2020年四川省成都外国语学校高一(上)期中数学试卷
四川省成都外国语学校2021-2022高一数学上学期期中试题
四川省成都外国语学校2021-2022高一数学上学期期中试题满分150分，测试时间：120分钟第Ⅰ卷（选择题共60分）一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}1,2,4A =，{}240x x xm B =-+=．若{}1AB =，则B =（ ）A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,5 2．函数121()log 1f x x =+的图象大致是（ ） A ． B ．C ． D ．3.函数1()ln 23f x x x =+-的零点所在区间为（ ） A ． (2,)e B ．(3,4) C. (,3)e D ．(1,2)4.一水池有两个进水口，一个出水口，每个进水口的进水速度如图甲所示．出水口的出水速度如图乙所示，某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水，则一定正确的是( )A ．①B ．①②C ．①③D ．①②③ 5.已知123515,12,3x og y og z -===，则下列关系正确的是（ ）A ．x y z >>B ．y x z >>C ．z y x >>D ．x z y >>6. 函数23()()2x f x x =-的零点的个数为（ ） A.1 B. 2 C.3 D. 47．方程()24250x m x m +-+-=的一根在区间()1,0-内，另一根在区间()0,2内，则m的取值范围是（ ） A ．5,53⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．7,53⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．()5,5,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ D ．5,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭8.若数()2)3f x x =+，且(log 2019)5a f =，则1(log )2019af =（ ） A. 5- B. 4 C. 3 D. 19.已知函数2()|l g |,(2)f x o x x =≤,若a b ≠，且()()f a f b =，则a b +的取值范围是（ ）A. 5(1,]2B. 5(2,]2C. (2,)+∞D. [1,2] 10．已知max{,}a b 表示,a b 两数中的最大值，若|||2|()max{,}x x f x e e +=，则()f x 的最小值为（ ）A. eB. 1C. 2eD. 2 11.给出下列命题，其中正确的命题的个数（ ） ①函数()122log 23y x x =-+图象恒在x 轴的下方；②将2x y =的图像经过先关于y 轴对称，再向右平移1个单位的变化后为12xy -=的图像；③若函数()()22log 21f x x ax =-+的值域为R ，则实数a 的取值范围是()1,1-； ④函数()x f x e =的图像关于y x =对称的函数解析式为ln .y x =A.1 B. 2 C. 3 D. 4 12.若函数9()log (91)2xxf x =+-，则使不等式()0f x m -≤有解时，实数m 的最小值为（ ） A. 0 B. 3log 2- C. 3log 2 D. 3log 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数log (25)1a y x =--恒过定点的坐标为__________.14．若5(21)2xf x x -=+，则(3)f -=________.15．若函数12()2xx m f x n +-=+是奇函数．则实数m n +=_______.16.已知函数3,()8log ,a x x af x x x a⎧≤=⎨>⎩若存在实数1212,,x x x x ≠且使得函数12()()f x f x =成立，则实数a 的取值范围为_________.三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10分）已知全集U R =，集合{}02|>+=a x x A ，集合B是()f x =.（Ⅰ）当2a =时，求集合A B ；（Ⅱ）若()U BC A B =，求实数a 的取值范围.18. 求下列各式的值（Ⅰ）2311log 222)22(21(2)3[(1]log 4-+--++；（II ）已知11223a a -+=，求332222a aa a--++值.19.设函数()3,()9x xg x h x ==（I ）解关于x 的方程()11()2(1)0h x g x h -+=； （II）令()F x =1220182019()()()()2020202020202020F F F F ++++的值.20. 已知函数222()()mm f x x m Z -++=∈为偶函数，且(3)(2)f f >.（Ⅰ）求m 的值，并确定()f x 的解析式；（Ⅱ）若()log [()5](0,1)a g x f x ax a a =-+>≠且,是否存在实数a ，使得()g x 在区间[1,2]上为减函数.21．已知()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数，且(1)1f =，若对于任意的,[1,1]a b ∈-且0,a b +≠有()()0f a f b a b+>+恒成立.（I ）判断()f x 在[1,1]-上的单调性，并证明你的结论；（II ）若函数()[24]1xxF x f a =⋅++有零点,求实数a 的取值范围.22．已知函数2()(0,1)x xa tf x a a a+=>≠是奇函数． （I ）求实数t 的值；（II ）若(1)0f <，对任意[0,1]x ∈有21(2)f x kx k a a-->-恒成立，求实数k 取值范围； （III ）设22()log [()],(0,1)x xm g x a a mf x m m -=+->≠,若3(1)2f =，问是否存在实数m使函数()g x 在2[1,log 3]上的最大值为0？ 若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由.成都外国语学校2021～2021度上期半期考试高一数学试卷(参考答案)一、 选择题 1～6, CDCADC 7～12, BDBACD二、 填空题： 13. (3,1)- 14. 1-215. 3± 16. (0,1)(2,)+∞ 三、解答题：17.解：（Ⅰ）{|1}A x x =>-， 1{|0}2B x x =-<≤ 则A B B = （Ⅱ） {|}2U a C A x x =≤- ，U B C A ⊆, 所以0a ≤18.解：（Ⅰ）53 （Ⅱ） 184719.解：（Ⅰ）3log 2,2x x == （Ⅱ）2019220.解：（1）(3)(2)f f >，所以()f x 在(0,)+∞上增函数， 所以，2220m m -++>即：11m <<+m Z ∈故0,1,2m =，当0,2m =时，2222m m -++=此时，2()f x x =满足条件 当1m =时，3()f x x =不满足条件 综上：0,2m =，2()f x x =（2）由（1）可知2()log [5](0,1)a g x x ax a a =-+>≠且假设存在实数a 使得2()log [5](0,1)a g x x ax a a =-+>≠且在[1,2]上为减函数.①当01a <<时，25u x ax =-+在[1,2]上增函数， 即：12a≤，60a ->，得到01a <<②当1a >时，同理：9[4,)2综上：存在a 满足9(0,1)[4,)221.解（1）设任意12,[1,1]x x ∈-，且12x x <令12,a x b x ==-，因为对于任意的,[1,1]a b ∈-且0,a b +≠有()()0f a f b a b+>+恒成立.所以1212()()0f x f x x x +->-，又因为()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数1212()()0f x f x x x ->-，120x x -< ， 所以12()()f x f x <故()f x 在[1,1]-上是增函数（2）因为()[24]1xxF x f a =⋅++有零点，所以方程[24]1xxf a ⋅+=-有解又因为(1)(1)1f f -=-=-，所以[24](1)x xf a f ⋅+=- 即 241x x a ⋅+=-有解即1(2)2xx a =-+，即2a ≤- 22.解：（1）因为的定义域为，且为奇函数，所以，解得.检验：当时，， 对任意，都有，即是奇函数，所以成立。
2024-2025学年四川省成都市高一上学期期中考试数学检测试题(含解析)
一､2024-2025学年四川省成都市高一上学期期中考试数学检测试题单选题1. 已知集合A ={1 ，2，3，4，5}，{},|15B x x =<<，则A ∩B 的元素个数为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】直接根据集合的交集运算求解即可.【详解】因为集合A ={1 ，2，3，4，5}，{}|15B x x =<<所以{}2,3,4A B =I ，即A ∩B 的元素个数为3个.故选：B2. 函数221y x mx =++在[2,+∞)单调递增，则实数m 的取值范围是（ ）A. [2,)-+¥B. [2,+∞)C. (,2)-¥D. (,2]-¥【答案】A【解析】【分析】直接由抛物线对称轴和区间端点比较大小即可.【详解】函数221y x mx =++为开口向上的抛物线，对称轴为x m=-函数221y x mx =++在[2,+∞)单调递增，则2m -£，解得2m ³-.故选：A.3. 若函数的定义域为{}22M x x =-££，值域为{}02N y y =££，则函数的图像可能是（）A. B.的C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的定义域与值域，结合函数的性质判断即可.【详解】对A，该函数的定义域为{}20x x-££，故A错误；对B，该函数的定义域为{}22M x x=-££，值域为{}02N y y=££，故B正确；对C，当()2,2xÎ-时，每一个x值都有两个y值与之对应，故该图像不是函数的图像，故C错误；对D，该函数的值域不是为{}02N y y=££，故D错误.故选：B.4. 已知函数()af x x=，则“1a>”是“()f x在()0,¥+上单调递增”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由幂函数的单调性结合充分必要条件的定义判断.【详解】当0a>时，函数()af x x=在()0,¥+上单调递增，则1a>时，一定有()f x在()0,¥+上单调递增；()f x在()0,¥+上单调递增，不一定满足1a>，故“1a>”是“()f x在()0,¥+上单调递增”的充分不必要条件.故选：A.5. 已知0,0x y>>，且121yx+=，则12xy+的最小值为（）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】D【解析】【分析】利用不等式的乘“1”法即可求解.【详解】由于0,0x y >>，故11112224448x y x xy y x y xy æöæö+=++=++³+=ç÷ç÷èøèø，当且仅当14,121,xy xy y xì=ïïíï+=ïî即2,14x y =ìïí=ïî时，等号成立，故12x y +的最小值为8.故选：D6. 已知定义域为R 的函数()f x 不是偶函数，则（ ）A. ()(),0x f x f x "Î-+¹R B. ()(),0x f x f x "Î--¹R C. ()()000,0x f x f x $Î-+¹R D. ()()000,0x f x f x $Î--¹R 【答案】D【解析】【分析】根据偶函数的概念得()(),0x f x f x "Î--=R 是假命题，再写其否定形式即可得答案.【详解】定义域为R 的函数()f x 是偶函数()(),0x f x f x Û"Î--=R ，所以()f x 不是偶函数()()000,0x f x f x Û$Î--¹R ．故选：D ．7. 若函数()22f x ax bx c=++的部分图象如图所示，则()1f =（ ） A. 23- B. 112- C. 16- D. 13-【答案】D【解析】【分析】利用函数图象求得函数定义域，利用函数值可得出其解析式，代入计算即求得函数值.【详解】根据函数图象可知2x =和4x =不在函数()f x的定义域内，因此2x =和4x =是方程20ax bx c ++=的两根，因此可得()()()224f x a x x =--，又易知()31f =，所以可得2a =-；即()()()124f x x x =---，所以()113f =-.故选：D8. 奇函数()f x 在(),0-¥上单调递增，若()10f -=，则不等式()0xf x <的解集是（ ）．A. ()()101,∪,-¥- B. ()()11,∪,-¥-+¥C. ()()1001,∪,- D. ()()101,∪,-+¥【答案】C【解析】【分析】由()f x 奇偶性，单调性结合题意可得答案.【详解】因奇函数()f x 在(),0¥-上单调递增，()10f -=则()f x 在()0,¥+上单调递增，f (1)=0.得()()()01,01,f x x È¥>ÞÎ-+；()()()0,10,1f x x ¥È<ÞÎ--.则()()000x xf x f x <ì<Þí>î或()()()01,00,10x x f x È>ìÞÎ-í<î.故选：C二､多选题9. 下列关于集合的说法不正确的有（ ）A. {0}=ÆB. 任何集合都是它自身的真子集C. 若{1,}{2,}a b =（其中,a b ÎR ），则3a b +=D. 集合{}2y y x =∣与{}2(,)x y y x =∣是同一个集合【答案】ABD【解析】【分析】根据集合的定义，真子集的定义，集合相等的定义判断各选项．【详解】{0}中含有一个元素，不是空集，A 错；任何集合都是它自身的子集，不是真子集，B 错；由集合相等的定义得2,1a b ==，3a b +=，C 正确；集合{}2yy x =∣中元素是实数，集合{}2(,)x y y x =∣中元素是有序实数对，不是同一集合，D 错，故选：ABD ．10. 已知二次函数()2223y m x mx m =-++-的图象与x 轴有两个交点()()12,0,,0x x ，则下面说法正确的是（ ）A. 该二次函数的图象一定过定点()1,5--；B. 若该函数图象开口向下，则m 的取值范围为：625m <<；C. 当2m >，且12x ££时，y 的最大值为45m -；D. 当2m >，且该函数图象与x 轴两交点的横坐标12,x x 满足1232,10x x -<<--<<时，m 的取值范围为：21114m <<【答案】ABD【解析】【分析】代入1x =-，解得5y =-，即可求解A ，根据判别式即可求解B ，利用二次函数的单调性即可求解C ，利用二次函数的图象性质即可列不等式求解.【详解】由()2223y m x mx m =-++-可得()22123y m x x =+--，当1x =-时，5y =-，故二次函数的图象一定过定点()1,5--，A 正确，若该函数图象开口向下，且与x 轴有两个不同交点，则()()220Δ44230m m m m -<ìí=--->î，解得：625m <<，故B 正确，当2m >，函数开口向上，对称轴为02m x m =-<-，故函数在12x ££时，单调递增，当2x =时，911y m =-，故y 的最大值为911m -；C 错误，当2m >，则开口向上，又1232,10x x -<<--<<时，则3,4210x y m =-=->，且2,110x y m =-=-<，且1,50x y =-=-<，且0,30x y m ==->，解得21114m <<，m 的取值范围为：21114m <<，D 正确，故选：ABD 11. 已知幂函数()()293m f x m x =-的图象过点1,n m æö-ç÷èø，则（ ）A. 23m =-B. ()f x 为偶函数C. n =D. 不等式()()13f a f a +>-的解集为(),1-¥【答案】AB【解析】【分析】利用幂函数的定义结合过点1,n m æö-ç÷èø，可求,m n 判断AC ；进而可得函数的奇偶性判断B ；解不等式可求解集判断D.【详解】因为函数()()293m f x m x =-为幂函数，所以2931m -=，解得23m =±，当23m =时，幂函数()23f x x =的图象不可能过点3,2n æö-ç÷èø，故23m ¹，当23m =-，幂函数()23f x x -=的图象过点3,2n æöç÷èø，则2332n -=，解得3232n -æö=±=ç÷èøA 正确，C 错误；()23f x x -=的定义域为{|0}x x ¹，且()2233()()f x x x f x ---=-==，故()f x 为偶函数，故B 正确；函数()23f x x -=在(0,)+¥上单调递减，由()()13f a f a +>-，可得()()13f a f a +>-，所以1310a a a ì+<-ïí+¹ïî，解得1a <且1a ¹-，故D 错误.故选：AB.三､填空题12. 满足关系{2}{2,4,6}A ÍÍ的集合A 有____________个.【答案】4【解析】【分析】由题意可得集合A 为{}2,4,6的子集，且A 中必包含元素2，写出满足条件的集合，即可得答案.【详解】即集合A 为{}2,4,6的子集，且A 中必包含元素2，又因为{2,4,6}的含元素2的子集为：{}2,{}2,4,{}2,6,{2,4,6}共4个.故答案为：4.13. 已知()f x 满足()()()2f x y f x f y +=++，且()22f =，则()3f =______.【答案】4【解析】【分析】令1x y ==得()10f =，再令1x =，2y = 即可求解.【详解】令1x y ==得()()()21122f f f =++=，所以()10f =，令1x =，2y =得()()()31224f f f =++=.故答案为：4.14. 已知函数()()()22223124,,4f x x ax ag x x x a a =-+-=-+-ÎR ，若[]10,1x "Î，[]20,1x $Î，使得不等式()()12f x g x >成立，实数a 的取值范围是__________.【答案】(),6-¥【解析】【分析】由题意将问题转化为()(),min max f x g x >[]0,1x Î，成立，利用二次函数的性质求解即可.【详解】若对任意[]10,1x Î，存在[]20,1x Î，使得不等式()()12f x g x >成立，即只需满足[]min min ()(),0,1f x g x x >Î，()22314g x x x a =-+-，对称轴()1,2x g x =在10,2éö÷êëø递减，在,1,12æùçúèû递增，()2min 18,2g x g a æö==-ç÷èø()[]2224,0,1f x x ax a x =-+-Î，对称轴4a x =，①04a £即0a £时，()f x 在[0,1]递增，()22min min ()04()8f x f a g x a ==->=-恒成立；②014a <<即04a <<时，()f x 在0,4a éö÷êëø递减，在,14a æùçúèû递增，22min min 7()4,()848a f x f a g x a æö==-=-ç÷èø，所以227488a a ->-，故04a <<；③14a ³即4a ³时，()f x 在[0，1]递减，()22min min ()12,()8f x f a a g x a ==--=-，所以2228a a a -->-，解得46a £<，综上(),6a ¥Î-.故答案为：(),6¥-【点睛】方法点睛：本题首先需要读懂题意，进行转化；其次需要分类讨论，结合二次函数的性质最后进行总结，即可求出结果.四､解答题15. 设全集R U =，集合{|23}P x x =-<<，{|31}.Q x a x a =<£+（1）若1a =-，求集合()U P Q I ð；（2）若P Q =ÆI ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{|03}x x <<（2）][132,,æö-¥-+¥ç÷èøU 【解析】【分析】（1）先求出U Q ð，再求()U P Q Çð即可；（2）分Q =Æ和Q ¹Æ两种情况求解即可【小问1详解】解：当1a =-时，{|31}{|30}Q x a x a x x =<£+=-<£；{|3U C Q x x =£-或0}x >，又因为{}23P x x =-<<，所以(){|03}.U P Q x x Ç=<<ð【小问2详解】解：由题意知，需分为Q =Æ和Q ¹Æ两种情形进行讨论：当Q =Æ时，即31a a ³+，解得12a ³，此时符合P Q =ÆI ，所以12a ³；当Q ¹Æ时，因为P Q =ÆI ，所以1231a a a +£-ìí<+î或3331a a a ³ìí<+î，解之得3a £-.综上所述， a 的取值范围为][1,3,.2¥¥æö--È+ç÷èø16 已知二次函数()()20f x ax bx c a =++¹满足()()14f x f x x -+=，且()0 1.f =（1）求函数()f x 的解析式；（2）解关于x 的不等式()()2641f x t x t £-+-+.【答案】（1）()2221f x x x =-+（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）利用待定系数法计算即可求解析式；（2）根据（1）的结论含参讨论解一元二次不等式即可.【小问1详解】因为()01f =，1c =，所以()21f x ax bx =++，又因为()()14f x f x x -+=，所以()(()22[1)1114a x b x ax bx x ù++++-++=û，所以24ax a b x ++=，所以240a a b =ìí+=î，所以22a b =ìí=-î，即()222 1.f x x x =-+.【小问2详解】由()()2641f x t x t £-+-+，可得不等式()222440x t x t +++£，即()2220x t x t +++£，所以()()20x x t ++£，当2-=-t ，即2t =时，不等式的解集为{|2}x x =-，当2t -<-，即2t >时，不等式的解集为{|2}x t x -££-，当2t ->-，即2t <时，不等式的解集为{|2}x x t -££-，综上所述，当2t =时，不等式的解集为{|2}x x =-，当2t >时，不等式的解集为{|2}x t x -££-，当2t <时，不等式的解集为{|2}.x x t -££-17. 已知函数()221x f x x-=．（1）用单调性的定义证明函数()f x 在()0,¥+上为增函数；（2）是否存在实数l ，使得当()f x 的定义域为11,m n éùêúëû（0m >，0n >）时，函数()f x 的值域为[]2,2m n l l --．若存在．求出l 的取值范围；若不存在说明理由．【答案】（1）证明见详解；（2）存在，()2,+¥.【解析】分析】（1）设()12,0,x x ¥Î+，且12x x <，然后作差、通分、因式分解即可判断()()12f x f x <，得证；（2）根据单调性列不等式组，将问题转化为210x x l -+=存在两个不相等的正根，利用判别式和韦达定理列不等式组求解可得.【小问1详解】()222111x f x x x-==-，设()12,0,x x ¥Î+，且12x x <，【则()()()()22121212122222222212211212111111x x x x x x f x f x x x x x x x x x -+æö--=---=-==ç÷èø，因为120x x <<，所以221212120,0,0x x x x x x <-+>>，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以函数()f x 在(0,+∞)上为增函数.【小问2详解】由（1）可知，()f x 在11,m n éùêúëû上单调递增，若存在l 使得()f x 的值域为[]2,2m n l l --，则22112112f m m m f n n n l l ìæö=-=-ç÷ïïèøíæöï=-=-ç÷ïèøî，即221010m m n n l l ì-+=í-+=î，因为0m >，0n >，所以210x x l -+=存在两个不相等的正根，所以21212Δ40100x x x x l l ì=->ï=>íï+=>î，解得2l >，所以存在()2,l ¥Î+使得()f x 的定义域为11,m n éùêúëû时，值域为[]2,2m n l l --.18. 习总书记指出：“绿水青山就是金山银山”.淮安市一乡镇响应号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.调研过程中发现：某珍稀水果树的单株产量W （单位：千克）与肥料费10x （单位：元）满足如下关系：()252,02()48,251x x W x x x x ì+££ï=í<£ï+î其它成本投入（如培育管理等人工费）为20x （单位：元）.已知这种水果的市场售价大约为10元/千克，且供不应求．记该单株水果树获得的利润为()f x （单位：元）.（1）求()f x 函数关系式；（2）当投入的肥料费用为多少时，该单株水果树获得的利润最大？最大利润是多少？的【答案】（1）25030100,02()48030,251x x x f x x x x xì-+££ï=í-<£ï+î； （2）当投入肥料费用为30元时，获得的利润最大，最大利润是270元.【解析】【分析】（1）由单株产量W 乘以售价减去肥料费和其它成本投入可得出的函数关系式；（2）利用二次函数的单调性求出当02x ££时，()f x 的最大值，由基本不等式求出当25x <£时，()f x 的最大值，即可得出答案.【小问1详解】（1）由题意可得()()()1020101030f x W x x x W x x=--=-()22105230,025030100,024804830,251030,2511x x x x x x x x x x x x x x ì´+-££ì-+££ïï==íí-<£´-<£ïï+î+î.故()f x 的函数关系式为25030100,02()48030,251x x x f x x x x xì-+££ï=í-<£ï+î.【小问2详解】（2）由（1）22319150,025030100,02102()48030,251651030(1),2511x x x x x f x x x x x x x x ììæö-+££ï-+££ïç÷ïïèø==íí-<£éùïï-++<£+êúïï+ëûîî,当02x ££时，()f x 在30,10éùêúëû上单调递减，在3,210æùçúèû上单调递增，且(0)100(2)240f f =<=，max ()(2)240f x f \==；当25x <£时，16()51030(1)1f x x x éù=-++êú+ëû，16181x x ++³=+Q 当且仅当1611x x=++时，即3x =时等号成立． max ()510308270f x \=-´=.的因为240270<，所以当3x =时，max ()270f x =.当投入的肥料费用为30元时，该单株水果树获得的利润最大，最大利润是270元.19. 已知集合,A B 中的元素均为正整数，且,A B 满足：①对于任意,i j a a A Î，若i j a a ¹，都有i j a a B Î；②对于任意,m k b b B Î，若m k b b <，都有k mb A b Î.（1）已知集合{}1,2,4A =，求B ；（2）已知集合{}()2,4,8,8A t t =>，求t ；（3）若A 中有4个元素，证明：B 中恰有5个元素.【答案】（1）{}2,48B =,（2）16t =（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据①可得2,4,8都是B 中的元素，进而证明B 中除2,4,8外没有其他元素即可求解，（2）根据条件①②，即可求解，（3）根据题意可得41a a ，3324421123,,,,a a a a a a a a a a ，4321a a a a 是A 中的元素，进而根据11a =和12a ³可得{}2341111,,,A a a a a =，进而{}3456711111,,,,a a a a a B Í，接下来假设B 中还有其他元素，且该元素为k ，利用k 与31a 的关系得矛盾求解.【小问1详解】由①可得2,4,8都是B 中的元素.下面证明B 中除2,4,8外没有其他元素：假设B 中还有其他元素，分两种情况：第一种情况，B 中最小的元素为1，显然81不是A 中的元素，不符合题意；第二种情况，B 中最小的元素为2，设B 中除2,4,8外的元素为()2k k b b >，因为2k b 是A 中的元素，所以k b 为4或8，而4，8也是B 中的元素，所以B 中除2,4,8外没有其他元素.综上，{}2,4,8B =.【小问2详解】由①可得，8,16,32,2,4,8t t t 都是B 中的元素.显然84,82,162t t t <<<，由（2）可得，422,,8816t t t 是A 中的元素，即,,248t t t 是A 中的元素.因为842t t t t <<<，所以2,4,8842t t t ===，解得16t =.【小问3详解】证明：设{}12341234,,,,A a a a a a a a a =<<<.由①可得，1224,a a a a 都是B 中的元素.显然1224a a a a <，由②可得，2412a a a a 是A 中的元素，即41a a 是A 中的元素.同理可得3324421123,,,,a a a a a a a a a a ，4321a a a a 是A 中的元素.若11a =，则34344122a a a a a a a a =>，所以3412a a a a 不可能是A 中的元素，不符合题意.若12a ³，则32311a a a a a <<，所以321211,a a a a a a ==，即23213121,a a a a a a ===.又因为44443211a a a a a a a <<<<，所以444123321,,a a a a a a a a a ===，即441a a =，所以{}2341111,,,A a a a a =，此时{}3456711111,,,,a a a a a B Í.假设B 中还有其他元素，且该元素为k ，若31k a <，由（2）可得71a A k Î，而7411a a k>，与{}2341111,,,A a a a a =矛盾.若31k a >，因为31k A a Î，所以131,1,2,3,4i k a i a ==，则31,1,2,3,4i k a i +==，即{}45671111,,,k a a a a Î，所以B 中除3456711111,,,,a a a a a 外，没有其他元素.所以{}3456711111,,,,B a a a a a =，即B 中恰有5个元素.【点睛】方法点睛：对于以集合为背景的新定义问题的求解策略：1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素.3、涉及有交叉集合的元素个数问题往往可采用维恩图法，基于课标要求的，对于集合问题，要熟练基本的概念，数学阅读技能、推理能力，以及数学抽象和逻辑推理能力.。
四川省成都外国语学校高一上学期期中考试 数学
成都外国语学校 高一 上期半期考试数学试卷满分150分，测试时间：120分钟 命题人：全 鑫 审题人：全 鑫 第Ⅰ卷（选择题共60分）一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1AB =，则B =（ ）A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,5 2．函数121()log 1f x x =+的图象大致是（ ） A ． B ．C ． D ．3.函数1()ln 23f x x x =+-的零点所在区间为（ ） A ． (2,)e B ．(3,4) C. (,3)e D ．(1,2)4.一水池有两个进水口，一个出水口，每个进水口的进水速度如图甲所示．出水口的出水速度如图乙所示，某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水，则一定正确的是( )A ．①B ．①②C ．①③D ．①②③ 5.已知123515,12,3x og y og z -===，则下列关系正确的是（ ）A ．x y z >>B ．y x z >>C ．z y x >>D ．x z y >>6. 函数23()()2x f x x =-的零点的个数为（ ） A.1 B. 2 C.3 D. 47．方程()24250x m x m +-+-=的一根在区间()1,0-内，另一根在区间()0,2内，则m的取值范围是（ ） A ．5,53⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．7,53⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．()5,5,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ D ．5,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭8.若数()2)3f x x =+，且(log 2019)5a f =，则1(log )2019af =（ ） A. 5- B. 4 C. 3 D. 19.已知函数2()|l g |,(2)f x o x x =≤,若a b ≠，且()()f a f b =，则a b +的取值范围是（ ） A. 5(1,]2 B. 5(2,]2C. (2,)+∞D. [1,2] 10．已知max{,}a b 表示,a b 两数中的最大值，若|||2|()max{,}x x f x e e +=，则()f x 的最小值为（ ）A. eB. 1C. 2eD. 2 11.给出下列命题，其中正确的命题的个数（ ） ①函数()122log 23y x x =-+图象恒在x 轴的下方；②将2x y =的图像经过先关于y 轴对称，再向右平移1个单位的变化后为12xy -=的图像；③若函数()()22log 21f x x ax =-+的值域为R ，则实数a 的取值范围是()1,1-； ④函数()xf x e =的图像关于y x =对称的函数解析式为ln .y x = A.1 B. 2C. 3D. 4 12.若函数9()log (91)2xxf x =+-，则使不等式()0f x m -≤有解时，实数m 的最小值为（ ） A. 0 B. 3log 2- C. 3log 2 D. 3log 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数log (25)1a y x =--恒过定点的坐标为__________.14．若5(21)2xf x x -=+，则(3)f -=________.15．若函数12()2xx m f x n +-=+是奇函数．则实数m n +=_______.16.已知函数3,()8log ,a x x af x x x a⎧≤=⎨>⎩若存在实数1212,,x x x x ≠且使得函数12()()f x f x =成立，则实数a 的取值范围为_________.三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10分）已知全集U R =，集合{}02|>+=a x x A ，集合B是()f x =.（Ⅰ）当2a =时，求集合A B ；（Ⅱ）若()U BC A B =，求实数a 的取值范围.18. 求下列各式的值（Ⅰ）2311log 222)22(21(2)3[(1]log 4-+-++；（II ）已知11223a a -+=，求332222a aa a--++值.19.设函数()3,()9x xg x h x ==（I ）解关于x 的方程()11()2(1)0h x g x h -+=； （II）令()F x =，求1220182019()()()()2020202020202020F F F F ++++的值.20. 已知函数222()()mm f x x m Z -++=∈为偶函数，且(3)(2)f f >.（Ⅰ）求m 的值，并确定()f x 的解析式；（Ⅱ）若()log [()5](0,1)a g x f x ax a a =-+>≠且,是否存在实数a ，使得()g x 在区间[1,2]上为减函数.21．已知()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数，且(1)1f =，若对于任意的,[1,1]a b ∈-且0,a b +≠有()()0f a f b a b+>+恒成立.（I ）判断()f x 在[1,1]-上的单调性，并证明你的结论；（II ）若函数()[24]1xxF x f a =⋅++有零点,求实数a 的取值范围.22．已知函数2()(0,1)x xa tf x a a a+=>≠是奇函数． （I ）求实数t 的值；（II ）若(1)0f <，对任意[0,1]x ∈有21(2)f x kx k a a-->-恒成立，求实数k 取值范围； （III ）设22()log [()],(0,1)x xm g x a a mf x m m -=+->≠,若3(1)2f =，问是否存在实数m 使函数()g x 在2[1,log 3]上的最大值为0？ 若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由.高一数学试卷(参考答案)一、 选择题 1～6, CDCADC 7～12, BDBACD二、 填空题： 13. (3,1)- 14. 1-215. 3± 16. (0,1)(2,)+∞ 三、解答题：17.解：（Ⅰ）{|1}A x x =>-， 1{|0}2B x x =-<≤ 则A B B = （Ⅱ） {|}2U a C A x x =≤- ，U B C A ⊆, 所以0a ≤18.解：（Ⅰ）53 （Ⅱ） 184719.解：（Ⅰ）3log 2,2x x == （Ⅱ）2019220.解：（1）(3)(2)f f >，所以()f x 在(0,)+∞上增函数，所以，2220m m -++>即：11m <<+m Z ∈故0,1,2m =，当0,2m =时，2222m m -++=此时，2()f x x =满足条件 当1m =时，3()f x x =不满足条件 综上：0,2m =，2()f x x =（2）由（1）可知2()log [5](0,1)a g x x ax a a =-+>≠且假设存在实数a 使得2()log [5](0,1)a g x x ax a a =-+>≠且在[1,2]上为减函数.①当01a <<时，25u x ax =-+在[1,2]上增函数， 即：12a≤，60a ->，得到01a <<②当1a >时，同理：9[4,)2综上：存在a 满足9(0,1)[4,)221.解（1）设任意12,[1,1]x x ∈-，且12x x <令12,a x b x ==-，因为对于任意的,[1,1]a b ∈-且0,a b +≠有()()0f a f b a b+>+恒成立.所以1212()()0f x f x x x +->-，又因为()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数1212()()0f x f x x x ->-，120x x -< ， 所以12()()f x f x <故()f x 在[1,1]-上是增函数（2）因为()[24]1xxF x f a =⋅++有零点，所以方程[24]1xxf a ⋅+=-有解又因为(1)(1)1f f -=-=-，所以[24](1)x xf a f ⋅+=- 即 241x x a ⋅+=-有解即1(2)2xxa =-+，即2a ≤- 22.解：（1）因为f(x)的定义域为R ，且f(x)为奇函数， 所以f(0)=1+t 1=0，解得t =−1.检验：当t =−1时，f(x)=a2x −1a x=a x −a −x ，对任意x ∈R ，都有f(−x)=a −x −a x =−f(x)，即f(x)是奇函数，所以t =−1成立。
四川省2020学年高一数学上学期期中试题
高一数学上学期期中试题第I 卷(选择题 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.） 1．已知集合{|32}A x x =-<<，{|4B x x =<-或1}x >，则=B A A ．{|43}x x -<<- B ．{|3}x x l -<< C ．{|12}x x << D ．{|3x x <-或}x l >2．设集合，则下列关系式正确的是A ．B ．C ．D ．3．下列各式：①1∈{0,1,2}；②∅⊆{0,1,2}；③{1}∈{0,1,2}；④{0,1,2}＝{2,0,1}，其中错误的个数是 A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．函数y =A ．(1,2]B ．(,2]-∞C ．(1,)+∞D ．[2,)+∞5．设集合{123}A =，，，{45}B =，，{|}M x x a b a A b B ==+∈∈，，，集合M 的真子集的个数为 A ．32B ．31C ．16D ．156．下列各式正确的是3=-a =C.32=-2=7．对任意x ，y ∈R，函数f （x ）都满足f （x +y ）=f （x ）+f （y ）+2恒成立，则f （5）+f （–5）等于A ．0B ．–4C ．–2D ．2 8．设，，，则 A ．B ．C ．D ．9．已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 且f (1＋x )＝f (－x )，则下列不等式中成立的是 A.f (－2)<f (0)<f (2) B.f (0)<f (－2)<f (2) C.f (0)<f (2)<f (－2)D.f (2)<f (0)<f (－2)10．函数()()2212f x x a x =+-+在区间(],4-∞上是减函数，则a 的取值范围是 A ．3a ≥ B ．3a ≥-C ．5a ≤D ．3a ≤-11．已知()()2331log 1a a x a x f x x x ⎧--+<=⎨≥⎩是R 上的单调递增函数，那么a 的取值范围是A ．()1,2B ．51,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．5,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．()1,+∞12．已知3()2log ,[1,9]f x x x =+∈，则函数()22[()]y f x f x =+的最大值为A ．3B ．6C ．13D ．22第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知函数()f x 的定义域为[0,1],则2()f x 的定义域为_____14．函数()22xf x =-的定义域为__________． 15．若集合{}2|60,{|10}M x x x x kx N =+-==+=，且N M ⊆，则k 的可能值组成的集合为___ 16．已知为定义在上的偶函数，且在上为单调增函数，，则不等式xx f x f )()(-+的解集为_________．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本大题满分10分）若集合{}0211A x x =≤-≤，{}lg(7)B x y x ==-，集合{}2{(21)(1)0C x xa x a a =-+++≤．（Ⅰ）求AB ；（Ⅱ）若A C ⊆，求实数a 的取值范围．18．（本大题满分12分）已知函数22513x x y ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，求其单调区间及值域。
四川省2020学年高一数学上学期期中试题
高一数学上学期期中试题第I 卷(选择题 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.） 1．下列关系正确的是 A.0φ∈B.φ⊆{0}C.{0}φ=D.{0}φ∈2．已知集合{02}A x x =≤≤，2{9,Z}B x x x =<∈，则A B 等于A.{0,1,2}B.[0,1]C.{0,2}D.{0,1}3．满足条件{}{}1,21,2,3M ⋃=的所有集合M 的个数是 A.1B.2C.3D.44．下列函数中，既是奇函数又是在其定义域上是增函数的是 A ．B ．C ．D ．5．下列选项中，表示的是同一函数的是A.()f x =2()g x =B.,0(),0x x f x x x ≥⎧=⎨->⎩，()f t t =C.2()(1)f x x =-，2()(2)g x x =- D.()11f x x=-，()g x =6．已知函数122,0,()1log ,0,x x f x x x +⎧≤=⎨->⎩则((3))f f =A.43B.23C.43-D.3-7．设()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≤时，2()32f x x x =-，则(1)f =A.5B.1C.－1D.－58．已知，则的最小值为A.B.C.D.9．若偶函数()f x 在(,0]-∞上单调递减,()()3224log 3,log 5,2a f b f c f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,则满足 A.a b c <<B.b a c <<C.c a b <<D.c b a <<10．函数()f x = A ．(],1-∞ B ．[)1,+∞ C ．[]1,1- D ．[]1,311．设a ＝0.60.6，b ＝log 0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是 A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a12．已知()f x 为定义在R 上的奇函数，若当0x ≥时，()2xf x x m =++（m 为实数），则关于x 的不等式()212f x -<-<的解集是 A.()0,2B.()2,2-C.()1,1-D. ()1,3第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 13．若()()242,xxx f f x =-=则____________14．若集合，且，则实数的值为_____．15．已知函数()()log 2a f x x a =-在区间23,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒有()0f x >，则实数a 的取值范围是______．16．已知函数()()21f x x a x a =+--，若关于x 的不等式()()0ff x <的解集为空集，则实数a 的取值范围是______．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本大题满分10分）已知集合{}|113A x x =<-<，{}|(3)()0B x x x a =--<． （Ⅰ）当5a =时，求AB ，A B ；（Ⅱ）若A B B =，求实数a 的取值范围．18．（本大题满分12分） 已知函数()2221x a f x =++是奇函数． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）判断()f x 的单调性，并用定义加以证明； 19．（本大题满分12分）求:函数y =[]4627(0,2xxx -⨯+∈)的最值及取得最值时的x 值.20．（本大题满分12分）已知f （x ）为二次函数，且2(1)(1)24f x f x x x ++-=-． （Ⅰ）求f （x ）的表达式； （Ⅱ）判断函数()()f x g x x=在（0，+∞）上的单调性，并证明．21．（本大题满分12分）某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价，又不高于800元/件．经试销调查，发现销售量y （件）与销售单价x （元/件）可近似看作一次函数y kx b =+的关系（如图所示）．（Ⅰ）由图象，求函数y kx b =+的表达式；（Ⅱ）设公司获得的毛利润（毛利润=销售总价﹣成本总价）为S 元．试用销售单价x 表示毛利润S ，并求销售单价定为多少时，该公司获得最大毛利润？最大毛利润是多少？此时的销售量是多少？22．（本大题满分12分）已知函数()f x ，对任意a ，b R ∈恒有()()()f a b f a f b 1+=+-，且当x 0>时，有()f x 1>． （Ⅰ）求()f 0；（Ⅱ）求证：()f x 在R 上为增函数；(Ⅲ)若关于x 的不等式(()222f[2log x)4f 4t 2log x 2⎤-+-<⎦对于任意11x ,82⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，求实数t 的取值范围．参考答案1．B2．A3．D4．D5．B6．A7．D8．A9．B10．D11．C 12．A13．()()20f x x x x =->14．0，，15．1,12⎛⎫⎪⎝⎭16．33a -≤≤17（1）{}|34A B x x ⋂=<<，{}|25A B x x ⋃=<<； （2）[]2,4a ∈18．（1）由题知()f x 的定义域为R ， 因为()f x 是奇函数，所以()00f =，即()0200221a f =+=+ 解得2a =-.经验证可知()f x 是奇函数，所以2a =-. （2）()f x 在定义域上是减函数，由（1）知，()2121x f x =-++，任取12,x x R ∈，且12x x <， 所以()()1122121x f x f x ⎛⎫-=-+- ⎪+⎝⎭2122221212121x x x ⎛⎫-+=- ⎪+++⎝⎭. ()()()()()()()2121121222122122221212121x x x x x x x x +-+-==++++12x x <， 2122x x ∴>，()()120f x f x ∴->，即()()12f x f x >所以()f x 在定义域上是减函数．19．由题意得y =4627x x -⨯+=()22627xx -⨯+，x t 2=设，()22y t 6t 7t 32=-+=--则，其图象是对称轴为t 3=，开口向上的抛物线。
四川省2020学年高一数学上学期期中试题
高一数学上学期期中试题第I 卷(选择题 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.） 1．已知集合{|32}A x x =-<<，{|4B x x =<-或1}x >，则=B A A ．{|43}x x -<<- B ．{|3}x x l -<< C ．{|12}x x << D ．{|3x x <-或}x l >2．设集合，则下列关系式正确的是A ．B ．C ．D ．3．下列各式：①1∈{0,1,2}；②∅⊆{0,1,2}；③{1}∈{0,1,2}；④{0,1,2}＝{2,0,1}，其中错误的个数是 A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．函数y =A ．(1,2]B ．(,2]-∞C ．(1,)+∞D ．[2,)+∞5．设集合{123}A =，，，{45}B =，，{|}M x x a b a A b B ==+∈∈，，，集合M 的真子集的个数为 A ．32B ．31C ．16D ．156．下列各式正确的是3=-a =C.32=-2=7．对任意x ，y ∈R，函数f （x ）都满足f （x +y ）=f （x ）+f （y ）+2恒成立，则f （5）+f （–5）等于A ．0B ．–4C ．–2D ．2 8．设，，，则 A ．B ．C ．D ．9．已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 且f (1＋x )＝f (－x )，则下列不等式中成立的是A.f (－2)<f (0)<f (2)B.f (0)<f (－2)<f (2)C.f (0)<f (2)<f (－2)D.f (2)<f (0)<f (－2)10．函数()()2212f x x a x =+-+在区间(],4-∞上是减函数，则a 的取值范围是 A ．3a ≥B ．3a ≥-C ．5a ≤D ．3a ≤-11．已知()()2331log 1a a x a x f x x x ⎧--+<=⎨≥⎩是R 上的单调递增函数，那么a 的取值范围是A ．()1,2B ．51,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．5,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．()1,+∞12．已知3()2log ,[1,9]f x x x =+∈，则函数()22[()]y f x f x =+的最大值为A ．3B ．6C ．13D ．22第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知函数()f x 的定义域为[0,1],则2()f x 的定义域为_____14．函数()22xf x =-的定义域为__________． 15．若集合{}2|60,{|10}M x x x x kx N =+-==+=，且N M ⊆，则k 的可能值组成的集合为___ 16．已知为定义在上的偶函数，且在上为单调增函数，，则不等式xx f x f )()(-+的解集为_________．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本大题满分10分）若集合{}0211A x x =≤-≤，{}lg(7)B x y x ==-，集合{}2{(21)(1)0C x xa x a a =-+++≤．（Ⅰ）求AB ；（Ⅱ）若A C ⊆，求实数a 的取值范围．18．（本大题满分12分）已知函数22513x xy++⎛⎫= ⎪⎝⎭，求其单调区间及值域。
四川省成都市金牛区成都外国语学校2024-2025学年高三上学期11月期中数学试题
四川省成都市金牛区成都外国语学校2024-2025学年高三上学期11月期中数学试题一、单选题1．已知集合{}2log 1A x x =≤，{}04B x x =<≤，则A B = （）A ．{}2x x ≤B ．{}4x x ≤C ．{}04x x <≤D ．{}02x x <≤2．若函数()f x 是周期为4的奇函数，且()13f =，则()3f =（）A ．-2B ．2C ．-3D ．33．已知()sin π0θ-<，()cos π0θ+>，则θ为第几象限角（）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角4．若向量()2,5AB = ，(),1AC m m =+，且A ，B ，C 三点共线，则m =（）A ．23-B ．23C ．32-D ．325．若tan 3θ=-，则sin cos sin cos 2θθθθ+=（）A ．3B ．103-C ．56-D ．66．为了得到函数()sin 2cos 2f x x x =+的图象，只需将函数()g x x =的图象（）A ．向左平移π4个单位，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）B ．向左平移π4个单位，再将所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变）C ．所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再将图象向左平移π4个单位D ．所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将图象向左平移π8个单位7．已知关于x 的不等式2230ax x a -+<在(]0,2上有解，则实数a 的取值范围是（）A ．4,7⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．3⎛⎫-∞ ⎪ ⎪⎝⎭C ．(],0-∞D ．(),0-∞8．设0a >,0b >,且1a b +=,则下列结论正确的个数为（）① 22log log 2a b +-≥② 22a b +≥③ln 0+<a b ④1sin sin 4a b <A ．1B ．2C ．3D ．4二、多选题9．下列说法不正确的是（）A ．钝角三角形的内角是第一象限角或第二象限角B ．若向量a ，b 满足a b >且a ，b 同向，则a b> C ．若P ，A ，B 三点满足3OP OA OB =+，则P ，A ，B 三点共线D ．将钟表的分针拨快10分钟，则分针转过的角的弧度数为π310．函数()()sin 0,π2f x x ϕωϕω⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则（）A ．2ω=B ．π6ϕ=C ．()f x 的图象关于点π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．()f x 在区间5ππ,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增11．已知函数()f x 的定义域为R ，(1)f x +为奇函数，(2)f x +为偶函数，且[0,1]x ∈时，()f x 单调递增，则下列结论正确的为（）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 的图象关于点(1,0)-中心对称C ．(2024)0f =D ．51044f f ⎛⎫⎛⎫+-< ⎪ ⎝⎭⎝⎭三、填空题12．已知角α的终边经过点()3,4P -，则sin α=.13．设函数()11,02,0x x x f x x -+≤⎧=⎨>⎩，则满足112f x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭的x 的取值范围是．14．若()()sin cos 2sin αβααβ+=-，则()tan αβ+的最大值为.四、解答题15．已知数列{an }为等差数列,a 1=1,前n 项和为Sn ,数列{bn }为等比数列,b 1>1,公比为2,且b 2S 3=54,b 3+S 2=16.(Ⅰ)求数列{an }与{bn }的通项公式;(Ⅱ)设数列{cn }满足cn =an +bn ,求数列{cn }的前n 项和Tn .16．在学校食堂就餐成为了很多学生的就餐选择．学校为了解学生食堂就餐情况，在校内随机抽取了100名学生，其中男生和女生人数之比为1:1，现将一周内在食堂就餐超过8次的学生认定为“喜欢食堂就餐”，不超过8次的学生认定为“不喜欢食堂就餐”．“喜欢食堂就餐”的人数比“不喜欢食堂就餐”人数多20人，“不喜欢食堂就餐”的男生只有10人．男生女生合计喜欢食堂就餐不喜欢食堂就餐10合计100(1)将上面的列联表补充完整，并依据小概率值0.001α=的独立性检验，分析学生喜欢食堂就餐是否与性别有关：(2)用频率估计概率，从该校学生中随机抽取10名，记其中“喜欢食堂就餐”的人数为X ．事件“X k =”的概率为()P X k =，求随机变量X 的期望和方差．参考公式：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++．a 0.10.050.010.0050.001ax 2.7063.8416.6357.87910.82817．已知ABC V 是锐角三角形，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，面积为S ，πsin cos 6b A a B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(1)求角B ；(2)若=2a ，求S 的取值范围．18．已知抛物线E ：22y px =(0)p >经过点()1,2P ，直线l ：y kx m =+与E 的交点为A ，B ，且直线PA 与PB 倾斜角互补.(1)求抛物线在点()1,2P 处的切线方程；(2)求k 的值；(3)若3m <，求PAB 面积的最大值.19．设函数()()()()cos sin ,e xf x a x x x ag x =-∈=R .(1)当1a =时，判断()f x 在()0,2π上的单调性；(2)当>0时，证明：()2112g x x x >++；(3)设函数()()()2112h x g x f x x x =----，若函数()h x 在()0,π上存在唯一极值点，求实数a 的取值范围.。
四川省成都外国语学校高一数学上学期期中试卷新人教A版
⊂≠一、选择题（每小题5分，共50分）1．设全集U={1,2,3,4,5}，集合M={1,3,5}，N={2,5}则Venn图中阴影部分表示的集合是（）A.{1,3}B.{2}C.{3,5}D.{5}2．函数3+=x ay（a＞0，a≠1）的图象经过的定点坐标是（）A.(0,1)B.(2,1)C.(3-,1) D.(3-,0)3．已知⎩⎨⎧-≤-=)0()3()0(1)(2x＞xfxxxf，则)]1([ff的值是（）A.1- B.3 C.2 D.54．设a＞0，将322aaa⋅写成分数指数幂，其结果是（）A.23a B.21a C.65a D.67a5．函数1||1+=xy的大致图象为（）A B C D6．设24.0=a，4.02=b，4.02log=c，则（）A.a＞c＞bB.b＞a＞cC.b＞c＞aD.a＞b＞c7．若0＜3loga＜1（a＞0，a≠1），则a的取值范围是（）A.)31,0( B.(0,3) C.(3,+∞) D.(1,3)8．已知xxf2log)(=，则)1(xfy-=的图象是（）A B C D9 .已知)(xf是奇函数，当0≥x时，1)(+=x exf（e为自然对数的底数），则)21(lnf=（） A.3- B. 2 C. 3 D. 010 .已知)1(32≠==kkba且abba=+2，则实数k的值为（）A. 6B. 9C. 12D. 18二、填空题。
（每小题5分，共25分）11 满足Ф A ⊆{1,2,3}的集合A 的个数是 。
13 已知偶函数)(x f 满足)( )()2(R x x f x x f ∈⋅=+，则)1(f = 。
14 若)3(log +=ax y a （a ＞0且a ≠1）在区间),1(+∞-上是增函数，则a 的取值范围是 15 若函数a ax x x f 2)(2--=在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a 等于三、解答题。
（共75分）16 求值 （每小题6分，共12分） （1）300)32(10])2[(])37(2[25.013132021--+-⨯⨯----（2）3log 23323558log 932log log 2-+-17 （12分）已知函数|2|)(2x x x f -=。
2019-2020学年四川省成都外国语学校高一(上)期中数学试卷 (含答案解析)
2019-2020学年四川省成都外国语学校高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={1,2}，B ={x|x 2−mx +6=0}，若A ∩B ={2}，则B =( )A. {5}B. {2}C. {2,3}D. {1,2，3}2. 已知函数f (x )=2x−lnx−1，则y =f (x )的图像大致为( )．A.B.C.D.3. 函数f(x)=ln(−x)−13x −2的零点所在区间为( )A. (−4,−3)B. (−3,−e)C. (−e,−2)D. (−2,−1)4. 设函数f(x)=(x −a)2+4(lnx −a)2，其中x >0，a ∈R.若存在正数x o ，使得f(x o )≤45成立，则实数a 的值是A. 15B. 25 C. 12D. 15. 下列不等关系，正确的是( )A. log 23<log 34<log 45B. log 23>log 45>log 34C. log 23<log 45<log 34D. log 23>log 34>log 456. 记函数f(x)=(12)|2x−1|−sinπx 在区间(−2,3)上的零点分别为x =x i (i =1,2，…，n)，则∑x i =n i=1( )A. 32B. 52C. 72D. 37. 方程lnx −1x =0的实数根的所在区间为( )A. (3,4)B. (2,3)C. (1,2)D. (0,1)8. 已知函数，则)A. 0B. −3C. 3D. 69. 函数f (x )=1+ln |x −a |，对任意的非零实数a,b,c,d ，关于x 的方程b [f (x )]2+cf (x )+d =0的解集不可能．．．是( )A. {1,2017}B. {1,2018}C. {1,2,2017,2018}D. {2016,2017,2018}10. 已知x >0，函数f(x)=(e x −a)2+(e −x +a)2e x −e −x的最小值为6，则a =( )A. −2B. −1或7C. 1或−7D. 211. 已知f(x)=log 2x+1x−1(其中x >1)，g(x)=x 2−2ax +a 2+b(其中x ∈R ，a >0，b >1)，则下列判断正确的是( )A. f(g(a −1))>f(g(a))B. f(g(2a3))>f(g(5a3))C. g(f(4n +14n −1))>g(f(3))(其中a ≠0且a ≠12) D. g(f(2n +12n −1))>g(f(3))(其中a ≠0，且a ≠1)12. 已知函数f(x)=ln(√1+9x 2−3x)+1,，则f(lg2)+f(lg 12)= ( )A. −1B. 0C. 1D. 2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 函数y =log a (2x −1)+2的图象恒过定点P ，则点P 坐标为______． 14. 已知f(2x +1)=x 2，则f(5)= ______ ． 15. 若函数f(x)=3x −a 3x +1是奇函数，则f(1)= ______ ．16. 设函数f(x)={x 2,x <0−x 2+2x,x ≥0，若f(f(x))≥9，则实数x 的取值范围是________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知集合A ={x|3−a ≤x ≤2+a}，B ={x|x 2−8x +7≥0}，全集U =R ．(1)当a =3时，求A ∩(∁U B)；(2)若A ∪B =R ，求实数a 的取值范围．18. 求下列各式的值．(1)(916) 12+31000−(6427) −13+3⋅e 0； (2)lg √27+lg8−log 4812lg0.3+lg2；(3)lg 25+lg2⋅lg50．19.已知函数f(x)=2x−1，2x+1(1)判断函数f(x)奇偶性;(2)若g(x)=f(x)+x3+3，且g(−2)=−8，求g(2)的值;5(3)求函数f(x)值域;20.已知f(x)=x −t2+2t+3为偶函数(t∈z)，且在x∈(0,+∞)单调递增．(1)求f(x)的表达式；(2)若函数g(x)=log a[a√f(x)−x]在区间[2,4]上单调递减函数(a>0且a≠1)，求实数a的取值范围．21.定义在[−1,1]上的奇函数f(x)满足当−1≤x<0时，f(x)=−2x，4x+1(Ⅰ)求f(x)在[−1,1]上的解析式；(Ⅱ)判断并证明f(x)在(0,1]上的单调性；(Ⅲ)当x∈(0,1]时，函数g(x)=2xf(x)−2x−m有零点，试求实数m的取值范围．22.设函数f(x)=x2+ax−1(a∈R)，且f(x)为偶函数．(1)求实数a的值；(2)对任意x∈[32,+∞),f(xm)−4m2f(x)≤f(x−1)+4f(m)恒成立，求实数m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：【分析】本题主要考查了元素与集合的关系，属于基础题．由A∩B={2}可知，2∈B，代入一元二次方程求出m的值，再解出一元二次方程的根即可得出B，注意需要验证．【解答】解：∵A∩B={2}，∴2∈B，将2代入方程x2−mx+6=0，解得m=5，解方程x2−5x+6=0，可得方程的另一个根为3，满足题意，∴B={2,3}．故选C．2.答案：A解析：【分析】本题考查函数图像的研究，解决本题的关键是通过求导的知识了解函数的性质及特殊点的函数值即可．解析：解：由函数解析式得定义域为(0,1)∪(1,+∞)，又因为x−1>lnx，所以该函数的函数值一定为正数，排除答案C、D，再令g(x)=x−lnx−1,通过求导可知，当x∈(0,1)时,函数g(x)单调递减，则f(x)单调递增，当x∈(1,+∞)时，函数g(x)单调递增，则f(x)单调递减，故选A．3.答案：B解析：【分析】本题考查函数零点的存在性定理的应用． 【解答】 解：．故选B ．4.答案：A解析： 【分析】本题考查利用导数求曲线上过某点切线的斜率，考查了数形结合和数学转化思想方法，训练了点到直线的距离公式的应用．把函数看作是动点M(x,lnx 2)与动点N(a,2a)之间距离的平方，利用导数求出曲线y =2lnx 上与直线y =2x 平行的切线的切点，得到曲线上点到直线距离的最小值，结合题意可得只有切点到直线距离的平方等于45，然后由两直线斜率的关系列式求得实数a 的值． 【解答】解：函数f(x)可以看作是动点M(x,lnx 2)与动点N(a,2a)之间距离的平方， 动点M 在函数y =2lnx 的图象上，N 在直线y =2x 的图象上， 问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离， 由y =2lnx 得，y′= 2 x =2，解得x =1， ∴曲线上点M(1,0)到直线y =2x 的距离d = 2√5 5 ,则f(x)≥45，根据题意，要使f(x 0)≤ 4 5 ,则f(x 0)= 4 5 ,此时N 恰好为垂足， 由k MN = 2a−0 a−1 =− 1 2 ,解得a = 1 5 ． 故选：A ．5.答案：D解析： 【分析】本题考查对数函数及其性质，比较大小，属于基础题．作差法计算求出log 23>log 34，同理求出log 34>log 45，可得结论． 【解答】解：log 23−log 34= lg3 lg2 − lg4 lg3 =(lg3)2−lg2lg4 lg2lg3 = (lg3)2−(lg2+lg42)2 lg2lg3 > (lg3)2−( 1 2 lg9)2 lg2lg3=0，所以log 23>log 34 同理log 34>log 45， 故log 23>log 34>log 45， 故答案选D ．6.答案：C解析： 【分析】本题考查函数的零点问题，属于中档题． 将函数f(x)的零点转化为图象的交点问题，根据对称性，即可得到答案．【解答】解：将函数f(x)的零点转化为图象的交点，两个函数图象有七个交点，且两个函数图象关于x =12对称， 所以零点之和为12×2×3+12=72． 故选C ．7.答案：C解析：【分析】本题考查了方程的根与函数的零点的关系应用，考查计算能力．，从而利用函数的零点的判定定理判断即可．令f(x)=lnx−1x【解答】，解：令f(x)=lnx−1x易知f(x)在其定义域上连续，=ln2−ln√e>0，f(2)=ln2−12f(1)=ln1−1=−1<0，，在(1,2)上有零点，故f(x)=lnx−1x=0的根所在的区间是(1,2)；故方程方程lnx−1x故选：C．8.答案：D解析：【分析】本题主要考查函数的奇偶性，求函数的值．【解答】解：为定义域上的奇函数，．故选D．9.答案：D解析：【分析】本题考查了对数类型函数的性质、一元二次方程的实数根，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．求得f(x)的图象关于直线x=a对称，关于f(x)的方程b[f(x)]2+cf(x)+d=0的解集可能只有一个实数根或有两个不同的实数根，再利用指数函数类型函数的性质即可得出．【解答】解：关于x的方程b[f(x)]2+cf(x)+d=0的解集都不可能是D．下面给出证明：由于f(2a−x)=1+ln|2a−x−a|=f(x)，可得f(x)的图象关于直线x=a对称，若关于x的方程b[f(x)]2+cf(x)+d=0一个实数根α，则1+ln|x−a|=α，必有两个不同的实数根，可能为{1,2017}，或{1,2018}，若此方程b[f(x)]2+cf(x)+d=0有两个不同的正实数根α，β，则1+ln|x−a|=α或β，必有四个不同的实数根，可能为{1,2，2017，2018}，因此关于x的方程b[f(x)]2+cf(x)+d=0的解集都不可能是D．故选：D．10.答案：B解析：解：∵x>0，∴e x−e−x>0∴f(x)=(e x−a)2+(e−x+a)2e−e =(e x−e−x)2−2a(e x−e x)+2a2+2e−e=(e x−e−x)+2a2+2e−e−2a≥2√2a2+2−2a，∵函数f(x)=(e x−a)2+(e−x+a)2e x−e−x的最小值为6，∴2√2a2+2−2a=6，解得a=−1或7，故选：B．根据基本不等式即可求出函数的最值．本题考查了函数的最值和基本不等式的应用，考查了转化与化归能力，属于中档题11.答案：B解析：解：∵f(x)=log2x+1x−1=log2(1+2x−1)，设t=1+2x−1，则t在(1,+∞)上单调递减，∴y=f(x)在(1,+∞)上单调递减，∵g(x)=x2−2ax+a2+b=(x−a)2+b，∴g(x)=(x−a)2+b，在(−∞,a)上单调递减，(a,+∞)上单调递增，对于A，∵g(a−1)−g(a)=1>0，且g(a)>1，∴g(a−1)>g(a)>1，∵y=f(x)在(1,+∞)单调递减，∴f(g(a−1))<f(g(a)，故A不正确对于B.∵g(2a3)<g(5a3)，且g(2a3)>1，∴f(g(2a3))>f(g(5a3))，故B正确对于C，4n+14n−1=1+24n−1，则1<4n+14n−1≤2，∴f(4n +14n −1)>f(3)，∵f(3)=1，f(4n +14n −1)>1，∴无法比较g(f(4n +14n −1))与g(f(3))的大小，对于D ，2n +12n −1=1+22n −1，则1<2n +12n −1≤3，∴f(2n +12n −1)≥(f(3))，∵f(3)=1，f(2n +12n −1)≥1∴无法比较g(f(2n +12n −1))>g(f(3))(其中a ≠0，且a ≠1)的大小，故选：B ．根据复合函数的单调性，先求出函数f(x)与g(x)的单调区间，再分别利用函数的单调性进行判断即可．本题考查了利用函数的单调性比较大小，关键是求出函数f(x)与g(x)的单调区间，属于中档题．12.答案：D解析： 【分析】本题主要考查了对数的运算性质，函数的解析式，属于中档题.先求出f(−x)+f (x )=2，进而可得结果． 【解答】解：由√1+9x 2−3x >0恒成立知，函数f (x )的定义域为R ， 又， 所以，故选D ．13.答案：(1,2)解析： 【分析】本题主要考查对数函数的图象经过定点问题，属于基础题．令对数的真数等于零，求得x 、y 的值，可得对数函数的图象经过的定点的坐标． 【解答】解：函数y =log a (2x −1)+2，令2x −1=1，求得x =1，y =2，可得函数y =log a (2x −1)+2的图象恒过定点P(1,2)， 故答案为(1,2)．14.答案：4解析：解：∵f(2x +1)=x 2， ∴f(5)=f(2×2+1)=22=4． 故答案为：4．f(5)=f(2×2+1)，由此利用f(2x +1)=x 2，能求出结果．本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．15.答案：12解析：解：函数f(x)=3x −a 3x +1是奇函数，则f(−x)=−f(x)， 即有3−x −a3−x +1=−3x −a3x +1， 即有1−a⋅3x1+3x=a−3x1+3x即有(3x +1)(1−a)=0， 即有1−a =0，则a =1． f(x)=3x −13+1， f(1)=3−13+1=12． 故答案为：12由奇函数的定义，计算即可得到a =1，再由f(x)的解析式，即可得到f(1)． 本题考查函数的奇偶性的判断和运用，考查运算能力，属于基础题．16.答案：[3,+∞)解析： 【分析】本题考查了分段函数的问题，以及不等式的解法，属于中档题． 【解答】解：作出函数f(x)的图象，如图所示： 令t =f(x)，则可转化为f(t)≥9， 根据图象可得，t ≤−3， 即f(x)<−3，∴−x 2+2x ≤−3且x >0，解得x ≥3， 故答案为[3,+∞)．17.答案：解：(1)∵a =3时，集合A ={x|0≤x ≤5}，B ={x|x 2−8x +7≥0}={x|x ≤1或x ≥7}，全集U =R ． ∴C U B ={x|1<x <7}， ∴A ∩(∁U B)={x|1<x ≤5}． (2)∵集合A ={x|3−a ≤x ≤2+a}，B ={x|x 2−8x +7≥0}={x|x ≤1或x ≥7}，A ∪B =R ， ∴{3−a ≤12+a ≥7，解得a ≥5，∴实数a 的取值范围是[5,+∞)．解析：(1)a =3时，集合A ={x|0≤x ≤5}，B ={x|x 2−8x +7≥0}={x|x ≤1或x ≥7}，全集U =R.从而C U B ={x|1<x <7}，由此能求出A ∩(∁U B)．(2)由集合A ={x|3−a ≤x ≤2+a}，B ={x|x ≤1或x ≥7}，A ∪B =R ，列出不等式组能求出实数a 的取值范围．本题考查交集、补集、实数的取值范围的求法，考查交集、补集、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．18.答案：(本题满分12分)解：(1)(916) 12+31000−(6427) −13+3⋅e 0=34+10−34+3 =13． (2)lg √27+lg8−log 4812lg0.3+lg2=32lg3+3lg2−32log 2212lg 310+lg2=3．(3)lg 25+lg2⋅lg50=lg 25+lg105⋅lg(10×5)=lg 25+(1−lg5)⋅(1+lg5)=1．解析：(1)利用有理指数幂的运算法则化简求解即可． (2)(3)利用对数的运算法则化简求解即可．本题考查对数的运算法则的应用，有理指数幂的化简求值，考查计算能力．19.答案：解：(1)f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(−x)=2−x−12−x+1=1−2x1+2x=−f(x)，则函数f(x)为奇函数；(2)g(x)=f(x)+x3+35=2x−12x+1+x3+35，则g(x)−35为奇函数，令F(x)=g(x)−35，有F(−x)=−F(x)，则g(−x)−35=−g(x)+35,g(−x)=−g(x)+65，则g(−2)=−g(2)+65,g(2)=8+65=465；(3)y=2x−12x+1，y⋅2x+y=2x−1，(y−1)2x=−y−1，2x=−y+1y−1>0，则−1<y<1，函数f(x)的值域为(−1,1)．解析：本题主要考查函数的奇偶性、值域，解答本题的关键是掌握相关知识，逐一分析解答即可．(1)f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(−x)=2−x−12−x+1=1−2x1+2x=−f(x)，则函数f(x)为奇函数；(2)g(x)=f(x)+x3+35=2x−12x+1+x3+35，则g(x)−35为奇函数，求g(2)的值;(3)y=2x−12x+1，y⋅2x+y=2x−1，求函数f(x)值域．20.答案：解：(1)∵在x∈(0,+∞)单调递增，∴−t2+2t+3>0，即t2−2t−3<0，得−1<t<3，∵t∈z，∴t=0，1，2，若t=0，则f(x)=x3为奇函数，不满足条件．若t=1，则f(x)=x4为偶函数，满足条件．若t=2，则f(x)=x3为奇函数，不满足条件．故f(x)的表达式为f(x)=x4；(2)∵f(x)=x4，∴g(x)=log a[a√f(x)−x]=log a(ax2−x)设t =ax 2−x ，则y =log a t ，若g(x)=log a [af(x)−x](a >0，且a ≠1﹚在区间[2,4]上是单调递减函数， 则t =ax 2−x 和y =log a t 的单调性相反，若a >1，则t =ax 2−x 在区间[2,4]上是单调递减函数，则对称轴x =−−12a =12a ≥4，即a ≤18，此时不满足条件．若0<a <1，则t =ax 2−x 在区间[2,4]上是单调递增函数，则对称轴x =12a ≤2，且当x =2时，t =4a −2>0，解得{0<a <1a ≥14a >12，即12<a <1．解析：(1)根据函数的奇偶性和单调性的性质，即可求出t 的值，从而求f(x)的解析式； (2)利于换元法，结合复合函数单调性之间的关系，即可得到结论．本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，以及复合函数单调性之间的关系，利于换元法是解决本题的关键．21.答案：解：(Ⅰ)∵f(x)在[−1,1]上的奇函数，∴f(0)=0，设0<x ≤1，则−1≤−x <0， 故f(x)=−f(−x)=−(−2−x 4−x +1)=2x4x +1，故f(x)={ −2x4x +1,−1≤x <00,x =02x4x +1,0<x ≤1；(Ⅱ)f(x)在(0,1]上为减函数，证明如下， ∵f(x)=2x4x +1=12x +12x，且y =2x 在(0,1]上是增函数，y =x +1x 在(1,2]上是增函数， y =1x 在(2,52]上是减函数；∴由复合函数的单调性可知， f(x)=2x 4x +1(0,1]上为减函数．(Ⅲ)当x ∈(0,1]时，函数g(x)=2x f(x)−2x −m =4x +1−2x −m ， 故m =4x +1−2x =(2x −12)2+34， ∵x ∈(0,1]，∴2x ∈(1,2]， ∴1<4x +1−2x ≤13，故实数m 的取值范围为(1,13]．解析：(Ⅰ)可知f(0)=0，再设0<x ≤1，则−1≤−x <0，从而得到f(x)=−f(−x)=−(−2−x 4−x +1)=2x 4x +1，从而解得；(Ⅱ)先判断f(x)在(0,1]上为减函数，再由复合函数的单调性证明即可． (Ⅲ)可化为m =4x +1−2x =(2x −12)2+34，从而求实数m 的取值范围． 本题考查了函数的单调性的判断与应用，同时考查了函数的奇偶性的应用．22.答案：解：(1)由f(x)为偶函数可得f(−x)=(−x )2−ax −1 =x 2+ax −1=f(x)，即a =0，(2)不等式化为f(x −1)+4f(m)−f(xm )+4m 2f(x)≥0，即(x −1)2−1+4m 2−4−x 2m 2+1+4m 2x 2−4m 2≥0，整理得(1−1m 2+4m 2)x 2−2x −3≥0，因为，所以1−1m 2+4m 2≥2x+3x 2，设，.于是题目化为，对任意恒成立的问题．为此需求，的最大值．设，则.函数在区间上是增函数，因而在处取得最大值．，所以，整理得，即，所以，解得或，因此实数的取值范围是．解析：本题考查了函数的奇偶性以及不等式的恒成立，属于中档题． (1)由偶函数定义，可求啊a ；(2)不等式化为f(x −1)+4f(m)−f(xm )+4m 2f(x)≥0，分离参数可得1−1m 2+4m 2≥2x+3x 2，转化为求函数的最值以及解二次不等式．。
2020-2021成都师大附中外国语学校学校高中必修一数学上期中试卷及答案
2020-2021成都师大附中外国语学校学校高中必修一数学上期中试卷及答案一、选择题1．f (x)＝－x 2＋4x ＋a ，x∈[0,1]，若f (x)有最小值－2，则f (x)的最大值( ) A ．－1B ．0C ．1D ．22．设()(),0121,1x x f x x x ⎧<<⎪=⎨-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．2B ．4C ．6D ．83．函数()111f x x =--的图象是（ ） A ． B ．C ．D ．4．设函数22,()6,x x x af x ax x a⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩是定义在R 上的增函数，则实数a 取值范围（ ）A ．[)2,+∞B ．[]0,3C ．[]2,3D ．[]2,45．已知函数2221,2,()2,2,x x x x f x x -⎧-++<=⎨≥⎩且存在三个不同的实数123,,x x x ，使得123()()()f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围为（ ）A ．(4,5)B ．[4,5)C ．(4,5]D ．[4,5]6．定义在R 上的奇函数()f x 满足()1(2)f x f x +=-，且在()0,1上()3xf x =，则()3log 54f =（ ）A ．32B ．23-C ．23D ．32-7．已知()lg(10)lg(10)f x x x =++-，则()f x 是（ ）A ．偶函数，且在(0,10)是增函数B ．奇函数，且在(0,10)是增函数C ．偶函数，且在(0,10)是减函数D ．奇函数，且在(0,10)是减函数8．已知奇函数()f x 在R 上是增函数，若21log 5a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2log 4.1b f =，()0.82c f =，则,,a b c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<9．设a ＝2535⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝3525⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，c ＝2525⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a>c>bB ．a>b>cC ．c>a>bD ．b>c>a10．设0.13592,ln ,log 210a b c ===，则,,a b c 的大小关系是 A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>11．函数2xy x =⋅的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．12．若函数2()sin ln(14)f x x ax x =⋅+的图象关于y 轴对称，则实数a 的值为（ ） A ．2B ．2±C ．4D ．4±二、填空题13．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品的总金额不超过600元，则不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过600元，则超过600元部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下表累计计算.某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为30元，则他实际所付金额为____元． 14．已知函数2()121()f x ax x ax a R =+++-∈的最小值为0，则实数a =_________. 15．已知函数f(x)＝log a x ＋x －b(a ＞0，且a≠1)．当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f(x)的零点为x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *，则n= .16．函数f(x)为奇函数，且x>0时，f(x)x ＋1，则当x<0时，f(x)＝________.17．已知函数()x xf x e e -=-，对任意的[3,3]k ∈-，(2)()0f kx f x -+<恒成立，则x的取值范围为______. 18．已知函数2,()24,x x mf x x mx m x m⎧≤=⎨-+>⎩ 其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________________.19．已知f (x )是定义在[－2,2]上的奇函数，当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x－1，函数g (x )＝x 2－2x ＋m .如果∀x 1∈[－2,2]，∃x 2∈[－2,2]，使得g (x 2)＝f (x 1)，则实数m 的取值范围是______________.20．已知函数()log ,03,40a x x f x x x >⎧=⎨+-≤<⎩，其中0a >且1a ≠，若函数()f x 的图象上有且只有一对点关于y 轴对称，则a 的取值范围是__________． 三、解答题21．已知2256x ≤且21log 2x ≥，求函数22()log 22x xf x =⋅的最大值和最小值． 22．设()4f x x x=-（1）讨论()f x 的奇偶性;（2）判断函数()f x 在()0,∞+上的单调性并用定义证明.23．已知()f x 是定义在()1,1-上的奇函数，且当01x <<时，()442xx f x =+，（1）求()f x 在()1,0-上的解析式；（2）求()f x 在()1,0-上的值域；（3）求13520172018201820182018f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 的值.24．已知函数()212ax f x x b +=+是奇函数，且()312f =.（1）求实数a ，b 的值；（2）判断函数()f x 在(],1-∞-上的单调性，并用定义加以证明． （3）若[]2,1x ∈--，求函数的值域25．设集合222{|40},{|2(1)10}A x x x B x x a x a =+==+++-=，若A ∩B=B ，求a 的取值范围． 26．函数是奇函数．求的解析式；当时，恒成立，求m 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】因为对称轴2[0,1]x =∉，所以min max ()(0)2()(1)31f x f a f x f a ===-∴==+= 选C.2．C解析：C 【解析】由1x ≥时()()21f x x =-是增函数可知,若1a ≥,则()()1f a f a ≠+,所以01a <<,由()(+1)f a f a =2(11)a a =+-,解得14a =,则1(4)2(41)6f f a ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭,故选C. 【名师点睛】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式，代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．3．B解析：B 【解析】 【分析】把函数1yx=先向右平移一个单位，再关于x轴对称，再向上平移一个单位即可.【详解】把1yx=的图象向右平移一个单位得到11yx=-的图象，把11yx=-的图象关于x轴对称得到11yx=--的图象，把11yx=--的图象向上平移一个单位得到()111f xx=--的图象，故选：B.【点睛】本题主要考查函数图象的平移，对称，以及学生的作图能力，属于中档题.4．D解析：D【解析】【分析】画出函数22y x x=--的图象，结合图象及题意分析可得所求范围．【详解】画出函数22y x x=--的图象如下图所示，结合图象可得，要使函数()22,,6,,x x x axax x a⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩是在R上的增函数，需满足22226aa a a≥⎧⎨--≥-⎩，解得24x≤≤．所以实数a取值范围是[]2,4．故选D．【点睛】解答本题的关键有两个：（1）画出函数的图象，结合图象求解，增强了解题的直观性和形象性；（2）讨论函数在实数集上的单调性时，除了考虑每个段上的单调性之外，还要考虑在分界点处的函数值的大小关系．5．A解析：A 【解析】不妨设123x x x <<，当2x <时，()()212f x x =--+，此时二次函数的对称轴为1x =，最大值为2，作出函数()f x 的图象如图，由222x -=得3x =，由()()()123f x f x f x ==，，且1212x x +=，即122x x +=，12332,x x x x ∴++=+ 由图可知3323,425x x <<∴<+<， 即123x x x ++的取值范围是()4,5，故选A.6．D解析：D 【解析】 【分析】由题意结合函数的性质整理计算即可求得最终结果. 【详解】由题意可得：()354f log =()3log 23f +， 则()354f log =()31log 21f -+，且()()331log 21log 21f f +=--， 由于()3log 211,0-∈-，故()()31log 2333log 211log 232f f --=--=-=-，据此可得：()()3312log 21log 213f f +=-=-，()354f log =32-.本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，函数的周期性及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.解析：C 【解析】 【分析】先判断函数的定义域关于原点对称，再由奇偶性的定义判断奇偶性，根据复合函数的单调判断其单调性，从而可得结论. 【详解】由100100x x +>⎧⎨->⎩，得(10,10)x ∈-， 故函数()f x 的定义域为()10,10-，关于原点对称，又()()lg 10lg(10)()f x x x f x -=-++=，故函数()f x 为偶函数， 而()()2lg(10)lg(10)lg 100f x x x x=++-=-，因为函数2100y x =-在()0,10上单调递减，lg y x =在()0,∞+上单调递增， 故函数()f x 在()0,10上单调递减，故选C. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性，属于中档题. 判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法， ()()f x f x -=±(正为偶函数，负为减函数)；（2）和差法，()()0f x f x -±=（和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法，()()1f x f x -=±（1 为偶函数，1- 为奇函数） .8．C解析：C 【解析】由题意：()221log log 55a f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 且：0.822log 5log 4.12,122>><<，据此：0.822log 5log 4.12>>，结合函数的单调性有：()()()0.822log 5log 4.12f f f >>，即,a b c c b a >><<. 本题选择C 选项.【考点】 指数、对数、函数的单调性【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.解析：A 【解析】试题分析：∵函数2()5xy =是减函数，∴c b >；又函数25y x =在(0,)+∞上是增函数，故a c >.从而选A考点：函数的单调性.10．A解析：A 【解析】 试题分析：，，即，，．考点：函数的比较大小．11．A解析：A 【解析】 【分析】先根据奇偶性舍去C,D,再根据函数值确定选A. 【详解】因为2xy x =⋅为奇函数，所以舍去C,D; 因为0x >时0y >,所以舍去B ，选A. 【点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．12．B解析：B 【解析】 【分析】根据图象对称关系可知函数为偶函数，得到()()f x f x =-，进而得到221414ax x x ax++=+-.【详解】()f x Q 图象关于y 轴对称，即()f x 为偶函数 ()()f x f x ∴=-即：()sin ln sin lnsin lnx ax x ax x ⋅+=-⋅=⋅ax ∴+=恒成立，即：222141x a x +-=24a ∴=，解得：2a =± 本题正确选项：B 【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求解参数值的问题，关键是能够明确恒成立时，对应项的系数相同，属于常考题型.二、填空题13．1120【解析】【分析】明确折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式结合y ＝30＞25代入可得某人在此商场购物总金额减去折扣可得答案【详解】由题可知：折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式y ∵y ＝解析：1120 【解析】 【分析】明确折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式，结合y ＝30＞25，代入可得某人在此商场购物总金额, 减去折扣可得答案． 【详解】由题可知：折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式，y ()()006000.0560060011000.11100251100x x x x x ⎧≤⎪=-≤⎨⎪-+⎩，＜，＜，＞ ∵y ＝30＞25 ∴x ＞1100∴0.1（x ﹣1100）+25＝30 解得，x ＝1150， 1150﹣30＝1120，故此人购物实际所付金额为1120元． 【点睛】本题考查的知识点是分段函数，正确理解题意，进而得到满足条件的分段函数解析式是解答的关键．14．【解析】【分析】设计算可得再结合图象即可求出答案【详解】解：设则则由于函数的最小值为0作出函数的大致图象结合图象得所以故答案为：【点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质考查转化思想考查数形结合思想属解析：±1. 【解析】 【分析】 设2()()1()()21g x h x ax g x h x x ax +=+⎧⎨-=+-⎩，计算可得2(),()()()2(),()()g x g x h x f x h x g x h x ≥⎧=⎨<⎩，再结合图象即可求出答案． 【详解】解：设2()()1()()21g x h x ax g x h x x ax +=+⎧⎨-=+-⎩，则22()()1g x x ax h x x ⎧=+⎨=-⎩， 则()()()()()f x g x h x g x h x =++-2(),()()2(),()()g x g x h x h x g x h x ≥⎧=⎨<⎩，由于函数()f x 的最小值为0，作出函数()g x ，()h x 的大致图象，结合图象，210x -=，得1x =±， 所以1a =±， 故答案为：±1． 【点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质，考查转化思想，考查数形结合思想，属于中档题．15．2【解析】【分析】把要求零点的函数变成两个基本初等函数根据所给的ab 的值可以判断两个函数的交点的所在的位置同所给的区间进行比较得到n 的值【详解】设函数y=logaxm=﹣x+b 根据2＜a ＜3＜b ＜4解析：2 【解析】 【分析】把要求零点的函数，变成两个基本初等函数，根据所给的a ，b 的值，可以判断两个函数的交点的所在的位置，同所给的区间进行比较，得到n 的值. 【详解】设函数y=log a x ，m=﹣x+b 根据2＜a ＜3＜b ＜4，对于函数y=log a x 在x=2时，一定得到一个值小于1，而b-2>1，x=3时，对数值在1和2 之间，b-3<1在同一坐标系中画出两个函数的图象， 判断两个函数的图形的交点在（2，3）之间，∴函数f （x ）的零点x 0∈（n ，n+1）时，n=2．故答案为2.考点：二分法求方程的近似解；对数函数的图象与性质．16．【解析】当x<0时－x>0∴f(－x)＝＋1又f(－x)＝－f(x)∴f(x)＝故填 解析：1x -【解析】当x <0时，－x >0，∴f (－x )＝x -1，又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝1x -,故填1x -.17．【解析】【分析】先判断函数的单调性和奇偶性根据单调性和奇偶性化简题目所给不等式利用一次函数的性质求得的取值范围【详解】由于故函数为奇函数而为上的增函数故由有所以即将主变量看成（）表示一条直线在上纵坐解析：11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【解析】 【分析】先判断函数()f x 的单调性和奇偶性，根据单调性和奇偶性化简题目所给不等式，利用一次函数的性质，求得x 的取值范围. 【详解】由于()()f x f x -=-故函数为奇函数，而()1xxf x e e =-为R 上的增函数，故由(2)()0f kx f x -+<，有()()()2f kx f x f x -<-=-，所以2kx x -<-，即20xk x +-<，将主变量看成k （[3,3]k ∈-），表示一条直线在[]3,3-上纵坐标恒小于零，则有320320x x x x -+-<⎧⎨+-<⎩，解得112x -<<.所以填11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】本小题主要考查函数的单调性和奇偶性的运用，考查化归与转化的数学思想方法，考查一元一次不等式组的解法，属于中档题.18．【解析】试题分析：由题意画出函数图象如下图所示要满足存在实数b 使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根则解得故m 的取值范围是【考点】分段函数函数图象【名师点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质函数解析：()3+∞，【解析】试题分析：由题意画出函数图象如下图所示，要满足存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根，则24m m m -<，解得3m >，故m 的取值范围是(3,)+∞.【考点】分段函数，函数图象【名师点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质、函数与方程、分段函数的概念.解答本题，关键在于能利用数形结合思想，通过对函数图象的分析，转化得到代数不等式.本题能较好地考查考生数形结合思想、转化与化归思想、基本运算求解能力等.19．－5－2【解析】分析：求出函数的值域根据条件确定两个函数的最值之间的关系即可得到结论详解：由题意得：在－22上f(x)的值域A 为g(x)的值域B 的子集易得A ＝－33B ＝m －18＋m 从而解得－5≤m≤解析：[－5,－2]. 【解析】分析：求出函数()f x 的值域，根据条件，确定两个函数的最值之间的关系即可得到结论. 详解：由题意得：在[－2,2]上f (x )的值域A 为g (x )的值域B 的子集. 易得A ＝[－3,3]，B ＝[m －1,8＋m ]，从而解得－5≤m ≤－2.点睛：本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数最值之间的关系，综合性较强.20．【解析】将在轴左侧的图象关于轴对称到右边与在轴右侧的图象有且只有一个交点当时一定满足当时必须解得综上的取值范围是点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关解析：(0,1)1,4⋃（） 【解析】将()f x 在y 轴左侧的图象关于y 轴对称到右边，与()f x 在y 轴右侧的图象有且只有一个交点.当01a <<时一定满足，当1a >时必须log 41a >，解得4a <.综上a 的取值范围是()0,11,4⋃（）.点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．三、解答题21．最小值为14-，最大值为2. 【解析】 【分析】 由已知条件化简得21log 32x ≤≤，然后化简()f x 求出函数的最值 【详解】由2256x ≤得8x ≤，2log 3x ≤即21log 32x ≤≤ ()()()222231log 1log 2log 24f x x x x ⎛⎫=-⋅-=-- ⎪⎝⎭.当23log ,2x = ()min 14f x =-，当2log 3,x = ()max 2f x =． 【点睛】熟练掌握对数的基本运算性质是转化本题的关键，将其转化为二次函数的值域问题，较为基础．22．(1)奇函数(2)()f x 在()0,+∞上是增函数，证明见解析. 【解析】 【分析】(1)分别确定函数的定义域和()f x 与()f x -的关系即可确定函数的奇偶性；(2)()12,0,x x ∀∈+∞,且12x x <,通过讨论()()12f x f x -的符号决定()1f x 与()2f x 的大小，据此即可得到函数的单调性. 【详解】 (1)()4f x x x=-的定义域为0x ≠,()()()44f x x x f x x x ⎛⎫-=--=--=- ⎪-⎝⎭,()4f x x x ∴=-是奇函数. (2)()12,0,x x ∀∈+∞,且12x x <,()()()()()()121212122112121212124444441f x f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭∵()1212,0,,x x x x ∈+∞<,121240,10x x x x ∴-+， ()1212410x x x x ⎛⎫∴-+< ⎪⎝⎭， ()()12f x f x <. ∴Q ()f x 在()0,+∞上是增函数.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，函数的单调性的证明等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 23．（1）()1124x f x -=+⋅（2）2133,⎛⎫-- ⎪⎝⎭（3）10092 【解析】 【分析】（1）令0x <<-1,则01x <-<,代入解析式可求得()f x -.再根据奇函数性质即可求得()f x 在()1,0-上的解析式;（2）利用分析法,先求得当0x <<-1时,4x 的值域,即可逐步得到()f x 在()1,0-上的值域; （3）根据函数解析式及所求式子的特征,检验()()1f x f x +-的值,即可由函数的性质求解. 【详解】（1）当0x <<-1时,01x <-<,()4142124x x xf x ---==++⋅, 因为()f x 是()1,1-上的奇函数 所以()()1124xf x f x -=--=+⋅,（2）当0x <<-1时,14,14x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,3124,32x ⎛⎫+⋅∈ ⎪⎝⎭,121,12433x -⎛⎫∈-- ⎪+⋅⎝⎭,所以()f x 在()1,0-上的值域为21,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭； （3）当01x <<时,()442x x f x =+,()()11444411424242424x x x x x x xf x f x --+-=+=+=++++⋅, 所以1201732015520131201820182018201820182018f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L , 故135********20182018201820182f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L . 【点睛】本题考查了奇函数的性质及解析式求法,利用分析法求函数的值域,函数性质的推断与证明,对所给条件的分析能力要求较高,属于中档题.24．（1）2,0a b ==；（2）()f x 在(],1-∞-上为增函数，证明见解析；（3）93,42⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【解析】 【分析】（1）由函数为奇函数可得()312f =,()312f -=-，再联立解方程组即可得解； （2）利用定义法证明函数()f x 在(],1-∞-上为增函数即可； （3）由函数()f x 在[]2,1--上为增函数，则可求得函数的值域. 【详解】解：（1）由函数()212ax f x x b+=+是奇函数，且()312f =,则()312f -=-，即22113212(1)132(1)2a b a b ⎧⨯+=⎪⨯+⎪⎨⨯-+⎪=-⎪⨯-+⎩ ，解得：20a b =⎧⎨=⎩ ； （2）由（1）得：()2212x f x x+=，则函数()f x 在(],1-∞-上为增函数； 证明如下： 设121x x <≤-，则12()()f x f x -=211212x x +222212x x +-=2212212112222x x x x x x x x +--121212()(21)2x x x x x x --=，又因为121x x <≤-，所以120x x -<，12210x x ->，120x x >， 即12())0(f x f x -< ，即12()()f x f x <， 故()f x 在(],1-∞-上为增函数；（3）由（2）得：函数()f x 在[]2,1--上为增函数，所以(2)()(1)f f x f -≤≤-，即93()42f x -≤≤-，故[]2,1x ∈--，函数的值域为：93,42⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了函数的奇偶性及增减性，重点考查了利用函数的性质求函数的值域问题，属中档题.25．a=1或a≤﹣1 【解析】试题分析：先由题设条件求出集合A ，再由A∩B=B ，导出集合B 的可能结果，然后结合根的判别式确定实数a 的取值范围． 试题解析：根据题意，集合A={x|x 2+4x=0}={0，﹣4}，若A∩B=B，则B 是A 的子集， 且B={x|x 2+2（a+1）x+a 2﹣1=0}，为方程x 2+2（a+1）x+a 2﹣1=0的解集， 分4种情况讨论：①B=∅，△=[2（a+1）]2﹣4（a 2﹣1）=8a+8＜0，即a ＜﹣1时，方程无解，满足题意； ②B={0}，即x 2+2（a+1）x+a 2﹣1=0有两个相等的实根0， 则有a+1=0且a 2﹣1=0，解可得a=﹣1，③B={﹣4}，即x 2+2（a+1）x+a 2﹣1=0有两个相等的实根﹣4， 则有a+1=4且a 2﹣1=16，此时无解，④B={0、﹣4}，即x 2+2（a+1）x+a 2﹣1=0有两个的实根0或﹣4， 则有a+1=2且a 2﹣1=0，解可得a=1， 综合可得：a=1或a≤﹣1．点睛：A ∩B=B 则B 是A={0，﹣4}的子集，而B={x|x 2+2（a+1）x+a 2﹣1=0}为方程x 2+2（a+1）x+a 2﹣1=0的解集，所以分四种情况进行讨论①B=∅，②B={0}，③B={﹣4}，④B={0、﹣4}，其中①B=∅不要忘记. 26．（1）；（2）.【解析】 【分析】根据函数的奇偶性的定义求出a 的值，从而求出函数的解析式即可；问题转化为在恒成立，令，，根据函数的单调性求出的最小值，从而求出m的范围即可．【详解】函数是奇函数，，故，故；当时，恒成立，即在恒成立，令，，显然在的最小值是，故，解得：．【点睛】本题考查了函数的奇偶性问题，考查函数恒成立以及转化思想，指数函数，二次函数的性质，是一道常规题．对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数单调性求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会.。
2020-2021学年四川省成都外国语学校高一上学期期中考试数学试题(解析版)
2020-2021学年四川省成都外国语学校高一上学期期中考试数学试题一、单选题1．设集合{1,2,6},{2,4},{1,2,3,4}A B C ===，则()A B C =（ ）A ．{}2B ．{}124，，C ．{}1246，，，D ．{}12346，，，， 【答案】B【分析】根据集合的并集运算，求得可得{1,2,4,6}A B =，再集合集合的交集运算，即可求解.【详解】由题意，集合{1,2,6},{2,4},{1,2,3,4}A B C ===， 可得{1,2,4,6}AB =，所以(){1,2,4,6}{1,2,3,4}{1,2,4}A BC ==.故选：B.【点睛】本题主要考查了集合的交集与并集的概念及运算，其中解答中熟记集合的交集和并集的概念是解答的关键，着重考查运算与求解能力，属于基础题. 2．下列各组函数中，表示同一个函数的是（）A ．211x y x -=-与1y x =+ B ．y x =与log xa y a =()0,1a a >≠C ．1y =与1y x =-D ．lg y x =与21lg 2y x =【答案】D【解析】本题考查函数的概念，函数的三要素，同一函数的判定. 定义域、对应关系、值域相同的函数是同一函数.函数211x y x -=-的定义域为(,1)(1,)-∞⋃+∞，函数1y x =+的定义域为,R 211x y x -=-与的1y x =+的定义域不同，所以不表示同一个函数； 函数lg y x =的定义域为(0,),+∞函数21lg 2y x =的定义域为(,0)(0,);-∞⋃+∞ 定义域不同；所以lg y x =与21lg 2y x =不表示同一个函数；函数11y x ==-的定义域和函数1y x =-的定义域都是,R 但是对应关系不相同，所以不表示同一函数；y x =与log x a y a x == (a ﹥0且a≠1)的定义域，对应关系相同，值域也相同，所以是同一函数.故选D3．设全集U =R ，集合1284x A x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，{}05B x x =<<，则韦恩图中阴影部分表示的集合是（ ）A ．{}25x x -<< B ．{}20x x -<≤C ．{}35x x -<<D ．{}35x x ≤<【答案】D【分析】求出集合A ,再根据韦恩图求出其阴影部分表示的集合. 【详解】{}128234x A xx x ⎧⎫=<<=-<<⎨⎬⎩⎭, {,2R U R A x x =∴=≤-或}3x ≥, ∴韦恩图中阴影部分表示的集合是{}35RB A x x ⋂=≤<,故选:D.【点睛】本题考查了集合的求法,结合了韦恩图以及指数运算的基本知识,难度不大.4．已知函数3log ()0()(5)x x f x f x x -<⎧=⎨-≥⎩，则(2)f =（ ）A ．-1B ．1C ．0D ．2【答案】B【分析】根据分段函数的解析式直接求解即可.【详解】因为3log ()0()(5)x x f x f x x -<⎧=⎨-≥⎩，所以3(2)(25)(3)log 31f f f =-=-== 故选：B5．已知函数(21)45()f x x x R -=+∈，若()13f a =，则实数a 的值为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】C【分析】利用换元法求出函数解析式，利用解析式解方程可得结果. 【详解】因为(21)45f x x -=+，令21x t -=，则12t x +=， 所以1()45272t f t t +=⨯+=+， 所以()2713f a a =+=，解得3a =. 故选：C【点睛】关键点点睛：利用换元法求出解析式是解题关键. 6．已知3log 5a =，23log 2b =，0.25c -=，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c b a >>D ．c a b >>【答案】A【分析】根据指数与对数函数的单调性，分别判定a ，b ，c 大小，即可得出结果. 【详解】因为33log 5log 31a =>=，2233log 2log 10b =<=，0.200551c -<=<=，所以a c b >>， 故选：A 7．函数2121x y =+-的部分图象大致为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】先求函数的定义域，再利用定义判断函数的奇偶性，再判断当0x >时，函数值的情况，判断选项即可.【详解】令()22112121x x xf x +=+=--， 得函数的定义域为{}0x x ≠，()()21122112x xx xf f x x --++--==--=， 则()f x 为奇函数， 所以排除B C ；当0,21210xxx >>⇒->， 则1y >， 所以排除A ； 故选：D.【点睛】本题主要考查了利用函数的性质判断函数的图像.属于较易题. 8．已知函数3,1()(0,1xx a x f x a a x -+<⎧=>⎨≥⎩且1)a ≠在R 上是减函数，则a 的范围为（ ）A ．(0,1)B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C【分析】依题意可得0131a a a <<⎧⎨-≥⎩，解得即可【详解】因为函数3,1()(0,1xx a x f x a a x -+<⎧=>⎨≥⎩且1)a ≠是R 上的减函数， 所以0131a a a<<⎧⎨-≥⎩，解得112a ≤<，故选：C9．已知()y f x =是定义在R 上的函数，且(4)()f x f x +=-，如果当(]0,4x ∈时，()3x f x =-，则(985)f =（ ）A ．9B ．-9C ．3D ．-3【答案】D【分析】先判断出函数的周期，然后利用周期性和已知条件，将()985f 转化为(1)f ，将1x =代入题目所给解析式，由此求得()985f 的值. 【详解】由()()4f x f x +=-， 则()()()84f x f x f x +=-+=， 所以()y f x =为周期为8的周期函数，()()()985123811f f f =⨯+=，()1133f =-=-.故选：D10．函数2log (2)a y x ax =-+在区间(],1-∞上是减函数，则a 的取值范围是（ ）A ．(0,1)B ．[2，)+∞C ．[2，3)D ．(1,3)【答案】C【分析】先确定1a >，再转化为22t x ax =-+在区间(],1-∞上为减函数，且0t >，即可求得a 的取值范围.【详解】解：若01a <<，则22t x ax =-+在区间(],1-∞上为增函数，不可能，舍去；若1a >，则22t x ax =-+在区间(],1-∞上为减函数，且0t >,12120a a ⎧≥⎪∴⎨⎪-+>⎩ 23a ∴≤<即a 的取值范围是[)2,3. 故选：C.【点睛】本题考查对数型复合函数的单调性，考查学生分析转化问题的能力，属于中档题.11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如： []2.13-=-， []3.13=，已知函数()121123x xf x +=-+，则函数[()]y f x =的值域是（ ）A ．{}0,1B ．{}1,1-C ．{}1,0-D ．{}1,0,1-【答案】D【分析】化简函数()1215215,12331233x x xf x +⎛⎫=-=-∈- ⎪++⎝⎭，根据[]x 表示不超过x 的最大整数，可得结果.【详解】函数()1215215,12331233x x x f x +⎛⎫=-=-∈- ⎪++⎝⎭， 当()103f x -<<时，()1y f x ==-⎡⎤⎣⎦； 当()01f x ≤<时，()0y f x ==⎡⎤⎣⎦； 当()513f x ≤<时，()1y f x ==⎡⎤⎣⎦， ∴函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域是{}1,0,1-，故选D.【点睛】本题考查指数的运算、函数的值域以及新定义问题，属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 12．已知函数3log ,03()4,3x x f x x x ⎧<≤=⎨-+>⎩，若函数()y f x =与y m =有三个不同的交点，其横坐标依次为12,,x x 3x ，且123x x x <<，则()1231mx x x +-的取值范围是（ ） A ．(3,1)-- B ．(0,2)C ．(1,3)-D ．(3,0)【答案】A【分析】画出函数()f x 的图象，由图象可知0<m <1，再由31323log log 4x x x m -==-+=得: 1231,4x x x m ==-从而()123124mm x x x m +-=-+，因为函数()24m h m m =-+在(0，1)上单调递增，进而求出h (m )的值域，即()1231mx x x +-的取值范围．【详解】函数3log ,03()4,3x x f x x x ⎧<≤=⎨-+>⎩的大致图象如图，因为函数()y f x =与y m =有三个不同的交点， 所以0<m <1，由31323log log 4x x x m -==-+=得：1231,4x x x m ==-，123(1)24.m m x x x m ∴+-=-+设()24,(0,1)mh m m m =-+∈， 因为()h m 在(0,1)上单调递增，3()1h m ∴-<<-，即()1231mx x x +-的取值范围为(3,1)--， 故选：A【点睛】关键点点睛：本题解题时，根据分段函数做出大致图象是关键，结合图象的对称性可转化为求24m m -+的范围，利用函数单调性即可求解，考查了数形结合思想，转化思想，属于中档题.二、填空题13．已知集合2{1,}A a =，{,1}B a =-，若{1,,1}A B a =-，则a =__________.【答案】0 【分析】由{1,,1}AB a =-及A ，B 可得2a a =，注意元素的互异性即可求解.【详解】因为2{1,}A a =，{,1}B a =-，{1,,1}A B a =-，所以2a a =，解得0a =或1a =（舍去，不满足集合元素的互异性） 故答案为：014．函数2020()2(01)x f x a a a -=+>≠,的图像必经过定点__________. 【答案】（2020，3）【分析】根据01(0)a a =≠，令20200x -=，即可求得答案. 【详解】令20200x -=，解得2020x =，则0()23f x a =+=，所以()f x 的图像必经过定点（2020，3），故答案为：（2020，3）15．已知函数()f x 是奇函数，当0x >时，()(6)f x x x =+，则当0x <时()f x =________.【答案】(6)x x -【分析】设0x <，则0x ->，由已知条件可得()(1)f x x x -=--，即()(1)f x x x -=--，由此求得0x <时()f x 的表达式． 【详解】设0x <，则0x ->，由当0x >时()(6)f x x x =+可得()(6)f x x x -=--． 再由函数为奇函数可得()(6)f x x x -=--，()(6)f x x x ∴=-．故0x <时()f x 的表达式为()(6)f x x x =-． 故答案为：(6)x x -16．定义域为R 的函数()f x 满足(2)2()f x f x +=，当[0,2)x ∈时，2 1.5,[0,1)()0.5,[1,2)x x x x f x x -⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩，若[4,2)x ∈--时，1()42t f x t ≥-恒成立，则实数t 的取值范围是______． 【答案】(,2](0,1]-∞-⋃【分析】由分段函数根据单调性求得()f x 在[0,2)x ∈的最小值，根据(2)2()f x f x +=求出[4,2)x ∈--，()f x 的最小值，将问题转化为min 1()42t f x t≥-解不等式即可得出结果． 【详解】根据已知，当[0,2)x ∈时，21.5,[0,1)()0.5,[1,2)x x x x f x x -⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩， 则当[0,1)x ∈时，()f x 在0.5x =处取到最小值(0.5)0.25f =-， 当[1,2)x ∈时，()f x 在 1.5x =处取到最小值(1.5)1f =-， 所以()f x 在[0,2)x ∈时在 1.5x =处取到最小值(1.5)1f =-， 又因为(2)2()f x f x +=， 可知当[4,2)x ∈--时， ()f x 在 2.5x =-时取到最小值，且(1.5)2(0.5)4( 2.5)f f f =-=-，则1( 2.5)(1.5)0.254f f -=⨯=-． 为使[4,2)x ∈--，1()42t f x t≥-恒成立，需11424t t -≤-， 当0t >时，可整理为220t t +-≤， 解得(0,1)t ∈； 当0t <时，可整理为220t t +-≥， 解得(,2]t ∈-∞-． 故答案为(,2](0,1]-∞-⋃.【点睛】本题考查分段函数的应用，考查函数的单调性，将恒成立问题转化为函数的最值问题是解题的关键，属于中档题．三、解答题17．已知函数2()lg(2)f x x x =-++的定义域为集合A ，{|2}B x m x m =≤≤+. （1）当2m =-时，求A B ；（2）若AB B =，求实数m 的取值范围.【答案】（1）}{22x x -≤<；（2）10m -<<.【分析】(1)可得出{}|12A x x =-<<，当2m =-时得出集合B ，然后进行并集的运算即可; (2)根据AB B =可得出B A ⊆，从而可得出122m m >-⎧⎨+<⎩，然后解出m 的范围即可．【详解】（1）{}{}2|20|12A x x x x x =-++>=-<<，当2m =-时，{}|20B x x =-≤≤， {}|22x A B x ⋃=-≤<∴（2）A B B =，B A ∴⊆，又{}|2B x m x m =≤≤+，122m m >-⎧∴⎨+<⎩，解得10m -<<，∴m 的取值范围(1,0)-.18．化简求值：（1）5132log 202313)0.25log 516π-⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭； （2）已知1122x x-+=22145x x x x --+++-的值.【答案】（1）11；（2）112-. 【分析】（1）根据实数指数幂的运算法则及对数的运算性质求解即可； （2）利用111222()2x xx x --+=+-，即可求得1x x -+的值，再平方即可求得22x x -+的值，代入所求，即可得答案. 【详解】（1）5132log 202313)0.25log 516π-⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭33423131()log 243-+-+ =3124373114log 328()211444--+-+=+--+=；（2）因为1122x x -+=125x x -++=，即13x x -+=， 所以2229x x -++=，即227x x -+=，所以221474115352x x x x --+++==-+--. 19．已知函数(0,1)x y a a a =>≠在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，记()2xxa f x a =+. （1）求a 的值； （2）求12320202021202120212021f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值.【答案】（1）4；（2）1010.【分析】（1）根据题意得220a a +=，再结合指数函数解方程即可得4a =； （2）利用函数解析式可得()(1)=1f x f x +-，利用结论即可求出答案.【详解】（1）函数xy a =（0a >且1a ≠）在[1,2]上的最大值与最小值之和为20，而函数x y a =（0a >且1a ≠）在[1,2]上单调递增或单调递减， ∴220a a +=，解得4a =，或5a =-（舍去）， ∴4a =；（2）由（1）知4()42x x f x =+，∴()()111444444144242424224424xxxx x x x x x x x f x f x --+-=+=+=+++++⨯++ =4214242x x x +=++； 12320202021202120212021f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭120202201910101011202120212021202120212021f f f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦=1010.【点睛】关键点点睛：利用指数函数的单调性总有220a a +=，可以不用分类讨论；在求12320202021202120212021f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值时，探求出()(1)1f x f x +-=是解题的关键.20．已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元.设该公司一年内共生产该款手机x 万部并全部销售完，每万部的销售收入为R (x )万美元，且24006,040()740040000,40x x R x x xx -<⎧⎪=⎨->⎪⎩，（1）写出年利润W (万美元)关于年产量x (万部)的函数解析式；（2）当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润.【答案】（1）2638440,04040000167360,40x x x W x x x ⎧-+-<⎪=⎨--+>⎪⎩；（2）当x ＝32时，W 取得最大值为6104万美元.【分析】（1）利用利润等于收入减去成本，可得分段函数解析式； （2）分段求出函数的最大值，比较可得结论． 【详解】（1）利用利润等于收入减去成本，可得当040x <时，2()(1640)638440W xR x x x x =-+=-+-； 当40x >时，40000()(1640)167360W xR x x x x=-+=--+ 2638440,04040000167360,40x x x W x x x ⎧-+-<⎪∴=⎨--+>⎪⎩；（2）当040x <时，226384406(32)6104W x x x =-+-=--+，32x ∴=时，(32)6104max W W ==；当40x >时，400004000016736027360W x x x=--+-， 当且仅当4000016x x=，即50x =时，(50)5760max W W == 61045760>32x ∴=时，W 的最大值为6104万美元．【点睛】本题考查分段函数模型的构建，考查利用均值不等式求最值，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题.21．已知()21,f x log a a R x ⎛⎫⎪⎝⎭=+∈． （1）当1a =时，解不等式()1f x >；（2）设0a >，若对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围． 【答案】（1）01x <<； （2）23a ≥. 【分析】（1）当1a =时,可得()211f x log x =+⎛⎫⎪⎝⎭,由()1f x >，解对数不等式即可求出; （2）由()f x 在(0,)+∞上单调递减,可得函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值的差为()(1)t f f t -+,将()(1)1f t f t -+≤转化为2(1)10at a t ++-≥对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立,利用二次函数的性质即可求出a 的取值范围. 【详解】（1）当1a =时，()22111f x log a log x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝=+=⎭+ ()1f x >，2111log x ⎛⎫> ⎪⎝⎭∴+，112x∴+>，11x ∴>，01x ∴<<.（2）因为()f x 在(0,)+∞上单调递减，所以函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值的差为()(1)t f f t -+， 因此2211()(1)log log 11f t f t a a tt ⎛⎫⎛⎫-+=+-+≤ ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭即2(1)10at a t ++-≥对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，因为0a >，所以2(1)1y at a t =++-在1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以21131(1)1(1)1=4242y at a t a a a =++-≥⨯++⨯-- 因此31042a -≥，23a ∴≥.【点睛】本题考查对数不等式的解法,借助二次函数恒成立求未知参数范围问题,难度较难.22．已知函数()()9log 91xf x kx =++，()k R ∈是偶函数.（1）求k 的值； （2）若()102b x x f ⎛⎫-+>⎪⎝⎭对于任意x 恒成立，求b 的取值范围； （3）若函数[]1()29()9231,0,log 8f x xx h x m x +=+⋅+∈，是否存在实数m 使得()h x 的最小值为0?若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）12k =-；（2）0b ≤；（3）存在，m =. 【分析】（1）由()()f x f x -=，化简可得2x kx -=，对任意x ∈R 恒成立，从而可得12k =-； （2）()102b x x f ⎛⎫-+>⎪⎝⎭对任意的x ∈R 成立，即()9log 91x x b +->，求出()9log 91x x +-的最小值即可得结果；（3）化简得()9232x x h x m =+⋅+，令3,x t t ⎡=∈⎣，则222y t m t =+⋅+，t ⎡∈⎣，分类讨论，利用二次函数的单调性，分别求出最小值，令其为零，解方程即可的结果.【详解】（1）函数()()9log 91xf x kx =++，()k R ∈是偶函数则满足()()f x f x =-所以()()99log 91log 91xxkx kx -++=-++即()()99919912log log log 991991x x x xx x kx x --++====-++ 所以21k =- 解得12k =-（2）由（1）可知，()()91log 912x f x x =-++，()102b x x f ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭对于任意x 恒成立代入可得()9log 910xx b +-->所以()9log 91xb x <+-对于任意x 恒成立令()()()999log 91log 91log 9xxxg x x =+-=+-99911log log 199x x x+⎛⎫==+ ⎪⎝⎭因为1119x +>所以由对数的图像与性质可得91log 109x⎛⎫+> ⎪⎝⎭所以0b ≤（3）()()129231f x x x h x m +=+⋅+，[]90,log 8x ∈，且()()91log 912xf x x =-++代入化简可得()9232xxh x m =+⋅+令3x t =，因为[]90,log 8x ∈，所以t ⎡∈⎣则()()222222,p t t mt t m m t ⎡=++=++-∈⎣①当1m -≤，即1m ≥-时，()p t在⎡⎣上为增函数，所以()()min 1230p t p m ==+=，解得32m =-，不合题意，舍去②当1m <-<1m -<<-时，()p t 在[]1,m -上为减函数，()p t 在m ⎡-⎣上为增函数，所以()()2min 20p t p m m =-=-=，解得m =，所以m =③当m ≤-，即m ≤- ()p t 在⎡⎣上为减函数，所以()(min 100p t p ==+=解得m =综上可知，m =.【点睛】方法点睛：本题主要考查利用奇偶性求函数解析式、考查指数函数、对数函数以及二次函数的性质，考查了转化思想以及分类讨论思想的应用，属于难题. 已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由()()+0f x f x -= 恒成立求解，（2）偶函数由 ()()0f x f x --= 恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由()00f = 求解，偶函数一般由()()110f f --=求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性.。
2020-2021学年四川成都高一上数学期中试卷(3)
2020-2021学年四川成都高一上数学期中试卷一、选择题1. 设集合A ={x|x ≤2}，m =√5，则下列关系中正确的是( ) A.m ∈A B.m ∉A C.{m }∈A D.m ⊆A2. 已知集合A ={x|x 2−2x −3=0}，B ={x|ax −1=0}，若B ⊆A ，则实数a 的值构成的集合是( ) A.{−1, 0} B.{−1, 0, 13}C.{−1, 13}D.{0,13}3. 与y =|x|为相等函数的是( ) A.y =√x 2B.y =(√x)2C.y ={x,(x >0)−x,(x <0)D.y =√x 334. 设f(x)为奇函数，且当x ≥0时，f(x)=e x −1，则当x <0时，f(x)=( ) A.−e −x −1 B.e −x −1 C.−e −x +1 D.e −x +15. 已知，f(x)={x +2x 22x ,x ≤−1,,−1<x <2,,x ≥2,若f(x)=3，则x 的值是( )A.1或32B.1C.1或32或±√3D.√36. 下列四个函数：①y =3−x ；②y =2x−1(x >0)；③y =x 2+2x −10；④y ={x,(x ≤0)，1x ,(x >0).其中定义域与值域相同的函数的个数为( ) A.3 B.1C.4D.27. 已知函数f(x)=ax 2+(b −3)x +3，x ∈[a 2−2, a]是偶函数，则a +b =( ) A.3 B.2C.4D.58. 设f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)=2x +2x +b （b 为常数），则f(−1)=( ) A.3B.1C.−3D.−19. 设a =1.50.6，b =0.31.5，c =0.30.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.b <c <a B.b <a <c C.a <b <c D.a <c <b10. 函数f (x )=e x −e −xx 2的图象是下列图中的( )A. B.C. D.11. 已知函数f (x )={a x , x ≤1，(3−a )x +2, x >1，在(−∞,+∞)上为增函数，则实数a 的取值范围是( )A.[1,3]B.[1,52)C.(1,3]D.(1,52]12. 已知函数 f (x )是定义在[a −1,2a ]上的偶函数，且当 x ≥0时，f (x )单调递增，则关于x 的不等式f (x −1)>f (a )的解集为( )A.随a 的值变化而变化B.(−23,−13]∪(13,23] C.[43,53) D.[13,23)∪(43,53]二、填空题函数f (x )=1x+4+√4−4x 的定义域为________.函数f(x)=a x−2+3过定点A，则A点的坐标为________.已知函数f(x)=2x−3，x∈{x∈Z|−1≤x≤2}，则函数f(x)的值域为________.某片森林原来面积为a，计划每年砍伐的森林面积是上一年年末森林面积的p%，当砍伐到原来面积的一半时，所用时间是10年，每年砍伐面积的百分比P%=________.三、解答题已知全集U={x∈N|1≤x≤6}，集合A={x|x2−6x+8=0}，集合B={3,4,5}.(1)求A∩B，A∪B；(2)写出集合(∁U A)∩B的所有子集．计算下列各式的值：(1)0.027−13−1614+(17)−√2564；(2)log142+2lg4+lg58+e3ln2.已知全集为R，集合A={x|2≤x≤6}，B={x|3x−7≥8−2x}．(1)求A∪B，∁R(A∩B)；(2)若M={x|a−4≤x≤a+4}，且A⊆∁R M，求a的取值范围．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=x2−2x. (1)求函数f(x)的解析式，并画出函数f(x)的图象；(2)根据图象写出函数f(x)的单调区间和值域．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)=2x−mx2−nx+2.(1)求m，n的值；(2)用定义证明f(x)在(−√2,√2)上为增函数；(3)若f(x)≤a3对x∈[−1,1]恒成立，求a的取值范围.某商品在近30天内每件的销售价格P元和时间t(t∈N)的关系如图所示．(1)请确定销售价格P（元）和时间t（天）的函数解析式；(2)该商品的日销售量Q（件）与时间t（天）的关系是：Q=−t+40(0≤t≤30, t∈N)，求该商品的日销售金额y（元）与时间t（天）的函数解析式；(3)求该商品的日销售金额y（元）的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的哪一天？参考答案与试题解析2020-2021学年四川成都高一上数学期中试卷一、选择题1.【答案】此题暂无答案【考点】元素与集水根系的判断【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】集合体包某关峡纯断及应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】判断射个初数是律聚同一函数【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】函数奇明性研性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案【考点】函使的以值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】函数的定较域熔其求法函数的较域及盛求法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】函数奇明性研性质函数因对称湾【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】函数奇明性研性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】此题暂无答案【考点】指数函数水正性的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】此题暂无答案【考点】函表的透象【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11.【答案】此题暂无答案【考点】已知都数环单梯遗求参数问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】此题暂无答案【考点】函数奇明性研性质函数单验家的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题【答案】此题暂无答案【考点】函数的定较域熔其求法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】指数表数层图象【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】函数的较域及盛求法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】根据体际省题完择函离类型【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题【答案】此题暂无答案【考点】交集根助运算并集较其运脱子集水水子集交常并陆和集工混合运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】有于械闭数古的化简求值对数根助运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】交常并陆和集工混合运算集合体包某关峡纯断及应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】奇偶性与根调性的助合分段函常的至析式呼法及其还象的作法函根的盖调道及年调区间函数的较域及盛求法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】奇函数函较绕肠由的判断与证明函数于成立姆题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】分段水正的应用根据体际省题完择函离类型函数因值的十用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
2020-2021学年四川成都高一上数学期中试卷(1)
2020-2021学年四川成都高一上数学期中试卷一、选择题1. 设集合A ={x|x ≤2}，m =√5，则下列关系中正确的是( ) A.m ∈A B.m ∉A C.{m }∈A D.m ⊆A2. 已知集合A ={x|x 2−2x −3=0}，B ={x|ax −1=0}，若B ⊆A ，则实数a 的值构成的集合是( ) A.{−1, 0} B.{−1, 0, 13}C.{−1, 13}D.{0,13}3. 与y =|x|为相等函数的是( ) A.y =√x 2B.y =(√x)2C.y ={x,(x >0)−x,(x <0)D.y =√x 334. 设f(x)为奇函数，且当x ≥0时，f(x)=e x −1，则当x <0时，f(x)=( ) A.−e −x −1 B.e −x −1 C.−e −x +1 D.e −x +15. 已知，f(x)={x +2x 22x ,x ≤−1,,−1<x <2,,x ≥2,若f(x)=3，则x 的值是( )A.1或32B.1C.1或32或±√3D.√36. 下列四个函数：①y =3−x ；②y =2x−1(x >0)；③y =x 2+2x −10；④y ={x,(x ≤0)，1x ,(x >0).其中定义域与值域相同的函数的个数为( ) A.3 B.1C.4D.27. 已知函数f(x)=ax 2+(b −3)x +3，x ∈[a 2−2, a]是偶函数，则a +b =( ) A.3 B.2C.4D.58. 设f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)=2x +2x +b （b 为常数），则f(−1)=( ) A.3B.1C.−3D.−19. 设a =1.50.6，b =0.31.5，c =0.30.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.b <c <a B.b <a <c C.a <b <c D.a <c <b10. 函数f (x )=e x −e −xx 2的图象是下列图中的( )A. B.C. D.11. 已知函数f (x )={a x , x ≤1，(3−a )x +2, x >1，在(−∞,+∞)上为增函数，则实数a 的取值范围是( )A.[1,3]B.[1,52)C.(1,3]D.(1,52]12. 已知函数 f (x )是定义在[a −1,2a ]上的偶函数，且当 x ≥0时，f (x )单调递增，则关于x 的不等式f (x −1)>f (a )的解集为( )A.随a 的值变化而变化B.(−23,−13]∪(13,23] C.[43,53) D.[13,23)∪(43,53]二、填空题函数f (x )=1x+4+√4−4x 的定义域为________.函数f(x)=a x−2+3过定点A，则A点的坐标为________.已知函数f(x)=2x−3，x∈{x∈Z|−1≤x≤2}，则函数f(x)的值域为________.某片森林原来面积为a，计划每年砍伐的森林面积是上一年年末森林面积的p%，当砍伐到原来面积的一半时，所用时间是10年，每年砍伐面积的百分比P%=________.三、解答题已知全集U={x∈N|1≤x≤6}，集合A={x|x2−6x+8=0}，集合B={3,4,5}.(1)求A∩B，A∪B；(2)写出集合(∁U A)∩B的所有子集．计算下列各式的值：(1)0.027−13−1614+(17)−√2564；(2)log142+2lg4+lg58+e3ln2.已知全集为R，集合A={x|2≤x≤6}，B={x|3x−7≥8−2x}．(1)求A∪B，∁R(A∩B)；(2)若M={x|a−4≤x≤a+4}，且A⊆∁R M，求a的取值范围．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=x2−2x. (1)求函数f(x)的解析式，并画出函数f(x)的图象；(2)根据图象写出函数f(x)的单调区间和值域．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)=2x−mx2−nx+2.(1)求m，n的值；(2)用定义证明f(x)在(−√2,√2)上为增函数；(3)若f(x)≤a3对x∈[−1,1]恒成立，求a的取值范围.某商品在近30天内每件的销售价格P元和时间t(t∈N)的关系如图所示．(1)请确定销售价格P（元）和时间t（天）的函数解析式；(2)该商品的日销售量Q（件）与时间t（天）的关系是：Q=−t+40(0≤t≤30, t∈N)，求该商品的日销售金额y（元）与时间t（天）的函数解析式；(3)求该商品的日销售金额y（元）的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的哪一天？参考答案与试题解析2020-2021学年四川成都高一上数学期中试卷一、选择题1.【答案】此题暂无答案【考点】元素与集水根系的判断【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】集合体包某关峡纯断及应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】判断射个初数是律聚同一函数【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】函数奇明性研性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案【考点】函使的以值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】函数的定较域熔其求法函数的较域及盛求法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】函数奇明性研性质函数因对称湾【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】函数奇明性研性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】此题暂无答案【考点】指数函数水正性的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】此题暂无答案【考点】函表的透象【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11.【答案】此题暂无答案【考点】已知都数环单梯遗求参数问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】此题暂无答案【考点】函数奇明性研性质函数单验家的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题【答案】此题暂无答案【考点】函数的定较域熔其求法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】指数表数层图象【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】函数的较域及盛求法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】根据体际省题完择函离类型【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题【答案】此题暂无答案【考点】交集根助运算并集较其运脱子集水水子集交常并陆和集工混合运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】有于械闭数古的化简求值对数根助运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】交常并陆和集工混合运算集合体包某关峡纯断及应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】奇偶性与根调性的助合分段函常的至析式呼法及其还象的作法函根的盖调道及年调区间函数的较域及盛求法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】奇函数函较绕肠由的判断与证明函数于成立姆题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】分段水正的应用根据体际省题完择函离类型函数因值的十用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
四川省成都外国语学校2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题及参考答案
成都外国语学校2020~2021学年度上期期中考试高一数学试卷注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.2.本堂考试时间120分钟，满分150分.3.答题前,考生务必先将自己的姓名、学号填写在答题卡上，并使用2B 铅笔填涂.4.考试结束后,将答题卡交回.第Ⅰ卷 (选择题,共60分)一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(2020 成外高一半期 1)设集合{1,2,6},{2,4},{1,2,3,4}A B C ===，则()AB C =( )A ．{2}B ．{1,2,4}C ．{1,2,4,6}D ．{1,2,3,4,6}【答案】B(2020 成外高一半期 2)下列各组函数中，表示同一个函数的是( )A.112--=x x y 与1+=x y B.x y =与)1,0(log ≠>=a a a y xaC.12-=x y 与1-=x y D.x y lg =与2lg 21x y =【答案】B(2020 成外高一半期 3)设全集U R =，集合1284x A x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，{}05B x x =<<，则韦恩图中阴影部分表示的集合是( )A.{}25x x -<<B.{}20x x -<≤C.{}35x x -<<D.{}35x x ≤<【答案】D(2020 成外高一半期 4)已知函数=⎩⎨⎧≥-<-=)2(,0)5(0)(log )(3f x x f x x x f 则( ) A ．1- B ．1 C ．0 D ．2 【答案】B(2020 成外高一半期 5)已知函数)(54)12(R x x x f ∈+=-，若13)(=a f ，则实数a 的值为( ) A.5 B.4 C.3 D.2 【答案】C(2020 成外高一半期 6)已知5log 3=a ，23log 2b =，2.05-=c ，则c b a ,,的大小关系为( )A.a c b >>B. a b c >>C.c b a >>D.c a b >> 【答案】A(2020 成外高一半期 7)函数2121xy =+-的部分图象大致为( ) A ． B ． C ． D ．【答案】D(2020 成外高一半期 8)已知函数0(1,1,3)(>⎩⎨⎧≥<+-=a x a x a x x f x且)1≠a 在R 上是减函数，则a 的范围为( )A.)1,0(B.]21,0(C.)1,21[D.),21[+∞【答案】C(2020 成外高一半期 9)已知)(x f y =是定义在R 上的函数，且)()4(x f x f -=+，如果当(]4,0∈x 时，xx f 3)(-=，则=)985(f ( )A ．9B ．9-C ．3D ．3- 【答案】D【解析】8T =，故()()98513f f ==-(2020 成外高一半期 10)若函数)2(log 2+-=ax x y a 在区间(]1,∞-上为减函数，则a 的取值范围是( )A ．()1,0B ．[)3,2C ．[)+∞,2D ．)3,1( 【答案】B(2020 成外高一半期 11)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如： []2.13-=-，[]3.13=，已知函数()121123x xf x +=-+，则函数[()]y f x =的值域是( ) A ．{}0,1 B ．{}1,1- C ．{}1,0- D ．{}1,0,1- 【答案】D【解析】()()221215215,33332121x x x f x +-⎛⎫=-=-∈- ⎪++⎝⎭故()1f x ⎡⎤=-⎣⎦或0或1(2020 成外高一半期 12)已知函数⎩⎨⎧>+-≤<=3,430,log )(3x x x x x f ，若函数m y x f y ==与)(有三个不同的交点，其横坐标依次为,21,x x 3x ，且321x x x <<，则()3211x x x m-+的取值范围是( )A ．)1,3(--B ．)2,0(C ．)3,1(-D ．)0,3(【答案】A【解析】画图可知121x x =，34x m -+=，()0,1m ∈， 故()()123312243,1mm m x x x x m +-=-=+-∈--第Ⅱ卷 (非选择题,共90分)二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡上.(2020 成外高一半期 13)已知集合},1{2a A =，}1,{-=a B ，若}1,,1{a B A -= ，则=a .【答案】0(2020 成外高一半期 14)函数)10(2)(2020≠>+=-a a a x f x 且的图象必经过定点 . 【答案】()2020,3(2020 成外高一半期 15)已知函数)(x f 是奇函数，当0>x 时，)6()(x x x f +=，则当0<x 时=)(x f .【答案】()6x x -(2020 成外高一半期 16)定义域为R 的函数()f x 满足()()22f x f x +=，当[)0,2x ∈时，()[)[)21.5,0,10.5,1,2x x x x f x x -⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩，若[)4,2x ∈--时，()142t f x t ≥-恒成立，则实数t 的取值范围是 .【答案】(](]1,02, -∞-【解析】画图分析可知，当[)0,2x ∈时，()min 312f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，故[)4,2x ∈--时，()min 1111224f x =-⨯⨯=- 故11424t t -≤-，分情况讨论解得(](],20,1-∞-三、解答题：本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(2020 成外高一半期 17)已知函数A x x x f 的定义域为集合)2lg()(2++-=，}2|{+≤≤=m x m x B . (1)当2-=m 时，求B A ； (2)若B B A = ，求实数m 的取值范围.【解析】(1)}{21<<-=x x A ,}{22<≤-=x x B A 5分(2)01<<-m 10分(2020 成外高一半期 18)化简求值：(1)2log 432302155327log 25.0)32()1613(+-+---π； (2)已知52121=+-xx ，求54122-+++--x x x x 的值．【解析】(1)11(2)211-各6分 (2020 成外高一半期 19)已知函数)10(≠>=a a a y x 且在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，记2)(+=xxa a x f ． (1)求a 的值；(2)求)20212020(......)20213()20212()20211(f f f f +++的值． 【解析】(1)4 5分(2)1010 12分(2020 成外高一半期 20)某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元.设该公司一年内共生产该款手机x 万部并全部销售完，每万部的销售收入为)(x R 万美元，且⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<-=404000074004006400)(2x x xx x x R(1)写出年利润W (万美元)关于年产量x (万部)的函数解析式；(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润. 【解析】(1)利用利润等于收入减去成本，可得当040x <时，2()(1640)638440W xR x x x x =-+=-+-；当40x >时，40000()(1640)167360W xR x x x x=-+=--+ 2638440,04040000167360,40x x x W x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨--+>⎪⎩6分(2)当040x <时，226384406(32)6104W x x x =-+-=--+，32x ∴=时，(32)6104max W W ==；当40x >时，400004000016736027360W x x x=--+-， 当且仅当4000016x x=，即50x =时，(50)5760max W W == 61045760>32x ∴=时，W 的最大值为6104万美元． 12分(2020 成外高一半期 21)已知()21,f x log a a R x ⎛⎫⎪⎝⎭=+∈. (1)当1a =时，解不等式()1f x >；(2)设0a >，若对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围.【解析】(1)当1a =时，()22111f x log a log x x ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝=+=⎭+ ()211112101111log x x x x f x ⎛⎫>++>∴>∴∴ ⎪⎝>⎭<∴<不等式解集为(0,1). 5分(2)因为()f x 在(0,)+∞上单调递减，所以函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值的差为()(1)t f f t -+，因此2211()(1)log log 11f t f t a a t t ⎛⎫⎛⎫-+=+-+≤ ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭即2(1)10at a t ++-≥对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，因为0a >，所以2(1)1y at a t =++-在1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以21131(1)1(1)1=4242y at a t a a a =++-≥⨯++⨯-- 因此3120423a a -≥∴≥ 12分 (2020 成外高一半期 22)已知函数()()9log 91xf x kx =++，()k R ∈是偶函数.(1)求k 的值； (2)若()102b x x f ⎛⎫-+>⎪⎝⎭对于任意x 恒成立，求b 的取值范围； (3)若函数[]8log ,0,1329)(921)(∈+⋅+=+x m x h x xx f ，是否存在实数m 使得)(x h 的最小值为0?若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由.【解析】(1)函数()()9log 91xf x kx =++,()k R ∈是偶函数则满足()()f x f x =-所以()()99log 91log 91xxkx kx -++=-++即()()99919912log log log 991991x x x xx x kx x --++====-++ 所以21k =- 解得12k =-3分 (2)由(1)可知,()()91log 912x f x x =-++,()102b x x f ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭对于任意x 恒成立 代入可得()9log 910xx b +-->所以()9log 91xb x <+-对于任意x 恒成立令()()()999log 91log 91log 9xxxg x x =+-=+-99911log log 199x x x+⎛⎫==+ ⎪⎝⎭因为1119x +>所以由对数的图像与性质可得91log 109x⎛⎫+> ⎪⎝⎭所以0b ≤ 7分(3)()()129231f x xx h x m +=+⋅+,[]90,log 8x ∈,且()()91log 912x f x x =-++ 代入化简可得()9232xxh x m =+⋅+令3x t =,因为[]90,log 8x ∈,所以t ⎡∈⎣则()()222222,p t t mt t m m t ⎡=++=++-∈⎣①当1m -≤,即1m ≥-时,()p t 在⎡⎣上为增函数, 所以()()min 1230p t p m ==+=,解得32m =-,不合题意,舍去②当1m <-<即1m -<-时,()p t 在[]1,m -上为减函数,()p t 在m ⎡-⎣上为增函数,所以()()2min 20p t p m m =-=-=,解得m =所以m =③当m ≤-,即m ≤-, ()p t 在⎡⎣上为减函数,所以()(min 100p t p ==+=解得m =不合题意,舍去, 综上可知,m = 12分。
四川省成都外国语学校2020学年高一数学上学期期中试题
四川省成都外国语学校2020学年高一数学上学期期中试题满分150分，测试时间：120分钟第Ⅰ卷（选择题共60分）一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}1,2,4A =，{}240x x xm B =-+=．若{}1A B =I ，则B =（ ）A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,5 2．函数121()log 1f x x =+的图象大致是（ ） A ． B ．C ． D ．3.函数1()ln 23f x x x =+-的零点所在区间为（ ） A ． (2,)e B ．(3,4) C. (,3)e D ．(1,2)4.一水池有两个进水口，一个出水口，每个进水口的进水速度如图甲所示．出水口的出水速度如图乙所示，某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水，则一定正确的是( )A ．①B ．①②C ．①③D ．①②③ 5.已知123515,12,3x og y og z -===，则下列关系正确的是（ ）A ．x y z >>B ．y x z >>C ．z y x >>D ．x z y >>6. 函数23()()2x f x x =-的零点的个数为（ ） A.1 B. 2 C.3 D. 47．方程()24250x m x m +-+-=的一根在区间()1,0-内，另一根在区间()0,2内，则m的取值范围是（ ） A ．5,53⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．7,53⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．()5,5,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭U D ．5,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭8.若数()2)3f x x =+，且(log 2019)5a f =，则1(log )2019af =（ ） A. 5- B. 4 C. 3 D. 19.已知函数2()|l g |,(2)f x o x x =≤,若a b ≠，且()()f a f b =，则a b +的取值范围是（ ）A. 5(1,]2B. 5(2,]2C. (2,)+∞D. [1,2] 10．已知max{,}a b 表示,a b 两数中的最大值，若|||2|()max{,}x x f x e e +=，则()f x 的最小值为（ ）A. eB. 1C. 2eD. 2 11.给出下列命题，其中正确的命题的个数（ ） ①函数()122log 23y x x =-+图象恒在x 轴的下方；②将2x y =的图像经过先关于y 轴对称，再向右平移1个单位的变化后为12xy -=的图像；③若函数()()22log 21f x x ax =-+的值域为R ，则实数a 的取值范围是()1,1-； ④函数()x f x e =的图像关于y x =对称的函数解析式为ln .y x =A.1 B. 2 C. 3 D. 4 12.若函数9()log (91)2xxf x =+-，则使不等式()0f x m -≤有解时，实数m 的最小值为（ ） A. 0 B. 3log 2- C. 3log 2 D. 3log 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数log (25)1a y x =--恒过定点的坐标为__________.14．若5(21)2xf x x -=+，则(3)f -=________.15．若函数12()2xx m f x n +-=+是奇函数．则实数m n +=_______.16.已知函数3,()8log ,a x x af x x x a⎧≤=⎨>⎩若存在实数1212,,x x x x ≠且使得函数12()()f x f x =成立，则实数a 的取值范围为_________.三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10分）已知全集U R =，集合{}02|>+=a x x A ，集合B是()f x =.（Ⅰ）当2a =时，求集合A B I ；（Ⅱ）若()U B C A B =I ，求实数a 的取值范围.18. 求下列各式的值（Ⅰ）2311log 222)22(21(2)3[(1]log 4-+--++；（II ）已知11223a a -+=，求332222a aa a--++值.19.设函数()3,()9x xg x h x ==（I ）解关于x 的方程()11()2(1)0h x g x h -+=； （II）令()F x =1220182019()()()()2020202020202020F F F F ++++L 的值.20. 已知函数222()()mm f x x m Z -++=∈为偶函数，且(3)(2)f f >.（Ⅰ）求m 的值，并确定()f x 的解析式；（Ⅱ）若()log [()5](0,1)a g x f x ax a a =-+>≠且,是否存在实数a ，使得()g x 在区间[1,2]上为减函数.21．已知()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数，且(1)1f =，若对于任意的,[1,1]a b ∈-且0,a b +≠有()()0f a f b a b+>+恒成立.（I ）判断()f x 在[1,1]-上的单调性，并证明你的结论；（II ）若函数()[24]1xxF x f a =⋅++有零点,求实数a 的取值范围.22．已知函数2()(0,1)x xa tf x a a a+=>≠是奇函数． （I ）求实数t 的值；（II ）若(1)0f <，对任意[0,1]x ∈有21(2)f x kx k a a-->-恒成立，求实数k 取值范围； （III ）设22()log [()],(0,1)x xm g x a a mf x m m -=+->≠,若3(1)2f =，问是否存在实数m使函数()g x 在2[1,log 3]上的最大值为0？ 若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由.成都外国语学校2020～2020学年度上期半期考试高一数学试卷(参考答案)一、 选择题 1～6, CDCADC 7～12, BDBACD二、 填空题： 13. (3,1)- 14. 1-215. 3± 16. (0,1)(2,)+∞U 三、解答题：17.解：（Ⅰ）{|1}A x x =>-， 1{|0}2B x x =-<≤ 则A B B =I （Ⅱ） {|}2U a C A x x =≤- ，U B C A ⊆, 所以0a ≤18.解：（Ⅰ）53 （Ⅱ） 184719.解：（Ⅰ）3log 2,2x x == （Ⅱ）2019220.解：（1）(3)(2)f f >，所以()f x 在(0,)+∞上增函数， 所以，2220m m -++>即：11m <<+m Z ∈故0,1,2m =，当0,2m =时，2222m m -++=此时，2()f x x =满足条件 当1m =时，3()f x x =不满足条件 综上：0,2m =，2()f x x =（2）由（1）可知2()log [5](0,1)a g x x ax a a =-+>≠且假设存在实数a 使得2()log [5](0,1)a g x x ax a a =-+>≠且在[1,2]上为减函数.①当01a <<时，25u x ax =-+在[1,2]上增函数， 即：12a≤，60a ->，得到01a <<②当1a >时，同理：9[4,)2综上：存在a 满足9(0,1)[4,)2U21.解（1）设任意12,[1,1]x x ∈-，且12x x <令12,a x b x ==-，因为对于任意的,[1,1]a b ∈-且0,a b +≠有()()0f a f b a b+>+恒成立.所以1212()()0f x f x x x +->-，又因为()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数1212()()0f x f x x x ->-，120x x -< ， 所以12()()f x f x <故()f x 在[1,1]-上是增函数（2）因为()[24]1xxF x f a =⋅++有零点，所以方程[24]1xxf a ⋅+=-有解又因为(1)(1)1f f -=-=-，所以[24](1)x xf a f ⋅+=- 即 241x x a ⋅+=-有解即1(2)2xx a =-+，即2a ≤- 22.解：（1）因为的定义域为，且为奇函数，所以，解得.检验：当时，， 对任意，都有，即是奇函数，所以成立。
2020-2021成都市外国语学校高中必修一数学上期中试卷(附答案)
2020-2021成都市外国语学校高中必修一数学上期中试卷(附答案)一、选择题1．已知集合{}{}2|320,,|05,A x x x x R B x x x N =-+=∈=<<∈，则满足条件A CB ⊆⊆的集合C 的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．函数()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点所在的区间为（ ）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,43．已知函数f (x )＝23,0{log ,0x x x x ≤>那么f 1(())8f 的值为( )A ．27B ．127C ．－27D ．－1274．若35225a b ==，则11a b+=（ ） A ．12B ．14C ．1D ．25．已知函数()25,1,,1,x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩是R 上的增函数，则a 的取值范围是（ ）A ．30a -≤<B ．0a <C ．2a ≤-D ．32a --≤≤6．设()()121,1x f x x x <<=-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．2B ．4C ．6D ．87．已知0.6log 0.5a =，ln0.5b =，0.50.6c =，则（ ） A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．c b a >>8．已知函数224()(log )log (4)1f x x x =++，则函数()f x 的最小值是A ．2B ．3116C ．158D ．19．若0.23log 2,lg0.2,2a b c ===,则,,a b c 的大小关系为A ．c b a <<B ． b a c <<C ． a b c <<D ．b c a <<10．设a ＝2535⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝3525⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，c ＝2525⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a>c>bB ．a>b>cC ．c>a>bD ．b>c>a11．函数()(1)f x x x =-在[,]m n 上的最小值为14-，最大值为2，则n m -的最大值为（ ） A ．52B ．522+C ．32D ．212．函数2xy x =⋅的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知函数21,1()()1a x x f x x a x ⎧-+≤=⎨->⎩，函数()2()g x f x =-，若函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点，则实数a 的取值范围为______． 14．若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数0.5()log (43)g x x =-的定义域是__________．15．已知定义在实数集R 上的偶函数()f x 在区间(],0-∞上是减函数,则不等式()()1ln f f x <的解集是________.16．已知函数()x xf x e e -=-，对任意的[3,3]k ∈-，(2)()0f kx f x -+<恒成立，则x的取值范围为______.17．函数6()12log f x x =-的定义域为__________．18．已知函数()log ,03,40a x x f x x x >⎧=⎨+-≤<⎩，其中0a >且1a ≠，若函数()f x 的图象上有且只有一对点关于y 轴对称，则a 的取值范围是__________． 19．已知实数0a ≠，函数2,1()2,1x a x f x x a x +<⎧=⎨--≥⎩若()()11f a f a -=+，则a 的值为___________． 20．给出下列结论： ①已知函数是定义在上的奇函数，若，则；②函数的单调递减区间是； ③已知函数是奇函数，当时，，则当时，；④若函数的图象与函数的图象关于直线对称，则对任意实数都有.则正确结论的序号是_______________________（请将所有正确结论的序号填在横线上）．三、解答题21．已知函数()()()3 01a f x log ax a a -≠＝＞且 ．（1）当[]02x ∈，时，函数()f x 恒有意义，求实数a 的取值范围； （2）是否存在这样的实数a ，使得函数f （x ）在区间[]12，上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．22．设集合A ＝{x ∈R|x 2＋4x ＝0}，B ＝{x ∈R|x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，a ∈R }，若B ⊆A ，求实数a 的值．23．已知函数()22f x ax ax b =-+()0a >在[]2,3上的值域为[]1,4.（1）求a ，b 的值； （2）设函数()()f xg x x=，若存在[]2,4x ∈，使得不等式()22log 2log 0g x k x -≥成立，求k 的取值范围.24．已知函数()()2210g x ax ax b a =-++>在区间[]2,3上有最大值4和最小值1，设()()g x f x x=.（1）求,a b 的值； （2）若不等式()220xxf k -⋅≥在区间[]1,1-上恒成立，求实数k 的取值范围.25．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，m ∈R ，x ∈R}． (1)若A ∩B ＝{x |0≤x ≤3}，求实数m 的值； (2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．26．已知函数f (x )=log a (x+1)-log a (1-x ),a>0且a ≠1. (1)求f (x )的定义域;(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明; (3)当a>1时,求使f (x )>0的解集.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D 解析：D 【解析】 【分析】 【详解】求解一元二次方程，得{}()(){}2|320,|120,A x x x x x x x x =-+=∈=--=∈R R {}1,2=，易知{}{}|05,1,2,3,4B x x x =<<∈=N .因为A C B ⊆⊆，所以根据子集的定义， 集合C 必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4， 原题即求集合{}3,4的子集个数，即有224=个，故选D. 【点评】本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，也可采用列举法.列出集合C 的所有可能情况，再数个数即可.来年要注意集合的交集运算，考查频度极高.2．B解析：B 【解析】 【分析】判断函数()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，求出f （0）=-4，f （1）=-1，f （2）=3＞0，即可判断．【详解】∵函数()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，∴f（0）=-4，f （1）=-1， f （2）=7＞0，根据零点的存在性定理可得出零点所在的区间是()1,2， 故选B ． 【点睛】本题考查了函数的单调性，零点的存在性定理的运用，属于容易题．3．B解析：B 【解析】 【分析】利用分段函数先求f （1)8）的值，然后在求出f 1(())8f 的值． 【详解】 f＝log 2＝log 22－3＝－3，f＝f (－3)＝3－3＝.【点睛】本题主要考查分段函数求值以及指数函数、对数函数的基本运算，属基础题．4．A解析：A 【解析】 【分析】由指数式与对数式的转化,结合换底公式和对数的运算,即可求解. 【详解】由题意3225,5225a b==根据指数式与对数式的转化可得35log 225,log 225a b == 由换底公式可得lg 2252lg15lg 2252lg15,lg 3lg 3lg 5lg 5a b ==== 由对数运算化简可得11lg 3lg 52lg152lg15a b +=+ lg3lg52lg15+=lg1512lg152== 故选:A 【点睛】本题考查了指数式与对数式的转化,对数的运算及换底公式的应用,属于中档题.5．D解析：D 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性特点，两段函数在各自的定义域内均单调递增，同时要考虑端点处的函数值. 【详解】要使函数在R 上为增函数，须有()f x 在(,1]-∞上递增，在(1,)+∞上递增，所以21,20,115,1a a a a ⎧-≥⎪⎪<⎨⎪⎪--⨯-≤⎩，解得32a --≤≤.故选D. 【点睛】本题考查利用分段函数的单调性求参数的取值范围，考查数形结合思想、函数与方程思想的灵活运用，求解时不漏掉端点处函数值的考虑.6．C解析：C 【解析】由1x ≥时()()21f x x =-是增函数可知,若1a ≥,则()()1f a f a ≠+,所以01a <<,由()(+1)f a f a =2(11)a =+-,解得14a =,则1(4)2(41)6f f a ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭,故选C. 【名师点睛】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式，代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．7．A解析：A 【解析】由0.50.6log 0.51,ln 0.50,00.61><<<，所以1,0,01a b c ><<<，所以a c b >>，故选A .8．B解析：B 【解析】 【分析】利用对数的运算法则将函数()()()224log log 41f x x x =++化为()2221log 1log 12x x +++，利用配方法可得结果.【详解】化简()()()224log log 41f x x x =++()2221log 1log 12x x =+++22211131log log 224161616x x ⎛⎫=++-≥-= ⎪⎝⎭，即()f x 的最小值为3116，故选B.【点睛】本题主要考查对数的运算法则以及二次函数配方法求最值，属于中档题. 求函数最值常见方法有，①配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域；②换元法；③不等式法；④单调性法；⑤图象法.9．B解析：B 【解析】 【分析】由对数函数的单调性以及指数函数的单调性，将数据与0或1作比较，即可容易判断. 【详解】由指数函数与对数函数的性质可知，a =()3log 20,1,b ∈=lg0.20,c <=0.221>，所以b a c <<，故选：B. 【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，属基础题.10．A解析：A 【解析】试题分析：∵函数2()5xy =是减函数，∴c b >；又函数25y x =在(0,)+∞上是增函数，故a c >.从而选A考点：函数的单调性.11．B解析：B 【解析】 【分析】根据二次函数的图象和性质，求出最大值和最小值对应的x 的取值，然后利用数形结合即可得到结论．【详解】当x≥0时，f（x）=x（|x|﹣1）=x2﹣x=（x﹣12）2﹣1144≥-，当x＜0时，f（x）=x（|x|﹣1）=﹣x2﹣x=﹣（x+12）2+14，作出函数f（x）的图象如图：当x≥0时，由f（x）=x2﹣x=2，解得x=2．当x=12时，f（12）=14-．当x＜0时，由f（x）=）=﹣x2﹣x=14 -．即4x2+4x﹣1=0，解得x=24444432248-±+⨯-±=⨯=4421282-±-±=，∴此时x=122--，∵[m，n]上的最小值为14-，最大值为2，∴n=2，12122m--≤≤，∴n﹣m的最大值为2﹣122--=5222+，故选：B．【点睛】本题主要考查函数最值的应用，利用二次函数的图象和性质是解决本题的关键，利用数形结合是解决本题的基本数学思想．12．A解析：A【解析】【分析】先根据奇偶性舍去C,D,再根据函数值确定选A. 【详解】因为2xy x =⋅为奇函数，所以舍去C,D; 因为0x >时0y >,所以舍去B ，选A. 【点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．二、填空题13．【解析】【分析】由函数把函数恰有个不同的零点转化为恰有4个实数根列出相应的条件即可求解【详解】由题意函数且函数恰有个不同的零点即恰有4个实数根当时由即解得或所以解得；当时由解得或所以解得综上可得：实 解析：(]2,3【解析】 【分析】由函数()2()g x f x =-，把函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点，转化为()1f x =恰有4个实数根，列出相应的条件，即可求解. 【详解】由题意，函数()2()g x f x =-，且函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点， 即()1f x =恰有4个实数根，当1x ≤时，由11a x -+=，即110x a +=-≥，解得2=-x a 或x a =-，所以2112a a a a -≤⎧⎪-≤⎨⎪-≠-⎩，解得13a <?；当1x >时，由2()1x a -=，解得1x a =-或1x a =+，所以1111a a ->⎧⎨+>⎩，解得2a >，综上可得：实数a 的取值范围为(]2,3. 【点睛】本题主要考查了函数与方程的应用，其中解答中利用条件转化为()1f x =，绝对值的定义，以及二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于中档试题.14．【解析】首先要使有意义则其次∴解得综上点睛：对于抽象函数定义域的求解(1)若已知函数f(x)的定义域为ab 则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b 求出；(2)若已知函数f(g(x))解析：3,14⎛⎫⎪⎝⎭【解析】首先要使(2)f x 有意义，则2[0,2]x ∈， 其次0.5log 430x ->，∴0220431x x ≤≤⎧⎨<-<⎩，解得01314x x ≤≤⎧⎪⎨<<⎪⎩，综上3,14x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． 点睛：对于抽象函数定义域的求解(1)若已知函数f(x)的定义域为[a ，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b 求出；(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a ，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域．15．【解析】由定义在实数集上的偶函数在区间上是减函数可得函数在区间上是增函数所以由不等式得即或解得或即不等式的解集是;故答案为解析：()10,e,e ∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭【解析】由定义在实数集R 上的偶函数()f x 在区间(],0-∞上是减函数,可得函数()f x 在区间()0+∞，上是增函数,所以由不等式()()1ln f f x <得ln 1x >,即ln 1x >或ln 1x <-,解得x e >或10e x <<,即不等式()()1ln f f x <的解集是()10,e,e ∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭;故答案为()10,e,e ∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭. 16．【解析】【分析】先判断函数的单调性和奇偶性根据单调性和奇偶性化简题目所给不等式利用一次函数的性质求得的取值范围【详解】由于故函数为奇函数而为上的增函数故由有所以即将主变量看成（）表示一条直线在上纵坐解析：11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】先判断函数()f x 的单调性和奇偶性，根据单调性和奇偶性化简题目所给不等式，利用一次函数的性质，求得x 的取值范围. 【详解】由于()()f x f x -=-故函数为奇函数，而()1xx f x e e=-为R 上的增函数，故由(2)()0f kx f x -+<，有()()()2f kx f x f x -<-=-，所以2kx x -<-，即20xk x +-<，将主变量看成k （[3,3]k ∈-），表示一条直线在[]3,3-上纵坐标恒小于零，则有320320x x x x -+-<⎧⎨+-<⎩，解得112x -<<.所以填11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】本小题主要考查函数的单调性和奇偶性的运用，考查化归与转化的数学思想方法，考查一元一次不等式组的解法，属于中档题.17．【解析】要使函数有意义则必须解得：故函数的定义域为：点睛：常见基本初等函数定义域的基本要求(1)分式函数中分母不等于零(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0(3)一次函数二次函数的定义域均为R(4解析：(【解析】要使函数()f x 有意义，则必须6012log 0x x >⎧⎨-≥⎩，解得：0x ≤<故函数()f x的定义域为：(． 点睛：常见基本初等函数定义域的基本要求 (1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为R. (4)y ＝x0的定义域是{x|x≠0}．(5)y ＝ax(a>0且a≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x 的定义域均为R. (6)y ＝logax(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)． (7)y ＝tan x 的定义域为π{|π,}2x x k k ≠+∈Z . 18．【解析】将在轴左侧的图象关于轴对称到右边与在轴右侧的图象有且只有一个交点当时一定满足当时必须解得综上的取值范围是点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关解析：(0,1)1,4⋃（）将()f x 在y 轴左侧的图象关于y 轴对称到右边，与()f x 在y 轴右侧的图象有且只有一个交点.当01a <<时一定满足，当1a >时必须log 41a >，解得4a <.综上a 的取值范围是()0,11,4⋃（）.点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．19．【解析】【分析】分两种情况讨论分别利用分段函数的解析式求解方程从而可得结果【详解】因为所以当时解得：舍去；当时解得符合题意故答案为【点睛】本题主要考查分段函数的解析式属于中档题对于分段函数解析式的考解析：34a =-【解析】 【分析】分0a >，0a <两种情况讨论，分别利用分段函数的解析式求解方程()()11f a f a -=+，从而可得结果.【详解】 因为2,1()2,1x a x f x x a x +<⎧=⎨--≥⎩所以，当0a >时，()()2(1)(11)21a f a f a a a a -+=-+=⇒--+，解得：3,2a =-舍去；当0a <时，()()2(1)(11)21a f a f a a a a ++=--=⇒--+，解得34a =-，符合题意，故答案为34-. 【点睛】本题主要考查分段函数的解析式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.20．①③【解析】①正确根据函数是奇函数可得f(3)=-f(-3)=1而f(-1)=2所以f(3)<f(-1)；②错根据复合函数的单调性可知函数的单调递减区间为(2+∞)；③正确奇函数关于原点对称所以可根解析：①③ 【解析】①正确，根据函数是奇函数，可得，而，所以；②错，根据复合函数的单调性可知函数的单调递减区间为；③正确，奇函数关于原点对称，所以可根据的解析式，求得的解析式；④，根据对数函数的定义域，不能是任意实数，而需，由，所以正确的序号是①③.【点睛】本题以多项选择题的形式考查函数的某些性质，综合性比较高，选项②错的比较多，涉及复合函数单调区间的问题，谨记“同增异减”，同时函数的定义域，定义域是比较容易忽视的问题，做题时要重视.三、解答题21．（1）3(0,1)(1,)2U ； （2）不存在. 【解析】 【分析】（1）结合题意得到关于实数a 的不等式组，求解不等式，即可求解，得到答案； （2）由题意结合对数函数的图象与性质，即可求得是否存在满足题意的实数a 的值，得到答案． 【详解】（1）由题意，函数()()log 3 (0a f x ax a =->且1)a ≠，设()3g x ax =-， 因为当[]0,2x ∈时，函数()f x 恒有意义，即30ax ->对任意[]0,2x ∈时恒成立， 又由0a >，可得函数()3g x ax =-在[]0,2上为单调递减函数， 则满足()2320g a =->，解得32a <， 所以实数a 的取值范围是3(0,1)(1,)2U ． （2）不存在，理由如下：假设存在这样的实数a ，使得函数f （x ）在区间[]12，上为减函数，并且最大值为1， 可得()11f =，即log (3)1a a -=，即3a a -=，解得32a =，即()323log (3) 2f x x =-， 又由当2x =时，33332022x -=-⨯=，此时函数()f x 为意义，所以这样的实数a 不存在． 【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质的应用，以及复数函数的单调性的判定及应用，其中解答中熟记对数函数的图象与性质，合理求解函数的最值，列出方程求解是解答的关键，着重考查了对基础概念的理解和计算能力，属于中档试题． 22．a ≤－1或a ＝1. 【解析】 【分析】先解方程得集合A ，再由 B ⊆A 得B 为A 子集，根据子集四种情况分类讨论，解出实数a 的值．注意对结果要验证 【详解】解 ∵A ＝{0，－4}，B ⊆A ，于是可分为以下几种情况． (1)当A ＝B 时，B ＝{0，－4}，∴由根与系数的关系，得22(1)410a a -+=-⎧⎨-=⎩解得a ＝1.(2)当B ≠A 时，又可分为两种情况． ①当B ≠∅时，即B ＝{0}或B ＝{－4}，当x ＝0时，有a ＝±1； 当x ＝－4时，有a ＝7或a ＝1. 又由Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0，解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足条件； ②当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0， 解得a <－1.综合(1)(2)知，所求实数a 的取值为a ≤－1或a ＝1.23．(1)1,1a b == (2) 1,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】 【分析】（1）先求得函数()f x 的对称轴，然后根据函数()f x 在[]2,3上的单调性列方程组，解方程组求得,a b 的值.（2）由（1）求得函数()f x 的解析式，进而求得()g x 的解析式，将不等式()22log 2log 0g x k x -≥分离常数2k ，利用换元法，结合二次函数的性质，求得k 的取值范围. 【详解】（1）由已知可得()()21f x a x b a =-+-，对称轴为1x =. 因为0a >，所以()f x 在[]2,3上单调递增，所以()()21,34,f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩即1,44,a b a a b a +-=⎧⎨+-=⎩解得1,1,a b =⎧⎨=⎩（2）由（1）可得()221f x x x =-+，则()()12f x g x x x x==+-. 因为()22log 2log 0g x k x -≥，所以2221log 22log log x k x x+-≥. 又[]2,4x ∈，所以()2221221log log k xx ≤-+. 令21log t x=，则2221k t t ≤-+. 因为[]2,4x ∈，所以1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.记()221h t t t =-+，1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以当12t =时，()max 14h t =，所以124k ≤，解得18k ≤，故k 的取值范围是1,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【点睛】本小题主要考查根据二次函数的对称轴、单调性和值域求解析式，考查存在性问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 24．（1）a=1,b=0;(2) (],0-∞. 【解析】 【分析】（1）依据题设条件建立方程组求解；（2）将不等式进行等价转化，然后分离参数，再换元利用二次函数求解. 【详解】（1）()()2g x a x 11b a =-++-，因为a 0>，所以()g x 在区间[]23，上是增函数， 故()()21{34g g ==，解得1{a b ==． （2）由已知可得()12=+-f x x x ，所以()20-≥x f kx 可化为12222+-≥⋅x x x k ， 化为2111+222-⋅≥x x k （），令12=x t ，则221≤-+k t t ，因[]1,1∈-x ，故1,22⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦t ， 记()221=-+h t t t ，因为1,22⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦t ，故()0=min h t ，所以k 的取值范围是(],0∞-． 【点睛】(1)本题主要考查二次函数的图像和性质，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力，（2）本题的关键有两点，其一是分离参数得到2111+222-⋅≥x x k （），其二是换元得到221≤-+k t t ，1,22⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦t . 25．（1）2；（2）{|35}m m m -或 【解析】试题分析：（1）根据一元二次不等式的解法，对A ，B 集合中的不等式进行因式分解，从而解出集合A ，B ，再根据A∩B=[0，3]，求出实数m 的值；（2）由（1）解出的集合A ，B ，因为A ⊆C R B ，根据子集的定义和补集的定义，列出等式进行求解．解：由已知得：A={x|﹣1≤x≤3}， B={x|m ﹣2≤x≤m +2}． （1）∵A ∩B=[0，3] ∴∴，∴m=2；（2）C R B={x|x ＜m ﹣2，或x ＞m+2} ∵A ⊆C R B ，∴m ﹣2＞3，或m+2＜﹣1， ∴m ＞5，或m ＜﹣3．考点：交、并、补集的混合运算．26．（1）{}11x x -<<（2）函数()f x 为奇函数，证明见解析（3）{}01x x << 【解析】 【分析】（1）根据题意，求函数定义域结合对数函数真数大于零得到关于x 的不等式组，求解即可得出答案。
2020-2021学年四川省成都市某校高一(上)期中数学试卷
2020-2021学年四川省成都市某校高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A ＝{−2, −1, 0, 1, 2}，集合B ＝{x|−1≤x ≤1}，则A ∩B ＝（ ） A.{−1, 0, 1} B.{−2, −1, 0} C.{−1, 1} D.{0, 1, 2}2. 下列函数与f(x)＝x 是同一函数的是（ ） A.f(x)=x 2xB.f(x)=√x 2C.f(x)＝log 22xD.f(x)＝2log 2x3. 下列函数在(0, +∞)上为增函数的是（ ） A.f(x)＝x 2 B.f(x)=2xC.f(x)＝lg(x −2)D.f(x)＝−2x +44. 函数y ＝log a (x −3)+1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是（ ） A.(4, 1) B.(3, 1) C.(4, 0) D.(3, 0)5. 已知函数f(x)={log 3x −2,x >0(13)x ,x ≤0 ，则f （f(−2)）的值为（ ）A.−4B.−2C.0D.26. 已知函数y ＝f(x)的定义域为[1, +∞)，则函数g(x)＝f(2x −3)√4−x的定义域为（ ）A.[−1, 4]B.[−1, 4)C.[2, 4]D.[2, 4)7. 已知关于x 的方程x 2−2ax +8＝0的两个实根x 1，x 2满足x 1>x 2>2，则实数a 的取值范围为（ ） A.(2√2, 3) B.(2, +∞) C.(2√2, +∞) D.(−2√2, 3)8. 已知函数f(x)={(a −2)x +4a −6,x ≤1a x+2,x >1 ，满足对任意的x 1，x 2(x 1≠x 2)，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>0成立，则实数a 的取值范围是（ ） A.(1, 32]B.(2, 52] C.[32, 2) D.(1, 52]9. 已知函数f(x)＝log 12(−x 2+5x −4)在区间[m, m +1]上是减函数，则m 的取值范围为（ ）A.(−∞, 32] B.[52, +∞)C.(1, 32]D.[52, 3)10. 设f(x)是定义域为R 的偶函数，且在(0, +∞)单调递减，则（ ）A.f(3−43)>f(3−34)>f(log 213)B.f(log 213)>f(3−34)>f(3−43)C.f(log 213)>f(3−43)>f(3−34) D.f(3−34)>f(3−43)>f(log 213)11. 已知函数f(x)={(x +1)2,x ≤1|x −4|,x >1 ，则关于x 的方程f 2(x)−af(x)＝0(0<a <3)的所有实根的和为（ ）A.3B.6C.9D.1212. 已知不等式x−2x−1≤12的解集为M ，关于x 的不等式ax 2−x +1>0的解集为N ，且M ∪N ⊆N ，则实数a 的取值范围为（ ） A.(0, +∞)B.(14, +∞)C.(29, +∞)D.(12, +∞)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分若1∈{a, a 2}，则a 的值是________． 不等式2x2−3x≥(12)6−2x 的解集为________．设偶函数f(x)在(−∞, 0)上为增函数，且f(3)＝0，则不等式x ⋅f(x)<0的解集为________．已知f(x)=2x +m 2x +1，若对任意的x 1，x 2，x 3∈R ，总有f(x 1)，f(x 2)，f(x 3)为某一个三角形的三条边长，则实数m 的取值范围为________12，2] ．三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤求下列各式的值：（1）lg25+23lg8−log 227×log 32+2log 23；（2）(338)−23+(0.008)−23×2√25÷(150)−12−(π−3)0．已知集合A ＝{x|x 2−5x +4≤0}，B ＝{x|12≤2x <8}，若R 为全体实数集合．（1）求A∩(∁R B)；（2）若C＝{x|2m<x≤m+3}，C⊆(A∪B)，求m的取值范围．已知函数f(x)＝x2+ax+3−a，x∈[−2, 4]．（1）当a＝2时，写出函数f(x)的单调区间和值域；（2）求f(x)的最小值g(a)的表达式．节约资源和保护环境是中国的基本国策，某化工企业，积极响应国家要求，探索改良工艺，使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少，已知改良工艺前所排放的废气中每立方米污染物数量y0＝4mg，首次改良后所排放的废气中每立方米污染物数量为y1＝3.94mg．第n次改良后所排放的废气中每立方米污染物数量为y n，可由函数模型y n＝y0−(y0−y1)×51.5n+b(b∈R, n∈N∗)给出，其中n是指改良工艺的次数．（1）求b的值；（2）依据国家环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量每立方米不能超过2.08mg，试问至少进行多少次改良工艺后才能使得企业所排放的废气中含有的污染物数量达标．（参考数据：lg2≈0.3）−2．若函数f(x)=42x+1（1）判断函数f(x)的单调性并用定义法证明；（2）若关于x的不等式f（f(x)）+f(t−1)<0有解，求实数t的取值范围．已知函数f(x)=4x+b为奇函数．2x（1）求实数b的值；<0成立，求实数k的取值范围；（2）若对任意的x∈[0, 1]，有f(2x2−kx−k)+32（3）设g(x)＝log m[4x+4−x−mf(x)](m>0，且m≠1)，问是否存在实数m，使函数g(x)在[1, log23]上的最大值为0？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析2020-2021学年四川省成都市某校高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】A【考点】交集及其运算【解析】进行交集的运算即可．【解答】∵A＝{−2, −1, 0, 1, 2}，B＝{x|−1≤x≤1}；∴A∩B＝{−1, 0, 1}．2.【答案】C【考点】判断两个函数是否为同一函数【解析】可看出f(x)＝x的定义域为R，选项A，D的定义域都和f(x)＝x的不同，都和f(x)＝x不是同一函数；选项B的对应关系和f(x)＝x的不同，不是同一函数；从而是同一函数的只能选C．【解答】f(x)的定义域是R，f(x)=x2x的定义域是{x|x≠0}定义域不同，不是同一函数；f(x)=√x2=|x|，解析式与f(x)＝x不同，不是同一函数；f(x)=log22x=x的定义域为R，对应关系也相同，是同一函数；f(x)=2log2x的定义域为{x|x>0}，定义域不同，不是同一函数．3.【答案】A【考点】函数单调性的性质与判断【解析】根据常见函数的性质求出函数的单调性即可．【解答】对于A:f(x)在(0, +∞)递增，符合题意，对于B:f(x)在(0, +∞)递减，不符合题意，对于C:x∈(0, 2]时，函数f(x)无意义，不合题意，对于D:f(x)在(0, +∞)递减，不符合题意，4.【答案】A【考点】对数函数的单调性与特殊点【解析】令对数的真数等于1，求得x、y的值，可得它的图象恒过定点的坐标．【解答】对于函数y＝log a(x−3)+l(a>0且a≠1)，令x−3＝1，求得x＝4，y＝1，可得它的图象恒过定点P(4, 1)，5.【答案】C【考点】函数的求值求函数的值【解析】利用分段函数在不同区间的解析式不同，分别代入即可得出．【解答】∵函数f(x)={log3x−2,x>0(13)x,x≤0，∴f(−2)=(13)−2=9，∴f（f(−2)）＝f(9)＝log39−2＝0，6.【答案】D【考点】函数的定义域及其求法【解析】根据f(x)的定义域求出f(2x−3)的定义域，结合二次根式的性质求出g(x)的定义域即可．【解答】由题意得：f(x)的定义域为[1, +∞)，故2x−3≥1，解得：x≥2，故f(2x−3)的定义域是[2, +∞)，而4−x>0，解得：x<4，故g(x)的定义域是[2, 4)，7.【答案】A【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系 【解析】由题设知函数f(x)＝x 2−2ax +8在(2, +∞)内有两个零点，由此得到关于a 的不等式，解不等式即可求得实数a 的取值范围． 【解答】由题设知，函数f(x)＝x 2−2ax +8在(2, +∞)内有两个零点，则{f(2)>0a >2△=4a 2−32>0 ， 即{4−4a +8>0a >24a 2−32>0 ，解得：2√2<a <3， 8. 【答案】 B【考点】函数单调性的性质与判断 分段函数的应用 【解析】由单调性定义可得函数是单调递增函数，再根据分段函数的单调性的判断方法即可求解． 【解答】由单调性的定义可得：函数f(x)是R 上的单调递增函数，则由分段函数的单调性的判断方法可得：{a −2>0a >1(a −2)×1+4a −6≤a +2 ，解得：2<a ≤52， 9. 【答案】 C【考点】复合函数的单调性 【解析】由对数函数的真数大于0求得函数的定义域，再由内层函数t ＝−x 2+5x −4在[m, m +1]上单调递增且恒大于0，转化为关于m 的不等式组求解． 【解答】由−x 2+5x −4>0，得x 2−5x +4<0，得1<x <4， ∴ 函数f(x)＝log 12(−x 2+5x −4)的定义域为(1, 4)，令t ＝−x 2+5x −4，则外层函数y ＝log 12t 是定义域内的减函数，要使f(x)＝log 12(−x 2+5x −4)在区间[m, m +1]上是减函数，则内层函数t ＝−x 2+5x −4在[m, m +1]上单调递增且恒大于0，则{m +1≤52−m 2+5m −4>0，解得1<m ≤32．∴ m 的取值范围为(1, 32]， 10. 【答案】 A【考点】奇偶性与单调性的综合 【解析】先根据指数函数与对数函数的性质得到括号内数据的大小关系，再结合函数的单调性和偶函数的性质即可得到结论． 【解答】∵ 1>3−34>3−43>0，log 213<log 212=−1，∵ f(x)是定义域为R 的偶函数，且在(0, +∞)单调递减， ∴ f(log 213)＝f(−log 23)＝f(log 23)<f(3−34)<f(3−43)， 11. 【答案】 C【考点】函数的零点与方程根的关系 【解析】根据条件可知f(x)＝0或f(x)＝a(0<a <3)，作出函数f(x)的图象，数形结合进行分析即可． 【解答】∵ f 2(x)−af(x)＝0(0<a <3) ∴ f(x)＝0或f(x)＝a(0<a <3)．画出函数f(x)={(x +1)2,x ≤1|x −4|,x >1，的图象如右图：分析知，关于x 的方程f(x)＝0的实数根为−1，4．关于x 的方程f(x)＝a(0<a <3)存在四个实数根x 1，x 2，x 3，x 4， 如图所示，且x 1+x 22=−1，x 3+x 42=4，∴ x 1+x 2+x 3+x 4＝−2+8＝6，∴ 所求方程的实数根的和为6+4−1＝9． 12. 【答案】 D【考点】其他不等式的解法 【解析】由题意求得M ＝(1, 3]，且 (1, 3]⊆N ，再利用二次函数的性质，分类讨论a 的范围，得出结论．【解答】不等式x−2x−1≤12，即x−3x−1≤0，求得1<x≤3，故它的解集为M＝(1, 3]．关于x的不等式ax2−x+1>0的解集为N，且M∪N⊆N，∴(1, 3]⊆N．令f(x)＝ax2−x+1，当a＝0时，关于x的不等式ax2−x+1>0，即x<1，它的解集为N＝(−∞, 1)，不满足(1, 3]⊆N．当a<0时，则应有{a<0f(3)=9a−2>0f(1)=a≥0，求得a∈⌀．当a>0时，则{12a>3f(3)=9a−2>0，或{12a<1f(1)=a≥0，求得a∈⌀，或a>12，综上可得，a>12，二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分【答案】−1【考点】元素与集合关系的判断【解析】根据元素和集合的关系即可得到结论．【解答】∵1∈{a, a2}，∴a＝1，或a2＝1，解得a＝1或a＝−1，当a＝1时，集合为{1, 1}不成立，∴a＝−1，【答案】(−∞, 2]∪[3, +∞)【考点】指、对数不等式的解法【解析】根据指数幂的运算性质得到关于x的不等式，解出即可．【解答】∵2x2−3x≥(12)6−2x，∴2x2−3x≥22x−6，∴x2−3x≥2x−6，∴x2−5x+6≥0，∴(x−2)(x−3)≥0，解得：x≥3或x≤2，故不等式的解集是(−∞, 2]∪[3, +∞)，【答案】(−3, 0)∪(3, +∞)【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】确定函数f(x)在(0, +∞)上为减函数且f(−3)＝0，抽象不等式可转化为具体不等式，即可求解．【解答】∵不等式x⋅f(x)<0，∴{x>0f(x)<0或{x<0f(x)>0，∵偶函数f(x)在(−∞, 0)上为增函数，且f(3)＝0，∴函数f(x)在(0, +∞)上为减函数，且f(−3)＝0，∴{x>0x<−3x>3或{x<0−3<x<3，解得x>3或−3<x<0，∴不等式x⋅f(x)<0的解集为(−3, 0)∪(3, +∞)．【答案】[【考点】函数与方程的综合运用【解析】根据f(x)=2x+m2x+1=2x+1+m−12x+1=1+m−12x+1，分两种情况当m≥1时，当m≥1时，求得函数的值域，问题转化为f(x1)+f(x2)>f(x3)，对任意x1，x2，x3∈R，恒成立求解．【解答】因为f(x1)，f(x2)，f(x3)为某一个三角形的三条边长，所以f(x1)+f(x2)>f(x3)，对任意x1，x2，x3∈R，恒成立，函数f(x)=2x+m2x+1=2x+1+m−12x+1=1+m−12x+1，当m≥1时，f(x)在R上递增，当m≥1时，f(x)在R上递减，所以函数的值域为(1, m)，所以f(x1)+f(x2)>2且f(x3)<m，所以m≤2，又m≥1，所以1≤m≤2，当m<1时，f(x)在R上递增，函数f(x)的值域为(m, 1)，所以f(x1)+f(x2)>2m且f(x3)<1，所以1≤2m，解得m≥12，所以12≤m<1，综上m的取值范围是12≤m<2．三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 【答案】原式＝2lg5+2lg2−3log 23×log 32+3＝2−3+3＝2； 原式=(32)−2+0.2−2×2√255√21=49+25×225−1=139．【考点】有理数指数幂的运算性质及化简求值 对数的运算性质 【解析】（1）进行对数的运算即可；（2）进行分数指数幂的运算即可． 【解答】原式＝2lg5+2lg2−3log 23×log 32+3＝2−3+3＝2； 原式=(32)−2+0.2−2×2√255√21=49+25×225−1=139．【答案】A ＝{x|1≤x ≤4}，B ＝{x|−1≤x <3}，∴ ∁R B ＝{x|x <−1或x ≥3}，A ∩(∁R B)＝{x|3≤x ≤4}； A ∪B ＝{x|−1≤x ≤4}，C ＝{x|2m <x ≤m +3}，且C ⊆(A ∪B)， ∴ ①C ＝⌀时，2m ≥m +3，解得m ≥3； ②C ≠⌀时，{m <32m ≥−1m +3≤4 ，解得−12≤m ≤1，综上得m 的取值范围为：{m|−12≤m ≤1m ≥3}．【考点】交、并、补集的混合运算 【解析】（1）可求出集合A ＝{x|1≤x ≤4}，B ＝{x|−1≤x <3}，然后进行交集和补集的运算即可；（2）可求出A ∪B ＝{x|−1≤x ≤4}，根据C ⊆(A ∪B)即可讨论C 是否为空集：C ＝⌀时，2m ≥m +3；C ≠⌀时，{m <32m ≥−1m +3≤4 ，解出m 的范围即可．【解答】A ＝{x|1≤x ≤4}，B ＝{x|−1≤x <3}，∴ ∁R B ＝{x|x <−1或x ≥3}，A ∩(∁R B)＝{x|3≤x ≤4}； A ∪B ＝{x|−1≤x ≤4}，C ＝{x|2m <x ≤m +3}，且C ⊆(A ∪B)， ∴ ①C ＝⌀时，2m ≥m +3，解得m ≥3； ②C ≠⌀时，{m <32m ≥−1m +3≤4 ，解得−12≤m ≤1，综上得m 的取值范围为：{m|−12≤m ≤1m ≥3}．【答案】当a ＝2时，f(x)＝x 2+2x +1，x ∈[−2, 4]． ∵ 对称轴为x ＝−1，开口向上，∴ 函数f(x)的单调递减区间为[−2, −1]，单调递增区间为[−1, 4]， ∴ f(x)min ＝f(−1)＝0，f(x)max ＝f(4)＝25， ∴ 函数f(x)的值域为：[0, 25]．函数f(x)＝x 2+ax +3−a ，x ∈[−2, 4]， 对称轴为x =−a2，开口向上，①当−a2≤−2即a ≥4时，函数f(x)在[−2, 4]上单调递增，∴ f(x)min ＝f(−2)＝7−3a ，②当−2<−a2<4即−8<a <4时，函数f(x)在[−2, 4]上先减后增，∴ f(x)min ＝f(−a2)=−a 24−a +3，③当−a 2≥4即a ≤−8时，函数f(x)在[−2, 4]上单调递减， ∴ f(x)min ＝f(4)＝19+3a ，综上所述，g(a)={9−2a,a ≥4−a 24−a +3,−8<a <419+3a,a ≤−8． 【考点】二次函数的图象 二次函数的性质 【解析】（1）由题意可知对称轴为x ＝−1，开口向上，从而得到函数f(x)的单调区间，进而求出值域．（2）对称轴为x =−a 2，开口向上，对对称轴的位置分三种情况讨论，分别得到f(x)的最小值，即可求出f(x)的最小值g(a)的表达式． 【解答】当a ＝2时，f(x)＝x 2+2x +1，x ∈[−2, 4]． ∵ 对称轴为x ＝−1，开口向上，∴ 函数f(x)的单调递减区间为[−2, −1]，单调递增区间为[−1, 4]， ∴ f(x)min ＝f(−1)＝0，f(x)max ＝f(4)＝25， ∴ 函数f(x)的值域为：[0, 25]．函数f(x)＝x 2+ax +3−a ，x ∈[−2, 4]， 对称轴为x =−a2，开口向上，①当−a2≤−2即a ≥4时，函数f(x)在[−2, 4]上单调递增， ∴ f(x)min ＝f(−2)＝7−3a ，②当−2<−a2<4即−8<a <4时，函数f(x)在[−2, 4]上先减后增，∴f(x)min＝f(−a2)=−a24−a+3，③当−a2≥4即a≤−8时，函数f(x)在[−2, 4]上单调递减，∴f(x)min＝f(4)＝19+3a，综上所述，g(a)={9−2a,a≥4−a24−a+3,−8<a<4 19+3a,a≤−8．【答案】由题意得y0＝4，y1＝3.94，∴当n＝1时，y1＝y0−(y0−y1)×51.5+b，即3.94＝4−(4−3.94)×51.5+b，解得b＝−1.5；由（1）得，y n＝4−0.06×51.5n−1.5，若是企业所排放的废气中含有的污染物数量每立方米不能超过2.08mg，则4−0.06×51.5n−1.5≤2.08，整理得，51.5n−1.5≥32，两边同时取常用对数，得1.5n−1.5≥lg32lg5，整理得，1.5n≥51g21−lg2+1.5，将lg 2≈0.3代入，得n>2.43，又∵n∈N∗，∴n≥3．综上，至少进行3次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标．【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】（1）把y0＝4，y1＝3.94，n＝1代入y n＝y0−(y0−y1)×51.5n+b，求解可得b值；（2）由（1）中求得的b可得y n，再列指数不等式求解．【解答】由题意得y0＝4，y1＝3.94，∴当n＝1时，y1＝y0−(y0−y1)×51.5+b，即3.94＝4−(4−3.94)×51.5+b，解得b＝−1.5；由（1）得，y n＝4−0.06×51.5n−1.5，若是企业所排放的废气中含有的污染物数量每立方米不能超过2.08mg，则4−0.06×51.5n−1.5≤2.08，整理得，51.5n−1.5≥32，两边同时取常用对数，得1.5n−1.5≥lg32lg5，整理得，1.5n≥51g21−lg2+1.5，将lg 2≈0.3代入，得n>2.43，又∵n∈N∗，∴n≥3．综上，至少进行3次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标．【答案】由题意，f(x)的定义域是R，设∀x1，x2∈R，且x1<x2，则f(x1)−f(x2)=42x1+1−2−42x2+1+2=4(2x2−2x1)(2x1+1)(2x2+1)，由x1<x2，则2x1<2x2，故2x2−2x1>0，且2x1+1>0，2x2+1>0，故4(2x2−2x1)(2x1+1)(2x2+1)>0，故f(x1)−f(x2)>0，故f(x1)>f(x2)，故f(x)在R递减；由f(x)=42x+1−2，则f(−x)=42−x+1−2＝2−42x+1=−f(x)，故f(x)是奇函数，关于x的不等式f（f(x)）+f(t−1)<0有解，即f（f(x)）<−f(t−1)＝f(1−t)，由f(x)在R递减，则f(x)>1−t有解，即1−t<f(x)max对x∈R恒成立，∵2x∈(0, +∞)，∴0<12x+1<1，故−2<42x+1−2<2，故1−t<2，即t>−1，故实数t的取值范围是(−1, +∞)．【考点】函数单调性的性质与判断【解析】（1）根据函数的单调性的定义证明即可；（2）根据函数的单调性和奇偶性，问题转化为1−t<f(x)max对x∈R恒成立，求出函数f(x)的最大值，得到关于t的不等式，检查即可．【解答】由题意，f(x)的定义域是R，设∀x1，x2∈R，且x1<x2，则f(x1)−f(x2)=42x1+1−2−42x2+1+2=4(2x2−2x1)(2x1+1)(2x2+1)，由x1<x2，则2x1<2x2，故2x2−2x1>0，且2x1+1>0，2x2+1>0，故4(2x2−2x1)(2x1+1)(2x2+1)>0，故f(x1)−f(x2)>0，故f(x1)>f(x2)，故f(x)在R递减；由f(x)=42x+1−2，则f(−x)=42−x+1−2＝2−42x+1=−f(x)，故f(x)是奇函数，关于x的不等式f（f(x)）+f(t−1)<0有解，即f（f(x)）<−f(t−1)＝f(1−t)，由f(x)在R递减，则f(x)>1−t有解，即1−t<f(x)max对x∈R恒成立，∵2x∈(0, +∞)，∴0<12x+1<1，故−2<42x+1−2<2，故1−t<2，即t>−1，故实数t的取值范围是(−1, +∞)．【答案】∵ f(x)为定义在R 上的奇函数，∴ f(0)＝0，即b +1＝0，解得b ＝−1， 经验证，b ＝−1符合题意． 由（1）知f(x)=4x −12x，且f(−1)=−32，则由题意可得，对任意的x ∈[0, 1]，有f(2x 2−kx −k)<f(−1)成立，显然f(x)=2x −12x 在R 上单调递增，所以对任意的x ∈[0, 1]，2x 2−kx −k <−1恒成立， 即对任意的x ∈[0, 1]，2x 2−kx −k +1<0恒成立， 令ℎ(x)＝2x 2−kx −k +1，x ∈[0, 1] 所以{ℎ(0)<0ℎ(1)<0 ，解得k >32．不存在，理由如下，设t =2x −2−x ,t ∈[32,83]，ℎ(t)=log m (t 2−mt +2)，∴ t 2−mt +2>0在t ∈[32,83]上恒成立， ∴ m <(t +2t )min ， ∴ m <176，∵ m ≠1，∴ m ∈(0,1)∪(1,176)，对于二次函数d(t)＝t 2−m +2，开口向上，对称轴为t =m2， ∴ m2∈(0,12)∪(12,1712)，∴ 对称轴一直位于[32,83]的左侧，∴ 二次函数d(t)＝t 2−m +2在[32,83]单调递增，∴ d(t)min =d(32)=−32m +174,d(t)max =d(83)=−83m +829，假设存在满足条件的实数m ，则当m ∈(0, 1)时，由复合函数的单调性法则可知，ℎ(t)=log m (t 2−mt +2)为减函数，ℎ(t)max ＝0，∴ d(t)max =(t 2−mt +2)min =1， ∴ d(32)=−32m +174=1，解得m =163∉(0,1)，故舍去；同理可知，当m ∈(1,176)时，m =7324∉(1,176)，故舍去； 综上所述，不存在实数m 满足条件． 【考点】函数与方程的综合运用函数奇偶性的性质与判断 【解析】（1）由f(0)＝0可求得b ＝−1，再验证即可；（2）依题意，对任意的x ∈[0, 1]，2x 2−kx −k +1<0恒成立，构造函数ℎ(x)＝2x 2−kx −k +1，x ∈[0, 1]，根据函数性质建立关于k 的不等式组，解出即可；（3）设t =2x −2−x ,t ∈[32,83]，ℎ(t)=log m (t 2−mt +2)，依题意可得m ∈(0,1)∪(1,176)，由二次函数的性质可得d(t)＝t 2−m +2在[32,83]单调递增，由此求出d(t)的最值，假设存在满足条件的实数m ，然后分m ∈(0, 1)及m ∈(1,176)两种情况，均推出矛盾即可得出结论．【解答】∵ f(x)为定义在R 上的奇函数，∴ f(0)＝0，即b +1＝0，解得b ＝−1， 经验证，b ＝−1符合题意． 由（1）知f(x)=4x −12x，且f(−1)=−32，则由题意可得，对任意的x ∈[0, 1]，有f(2x 2−kx −k)<f(−1)成立，显然f(x)=2x −12x 在R 上单调递增，所以对任意的x ∈[0, 1]，2x 2−kx −k <−1恒成立， 即对任意的x ∈[0, 1]，2x 2−kx −k +1<0恒成立， 令ℎ(x)＝2x 2−kx −k +1，x ∈[0, 1]所以{ℎ(0)<0ℎ(1)<0 ，解得k >32．不存在，理由如下，设t =2x −2−x ,t ∈[32,83]，ℎ(t)=log m (t 2−mt +2)，∴ t 2−mt +2>0在t ∈[32,83]上恒成立， ∴ m <(t +2t)min ，∴ m <176，∵ m ≠1，∴ m ∈(0,1)∪(1,176)，对于二次函数d(t)＝t 2−m +2，开口向上，对称轴为t =m2， ∴ m2∈(0,12)∪(12,1712)，∴ 对称轴一直位于[32,83]的左侧，∴ 二次函数d(t)＝t 2−m +2在[32,83]单调递增，∴ d(t)min =d(32)=−32m +174,d(t)max =d(83)=−83m +829，假设存在满足条件的实数m ，则当m ∈(0, 1)时，由复合函数的单调性法则可知，ℎ(t)=log m (t 2−mt +2)为减函数，ℎ(t)max ＝0，∴ d(t)max =(t 2−mt +2)min =1， ∴ d(32)=−32m +174=1，解得m =163∉(0,1)，故舍去；同理可知，当m ∈(1,176)时，m =7324∉(1,176)，故舍去； 综上所述，不存在实数m 满足条件．。
四川省成都市外国语学校2019-2020学年高一上学期数学期中考试试卷
四川省成都市外国语学校2019-2020学年高一上学期数学期中考试试卷一、单选题1.设集合，．若，则 ( )A. B. C. D.2.函数的图象大致是（）A. B. C. D.3.函数的零点所在区间为（）A. B. C. D.4.一水池有两个进水口，一个出水口，每个进水口的进水速度如图甲所示．出水口的出水速度如图乙所示，某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水，则一定正确的是( )A. ①B. ①②C. ①③D. ①②③5.已知，则下列关系正确的是（）A. B. C. D.6.函数的零点的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 47.方程的一根在区间内，另一根在区间内，则的取值范围是（）A. B. C. ∞∞ D. ∞8.若数，且，则（）A. B. 4 C. 3 D.9.已知函数,若，且，则的取值范围是（）A. B. C. ∞ D.10.已知表示两数中的最大值，若，则的最小值为（）A. B. 1 C. D. 211.给出下列命题，其中正确的命题的个数（）①函数图象恒在轴的下方；②将的图像经过先关于轴对称，再向右平移1个单位的变化后为的图像；③若函数的值域为，则实数的取值范围是；④函数的图像关于对称的函数解析式为A. 1B. 2C. 3D. 412.若函数，则使不等式有解时，实数的最小值为（）A. 0B.C.D.二、填空题13.函数恒过定点的坐标为________.14.若，则________.15.若函数是奇函数．则实数________.16.已知函数若存在实数且使得函数成立，则实数的取值范围为________.三、解答题17.已知全集，集合，集合是的定义域.（1）当时，求集合；（2）若，求实数的取值范围.18.求下列各式的值（1）；（2）已知，求值.19.设函数ℎ（1）解关于的方程ℎℎ；（2）令，求的值.20.已知函数为偶函数，且.（1）求的值，并确定的解析式；（2）若且）,是否存在实数，使得在区间上为减函数.21.已知是定义在上的奇函数，且，若对于任意的且有恒成立.（1）判断在上的单调性，并证明你的结论；（2）若函数有零点,求实数的取值范围.22.已知函数是奇函数．（1）求实数的值；（2）若，对任意有恒成立，求实数取值范围；（3）设,若，问是否存在实数使函数在上的最大值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.答案解析部分一、单选题1.【答案】C【解析】【解答】∵集合，，，，∴是方程的解，即∴∴，，故答案为：C【分析】由题意，是方程的解，可得m=3，即可解得集合B.2.【答案】D【解析】【解答】函数则定义域为,解得,所以排除A、B选项因为为单调递减函数, 在时为单调递减函数由复合函数单调性可知为单调递增函数,所以排除C选项综上可知,D为正确选项故答案为：D【分析】根据函数定义域,可排除AB选项,由复合函数单调性可排除C选项,即可确定正确选项.3.【答案】C【解析】【解答】函数则根据零点存在定理可知,在内必有零点.而函数单调递增且连续,仅有一个零点.所以零点只能在内.故答案为：C【分析】根据零点存在定理,即可判断零点所在的区间.4.【答案】A【解析】【解答】由甲、乙两图可知进水速度为1，出水速度为2，结合丙图中直线的斜率，只进水不出水时，蓄水量增加速度是2，故①正确；不进水只出水时，蓄水量减少速度是2，故②不正确；两个进水一个出水时，蓄水量减少速度也是0，故③不正确．故答案为：A【分析】由甲，乙图得进水速度1，出水速度2，结合丙图中直线的斜率解答．5.【答案】D【解析】【解答】根据对数函数及指数函数的图像和性质可知:,所以,所以所以故答案为：D【分析】根据对数函数及指数函数的单调性,选取中间值即可比较大小.6.【答案】C【解析】【解答】函数的零点即为,所以画出两个函数图像如下图所示:根据图像及指数函数的增长趋势，可知两个函数有3个交点,所以函数有3个零点故答案为：C【分析】画出函数图像,根据两个函数图像的交点个数即可判断零点个数.7.【答案】B【解析】【解答】设，又方程的一根在区间内，另一根在区间内，∴即解得：故答案为：B【分析】利用一元二次方程根的分布结合根与系数的关系，用二次函数的图象分析得出实数m的取值范围。
四川省成都市2020年高一上学期数学期中考试试卷A卷
四川省成都市2020年高一上学期数学期中考试试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知集合则（）A .B .C .D .2. （2分）函数的反函数的图象过点，则的值为（）A .B .C . 或D .3. （2分） (2019高一上·临河月考) 下列选项中可以组成集合的是（）A . 接近0的数B . 很高的山C . 著名的主持人D . 大于0且小于10的整数4. （2分） (2018高二上·深圳期中) 下列函数中,在区间上为增函数的是（）A .B .C .D .5. （2分）是函数在区间上为减函数的（）A . 充分非必要条件B . 必要非充分条件C . 充要条件D . 非充分非必要条件6. （2分） (2016高一上·酒泉期中) 集合{1，2，3}的子集共有（）A . 5个B . 6个C . 7个D . 8个7. （2分） (2016高一上·宁波期中) 函数的单调递增区间是（）A . （﹣∞，﹣3）B . （﹣∞，﹣1）C . （﹣1，+∞）D . （1，+∞）8. （2分） (2015高三上·务川期中) 若幂函数f（x）=mxα的图象经过点A（，），则它在点A处的切线方程是（）A . 2x﹣y=0B . 2x+y=0C . 4x﹣4y+1=0D . 4x+4y+1=09. （2分）已知，则下列不等关系正确的是（）A .B .C .D .10. （2分） (2018高一下·长阳期末) 等比数列的各项均为正数，且，则（）A . 12B . 10C . 8D . 611. （2分）(2017·巢湖模拟) 《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥A B，设AC=a，BC=b，则该图形可以完成的无字证明为（）A . （a＞0，b＞0）B . a2+b2≥2ab（a＞0，b＞0）C . （a＞0，b＞0）D . （a＞0，b＞0）12. （2分）的定义域为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）若函数f（x）=logt|x+1|在区间（﹣2，﹣1）上恒有 f（x）＞0，则关于t的不等式f（8t﹣1）＜f（1）的解集为________．14. （1分）已知f（x）为奇函数，函数g（x）与f（x）的图象关于直线y=x+1对称．若g（1）=4．则f（﹣3）=________15. （1分）已知则 =________.16. （1分） (2016高一上·银川期中) 定义在[3﹣a，5]上的函数f（x）为奇函数，则loga（a+8）=________．三、解答题 (共4题；共45分)17. （10分） (2019高一上·宁波期中) 已知集合 .（1）求；（2）已知集合，若，求实数的取值范围.18. （10分） (2016高一上·东营期中) 已知定义域为R的函数f（x）= 是奇函数．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）判断函数f（x）的单调性；（Ⅲ）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．19. （10分） (2016高一上·湖州期中) 已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）=|t（x+ ）﹣5|，其中常数t＞0．（1）若函数f（x）分别在区间（0，2），（2，+∞）上单调，试求实数t的取值范围；（2）当t=1时，方程f（x）=m有四个不相等的实根x1，x2，x3，x4．①求四根之积x1x2x3x4的值；②在[1，4]上是否存在实数a，b（a＜b），使得f（x）在[a，b]上单调且取值范围为[ma，mb]？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．20. （15分） (2016高一上·泗阳期中) 已知函数f（x）=2x+m21﹣x ．（1）若函数f（x）为奇函数，求实数m的值；（2）若函数f（x）在区间（1，+∞）上是单调递增函数，求实数m的取值范围；（3）是否存在实数a，使得函数f（x）的图象关于点A（a，0）对称，若存在，求实数a的值，若不存在，请说明理由．注：点M（x1，y1），N（x2，y2）的中点坐标为（，）．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共4题；共45分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、第11 页共11 页。
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高一（上）期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={1,2，4}，B={x|x2−4x+m=0}，若A∩B={1}，则B=()A. {1,−3}B. {1,0}C. {1,3}D. {1,5}2.函数f(x)=log121x+1的图象大致是()A. B.C. D.3.函数f(x)=lnx+13x−2的零点所在区间为()A. (2,e)B. (3,4)C. (e,3)D. (1,2)4.一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲．乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)，给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则一定能确定正确的论断是()A. ①B. ①②C. ①③D. ①②③5.已知x=1og35,y=1og52,z=3−12，则下列关系正确的是()A. x>y>zB. y>x>zC. z>y>xD. x>z>y6. 函数f(x)=x 2−(32)x 的零点的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 47. 方程4x 2+(m −2)x +m −5=0的一根在区间(−1,0)内，另一根在区间(0,2)内，则m 的取值范围是( )A. (53,5)B. (−73,5) C. (−∞,53)∪(5,+∞)D. (−∞,53)8. 若数f(x)=ln(√1+4x 2+2x)+3，且f(log a 2019)=5，则f(log a 12019)=( )A. −5B. 4C. 3D. 19. 已知函数f(x)=|log 2x|，(x ≤2)，若a ≠b ，且f(a)=f(b)，则a +b 的取值范围是( )A. (1,52]B. (2,52]C. (2,+∞)D. [1,2]10. 已知max{a,b}表示a ，b 两数中的最大值，若f(x)=max{e |x|,e |x+2|}，则f(x)的最小值为( )A. eB. 1C. e 2D. 211. 给出下列命题，其中正确的命题的个数( )①函数y =log 12(x 2−2x +3)图象恒在x 轴的下方； ②将y =2x 的图象经过先关于y 轴对称，再向右平移1个单位的变化后为y =21−x 的图象；③若函数f(x)=log 2(x 2−2ax +1)的值域为R ，则实数a 的取值范围是(−1,1)； ④函数f(x)=e x 的图象关于y =x 对称的函数解析式为y =lnx ．A. 1B. 2C. 3D. 412. 若函数f(x)=log 9(9x +1)−x2，则使不等式f(x)−m ≤0有解时，实数m 的最小值为( )A. 0B. −log 32C. log 32D. log 3√2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 函数y =log a (2x −5)−1恒过定点的坐标为______． 14. 若f(2x −1)=x 5+2x ，则f(−3)=______．15. 若函数f(x)=m−2xn+2x+1是奇函数．则实数m +n =______．16. 已知函数f(x)={x 3,x ≤a8log a x,x >a若存在实数x 1，x 2，且x 1≠x 2使得函数f(x 1)=f(x 2)成立，则实数a 的取值范围为______． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知全集U =R ，集合A ={x|2x +a >0}，集合B 是f(x)=√log 12(2x +1)的定义域．(Ⅰ)当a =2时，求集合A ∩B ；(Ⅱ)若B ∩(∁U A)=B ，求实数a 的取值范围．18. 求下列各式的值(Ⅰ)(214)−12−3[(1−√2)2]12+log (2+√3)(√3−2)2+√32+log 32；(Ⅱ)已知a 12+a −12=3，求a 32+a−32a 2+a −2值．19. 设函数g(x)=3x ，ℎ(x)=9x ．(Ⅰ)解关于x 的方程ℎ(x)−11g(x)+2ℎ(1)=0；(Ⅱ)令F(x)=g(x)+√3，求F(12020)+F(22020)+⋯+F(20182020)+F(20192020)的值．20.已知函数f(x)=x−m2+2m+2(m∈Z)为偶函数，且f(3)>f(2)．(Ⅰ)求m的值，并确定f(x)的解析式；(Ⅱ)若g(x)=log a[f(x)−ax+5](a>0，且a≠1)，是否存在实数a，使得g(x)在区间[1,2]上为减函数．21.已知f(x)是定义在[−1,1]上的奇函数，且f(1)=1，若对于任意的a，b∈[−1,1]且a+b≠0，有f(a)+f(b)>0恒成立．a+b(Ⅰ)判断f(x)在[−1,1]上的单调性，并证明你的结论；(Ⅱ)若函数F(x)=f[a⋅2x+4x]+1有零点，求实数a的取值范围．22.已知函数f(x)=a2x+t(a>0,a≠1)是奇函数．a x(Ⅰ)求实数t的值；−a恒成立，求实数k取值(Ⅱ)若f(1)<0，对任意x∈[0,1]有f(2x2−kx−k)>1a范围；(Ⅲ)设g(x)=log m[a2x+a−2x−mf(x)],(m>0,m≠1)，若f(1)=3，问是否存2在实数m使函数g(x)在[1,log23]上的最大值为0？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查集合的交集及元素与集合的关系，属于基础题．由交集的定义，可得1∈A且1∈B，代入一元二次方程，求得m，再解方程可得集合B．【解答】解：因为集合A={1,2，4}，B={x|x2−4x+m=0}，若A∩B={1}，则1∈A且1∈B，可得1−4+m=0，解得m=3，即有B={x|x2−4x+3=0}={1,3}，此时符合A∩B={1}．故选C．2.【答案】D【解析】解：由1x+1>0得x+1>0得x>−1，即函数的定义域为(−1,+∞)，排除A，B，当x=1时，f(1)=log1212=1>0，排除C，故选：D．先求出函数的定义域，结合函数值的对应性进行排除即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用定义域和函数值的对应性结合排除法是解决本题的关键．3.【答案】C【解析】解：∵函数f(x)=lnx+13x−2是x>0时的连续增函数，函数f(e)=1+13e−2<0，f(3)=ln3+1−2>0，f(e)⋅f(3)<0，∴函数f(x)=lnx+13x−2的零点所在区间为(e,3)；故选：C．判断函数的连续性，通过求解f(e)，f(3)的值，利用零点判断定理，从而得出结论．本题考察了函数的零点问题，函数零点判断定理的应用，本题是一道基础题．4.【答案】A【解析】解：由甲，乙图得进水速度1，出水速度2，结合丙图中直线的斜率解答∴只进水不出水时，蓄水量增加是2，故①对；∴不进水只出水时，蓄水量减少是2，故②不对；∴二个进水一个出水时，蓄水量减少也是0，故③不对；只有①满足题意．故选A．由甲，乙图得进水速度1，出水速度2，图中直线的斜率即为蓄水量的变化率，比如，0点到3点时的蓄水量的变化率为2.根据进水出水的情况，结合丙图中直线的斜率解答．数形结合是解决此题的关键，本题容易错选成①③，其实二个进水一个出水时，蓄水量减少也是0，这是个动态中的零增量．5.【答案】D【解析】解：∵x=log35>1，y=log52<log5√5=12，1>z=3−12=1√3=√33>12，∴x>z>y．故选：D．利用有理指数幂的运算性质与对数的运算性质分别比较x，y，z与1与12的大小得答案．本题考查对数值的大小比较，考查对数的运算性质，是基础题．6.【答案】C【解析】解：函数f(x)=x2−(32)x的零点的个数为x2−(32)x=0的解的个数，也就是y=x2，与y=(32)x交点的个数，两个函数的图象如图：交点有3个．故选：C．函数的零点个数转化为两个函数的图象交点的个数，利用数形结合求解即可．本题考查函数的零点个数的判断，数形结合的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．7.【答案】B【解析】解：∵方程4x 2+(m −2)x +m −5=0的一根在区间(−1,0)内，另一根在区间(0,2)内，∴函数f(x)=4x 2+(m −2)x +m −5的两个零点一个在区间(−1,0)内，另一个在区间(0,2)内，则{f(−1)=4−(m −2)+m −5>0f(0)=m −5<0f(2)=16+2(m −2)+m −5>0，解得−73<m <5．∴m 的取值范围是(−73,5)． 故选：B ．由题意可得函数f(x)=4x 2+(m −2)x +m −5的两个零点一个在区间(−1,0)内，另一个在区间(0,2)内，由此可得关于m 的不等式组求解．本题考查一元二次方程根的分布，考查函数零点与方程根的关系，是中档题．8.【答案】D【解析】解：令g(x)=f(x)−3，则g(x)+g(−x)=ln(√1+4x 2+2x)+ln(√1+4x 2−2x)， =ln(1+4x 2−4x 2)=0， ∴g(−x)=−g(x)，∴f(−x)−3=−f(x)+3，即f(x)+f(−x)=6， ∵f(log a 2019)=5，则f(log a 12019)=f(−log a 2019)=6−f(log a 2019)=1． 故选：D ．令g(x)=f(x)−3，则g(x)+g(−x)=0，进而可得f(x)+f(−x)=6，代入即可求解． 本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数值，解题的关键是通过奇函数g(x)寻求发现f(−x)与f(x)的关系．9.【答案】B【解析】解：因为f(a)=f(b)，所以|log 2a|=|log 2b|，不妨设0<a <b ，则0<a <1<b ≤2，∴log 2a =−log 2b ，log 2a +log 2b =0，∴log 2(ab)=0， ∴ab =1，又a >0，b >0，且a ≠b ， ∴(a +b)2>4ab =4， ∴a +b >2，a +b =b +1b ，因为函数y =x +1x ，x ∈(1,2]是增函数，函数的最大值为：f(2)=52，所以a +b ≤52， 所以a +b ∈(2,52]． 故选：B ．由已知条件a ≠b ，不妨令a <b ，又y =log 2x 是一个增函数，且f(a)=f(b)，故可得，0<a <1<b ≤2，则log 2a =−log 2b ，再化简整理即可求解．本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a 的取值范围，根据条件a >0，b >0，且a ≠b 可以利用重要不等式(a 2+b 2≥2ab ，当且仅当a =b 时取等号)列出关系式(a +b)2>4ab =4，以及函数的单调性的最值的求法，是中档题．10.【答案】A【解析】解：由于f(x)=max{e |x|,e|x+2|}={e |x+2|,x ≥−1e |x|,x <−1当x ≥−1时，f(x)≥e ，且当x =−1时，取得最小值e ； 当x <−1时，f(x)>e 故f(x)的最小值为f(−1)=e 故选：A ．化简函数的解析式，讨论x 的取值范围，由指数函数的单调性，可得最小值． 本题需要先根据定义，写出函数f(x)解析式，最后求最值，属于新定义题11.【答案】C【解析】解：对于①，因为x 2−2x +3=(x −1)2+2>2，根据对数性质可知log 12(x 2−2x +3)<log 122=−1，所以对应函数的图象恒在x 轴的下方，故①对；对于②，函数y =2x 图象关于y 轴对称后得到的函数解析式为y =(12)x =2−x ，向右移动一个单位后得到y =2−(x−1)=21−x ，故②对；对于③，若函数值域为R，令f(x)=x2−2ax+1，则可得f(x)可以取所有的正数，∴△= 4a2−4≥0∴a≥1或a≤−1，故③错；对于④，令y=x，得x=e y，所以y=lnx，故④对；综上正确的个数为3个，故选：C．对于①，这是一个复合函数，可判断出x2−2x+3>2，再结合对数函数的单调性可得图象；对于②，利用对称和平移的基本结论可得移动后图象；对于③，因为值域为R，所以x2−2ax+1取遍所有的正数，所以△=4a2−4≥0，解出a的取值范围即可；对于④，交换x，y位置即可得新函数解析式．本题考查命题真假性判断，涉及基本初等函数的图象及性质，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：∵3x>0，∴函数f(x)=log9(9x+1)−x2=log9(9x+1)−log99x2=log9(32x+1)−log93x=log9(3x+13x )≥log92√3x⋅13x=log92=log3√2，当且仅当3x=13x即x=0时上式取等号，f(x)min=log3√2要使不等式f(x)−m≤0有解，则f(x)min≤m，∴log3√2≤m故实数m的最小值为log3√2．故选：D．利用对数的有关法则和基本不等式对函数f(x)=log9(9x+1)−x2进行整理化简，求出函数的最小值，要使不等式f(x)−m≤0有解，等价于f(x)min≤m，从而求出实数m的最小值．本题考查了对数的运算法则、基本不等式，考查了不等式有解的解法，以及学生的运算化简能力，属于中档题．13.【答案】(3,−1)【解析】解：由2x −5=1得2x =6，x =3，此时y =log a 1−1=0−1=−1， 即函数过定点(3,−1)， 故答案为：(3,−1)，根据对数函数的性质，令2x −5=1，求出x ，y 的值即可．本题主要考查对数函数过定点的性质，利用1的对数恒等于0是解决本题的关键．比较基础．14.【答案】−12【解析】解：∵f(2x −1)=x 5+2x ，∴f(−3)=f[2×(−1)−1]=(−1)5+2−1=−12．故答案为：−12．由f(2x −1)=x 5+2x ，f(−3)=f[2×(−1)−1]，能求出f(−3)的值．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.【答案】3或−3【解析】解：根据题意，函数f(x)=m−2x n+2x+1是奇函数，则f(−x)=−f(x)，即m−2−xn+2=m⋅2x −1n⋅2+2=−(m−2x n+2)，则有{m =1n =2或{m =−1n =−2．故m +n =3或−3； 故答案为：3或−3．根据题意，由奇函数的定义可得f(−x)=−f(x)，即m−2−x n+2−x+1=m⋅2x −1n⋅2x +2=−(m−2x n+2x+1)，分析可得m 、n 的值，相加即可得答案．本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，注意奇函数的定义，属于基础题．16.【答案】0<a <1或a >2【解析】解：若a>1，则当x≤a时，f(x)=x3≤a3，当x>a时，f(x)=8log a x>8log a a=8，若存在实数x1，x2，且x1≠x2使得函数f(x1)=f(x2)成立，则a3>8，此时a>2，若0<a<1，x≤a时，f(x)=x3≤a3，当x>a时，f(x)=8log a x<8log a a=8，此时存在实数x1，x2，且x1≠x2使得函数f(x1)=f(x2)恒成立，综上0<a<1或a>2，故答案为：0<a<1或a>2结合三次函数以及对数函数的单调性，转化为分段函数的最值关系，进行转化求解即可．本题主要考查函数与方程的应用，结合分段函数的表达式，利用分类讨论以及数形结合是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．17.【答案】解：(Ⅰ)∵全集U=R，集合A={x|2x+a>0}={x|x>−a2}，集合B是f(x)=√log12(2x+1)的定义域．∴B={x|{2x+1>00<2x+1≤1}={x|−12<x≤0}.当a=2时，A={x|x>−1}，∴集合A∩B={x|−12<x≤0}.(Ⅱ)集合A={x|2x+a>0}={x|x>−a2}，B={x|−12<x≤0}，∴C U A={x|x≤−a2}，∵B∩(∁U A)=B，∴C U A⊇B，∴−a2≥0，解得a≤0．∴实数a的取值范围是(−∞,0]．【解析】(Ⅰ)分别求出集合A，B，由此能求出集合A∩B．(Ⅱ)集合A={x|2x+a>0}={x|x>−a2}，B={x|−12<x≤0}.从而C U A={x|x≤−a2}，由B∩(∁U A)=B，得C U A⊇B，由此能求出实数a的取值范围．本题考查交集、补集、实数的取值范围的求法，考查交集、补集、子集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.【答案】(Ⅰ)(214)−12−3[(1−√2)2]12+log(2+√3)(√3−2)2+√32+log32=[(32)2]−12−3(√2−1)+log(2+√3)(2+√3)−2+3⋅√3log32=23−3√2+3−2+3√2=53；(Ⅱ)由a12+a−12=3，得a+2+a−1=9，∴a+a−1=7，则a2+2+a−2=49，∴a2+a−2=47．a32+a−32=(a12+a−12)(a+a−1−1)=18，∴a 32+a−32a2+a−2=1847．【解析】(Ⅰ)直接利用有理指数幂的运算性质与对数的运算性质化简求值；(Ⅱ)由已知分别求得a32+a−32与a2+a−2的值，则答案可求．本题考查有理指数幂的运算性质，考查对数的运算性质，是基础的计算题．19.【答案】解：(Ⅰ)根据题意，函数g(x)=3x，ℎ(x)=9x，即9x−11×3x+18=0，设t=3x，则有t2−11t+18=0，解可得：t=2或t=9，若3x=2，则x=log32，若3x=9，则x=2，故方程的解为2和log32；(Ⅱ)根据题意，F(x)=g(x)+√3=x3x+√3，则F(1−x)=1−x31−x+√3=√3√3+3x，则F(x)+F(1−x)=1，故F(12020)+F(22020)+⋯+F(20182020)+F(20192020)=F(12020)+F(20192020)+F(22020)+F(20182020)+⋯…=1009.5．【解析】(1)根据题意，原方程即9x−11×3x+18=0，设t=3x，由换元法可得t2−11t+18=0，解可得t的值，进而可得x的值，即可得答案；(2)根据题意，由函数的解析式可得F(1−x)的值，进而可得F(x)+F(1−x)=1，据此分析可得答案．本题考查函数值的计算，涉及指数幂的计算，属于基础题．20.【答案】解：(Ⅰ)由函数f(x)=x−m2+2m+2(m∈Z)，且f(3)>f(2)．则函数f(x)=x−m2+2m+2(m∈Z)在(0,+∞)上单调递增，∴−m2+2m+2>0，即m2−2m−2<0，∴1−√3<m<1+√3，又m∈Z，∴m=0或1或2，当m=0时，−m2+2m+2=2；当m=1时，−m2+2m+2=3；当m=2时，−m2+2m+2=2；又函数f(x)=x−m2+2m+2(m∈Z)为偶函数，−m2+2m+2必为偶数，∴当m=0或2时，f(x)=x2；故m=0或2，f(x)的解析式为f(x)=x2；(Ⅱ)由(Ⅰ)知g(x)=log a[x2−ax+5](a>0，且a≠1)，设y=log a u，u(x)=x2−ax+5，x∈[1,2]当0<a<1时，y=log a u为减函数，只有u(x)=x2−ax+5在[1,2]为增函数时，且u(1)>0时，g(x)在区间[1,2]上为减函数．∴{0<a<1a2≤1u(1)=1−a+5>0，∴0<a<1．当a>1时，y=log a u为增函数，只有u(x)=x2−ax+5在[1,2]为减函数时，且u(2)>0时，g(x)在区间[1,2]上为减函数．∴{a>1a2≥2u(2)=4−2a+5>0，∴4≤a<92．综上，当0<a<1或4≤a<92时，g(x)在区间[1,2]上为减函数．故存在实数a ∈(0,1)∪[4，92)，使得g(x)在区间[1,2]上为减函数．【解析】(Ⅰ)由题知，∴−m 2+2m +2>0且−m 2+2m +2必为偶数，确定m 的值，求出f(x)的解析式；(Ⅱ)由(Ⅰ)知g(x)=log a [x 2−ax +5](a >0，且a ≠1)，由复合函数单调性，据a 的值分类讨论使得g(x)在区间[1,2]上为减函数时a 成立的条件．本题考查了幂函数的性质，考查了函数的奇偶性的性质，考查了分类讨论的数学思想，训练了利用函数单调性求函数的最值，考查了计算能力，属于中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)根据题意，f(x)在[−1,1]上为增函数，证明如下：f(x)为奇函数，则f(−x)=−f(x)， 设−1≤x 1<x 2≤1，则f(x 1)−f(x 2)=f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2(x 1−x 2)=f(x 1)+f(−x 2)x 1+(−x 2)(x 1−x 2)<0，则函数f(x)在[−1,1]上为增函数，(Ⅱ)根据题意，若函数F(x)=f[a ⋅2x +4x ]+1有零点，即f[a ⋅2x +4x ]=−1有解， 又由f(x)为奇函数且f(1)=1，则f(−1)=−1，f(x)在[−1,1]上为增函数，则a ⋅2x +4x =−1，即4x +a ⋅2x +1=0①有解， 设t =2x ，则①等价于t 2+at +1=0有正根，则有{a 2≥4−a >0，解可得a ≤−2，即a 的取值范围为(−∞,−2]．【解析】(Ⅰ)根据题意，设−1≤x 1<x 2≤1，则f(x 1)−f(x 2)=f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2(x 1−x 2)，结合函数的奇偶性分析可得结论；(Ⅱ)根据题意，原问题转化为f[a ⋅2x +4x ]=−1有解，结合函数的奇偶性与单调性分析可得4x +a ⋅2x +1=0有解，设t =2x ，由换元法结合一元二次函数的性质分析可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及函数与方程的关系，属于综合题． 22.【答案】解：(Ⅰ)f(x)为奇函数，则f(0)=0，a 0+t a 0=0， 则t =−1；(Ⅱ)由f(1)<0，有f(1)=a 2−1a<0，得0<a <1；则f(x)=a 2x −1a x=a x −1a x在R 上单调递减；任意x ∈[0,1]有f(2x 2−kx −k)>1a −a 恒成立；即任意x ∈[0,1]有f(2x 2−kx −k)>1a −a =f(−1)恒成立； 所以2x 2−kx −k <−1在x ∈[0,1]上恒成立； 即k >2x 2+1x+1=2(x 2−1)+3x+1=2(x +1)+3x+1−4∵当时，2(x +1)+3x+1−4≤32 所以实数k 取值范围k >32；(Ⅲ)由f(1)=32，得a =2，假设存在满足条件的m ，g(x)=log m [22x +2−2x −m(2x −2x )]=log m [(2x −2−x )−m(2x −2−x )+2] 设t =2x −2−x ，t ∈[32,83] 设ℎ(t)=t 2−mt +2，当0<m <1 时，y =log m ℎ(t)是单调递减函数， ∵函数ℎ(t)=t 2−mt +2，在t ∈[32,83] 有最小值1； ∵对称轴方程为t =m2 <12；函数在t ∈[32,83] 上单调递增， ∴ℎ(t)min =ℎ(32)=174−32m =1，解得：m =136(不满足，舍去)当m >1时，ℎ(t)>0在[32,83]上恒成立，且最大值为1； 所以函数ℎ(t)=t 2−mt +2，在t ∈[32,83] 有最大值为1； ∵对称轴方程为：t =m2， 当m2<2512 时，即m <256，当t =83 时，有ℎ(t)最大值； ∴ℎ(83)=829−8m 3=1，即m =7324；∵m 2=7348∈[32,83]，当t =7348时，ℎ(t)取得最小值ℎ(7348)<0，所以此时不满足条件； 当m2≥2512时，即m ≥256，ℎ(t)在t =32 时取得最大值； 即ℎ(32)=174−3m 2=1，则m =136(不符合条件)故不存在正实数m ，满足条件．【解析】(Ⅰ)利用奇函数的性质，f(0)=0，即可求出t的值；(Ⅱ)由f(1)<0，得0<a<1，f(x)单调递减，有f(2x2−kx−k)>1a−a=f(−1)，利用单调性脱去函数符号，再分离参数求解；(Ⅲ)由f(1)=32，得a=2，设t=2x−2−x，t∈[32,83]，设ℎ(t)=t2−mt+2，然后对m进行分类讨论；本题考察函数奇偶性的性质，恒成立问题，函数最值，二次函数再闭区间上的最值，恒成立问题一般选用参变量分离法，最值法，数形结合法求解．属于难题．。