拉格朗日极值

习题8-4

1. 求下列各函数在所给的限制下的极大值或极小值

(a) f(x,y)=xy ; x+3y=6。

解：令()63,-+=y x y x g 故()0,=y x g

令拉格朗日函数为()()()()63,,,,-++=+=y x xy y x g y x f y x F λλλ

6

33-+=+=+=y x F x F y F y x λλλ

令⎪⎩

⎪⎨⎧=-+=+=+063030y x x y λλ 将λ消掉可得⎩⎨⎧⎩⎨⎧==⇒=-+=-1306303y x y x y x ()31,3=f

取一满足063=-+y x 的点()2,0代入()302,0,<=f f

故知()31,3=f 为绝对极大值

(b) f(x,y)=x 2+2y 2

; x –2y+1=0。

解：令()12,++=y x y x g 故()0,=y x g

令拉格朗日函数()()()()12,,,,22+-++=+=y x y x y x g y x f y x F λλλ 1

2242+-=-=+=y x F y F x F y x λλλ

令⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-=+01202402y x y x λλ 将λ消掉可得⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧=-=⇒=+-=+3131012044y x y x y x 3

131,31=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f 取一满足012=+-y x 的点()0,1-代入()3

110,1,>

=-f f 故知3

131,31=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f 为绝对极小值

(c) f(x,y)=x 3–y 3

; x –y=3。

解：令()3,--=y x y x g 故()0,=y x g

令拉格朗日函数()()()()3,,,,33--+-=+=y x y x y x g y x f y x F λλλ

33322--=--=+=y x F y F x F y x λλ

λ

令⎪⎩

⎪⎨⎧=--=--=+03030322y x y x λλ 将λ消掉可得y x =或y x -=

当y x =则0303=-⇒=--y x 矛盾

当y x -=则2

32303-=⇒=

⇒=--x y y x 42723,23-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f 取一满足03=--y x 的点()0,3代入()4

27270,3,->

=f f 故知42723,23-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f 为绝对极小值

(d) f(x,y)=2x+y –z ; x 2+y 2+z 2=24。

解：令()24,222-++=z y x y x g 故()0,,=z y x g

令拉格朗日函数

()()()()

242,,,,,,222-+++-+=+=z y x z y x z y x g z y x f y x F λλλ

242112222-++=+-=+=+=z y x F z

F y

F x F z y x λλλλ

令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++=+-=+=+0

240210102222z y x z y x λλλ

当0=λ代入022=+x λ则02=矛盾

故0≠λ则λλλ21,21,1=-=-=

z y x 代入024222=-++z y x 得41=

λ或41- 当41=

λ则()()2,2,4,,--=z y x 当4

1-=λ则()()2,2,4,,-=z y x ()()122,2,4122,2,4=-<-=--f f

故()122,2,4-=--f 为绝对极小值

()122,2,4=-f 为绝对极大值

(e) f(x,y)=x+y+2z ; x 2+y 2+z 2=4。

解：令()4,,222-++=z y x z y x g 故()0,,=z y x g

令拉格朗日函数

()()()()

42,,,,,,,222-+++++=+=z y x z y x z y x g z y x f z y x F λλλ

4222121222-++=+=+=+=z y x F z

F y

F x F z y x λλλλ

令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++=+=+=+0

4022021021222z y x z y x λλλ 当0=λ代入021=+x λ则01=矛盾

故0≠λ则λλλ1,21,21-=-=-=

z y x 代入04222=-++z y x 得46=λ或4

6- 当46=λ则()⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛---=362,36,36,,z y x

当46-=λ则()⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=362,36,36,,z y x 62362,36,3662362,36,36=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛<-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---f f 故62362,36,36-=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛---f 为绝对极小值

62362,36,36=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛f 为绝对极大值

(f) f(x,y)=xy ; x 2+y 2 =8。

解：令()8,22--=y x y x g 故()0,=y x g

令拉格朗日函数()()()()

8,,,,22--+=+=y x xy y x g y x f y x F λλλ

82222-+=+=+=y x F y

x F x y F y x λλλ

令⎪⎩

⎪⎨⎧=-+=+=+08020222y x y x x y λλ

将x y λ2-=代入02=+y x λ得()0412=-x x

若0=x 则0=y 但)0,0(不满足0822=-+y x

故0≠x 则21-21或=

λ 当21=

x 则2y 4y 08-y 222±=⇒==+-=得代入x y x 当2

1-=x 则2y 4y 08-y 222±=⇒==+=得代入x y x ()()()()()()()()為絕對極小值

故為絕對極大值故 42,22,2 42,22,2 4

2,2 , 42,2 , 42,2 , 42,2=-=-=--==---=--=-=f f f f f f f f