第八章 非平稳和季节时间序列模型分析方法
时间序列、动态计量与非平稳性
时间序列、动态计量与非平稳性时间序列分析是一种研究时间上观测到的数据的方法，它通常用来预测未来的数据走势，或者揭示数据背后的规律和模式。
时间序列分析的基本假设是数据是按照时间顺序收集和记录的，因此数据中的观测值之间存在一定的内在关联。
动态计量是时间序列分析的一种方法，它关注变量之间的相互影响和动态调整过程。
动态计量的核心思想是当前时刻的变量取值受到过去时刻的变量取值的影响，而且这种影响是不断调整和改变的。
动态计量模型通常使用回归分析、向量自回归(VAR)模型、脉冲响应分析等方法，来研究变量之间的时序关系和相互作用。
然而，时间序列和动态计量在实际应用中都面临一个重要的问题，那就是非平稳性。
非平稳性是指时间序列数据在整个时间范围内存在明显的长期趋势、季节性变化、周期性波动等，这会导致时间序列的统计性质发生变化，使得传统的时间序列模型无法有效地拟合和预测数据。
非平稳性在金融、经济学、气象学等领域中普遍存在，因此如何处理非平稳性是时间序列分析的重要课题。
为了处理非平稳性，可以使用一系列的技术，如差分、变换、季节调整和模型拟合等。
其中，差分是最常见的一种方法，它通过计算相邻时刻的观测值之间的差异，来消除数据中的趋势和季节性变化。
变换则是将原始数据进行数学变换，如对数变换、平方根变换等，以改变数据的统计性质。
季节调整是将季节性因素从数据中剔除，以便更好地研究数据的长期趋势。
而模型拟合则是利用时间序列模型来拟合和预测非平稳数据，如自回归移动平均模型(ARMA)、自回归积分移动平均模型(ARIMA)等。
非平稳性的处理不仅能够改善模型的拟合效果，还能够提高模型的预测准确性和可解释性。
通过去除非平稳性的影响，我们可以更好地理解数据的本质和规律，更准确地进行预测和决策。
对于金融市场而言，处理非平稳性可以帮助投资者更好地判断市场趋势和价值，从而制定更科学和有效的投资策略。
总之，时间序列、动态计量和非平稳性是现代统计学中重要的研究领域。
第八章非平稳和季节时间序列模型分析方法
第八章非平稳和季节时间序列模型分析方法时间序列是指观测值按照时间顺序排列的一组数据，其中具有季节性和非平稳性的时间序列数据具有特殊的分析需求。
本文将介绍非平稳和季节时间序列的分析方法。
一、非平稳时间序列分析方法非平稳时间序列是指其统计特征在时间上发生了变化，无法满足平稳性的要求。
非平稳时间序列具有趋势性、周期性、季节性和不规则性等特征。
对于非平稳时间序列的分析，我们可以采用以下方法：1.差分法：差分法是通过对时间序列取一阶或多阶差分来消除趋势性的影响。
通过差分后的时间序列进行分析，我们可以得到一个稳定的时间序列，并进行后续的建模和预测。
2.移动平均法：移动平均法是通过计算一定窗口范围内的观测值的平均值来消除短期波动的影响，从而得到一个平滑的时间序列。
通过移动平均后的时间序列进行分析，我们可以在一定程度上消除非平稳性的影响。
3.分解法：分解法是将非平稳时间序列分解为趋势项、季节项和随机项三个部分。
通过分解后的各个部分进行分析，我们可以了解趋势、季节和随机成分在时间序列中的作用，从而更好地进行建模和预测。
二、季节时间序列分析方法季节时间序列是指具有明显季节性的时间序列数据。
对于季节时间序列的分析，我们可以采用以下方法：1.季节性指数：季节性指数是用来描述季节性的强度和方向的指标。
通过计算每个季节的平均值与总平均值之比，可以得到季节性指数。
根据季节性指数的变化趋势，我们可以判断时间序列的季节性变化情况，并进行后续的建模和预测。
2.季节性趋势模型：季节性趋势模型是一种常用的季节时间序列建模方法。
该模型将时间序列分解为趋势项、季节项和随机项三个部分，并通过对这三个部分进行建模来分析季节性时间序列。
常用的季节性趋势模型包括季节性自回归移动平均模型（SARIMA）、季节性指数平滑模型等。
总结起来，非平稳和季节时间序列模型的分析方法主要包括差分法、移动平均法和分解法等对非平稳时间序列进行分析，以及季节性指数和季节性趋势模型等对季节性时间序列进行分析。
时间序列模型的分析
时间序列模型的分析时间序列模型是一种用于分析时间序列数据的统计模型，在许多领域都有广泛的应用，如经济学、金融学、自然科学等。
时间序列模型通过建立数学模型，来描述随时间变化而产生的观测数据的模式和规律，从而可以预测未来的变化趋势。
时间序列模型的分析过程一般包括数据收集、数据预处理、模型选择和评估以及预测。
首先，收集数据是分析时间序列的第一步，可以通过各种途径获得观测数据。
然后，对数据进行预处理，包括去除趋势、季节性和异常值等，以保证模型分析的准确性。
接下来，选择适当的时间序列模型是至关重要的，常见的时间序列模型包括自回归移动平均模型（ARMA）、自回归积分移动平均模型（ARIMA）、季节性自回归积分移动平均模型（SARIMA）等。
根据观测数据的特点和分析目的，选择合适的模型对数据进行拟合和预测。
最后，通过对模型进行评估，可以判断模型的拟合效果和预测准确性，如果模型不理想，需要对模型进行优化或者选择其他模型。
时间序列模型的选择和评估涉及到许多统计方法和技术。
首先，可以通过观察自相关图（ACF）和偏自相关图（PACF）来初步判断时间序列是否存在自相关性和季节性。
自相关图展示了观测值与某个滞后阶数的观测值之间的相关性，而偏自相关图则展示了在排除其他相关性的情况下，某个滞后阶数的观测值与当前观测值之间的相关性。
接着，可以使用信息准则（如赤池信息准则、贝叶斯信息准则）和残差分析等方法来选择合适的模型。
信息准则是一种模型选择标准，通过最小化信息准则的值来选择最优模型。
残差分析则用于检验模型的拟合效果，通常要求残差序列是白噪声序列，即残差之间不存在相关性。
在时间序列模型的预测过程中，常用的预测方法包括移动平均法、指数平滑法、ARMA模型预测法等。
其中，移动平均法用于捕捉序列的平稳性和周期性，指数平滑法适用于序列有趋势性和趋势变化的场景，而ARMA模型则可应对序列存在自相关性的情况。
根据实际情况，可以选择不同的方法进行预测。
第八章季节时间序列模型与组合模型
当ut非平稳且存在ARMA成分时，则可以把ut描述为 Φ p ( L)∆d ut = Θ q ( L)vt p, q 分别表示非季节自回归、移动平均算子的最大阶数，d 表示ut的一阶（非季节）差分次数。于是得到季节时间序 列模型的一般表达式。
Φ p ( L) AP ( Ls )(∆d ∆D yt ) = Θ q ( L) BQ ( Ls )vt s
900 800 700 600 500 400 300 200 100 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89
月度商品零售额时序图 月度商品零售额自相关偏 自相关图
设季节性序列（月度、季度、周度等序列都包括其中） 的变化周期为s，即时间间隔为s 的观测值有相似之处。首 先用季节差分的方法消除周期性变化。季节差分算子定义 为， ∆ = 1 − Ls
通过LnGDPt的相关图和偏相关图可以看到LnGDPt是一个非 平稳序列（相关图衰减得很慢）。
对LnGDPt进行一阶差分，得 DLnGDPt。DLnGDPt的平稳性 得到很大改进，但其季节因素影响还很大。从 DLnGDPt的相 关图和偏相关图也可以明显地看到这个特征。若对LnGDPt直 接进行一次季节差分（四阶差分），得D4LnGDPt。其波动性 也很大。D2LnGDPt显然是过度差分序列。
从上式可以看出SARIMA模型可以展开为ARIMA(p+PS+DS, d, q+QS) 模型。
对乘积季节模型的季节阶数，即周期长度s 的识别可 以通过对实际问题的分析、时间序列图以及时间序列的相 关图和偏相关图分析得到。 以相关图和偏相关图为例，如果相关图和偏相关图不 是呈线性衰减趋势，而是在变化周期的整倍数时点上出现 绝对值相当大的峰值并呈振荡式变化，就可以认为该时间 序列可以用SARIMA 模型描述。
第八章、非平稳时间序列分析
第八章、非平稳时间序列分析很多时间序列表现出非平稳的特性：随机变量的数学期望和方差随时间的变化而变化。
宏观经济数据形成的时间序列中有很多是非平稳时间序列。
非平稳时间序列与平稳时间序列具有截然不同的特征，研究的方法也很不一样。
因此，在对时间序列建立模型时，必须首先进行平稳性检验，对于平稳时间序列，可采用第七章的方法进行分析，对于非平稳时间序列，可以将采用差分方法得到平稳时间序列，然后采用平稳时间序列方法对差分数据进行研究，对于多个非平稳时间序列则可以采用协整方法对其关系进行研究。
8.1 随机游动和单位根8.1.1随机游动和单位根如果时间序列t y 满足模型t t t y y ε+=-1 （8.1）其中t ε为独立同分布的白噪声序列， ,2,1,)(2==t Var t σε，则称t y 为标准随机游动（standard random walk ）。
随机游动表明，时间序列在t 处的值等于1-t 时的值加上一个新息。
如果将t y 看作一个质点在直线上的位置，当前位置为1-t y ，则下一个时刻质点将向那个方向运动、运动多少（t ε）是完全随机的，既与当前所处的位置无关（t ε与1-t y 不相关），也与以前的运动历史无关（t ε与 ,,32--t t y y 不相关），由质点的运动历史和当前位置不能得出下一步运动方向的任何信息。
这便是 “随机游动”的由来。
随机游动时间序列是典型的非平稳时间序列。
将（8.1）进行递归，可以得出010211y y y y t s s t t t t t t t +==++=+=∑-=----εεεε （8.2）。
如果初始值0y 已知，则可以计算出t y 的方差为2)(σt y Var t =。
由此看出随机游动在不同时点的方差与时间t 成正比，不是常数，因此随机游动是非平稳时间序列。
下图给出了随12机游动时间序列图：图8.1 随机游动时间序列图将随机游动（8.1）用滞后算子表示为t t y L ε=-)1( （8.3），滞后多项式为L L -=Φ1)(。
第八章季节性时间序列模型
n
表4.1 单变量时间序列观测数据表
n 例如，1993~2000年各月中国社会消费品零售总额序列， 是一个月度资料，其周期S=12，起点为1993年1月，具 体数据见附录。
第八章季节性时间序列模型
n 二、季节时间序列的重要特征 n 季节性时间序列的重要特征表现为周期性。在一个序列
第八章季节性时间序列模型
第八章季节性时间序列模型
第八章季节性时间序列模型
n 可见当得到样本的自相关函数后，各滑动平均参数的矩 法估计式也就不难得到了。
n 更一般的情形，如果一个时间序列服从模型
n
n
(8.18)
n 其中，
。整理后可以看出该时间
序列模型是疏系数MA(ms+q)，可以求出其自相关函数，
2348 2454.9 2881.7
1998 2549.5 2306.4 2279.7 2252.7 2265.2
2326 2286.1 2314.6 2443.1
2536 2652.2 3131.4
1999 2662.1 2538.4 2403.1 2356.8
2364 2428.8 2380.3 2410.9 2604.3 2743.9 2781.5 3405.7
n 如果这个比值小于1，就说明该季度的值 常常低于总平均值
n 如果序列的季节指数都近似等于1，那就 说明该序列没有明显的季节效应
第八章季节性时间序列模型源自例1 季节指数的计算第八章季节性时间序列模型
季节指数图
第八章季节性时间序列模型
二、综合分析
n 常用综合分析模型
n 加法模型
n 乘法模型
n 混合模型
个模型组合而成。由于序列存在季节趋势，故先
季节时间序列模型
乘积季节模型拟合效果图
黑点为序列观察值，红线为模型拟合值
乘积季节模型
使用场合：
季节序列既有季节效应又有长期趋势效应
模型结构： ARIMA (p,d,q)×(P,D,Q)
BU
BS
d
D S
X
t
B V
BS
t
d
1
B
d
，
D S
1 BS
D
其中
U
V
BS BS
1 1BS 2B2S 1 1BS 2B2S
P B PS Q BQS
季节时间序列的重要特征表现为周期性。
在一个序列中，如果经过S个时间间隔后观测点呈现出相似性，比如 同处于波峰或波谷，我们就说该序列具有以S为周期的周期特性。
一般，季度资料的一个周期表现为一年的四个季度，月度资料的周期 表现为一年的12各月，周资料表现为一周的7天或5天。
处理季节性时间序列的一个重要工具：
1BS
D
Xt V
BS
t
U BS 11BS 2B2S PBPS
V BS 11BS 2B2S QBQS
消除了序列在 不同周期相同 周期点上的季 节相关成分
D为季节差分阶数，P为季节自回归的阶数，Q 为季节移
动平均的阶数
U(BS)为季节自回归多项式， V(BS)为季节移动平均多项式
EVIEWS上的实现： i S A R iS , j S M A jS
(B)
பைடு நூலகம்
(B)
1 1
1B 1B
2 B 2 2B2
pBp qBq
E V IE W S 实 现 ：
i S A R iS i S M A iS i A R i i M A i
计量经济学第八章非平稳时间序列和协整模型PPT培训课件
以ADF检验为例，通过实际数据的应用，可以判断该序列是否具有单位根，进而判断其是否平稳。如果该序列不 平稳，可以通过差分或其他变换方法使其平稳，以便进行后续分析。
05 非平稳时间序列的差分模 型
差分模型的建立与原理
差分模型的基本概念
非平稳时间序列是指时间序列数据的统计特 性随时间而变化，无法通过简单的数学变换 使其稳定。差分模型是处理非平稳时间序列 的一种常用方法，通过差分操作消除时间序 列的非平稳特性。
差分模型的参数估计与检验
参数估计
差分模型的参数可以采用最小二乘法、最大似然法等统计方法进行估计。通过最小化残差平方和或最 大化似然函数，求解出模型参数的值。
参数检验
在估计出参数后，需要对参数进行检验，以判断模型是否符合实际数据。常见的检验方法包括残差检 验、异方差性检验、自相关性检验等。通过检验可以判断模型的有效性和适用性。
单位根检验的方法与步骤
01
02
单位根检验的方法：常 单位根检验的步骤 见的单位根检验方法包 括ADF (Augmented Dickey-Fuller) 检验、 PP (Phillips-Perron) 检 验和KPSS (Kwiatkowski-PhillipsSchmidt-Shin) 检验等。
单位根检验的定义与原理
单位根检验的定义
单位根检验是一种用于检验时间序列数据是否具有平稳性的 统计方法。如果一个时间序列数据存在单位根，则该序列是 非平稳的。
单位根检验的原理
单位根检验基于随机游走模型，即一个随机过程，其中每个 观测值都是前一个观测值加上一个随机扰动。如果一个时间 序列数据符合随机游走模型，那么它就具有单位根。
03 非平稳时间序列与协整模 型的关系
平稳性和非平稳时间序列分析
“单积”（Integrated）的，并记I为(d) 。
14
四、时间序列的协积性 （一）定义 如果一组时间序列都 X1, , X n 是同阶单积
的（I (d) ），并且存在向量 (1, , n )
使加权组合1X1 n X n 为平稳序列 （I (0)），则称这组时间序列为“协积的”
（Cointegrated），其中 (1, , n ) 称为
“协积向量”。
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具有协积性的非平稳序列各自的非平稳 趋势和波动有相互抵消的作用，因此虽 然非平稳本身有导致回归分析失效的影 响，但如果模型中的几个非平稳时间序 列具有协积性，回归分析仍然可以是有 效的，不需要担心非平稳性会造成问题。
16
11
不少非平稳时间序列作差分变换得到的差分序 列都是平稳序列。对于这种非平稳时间序列的 差分序列，基于平稳数据的计量分析就是有效 的。
由于时间序列的差分序列与时间序列本身包含 许多一致的信息，差分与原变量之间常常可以 相互转换，因此利用差分数据进行计量分析也 是有意义的。
并不是所有非平稳时间序列的差分序列都是平 稳的。利用差分数据进行分析之前，必须对差 分序列进行平稳性检验。检验的方法是把单位 根检验用于时间序列的差分序列。
Yt Yt1 t ，其中 t 为白噪声过程。
（2）检验思路 首先 Yt 服从如下的自回归模型
Yt Yt 1 t
6
如果其中 1 ，或者变换成如下的回归 模型 Yt Yt 1 t
中的 0 ，那么时间序列{Yt }就是最基
本的单位根过程 Yt Yt1 t ，肯定是非平 稳的。 对上述差分模型中的显著性检验，就是 检验时间序列是否存在上述单位根问题。
非平稳和季节时间序列模型分析方法
非平稳和季节时间序列模型分析方法时间序列分析是指对时间序列数据进行建模和预测的统计方法。
根据数据的特点，时间序列可以分为平稳序列和非平稳序列。
在实际应用中，很多时间序列数据并不满足平稳性的假设，因此需要对非平稳序列进行处理和分析。
非平稳序列分析的方法之一是差分法。
差分法的基本思想是通过对原始序列进行差分，得到一个新的序列，使其成为平稳序列。
差分法可以通过一阶差分、二阶差分等方法来实现。
一般来说，一阶差分可以用来处理线性趋势，而二阶差分可以用来处理二次趋势。
另一种非平稳序列分析的方法是趋势-季节分解法。
这种方法首先对时间序列进行趋势分解，将原始序列拆分为趋势、季节和残差三个部分。
然后对残差序列进行平稳性检验，判断是否需要进一步进行差分。
最后，可以利用拆分后的趋势和季节序列进行预测。
对于带有季节性的时间序列数据，还可以采用季节时间序列模型进行分析。
常见的季节时间序列模型包括季节自回归移动平均模型（SARIMA）和季节指数平滑模型。
这些模型可以对季节性进行建模，并利用历史数据进行预测。
总结起来，非平稳和季节时间序列的分析方法可以包括差分法、趋势-季节分解法和季节时间序列模型。
这些方法能够有效地处理和分析非平稳和带有季节性的时间序列数据，为实际应用提供了重要的参考。
时间序列分析是一种广泛应用于金融、经济、气象、销售、股票市场等领域的数据分析方法，它的目标是根据过去的数据模式，预测未来的趋势和行为。
在时间序列分析中，平稳性是一个重要的概念，指的是在时间序列的整个时间范围内，序列的统计特性不会随着时间的推移而发生显著的变化。
然而，在实际应用中，很多时间序列数据并不满足平稳性的假设，因此需要对非平稳序列进行处理和分析。
非平稳序列的特点是随着时间的推移，其均值、方差和协方差等统计特性会发生显著的变化。
这使得对其进行建模和预测变得困难。
因此，我们需要采取一些方法来处理非平稳序列，使其满足平稳性的假设。
差分法是一种常用的处理非平稳序列的方法。
非平稳和季节时间序列模型分析方法
非平稳和季节时间序列模型分析方法非平稳时间序列是指在时间序列数据中，均值、方差、自相关函数等统计性质随时间变化的数据。
这种时间序列模型常常由于其自身的特性而较难进行分析和预测。
不过，季节时间序列是非平稳时间序列的一种特殊类型，其特点是在数据中存在明显的季节性变化。
对于这种时间序列，可以采用不同的分析方法进行预测和建模。
一、非平稳时间序列分析方法：1.差分法：差分法是通过对序列数据进行相邻时间点的差分，使得序列转变为平稳时间序列。
差分法有一阶差分、二阶差分等。
通过差分法可以使得序列的单位根等统计性质得到稳定。
2.滑动平均法：滑动平均法基于序列的平均值，将序列转化为平稳时间序列。
该方法通过计算序列的滑动平均值来消除序列的变化趋势。
3.指数平滑法：指数平滑法是一种通过加权平均的方法来消除序列的变化趋势。
指数平滑法可以根据实际情况选择不同的权重系数来进行计算。
4.回归分析：对于非平稳时间序列，通过引入自变量，建立回归模型来描述序列的变化。
回归分析可以通过多个变量的关系来解释序列的变动。
二、季节时间序列分析方法：1.季节分解法：季节分解法是将季节时间序列分解为长期趋势、季节性和随机成分的组合。
这种方法可以将季节性的变动独立出来，从而更好地进行建模和预测。
2.季节移动平均法：季节移动平均法通过计算时间序列在相邻季节的平均值，消除序列的季节性变动。
这种方法可以降低季节时间序列的变化趋势。
3.季节差分法：季节差分法是将季节时间序列转化为其相邻时间点的差分。
通过差分法可以去除序列的季节性变化，使得序列更为平稳。
4.季节ARIMA模型：季节ARIMA模型是一种结合了季节差分和ARIMA 模型的方法。
该方法可以同时考虑序列的季节性变化和非平稳性，通过建立ARIMA模型来进行预测和分析。
以上所述是常用的非平稳和季节时间序列模型分析方法。
根据实际情况，我们可以选择合适的方法来分析和预测时间序列数据，以提高分析的准确性。
第八章季节性时间序列分析方法
81❝§8.1 季节性时间序列的重要特征82❝§8.2 季节性时间序列模型❝§8.3 季节性检验❝§8.4 季节性时间序列模型的建立所谓是指具有某种周期性变化季节性时间序列，是指具有某种周期性变化规律的随机序列，并且这种周期性的变化规律往往是由于季节变化引起由于季节变化引起。
如果一个随机序列经过个时间间隔后观测数据呈现相似性比如同处于波峰或波谷则我们称该序S 呈现相似性，比如同处于波峰或波谷，则我们称该序列具有以为周期的周期特征，并称其为季节性时S 间序列，为季节长度。
S季节性时间序列存在着规则的周期如果我们把季节性时间序列存在着规则的周期，如果我们把原序列按周期重新排列，即可得到一个所谓的二维表。
对于季节性时间序列按周期进行重新排列是极其有益的不仅有助于考察同周期点的变化情况加有益的，不仅有助于考察同一周期点的变化情况、加深对序列周期性的理解，而且对于形成建模思想和理解季节模型的结构也都是很有帮助的。
影响一个季节性时间序列的因素除了季节因素外❝影响一个季节性时间序列的因素除了季节因素外，往往还存在趋势变动和随机变动等。
t t t tX S T I =++❝研究季节性时间序列的目的，就是分解影响经济指标变动的季节因素、趋势因素和随机因素，从而了解它们对经济的影响。
❝1. 简单季节模型❝2. 乘积季节模型季节性时间序列表现出也就是说时间 同期相关性，也就是说时间相隔为的两个时间点上的随机变量有较强的相关性。
比如对于月度数据S 12比如，对于月度数据则与相关性较强。
我们可以利用这种同期相关性在与之12,S =t X 12t X -t X 12t X -间进行拟合。
简单季节模型通过简单的趋势差分季节差分之通过简单的趋势差分、季节差分之后序列即可转化为平稳，它的模型结构通常表示如下：()(1)(),(*)S S D St tB B X B aΦ-=ΘSAR算子其中为白噪声序列,{}ta2()1,S S S pSB B B BΦ=-Φ-Φ--Φ12212()1.pS S S qSqB B B BΘ=-Θ-Θ--ΘSMA算子称（*）为简单季节模型，或季节性自回归求和移动SARIMA p D q平均模型，简记为模型。
非平稳序列和季节序列模型
上海财经大学统计学系
*
§4.2自回归求和移动平均模型（ARIMA）
一般的ARIMA模型 随机游动（Random Walk）模型
上海财经大学统计学系
*
一般的ARIMA模型
如果时间序列 的d阶差分 是一个平稳的ARMA(p, q)序列，其中 是整数，则称 为具有阶p，d和q的自回归求和移动平均（ARIMA）模型， 记为 。 ARIMA模型的表示 ARIMA(p, d, q)模型 可以写成
上海财经大学统计学系
*
随机游动（Random Walk）模型
设时间序列 有下列模型 则称 为随机游动序列。 “随机游动”一词首次出现于1905年自然（Nature）杂志第72卷Pearson K. 和 Rayleigh L.的一篇通信中。该信件的题目是“随机游动问题”。文中讨论寻找一个被放在野地中央的醉汉的最佳策略是从投放点开始搜索。
上海财经大学统计学系
*
类似地有 假设 、 和 为常数，则可以计算 计算自协方差函数，设 ARIMA模型的方差依赖于时间，且 另外，当 时，方差 的值是无界的；最后序列的自协方差 也依赖于时间。
上海财经大学统计学系
*
季节时间序列模型的一般表达式
上海财经大学统计学系
*
随机游走过程的均值为零，方差为无限大 随机游动序列是非平稳的时间序列
上海财经大学统ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ学系
*
§4.3方差和自协方差非平稳
根据过程宽平稳定义，当均值为常数时，其协方差也不一定满足平稳条件。前面所述，ARIMA模型的均值函数是依赖于时间的，进一步地，我们说明其方差和协方差也不满足平稳条件。 例如使用模型 去拟合 个观测序列，关于这个时间原点 ，模型可以写为
第8章 季节性时间序列模型
第8章季节性时间序列模型由于在日常生活中经常遇到季节性时间序列，因此我们为其单辟一章。
在引入一些基本概念和常用模型之后，我们将自回归求和移动平均模型加以推广，用来描述季节时间序列。
另外，为了说明该方法，我们还给出了详细例子。
8.1 基本概念许多商业和经济时间序列都包含有季节现象，即在一段时期后不断地对自身作有规律的重复。
重复现象出现的最小时间间隔称为季节周期。
例如，并吉林小玲的季度序列在夏季最高，序列在每年都重复这一现象，相应的季节周期为4。
类似地，汽车的月度销量和销售额在每年7月和8月也趋于下降，因为这是经常更换新的车型。
而玩具的月销售量在每年的12月增加。
后两种情形的季节周期是12。
季节现象源于一些因素，如气候影响许多商业和经济活动，如旅游和房屋建筑；一些习惯性事件，如圣诞节就与珠宝、玩具、贺卡及邮票的销售密切相关；夏季几个月的毕业典礼直接关系到这几个月的劳动力状况。
作为说明的例子，图8-1给出了1971-1981年美国月度就业人数，调查对象是美国16-19周岁的男性。
序列的季节特性是明显的，在夏季几个月人数急剧增加，在学期结束的6月出现高峰，而在秋季学校开学后就下降了。
这种现象每12个月重现一次，因而季节周期是12。
8.2 传统方法通常，时间序列被看做由趋势项（P t），季节项（S t）以及不规则分量(e t)混合而成。
如果这些分量被假定为是可加的，可以将时间序列Z t写成Z t =P t+ S t+ e t （8.2.1）为了估计这些分量，文献中引入了一些分解方法。
8.2.1 回归方法在回归方法中，可加性时间序列可以写成下面的回归模型 Z t =P t + S t + e t=011kmi it j jt t i j U V e ααβ==+++∑∑ （8.2.2）其中01mt i it i P U αα==+∑，U it 是趋势-循环变量；S t =1kj jt j V β=∑和jt V 是季节变量。
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• 在第四章中，我们介绍了非平稳时间序列 模型，但是在前面的讨论中，对于时间序 列的特性分析，以及模型的统计分析都集 中于平稳时间序列问题上。本章将介绍几 个非平稳时间序列的建模方法，并且分析 不同的非平稳时间序列模型的动态性质。
上海财经大学 统计学系
1
§8.1 ARIMA模型的分析方法
• 8.1.1 ARIMA模型的结构 • 具有如下结构的模型称为求和自回归移动平均(Autoregressive Integrated Moving Average)，简记为ARIMA(p,d,q)模型： ( B)d X t ( B) t E ( t ) 0, Var ( t ) 2 , E( t s ) 0, s t • (8.1) E ( X ) 0, s t s t • 式中：
t t 1 t 1 2 t 2
( B) t
• 式中， 1, 2 , 的值由如下等式确定：
( B)(1 B)d ( B) ( B)上海财经大学 统计学系 Nhomakorabea15
• 如果把 * ( B) 记为广义自相关函数，有
* ( B) ( B)(1 B)d 1 1B 2 B2
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8.1.3 ARIMA模型建模
• 在掌握了ARMA模型建模的方法之后，尝试使用ARIMA 模型对观察序列建模是一件比较简单的事情。它遵循如 下的操作流程，如下图所示：
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图8.3 ARIMA模型建模流程
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8.1.4 ARIMA模型预测
• 在最小均方误差预测原理下，ARIMA模型的预测和ARMA 模型的预测方法非常类似。 ARIMA(p,d,q)模型的一般表示 方法为： (B)(1 B)d X t ( B)t • 和ARMA模型一样，也可以用历史观测值的线性函数表示 它： X
( B ) Xt t ( B)
d
(8.2)
• 式中， t }为零均值白噪声序列。 { • 由式(8.2)显而易见，ARIMA模型的实质就是差分运算与 ARMA模型的组合。这一关系意义重大，这说明任何非平 稳序列只要通过适当阶数的差分运算实现差分后平稳，就 可以对差分后序列进行ARMA模型拟合了。而ARMA模型 的分析方法非常成熟，这意味着对差分平稳序列的分析也 将是非常简单、非常可靠的了。
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• 例如，设ARIMA(1,1,1)模型
1 0.5B1 B Xt 1 0.3B t ,
t ~ i.i.d.N 0,1
• 图8.1是给出的ARIMA(1,1,1)模型一个模拟 数据，样本容量为200，可以看出时间趋势 是非常明显的。图8.2是经过一阶差分得到 的数据。经过一阶差分我们看到下降的时 间趋势被去掉，新的序列看起来是平稳的。
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• 4. 针对平稳序列{X t } 的建立ARMA模型 • (1) 画出序列 {X t }的自相关图，如图。根据该图，我们可 以初步判断该序列的偏自相关图一阶截尾，而针对自相 关图并不能马上做出判断。
i 1
p
( B) ( B)d [ (1 i B)](1 B) d
i 1
p
(8.4)
• 由式(8.4)容易判断，ARIMA(p,d,q)模型的广义自回归系 数多项式共有p+d个特征根，其中p个在单位圆内，d个在 单位圆上。因为有d个特征根在单位圆上而非单位圆内， 所以当d 0 时，ARIMA(p,d,q)模型不平稳。
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• 二、方差齐性 • 对于ARIMA(p,d,q)模型，当d 0 时，不仅均值非平稳，序列方差也 非平稳。以最简单的随机游走模型ARIMA(0,1,0)为例：
X t X t 1 t X t 2 t t 1 X 0 t t 1 1
• 则
Var( X t ) Var( X 0 t t 1 1 ) t 2
• 这是一个时间的递增函数，随着时间趋向无穷，序列 { X t }的方差也 趋向无穷。 • 但1阶差分之后，
X t t
• 差分后序列方差齐性
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Var(X t ) 2
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图8.4
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图8.5
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•
(2) 对该序列做单位根检验，原假设：；备择假设：， 检验结果如图8.4。
图8.6
根据图8.6的检验结果，我们可以认为这一序列非平稳。
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• 2. 对原序列取对数并分析 • 由于这一序列有着非常明显的指数趋势，因此我们对 它进行取对数的运算，以消除指数趋势的影响，将取对 数后的序列命名为 yt ，即 yt ln( NX ) 。 • 作出序列 {yt } 的时序图与自相关图分别如图8.7，8.8。
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• 例8.1 对1950年—2005年我国进出口贸易总额数据（单 位：亿元人民币）序列建立ARIMA模型（数据见附录 1.15） 1. 对原序列（NX）的分析 (1) 做出1950年—2005年我国进出口贸易总额数据 （NX）的时序图及自相关图，如图8.4，图8.5。
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图8.1 ARIMA(1,1,1)模型一个模拟数据
图8.2 模拟数据的一阶差分数据
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• 求和自回归移动平均模型这个名字的由来 是因为阶差分后序列可以表示为：
i d X t (1)d Cd X t 1 i 1 d
• • 列的若干序列值的加权和，而对它又可以 拟合自回归移动平均(ARMA)模型，所以 称它为求和自回归移动平均模型。
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d! C 式中， i !(d i )!，即差分后序列等于原序
i d
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• • • • • • • •
特别地， 当d=0时，ARIMA(p,d,q)模型实际上就是ARMA(p,q)模型； 当p=0时，ARIMA(o,d,q)模型可以简记为IAM(d,q)模型； 当q=0时，ARIMA(p,d,0)模型可以简记为ARI(p,d)模型. 当d=1,p=q=0时，ARIMA(0,1,0)模型为：
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8.1.2 ARIMA模型的性质
• 一、平稳性 • 假如服从ARIMA(p,d,q)模型：
( B)d X t ( B) t
• 式中：
d (1 B) d ( B) 1 1 B p B p ( B) 1 1 B q B q
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• 3. 对序列 {Y } 进行查分处理
t
• •
我们将序列{Yt }进行一阶差分处理，得到一个新序列{X t }，即 X t (1 B)Yt 。 画出序列{X }的时序图，并进行相应的单位根检验，如图8.10，图8.11。
t
• •
图8.10 图8.11 根据上述结果，可以认为这一序列已经平稳，接下来，可以针对该序 列做进一步的建模拟合。
• 真实值等于预报值加上预报误差：
X t l (l t l 1 t 1 l 2 t2 ) ( t1 1 tl1 l1 t1 ) ˆ =xt (l ) et (l )
2 • 期预报的方差为： [et (l )] (1 1 t21 ) 2 Var
d (1 B) d ( B) 1 1B p B p，为平稳可逆ARMA(p,q)模型的自回归系数多项式 ( B) 1 1B q B q，为平稳可逆ARMA(p,q)模型的移动平滑系数多项式
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• 式(8.1)可以简记为：
•
( B) ( B)d， ( B )被称为广义自回归系数多项式。显然 记
ARIMA模型的平稳性完全由 ( B) 0 的根的性质决定。
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• 因为阶差分后平稳，服从ARMA(p,q)模型，所以不妨设
• 则 • •
( B) (1 i B), i 1; i 1, 2, , p
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• 1905年8月，雷利爵士(Lord Rayleigh)对卡尔· 皮尔逊的这个问题作出 了解答。他算出这个醉汉离初始点的距离为至的概率为：
2 r 2 / nl 2 e r r 2 nl
• 且当n很大时，该醉汉离初始点的距离服从零均值正态分布。这意味 着，假如有人想去寻找醉汉的话，最好是去初始点附近找他，该地 点是醉汉未来位置的无偏估计值。 • 作为一个最简单的ARIMA模型，随机游走模型目前广泛应用于计量 经济学领域。传统的经济学家普遍认为投机价格的走势类似于随机 游走模型，随机游走模型也是有效市场理论(Efficient Market Theory) 的核心。
• 容易验证 , ,的值满足如下递推公式：
1 2
1 1 1 2 1 1 2 2 j 1 j 1 p d j p d j
• 式中， j 0, j 1； j 0, j q
图8.7
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图8.8
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•
依然对序列 { yt }做单位根检验，检验结果如图8.9。
• •
图8.9
根据这一检验结果，我们看到这一序列依然没有平稳， { yt } 结合图8.7和图8.8，我们看到在序列 中有着明显的增 长趋势，因此我们还需要对其进行差分处理。
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* ˆ xt (l ) * t 1 t 1 * t 2 0 2