2016届瑞安五中高二导学案两点间的距离

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2016届瑞安五中高二导学案直线与平面垂直的性质

§2.3.3 直线与平面垂直的性质一、储备（一）学习目标1. 理解和掌握直线与平面垂直的性质定理及其应用；2. 了解反证法证题的思路和步骤；3. 掌握平行与垂直关系的转化.（二）自主导航（预习教材P70~ P71，找出疑惑之处）复习1：①什么是二面角？什么是二面角的平面角？②当两个平面所成的二面角____________时，这两个平面互相垂直.复习2：两个平面垂直的判定定理：图形语言：符号语言复习3：①垂直于同一直线的两条直线的位置关系是____________；②垂直于同一平面的两个平面的位置关系是___________.二、导学探究：直线与平面垂直的性质定理问题1：操场旗杆外围竖着的栏杆，它们与地面的位置关系如何？你感觉它们之间的位置关系又是什么样的？问题2：如图12-1，长方体的四条棱AA'、BB'、CC'和DD'与底面ABCD是什么关系？它们之间又是什么关系？.反思：由以上两个问题，你得出了什么结论？自己能试着证明吗？和其它同学讨论讨论，看看难在哪里？思考：如图，已知直线a⊥平面α，直线b⊥平面α，求证：a∥b.例1 判断下列命题是否正确，并说明理由.⑴两条平行线中的一条垂直于某条直线，则另一条也垂直于这条直线； ⑵两条平行线中的一条垂直于某个平面，则另一条也垂直于这个平面； ⑶两个平行平面中的一个垂直于某个平面，则另一个也垂直与这个平面； ⑷垂直于同一条直线的两条直线互相平行； ⑸垂直于同一条直线的两个平面互相平行； ⑹垂直于同一个平面的两个平面互相平行.例2. 如图，CA α⊥于点A ，CB β⊥于点B ，l αβ=，a α⊂，且a AB ⊥，求证：a ∥l .例3.已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 . (1)求证: A 1C ⊥B 1D 1 ;(2)若M 、N 分别为B 1D 1与C 1D 上的点, 且MN ⊥B 1D 1 , MN ⊥C 1D , 求证: MN//A 1C .思考：除了刚才的结论，你还能结合实际情况和定理，得到其他的直线与平面垂直的性质你能把它们用图形表示出来吗？D 11B 1三、追踪1. 下列四个命题中错误的是（）.A.,a b a αα⊥⊥⇒∥bB.,a a α⊥∥b b α⇒⊥C.,a b α⊥∥,a b α⇒⊥D.,a a b b α⊥⊥⇒∥α2. 平面α外不共线的三点,,A B C 到α的距离都相等，则正确的结论是（）. A.平面ABC 必平行于α B.平面ABC 必垂直于α C.平面ABC 必与α相交D.存在ABC ∆的一条中位线平行于α或在α内3. 已知平面α和平面β相交,a 是α内一条直线，则有（）. A.在β内必存在与a 平行的直线 B.在β内必存在与a 垂直的直线 C.在β内不存在与a 平行的直线 D.在β内不一定存在与a 垂直的直线4. 直线a α⊥，直线b β⊥，且α∥β，则a ___b .5. 设直线,a b 分别在正方体''''ABCD A B C D -中两个不同的平面内，欲使//a b ，,a b 应满足________________________.(至少写出2个不同答案)6. 已知a α⊄，a b ⊥，b α⊥，则a 与平面α的位置关系是 .7. 如图，AB 是异面直线,a b 的公垂线（与,a b 都垂直相交的直线），a α⊥，b β⊥，c αβ=，求证：AB ∥c .8. 如图12-5，在三棱锥中，PA PB =，AB BC ⊥，若M 是PC 的中点，试确定AB 上点N 的位置，使得MN AB ⊥.图12-59. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11,,AB BC BC BC AB BC ⊥⊥=，,,E F G 分别为线段1111,,AC AC BB 的中点，求证：（1）平面ABC ⊥平面1ABC ;（2）//EF 面11BCC B ；（3）GF ⊥平面11AB CAB CA 1B 1C 1E FG§2.3.4 平面与平面垂直的性质一、储备(一)学习目标1. 理解和掌握两个平面垂直的性质定理及其应用；2. 进一步理解线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化及转化的数学思想.（二）自主导航（预习教材P 71~ P 72，找出疑惑之处）复习1：直线与平面垂直的性质定理复习2：直线与平面垂直的判定定理复习3：两个平面垂直的定义是什么?二、导学※ 探索新知探究：平面与平面垂直的性质问题1：如图13-1，黑板所在平面与地面所在平面垂直，在黑板上是否存在直线与地面垂直？若存在，怎样画线？图13-1问题2：如图13-2，在长方体中，面AADD ''与面ABCD 垂直，AD 是其交线，则直线AA '与AD 关系如何？直线AA '与面ABCD 呢？图13-2反思：以上两个问题有什么共性？你得出了什么结论？请用图形和符号语言把它描述在下面，并试着证明这个结论.反思：这个结论实现了什么关系的转化?黑板地面※ 典型例题例1 如图13-3，已知平面,αβ，αβ⊥，直线a 满足a β⊥，a α⊄，求证：a ∥面α.图13-3例2 如图13-4，四棱锥P ABCD -的底面是个矩形，2,AB BC =PAB 是等边三角形，且侧面PAB 垂直于底面ABCD . ⑴证明：侧面PAB ⊥侧面PBC ； ⑵求侧棱PC 与底面ABCD 所成的角.图13-4※ 动手试试练1. 平面α⊥平面β，P α∈，过点P 作平面β的垂线a ，求证：a α⊂.练2. 如图13-5，平面α⊥平面β，AB αβ=，a ∥α，a AB ⊥，求证：a β⊥.图13-5三、追踪1. 下列命题错误的是（）.A.αβ⊥⇒α内所有直线都垂直于βB.αβ⊥⇒α内一定存在直线平行于βC.α不垂直β⇒α内不存在直线垂直βD.α不垂直β⇒α内一定存在直线平行于β 2. 已知αβ⊥，下列命题正确个数有（）. ①αβ内的已知直线必垂直于内的任意直线②αβ内的已知直线必垂直于内的无数条直线 ③α内的任一直线必垂直于βA.3B.2C.1D.03. 已知αβ⊥，,a b αβ⊂⊂，b 是α的斜线，a ⊥b ，则a 与β的位置关系是（）. A.a ∥β B. a 与β相交不垂直 C. a β⊥ D.不能确定4. 若平面αβ⊥平面，直线a α⊂，则a 与β的位置关系为_____________________.5. 直线m 、n 和平面α、β满足m n ⊥，m α⊥,αβ⊥，则n 和β的位置关系为__________.6. 如图13-6，平面α⊥平面γ，βγ⊥平面平面，l αβ=，求证：l γ⊥.图13-67. 如图13-7，,,CD CD AB αββ⊥⊂⊥，CE ,EF ⊂α，90FEC ∠=°，求证：面EFD ⊥面DCE .8. 如图l ，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=AD ，∠ABC=600，E 是BC 的中点．如图2，将△ABE 沿AE 折起，使二面角B —AE —C 成直二面角，连结BC ，BD ，F 是CD 的中点，P 是棱BC 的中点． (1)求证：AE ⊥BD ； ’(2)求证：平面PEF ⊥平面AECD ； (3)判断DE 能否垂直于平面ABC?并说明理由．ABCDE 图1C图2。

瑞安五中2016届高二数学导学案直线、圆的位置关系

§4.2直线、圆的位置关系导学案一、储备（一）学习目标1．理解直线与圆的几种位置关系；2．利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离；3．会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．（二）自学导航（预习教材P 126~ P 128，找出疑惑之处）1．把圆的标准方程222()()x a y b r -+-=整理为圆的一般方程 .把22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->整理为圆的标准方程为 .2．一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70km 处，受影响的范围是半径为30km 的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40km 处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？3．直线与圆的位置关系有哪几种呢？4．我们怎样判断直线与圆的位置关系呢？如何用直线与圆的方程判断它们之间的位置关系呢二、导学※ 学习探究新知1：设直线的方程为:0l ax by c ++=，圆的方程为22:0C x y Dx Ey F ++++=，圆的半径为r ，圆心(,)22D E --到直线的距离为d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：⑴当r d >时，直线l 与圆C 相离；⑵当r d =时，直线l 与圆C 相切；⑶当r d <时，直线l 与圆C 相交；新知2：如果直线的方程为y kx m =+，圆的方程为222()()x a y b r -+-=，将直线方程代入圆的方程，消去y 得到x 的一元二次方程式20Px Qx R ++=，那么：⑴当0∆<时，直线与圆没有公共点；⑵当0∆=时，直线与圆有且只有一个公共点；⑶当0∆>时，直线与圆有两个不同的公共点；※ 典型例题例1 用两种方法来判断直线3460x y -+=与圆22(2)(3)4x y -+-=的位置关系.例2 如图2,已知直线l 过点()5,5M 且和圆22:25C x y +=相交,截得弦长为求l 的方程变式：求直线50x y --=截圆22446x y x y +-++ 0=所得的弦长.※ 动手试试练1. 直线y x =与圆()2221x y r +-=相切,求r 的值.练2. 求圆心在直线23x y -=上,且与两坐标轴相切的圆的方程.※ 学习小结判断直线与圆的位置关系有两种方法① 判断直线与圆的方程组是否有解a.有解,直线与圆有公共点.有一组则相切;有两组,则相交b 无解,则直线与圆相离② 如果直线的方程为0Ax By C ++=，圆的方程为222()()x a y b r -+-=，则圆心到直线的距离d =.⑴如果d r < 直线与圆相交;⑵如果d r =直线与圆相切;⑶如果d r >直线与圆相离.三、追踪※ 当堂检测：1. 直线3460x y -+=与圆22(2)(3)4x y -+-=A ．相切B ．相离C ．过圆心D ．相交不过圆心2. 若直线0x y m ++=与圆22x y m +=相切，则m 的值为（）.A ．0或2B ．2C ．无解3 已知直线l 过点(2,0)-，当直线l 与圆222x y x +=有两个交点时，其斜率k 的取值范围是（）.A ．(-B ．(C ．(44-D ．11(,)88- 4. 过点(2,2)M 的圆228x y +=的切线方程为.5. 圆2216x y +=上的点到直线30x y --=的距离的最大值为 .1. 圆222430x y x y +++-=上到直线:1l x y ++0=.2. 若直线430x y a -+=与圆22100x y +=.⑴相交；⑵相切；⑶相离；分别求实数a 的取值范围.。

高中数学3.3.2两点间的距离全册精品教案新人教A版必修2

由图象可知： | PA| + | PC| ≥ | AC′ |
当 P是 AC′与 l 的交点 P(11, 26) 时“ =”成立， 77
∴ P(11, 26) . 77
例 3 如图，一束光线经过 P (2 ， 1) 射到直线 l ： x + y + 1 = 0 ，反射后穿过点 Q (0 ， 2) 求：（ 1）入射光线所在直线的方程；（ 2）沿这条光线从 P 到 Q的长度 .
证明：如图所示，以顶点 A 为坐标原
第二步：进行有关代数运
点， AB边所在的直线为 x 轴，建立直算 .
角坐标系，有 A(0 ， 0).
第三步：把代数结果“翻
设 B ( a， 0) ， D( b， c) ，由平行四边译”成几何关系 .
形的性质的点 C的坐标为 ( a + b， c) ，
思考：同学们是否还有其
（三）教学方法
启发引导式
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
复习数轴上两点的距离公式 .
设问一：
复习引入
同学们能否用以前所学知识解决以下问题：
已知两点 P1 ( x1 ， y1) ， P2
设置情境导入新课
( x2， y2) 求| P1P2|
过 P1、 P2 分别向 x 轴和 y 轴作垂
在教学过程中，可以提出
因此
| PA | (1 2) 2 (0 2) 2 2 2
例 2 证明平行四边形四条边的平方
此题让学生讨论解决，再
和等于两条对角线的平方和 .
由学生归纳出解决上述问题的
分析：首先要建立直角坐标系，用坐
基本步骤：
标表示有关量，然后用代数进行运算，

(完整版)高中数学：3.3.2《两点间的距离》教学案(新人教版A版必修2)

§ 3.3.2两点间的距离【教学目标】1．掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题.2．通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性.3．体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决几何问题.【重点难点】教学重点：①平面内两点间的距离公式.②如何建立适当的直角坐标系.教学难点：如何根据具体情况建立适当的直角坐标系来解决问题.【教学过程】一、导入新课、展示目标问题已知平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，如何求P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离|P1P2|?二、检查预习、交流展示核对课前预习中的答案。

1、（1，0）；2、1并说出自己的疑惑处。

三、合作探究、精讲精练探究一平面内两点间的距离公式问题 (1)如果A、B是x轴上两点，C、D是y轴上两点，它们的坐标分别是xA、xB、yC、yD，那么|AB|、|CD|怎样求?(2)求B(3，4)到原点的距离.(3)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，求|AB|.教师①如果A、B是x轴上两点，C、D是y轴上两点，它们坐标分别是x A、x B、y C、y D，那么|AB|、|CD|怎样求?②求点B(3，4)到原点的距离.③已知平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，如何求P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离|P1P2|.④同学们已知道两点的距离公式，请大家回忆一下我们怎样知道的(回忆过程).学生回答①|AB|=|x B-x A|,|CD|=|y C-y D|.②通过画简图，发现一个Rt△BMO，应用勾股定理得到点B到原点的距离是5.③图1在直角坐标系中，已知两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)，如图1,从P 1、P 2分别向x 轴和y 轴作垂线P 1M 1、P 1N 1和P 2M 2、P 2N 2，垂足分别为M 1(x 1，0)、N 1(0，y 1)、M 2(x 2，0)、N 2(0，y 2)，其中直线P 1N 1和P 2M 2相交于点Q.在Rt △P 1QP 2中，|P 1P 2|2=|P 1Q|2+|QP 2|2.因为|P 1Q|=|M 1M 2|=|x 2-x 1|,|QP 2|=|N 1N 2|=|y 2-y 1|，所以|P 1P 2|2=|x 2-x 1|2+|y 2-y 1|2.由此得到两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的距离公式：|P 1P 2|=212212)()(y y x x -+-教师 ④(a)我们先计算在x 轴和y 轴两点间的距离.(b)又问了B(3,4)到原点的距离，发现了直角三角形. (c)猜想了任意两点间距离公式.(d)最后求平面上任意两点间的距离公式.这种由特殊到一般，由特殊猜测任意的思维方式是数学发现公式或定理到推导公式、证明定理经常应用的方法.同学们在做数学题时可以采用!应用示例例1 如图2，有一线段的长度是13，它的一个端点是A(-4，8)，另一个端点B 的纵坐标是3，求这个端点的横坐标.图2解:设B(x ，3)，根据|AB|=13，即(x+4)2+(3-8)2=132，解得x=8或x=-16.点评：学生先找点，有可能找不全，丢掉点，而用代数解比较全面.也可以引至到A(-4，8)点距离等于13的点的轨迹(或集合)是以A 点为圆心、13为半径的圆上与y=3的交点，应交出两个点.变式训练1课本106页练习第一题例2 已知点A(-1，2)，B(2，7)，在x 轴上求一点，使|PA|=|PB|,并求|PA|的值. 解:设所求点P(x ，0)，于是有2222)70()2()20()1(-+-=-++x x .由|PA|=|PB|,得x 2+2x+5=x 2-4x+11,解得x=1.即所求点为P(1，0),且|PA|=22)20()11(-++=22.点评：引导学生熟练设点及应用距离公式。

高中数学3.3 两点间的距离教案1人教版必修2

两点间的距离今天我说课的内容是人教版数学必修（2）第三章“3.3.2两点间的距离”，主要内容是建立直角坐标系中两点间的距离公式和用坐标法证明简单的平面几何问题。

我将通过教材分析、目标分析、教法学法、教学程序和教学评价五个部分，阐述本课的教学设计。

一一、、教教材材与与学学情情分分析析1．地位与作用点是组成空间几何体最基本的元素之一，两点间的距离也是最简单的一种距离。

本章是用坐标法研究平面中的直线，而点又是确定直线位置的几何要素之一。

对本节的研究，为点到直线的距离公式、两条平行直线的距离公式的推导以及后面空间中两点间距离的进一步学习，奠定了基础，具有重要作用。

2．学情分析（1）知识与能力：在上一节，学生已经在平面直角坐标系中建立了各种形式的直线方程，对坐标法解决几何问题有了初步的认识。

（2）学生实际：我校学生实际是基础扎实、思维活跃，但抽象思维的能力比较欠缺，所以需要老师循序渐进的引导。

二二、、目目标标分分析析1．教学目标根据新课程标准的理念,以及上述教材结构与内容的分析，考虑到学生已有的知识结构及心理特征，制定如下三维教学目标：【知识与技能】（直接性目标）（1）让学生理解平面内两点间的距离公式的推导过程，掌握两点间距离公式及其简单应用，会用坐标法证明一些简单的几何问题；（2）通过由特殊到一般的归纳，培养学生探索问题的能力。

【过程与方法】（发展性目标）（1）利用勾股定理推导出两点间的距离公式，并由此用坐标法推证其它问题。

通过推导公式方法的发现，培养学生观察发现、分析归纳、抽象概括、数学表达等基本数学思维能力；（2）在推导过程中，渗透数形结合的数学思想。

【情感态度价值观】（可持续性目标）培养学生思维的严密性和条理性，同时感受数学的形式美与简洁美，从而激发学生学习兴趣。

2．教学重点、难点根据教学目标，应有一个让学生参与实践——探索发现——总结归纳的探索认知过程。

特确定如下重点与难点：【重点】两点间的距离公式和它的简单应用【难点】用坐标法解决平面几何问题【难点的确定】根据学生的认知水平，学生对于用坐标法研究几何问题只是停留在初步认识，对于坐标法的一基本步骤还不清楚，这需要一个过程。

《两点间的距离》导学案

求线段AP的最小值。
2、线段中点坐标公式
对于平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的中点是M(x0，y0)，则x0=，y0=。
例2：已知△ABC的顶点坐标为A（－1，5），
B（－2，－1），C（4，7）
（1）求BC边上的中线AM的长；
（2）求AM所在直线的方程。
变式：已知△ABC的顶点坐标为A（3，2），B（1，0），C（2+ ，1－），求AB边上的中线CM的长；
3.情感、态度与价值观：从特殊问题开始研究逐步过渡到研究一般问题的思维方式。
重点，难点
重点: 两点间的距离公式及应用，掌握中点坐标公式。
难点: 两点间的距离公式及中点坐标公式的推导。
学情分析
本节课的教学对象是高中一年级的学生，他们的形象思维、感性认识较强，理性思维、抽象认识能力还很薄弱，因此教学中选择学生熟悉的、易懂的实例引入，通过对例子的分析，使学生逐步理解本节课的内容，学会有条理的思考问题。
《两点间的距离》导学案
主备人：郑秋香复备人：高一数学组
第1课时（总1课时）
课型
新课
课前准备
预习教材P104~P106，找出疑惑之处
学习目标
1.知识与技能：
（1）掌握平面上两点间的距离公式及应用。
（2）掌握中点坐标公式。
（3）能运用Βιβλιοθήκη 离公式和中点坐标公式解决简单的问题
2.过程与方法：（1）问题引导法。（2）师生共同探究法。
释疑解难（15分钟）
问题1
已知平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2),试求P1P2距离公式。
知识导引
1、平面上两点间的距离公式
已知平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)

高中数学 2.3.2 《空间两点间的距离》导学案苏教版必修2

2.3.2 空间两点间的距离学习目标通过有三条棱分别与坐标轴平行的长方体顶点的坐标的表示，感受并会用空间两点间的距离公式求空间两点间的距离.学习过程一学生活动问题1．平面直角坐标系中两点间距离公式如何表示？试猜想空间直角坐标系中两点的距离公式．问题2．平面直角坐标系中两点)(111y x P ，，)(222y x P ，的线段21P P 的中点坐标是什么？空间中两点)(1111z y x P ，，，)(2222z y x P ，，的线段21P P 的中点坐标又是什么？二建构知识1.空间直角坐标系中两点的距离公式2.空间直角坐标系中的中点坐标公式三知识运用例题例1 求空间两点)523(1 - ，，P ，)106(2- ，，P 间的距离21P P ．例2 平面上到坐标原点的距离为1的点的轨迹是单位圆，其方程为122=+y x ．在空间中，到坐标原点的距离为1的点的轨迹是什么？试写出它的轨迹方程．例3 证明以)134( ，，A ，)217( ，，B ，)325( ，，C 为顶点的ABC ∆是等腰三角形．例4 已知)133( ，，A ，)501( ，，B ，求：线段AB 的中点和线段AB 长度；巩固练习1．已知空间中两点)32(1 ，，x P 和)745(2 ，，P 的距离为6，求x 的值．2．试解释方程36)5()3()12(222=-+++-z y x 的几何意义．3．已知点)652(- ，，A ，在y 轴上求一点P ，使7=PA ．四回顾小结空间两点间距离公式；空间两点的中点的坐标公式．五学习评价双基训练1在空间直角坐标系中A，B两点，再求他们之间的距离和线段AB中点的坐标：（1）A（1，1，0），B（-1，2，1）；（2）M（-3，1，5），N（0，-2，3）.2.在z轴上求一点M，使M到点A（1，0，2）与B（1，-3，1）的距离相等.是直角三角形.3.已知点A（1，-2，11），B（4，2，3），C（6，-1，4）.求证:ABC4.求到下列两点A，B距离相等的点的坐标(x,y,z)满足的条件：（1）A（1，0，1），B（2，3，-1）；（2）A（-3，2，2），B（1，0，-2）.5.写出与点A(-1,0,4)的距离等于3的点的坐标(x,y,z)满足的条件，并指出这些点构成的图形.6.已知点A(x,5,2-z)关于点P(1,y,3)的对称点是B(-2,-3,2+2z)，求x,y,z 的值.7.在平行四边形ABCD 中，若其中三点坐标是，A （0，2，3），B （-2，1，6），C （1，-1，5），求顶点D 的坐标.8.已知ABC ∆的三边中点分别D （1，-2，-1），E （3，2，2），F （4，0，-4），试求A ，B ，C 三点的坐标.拓展延伸9.若点G 到ABC ∆三个顶点的距离的平方和最小，则点G 就是ABC ∆的重心.（1）已知ABC ∆的三个顶点分别为A （3，3，1），B （1，0，5），C （-1，3，-3），求ABC ∆的重心G 的坐标；（2）已知ABC ∆的顶点坐标分别为A （3x+1，1，2z ），B （1，2-y ，3-z ），C （x ，2，0），重心 G 的坐标为（2，-1，4），求x,y,z 的值.。

2016年秋季学期新人教A版高中必修二3.3.2 两点间的距离导学案

3.3.1 两条直线的交点坐标3.3.2 两点间的距离[学习目标] 1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系.3.掌握两点间距离公式并会应用.知识点一两条直线的交点坐标 1.两条直线的交点已知两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0(A 1，B 1不同时为0)，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 2，B 2不同时为0).(1)基本知识——点与坐标的一一对应关系(2)两条直线的交点一般地，将两条直线的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0. 若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行. 2.过定点的直线系方程已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交于点P (x 0，y 0)，则方程A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0表示过点P 的直线系，不包括直线l 2.思考若两直线的方程组成的二元一次方程组有解，则两直线是否相交于一点？答不一定.两条直线是否相交，取决于联立两直线方程所得的方程组是否有惟一解.若方程组有无穷多个解，则两直线重合. 知识点二两点间的距离公式 1.两点间的距离平面上的两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|2.两点间距离的特殊情况(1)原点O (0,0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |(2)当P 1P 2∥x 轴(y 1＝y 2)时，|P 1P 2|＝|x 2－x 1|. (3)当P 1P 2∥y 轴(x 1＝x 2)时，|P 1P 2|＝|y 2－y 1|.思考当两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)都在同一坐标轴上时，两点间距离公式还适用吗？答适用.当两点都在x 轴上时，|AB |＝|x 1－x 2|；当两点都在y 轴上时，|AB |＝|y 1－y 2|.题型一两直线的交点问题例1 求经过两直线l 1：3x ＋4y －2＝0和l 2：2x ＋y ＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l 的方程.解方法一由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2，即l 1与l 2的交点坐标为(－2,2).∵直线过坐标原点， ∴其斜率k ＝2－2＝－1.故直线方程为y ＝－x ，即x ＋y ＝0.方法二 ∵l 2不过原点，∴可设l 的方程为3x ＋4y －2＋λ(2x ＋y ＋2)＝0(λ∈R )，即(3＋2λ)x ＋(4＋λ)y ＋2λ－2＝0.将原点坐标(0,0)代入上式，得λ＝1，∴直线l 的方程为5x ＋5y ＝0，即x ＋y ＝0.反思与感悟过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线系有两种：①λ1(A 1x ＋B 1y ＋C 1)＋λ2(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0可表示过l 1、l 2交点的所有直线； ②A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0不能表示直线l 2.跟踪训练1 求经过两条直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程.解把直线l 1和直线l 2的方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，所以交点P 的坐标是(0,2).由题意知直线l 3的斜率为34，且直线l 与直线l 3垂直，所以直线l 的斜率为－43，所以直线l 的方程为y －2＝－43(x －0)，即4x ＋3y －6＝0.题型二两点间距离公式的应用例2 已知△ABC 三顶点坐标A (－3,1)、B (3，－3)、C (1,7)，试判断△ABC 的形状. 解方法一 ∵|AB |＝(3＋3)2＋(－3－1)2＝213， |AC |＝(1＋3)2＋(7－1)2＝213，又|BC |＝(1－3)2＋(7＋3)2＝226， ∴|AB |2＋|AC |2＝|BC |2，且|AB |＝|AC |，∴△ABC 是等腰直角三角形.方法二 ∵k AC ＝7－11－(－3)＝32，k AB ＝－3－13－(－3)＝－23，则k AC ·k AB ＝－1，∴AC ⊥AB . 又|AC |＝(1＋3)2＋(7－1)2＝213， |AB |＝(3＋3)2＋(－3－1)2＝213， ∴|AC |＝|AB |.∴△ABC 是等腰直角三角形.反思与感悟 1.判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向.2.在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形边的长度特征，主要考察边是否相等或是否满足勾股定理. 跟踪训练2 已知点A (3,6)，在x 轴上的点P 与点A 的距离等于10，求点P 的坐标. 解设点P 的坐标为(x,0)，由|P A |＝10，所以点P 的坐标为(－5,0)或(11,0). 题型三坐标法的应用例3 求证：三角形的中位线长度等于底边长度的一半.证明如图，以A 为原点，边AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，其中D ，E 分别为边AC 和BC 的中点. 设A (0,0)，B (c,0)，C (m ，n )，则|AB |＝|c |.又由中点坐标公式，得D (m 2，n2)，E (c ＋m 2，n 2)，∴|DE |＝⎪⎪⎪⎪c ＋m 2－m 2＝|c 2|，∴|DE |＝12|AB |.即三角形的中位线长度等于底边长度的一半.反思与感悟利用坐标法解决平面几何问题按以下步骤进行：第一步：建立适当的直角坐标系，用坐标表示有关的量；第二步：进行有关代数运算；第三步：把代数运算关系“翻译”成几何关系.跟踪训练3 已知：等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，对角线为AC 和BD . 求证：|AC |＝|BD |.证明如图所示，建立直角坐标系，设A (0,0)，B (a,0)，C (b ，c )，则点D 的坐标是(a －b ，c ).∴|AC |＝(b －0)2＋(c －0)2＝b 2＋c 2， |BD |＝(a －b －a )2＋(c －0)2＝b 2＋c 2. 故|AC |＝|BD |.数形结合思想例4 已知两点A (2,3)，B (4,1)，直线l ：x ＋2y －2＝0，在直线l 上求一点P ， (1)使|P A |＋|PB |最小； (2)使|P A |－|PB |最大.分析作出几何图形，借助三角形的几何性质可求|P A |＋|PB |取最小值与|P A |－|PB |取最大值时的点P 的坐标.解 (1)如图，可判断A ，B 在直线l 的同侧，设点A 关于l 的对称点A ′的坐标为(x 1，y 1).则有⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋22＋2·y 1＋32－2＝0，y 1－3x 1－2·⎝⎛⎭⎫－12＝－1，解得⎩⎨⎧x 1＝－25，y 1＝－95.由两点式求得直线A ′B 的方程为y ＝711(x －4)＋1，由平面几何知识可知，当点P 为直线A ′B与直线l 的交点时，|P A |＋|PB |最小，此时|P A |＋|PB |＝|P A ′|＋|PB |＝|A ′B |，若P 不在此点时，|P A |＋|PB |＝|P A ′|＋|PB |＞|A ′B |，即直线A ′B 与l 的交点为P ⎝⎛⎭⎫5625，－325. (2)由两点式求得直线AB 的方程为y －1＝－(x －4)，即x ＋y －5＝0.由平面几何知识可知，当点P 为直线AB 与l 的交点时，|P A |－|PB |最大，此时|P A |－|PB |＝|AB |. 直线AB 与l 的交点为所求点P (8，－3).解后反思本题通过对称问题的转换，将求距离的最值问题转化为共线问题，这是一种常用的解题思路.另外通过图形探求问题也是一种常用方法.利用函数的几何意义求最值例5 已知函数y ＝x 2＋1＋x 2－4x ＋8，求函数的最小值.分析被开方数可以写成两个数的平方和的形式，联想到距离公式的结构特征和几何意义，从而求解.解 y ＝x 2＋1＋x 2－4x ＋8＝(x －0)2＋(0－1)2＋(x －2)2＋(0＋2)2，上式表示：在x 轴上的一点P (x,0)到A (0,1)，B (2，－2)两点距离之和，如图，|P A |＋|PB |≥|AB |，当且仅当点P 与P 0重合时，|P A |＋|PB |有最小值，最小值为|AB |＝22＋(－3)2＝13，解得此时直线AB 与x 轴的交点为P 0⎝⎛⎭⎫23，0.所以当x ＝23时，函数y ＝x 2＋1＋x 2－4x ＋8的最小值是13.解后反思因为x 2＋1＝(x －0)2＋(0－1)2表示点P (x,0)到点A (0,1)的距离，x 2－4x ＋8＝(x －2)2＋(0＋2)2表示点P (x,0)到点B (2，－2)的距离，所以函数y ＝x 2＋1＋x 2－4x ＋8的最小值问题就可以转化为几何问题：在x 轴上求一点P (x,0)，使其到A (0,1)，B (2，－2)两点距离之和最小.这类利用几何意义转化问题的技巧在今后的学习中经常用到，注意掌握.1.经过直线2x －y ＋4＝0与x －y ＋5＝0的交点，且垂直于直线x －2y ＝0的直线的方程是( )A.2x ＋y －8＝0B.2x －y －8＝0C.2x ＋y ＋8＝0D.2x －y ＋8＝0答案 A解析联立⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋4＝0，x －y ＋5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝6.∴交点坐标为(1,6).由垂直关系，得所求直线的斜率为－2，则所求直线方程为y －6＝－2(x －1)，即2x ＋y －8＝0.2.直线ax ＋2y ＋8＝0,4x ＋3y ＝10和2x －y ＝10相交于一点，则a 的值为( ) A.1 B.－1 C.2 D.－2 答案 B解析联立⎩⎪⎨⎪⎧ 4x ＋3y ＝10，2x －y ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2.∴交点坐标为(4，－2)，代入方程ax ＋2y ＋8＝0，解得a ＝－1.3.两条直线l 1：2x ＋3y －m ＝0与l 2：x －my ＋12＝0的交点在y 轴上，那么m 的值为( ) A.－24 B.6C.±6 D.以上答案均不对答案 C解析直线2x ＋3y －m ＝0在y 轴上的截距为m 3，直线x －my ＋12＝0在y 轴上的截距为12m .∵两直线的交点在y 轴上，∴12m ＝m3，解得m ＝±6. 4.直线l 与两直线y ＝1和x －y －7＝0分别交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为M (1，－1)，则直线l 的斜率为( ) A.32 B.23 C.－32 D.－23 答案 D解析设直线l 与直线y ＝1的交点为A (x 1，1)，与直线x －y －7＝0的交点为B (x 2，y 2).∵M (1，－1)为AB 的中点，∴－1＝1＋y 22，则y 2＝－3.代入直线x －y －7＝0，得x 2＝4，则点B 坐标为(4，－3).∵点B ，M 都在直线l 上，∴k l ＝－3＋14－1＝－23.5.设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，AB 的中点是P (2，－1)，则|AB |＝________. 答案 2 5解析设A (x,0)，B (0，y )，∵AB 中点P (2，－1)， ∴x 2＝2，y2＝－1， ∴x ＝4，y ＝－2，即A (4,0)，B (0，－2)， ∴|AB |＝42＋22＝2 5.1.方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0有惟一解的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0.亦即两条直线相交的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0.直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )是过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线(不含l 2).2.解析法又称为坐标法，它就是通过建立直角坐标系，用坐标代替点、用方程代替曲线、用代数的方法研究平面图形的几何性质的方法.3.两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2与两点的先后顺序无关，其反映了把几何问题代数化的思想.一、选择题1.直线x ＋2y －2＝0与直线2x ＋y －3＝0的交点坐标是( ) A.(4,1) B.(1,4)C.⎝⎛⎭⎫43，13 D.⎝⎛⎭⎫13，43 答案 C解析由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2＝0，2x ＋y －3＝0，解得⎩⎨⎧x ＝43，y ＝13，即交点坐标是⎝⎛⎭⎫43，132.经过两点A (－2,5)，B (1，－4)的直线l 与x 轴的交点坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫－13，0 B.(－3,0)C.⎝⎛⎭⎫13，0 D.()3，0 答案 A解析由两点式得过A ，B 两点的直线方程为y ＋45＋4＝x －1－2－1，即3x ＋y ＋1＝0.令y ＝0，得x＝－13.故直线l 与x 轴的交点坐标为⎝⎛⎭⎫－13，0 3.过两直线3x ＋y －1＝0与x ＋2y －7＝0的交点，且与第一条直线垂直的直线方程是( ) A.x －3y ＋7＝0 B.x －3y ＋13＝0 C.3x －y ＋7＝0 D.3x －y －5＝0答案 B解析由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y －1＝0，x ＋2y －7＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4，即交点坐标为(－1,4).因为第一条直线的斜率为－3，所以所求直线的斜率为13.由点斜式，得y －4＝13(x ＋1)，即x －3y ＋13＝0.4.若两条直线2x －my ＋4＝0和2mx ＋3y －6＝0的交点在第二象限，则m 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫32，2 B.⎝⎛⎭⎫－23，0C.⎝⎛⎭⎫－32，2 D.(2，＋∞) 答案 C解析解出两直线的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3m －63＋m 2，6＋4m 3＋m 2.由交点在第二象限，得⎩⎪⎨⎪⎧3m －63＋m 2＜0，6＋4m 3＋m 2＞0.解得m ∈⎝⎛⎭⎫－32，2. 5.设集合A ＝{(x ，y )|4x ＋y ＝6}，B ＝{(x ，y )|3x ＋2y ＝7}，则满足C ⊆(A ∩B )的集合C 的个数是( )A.0B.1C.2D.3 答案 C解析 A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ 4x ＋y ＝6，3x ＋2y ＝7＝{(1,2)}，则集合C 是{(1,2)}的子集.又因为集合{(1,2)}的子集有∅，{(1,2)}，共2个，所以集合C 有2个. 6.以A (5,5)，B (1,4)，C (4,1)为顶点的三角形是( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形答案 B解析 ∵|AB |＝17，|AC |＝17，|BC |＝32， ∴三角形为等腰三角形.故选B.7.两直线3ax －y －2＝0和(2a －1)x ＋5ay －1＝0分别过定点A ，B ，则|AB |的值为( ) A.895 B.175C.135 D.115答案 C解析直线3ax －y －2＝0过定点A (0，－2)，直线(2a －1)x ＋5ay －1＝0，过定点B ⎝⎛⎭⎫－1，25，由两点间的距离公式，得|AB |＝135. 二、填空题8.点P (2,5)关于直线x ＋y ＝1的对称点的坐标是________. 答案 (－4，－1)解析设对称点的坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0－5x 0－2·(－1)＝－1，x 0＋22＋y 0＋52＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－4，y 0＝－1.所以所求对称点的坐标为(－4，－1).9.若三条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0和x ＋ky ＝0相交于一点，则k ＝_______. 答案－12解析解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2.又因为点(－1，－2)也在直线x ＋ky ＝0上，所以－1－2k ＝0，k ＝－12.10.若动点P 的坐标为(x,1－x )，x ∈R ，则动点P 到原点的最小值是________. 答案22解析由距离公式得x 2＋(1－x )2＝2x 2－2x ＋1＝2⎝⎛⎭⎫x －122＋12，∴最小值为12＝22. 11.若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则k 的取值范围是________. 答案 ⎝⎛⎭⎫33，＋∞解析由⎩⎨⎧y ＝kx －3，2x ＋3y －6＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝33＋62＋3k ，y ＝6k －232＋3k .由于交点在第一象限，故x >0，y >0，解得三、解答题12.已知直线l 的斜率为6，且被两坐标轴所截得的线段长为37，求直线l 的方程. 解设直线l 的方程为y ＝6x ＋b . 令x ＝0，得y ＝b ；令y ＝0，得x ＝－b6.所以直线l 与x 轴，y 轴的交点分别为⎝⎛⎭⎫－b6，0，(0，b ). 这两点间的距离为⎝⎛⎭⎫－b 6－02＋(0－b )2＝3736b 2＝376|b |. 由题意，得376|b |＝37.所以b ＝±6. 所以所求直线l 的方程为y ＝6x ＋6或y ＝6x －6，即6x －y ＋6＝0或6x －y －6＝0.13.为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD 内建一个矩形草坪(如图)，另外△AEF 内部有一文物保护区不能占用，经测量AB ＝100 m ，BC ＝80 m ，AE ＝30 m ，AF ＝20 m ，应如何设计才能使草坪面积最大？解如图建立平面直角坐标系，则E (30,0)，F (0,20).所以线段EF 的方程是x 30＋y20＝1(0≤x ≤30).在线段EF 上取点P (m ，n )，作PQ ⊥BC 于点Q ，作PR ⊥CD 于点R ，设矩形PQCR 的面积为S ，则S ＝|PQ |·|PR |＝(100－m )(80－n ). 又因为m 30＋n20＝1(0≤m ≤30)，所以n ＝20⎝⎛⎭⎫1－m 30，所以S ＝(100－m )⎝⎛⎭⎫80－20＋23m《创新设计》图书＝－23(m －5)2＋18 0503(0≤m ≤30). 于是当m ＝5时，S 有最大值.这时|EP ||PF |＝30－55＝51. 故当矩形草坪的两边在BC ，CD 上，一个顶点在线段EF 上，且|EP ||PF |＝5时，草坪的面积最大.。

高中数学 3.3.2 两点间的距离学案新人教A版必修2

3.3.2两点间的距离课前预习学案一、预习目标1．掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题.2．通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性.3．体会事物之间的内在联系，，能用代数方法解决几何问题.二、预习内容（一）巩固所学1．直线0mx y m +-=，无论m 取任意实数，它都过点 .2．若直线111:1l a x b y +=与直线222:1l a x b y +=的交点为(2,1)-，则112a b -= .（二）探索新知，提出疑惑预习教材P104~ P106，找出疑惑之处三．提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中并回答下列问题：1.已知平面上两点111222(,),(,)P x y P x y ，则｜P 1P 2｜ = （）.特殊地：(,)P x y 与原点的距离为｜P 1P 2｜= （）.2.特别地，当P 1P 2平行于x 轴时，｜P 1P 2｜= （）；当P 1P 2平行于y 轴时，｜P 1P 2｜=（）课内探究学案一、学习目标1．掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题.2．通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性.3．体会事物之间的内在联系，，能用代数方法解决几何问题.学习重点：①平面内两点间的距离公式.②如何建立适当的直角坐标系.学习难点：如何根据具体情况建立适当的直角坐标系来解决问题二、学习过程问题已知平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，如何求P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离|P1P2|?探究一平面内两点间的距离公式问题 (1)如果A 、B 是x 轴上两点，C 、D 是y 轴上两点，它们的坐标分别是xA 、xB 、yC 、yD ，那么|AB|、|CD|怎样求?(2)求B(3，4)到原点的距离.(3)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，求|AB|.（4）同学们已知道两点的距离公式，请大家回忆一下我们怎样知道的(回忆过程) 得到两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的距离公式：|P 1P 2|=212212)()(y y x x -+-例1 如图2，有一线段的长度是13，它的一个端点是A(-4，8)，另一个端点B 的纵坐标是3，求这个端点的横坐标.图2变式训练1课本106页练习第一题例2 已知点A(-1，2)，B(2)，在x 轴上求一点，使|PA|=|PB|,并求|PA|的值.变式训练2课本106页练习第二题.探究二建立适当的坐标系应用代数问题解决几何问题例3证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和.上述解决问题的基本步骤学生归纳如下：思考：同学们是否还有其它的解决办法？还可用综合几何的方法证明这道题。

3.3.2两点间的距离 (5)

3.3.2 两点间的距离（一）教学目标1．知识与技能：掌握直角坐标系两点间的距离，用坐标证明简单的几何问题。

2．过程与方法：通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性。

；3．情态和价值：体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决几何问题。

（二）教学重点、难点重点，两点间距离公式的推导；难点，应用两点间距离公式证明几何问题。

（三）教学方法启发引导式教学教学内容师生互动设计意图环节复习引入复习数轴上两点的距离公式.设问一：同学们能否用以前所学知识解决以下问题：已知两点P1 (x1，y1)，P2(x2，y2)求|P1P2|设置情境导入新课概念形成过P1、P2分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为N1 (0，y)，M2(x2，0)直线P1N1与P2M2相交于点Q.在直角△ABC中，|P1P2|2 =|P1Q|2+ |QP2|2，为了计算其长度，过点P1向x轴作垂线，垂足为M1在教学过程中，可以提出问题让学生自己思考，教师提示，根据勾股定理，不难得到.通过提问思考教师引导，使学生体会两点间距(x 1，0)过点P 2向y 轴作垂线，垂足为N 2 (0，y 2)，于是有|P 1Q |2 = |M 2M 1|2 = |x 2 – x 1|2，|QP 2|2 = |N 1N 2|2 = |y 2 – y 1|2.由此得到两点间的距离公式22122121||()()PP x x y y =-+-离公式形成的过程.应用举例例1 已知点A (–1，2)，(2,7)B 在x 轴上求一点，使|PA | = |PB |，并求|PA |的值.解：设所求点P (x ，0)，于是有2222(1)(02)(2)(07)x x ++-=-+-∴x 2 + 2x + 5 = x 2 – 4x + 11解得x = 1教师讲解思路，学生上台板书.教师提问：还有其它的解法，由学生思考，再讨论提出解法二：由已知得，线段AB 的中点为127(,)22M +，直线AB 的斜率为通过例题讲解，使学生掌握两点间的距离公式及其应∴所求点P (1，0)且22||(11)(02)22PA=++-=同步练习，书本112页第1、2题.22722731()|| 3222772(12)(02)223k x PA -+==⋅---=++-=线段AB的垂直平分线的方程是2731()2227y x+-=⋅--在上述式子中，令y = 0，解得x = 1.所以所求点P的坐标为(1，0).因此22||(12)(02)22PA=++-=用.例 2 证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.此题让学生讨论解决，再由学生归纳出解决上述问题的基本步骤：让学生深刻体会分析：首先要建立直角坐标系，用坐标表示有关量，然后用代数进行运算，最后把代数运算“翻译”成几何关系.证明：如图所示，以顶点A为坐标原点，AB边所在的直线为x轴，建立直角坐标系，有A(0，0).设B (a，0)，D (b，c)，由平行四边形的性质的点C的坐标为(a + b，c)，因为|AB|2 = a2，|CD|2 = a2，|AD|2 = b2 + c2 = |BC|2|AC|2 = (a + b)2 + c2，|BD|2 = (b–a)2 + c2第一步：建立直角坐标系，用坐标表示有关的量.第二步：进行有关代数运算.第三步：把代数结果“翻译”成几何关系.思考：同学们是否还有其它的解决办法？还可用综合几何的方法证明这道题.数形之间的关系和转化，并从中归纳出应用代数问题解决几何问题的基本步骤.过程课后作业布置作业见习案3.3的第二课时.由学生独立完成巩固深化备选例题例1 已知点A(3，6)，在x轴上的点P与点A的距离等于10，求点P的坐标【解析】设点P的坐标为 (x，0)，由|PA| = 10，得：22(3)(06)10x-+-=解得：x = 11或x = –5.所以点P的坐标为(–5，0)或(11，0).例2 在直线l：3x–y– 1 = 0上求一点P，使得：（1）P到A(4，1)和B(0，4)的距离之差最大；（2）P到A(4，1)和C(3，4)的距离之和最小.【解析】（1）如图，B 关于l 的对称点B ′(3，3).AB ′：2x + y – 9 = 0 由290310x y x y +-=⎧⎨--=⎩解25x y =⎧⎨=⎩得P (2，5).（2）C 关于l 对称点324(,)55C ' 由图象可知：|PA | + |PC |≥|AC ′|当P 是AC ′与l 的交点1126(,)77P 时“=”成立， ∴1126(,)77P . 例3 如图，一束光线经过P (2，1)射到直线l ：x + y + 1 = 0，反射后穿过点Q (0，2)求：（1）入射光线所在直线的方程；（2）沿这条光线从P 到Q 的长度.【解析】（1）设点Q ′(a ，b )是Q 关于直线l 的对称点因为QQ ′⊥l ，k 1 = –1，所以21,10QQ b k a '-==- 又因为Q ′Q 的中点在直线l 上，所以021022a b ++++= 所以21021022b a a b -⎧=⎪⎪-⎨+⎪++=⎪⎩得31a b =-⎧⎨=-⎩，所以Q ′(–3，–1)因为Q ′在入射光线所在直线l 1上，设其斜率为k ，所以1(1)22(3)5k --==--l 1：21(2)5y x -=-即2x – 5y + 1 = 0（2）设PQ ′与l 的交点M ，由（1）知|QM | = |Q ′M |所以|PM | + |MQ | = |PM | + |MQ ′| = |PQ ′所以沿这光线从P 到Q入射光所在直线方程为2x – 5y + 1 = 0.。

人教课标版高中数学必修2教学教案-两点间的距离2

3.3.2两点间的距离一、教学目标探索并掌握两点间的距离公式的发生、发展过程.利用坐标法证明简单的平面几何问题. 二、教学重点和难点重点：两点间的距离公式及公式的推导过程.难点：用坐标法证明简单的平面几何问题，本节课中的例4是教学中的难点. 三、教学基本流程四、教学情景设计（一）、提出问题已知：平面上两点()111,y x p ，()2212,y x p ，怎样求两点1p ，2p 间的距离？（二）、探究两点间的距离公式思考题1、如图（1），求两点A （—2，0），B （3，0）间的距离学生能很快地寻找出解决办法即：5)2(3=--=AB思考题2、将图（1）中的A 点移到第二象限()2,2'-A 处.如何求'A 、B 间的距离？学生可能想到连结A A '，构造出一个直角△AB A '，利用勾股定理求B A '∵AB =5，A A '=2，∴29''22=+=A A AB B A思考题3、将图（2）中的B 点移到第三象限()2,3'-B 处.怎样求','B A 间的距离？从思考题2中能得到启发，利用勾股定理.让学生在图（3）中构造出一个直角△C B A ''∵4'=C A ，5'=C B ，∴41''''22=+=CB C A B A .（图3）（图4）（三）、推导两点间的距离公式有思考题3作为基础，公式就能顺利的推出.在图（4）中构造出一个直角△21QP P∵12211x x M M Q P -==，12212y y N N Q P -== ∴212212222121)()(y y x x QP Q P P P -+-=+=特别的，原点O （ 0，0）与任一点P （x ，y ）的距离22y x OP +=. 学生练习第112页第1题.（四）、例题例3：已知点)7,2(),2,1(B A -，在X 轴上求一点P ，使PB PA =，并求PA的值.方法一、设所求点为)0,(x P ，以下步骤由学生完成522++=x x PA ， 1142+-=x x PB 由 PB PA = 得：1145222+-=++x x x x解出：1=x∴所求点)0,1(p 22=PA方法二、（由学生探究）由几何方法：作线段AB 的中垂线L ，求出中垂线L 的方程，再令y=0，可求点P 及PA 的值.例4：证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.证明：如图，以顶点A 为坐标原点，所在直线为X 有A （0，0）设：B （a,0），D （b,c ）性质得点C 的坐标为（a+b,c ∵22a AB =, 22a CD =,222c b AD +=,222c b BC +=,222)(c b a AC ++= , 222)(c a b BD +-=∴)(22222222c b a BC AD CD AB ++=+++)(222222c b a BD AC ++=+∴2222BC AD CD AB +++=22BD AC +∴平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和. 思考：在例4中，是否还有其他建立坐标系的方法？为了让学生体会建立坐标系对证明平面几何问题的重要性，可将例4的平面几何的证明的方法及步骤投影出来与坐标法证明过程进行比较. （五）、通过例4初步总结用坐标法解决平面几何问题的基本步骤（六）、练习1、课本第112页第2题2、证明直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等. （七）、小结1、探究两点间的距离公式的推导过程及公式的应用.2、用坐标法证明平面几何问题初步.（八）、作业课本第110页第6、7、8题，第114页第8题（A组）（九）、教学反思。

空间中两点之间的距离学案导学案说课稿课件

空间两点间的距离公式【学习目标】掌握空间两点间的距离公式，理解公式使用的条件，会用公式计算和证明【重点难点】重点：空间两点间的距离公式及应用；难点：公式的推导一【问题导学】1.平面两点的距离公式：_________________________________2.空间两点间的距离公式：_________________________________3.点(,,)M x y z 与坐标原点(0,0,0)O 的距离_______________________________4.如果OP 是定长r ,那么2222x y z r ++=表示__________（图形） 5.思考：怎么推导空间两点间距离公式。

二【小试牛刀】1 求点1(1,0,1)P -与2(4,3,1)P -之间的距离2.求点A(3,-2,-4)到原点、各坐标轴和各坐标平面的距离。

3.已知点A 在y 轴，点B (0，1，2)且||5AB =，则点A 的坐标为三【合作、探究、展示】例1 坐标平面yOz 上一点P 满足：（1）横、纵、竖坐标之和为2；（2）到点A (3，2，5)，B (3，5，2)的距离相等，求点P 的坐标.【规律方法总结】________________________________________________例2 在yOz 平面上求与三个已知点A (3，1，2)，B (4，–2，–2)，C (0，5，1)等距离的点的坐标.【规律方法总结】________________________________________________例 3 在空间直角坐标系中，已知ABC ∆的顶点分别是(1,2,3)A - ，(2,2,3)B -,15(,,3)22C ,求证：ABC ∆是直角三角形.【规律方法总结】________________________________________________四【达标训练】1．空间两点(3,2,5)A -,(6,0,1)B -之间的距离是（）.A ．6B ．7C ．8D ．92．在x 轴上找一点P ，使它与点0(4,1,2)P 的距离为30 ，则点P 为（）.A ．(9,0,0)B ．(-1 ,0,0)C ．(9,0,0) ,(-1 ,0,0)D ．都不是3．设点B 是点(2,3,5)A -关于xoy 面的对称点，则AB = （）.A ．10B ．10C ．38D ．384.已知点A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4)，则ABC ∆的形状是（）A 、等腰三角形B 、等边三角形C 、直角三角形D 、等腰直角三角形5．如图，正方体OABD – D ′A ′B ′C ′的棱长为a ，|AN | = 2|CN |，|BM | = 2|MC ′|.求MN 的长.2.点P(a,b,c)到坐标平面zOx 的距离为( )A.22c a +B.|a|C.|b|D.|c|6．已知(3,5,7)A -和点(2,4,3)B -，则线段AB 在坐标平面yoz 上的射影长度为 .7．已知ABC ∆的三点分别为(3,1,2)A ,(4,2,2)B --,(0,5,1)C 则BC 边上的中线长为 .8．求证：以A (10，–1，6)，B (4，1，9)，C (2，4，3)三点为顶点的三角形是等腰三角形.。

空间中两点之间的距离学案导学案说课稿课件

空间两点间的距离公式
【学习目标】
记忆空间两点间的距离公式,会用空间两点间的距离公式解决问题.预习案
【相关知识】
思考：平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是什么？
它是如何推导的？
【研读课本】
1、长a，宽b，高c的长方体的对角线，怎么求？
2、平面直角坐标系中的方程x2+y2=r2表示什么图形？在空间中方程
x2+y2+z2=r2表示什么图形？
3、阅读课本理解推导空间直角坐标系中两点之间的距离公式并将它写下来。

练习：在空间直角坐标系中求出它们之间的距离
1、A（2，3，5）B（3，1，4）
2、A（6，0，1）B（3，5，7）
c
b
a d
探究案
例题探究：
已知A(3,3,1),B(1,0,5),求：
(1)线段AB的中点坐标和长度；
(2)到A,B两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标满足的条件.【强化训练】
1、在z轴上求一点M,使点M到点A(1,0,2),B(1,-3,1)的距离相等.
2、如图，正方体OABC -D`A`B`C`的棱长为a ，|AN|=2|CN|，|BM|=2|MC`|，求MN 的长.
【课堂检测】
1、证明以A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)为顶点的△ABC 是一等腰三角形。

2、求证：以A(4,1,9),B(10,-1,6),C(2,4,3)为顶点的△ABC 是一等腰直角三角形。

A
B
C
O
A
`
D
` C ` B `
M N。

高二导学案25

《两点间的距离》导学案编写人：何莉审核人：高二数学组编写时间：【学习目标】熟悉两点间距离公式的推导过程，会用公式求两点间的距离并熟记公式。

【学习重点】两点间的距离公式及其应用。

【学习难点】两点间的距离公式及其应用。

【学法指导】自主探究，合作交流。

【学习过程】一、问题引入：如图已知点A 和点B 的坐标，如何求线段AB 二、知识回顾：在平面直角坐标系中，设点),(111y x P 、),(222y x P 则向量21P P = 。

三、自主探究：1、在问题一中向量AB 的坐标是，= 。

2、点A 与点B 间的距离与向量AB 的模是什么关系？3、新知识：在平面直角坐标系中，设点),(111y x P 、),(222y x P ，我们将向量21P P 的模叫做点1P、2P 之间的距离，记作21P P ，则21P P == = 。

两点间的距离公式：设),(111y x P 、),(222y x P ，则特别地，当这两个点都在x 轴上时，021==y y ，所以21P P =12x x -；当这两个点都在y 轴上时，有21P P =12y y -。

四、基础练习（阅读课本例1P50）1、根据下列条件，求1P 、2P 两点间的距离：（1）已知1P （0，-2），2P （3，0），则= ；（2）已知1P （-3，1），2P （2，4），则= ；（3）1P （4，-2），2P （1，2）；（4）1P （5，-2），2P （-1，6）；（5）1P （4，-1），2P （1，3）；（6）1P （-1，2），2P （1，-4）；（7）1P （3，-1），2P （3，5）；（8）1P （-3，0），2P （5，0）。

【能力提升】1、已知点)1,(a A 、)5,2(B 之间的距离是5，求a 的值。

2、已知点)1,(m M 与)3,2(m N -，且该两点间的距离为17，求点M 和N 的坐标。

【归纳小结】学生总结，汇报收获。

《两点间的距离及点到直线间的距离》教学设计

《两点间的距离及点到直线间的距离》教学设计（最新版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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