2018年全国高中数学联合竞赛(A卷)

2018年全国高中数学联赛竞赛
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分。

1.设集合{1,2,3,99}A =…，{2|},{|2}B x x A C x x A =∈=∈，则B C 的元素个数为______.
2.设点P 到平面α
Q 在平面α上，使得直线PQ 与α所成角不小于30︒且不大于60︒，
则这样的点Q 所构成的区域的面积为______.
3.将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为,,,,,a b c d e f ，则abc def +是偶数的概率为______.
4.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左、右焦点分别是12F F 、，椭圆C 的弦ST 与UV 分别平行于x 轴与y 轴，且相交于点P 。

已知线段,,,PU PS PV PT 的长分别为1,2,3,6，则12PF F ∆的面积为______.
5.设()f x 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[0,1]上严格递减，且满足()1,(2)2f f ππ==，则不等式组121()2x f x ≤≤⎧⎨≤≤⎩
的解集为______. 6.设复数z 满足||1z =，使得关于x 的方程2220zx zx ++=有实根，则这样的复数z 的和为______.
7.设O 为ABC ∆的外心，若2AO AB AC =+，则sin BAC ∠的值为______.
8.设整数数列1210,,,a a a …满足1012853,2a a a a a =+=，且
1{1,2},1,2,,9i i i a a a i +∈++=…，
则这样的数列的个数为______。

二、解答题：本大题共3小题，满分56分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

9.（本题满分16分）已知定义在R +
上的函数()f x 为
3|log 1|,09,()49x x f x x -<≤⎧⎪=⎨->⎪⎩ 设,,a b c 是三个互不相同的实数，满足()()()f a f b f c ==，求abc 的取值范围。

10.（本题满分20分）已知实数列123,,,a a a …满足：对任意正整数n ，有(2)1n n n a S a -=，其中n S 表示数列的前n 项和。

证明：
1）对任意正整数n
，有n a <
2）对任意正整数n ，有11n n a a +<。

11.在平面直角坐标系xOy 中，设AB 是抛物线2
4y x =的过点(1,0)F 的弦，AOB ∆的外接圆交抛物线于点P （不同于点,,O A B ）。

若PF 平分APB ∠，求||PF 的所有可能值。

加试（A 卷）
一、（本题满分40分）设n 是正整数，1212,,,,,,,n n a a a b b b ⋯…，,A B 均为正实数，满足
,,1,2,,i i i a b a A i n ≤≤=…，且
1212n n b b b B a a a A
≤……。

二、（本题满分40分）如图，ABC ∆为锐角三角形，AB AC <，M 为BC 边的中点，点D 和E 分别为ABC ∆的外接圆BAC 和BC 的中点，F 为ABC ∆的内切圆在AB 边上的切点，G 为AE 与BC 的交点，N 在线段EF 上，满足NB AB ⊥。

证明：若BN EM =，则DF FG ⊥。

（答题时请将图画在答卷纸上）
三、（本题满分50分）设,,n k m 是正整数，满足2k ≥，且21k n m n k -≤<。

设A 是{1,2,,}m …的n 元子集。

证明：区间(0,)1
n k -中的每个整数均可表示为a a '-，其中,a a A '∈。

四、（本题满分50分）数列{}n a 定义如下：1a 是任意正整数，对整数1n ≥，1n a +是与
1n
i i a =∑互素，且不等于1,n a a …的最小正整数。

证明：每个正整数均在数列{}n a 中出现。