高三数学一轮复习

高三数学一轮复习

1.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知21++=+n n n a S S ， . ①283-=+a a ；②287-=S ；③2a ，4a ，5a 成等比数列；

请在①②③这三个条件中选择一个，填入题中的横线上，并解答下面的问题： （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求n S 的最小值并指明相应n 的值.

解：（1）21++=+n n n a S S ，21=-∴+n n a a ∴数列{}n a 是公差2=d 的等差数列。 选①2-922-183=+∴=+d a a a 解得10-1=a 122-=∴n a n 选②287-=S 解得10-1=a 122-=∴n a n

选③由2a ，4a ，5a 成等比数列得522

4a a a =即())4)((3112

1d a d a d a ++=+

解得10-1=a 122-=∴n a n （2）解法一：令⎩⎨

⎧≥≤+001n n a a 即⎩⎨⎧≥-≤-0

1020

122n n 解得65≤≤n

∴当65==n n 或时，n s 取得最小值，且最小值为30-

解法二：)11(-=n n s n

∴当65==n n 或时，n s 取得最小值，且最小值为30-

2.在①231a b b =+，②44a b =，③255-=s 中选择一个作为条件，补充在下列题目中，使得正整数

k 的值存在，并求出正整数k 的值

设等差数列{}n a 的前n 项和为n s ，{}n b 是等比数列，★_______，51a b =，32=b ，81-5=b 是否存在正整数k ，1+k k s s ，21++k k s s

解：32=b ，81-5=b 3-=∴q 151-==∴a b 274=∴b

011 ++∴k k k a s s 0221 +++∴k k k a s s ，0-12 d a a k k =∴++

若存在正整数k ，1+k k s s ，21++k k s s ，那么等差数列{}n a 的前n 项和为n s 必然为开口向上()

0 d 的函数模型，在条件选择的时候，选择条件②2744==a b ，由151-==a b 显然公差()0 d ，由

此产生矛盾，从而简化解答。

3.已知数列{}n a 是公比为2的等比数列,其前n 项和为n S . (1)在①13222S S S +=+,②373

S =

,③2344a a a =,这三个条件中任选一个,补充到上述题干中,求数列{}n a 的通项公式,并判断此时数列

{}n a 是否满足条件P:任意m,*n N ∈,m n a a 均为数列{}n a 中的项,说明理由;

(2)设数列{}n b 满足1

1n n n n a b n a -+⎛⎫

= ⎪

⎝⎭

,*n N ∈,求数列{}n b 的前n 项和n T .

注：在第（1）问中，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解：（1）选①，因为S 1＋S 3＝2S 2＋2，

所以S 3－S 2＝S 2－S 1＋2，即a 3＝a 2＋2，又数列{a n }是公比为2的等比数列， 所以4a 1＝2a 1＋2，解得a 1＝1， 因此a n ＝1×2n －1＝2n －1． ……… 4分

此时任意m ，n ∈N *，a m a n ＝2m －1·2n －1＝2m ＋n －2，由于m ＋n －1∈N *，所以a m a n 是数列{a n }的第

m ＋n －1项， 因此数列{a n }满足条件P ． …7分

选②，因为S 3＝73，即a 1＋a 2＋a 3＝7

3，又数列{a n }是公比为2的等比数列，

所以a 1＋2a 1＋4a 1＝73，解得a 1＝13， 因此a n ＝1

3×2n －1．…………… 4分 此时a 1a 2＝2

9＜a 1≤a n ，即a 1a 2不为数列{a n }中的项，

因此数列{a n }不满足条件P ． ………………………………… 7分 选③， 因为a 2a 3＝4a 4， 又数列{a n }是公比为2的等比数列， 所以2a 1×4a 1＝4×8a 1，又a 1≠0，故a 1＝4，

因此a n ＝4×2n －1＝2n ＋1． …………………………………4分 此时任意m ，n ∈N *，a m a n ＝2m ＋1·2n ＋1＝2m ＋n ＋2，

由于m ＋n ＋1∈N *，所以a m a n 是为数列{a n }的第m ＋n ＋1项，

因此数列{a n }满足条件P ． ……………………………………7分 （2）因为数列{a n }是公比为2的等比数列，

所以a n ＋1

a n ＝2，因此

b n ＝n ×2n －1． 所以T n ＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋n ×2n －1

， 则2T n ＝ 1×21＋2×22＋…＋(n －1)×2n －1

＋n ×2n

，

两式相减得－T n ＝1＋21＋22＋…＋2

n －1

－n ×2n ………………………10分

＝1－2n

1－2－n ×2n ＝(1－n )2n －1， 所以T n ＝(n －1)2n

＋1． …………12分

4. 阅读本题后面有待完善的问题，在下列三个关系①a n ＋1＝1

2a n ＋1，②a n ＋1＝a n ＋2，③S n ＝2a n －1中选择一个作为条件，补充在题中横线标志的★_______处，使问题完整，并解答你构造的问题．（如果选择多个关系并分别作答，在不出现逻辑混乱的情况下，按照第一个解答给分）

设数列{}n a 的前n 项和为n s ，a1＝1，对任意的n ∈N*，都有★_______；等比数列{bn}中，对任意的n ∈N*，都有bn ＞0，2bn ＋2＝bn ＋1＋3bn ，且b1＝1，问：是否存在k ∈N*，使得：对任意的n ∈N*，都有anbk ≤akbn ？若存在，试求出k 的值；若不存在，试说明理由． 解 设等比数列{b n }的公比为q ．

因为对任意的n ∈N *，都有2b n ＋2＝b n ＋1＋3b n ，

所以2q 2

＝q ＋3，解得q ＝－1或3

2． ………………………………………2分

因为对任意的n ∈N *

，都有b n ＞0，所以q ＞0，从而q ＝3

2．

又b 1＝1，所以1

23-⎪⎭

⎫ ⎝⎛=n n b ……5分 显然，对任意的n ∈N *，b n ＞0．

所以，存在k ∈N *

，使得：对任意的n ∈N *

，都有a n b k ≤a k b n ，即a n b n ≤a k

b k ．

记c n ＝a n

b n ，n ∈N *．下面分别就选择①②③作为条件进行研究． ①因为对任意的n ∈N *

，都有a n ＋1＝12a n ＋1，即a n ＋1－2＝1

2(a n －2)．

又a 1＝1，即a 1－2＝－1≠0，所以a n －2≠0，从而a n ＋1－2a n －2＝1

2，

所以数列{a n －2}是等比数列，公比为12，得a n －2＝－⎝⎛⎭⎫12n －1，即a n ＝2－⎝⎛⎭⎫12n －1

…8分 所以c n ＝a n b n ＝2n －1

3n －1，从而c n ＋1c n ＝2n ＋1－13(2n －1)．

由2n ＋1－1

3(2n －1)≤1⇔2n ≥2⇔ n ≥1，得：c 1＝c 2，当n ≥1时，c n ＋1＜c n ，…………………10分 所以，当n ＝1或2时，c n 取得最大值，即a n

b n 取得最大值． 所以对任意的n ∈N *

，都有a n b n ≤a 2b 2＝a 1

b 1，即a n b 1≤a 1b n ，a n b 2≤a 2b n ，

所以存在k ＝1，2，使得：对任意的n ∈N *，都有a n b k ≤a k b n ．………………………12分 ②因为对任意的n ∈N *，都有a n ＋1＝a n ＋2，即a n ＋1－a n ＝2， 所以数列{a n }是等差数列，公差为2．

又a 1＝1，所以a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1． ………………………………………8分