测，16,5分) 给出以下命题：①双曲线的渐近线方程为；②命题“，” 是真命题；③已知线性回归方程为，当变量增加个单位，其预报值平均增加个单位；④已知，，，，依照以上各式的规律，得到一般性的等式为，（）则正确命题的序号为（写出所有正确命题的序号）．11.(2012江西省临川一中，师大附中高三联考，14,5分)若是等比数列，是互不相等的正整数，则有正确的结论：．类比上述性质，相应地，若是等差数列，是互不相等的正整数，则有正确的结论：_______.12.（2012山东省济南市第二次模拟，16,5分）观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49……照此规律，第n个等式为__________.13. （2013高考仿真卷四, 16, 5分）如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”, 它们是由整数的倒数组成的, 第n行有n个数且两端的数均为(n≥2) , 每个数是它下一行左右相邻两数的和, 如=+=+=+, …, 则第10行第3个数(从左往右数) 为.…………14.(2012湖南, 16, 5分) 对于n∈N*, 将n表示为n=a k×2k+a k-1×2k-1+…+a1×21+a0×20, 当i=k时, a i=1, 当0≤i≤k-1时, a i为0或1. 定义b n如下: 在n的上述表示中, 当a0, a1, a2, …, a k中等于1的个数为奇数时, b n=1; 否则b n=0.(1) b2+b4+b6+b8=;(2) 记c m为数列{b n}中第m个为0的项与第m+1个为0的项之间的项数, 则c m的最大值是.15. (2012湖北, 17, 5分) 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数:将三角形数1,3, 6, 10, …记为数列{a n}, 将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n},可以推测:(1) b2 012是数列{a n}中的第项;(2) b2k-1=. (用k表示)16.(2010上海, 12, 4分)在n行n列矩阵中, 记位于第i行第j列的数为a ij(i, j=1, 2, …, n). 当n=9时,a11+a22+a33+…+a99=.17.(2010福建, 16, 5分)观察下列等式:①cos 2α=2cos2α-1;②cos 4α=8cos4α-8cos2α+1;③cos 6α=32cos6α-48cos4α+18cos2α-1;④cos 8α=128cos8α-256cos6α+160cos4α-32cos2α+1;⑤cos 10α=mcos10α-1 280cos8α+1 120cos6α+ncos4α+pcos2α-1.可以推测, m-n+p=.18.(2013北京海淀区5月模拟卷，20,13分）设是由个实数组成的行列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”.(Ⅰ) 数表如表1所示，若经过两次“操作” ，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作” 后所得的数表（写出一种方法即可）；(Ⅱ) 数表如表2所示，若必须经过两次“操作” ，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数的所有可能值；(Ⅲ) 对由个实数组成的行列的任意一个数表，能否经过有限次“操作” 以后，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数？请说明理由.19.(2013北京西城区高三三月模拟，20，13分）已知集合．对于，，定义；；与之间的距离为．（Ⅰ）当时，设，，求；（Ⅱ）证明：若，且，使，则；（Ⅲ）记．若，，且，求的最大值．20.21.22. 已知△ABC的三边长为有理数.(Ⅰ)求证:cos A是有理数;(Ⅱ)求证:对任意正整数n, cos nA是有理数.23.(2012北京西城区第二次模拟，20,14分)若正整数，则称为的一个“分解积”．（Ⅰ）当分别等于时，写出的一个分解积，使其值最大；（Ⅱ）当正整数的分解积最大时，证明：中的个数不超过；（Ⅲ）对任意给定的正整数，求出，使得的分解积最大．24. (2012北京海淀区期末卷，20，14分）将一个正整数表示为a1+a2+…+a p(p∈N*)的形式，其中a i ∈N*，，且，记所有这样的表示法的种数为（如4=4，4=1+3，4=2+2，4=1+1+2，4=1+1+1+1，故）.（Ⅰ）写出的值，并说明理由；（Ⅱ）证明：f(n-1)-f(n)≧1（）；（Ⅲ）对任意正整数，比较与的大小，并给出证明．25.(2012山东, 22, 13分) 已知函数f(x) =(k为常数, e=2. 718 28…是自然对数的底数) , 曲线y=f(x) 在点(1,f(1) ) 处的切线与x轴平行.(1) 求k的值;(2) 求f(x) 的单调区间;(3) 设g(x) =xf '(x) , 其中f '(x) 为f(x) 的导函数. 证明: 对任意x>0, g(x) <1+e-2.26.(2012陕西, 21, 14分) 设函数f(x) =x n+bx+c(n∈N+, b, c∈R) .(1) 设n≥2, b=1, c=-1, 证明:f(x) 在区间内存在唯一零点;(2) 设n为偶数, |f(-1) |≤1, |f(1) |≤1, 求b+3c的最小值和最大值;(3) 设n=2, 若对任意x1, x2∈[-1, 1], 有|f(x1) -f(x2) |≤4, 求b的取值范围.27. (2008上海, 21, 18分)已知数列{a n}∶a1=1, a2=2, a3=r, a n+3=a n+2(n是正整数), 与数列{b n}∶b1=1,b2=0, b3=-1, b4=0, b n+4=b n(n是正整数). 记T n=b1a1+b2a2+b3a3+…+b n a n.(Ⅰ)若a1+a2+a3+…+a12=64, 求r的值;(Ⅱ)求证:当n是正整数时, T12n=-4n;(Ⅲ)已知r>0, 且存在正整数m, 使得在T12m+1, T12m+2, …, T12m+12中有4项为100. 求r的值, 并指出哪4项为100.答案1.D2.C3.B4.B5. D6.36;39817.98.（Ⅰ）；（Ⅱ）9.，10. ①③④11.12.13.14.(1) 3(2) 215.(1) 5 030(2)16. 4517. 96218.（I）每一列所有数之和分别为-1，3，3，-6，每一行所有数之和分别为，0. 方法1：方法2：方法3：（写出一种即可）……………………3分(II) 每一列所有数之和分别为2，0，，0，每一行所有数之和分别为，1.因为必须经过两次“操作” ，所以要操作第三列和第一行.①如果操作第三列，则有：所以第一行之和为，第二行之和为，所以解得，又是整数，所以.②如果操作第一行，则有：所以每一列之和分别为，，，，所以解得.综上所得，.…………………10分(III) 能，理由如下：按要求对某行（或某列）操作一次时，则该行的行和（或该列的列和）由负整数变为正整数，都会引起该行的行和（或该列的列和）增大，从而也就使得数阵中个数之和增加，且增加的幅度大于等于，但是每次操作都只是改变数表中某行（或某列）各数的符号，而不改变其绝对值，显然，数表中个数之和必然小于等于，可见其增加的趋势必在有限次之后终止, 终止之时必然所有的行和与所有的列和均为非负整数，故结论成立.…………………13分19.（Ⅰ）由于，则，即．…………3分（Ⅱ）设，，．因为，使，所以，使得，所以，使得，其中．所以与同为非负数或同为负数．所以，所以．………8分（Ⅲ）解法一．设中有项为非负数，项为负数．不妨设时，；时，．所以因为，所以，整理得．所以．因为；又，所以．即．对于，，有，，且，．综上所得，的最大值为．………13分解法二首先证明如下引理：设，则有．证明：因为，，所以，即．所以．上式等号成立的条件为，或，所以．对于，，有，，且，．综上所得，的最大值为．………13分20.解法一：（Ⅰ）因为动点点到定点的距离与到定直线的距离相等，所以点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，方程为即曲线的方程为．………4分（Ⅱ）假设是直角三角形，不妨设，则，则.设，，，必有，，则，，所以．又，则所以，所以，又，，所以，所以，整理得……………………………8分又,所以.又，所以.所以，所以，即．所以，①又，] 所以，整理得即．②由①②得，所以．③设，则有，则．所以无解，所以方程③无解，所以假设不成立，所以△ABC不可能是直角三角形．…………………12分解法二：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）设，，，由，得，．当轴时，，，从而，，即点的坐标为．由于点在上，所以，即，此时，，，所以,很明显此时△ABC不可能是直角三角形．…………8分当与轴不垂直时，设直线的方程为：，代入，整理得：，则．假设，则直线的斜率为，同理可得：．由，得，，．由，可得．从而，整理得：，即，①设，则，则．所以方程无解，所以方程①无解，所以假设不成立，不可能是直角.同理可证和也不可能是直角，综合得可知不可能是直角三角形．…………………12分21.（1）对任意正整数，有，.所以数列是首项,公差为等差数列；数列是首项,公比为的等比数列.所以对任意正整数，有,.所以数列的通项公式为:或…………………………3分对任意正整数,..所以数列的前项和为:.或.7分(2) 由（1）得，，则有：所以必有，又，则①当时, ,即；②当时,，令,解得，则有；③当时, 则，假设存在,使得从而,得,所以，所以，所以，所以,此时.综上可知, 存在正整数，使得，并且正整数对只有两对：与…………………14分：22. .(Ⅰ)由AB、BC、AC为有理数及余弦定理知cos A=是有理数.(Ⅱ)用数学归纳法证明cos nA和sin A·sin nA都是有理数.①当n=1时, 由(Ⅰ)知cos A是有理数, 从而有sin A·sin A=1-cos2A也是有理数.②假设当n=k(k≥1)时, cos kA和sin A·sin kA都是有理数.当n=k+1时, 由cos(k+1)A=cos A·cos kA-sin A·sin kA,sin A·sin(k+1)A=sin A·(sin A·cos kA+cos A·sin kA)=(sin A·sin A)·cos kA+(sin A·sin kA)·cos A, 及①和归纳假设, 知cos(k+1)A与sin A·sin(k+1)A都是有理数. 即当n=k+1时, 结论成立.综合①、②可知, 对任意正整数n, cos nA是有理数.23.（Ⅰ）则当6=3+3时，6的分解积取最大值；………………1分同理可得，当时，7的分解积取最大值；………………2分当时，8的分解积取最大值．………………3分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当7的分解积最大时，.所以中可以有个．………………4分假设有个或个以上的时，因为，且，所以，此时分解积不是最大的．所以假设不成立，因此，中至多有个．………………7分（Ⅲ）①当中有时，因为，且，所以，此时分解积不是最大，可以将加到其他加数中，使得分解积变大．………………8分②由（Ⅱ）可知，中至多有个．③当中有时，若将分解为，由①可知分解积不会最大；若将分解为，则分解积相同；若有两个，因为，且，所以将改写为，使得分解积更大．因此，中至多有个，而且可以写成．………………10分④当中有大于的数时，不妨设，则有，所以将分解为会使得分解积更大．………………11分综上所述，中只能出现或或，且不能超过个，不能超过个．于是，当时，使得分解积最大；…………12分当时，使得分解积最大；………………13分当时，使得分解积最大．………………14分24.（Ⅰ）解：因为3=3，3=1+2，3=1+1+1，所以．因为5=5，5=2+3，5=1+4，5=1+1+3，5=1+2+2，5=1+1+1+2，5=1+1+1+1+1，所以．……………………………………3分（Ⅱ）证明：因为，把的一个表示法中的去掉，就可得到一个的表示法；反之，在的一个表示法前面添加一个“1+”，就得到一个的表示法，即的表示法中的表示法种数等于的表示法种数，所以表示的是的表示法中的表示法数.即．……………………………………8分（Ⅲ）结论是.证明如下：由结论知，只需证由（Ⅱ）知：表示的是的表示法中的表示法数，表示的是的表示法中的表示法数．考虑到，把一个的的表示法中的加上1，就可变为一个的的表示法，这样就构造了从的的表示法到的的表示法的一个对应，所以有即……………………………………14分25.(1) 由f(x) =,得f '(x) =, x∈(0, +∞) ,由于曲线y=f(x) 在(1,f(1) ) 处的切线与x轴平行,所以f '(1) =0, 因此k=1.(2) 由(1) 得f '(x) =(1-x-xln x) , x∈(0, +∞) ,令h(x) =1-x-xln x, x∈(0, +∞) ,当x∈(0, 1) 时, h(x) >0;当x∈(1, +∞) 时, h(x) <0.又e x>0,所以x∈(0, 1) 时, f '(x) >0;x∈(1, +∞) 时, f '(x) <0.因此f(x) 的单调递增区间为(0, 1) , 单调递减区间为(1, +∞) .(3) 证明: 因为g(x) =xf '(x) ,所以g(x) =(1-x-xln x) , x∈(0, +∞) .由(2) h(x) =1-x-xln x,求导得h'(x) =-ln x-2=-(ln x-ln e-2) ,所以当x∈(0, e-2) 时, h'(x) >0, 函数h(x) 单调递增;当x∈(e-2, +∞) 时, h'(x) <0, 函数h(x) 单调递减.所以当x∈(0, +∞) 时, h(x) ≤h(e-2) =1+e-2.又当x∈(0, +∞) 时, 0<<1,所以当x∈(0, +∞) 时, h(x) <1+e-2, 即g(x) <1+e-2.综上所述结论成立.26.(1) 当b=1, c=-1, n≥2时,f(x) =x n+x-1.∵f f(1) =×1<0,∴f(x) 在内存在零点.又当x∈时, f '(x) =nx n-1+1>0,∴f(x) 在上是单调递增的,∴f(x) 在内存在唯一零点.(2) 解法一: 由题意知即由图象知, b+3c在点(0, -2) 取到最小值-6, 在点(0, 0) 取到最大值0,∴b+3c的最小值为-6, 最大值为0.解法二: 由题意知-1≤f(1) =1+b+c≤1, 即-2≤b+c≤0, ①-1≤f(-1) =1-b+c≤1, 即-2≤-b+c≤0, ②①×2+②得-6≤2(b+c) +(-b+c) =b+3c≤0,当b=0, c=-2时, b+3c=-6;当b=c=0时, b+3c=0,所以b+3c的最小值为-6, 最大值为0.解法三: 由题意知解得b=,c=,∴b+3c=2f(1) +f(-1) -3.又∵-1≤f(-1) ≤1, -1≤f(1) ≤1,∴-6≤b+3c≤0,当b=0, c=-2时, b+3c=-6;当b=c=0时, b+3c=0,所以b+3c的最小值为-6, 最大值为0.(3) 当n=2时,f(x) =x2+bx+c.对任意x1, x2∈[-1, 1]都有|f(x1) -f(x2) |≤4等价于f(x) 在[-1, 1]上的最大值与最小值之差M≤4. 据此分类讨论如下:(i) 当>1, 即|b|>2时, M=|f(1) -f(-1) |=2|b|>4, 与题设矛盾.(ii) 当-1≤-<0, 即0时,M=f(1) -f=≤4恒成立.(iii) 当0≤-≤1, 即-2≤b≤0时,M=f(-1) -f=≤4恒成立.综上可知, -2≤b≤2.注: (ii) (iii) 也可合并证明如下:用max{a, b}表示a, b中的较大者.当-1≤-≤1, 即-2≤b≤2时,M=max{f(1) ,f(-1) }-f=+-f=1+c+|b|-=≤4恒成立.27.(Ⅰ)a1+a2+a3+…+a12=1+2+r+3+4+(r+2)+5+6+(r+4)+7+8+(r+6)=48+4r.∵48+4r=64, ∴r=4.(Ⅱ)证明:用数学归纳法证明:当n∈Z+时, T12n=-4n.①当n=1时, T12=a1-a3+a5-a7+a9-a11=-4, 等式成立.②假设n=k时等式成立, 即T12k=-4k,那么当n=k+1时,T12(k+1)=T12k+a12k+1-a12k+3+a12k+5-a12k+7+a12k+9-a12k+11 =-4k+(8k+1)-(8k+r)+(8k+4)-(8k+5)+(8k+r+4)-(8k+8) =-4k-4=-4(k+1), 等式也成立.根据①和②可以断定:当n∈Z+时, T12n=-4n. (Ⅲ)T12m=-4m(m≥1).当n=12m+1, 12m+2时, T n=4m+1;当n=12m+3, 12m+4时, T n=-4m+1-r;当n=12m+5, 12m+6时, T n=4m+5-r;当n=12m+7, 12m+8时, T n=-4m-r;当n=12m+9, 12m+10时, T n=4m+4;当n=12m+11, 12m+12时, T n=-4m-4.∵4m+1是奇数, -4m+1-r, -4m-r, -4m-4均为负数, ∴这些项均不可能取到100.∴4m+5-r=4m+4=100, 解得m=24, r=1,此时T293, T294, T297, T298为100.。