拉格朗日极值
拉格朗日等式
拉格朗日等式拉格朗日等式是一种用于求解约束优化问题的数学工具。
该等式通过引入拉格朗日乘子来将约束条件与目标函数结合起来，从而将原问题转化为一个无约束问题。
拉格朗日等式可以用于求解多元函数的极值问题，是优化理论中非常重要的一部分。
具体来说，在一个约束优化问题中，我们希望求解目标函数的在一些给定约束条件下的最值。
假设目标函数为 f(x1, x2, ..., xn)，约束条件为 g1(x1, x2, ..., xn) = 0, g2(x1, x2, ..., xn) = 0, ..., gm(x1, x2, ..., xn) = 0。
则拉格朗日等式表示为：L(x1, x2, ..., xn, λ1, λ2, ..., λm) = f(x1, x2, ..., xn) + λ1*g1(x1,x2, ..., xn) + λ2*g2(x1, x2, ..., xn) + ... + λm*gm(x1, x2, ..., xn)其中，λ1, λ2, ..., λm 是称为拉格朗日乘子的参数。
通过使用拉格朗日等式，我们可以将原问题转化为一个无约束的极值问题，即求解 L(x1, x2, ..., x n, λ1, λ2, ..., λm) 在 x1,x2, ..., xn, λ1, λ2, ..., λm 上的极值。
求解拉格朗日等式的极值问题时，常利用对偶性原理，即极值问题的解等于拉格朗日函数对应问题的解。
通过求解拉格朗日函数的偏导数，可以得到一组满足等式约束的点，其中一个为优化问题的解。
再通过其他条件（如互斥条件）选择最优解。
总结起来，拉格朗日等式通过引入拉格朗日乘子，使得约束条件与目标函数合并在一起，将原问题转化为一个无约束问题，从而方便求解约束优化问题。
拉格朗日定理证明过程
拉格朗日定理证明过程拉格朗日定理证明步骤：（1）问题描述拉格朗日定理，又称Lagrange最优乘子定理，是一种在最优化数学中常用的重要定理。
它是由法国数学家让-凡尔瓦·拉格朗日在18th世纪末左右完成的，至今仍被广泛使用，以解决多元函数的极值问题。
拉格朗日定理的定义为：如果在多维空间中存在n个变量的变量函数f(x)，及其它n个非负值函数的线性组合使得此函数成为常数，那么f(x)的极大极小值必然是此多维空间中的局部极点。
（2）定理证明证明拉格朗日定理，可以使用反证法。
假设函数f(x)在多维空间中有一个极值，但它与局部极点无关，即f(x)与变量x相关的n个线性组合式g(x)，在给定点处不为常数。
那么让我们定义空间曲线C为：C：g(x)=c其中c为常数。
（3）在C上取一点设在曲线C上取任一点ξ，可得当x=ξ，f（ξ）达到最大值或最小值。
（4）取一新的方程令u(x) = f(x) - f(ξ)，可得u(x) = 0 当x=ξ时，则u（ξ）= 0。
（5）进一步推演再定义新函数v(x)，v(x) = u(x) - c(g(x) - g(ξ))则有 v(x) = [f(x) - f(ξ)] - c[g(x) - g(ξ)]而k∈[0,1]时，有v(x) = 0，它对应着一个特殊的点t，t = kξ + (1-k)x。
（6）欧拉准则的作用由欧拉准则，在这一段旅程上，受到上述函数的制约，以及极限条件g(x) 成常数，表明从这一点出发，在允许的范围内，函数u(x)的极大值必然取到。
即u(ξ) = 0。
（7）结果这些都均证明，如果一个多维空间中存在f(x) 与n个非负函数g(x)的线性组合，使得此函数成为常数，则f(x)的极大极小值必然是这个多维空间中的局部极点，也就是拉格朗日定理所要证明的内容。
拉格朗日条件极值的方程组怎么解
拉格朗日条件极值的方程组怎么解拉格朗日条件极值的方程组怎么解在微积分中，我们经常会遇到求极值的问题。
当我们要求一个函数在一定条件下取得最大值或最小值时，就需要用到拉格朗日乘数法。
拉格朗日乘数法是一种利用拉格朗日乘数来处理带有约束条件的极值问题的方法，它的核心是通过引入拉格朗日乘数，将带有约束条件的问题转化为无约束条件的问题。
在实际应用中，求解拉格朗日条件极值的方程组是一个非常重要的问题，下面我将对这个问题进行全面评估，并撰写一篇有价值的文章来帮助你更好地理解这个问题。
一、概念解析1. 拉格朗日乘数法我们先来了解一下拉格朗日乘数法的基本概念。
拉格朗日乘数法是用来求解带有约束条件的最优化问题的一种常用方法。
通常情况下，约束条件可以写成g(x, y, z) = k的形式，其中k为常数。
而最优化问题的目标就是极小化或者极大化一个多元函数f(x, y, z)。
利用拉格朗日乘数法，我们可以通过构造拉格朗日函数L(x, y, z, λ)来转化求极值的问题。
其中，λ为拉格朗日乘数，通过对L(x, y, z, λ)对x, y, z, λ分别求偏导，然后解方程组来求得极值点。
这就是拉格朗日乘数法的基本思想。
2. 拉格朗日条件在应用拉格朗日乘数法求解极值问题时，我们需要考虑拉格朗日条件。
拉格朗日条件是指，对于最优化问题的解，约束条件和目标函数的梯度（或导数）应当在最优解点成比例。
这个条件在数学上可以用方程组来表示，通常称为拉格朗日条件方程组。
解这个方程组就是求解拉格朗日条件极值的方程组，是非常重要的一步。
二、具体示例为了更好地理解拉格朗日条件极值的方程组怎么解，我们来看一个具体的示例。
假设我们要求函数f(x, y) = x^2 + y^2在条件g(x, y) = x + y - 1 = 0下的极小值。
这个问题可以通过拉格朗日乘数法来解决。
我们构造拉格朗日函数L(x, y, λ) = f(x, y) + λg(x, y)，其中λ为拉格朗日乘数。
用拉格朗日乘数法求极值步骤
用拉格朗日乘数法求极值步骤全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：拉格朗日乘数法是一种常用的数学工具，用于求解带有约束条件的极值问题。
在实际问题中，很多情况下都会存在一些条件限制，而拉格朗日乘数法正是针对这种情况而提出的一种解决方法。
下面我们将详细介绍使用拉格朗日乘数法求极值的步骤。
我们先来看一个简单的例子，假设我们要求函数f(x, y) = x^2 +y^2 在条件g(x, y) = x + y = 1下的最小值。
这个问题可以用如下的拉格朗日函数表示：L(x, y, λ) = f(x, y) - λg(x, y) = x^2 + y^2 - λ(x + y - 1)λ为拉格朗日乘数。
接下来的步骤就是通过对L(x, y, λ) 求偏导数来确定函数f(x, y) 在条件g(x, y) 下的极值点。
步骤一：计算L(x, y, λ) 对x, y的偏导数，并令其等于0，即求解以下方程组：步骤二：解方程组得到极值点，并判断是否为极值点。
在本例中，解方程组可得x = y = 1/2，λ = 1。
代入原函数f(x, y) = x^2 + y^2 可得最小值为1/2。
问题的解是f(x, y) = 1/2。
上面是一个简单的例子，下面我们将详细介绍拉格朗日乘数法求极值的一般步骤：步骤一：建立带有约束条件的拉格朗日函数。
假设我们要求函数f(x1, x2, ..., xn) 在条件g(x1, x2, ..., xn) = 0下的极值，那么其对应的拉格朗日函数为：步骤二：求解拉格朗日函数的梯度，令其等于零。
即求解以下方程组：∂L/∂x1 = ∂f/∂x1 - λ∂g/∂x1 = 0∂L/∂x2 = ∂f/∂x2 - λ∂g/∂x2 = 0...∂L/∂xn = ∂f/∂xn - λ∂g/∂xn = 0g(x1, x2, ..., xn) = 0步骤三：解方程组得到极值点，并判断是否为极值点。
解方程组可能有多个解，需要通过二阶导数判断哪一个是极值点。
分析力学拉格朗日方程
分析力学拉格朗日方程分析力学是物理学中的一个重要分支，它主要研究物体的运动规律和力学系统的宏观性质。
拉格朗日力学是分析力学的基础，是分析力学发展过程中的一个重要理论。
它由意大利数学家拉格朗日于18世纪发展而来，利用广义坐标和拉格朗日方程来描述物体的运动学和动力学。
在拉格朗日力学中，系统的运动由极值原理来决定。
这个极值原理是“达朗贝尔原理”，即系统的运动满足使作用量(S)是极值的路径。
作用量是拉格朗日力学中的一个重要概念，它表示物体在运动过程中所受到的所有力的作用。
具体来说，作用量可以表示为：S = ∫ (L - T) dt其中，L是拉格朗日函数，表示系统的动能和势能之差；T是系统的动能，表示物体的运动能量。
积分表示对整个运动过程的积分求和。
根据达朗贝尔原理，系统的运动满足作用量的极值条件，即δS=0。
为了使作用量的变分δS等于零，我们可以通过拉格朗日方程来推导系统的运动方程。
假设系统有n个自由度，我们引入广义坐标q1, q2, ..., qn来描述系统的位置。
每个广义坐标都是关于时间的函数，即q(t)。
拉格朗日函数L也是广义坐标的函数，即L(q, dq/dt, t)。
其中dq/dt表示广义坐标的时间导数。
利用拉格朗日函数，我们可以定义拉格朗日方程：d/dt (∂L/∂(dq/dt)) - ∂L/∂q = 0这个方程就是拉格朗日方程。
其中∂L/∂(dq/dt)表示拉格朗日函数对广义速度的偏导数，∂L/∂q表示拉格朗日函数对广义坐标的偏导数。
该方程描述了系统在广义坐标下的运动规律。
拉格朗日方程的推导过程是基于变分法和哈密顿原理的。
通过对作用量进行变分，我们可以得到极值的条件，即达朗贝尔原理。
然后利用这个极值条件，我们可以推导出拉格朗日方程。
拉格朗日方程在物理学中有着广泛的应用，不仅可以用来描述质点的运动，还可以用来描述刚体的运动、连续介质的运动、以及相对论力学等。
它提供了一种统一的描述物体运动的方法，同时也为我们研究物体的宏观性质提供了一个有力的工具。
拉格朗日乘数法或者增广拉格朗日乘数法求条件极值问题在几何学中的应用
拉格朗日乘数法或者增广拉格朗日乘数法求条件极值问题在几何学中的应用拉格朗日乘数法或增广拉格朗日乘数法在数学中，拉格朗日乘数法和增广拉格朗日乘数法是求条件极值问题的常用方法。
它们的应用范围不仅限于数学，还在几何学中被广泛使用。
什么是条件极值问题条件极值问题是指在一定条件下，求出使某个函数取得最大或最小值的变量值。
这里的“条件”通常是一组约束条件。
拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法用于求解约束条件下的极值问题。
它的基本思想是将约束条件加入到目标函数中，构造一个新的拉格朗日函数，并用拉格朗日乘数来表示约束条件。
增广拉格朗日乘数法增广拉格朗日乘数法是拉格朗日乘数法的一种扩展。
它在目标函数和约束条件中引入人工变量，将目标函数和约束条件转化为方程组的形式，然后应用高斯消元法求解。
在几何学中的应用拉格朗日乘数法和增广拉格朗日乘数法在几何学中有广泛的应用。
例如，在曲面拟合问题中，我们可以利用拉格朗日乘数法来求解平面或曲线与给定点云数据的最小距离。
在空间中，我们可以利用增广拉格朗日乘数法来求解平面或线段与空间点云数据的最小距离。
总之，拉格朗日乘数法和增广拉格朗日乘数法是求解条件极值问题的有力工具，也是几何学中不可或缺的一部分。
拉格朗日乘数法的步骤使用拉格朗日乘数法求解条件极值问题的步骤如下：1.构造拉格朗日函数：将目标函数和约束条件相加得到拉格朗日函数2.求出拉格朗日函数的一阶偏导数并令其等于03.求解约束条件，并将解代入到求得的一阶偏导数中4.求出约束条件下目标函数的极值增广拉格朗日乘数法的步骤使用增广拉格朗日乘数法求解条件极值问题的步骤如下：1.引入人工变量：在目标函数和约束条件中分别引入人工变量2.构造增广拉格朗日函数：将目标函数、约束条件和人工变量相加得到增广拉格朗日函数3.转化为方程组：将增广拉格朗日函数转化为方程组的形式4.求解方程组：应用高斯消元法或其他方法求解方程组5.求出约束条件下目标函数的极值总结拉格朗日乘数法和增广拉格朗日乘数法是用于求解条件极值问题的有效工具，它们在求解几何学中的实际问题中也有着广泛的应用。
拉格朗日日函数的特点与应用
拉格朗日日函数的特点与应用拉格朗日函数是一种在数学和优化问题中广泛应用的工具，它具有许多独特的特点和应用。
通过对拉格朗日函数的深入探讨，我们可以更好地理解其背后的原理和运用范围。
一、拉格朗日函数的定义和基本特点拉格朗日函数是一种多变量函数，通常用来解决带有约束条件的优化问题。
其基本定义如下：L(x, λ) = f(x) + λg(x)其中，x是优化问题的变量，f(x)是目标函数，g(x)是约束函数，λ是拉格朗日乘子。
拉格朗日函数的主要特点如下：1. 利用拉格朗日函数，我们可以将带有约束的优化问题转化为一个无约束的问题。
通过引入拉格朗日乘子，将约束条件融合进目标函数中，进而进行求解。
2. 拉格朗日函数的极值点对应于原始优化问题的极值点。
通过对拉格朗日函数进行求导，我们可以得到极值点的一组等式条件，即拉格朗日方程。
解这组方程可以得到优化问题的解。
3. 拉格朗日函数是原始问题的下界。
通常情况下，拉格朗日函数的极小值是原始问题的下界。
在某些特殊情况下，拉格朗日函数的极小值与原始问题的极小值相等，即达到了最优解。
二、拉格朗日函数的应用领域拉格朗日函数在许多实际问题中都具有广泛的应用，以下是一些常见的应用领域：1. 优化问题：拉格朗日函数被广泛应用于各种优化问题的求解，如线性规划、非线性规划等。
通过构建拉格朗日函数，我们可以简化原始问题的求解过程，提高求解效率。
2. 经济学：拉格朗日函数在经济学中也具有重要作用。
在约束条件下求解经济最优化问题时，可以使用拉格朗日函数来建立经济模型，从而得到最优解。
3. 物理学：拉格朗日函数在物理学中是一种非常重要的工具，被广泛应用于力学、电磁学、光学等领域。
它可以描述系统的运动方程和约束条件，帮助我们研究和理解自然界中的各种现象。
4. 机器学习：在机器学习领域，拉格朗日函数也有着重要的应用。
在支持向量机中，我们可以通过构建拉格朗日函数来解决分类问题，实现最优划分超平面的求解。
拉格朗日的函数原理
拉格朗日的函数原理
拉格朗日函数原理是数学上求解约束最优化问题的一种方法。
该方法以法国数学家约瑟夫·路易·拉格朗日命名。
假设有一个最优化问题，需要在一定的约束条件下使目标函数取得最大值或最小值。
拉格朗日函数原理通过引入一个额外的变量，即拉格朗日乘子，来将约束条件转化为目标函数的一部分，并通过求解拉格朗日函数的极值问题来求解原始的约束最优化问题。
具体来说，设有n个变量x1,x2,...,xn，m个约束条件g1(x1,x2,...,xn)≤0,
g2(x1,x2,...,xn)≤0,..., gm(x1,x2,...,xn)≤0，目标函数为f(x1,x2,...,xn)。
将约束条件的不等式形式转为等式形式，即g1(x1,x2,...,xn)=0, g2(x1,x2,...,xn)=0,..., gm(x1,x2,...,xn)=0。
定义拉格朗日函数L(x1,x2,...,xn,λ1,λ2,...,λm) = f(x1,x2,...,xn) + λ
1g1(x1,x2,...,xn) + λ2g2(x1,x2,...,xn) + ... + λmgm(x1,x2,...,xn)。
其中，λ1,λ2,...,λm为拉格朗日乘子。
然后，通过求解拉格朗日函数L的偏导数，令其等于零，同时满足约束条件的一组解称为拉格朗日函数的驻点。
通过求解驻点，可以求得原始最优化问题的解。
拉格朗日函数原理的优点是将约束条件转化为了目标函数的一部分，从而统一了约束条件和目标函数，并且可以通过求解拉格朗日函数的极值问题来求解原始最优化问题。
缺点是对于较复杂的问题，可能需要引入大量的拉格朗日乘子，求解过程较为繁琐。
拉格朗日求极值的方法
拉格朗日求极值的方法
1 拉格朗日求极值
拉格朗日求极值是函数最优化技术的一种重要方法，它将优化问题转化为非负条件下的方程题求解，这样可以求得原问题的最优解。
拉格朗日求极值运用在数学，经济学等各个领域，提出于19世纪末20世纪初。
2 原理
拉格朗日求极值方法认为，问题被表述为最大化某个函数l(x)（称为目标函数）的值。
但是，存在着一些约束条件，这些约束条件会阻碍目标函数的最大化操作，因此，就会引出一种新的函数，该函数由目标函数和约束条件式组合而成，称为拉格朗日函数。
最后求解拉格朗日函数关于原变量x的极值，从而求出子问题的极值。
3 步骤
（1）根据目标函数和约束条件建立拉格朗日函数。
（2）求得拉格朗日函数关于x的导数，然后将导数等于0，即求导数偏导数等于0的125解。
（3）令拉格朗日函数取得最大值或最小值时，求出x的最优解，从而求得极值的最终解。
4 应用
拉格朗日求极值的应用非常广泛，与经济学有关的问题特别常见，如资源配置优化分配，企业的最大短期利润，社会总体的最高可接受
的收入不平等度等。
同时，在机械设计领域，也可以用拉格朗日求极
值方法来优化零件形状，提高最终结果。
拉格朗日条件极值
拉格朗日条件极值
1.拉格朗日条件极值（Lagrange Condition of Extremum）是非线性优化理论的重要
组成部分。
它是一种常用的在结构力学、热力学、系统动力学和控制论中求解极大或极小
值的方法。
2.拉格朗日条件极值法的基本思想，是在给定的变量限制条件下，我们要求极大或极
小的函数，就是对应的优化问题，首先要寻找满足此优化问题的正确解。
为了找出这个解，我们可以将问题转化为另一个函数，其是建立在原函数和限制条件上的一个条件函数。
3.拉格朗日条件极值法的核心是建立另一个函数，它是原来函数和限制条件的组合，
称为拉格朗日函数或者拉格朗日乘子函数，它的参数值就是满足问题的未知量值，即极值点。
4.拉格朗日条件极值的解法一般分为两个步骤：首先，构造一个拉格朗日函数，在这
个函数中，要满足原始函数的约束条件，并且要求拉格朗日乘子函数的极值；然后，根据
拉格朗日函数极值求出最优解。
5.在给定条件下，拉格朗日条件极值法比较具有优势，在许多优化问题中使用极值的
拉格朗日乘子法有更准确的数值解，同时可以得到最优值，而不受限于方程数。
拉格朗日
条件极值法也很有效，可以帮助我们快速地得到变量的解。
拉格朗日公式求极值
拉格朗日公式求极值摘要：一、引言1.拉格朗日公式的概念2.拉格朗日公式的应用背景二、拉格朗日公式的推导1.拉格朗日公式的基本形式2.拉格朗日公式的推导过程三、拉格朗日公式的性质1.拉格朗日公式的极值性质2.拉格朗日公式的优化性质四、拉格朗日公式的应用1.求解极值问题2.优化问题五、结论1.拉格朗日公式的重要性2.拉格朗日公式在实际问题中的应用正文：一、引言拉格朗日公式，作为数学领域中一个重要的公式，广泛应用于物理学、工程学等众多学科。
它能帮助我们求解许多极值问题，具有重要的理论和实际意义。
二、拉格朗日公式的推导1.拉格朗日公式的基本形式拉格朗日公式可以表示为：L = L(x, y, z, ...) = L(x) + L(y) + L(z) + ...，其中x, y, z, ...为各个变量的函数。
2.拉格朗日公式的推导过程拉格朗日公式的推导过程较为复杂，涉及微积分、偏导数等概念。
具体推导过程可参考相关数学教材。
三、拉格朗日公式的性质1.拉格朗日公式的极值性质当拉格朗日公式的导数为零时，即L"(x) = L"(y) = L"(z) = ...= 0，可以得到各个变量的极值。
2.拉格朗日公式的优化性质拉格朗日公式具有优化性质，可以通过求解拉格朗日公式的极值问题，得到原问题的最优解。
四、拉格朗日公式的应用1.求解极值问题拉格朗日公式可以用于求解各种极值问题，如求解函数的极大值、极小值等。
2.优化问题拉格朗日公式在优化问题中具有广泛应用，如求解凸优化问题、约束优化问题等。
五、结论拉格朗日公式作为数学领域中的一个重要公式，具有重要的理论和实际意义。
拉普朗日极值定理求偏导
拉普朗日极值定理求偏导
拉普朗日极值定理是一种常用于求解极值的方法，它可以将一个多元函数的极值问题转化为一元函数的极值问题。
在使用该定理求解偏导数时，通常需要先将目标函数转化为拉格朗日函数，然后使用拉格朗日乘数法求解约束条件。
通过对拉格朗日函数进行求导，可以得到偏导数的表达式，从而求解极值问题。
使用拉普朗日极值定理求解偏导数需要注意，需要满足拉格朗日函数的一些条件，如必须是可微的、连续的等。
- 1 -。
条件极值拉格朗日乘数法方法简述
条件极值拉格朗日乘数法方法简述条件极值问题是数学中的一个重要分支，其主要研究在给定一定条件下，一个函数在一些闭合区域内取得最大值或最小值的问题。
拉格朗日乘数法是求解此类问题的常用方法之一，其原理是通过构造拉格朗日函数并利用其特殊性质来求取函数的条件极值点。
拉格朗日乘数法的基本思想是：在求解极值的过程中，将约束条件也纳入考虑，并引入拉格朗日乘数来完成。
通过这种方法，可以把条件极值问题转化为非条件极值问题，进而可以使用常规的计算极值的方法来求解。
下面将对拉格朗日乘数法的方法进行详细的说明。
1.构造拉格朗日函数拉格朗日函数是由原函数和约束条件构成的一个新的函数。
假设原函数为f(x)，而约束条件为g(x)=0，则拉格朗日函数的一般形式可以表示为L(x,λ)=f(x)+λg(x)，其中λ为拉格朗日乘数。
2.求解拉格朗日函数的极值点将拉格朗日函数对自变量和拉格朗日乘数的偏导数都等于0，得到一组方程组。
即：∂L/∂x=∂f/∂x+λ∂g/∂x=0∂L/∂λ=g(x)=0使用上述方程组求解x和λ，得到一组解(x*,λ*)，这些解即为原函数在约束条件下的条件极值点。
3.判断条件极值的类型通过判断条件极值点(x*,λ*)的类型来确定原函数的条件极值类型。
a.若拉格朗日乘数λ*≠0，则该条件极值点是稳定的。
可以利用解析几何的方法来确定该点的特性。
b.若拉格朗日乘数λ*=0，则该条件极值点是临界的。
需要在约束条件下进一步进行分析。
4.检验临界点将临界点代入原函数和约束条件进行计算，判断函数在该点上是否取得极值，以及是取得最大值还是最小值。
通过以上步骤，可以求解出函数在给定约束条件下的条件极值点及其类型。
除了以上基本方法外，拉格朗日乘数法还有一些扩展和变种方法，例如当约束条件不是一个等式而是一个不等式时，可以通过引入松弛变量来将问题转化为等式约束条件，然后再应用拉格朗日乘数法进行求解。
拉格朗日乘数法是一种强有力的工具，可以解决很多实际问题，如经济学中的最优化问题、物理学中的极值问题等。
拉格朗日求极值的方法
拉格朗日求极值的方法
首先列出使用“拉格朗日求极值”的已知条件；然后列出拉格朗日辅助函数F(x,y,z)；求出拉格朗日辅助函数F(x,y,z)对x、y、z的偏导数，并使之为零；然后依据所有偏导数构成的方程组，解出唯一的驻点；最后即可完成拉格朗日求极值的过程，得出函数的极大值（也是最大值）。
拉格朗日乘数法
在数学最优问题中，拉格朗日乘数法（以数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日命名）是一种寻找变量受一个或多个条件所限制的多元函数的极值的方法。
这种方法将一个有n个变量与k个约束条件的最优化问题转换为一个有n+k个变量的方程组的极值问题，其变量不受任何约束。
这种方法引入了一种新的标量未知数，即拉格朗日乘数：约束方程的梯度（gradient）的线性组合里每个向量的系数。
此方法的证明牵涉到偏微分，全微分或链法，从而找到能让设出的隐函数的微分为零的未知数的值。
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习题8-4
1. 求下列各函数在所给的限制下的极大值或极小值
(a) f(x,y)=xy ; x+3y=6。
解：令()63,-+=y x y x g 故()0,=y x g
令拉格朗日函数为()()()()63,,,,-++=+=y x xy y x g y x f y x F λλλ
6
33-+=+=+=y x F x F y F y x λλλ
令⎪⎩
⎪⎨⎧=-+=+=+063030y x x y λλ 将λ消掉可得⎩⎨⎧⎩⎨⎧==⇒=-+=-1306303y x y x y x ()31,3=f
取一满足063=-+y x 的点()2,0代入()302,0,<=f f
故知()31,3=f 为绝对极大值
(b) f(x,y)=x 2+2y 2
; x –2y+1=0。
解：令()12,++=y x y x g 故()0,=y x g
令拉格朗日函数()()()()12,,,,22+-++=+=y x y x y x g y x f y x F λλλ 1
2242+-=-=+=y x F y F x F y x λλλ
令⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-=+01202402y x y x λλ 将λ消掉可得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧=-=⇒=+-=+3131012044y x y x y x 3
131,31=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f 取一满足012=+-y x 的点()0,1-代入()3
110,1,>
=-f f 故知3
131,31=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f 为绝对极小值
(c) f(x,y)=x 3–y 3
; x –y=3。
解：令()3,--=y x y x g 故()0,=y x g
令拉格朗日函数()()()()3,,,,33--+-=+=y x y x y x g y x f y x F λλλ
33322--=--=+=y x F y F x F y x λλ
λ
令⎪⎩
⎪⎨⎧=--=--=+03030322y x y x λλ 将λ消掉可得y x =或y x -=
当y x =则0303=-⇒=--y x 矛盾
当y x -=则2
32303-=⇒=
⇒=--x y y x 42723,23-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f 取一满足03=--y x 的点()0,3代入()4
27270,3,->
=f f 故知42723,23-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f 为绝对极小值
(d) f(x,y)=2x+y –z ; x 2+y 2+z 2=24。
解：令()24,222-++=z y x y x g 故()0,,=z y x g
令拉格朗日函数
()()()()
242,,,,,,222-+++-+=+=z y x z y x z y x g z y x f y x F λλλ
242112222-++=+-=+=+=z y x F z
F y
F x F z y x λλλλ
令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++=+-=+=+0
240210102222z y x z y x λλλ
当0=λ代入022=+x λ则02=矛盾
故0≠λ则λλλ21,21,1=-=-=
z y x 代入024222=-++z y x 得41=
λ或41- 当41=
λ则()()2,2,4,,--=z y x 当4
1-=λ则()()2,2,4,,-=z y x ()()122,2,4122,2,4=-<-=--f f
故()122,2,4-=--f 为绝对极小值
()122,2,4=-f 为绝对极大值
(e) f(x,y)=x+y+2z ; x 2+y 2+z 2=4。
解：令()4,,222-++=z y x z y x g 故()0,,=z y x g
令拉格朗日函数
()()()()
42,,,,,,,222-+++++=+=z y x z y x z y x g z y x f z y x F λλλ
4222121222-++=+=+=+=z y x F z
F y
F x F z y x λλλλ
令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++=+=+=+0
4022021021222z y x z y x λλλ 当0=λ代入021=+x λ则01=矛盾
故0≠λ则λλλ1,21,21-=-=-=
z y x 代入04222=-++z y x 得46=λ或4
6- 当46=λ则()⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---=362,36,36,,z y x
当46-=λ则()⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=362,36,36,,z y x 62362,36,3662362,36,36=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛<-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---f f 故62362,36,36-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---f 为绝对极小值
62362,36,36=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛f 为绝对极大值
(f) f(x,y)=xy ; x 2+y 2 =8。
解：令()8,22--=y x y x g 故()0,=y x g
令拉格朗日函数()()()()
8,,,,22--+=+=y x xy y x g y x f y x F λλλ
82222-+=+=+=y x F y
x F x y F y x λλλ
令⎪⎩
⎪⎨⎧=-+=+=+08020222y x y x x y λλ
将x y λ2-=代入02=+y x λ得()0412=-x x
若0=x 则0=y 但)0,0(不满足0822=-+y x
故0≠x 则21-21或=
λ 当21=
x 则2y 4y 08-y 222±=⇒==+-=得代入x y x 当2
1-=x 则2y 4y 08-y 222±=⇒==+=得代入x y x ()()()()()()()()為絕對極小值
故為絕對極大值故 42,22,2 42,22,2 4
2,2 , 42,2 , 42,2 , 42,2=-=-=--==---=--=-=f f f f f f f f
2. 假设利润函数P(x,y)=30x+60y –x 2–y 2，求在容量x+y=60的限制下，P(x,y)的极大值。
解：令()60,-+=y x y x g 故()0,=y x g
令拉格朗日函数
()()()()606030,,,,22-++--+=+=y x y x y x y x g y x f y x F λλλ
60
260230-+=+-=+-=y x F y F x F y x λλλ
令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧==⇒=-+=+-=-+=+-=+-2
75245060015 06002600230y x y x y x y x y x 消掉得將λλλ 22025275,245=⎪⎭
⎫ ⎝⎛P 取一满足2
20251800)0,60( , ),( (60,0) 60<
-==+P y x P y x 代入的點 故22025275,245=⎪⎭⎫ ⎝⎛P 为绝对极大值 3. 假设产量函数P(x,y)=12x+30y –6xy ，求在成本4x+2y=40的限制下之最大产量。
解：令()4024,-+=y x y x g 故()0,=y x g
令拉格朗日函数
()()()()402463012,,,,-++-+=+=y x xy y x y x g y x f y x F λλλ
40
2426304612-+=+-=+-=y x F x F y F y x λλλ
令⎪⎩
⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧==⇒=-+=--=-+=+-=+-6704024082 040240263004612y x y x y x y x x y 消掉得將λλλ ()126,7=P
取一满足12120)0,10( , ),( (10,0) 4024>==+P y x P y x 代入的點 故()126,7=P 为绝对极小值
故绝对极大值发生在边界上，即x = 0，y = 0和04024=-+y x 所围区域的边界上
case(i) x = 0，200≤≤y
)(300630012),(1y g y y y y x P ==⋅⋅-+⋅=
030)(1>=y g dy d ，故极大值仅可能出现在端点上 即0)0,0()0(1==P g 或600)20,0()20(1==P g case(ii) y = 0，100≤≤x
)(1206030012),(2x g x x y x P ==⋅⋅-⋅+⋅=
012)(2>=x g dx d ，故极大值仅可能出现在端点上 即0)0,0()0(2==P g 或120)0,10()10(2==P g case(iii) 04024=-+y x
令x y 220-=代入P (x , y )得
)220(6)220(3012)220,(x x x x x x P -⋅⋅--+=-
600168122+-=x x
)(3x g = 令016824)(3=-=x x g dx d
得 x = 7，代入04024=-+y x 得 y = 6
故极大值可能出现在 (0,20)，(10,0) 或 (7,0) 上 其值分别为600)20,0(=P ，120)0,10(=P ，12)6,7(=P 综合case(i)、(ii)及(iii)知最大值为600)20,0(=P。