指数函数及其性质的应用课件

0
定义域 值域
性 质
过定点 单调性 函数值 特点
( 0 , 1 )，即当 x = 0 时，y = 1 在R上是增函数 在R上是减函数
当x＞0 时，y＞1 当x＜0 时，0＜y＜1
当x＞0 时， 0＜y＜1
a＞1
0＜a＜1
y 图 象 y=1 0
(0,1)
y=ax
y=ax
y
(0,1)
y=1 x
x
R ( 0 , + ∞)
人教A版高中数学必修1
指数函数及其性质的应用
授课人： 田飞
a＞1
0＜a＜1
y 图 象 y=1 0
(0,1)
y=ax
xห้องสมุดไป่ตู้
R ( 0 , + ∞)
定义域 值域
性 质
过定点 单调性 函数值 特点
( 0 , 1 )，即当 x = 0 时，y = 1 在R上是增函数
当x＞0 时，y＞1
a＞1
0＜a＜1
y 图 象 y=1 0
(0,1)
y=ax
x
R ( 0 , + ∞)
定义域 值域
性 质
过定点 单调性 函数值 特点
( 0 , 1 )，即当 x = 0 时，y = 1 在R上是增函数
当x＞0 时，y＞1 当x＜0 时，0＜y＜1
a＞1
0＜a＜1
y 图 象 y=1 0
(0,1)
y=ax
y=ax
y
(0,1)
y=1 x
x
R ( 0 , + ∞)
x


∴f(x)在R上是奇函数。
类型三：指数型复合函数的单调性与奇偶性
10x 1 请你确定f(x) x 10 1
练习4、 已知函数f(x)= 的奇偶性；
复合函数奇偶性判断方法：
指数函数本身不具有奇偶性，但是与指数 函数有关的函数可以具有奇偶性，其解决的办 法一般是利用函数奇偶性的定义和性质：先看 定义域是否关于原点对称；如果定义域关于原 点对称，再找f(-x)与f(x)的关系。 f(-x)= -f(x)是 奇函数， f(-x)= f(x)是偶函数。
类型一：比较指数式的大小
② ( 4 )－0.8，( 5 )1.5； 5 4 方法一：
例1、比较下列各题中两个值的大小： 5 x
1 .5 5 4
y
y=( )
4
4 5
0.8
1 方法二：函数单调性 解：
4 -0.8 5 ∵( 5 ) =( 4
-0.8
0
y=(4 )x 5
函数 y=(a-1)x是R上的增函数，
∴(a-1)0.8
分类讨论
> (a-1)0.7
当0＜a-1＜1时,即: 1＜a＜2时
函数 y=(a-1)x是R上的减函数， ＜(a-1)0.7 综上： a >2时, (a-1)0.8 > (a-1)0.7； 1＜a＜2时,(a-1)0.8 ＜(a-1)0.7
∴(a-1)0.8
例3、讨论函数 y=3(1-x)单调性。
解：∵函数的定义域为R
令u=1-x，则y=3u,u∈R
∵函数u=1-x在R上为减函数，且函数y=3u在R上为 增函数，
∴ y=3(1-x)在R上为减函数。
类型三：指数型复合函数的单调性与奇偶性
1 (1-2x) 2
练习3：讨论函数 y=
单调性。
类型二：解指数不等式
例2：求下列不等式中x的取值范围。 (1) 3 ≥30.5
解：∵函数 增函数， y=3x是R上的
x
(2) 0.2 ≥25
解：∵0.2x=5-x ；25=52
x
转 化 思 想
又∵ 3x≥30.5 ∴x ≥0.5
即x的取值范围为（ 0.5，+∞）
又∵函数 y=5x是R上的 增函数，
课堂小结：
1：如何比较指数式的大小。 2：如何解指数型不等式。 3：指数型复合函数的单调性 与奇偶性的判断。
课后作业：
必做题：课本p59 习题2.1 A组 第7题、第8题 选做题： 1、比较下面两个数的大小
a 0.3与a 0.4 (a 0且a 1)
2、思考：如何证明例4题目中的单调性？
解：∵函数的定义域为R，
u 1 令u=1-2x，则y= ,u∈R 2
∵ u=1-2x在R上是减函数，
u 且函数y= 1 在R上为减函数， 2
∴y=
1 (1-2x) 2
在R上为增函数。
复合函数单调性判断方法：
对于形如y=af(x)(a＞0,且a≠0)的函数的单 调性要根据y=au,u=f(x)两函数在相应区间上的 单调性去确定，其单调性遵循“同增异减”的 规律。
1.5
x
)0.8；
5 x ) 是R上的增函数， 4 5 5 ∴ =( 4 )0.8 <( 4 )1.5 5 1.5 4 －0.8 即( ) <( 4 ) 5
又∵函数 y=(
转化思想
类型一：比较指数式的大小
例1、比较下列各题中两个值的大小：
③ 1.70.6，0.93.1.
方法一： 1
0.93.1
y=1.7x
类型三：指数型复合函数的单调性与奇偶性
2 1 例4、 已知函数 f ( x) x 你能确定f(x) 2 1 的奇偶性？
x
证明：∵定义域是R，关于原点对称，
x x 2 2 1 2 1 1 2x 2x 1 f(-x)= x = x x = =-f(x) x =x 2 2 1 2 1 1 2 2 1
0
定义域 值域
性 质
过定点 单调性 函数值 特点
( 0 , 1 )，即当 x = 0 时，y = 1 在R上是增函数 在R上是减函数
当x＞0 时，y＞1 当x＜0 时，0＜y＜1
当x＞0 时， 0＜y＜1 当x＜0 时， y＞1
1x y( ) 3 1x y y( ) 2
y = 3x y = 2x y=1
y
1.70.6 y=0.9x
0.6 3.1
0
方法二：函数单调性 解:∵ 1.70.6> 1.70=1 ，0.93.1 < 0.90=1 ∴ 1.70.6 > 0.93.1
x
类型一：比较指数式的大小
例1、比较下列各题中两个值的大小：
④ (a-1)0.8，(a-1)0.7（a＞1，且 a ≠2 ）
解:当a-1>1,即a >2时
O
X=1
x
指数函数图象分布规律： 直线x=1与指数函数y=ax（ a＞0,且a≠0）的图象交点 的纵坐标就是底数a的大小，在第一象限内，指数y=ax （ a＞0,且a≠0）的图象底数大的在上边。
指数函数及其性质的应用
重点：利用指数函数的图象与性质 来解决问题
难点：应用指数函数性质解决问题 思想：数形结合、分类讨论
比较指数式大小的方法：
比较两个数大小的问题,可借助图象,也可根据单调性来 比较,要注意根据题目特点选择恰当的方法. ①、构造函数法：要点是利用函数的单调性，数的特征是同 底不同指（包括可以化为同底的)。 ②、搭桥比较法：用别的数如“1”做桥。数的特征是不同底 不同指。 ③、若底数a的范围不确定，常分a＞1与0＜a＜1两类分别求 解。
又∵ 5-x≥52 ∴-x≥2 ∴ x≤ -2
即x的取值范围为（-∞，-2]
类型二：解指数不等式
练习2：求下列不等式中x的取值范围。 (1) 0.3
2-x
＜0.30.5
(2)a
x+1
＜a 5-3x (a ＞0,且a≠1)
解：∵函数 y=0.3x是R上 解：当a＞1时,函数 y=ax是R上的增函数，
指数函数及其性质的应用
类型一：比较指数式的大小 类型二：解指数不等式
类型三：指数型复合函数的单调性与奇偶性
类型一：比较指数式的大小
例1、比较下列各题中两个值的大小：
方法一：
① 1.72.5，1.73；
1.7
3
y
y=1.7x
数 形 结 合 法
方法二：函数单调性
1.72.5
1 0
2.5 3
x
解：∵ 函数y=1.7x是R上的增函数， ∵指数 2.5<3 ∴1.72.5<1.73
的减函数，
又∵
∴x+1＞5-3x
∴x ＞1
当0＜a＜1 时,函数 y=ax是R上的减函数，
0.3
2-x
＜0.30.5
∴ 2-x＞0.5
∴ -x＞0.5-2 ∴ x ＜ 1.5
即x的取值范围为（-∞，1.5）
∴ x+1 ＜ 5-3x ∴x ＜1
综上:当a＞1时, x ＞1；当0＜a＜1 时, x ＜1
类型一：比较指数式的大小
练习一： 比较下列各组数的大小
① 1.9 -∏
-3 1.9 ＜
② 0.8-0.1 ③0.72④ 1.50.5
3
＜ 0.8-0.2 ＞ 0.70.3 ＞ 0.92.5
(a-2)2.1(a＞2,且a≠3)
⑤(a-2)1.8
＞ (1-a)2.1 当a＞3时,(a-2)1.8 ＜ (1-a)2.1；当2<a<3时, (a-2)1.8
解指数不等式的方法：
①一般利用指数函数的单调性去掉底数，转化为熟 悉的不等式 . ②形如ax＞ab的不等式，借助于函数y=ax单调性求解， 如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论。 ③形如ax＞m的不等式，注意将m转化为以a底的指数 幂的形式，再接助于函数y=ax单调性求解。
类型三：指数型复合函数的单调性与奇偶性