向量的数量积和向量积

2
，称向量
a
与
b
正交，记为
a b百度文库
显然 定理
(a, b ) 0, a // b
a b a b cos(a,b)
用内积表示模和夹角 若 a (a1, a2, a3), b (b1,b2,b3)
a a a a12 a22 a32
cos(a, b)
ab
ab
a1b1 a2b2 a3b3 a12 a22 a32 b12 b22 b32
cos2 cos2 cos2 1
a 单位化后，三个坐标就是其方向余弦
➢ 向量的投影
若 a 0 向量 b 在 a 上的投影
def
b a b cos(a,b)
（实数）
A
b
B
A1
a
B1
l
图中l 上的A1B1的长 度是投影的绝对值
向量A1B1称为 b 在 a
的投影向量,记为
Prj b a
(2) a ,b ,c 共面 充分必要条件 [a ,b ,c ] 0
(3) a b c b c a c a b c a b a b c b c a
例 试判别 A(1,0,2), B(3,-1,1),C(0,-2,-1), D(-1,2,3) 是否共面？若不共面，求以这四点为 顶点的四面体的体积
若 a (a1, a2, a3), b (b1,b2,b3)，定义
def
a b (a2 b3 a3b2, a3 b1 a1 b3,a1 b2 a2 b1)
称为向量 a , b 的向量积或外积
可表达为
a b ( a2 b2
a3 , a3 b3 b3
a1 , a1 b1 b1
a2 ) b2
(a b 充分必要条件 a b 0)
例 若 a = (4,7, 1), b = (1, 2, 2)，试求
a b
与
(
a
,b
)
例 若向量 a 3b 垂直于向量 7a 5b
且向量 a 4b 垂直于向量 7a 2b ，试求 a, b 的夹角
显然
i (1, 0, 0), j (0,1, 0), k (0, 0,1)
是两两正交的，故称为标准正交基
➢ 方向余弦
方向角 ＝(a, i ) ＝(a, j) ＝(a,k)
方向余弦 cos , cos , cos
k
a
j
i
若向量 a (a1,a2,a3),
方向余弦的表示
cos
cos
a1 a12 a22 a32
a3 a12 a22 a32
cos
a2
a12 a22 a32
i a1
b1
j a2 b2
k a3 b3
➢ 几何意义
a b a b sin(a,b)
a ,b 为邻边的
平行四边形面积
外积 a b 方向与 a ,b
均正交，且成右手系
ab
b a
当 a (a1, a2), b (b1, b2) 为二维向量
以 a , b 为邻边的平 行四边形的面积为
A a1 a2 b1 b2
（结合律）
(3) a (b c ) a b a c （分配律）
➢ 向量的夹角
将向量 a , b 平移到同一起点，表示它们的
有向线段间的夹角 (0 )
称为向量 a 与 b 的夹角
记为 (a, b )
b
a
零向量与任一向量的夹角规定为任意的
可据需要取0到之间的任何值
若
(a, b )
Chap7 ―3
向量的数量积和向量积
7.3.1 向量的数量积
➢ 数量积 若 a (a1, a2, a3), b (b1,b2,b3)，定义 a b a1 b1 a2 b2 a3 b3
为向量 a , b 的数量积或内积
➢ 运算律
(1) a b b a
（交换律）
(2) (a ) b (a b )
a1 a2 a3
[a ,b ,c ] b1 b2 b3
c1 c2 c3
例 求与向量 a (1,0, 2), b (1,3, 4)
均正交的单位向量 c ，且求以 a ,b ,c 为同顶点
三条棱的平行六面体的体积
➢ 几个结论
(1) a ,b ,c 成右手系，[a ,b ,c ] 0 a ,b ,c 成左手系，[a ,b ,c ] 0
M2，力F 所作的功为W
位移 s M1M2
F 在位移 s 方向分量
F cos
从而
F
M1
|F|
cos
s
M2
W F cos s W F s
H.W 习题7 13 (2) (3)
2
14（提示：a b (a b , a b ) )
17 18(1) 20 21
7.3.2 向量的向量积
➢ 向量积
根据内积定义
[a ,b , c ] a b c cos(a b, c)
➢ 混合积的几何意义
由于 c cos(a b, c) c a b
[a ,b ,c ] a b c ab
a b c
h
b
a
[a ,b ,c ] a b c
是以a ,b ,c 为同顶点三条
棱的平行六面体的体积
向量混合积的坐标表示
Prj b b a0
a
a
➢ 数量积的几何解释
ab a b （投影的放大或缩小） a
因此
当 a 1, a b b a b ba0 a
例 向量
a (2,2 2,2) ,
b （3,12, 4）
求 a 的模和方向余弦及 b 在 a 上的投影
➢ 一个物理解释
物体在力 F 作用下沿直线从点M1移动到点
➢ 运算律
(1) a b b a (2) ( a ) b a ( b ) (a b ) (3) ( a b ) c a c b c
容易验证 i i 0, j j 0 , k k 0
i j k , j k i , k i j
➢ 向量的混合积
a b c 记为 [a ,b ,c ]
例 设 l1与l2 是异面直线, l1过点P1，方向与
向量 s1 平行，l2过点P2，方向与向量 s2 平行，
试求 l1与l2 之间的距离.
P2 s2
[s1, s2 , P1P2 ] d
s1 s2
p1 s1
s1 s2 P1P2
s1 s2
H.W 习题7
22 (2)(3) 23 24 25 26 28