33复杂电力网潮流计算的计算机解法
电力系统稳态分析-第四章 复杂电力系统潮流的计算机算法
第二节 功率方程及其迭代解法
在实际电力系统中，已知的运行条件往往不是节点的注 入电流而是负荷和发电机的功率，而且这些功率一般不随节 点电压的变化而变化。同时，在节点功率不变的情况下，节 点的注入电流随节点电压的变化而变化。而在节点电压未知 的情况下，节点注入电流是无法求得的。因此，不能用上节 介绍的网络方程进行潮流计算。必须在已知节点导纳矩阵的 情况下，用已知的节点功率来代替未知的节点注入电流，建 立起潮流计算用的节点功率方程，才能求出节点电压，进而 求出整个系统的潮流分布。
非线性方程组没有直接的解析方法，只能用迭代求解发方法。
第二节 功率方程及其迭代解法
为了更好的理解功率方程的意义，先以两母线系统为例， 然后推广到n母线系统 1、两母线系统的功率方程 G 1
~ ~ SG1 PG1 jQG1 SG 2 PG 2 jQG 2
U1
等值电源功率
SG1和SG2 ？
3) 输电线模型：是一个分布参数的电路，可用一个集中 参数的∏型等值电路表示；
4) 变压器模型：通常用集中参数的г型等值电路表示。
第一节 电力网络方程
要进行复杂系统的潮流计算，借助计算机程序进行计 算时，需要建立电力网络的网络方程。它是反映系统中 电流与电压之间相互关系的数学方程。需要对电力网进 行数学的抽象。
i
Yii Y jj yij Yij Y ji yij
yij
电力网
j
Yii Y jj Yii Yij Y ji Yij
(0) (0)
Yii Yij
第一节 电力网络方程
（4）在原有网络的节点i、j之间的导纳由yij改变为y'ij
i
Yii y yij ij Yij Y ji yij y ij
3.3复杂电力网潮流计算的计算机解法
3.3复杂电力网潮流计算的计算机解法3.3.1 导纳矩阵的形成1．自导纳节点i的自导纳，亦称输入导纳，在数值上等于在节点i施加单位电压，其他节点全部接地时，经节点i注入网络的电流。
主对角线元素，更具体地说，就等于与节点连接的所有支路导纳的和。
2．互导纳节点i、j间的互导纳，在数值上等于在节点i施加单位电压，其他节点全部接地时，经节点j注入网络的电流。
非对角线元素。
更具体地说，是连接节点j和节点i支路的导纳之和再加上负号而得。
3．导钠矩阵的特点：（1）因为，导纳矩阵Y是对称矩阵；（2）导纳矩阵是稀疏矩阵，每一非对角元素是节点i和j间支路导纳的负值，当i和j间没有直接相连的支路时，即为零，根据一般电力系统的特点，每一节点平均与3-5个相邻节点有直接联系，所以导纳矩阵是一高度稀疏的矩阵；（3）导纳矩阵能从系统网络接线图直观地求出。
4．节点导纳矩阵的修改（1）从原有网络引出一支路，同时增加一节点，设i为原有网络结点，j为新增节点，新增支路ij的导纳为y ij。
如图3-17（a）所示。
因新增一节点，新的节点导纳阵需增加一阶。
且新增对角元Y jj=y ij，新增非对角元Y ij=Y ji=－y ij，同时对原阵中的对角元Y ii进行修改，增加ΔY ii＝y ij。
（2）在原有网络节点i、j间增加一支路。
如图3-17（b）所示。
设在节点i增加一条支路，由于没有增加节点数，节点导纳矩阵Y阶次不变，节点的自导纳Y ii、Y jj和互导纳Y ij分别变化量为（3-57）图 3-17 网络接线的变化图（a）网络引出一支路，（b）节点间增加一支路，（c）节点间切除一支路，（d）节点间导纳改变（3）在原有网络节点i、j间切除一支路。
如图3-17（c）所示。
设在节点i切除一条支路，由于没有增加节点数，节点导纳矩阵Y阶次不变，节点的自导纳Y ii、Y jj和互导纳Y ij分别发生变化，其变化量为（3-58）（4）原有网络节点i、j间的导纳改变为。
第4章 复杂电力系统潮流计算
Z E a aa Eb Z ba 0 Z ca
第一节 电力网络方程
另一种表达方式：
1 YL E L I L YL Z L
Y1i Y1n Y2i Y2 n Yii Yin Yni Ynn
第一节 电力网络方程
2）原网络节点 i 和 j 之间增加一条支路
节点导纳矩阵的阶数不变，只是由于节点 i 和 j
之间增加了一条支路导纳 yij 而使节点 i 和 j 之间的互
第一节 电力网络方程
结合图4-1（a）有
Y Y I Y U 1 11 12 13 1 I 2 Y21 Y22 Y23 U 2 0 Y Y Y U 31 32 33 3
第一节 电力网络方程
I Yaa Yab Yac E a a Y E I Y Y ba bb bc b b Yca Ycb Ycc 0 Ic
第一节 电力网络方程
三、节点导纳矩阵的形成和修改
1. 节点导纳矩阵的形成
（3-8）
/I Z ii U i i
0 I j
, i, j 1, , n, i j
（3-9）
/I Z ij U i j
0 I i
, i, j 1, , n,
ji
（3-10）
第一节 电力网络方程
自阻抗在数值上等于仅在节点 i 注入单位 电流而其余节点均不注入电流（即电源均 开路）时，节点 i 的电压。
潮流计算的计算机算法资料
第四章潮流计算的计算机算法第一节概述潮流计算是电力系统最基本、最常用的计算。
根据系统给定的运行条件、网络接线及元件参数，通过潮流计算可以确定各母线的电压（幅值及相角），各元件中流过的功率、整个系统的功率损耗等。
潮流计算是实现电力系统安全经济发供电的必要手段和重要工作环节。
因此潮流计算在电力系统的规划设计、生产运行、调度管理及科学研究中都有着广泛的应用。
电力系统潮流计算分为离线潮流计算和在线潮流计算。
前者主要用于系统规划设计和安排系统的运行方式，后者则用于正在运行系统的经常监视及实时控制。
本章主要讨论离线潮流计算问题，它的基本算法同样适用于在线潮流计算。
潮流计算在数学上是多元非线性方程组的求解问题，求解的方法有很多种。
自从五十年代计算机应用于电力系统以来，当时求解潮流的方法是以节点导纳矩阵为基础的逐次代入法（导纳法），后来为解决导纳法的收敛性较差的问题，出现了以阻抗矩阵为基础的逐次代入法（阻抗法）。
到六十年代，针对阻抗法占用计算机内存大的问题又出现了分块阻抗法及牛顿－拉夫逊（Newton－Raphson）法。
Newton —Raphson法是数学上解非线形方程式的有效方法，有较好的收敛性。
将N－R法用于潮流计算是以导纳矩阵为基础的，由于利用了导纳矩阵的对称性、稀疏性及节点编号顺序优化等技巧，使N－R法在收敛性、占用内存、计算速度方面的优点都超过了阻抗法，成为六十年代末期以后普遍采用的方法。
同时国内外广泛研究了诸如非线形规划法、直流法、交流法等各种不同的潮流计算方法。
七十年代以来，又涌现出了更新的潮流计算方法。
其中有1974年由B、Stott、O、Alsac 提出的快速分解法以及1978年由岩本伸一等提出的保留非线性的高129速潮流计算法。
其中快速分解法（Fast decoupled load flow）从1975年开始已在国内使用，并习惯称之为PQ分解法。
由于PQ分解法在计算速度上大大超过N－R法，不但能应用于离线潮流计算，而且也能应用于在线潮流计算。
复杂电力系统潮流计算
复杂电力系统潮流计算
复杂电力系统潮流计算的基本原理是基于Kirchhoff电流定律和Kirchhoff电压定律建立节点电流方程和节点电压方程。
节点电流方程是
根据节点电流相等原理建立的，它表达了电力系统各节点的注入、吸收和
分配的功率之间的关系。
节点电压方程是根据电压分压原理建立的，它表
达了电力系统各节点的电压之间的关系。
直接法是指直接求解潮流方程组得到节点电压和功率的数值解。
直接
法适用于小规模系统或具有特殊结构的系统，计算速度较快。
但是，对于
复杂电力系统来说，节点电压和功率的数值解往往难以得到。
迭代法是指通过迭代求解潮流方程组得到节点电压和功率的数值解。
迭代法通常包括牛顿-拉夫森法和高斯-赛德尔法两种，其中牛顿-拉夫森
法是迭代法中最常用的方法之一、迭代法的优点是适用于解决复杂电力系
统的潮流计算问题，但计算速度相对较慢。
在进行复杂电力系统潮流计算时，还需要考虑负荷模型、发电机模型
和变压器模型等实际情况。
负荷模型要考虑负荷的定常、过渡和瞬时特性，发电机模型要考虑发电机的定常和暂态特性，变压器模型要考虑变压器的
变比和损耗等因素。
这些模型的确切参数对于潮流计算的精度和可靠性至
关重要。
总之，复杂电力系统潮流计算是电力系统分析和设计中的一个重要环节。
通过建立潮流方程组，采用直接法或迭代法求解节点电压和功率的数
值解，可以评估系统的稳态运行状态，为电力系统的规划、运行和控制提
供重要的参考依据。
在实际应用中，还需要考虑负荷模型、发电机模型和
变压器模型等实际情况，以提高潮流计算的精度和可靠性。
33复杂电力网潮流计算的计算机解法
3.3复杂电力网潮流计算的计算机解法3.3.1导纳矩阵的形成 1 •自导纳节点i 的自导纳，亦称输入导纳，在数值上等于在节点 i 施加单位电压，其他节点全部接地时，经节点i 注入网络的电流。
主对角线兀素--| -] 2. 互导纳节点i 、j 间的互导纳，在数值上等于在节点 i 施加单位电压，其他节点全部接地时，经节点 j 注入网络的电流。
非对角线元素_■. _ , 1,f - °更具体地说，.是连接节点j 和节点i 支路的导纳之和再加上负号而得。
3. 导钠矩阵的特点：(1) 因为怜,导纳矩阵Y 是对称矩阵； (2)导纳矩阵是稀疏矩阵，每一非对角元素 兀.是节点i 和j 间支路导纳的负值，当i 和j 间没有直接 相连的支路时，即为零，根据一般电力系统的特点，每一节点平均与3-5个相邻节点有直接联系，所以导纳矩阵是一高度稀疏的矩阵；(3 )导纳矩阵能从系统网络接线图直观地求岀。
4. 节点导纳矩阵的修改(1 )从原有网络引出一支路，同时增加一节点，设 i 为原有网络结点，j 为新增节点，新增支路ij 的导纳为y j 。
如图3-17 (a )所示。
因新增一节点，新的节点导纳阵需增加一阶。
且新增对角元 Y =y j ，新增非对角元Y 」=Y= —y j ，同时对原阵中的对角元 Y 进行修改，增加 AY, = y j °(2) 在原有网络节点i 、j 间增加一支路。
如图3-17 (b )所示。
设在节点i 增加一条支路，由于没有增加节点数，节点导纳矩阵 Y 阶次不变，节点的自导纳 Y i 、Y 和互 导纳Y j 分别变化量为斗y 冲話(3-57)钙=卜'(* =_冶图3-17网络接线的变化图(a )网络引出一支路，(b )节点间增加一支路，(c )节点间切除一支路，(d )节点间导纳改变 (3) 在原有网络节点i 、j 间切除一支路。
如图3-17 (c )所示。
设在节点i 切除一条支路，由于没有增加节点数，节点导纳矩阵Y 阶次不变，节点的自导纳 Y i 、Y 和互更具体地说, 扎就等于与节点 连接的所有支路导纳的和。
电力系统潮流计算计算计算法
电力系统潮流计算计算计算法电力系统潮流计算算法设计及实现潮流计算是电力系统分析中的一种最基本的计算，它的任务是对给定的运行条件确定系统的运行状态，如各母线上的电压（幅值及相角）、网络中的功率分布以及功率损耗等。
建模是用数学的方法建立的数学模型，但它严格依赖于物理系统。
根据电力系统的实际运行条件，按给定的变量不同，一般将节点分为PQ节点，PV节点，平衡节点三种类型。
当这三个节点与潮流计算的约束条件结合起来时，便是潮流计算的数学模型。
PQ节点：有功功率P和无功功率Q是已知的，节点电压（V，δ）是待求量。
通常变电所都是这一类型的节点。
PV节点：有功功率P和电压复制V是已知的，节点的无功功率Q 和电压相位δ是待求量。
一般选择有一定无功储备的发电厂和具有可调无功电源设备的变电所作为PV节点。
平衡节点：在潮流分布算出之前，网络中的功率损失是未知的，所以，网络中至少有一个节点的有功功率P不能给定，这个节点承担了系统的有功功率平衡，所以称为平衡节点。
一般选择主调频发电厂为平衡节点。
潮流计算的约束条件是：1、所有的节点电压必须满足：这一约束主要是对PQ节点而言。
2、2、所有电源节点的有功功率和无功功率必须满足：对平衡节点的P和Q以及PV节点的Q按以上条件进行检验。
3、某些节点之间电压的相位差应满足：稳定运行的一个重要条件。
功率方程的非线性雅可比矩阵的特点：●各元素是各节点电压的函数●不是对称矩阵●因为Y =0，所以H =N =J =L =0，另R =S =0，故稀疏两种常见的求解非线性方程的方法：1）高斯-赛德尔迭代法；2）牛顿-拉夫逊迭代法。
高斯-赛德尔迭代法潮流计算1、方程表示：①用高斯-赛德尔计算电力系统潮流首先要将功率方程改写成能收敛的迭代形式；②Q：设系统有n个节点，其中m个PQ节点，n-(m+1)个是PV 节点，一个平衡节点,平衡节点不参加迭代；③功率方程改写成:2、求解的步骤：1)上述迭代公式假设n个节点全部为PQ节点。
复杂电力系统潮流计算
3
复杂电力系统潮流计算
第一章
电力网络的数学模型
线性网络的常用解法有节点电压法和回路法， 前者须列写节点电 流平衡方程，后者则须列写回路方程。本章重点介绍复杂网络数学模 型的建立、节点功率方程以及节点导纳矩阵。 1.1 节点导纳矩阵的建立 在图 1-1（a）的简单电力系统中，若略去变压器的励磁功率和 线路电容，负荷用阻抗表示，便可以得到一个有 5 个节点（包括零电 位点）和 7 条支路的等值网络，如图 1-1（b）所示。将接于节点 1 和 4 的电势源和阻抗的串联组合变换成等值的电流源和导纳的并联 组合，变得到图 1-1（c）的等值网络，其中 别称为节点 1 和 4 的注入电流源。
也可以用矩阵写成
式 （ 1-3 ）
Y11Y12 Y1n U1 I1 Y Y Y 2 n U 2 I2 21 22 Yn1Yn 2 Ynn U n In
结论 ................................................... 31 总结与体会 ............................................. 32 致谢 ................................................... 33 参考文献 ............................................... 34
复杂电力系统潮流计算
摘
要
本次的课程设计主要针对复杂电力系统——用牛顿-拉夫逊法来 进行潮流计算。牛顿-拉夫逊法对初值要求严格,迭代速度快的特点, 利用电力网的结构特点,提出直角坐标和极坐标牛顿-拉夫逊法潮流 计算的三元素解法及相应的简化算法 ,并对其进行计算分析比较占 用内存少,计算量小,且不影响其收敛性及准确性计算结果表明,综合 算法在迭代次数和收敛速度上有优势。
最新版复杂电力系统潮流的计算机算法
为何有2 倍项
41
4.3.2 时尚计算旳基本环节
42
4.3.2 时尚计算旳基本环节（续）
43
4.3.2 时尚计算旳基本环节（续）
44
4.3.2 时尚计算旳基本环节（续）
45
4.3.3 时尚计算算例
算例条件 形成导纳矩阵并设定期尚初值 计算节点旳注入功率及不平衡功率 计算雅克比矩阵元素 形成并求解修正方程更新状态变量 收敛判断 收敛后计算状态函数
增长链支
13
4.1.3.2 导纳矩阵旳修改 ——删除或修改链支
14
4.1.3.2 导纳矩阵旳修改 ——变压器支路（链支）旳变比修改
15
4.1.3.3 导纳矩阵旳形成与修改算例
16
4.1.3.3 导纳矩阵旳形成与修改算例（续）
不考虑变压器旳变比(k=1)
17
4.1.3.3 导纳矩阵旳形成与修改算例（续）
增长树支 增长链支 删除或修改链支 变压器支路（链支）旳变比修改 4.1.3.3 导纳矩阵旳形成与修改算例
9
4.1.3.1 节点导纳矩阵旳形成
10
4.1.3.2 导纳矩阵旳修改 ——增长树支
增长树支
11
4.1.3.2 导纳矩阵旳修改 ——增长树支（续）
12
4.1.3.2 导纳矩阵旳修改 ——增长链支
（平衡节点功率、PV节点无功、线路功率、网损）
46
4.3.3 时尚计算算例 ——算例条件
47
4.3.3 时尚计算算例 ——形成导纳矩阵并设定期尚初值
48
4.3.3 时尚计算算例 ——计算节点旳注入功率及不平衡 功率
49
4.3.3 时尚计算算例 ——计算雅克比矩阵元素
32 电力网络潮流计算的手算解法
3.2 电力网络潮流计算的手算解法3.2.1 电压降落及功率损耗计算1.电力线路上功率损耗与电压降落的计算电压是电能质量的指标之一，电力网络在运行过程中必须把某些母线上的电压保持在一定范围内，以满足用户电气设备的电压处于额定电压附近的允许范围内。
电力系统计算中常用功率而不用电流，这是因为实际系统中的电源、负荷常以功率形式给出，而电流是未知的。
当电流（功率）在电力网络中的各个元件上流过时，将产生电压降落，直接影响用户端的电压质量。
因此，电压降落的计算为分析电力网运行状态所必需。
电压降落即为该支路首末两端电压的相量差。
对如图3.3所示系统，已知末端相电压及功率求线路功率损耗及电压降落，设末端电压为，末端功率为，则线路末端导纳支路的功率损耗为（3-8）则阻抗末端的功率为阻抗支路中损耗的功率为，（3-9）阻抗支路始端的功率，线路始端导纳支路的功率损耗，（3-10）线路首端功率，从式（3-8）-（3-10）可知，线路阻抗支路有功功率和无功功率损耗均为正值，而导纳支路的无功功率损耗为负值，表示线路阻抗既损耗有功功率又损耗无功功率，导纳支路实际上是发出无功功率的（又称充电功率），充当无功功率源的作用，也就是说，当线路轻载运行时，线路只消耗很少的无功功率，甚至会发出无功功率。
高压线路在轻载运行时发出的无功功率，对无功缺乏的系统可能是有益的，但对于超高压输电线路是不利的，当线路输送的无功功率小于线路的充电功率时，线路始端电压可能会低于末端电压，或者说末端电压高于始端电压，若末端电压升高可能会导致绝缘的损坏，是应加以避免的，一般为了防止末端电压的升高，线路末端常连接有并联电抗器在轻载或空载时抵消充电功率，避免出现线路电压过高。
从以上推导不难看出，要想求出始端导纳支路的功率损耗及，必须先求出始端电压。
设与实轴重合，即，如图3-4所示。
图3-3 电力线路的电压和功率图3-4 利用末端电压计算始端电压则由(3-11) 令则有（3-12）从而得出功率角在一般电力系统中，远远大于δU，也即电压降落的横分量的值δU对电压U1的大小影响很小，可以忽略不计，所以同理，也可以从始端电压、始端功率求取电压降落及末端电压和末端功率的计算公式。
电力系统潮流计算的计算机算法概述
Qi fi j1 Gij e j Bij f j
ei Gij f j Bij e j
j 1
电力系统分析
（19.14）
19.3.2牛顿－拉夫逊法潮流计算
PQ节点的有功功率和无功功率是给定的，第i个节点的给定功率设 为Pis和Qis。假定系统中的第1，2，……，m号节点为PQ节点， 对其中每一个节点可列方程
为PQ机（或PQ给定型发电机）。在潮流计算中，系统大部分 节点属于PQ节点。
电力系统分析
2.PU节点 给出的参数是节点的有功功率P及电压幅值U，待求量为该节 点的无功功率Q及电压向量的相角θ。通常选择有一定无功功率 贮备的发电机母线或者有无功补偿设备的变电所母线作PU节点。 PU节点上的发电机称之为PU机（或PU给定型发电机）。 3.平衡节点
电力系统分析
3.2牛顿－拉夫逊法潮流计算
1．采用直角坐标 结点电压和导纳可表示为：
Yij G ij jBij
Ui
e i
jf i
将上述表示式代入
Pi
jQi
Ui
n
Y ij U
j
的右端，
j 1
展开并分出实部和虚部，便得：
Pi
ei
n
j 1 n
Gij e j
Bij
fj
n
fi Gij f j Bij e j
电力系统潮流计算的计算机算法
重点提示 1概 述 2 潮流计算的基本方程 3 牛顿－拉夫逊法潮流计算 4 PQ分解法潮流计算 小结
电力系统分析
本章提示
节点分类的概念； 潮流计算的基本方程式； 牛顿—拉夫逊法潮流计算的计算机算法； P—Q分解法潮流计算的计算机算法。
电力系统分析
复杂网络电力系统的潮流计算步骤？
复杂网络电力系统的潮流计算步骤？1.据电气接线图绘制等值电路图（需包含电路图中各参数的计算过程，节点编号以及 节点类型的确定说明），2根据等值电路图确定节点导纳矩阵3设定所求变量的初值。
4计算修正方程。
5形成雅可比矩阵。
6求解修正方程7进行修正和迭代8迭代精度的确认9根据各节点电压计算功率分布电力系统频率的一次调整 由发电机组的调速器来调整电力系统频率的二次调整 指定发电机组的调频器来调整电力系统频率的三次调整 根据预测负荷采用有功功率经济分配，根据负荷曲线进行最优分配。
系统中的总装机容量=所有发电机额定容量之和系统中的电源容量=可投入发电设备的可发率之和负荷备用容量、事故备用、检修备用、国民经济备用。
热备用是指所以投入运行的发电机组可能发出的最大功率之和与全系统发电负荷之差。
冷备用容量是指系统中处于停止运行状态，但可以随时待命启动的发电机组最大出力的总和。
无功功率和电压的控制与有功功率和频率的控制之间的区别一、在稳态情况下，全系统各点的频率是相同的，但各点的电压则不想同。
二、调整电压的手段除了各个发电机之外，还有大量的无功功率补偿设备和带负荷调整分接头变压器，它们分散在整个电力系统中。
将变电所或发电厂母线上所连线路对地电纳中无功功率的一半也并入等值负荷或等值电源功率，称之为：运算负荷或运算功率。
环式网络中的功率分布① 计算步骤◆画等值电路计算个元件参数；◆利用运算功率和运算负荷对等值电路进行简化；◆计算供电网的初步功率分布；◆确定功率分点；◆在功率分点将供电网拆开，得到两个辐射形网络，按辐射形网络计算最终功率分布和电压降落。
()()2221U U U U δ+∆+=()()U j U U U R Q X P j U X Q R P U jX R U jQ P U Z U S U U δ+∆+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=22'2'22'2'222'2'22*2'221。
潮流计算的计算机方法
一、潮流计算的计算机方法对于复杂网络的潮流计算，一般必须借助电子计算机进行。
其计算步骤是：建立电力网络的数学模型，确定计算方法、制定框图和编制程序。
本章重点介绍前两部分，并着重阐述在电力系统潮流实际计算中常用的、基本的方法。
1，电力网络的数学模型电力网络的数学模型指的是将网络有关参数相变量及其相互关系归纳起来所组成的．可以反映网络性能的数学方程式组。
也就是对电力系统的运行状态、变量和网络参数之间相互关系的—种数学描述。
电力网络的数学模型有节点电压方程和回路电流方程等，前者在电力系统潮流计算中广泛采用。
节点电压方程又分为以节点导纳矩阵表示的节点电压方程和以节点阻抗矩阵表示的节点电压方程。
（1）节点导纳矩阵在电路理论课中。
已讲过了用节点导纳矩阵表示的节点电压方程：对于n个节点的网络其展开为：上式中，I是节点注入电流的列向量。
在电力系统计算中，节点注入电流可理解为节点电源电流与负荷电流之和，并规定电源向网络节点的注人电流为正。
那么，只有负荷节点的注入电流为负，而仅起联络作用的联络节点的注入电流为零。
U是节点电压的列向量。
网络中有接地支路时，通常以大地作参考点，节点电压就是各节点的对地电压。
并规定地节点的编号为0。
y是一个n×n阶节点导纳矩阵，其阶数n就等于网络中除参考节点外的节点数。
物理意义：节点i单位电压，其余节点接地，此时各节点向网络注入的电流就是节点i 的自导纳和其余节点的与节点i之间的互导纳。
特点：对称矩阵，稀疏矩阵，对角占优(2) 节点阻抗矩阵对导纳阵求逆，得：其中称为节点阻抗矩阵，是节点导纳矩阵的逆阵。
物理意义：节点i注入单位电流，其余节点不注入电流，此时各节点的电压就是节点i 的自阻抗和其余节点的与节点i之间的互阻抗。
特点：满阵，对称，对角占优2，功率方程、变量和节点分类（1）功率方程已知的是节点的注入功率，因此，需要重新列写方程： **==B B B B B U S I U Y其展开式为： i i i nj j ij U jQ P U Y ~1-=∑= 所以：∑=**=+nj jij i i i U Y U jQ P 1 展开写成极坐标方程的形式：)cos sin ()sin cos (11ij ij ij ij n j j i i ij ij ij ij n j j i i B G U U Q B G U U P δδδδ-=+=∑∑==所以节点的功率方程为：)cos sin ()sin cos (11ij ij ij ij n j j i di Gi i ij ij ij ij nj j i di Gi i B G U U Q Q Q B G U U P P P δδδδ---=∆+--=∆∑∑==（2） 变量分类负荷消耗的有功、无功功率取决于用户，因而是无法控制的，故称为不可控变量或扰动变量。
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3.3复杂电力网潮流计算的计算机解法３.3.1 导纳矩阵的形成１．自导纳ﻫ节点ｉ的自导纳，亦称输入导纳，在数值上等于在节点i施加单位电压,其他节点全部接地时,经节点ｉ注入网络的电流。
主对角线元素,更具体地说，就等于与节点连接的所有支路导纳的和。
ﻫ 2．互导纳ﻫ节点i、j间的互导纳，在数值上等于在节点i施加单位电压,其他节点全部接地时，经节点ｊ注入网络的电流。
非对角线元素。
更具体地说,是连接节点j和节点ｉ支路的导纳之和再加上负号而得。
ﻫ 3.导钠矩阵的特点:ﻫ（1)因为，导纳矩阵Ｙ是对称矩阵;(2）导纳矩阵是稀疏矩阵,每一非对角元素是节点i和j间支路导纳的负值,当ｉ和j间没有直接相连的支路时，即为零，根据一般电力系统的特点,每一节点平均与3-5个相邻节点有直接联系，所以导纳矩阵是一高度稀疏的矩阵；(3）导纳矩阵能从系统网络接线图直观地求出。
ﻫ４.节点导纳矩阵的修改ﻫ（1)从原有网络引出一支路,同时增加一节点，设ｉ为原有网络结点，ｊ为新增节点，新增支路ij的导纳为ｙij。
如图３-17(a）所示。
ﻫ因新增一节点，新的节点导纳阵需增加一阶。
且新增对角元Ｙjj=y ij,新增非对角元Y ij＝Y jｉ＝－y iｊ,同时对原阵中的对角元Y ii进行修改，增加ΔY ii＝y ij。
ﻫ（2)在原有网络节点i、j间增加一支路。
如图3-１7（ｂ)所示。
ﻫ设在节点i增加一条支路，由于没有增加节点数,节点导纳矩阵Y阶次不变,节点的自导纳Ｙii、Yｊｊ和互导纳Yｉｊ分别变化量为(３-57）图３-17 网络接线的变化图(ａ)网络引出一支路，(b)节点间增加一支路,（c)节点间切除一支路，(ｄ)节点间导纳改变ﻫ（3）在原有网络节点i、j间切除一支路。
如图3-17(c）所示。
ﻫ设在节点i切除一条支路，由于没有增加节点数，节点导纳矩阵Y阶次不变,节点的自导纳Y ii、Y jｊ和互导纳Y ij分别发生变化，其变化量为（3－58)（4）原有网络节点i、j间的导纳改变为。
如图３-１7（d)所示。
设节点i、j间的导纳改变为，相当于在节点i、j间切除一条ｙij的支路,增加一条的支路。
(３-５９)（５）原有网络结点ｉ、ｊ间为变压器支路，其变比由Ｋ变为Ｋ’，相当于切除一变比为Ｋ的变压器，新增一变比为K’的变压器。
（3-６0）当节点之间变压器等值电路如图（a）、（ｂ)时,该变压器变比的改变将要求节点ｉｊ有关元素作如下修改。
图３.18由导纳表示的变压器等值电路(ａ）导纳在低压侧，(b)网络等值电路,（c）导纳在高压侧，(d)网络等值电路导纳阵的相应元素如下变化:（3-61)当节点之间变压器等值电路如图（c）、（d)时,该变压器变比的改变将要求与节点ij有关元素作如下修改。
(3-６2)3.导纳矩阵的计算1）计算流程ﻫ（１)导纳矩阵的阶数等于电力系统网络中的节点数。
ﻫ（2)导纳矩阵各行非对角元素中非零元素的个数等于对应节点所连的不接地支路数。
（3)导纳矩阵的对角元素,即各节点的自导纳等于相应节点所连支路的导纳之和。
（4)导纳矩阵非对角元素等于节点与节点之间的导纳的负数。
例3-3 已知5节点系统单线图如3-１9所示,已知数据如表３-1、3－2、3-3所示,母线1与发电机相联,发电机G1参数４00MVA，1５kV，选为平衡节点。
发电机G2参数80０MＶA，１5kＶ,选为电压控制母线(PU节点），母线３与发电机G2和负载相联,母线2、4、5为ＰQ节点。
写出各节点已知量和待求变量的关系,计算系统导纳矩阵。
图3-1９例５网络图表3.1 例５母线输入数据(参数均为标幺值)母线类型U 度PG QG PL QL PGmax PGmin1 平衡 1.0 0 ——0 0 ——2 负荷——0 0 8.0 2.8 ——3 电压常量 1.05 — 5.2 —0.8 0.4 4.0 -2.84 负荷——0 0 0 0 ——5 负荷——0 0 0 0 ——容量基准值,ＳB＝100ＭＶA，母线１、3 电压基准值U B=1５kV，母线2、4、5电压基准值UＢ=３45kＶ表3．2 例5线路输入数据（线路参数均为标幺值)母线-母线长度M 最大值MVA 2-4 0.0090 0.100 0 1.72 200 12.02-5 0.0045 0.050 0 0.88 100 12.04-5 0.00225 0.025 0 0.44 50 12.0表3.3 例5变压器输入数据(变压器参数均为标幺值)母线-母线R X 变比容量MVA 最大值MVA 抽头最大值设置1-5 0.00150 0.02 15/345kV 400 600 —3-4 0.00075 0.01 345/15kV 800 1000 —解：输入数据和待求变量列于表3.4。
对于母线1，选为平衡节点，P1和Q1是待求变量。
对于母线3，电压受控母线（PU节点），Q３和待求变量。
母线2、4和5，与负荷相联（PQ节点），U２、Ｕ4、U５和、、是待求变量。
表3.４例３-3母线输入数据和待求变量母线输入数据待求变量1 U 1 = 1.0, = 0 P1, Q1U2,2 P 2 = P G2- P L2 = -8Q2 = Q G2- Q L2 = -2.83 U 3 = 1.05 Q3,P3= P G3- P L3 = 4.44 P 4 =0, Q4 =0 U4,5 P 5 =0, Q5 =0 U5,计算导纳矩阵:导纳矩阵Y的元素可由自导纳和互导纳的定义计算得到，以母线2为例写出互导纳与自导纳的计算式,由于母线1和3不是直接连接到母线2,所以ﻫY21 = Y2３ = 0ﻫ得其中，连接到母线２的每条线路的并联导纳的一半包含在Y2２中(另一半置于这些线路的另一端)。
ﻫ同理可计算出导纳矩阵其他元素。
3．3.２高斯－赛德尔法高斯-塞德尔法潮流计算ﻫ（1）功率方程的特点描述电力系统功率与电压关系的方程式是一组关于电压的非线性代数方程式,不能用解析法直接求解。
(2)迭代计算式ﻫ如式(３-65）中的以替代（i=１，2,3）,就可用以解非线性节点电压方程或它的展开式（３-66)这时的迭代格式将为(３-６７）显然，式（3-66）中的就对应于式（３-6７)中的，就对应于,就对应于,就对应于或。
ﻫ但需指出，按式(３－6７）进行迭代时，除平衡节点外,其他节点的电压都将变化，而这一情况不符合PV节点电压大小不变的约定。
因此,每次迭代求得这些节点的电压后，应对他们的大小按给定值修正，并据此调整这些节点注入的无功功率。
这是潮流计算运用高斯-塞德尔法时的特殊之处。
（3)高斯－塞德尔潮流计算算法假设有n个节点的电力系统,没有PＵ节点，若平衡节点编号为1，功率方程可写成下列复数方程式：（3-68)对每一个ＰQ节点都可列出一个方程式,因而有n-1个方程式。
在这些方程式中,注入功率Pｉ和Ｑｉ都是给定的,平衡节点电压也是已知的,因而只有n-１个节点的电压为未知量,从而可以求得唯一解。
高斯-塞德尔迭代法解潮流公式如下:(3-６9）上式可展开为:式中Ｕ1是平衡节点的电压,k为迭代次数,上式是按高斯-赛的法解方程式组的标准是书写的,对于PQ节点，由于其功率是给定的,故只要写出节点电压初值，即可利用(3－69）式迭代计算各节点节点电压。
式中等号右侧的Uｉ采用经k次迭代值，等号右侧的Uj,当ｊ<i时，采用经(k＋1）次迭代后的值,当j>i时，采用经k次迭代后的值。
迭代过程可进行多次，当某次迭代的解与前一次迭代后的解相差小于事先给定的允许误差ε时,即,迭代终止，这就是迭代收敛的条件。
ﻫ一般系统内存在ＰU节点，这种PU节点注入的无功功率受电源供应无功功率的限制。
假设节点ｐ为ＰU节点，设定的节点电压为,因其无功功率是未知量,只能在迭代开始时给定初值，此后的迭代值必须在逐次迭代的过程中计算得出。
假定高斯-塞德尔迭代法已完成第k次迭代，接着要做第k＋１次迭代前，先按下式求出节点ｐ的注入无功功率:(３－７0）然后将其代入下式,求出节点ｐ的电压:(3－71）在迭代过程中,按上式求得的节点ｐ的电压大小不一定等于设定的节点电压，所有在下一次的迭代中，应以设定的对电压进行修正,但其相角仍保持上式所求得的值，使得如果系统中有多个PU节点，可按上述相同计算方法处理。
在迭代过程中往往求得PU节点的无功功率会出现越限,即按式（3-70)求得的,不能满足约束条件时，考虑到实际工程中对节点电压的限制不如对节点功率的限制严格,这时可用或代入式（３－７１)计算,此时不再需要修正电压的数值。
换言之,这时只能满足约束条件，而不能满足约束条件。
事实上,此时该节点已由PU节点转化为PQ节点。
迭代收敛后,就可计算平衡节点s=1的功率Ｓs求取线路潮流，线路连接节点i和节点j，在节点i测量支路电流，规定由节点i流向节点j时为正。
其值为(3-72)同理在节点ｊ测量支路电流I ji规定由节点ｊ流向节点i时为正。
其值为:(3-73)复功率S ij表示又节点i流向节点j,S ji表示由节点j流向节点i。
其值为：(3-74)ﻫ（３-7５) 以及各线路的功率损耗可由下式算出：(3－76）图3－２0 计算线路潮流的线路模型（４）高斯-塞德尔迭代法计算潮流的步骤：１）设定各节点电压的初值,并给定迭代误差判据;2)对每一个PQ节点，以前一次迭代的节点电压值代入功率迭代方程式求出新值；3)对于PV节点，求出其无功功率,并判断是否越限，如越限则将ＰＶ节点转化为PＱ节点;４）判别各节点电压前后二次迭代值相量差的模是否小于给定误差，如不小于,则回到第2步，继续进行计算,否则转到第5步;ﻫ5）根据功率方程(3-５)求出平衡节点注入功率；ﻫ6)求支路功率分布和支路功率损耗。
ﻫ需注意：按高斯-塞德尔法进行迭代时,除平衡节点外，其它节点的电压都将变化,这一情况不符合PU节点电压大小不变的约定。
因此,每次迭代求得这些节点的电压后,应对PU节点电压的大小按给定值进行修正，并据此调整这些节点注入的无功功率,如上面算法中所述。
这是潮流计算中，运用高斯-塞德尔法时的特殊之处。
图3-2１高斯赛德法潮流计算流程例3－4利用高斯-赛德尔法计算例3-３系统潮流分布情况。
ﻫ解:对于例3－3所示的电力系统,用高斯-赛德尔法计算时,首先需要对各节点赋初值，之后除去平衡节点外,按从小到大编号的节点进行迭代计算,迭代收敛后计算平衡节点的功率及网络损耗。
（1)赋初值ﻫ对PＱ节点赋电压初值：U2=１.0∠0°、U4=1．0∠０°、Ｕ5＝1.0∠0°ﻫ对PＵ节点赋电压（相位）初值:Ｕ3=1．0５∠０°（2）迭代求解PQ节点电压、ＰU节点电压相角和无功功率取由于求得的不等于给定的U3,将修正为求得各节点电压新值后,再按式计算,开始第二次迭代,各节点电压（标幺值)迭代结果示于表3．５，迭代过程中PU节点无功功率(标幺值)示于表３.6。